1Dans ce texte nous nous proposons de soulever un certain nombre de questions à propos des débuts d’un enseignement. Le thème choisi pour cette étude est l’introduction des nombres naturels en classe de maternelle et de première année primaire. Nous présentons d’abord des points de repères sur lesquels s’appuie notre réflexion sur l’introduction d’un objet de savoir au tout début de la scolarité. Prenant appui sur des conduites d’élèves, nous étudions ensuite une leçon sur la comparaison de collections tirée d’un manuel scolaire de première année primaire. Un examen sommaire des programmes d’études mathématiques pour le préscolaire et le primaire nous permet de mieux saisir les orientations sur lesquelles se fondent les fiches proposées dans les manuels scolaires. Dans la dernière partie, nous souhaitons prolonger la réflexion sur la base de résultats expérimentaux en effectuant l’analyse de conduites d’élèves observées lors d’une situation portant sur la comparaison de collections que nous avons expérimentée en classe de maternelle.

Quelques points de repère pour l’étude des débuts d’un enseignement

2Si l’on prend en compte les travaux de Chevallard (1991a) et Mercier (1992a, 1992b) sur le temps didactique selon lesquels le temps avance du point de vue de l’élève alors que les nouveaux objets de savoir peuvent se construire au moyen d’anciens objets de savoir, par quel dispositif l’échange didactique est-il déclenché pour faire émerger un rapport personnel à un savoir nouvellement introduit et pour lequel il n’existe pas à proprement parler d’anciens rapports institués dans un cadre scolaire ? Quels sont les dispositifs mis en place, dès le début de la scolarité pour que les différents partenaires de la relation didactique puissent interagir à propos d’un objet de savoir alors que les élèves n’ont pas développé (ou peu développé) d’habitus liés à leur métier d’élève ? Pour mieux saisir ce qui caractérise une situation d’enseignement visant l’introduction d’un objet de savoir au début de la scolarité, nous précisons quelques points de repère sur lesquels s’appuie notre travail.

1. Si on ne peut fixer, préciser chez un individu le point d’origine d’un apprentissage, on peut à tout le moins identifier le début d’un apprentissage scolaire, autrement dit, le moment où est introduit pour la première fois dans l’enseignement un objet de savoir.
2. Ces « premiers moments » sont sans doute rares. En effet, si on prend en compte le fonctionnement de la contradiction ancien/nouveau étudié par Chevallard (1991a), l’objet d’enseignement réalise un équilibre contradictoire entre passé et avenir ; il est donc un objet transactionnel entre passé et avenir. Si pour faire progresser le temps d’enseignement, un contenu de savoir introduit au début de la scolarité doit apparaître nouveau et cependant être relié à des savoirs déjà connus, l’équilibre ne peut être recherché que dans un espace didactique restreint, un corridor relativement étroit par lequel l’objet d’enseignement peut opérer « une ouverture dans les frontières de l’univers déjà exploré » (Chevallard, 1991a, p. 66).
3. Au début de la scolarité, plus qu’à toute autre étape sans doute du cursus scolaire, se pose la question du contrôle de l’incertitude. L’échange didactique y apparaît, à tout le moins aux yeux des enseignants, comme très fragile (on retrouve pareil phénomène dans les classes qui regroupent des élèves en difficulté d’apprentissage). Faire en sorte que la compréhension de la tâche soit pratiquement immédiate chez les élèves peut s’avérer un moyen de contrôle de l’incertitude. La contiguïté entre début et fin d’un apprentissage (Chevallard, 1991b) peut apparaître alors comme une condition nécessaire pour que soit levée toute incertitude autant chez l’élève que chez l’enseignant. L’élève peut alors rapidement maîtriser la situation, faire preuve de la compétence attendue alors que l’enseignant se voit libéré de la prise en compte des connaissances des élèves et des conduites inattendues ou déconcertantes1.

L’enseignement des nombres naturels en début de première année : analyse d’une fiche sur la comparaison de quantités

3Pour mieux comprendre les conditions sous lesquelles un nouvel objet de savoir est introduit, nous avons choisi de faire l’examen d’une fiche2 d’un manuel de mathématiques québécois de première année primaire qui propose la comparaison de deux collections comportant respectivement sept et huit éléments. Selon le libellé du manuel scolaire, cette « mise en situation » vise l’étude des nombres de 0 à 9 et « la comparaison de ces quantités ». Cette fiche nous apparaît intéressante dans la mesure où elle est représentative d’une catégorie de situations que l’on retrouve dans presque tous les manuels de première année que nous avons consultés.

4La page d’exercice (voir figure 1 ci-après) présente sur la partie supérieure un groupe de sept enfants ; la partie inférieure présente la même « photo de groupe » sur laquelle toutefois on retrouve un huitième enfant, placé à la droite de l’image de façon assez évidente. Les deux premières questions portent sur la mesure de chacune des collections ; l’identification de ces mesures devant assurer la production d’une réponse juste à la dernière question, celle qui pose le problème de comparaison. Si les questions intermédiaires rendent explicite ce qu’on veut instituer ; le recours aux connaissances sur la suite des nombres pour la comparaison de collections, il nous semble possible que les élèves puissent échapper au pilotage prévu et exercer des choix personnels et recourir ainsi à d’autres connaissances pour effectuer la comparaison. C’est dans cette perspective qu’il convient de faire un examen plus attentif des caractéristiques de la fiche, des choix qui ont présidé à son élaboration. Un rappel de différents procédés associés à la comparaison de collections est d’abord nécessaire pour comprendre ces choix. En complément, des conduites d’élèves lors de la comparaison des deux collections précisent les connaissances qui peuvent être sollicitées en fonction des caractéristiques de la fiche. Cet examen est réalisé afin de mieux saisir ce qui pèse sur l’introduction d’un objet de savoir au début de la scolarité et apporter quelques éléments de réponses aux questions initiales.

Figure 1

Comparaison de collections et niveaux de contrôle

5On peut noter trois procédés utilisés chez des jeunes élèves pour comparer des collections (Fuson et Hall, 1983) : (1) l’identification de similitudes ou de différences perceptives ; (2) la correspondance biunivoque des éléments des deux collections ; (3) le dénombrement de chacune des collections et la comparaison des mesures de ces collections3. En prenant appui sur le travail d’El Bouazzaoui (1982), chacun de ces procédés peut être associé à un niveau de contrôle qu’il permet d’exercer sur la tâche.

6C’est l’étude des fonctions de la numération et du nombre qui conduit El Bouazzaoui à préciser les niveaux de contrôle qui peuvent être exercés sur des situations où interviennent les concepts de nombre et de numération. Le contrôle sémantique se réalise au niveau des collections, c’est-à-dire par l’objet symbolisé par la numération. Ce contrôle permet d’éviter l’emploi des nombres dans la mise en place d’une procédure de résolution de problèmes. C’est de ce type de contrôle dont relèvent les deux premiers procédés. Par ailleurs, puisque la numération désigne et modélise les nombres, le troisième procédé (comparaison par le recours à la suite des nombres) permet d’exercer un contrôle syntaxique par lequel le recours aux collections n’est plus nécessaire.

7Le niveau de contrôle exercé est fonction d’une part des connaissances de l’élève (la suite des nombres, par exemple) mais aussi, d’autre part, des caractéristiques de la tâche. Le premier procédé qui porte sur l’évaluation perceptive des différences entre deux collections peut s’avérer peu efficace pour comparer deux collections dont l’une comporte moins d’éléments que l’autre tout en occupant un espace plus grand (soit par la taille de ses éléments, soit par leur étalement). En revanche, le procédé de correspondance biunivoque permet de fonder le jugement sur les relations suivantes établies entre les collections : « Il y a plus dans A que dans B parce qu’il y a des objets dans B qui sont seuls. » Les connaissances sur la suite des nombres n’intervenant pas dans de tels jugements, ce procédé peut donc être efficace bien que peu économique lorsque l’activité de dénombrement est compromise par des connaissances limitées sur la suite des nombres. Son application dépend toutefois des caractéristiques de la situation. Il s’avère presque impossible de recourir à la correspondance lorsque, par exemple, la situation bloque l’accès simultané aux deux collections.

8Dans le cas du troisième procédé, le dénombrement de chacune des collections réalisé, l’enfant n’a plus besoin de rappeler cette activité pour appuyer ses jugements ; il lui suffit alors d’ordonner les derniers nombres rappelés, en utilisant ses connaissances sur la suite des nombres. Le procédé de dénombrement s’avère donc économique lorsque les collections sont distantes l’une de l’autre, qu’elles sont présentées à des temps différents ou encore qu’elles comportent un nombre important d’éléments ; le nombre permet alors de conserver en mémoire les quantités.

9Quels sont les coûts et l’efficacité de ces procédés dans la comparaison des deux collections illustrées sur la fiche à l’étude ? Quels sont donc les différents niveaux de contrôle qui peuvent être exercés par les élèves ? Notons d’abord que le procédé perceptif ne peut être mis en défaut étant donné la disposition similaire des « éléments » dans les deux collections ; la plus grande collection est celle qui effectivement est la plus « étalée », qui occupe un plus grand espace. La contiguïté des collections facilite une mise en correspondance visuelle des éléments des deux collections : « Il y a plus d’enfants dans l’illustration du bas parce qu’il y a un enfant seul à droite. » Si on fait abstraction pour un moment des questions intermédiaires, le choix des illustrations fait en sorte que « l’arrangement des collections dans l’espace » et la valeur numérique des collections ne semblent pas pertinents à l’émergence d’un procédé de comparaison numérique.

10Par ailleurs, les questions et l’ordre dans lequel elles apparaissent ont apparemment comme but de piloter la démarche de l’élève, de le guider pas à pas dans la mise en place d’un procédé canonique de comparaison par le recours aux connaissances sur la suite des nombres. Par conséquent, telle que proposée, la fiche semble permettre difficilement à l’élève d’exercer un contrôle personnel sur la situation, de prendre des décisions, d’anticiper, d’effectuer des choix ; en somme de produire un rapport nouveau au savoir en jeu. En revanche, l’examen que nous venons de réaliser tend à montrer que la fiche ne comporte pas de contraintes fortes pour que le recours au nombre, à la suite des nombres apparaisse comme un moyen de contrôle sur la situation. S’il est possible que l’élève remplisse sa part de contrat de façon explicite en répondant fidèlement à chacune des questions de la tâche, comment s’assurer que c’est bien par le biais des mesures obtenues après dénombrement qu’il réalise la comparaison ? Il n’est pas impossible qu’il s’approprie le problème et, par la mise en œuvre de ses connaissances, réalise d’autres choix pour comparer les collections.

Comparaison des collections de la fiche par de jeunes élèves

11Dans la poursuite de l’examen de la fiche, nous avons cherché à identifier le contrôle personnel que des élèves exercent pour réaliser la comparaison. Ainsi, nous avons demandé à dix élèves de maternelle, au dernier mois de l’année scolaire, de comparer les collections illustrées sur la fiche. Nous avons débuté chacune des entrevues individuelles par la dernière question de la fiche, celle qui pose le problème : sur quelle illustration y a-t-il le plus de personnes ? Nous avons ensuite demandé aux élèves de justifier leur réponse et enfin, s’il y avait lieu, de nous dire si on pouvait « compter » pour trouver une solution au problème. Cette dernière question engage les élèves au dénombrement d’une des collections. Le dénombrement d’une seule collection complété, nous leur demandions alors d’anticiper le nombre d’éléments que comporte la seconde collection. Il s’agissait alors, pour nous, de savoir si le premier procédé mis en œuvre leur permettait d’identifier la différence numérique entre les deux collections ; cette anticipation étant facilitée par le fait que cette différence n’est que de un.

12À la première question, tous les élèves identifient correctement la plus grande collection. Six de ces élèves semblent appuyer leur jugement sur un procédé de correspondance terme à terme ; un élève semble s’appuyer sur un jugement perceptif de la différence alors que trois élèves dénombrent et comparent les mesures obtenues.

13Dans le cas de l’emploi de la correspondance terme à terme, quatre des six élèves complètent leur réponse en affirmant qu’« il y a un bonhomme ici et pas là » ou encore « qu’il y a 1 de plus ici et 1 de moins là » en pointant le personnage en question. Pour deux des six élèves, nous pouvons observer clairement une conduite qui consiste à établir, à l’aide du regard ou du doigt, une correspondance biunivoque. La disposition des personnages dans les deux illustrations fait en sorte que la correspondance terme à terme peut s’effectuer assez rapidement de façon « perceptive » ; ce qui rend difficile l’identification du procédé employé chez les quatre autres élèves. Toutefois, ces derniers élèves justifient sans hésitation leur réponse en procédant à une correspondance biunivoque. À la dernière question, les six élèves identifient la mesure de la deuxième collection soit par ajout de 1 (dans le cas où il dénombre les personnages de l’illustration du haut) soit par retrait de 1 (dans le cas où il dénombre les personnages de l’illustration du bas). Ces éléments confortent notre hypothèse selon laquelle ces enfants ont exercé d’abord un contrôle sémantique par le recours à un procédé de correspondance terme à terme (dans certains cas « contrôlé » ou jumelé à un procédé d’évaluation perceptive) pour comparer les collections. L’identification d’un élément qui n’est pas en correspondance leur permet de rechercher soit le successeur soit le prédécesseur pour trouver la valeur numérique de la seconde collection.

14Un seul élève semble recourir à une évaluation perceptive ; il s’exprime en ces termes : « Je trouve qu’il y en a plus ici. » Étant donné la disposition identique des personnages dans les deux collections, il a effectivement identifié l’illustration qui comporte le plus de personnages. Lorsque nous lui demandons de nous justifier sa réponse, il engage alors un dénombrement en effectuant une erreur de bijection : il obtient ainsi la mesure sept pour l’illustration du bas et sur la base de cette mesure anticipe qu’il y a six personnages sur l’illustration du haut.

15Les trois derniers élèves, pour répondre à la première question, procèdent au dénombrement d’une des collections. Suite à ce dénombrement nous avons eu la possibilité, pour deux d’entre eux, de leur demander d’anticiper le nombre de personnages sur la seconde illustration. Ces deux élèves donnent la mesure exacte de la deuxième collection. Le troisième élève a dénombré très rapidement et sans erreur les deux collections et appuyé son jugement de comparaison sur la base des valeurs numériques des deux collections.

16Les conduites des jeunes élèves, à qui est destinée dans un proche avenir cette fiche, rappelle le proverbe selon lequel « Tous les chemins mènent à Rome ». La fiche semble avoir été conçue de façon à obtenir l’adhésion rapide de tous les élèves. Très peu de temps a été nécessaire pour rencontrer chacun des élèves (au maximum huit minutes). L’analyse montre que tous les élèves interrogés voient assez rapidement qu’il y a un personnage de plus sur l’illustration du bas et qu’il faut donc ajouter ou retrancher 1 de la mesure de la collection dénombrée pour identifier la mesure de la seconde collection. D’ailleurs la solution peut être trouvée en faisant l’économie de la connaissance visée. On ne peut espérer de cette tâche une transformation des connaissances numériques des élèves. Pour masquer cet effet de contrat, les questions bien ciblées ont pour but le maintien du sens en jeu : les relations d’ordre sur les nombres pour comparer deux collections.

Quelques éléments d’analyse convergents

17Pourquoi donc cette situation au début de la première année primaire ? Comment cet objet d’enseignement peut-il faire évoluer la contradiction ancien/nouveau ?

18Bien que les questions intermédiaires de la fiche balisent un itinéraire, des décisions peuvent être prises de la part des élèves, décisions de nature cognitive, puisées dans leurs connaissances privées, qui peuvent fonctionner, à l’insu de l’enseignant, pour effectuer la comparaison. Ce sont ces connaissances que nous avons cherché à dévoiler lors de notre interrogation. Toutefois, le déroulement proposé ne peut permettre aux élèves de traduire ces décisions sous la forme de formulation et de validation. L’échange didactique apparemment libéré des décisions et actions des élèves permet que soient fixées des normes et une pratique associée (procédé canonique institué) à ce type de problème. C’est en fait une situation d’institutionnalisation par laquelle est fixé de façon normative un élément de savoir déjà institué4 dans un cadre hors scolaire convenant à la solution du problème de comparaison. Toutefois, suite à nos observations, nous soutenons l’hypothèse que la réussite de cette entreprise est assurée par le fait qu’implicitement d’autres éléments de savoirs ou connaissances privés ont pu fonctionner de façon opératoire et ainsi soutenir le projet d’institutionnalisation. Selon Rouchier (1991, p. 58), « Du point de vue du professeur, faire de l’institutionnalisation c’est communiquer à l’élève, en prenant plus ou moins appui sur son expérience (ou du moins ce qu’on en connaît), les éléments de savoir qui correspondent au projet d’enseignement. »

19Mener une situation d’institutionnalisation en tout début de scolarité exige, pour repérer ces éléments de savoir, de puiser dans l’expérience hors scolaire de l’élève. Ou plutôt de puiser dans ce que nous en connaissons. Que sait-on de cette expérience ? À quel modèle de référence renvoie la fiche ? Il faut d’abord noter que le procédé (numérique) piloté par la fiche semble être considéré par les concepteurs comme supérieur aux deux autres procédés (non numériques) de comparaison. Cette perspective rappelle les travaux piagétiens qui présentent la genèse du nombre en trois stades. Pour Piaget et Szeminska (1941), l’analyse des débuts de la quantification pose le problème de la correspondance et donc de la comparaison de deux quantités. Ainsi, le premier stade est la période prélogique où le jugement de comparaison est fondé sur l’espace occupé ou sur la densité des éléments. Au deuxième stade, l’enfant se montre capable d’établir une correspondance biunivoque mais malgré cette compétence, l’aspect global de collection, l’espace qu’elle occupe dominent le jugement de comparaison. Le troisième stade est caractérisé par la correspondance terme à terme opératoire, avec équivalence durable des collections. Les stades 1 et 3 correspondent aux deux premiers procédés que nous avons identifiés précédemment. Quant au recours à la suite des nombres pour fonder un jugement de comparaison, Piaget et Szeminska affirment que :

Quant à cette dernière (la numération parlée), dont l’emploi correct supplantant toute correspondance pratique caractériserait un quatrième stade, il est inutile d’y insister ici, puisque l’objet de cet ouvrage est l’étude de la constitution du nombre et que c’est seulement une fois les opérations constituées logiquement sur le plan pratique que la numération parlée prend une signification proprement numérique. (Piaget et Szeminska, 1967, p. 97)

20Rappelons que l’hypothèse sous-jacente aux travaux piagétiens sur la genèse du nombre est que la construction du nombre est corrélative du développement de la logique. Ainsi, c’est l’étude du réseau des opérations qui engendrent le nombre qui intéresse Piaget et Szeminska (1941). C’est dans ce cadre qu’ils ont été amenés à étudier la coordination des nombres ordinaux et cardinaux et qu’ils concluent que la suite des nombres se constitue en tant que synthèse opératoire de la classification et de la sériation. Les applications pédagogiques découlant de ces travaux ont fait l’objet de nombreuses critiques sur lesquelles nous reviendrons5.

21Officiellement la leçon que nous examinons s’inscrivant dans le thème d’études des nombres naturels devrait permettre un travail sur les connaissances numériques des élèves. Toutefois, la situation semble répondre à la nécessité d’intégrer deux positions : (1) l’importance de la « résolution de problèmes » pour que la situation de comparaison permette à l’élève de donner du sens à la numération et qu’ainsi on puisse répondre au projet social de transmission de savoirs ; (2) l’importance de tenir compte du développement opératoire chez l’enfant et ce, de deux manières : d’une part, en prenant appui sur des procédés pour lesquels les élèves ont sans doute, selon les travaux piagétiens, une « expérience » ou des savoir-faire et, d’autre part, en dévoilant la fonction de la numération et le contrôle qu’elle permet d’exercer, par le biais de questions orientées de façon à « montrer » la coordination des nombres cardinaux et ordinaux. Ce jeu paradoxal a pour effet nous semble-t-il de tuer le problème.

22La contiguïté entre le début et la fin de l’apprentissage est assurée par l’absence de véritables enjeux d’apprentissage et permet ainsi que soit évité l’échec de l’élève. L’incertitude ainsi réduite, les erreurs effectuées par les élèves seront considérées par l’enseignant soit comme « des ratées contingentes » (par exemple, un dénombrement trop rapide) soit comme une insuffisance de développement (Amigues, 1991)6. Dans l’un ou l’autre cas, c’est l’échec de l’enseignant qui est aussi évité.

Les programmes québécois d’éveil mathématique au préscolaire et les programmes de première année primaire sur le thème des nombres naturels

23Les débuts de l’enseignement des nombres naturels semblent, dans le cas à l’étude, s’appuyer sur d’anciens rapports institués dans un cadre hors scolaire ou encore préscolaire. Bien que le caractère de nouveauté semble résider du côté du contrat didactique dans lequel se loge la fiche, on est en droit de se demander comment cette fiche s’inscrit, se niche dans un projet de transmission de savoirs. L’examen réalisé à la section précédente permet d’appréhender comment l’échange didactique peut être contrôlé par le biais des choix qui ont façonné la fiche. Nous voulons maintenant accéder à un autre niveau de saisie en précisant ce qui façonne, d’une certaine façon, la conception de telles fiches et les pratiques enseignantes qui y sont associées. Par un survol sommaire des programmes d’enseignement en mathématiques au préscolaire et au primaire nous voulons comprendre les orientations officielles sur lesquelles s’appuient les propositions de manuels scolaires ainsi que les recommandations relatives à l’enseignement des nombres naturels.

24L’orientation de « l’enseignement des mathématiques » au niveau préscolaire est clairement définie par le programme-cadre : « Étant donné la philosophie de l’éducation en classe maternelle qui prévaut au Québec, il est exclu d’y enseigner des mathématiques. » (Ministère de l’Éducation du Québec [MEQ], 1981, p. 5) Le programme d’éducation préscolaire précise qu’un enseignement orienté vers des apprentissages formels ne respecterait pas suffisamment le rythme de l’enfant et ne favoriserait pas son évolution. Il incite donc les enseignants à prendre garde aux interventions qui viseraient des apprentissages trop hâtifs du calcul au détriment d’un développement harmonieux de toutes les aptitudes individuelles de l’enfant. Selon le programme, les activités créées pour l’enfant de maternelle ne doivent pas chercher à faire acquérir des connaissances afin de pallier « un manque » mais visent plutôt à stimuler l’enfant pour qu’il puisse développer les connaissances et les habiletés à la résolution des problèmes auxquels il est confronté dans la vie quotidienne.

Ce n’est pas le fait d’être prêt pour les apprentissages de première année qui soit répréhensible : certains enfants feront des apprentissages à la maternelle qu’on aurait spontanément réservés pour la première année. D’ailleurs, on ne peut empêcher l’enfant d’acquérir et d’intégrer des connaissances. (MEQ, 1981, p. 7)

25Nous soulevons toutefois la question suivante : comment l’enseignant peut-il créer des situations qui favorisent le développement de connaissances s’il ne peut préciser a priori les connaissances visées par les situations qu’il propose aux élèves ? Dans le cadre de la philosophie d’éducation préscolaire, cette question ne peut trouver sa légitimité car elle détourne le projet d’éducation préscolaire de son orientation principale. Le guide pédagogique (MEQ, 1977), élaboré pour offrir aux enseignants des pistes d’activités d’« éveil aux différents thèmes mathématiques du programme-cadre », montre comment cette question est évitée du fait que ces pistes s’inspirent des expériences de la psychologie génétique.

26Examinons un des « thèmes à exploiter à la maternelle » : les nombres naturels et plus particulièrement le concept de nombre. Si le guide pédagogique rappelle, à juste titre, que l’acquisition du concept de nombre naturel chez l’enfant est un processus de longue haleine, on marque fortement le « piège qui guette l’éducatrice » qui peut se résumer ainsi : l’enfant du préscolaire récite les noms des nombres sans saisir le sens des mots de cette comptine. On propose alors pour contourner ce piège de travailler sur des « concepts plus primitifs d’ordre logique » : classification, sériation, conservation, etc.

27Dans le guide pédagogique du primaire sur les nombres naturels (MEQ, 1982), on retrouve pareille orientation. On y suggère d’amener l’élève à faire de nombreux exercices de sériation et de classification en insistant sur le fait que le concept de nombre repose en grande partie sur l’exercice de ces activités. À propos des situations de comparaison de deux ensembles, on propose d’amener les élèves à effectuer une correspondance biunivoque pour se placer sur la frontière des activités mathématiques d’ordre logique et d’ordre numérique. Sur la compétence des élèves à compter, à réciter la suite des nombres, on peut lire ceci :

Compter fait tellement partie du monde de l’enfant que celui-ci apprend à le faire presque en même temps qu’il apprend à parler. C’est un fait contre lequel on ne peut rien. Constamment, les jeunes enfants utilisent par imitation, des mots et des expressions qu’ils entendent autour d’eux et dont ils ne saisiront le sens que beaucoup plus tard. Y a-t-il lieu de s’en faire ? Le seul danger possible, c’est que, dans le passage au langage écrit, on néglige, en faveur d’un « pseudocomptage », l’étude d’autres notions fondamentales et complémentaires. (MEQ, 1982, p. 4)

28Il est vrai toutefois qu’une certaine distance est établie entre ces orientations et les pratiques dans les classes, plus particulièrement dans celles de l’ordre primaire. En effet, les manuels scolaires semblent vouloir contourner de plus en plus les activités dites préalables au nombre7. Cependant, ce détachement peut n’être qu’apparent ; les emprunts aux expériences piagétiennes peuvent être dissimulés sous une facture de type « résolution de problèmes » dans les leçons proposées dans les manuels scolaires et ainsi échapper aux enseignants.

29Brun (1994) fait un examen attentif des rapports entre la psychologie génétique et la didactique des mathématiques ; rappelant la thèse de Ricco (1992), il définit la position « applicationniste » de la psychologie génétique dans l’enseignement, caractérisée par des substitutions d’objet d’enseignement. Deux types de substitutions sont alors identifiés ; nous nous contentons de ne rappeler que la première substitution puisque c’est elle qui nous permet de saisir combien le modèle piagétien pèse lourdement sur les programmes d’études mathématiques.

La première manière consiste à substituer aux objets mathématiques à enseigner des contenus relevant des structures opératoires définies au moyen de la logique (logique des classes et des relations). [...] Par exemple les expériences de la genèse du nombre serviront de modèle à une progression didactique : classification, sériation, nombre comme synthèse des deux. C’est détourner ces expériences qui n’ont de sens que réunies entre elles selon un plan expérimental destiné à trancher entre différentes positions épistémologiques à propos du nombre. (Brun, 1994, p. 69)

30Cette analyse montre de quelle façon est détournée la question de la fonction opératoire de la connaissance en situation. Quelles situations peuvent donner du sens au nombre, peuvent permettre aux élèves de faire fonctionner leurs connaissances, de les modifier ?... Cette question n’a pas sa place dans le cadre d’une telle position applicationniste. On dispose alors d’un élément de réflexion sur la difficulté, pour les enseignants dont les pratiques d’enseignement s’inspirent du programme-cadre (et aussi de leur formation psychopédagogique), de prendre en compte dans les situations développées en classe les connaissances sur la suite numérique des élèves.

31Nul doute par ailleurs que certaines activités, telles les routines sur le calendrier, certains jeux libres (jeux de cartes) sont des occasions pour les élèves de développer leurs connaissances sur la suite des nombres. Il serait intéressant de faire l’analyse de telles activités de façon à préciser les transformations de connaissances auxquelles elles peuvent donner lieu. Toutefois, selon nos propres observations, ces activités semblent mettre peu en cause les connaissances mathématiques développées par les jeunes élèves ; les objectifs visés par les enseignants étant davantage formulés autour des connaissances factuelles utiles à la vie quotidienne (ex. : connaître les jours de la semaine) ou encore liés au domaine socio-affectif (ex. : respecter les règles d’un jeu).

32Beaucoup d’études, depuis la publication de La genèse du nombre de Piaget et Szeminska (1941), ont été conduites pour comprendre la construction des premières connaissances numériques. Ces travaux ont, entre autres, précisé le rôle des premières activités de comptage dans le développement des conceptualisations relatives au nombre. Les travaux de Gelman et Gallistel (1978), de Sophian (1991), de Steffe (1991) et de Fuson (1988, 1991) montrent bien que les connaissances numériques débutent très tôt, soit vers l’âge de deux ans. Ces recherches montrent qu’avant même que le nombre soit construit comme une synthèse de l’ordre et de l’inclusion hiérarchique, les jeunes enfants développent des procédures de comptage qui leur permettent de quantifier et de comparer des collections ainsi que de résoudre des problèmes additifs simples. Nos propres travaux montrent que les élèves qui débutent leur première année possèdent des connaissances sur les systèmes symboliques (codes numéraux et digitaux des nombres) et sur les opérations sur lesquelles viendront se greffer inévitablement les apprentissages scolaires (Giroux, 1992 ; Giroux et Lemoyne, 1993 ; Giroux, Ouellet et Sainte-Marie, 1994).

33Dans une perspective de recherche bien différente des études précédentes, Conne (1981) a également constaté la richesse des connaissances numériques des jeunes élèves. Au terme de son étude qui l’a conduit à suivre une même classe au cours des deux premières années de scolarité, il écrit ceci : « Ils paraissent familiarisés avec les problèmes d’arithmétique (dès la première année) alors qu’ils n’en avaient jamais fait auparavant en classe. Donc il existe quelque part un lieu, hors école, où l’élève fait des mathématiques. C’est l’ampleur de cet ailleurs qui m’a surpris. » (1981, p. 465)

34En questionnant les enseignants du préscolaire et de première année, on se rend vite compte que leur expérience professionnelle leur permet d’apprécier le bagage de connaissances numériques que possèdent leurs élèves (connaissances qui viennent de cet « ailleurs »). Ils peuvent facilement en identifier certaines : rappel de la suite nommée des nombres, résolution de problèmes additifs simples, lecture ou écriture des nombres. Ils soulignent même le plaisir des élèves à « montrer », « exposer » ce qu’ils savent (les grands nombres, souvent). Mais ces connaissances ne correspondent pas à l’épistémologie des enseignants telle qu’elle est façonnée, entre autres, par les programmes officiels d’études mathématiques. Disposant de peu de moyens pour rencontrer l’élève sur le terrain de ses connaissances, les enseignants sont relativement démunis dans l’élaboration d’activités numériques.

Une situation de comparaison de collections expérimentée en classe de maternelle8

35Dans le cadre d’une recherche en cours, nous avons élaboré en collaboration avec une enseignante du préscolaire une situation qui porte sur la relation d’ordre entre des quantités. Dans cette activité, la comparaison de collections est essentielle à l’atteinte du but visé. Dans le respect des orientations ministérielles, nous n’avons pas élaboré la situation dans le but d’instituer un procédé. Toutefois, bien que différents procédés de comparaison puissent être mis en œuvre, le recours à la comparaison numérique (et donc au contrôle syntaxique) est une stratégie gagnante pour établir l’ordre entre les quantités. Nous décrivons brièvement la séquence (trois activités) réalisée ainsi que les conduites d’un groupe de 18 élèves.

Description de la situation et des conduites des élèves

36L’activité évoque l’histoire du petit poucet qui, à chaque pas, laisse tomber un caillou pour retrouver son chemin. Le but du jeu est d’identifier parmi trois collections celle qui convient pour se rendre à l’une des trois maisons situées près d’une marelle (trottoir) que le petit poucet emprunte. Le matériel prévu dans cette séquence est : (1) une marelle (tapis ou papier) sur laquelle apparaissent des cases numérotées de 1 à 20 ; (2) trois dessins de maisons adjacents à trois cases de cette marelle ; (3) trois collections d’objets (chaque collection comporte des éléments d’une même couleur).

37Au cours de la scène 1, la marelle est voilée ne laissant apparaître aucun nombre. Chacune des six équipes de trois élèves reçoit trois collections ; chacune des collections comporte un nombre d’éléments correspondant au nombre de « pas » (cases de la marelle) nécessaires pour se rendre à l’une des trois maisons. Voici un exemple de la consigne donnée à la scène 1 : « Le petit poucet s’amuse à laisser tomber un caillou sur chaque carré du trottoir. Chacun de ces contenants permet de se rendre à l’une des trois maisons (un pour le château, un pour la tente et un pour la cabane). Le petit poucet veut se rendre à la cabane. Vous devez choisir le contenant de cailloux qui permettra au petit poucet de se rendre à la cabane. » À la scène 2, chaque équipe présente, à l’ensemble de la classe, la collection retenue et est invitée à motiver son choix. À la scène 3, on demande aux élèves ce qu’il faut faire pour identifier les équipes gagnantes ; les élèves suggèrent rapidement lors de la première activité de réaliser le trajet. Chaque équipe réalise alors le trajet sur la marelle dévoilée (les nombres sont alors inscrits sur la marelle) à l’aide de la collection retenue.

Figure 2. Marelle de la dernière scène de l’activité 1

38Dans cette situation, on retrouve à la fois un contexte ordinal et un contexte cardinal. En effet, l’ordre dans lequel les maisons apparaissent est l’information qu’il faut prendre en compte pour identifier la collection recherchée. Ainsi, la collection comportant le plus grand nombre d’éléments est celle qui permet de se rendre à la maison la plus loin. Aucune information sur les nombres impliqués n’est fournie ; il n’est pas d’ailleurs nécessaire d’identifier la mesure des collections pour réussir. La réussite suppose que l’enfant établisse la relation suivante : « plus le trajet est long, plus il faut de cailloux et par conséquent, les trois collections de cailloux doivent être ordonnées de façon à choisir celle qui correspond au même rang que celui de la maison à atteindre ».

39Le milieu permet, à la scène 3, de faire correspondre chaque élément de la collection à une case numérotée de la marelle ; la case d’arrivée permet ainsi de confronter les assertions produites par les différentes équipes lors de la scène 2.

40Au cours de la séquence, nous avons modifié les nombres associés à chacun des trajets, le rang de la maison à atteindre (la 1^re, la 2^e ou la 3^e), le matériel utilisé pour les collections, le support sur lequel est présentée la marelle (long tapis ou feuille de papier). Ces modifications visent à favoriser la comparaison numérique comme stratégie et donc le rejet des procédés qui relèvent d’un contrôle sémantique. Notons que nous avons choisi de faire jouer les élèves non pas sur deux collections (comme on le retrouve fréquemment dans les situations de comparaison) mais bien sur trois collections pour renforcer le besoin de situer les quantités les unes par rapport aux autres, en somme, de les ordonner.

1. Première activité

41La majorité des élèves pouvant rappeler facilement les 20 premiers nombres, les nombres choisis dans la première activité sont 9, 13 et 16. Des collections de jetons de même taille sont utilisées. La collection « qui permet de se rendre à la cabane », c’est-à-dire la maison au premier rang, est recherchée.

42Au cours de la scène 1, trois des six équipes identifient de façon perceptive la plus petite collection. Notons toutefois qu’à l’intérieur de deux autres équipes ce procédé a été suggéré par au moins un élève. Un procédé numérique qui repose sur le dénombrement des jetons de chacune des collections a été mis en place par trois équipes ; les relations d’ordre entre les collections sont alors identifiées par le recours aux connaissances sur la suite des nombres (la plus petite collection est celle dont la mesure précède dans la suite des nombres les deux autres mesures). Aucune équipe n’a donc eu recours à la correspondance terme à terme ; les contraintes de la situation ne semblent pas favoriser l’émergence de ce procédé. Le trajet sur la marelle dévoilée, au cours de la scène 3, permet aux élèves de voir si leur réponse est juste ou fausse en établissant une correspondance entre chaque case numérotée et un élément de chaque collection.

2. Deuxième activité

43À la lumière de ces résultats, nous avons choisi pour la deuxième activité, des nombres (17, 18, 19) qui présentent peu d’écart afin que le contrôle sémantique soit plus difficile à exercer sur la situation. Des jetons de même taille sont encore utilisés. La situation porte sur la recherche de la collection associée à la maison qui se présente au deuxième rang. Au cours de la scène 1, deux équipes n’utilisent que l’évaluation perceptive et deux autres n’ont recours qu’au dénombrement. Enfin, les deux autres équipes effectuent d’abord le dénombrement de chacune des collections et procèdent par la suite à une correspondance terme à terme entre les éléments des trois collections. Toutefois, les formulations effectuées au cours de la scène 2 semblent témoigner de la difficulté pour des élèves qui recourent à des procédés non numériques, de considérer la collection qui se situe entre « la plus petite » et la « plus grande ». Certains recherchent alors, tout comme lors de la première activité, la plus petite collection : « Nous on pense, en les regardant, que c’est les verts où il y en a le moins. » Cependant, cette difficulté n’est pas relevée chez les équipes qui ont recours à des procédés numériques. Elles réfèrent d’ailleurs de façon explicite à leurs connaissances sur la suite nommée des nombres pour ordonner les collections et ainsi identifier la collection recherchée : « Nous, on a choisi le plus moyen, les rouges, c’est entre les deux ; ... on dit 17, 18, 19 », ou encore à leurs connaissances sur les opérations : « Les rouges ont 1 de plus que les blancs et 1 de moins que les bleus. »

3. Troisième activité

44Dans la troisième activité, des collections constituées de 15 gros jetons rouges, 16 bâtonnets et 19 petits jetons blancs sont utilisées ; la collection qui correspond à la dernière maison est recherchée. La marelle est présentée sur une bande de papier (d’une grandeur standard) et non plus sur un tapis. Ainsi, chaque jeton rouge recouvre plus d’une seule case et chaque bâtonnet est trop long pour « entrer » dans une case ; seule la taille des jetons blancs facilite une correspondance « physique » jeton-case. Les modifications apportées au matériel ont pour but d’amener les élèves à se détacher de l’action pour traiter les relations numériques en jeu indépendamment des caractéristiques physiques des éléments des collections. Le travail au cours de la première scène est toujours réalisé sur les collections et non sur la marelle. Toutefois, au cours de la scène 3, chaque équipe dispose d’une marelle de papier sur laquelle sont inscrits les nombres pour réaliser le trajet. Bien que les relations entre les collections aient été établies lors de la scène 1 par la comparaison des valeurs numériques par toutes les équipes, ce procédé ne semble pas apparaître chez la majorité des élèves comme optimal pour donner une solution au problème. En effet, au cours de la scène 3, les élèves tentent de répéter les actions effectuées lors des activités précédentes sans arriver à exercer le contrôle nécessaire pour établir une bijection entre les éléments des collections (bâtonnets et gros jetons) et les cases numérotées. Certains élèves ont ainsi aligné les bâtonnets sur la marelle (bande numérique) sans chercher à effectuer une bijection. D’autres élèves ont aligné de la même façon les gros jetons sans contrôle sur la bijection. Les élèves qui ne pouvaient lire les nombres sur la marelle auraient pu alors effectuer un comptage des cases et nommer les nombres pour identifier la case à laquelle chaque maison doit être associée. Le problème nouveau qui se pose alors chez les élèves au cours de la scène 3 est : comment faire « entrer » les éléments d’une collection sur la bande numérique. Ce nouveau problème évacue le problème initial de comparaison de collections. Les élèves n’arrivaient plus à donner du sens à leur première réponse obtenue par comparaison numérique. La situation est ainsi morcelée, ce qui a pour effet de briser les liens entre les décisions et les actions réalisées au cours des différentes scènes de la situation.

Analyse de la situation et des conduites des élèves

45On peut formuler quelques hypothèses pour expliquer cette difficulté à établir des liens entre les actions réalisées au cours de la scène 1 et celles réalisées au cours de la scène 3 lors de la dernière activité. Une première hypothèse est que le déroulement des deux premières activités semble avoir provoqué un effet de contrat. La correspondance terme à terme, effectuée au cours de la scène 3 des deux premières activités, vient boucler d’une certaine façon la situation (en permettant d’accepter ou de rejeter le résultat obtenu par chacune des équipes). Ainsi, lors de la troisième activité, les élèves veulent terminer la tâche en plaçant les éléments des collections sur la bande numérique et ce toutefois sans se détacher de cette action et donc des caractéristiques physiques des objets. Cela a pour effet de les plonger dans un nouveau problème et de les éloigner d’un travail numérique leur permettant de comparer les collections.

46Une deuxième hypothèse est formulée en regard des connaissances numériques des élèves. Chez plusieurs élèves, la comparaison des valeurs numériques des collections ne semble pas être perçue comme le procédé le plus sûr puisque ce dernier doit être, d’une certaine façon, assujetti à un travail sur les collections. Selon les études de Fuson (1991), la suite doit être construite en tant que chaîne unitaire pour qu’une distance soit prise par rapport à l’action et pour que la suite des nombres puisse elle-même, par exemple, être dénombrée ; en somme, pour que la fonction de modélisation de la suite des nombres puisse opérer dans diverses situations. Il est possible que le domaine numérique couvert dans la troisième activité soit trop « large » pour que les élèves puissent exercer un réel contrôle syntaxique sur la situation.

47En effet, les élèves durant la troisième activité, s’engagent « un peu spontanément » dans le dénombrement des collections qui leur sont soumises. Mais cette action n’est pas nécessairement accompagnée chez tous les élèves d’une même équipe d’une anticipation, intégrée a priori à un procédé numérique de comparaison. Au cours de la scène 1, les élèves ont souvent eu de la peine à conserver en mémoire le résultat du dénombrement et ont procédé à plusieurs dénombrements d’une même collection. Les mesures des collections ainsi obtenues ne sont pas d’emblée considérées comme des informations mathématiques pertinentes pour trouver la solution. Nous avons d’ailleurs observé des temps d’hésitation, d’incertitude suite aux dénombrements ; « Quoi faire maintenant ? » Il fallait alors organiser ces informations pour en tirer une solution. Nous avons également observé des discussions au cours desquelles un élève expliquait à ses coéquipiers pourquoi « il fallait compter comme il faut » ou encore comment on pouvait comparer les mesures de chacune des collections. Il nous semble utile de citer Margolinas pour mieux saisir ces conduites.

La prise de conscience par l’élève de l’existence de différents choix possibles (quand il exécute une décision en même temps qu’une action) ne suffit pas à garantir qu’il fasse un lien entre la décision et l’issue de l’action. Pour qu’il soit capable d’envisager de choisir en « connaissance de cause », il faut qu’il puisse essayer d’anticiper quelle est la portée des choix qu’il fait, c’est-à-dire des décisions qu’il prend. (Margolinas, 1993, p. 112)

48Ces premières données exigent de repenser la situation et ses contraintes. Les modifications apportées dans la troisième activité soulèvent un certain nombre de questions sur les effets de contrat qui semblent importants ainsi que sur les connaissances engagées par les élèves dans les actions qu’ils effectuent au cours de la scène 1 et de la scène 3. Il nous apparaît important, par exemple, de préciser les interactions entre les élèves d’une même équipe. Les connaissances mobilisées par les différents partenaires ne sont sans doute pas les mêmes ; comment se réalisent alors les échanges en vue de présenter à la classe une décision d’équipe ? Autrement dit, à quelles régulations donnent lieu les interactions (de représentations) au sein d’une même équipe ? Cela nous conduit à soulever quelques questions à propos du déploiement des procédés. Par exemple, est-ce que la mise en œuvre de la correspondance terme à terme n’implique pas une anticipation difficile à communiquer à ses pairs, ce qui expliquerait ainsi que les contraintes inhérentes au travail d’équipe favorisent peu l’émergence de ce procédé (en considérant aussi que le partage des tâches s’organise plus difficilement autour de ce procédé qu’autour d’un dénombrement) ? Est-ce que la mise en place d’un même procédé (par des élèves différents ou encore par un seul élève à des temps différents de la situation) traduit nécessairement la mobilisation des mêmes connaissances ? Peut-on modifier la situation en prenant en compte les difficultés rencontrées par les élèves durant la troisième activité afin que le milieu offre des rétroactions utiles au rejet d’un procédé inefficace en toute « connaissance de cause » ? Nous poursuivons notre travail en repensant les contraintes de la situation en fonction des conduites effectuées par les élèves et ce afin que la situation permette aux élèves de choisir et d’anticiper sur la portée des choix effectués.

Conclusion

49La « résolution de problèmes » est le leitmotiv du renouvellement des situations d’enseignement. Toutefois, si ce thème est fécond pour les concepteurs de manuels scolaires, les positions et orientations qui servent d’assises à la construction des nouvelles situations semblent résistantes à ce courant.

50L’examen que nous avons réalisé d’une fiche visant l’étude des nombres naturels par le biais de la comparaison de collections montre que, tel que présentée dans le manuel scolaire, la tâche ne permet pas une rupture de contrat favorisant l’élaboration de la connaissance visée. Les conduites analysées de jeunes élèves montrent que plusieurs connaissances peuvent intervenir de façon concourante dans la résolution de la tâche de comparaison sans qu’elles puissent être prises en compte dans l’échange didactique. La tâche dévolue à l’enseignant et celle dévolue à l’élève sont bien déterminées. Les interactions entre enseignants et élèves à propos d’un objet de savoir nouvellement introduit sont, dans le cas que nous avons étudié, organisées d’une façon telle qu’elles permettent de contrôler toute incertitude qui pourrait émerger autant chez l’enseignant que chez l’élève.

51La situation que nous avons expérimentée montre les difficultés que nous rencontrons à construire une situation qui comporte les contraintes nécessaires et suffisantes pour que, d’une part, soient prises en compte les connaissances des élèves et, d’autre part, soit possible une dévolution du problème aux élèves. Nous sommes conscients d’avoir contourné dans ce texte une question essentielle, celle des interactions entre l’enseignant et les élèves. C’est une question qui appelle une analyse plus fine et plus complète des situations que celle que nous avons menée dans ce texte.