1. L’interaction schèmes situations

1.1. Du côté des schèmes

1La conceptualisation est un thème majeur du travail de Vergnaud qui a traversé les différentes époques de ses travaux et qui a influencé fortement les recherches en didactique des mathématiques. Ce sont d’abord des études diagnostiques de l’interaction schème – situation qui ont été menées : elles consistaient à confronter les élèves à des tâches soigneusement conçues et à modéliser leurs procédures, de façon à défricher le champ encore trop inconnu des conceptions des élèves relativement à des notions mathématiques enseignées. Nul doute que ces travaux ont fourni des résultats, qui servent encore, sur les connaissances des élèves et les situations-problèmes. On sait maintenant qu’il y a un apprentissage long et délicat, pour passer d’un problème additif, dans lequel sont donnés l’état initial et la transformation additive et est à trouver l’état final à un problème dans lequel il faut trouver l’état initial, la transformation et l’état final étant donnés (Laborde & Vergnaud, 1994, p. 73). On sait que la position relative de l’axe de symétrie et de la figure objet est une variable de tâche cruciale (Grenier & Laborde, 1988) dans la tâche de construction du symétrique de cette figure par rapport à l’axe. Proportionnalité, limites, nombres réels, symétrie orthogonale, aire, tangente, pour n’en citer que quelques-unes, sont des notions qui ont donné lieu à de telles investigations. Soulignons que ce type de recherche s’est aussi largement développé à l’étranger, en particulier grâce au groupe international Psychology of Mathematics Education (Nesher et Kilpatrick, 1990).

2Vergnaud propose de décrire des catégories d’invariants sous les termes de concept-en-acte et théorème-en-acte. Si le terme « théorème-en-acte » a fait mouche dans la communauté des didacticiens des mathématiques en raison de la présence provocatrice du mot « théorème », on oublie trop souvent l’indissociabilité entre théorème-en-acte et concept-en-acte (Vergnaud, 1994a, p. 181) : les théorèmes-en-acte ne prennent sens que dans l’interaction avec les « concepts-en-acte » et vice versa. Cette description duale se doit de tenir la gageure d’être à la fois au plus près des conceptualisations des sujets et avoir un sens en mathématiques (Vergnaud, 1990). La tâche n’est pas aisée pour le didacticien de choisir des termes issus des mathématiques, tout en sortant de leur champ d’usage pour rendre compte des connaissances du sujet. À cette difficulté que nous rencontrons dans notre travail d’analyse des conceptualisations s’ajoute la possibilité de malentendu dans la communication avec les mathématiciens. Mais c’est probablement le prix à payer pour que la description des conceptualisations puisse être reliée au champ des contenus disciplinaires et permettre ainsi d’avoir une vue globale appréhendant le caractère évolutif des connaissances mathématiques, allant de celles des enfants d’école primaire à celle du mathématicien professionnel.

3En effet, les travaux de Vergnaud ont mis en évidence des passages conceptuels difficiles, des ruptures et des filiations (selon ses propres termes) des caractéristiques de la tâche dont le changement de valeur favorise des changements de procédure chez les élèves. Il est à noter à ce propos la proximité de cette analyse de Vergnaud sur les caractéristiques des problèmes additifs par exemple, de l’analyse par Brousseau en termes de variables : variables de commande ou variables didactiques.

1.2. Du côté des situations

4Mais rapidement, dès la fin des années 1970, et en particulier de par le développement simultané de la théorie des situations par Brousseau, l’interaction schème-situation a été utilisée pour l’étude de l’évolution de connaissances des élèves en classe sur un ensemble articulé de situations qui constituent un processus réalisé en classe avec des interventions de l’enseignant et des phases collectives gérées par ce dernier. Vergnaud a été l’instigateur des premiers exemples très représentatifs d’ingénieries didactiques. Vergnaud a souligné à plusieurs reprises combien la notion de situation a pris une ampleur sans précédent grâce aux idées de Brousseau (Vergnaud, 1994a, p. 180). Il a su aussi en tirer parti par le rôle qu’il fait jouer à l’interaction schème-situation non seulement en didactique des mathématiques mais bien au-delà (didactique professionnelle, analyse des pratiques enseignantes). La complémentarité et le jeu entre deux théorisations qui jouent un rôle important en didactique des mathématiques se sont avérés fructueux. Ce constat est à garder en tête pour l’avenir. Il y a place pour plusieurs théorisations en didactique des mathématiques et le travail d’articulation entre elles contribue à l’avancée de la recherche.

2. Conceptualisation et médiation

5Si le thème de la conceptualisation est moteur dans le travail de Vergnaud, il a connu des variations non seulement sur les terrains sur lesquels il porte mais aussi sur les théories avec lesquelles il a interagi.

6L’« héritage » vygostkien (Vergnaud, 2000a, p. 80), a aussi marqué les travaux qu’il dirige. La notion de médiation, de signe et d’instrument à la base des activités médiées, proposée par Vygostki est transformée et développée grâce à la notion de schème. L’usage de l’outil s’accompagne de l’élaboration de structures permettant l’organisation de l’action du sujet avec l’outil : les schèmes d’utilisation (SU). (Rabardel, 1999). Rabardel distingue ainsi l’artefact, le dispositif utilisé comme moyen d’action et l’instrument construit par le sujet au cours d’un processus de genèse instrumentale qui porte à la fois sur l’artefact et sur les schèmes.

7Or, dans les mathématiques et dans l’enseignement des mathématiques, trop longtemps, on a fait comme si les outils ne changeaient pas la nature des actions menées mais seulement les facilitaient. Ainsi, l’introduction des nouvelles technologies dans l’enseignement a pu être conçue comme pouvant permettre d’éviter les problèmes matériels aux élèves pour les concentrer sur les problèmes conceptuels. Il s’est avéré que les outils introduits posaient des problèmes de manipulation et de nouvelles questions quant à la résolution des tâches données à réaliser aux élèves. En effet, les procédures de solution d’un problème dépendent des outils disponibles : par exemple, calcul avec ou sans calculatrice, étude des variations d’une fonction en papier crayon ou sur une calculatrice, tracé d’un carré sur papier quadrillé, sur papier blanc avec équerre et règle graduée, dans Cabri-géomètre (Hölzl, 1996 ; Hoyles & Jones, 1998 ; Gomes, 1999). Il est à noter que la notion de milieu prend justement en compte les outils disponibles pour le problème, en particulier, le champ d’actions rendu possible par un outil et les contraintes imposées par l’usage d’un outil.

8Les recherches en didactique des mathématiques en France qui ont pris pour objet d’étude l’intégration des TICE (Lagrange et al, 2003), se sont rapidement saisies de la théorie de l’instrumentation. Centrées d’abord sur l’analyse des schèmes d’utilisation dans des tâches données sur calculatrices ou logiciels, elles ont ensuite porté leur attention sur les genèses instrumentales sur un temps plus long (Guin et Trouche, 2002a et 2002b). Il est apparu que connaissances mathématiques et connaissances sur l’artefact étaient étroitement mêlées dans les schèmes d’utilisation et que donc des apprentissages mathématiques peuvent se faire jour au cours du processus de genèse instrumentale : les CAS permettent de promouvoir le travail sur la syntaxe des expressions algébriques (Artigue, 2002, p. 265, Lagrange 2002, p. 171), ou les logiciels de géométrie dynamique peuvent aider les élèves à expliciter les propriétés du losange et à les distinguer de celles du carré (Hoyles & Jones, 1998).

9Le rôle de l’enseignant est certainement critique à ce sujet ainsi que la médiation qu’il fait jouer au langage, comme dans les discussions collectives accompagnant les processus de médiation sémiotique (Bartolini-Bussi & Mariotti, 1999). Vergnaud a souvent évoqué le rôle facilitateur de l’enseignant dans la construction des schèmes chez l’élève apprenant et lancé un appel à la recherche en didactique pour prendre à bras le corps conjointement les deux objectifs que sont l’activité propre de l’élève et celle de médiation de l’enseignant.

3. Une attitude

10Pour conclure sur l’apport de Vergnaud à la didactique des mathématiques, je voudrais élargir mon propos et affirmer que l’apport de Vergnaud se situe aussi dans une attitude, en quelque sorte une conduite de vie dans la pratique de recherche, qu’il formule lui-même (Vergnaud, 1999, p. 58) en conclusion d’une étude consacrée à Piaget et Vygostki. « J’ai choisi de montrer les convergences et les complémentarités plutôt que les divergences. Mais ceci n’exclut pas cela. Une communauté scientifique n’a pas atteint la maturité si elle ignore les apports du passé ou si elle brûle ce qu’elle a adoré ».