1. Introduction

1Les questions de vérité, de nécessité et de certitude sont tout à fait cruciales dans la classe de mathématiques et participent fondamentalement du processus de conceptualisation. Pour les analyser, la logique des prédicats offre des ressources dont on ne saurait se passer. En effet, comme l’écrit Gérard Vergnaud :

« Concepts et théorèmes explicites ne forment que la partie visible de l’iceberg de la conceptualisation : sans la partie cachée formée par les invariants opératoires, elle ne serait rien. Réciproquement on ne sait parler des invariants opératoires intégrés dans les schèmes qu’à l’aide des catégories de la connaissance explicite : propositions, fonctions propositionnelles, objets-arguments»1 (Vergnaud, 1990, p. 145).

2Cependant, si la vérité et la nécessité sont, généralement, reconnues comme étant relativement objectives et comme relevant de « la province de la logique »2, la question de la certitude est en général plutôt considérée comme étant du côté du sujet. Pour autant, cette notion peut également avoir une dimension collective, y compris dans la classe de mathématique, et entretient, dans ce contexte, des relations avec les notions de vérité et de nécessité. La logique est une des disciplines qui s’occupent de ces questions, avec d’autres dont naturellement la psychologie. De nombreux travaux ont mis en évidence le fait que la logique propositionnelle ne rendait pas compte de manière satisfaisante des modes de raisonnement des sujets. Nous avons montré (Durand-Guerrier, 1995, 1996, 1999) que la logique des prédicats permet d’en rendre compte de manière beaucoup plus fine, et par conséquent de réduire l’écart supposé entre la logique de sens commun et la logique à l’œuvre dans la classe de mathématiques. Pour aborder les questions de vérité, de validité et de nécessité, nous nous référons aux travaux du logicien polonais Alfred Tarski (1902-1983), l’un des fondateurs de la sémantique logique. Tarski (1936)3 propose une théorie sémantique de la vérité dont le projet est de rendre compte de la notion de vérité, dans laquelle il cherche « à saisir les intuitions exprimées par la théorie dite « classique » de vérité, c’est-à-dire par cette conception selon laquelle « vraiment » signifie la même chose que « conformément à la réalité » (VIII, p. 160). Pour définir le concept central de conséquence logique, il donne la première définition rigoureuse de la notion de modèle et définit en 1955 le terme de théorie des modèles dont Sinaceur (1991) a montré de façon magistrale toute la fécondité pour le développement de l’algèbre réelle.

« (…) Tarski élargit le spectre des concepts méta mathématiques propres à permettre d’établir des rapports entre forme et contenu. Plus encore, il définit un type de rapport original où il n’est pas plus question de renoncer aux avantages de la formalisation et de l’analyse syntaxique permise par cette dernière qu’à l’exigence d’en réinvestir les résultats au niveau des contenus mathématiques, à leur donner une interprétation mathématique concrète » (Sinaceur, 1991, Corps et modèles, p. 313).

3Ce que nous souhaitons montrer c’est la fécondité de cette approche pour les analyses didactiques, y compris pour des situations plus près des activités ordinaires. La situation que nous avons choisie est extraite du Kangourou des mathématiques 1994 pour la classe de quatrième4. Cette situation, très simple a priori, recèle des difficultés insoupçonnées, que l’analyse logique dans le cadre de la théorie élémentaire des modèles permet de mettre en évidence. Au paragraphe II, nous proposons quelques éléments de théorie élémentaire des modèles qui nous permettrons d’une part de revenir sur la notion de théorème-en-acte au paragraphe III, et d’éclairer nos analyses de la situation extraite du Kangourou des Mathématiques présentées au paragraphe IV d’autre part.

2. Aperçus sur la théorie élémentaire des modèles

2.1 La définition sémantique de la vérité et la notion de modèle d’une formule

4En 1955, Tarski choisit d’appeler Théorie des modèles la nouvelle discipline dont il a jeté les bases en introduisant les concepts sémantiques de satisfaction d’une formule, de conséquence logique, de définissabilité. En 1936, il avait introduit la définition sémantique de la vérité, souvent appelé théorie de la vérité correspondance. Au cœur de ce travail d’élaboration, se trouve la notion d’interprétation d’une fonction propositionnelle d’un langage donné dans un « domaine de réalité » par une phrase ouverte. On dira que : Pour tout a, a satisfait la fonction propositionnelle « x est blanc » si et seulement si a est blanc. De ceci on peut inférer que la neige satisfait la fonction propositionnelle « x est blanc ». D’où la proposition « la neige est blanche » est vraie si et seulement si la neige est blanche (Tarski, La conception sémantique de la vérité et les fondements de la sémantique, 1944, p. 271). C’est ce que l’on appelle communément la convention T. Tarski met cette définition de la satisfaction en rapport avec les constructions mathématiques dans l’algèbre scolaire concernant « les fonctions propositionnelles d’un type spécial dites équations et où l’on appelle racines des équations les nombres qui satisfont ces fonctions » (VIII, p. 193). Tarski fait remarquer que, dans cette définition, les propositions sont traitées comme des entités linguistiques et qu’il convient de tenir les noms entre guillemets pour des noms singuliers d’expression, faute de quoi cette définition pourrait donner l’apparence de l’erreur. (VIII, note 5, p. 163). C’est ceci qui rend nécessaire un métalangage, ou une métathéorie pour pouvoir parler des énoncés du langage ou de la théorie dans laquelle on travaille. Une conséquence de ce qui précède, c’est que :

« L’extension du terme que nous voulons définir [la vérité d’une proposition] dépend essentiellement du langage, objet des investigations : la même expression peut être une proposition vraie dans un langage et fausse ou privée de sens dans un autre. il ne sera point question d’une définition unique universelle : le problème qui nous intéresse se scindera en une série de problèmes relatifs chacun à un langage concret. » (VIII, p. 160).

5La notion de base de la théorie des modèles est celle de modèle d’une formule d’un langage formalisé donné. Etant donnés un langage formalisé L, une syntaxe, des énoncés bien formés (des formules) : F, G, H… et une structure interprétative S (un domaine de réalité, une théorie mathématique) S est un modèle d’une formule F de L si et seulement si l’interprétation de F dans S est un énoncé vrai. Il en découle la notion fondamentale de conséquence logique. Une formule H est conséquence logique d’une formule G si et seulement si tout modèle de G est un modèle de H. Ces notions qui peuvent sembler très techniques sont tout à fait centrales dans le projet de Tarski et, comme nous allons le voir, ce sont également des catégories logiques pertinentes pour analyser l’activité mathématique.

2.2. La méthodologie des sciences déductives et le théorème de la déduction

6L’intérêt, pour l’analyse du raisonnement dans une perspective didactique, de la théorie des modèles tient au projet général de Tarski dont la préoccupation constante est :

« (…) [d’élargir] le spectre des concepts méta mathématiques propres à permettre d’établir des rapports entre forme et contenu. Plus encore, il définit un type de rapport original où il n’est pas plus question de renoncer aux avantages de la formalisation et de l’analyse syntaxique permise par cette dernière qu’à l’exigence d’en réinvestir les résultats au niveau des contenus mathématiques, à leur donner une interprétation mathématique concrète » (Sinaceur, 1991, Corps et modèles, p. 313).

7D’une manière plus générale, « Théorie des modèles » est le nouveau nom donné par Tarski à ce qu’il appelait jusque là « Méthodologie des sciences déductives » ou « Méthodologie des mathématiques ». On en trouve une présentation élémentaire dans l’ouvrage didactique « Introduction à la logique ». Cet ouvrage a été publié pour la première fois en Pologne en 1936 ; l’édition française date de 1960 et est établie d’après l’édition anglaise de 1941, donc avant que Tarski ait introduit le terme de théorie des modèles. Dans le chapitre VI intitulé « La méthode déductive », après une présentation classique des constituants fondamentaux d’une théorie déductive (termes primitifs et termes définis, axiomes et théorèmes), il introduit la notion de modèle et d’interprétation d’une théorie sur l’exemple très simple de la congruence de deux segments. Il construit ce qu’il appelle une « mini-théorie » déductive, d’où il dérive divers théorèmes, puis il choisit de remplacer dans les axiomes les termes définis (ensemble de tous les segments, et relation de congruence) par des variables : K étant une variable de classe substituée à S et R un symbole de relation substitué au symbole de congruence. Il obtient ainsi des fonctions propositionnelles. On obtient de la sorte un système axiomatique pour lequel on pourra considérer des réalisations ou modèles, c’est-à-dire des domaines d’objets dans lesquels les interprétations des axiomes sont vraies. Un modèle est naturellement constitué par les objets dénotés par les termes primitifs de la première théorie (ici les segments et la relation de congruence) ; on dira dans ce cas-là que la première théorie déductive est réinterprétée dans la seconde. Les théorèmes démontrés dans la première théorie sont des théorèmes de la seconde après substitution des termes définis. Cependant, une fois le système axiomatique construit, ce modèle (celui de la théorie initiale) ne joue aucun rôle particulier ; ce n’est qu’un modèle parmi d’autres. On peut voir d’une certaine manière dans cette méthode un processus analogue à celui de l’algébrisation de l’arithmétique. Les conséquences pour la déduction de ce que Tarski met en place sont tout à fait fondamentales. En effet :

« Chaque théorème d’une théorie déductive donnée est satisfait par tout modèle du système axiomatique de cette théorie ; et de plus à chaque théorème correspond un énoncé général qui peut se formuler et se prouver dans le cadre de la logique et qui établit le fait que le théorème en question est satisfait par n’importe quel modèle de ce genre » (Tarski, 1960, p. 112).

8Une conséquence immédiate de ce théorème est que :

« Tous les théorèmes prouvés à partir d’un système axiomatique donné demeurent valides pour toute interprétation du système » (ibid., p. 112).

9Le théorème de la déduction est également le fondement de toutes les méthodes de preuve par construction d’un modèle appelées aussi preuves par interprétation : pour prouver qu’un énoncé donné de la théorie n’est pas conséquence logique des axiomes, on cherche un modèle du système axiomatique correspondant qui ne soit pas un modèle de la formule associée à cet énoncé. Il est tout à fait clair que si l’on excepte les cas où la négation de la formule considérée est conséquence logique des axiomes dans le système axiomatique formel, il existe également des modèles dans lesquels l’interprétation de cette formule est un énoncé vrai.

10Tarski remarque que dans son travail, il ne s’intéresse pas aux systèmes axiomatiques qui n’auraient aucun modèle, ce qui n’est jamais le cas si le système axiomatique provient d’une théorie déductive « concrète », comme celles que nous rencontrons dans notre travail. En effet, nous considérons uniquement les énoncés dont la formalisation peut être accomplie dans le calcul des prédicats du premier ordre et des systèmes axiomatiques « locaux » pour lesquels ne se posent pas a priori les questions théoriques difficiles soulevées en particulier par les théorèmes de Gödel. Nous utilisons par contre abondamment les conséquences du théorème de la déduction et les méthodes qui en découlent et permettent de marier les méthodes syntaxiques et sémantiques pour élaborer et analyser les démonstrations.

3. Retour sur la notion de théorème-en-acte

11Dans l’article de 1990 déjà cité, après avoir introduit les catégories logiques explicites que nous avons indiquées en introduction, Gérard Vergnaud écrivait :

« Cette parenthèse sur les propositions et les fonctions propositionnelles peut paraître paradoxale dans un paragraphe consacré principalement aux invariants opératoires contenus dans les schèmes. » (Vergnaud, 1990, p. 144).

12Au-delà des arguments fournis par l’auteur pour justifier ce choix, en particulier ceux explicités dans la citation que nous avons rapportée en introduction, il nous semble que la théorie des modèles permet de mettre en lumière la pertinence de ce recours aux catégories logiques. En effet, on peut facilement interpréter la notion de théorème-en-acte à la lumière de la théorie élémentaire des modèles. Par définition, un théorème-en-acte est un invariant opératoire de type « proposition » ayant un certain domaine de validité (Vergnaud, 1990, p. 142). Autrement dit, il existe des domaines d’interprétation dans lesquels un théorème-en-acte donné est vrai, même si ce n’est pas un théorème de la théorie mathématique de référence, c’est-à-dire même s’il ne découle pas logiquement des axiomes assumés dans cette théorie. Considérons par exemple le théorème-en-acte « Si deux nombres décimaux ont la même partie entière, alors le plus grand est celui qui a la plus grande partie décimale », qui se traduit par la règle d’action « Pour comparer deux décimaux, on compare d’abord les parties entières puis, si elles sont égales, on compare les parties décimales ». Si l’application de ce théorème-en-acte (la mise en œuvre de cette règle d’action) conduit souvent à des résultats erronés, il est cependant valide dans tout sous-ensemble de l’ensemble des nombres décimaux dans lequel tous les nombres ont le même format5. Éprouver la limite de validité d’un tel énoncé se fait en classe par la rencontre provoquée avec une interprétation (un domaine de réalité) dans lequel l’utilisation de ce théorème-en-acte est mise en défaut, en particulier en faisant émerger une contradiction entre les résultats qu’il permet de prévoir et les résultats que l’on peut éprouver expérimentalement comme dans l’exemple suivant. Si l’on propose à des élèves de cycle 3 de comparer l’aire de deux rectangles R 1 et R 2 dont les mesures des côtés sont respectivement en cm : 4,5 et 3 pour R 1 ; 5,3 et 2,5 pour R 2, le calcul fournit 13,5 cm² pour l’aire de R 1 et 13,25 cm² pour l’aire de R 2. L’application du théorème-en-acte ci-dessus conduit à affirmer que l’aire de R 1 est plus petite que l’aire de R 2,. On peut alors demander aux élèves de comparer l’aire des deux rectangles par décomposition/recomposition après les avoir dessinés sur du papier millimétré. Le résultat obtenu par cette méthode contredit l’affirmation précédente.

13Un autre exemple, paradigmatique, est fourni par la situation d’agrandissement du puzzle (Brousseau 1998, pp. 237-241). Dans cette situation, on demande aux élèves d’agrandir un puzzle carré composé de formes polygonales irrégulières, de sorte que le côté qui mesure 4 cm sur le puzzle de départ ait pour mesure 7 cm sur le puzzle agrandi. Pour agrandir les différentes pièces, les élèves mobilisent majoritairement la règle d’action : « Pour agrandir une figure polygonale, on ajoute la même longueur à chacun des côtés ». Cette règle, qui est valide pour les polygones réguliers, ne l’est pas pour les polygones irréguliers. Le puzzle étant constitué de pièces polygonales non régulières, l’application de cette règle d’action ne permet pas de reconstituer le puzzle.

14Si nous reprenons le schéma de la figure 2, nous voyons bien en quoi il peut s’appliquer à ces deux exemples, élémentaires du point de vue des connaissances mathématiques, mais dont on sait qu’ils sont des nœuds de résistance dans l’apprentissage des mathématiques à l’école élémentaire et au début du collège. On peut considérer que le sujet se construit des « mini-théories » locales, implicites, qui s’appuient sur des actions réussies. Tant qu’il n’est pas confronté au fait que certaines des règles qu’il utilise ne sont pas valides, il n’a aucune raison de les abandonner. On voit bien ici que c’est en identifiant « les aspects du réel auxquels il faut prêter attention » (Vergnaud, 1990, p. 145) que la remise en cause est possible. Le jeu entre prévision s’appuyant sur des invariants opératoires, confrontation à une situation « concrète » et retour éventuel sur la prévision est constitutif du processus de conceptualisation du réel en mathématiques. Ce qu’illustre également la figure 2, c’est que le théorème-en-acte considéré comme vrai dans la première interprétation ne peut être remis en cause par une autre interprétation que s’il est d’abord explicité dans la « partie immergée de l’iceberg6 » comme énoncé général d’une théorie donnée.

4. Un exemple de l’utilisation de la théorie élémentaire des modèles pour résoudre un problème de « certitude »

15Nous rappelons que l’exemple que nous allons analyser maintenant est issu du Kangourou des Mathématiques 1994. Il nous avait été signalé à l’époque par Sylvie Coppé que la réponse fournie sur le minitel intriguait.

16Nous avons donné dans notre thèse (Durand-Guerrier, 1996) une première interprétation de cet exemple mais sans faire appel explicitement à la théorie des modèles. L’expérience montre que lorsque nous présentons cette analyse à des professeurs de mathématiques en formation continue ou initiale, il est difficile d’expliciter clairement ce qui est en jeu. Nous en sommes donc arrivée à la conclusion qu’il fallait inscrire cette analyse dans un cadre mieux établi, ce que nous offre la théorie des modèles.

4.1. Présentation de la question et premiers commentaires

17Il s’agit de l’item 30 du questionnaire proposé aux élèves, l’un des tout derniers, et l’un des rares dont le contenu ne soit pas explicitement mathématique. Il est donné aux élèves sous la forme suivante :

18Les gens malins répondront tous juste à cette question ; ceux qui répondent au hasard ne sont pas malins. Alors il est certain que :

1. Tous ceux qui répondent au hasard répondent faux.

2. Ceux qui sont malins répondent au hasard.

3. Ceux qui répondent juste sont malins.

4. Ceux qui s’abstiennent à cette question sont malins.

5. Les réponses A, B, C et D sont fausses.

19Notons tout de suite quelques caractéristiques de cet item qui éclairent notre choix. Tout d’abord, la question est posée sous la forme « il est certain que », ce qui renvoie à la notion de certitude, mais à une certitude objective plutôt que subjective, comme ce serait le cas si la question avait été « êtes-vous certain que ? ». Bien sûr, cette distinction n’est pas aussi radicale qu’il y paraît, mais la formulation de la question induit, nous semble-t-il, la nécessité de chercher la réponse à l’intérieur du cadre proposé, sans faire appel à des arguments liés au vécu ou aux croyances personnelles de l’élève (comme, par exemple, « chaque fois qu’on répond au hasard, on se trompe »). Le deuxième point c’est que l’on peut considérer que cette question est posée dans une « mini-théorie » déductive au sens de Tarski que nous désignerons par la suite par la lettre s et dont les axiomes sont fournis par la première phrase du texte. Suivant la méthode présentée au paragraphe 2, nous pouvons associer à cette « mini-théorie » un système axiomatique, ce que nous allons faire ci-dessous. Le troisième point tient au fait que, dans cet exercice, nous sommes plus ou moins en situation d’autoréférence. En effet, d’une part, celui qui répond à la question contribue à la définition de la population de référence, et donc éventuellement à la vérité des phrases A, B, C, D une fois l’épreuve terminée ; d’autre part la dernière question n’est pas de même nature que les quatre autres. En effet, la phrase E dit « quelque chose à propos des quatre autres phrases ». De ce fait, elle ne pourra pas s’exprimer dans la « théorie axiomatique » que nous allons construire, mais seulement dans le métalangage associé au langage objet. Or, si le langage naturel contient le nom des expressions et les prédicats de vérité, ce n’est pas le cas dans un langage formalisé, ce qui permet précisément de traiter les questions d’autoréférence.

20Précisons enfin que les élèves doivent choisir exactement une réponse parmi les cinq proposées et que les auteurs de ce questionnaire ont indiqué comme solution : « la réponse est E parce que nous sommes malins »7. Or, la phrase : « Il est certain que les réponses A, B, C et D sont fausses » est ambiguë du fait que l’on ne sait pas très bien ce qu’il faut entendre par réponses. Une première interprétation, celle qui nous est venu naturellement à l’esprit, c’est que « réponses » est ici mis pour « phrases ». Nous verrons que, si tel est le cas, alors la phrase ci-dessus est fausse. Une autre interprétation serait que « réponses » a son sens naturel et que la phrase signifie « Il est certain qu’il est faux de donner l’une des quatre réponses A, B, C ou D », ce qui cette fois serait correct, mais aurait mérité d’être explicité.

4.2. Construction d’un système axiomatique pour notre « minithéorie » σ

21Il nous faut tout d’abord choisir les variables pour remplacer les termes primitifs :

22La population des élèves qui répondent au questionnaire sera dénotée par la lettre de variable U. Les propriétés : « être malin », « répondre juste », « répondre faux », « s’abstenir » et « répondre au hasard » seront dénotées respectivement par les lettres de prédicats m, j, f, a et h. Nous avons donc un langage-objet qui outre la logique des prédicats du premier ordre contient cinq lettres de prédicats, et rien d’autre. Nous pouvons maintenant substituer les lettres de variables dans les axiomes de notre « mini-théorie ». Le premier axiome du système est obtenu en formalisant l’énoncé « Les gens malins répondront tous juste à cette question ». Le second est obtenu en formalisant l’énoncé « Ceux qui répondent au hasard ne sont pas malins ». Nous considérons que ces deux énoncés sont quantifiés universellement et nous utilisons la formalisation classique8 des énoncés du type « tout A est B » en « x (A (x) ⇒ B (x)) » où la quantification porte sur l’univers du discours U. D’où l’on obtient :

A₁ ; ∀x (m (x) ⇒ j (x))

A₂ : ∀x (h (x) ⇒ ¬ m (x))

23Compte tenu des implicites habituels du fonctionnement de la langue, il nous faut rechercher d’autres axiomes qui expriment des propriétés cachées, mais nécessaires pour un traitement formel. Les quatre premiers (A 3 à A 6) traduisent les relations entre certains termes primitifs. En effet, pour rester au plus près du discours en langue naturelle, nous n’avons pas pris le système minimal de termes primitifs (« s’abstenir » pourrait se définir à partir de « répondre juste » et « répondre faux »). Les cinq derniers axiomes traduisent le fait que, très vraisemblablement, pour les auteurs il va de soi que chacune des propriétés mentionnées est d’extension non vide. Nous obtenons ainsi les neuf axiomes supplémentaires suivants :

A₃ : ∀x (j (x) ∨ f (x) ∨ a (x))

A₄ : ∀x ¬(j (x) ∧ f (x))

A₅ : ∀x ¬(j (x) ∧ a (x))

A₆ : ∀x ¬(a (x) ∧ f (x))

A₇ : ∃x j (x)

A₈ : ∃x f (x)

A₉ : ∃x a (x)

A₁₀ : ∃x m (x)

A₁₁ : ∃x h (x)

24La théorie axiomatique que nous avons construite comporte donc les onze axiomes notés de A 1 à A 11 ; nous la noterons désormais T. Remarquons que ce travail de formalisation nous invite à expliciter de nombreux implicites qui sans cela resteraient totalement cachés. Ceci illustre la thèse de Quine selon qui la formalisation dans le calcul des prédicats est « la pierre de touche de la clarté conceptuelle » (Quine, Quiddités, 1992, p. 136). La « mini-théorie » dont nous sommes partie est une réalisation de T. Nous allons examiner maintenant ce que l’on peut dire des deux affirmations : « Il est certain que A » (P 1) ; « il est certain que B » (P 2), dans la population de référence U sachant que A dénote la proposition « Tous ceux qui répondent au hasard répondent faux » et que B dénote la proposition « Tout ceux qui sont malins répondent au hasard ». Dans ce qui suit, Φ désigne la formule de T interprétée par A et Ψ désigne la formule de T interprétée par B. D’où Φ est le nom de l’énoncé « ∀x (h (x) ⇒ f (x)) » et Ψ est le nom de l’énoncé « ∀x (m (x) ⇒ h (x)) ». Comme nous ne connaissons au moment de répondre ni la population de référence, ni a fortiori l’extension des prédicats « être malin », « répondre juste », « répondre faux », « s’abstenir », et « répondre au hasard », nous ne savons pas quel modèle de T va advenir à l’issue de l’épreuve. Compte tenu du système axiomatique choisi, tous les cas de figure sont a priori possibles. Nous avons donc besoin pour nous prononcer sur P 1 (respectivement P 2) de savoir si la formule Φ (respectivement Ψ) est conséquence logique, ou non, des axiomes de la théorie T, ou encore, ce qui est équivalent, si tout modèle de la théorie T est un modèle de Φ (respectivement de Ψ). En effet, affirmer P 1 (respectivement P 2), c’est affirmer que quel que soit le modèle de T advenu à l’issue de l’épreuve, la valeur de vérité de la proposition A (respectivement de la proposition B) sera « vrai ». Autrement dit, la possibilité de la certitude du point de vue du sujet est indissolublement liée dans ce cas à la nécessité : le sujet peut être certain que A si et seulement si il est nécessaire que A, et il est nécessaire que A si et seulement si Φ est conséquence logique de T. Nous voyons bien ici qu’il s’agit d’une nécessité locale, qui généralise le point de vue d’Aristote qui, rappelons-le, posait que les vérités nécessaires sont celles qui sont obtenues à partir d’un syllogisme concluant à prémisses vraies (Aristote, Organon III, Les Premiers Analytiques, II-15)

25Il est intuitivement assez clair que Φ n’est pas une conséquence logique de T. En particulier parce qu’on ne voit pas comment déduire Φ des axiomes. Mais, évidemment, ceci ne constitue pas une preuve. Nous allons utiliser ici la méthode de preuve par construction d’un modèle en construisant un modèle fini satisfaisant les axiomes de T et ne satisfaisant pas Φ. Un tel modèle doit nécessairement contenir au moins trois éléments pour satisfaire les axiomes A 4 à A 9. Pour satisfaire A 1, il faut et il suffit que l’extension de m soit incluse dans celle de j, et pour satisfaire A 2, il faut et il suffit que les extensions de h et de m soient disjointes ; pour satisfaire A 10 et A 11, il faut que les extensions de h et de m soient non vides. Enfin, pour que l’interprétation de Φ soit une proposition fausse, il suffit que l’extension de h ne soit pas incluse dans l’extension de f.

26Nous considérons un ensemble à trois éléments K = {α, β, δ}. Étant donné un prédicat r du langage objet de T, on note R son interprétation dans le modèle que nous sommes en train de construire. Nous désignons alors par R * son extension (c’est-à-dire l’ensemble des éléments de K qui satisfont la propriété R). Il est clair que définir l’extension c’est définir l’interprétation. Pour que le modèle ainsi élaboré satisfasse les axiomes, on pose :

J* = {α}

F* = {β}

S* = {δ}

M* = J * = {α}

H* = S * = {δ}

27La structure Σ = <K, M, J, F, S, H> est un modèle de la théorie T. Dans ce modèle, l’interprétation de Φ est une proposition fausse. En effet, on a H (δ) et ¬ F (δ), ce qui constitue un contre-exemple à la proposition « Tous les H sont des F » qui interprète Φ.

28Ceci prouve que Φ n’est pas une conséquence logique de T, et que donc on ne peut pas être certain que A est une phrase vraie. Il est facile de montrer par la même méthode que, cependant, il existe des modèles de T qui sont aussi modèles de Φ. Il suffit, pour cela, de modifier la définition de H en posant H * = F * = {β} sans modifier les autres définitions. Ce modèle est un modèle de T et de Φ. Ceci nous montre qu’on ne peut pas non plus être certain que A est une phrase fausse. En d’autres termes, si l’on avait demandé aux élèves de donner la valeur de vérité de la proposition A, ils n’auraient pu que répondre « on ne peut pas savoir ». Nous disons, dans ce cas, que l’énoncé est contingent9 pour l’élève au moment où il doit répondre. Par suite, on ne peut donc pas affirmer dans la métathéorie de notre « mini-théorie » la proposition « il est certain que la phrase A est fausse ». Ceci illustre le fait que, lorsqu’un énoncé n’est ni un théorème, ni la négation d’un théorème d’une théorie axiomatique donnée, pour décider de la valeur de vérité de son interprétation dans une « théorie concrète donnée », il est nécessaire de prendre en compte l’interprétation de tous les termes définis, sans oublier bien sûr le domaine de quantification. Si nous revenons maintenant à notre point de vue intuitif, on voit tout de suite qu’il suffit d’avoir une population dans laquelle quelqu’un répond au hasard et ne répond pas faux pour mettre en défaut la phrase A. Mais encore faut-il s’assurer que ceci est compatible avec les contraintes de la situation. C’est, là, un des rôles majeurs de la logique appliquée aux raisonnements.

29Revenons maintenant à la proposition B et à la formule ψ qui lui est associée dans T. Il est clair que Σ n’est pas un modèle de ψ puisque l’extension de H n’est pas incluse dans celle de M. Considérons Σ’obtenue en conservant la définition de tous les termes primitifs de Σ sauf la définition de H, dont l’extension est H* = {α, δ}. Cette fois, Σ’est bien un modèle de ψ, mais par contre ce n’est plus un modèle de T car elle ne satisfait pas l’axiome A 2. On pressent, à ce stade, que cela ne sera sans doute pas possible de trouver un modèle de T qui soit aussi modèle de ψ, car ψ semble incompatible avec A 2. C’est en effet le cas ; on peut aisément prouver que la négation de ψ est une conséquence logique de T. Comme T est consistante10, tout modèle de T est modèle de ¬ ψ.

30Par conséquent, la proposition B, qui interprète ψ dans σ, est nécessairement fausse puisque sa négation y est nécessairement vraie. Cette fois, on peut affirmer, dans la métathéorie de σ, que « il est certain que la phrase B est fausse ».

5. Conclusion

31Nous espérons avoir montré, dans ce texte, que le point de vue modèle théorique développé par Tarski offre un cadre de référence épistémologique pertinent pour le didacticien des mathématiques. La volonté de Tarski de se placer au plus près de la notion commune de vérité et d’opérer un va-et-vient entre formalisme logique et interprétation dans un modèle (Sinaceur, 1991) en fait, selon nous, un outil puissant pour celui qui étudie les modes de raisonnement dans différents domaines. Nous en avons éprouvé la pertinence à maintes reprises dans nos recherches en didactique des mathématiques11. Nous avons illustré ici même, par l’exemple traité au paragraphe 4, l’intérêt de ce point de vue pour repenser l’articulation entre vérité, nécessité et certitude. Nous faisons en outre l’hypothèse que ce point de vue pourrait donner un nouvel éclairage à certaines théories développées en psychologie cognitive, plus particulièrement en ce qui concerne la théorie des modèles mentaux de Johnson-Laird (1986).