1Si on examine l’évolution des pratiques d’enseignement des mathématiques à l’école, on serait en droit de douter de l’impact réel des savoirs en didactique des mathématiques, du moins de nous demander comment il se fait qu’il y ait un tel hiatus entre l’utilité supposée de ces savoirs et l’usage effectif qui en est fait.

2Cette question peut être travaillée de nombreuses manières, suivant le lieu d’où elle est posée. Un formateur d’enseignants estimera par exemple que la formation initiale est trop courte ou trop mal organisée pour qu’un jeune enseignant puisse acquérir les savoirs mathématiques, didactiques et psychologiques ainsi que les représentations de la nature de l’activité mathématique nécessaires à l’utilisation convenable des « produits » de l’activité scientifique des chercheurs, dont ceux concernant le cognitif. Un chercheur en didactique des mathématiques, ayant comme objet d’étude la formation des enseignants, pourra s’interroger sur la transposition des contenus de didactique du champ de la recherche à celui de la formation, et sur leur intégration aux « savoirs d’expérience1 » mis en œuvre dans une situation d’enseignement. Dans le paradigme de la théorie anthropologique de Chevallard, on pourra examiner les rapports possibles entre l’institution productrice des savoirs didactiques et la ou les institutions utilisatrices2.

3Pour exposer les interrogations sur la prise en compte du cognitif dans le travail de recherche en didactique auxquelles la confrontation à cette question m’a conduite, je m’appuierai sur les observations hebdomadaires de classes de mathématiques auxquelles je participe au Centre pour l’Observation et la Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (COREM)3 et sur une relecture de travaux de didactique qui y ont été menés récemment dans le cadre de thèses dirigées par Guy Brousseau.

4Le COREM de Talence, dont le « cœur » est constitué d’une école primaire, a été créé en 1973 par Guy Brousseau4 pour :

• mener à bien les recherches indispensables à l’avancement de la connaissance des phénomènes d’enseignement des mathématiques ;
• concevoir et étudier des situations d’enseignement nouvelles qui permettent une meilleure appropriation de cette discipline par les élèves ;
• développer ainsi la constitution d’un corps de connaissances nécessaires à la formation des enseignants5.

5Son existence permet la réalisation de deux types d’observations de classes :

1. des observations qui constituent un moment essentiel des recherches utilisant l’ingénierie didactique comme méthodologie ;
2. des observations destinées à dégager et expliquer des phénomènes de didactique, concernant l’enseignement « tel qu’il se pratique ». Dans ce cas, le chercheur n’assume pas de responsabilité dans le choix et la gestion des activités didactiques.

6L’apport de ce dispositif d’observation au développement de la recherche en didactique est manifeste dans l’ensemble des travaux dirigés par Brousseau, s’appuyant sur des observations réalisées à l’école primaire.

7Depuis plusieurs années, les demandes faites au COREM exigeant l’observation d’ingénieries nouvelles sont moins nombreuses. En dehors des moments où de telles observations sont réalisées, nous avons mis en route des observations portant sur des séquences de classe que nous qualifions d’ordinaires, à partir du moment où il n’y a pas eu de préparation spécifique avec un chercheur sur leur mise au point avant l’observation. Les leçons observées peuvent avoir été élaborées au cours de recherches plus ou moins récentes et avoir été intégrées dans le cursus normal ou relever de contenus jamais étudiés et donc de la responsabilité propre de l’équipe enseignante.

8L’observation hebdomadaire de ces séquences, à laquelle participent des chercheurs et une partie des enseignants de l’école, comprend une séance de classe suivie d’une analyse « à chaud », le tout étant enregistré et classé.

9Elle s’inscrit dans une démarche de recherche sur les phénomènes d’enseignement concernant les pratiques courantes de classe. L’objectif est de pointer divers phénomènes pouvant porter tant sur la conception de la leçon que sur sa mise en œuvre par l’enseignant. Il ne s’agit pas de mettre en cause le fonctionnement personnel de ce dernier mais de dégager les facteurs liés à la situation didactique qui déterminent pour une part ce fonctionnement.

10L’un des phénomènes que nous avons repérés est la persistance des pratiques ostensives utilisées par les enseignants de l’école, bien qu’ils connaissent leurs limites du point de vue des apprentissages des élèves. Conformément aux principes de la théorie des situations, s’interroger sur ce phénomène conduit à rechercher quelles sont les contraintes de la relation didactique qui le déterminent, en remettant éventuellement en cause les explications classiques, par exemple en terme de conceptions épistémologiques des professeurs. C’est ce que je ferai dans la dernière partie de mon exposé, après avoir rappelé succinctement en quoi l’ingénierie se référant aux situations adidactiques se différencie des pratiques ostensives du point de vue des interactions de connaissances enseignant élèves, et après avoir présenté l’évolution des analyses se rapportant à ce phénomène dans des recherches récentes s’appuyant sur des observations effectuées au COREM.

Les interactions de connaissances enseignant-élèves

11Conne (1992) a proposé une définition de l’enseignement qui pointe ce qui est au cœur de la relation didactique et qui constitue l’enjeu fondamental de l’enseignant : réussir à ce que les élèves fassent leur un objet qui leur est a priori extérieur : « Or qu’est-ce que l’enseignement si ce n’est d’abord une interaction des connaissances d’un enseignant avec celles de un (ou plusieurs) élève(s), au cours de cette collaboration très spéciale qui vise à mettre en forme la connaissance de l’élève en savoirs prédéfinis ou déjà là, pour reprendre la définition de Rouchier (1991). »

12Cette collaboration peut prendre des formes très différentes selon les stratégies mises en œuvre par l’enseignant6. Je me limite à présenter celles relatives à mon propos.

Dans l’enseignement « traditionnel » à l’école primaire

13Les interactions de connaissances enseignant/élèves n’interviennent que dans le deuxième temps du processus d’enseignement, le premier étant constitué par l’introduction ostensive de ces « savoirs déjà là ». Ratsimba-Rajohn (1977), dans son « Étude didactique de l’introduction ostensive des objets mathématiques », définit la présentation ostensive comme la donnée par l’enseignant de « tous les éléments et relations constitutifs de la notion visée ». Il précise : « le rapport du sujet et de l’objet nouveau est institué seulement au niveau de la représentation de l’objet, présumé indépendant du sujet ». Bautier (1988) complète ainsi la définition : « L’ostension consiste en l’utilisation, dans une situation d’enseignement, de la capacité supposée de l’élève de percevoir certains objets et en l’illusion que le fait qu’il les ait perçus est porteur d’une connaissance intellectuelle éventuellement générale et précise. »

14Ce n’est qu’au cours de la résolution des problèmes et exercices que l’enseignant, confronté aux difficultés et aux erreurs de ses élèves, est tenu d’interagir avec eux sous différents modes, par exemple par le moyen d’explications7, en prenant en compte leurs conceptions, dans la mesure où ses propres connaissances, mathématiques et didactiques8, le lui permettent.

Dans les ingénieries didactiques

15À partir d’une analyse des dysfonctionnements de l’enseignement traditionnel et d’une prise en compte de la nature de l’activité mathématique et des finalités de son enseignement, Brousseau a développé progressivement depuis vingt ans un modèle9 d’intervention didactique, expérimenté au COREM sur une partie du cursus des élèves, dans lequel l’interaction entre les connaissances de l’enseignant et celles de ses élèves est, dans un premier temps, médiatisée par des situations adidactiques :

Le maître cherche à faire dévolution à l’élève d’une situation adidactique (caractéristique de la connaissance visée), qui provoque chez lui l’interaction la plus indépendante et féconde possible. Pour cela, il communique ou s’abstient de communiquer, selon les cas, des informations, des questions, des méthodes d’apprentissage, des heuristiques, etc. L’enseignant est donc impliqué dans un jeu avec le système des interactions de l’élève avec les problèmes qu’il lui pose. Ce jeu ou cette situation plus vaste est la situation didactique. (Brousseau, 1986)

16C’est peu à peu que s’est dégagée l’importance du rôle du maître dans cette théorie. Comme Brousseau (1988) l’a expliqué dans « les différents rôles du maître », les observations des enseignants du COREM y ont largement contribué en lui permettant de s’interroger sur les raisons des initiatives que les maîtres observés se sentaient tenus de prendre, entre les séances, pour pouvoir réaliser leur projet d’enseignement10, le rôle assigné au maître dans les débuts de sa théorie ne les assurant pas de pouvoir le faire. Perrin-Glorian (1994) montre comment la théorie des situations s’est enrichie par l’élaboration des concepts de dévolution, d’institutionnalisation, de structuration du milieu puis de mémoire didactique qui permettent de modéliser l’action de l’enseignant au sein de la situation didactique.

17La situation adidactique d’apprentissage où l’élève peut se situer en « résolveur de problèmes » grâce à ses interactions avec un milieu de référence effectif11 joue un rôle central dans la production de connaissances par l’élève. Dans une telle situation, les connaissances nouvelles sont issues d’une confrontation des connaissances anciennes à une situation qui nécessite le recours à celles-ci pour réussir ; les rétroactions de la situation, si celle-ci est bien étudiée, doivent permettre le développement des connaissances nouvelles sur lesquelles l’enseignant peut s’appuyer pour mener à son terme l’institutionnalisation des savoirs correspondants.

18Mais en quoi consiste, pour l’enseignant, ce travail d’institutionnalisation ? Rouchier (1991) en a démontré la nécessité, en a décrit les difficultés pour l’élève comme pour le maître, et a montré sur un exemple (celui de la course à 20) comment il était à l’œuvre par petites étapes dès la situation de formulation. Brousseau et Centeno (1991) ont montré comment la mémoire didactique de l’enseignant, « qui se manifeste dans le processus d’enseignement par l’utilisation d’informations et de renseignements personnalisés, contextualisés, temporalisés et non universels », lui était nécessaire pour permettre « grâce à son souvenir et à l’évocation qu’il en fait, la mobilisation chez l’élève des connaissances correspondant aux savoirs non acquis (en voie de transformation en savoir) et dont il a besoin dans le présent. » En influant sur le statut des connaissances, l’utilisation de cette mémoire participe largement à leur institutionnalisation, en particulier au cours de processus longs d’enseignement, comme celui construit par Brousseau (1985) à propos des rationnels et décimaux.

19Dans cet article, les auteurs évoquent les difficultés que rencontre l’enseignant dans la gestion de sa mémoire. La présentation des « différentes exigences mémorielles de la part du maître correspondant à chaque niveau » de la position-élève face au savoir12 montre la complexité de sa situation et ceci d’autant plus quand il est nécessaire de garder en mémoire la position particulière de tel ou tel élève, et non d’un élève générique. Le choix du contenu et du moment où l’enseignant doit faire appel à cette mémoire est tout aussi délicat ; l’article s’ouvre d’ailleurs sur un exemple de situation observée au COREM, où les auteurs montrent comment l’enseignant provoque un « effet Topaze13 » dans le but de faire fonctionner les connaissances anciennes des élèves pour débloquer une situation.

Difficultés prévues et observées dans la mise en œuvre de situations d’apprentissage par adaptation

20Les contributions essentielles pour l’étude du rôle du maître dont je viens de parler portent, d’après Margolinas (1992), sur le niveau « méso-didactique » qu’elle caractérise ainsi : « étude de l’évolution des états du système didactique stricto sensu relatifs à un savoir donné, quand varient les problèmes posés ». Elle s’est intéressée, quant à elle, au rôle du maître dans le cadre microdidactique et propose dans cet article des éléments pour l’analyser. Son étude très argumentée au niveau théorique porte sur les décisions du maître qui sont prises dans l’instant de la situation didactique, plus particulièrement au cours des phases de conclusion.

21Elle appelle « phase de conclusion, la phase au cours de laquelle l’élève accède à une information sur la validité de sa réponse... La phase de conclusion est sous la responsabilité du maître. » Elle distingue deux modalités de la phase de conclusion :

La phase de conclusion est une phase d’évaluation quand la responsabilité du maître s’exerce sous la forme d’un travail public pour l’élève relativement au problème et au savoir.

22ou

La phase de conclusion est une phase de validation si l’élève décide lui-même de la validité de sa réponse.

23Alors qu’une phase d’évaluation est toujours possible, elle examine à quelles conditions une phase de validation en est bien une et signale que, dans ce cas, « l’enseignant peut souhaiter ou déclarer prendre telle ou telle position, mais que cela ne sera pas nécessairement réalisé en situation ».

24L’une des thèses qu’elle défend est la suivante : « Il est possible de prévoir théoriquement des difficultés de gestion des phases de validation dans les phases de conclusion des situations adidactiques de formulation et de validation. » Elle illustre cette thèse par plusieurs exemples dans lesquels pour pouvoir mener à bien cette phase de conclusion, l’enseignant est conduit à intervenir du point de vue du savoir, sortant par là du cadre adidactique qu’il s’était fixé. Elle conclut en montrant l’importance « des analyses préalables et a priori dans la phase de conclusion qui prendrait en compte les possibilités du maître devant les éventualités possibles ».

25Elle met l’accent sur un « manque » dans l’élaboration des ingénieries que nous ressentons gravement dans la pratique quotidienne au COREM. Quand, à l’issue de l’observation d’une séquence, nous rapportons les difficultés de l’enseignant à ce que la fiche didactique prévoyait, souvent tirée des documents d’ingénierie rédigés par les chercheurs, nous nous apercevons alors que ces phases de conclusion sont le plus souvent laissées à la libre appréciation de l’enseignant, et qu’en particulier, les décisions qu’il peut prendre dans tel ou tel cas ne sont pas explicitées. On observe le plus souvent l’apparition de procédés ostensifs, insérés dans une maïeutique qui peut laisser croire à l’enseignant qu’il effectue une institutionnalisation adéquate alors qu’il « rame » pour aboutir à la conclusion attendue.

26D’autres chercheurs ont publié, toujours dans le paradigme de la théorie des situations didactiques, des travaux présentant des analyses portant sur le fonctionnement de l’enseignant dans la gestion de situations didactiques. C’est le cas de Ratsimba-Rajohn et de Fregona. Tous deux ont observé des enseignants du COREM mettant en œuvre des leçons : le premier des leçons faisant partie du document « rationnels et décimaux » (Brousseau 1985) et intégrées depuis plusieurs années au cursus de l’école, le second des leçons portant sur la géométrie des figures planes au CM1, dont la progression n’avait pas fait l’objet de recherches mais était développée autour d’une situation de communication, suivant un schéma bien connu dans les milieux didactiques. Quoique ces recherches intègrent toutes les deux une réflexion approfondie sur l’ostension, leur point de vue sur la pertinence de son utilisation dans l’enseignement est nettement différent.

L’analyse de Ratsimba-Rajohn

27Ratsimba-Rajohn (1993) introduit le concept de macle de contradictions pour désigner « l’ensemble des connaissances d’un individu ou d’un groupe d’individus mais dans lesquelles il y a des éléments contradictoires que le sujet ne perçoit pas d’une façon claire ou pas du tout. » Contrairement à l’idée répandue, base de l’enseignement ostensif, qu’enseigner les mathématiques reviendrait à faire entrer les élèves dans un système d’affirmations vraies, il insiste sur le fait que « le développement d’une notion se fait au sein d’un ensemble de contradictions qui coexistent et qui impliquent lutte et combat dès qu’elles sont perçues » et que l’enseignant doit aider ses élèves à dénouer ces macles. Il distingue quatre catégories de macles de contradictions, auxquelles il associe des règles de gestion de classes différenciées.

28Il cherche à expliquer les différences qu’il a repérées, à la suite d’une analyse implicative de résultats d’élèves à un test passé par quatre classes. Il relève « chez les élèves des classes B et D, ayant eu le même enseignant, une certaine cohérence des comportements qui n’apparaît pas chez les élèves des classes A et C ayant eu deux autres enseignants ». Il conjecture que ces différences seraient explicables par des différences de comportements, peut-être non conscientes, de la part des enseignants, et qu’en particulier ceux des classes A et C introduiraient, au sein de situations adidactiques de formulation et de validation, des pratiques ostensives14 quand ils ont à traiter des erreurs, prendre des décisions quand un conflit éclate à propos du savoir, etc.

29Son étude expérimentale repose sur l’observation d’une séquence de classe reproduite dans ces quatre classes, séquence portant sur le produit de deux fractions, préparée très soigneusement dans l’optique du traitement des macles. À côté des variables didactiques classiques, relatives à la notion, il définit des variables relatives au débat en différenciant leurs « valeurs » suivant la nature des réponses données par les élèves aux questions que l’enseignant doit soulever. La séquence a été réalisée par les trois enseignants évoqués ci-dessus, après une préparation commune.

30Pour pointer les indices d’ostension au cours des différentes phases, il a dû construire une grille très détaillée, puisque les interventions qu’il cherche à repérer sont a priori très discrètes.

31L’analyse de ses observations confirme l’existence de différences « microscopiques » mais répétées entre les interventions des enseignants. Il les résume ainsi :

Lors de cette séquence didactique, nous avons un enseignant qui, en gros, sait jouer les macles de contradictions qui apparaissent et qu’il suscite au bon moment. Puis nous avons des enseignants qui ne sont pas encore arrivés à gérer l’évolution de l’état du groupe-classe vis-à-vis du problème... Évidemment, savoir gérer ces macles de contradictions nécessite d’abord une certaine maîtrise de la notion mathématique en vue de repérer rapidement les différents processus (il en énumère quatre) nécessaires à sa construction et pour jauger rapidement de l’état où se trouve le groupe d’élèves ou un sous-groupe d’élèves, voire chaque élève vis-à-vis de ces processus spécifiques.
Mais la maîtrise de la notion ne suffit pas. Il est aussi nécessaire de prévoir les réactions des élèves aux processus de construction de la notion, ceci afin de pouvoir susciter le consensus, l’attendre, semer le doute, faire monter suffisamment la tension et reconnaître le bon moment pour apporter une information ou ouvrir un problème. (Ratsimba-Rajohn, 1993)

32Si j’ai consacré autant de place à recopier les conclusions de Ratsimba-Rajohn, c’est qu’elles m’apparaissent importantes pour aborder le problème « du hiatus », objet de cette communication. On comprend bien que les compétences qu’il est le premier, comme didacticien, à ma connaissance, à énoncer de manière aussi précise15 supposent chez l’enseignant tout un ensemble de connaissances didactiques mobilisables dans l’instant. La situation du professeur n’est pas celle du didacticien, qui peut penser calmement, à son bureau, aux réactions possibles des élèves, et envisager telle ou telle démarche. Non, le professeur est pris dans l’urgence, il doit réagir immédiatement et s’il ne prend pas de décision convenable, les rétroactions de la situation ne se feront pas attendre !

L’analyse de Fregona

33Fregona (1995) marque selon moi une rupture dans la façon dont la plupart des chercheurs se référant à la théorie des situations considéraient les pratiques ostensives jusque-là. Quoique centrée sur l’enseignement de la géométrie (elle analyse l’emploi des figures planes dans l’enseignement obligatoire), sa thèse montre « que tout enseignement est caractérisé par la recherche d’un équilibre entre deux types de contrat didactique à propos du milieu : le contrat “d’ostension” opposé à “l’implication effective” ».

34Pour ce qui est du contrat d’ostension, après avoir énoncé, en s’appuyant sur des situations observées, un certain nombre de conjectures, dont les suivantes :

• la pratique didactique de l’ostension s’explique par une idéologie des enseignants qui relève d’une épistémologie empiriste ;
• l’ostension est une réponse adaptative, mais pas toujours économique, aux contraintes de la relation didactique ;
• l’ostension capture les autres procédés didactiques16,

35elle en propose une étude fine s’appuyant sur celle des rapports de l’élève, en position d’acteur objectif, avec le milieu objectif17. Celui-ci est, dans ce cas, « un découpage de l’environnement de l’élève » dans lequel « la connaissance est présente et réalisée [...] La connaissance est dans la situation mais elle ne fait pas partie des moyens de contrôle du sujet. » L’enseignant qui reconnaît cette connaissance avec ses propres modèles suppose qu’elle est à la portée de l’élève. De nombreuses recherches ont réfuté ce présupposé, et par un processus de généralisation non fondé, ont souvent dénié toute valeur à l’emploi de l’ostension. Ce n’est pas la position de Fregona qui écrit : « Pourtant il arrive que la connaissance visée, réalisée dans le milieu et constatée par le professeur avec ses propres modèles, soit elle aussi à la portée de l’élève. Avec ses modèles généraux et avec ses propres connaissances, l’élève peut prendre connaissance de cette connaissance [...] Si le répertoire du maître et celui de l’élève sont suffisamment proches, alors la fonctionnalité de l’objet par rapport à l’individu est la même et l’élève a identifié, a reconnu, éventuellement connu, un objet nouveau qui lui a été présenté. »

36Se situant dans le cadre de la théorie des situations, elle situe l’ostension comme une connaissance de l’enseignant et définit la situation qui modélise cette connaissance. Voici sa conclusion : « La situation d’enseignement devient essentiellement didactique — par opposition à la situation adidactique, et donc le contrat didactique est la règle de jeu et la stratégie qui permet à l’enseignant de gérer cette situation. » Elle montre ensuite comment les ruptures de contrat sont liées à l’existence de trois illusions : « l’illusion de l’évidence, l’illusion d’un répertoire commun, et celle du continuum connaissance quotidienne — savoir scientifique », puis elle analyse en quoi l’ostension est une réponse économique dans la gestion de l’enseignement.

37Quant au contrat « d’implication effective », elle en étudie deux modalités : actions et communications, et pour les deux exemples traités, le jeu de l’enseignant. Je pourrais faire, à ce propos, les mêmes remarques que celles concernant la gestion des phases de validation proposée par Ratsimba-Rajohn : elle suppose des compétences didactiques extrêmement précises. Une analyse fine des protocoles de classes qu’elle a étudiées montre qu’en l’absence de ces compétences, l’enseignant n’arrive pas à gérer jusqu’au bout le contrat « d’implication effective » qui se transforme peu à peu en contrat d’ostension.

38Les travaux que je viens de citer me semblent bien montrer toute la complexité de la tâche de l’enseignant dans les phases où son rôle est celui d’un catalyseur de la transformation connaissance → savoir, dès que cette transformation est en germe. Si le savoir doit devenir commun, les connaissances sont propres à chaque élève, et l’enseignant lui-même ne peut se situer autrement qu’en tant que sujet ayant un rapport particulier à ce savoir. Ce rapport doit être suffisamment riche et flexible pour lui permettre de prendre en compte les connaissances différentes de ses élèves, en interprétant leurs conduites, y compris les plus inattendues, et d’imaginer de manière quasi instantanée des voies d’accès au savoir visé qui ne soient pas réduites à l’énoncé de ce savoir.

Contraintes de la relation didactique et décisions de l’enseignant

39La problématique dans laquelle s’est située Fregona (caractérisation d’un enseignement par la recherche d’un équilibre entre plusieurs types de contrat didactique) a été développée de manière théorique par Brousseau à la VIII^e École d’été de didactique des mathématiques, dans le cadre du thème « l’enseignant dans les théories en didactique des mathématiques ». Il donne un nouveau développement à la théorie des situations quant à la modélisation de l’enseignant. Le résumé de ses trois cours18 situe bien ses objectifs :

Il s’agit dans ce cours :

• de repérer les très nombreux assujettissements de l’enseignant qui s’actualisent successivement, ou et surtout simultanément, dans la relation didactique ;
• de les modéliser en terme de « situations didactiques », c’est-à-dire en jeux formels qui inscrivent les décisions possibles dans des stratégies (et les décisions observées dans des stratégies « optimales »). Les décisions qui nous intéressent sont déterminées par les caractères spécifiques du savoir visé et de son usage par les élèves. Les stratégies optimales sont conditionnées par des contraintes que la didactique a pour objet de mettre en évidence ;
• de se donner les moyens de confronter les modèles théoriques à la contingence.

40Il a introduit dans ce cours un terme clé : celui de régulation de la relation didactique : « Les méthodes qui décrivent l’action didactique ne prennent que très peu en compte la régulation du système et les indices permettant les rétroactions [...] alors que l’essentiel du travail didactique va consister à maintenir la relation didactique dans des limites acceptables par rapport à différentes variables. »

41La démarche « d’analyse à chaud », qui suit les observations hebdomadaires des classes du COREM, se réfère à cette problématique : elle consiste, après avoir tenté d’établir les « faits didactiques » par la confrontation des témoignages de l’enseignant et des différents observateurs, à mettre en relation les contraintes de la relation didactique avec les décisions du maître, relatives à la préparation ou au déroulement de la séquence.

42C’est en faisant appel à une démarche de ce type que j’ai essayé de mener l’analyse d’une leçon « ordinaire », filmée au COREM, portant sur la lecture de grands nombres en 4^e année d’école primaire. Ce thème n’a pas fait l’objet de recherches au COREM.

43Il s’agit d’un type de séquence très fréquent à l’école primaire : l’enseignant prépare une série d’exercices portant sur la notion visée, avec l’espoir de recueillir une diversité de réponses. Il compte sur la correction des exercices pour pointer les erreurs, et préciser les connaissances nécessaires à la réussite19.

Exemple de situation didactique

44La fiche de préparation de la séquence (voir annexe) comporte trois séries d’exercices portant sur la transcription d’un grand nombre écrit en lettres à son écriture en chiffres et quelques commentaires sur sa mise en œuvre.

45Les élèves maîtrisent bien ce passage pour les nombres jusqu’à 10 000, ils ont eu l’occasion de rencontrer des grands nombres, mais il n’y a pas eu encore d’activités systématiques pour l’apprentissage des règles de la numération orale.

46L’analyse a priori de la fiche montre que :

47— la rupture entre le nom des nombres inférieurs à 9999 et celui des autres n’est pas problématisée ni évoquée.

48— l’enseignante commence par faire travailler les élèves sur la correspondance écriture en lettres-écriture en chiffres.

49— elle choisit de s’appuyer sur les connaissances antérieures des élèves concernant cette correspondance. Elle s’attend à ce que certains sachent réutiliser des règles évoquées dans les séances précédentes, ce qui lui permettra de les rappeler. Ces règles ne sont pas référées à la connaissance de la numération écrite mais « déduites » de l’observation comparée des écritures chiffrées ou en lettres (« ce que l’on retrouve et ce que l’on ne retrouve plus »). Une grande importance est attribuée aux espaces « qui remplacent mille et million ».

50— Le choix des nombres de la première série d’exercices semble avoir été fait pour introduire progressivement l’explicitation de deux règles :

51R1. La lecture de mille et million se traduit par un espace ;

52R2. Trois chiffres doivent être inscrits entre les espaces ;

53• Le premier nombre ne comporte pas de piège, R1 suffit pour réussir ;

54• Des erreurs peuvent apparaître lors du deuxième nombre puisque son écriture chiffrée comporte des zéros intermédiaires. La maîtrise de R2 est donc nécessaire pour réussir. On peut penser que l’enseignante prévoit des erreurs qui lui fourniront l’occasion d’expliciter R2 (classes et rangs) ou de faire appel au « tableau de numération », outil traditionnel à l’école primaire qui permet d’associer au nom d’un nombre son écriture chiffrée en faisant là aussi l’économie de la construction du rapport numération écrite/numération orale.

55— La deuxième série d’exercices introduit des écritures hors normes (13 millions) que les élèves doivent transformer en écritures chiffrées. Il y a une intention didactique dans ce choix (« les élèves devront se rendre compte que je ne tiens pas compte des rangs »). L’utilisation des outils rappelés lors de la première série (rangs, classes, tableau de numération) doit permettre aux élèves, selon l’enseignante, de « prouver » leurs résultats.

56On peut penser que la deuxième série d’exercices constitue, pour l’enseignante, une phase d’application et de mise à l’épreuve des règles rappelées précédemment. Des problèmes sont posés aux élèves. Elle a choisi la valeur de la variable « nombre » pour provoquer des erreurs, puisqu’il faut savoir où intercaler les zéros. Les interactions entre enfants au moment de la correction (qu’elle encourage par ses exigences de preuve), doivent permettre une validation des bonnes productions.

57L’analyse sommaire que je viens de faire permet de faire des hypothèses sur les connaissances de l’enseignante quant au savoir à enseigner : pour elle, comme de manière générale pour les enseignants de l’école primaire, la numération orale est conçue comme un savoir empirique et culturel, dont le rapport avec la numération écrite n’est pas étudié20. L’enseignement consiste à aider les enfants à se repérer dans cet univers, des « traits de surface » existent, il faut leur en faire prendre conscience. Le problème mathématique n’est donc pas posé. Dans la plupart des manuels, aucun exercice ne permet aux élèves de faire le lien entre le nom du nombre et sa décomposition en base mille. Mercier (voir Blanchard-Laville, 1997) relève que « ce manque à savoir » n’est pas le fait personnel de cette institutrice, mais « le fait collectif, institutionnel, du système d’enseignement des mathématiques ».

58Nous pouvons également faire des hypothèses sur ses connaissances didactiques : le choix des nombres à transcrire révèle qu’elle anticipe les difficultés des élèves et veut les prendre en charge non pas sous la forme d’un rappel des règles, sous son égide, mais par des échanges entre les enfants à partir de leurs réponses.

59Nous voyons apparaître là un déphasage entre ses intentions didactiques et ses connaissances mathématiques : par ses choix, elle provoque des erreurs qu’elle risque de ne pas savoir traiter ou seulement de manière superficielle, à l’image du seul savoir technique qu’elle imagine nécessaire.

Analyse didactique de la situation

60Cette analyse21 s’attache à rechercher, parmi les raisons pouvant expliquer le comportement de l’enseignante, tout au long de la séance, celles qui relèvent de son objectif didactique : permettre l’appropriation, par l’ensemble des élèves, des règles de la numération orale. Certaines de ses décisions sont explicitement prévues dans la fiche didactique, d’autres sont implicites mais auraient pu être explicitées si elle avait dû décrire de manière plus précise sa préparation. Toutefois, un bon nombre d’entre elles sont prises dans l’instant, en réponse à des événements créés par certains comportements des élèves, événements qu’elle n’a pas prévus mais auxquels elle doit faire face. Il s’agit de rechercher si ces décisions peuvent être considérées comme des réponses adaptées aux contraintes identifiables de la relation didactique.

61De quelle liberté dispose le professeur au moment de réaliser le projet d’enseignement qu’il a élaboré avant d’entrer dans la classe ? D’autres contraintes que celles concernant le choix de son scénario pèsent sur lui. Sont en particulier sous sa responsabilité22 le savoir qui circule dans sa classe, la reconnaissance par les élèves de leurs erreurs et l’avancée du temps didactique23.

62Nous avons vu, dans l’étude a priori de la fiche didactique, que le rapport professionnel et/ou personnel de l’enseignante au savoir visé la conduisait à mettre en scène une situation où celui-ci n’était pas problématisé : elle ne peut attendre d’aide des rétroactions de la situation pour le contrôle de la validité des réponses des élèves, c’est donc à elle de l’assumer dans « l’exploitation » de ces réponses.

63L’analyse diachronique du protocole de la séquence fait apparaître trois grandes périodes, gérées différemment par l’enseignante. Je ne parlerai ici que des deux premières. Les interprétations de ses décisions que je propose ne sont bien sûr qu’hypothétiques.

Première période : Où l’ostension réapparaît, déguisée

64Ce qui caractérise cette première période qui va de la 1^re à la 26^e minute et qui réussit pour certains élèves, c’est qu’on peut attribuer des fonctions didactiques à la plupart des décisions de l’enseignante. Elles sont en effet conditionnées par ce qu’elle veut obtenir : la formulation des règles R1 et R2 comme moyen de contrôler l’écriture en chiffres du nombre. Comme elle semble s’interdire de formuler elle-même ces savoirs, elle doit « diriger » habilement les discussions entre les enfants pour que d’une part ceux qui savent déjà ou qui savent presque aient eu l’occasion à la fin du temps imparti de formuler convenablement les règles qu’elle veut enseigner et pour que d’autre part l’ensemble de la classe ait progressé dans la résolution des exercices.

65Elle utilise pour cela un certain nombre de moyens lui permettant d’assumer ces contraintes. Voici trois de ces moyens :

66— Elle hiérarchise les types d’erreurs et instaure un ordre dans leur traitement public.

Ainsi, elle choisit pour la correction du deuxième exercice, exercice clé pour lequel elle s’attend à un certain type d’erreurs, un élève parmi les cinq qui ne se sont pas trompés sur le nombre de zéros intercalaires mais sur leur position. Et elle repousse éventuellement à plus tard la correction de l’erreur faite par cinq autres élèves qui consiste à remplacer les termes mille et million par des espaces, sans mettre de zéros intercalaires et donc à écrire, pour dix-sept millions deux mille cinquante-huit, 17 2 58, ainsi que celle des cinq autres élèves qui ont bien écrit des zéros mais pas le bon nombre.

Plusieurs hypothèses peuvent être faites à propos de ce choix :

1. la réponse étudiée en premier est la plus proche de la bonne réponse, elle respecte les règles R1 et R2 mais son existence montre qu’il y a autre chose à contrôler que ces deux règles. La correction doit être l’occasion d’expliciter ce savoir nouveau.
2. elle sous-estime l’intérêt didactique de la réponse 17 2 58, en l’attribuant à une non-prise en compte de la règle R2, qui avait été rappelée quelques minutes auparavant, et suppose que les enfants concernés verront immédiatement qu’ils se sont trompés.
3. elle estime que commencer par les erreurs sur le nombre et la position des zéros conduirait à une situation trop complexe.
4. elle n’a repéré, parmi les enfants qui ont fait les deux autres types d’erreur, aucun élève dont elle puisse attendre un niveau d’explicitation suffisant pour le rôle qu’elle veut lui attribuer dans la correction.

67— Elle choisit les élèves interrogés en fonction de l’état d’avancement de ses projets. Elle utilise pour cela sa connaissance des réponses des élèves au fur et à mesure du déroulement de la séquence quand elle passe dans les rangs pendant les moments de travail individuel. On peut penser qu’elle mémorise d’autant mieux ces réponses qu’elles correspondent aux erreurs qu’elle avait prévues. Elle a recours aussi à sa connaissance des élèves eux-mêmes : niveau mathématique, facilité d’expression, etc.

Ainsi, pour le deuxième exercice, elle choisit un des meilleurs élèves de la classe, Jérôme, qui, d’une part a fait une des erreurs attendues (sur la position des zéros) et qu’elle estime d’autre part capable de s’exprimer clairement et de progresser rapidement au tableau.

68— Elle distille le doute en demandant l’accord des autres enfants à propos de ce que fait l’enfant interrogé et en s’adressant parfois nominalement à un élève qui n’a pas fourni la même réponse que celui-ci, ceci pour aider à la prise de conscience et à la formulation des règles.

69Le résultat de cette gestion de classe est que, conformément aux attentes de l’enseignante, l’élève interrogé et un certain nombre d’autres élèves rentrent bien dans ce jeu des explications et du contrôle de ce qui se dit. Les échanges sont efficaces pour Jérôme, il reprend à son compte les explications ou remarques de ses camarades et est capable de fournir une justification personnelle à la dernière réplique de la minute 2624.

70Cette première période relève d’une forme pédagogique, courante actuellement à l’école primaire, que R. Berthelot et moi-même avons appelée « l’ostension déguisée » dans notre analyse de l’enseignement de la géométrie, pour la différencier de « l’ostension assumée », mode de présentation des savoirs largement utilisé de tout temps en mathématiques et dont j’ai déjà parlé. Nous avons été conduits à opposer « ostension assumée » et « ostension déguisée » pour rendre compte de procédés d’enseignement des mathématiques qui se sont développés depuis une dizaine d’années dans la scolarité obligatoire. Nous proposons donc de dire qu’un enseignement relève d’une présentation ostensive « assumée » :

• s’il n’existe pas au sein de la situation d’enseignement de situation adidactique d’apprentissage ;
• si le savoir, dont l’enseignement est visé, est présenté par le professeur dès l’entrée dans la situation didactique, puis « appliqué » dans des exercices proposés aux élèves.

71Nous avons proposé d’utiliser le terme « d’ostension déguisée » quand l’enseignant, désireux de s’appuyer sur les connaissances antérieures des élèves, propose les exercices avant la présentation du savoir, et qu’il traite les réponses d’une certaine façon : il effectue un tri, parmi elles, pour valoriser celles qui conduisent assez rapidement au savoir visé sans prendre réellement en compte les autres.

72Comment expliquer ce choix pédagogique relativement récent ? On peut repérer dans les instructions officielles françaises depuis les années 1980, une évolution des conceptions épistémologiques de leurs rédacteurs, avec l’apparition de « la résolution de problèmes » comme moyen de prendre en compte le caractère « d’outil » des mathématiques et l’insistance sur le rôle des connaissances et de l’activité propres de l’élève dans la construction de ses savoirs. Ceci conduit le système d’enseignement à rejeter l’emploi de l’ostension assumée sans toutefois remettre en question les trois contraintes de base de toute situation didactique relatives au contrôle du savoir, à celui des erreurs et à celui du temps didactique. L’ostension « déguisée » apparaît alors comme une solution de compromis entre des exigences dont la compatibilité n’a pas été étudiée. Elle laisse l’enseignant maître du jeu, tout en prenant en compte une partie de l’activité de certains élèves.

Deuxième période : où les limites de l’ostension déguisée apparaissent

73Le temps qui s’écoule entre la 27^e et la 42^e minute est consacré à la réfutation de l’écriture 17 2 58, à la suite de la remarque de Louis qui veut bien mettre des zéros en plus des espaces à condition qu’il y en ait aussi un devant 17. Un « dialogue de sourds » s’engage alors entre l’enseignante et certains élèves. Louis et quelques autres élèves font une lecture adidactique de la situation, c’est-à-dire qu’ils la conçoivent comme un vrai problème25 : il s’agit d’écrire en chiffres des nombres de telle manière qu’à partir de cette écriture, on puisse retrouver le nom du nombre sans ambiguïté. Et leur solution est convenable tant qu’aucune classe n’est vide26. Apparemment, l’enseignante n’a pas réellement, malgré les apparences, étudié les solutions possibles au problème tel qu’elle l’a posé, et son absence d’anticipation lui rend impossible d’envisager toute autre solution que la solution standard et d’inventer sur le champ un contre-exemple comme « dix sept millions deux mille » pour convaincre Louis de l’ambiguïté de l’écriture qu’il défend.

74C’est pourquoi, à la différence de la première partie de la séquence, où elle a le contrôle de ce qui se passe, conforme à ses prévisions, dans cette deuxième période, elle apparaît prise entre des contraintes contradictoires : d’une part, continuer de s’appuyer exclusivement sur l’apport des élèves de la classe dans les échanges avec Louis, d’autre part, refuser de se laisser entraîner sur un terrain dont elle n’est pas sûre. Aussi, de manière très rapide, elle fait appel à des enfants mais sans les laisser développer leurs arguments dès qu’ils semblent s’éloigner de ce qu’elle attend. Alors que dans cette discussion elle pourrait s’appuyer sur un milieu pour la validation, elle reste prisonnière de sa démarche d’ostension déguisée.

75Le type de « malentendu » qui s’est instauré entre certains élèves et cette enseignante est fréquemment observé : les cadres interprétatifs de l’enseignant et des enseignés27 sont nécessairement différents. Mais le plus souvent ils sont dissimulés car peu d’élèves sont capables comme Louis de résister aussi longtemps aux explications du professeur, même s’ils ne les comprennent pas. Pour ce dernier, son point de vue est d’autant plus évident et la situation difficile que l’apprentissage porte sur des connaissances très anciennes et complètement transparentes. D’où, le plus souvent, une répétition des mêmes explications, qui n’ont pas de prise sur les incompréhensions de l’élève, et la démission de celui-ci qui « se rend », comme Louis à la fin de l’incident, « victime » d’un « effet Topaze » caractérisé.

76Ainsi donc, dans cette deuxième période, les décisions de l’enseignante ne semblent plus assujetties à une fonction didactique claire et l’observateur peut s’interroger sur les raisons qui l’empêchent de mettre en jeu sa cognition pour comprendre la position de Louis et lui fournir un contre-exemple. Je fais l’hypothèse que cette difficulté est directement liée à sa situation « frontale », où elle n’a pas le minimum de disponibilité d’esprit pour réfléchir. Cette hypothèse est confortée par les réactions de ses collègues, présentes lors de la discussion à chaud qui a suivi l’observation, et qui ont fait la même analyse que les observateurs didacticiens présents, et par la sienne quand, quelques années plus tard, à l’issue du visionnement de la bande, elle s’est écriée en parlant de Louis : « Mais il avait raison ! »

Comment expliquer la prégnance des procédures ostensives ?

77Je fais l’hypothèse que deux sources de difficultés se conjuguent pour l’enseignante, qui expliqueraient son recours constant à l’ostension déguisée : d’une part sa conception des rapports numération orale-numération écrite, comme je l’ai exposé ci-dessus, d’autre part son assujettissement à tout un ensemble de contraintes de la relation didactique sur lesquelles je vais revenir, assujettissement qui l’empêche d’adapter sa réflexion et les interventions qui en découleraient face aux modifications de la situation qu’elle a pourtant provoquées par ses choix didactiques.

78J’ai essayé de montrer comment la persistance des pratiques ostensives, dans les cas où leur emploi n’est pas jugé pertinent par les observateurs, pouvait être considérée comme une des manifestations de ce hiatus entre l’utilité supposée des résultats des recherches et l’usage effectif qui en est fait par les enseignants : il ne suffit pas de montrer les limites de ces pratiques, ni de proposer des procédés alternatifs pour les voir disparaître, même chez des enseignants en interaction fréquente avec des chercheurs.

79Comment expliquer ce phénomène ?

80Une raison est souvent avancée : l’épistémologie des professeurs.

81C’est Aebli (1951) qui le premier, à ma connaissance, relie les pratiques que nous avons qualifiées d’ostensives aux conceptions empiristes sensualistes des enseignants sur l’apprentissage. Cette explication a été reprise par Ratsimba-Rajohn et par nous-mêmes (Berthelot et Salin, 1992) sans justification complémentaire.

82Voici une deuxième raison : les procédés ostensifs sont souvent efficaces et économiques... dans la vie courante.

83Selon Brousseau (1996), « ce procédé fonctionne assez bien dans la vie courante, pour faire identifier une personne, une espèce animale, ou un type d’objet, à l’aide d’un répertoire de reconnaissance “universel”. Il est en tout cas exigé banalement dans les rapports institutionnels élémentaires. » Dans la mesure où ce type de rapport à la communication de connaissances est utilisé spontanément par toute personne, on comprend l’effort que doit faire un enseignant pour concevoir et mettre en œuvre un autre type d’interaction de connaissances avec ses élèves, d’autant plus que, comme le montre Fregona : « Les pratiques ostensives sont économiques et efficaces pour un certain nombre d’élèves à condition qu’elles portent sur certaines formes de connaissances et qu’elles soient réinvesties immédiatement. »

84Une autre raison possible, peu aussi être explorée : la complexité de la situation de l’enseignant dans les phases d’interactions collectives avec ses élèves.

85Outre les contraintes spécifiques à la relation didactique que j’ai déjà relevées, l’enseignant, au cours du déroulement des phases collectives d’une séquence, doit assurer auprès d’un groupe d’une vingtaine d’élèves au moins28 :

• le contrôle que chacun d’entre eux est bien attentif, ce qui implique surveillance, et remise au travail si nécessaire, de différentes manières : sollicitations, encouragements, réprimandes, etc. Ceci est une préoccupation cachée mais constante.
• le contrôle de la communication ; les communications privées élève ne sont pas reconnues par le maître, ce qui s’échange dans ces phases doit pouvoir être entendu et compris de tous, d’où l’attitude très fréquente qui consiste pour l’enseignant à répéter, quelquefois en le transformant, tout ce qui est formulé par les élèves. Il devient ainsi l’interlocuteur obligé auquel tous s’adressent.
• la prise en compte différenciée des élèves : les exigences ne sont pas les mêmes, le rôle qu’ils peuvent jouer dépend de l’image qu’il a d’eux mais tous doivent être « présents ».

86L’assujettissement à ces contraintes, ajoutées à celles liées au contrôle des échanges du point de vue du savoir et à l’avancée de ce dernier peut-il laisser suffisamment de disponibilité d’esprit à un enseignant « ordinaire » pour pouvoir s’adapter face à l’inattendu, laisser des échanges se développer sans vouloir les contrôler d’emblée, chercher à quoi peut renvoyer une erreur et décider de la traiter ou non, etc.29 ? N’a-t-il pas besoin pour ne pas « perdre le fil » d’avoir en tête une « histoire », c’est-à-dire un déroulement raisonné s’appuyant sur le savoir, auquel il peut se raccrocher dans tous les moments où, que ce soit pour des raisons externes ou internes, l’imprévu survient ? Comme l’écrit Conne (1992) : « Dans tous les cas d’interaction de connaissances entre plusieurs individus, le modèle est le médiateur des interactions. Dans l’enseignement, par exemple, pour le maître, il s’agit de mettre judicieusement à profit l’interaction cognitive qu’il peut entretenir avec ses élèves et la situation qu’il propose afin d’activer le développement de leurs connaissances. Son instrument de contrôle est le modèle, c’est par ce biais qu’il communique avec les élèves. » La situation de l’enseignant peut-elle lui permettre d’éviter, dans ces moments d’échanges collectifs quand ne se produit pas ce qu’il attend, de recourir à une attitude dont nous avons vu qu’elle fait partie des pratiques spontanées, la présentation du modèle sous la forme d’une de ses représentations ?

87L’étude de la charge cognitive que représente, pour le professeur, la gestion des phases d’interactions collectives me paraît donc nécessaire à entreprendre si on veut comprendre pourquoi, comme l’affirme Fregona, « l’ostension capture les autres procédés didactiques ».

Conclusion

88J’espère avoir montré en quoi la prégnance des pratiques ostensives des enseignants pouvait conduire les chercheurs en didactique à s’interroger sur le fonctionnement cognitif de ceux-ci, en particulier pendant les phases d’interactions collectives dans la classe. Mais il me semble que des questions d’une autre nature sont aussi à soulever, se situant sur deux plans tout à fait différents.

89Le premier plan me semble être celui de la modélisation didactique elle-même. Les théories didactiques prennent en compte le système enseigné mais ne différencient pas explicitement les cas où ce système est réduit à un élève et ceux où il s’agit d’un groupe (c’est le cas par exemple de la définition de l’enseignement proposée par Conne). Aussi, cette variable n’apparaît pas dans la description de la situation didactique (alors qu’elle joue un rôle dans la situation adidactique). Cette simplification qui joue sur la modélisation des rapports du système enseigné et du système enseignant ne risque-t-elle pas de laisser échapper des pans importants de ce domaine de réalité ? Comment progresser sur ce plan ? Les observations hebdomadaires que nous faisons au COREM, ont pour but, en particulier, de comprendre et d’analyser la fonction de l’enseignant et les contraintes auxquelles elle est soumise, en s’appuyant sur la théorie des situations. Dans cette perspective, pointer la distance entre le « jeu » théorique de l’enseignant et celui qu’il peut jouer effectivement peut permettre de progresser dans la connaissance de ces contraintes et éventuellement remettre en cause la modélisation « en cours ».

90Sur un autre plan enfin, il me semble par ailleurs nécessaire de considérer que la didactique des mathématiques, qu’elle le veuille ou non, est utilisée pour fournir des « modèles » d’enseignement (repérables par exemple dans les commentaires des programmes de collège) et qu’elle ne peut se désintéresser de la façon dont ces « modèles » sont compris et utilisés. On peut penser, par exemple, que « l’ostension déguisée » constitue un sous-produit de la diffusion « sauvage » des résultats des premières recherches didactiques sur l’importance des situations-problèmes et sur la nécessité de l’investissement personnel des élèves pour leur résolution. Dans quelle mesure les chercheurs en didactique doivent-ils donc prendre en compte ce type de phénomènes dans leurs théorisations s’ils veulent que les résultats de leurs recherches contribuent véritablement à l’amélioration de l’enseignement des mathématiques ?