1. Introduction

1Un aspect de la pensée de Gérard Vergnaud m’a toujours intrigué. Je l’appelle son anti logicisme1. L’anti logicisme est une constante dans les travaux de Gérard Vergnaud. Il écrit, par exemple dans un article particulièrement illustratif que : « le concept de raisonnement est associé à celui de logique et c’est donc tout naturellement par des structures logiques que les psychologues ont cherché à caractériser des raisonnements différents. [Cependant] la thèse principale que je voudrais défendre […] est que ce n’est pas la logique, mais le contenu de la conceptualisation qui fait la différence principale entre raisonnements » (Vergnaud, « Le raisonnement en physique et en mathématiques », 1994c, 153).

2Il ne s’agit pas là d’une remarque « en passant », car c’est véritablement un procès contre la logique qu’instruit Gérard Vergnaud dans le travail cité. La charge concerne aussi bien les concepts que leur ontogenèse. Concernant l’acquisition de la symétrie axiale par exemple, il écrit : « rien dans ce processus n’est de l’ordre de la logique, tout est de l’ordre de la conceptualisation » (ibid., p. 158). De même, concernant l’ontogenèse, il écrit : « [le] processus [de la généralisation des schèmes, par lequel s’effectue le progrès cognitif] est certes rationnel ; il n’est pas pour autant de l’ordre de la logique mais de l’ordre de la conceptualisation » (ibid., p. 157) ; et plus généralement : « c’est la conceptualisation et non les différentes formes de logique qui permettent le mieux de rendre compte de l’évolution des raisonnements en mathématiques et en physique » (ibid., p. 156). Aussi, « un raisonnement qualifié de logique repose-t-il entièrement sur des concepts proprement physiques et mathématiques » (ibid., p. 155) : la préférence que les psychologues, à commencer par Piaget, accordent à la logique n’aurait donc pour Vergnaud guère plus de base objective qu’une illusion perceptive.

3En forçant quelque peu l’expression, on en viendrait presque à dire que, pour Gérard Vergnaud, si un processus cognitif constitue un processus de conceptualisation alors il ne constitue pas (ou alors accessoirement seulement) un processus logique. Confondre la logique avec la conceptualisation, ce serait comme confondre l’habit avec le moine. Pour Vergnaud, cette illusion doit être combattue sans relâche.

2. Quelques sources de l’anti logicisme de Gérard Vergnaud

4On n’a bien sûr aucune difficulté à comprendre l’attitude adoptée par Gérard Vergnaud envers la logique. Sa formation initiale à HEC (Hautes Etudes Commerciales), ses engagements philosophiques matérialistes, son activité de chercheur et de formateur en didactique des mathématiques : tout son parcours « dans le siècle » l’incline à se méfier du logicisme, sinon de la logique elle-même. Du reste, l’originalité de l’attitude de Gérard Vergnaud ne réside pas tant dans sa méfiance envers la logique en tant que telle, car ce point de vue est largement partagé par les psychologues de l’« après-Piaget »2, que dans son refus d’une idéologie de la logique supposée expliquer l’acquisition de la compréhension des objets mathématiques et physiques. Pour adopter un langage « moderne » : Gérard Vergnaud défend donc « bec et ongle » l’idée que l’ontogénèse de la connaissance mathématique et physique est « domain specific » et ne relève pas de processus généraux de la pensée.

5Le principal argument en faveur du caractère « domain specific » de la connaissance physique et mathématique ne provient cependant pas de l’histoire personnelle de Gérard Vergnaud. Il écrit en effet : « Lorsque Piaget et Inhelder (1955) s’intéressent au raisonnement proportionnel et à l’équilibre de la balance, il y a 40 ans, c’est pour leur donner une place de choix dans le développement cognitif, et en faire l’un des critères principaux de l’accès au stade dit « des opérations formelles ». En même temps, Piaget en propose une analyse strictement logique puisqu’il tente de montrer que le groupe des transformations par lesquelles l’équilibre de la balance peut être rétabli ou conservé est isomorphe au groupe des quatre transformations propositionnelles (identique, négation, réciproque et corrélative). Cette volonté de ramener la mathématique et la physique à la logique rappelle à l’évidence l’effort entrepris par Russel et les logiciens (jusqu’à Godel) de réduire les axiomes de l’arithmétique à ceux de la logique des classes.

6[Or, poursuit Vergnaud], « les recherches menées depuis 20 ans sur la proportionnalité, conduisent à un tableau tout à fait différent. Les psychologues et les didacticiens ont appris à classer de manière plus complète et plus systématique les tâches cognitives, les procédures mises en œuvre par les sujets, les formulations et les symbolisations utilisées, les variables susceptibles de modifier de manière significative la difficulté relative des situations présentées et les schèmes susceptibles d’être évoqués. De ce travail de classification, il résulte aujourd’hui que ce n’est pas du côté de la logique qu’il faut rechercher les critères permettant de différencier les raisonnements entre eux, mais du côté de la linéarité et de la multilinéarité, de l’analyse dimensionnelle, des concepts de rapports et de nombre rationnel » (Vergnaud, 1990).

3. Une illustration théorique de la thèse de la distinction de la logique et de la conceptualisation

7Un exemple fera sans doute mieux comprendre ce que l’on peut entendre par connaissance domain specific. Voici « une preuve directe de l’unicité du symétrique » donnée dans Gochet et Gribomont (1990, p. 388) : (e est l’élément neutre ; « . » symbolise une opération).

8On n’aura pas manqué de noter que l’exposé de la preuve ci-dessus formulée en déduction naturelle se réfère plusieurs fois à des axiomes. Ces axiomes sont ceux de la théories des groupes et représentent les propriétés de l’élément neutre (e) et de l’opération en jeu (symbolisée par.) :

9Axiome 1 (d’associativité) : (x) (y) (z) ((x. y).z = x.(y. z), ligne 9 ;

10Axiome 2 (élément neutre) : (x) (x. e = x = e. x), ligne 4 et ligne 7 ;

11Axiome 3 (symétrique) : (x) Ey (x. y = e = y. x)

12Ces axiomes représentent le contenu conceptuel (la théorie) du domaine qui est « travaillé » par la démonstration formelle. C’est une connaissance indispensable à l’intérêt de la démonstration. Ce sont de tels axiomes qui donnent « du corps », si l’on peut dire, à l’exposé logique. En leur absence, la démonstration se réduirait à un jeu purement gratuit. Plus profondément, la démonstration ci-dessus comporte d’une part des symboles logiques (connecteurs, dont l’égalité, variables, séparateurs, etc.) d’autre part des symboles extralogiques, ici la constante individuelle e et la constante fonctionnelle à deux arguments symbolisée par le point qui constituent la signature de la théorie des groupes (Gochet & Gribomont, 1990, pp. 382 et ss.) et que les axiomes « organisent ».

13Nous sommes alors parvenus au point crucial : des connaissances relatives au domaine conceptuel concerné doivent nécessairement être incorporées (et à bon escient) au procès logique pour que celui-ci soit réellement productif, c’est-à-dire pour qu’il engendre de nouvelles connaissances dans le domaine conceptuel (Trognon, Batt, Schwartz, Perret-Clermont & Marro, 2003). D’un point de vue développemental donc (et en recourant à la terminologie de Vergnaud) : le procès logique présuppose la conceptualisation ; des deux, c’est la conceptualisation qui est première ; aussi la conceptualisation (par exemple le concept d’élément neutre) doit-elle être acquise d’abord pour que son traitement logique l’enrichisse (pour que, par exemple, soit découverte l’unicité du symétrique).

4. Manifestation d’une connaissance « domain specific » dans une pratique arithmétique concrète accomplie par des enfants

14La séparation du logique et du conceptuel, soulignée ci-dessus dans la théorie des groupes se retrouve dans les pratiques arithmétiques concrètes. En voici un exemple (Trognon, Saint Dizier & Grossen, 1999) présenté dans les termes de la logique interlocutoire (Trognon & Batt, 2003 ; Trognon, Batt, Schwartz, Perret-Clermont & Marro, 2003).

15La Logique Interlocutoire est un ensemble organisé de méthodes logiques conçues pour expliciter formellement les événements interlocutifs tels qu’ils se présentent phénoménalement, notamment tels que les interlocuteurs se les approprient intuitivement. Aussi, pour ne retenir que les aspects les plus importants, la logique interlocutoire prendra-t-elle pour alphabet les actes de langage directs ou dérivés accomplis par les interlocuteurs ainsi que les marqueurs qui les relient dans une conversation et organisera-t-elle les occurrences de ces éléments à l’aide de méthodes logiques qui réfléchissent logiquement les propriétés de l’interlocution, dont la séquentialité et la dialogicité sont certainement les deux plus importantes. On poursuit alors en logique interlocutoire un double objectif. Premièrement, on tente a minima d’expliciter formellement des événements interlocutifs, et au mieux d’en proposer une démonstration. Deuxièmement, plus généralement, on cherche à élaborer des « grammaires » des jeux de dialogues dans lesquels nous sommes « naturellement » ou « professionnellement » engagés dans l’usage d’une langue naturelle.

16Bien entendu, nous n’allons pas développer ici complètement la logique interlocutoire de l’exemple4 et nous nous contenterons d’exposer les aspects qui sont directement en rapport avec notre propos. Aussi ne restituerons-nous, par exemple, ni le processus, d’abord plutôt associatif ensuite plus organisé au travers duquel les enfants parviennent à un consensus sur la procédure à adopter pour résoudre le problème ni la façon dont ce processus mélange du linguistique et de l’arithmétique (une étagère est un objet (dont la dénomination est ambiguë) mais c’est aussi le nom d’une classe d’objets) ni les couplages cognitifs que réalisent les enfants : les enfants s’accordant sur tout ce qui nous importe dans le présent travail, nous présenterons simplement une déduction naturelle de la conjonction de leurs activités5.

17Les deux garçons dont l’enregistrement au cours d’une expérimentation (Säljö & Wyndhamn, 1990) est restitué ici, Jean et Marc, ont 10 ans chacun. Ils sont en cinquième année d’école primaire et ont reçu un enseignement sur la division dans le cadre de leur programme scolaire. Ils doivent résoudre le problème suivant : Un commerçant a 672 cassettes video à ranger. Il peut en ranger 32 par étagère. Sachant qu’une bibliothèque comporte 7 étagères, de combien de bibliothèques a-t-il besoin pour ranger ces cassettes ?

18(J (Jean) et M (Marc) désignent les enfants, E désigne l’expérimentatrice, les tours de parole sont notés successivement, les remarques de l’expérimentateur sont données entre parenthèses)

19Deux procédés canoniques sont susceptibles d’être utilisés par les enfants pour résoudre le problème. Le premier consiste à calculer le nombre de cassettes que peut contenir une bibliothèque (32x7= 224) puis à diviser le nombre total de cassettes par le nombre de cassettes pouvant être rangées dans une bibliothèque (672 :224= 3). Le second revient à chercher le nombre total d’étagères nécessaires en divisant le nombre total de cassettes par le nombre de cassettes pour une étagère (672 :32= 21) puis à trouver le nombre de bibliothèques en divisant le nombre total d’étagères par le nombre d’étagères que comprend une bibliothèque (21 :7= 3).

20Mais, en examinant maintenant le corpus, force est de constater qu’il s’écarte quelque peu de la description précédente. Formellement parlant, c’est le premier procédé qui est réalisé par les enfants dans l’élaboration concrète, distribuée et située de la solution. La première étape est tout à fait conforme au modèle : les enfants y calculent finalement le nombre de cassettes qu’il est possible de ranger dans une bibliothèque (7x32= 224). La seconde étape (de 34J à 62J) a le même but que la seconde étape du modèle mais en diffère quant à la procédure : les enfants trouveront le nombre de bibliothèques nécessaires au rangement des cassettes en enlevant de manière itérative le nombre de cassettes qu’on peut mettre dans une bibliothèque à la somme des cassettes à ranger. Etant donné qu’il y a « un tas » de 672 cassettes à ranger dans les bibliothèques et étant donné qu’une bibliothèque contient 224 cassettes, la répartition des 672 cassettes dans les bibliothèques peut, par analogie avec le modèle de l’apprentissage de l’addition proposé par Vergnaud (Vergnaud, 1991, p. 18-19), s’effectuer ainsi :

21Si donc les enfants effectuent l’opération (((672-224)-224)-224 = 0) et trouvent donc que 672-3(224)= 0 (le passage par 672-(224+ 224+ 224)= 0 restant implicite), d’où ils déduisent qu’il faut 3 bibliothèques, c’est en pratique, en faisant comme s’ils étaient en train de ranger les cassettes dans une bibliothèque, ou du moins, puisqu’ils rangent les cassettes virtuellement sur une feuille de papier, en se donnant une représentation de cette activité. Bref, l’opération qu’effectuent les enfants est, en virtuel, l’action concrète de ranger. Les enfants effectuent donc parallèlement des opérations de déplacements de sous-tas, soit de soustractions et d’additions d’ensembles, soit (cf. Vergnaud, 1991) sur les cardinaux et sur les nombres.

22L’activité conjointement réalisée par les enfants renvoie certainement au concept de division. En effet : [672-3(224)= 0] ↔ [672= 3 (224)+ 0] et cette dernière formule est bien une instanciation de la formule de la division : [(a = qb+ r) et (0≤ r <b)], où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. Mais cela ne prouve pas que ce concept de division en tant que tel soit acquis.

23Quoi qu’il en soit, on peut donner une forme logique au processus de résolution. Réduite au contenu propositionnel des illocutions produites dans le dialogue et présentée indépendamment de la distribution de ces illocutions sur les interlocuteurs, elle pourrait avoir l’allure d’une déduction naturelle comme celle-ci (e pour étagère, b pour bibliothèque, c pour cassette) :

241 et 2 renvoient à l’énoncé du problème. Mais ces données sont réaffirmées par les enfants : Cf. 27M et 28J par exemple. Les lignes 3-11 de la déduction naturelle correspondent à l’intervalle (25M, 34J) de l’interlocution et les lignes 12-18 à l’intervalle (34J, 56J).

25On notera que la forme logique qui est proposée suppose des connaissances d’arrière-plan. Certaines de ces connaissances d’arrière-plan appartiennent aux « formes de vie » des interlocuteurs (Searle, 1985). Par exemple, le problème repose sur la connaissance de ce qu’est une pratique du rangement : tout doit être rangé ; le contenant doit être entièrement utilisé ; on ne remplit pas une bibliothèque « à moitié6 ». D’autres connaissances relèvent de la logique : les enfants doivent « comprendre » la dénomination des classes et la différence entre les classes et les objets pour résoudre le problème : une bibliothèque est certes un objet, mais c’est aussi le nom d’une classe de cassettes ; de même une étagère est un objet et également le nom d’une classe de cassettes ; enfin une bibliothèque est le nom d’une classe d’étagères. Le temps que les enfants mettent à désambiguïser l’énoncé du problème et qui est supérieur au temps de résolution proprement dit du problème est certainement à mettre en rapport avec cet élément de l’arrière-plan. Le transitivité de 5-6-7, puis 8, qui correspond à l’intervalle (34J, 35M, 36J), représente le remplissage d’une bibliothèque7.

26Cette représentation « montre » que le remplissage est une activité continue : une étagère, et une étagère…, 7 étagères, dont le résultat final est l’occupation de toute une bibliothèque. À travers cette activité, une partie de cardinal 224 du tas de cassettes à ranger a été séparée de l’ensemble.

27Enfin des connaissances arithmétiques sont également requises. Ces connaissances, qui semblent importées dans la forme logique, sont cependant nécessaires à la résolution du problème. Plusieurs questions se posent à leur propos. Premièrement, où ces connaissances apparaissent-elles dans la forme logique de l’interlocution ? Elles apparaissent d’une part à la ligne 5 et d’autre part aux lignes 13-17 de la déduction naturelle. Deuxièmement, quel est le contenu de ces connaissances ? Il semble s’agir d’« une des propriétés d’isomorphisme de la fonction linéaire » (Vergnaud : « Le raisonnement en physique et en mathématiques », 1994c, 154) : λf(x) = f (λx). La fonction en question est l’action de ranger. La ligne 5 exprime l’idée que 7 fois ranger 32 cassettes [7 fois ranger (32 cassettes)] revient au même que une fois ranger 7 x 32 = 224 cassettes [ranger 224 cassettes]. La ligne 17 exprime l’idée que 3 fois ranger 224 cassettes revient au même que remplir 3 bibliothèques. Il est d’ailleurs intéressant de remarquer que si λf(x) = f (λx) est introduit sans plus à la ligne 5, à la ligne 17, il vient plutôt comme une conséquence des lignes 13-16, les lignes 13-15 représentant la réitération de l’opération qui consiste à transférer des classes de 224 cassettes de l’ensemble de départ jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus, ce qui équivaut à utiliser trois bibliothèques. Troisièmement, sous quel statut théorique l’expression λf(x) = f (λx) fonctionne-t-elle dans la déduction naturelle ? Celui d’un « théorème-en-acte », d’une « proposition tenue pour vraie sur le réel et permettant de rendre compte de l’organisation de la conduite du sujet » (Vergnaud : « morphismes fondamentaux dans les processus de conceptualisation », 1991, p. 23), proposition « souvent implicite [comme à la ligne 5], [mais qui] peuvent aussi être explicites » (ibid., p. 23), comme aux lignes 13-17.

5. Conclusion

28La résolution dialoguée du problème du rangement des cassettes présente manifestement une forme logique que l’analyse interlocutoire de l’extrait fait assez bien ressortir. Mais cette forme logique comporte des connaissances extralogiques dont l’importation est nécessaire au bon déroulement du raisonnement conduit par les enfants.

29Une question qui demeure ouverte reste celle de savoir si ces connaissances importées qu’on vient de qualifier d’extralogiques le sont vraiment. Peut-être les qualifions-nous ainsi seulement parce que nous nous référons à une conception trop étroite de la logique et que nous les verrions autrement en adoptant une conception plus riche.