1. Brève mise en perspective de l’œuvre de Gérard Vergnaud par rapport à celle de Piaget

1Pour comprendre l’œuvre de Gérard Vergnaud, il me semble d’abord utile d’analyser le rapport de cette œuvre avec celle de Piaget. Ce dernier s’est consacré à l’étude de la genèse des notions dont le modèle repose essentiellement sur la logique. Il affirme, en fonction de l’état de la mathématique de son époque, que les structures opératoires sont de nature logico-mathématique, en référence aux structures-mères de Bourbaki. Un même modèle peut alors rendre compte de l’organisation des notions et de l’organisation de l’intelligence en termes de structures logico-mathématiques. Par ailleurs, il ne faut pas oublier que Piaget a également étudié des notions mathématiques pour elles-mêmes.

2On est là devant un immense problème qui est celui de la didactique des mathématiques. Ce problème est de se donner une description du savoir qui soit la plus pertinente pour la didactification de ce savoir. C’est donc un problème d’épistémologie. À ce problème, Gérard Vergnaud répond de façon novatrice.

3Novatrice parce qu’il a étudié l’acquisition des notions scolaires, en les revalorisant par rapport à l’étude des structures générales de l’intelligence et en donnant un statut épistémologique à l’étude de ces notions scolaires. Le projet de Gérard Vergnaud, comme celui de Piaget, est donc un projet épistémologique. En se penchant sur l’évolution des notions mathématiques enseignées, il prend pour objet d’étude les objets mêmes que doit étudier le didacticien.

4Une idée centrale chez lui est la notion de « complexité psycho-génétique ». L’étude de cette complexité est illustrée par les recherches sur les « structures additives et multiplicatives » qui sont sans doute les plus connues de ses études expérimentales. Son découpage de la complexité de ce savoir se traduit en termes de « champs conceptuels » (Vergnaud, 1990). « Le cadre théorique des “champs conceptuels” est né de cette préoccupation d’avoir les moyens de saisir les filiations et les ruptures au cours des apprentissages scolaires et professionnels. » (Vergnaud, 2002).

5Il est éclairant de se reporter à l’Introduction de son ouvrage « L’enfant, la mathématique et la réalité » publié dès 1981. Cette introduction annonce les différentes questions auxquelles il va se consacrer. Il y a d’abord la conviction que l’étude développementale des notions mathématiques est une base indispensable pour leur didactification. Il écrit : « Les mathématiques forment un ensemble de notions, de relations, de systèmes relationnels qui s’appuient les uns sur les autres. Mais l’ordre dans lequel le mathématicien expose ces notions n’est évidemment pas le même que l’ordre dans lequel l’enfant les acquiert. La notion de complexité n’est pas la même pour le mathématicien et pour le maître » (1981, p. 7). Cette complexité est développée dans la « théorie des champs conceptuels » (Vergnaud, 1990).

6On voit bien, me semble-t-il, le problème posé : il y aurait une description ordonnée du savoir mathématique utile au maître qui soit distincte de celle du mathématicien.

7Pour cette description du savoir utile au maître, il ne faut cependant pas oublier le travail consécutif important de transposition proprement didactique de cette description, ni, à l’opposé, courir le risque d’une transposition sauvage des champs conceptuels.

2. Les objectifs et les réalisations du projet scientifique de Gérard Vergnaud en rapport avec la didactique des mathématiques.

8Dès 1981, Gérard Vergnaud prend position sur la nature de cet ordre de complexité. Il écrit : « L’ordre de complexité croissante des notions acquises par l’enfant n’est d’ailleurs pas un ordre total ou linéaire, au sens où l’enfant devrait nécessairement acquérir la notion A, puis la notion B, puis la notion C, etc. C’est un ordre partiel ou à plusieurs branches, car des notions A et B peuvent fort bien être acquises indifféremment dans un ordre ou dans un autre, ou simultanément, tout en étant elles-mêmes préalables à l’acquisition d’une autre notion C » (1981, pp. 7-8). Il conclut sur ce point : « Ainsi, l’un des problèmes les plus importants de la didactique est de dégager l’ordre dans lequel les notions peuvent être acquises par l’enfant, compte tenu que l’ordre de complexité ainsi dégagé ne peut être qu’un ordre partiel et qu’il donnera lieu éventuellement à l’apprentissage simultané de notions relativement indépendantes » (ibid., p. 8).

9Le projet de Gérard Vergnaud s’apparente donc à celui de Piaget, à savoir établir une description du savoir qui s’appuie sur la genèse des notions chez l’enfant. Mais l’un envisage cette description comme une genèse dont l’ordre d’acquisition est un processus unidimensionnel (modulo les « décalages horizontaux » chez Piaget), et l’autre présente cette description comme ayant « plusieurs branches ». Cette différence sur ce point est sans doute liée au fait que Gérard Vergnaud étudie les savoirs scolaires et non l’intelligence comme Piaget. Ainsi, pour rendre compte de l’organisation des savoirs chez l’enfant, les champs conceptuels, même s’ils sont désignés par le terme de structures (« structures additives », « structures multiplicatives »), se substituent aux structures logico-mathématiques caractéristiques de la description piagétienne de l’intelligence. Mais les deux s’accordent pour une approche développementale. Celle-ci est autant nécessaire à la didactique qu’à la psychologie génétique.

10Un second point du programme qu’expose Vergnaud dans l’Introduction de « L’enfant, la mathématique et la réalité » (1981) concerne l’analyse des tâches scolaires. Il écrit « Mais cette analyse des notions à faire acquérir par l’enfant et de leur ordre d’acquisition ne suffit pas. En effet cette acquisition se fait à travers des tâches scolaires de nature diverse : étude de situations nouvelles, manipulations opératoires, leçons du maître, analyses et discussions collectives, exercices » (id., p. 8). On peut mesurer aujourd’hui le volume et la qualité des travaux en didactique des mathématiques, qui ont été consacrés à cette question.

11Le troisième point du programme concerne l’analyse des procédures, par l’intermédiaire de l’analyse des réussites et des erreurs de l’élève confronté à des tâches scolaires : « L’analyse des réussites et des erreurs fait partie intégrante de l’analyse générale des procédures. » (ibid., p. 9). Mais « l’analyse des procédures ne suffit pas elle-même pour conduire jusqu’au bout l’analyse scientifique des problèmes posés par l’enseignement des mathématiques. En effet les moyens utilisés par l’enfant, les chemins qu’il suit pour résoudre un problème ou atteindre l’objectif demandé dans une tâche scolaire donnée, sont profondément enracinés dans la représentation qu’il se fait de la situation » (ibid., p. 9). On trouve là un apport majeur de l’œuvre de Vergnaud avec l’importance accordée à la notion de représentation. S’opposant vigoureusement au behaviorisme qui nie l’intérêt de cette notion de représentation, il la place au centre du processus de conceptualisation. Il s’agit de parcourir les méandres de la filiation entre action et conceptualisation.

12Comment étudier cette représentation ? Tout d’abord en évitant la réduction de la notion de représentation à celle de signe ou de symbole car elle couvre aussi la notion de concept.

13« La connaissance consiste à la fois en signifiés et en signifiants : elle n’est pas formée seulement de symboles mais aussi de concepts et de notions qui reflètent à la fois le monde matériel et l’activité du sujet dans ce monde matériel » (ibid., p. 10). On doit donc partir de l’activité du sujet pour étudier la représentation et la conceptualisation.

14Il reste à trouver quelle unité d’analyse de la représentation est la plus pertinente. Face à cette question, Vergnaud renouvelle et enrichit la notion de « schème » utilisée par Piaget. Le schème est au centre de l’organisation de l’activité. Cette notion de schème précise l’état de la représentation caractéristique de l’organisation, à un moment donné, d’un ensemble de conduites sur une tâche ou une classe de tâches. L’évolution des connaissances se mesure à l’aune de la réorganisation progressive des schèmes au fur et à mesure de l’avancement de l’activité en situation. Le schème est à considérer sous un angle dynamique, moteur de la construction des connaissances. Il fait partie de la représentation et en constitue une unité qui permet de la comprendre.

15Dans un article de 2001, où il reprend les concepts piagétiens en les éclairant par la didactique, Gérard Vergnaud insiste sur le couple schème situation. Il écrit :

« Le couple conceptuel “schème– situation” est la clef de voûte de la psychologie cognitive et de la théorie de l’activité : pour cette raison simple que la connaissance étant adaptation, ce sont les schèmes qui s’adaptent, et qu’ils s’adaptent à des situations. (…) C’est la recherche en didactique… (pour un exposé systématique voir la “Théorie des situations didactiques” (1998) de Guy Brousseau)… qui a permis de sortir le concept de situation des oubliettes du sens commun et d’en faire un concept scientifique et pratique, avec lequel il soit possible d’agir : notamment de produire des effets d’apprentissage et de prise de conscience, en manipulant certaines variables de situation. » (Vergnaud, 2001b).