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Activité humaine et conceptualisation

 | 
Maryvonne Merri

Troisième partie. Plus loin sur la conceptualisation

La compréhension des fractions chez les enfants1

Terezinha Nunes, Peter Bryant, Ursula Pretzlik, Daniel Bell, Deborah Evans et Joanna Wade

Texte intégral

1. Introduction

  • 1 Ce projet a été supporte par le ESRC Teaching and Learning Research Programme. Le temps consacré à (...)

1L’impact des situations sur le développement des concepts mathématiques mis en avant dans la théorie de Vergnaud (1997) a inspiré de nombreuses recherches. On sait aujourd’hui que la taille des nombres fait varier non seulement le taux de réponses correctes mais également les stratégies pour résoudre le problème (Carpenter & Moser, 1982 ; Vergnaud, 1982 ; 1983b). Étonnamment, aucun travail similaire de comparaison systématique n’a été développé dans le domaine des nombres rationnels. Cet article met en évidence la façon dont les situations affectent la compréhension de l’équivalence des fractions chez les enfants. L’équivalence a été choisie en raison du rôle central qu’elle joue dans le concept de nombre rationnel.

2Les deux premières parties de ce texte décrivent brièvement le cadre théorique de notre analyse, intégrant la logique des fractions et une classification des situations. Les parties suivantes décrivent les résultats d’enquêtes empiriques sur l’effet des situations de résolution de problèmes sur le taux de réponses correctes et les stratégies de résolution de problème.

2. L’importance de l’équivalence dans le domaine des nombres rationnels

3Selon Piaget « Un nombre est à la fois une classe et une relation asymétrique » (1952). Par classe, il entend que pour pouvoir comprendre la cardinalité, un enfant doit comprendre que tous les ensembles de trois éléments, par exemple, appartiennent à la même classe – ils sont équivalents en nombre. Le langage pourrait en principe faciliter la compréhension de la logique des classes dans le domaine des nombres entiers. Cependant, il ne peut pas jouer le même rôle pour les nombres rationnels : dans ce domaine les enfants devront comprendre que 1/2, 2/4, 3/6 etc. sont représentés par différents signes oraux et écrits tout en désignant des quantités équivalentes.

3. Une catégorisation des situations

4Différentes catégorisations de situations dans lesquelles interviennent des nombres rationnels ont été proposées par des auteurs tels Kieren (1988), Behr, Lesh, Post, et Silver (1983), Ohlsson (1988) et Mack (2001). Cependant les critères utilisés pour catégoriser les situations sont confus. Dans cette recherche, nous comparons deux situations, une situation de partie-tout et une situation de quotient, appartenant à deux des quatre catégories de situations dans lesquelles sont utilisés les nombres rationnels.

5Nous distinguons les situations selon le sens des symboles numériques utilisés :

3.1. Les situations « partie-tout »

6Les situations de partie-tout sont souvent utilisées pour enseigner les fractions aux enfants. Il y a une unité – une quantité continue – divisée en parties égales : le dénominateur exprime le nombre de parts égales par lesquelles l’unité a été divisée et le numérateur exprime le nombre de parts prises. Par exemple, si quelqu’un a mangé 3/4 d’un gâteau, cela signifie que le gâteau était divisé en 4 parts égales et que la personne en a mangé 3.

3.2. Les situations « quotient »

7La situation « quotient », la plus typique utilisée avec les enfants, implique le partage de quantités continues, où le numérateur représente le nombre de choses à partager – par exemple le nombre de barres de chocolat – et le dénominateur représente le nombre de personnes recevant du chocolat. Dans cette situation, la fraction 3/4 signifie 3 barres de chocolat partagées entre 4 enfants. Trois divisé par quatre étant égal à 3/4, ce nombre représente la fraction d’une barre de chocolat qui a été reçue par chaque enfant, sans tenir compte de comment le chocolat a été coupé (on pourrait couper 2 chocolats en 2, un en 4 et donner une moitié et un quart à chaque enfant).

3.3. Les fractions comme opérateurs

8Les fractions ont le statut d’opérateurs lorsqu’elles sont utilisées en conjonction avec un nombre entier qui représente une quantité discrète– par exemple 3/4 de 24 billes. Dans ce cas, le dénominateur indique une division et le numérateur indique une multiplication : en divisant 24 par 4 et en multipliant le résultat par 3 nous trouvons combien de billes correspondent à 3/4 d’un lot de 24 billes. Remarquons que les nombres 3 et 4 ne font pas référence à des billes, mais à des groupes de billes résultant de la division de 24 billes en 4 groupes.

9Malgré les différences de significations des nombres dans ces trois premières situations, elles ont en commun le fait qu’ils se réfèrent à des quantités extensives (Voir Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960, pour une discussion sur les situations partie-tout). Cela signifie qu’un nombre fractionnaire – par exemple 3/4 – représente la même quantité seulement si la quantité totale est la même. Si Paul mange 3/4 d’un petit gâteau et Mary mange 3/4 d’un gros gâteau, ils mangent une quantité différente de gâteau. Pareillement, si 3 petites barres de chocolat sont partagées entre 4 garçons et 3 grosses barres de chocolat sont partagées entre 4 filles, les portions des garçons et des filles sont différentes. Ceci s’applique également aux fractions avec le statut d’opérateur : 3/4 d’un lot de 12 billes et 3/4 d’un lot de 24 billes réfèrent à un nombre de billes différent. Ainsi, une opération qui change l’unité dans ces trois situations et une opération qui change les quantités.

10Les choses sont différentes dans les situations dans lesquelles les fractions sont utilisées comme des mesures de quantités intensives – par exemple, la probabilité d’un événement ou encore la concentration d’un mélange d’eau et de sirop d’orange. La probabilité de piocher une bille bleue dans un sac de 12 billes dont 3 sont blanches et 9 sont bleues, est la même que la probabilité de piocher une bille bleue dans un sac de 24 billes dont 6 sont blanches et 18 sont bleues. Pareillement, la concentration de sirop d’orange est la même si on mélange 1 verre d’eau avec 3 mesures de sirop d’orange ou si l’on mélange 2 verres d’eau avec 6 mesures de sirop d’orange. Quand les fractions sont utilisées comme mesure de quantités intensives, les différences de taille du tout ne changent pas la quantité : seul un changement de proportion entre les deux quantités est une opération qui change les quantités.

11Pour éviter la confusion, il faut signaler que nous utilisons souvent des nombres fractionnaires dans des situations partie-tout dans lesquelles le tout correspond à une unité conventionnelle d’une quantité continue – par exemple un mètre ou un kilo. Dans ces situations, le numérateur et le dénominateur ont le même sens que dans une situation partie-tout : 3/4 de pouce (unité de mesure anglo-saxonne) exprime la portion équivalente au résultat de la division d’un pouce en 4 parts égales puis à l’action d’en prendre 3. Il ne faut pas confondre cela avec l’utilisation des fractions en tant que mesure de quantités intensives.

12Cette brève analyse différencie les situations où les fractions sont utilisées, et permet d’identifier les raisons possibles de la variation de conduite des élèves selon les situations. Pourtant, les preuves disponibles à ce jour n’ont pas permis de mettre en évidence si les enfants utilisent des stratégies différentes pour résoudre les problèmes, et s’ils montrent des niveaux différents de réussite dans les différentes situations. Pour des raisons de place, seuls les résultats concernant deux de ces situations seront présentés ici : les situations de partie-tout et une situation de quotient. Nous présenterons d’abord le taux de réussite des enfants dans une étude micro-génétique concernant l’équivalence des fractions.

4. Une enquête quantitative sur la performance des enfants

13Nous avons testé 130 enfants sur les fractions, le test étant adapté de CSMS Fraction 1 Paper (Hart, Brown, Kerslake, Kucherman, & Ruddock, 1985) pour les élèves d’école primaire. Le test comprend des questions d’équivalence présentées dans des situations de partie-tout et de quotient. Les élèves de notre étude appartiennent à trois écoles différentes de la région d’Oxford, et sont âgés de 7 ans et 9 mois à 10 ans et 2 mois. Ils sont soit dans leur quatrième soit dans leur cinquième année d’école. En classe, ils ont appris les fractions dans un contexte de partie-tout, mais pas encore dans les situations de quotient.

14Les questions sont présentées en utilisant des images projetées sur écran et également imprimées sur le livret de réponses des enfants. Les instructions sont données oralement. Il y a trois questions partie-tout et quatre questions de quotient. La proportion de bonnes réponses est de. 31 (SD=. 39) pour les questions d’équivalence partie-tout et de. 73 (SD=. 37) pour les problèmes de quotient, la différence entre ces moyennes étant significative d’un point de vue statistique. Les résultats des deux groupes d’âges sont meilleurs pour les situations de quotient que les situations de partie-tout, bien que les enfants n’aient appris les fractions en classe que dans les situations de partie-tout.

15Ces résultats suggèrent l’importance d’interviewer les enfants sur les fractions pour obtenir plus d’information sur leurs stratégies pour résoudre les problèmes. Les enquêtes précédentes se sont souvent centrées sur les arguments utilisés par les enfants dans les situations de partie-tout. Les stratégies principales décrites sont la partition (c’est-à-dire représenter l’unité et ses divisions et faire une comparaison perceptive) et les comparaisons numériques où les enfants se centrent soit sur le numérateur, soit sur le dénominateur, soit sur les deux. Les comparaisons numériques se font parfois par addition, parfois par multiplication. En raison de la pauvreté de l’information relative aux stratégies utilisées dans les situations de quotient, notre étude a cherché à documenter ces dernières.

5. Comprendre l’équivalence dans les situations de quotient : une analyse qualitative

16Nous avons effectué une série d’interventions micro-génétiques avec des enfants de quatrième et de cinquième année (le même groupe d’âge que dans la première étude) dans des sessions menées en petits groupes.

17En travaillant avec des petits groupes animés par un chercheur en dehors de la classe, il devenait possible d’observer la réaction des enfants quand ils faisaient face à une difficulté dans le jugement d’équivalence, et essayaient de la résoudre en suivant un indice donné par le chercheur pour encourager des stratégies utilisées dans des situations de part-unité ou de quotient. Les groupes étaient constitués de 4 à 6 enfants. Certains problèmes ont été extraits de Streefland (1997) tandis que d’autres étaient similaires à ceux de Streefland tout en ayant été créés pour cette étude.

18Les arguments des enfants pour soutenir l’idée d’équivalence ou de non-équivalence ont été transcrits. L’échantillon d’arguments analysé ci-dessous provient d’un problème impliquant l’équivalence de 1/3 et 2/6. Ce problème est présenté lors de la deuxième session avec le chercheur. Durant la première session, les enfants avaient à résoudre un problème à propos d’un partage de 3 barres de chocolat entre 4 enfants, et indiquaient quelle fraction de barre de chocolat chaque enfant recevait. Le problème de la deuxième session est le suivant :

Six enfants vont dans une pizzeria et commandent deux pizzas. Le serveur apporte d’abord une pizza, et ensuite l’autre. Comment peuvent-ils partager la première pizza ? Et la deuxième ? Quelle fraction de pizza reçoit chaque enfant à la fin ? Auraient-ils pu partager différemment si le serveur avait amené les deux pizzas en même temps ? Quelle fraction aurait eue chaque enfant ? Mangeraient-ils la même quantité s’ils partageaient de façon différente ?

19Dans le dialogue ci-dessous, la lettre R désigne le chercheur, les autres lettres désignent les enfants :

20R : Quelle fraction de la première pizza reçoivent-ils ?

21M : Un sixième.

22R : Pourquoi ?

23M : Parce qu’il y a six enfants, alors ils partagent la pizza en sixièmes [rien n’est dessiné sur le schéma]...

24R : S’ils reçoivent un sixième de cette pizza et un sixième de l’autre, combien de sixièmes est-ce qu’ils reçoivent en tout ?

25St : Deux sixièmes...

26R : [Si le serveur amenait les pizzas en même temps], comment pourraient-ils partager de façon différente, quelles sont les deux façons dont ils peuvent les partager ?

27G : Ils peuvent les partager en tiers.

28ST : Ceux-là reçoivent un tiers de celle-là, et ceux-là reçoivent un tiers de celle-là.

29Lorsque l’on demande aux élèves si les enfants recevraient la même quantité de pizza, la plupart d’entre eux répond, sans le moindre doute, que les enfants mangeront la même quantité de pizza s’ils mangent 2/6 ou 1/3. L’équivalence de ces fractions est si évidente qu’il est parfois difficile d’obtenir un argument verbal. Cependant, il est possible d’obtenir des justifications en demandant aux enfants pourquoi ils pensent que 2/6 et 1/3 sont équivalents.

30Nous avons classé les arguments des enfants en différentes catégories, présentées ci-dessous avec des exemples illustratifs. Certains exemples sont illustrés avec des affirmations verbales, d’autres avec les dessins des enfants.

5.1. Division juste et complète basée sur la correspondance entre les objets partagés et les personnes qui reçoivent de la pizza

« Parce que ça n’a pas vraiment d’importance quand ils partagent, parce que quand ils la partagent en trois, ces trois-là la prennent et la pizza est finie, et ces trois-là partagent celle-là et cette pizza est finie. Quand ils la partagent, ils la partagent de façon juste et les pizzas sont finies. [L’argument semble être basé sur l’idée d’une division complète et juste de la même unité].

31La figure 1 montre un dessin fait par un enfant en train d’analyser si les fractions sont équivalentes. Cet enfant n’a pas utilisé les images fournies avec le problème et a créé des représentations schématiques sur une autre page. En haut à gauche, l’enfant a divisé la première pizza en 6 parts et a montré la correspondance avec les enfants, représentés par des traits. Le dessin du bas est plus schématique : la pizza n’est pas divisée, seule la correspondance est indiquée. Sur la droite, 2 pizzas sont divisées en 3 parts et les enfants qui reçoivent chaque part ne sont plus représentés que par des points. Une comparaison perceptive des parts n’est pas possible : seule la logique de correspondance et de juste partage soutient l’argument d’équivalence.

Figure 1. Correspondance et division complète

5.2. Raisonnement d’échelle

Je l’ai partagée [la pizza] en tiers et j’ai partagé les filles en deux [l’enfant indique par gestes qu’une pizza est la moitié de toutes les pizzas].

32La figure 2 montre un dessin illustrant un raisonnement d’échelle. L’enfant a marqué les divisions sur la pizza présentée dans le problème (la pizza du bas) pour la première partie du problème et a réalisé que chaque enfant reçoit 1/6 de la première pizza. Comme la même chose s’applique à la deuxième pizza, il ne l’a pas marqué sur le dessin. Quand on lui demande comment les enfants effectueraient le partage si les deux pizzas étaient servies en même temps, l’enfant a dessiné une ligne séparant les enfants en deux groupes égaux. Il a également dessiné des lignes entre la pizza de dessous et les trois enfants sur la gauche, et entre la pizza du dessus et les trois enfants sur la droite. Il a dessiné des parts au dessus de la tête de chaque enfant, montrant que tout le monde aurait une part. Ainsi une pizza, qui est la moitié du nombre total de pizzas, est donnée à la moitié des filles. Le dessin suggère l’utilisation d’un raisonnement d’échelle. Remarquons qu’une comparaison perceptive n’est pas possible mais que l’enfant parvient à une conclusion ferme sur l’équivalence des fractions.

Figure 2. Raisonnement d’échelle

5.3. Diviser

33Certains enfants ont utilisé une stratégie de division, coupant une pizza (souvent une pizza qu’ils dessinent eux-mêmes) en six et une autre en trois et en les comparant de façon perceptive. Ces enfants étaient souvent incapables de parvenir à une conclusion sur l’équivalence de 2/6 et 1/3 à partir de leurs dessins et ne pouvaient proposer aucun argument logique dans la discussion. Leur stratégie était d’essayer de résoudre le problème par le moyen d’une comparaison perceptive. La Figure 3 illustre cette stratégie.

Figure 3. Division

5.4. Arguments numériques sans référence au contexte

« Parce qu’un tiers est un tiers de trois et deux sixièmes est un tiers de six. »

34Cette justification semble être basée sur des relations numériques sans référence au contexte et sans que l’enfant parvienne à cette conclusion au cours de la discussion.

5.5. Un argument d’algèbre

35Un enfant écrit 2/6 + 2/6 + 2/6 = 6 et 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3 et dit : Il y a deux sixièmes [montrant le premier 2/6 sur la page], on ajoute deux sixièmes trois fois pour faire six. Avec un tiers, il faut ajouter un tiers trois fois pour faire trois tiers. [Ceci est un argument d’algèbre basé sur la comparaison de parties : si a + a + a = b + b + b, alors a et b doivent être pareils, peu importe comment on les appelle].

36Aucun autre exemple de cet argument n’a été observé.

6. Conclusions

37L’étude brièvement rapportée montre que la signification des fractions diffère selon les situations, et que ces différences affectent le taux de réussite des enfants dans la résolution de problèmes. L’analyse des arguments des enfants sur l’équivalence dans les situations de quotient a mené à l’identification de stratégies comme la correspondance, et les arguments verbaux, comme le partage juste et complet, qui n’étaient pas documentés auparavant. Pour des raisons de place, il n’est pas possible de discuter en détail ici des méthodes et des résultats. Cependant, nous espérons avoir fourni suffisamment d’informations pour montrer qu’il est urgent que des comparaisons systématiques supplémentaires soient effectuées entre les différentes situations qui donnent un sens aux fractions.

Notes

1 Ce projet a été supporte par le ESRC Teaching and Learning Research Programme. Le temps consacré à ce projet par T. Nunes a été financé par le British Academy Research Readership. Nous remercions ces institutions pour leur soutien et nous remercions vivement les enseignants et des élèves qui nous ont généreusement donné de leur temps.

Table des illustrations

Légende Figure 1. Correspondance et division complète
URL http://books.openedition.org/pumi/docannexe/image/6040/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 78k
Légende Figure 2. Raisonnement d’échelle
URL http://books.openedition.org/pumi/docannexe/image/6040/img-2.jpg
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Légende Figure 3. Division
URL http://books.openedition.org/pumi/docannexe/image/6040/img-3.jpg
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© Presses universitaires du Midi, 2007

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