1En un minimum de termes, « cognitif » désigne ce qui est capable de connaître ou bien encore ce qui concerne la connaissance. Nous retrouverons donc le « cognitif » dès lors que nous nous rapprocherons de situations dans lesquelles certains agents seront supposés détenir des connaissances afin de pouvoir intervenir avec succès. Nous le retrouverons aussi lorsque nous examinerons les enjeux de connaissances d’une situation déterminée. À ce double titre les savoirs mathématiques se caractérisent par le fait qu’ils peuvent être activement engagés sous forme de connaissances dans un très grand nombre de situations, pour accomplir des tâches déterminées, routinières ou non, qu’elles relèvent de la vie quotidienne ou bien encore de l’exercice d’une activité professionnelle identifiée comme mathématicienne ou non. Dans les situations ou dans les tâches où il y a à connaître, il y a donc des enjeux cognitifs. Apprentissage et enseignement des mathématiques sont donc en relation étroite avec des faits d’ordre cognitif concernant autant les agents que les circonstances de leurs actions.

2Nous prendrons donc comme acquis qu’il y a une relation directe entre cognitif et didactique, au sens où le didactique représente une sphère d’activité dans laquelle le cognitif est directement en jeu. Dans les trois grands domaines d’étude et de réalisation dans lesquels le didactique est fonctionnellement sollicité : le domaine de l’enseignement des mathématiques (action didactique), le domaine de la formation des enseignants et le domaine de la recherche sur l’enseignement et la diffusion des mathématiques, la relation prend des formes spécifiques dont nous rencontrerons certains éléments.

3Pour ne prendre qu’un exemple, celui de la recherche, nous prendrons comme indice de la centralité de la question des relations cognitif-didactique l’ensemble des textes des présentations effectuées sur ce thème lors de la huitième École d’été de Didactique des Mathématiques. Que ce soit à travers l’examen critique des approches de la cognition scolaire et des modèles de développement des connaissances en situations scolaires ou bien à travers la confrontation des théories du sujet avec les conditions de possibilité du didactique, ou encore à travers l’examen de la place de la conceptualisation ou d’une tentative de caractérisation du cognitif en didactique des mathématiques, il était question d’essayer de dresser un inventaire des manières de voir cette relation.

4Pour notre part nous ne saurions prétendre ici dresser un inventaire ou pour le moins un état de la question. En effet, cet état, au-delà de la simple mise au point personnelle, demanderait un examen approfondi du rôle du cognitif dans les deux théorisations majeures actuellement en didactique des mathématiques dans le domaine francophone, ce qui conduirait à dépasser largement la place accordée à cette intervention. C’est pourquoi nous proposons ici un parcours plus réduit. Il va s’articuler en trois temps. Le premier temps concerne l’identification de quelques repères traditionnels concernant l’analyse cognitive et la part constituante qu’elle a prise dans l’analyse didactique. Le second temps concerne les relations entre le cognitif et le didactique vues à travers le rôle du didactique dans la constitution historique (autant au niveau individuel qu’au niveau « collectif ») du cognitif. Le troisième temps étudie les enjeux cognitifs de l’institutionnalisation en didactique des mathématiques.

Premières expériences : la connaissance, ses deux métaphores et le point de vue classique

5La didactique des mathématiques s’est créée, historiquement, dans un rapport direct avec le cognitif et le traitement de questions pour lesquelles et à l’intérieur desquelles il a fallu apprendre à tracer de nouvelles frontières. Ces frontières n’ont pas été aperçues auparavant. Elles ont eu à se placer entre la psychologie cognitive dont la vocation était de travailler les questions de relations de connaissance entre certains objets, et notamment des objets mathématiques, et une autre discipline naissante, la didactique, qui s’est intéressée aux systèmes porteurs d’une intentionnalité d’enseignement (intentionnalité didactique) à l’égard de sujets humains relativement aux objets mathématiques.

6Une grande partie de l’histoire récente des relations entre le questionnement psychologique traditionnel et la didactique des mathématiques a fait l’objet d’une étude d’excellente qualité proposée par Jean Brun à l’occasion du Colloque Vingt ans de didactique des mathématiques. Nous n’y reviendrons pas ici mais résumerons cette évolution en attestant de la « naissance » d’une liaison organique des deux domaines, celui du cognitif référencé aux mathématiques et celui de la didactique des mathématiques. Cette liaison opère au moins dans deux dimensions :

• celle d’objet de recherche d’une part au sens où le cognitif est un enjeu dans les systèmes didactiques. Il faut identifier les conditions de mise en place de ces enjeux et les dispositifs qui les réalisent.
• celle de moyen de recherche d’autre part au sens où l’interrogation sur les systèmes peut être totalement ou partiellement, selon les problèmes étudiés et les thématiques choisies, guidée et orientée à partir du cognitif.

7Une interrogation superficielle des problématiques relatives à l’étude des phénomènes cognitifs dans l’enseignement des mathématiques montre que la connaissance qui, dans le domaine qui nous intéresse ici se rencontre sous la forme d’un ensemble mixte composé de connaissances et de savoirs, peut être considérée de deux points de vue que nous présenterons sous la forme de métaphores.

8Dans une première approche, que nous désignerons par l’étiquette de métaphore substantialiste, la connaissance est vue comme une substance, quelque chose que le sujet (l’élève) est susceptible d’avoir, de détenir. Dans ce cas elle circule et se transmet.

9Dans une seconde approche, que nous désignerons par l’étiquette de métaphore énergétique, la connaissance est vue comme un potentiel d’action, elle apparaît dans l’action ou plutôt dans l’interaction avec une situation, sans qu’il soit absolument certain que quelqu’un en soit dépositaire au moins sous la forme sous laquelle elle apparaît.

10Il y a un traitement classique du cognitif dans le domaine de l’enseignement des mathématiques. Il est souvent associé à la recherche et à la détermination des enjeux cognitifs d’une situation ou d’un problème. Que faut-il savoir pour résoudre ou étudier le problème ? Que peut-on appendre en résolvant ou en étudiant ce problème ? Quel savoir peut-on évaluer en utilisant ce problème ? Ces questions vont se retrouver, dans des contextes fonctionnels et structurels différents, au niveau de l’action didactique, de la formation des maîtres et de la recherche. Dans chacun de ces cas, suivant les thématiques et problématiques de base, on pourra obtenir des traitements différents.

11Parmi ceux-ci, on appellera traitement classique celui qui a consisté par exemple à décortiquer les rapports entre aire et périmètre pour les figures de la géométrie euclidienne plane, à chercher les dimensions et composantes conceptuelles intervenant dans « l’arithmétisation » de la notion de volume, à identifier des formes de problèmes additifs afin de pouvoir interroger soit l’enseignement des mathématiques, soit les organisations conceptuelles qu’il permet de rencontrer et dont il propose d’atteindre une certaine maîtrise. Il s’agissait alors d’un outil de base, directement importé de la psychologie cognitive. Il ne saurait se limiter aux brefs exemples rappelés ci-dessus, mais en l’espèce, il a permis et il permet encore de dégager les conceptions relatives à un objet mathématique au sein d’une population, d’identifier des dépendances entre connaissances, de construire des modèles de « complexité conceptuelle » des objets et tâches mathématiques. Ce type de traitement a encore une très grande vertu et une utilité réelle, à la fois emblématique et exemplaire. Il constitue encore un outil pour une première prise de contact avec une question relative à un ou plusieurs objets mathématiques, dès lors qu’ils sont en jeu et enjeux dans l’étude de situations ou l’exécution de tâches. Sa pratique représente une bonne propédeutique pour un débutant dans la recherche et enfin nous en avons fait un instrument de formation pour des futurs enseignants.

12À titre d’illustration, on pourrait citer de nombreux exemples d’analyses conceptuelles (à vocation d’étude d’un objet de l’enseignement des mathématiques et notamment d’un objet mathématique) telles qu’elles sont enseignées actuellement dans les formations d’enseignants. On trouvera en annexe un extrait de cours proposé à des futurs enseignants du premier degré dans lequel on fait fonctionner, à propos de l’étude d’un exercice de mathématiques du niveau de fin de l’école élémentaire, des éléments d’analyse conceptuelle qui permettent de mettre en évidence les enjeux cognitifs. Ces enjeux pourront apparaître dans toute situation à caractère didactique dans laquelle le problème en question est installé.

13Nous avons aussi appris à trier ce qui est objet de savoir ou de connaissances au sens classique et qui intervient dans l’enseignement, d’autres objets nécessaires au fonctionnement du système didactique, objets non mathématiques de l’enseignement des mathématiques. Ces objets interviennent dans la structuration de l’enseignement. Ils jouent un rôle dans le système didactique et appellent parfois, sous des formes spécifiques, des enjeux cognitifs et des savoir-faire spécifiques. On citera par exemple l’objet « écrit mathématique » ou bien encore l’objet « explication ».

14Quelles sont les caractéristiques de ces analyses cognitives ou conceptuelles ? En général, on y rencontre :

• une description des relations entretenues entre l’objet et d’autres objets relevant du même univers cognitif incluant des éléments de décomposition des objets en objets plus simples (qui vont correspondre à des objets pour lesquels existe un niveau prévisible, ou contrôlable, de maîtrise dans la population étudiée (ou enseignée)). Ces décompositions ne représentent parfois qu’un redoublement et une réorganisation d’une structure mathématico-physique de l’objet. Par exemple, l’aire et le volume, en tant que grandeurs, sont homogènes à des produits de longueurs, propriété qui s’exprime pratiquement dans le moule d’une formule. Les travaux conduits autour de l’arithmétisation du volume représentent un exemple particulièrement significatif à cet égard.
• un répertoire aussi exhaustif que possible des systèmes de représentation et de traitement1 (SRT) par lesquels on a accès à l’objet. Ils représentent une des formes d’existence de l’objet. Cette forme d’existence n’est pas indépendante de la précédente, elle en réalise la « visibilité » dans les registres de base de l’action cognitive. Avoir accès à l’objet, c’est savoir ou apprendre quelque chose de lui en le manipulant. C’est à travers ces SRT que se réalisent les techniques associées aux tâches et aux problèmes dont l’objet permet l’étude. On y trouve, souvent sous une forme ostensive, des traces effectives des dépendances et relations rappelées plus haut. Il semble qu’il y ait eu une évolution assez récente à propos des SRT depuis quelques années par passage d’un point de vue purement « représentationnaliste » : les SRT comme outils extérieurs et instruments de la pensée, à un point de vue plus « internaliste » dans lequel ils sont des constituants de la pensée, à travers deux dimensions, la dimension sémiotique (ce qu’ils expriment et ce qu’ils montrent) et la dimension instrumentale (ce qu’ils permettent de faire). On se reportera, pour les travaux les plus récents, à Raymond Duval et à Marianna Bosch.
• un ensemble de problèmes qui assurent une autre forme d’existence de l’objet au sens où ils l’appellent et contribuent à l’habiller, à le justifier. Ces ensembles de problèmes représentent des moyens extrêmement importants pour la recherche cognitive autant que pour la recherche en didactique.

15Cette description se retrouve actuellement soit sous forme explicite, soit sous forme implicite chez tous les auteurs avec des variantes sur lesquelles je ne reviendrai pas ici au risque de me faire accuser de les ignorer. Elle représente la prise en charge de caractéristiques propres aux organisations conceptuelles, sinon propres aux mathématiques, au moins partagées par elles avec d’autres sciences : Théorie des champs conceptuels, Organisations mathématiques locales, œuvres sapientielles, etc.

16L’évolution significative provoquée par la didactique des mathématiques dans la saisie de rapports entre le sujet humain et les connaissances de type scientifique, par rapport à celle qui avait été mise en œuvre dans les premiers travaux de psychologie cognitive, a consisté à particulariser « la pensée mathématique » dans le cadre plus général du fonctionnement des structures logico-déductives et à identifier les caractéristiques propres aux concepts mathématiques. De facto il a fallu se démarquer d’un logicisme hérité de Frege et d’un kantisme propre à Jean Piaget et à certains de ses successeurs. Il paraît évident que le placement des interrogations sur la structure des connaissances chez le sujet humain et celui sur les modèles sous-jacents à leurs transmissions ne peuvent pas éviter les emprunts à des positions philosophiques et épistémologiques existantes relatives à la connaissance. Les recours à une description logiciste des nombres naturels à une conception kantienne des concepts de temps, d’espace, de quantité, de hasard doivent tout naturellement être objets de débat, car leur adoption (il s’agit bien de prises de position épistémologiques sur la nature de la connaissance et sur les savoirs qui lui sont associés) n’est pas sans conséquence sur le programme entrepris.

17Quelles sont les difficultés qui sont rencontrées par ce modèle ? Du côté des savoirs, certaines difficultés pourraient provenir de notre incapacité à fournir, à propos de certains objets, des analyses qui permettraient de décrire des modalités de connaissance de ces objets articulés en termes d’opérations générales. Dans ce but, nous construisons un « discours épistémologique » pour l’analyse cognitive. En l’occurrence, il s’agit d’un discours sur les connaissances. Il permet d’assurer une prise sur l’objet à travers les rapports qu’il est possible d’établir avec ces objets. Ces rapports s’établissent, se constatent dans leurs manifestations (ils sont observables). Ces dernières prennent place dans des contextes définis (pratiques sociales rencontrées dans certaines institutions), dans des registres orientés, polarisés, déterminés par les types d’activités pour lesquelles ils sont mis en œuvre. Ces types d’activités peuvent être dominés, donc structurés, par des exigences qui ressortent de l’action, de la formulation, de la justification ou de l’explication, de la mise en conformité avec des normes propres à des usages institutionnalisés. Cette épistémologie n’est pas sa propre fin. Elle est au service d’une mise à l’épreuve au titre de la psychologie ou bien encore au titre de l’enseignement ou de la didactique : mise à l’épreuve des sujets, des dispositifs d’enseignement, de théories didactiques. Elle apparaît ici comme moyen de recherche qui est subordonné à notre capacité à l’utiliser.

18Parmi les exemples de difficultés qui sont en rapport avec les considérations précédentes, on pourra signaler celle des mathématiciens et logiciens de la fin du XIX^e siècle à penser le continu. Il nous faut constater que nos recherches sur la psychologie et la didactique du continu ne sont pas extrêmement probantes. Les mêmes remarques pourraient s’appliquer à d’autres objets mathématiques comme la démonstration, l’algèbre et l’algèbre linéaire.

19Un second ordre de difficultés provient du fait que la « relation didactique » n’est pas une relation de sujet à objet simple et transparente à elle-même, au moins tant que l’individu n’a pas atteint une autonomie cognitive lui permettant de nouer et de dénouer cette relation par lui-même (si tant est-il qu’il y parvienne jamais) ou avec une aide relativement faible (qui peut être réalisée par le seul fait d’appartenir à un groupe dans lequel les productions, actions et autres sont l’objet d’un traitement qui rend possible, aux yeux de l’individu en question, le fait de manifester qu’il connaît et qu’il peut pratiquer ce jeu). La conquête de l’autonomie cognitive est un parcours lent au cours duquel les objets n’émergent à la « conscience cognitive » que petit à petit et doivent s’extraire de contextes spécifiques de nature didactique.

Le didactique et son rôle dans la constitution du cognitif

Le didactique est partout dense dans le cognitif.
Y. Chevallard

20L’introduction du didactique comme un champ de pratiques sociales ouvre de nouveaux espaces de travail et d’interrogation. Cette introduction est en elle-même une réponse à des problèmes et des questions qui n’étaient pas totalement prises en charge par d’autres disciplines qui ne pouvaient pas servir de référence. Enfin, le travail entrepris depuis plusieurs dizaines d’années a contribué à isoler des questions nouvelles, à les thématiser, à développer les instruments théoriques et méthodologiques propres à favoriser leur étude. À côté de l’homo sapiens, objet des sciences cognitives et de l’homo sociologicus, objet des sciences du social, on a pu entreprendre l’étude de l’homo docens, l’homme instruit, c’est-à-dire de l’homme aux prises avec les intentions et les systèmes didactiques.

21Fille de l’interrogation cognitive, la didactique, en tant que discipline d’étude des systèmes et institutions didactiques, de leurs structurations et de leurs fonctionnements, ne peut pas manquer d’avoir à élucider les rapports entre les fins des systèmes didactiques et la constitution du cognitif. La propriété qu’a l’organisme humain2 d’entretenir, parmi toutes les relations qu’il entretient avec son environnement, des relations de type cognitif, fonde le cognitif. En tout état de cause, ce cognitif se déploie et se développe dans l’histoire, autant l’histoire collective que l’histoire individuelle. Dans la constitution de cette histoire, les phénomènes de « communication intentionnelle », de transmission, jouent un rôle fondamental. Autrement dit, il ne saurait y avoir de cognitif qui vaille sans que le didactique ait sa part (quelle part ?) tant au niveau social qu’au niveau individuel.

22Nous ne pouvons pas affirmer qu’il y ait autonomie totale du didactique. Il y a, néanmoins, des spécificités des phénomènes didactiques et la constitution du sujet cognitif ne peut s’effectuer sans que s’exercent des médiations diverses. Vigotsky avait, en son temps, souligné la part prise par ces médiations dans la construction de la connaissance individuelle. La psychologie cognitive a pu ainsi minorer le fait que la connaissance individuelle qu’elle observe à un moment donné ne saurait, dans la plupart des cas, être connaissance sans qu’il y ait eu rencontre préalable avec des dispositifs divers parmi lesquels des dispositifs didactiques (et notamment ceux qui sont spontanément mis en œuvre par l’individu comme autodidactisme) et que le type d’interaction avec la connaissance qu’elle observe correspond à une forme de réalisation de la mise en rapport avec la connaissance assez réduite et très spécifique.

23Supposons que ces mises en rapport correspondent à de véritables situations d’autonomie cognitive, il n’en reste pas moins vrai qu’elles ne sont pas forcément représentatives de toutes les situations de mise en rapport avec le savoir, situations dans lesquelles le sujet est en plus ou moins grande autonomie cognitive. Pour accéder aux conceptions de l’individu, à une description de ses rapports avec un ou plusieurs objets mathématiques, on le soumet à un échantillon d’épreuves relativement standardisées, dont la collection paraît représentative, mais représentative de quoi ? En quoi a-t-elle une vertu prédictive et en quoi consiste cette prédiction ? Ne faudrait-il pas effectuer des mises à l’épreuve, c’est-à-dire explorer le cognitif à partir d’autres références d’activité mathématique : pratique mathématicienne (ou pratique mathématique), étude d’une question, participation à des projets collectifs. Il s’agit de prendre en considération les dimensions du travail mathématique qui ne l’ont pas été dans les approches classiques. On a pu voir au cours de ces dernières années des évolutions du même type dans la psychologie du travail, évolutions provoquées à la fois par celles des techniques et des métiers et par l’introduction d’interrogations nouvelles. On s’est attaché à étudier les processus mis en œuvre dans la conduite de tâches complexes qui font appel à des coopérations, des partages, des planifications à court et moyen terme, bref une utilisation optimale des ressources cognitives. Il me semble que, du côté didactique, l’introduction de la notion d’étude comme unité signifiante et structurante de l’enseignement-apprentissage, et du côté cognitif (ou du moins du côté mathématique), celle de la notion de pratique mathématique, beaucoup plus large que celle de problème, serait de nature à favoriser la mise en place de travaux plus adaptés aux exigences actuelles en matière de demande sociale.

24L’interaction de l’individu avec ces productions sociales particulières que sont les connaissances est permanente. L’intervention de connaissances spécifiques, de savoirs est en rapport direct avec le développement technique et la présence de ces savoirs, dès lors qu’ils sont incorporés dans des dispositifs sociaux (il faut savoir quelque chose qui s’y rapporte pour entretenir une relation normale avec ces dispositifs) ou dans des techniques, des instruments. C’est par ce biais que le cognitif se réalise effectivement et qu’il appelle des dispositifs didactiques de toutes sortes, depuis les modes d’emploi jusqu’aux cours les plus présentiels (ou ostensifs). Une partie des rapports entre le cognitif et le didactique s’étudie par le biais de situations dans lesquelles action, formulation, validation, comparaison aux normes sont sollicitées dans la mesure ou un étalonnage social s’impose : présence d’un ou plusieurs interlocuteurs, rôle social, position, etc.

25Il devient donc significatif d’étudier le cognitif dans cette nouvelle dimension, celle de ses rapports avec le didactique. La biographie cognitive d’un individu n’est pas sans rapport avec sa biographie didactique, c’est-à-dire l’ensemble des savoirs, ou plus largement encore l’ensemble des œuvres, dont il a entrepris l’étude. On pourrait envisager aussi une ethnodidactique, repérant dans des contextes sociaux variés les dispositifs et les pratiques mis en œuvre pour assurer la transmission de savoirs mathématiques présents dans cette société en relation avec la diffusion de ces savoirs et les hiérarchies sociales qui leur sont associées. Le travail de Michèle Artaud se situe dans une perspective analogue, celle de la recherche des moyens mis en œuvre pour répondre aux besoins mathématiques d’une société ou d’un groupe social. L’étude des phénomènes transpositifs et adaptatifs mis en œuvre lors de l’élaboration des mathématiques pour l’économie renvoie aussi au cognitif au sens où c’est une certaine connaissance des mathématiques ainsi qu’une certaine connaissance mathématique qui sont mises en œuvre. Le cognitif ainsi repéré et étudié n’est plus un cognitif individuel, c’est un cognitif d’institution.

26Enfin, c’est dans cette même perspective qu’il paraît raisonnable de placer les études classiquement dénommées curriculaires qui pourraient prendre la forme de préoccupations liées à la constitution de cognitif mathématique d’une institution déterminée, d’un groupe humain supposé exercer des responsabilités cognitives déterminées dans la société.

Quelle est la place et quel est le rôle particulier du cognitif dans les études sur l’institutionnalisation ?

27Il existe une théorie classique de l’institutionnalisation développée dans le cadre de la sociologie de la vie quotidienne et de l’incorporation de l’ensemble des gestes, normes de comportement et dans certains cas de valeurs qui permettent aux individus de s’intégrer à un ensemble de structures sociales qui leur préexistent. Dans le cadre des théories classiques, le mécanisme essentiel de cette construction de la personne est l’accoutumance, la routinisation qui s’accompagne d’un rétrécissement des choix, de la stabilisation de certaines conduites dont la reproduction automatique soulage l’individu d’efforts importants de mémorisation. Un individu peut être reconnu, à travers des mécanismes de mise à l’épreuve qui peuvent être suffisamment discrets pour ne pas apparaître comme une charge, une contrainte, comme susceptible de s’incorporer à un groupe social déterminé. Ce fait est un produit de la routinisation de tout un ensemble de gestes dont l’accomplissement caractérise le groupe. Conjonction d’un processus d’objectivation et d’un processus d’élaboration d’une signification, l’institutionnalisation est une opération fondamentale dans le développement de la personne. Il faut en outre que les conduites qui vont être soumises à la routinisation apparaissent aux candidats.

28Il est possible de détailler plus avant les conditions (nécessaires) qui vont définir l’institutionnalisation (qui vont devoir être réunies pour qu’un processus d’institutionnalisation prenne place), conditions qui sont associées aux caractéristiques des institutions elles-mêmes comme un fragment de relations sociales établi sur un systèmes de valeurs, mythes, idéologies et ordonné selon des normes, des rôles, des manières d’être dont la fonction est d’assurer la conformité des individus et la maintenance d’un état de choses. On constate donc le rôle extrêmement important de l’historicité et du contrôle, étant bien entendu que si l’individu s’incorpore, ce qui lui est nécessaire pour « rentrer » dans (intégrer) une institution donnée, cette intégration a une double fonction, celle d’un renforcement de l’institution et celle d’une évolution par les significations nouvelles qu’apporte cet individu particulier.

29L’entrée dans une institution est aussi conditionnée par l’accès à ce que l’institution peut rendre objectif, ce qu’elle peut désigner à travers différents systèmes dans lesquels le langage joue un rôle central, et dont elle attend qu’il soit appris. C’est un monde objectif, qui se présente avec un caractère d’évidence à lui-même, donc aux autres, qui lui confère un statut de réalité objective.

30Il est possible de dessiner des perspectives théoriques concernant l’émergence des institutions, émergence de pratiques sociales nouvelles, à travers un pacte social, une convention, dans laquelle des segments de pratiques, ceux qui vont contribuer à définir l’institution, font l’objet d’une typification. Cette convention est légitimée ainsi en nature et en raison, inscrite dans la durée par une mise en symboles et la constitution d’une mémoire.

31C’est ainsi que la connaissance, ou au moins une connaissance, est appelée à jouer un rôle central dans l’intégration d’un ordre institutionnel. Il n’y a pas d’ordre institutionnel sans qu’une connaissance ne soit amenée à y jouer un rôle, un corps de connaissances types qui fournit les règles de conduites institutionnellement appropriées. L’individu aura selon les cas à rentrer en contact avec l’institution selon des modalités variées. Dans certains cas, ce sont des connaissances relatives au monde physique qui formeront le discours de l’institution. Dans d’autres cas, et on peut considérer que c’est le cas des mathématiques, c’est une forme de théorisation pratique du fonctionnement de la pensée rationnelle qui constitue le fond de connaissances qui définit l’institution.

32On pourra donc voir une institution, c’est-à-dire qu’on pourra décider qu’on regarde une formation sociale ou un ensemble de pratiques sociales selon deux modes, soit à partir des personnes et individus qui la constituent (à travers le rôle social qui les définit, réunit et distingue), soit à partir des savoirs, connaissances et pratiques symboliques qui les réunissent.

33C’est bien ainsi qu’ont procédé ceux qui ont introduit l’institutionnalisation dans les théorisations en cours de construction en didactique des mathématiques.

34Les paradigmes actuels d’étude sur l’institutionnalisation en didactique des mathématiques s’appuient sur un certain nombre d’éléments que nous allons présenter. La considération de fond qui justifie le recours à une théorisation faisant intervenir la notion d’institution et partant d’institutionnalisation, c’est le caractère « déjà-là » du savoir mathématique, comme une réalité objective préexistante à l’individu. Ce savoir est défini à travers un ensemble de normes de comportements dans lesquelles interviennent des techniques3 (l’usage de techniques d’un type déterminé qui sont justement des techniques mathématiques) et des pratiques discursives orientées vers la production et la validation de moyens de contrôle, de justification de ces techniques en référence à une norme d’usage de la rationalité très ancienne, celle des mathématiques.

35L’institution va être rencontrée par deux entrées. L’entrée de la théorie des situations d’un côté, l’entrée de la théorie « anthropologique » de l’autre. Ces deux entrées correspondent à des parcours différents qui se placent dans une certaine logique du travail théorique, des découpages et typifications qu’il propose. Nous allons essayer d’en présenter succinctement quelques éléments.

36En aucun cas, dans notre étude antérieure relative aux institutions et à l’institutionnalisation, nous n’avions fait allusion à la cognition du « sujet » (ou pour le moins de l’individu). Mais il est bien entendu qu’il y a quelque chose à connaître selon une norme propre à l’institution ou du moins propre au mode de connaissance en ce que l’appartenance à l’institution constitue une connaissance. C’est par le biais de cette propriété fondamentale de l’humanité de « connaître » en recourant à des systèmes de signes organisés que les rapports entre institutions et connaissances prennent leur sens. C’est parce qu’une connaissance est aussi l’organisatrice d’un champ d’expérience spécifique qu’elle est connaissance et qu’elle peut être atteinte en tant que telle, directement, dans le territoire local qu’elle organise4. On pourra chercher à atteindre cette connaissance à travers une présentation organisée du champ d’expérience, ou du moins d’une réalisation qui en soit suffisamment proche pour conduire à la connaissance en question. Connaître le champ d’expérience c’est aussi connaître un peu la connaissance, bien que si celle-ci, dans sa version institutionnelle, appelle la mise en œuvre de productions symboliques diverses, il sera nécessaire d’y accéder totalement ou partiellement. Il faudra institutionnaliser.

Le cognitif trouve sa place dans un processus d’institutionnalisation

37Une première orientation consiste à accepter que les rapports de celui qui apprend les mathématiques avec l’objet à apprendre n’est pas un rapport cognitif simple, transparent à lui-même, réglé par le seul contenu mathématique et les propriétés cognitives (ou les capacités intellectuelles) du sujet (de l’élève). Dans cette perspective le maître est un peu désarmé, il est livré à sa seule connaissance du contenu et à son talent particulier de prise en charge de la non-compétence temporaire de l’élève. En cas d’échec, sa tendance « naturelle » (on pourrait aussi bien dire systémique, mais alors on surinterprète la relation pédagogique ou didactique avec un autre système d’interprétation) est de renvoyer cet échec du côté de l’élève et de l’incapacité créée par un manque de travail, une insuffisance de capacité ou un retard de développement. Il semble que le constructivisme radical nous conduise à une position de ce type.

38Une autre orientation consiste à compliquer un peu les choses et à dire que les rapports aux objets de connaissances sont aussi dépendants des conditions dans lesquels ils sont établis, des positions qu’on est amené à occuper, donc des exigences cognitives correspondant aux demandes dont on est l’objet. On va également être conduits à accepter la complexité des situations de type didactique et à chercher à en rendre compte. On va donc être amenés à dissocier les situations de mise en œuvre des connaissances par un sujet qui ne sont pas médiatisées par une tierce personne, dépositaire d’un projet déterminé par rapport à son niveau de connaissances, des situations qui sont médiatisées et orientées par une intention didactique. C’est la désormais classique distinction non-didactique/didactique. Le développement de la théorie, sur lequel je ne reviens pas ici, conduit à donner une place à une catégorie particulière de situations, celles qui s’inscrivent dans un processus d’institutionnalisation et le réalisent (ont pour fonction de le réaliser). C’est ainsi, comme nous l’avons vu plus haut, que les deux approches théoriques font une place à l’étude des phénomènes liés à l’institutionnalisation dans les processus didactiques en mathématiques. L’institutionnalisation apparaît car il y a une norme de savoir, une norme cognitive par rapport à laquelle vont s’étalonner un certain nombre de faits relevant du système didactique et notamment la grande majorité des productions des élèves.

39Quelques traits me semblent tout d’abord décisifs :

• l’institutionnalisation n’est pas de la seule responsabilité du maître ;
• l’élève peut avoir un rôle actif au cours de l’institutionnalisation ;
• des phases adidactiques peuvent concourir activement au processus d’institutionnalisation.

40Lors d’un travail antérieur sur l’institutionnalisation, nous avions été amenés à nous interroger sur la définition, en tant que modèle, d’un schéma général dans lequel on ferait intervenir :

• une situation agie SA, situation de base, situation agie dans laquelle l’élève est amené à déployer des connaissances sur un mode explicite autant que sur un mode implicite afin de produire une réponse ;
• une situation instituante SI qui va constituer à construire une image de SA qui soit en rapport avec le projet didactique, c’est-à-dire qui puisse être travaillée du point de vue du savoir à acquérir, ou du moins d’un savoir qui est en proximité avec le précédent. SA ne va pas être seulement mesurée à sa capacité de favoriser (appeler) une certaine forme de mise en œuvre de la connaissance mais aussi à sa capacité de permettre un traitement qui se place du côté du savoir. C’est une forme de conversion des connaissances en savoir.

41C’est très exactement ce qui se passe dans la situation, ou plutôt le processus de la course à 20, quand on effectue le passage du moment correspondant à l’identification de la suite (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20)5 à l’étude du problème de la détermination de la suite correspondant aux valeurs 31 du but et 4 de l’empan (on peut ajouter 1, 2, 3). SA, la situation agie, prend place entre le lancement du jeu et la détermination de la suite (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20). Il s’agit maintenant de passer à la détermination d’une technique pour trouver une suite gagnante dans le cas où but et empan ont changé.

42Le placement relatif des deux situations (SA et SI) et l’organisation de SI vont dépendre de ce qu’on se propose de réaliser comme mise en rapport avec un savoir institutionnalisé. S’il ne s’agit que de montrer un domaine d’utilisation de la division euclidienne, on ne va pas se proposer de réaliser un apprentissage de cette division, mais on va établir une version de problème qui donne à voir la mesure dans laquelle la division permet de construire une technique d’étude. Les variables fondamentales sur lesquelles on peut jouer dans ce but sont le nombre fixant le but à atteindre et l’empan (somme des termes extrêmes de la suite de nombres entre lesquels il faut choisir pour avancer). On va donc organiser la recherche de la suite gagnante comme problème de division (on pourrait se fixer un autre objectif). Dans ce but, on va donc se placer par rapport à la division, non pas une division obéissant à une définition formelle, mais une division référée à l’histoire qui l’a produite et dans laquelle un certain nombre de techniques peuvent encore être officiellement évoquées. C’est le cas de la soustraction successive, à la fois technique de calcul et emblème de la division, c’est-à-dire dont la mise en œuvre, pour déterminer à partir du but et de l’empan la suite gagnante, place le terme de la suite en situation d’être considéré comme un reste. On est bien en pleine institutionnalisation, institutionnalisation qui n’a pas un seul objet puisqu’elle concerne aussi la division qui, voyant son domaine d’application s’agrandir, est connue encore un peu plus pour ce qu’elle est.

Conclusion

43Les changements de perspectives dans l’organisation de l’interrogation sur l’enseignement des mathématiques correspondent à l’apparition de thématisations nouvelles, thématisations dont nous savons qu’elles opèrent sur les questions (nous les faisons opérer sur les questions) afin de permettre leur problématisation. Ainsi, elles apparaissent sous une forme « convenable » dans un champ de travail constitué, c’est-à-dire qu’il est possible à leur propos d’identifier un terrain d’étude, de définir des observables, d’engager des méthodes, de constituer des protocoles d’interrogation du terrain, de collecter les données correspondantes et de les traiter.

44Ce qui nous réunit me semble relever de la thématisation au sens où je crois avoir montré que nous avions à affronter des questions nouvelles pour lesquelles il sera nécessaire de promouvoir des objets nouveaux, que ce soient des objets d’étude ou des objets pour l’étude. Bien évidemment, il n’est pas question de prophètiser, encore moins de donner des leçons. Dans le fond, on ne fait que repérer certains éléments d’une évolution d’ores et déjà amorcée.