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L'idéalisme dans l'infinitésimal

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Julien Bernard

Introduction

Texte intégral

1. WEYL, ACTEUR D’UNE RÉVOLUTION MAJEURE EN PHILOSOPHIE DE L’ESPACE

1En 1916, revenant de son affectation militaire, Hermann Weyl, promis à devenir un des plus grands mathématiciens du xxe siècle, découvre les Fondements de la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein. Ce texte déclenche un bouleversement profond dans sa vie intellectuelle. Cela va l’amener à se concentrer principalement de 1916 à 1923 sur les fondements du concept d’espace, dans ses dimensions tant mathématique et physique que philosophique. En effet, Weyl comprend que la nouvelle théorie d’Einstein n’apporte pas seulement une correction aux lois physiques de la gravitation. Elle implique, bien au-delà, un changement radical du concept d’espace. Weyl comprend donc qu’il y a une urgence épistémologique à saisir clairement ce changement conceptuel et à renouveler la réflexion philosophique sur la notion d’espace. C’est le moyen pour donner des bases sûres à la révolution einsteinienne, voire pour poursuivre cette révolution en la radicalisant.

2Dans le présent ouvrage, il s’agit d’expliciter, de remettre dans son contexte, et de saisir les enjeux, de ce remarquable travail philosophique qu’a réalisé Weyl sur le concept d’espace pendant la période 1917-1923, en interrelation avec son travail scientifique.

3Weyl a été choisi à la fois pour la profondeur de ses travaux scientifiques en mathématiques et en physique ; mais aussi et surtout pour le rapport privilégié qu’il entretient avec la philosophie. Non seulement cet auteur est un connaisseur de la philosophie qui sait tenir à l’occasion le rôle d’historien ou de vulgarisateur de la pensée philosophique. Mais, il se sert en outre de la philosophie à l’intérieur même de son travail scientifique ; héritant de certaines postures philosophiques de la tradition et produisant de nouvelles réflexions philosophiques sur les théories scientifiques en cours de développement. Par un cercle vertueux, ses pensées nouvelles nourrissent à leur tour sa création scientifique.

  • 1 Quatre éditions publiées du vivant de Weyl diffèrent de façon importante :
    Weyl Hermann, Raum-Zeit- (...)

4Les écrits de Weyl sur la notion d’espace sont nombreux pendant cette période. Cependant, la plupart sont des articles spécialisés qui n’abordent qu’un aspect limité de sa réflexion sur l’espace. Il n’y a qu’une seule monographie importante de Weyl qui aborde synthétiquement tous les aspects de sa pensée sur l’espace. Il s’agit de son célèbre texte Espace-Temps-Matière1. Ce sera l’ouvrage clef dont nous nous servirons pour pénétrer dans la pensée du grand mathématicien et penseur allemand.

2. TENSION ENTRE DEUX ASPECTS DE LA SPATIALITÉ

5Lorsque nous entrons dans les profondeurs d’Espace-Matière-Temps-Matière et que nous recherchons l’unité de cet ouvrage, nous buttons incessamment sur un conflit interne à la pensée de Weyl. L’unité de l’ouvrage semble en effet fragilisée par un antagonisme entre deux notions d’espace.

6Premièrement, on trouve l’espace comme notion mathématique ; la seule pour laquelle Weyl assume pleinement le terme d’espace [Raum]. Il s’agit d’une forme dont la nature est fixée a priori et dont la caractéristique essentielle est son homogénéité. La façon dont Weyl pense cette notion est fortement influencée par la tradition algébrique des géomètres du xixe siècle. Ceux-ci pensaient l’espace à travers son groupe de symétrie, c’est-à-dire à travers le groupe des transformations préservant les structures spatiales. On sait bien que cette tradition culmine avec le fameux programme d’Erlangen qui était encore développé à Göttingen par Felix Klein à l’époque de la formation universitaire de Weyl. Conformément à cette tradition, ce dernier pense la notion mathématique d’espace en étudiant les groupes de transformations qui préservent chacune des strates de relations spatiales, notamment les strates affine et métrique.

  • 2 Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), (...)

7Cela aboutit à une pensée unifiée de la notion mathématique d’espace, que Weyl appuie sur une analyse originale de la notion de système de coordonnées et de la place que ce système occupe dans le processus de la mesure. Alors que les relations spatiales sont pensées par l’intermédiaire de structures conceptuelles, le système de coordonnées est pensé a contrario comme un donné intuitif lié à la place singulière qu’occupe le sujet. L’espace n’est pas seulement homogène vis-à-vis de ses points mais plus généralement vis-à-vis des différents systèmes de coordonnées. On comprend alors que son homogénéité occupe une fonction épistémique essentielle. L’homogénéité est en effet la condition de possibilité de l’objectivité de la géométrie, en exprimant une indifférence de la connaissance géométrique à l’égard de l’individualité des sujets qui appréhendent l’espace. Le jeu constant entre, d’une part, les relations géométriques objectives et, d’autre part, leurs différentes représentations numériques subjectives (i. e. dépendant des coordonnées) est essentiel. En effet, ce jeu prépare l’ancrage du schème conceptuel de la géométrie dans la réalité effective, celle auquel, en particulier, le physicien expérimentateur est confronté. Ainsi, ce jeu, fondé sur ce que Weyl appelle « le principe de relativité de la mesure », permet que la notion mathématique d’espace puisse servir de cadre à la mesure physique. Le processus de l’abstraction mathématique est la notion clef qui permet de penser ce jeu, et fait le pont avec les travaux du Continu2, l’autre grand texte de Weyl de cette période sur les fondements des mathématiques. Enfin, la constitution de l’objectivité par abstraction à partir des représentations numériques subjectives, s’étend de l’espace aux grandeurs physiques qui y sont représentées, par la considération de leurs différentes natures spatiales (vecteurs, tenseurs, etc.).

8Cette analyse de la notion mathématique d’espace manifeste une forme d’idéalisme dans la pensée géométrique de Weyl. En effet, d’une manière générale, la pensée de Weyl s’inscrit dans le courant général et polymorphe de l’idéalisme allemand, issu de Kant. Ce courant met l’accent sur la place du sujet et de ses facultés de connaissances (la Raison, pris dans un sens large) quant à la détermination du cadre a priori rendant possible le développement des sciences de la nature. Ce que nous avons appelé succinctement « cadre a priori » se décline dans la pensée kantienne sous la forme d’intuitions pures de la sensibilité, et de concepts purs de l’entendement. En quel sens l’analyse de la notion mathématique d’espace que propose Weyl se range-t-elle déjà dans cette mouvance idéaliste ? C’est le cas parce que Weyl insiste sur des principes comme la continuité et l’homogénéité, pensés comme des exigences que la géométrie doit remplir pour satisfaire la Raison dans sa constitution d’une science objective de l’espace. Le niveau mathématique de la notion d’espace ne consiste ainsi pas en un foisonnement désorganisé de constructions de l’esprit entre lesquelles l’expérience seule pourrait ensuite trancher. La Raison y a au contraire un rôle extrêmement contraignant qui délimite a priori la notion de mesure.

9Deuxièmement, à cet espace mathématique entièrement fixé conceptuellement et répondant à des exigences rationnelles, on oppose le champ métrique d’Einstein qui est dynamique et en un certain sens hétérogène, du fait de son interaction avec la matière. Il s’agit en quelque sorte ici d’une notion physique d’espace dont la connaissance passe par l’expérience, mais pour laquelle Weyl évite le terme explicite d’« espace » [Raum], sans doute précisément pour marquer la rupture ontologique entre les deux concepts.

10Sensible à la composante mathématique de toute théorie physique, Weyl ne conclut pas de cette découverte d’une composante empirique supplémentaire au cœur de la géométrie relativiste, au statut purement empirique de cette discipline. L’a priori n’a pas disparu, il s’est seulement déplacé. En fait, la conception physique de la métrique n’est pas opposée à la conception mathématique de l’espace, au sens où elle viendrait la remplacer. La notion mathématique d’espace est bien plutôt un moment de la construction du concept physique de mesure spatiale. Mais, la relativité générale oblige pourtant à une redistribution, au sein de la notion d’espace, entre ce qui est fixé a priori par la forme mathématique, et ce qui est susceptible de variations contingentes et est l’objet de mesures physiques. À cause de la dépendance manifestée par la relativité générale, entre la courbure de l’espace et son contenu physique (la distribution de la matière exprimée par le tenseur d’énergie-impulsion), il n’est plus question de pouvoir faire se correspondre la délimitation entre l’a priori et l’empirique, avec la distinction entre un espace-contenant et la matière-contenue. C’est du moins le cas tant que l’on suit la pensée commune qui fait de la structure des relations métriques un caractère essentiel de cet espace-contenant. Avec la relativité générale, non seulement les relations métriques entre les corps contenus dans l’espace ne peuvent être évidemment déterminées que de façon empirique, mais il en est de même de la forme métrique de l’espace lui-même. En effet, la courbure affecte non pas uniquement la trajectoire particulière de tel ou tel corps singularisé, mais l’espace même de toutes les trajectoires possibles (les géodésiques de type temps de la théorie d’Einstein). On voit donc comment l’interrogation philosophique, classique depuis Kant, qui consiste à vouloir délimiter l’a priori et l’empirique dans le phénomène de la mesure physique, va se trouver déplacée, chez Weyl, sous la forme d’une recherche de délimitation entre le mathématique et le physique, dans la constitution du nouveau concept relativiste d’espace.

  • 3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85-92.

11La façon dont ces deux aspects de la spatialité peuvent s’articuler est problématique en raison de leurs propriétés radicalement opposées. D’un côté, nous avons l’espace mathématique comme une forme homogène déterminée a priori par la raison ; de l’autre, la métrique hétérogène de Riemann-Einstein, entité physique dynamique dont les lois d’évolution sont découvertes a posteriori. Aussi voit-on, dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière3, éclater le conflit entre ces deux notions antagonistes. Dans un petit texte où il semble mimer le fameux argument du trou d’Einstein, Weyl interroge le statut du système de coordonnées et l’articulation entre mathématiques et physique. Cela se fait dans le nouveau cadre de la relativité générale ; c’est-à-dire un espace de Riemann où la métrique est influencée, voire déterminée, par la matière. À partir de là, le motif qui dirige Weyl diverge de celui d’Einstein. Ce dernier était en quête d’une théorie qui réponde adéquatement à l’exigence d’une métrique entièrement déterminée par la distribution de la matière (ce qu’on connaît dans la littérature sous le nom de « principe de Mach »). Le problème de Weyl est tout autre. Il s’agit précisément de résoudre le conflit entre une notion d’espace mathématique qu’il considère par essence homogène, et cette métrique dynamique que la dépendance envers la répartition de la matière rend hétérogène. En mettant en avant ce paragraphe d’Espace-Temps-Matière, nous pensons fournir une problématique épistémologique primordiale pour saisir dans son ensemble l’unité du texte et, ce faisant, l’unité de la philosophie de l’espace de Weyl.

3. DEUX FAÇONS DE RÉSOUDRE CETTE TENSION : DE L’EXCLUSION DE LA MÉTRIQUE À LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

  • 4 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85.
  • 5 Nous utilisons les parenthèses ici, comme dans la suite de notre ouvrage, pour signifier que la no (...)

12À la suite de ce passage, Weyl propose une première réponse radicale à cette problématique. Pour sauver l’homogénéité de l’espace, il en exclut d’une certaine manière l’aspect métrique. La métrique devient le corrélat du « comportement physique des règles de mesure et des rayons lumineux, en tant qu’ils sont déterminés par le champ gravitationnel4 ». Cette solution, encore très inspirée par Einstein, n’est cependant pas pleinement satisfaisante, dans la mesure où ce schéma épistémologique cède plus qu’il n’est nécessaire à la physique et à l’a posteriori. L’espace en soi, c’est-à-dire la notion mathématique d’espace comme forme homogène, semble ne pouvoir trouver sa place dans ce schéma, qu’en étant débarrassée de toutes ses structures conceptuelles (affines, conformes, métriques.) pour ne garder qu’un caractère topologique et différentiel. L’espace (-temps)5 est alors réduit à la seule notion riemannienne de variété continue (ou différentiable).

  • 6 Ces termes signifient littéralement « proche » et « lointain ». Il faut toutefois savoir que cette (...)

13Weyl n’en restera pas là. Dès ses travaux de 1918 qui suivent immédiatement la première édition d’Espace-Temps-Matière, il va petit à petit mettre en évidence et développer une solution beaucoup plus acceptable à ce conflit entre le caractère homogène et a priori de l’espace mathématique et le caractère hétérogène et dynamique de la métrique physique de Riemann-Einstein. Weyl, radicalisant un mouvement initié par Riemann, va finalement faire correspondre la frontière entre l’a priori et l’a posteriori, au sein des mesures spatiales, avec la frontière entre les relations infiniment proches et les relations finiment éloignées. Ce que nous traduisons ici par le couple infiniment proche / finiment éloigné est le couple de termes allemands Nahe/Fern difficilement traduisible sans perte de sens6.

14L’idée de géométrie par contact [Nahegeometrie], qui va désormais guider tous les travaux de Weyl sur les fondements de la géométrie, consiste alors à penser que seules les relations spatiales infinitésimales, c’est-à-dire celles qui concernent le voisinage infinitésimal d’un point, doivent être fixées a priori. A contrario, la structure des relations à distance finie n’est pas déterminée par l’espace en soi mais possède le même type de statut physique que Weyl semblait donner à la métrique toute entière, sans plus de distinction, dans sa première version de la solution.

15En réunissant et réorganisant des réflexions éparses dans le texte de Weyl, nous voyons comment il justifie épistémologiquement le positionnement de cette frontière. Il s’en acquitte par une conception du sujet comme un être incarné dans un corps idéalement ponctuel, et fournissant de ce fait un point de vue essentiellement ponctuel sur le monde. Cette conception est illustrée par l’identification en mathématiques entre le sujet et l’origine du système de coordonnées, et en physique par la modélisation rudimentaire du sujet sous la forme d’un « œil ponctuel ». Ainsi, dans un monde physique où toute interaction est essentiellement localisée et ne se fait que de proche en proche, le sujet n’a accès qu’à son environnement immédiat par l’entremise de son corps. Si, conformément à ce que nous suggère la tradition de l’idéalisme transcendantal, la Raison est une faculté capable d’imposer a priori l’espace comme forme de notre rapport au monde extérieur, cela ne peut être légitime pour Weyl que dans la sphère des relations infiniment proches, seul domaine auquel le sujet soit rattaché immédiatement de par son incarnation dans un corps essentiellement localisé.

  • 7 On reviendra plus tard sur cette opposition entre une géométrie mathématique et une géométrie phys (...)

16Conformément à ce principe fondamental d’une limitation à l’infinitésimal des structures imposées par la Raison, Weyl va se lancer dans un vaste programme de reconstruction des sciences de l’espace, i. e. de la géométrie (mathématique), de la géométrie physique7, et de leurs épistémologies. On peut désigner ce programme par le nom de la notion fondamentale qui le guide : la géométrie par contact, ou géométrie infinitésimale.

  • 8 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 108-116.

17Sur le plan mathématique d’abord, Weyl va reconstruire la géométrie pour qu’elle réponde entièrement à cet idéal de géométrie par contact. Partant de la notion de variété continue comme soubassement topologique, la strate des relations affines, puis la strate métrique, vont être déterminées a priori dans la seule sphère infinitésimale. Outre cette structure infinitésimale, on fixe également a priori le mode de connexion d’un espace infinitésimal à ses voisins. Ainsi, Weyl généralise-t-il la notion mathématique de connexion, apparue chez les géomètres continuateurs de la pensée de Riemann. Weyl en fait un concept général traversant méthodiquement, l’une après l’autre, les strates structurelles de la notion d’espace. D’abord, il parvient à construire une notion purement affine de connexion, en débarrassant la notion de connexion de Levi-Civita du présupposé d’une immersion dans un espace de Riemann. Ensuite, il déplace la signification de la forme quadratique gµν (x) qui servait à définir la notion d’espace de Riemann. En effet, en ne s’intéressant à la forme quadratique qu’à une recalibration près par un facteur positif λ(x) (jauge), il lui donne un sens seulement conforme. C’est-à-dire que la forme quadratique ne nous fournit désormais qu’une notion d’angle ou de rapport entre des longueurs infiniment petites prises au même point. Elle ne nous fournit plus une notion absolue de longueur ayant une signification à distance. Enfin, Weyl introduit l’idée de connexion métrique pour pouvoir raccorder les espaces métriques infinitésimaux les uns aux autres et redonner, après coup, une unité à l’espace dans son aspect métrique. Il achève dès 1918 la construction d’une telle géométrie, appelée aujourd’hui « espace de Weyl », qu’il considère comme une géométrie infinitésimale pure et qu’il incorpore à Espace-Temps-Matière à partir de la 3e édition8.

18Sur le plan physique ensuite, Weyl montre comment les grandeurs et lois physiques connues jusqu’ici doivent être retranscrites, pour s’adapter à ce nouveau cadre d’une géométrie infinitésimale pure. Dans un premier temps, il se contente de poursuivre le mouvement initié par Einstein, consistant à remplacer les opérateurs différentiels usuels de l’analyse sur un espace euclidien, par les opérateurs différentiels covariants sur une variété différentiable. C’est l’analyse tensorielle. Grâce à elle, on peut exprimer des lois physiques différentielles qui décrivent des interactions se déroulant à l’intérieur d’un cadre métrique courbe qui se comporte lui-même comme un champ dynamique.

19Ensuite, Weyl va tenter de poursuivre sa reconstruction physique au-delà de la théorie d’Einstein. Remarquant que son nouveau concept de connexion métrique possède certaines propriétés formelles communes avec le champ de potentiel électromagnétique, il propose une extension de la théorie d’Einstein. Cette extension tente de rendre compte de façon harmonieuse à la fois des phénomènes gravitationnels et des phénomènes électromagnétiques par une seule et même structure géométrique, celle d’un espace de Weyl. Après avoir proposé cette réunification des deux champs fondamentaux connus à l’époque, il tente de réduire la notion de matière à celle de champ, visant un monisme ontologique pour la physique qui, au niveau fondamental, réduirait toutes les entités physiques à la seule notion de champ dynamique. Certains aspects de la matière résistaient en effet à une telle réduction, à commencer par le caractère granulaire de la matière (existence de « particules »). Pour expliquer la stabilité des grains de matière d’un point de vue statistique, Weyl essaie d’adapter au nouveau cadre de la relativité générale une théorie du physicien allemand Gustav Mie. Cette théorie modifie légèrement l’expression du champ électromagnétique sur de courtes distances, pour rendre compte de la stabilité des particules sans recours à aucune hypothèse extérieure au comportement du champ lui-même. Les particules apparaissent dans une telle théorie comme des zones de condensation d’énergie, globalement stables à l’intérieur du champ. La notion de particule devient donc secondaire, dérivée de la notion de champ, seule notion primitive.

20Couplée avec la tentative d’unification géométrique des interactions gravitationnelles et électromagnétiques, cette tentative de réduction ontologique de la matière aux champs entraînerait, si elle réussissait, une identification complète entre physique et géométrie. Autrement dit, à un niveau fondamental, toute la réalité physique serait ramenée à la dynamique d’un champ exprimant des propriétés géométriques. Ces deux idées d’une unification géométrique de la gravité et de l’électromagnétisme, et d’un monisme ontologique du champ, atteignent leurs apogées dans la 3e édition d’Espace-Temps-Matière.

  • 9 Nous renvoyons aux travaux d’Erhard Scholz et de Norman Sieroka sur cette question.

21Plusieurs spécialistes9 de la pensée de Weyl ont étudié comment, dans la période correspondant aux deux dernières éditions d’Espace-Temps-Matière, ces nouvelles théories physiques appuyées sur le programme de la géométrie par contact ont été progressivement abandonnées par Weyl. Les motifs principaux de cette prise de recul tiennent à une évolution de sa conception de la matière. Cependant, le thème du présent ouvrage étant la philosophie de l’espace-temps, nous mettons autant que possible à l’écart le problème de la matière. L’important pour nous est de bien voir que, si Weyl cesse de penser que son programme de reconstruction de la géométrie puisse être au service d’une vision géométrique unifiée de la réalité physique, il n’abandonne pas pour autant, bien au contraire, le programme lui-même dans son ambition relativement restreinte (mais pourtant déjà si radicale !) de caractériser la véritable notion d’espace.

  • 10 Cf. « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, op. cit.
  • 11 Nous renvoyons à la note 12, II.2.3, p. 127-128 pour quelques éléments sur le tabou du sujet trans (...)

22À côté de ces réalisations mathématique et physique, le programme de la géométrie par contact fournit une analyse épistémologique de la notion d’espace qui atteint son point culminant dans les dernières éditions d’Espace-Temps-Matière et ne sera sans doute jamais remise en cause par Weyl. Nous avons évoqué comment, en limitant la notion proprement mathématique d’espace à la sphère des relations infinitésimales, Weyl donnait son fondement à la géométrie physique, comme étude du champ métrique dynamique. Concernant la notion d’espace, ceci est une concession à l’empirisme que Weyl juge irrémédiable. C’est ce trait de sa pensée qui peut nous le faire percevoir superficiellement comment un penseur réaliste à l’égard de l’espace, contrairement à son engagement clairement idéaliste concernant la théorie des nombres10. Ce point de vue sur le Weyl géomètre serait bien trop partiel. Au sein des structures spatiales, le domaine d’influence où la Raison peut légitimement poser ses exigences a certes été restreint chez Weyl par rapport à l’idéalisme transcendantal de Kant, tel qu’on le comprend couramment. Cependant, au sein de son domaine restreint d’influence (les relations infinitésimales et la connexion), la Raison joue un rôle extrêmement contraignant selon Weyl. Son rôle est tel que notre auteur soutient avec force que la nature de l’espace, dans l’infinitésimal, doit pouvoir être déterminée univoquement par des exigences rationnelles. Cette thèse justifie selon nous de ranger cet auteur au sein de la famille des idéalismes transcendantaux, même si le terme n’était pas assumé tel quel par notre auteur11, et pourvu qu’on comprenne qu’il s’agit d’un idéalisme dans l’infinitésimal, c’est-à-dire un idéalisme dont la portée est réduite aux structures infinitésimales de l’espace et à la connexion.

  • 12 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, (...)
  • 13 Il faut comprendre ici une forme quadratique non dégénérée mais pas nécessairement définie.

23La croyance liée à cette forme d’idéalisme aboutit à l’Analyse mathématique du problème de l’espace12. Dans cette ouvre, Weyl reconstruit les fondements de la géométrie différentielle depuis le point de vue de la géométrie de contact et de l’idéalisme dans l’infinitésimal. Sans doute influencé par Elie Cartan, il parvient à donner une formulation algébrique de la géométrie par contact. Les structures infinitésimales en un point P de l’espace sont alors exprimées par le groupe des isométries agissant sur l’espace tangent à notre variété au point P. Weyl appelle ces isométries simplement des « rotations ». L’homogénéité s’exprime par le fait que ces groupes sont tous isomorphes. Enfin, la connexion d’un point de l’espace P à un de ses voisins P’est exprimée en caractérisant algébriquement l’ensemble des isométries qui envoient l’espace vectoriel tangent en P sur l’espace vectoriel tangent en P’. Là aussi, la nature de la connexion est identique en chaque point. Cette formulation algébrique de la géométrie par contact illustre clairement comment la pensée épistémologique de Weyl arrive à réconcilier, d’une part, la tradition algébrique du programme d’Erlangen qui insiste sur la notion du groupe de transformations et sur l’homogénéité et, d’autre part, la tradition analytique de Riemann. Cette réconciliation est permise par le nouveau sens local donné à l’homogénéité, conformément à l’idée de géométrie par contact. À partir de cette analyse algébrique générale, où il fait usage de concepts proches de ceux que nous connaissons de nos jours sous les termes de « groupes et algèbres de Lie », Weyl démontre partiellement un théorème qui résout le problème de la détermination de la nature de la métrique. À partir de deux principes : 1) la liberté maximale accordée à la déformabilité du champ métrique, et 2) la détermination univoque de la connexion affine par la connexion métrique, il démontre que les seuls groupes de « rotations » admissibles sont ceux qui laissent invariante une forme quadratique non dégénérée. Seule la forme « pythagoricienne13 » de la métrique est donc acceptable, et cette discrimination s’est appuyée uniquement sur des principes rationnels. L’expérience n’a ici aucun droit. Ainsi se trouve confirmée mathématiquement la justesse de l’idéalisme dans l’infinitésimal.

4. MÉTHODE ET PLAN DE L’OUVRAGE

24La pensée de Weyl sur la notion d’espace, de 1916 à 1923, est riche de nombreux thèmes transdisciplinaires. De plus, elle se trouve au centre de tout un réseau de textes gravitant autour d’Espace-Temps-Matière à la façon d’ouvres satellitaires. Comprendre exhaustivement la pensée de notre auteur demande : une familiarité avec les concepts et problématiques de la théorie de la relativité restreinte et générale ; une familiarité avec plusieurs branches des mathématiques : topologie, géométrie différentielle, calcul des variations, groupes et algèbres de Lie ; une connaissance du contexte philosophique et scientifique dans lequel évolue Weyl ; enfin une connaissance de la langue allemande et des textes spécialisés de notre auteur. Dans ces conditions, il est évident que le présent ouvrage ne pourra prétendre aborder jusqu’à l’épuisement tous les aspects de cette pensée grandiose.

25De ce fait, nous avons évidemment dû faire face à des choix sur la perspective à privilégier, et nous avons dû nous limiter nos références à un corpus de textes étroit, mais suffisant pour répondre à la problématique posée.

26Pour ce qui est de la question du corpus, le choix de la restriction au texte d’Espace-Temps-Matière dans ses différentes éditions était un choix qui allait de soi puisque ce texte se présente de lui-même comme un texte synthétique où Weyl essaie de penser de manière unifiée ses réflexions sur la notion d’espace-temps et de matière. Nous avons dû cependant nous référer ponctuellement à quelques autres textes de la période 1917-1923, pour cette raison qu’Espace-Temps-Matière, en tant que manuel de cours, mêle de façon souvent inextricable les positions propres à Weyl avec celles des auteurs qui participent à l’histoire de la géométrie qu’il reconstruit. Toutefois, notre usage de ces autres textes s’est essentiellement limité à cette fonction de discrimination, au sein de l’ouvrage majeur, entre ce qui est propre à Weyl et ce qui n’y figure qu’en tant qu’épisode précédent de l’histoire du concept d’espace.

27Reconstruire l’unité de la pensée de l’espace-temps de Weyl à partir d’Espace-Temps-Matière était une démarche qui n’allait pas de soi de par la nature de ce texte.

28D’abord, le découpage du texte en chapitre est problématique. Plutôt qu’une articulation des deux concepts (mathématique et physique) d’espace, un lecteur pourrait être tenté de lire chronologiquement le passage du premier chapitre au second chapitre d’Espace-Temps-Matière, comme l’abandon d’une vision d’abord kleinienne de la géométrie au profit d’une vision riemannienne. Nous soutenons que cette interprétation ne rendrait pas justice au véritable effort conceptuel et épistémologique accompli par Weyl dans son texte pour réconcilier ces deux traditions.

29Ensuite, la recherche d’une unité dans l’ouvrage se heurtait au changement du texte d’édition en édition. De ce point de vue, nous sommes conscients de proposer une vision beaucoup plus systématique et cohérente de la pensée de notre auteur que celle qu’un lecteur reçoit à la lecture spontanée des différentes éditions du texte. Il nous semble cependant que cette vision cohérente n’est pas le fruit d’une reconstruction artificielle de notre part, à partir de choix arbitraires. Nous avons produit une photographie du moment mature de la pensée de Weyl de l’espace-temps, lorsque sa pensée a pu reposer de façon cohérente sur des principes épistémologiques pleinement assumés. Ce sont ceux que nous avons regroupés sous le terme d’un appel à une géométrie par contact. Cela correspond approximativement à la période 1919-1921. Notre texte de référence a donc été principalement la 3e édition d’Espace-Temps-Matière, à laquelle nous avons ajouté les éléments apportés par l’analyse mathématique du problème de l’espace, ajoutés lors de la 4e édition. Tous les passages d’Espace-Temps-Matière ou des autres textes de la période 1917-1923 où Weyl défend une position différente que celle que nous développons ici nous paraissent explicables, soit comme étant simplement l’exposition par Weyl d’une position qui n’est pas la sienne, soit comme constituant un moment précoce encore immature de sa pensée (passages des premières éditions d’Espace-Temps-Matière), soit au contraire comme constituant une prise de recul de Weyl vis-à-vis de sa propre position, au vu des difficultés rencontrées. Mais, encore une fois, ces reculs ne touchent qu’à la réduction ontologique de la matière aux champs et à la géométrisation complète de la physique, mais non pas à la vision de la géométrie comme géométrie par contact. Weyl restera persuadé toute sa vie de la justesse de ce point de vue.

30Pour ce qui est de la perspective que nous avons choisi de privilégier, nous avons opté pour une position que l’on peut appuyer sur la vision propre à Weyl des rapports entre sciences et philosophie. Notre auteur défend une position selon laquelle les questions philosophiques concernant la théorie de la connaissance et l’ontologie de l’espace-temps ne trouvent pas de réponses préalablement au développement de la science, mais plutôt dans un dialogue avec elle. Sachant cela, nous avons choisi de faire resurgir l’unité du travail philosophique de Weyl en essayant d’acquérir une familiarité avec son travail scientifique (et bien sûr philosophique) interne à Espace-Matière-Temps-Matière et une vision globale des références scientifiques de ce texte (notamment A. Einstein, J. C. Maxwell, C. F. Gauss, B. Riemann, E. B. Christoffel et T. Levi-Civita), plutôt qu’une familiarité avec les auteurs-philosophes qui sont ses références.

  • 14 Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, Thèse, université de Harvard, janvier 1 (...)

31Pour compenser certaines faiblesses de cette approche, nous avons fait précéder notre propre analyse par un travail de synthèse de certains travaux (Chapitre I). Cela nous permet de donner une vision d’ensemble du contexte intellectuel (tant philosophique que scientifique) dans lequel est née la pensée de Weyl. Le contexte spécifique au milieu intellectuel de Göttingen nous a très largement été ouvert par le biais de la thèse de Skuli Sigurdsson14. Une vision globale de l’évolution des thèses de Weyl pendant notre période et en dehors, nous a été fournie par une lecture des travaux d’Erhard Scholz. Enfin, les rapports de Weyl à la philosophie ont été explicités à partir des textes de Weyl lui-même, mais aussi des travaux de Thomas Ryckman, Norman Sieroka, Alain Michel et Paulo Mancosu.

32À la suite de ce travail de synthèse, nous présenterons (Chapitre II) la façon dont est développée, dans la première partie d’Espace-Temps-Matière, la notion purement mathématique d’espace. Nous insisterons sur l’influence du programme d’Erlangen, sur la place accordée à l’homogénéité, sur l’analyse originale par Weyl de la notion de sujet lié au système de coordonnées, sur la façon dont la notion d’abstraction mathématique développée dans le Continu sert à penser le jeu entre les niveaux objectif et subjectif. Enfin nous insisterons sur la façon dont la terminologie de Weyl peut nous induire en erreur quant à la façon dont on doit le positionner au sein de la famille des idéalismes transcendantaux de l’espace.

33La géométrie différentielle et la dépendance des coefficients de la métrique à l’égard du contenu physique de l’espace font irruption ensuite (Chapitre III). Nous insistons sur la filiation de Gauss et Riemann à Weyl, sur la façon dont le conflit entre la notion mathématique homogène d’espace et la notion physique hétérogène de métrique éclate dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière, et sur la solution provisoire qu’on y trouve, qui ôte à l’espace son caractère métrique pour le réduire à la notion topologique de variété.

34Enfin, nous finissons (Chapitre IV) en explicitant la solution finale à ce conflit qui se dégage à partir de la 3e édition d’Espace-Temps-Matière. Nous développons ainsi dans son unité le programme de la géométrie par contact. Nous insistons sur l’architecture d’une telle géométrie, sur les idées épistémologiques qui la sous-tendent et en particulier l’analyse du sujet comme être ponctuel incarné, sur le développement mathématique du programme, et la réussite de Weyl à parvenir à une géométrie infinitésimale pure correctement stratifiée, sur la façon dont Weyl arrive à réconcilier la tradition algébrique du programme d’Erlangen avec la tradition analytique de Riemann (par un déplacement vers l’infinitésimal de la notion d’homogénéité). Enfin, nous insisterons bien sûr sur l’idéalisme dans l’infinitésimal, caractéristique de Weyl, sur la construction algébrique qui l’accompagne (analyse mathématique du problème de l’espace), et sur la façon dont cette géométrie apparait naturellement comme le cadre naturel de la physique des champs. Finalement, nous terminerons en évoquant les tentatives d’applications physiques, secondaires par rapport à notre problématique, que Weyl a essayé de greffer sur le programme de géométrie par contact. Ces applications physiques ont petit à petit été abandonnées par leur auteur. En revanche, la conception de la géométrie comme géométrie par contact, et l’idéalisme dans l’infinitésimal, ont perduré comme le cour intangible de la philosophie de l’espace de Weyl.

Notes

1 Quatre éditions publiées du vivant de Weyl diffèrent de façon importante :
Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, Berlin, Julius Springer, 1918 ;
Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, Berlin, Julius Springer, 1919 ;
Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, Berlin, Julius Springer, 1921 ;
Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 5e édition, Berlin, Julius Springer, 1923.

2 Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994.

3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85-92.

4 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85.

5 Nous utilisons les parenthèses ici, comme dans la suite de notre ouvrage, pour signifier que la notion qui occupe Weyl et sur laquelle nous nous focalisons est celle d’espace. Bien entendu, c’est un acquis irréversible de la théorie de la relativité restreinte qu’on ne peut développer une théorie physique des mesures spatiales indépendante de la considération des mesures temporelles. Il n’en reste pas moins que le temps pose des problèmes philosophiques et conceptuels qui lui sont propres et qui ne sont abordés que ponctuellement dans Espace-Temps-Matière. Le temps n’y est le plus souvent (et il le sera presque toujours pour nous) qu’une dimension supplémentaire qui doit nécessairement être prise en compte pour développer une théorie cohérente de la mesure. Weyl lui-même se dispense souvent de la dimension temporelle dans le développement des problèmes philosophiques qu’il aborde dans Espace-Temps-Matière et les textes apparentés.

6 Ces termes signifient littéralement « proche » et « lointain ». Il faut toutefois savoir que cette traduction littérale nous fait perdre une partie importante du sens allemand. En effet, les termes Nahe/Fern sont ceux qui sont employés en physique pour distinguer ce que nous appelons en français les « actions par contact » [Nahewirkung] par opposition aux « actions à distance » [Fernwirkung]. Il est essentiel de garder en tête cette polysémie des termes sur laquelle joue Weyl. En effet, la conception infinitésimale de la géométrie qu’il va développer à partir de la 3 e édition d’Espace-Temps-Matière se présente en même temps comme le fondement naturel de la physique « moderne » (physique des champs), conçue comme une physique des actions par contact.

7 On reviendra plus tard sur cette opposition entre une géométrie mathématique et une géométrie physique. C’est une façon de parler qui est pratique mais n’est pas conforme aux choix terminologiques de Weyl. Pour lui, comme d’accoutumée, la géométrie désigne la discipline mathématique qui étudie l’espace, ce dernier n’étant pas un objet physique.
Pourtant, le terme de « géométrie » pourrait aussi bien désigner la pratique expérimentale du géomètre-arpenteur qui va mesurer des longueurs in concreto (mesurer un champ, une bâtisse, etc.) Plus important, dans les géométries différentielles qui interviendront par la suite, les mathématiques ne fixent pas complètement le champ des relations métriques. Les mathématiques introduisent un champ métrique dont les coefficients gµv (x) ne sont pas fixés mathématiquement. C’est donc à la physique (par la mesure in concreto du champ métrique, ou par une théorie du champ) à intervenir pour finir de déterminer les relations métriques. C’est à ce second moment de la mise en pratique d’une géométrie différentielle que nous faisons référence en parlant de « géométrie physique ». Nous y reviendrons abondamment par la suite.
À cause des choix terminologiques que nous venons d’exposer, Weyl évite généralement de parler de « géométrie physique » et préfère des périphrases. Il parle de l’étude physique du champ métrique ou du champ gravitationnel, ou de l’étude physique du comportement des règles et des rayons lumineux.

8 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 108-116.

9 Nous renvoyons aux travaux d’Erhard Scholz et de Norman Sieroka sur cette question.

10 Cf. « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, op. cit.

11 Nous renvoyons à la note 12, II.2.3, p. 127-128 pour quelques éléments sur le tabou du sujet transcendantal chez Weyl, et ses interprétations critiques de l’idéalisme transcendantal kantien.

12 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, Berlin, Julius Springer, 1923, p. 1-2.

13 Il faut comprendre ici une forme quadratique non dégénérée mais pas nécessairement définie.

14 Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, Thèse, université de Harvard, janvier 1991, p. 307.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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