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Activité humaine et conceptualisation

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Maryvonne Merri

Quatrième partie. Individu et société

Réponse de Gérard Vergnaud

Texte intégral

1Je remercie ceux qui se sont prêtés à l’exercice critique qui leur était proposé pour le sérieux de leurs commentaires et pour les approfondissements que cela me conduit à faire. Même lorsque certaines des critiques qui m’ont été adressées reposent sur un malentendu, et m’ont parfois irrité, elles sont finalement bienvenues car elles sont le signe que les choses ne sont pas assez claires. J’avais écrit ma réponse au moment du colloque, en fonction de ce que j’avais entendu. J’ai été amené depuis à la revoir complètement, au vu des textes recueillis.

2Je vais organiser cette réponse autour des trois grands thèmes de la conceptualisation, de la référence, de la vérité ; puis je reviendrai sur ma thèse, et sur ce qu’elle signifie pour moi aujourd’hui. Enfin, j’annoncerai brièvement les contributions qui se trouvent dans le CD-Rom.

1. La question de la conceptualisation

3Terezinha Nunes a, dans son intervention, rapporté le point de vue de Flavell, qui disait que personne ne sait ce que c’est qu’un concept. Or, il faut essayer de comprendre ce qu’est un concept à partir du processus de conceptualisation et non l’inverse. En d’autres termes, c’est un point de vue développemental et pragmatique qui permet de comprendre ce qu’est un concept. Piaget le disait déjà : « il faut étudier le développement des connaissances pour comprendre en quoi elles consistent ». Quant à l’approche pragmatique, elle revient au fond à redonner à la connaissance sa fonction première, qui est une fonction d’action dans le réel et sur le réel ; en collaboration avec autrui, ça ne fait aucun doute, dans des activités collectives, ça ne fait aucun doute, et dans une histoire, ça ne fait aucun doute également. Piaget lui-même, si peu culturaliste qu’il ait été, ne mettait pas en doute ces évidences. Simplement, il voulait comprendre davantage la responsabilité propre du sujet dans le développement de ses connaissances, par exemple le rôle de l’action dans les apprentissages du bébé. Il ne pouvait pas mieux choisir pour faire sa démonstration, tant il est vrai que le bébé ne se laisse guère imposer les formes de son activité.

4C’est la conviction que l’approche pragmatique est essentielle qui m’a conduit à considérer le couple situation/schème comme le couple fondamental de la psychologie développementale (et selon moi, de la didactique). Si la connaissance est adaptation, il faut se convaincre que ce qui s’adapte ce sont des schèmes, c’est-à-dire des formes d’organisation de l’activité, et qu’ils s’adaptent à des situations. Guy Brousseau a saisi un point crucial pour la didactique dès ses premiers travaux : celui de l’adaptation à des situations ; il n’a pas pour autant fait sien le concept de schème, pourtant complémentaire. Nul n’est parfait. Et d’ailleurs, ni l’un ni l’autre n’avons étudié de près les phénomènes affectifs et émotifs qui accompagnent et organisent l’activité en situation. Esther Grossi nous a rappelé à bon escient, en citant Sara Pain, que l’activité est « dramatique » dans les deux sens du mot : action et affect. Ceci est particulièrement vrai dans l’apprentissage, puisqu’il y a alors déséquilibration et nécessité d’adaptation. Les affects sont nécessairement présents ; la conceptualisation aussi puisque, pour agir, il faut bien que le sujet identifie des objets et des relations.

5Ma définition du concept, que Guy Brousseau a rappelée, comme triplet de trois ensembles (l’ensemble des situations qui donnent du sens au concept, l’ensemble des invariants opératoires qui structurent les schèmes associés à ces situations, l’ensemble des représentations langagières et symboliques qui permettent de les représenter) découle directement de cette préoccupation : partir du processus de conceptualisation qui organise l’action. Ensemble de situations, parce que ce n’est pas dans une seule catégorie de situations que se forment un concept et ses propriétés (et la rencontre avec ces diverses situations peut prendre des années) ; ensemble d’invariants opératoires, justement parce que les propriétés pertinentes ne sont pas les mêmes d’une classe de situations à une autre, ni d’ailleurs de même niveau de difficulté ; ensemble de représentations langagières et symboliques, parce que les mises en mots et en symboles ne sont jamais univoques, même lorsque la culture a privilégié une forme.

6Pour lever certains malentendus concernant la fonction de la perception, ou encore les rapports entre le culturel et le personnel, je voudrais préciser que ce que j’entends par conceptualisation, c’est l’identification des objets du monde, de leurs propriétés, relations et transformations, que cette identification résulte d’une perception directe ou quasi-directe, ou d’une construction. Cette construction peut être personnelle, elle est aussi culturelle. Le constructivisme concerne la culture et pas seulement l’individu. Piaget insistait sur la construction, Vygotski sur la culture ; il n’y a pas de contradiction ! Par exemple, on ne peut pas s’engager dans la recherche en didactique des mathématiques en contournant l’immense héritage culturel que représentent les mathématiques ; on ne peut pas pour autant faire l’impasse sur l’activité propre des élèves dans l’appropriation de cet héritage. Pas davantage ne peut-on faire l’impasse sur le rôle des individus dans l’histoire des sciences et des techniques : prenez la mécanique newtonienne, c’est certes un héritage culturel, mais il n’a pas fallu moins que de fortes personnalités comme Galilée, Descartes, Gassendi ou Newton, pour désamalgamer des concepts entremêlés. Les construits culturels sont aussi des construits personnels. La part de l’imagination personnelle est incontournable. Il en va de même pour l’appropriation-construction des compétences professionnelles, quelle que soit l’importance des métiers, de leur caractère partagé, et de leurs traditions.

7Ayant ainsi analysé la conceptualisation en termes d’ensembles (situations, schèmes, formes symboliques), on voit bien que variation et invariant sont des concepts dialectiquement liés, en ce sens qu’il n’y pas d’invariant sans variation, et pas de variation sans invariant : s’il est indispensable, dans la théorie, de considérer le schème comme une organisation invariante, c’est justement parce qu’il permet d’engendrer des activités et des conduites différentes face à des situations différentes, et qu’il permet ainsi au sujet, comme le rappelait Jean François Richard, de reconnaître une situation comme faisant partie d’une certaine classe, ou sous-classe. Même s’il est vrai que de nombreux schèmes sont culturels, tout en variant d’ailleurs selon la communauté d’appartenance des individus, et même si la transmission est un processus intersubjectif, on ne peut pas ignorer que l’appropriation est, dans une large mesure, un processus intrasubjectif. En outre, l’invention individuelle existe, je l’ai rencontrée ! Ceci pour répondre à Yves Clot, à Jean-Paul Bronckart et à Maria-Luiza Schubauer-Leoni. Le culturel concerne d’ailleurs tous les registres d’activité ; pas seulement le langage et les formes symboliques. Dans ma jeunesse, le saut en hauteur se faisait en ciseaux ; puis on est passé au rouleau ventral ; maintenant au rouleau dorsal. Les pratiques culturelles pèsent donc lourd, y compris dans le geste ; il reste que chaque champion développe des schèmes personnels, et qu’il invente.

8Piaget traite du rôle de l’imagination dans sa théorie de la représentation, qu’il présente comme antagonique du behaviorisme, alors dominant. Dans « la formation du symbole », il donne deux critères principaux de l’existence de la représentation chez le bébé : l’imitation différée d’un geste d’autrui (frère, parent, etc.), et l’évocation des objets en leur absence, comme dans le jeu de « faire semblant », qui occupe tant les enfants vers la même période que celle où ils apprennent à parler. Piaget n’approfondit pas pour autant la question des rapports entre langage et jeu de faire semblant. On peut d’ailleurs se poser la question de savoir si les phénomènes ciblés par Piaget sont suffisants pour constituer une théorie de la représentation. Ma réponse est plutôt « non », justement parce que l’histoire des sciences nous ouvre d’autres perspectives, avec la construction d’objets de pensée et de relations sans support direct dans la perception présente ou passée des phénomènes observables : les concepts d’attraction à distance, de molécule et d’atome, d’évolution et de gène par exemple, pour en rester à des cas bien connus. Cela ne doit pas nous conduire à minimiser la contribution de Piaget, qui a mis en évidence chez le bébé et le jeune enfant des constructions imaginaires attestées par leur activité, avec cette remarque supplémentaire que le jeu de faire semblant utilise des objets à d’autres fins que leur fonction propre, en leurs prêtant d’autres propriétés que leurs propriétés manifestes. Ce point est à rapprocher de la théorie de Pierre Rabardel sur la genèse instrumentale.

9Si je résume provisoirement mon point de vue, je peux dire que, s’il faut étudier la conceptualisation pour comprendre ce qu’est un concept, c’est parce que la connaissance est adaptation, et que c’est un processus avant d’être un produit. La clé de voûte théorique, dans l’analyse de ce processus, c’est le couple situation/schème : couple dialectique s’il en est, parce qu’on n’a pas l’un sans l’autre. Si je souligne l’orientation dialectique de mon raisonnement, ce n’est pas seulement pour des raisons philosophiques, c’est aussi parce que, dans l’analyse des processus de conceptualisation, on est souvent conduit à distinguer et à relier en même temps des concepts complémentaires. C’est le cas pour concept et théorème, et donc pour concept-en-acte et théorème-en-acte. Il faut les distinguer puisqu’un théorème (entendez une proposition) peut être vrai ou faux, alors qu‘ un concept ne le peut pas. En même temps, il n’y a pas de théorème sans concept, et pas de concept sans théorème.

10Un théorème-en-acte faux fonctionne dans l’activité de l’élève à peu près de la même manière qu’un théorème-en-acte vrai ; en ce sens qu’il a la même fonction dans la manière dont est interprétée la situation et engendrée l’activité, au fur et à mesure. Je voudrais préciser au passage que ma manière de considérer les règles présentes dans les schèmes est franchement différente de la manière dont Chomsky envisageait sa grammaire générative : Chomsky était linguiste et sa grammaire visait à engendrer les expressions bien formées de la langue. Les schèmes, eux, engendrent l’activité ici et maintenant en situation, et sont censés rendre compte du déroulement diachronique et synchronique de l’activité, que celle-ci soit adéquate ou non. Par exemple, les schèmes langagiers concernent l’énonciation et le dialogue en situation, non pas la langue. Les schèmes du tailleur de vignes, ceux du volleyeur, ceux du pilote d’avion au moment de l’atterrissage, ou ceux de l’élève en train de résoudre un système d’équations algébriques concernent l’organisation de l’activité, avec ses buts, ses règles d’action, de prise d’information et de contrôle, ses concepts et théorèmes-en-actes, ses possibilités d’inférence, ses erreurs. Le concept de règle, que partagent la grammaire générative et la théorie de l’activité, ne suffit pas pour qu’on les confonde. Il ne suffit pas non plus que l’organisation de l’activité en schèmes concerne tous les domaines d’activité pour qu’on puisse espérer réduire la complexité et la variété de ces différents domaines à quelques grandes structures, comme Piaget l’avait tenté, avec ses stades généraux de pensée. Il faut payer le prix du détail et prendre à bras le corps la spécificité des processus de conceptualisation. Pour citer un seul exemple, le développement des structures multiplicatives n’a que peu de rapports avec celui des structures additives ; et pourtant il s’agit de l’arthmétique élémentaire dans les deux cas.

11De ce fait, la catégorie du logico-mathématique de Piaget, me paraît être un obstacle épistémologique plutôt qu’une idée féconde, en raison de son caractère excessivement réducteur. La connaissance est toujours réduction, mais toutes les réductions ne se valent pas. Mon « antilogicisme », pour reprendre le terme d’Alain Trognon, n’est que relatif, mais il est réel, si l’on entend par là que je considère comme une impasse l’effort pour réduire le raisonnement et la pensée à la logique. Il n’est que relatif cependant puisque je tiens pour des acquis importants et utiles les concepts de classe et de relation entre classes, de quantificateur, ainsi que la distinction entre propositions, fonctions propositionnelles et arguments.

2. La question de la référence

12De quoi la connaissance est-elle la connaissance ? Et quelles sont les sources possibles de référence de l’enseignant pour introduire en classe des situations susceptibles d’aider les élèves à découvrir des relations nouvelles, des objets de pensée nouveaux, des phénomènes nouveaux ? Je m’en tiendrai aux mathématiques. On pourrait penser que le recours à des situations de la vie ordinaire est une idée simpliste et qu’elle manque le fait fondamental qu’il y a beaucoup d’artifice et d’élaboration dans les problèmes que se sont posés les mathématiciens au cours de l’histoire. Il est naturel dès lors qu’on recherche dans l’épistémologie et l’histoire des mathématiques les sources de possibles transpositions (du savoir savant cette fois). Il me semble pourtant qu’on peut à la fois recourir, autant que faire se peut, comme Paolo Boero, à l’expérience ordinaire des enfants, celle des achats et des jeux de société, des ombres du soleil ou de la croissance des plantes, ou imaginer, comme Régine Douady, une situation impliquant la convergence des suites. Non seulement les deux ne s’opposent pas, mais on peut même, éventuellement, greffer les deux approches l’une sur l’autre. Il existe d’ailleurs des ruptures et des obstacles épistémologiques dans les savoirs ordinaires et pas seulement dans les savoirs scientifiques.

13Lorsque j’ai essayé de classer les relations principales susceptibles de mettre un peu de clarté dans les problèmes d’addition et de soustraction, puis de multiplication et de division, j’ai d’abord été taxé par quelques personnes d’avoir une conception ouvriériste de l’enseignement des mathématiques. Cela n’a pas duré très longtemps, mais la véritable signification de ce que j’avais entrepris n’a pas pour autant été comprise. Le fait qu’il s’agisse de « structures », selon ma propre terminologie, a été interprété comme se rapportant aux structures devenues classiques de l’algèbre, surtout de la structure de groupe. On en trouve une trace dans l’intervention de Guy Brousseau. Or, la structure de groupe concerne les nombres, et ce que j’ai voulu analyser ce sont les grandeurs, leurs relations et leurs transformations. Le malentendu peut donc être substantiel entre mon propos et la manière de l’entendre. Dans mon esprit, les transformations temporelles et l’analyse dimensionnelle sont essentielles pour analyser les difficultés des élèves.

14Concernant les structures multiplicatives, par exemple, il faut partir de la proportionnalité, et considérer une fonction entre deux grandeurs variables distinctes, au mieux un quaterne de quatre grandeurs ; cela nous écarte d’emblée du modèle de la loi de composition binaire. Les rapports entre grandeurs de nature différente sont des quotients de dimensions (par exemple la vitesse est le quotient d’une distance par une durée), alors que les rapports entre grandeurs de même nature sont des scalaires sans dimension ; j’ai repris la terminologie des espaces vectoriels, justement parce que les grandeurs forment un demi-espace vectoriel et non un demigroupe. Il ne s’agit pas d’une querelle formelle, mais d’une caractérisation très importante pour analyser les schèmes auxquels ont recours les élèves. En effet, ceux-ci privilégient, dans leurs raisonnements, les relations qui expriment les propriétés d’isomorphisme de la fonction linéaire, c’est-à-dire le transport des relations additives et multiplicatives d’un ensemble de grandeurs dans l’autre.

15En outre, les grandeurs ont des mesures positives. Cela exclut la possibilité qu‘ elles aient un inverse pour l’addition ; si l’on veut trouver des objets inverses les uns des autres, il faut considérer des transformations en plus ou en moins, ou des relations orientées entre grandeurs (tant de plus que, tant de moins que). Les grandeurs ne forment pas un groupe additif, les transformations, oui !

16Ces remarques, évidemment trop brèves, permettent de comprendre pourquoi, dans l’analyse des structures additives, je me suis attaché à donner une description relativement formelle des différentes relations et des différentes classes de problèmes susceptibles d’être rencontrées, et pas seulement à lister des propositions didactiques. En fait, je le dis notamment pour Guy Brousseau, les six relations de base que j’ai dégagées ont à mes yeux la même fonction pour l’ensemble des problèmes d’addition et de soustraction, que celle d’une base de vecteurs pour un espace vectoriel. Chacune de ces relations est irréductible aux autres ; mais en se combinant, elles permettent d’engendrer un immense réseau relationnel, l’ensemble du champ conceptuel des structures additives.

17Alors pourquoi diable me suis-je lancé dans cette entreprise lorsque j’ai commencé à m’intéresser à l’apprentissage des mathématiques ? Ma réponse, cette fois, s’adresse à Jean-François Richard. J’avais travaillé sur la résolution de problèmes. En arithmétique, on se pose très vite des problèmes demandant plusieurs opérations. J’ai alors pris conscience que j’abordais avec les élèves des problèmes dont je ne savais même pas où ils se situaient dans un ensemble par hypothèse hiérarchisé. J’avais besoin d’une référence. Il me fallait donc les situer par rapport à des problèmes demandant non pas deux ou plusieurs additions ou soustractions, mais une seule addition, ou une seule soustraction. C’est ainsi qu’est née ma classification des structures additives.

18En conclusion, on ne peut pas tenir pour négligeable la distinction entre grandeur, relation, état et transformation, pas davantage qu’on ne peut gommer l’analyse dimensionnelle pour des grandeurs proportionnelles entre elles. Une épistémologie des mathématiques qui voudrait évacuer les grandeurs et s’en tenir aux nombres, et cependant théoriser sur les apprentissages élémentaires, est une impasse. L’épistémologie de l’apprentissage des mathématiques est différente de l’épistémologie des mathématiques constituées. Il m’a fallu du temps pour comprendre cela, ainsi que pour me défaire de certaines idées un peu simplistes avec lesquelles j’avais commencé à travailler : par exemple j’avais pensé au départ que peut être le fait pour l’enfant de produire lui-même la transformation d’un état initial pouvait lui rendre plus accessible l’idée d’addition que la réunion de deux ensembles. Après expérience et réflexion, je me suis rendu compte que ce qui était le plus pertinent, c’était probablement l’application d’une transformation à un état (opération unaire et non binaire, dissymétrie entre état final et état initial) non pas que la transformation soit produite par l’enfant lui-même, même si cela a son importance aussi. Il arrive souvent, dans la recherche, qu’on parte avec des idées fausses, ou en tous cas partielles, avant de pouvoir mettre de l’ordre dans sa pensée. Cela m’est arrivé à plusieurs reprises.

3. La question de la vérité et de la pertinence

19On a fait remarquer ce matin que l’expression « théorème-en-acte » pouvait prêter à confusion, et même mettre sur la défensive des personnes dont justement on souhaiterait qu’ils s’approprient l’idée. Alors pourquoi une telle expression ?

20Ma réponse doit d’abord faire appel à la distinction entre proposition et fonction propositionnelle issue des travaux de Frege et de Russel. Une fonction propositionnelle, faute d’être saturée (ce qui signifie qu’elle comporte des variables non déterminées), n’est ni vraie ni fausse. Une proposition, elle, est susceptible de vérité et de fausseté. En algèbre élémentaire par exemple, on peut aisément faire comprendre cette distinction avec les quatre expressions ci-dessous :

214 + 3 = 7 est une proposition et elle est vraie.

224 + 3 = 8 est une proposition et elle est fausse.

234 + x = 7 n’est pas une proposition mais une fonction propositionnelle ; elle n’est ni vraie ni fausse, seulement pertinente pour représenter un problème comme par exemple « il y a 7 enfants pour l’anniversaire de Stéphanie. 4 sont des filles. Combien y a-t-il de garçons ? »

24x + y = z n’est pas non plus une proposition.

25Paradoxe apparent, (x + y)(x – y) = x2 – y2 est une proposition, et elle est vraie. Pourtant x et y ne sont pas déterminées. Il faut donc préciser que cette vérité est conditionnée par l’ensemble dans lequel sont prises les valeurs de x et y, à savoir l’ensemble des nombres, ainsi que par la présence implicite de quantificateurs universels :

26quels que soient x et y appartenant à R, l’expression est vraie.

27Le premier commentaire qui s’impose ainsi est que les critères de vérité et de pertinence demandent qu’on spécifie la valeur prise par les variables d’énoncé. Mais qui dit « détermination » ne dit pas nécessairement valeur unique. La plupart des formules de mathématiques et de physique sont ainsi liées aux domaines dans lesquels peuvent être prises les valeurs des variables. Il en va de même de la conceptualisation en général. En outre, un concept, qu’il s’agisse d’un prédicat comme… +… =…, d’un objet de pensée singulier comme le nombre 4, ou d’une variable comme x ou y, n’est en aucun cas susceptible de vérité ou de fausseté.

28Mon second commentaire est donc qu’il faut absolument distinguer entre théorèmes et concepts, même si on ne peut pas imaginer de théorème sans concepts, ni de concept sans théorèmes. Faute de faire cette distinction, les théoriciens des réseaux sémantiques restent en deçà d’une théorie opératoire. Dans un calcul d’inférences notamment, on enchaîne des propositions, pas seulement des concepts ou des associations de concepts.

29Cette distinction, qui a été formulée d’abord pour des énoncés explicites, est également fondée pour des connaissances implicites, comme celles qui sont mises en jeu dans les raisonnements et inférences qui accompagnent l’action. Dans l’action, en effet, le flux de la pensée n’est pas purement associatif ; il est nourri de propositions tenues pour vraies. Parmi ces propositions certaines représentent des informations présentes dans la situation, par exemple il y a 4 filles ; d’autres, implicites, représentent des jalons indispensables à l’inférence, par exemple : « s’il y a 7 enfants en tout et 4 filles, alors il y a 7 – 4 garçons ».

30ou encore « 4 + x = 7 entraîne x = 7 – 4 ».

31On ne peut pas se passer du concept d’inférence et du modèle de la déduction pour théoriser sur le raisonnement, même si celui-ci reste implicite. Or, la déduction concerne des relations entre propositions. Même lorsqu’on semble enchaîner des fonctions propositionnelles, comme on le fait couramment dans le calcul algébrique, il existe toujours des propositions cachées tenues pour vraies. Par exemple, on tient pour vrai qu’en ajoutant un même nombre des deux côtés de l’égalité, on conserve l’égalité ou, mieux encore, on conserve les solutions de l’équation. Il y a autant de raisons théoriques de distinguer entre théorèmes-en-acte et concepts-enacte qu’il y en a de distinguer entre théorèmes et concepts ; il en va de même pour la distinction entre prédicat et argument, ou encore entre objet singulier et variable, fussent-ils tous implicites.

32Je vous propose un nouvel exemple pour illustrer la différence entre pertinence et vérité : dans une recherche qui avait été conduite dans le monde entier il y a 25 ans, Karplus avait relevé qu’une erreur était massivement faite par les élèves, aux États-Unis notamment, parfois jusqu’à l’âge de 15 ans. Il comparait deux personnages Mr Tall et Mr Short en prenant des allumettes comme mesures ; Mr Tall mesurait alors 6 allumettes et Mr Short 4 allumettes ; il changeait alors d’unité de mesure et déclarait que Mr Short mesurait 6 trombonnes. Combien de trombonnes M. Tall mesurait-il ? Une réponse massive était 8 trombonnes.

33L’erreur des élèves est facile à interpréter : au lieu de prendre le rapport entre 6 et 4 allumettes (concept pertinent), ils s’intéressaient à la différence (concept non pertinent pour la question posée) ; puis ils appliquaient implicitement un théorème d’isomorphisme faux, à savoir « la proportionnalité conserve les différences », alors que le théorème applicable est que « la proportionnalité conserve les rapports ». Pourtant, le schème utilisé par les élèves n’est pas très surprenant : quoi de plus naturel en effet que de s’intéresser aux différences entre grandeurs de même nature, surtout pour des mesures voisines ? Le concept de différence est souvent pertinent dans les problèmes de comparaison. Il ne l’est pas ici.

34J’en tire la leçon que les inférences utilisées dans l’action, de manière souvent peu explicite, peuvent être analysées et décrites dans le langage de la science. Non seulement ils le peuvent, mais ils le doivent, si l’on ne veut pas laisser s’installer une rupture dommageable entre la forme opératoire de la connaissance et sa forme prédicative. La forme prédicative de la science est évidemment essentielle, justement parce qu’elle est explicite et peut être partagée, mais une connaissance qui n’est pas opératoire n’est pas véritablement une connaissance. C’est donc un travail essentiel, pour les chercheurs, que de formuler dans des termes scientifiques les connaissances utilisées dans l’action, fussent-elles totalement implicites, voire inconscientes. Pourtant, lorsqu’il s’agit de communiquer avec les élèves, ou même avec certains enseignants, on peut se poser la question des formes le plus opportunes de mise en mots ou de mise en symboles. Ma thèse est que des formes métaphoriques utilisant des graphismes spatiaux comme les tableaux de proportionnalité pour les structures multiplicatives, et les schémas fléchés, permettent aux élèves, au cours de l’apprentissage, de saisir des propriétés essentielles des relations en jeu, et de raisonner avec : ces graphismes constituent ainsi des représentations pré-algébriques qui, comme l’algèbre, sont des aides au raisonnement ; sous certaines conditions évidemment.

4. J’en viens à ma thèse

35Quand on est jeune chercheur, on est tiré par deux ambitions :

  • La première est le souci effréné de théorie et de réduction théorique. J’entends par là que la science est réduction ou n’est pas ; et donc la question première de la recherche est celle de la réduction à un petit nombre de concepts et de relations d’un ensemble de phénomènes aussi large que possible. Evidemment, le risque est de tomber dans le réductionnisme, qui contredit en fait le principe de réduction, puisqu’il écarte justement de sa route les phénomènes qui ne rentrent pas bien dans le cadre déjà élaboré, les phénomènes de représentation pour les behavioristes par exemple.
  • La seconde est le souci d’être utile, et de contribuer à résoudre certains problèmes de la société, notamment d’éducation pour ce qui nous concerne. Cela peut être l’alphabétisation des adultes, comme Esther Grossi nous y a conviés, cela peut être l’amélioration de l’enseignement des mathématiques.

36Ma thèse se situe à l’évidence du côté de la première ambition. C’est une thèse théorique, qui s’alimente à des résultats empiriques qui restent pour moi très importants, même s’ils sont assez éloignés des questions de didactique, y compris de celles posées par la réforme dite des « mathématiques modernes » à l’occasion de laquelle j’avais pris une fonction de conseiller pédagogique à l’Ecole Active Bilingue, sous l’influence de Guilbaud et Barbut, dont le labo se trouvait à l’étage au-dessus du nôtre rue Richer, près des « Folies Bergère ». Comment allais-je observer les élèves ? Et conseiller les enseignants, dans plusieurs classes et au cours d’une même journée ?

37Jean-François Richard, en me demandant un exemplaire de ma thèse, et en m’annonçant qu’il allait en parler, m’a conduit à la relire, et à retrouver ainsi des questions qui ne m’agitent plus aujourd’hui autant qu’elles ont agité le jeune chercheur que j’étais alors. J’avais lu beaucoup déjà ; une littérature très marquée par l’héritage behavioriste pour l’essentiel ; et j’avais besoin de faire la clarté dans ma tête sur une série de modèles et de théories qui encombraient le paysage. S’il est vrai que je n’utilise qu’une seule fois le mot « schème » dans ma thèse (nobody is perfect !), c’est parce que j’étais impressionné par celui d’algorithme, dont les relations avec le concept de schème n’étaient pas encore transparentes pour moi. J’étais encore assez loin du principe que vous connaissez : « les algorithmes sont des schèmes, mais les schèmes ne sont pas tous des algorithmes ». J’étais surtout dans une position de protestation à l’égard d’idées qui me paraissaient plus perverses qu’utiles, mais qui encombraient beaucoup de discussions dans les séminaires de recherche de l’époque. Et je prenais plaisir à ce jeu de démolition, comme un gamin qui aurait donné des coups de pied dans des poubelles (l’analogie est à peine trop forte). Je vais énumérer quelques-uns de ces épouvantails contre lesquels je bataillais, et que je passe en revue dans la conclusion de ma thèse :

  • le modèle de la boîte noire, qui faisait fureur à l’époque ;
  • celui du canal de communication ;
  • le schéma du conditionnement ;
  • le classificateur, c’était la théorie d’Hayek ;
  • le servo-mécanisme.

38Je tirais profit à chaque fois de la discussion de ces modèles, qui n’étaient pas totalement nuls et non avenus, mais je les trouvais gravement insuffisants.

39Le dernier d’entre eux était la machine à calculer. Et là je me suis arrêté, provisoirement ! C’était une erreur d’appréciation, mais je n’en ai été conscient que plus tard. Pourquoi mes suis-je intéressé à la machine à calculer ? Probablement parce que j’avais entendu Newell à une école d’été et que cela m’avait conduit à lire beaucoup d’ouvrages et d’articles relevant de cette approche. J’avais même envisagé de me rendre dans des laboratoires outre-atlantique, mais l’ambassade américaine m’a alors refusé mon visa, pour la raison que j’étais communiste et que j’avais fait signer une pétition contre la guerre du Vietnam pendant une école d’été soutenue par l’OTAN : j’avais une certaine dose de naïveté.

40J’étais donc à la recherche d’un concept qui me permettrait de saisir la manière dont est engendrée une suite d’actions dans une situation de résolution de problème. Et en mathématiques le concept d’algorithme se prêtait évidemment à cela. Ce qui m’intéressait, ce n’était pas principalement les quatre opérations numériques, mais plutôt, en amont de ces opérations, le choix de l’opération et des données pertinentes.

41Je voulais aussi mettre en évidence que des conduites rationnelles pouvaient voir le jour spontanément chez des enfants jeunes, dans d’autres registres d’activité que le registre de l’arithmétique. Et j’ai donc imaginé divers dispositifs matériels dans lesquels les enfants pourraient découvrir une suite pertinente d’actions, tenant compte des relations des objets matériels entre eux : permutations d’objets, déblocage de barres encastrées les unes dans les autres. Voici un exemple de ce dernier type de situation, un peu différent de celui qu’a retenu Jean-François Richard, mais du même ordre.

Figure 1. Le dispositif des barres

42On demande à l’enfant de tirer la barre rouge, bloquée par une barre noire qu’on peut tirer directement et par une barre verte qu’on ne peut pas tirer, parce qu’elle est elle-même bloquée par une autre barre, elle-même bloquée par une troisième barre et ainsi de suite jusqu’à la dernière barre, qui permet de débloquer le tout en redescendant la suite des barres en sens inverse. Il existe aussi deux barres qu’on peut tirer (B et M), mais cela ne sert à rien.

43Dans une version du dispositif présentée seulement à des enfants plus âgés, on met un écran sur le dispositif, et on peut étudier alors la relation entre les actions du sujet et les hypothèses qu’il fait sur les relations des barres entre elles.

44Les questions théoriques mises en scène par ce dispositif sont de plusieurs ordres.

  1. Qu’est-ce qui fait la différence entre une suite d’actions et une autre ? Et peut-on mettre cette organisation en rapport avec la reconnaissance de telle ou telle propriété des relations ?
    • Notamment l’antisymétrie de la relation de blocage : « si A est bloquée par B, B n’est pas bloquée par A »,
    • Et la transitivité des règles d’action « s’il faut tirer C pour tirer B, et B pour tirer A, alors il faut tirer C pour tirer A ».
  2. Que retient un enfant lorsqu’on lui demande un dessin ? Ce qui lui sert dans l’action ? Aperçoit-il les propriétés pertinentes du dispositif s’il a un accès visuel ? Ou en fait-il l’hypothèse si le dispositif est caché ?
  3. La représentation du but est-elle présente tout au long de l’activité ? Cela suffirait à soi seul à invalider le behaviorisme et son impasse sur le concept de représentation.
  4. Utilise-t-il une information partielle (permise par une ouverture locale dans le disque et permettant de voir par exemple que la barre jaune est encastrée dans la barre verte), pour faire des hypothèses raisonnables sur les parties cachées du dispositif ?

45J’ai pu ainsi mettre en évidence plusieurs algorithmes spontanément mis en œuvre par les enfants, et donc inventés par eux en situation.

  • Chez les plus jeunes, à partir de 4 ans 1/2 ou 5 ans, l’algorithme utilisant la propriété d’antisymétrie ;
  • Chez les plus âgés, à partir de 7 ou 8 ans, l’algorithme utilisant la transitivité. Il faut bien comprendre que la transitivité ne porte pas sur la relation d’encastrement, laquelle n’est effectivement pas transitive, mais sur la règle d’action implicite. En d’autres termes on n’échappe pas à l’idée que la représentation permet des calculs en situation (des inférences) qui ne sont pas contenus dans la perception du réel.

46Il y a d’autres résultats intéressants dans les données que j’ai alors recueillies. Ainsi les plus petits étaient parfois incapables de dessiner autre chose que les bouts dépassant du dispositif, ou encore des barres alignées côte à côte. C’est bien l’idée de boîte noire, mais elle ne conduit nulle part. On observe également une procédure systématique, qui consiste à tirer les barres dans l’ordre, en tournant autour du dispositif. On pourrait considérer ce schème comme un algorithme, puisqu’il permet d’aboutir à tirer la barre rouge au bout d’un nombre fini de tours. Dans la littérature de l’époque, on parlait de l’algorithme du British Muséum, puisque l’épuisement de la procédure tient au nombre fini des possibilités, comme dans un catalogue de musée. Mais c’est évidemment autre chose d’aboutir en raison de la relation de nécessité, susceptible d’être découverte en situation, entre les règles d’action à l’œuvre et les relations des objets entre eux. Le caractère fini de la suite d’actions n’est pas suffisant pour parler d’algorithme ; on a aussi besoin de l’idée de nécessité puisque c’est elle qui assure la rationalité de l’action, par la relation entre les propriétés des objets et celles des règles d’action. En tournant autour, aucun enfant ne réussit, sauf lorsqu’il y a un écran et seulement après 12 ans en gros.

47Faisons un pas théorique de plus. Parmi les influences reçues de Pierre Gréco, et dont j’ai pris une nouvelle fois conscience en relisant ses travaux dernièrement, j’ai élaboré à partir d’une distinction qu’il avait faite entre situations nécessaires, situations déterminées, situations régulières et situations aléatoires. J’étais convaincu comme lui de l’importance de la catégorie des situations nécessaires dans le développement cognitif. Il faut bien mesurer que c’est Piaget, le premier dans l’histoire, qui a saisi et illustré ce changement qualitatif qu’est le changement de camp du sentiment d’évidence au cours du développement ; à 5 ans la plupart des enfants ne « conservent » pas les quantités discrètes : ils trouvent qu’il y a plus de coquetiers parce que c’est plus long, ou parce que c’est plus serré (c’est pour eux évident !) ; deux années plus tard ils trouvent évident que c’est la même chose, puisqu’on n’a rien ajouté ni rien enlevé, qu’on peut revenir comme c’était avant, et que c’est plus long mais moins serré ; l’évidence a changé de camp.

48Mon idée a alors été que c’est dans les situations nécessaires que se forme la rationalité, laquelle émigre ensuite vers les situations non nécessaires. J’ajoutais que les situations productives, dans lesquelles le sujet est le seul agent du changement, ont un privilège sur celles dans lesquelles l’agent du changement est extérieur, ou mixte (à la fois le sujet et l’extérieur). Par contre, je trouvais peu de différence entre les catégories du régulier et du déterminé puisque, dans les deux cas, le sujet n’a pas accès aux mécanismes et processus qui engendrent les régularités. J’aboutissais ainsi à un tableau de 9 catégories de situations :

Nécessaires

Régulières

Aléatoires

Productives

Passives

Interactives

49Et j’avançais la thèse, qui n’a jamais été reprise depuis, ni par moi ni par d’autres, que la rationalité se développe à partir des situations nécessaires et productives, et émigre vers les autres situations grâce à des théories et modèles hypothétiques au départ. En physique par exemple, on a affaire à des régularités en grand nombre et à des aléas ; il existe bien des relations nécessaires, mais elles se situent au niveau de la théorie (qui est autant mathématique que physique), pas au niveau des régularités phénoménales. La rationalité mathématique, qui se construit de manière privilégiée à travers l’expérience de l’espace, des relations entre quantités discrètes et des relations entre grandeurs continues, spatiales ou non, est une puissante métaphore pour l’intelligibilité des autres phénomènes. Si les situations dites « dynamiques », étudiées notamment par Janine Rogalski et Renan Samurçay, sont si difficiles à maitriser par l’homme, c’est parce qu’elles sont à la fois aléatoires et interactives (la case en bas à droite du tableau).

50Ce n’était pas une idée allant de soi, à l’époque de ma thèse, que de coupler les deux idées du nécessaire et du productif pour cerner les situations susceptibles d’offrir aux enfants la possibilité d’un sentiment d’évidence dans l’action. On est loin ainsi de la conception empiriste qui considère que la connaissance est une lecture et un enregistrement des régularités du réel. On voit aussi à quel point a marqué mon esprit la découverte de Piaget concernant le changement de camp de l’évidence chez les enfants, au cours de leur développement. Ni Platon, ni Aristote, ni Descartes, ni Kant n’ont saisi ce point, essentiel pour le constructivisme, et pour l’éducation.

51Et Vygotski alors ? J’avais lu Vygotski au moment de la publication en anglais de son ouvrage principal « Pensée et langage » (1962), mais je n’avais pas alors les catégories de pensée qui m’auraient permis d’en voir la portée. C’est donc beaucoup plus tard que j’ai découvert ses idées les plus originales à mes yeux, celles qui annoncent la didactique, et qui complètent plus qu’elles ne contredisent les idées de Piaget.

5. En conclusion…

52Je reviens sur le concept de schème. Le terme ne figure qu’une fois dans ma thèse. Dont acte ! Mais ce n’est pas un argument suffisant pour mettre en doute le fait que ce concept occupait déjà totalement mon esprit. Saussure est considéré comme un représentant exemplaire et fondateur du structuralisme ; pourtant le terme « structure » ne figure que trois fois dans le manuscrit qui a été retrouvé il y a quelques années. De même Newton, qui est le premier à avoir rendu indépendantes force et vitesse en mécanique, n’en utilise pas moins le mot « force » à plusieurs reprises avec un sens plus proche de celui de vitesse que de celui d’accélération. La forme prédicative de la connaissance est toujours en deçà de la forme opératoire, laquelle peut demeurer implicite dans des raisonnements et des conceptions utilisées dans l’action. Les processus de conceptualisation scientifique demandent des années, la forme prédicative de cette conceptualisation aussi. J’ai pu l’apprécier en travaillant avec les ingénieurs de conception de l’Aérospatiale, chez lesquels on observe à la fois la longue durée du processus par lequel ils deviennent experts (quand ils le deviennent, puisque tous ne le deviennent pas), et la difficulté avec laquelle ils restituent dans leurs écrits les connaissances qu’ils utilisent dans l’action et qui sont justement constitutives de leur expertise. Si le concept de schème est délicat à comprendre et à utiliser, il arrive que ce soit par l’intermédiaire des théorèmes-en-acte que la différence s’impose entre un schème et un autre. Je m’explique brièvement. Dans une approche développementale des compétences, on a besoin d’identifier le mieux possible ce qui fait la différence entre une manière de s’y prendre et une autre. Il est difficile de décrire et analyser les règles qui engendrent les ressemblances et les différences qu’on observe. Souvent ce sont les propositions tenues pour vraies dans l’activité (les théorèmes-en-acte) qui permettent de formuler ce qui fait la différence entre un moment de développement et un autre, ou encore entre un individu plus expert et un individu moins expert.

53Un mot encore sur Piaget pour terminer. Il faut lui rendre hommage d’avoir développé le concept de schème sur le versant de l’activité, notamment des gestes, avec ses observations sur les bébés. Il a ainsi fait un important pas en avant par rapport à Revault d’Allonnes, qui a écrit des choses remarquables sur les schèmes, mais avec une conception orientée par l’exemple de la perception ; et même de l’aperception (la saisie rapide d’une scène, par exemple d’une jolie femme qui passe).

54Piaget a eu tort d’utiliser l’expression « sensori-moteur » pour les schèmes, fussent-ils ceux du bébé, puisqu’ils sont en fait « perceptivo-gestuels » : la perception et la prise d’information sont organisées, les gestes aussi évidemment. Compte tenu de l’avancée accomplie par Piaget, on peut considérer que c’est une faute vénielle, et je veux bien en tomber d’accord ; mais en même temps le geste est un modèle d’une telle fécondité pour la théorie psychologique (le geste du sportif, de l’artisan, de la danseuse, du convalescent après un trauma crânien) qu’on ne peut pas se contenter d’une expression approximative, et de définitions imprécises, insuffisamment analytiques. Le détour par le concept d’algorithme m’a, tous comptes faits, été utile. C’était le moyen pour moi de capitaliser sur Piaget, après Piaget.

6. Le CD-Rom

55Il n’y a pas de conclusion, dans une rencontre, sans que déjà des contributions aillent au-delà de ce qui avait été attendu, et au-delà des réponses susceptibles d’être faites à l’issue des premiers commentaires présentés. Le CD-Rom qui accompagne l’ouvrage imprimé fait intégralement partie du message issu du colloque. Il ouvre des pistes de recherche nouvelles, et ce sont les mauvaises conditions de l’édition scientifique aujourd’hui, qui ont conduit à rechercher, pour une partie des contributions, un support moins coûteux que le support papier. Ces contributions sont regroupées par grands thèmes, eux-mêmes présentés par Maryvonne Merri, Isabelle Vinatier, Jeanne Guiet-Sylvain et François Cauvin, dont les textes introductifs à chaque thème sont particulièrement utiles au lecteur.

56Le premier thème (schèmes et situations) regroupe les contributions de Jean-Charles Lebahar, de Jean-Pierre Levain, de Rémi Brissiaud et Emmanuel Sander, de Jeanne Guiet, de Christine Del Notaro, de Jean Pierre Froment et d’Anastassios Koutsoukos. Entre l’architecture, les mathématiques, la technologie et le grec ancien, il n’y a de rapprochement possible que par la théorie : c’est justement ce que montre Maryvonne Merri en retenant principalement l’idée d’incertitude dans l’activité de résolution de problème, et celle de modification de l’architecture des connaissances en cours d’activité et par l’activité. Théorie du fonctionnement en situation et théorie du développement s’appuient ainsi l’une l’autre.

57Le second thème (champs conceptuels et champs professionnels) regroupe les contributions d’Alain Lerouge, de Jacques Fossati et Christian Reynaud, de Nadja Acioly-Régnier, de Maria-Teresa Carneiro-Soares, de Gregory Munoz, de Line Numa-Bocage, de Patricia Nebout-Arkhurst, et d’Isabelle Vinatier, qui signe aussi la présentation du thème. La didactique professionnelle ne peut se référer à une seule discipline, et, de ce fait, elle doit combiner plusieurs champs conceptuels, y compris pour la formation des enseignants. L’analyse des interactions verbales, qui jouent un rôle important dans l’exercice de la profession d’enseignant comme d’ailleurs dans de nombreuses autres professions, appelle des théories complémentaires de celles de la conceptualisation dans l’action : elles relèvent principalement de la linguistique pragmatique.

58Le troisième thème (l’individuel, le collectif et le culturel dans la conceptualisation) regroupe les contributions de Jeanne Guiet, de Maria-Helena Favero, de Sylvie Delacours-Lins, de Jean-François Marcel, de Saoudi Hayet et Laurence Simonneaux, de Jean Simonneaux, de Leny Teixeira, de Pascale Verdier, de Philippe Veyrunes et Marc Durand. Il faut qu’une conceptualisation venue de l’extérieur fasse ses preuves si l’on veut que l’individu dépasse la sienne. Cela est plus vrai encore pour les connaissances en sciences humaines qu’en physique ou en mathématiques. Et pourtant la plupart des connaissances et des compétences qui doivent être appropriées à l’école sont ce que la culture a produit, à travers le travail, l’école et la formation. Le rôle de l’enseignant dans les transpositions nécessaires est évidemment crucial.

59Le quatrième et dernier thème (connaissances implicites, explicites et perception : regards croisés) regroupe les contributions de François Cauvin, de Naïm El Rouadi, de Maria Lucia Faria Moro, de Zacharoula Smyrnaiou et Annick Weil-Barais, d’Alain Trognon, Christine Sorsana, Martine Batt et Dominique Longin, de Jean Jacques Maurice, de Christine Pierrisnard, de Rabah Keddouri, de Roja Bagheri, Patrice Venturini et Richard Lefevre. Elles permettent d’aborder des questions peu présentes dans les autres parties du colloque, comme celle des aspects temporels critiques dans l’apprentissage, et celle de la perception. Pourtant elles rejoignent certaines des préoccupations le plus soulignées, notamment celle des processus de médiation.

Table des illustrations

Légende Figure 1. Le dispositif des barres
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