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    Plan détaillé Texte intégral Le tiers exclu La preuve par l’absurde Les mathématiques : réalité ou construction ? Bibliographie Notes de bas de page Auteur

    Faire preuve

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    3

    La controverse autour de la preuve par l’absurde en mathématiques

    Mathieu Marion

    p. 61-74

    Texte intégral Le tiers exclu La preuve par l’absurde Les mathématiques : réalité ou construction ? Bibliographie Notes de bas de page Auteur

    Texte intégral

    1On associe volontiers à la notion de preuve un caractère normatif, en ceci que la preuve devrait pouvoir servir à arbitrer nos débats comme elle le fait dans une cour de justice : entre deux opinions divergentes, si la preuve penche d’un côté, nous devrions nous y ranger. Pourtant, les controverses socioscientifiques des dernières années, sur le réchauffement climatique, la vaccination ou encore l’efficacité de mesures comme le port du masque pour prévenir la transmission du virus responsable de la COVID-19, ont montré les limites de cet idéal normatif : il suffit, pour l’anéantir, de ne pas s’entendre sur « ce qui fait preuve » (voir les chapitres de É. Montpetit et A. Lemor et de J. Prud’homme). Comment expliquer ce phénomène ? Un réflexe consiste à blâmer le manque d’éducation d’une des parties (Bodmer, 1985) : c’est qu’on appelle aujourd’hui le « deficit model », qui persiste malgré de nombreuses critiques (Simis et al., 2016). En réalité, pour que tous puissent reconnaître la validité d’une preuve, on doit présupposer plus qu’une simple capacité acquise par l’éducation : il faut aussi partager au préalable ce qu’on peut appeler une « conception du monde » (ou « worldview », Kahan, Jenkins‐Smith et Braman, 2011). Ce serait donc plutôt parce qu’ils ne partagent pas la même « vision du monde » que les participants à un débat ne s’entendent pas sur « ce qui fait preuve ».

    2Paul Boghossian fournit un exemple de cela dans l’introduction de son ouvrage La peur du savoir. Il y traite du conflit entre la preuve amassée par les archéologues à propos de l’origine des peuples autochtones d’Amérique du Nord, qui seraient passés par le détroit de Béring, et le récit complètement différent de leurs origines par les Sioux Lakotas de la rivière Cheyenne. (La question de savoir si on doit tenir compte du savoir autochtone dans le cadre de fouilles archéologiques a une dimension politique dont rien de ce qui suit ne préjuge.) J’aimerais illustrer ici cette idée en montrant que de tels conflits surviennent même au sujet des preuves mathématiques et à l’intérieur même de la communauté mathématique, en présentant un débat qui oppose deux « visions » ou, plus précisément, deux thèses divergentes sur la nature des objets et de la réalité mathématiques.

    3Les preuves mathématiques ont un statut particulier : non seulement toute personne compétente pour suivre les étapes d’une preuve doit reconnaître la vérité de la conclusion, mais aussi l’énoncé mathématique ainsi prouvé est reconnu « nécessaire », en ceci qu’il ne souffre aucune exception, la preuve ne lui fournissant pas qu’un simple soutien uniquement statistique ou probabiliste (voir le chapitre de Y. Gingras). En termes simples, s’il est prouvé que deux et deux font quatre, alors vous pouvez additionner deux et deux autant de fois que vous voudrez, vous n’obtiendrez jamais trois ni cinq, à moins d’avoir fait une erreur. On reconnaît aussi à l’énoncé mathématique prouvé un statut définitif : lorsqu’une preuve est formulée, elle est soumise à un processus de vérification par les pairs et, le cas échéant, acceptée comme stable et irrévocable ; il est très rare qu’on n’y découvre des failles qu’après plusieurs années. Les preuves ayant passé ce test sont reconnues sans faille : on peut les simplifier, en étendre la portée ou établir une nouvelle preuve procédant par un nouveau chemin (le théorème de Pythagore a pour l’instant près de 370 preuves), mais elles ne sont pas « révisables ». Comme le disait le philosophe Wittgenstein, l’énoncé mathématique est « archivé » : il est prouvé une fois pour toutes et pourra servir de « lemme » dans la preuve d’autres énoncés. C’est ce qu’on appelle la propriété de « monotonicité » des preuves.

    4Ce statut particulier des preuves et des énoncés mathématiques en fait un cas paradigmatique pour nos débats publics, qu’illustre le personnage de Winston dans 1984, de George Orwell, lorsqu’il craint que le Parti ne finisse par lui imposer que deux et deux font cinq. D’où son mot célèbre, à la toute fin du chapitre VII de la première partie, que « [l]a liberté, c’est la liberté de dire que deux et deux font quatre. Lorsque cela est accordé, le reste suit ». Il ne sera question, dans ce qui suit, ni du relativisme et de ses dangers présumés ni d’arithmétique élémentaire comme « deux et deux font quatre », mais d’un débat déjà plus que centenaire sur le principe de la « réduction à l’absurde » (reductio ad absurdum), qui a l’avantage de mettre en évidence un conflit entre des « visions » sous-jacentes. Nous examinerons la question des preuves mathématiques sous l’angle de la logique mathématique, plus précisément de la « théorie des démonstrations » ou « théorie de la preuve », dont le concept central est celui d’« inférence déductive »1.

    Le tiers exclu

    5Le premier système de « logique mathématique » dans l’histoire est L’idéographie, de Gottlob Frege, publiée en 1879. Son but était d’établir un système de logique dans lequel on pourrait transcrire les preuves de l’arithmétique pour les présenter étape par étape, un peu comme une chaîne dont chaque maillon correspond à une inférence. Dans sa préface, Frege ajoute qu’il veut aussi fournir des preuves « sans lacunes » (Frege, 1999, [1879], p. 6), c’est-à-dire sans ces interstices entre deux maillons de la chaîne dans lesquels pourrait s’insérer une intuition, voire une erreur. Les inférences correspondent à l’application de règles de logique (codifiées par Frege sous forme d’axiomes), par exemple lorsqu’on met bout à bout une preuve de A et une preuve de B pour former « A & B », « & » étant le symbole logique pour la conjonction « et ». Frege voyait aussi son système comme une étape dans la réalisation du rêve de Leibniz d’établir un langage symbolique pour l’expression des pensées rationnelles, la characteristica universalis, et une sorte d’abaque, le calculus ratiocinator, qui pourrait évaluer la vérité ou la fausseté de chacune d’entre elles. Les projets plus contemporains d’une mécanisation des mathématiques, tels que les projets QED ou Flyspeck, sont des tentatives de réaliser ce calculus ratiocinator pour les énoncés mathématiques (Avigad, 2018). Si un objectif à long terme est de mécaniser la découverte de nouvelles preuves, il y a pour l’instant encore loin de la coupe aux lèvres et les sceptiques sont nombreux. Mais les mathématiques sont au moins « formalisables », en ce sens que les systèmes d’assistant (proof assistant) ou de vérification des preuves (proof checking), tels que Coq, HOL, Isabelle et Mizar, sont d’usage courant pour vérifier des preuves et pour détecter des erreurs dans des preuves qui seraient particulièrement longues à vérifier « à la mitaine », même pour une équipe de mathématiciens. Pour ne prendre qu’un seul exemple, la preuve à l’aide de Coq, par Georges Gonthier, du théorème des quatre couleurs (qui énonce que quatre couleurs suffisent pour colorier n’importe quelle carte planaire découpée en régions connexes) a mis fin à une controverse sur une preuve informatique des années 1970, qui testait un million de coloriages à l’aide d’un programme IBM (Gonthier, 2008).

    6Il existe cependant des désaccords sur les preuves en mathématiques, qui ne portent pas sur leur longueur ni sur l’usage de l’informatique, mais plutôt sur les règles ou les principes employés dans certaines preuves. Le désaccord le mieux connu de ce genre concerne le « principe du tiers exclu » ou tertium non datur, dont on doit la première formulation explicite à Aristote : « il n’est pas possible [...] qu’il y ait un intermédiaire entre des énoncés contradictoires : il faut nécessairement soit affirmer, soit nier un seul prédicat, quel qu’il soit, d’un seul sujet » (Métaphysique, livre IV, 1011b, 23-25). Autrement dit, pour un objet et un prédicat quelconques, soit c’est le cas que l’objet possède cette propriété, soit ce n’est pas le cas : il n’y a pas de tierce possibilité. On peut exprimer ce principe de la façon suivante avec « ∨ », le symbole pour « ou », et « ¬ », qui est le symbole pour la négation :

    7Cette formule peut donc se lire comme suit : ou bien « c’est le cas que A » ou bien « ce n’est pas le cas que A » ; il n’y a pas d’autre possibilité.

    8Selon une définition plus rigoureuse, une preuve est constituée d’une suite finie de formules (elles-mêmes « bien formées ») à partir d’un ou des axiomes (tirés d’un ensemble fini de ceux-ci), dont chaque étape est une inférence qui résulte de l’usage d’une règle de logique, provenant elle-même d’un ensemble fini de règles, et se terminant par la formule prouvée. La notion de « conséquence logique » permet de définir la notion clé de « validité » : une inférence est « valide » si, dans tous les cas où les prémisses sont toutes vraies, la conclusion l’est aussi. Un cas où toutes les prémisses seraient vraies mais où la conclusion serait fausse serait un contre-exemple qui rendrait l’inférence invalide. Le désaccord qui nous intéresse oppose, d’un côté, les mathématiciens qui acceptent le principe du tiers exclu sous la forme de la réduction à l’absurde, et qui acceptent par-là les preuves faisant appel à ce principe et donc l’ensemble des mathématiques dites « classiques », et, d’un autre côté, les mathématiciens « constructivistes », qui refusent de l’utiliser.

    9Pour mieux comprendre l’enjeu, considérons un exemple simple et souvent cité d’une preuve non constructive d’un théorème selon lequel « il existe deux nombres irrationnels a et b et un rationnel c, tel que ab = c ». La preuve a comme point de départ une application du tiers exclu : soit le nombre (√2)√2 est rationnel, soit il est irrationnel. Examinons ces deux cas possibles dans l’ordre. D’une part, si ce nombre est rationnel, il suffit de prendre a = b = √2, donc c = (√2)√2, et on a bien ce qu’on cherche : a et b sont irrationnels et c est rationnel. D’autre part, si (√2)√2 est irrationnel, il suffit de prendre plutôt a = (√2)√2 et b = √2. Pour ab = c, on a alors : (√2√2)√2 = (√2)2 = 2. On obtient donc encore une fois le résultat que a et b sont irrationnels et que c est rationnel, et le théorème est prouvé.

    10Cette preuve utilise, en vertu du principe du tiers exclu, la disjonction entre le cas où le nombre (√2)√2 est rationnel et le cas inverse où il est irrationnel, mais sans nous dire laquelle des deux propositions est la bonne, puisque ni la rationalité ni l’irrationalité de (√2)√2 ne sont prouvées. C’est ce qu’on appelle une « preuve d’existence » : elle nous confirme qu’il existe bien deux nombres irrationnels a et b et un nombre rationnel c, tel que ab = c, mais elle ne nous dit tout simplement pas lesquels. Parce qu’on nous dit que ces nombres doivent exister sans nous les fournir, le mathématicien Hermann Weyl comparait ce genre de preuve à une carte au trésor sans le « X » qui désignerait le lieu où il est caché. Tandis qu’un mathématicien « classique » peut se contenter de cette preuve d’existence, le constructiviste réclame que ces nombres soient fournis. On fait habituellement remonter l’origine du constructivisme mathématique au Berlinois Leopold Kronecker et à son projet d’« arithmétisation » de l’algèbre et de la théorie des nombres réels. Pour lui, seule la suite des nombres naturels est donnée : tout le reste doit être construit en n’utilisant que des définitions de propriétés permettant de vérifier, en un nombre fini d’étapes, si un nombre quelconque possède ou non la propriété considérée. La preuve « logique » proposée plus haut lui aurait déplu et il aurait très certainement demandé une preuve de la rationalité ou de l’irrationalité de (√2)√2.

    11La vaste majorité des mathématiciens ne sont pas constructivistes : ils répondraient donc que cette preuve est valide, même si elle peut être perçue comme insatisfaisante, et que, par ailleurs, de très nombreuses preuves non constructives sont, contrairement à cet exemple pédagogique, extrêmement difficiles et importantes. Le mathématicien hollandais L. E. J. Brouwer a cependant franchi une étape de plus dans la critique des mathématiques « classiques » en reconsidérant la logique sous-jacente aux preuves d’existence par la méthode de réduction à l’absurde, en employant un argument mettant en cause la fiabilité du principe du tiers exclu, dans un article paru en 1908 et justement intitulé « Que les principes de la logique ne sont pas fiables » (Brouwer, 2014). Cet article est à l’origine de ce qu’on appelle la « logique intuitionniste », l’intuitionnisme de Brouwer étant l’un des multiples projets de mathématiques constructivistes. Pour suivre Brouwer, il faut regarder de près le fonctionnement de la méthode de preuve par l’absurde.

    La preuve par l’absurde

    12Nous avons vu que la preuve par l’absurde consiste à démontrer la vérité d’une proposition A en faisant plutôt l’hypothèse de sa contradictoire ¬ A pour ensuite déduire de cette hypothèse une contradiction. En vertu de cette contradiction, on doit conclure, à strictement parler, qu’on ne peut pas affirmer ¬ A, c’est-à-dire que « ce n’est pas le cas que ce n’est pas le cas que A », une double négation qui s’écrit « ¬ ¬ A ». Or, pour pouvoir affirmer A, il faut aussi que la double négation implique l’affirmation, soit que « ¬ ¬ A implique A ». Avec « → » symbolisant l’implication logique, cette prémisse s’exprimerait donc ainsi :

    13C’est ce qu’on appelle l’« élimination de la double négation », qui, en vertu du raisonnement qui vient d’être exposé, est équivalente au principe du tiers exclu, A ∨ ¬ A. (La converse est aussi possible : A → ¬ ¬ A, mais elle n’est pas problématique pour une raison que nous verrons à l’instant.) On peut aussi représenter l’élimination de la double négation sous la forme d’une règle de déduction naturelle (pour ces règles, voir Mancosu, Galvan et Zach, 2022, chap. III) où le signe de l’implication est remplacé par une barre horizontale, qui indique l’inférence déductive qui nous amène de « ¬ ¬ A » à « A » :

    14Enfin, en utilisant, pour la contradiction, le symbole « ⊥ », qui signifie l’« absurdité », et les trois petits points à la verticale qui laissent une trace de l’ellipse des étapes présumées menant à la contradiction, on peut donc représenter plus exactement la preuve par l’absurde comme suit :

    15En effet, cela se lit de haut en bas ainsi : de l’hypothèse que « ce n’est pas le cas que A », il s’ensuit (par des étapes représentées ici par les trois petits points) une contradiction/absurdité ; donc, je peux inférer (la barre horizontale) que « c’est le cas que A ».

    16Cependant, nous avons vu que le passage de l’absurdité ⊥ à A suppose implicitement l’élimination de la double négation. Il faudrait donc lire plutôt : « de l’hypothèse que ce n’est pas le cas que A s’ensuit une contradiction/absurdité, donc, je peux inférer que ce n’est pas le cas que ce n’est pas le cas A, et donc je peux inférer, par élimination de la double négation, que c’est le cas que A :

    17Or, cette représentation plus précise de notre raisonnement nous montre qu’en faisant tout cela, nous n’avons pas tout à fait prouvé A. Nous avons seulement prouvé que l’hypothèse de son contraire ¬ A mène à l’absurdité, donc que ¬ ¬ A. L’étape suivante, soit l’élimination de la double négation, ne comporte aucun contenu autre que logique : elle n’implique aucune « construction » mathématique de A et n’offre qu’une affirmation en quelque sorte mathématiquement « vide » que cela doit être le cas que A. Brouwer, fidèle ici aux idées de Kronecker, ne peut pas admettre que l’affirmation A ait été prouvée, puisqu’on sait uniquement que « ce doit être logiquement le cas que A » sans construction explicite de A. Brouwer peut uniquement accepter cette version de la preuve par l’absurde :

    18Il est cependant hors de question pour lui d’ajouter l’inférence de ¬ ¬ A à A. Ainsi, selon lui, si ¬ A mène à une contradiction/absurdité ⊥, nous sommes justifiés d’affirmer mathématiquement que « ce n’est pas le cas que ce n’est pas le cas que A », mais pas que « c’est le cas que A », puisque que ce saut ne peut être fait que par l’application de la règle de logique de l’élimination de la double négation ¬ ¬ A → A.

    19Notons que la version précédente n’est qu’un cas particulier de ce qu’on appelle la « reductio intuitionniste » qui s’exprime ainsi (il suffit d’enlever un signe « ¬ » à la prémisse et à la conclusion pour le voir) :

    20Une telle formulation reste « constructive » et elle est parfaitement acceptable pour Brouwer, puisque la conclusion est simplement qu’on ne peut pas prouver que ce soit le cas que A : prouver l’impossibilité d’une construction n’est pas la même chose que de prouver l’existence d’une construction du simple fait que la construction à partir de l’hypothèse contradictoire est impossible.

    Les mathématiques : réalité ou construction ?

    21Certes, la vaste majorité des mathématiciens préfèrent en général une preuve constructive, entre autres pour l’information supplémentaire qu’elle fournit, à une preuve non constructive. Par contre, cette majorité tient aussi à la méthode de preuve par l’absurde et aux résultats qu’on ne peut obtenir que par elle, en l’absence de preuve constructive possible. Mais quelle justification, outre une forme de « pragmatisme », peut-on avancer pour maintenir ainsi le recours à la preuve par l’absurde « classique » ? C’est sur ce point que se situe le conflit entre deux « conceptions du monde », à proprement parler entre deux visions antagonistes de la « réalité mathématique ».

    22Il est utile, pour en parler, d’introduire la contrepartie « sémantique » du principe du tiers exclu (qui est syntaxique), soit le « principe de bivalence ». Ce principe pose que « tout énoncé est soit vrai, soit faux ». Un énoncé ne peut donc être « ni vrai ni faux » et ne peut pas non plus être « à la fois vrai et faux ». Ces conditions impliquent que tout énoncé possède une valeur de vérité et que celle-ci doit être, de manière exclusive, soit le vrai, soit le faux. Ce principe est sémantique puisqu’il parle de la vérité, qui est une relation entre les énoncés et « ce qui les rend vrais », les « vérifacteurs » (truth-makers). Pour les tenants des mathématiques classiques, les vérifacteurs sont des faits mathématiques indépendants des constructions des mathématiciens. Pour les constructivistes, par contre, ce rôle de tels vérifacteurs indépendants n’est pas possible, car ce sont seulement les « preuves » elles-mêmes, c’est-à-dire les enchaînements d’inférences, qui « rendent vrai » (Sundholm, 1994).

    23La bivalence, que les constructivistes rejettent avec le tiers exclu, est donc étroitement liée à une forme de « réalisme » sémantique. On peut le voir en utilisant ici une « conjecture », c’est-à-dire un énoncé mathématique qui n’est pas encore prouvé, en l’occurrence la « conjecture de Goldbach » : « Tout nombre naturel pair plus grand que 2 est la somme de deux nombres premiers. » On ne connaît pour l’instant aucun contre-exemple à cette conjecture : c’est une raison de croire qu’elle est vraie, mais, tant que le raisonnement employé ne résultera pas d’une preuve mathématique, nous ne pourrons pas dire que nous savons qu’elle est vraie. Devant cette absence d’une preuve, l’adhésion au principe de bivalence nous invite à postuler tout de même des objets et une réalité mathématiques qui rendent la conjecture vraie (ou fausse), indépendamment de l’état actuel de nos connaissances. Cette hypothèse philosophique est ce qu’on appelle depuis Poincaré le « platonisme mathématique », puisque, à l’instar des formes platoniciennes, ces objets sont considérés comme réels, bien qu’étant hors du cadre spatiotemporel de la physique. Nul besoin de dire que c’est une conception difficile à accepter pour tout « naturaliste », qui réduit « ce qui est » à ce qui existe dans ce cadre.

    24De même, cette réalité mathématique rend la conjecture de Goldbach vraie ou fausse indépendamment de nos connaissances, le problème étant que nous ne sommes pas en mesure de le savoir. Si la réalité mathématique rend la conjecture vraie, une éventuelle preuve ne sera plus qu’un moyen de confirmer ce que nous pressentions. Le même raisonnement vaut pour la preuve par l’absurde en mathématiques « classiques » : le passage de ¬ ¬ A à A, qu’on a exposé plus tôt, est considéré comme légitime parce qu’on postule l’existence d’objets mathématiques qui existent en soi, indépendamment de nos constructions mathématiques. Leur existence permet d’affirmer le principe du tiers exclu : si l’hypothèse que « ce n’est pas le cas que A » mène à une contradiction, alors l’existence d’une réalité mathématique indépendante, platonicienne, doit rendre vrai l’énoncé A.

    25Brouwer était plutôt inspiré par Kant, pour qui, dans sa Critique de la raison pure, les mathématiques procèdent « par construction de concepts » (A 713/B 741), et il ne croyait donc pas en l’existence d’une réalité mathématique indépendante de ses propres constructions. Plus précisément, Brouwer croyait que les mathématiques résulteraient de « constructions mentales » humaines mais indépendantes du langage, dans lequel on en transcrirait les résultats : le défaut de cette transcription serait qu’une fois formulées dans le langage, les preuves pourraient être en quelque sorte prolongées par des extrapolations non mathématiques en usant d’opérations logiques, comme le passage de ¬ ¬ A à A dont nous avons parlé, qui permettraient d’accepter A sans qu’on puisse posséder la construction mentale correspondante. C’est donc en vertu d’une vision « constructiviste » de la réalité des mathématiques que Brouwer ne pouvait pas accepter le passage de ¬ ¬ A à A par la méthode de réduction à l’absurde « classique » et qu’il rejetait, comme Kronecker, les résultats obtenus par ce type de preuve. Les intuitionnistes qui ont suivi Brouwer ont épuré sa philosophie, notamment de son « psychologisme », et en ont conservé l’idée principale, à savoir que c’est une preuve qui « rend vrai » un énoncé mathématique, et non un « fait » ou des « objets » qui existeraient hors du cadre spatiotemporel de la physique.

    26Pour éviter toute méprise sur le sens du « constructivisme mathématique », il faut éviter de le confondre avec une forme de « constructivisme social » selon lequel l’accord de la communauté scientifique précèderait et créerait les « faits » – une erreur que ne commettait pas Ian Hacking, qui préférait d’ailleurs l’expression « constructionnisme social » pour désigner ce dernier, afin de réserver l’expression « constructivisme » au constructivisme mathématique (Hacking 2001, p. 73 ; voir le chapitre de L. Delias et al.). Pour illustrer la différence, on pourrait paraphraser la question de Socrate qui est à la source du « dilemme d’Euthyphron » : « Le pieux est-il aimé des dieux parce qu’il est pieux, ou est-il pieux parce qu’il est aimé des dieux ? », et demander à notre tour « une preuve est-elle reconnue valide par la communauté mathématique parce qu’elle est valide, ou est-elle valide parce que la communauté mathématique la reconnaît valide ? » Tout comme Socrate, pour qui « le pieux est aimé des dieux parce qu’il est pieux », les participants au débat sur le principe du tiers exclu reconnaissent tous « qu’une preuve est reconnue valide par la communauté mathématique parce qu’elle est valide » et non l’inverse. Cela est tout aussi vrai des défenseurs des mathématiques « classiques » que des constructivistes, qui reconnaissent tous l’« objectivité » des preuves. En ce sens, la porte reste fermée au « relativisme » concomitant à toute forme de constructionnisme social, dont celui contre lequel Boghossian (2009) argumente dans La peur du savoir.

    * * *

    27Le fait qu’une des parties de cette controverse, les constructivistes, est fortement minoritaire ne démontre pas par lui-même qu’elle est dans l’erreur. Quoi qu’il en soit de la résolution de cette controverse, le but de ce texte est de montrer une opposition entre deux visions incompatibles de la réalité mathématique, dont la conséquence est le rejet par les uns de certaines preuves mathématiques qui sont acceptées par les autres. Or, pour revenir à notre point de départ, la dispute n’a assurément rien à voir avec le manque d’éducation d’une des deux parties (voir le chapitre de M. Kao).

    Bibliographie

    Avigad, Jeremy, « The Mechanization of Mathematics », Notices of the American Mathematical Society, vol. 65, no 6, 2018, p. 681-690.

    Bodmer, Walter, Public Understanding of Science : Report of the Royal Society’s Ad Hoc Group, Londres, Royal Society, 1985.

    Boghossian, Paul, La peur du savoir. Sur le relativisme et le constructivisme de la connaissance, Marseille, Agone, 2009.

    Brouwer, L. E. J., « “Que les principes de la logique ne sont pas fiables”. Nouvelle traduction française annotée et commentée de l’article de 1908 de L. E. J. Brouwer », Revue d’histoire des sciences, vol. 67, no 2, 2014, p. 257-281.

    Kahan, Dan M., Hank Jenkins-Smith et Donald Braman, « Cultural Cognition of Scientific Consensus », Journal of Risk Research, vol. 14, no 2, 2011, p. 147-174.

    David, René, Karim Nour et Christophe Raffalli, Introduction à la logique. Théorie de la démonstration. 2e éd., Paris. Dunod, 2003.

    Frege, Gottlob, L’idéographie, traduction de Corinne Besson, Paris, Vrin, 1999.

    Gonthier, Georges, « Formal Proof – The Four Colour Theorem », Notices of the American Mathematical Society, vol. 55, no 11, 2008, p. 1382-1393.

    Hacking, Ian, Entre science et réalité : la construction sociale de quoi ?, Paris, La Découverte, 2001.

    Mancosu, Paolo, Sergio Galvan et Richard Zach, Introduction à la théorie de la démonstration, Paris, Vrin, 2022.

    Simis, Molly J., Haley Madden, Michael A. Cacciatore et Sara K. Yeo, « The Lure of Rationality: Why does the Deficit Model Persists in Science Communication? », Public Understanding of Science, vol. 25, no 4, 2016, p. 400-414.

    Sundholm, Göran, « Existence, Proof and Truth-Making : A Perspective on the Intuitionistic Conception of Truth », Topoi, vol. 13, 1994, p. 117-126.

    Wagner, Pierre, Logique et philosophie. Manuel d’introduction pour les étudiants du supérieur, Paris, Ellipses, 2014.

    Notes de bas de page

    1Pour une introduction à ce sujet, le lecteur pourra consulter avec profit les travaux de Wagner (2014) et, dans le cas d’ouvrages plus avancés, ceux de David, Nour et Raffalli (2003) ou de Mancosu, Galvan et Zach (2022). Il existe une autre approche en logique mathématique, celle de la « théorie des modèles », fondée sur le concept de « conséquence logique », mais nous la laissons de côté ici afin de garder le propos le plus simple possible.

    Auteur

    • Mathieu Marion
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    11. L’épistémologie de Russell : de la logique mathématique aux vertus épistémiques

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    1Pour une introduction à ce sujet, le lecteur pourra consulter avec profit les travaux de Wagner (2014) et, dans le cas d’ouvrages plus avancés, ceux de David, Nour et Raffalli (2003) ou de Mancosu, Galvan et Zach (2022). Il existe une autre approche en logique mathématique, celle de la « théorie des modèles », fondée sur le concept de « conséquence logique », mais nous la laissons de côté ici afin de garder le propos le plus simple possible.

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    Marion, M. (2025). La controverse autour de la preuve par l’absurde en mathématiques. In J. Prud’homme & M. Kao (éds.), Faire preuve. Montréal: Presses de l’Université de Montréal. https://doi.org/10.4000/14ugo
    Marion, Mathieu. « La controverse autour de la preuve par l’absurde en mathématiques ». In Faire preuve, édité par Julien Prud’homme et Molly Kao. Montréal: Presses de l’Université de Montréal, 2025. doi:10.4000/14ugo.
    Marion, Mathieu. « La controverse autour de la preuve par l’absurde en mathématiques ». Faire preuve, édité par Julien Prud’homme et Molly Kao, Presses de l’Université de Montréal, 2025, https://doi.org/10.4000/14ugo.

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    Prud’homme, J., & Kao, M. (éds.). (2025). Faire preuve. Montréal: Presses de l’Université de Montréal. https://doi.org/10.4000/14ugt
    Prud’homme, Julien, et Molly Kao, éd. Faire preuve. Montréal: Presses de l’Université de Montréal, 2025. doi:10.4000/14ugt.
    Prud’homme, Julien, et Molly Kao, éditeurs. Faire preuve. Presses de l’Université de Montréal, 2025, https://doi.org/10.4000/14ugt.
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