1Le problème central de la didactique des mathématiques est parfois formulé comme la recherche des conditions de la compréhension en mathématiques (Duval, 1996 ; Sierpinska, 1995a). Cette question peut être étudiée d’au moins trois points de vue : didactique, épistémologique, cognitif.

2Le point de vue didactique prend comme objet d’étude les conditions institutionnelles, liées à l’organisation des curricula, à la préparation des contenus en vue de l’enseignement, au temps de l’enseignement et au fonctionnement des classes, ainsi que les conditions sociales et psychosociales de l’apprentissage dans le groupe enseignant-élèves, favorisant certains types de discours et, par cela même, menant à l’émergence d’un certain type de sens des contenus mathématiques.

3Il est plus difficile de décrire les deux autres points de vue.

Les points de vue épistémologique et cognitif

4La distinction entre les points de vue épistémologique et cognitif n’est pas évidente. Elle n’est surtout pas évidente dans la tradition française où l’épistémologie a toujours été psychologisante sans vergogne : il suffira de mentionner les épistémologies de Poincaré, Bachelard ou Piaget (voir Sierpinska et Lerman, 1996, p. 831). Cette distinction n’est pas, de plus, évidente pour un didacticien dont l’objectif n’est pas tellement la description ou l’explication des processus d’émergence et de validation des connaissances que l’étude de la possibilité de les provoquer chez les élèves. Nous reprendrons ici la distinction proposée par Duval, où ce retour au cognitif depuis l’épistémologique est mis en valeur :

L’approche cognitive s’intéresse [...] au fonctionnement de la connaissance sous l’angle des mécanismes et des processus qui la permettent en tant qu’activité d’un être individuel. C’est évidemment un point de vue différent de celui de l’approche épistémologique, laquelle envisage les connaissances relativement à un domaine particulier d’objets, à leur développement historique et aux démarches de leur validation. Mais, par rapport à cette approche, l’approche cognitive revient d’une certaine façon à se poser la question : quel type de fonctionnement la mise en œuvre des démarches et des connaissances spécifiques à une discipline scientifique implique-t-elle ? Question non négligeable si l’on veut étudier les conditions d’acquisition et d’appropriation de ces connaissances par des individus ! (Duval, 1996, p. 353)

5Mais même cette distinction, aussi claire qu’elle puisse sembler, peut mener certains à classifier comme épistémologique ce que d’autres auront qualifié de cognitif et vice versa. Par exemple, Duval qualifie comme étant le produit d’une approche cognitive sa mise en évidence d’une condition fondamentale du fonctionnement cognitif dans le domaine des mathématiques : « la mobilisation d’une pluralité de registres de représentations sémiotiques » (Duval, 1996, p. 356). En plus, dit-il :

Il ne suffit pas qu’il y ait un développement de chaque registre. Il faut également que les différents registres dont le sujet dispose, ou que l’enseignement s’efforce de lui faire acquérir (par exemple, celui de l’écriture algébrique), se coordonnent. Cette coordination est la condition pour la maîtrise de la compréhension dans la mesure où elle est la condition pour une différenciation réelle entre les objets mathématiques et leur représentation : elle se manifeste par la capacité de reconnaître dans deux représentations différentes des représentations d’un même objet. Elle constitue un seuil dont le franchissement change radicalement l’attitude vis-à-vis d’une discipline : le sujet a conscience de franchir un seuil, d’acquérir le pouvoir d’initiative et de contrôle dans le déroulement des démarches... (Duval, 1996, p. 365)

6Dans nos études en didactique de l’algèbre linéaire, nous avons identifié une « condition » de compréhension semblable qui est la flexibilité de se mouvoir entre trois modes de pensée : le mode synthétique-géométrique, analytique-arithmétique et analytique-structurel (Sierpinska et al., 1997). Nous aurions tendance à qualifier notre approche d’épistémologique, parce que nous avons « envisagé les connaissances relativement à un domaine particulier d’objets, à leur développement historique et aux démarches de leur validation ». Mais la conclusion de Duval à propos de la nécessité de mobiliser différents registres de représentations sémiotiques pourrait être déduite, elle aussi, d’une étude épistémologique de la genèse des connaissances mathématiques dans une perspective diachronique. Elle a été on ne peut plus importante dans le développement de l’algèbre linéaire et elle fait partie de la définition même des trois modes de pensée mentionnés plus haut : ces modes de pensée se distinguent, entre autres, par les systèmes de représentation et types de discours. Ce qui a pu mener Duval à considérer son approche comme cognitive est le fait que sa condition ne se réfère pas à des contenus de pensée mais à des mécanismes de fonctionnement cognitif indépendamment des contenus, bien que particulièrement importants dans la compréhension de certains contenus précis (mathématiques).

7Mais ce choix, entre le discours à propos des contenus de pensée versus le discours à propos des mécanismes de fonctionnement cognitif, sépare-t-il vraiment l’approche épistémologique de l’approche cognitive ? L’existence des théories des compétences développées dans une tradition piagetienne d’une part, et dans le paradigme de l’Intelligence Artificielle de l’autre, que l’on ne manquerait pas de classifier comme appartenant à l’approche cognitive, suggère que le passage de l’un à l’autre de ces discours (et ces problématiques) est très flou.

8Pour expliquer le phénomène de la généralisation d’un comportement effectif à de nouveaux objets, Piaget a avancé son concept de schème, défini comme « une entité fonctionnelle dynamique » (Piaget, 1972). Piaget a identifié des schèmes de raisonnement chez des jeunes enfants (Piaget, 1963) ; il a aussi étudié les schèmes plus spécifiques aux concepts mathématiques (nombre, espace, fonction, hasard) et aux domaines des mathématiques (géométrie, algèbre). Vergnaud (1998) a précisé et étendu le concept de schème en le définissant comme « une organisation invariante d’un comportement pour une certaine classe de situations ». Les procédures algorithmiques sont un exemple de schèmes, mais il existe des schèmes qui ne sont pas des procédures algorithmiques. Les schèmes comprennent des invariants opérationnels tels que les concepts-en-action, qui servent à classifier et sélectionner l’information, et les théorèmes-en-acte, qui servent à déduire des objectifs et règles de comportement à partir de l’information donnée. Le concept de schème, employé dans le contexte d’apprentissage et d’enseignement des mathématiques, a mené Vergnaud à proposer une théorie des compétences ou de systèmes de schèmes, liés par des liens conceptuels et non pas seulement par exemple associatifs. Il a formulé des théories des compétences à propos des opérations d’addition et de multiplication (Vergnaud, 1982, 1983).

9Pour les théoriciens de l’Intelligence Artificielle et des « technologies cognitives » la notion de compétence dans le sens de l’expertise est également centrale (Pea, 1987). On souligne le rôle des savoirs dans des domaines spécifiques, ou de l’expertise dans le développement de l’intelligence.

Since there are distinct developmental trajectories for different content domains, rather than a general logical engine on which the development of cognitive skills in specific domains depends, then integrations are in principle possible between childhood thinking and expert or intelligent tutoring computer Systems that provide developmental technologies. These integrations would serve as mental catalysts for engineering the development of high level cognitive skills. The child would not need to await the development of general logical structures in order to become a powerful thinker... Similar arguments are provided by research on artificial intelligence (AI) Systems. Cognitive scientists have found that extensive knowledge is necessary for expert-level performance in solving problems in every content area studied. (Pea, 1987, p. 134)

10Il ne suffit donc pas que les élèves s’engagent dans des activités mathématiques (formulation d’hypothèses, justification, réfutation, généralisation, et autres activités, composantes du travail du mathématicien). Il faut qu’ils acquièrent des connaissances à propos des mathématiques reconnues comme savoirs mathématiques par des experts.

11Nous voyons combien la distinction entre l’approche épistémologique et l’approche cognitive est difficile. Mais lorsque nous regardons la pratique réelle des recherches en didactique des mathématiques, et surtout des recherches à long terme, liées à l’élaboration et la réalisation d’un projet d’enseignement des contenus mathématiques concrets, nous y voyons deux types assez distincts de questions. Il y a décidément des moments où les chercheurs se préoccupent surtout des contenus mathématiques : ils essaient de définir ce qu’ils veulent enseigner, de le comprendre, de le mettre dans la perspective des objectifs généraux d’enseignement, de voir ses liens avec d’autres objets d’enseignement. Ils cherchent des problèmes qui donneraient du sens à ces contenus pour les élèves. En étudiant la genèse historique ou logique des mathématiques, ils se préparent à construire des situations didactiques qui en favoriseraient une « genèse artificielle » (Brousseau, 1981b, p. 50) dans la classe des mathématiques ou dans le travail individuel ou en groupes des élèves avec un logiciel. On pourrait appeler épistémologiques les préoccupations de ce genre. D’autre part, il y a des questions à propos des « difficultés » des élèves, de leurs comportements possibles vis-à-vis des tâches envisagées. Ces questions relèvent déjà de la réflexion sur les mécanismes du fonctionnement cognitif impliqués par les connaissances et savoirs mathématiques visés. Il en est de même lors des analyses a posteriori du déroulement de la réalisation du projet : on questionne aussi bien le sens des connaissances ayant émergé dans les interactions que les mécanismes cognitifs mis en œuvre par les élèves. Les questions des deux types ne peuvent même pas être divisées en « phases » dans la chronologie d’une recherche ; elles sont, la plupart du temps, entremêlées : une question d’un type provoque très vite une question de l’autre type.

12Plus généralement, dans la réalité des recherches en didactique des mathématiques, les questions de ces deux types interagissent avec des questions de type didactique et ceci indépendamment du paradigme méthodologique dans lequel la recherche se déroule. Un témoignage de cette interaction a été explicité récemment dans un article de Daniel Chazan (1996) sur l’enseignement d’algèbre à l’école secondaire. L’auteur est parti d’une constatation d’échec massif en algèbre aux États-Unis et du défi lancé par deux extrêmes dans l’opinion publique : d’une part, l’avis que l’algèbre est inutile dans la plupart des professions et devrait être abandonnée comme prérequis à la graduation ; et de l’autre, l’opinion que si l’algèbre n’est pas utilisée au travail, c’est que ce travail est mal structuré est non que l’algèbre est inutile. Face à cette opposition, il a décidé de réviser le contenu de ce qu’on appelle « algèbre » au secondaire. Il s’est trouvé alors contraint de changer les moyens et manières d’enseigner. L’auteur a ensuite conduit une expérimentation auprès d’un groupe d’élèves qui lui a permis d’identifier tant les faiblesses que les points forts du fonctionnement cognitif et affectif des élèves destinés à l’échec dans le cadre de l’enseignement et du curriculum traditionnels. Les conclusions de ses recherches sont adressées aux décideurs dans le domaine d’instruction obligatoire.

In this article, I share experiences and thoughts that, I believe, should be integral to policy discussions aimed at improving algebra instruction. I believe that the current algebra instruction is deeply flawed and must be challenged — that the way we teach algebra makes it a difficult subject that, some argue, is impossible for many students to study successfully. Sandy and I have been exploring an alternative view of the central objects of study in algebra, one which suggests a wealth of connections between algebra and calculations with quantities that are performed repeatedly in everyday work situations. One benefit of this view of algebra is that it helps us bridge our students’ interests and the curriculum; it also helps us identify strengths that our low-achieving students exhibit, in addition to their easily identified academic weaknesses... Changing our view of the content has helped us identify students’ strengths, but we have also changed the way we teach... We have tried to change our role and students’ roles, so that it becomes clear that we do not imagine them as passive recipients of incontestable knowledge, but rather that we would like to invite them to become active participants in a long tradition of mathematical inquiry, a tradition that insists on the presentation of evidence and reasoning to support claims... However, making such changes in classroom roles is very difficult... Participants in policy discussions must remember how difficult and multifaceted the teacher’s role is. In particular, policymakers must keep in mind some of the circumstances endemic in lower track math classes that make it difficult for teachers and students to change their roles. (Chazan, 1996, p. 455-478)

13Dans ce qui suit, nous allons nous concentrer surtout sur les interactions entre les perspectives épistémologique et cognitive et illustrer notre thèse à partir des exemples puisés dans nos recherches sur l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre linéaire. Nous reviendrons à la perspective didactique dans les conclusions.

Le problème : l’enseignement de l’algèbre linéaire

14Nos recherches ont été provoquées par une expérience vécue de la difficulté d’enseigner l’algèbre linéaire. Malgré nos efforts et l’introduction d’innovations, un pourcentage non négligeable d’étudiants était voué à l’échec (Hillel et Sierpinska, 1994). La littérature nous communiquait que le phénomène n’était pas local (voir un résumé de résultats d’enquêtes dans Dorier et al., 1997) et que le problème ne pouvait pas se résoudre en améliorant le savoir des enseignants à propos du sujet ou en introduisant des innovations pédagogiques :

Un préjugé courant chez les mathématiciens est que pour bien enseigner les mathématiques, il suffit de bien les connaître : l’exemple de l’algèbre linéaire apporte un démenti cinglant. La théorie est au point, ceux qui l’enseignent la dominent personnellement... et les étudiants ne suivent pas. Le préjugé opposé, courant chez les « pédagogues » qui pensent qu’avec une « bonne pédagogie » on peut tout enseigner, est tout aussi néfaste. Là encore l’algèbre linéaire apporte un contre-exemple : il y a une matière mathématique résistante dont la difficulté ne cédera pas à un savoir-faire pédagogique, si élaboré soit-il, qui ne prenne appui sur le contenu mathématique, c’est-à-dire les idées, les concepts, les méthodes à l’œuvre dans la théorie. Pour faire progresser l’enseignement, il faut d’abord le prendre comme objet d’étude. C’est précisément la mission que s’est donné la didactique des mathématiques dont la devise pourrait être plaisamment présentée sous la forme : « Comment l’esprit mathématique vient aux élèves ? » (Revuz, 1997, p. 9)

15Lorsque l’enseignement est pris comme objet d’étude, les évidences doivent être remises en question. On ne peut plus admettre que l’on « connaît » ce qu’on enseigne, comme dans la citation ci-dessus. L’enseignant peut bien connaître la théorie, mais ce dont il ne se rend souvent pas compte c’est que les choix qu’il fait dans la préparation des contenus à l’enseignement, la façon dont il communique avec les étudiants, le contexte institutionnel, influencent le sens et la substance même de ce qu’il enseigne. Ce qu’il enseigne n’est pas nécessairement ce qu’il a l’intention d’enseigner.

16Dans nos recherches, cette question : « Mais que, en fait, enseignons-nous ? » nous a beaucoup préoccupés. Pour comprendre ce qui se passe, nous avions besoin de catégories de pensée permettant d’identifier et de distinguer les phénomènes. Une distinction que nous avons trouvé utile a été celle des modes de pensée synthétique et analytique.

Distinction épistémologique utile : pensée synthétique, pensée analytique

17La distinction entre « synthèse » et « analyse » et « synthétique » et « analytique » (qualifiant vérités, jugements, savoirs, modes de pensée) a des sources historiques très anciennes. Son sens a varié au cours de l’histoire et, aujourd’hui, elle n’est pas sans ambiguïté. Le sens qui lui était originellement attribué dans les mathématiques de tradition euclidienne peut être reconstruit à partir de l’explication de Pappus d’Alexandrie (citée dans Trudeau, 1987) :

... in analysis we assume that which is sought as if it were [already] done, and we inquire what it is from which it results, and again what is the antecedent cause of the latter, and so on, until by retracing our steps we come upon something already known or belonging to the class of first principles, and such a method we call analysis as being solution backwards. But in synthesis, reversing the process, we take as already done that which was last arrived at in the analysis, and, by arranging in their natural order as consequences what were before antecedents, and successively connecting them with one another, we arrive finally at the construction of what was sought; and this we call synthesis. (Pappus, ca. 300 A.D., cited in Trudeau, 1987, p. 58)

18Ainsi, dans sa conception première, l’analyse n’était pas séparée de la synthèse : c’étaient deux processus qui se complétaient dans la résolution des problèmes. Il en était ainsi jusqu’à Viète:

According to Viète, « analysis » was nothing but the first part of a method to solve geometric problems; these problems were translated into algebraic equations in which either known or unknown « quantities » occur; the solutions of such equations provided an algebraic expression of unknown « quantities » in terms of the known ones. Such an expression had to be interpreted as a geometrical relation allowing, in the second part of the method—the « synthesis »—to construct the unknown entities starting from the data. In his Geometry, Descartes made a decisive progress in this field, by discovering the possibility of expressing a (geometrical) curve by an algebraic equation in two variables. (Panza, 1996, p. 243)

19Ce qui s’est passé après Descartes, à commencer par les travaux de Newton et les mathématiques du XVIII^e siècle, est une séparation de l’analyse et de la synthèse et une émancipation de l’analyse en un processus autonome :

What is new in Newton, from a methodological point of view, is that algebraic or, as we say, « analytical » procedures are completely distinct from their possible geometrical (or mechanical) applications or interpretations. An equation, a finite symbolic expression, or a series is considered as an autonomous object. The name of « analysis » is maintained, although now « analysis » is not the first part of a method composed of two connected parts (in such a way that the first one gains its mathematical meaning only in connection with the second); « analysis » is a self governing field and gains its mathematical meaning without the employing of any interpretation or construction. (Panza, 1996, p. 243)

20Ce sont ces notions d’analyse et de synthèse qui sont à la source des appellations « géométrie synthétique », « géométrie analytique », « analyse mathématique ». Dans nos analyses nous avons appliqué la distinction entre l’analytique et le synthétique aux modes de pensée en mathématiques qui sont sous-jacents à ces domaines mais dont le sens est plus proche des catégories proposées par Kant. La notion principale est, ici, celle d’intuition (Anschauüng), qui s’oppose au jugement discursif. Ainsi, le mode synthétique est lié à l’intuition, par contraste au mode analytique où la pensée entre en contact avec son objet à travers un discours, une définition, par exemple. Il s’agit surtout, puisqu’il est question des mathématiques, de l’intuition pure qui exclut toute pensée aux qualités matérielles (Kant, 1949, p. 33).

21Kant faisait la distinction entre les propositions synthétiques et les propositions analytiques, en disant qu’une proposition est analytique si son prédicat est contenu dans son sujet ; autrement dit si la vérité de cette proposition ne dépend que du sens conventionnel des mots dont elle se compose. Une proposition est synthétique si sa justification demande quelque chose d’autre que les définitions des termes utilisés. Les propositions synthétiques parlent donc d’objets qui doivent être donnés autrement que par un mot et sa définition : ils doivent être donnés soit par l’expérience sensible, soit par ce que Kant a appelé l’intuition pure. Par exemple, pour Kant, la notion de droite est donnée à l’intuition, directement. Nous dirions qu’elle est conçue dans un mode de pensée synthétique. Mais Kant parle de propositions synthétiques et il explique pourquoi le postulat1 « La ligne droite est le chemin le plus court entre deux points » doit être qualifié comme tel :

That a straight line is the shortest path, is a synthetic proposition. For my concept of straight contains nothing of quantity, but only a quality. The attribute of shortness is therefore altogether additional, and cannot be obtained by any analysis of the concept [« straight line »]. Here, too, visualisation (Anschauüng) must come to aid us. It alone makes the synthesis possible. (Kant, 1949, p. 17-18)

22Dans le mode synthétique la pensée essaie de décrire l’objet dont elle a l’intuition. L’objet est ainsi plus que toute description qui peut en être donnée. Il a des propriétés, mais ces propriétés ne le définissent pas : l’objet existe avant toute définition.

23D’autre part, dans le mode analytique, l’objet est seulement crée par la définition. Il n’est rien d’autre que les propriétés qui le définissent. Ainsi, dans le mode analytique, une droite dans le plan est définie, par exemple, comme un ensemble de points dont les coordonnées x et y satisfont la relation : Ax + By + C = 0, où A, B, C sont des réels tels que A² + B² ≠ 0.

24Dans l’histoire des mathématiques les concepts émergent souvent par l’effort et le jeu de la pensée synthétique. Mais le travail de généralisation et d’inclusion dans un système des savoirs conduit à la formulation d’une définition qui, dès lors, est la référence et le moyen de contrôle de toutes les intuitions ultérieures qu’on pourrait avoir à propos de son objet. La recherche des implications logiques de cette définition peut mener à la construction, analytiquement, d’objets dont l’intuition ne soupçonnait pas l’existence. Il suffit de penser à l’histoire de la notion de fonction et les fameux propos de Poincaré qui se « détournait avec horreur » des monstres créés à partir de la définition générale de fonction formulée par Dirichlet.

Explications épistémologiques des difficultés cognitives

25La pensée analytique exige un fonctionnement cognitif particulier : c’est une pensée nécessairement verbale, qui s’appuie sur des systèmes de représentation externes, conventionnels, et qui, presque par définition, présuppose l’existence des représentations multiples d’un même objet (les propositions analytiques ne sont-elles pas basées sur l’existence des représentations équivalentes d’un même objet ?). En nous référant à la catégorisation de Duval (1996), nous dirions qu’elle présuppose l’emploi d’une langue non seulement dans sa fonction de communication, mais surtout de « traitement » et « d’objectivation » de représentations ; la langue ne sert pas seulement à nommer les objets, mais aussi à les décrire et surtout à les créer par des définitions et des systèmes de propositions, et à discuter de leurs sens et liens avec d’autres objets en revenant sur ce qui a été écrit en le transformant. Il est inutile de souligner quelle importance a cette forme de pensée dans l’apprentissage des mathématiques à partir du niveau secondaire.

26Les enseignants et chercheurs en didactique des mathématiques savent combien il est difficile de comprendre une notion mathématique à partir de sa définition. Certains proposent d’apprendre aux élèves à travailler avec un texte mathématique en utilisant certaines techniques de « lecture active » (Krygowska, 1969). D’autres essayent de « préparer » l’étudiant à la définition. Dans les manuels d’algèbre linéaire, cette préparation prend souvent la forme d’exemples dits « introductifs ». Analysons un tel exemple et la réaction à sa lecture d’un étudiant.

Exemple 1

Ambiguïté du statut des « exemples introductifs » dans un manuel d’algèbre linéaire

1. Analyse du texte : interaction des points de vue didactique et épistémologique

27Le chapitre sur les transformations linéaires dans le texte de Lay (1994, p. 73) commence par proposer de penser la prémultiplication d’un vecteur x par une matrice A comme une « action » de la matrice A sur le vecteur x : on multiplie A par x, on obtient un autre vecteur. De ce point de vue, dit le texte, résoudre l’équation matricielle Ax = b (A est une matrice n par m, x est un vecteur dans R^m, b est un vecteur dans Rⁿ) veut dire trouver tous les vecteurs x qui sont transformés en vecteur b par la matrice A. L’auteur ensuite appelle la correspondance de x à Ax une « fonction » : « The correspondence from x to Ax is a function from one set of vectors to another. » Ainsi, en employant le mot « fonction » dans une métaphore à propos de la prémultiplication des vecteurs par une matrice, l’auteur cherche à en élargir le domaine de référence. Dès lors, il sera légitime, dans son texte, d’appliquer le terme « fonction » non seulement à des correspondances entre les nombres mais aussi à des correspondances entre des n-uplets de nombres. La légitimation se fait explicite dans l’acte de la définition : « A transformation (or function or mapping) T from R^m to Rⁿ is a rule that assigns to each vector x in R^m a unique vector T(x) in Rⁿ. » Le texte continue avec trois exemples de transformations dans les espaces R", consistant en une prémultiplication par une matrice. L’auteur introduit ensuite la définition générale de la transformation linéaire dans les espaces Rⁿ. Il justifie sa définition par une démarche formelle sur le résultat d’une observation à propos de la multiplication des matrices par des vecteurs. On sait (on l’a vérifié il y a longtemps) que A(u+v) = Au + Av et A(cv) = cAv, où A est une matrice, u et v sont des vecteurs et c est un nombre. Utilisons un procédé métonymique toto pro pars sur cette écriture : remplaçons « A » qui représente un cas particulier de transformation ou une fonction généralisée dans Rⁿ par « T » qui représente une transformation arbitraire. Nous obtenons « T(u + v) = T(u) + T(v), T(cv) = cT(v) », qui, dit l’auteur, sont des propriétés qui « identifient la classe des transformations la plus importante en algèbre linéaire » (Lay, p. 74). Après ceci, il donne la définition : « Une transformation T est linéaire si (1) T(u + v) = T(u) + T(v) pour tous les u et v dans le domaine de T, et (2) T(cv) = cT(v) pour tout vecteur v et scalaire c. »

28Essayons de comprendre ce qui se passe. Admettons que les matrices sont des objets donnés directement à l’intuition : ce sont des écritures d’une certaine forme. On apprend à les manipuler, à faire des opérations sur elles, on observe finalement que la multiplication des matrices par des vecteurs a, entre autres, les propriétés suivantes A(u+v) = Au + Av et A(cv) = cAv. Tout cela relève de la pensée synthétique à propos des matrices. Mais l’auteur demande maintenant au lecteur d’isoler cette propriété de son contexte, de ne voir que sa forme, et de la transposer dans un contexte plus général des fonctions sur Rⁿ (procédé métonymique de transfert de référence). Isolée et interprétée dans ce nouveau contexte, la propriété obtient un nom et une définition et devient un concept, celui de la « transformation linéaire ».

29La définition est suivie d’autres exemples : dilatation, contraction, rotation, et la représentation en forme de transformation matricielle des coûts de la production dans une usine. Alors que dans les exemples précédant la définition le lecteur pouvait seulement observer que les transformations matricielles ont la propriété en question, dans les exemples qui la suivent, on démontre la propriété pour prouver que ce sont bien des exemples des transformations linéaires : il s’agit de penser analytiquement à propos de la notion de transformation linéaire.

30On pourrait penser que le texte suppose que le lecteur utilisera un mode synthétique de pensée en étudiant les exemples introductifs pour passer au mode analytique après la lecture de la définition. Mais il est clair que l’auteur, qui prépare les introductions aux définitions, est dans le mode analytique dès le début. C’est pourquoi il parle d’« exemples » avant la définition et non d’« activités » ou d’« explorations ». L’auteur sait quel concept il va introduire et il trouve des exemples qui l’illustrent. Pour passer de ses exemples introductifs aux définitions il se sert d’outils rhétoriques tels que métaphore et métonymie qui lui permettent de généraliser des concepts (par métaphore) et d’abstraire des propriétés des objets (par métonymie). Mais ces figures de style peuvent seulement être des symptômes de conceptualisations nouvelles chez celui qui s’en sert ; elles n’ont pas le pouvoir de provoquer des conceptualisations voulues chez autrui. Il est très probable que seul un lecteur qui, comme l’auteur, travaille dans le mode analytique dès le début pourra suivre le texte ; celui qui se laisse prendre par le mode synthétique de l’observation des propriétés aura du mal à passer au mode analytique après la définition.

2. Analyse de la lecture du texte par un étudiant

31Voyons les commentaires d’un de nos étudiants, S3, qui a travaillé à partir du texte de Lay avec l’aide du précepteur P III.

32Tout d’abord, Sandy 3 ne voit pas pourquoi on lui fait remarquer des propriétés tout à fait évidentes d’objets et d’opérations qu’il connaît si bien (voir ci-après). Sa réaction se comprend : l’importance de ces propriétés n’est visible que du point de vue des concepts généraux qui sont introduits après. Il en va de même du langage ou des nouvelles manières de parler de certaines choses bien connues. En effet, pourquoi dire « A acts on x » au lieu de « A multiplied by x » lorsqu’on parle d’équations2 ? Lorsqu’on parle de systèmes linéaires d’équations, les questions importantes sont celles du rang de la matrice, du nombre de solutions, des méthodes de solution. On ne voit pas pourquoi on s’amuserait à inventer la métaphore d’action de la matrice A sur un vecteur dans ce contexte.

March 19, S3 and P III:

S3: Okay, « times » means « acts »...

S3: Aha, so it’s like when you have ax equals to y [writes « ax=y »], then a acts on x, right? [puts an arrow between a and x and a double arrow over the equals sign]. [After a pause, laughs] I don’t know if its me a fool or its them...

P III: The point here is that you can look at matrices as certain functions... In your example, you have a number acting on a number, okay...

S3: Uhuh. But I still don’t understand what’s the point...

P III: And now, suppose you want to act on vectors... Then you need to go beyond numbers, beyond R¹... To act on a vector, you need a whole matrix, to get another vector, right?

S3: Uhuh.

P III: [After a pause, during which S3 is staring silently at the text] Do you understand this?

S3: Yes, you have to act, but so what?

P III: [Resigned] Okay, let’s go on.

S3: All this is just information, to make me notice this fact...

P III: To motivate you.

S3: [Laughs] To tell me things that I know already so that I don’t get scared from the outset.

33S3 semble avoir conscience de l’agenda implicite de l’auteur et ne se laisse pas trop entraîner dans l’étude des exemples particuliers que l’auteur donne dans son introduction. Il attend d’arriver à lire la théorie et ce n’est qu’alors qu’il va revenir aux exemples de l’introduction (il garde sa pensée analytique toute prête en attente de l’utilisation future).

34Plusieurs indices dans ce que dit S3 indiquent qu’il est dans le mode analytique de pensée, notamment le fait qu’il se prouve à lui-même que la prémultiplication par une matrice est une fonction. Sa justification n’est pas une démonstration au sens formel, c’est un raisonnement par analogie, mais pour lui, c’est une preuve :

S3: So in a sense this is a function. Like ax = y.

35En fait, on ne voit pas comment le lecteur pourrait saisir la généralisation du concept de fonction proposé par l’auteur sans passer par un tel raisonnement par analogie, qui est un raisonnement analytique.

36La généralisation n’a pas de base suffisante dans la pensée synthétique à propos des exemples donnés dans l’introduction. Le contexte est, comme nous l’avons remarqué, celui des systèmes d’équations. Dans le système Ax = b, le vecteur b est un vecteur concret : c’est le « vecteur des termes libres », comme dit S3. Pour voir dans « Ax = b » la règle d’une fonction, il faut transformer « b » en une variable, ou en un ensemble de vecteurs. Cela n’est pas évident à partir des exemples et de leur discussion dans le texte. S3 butte contre cette difficulté (voir ci-après). Il la dépasse assez vite, à l’aide du précepteur, mais ce dépassement ne serait pas possible s’il n’avait pas déjà fait une analogie entre « Ax = b » et « ax = y ».

S3: [Reads] « The correspondence from x to Ax is a function from one set of vectors to another ». Wait! Isn’t this « another » the column of the free terms?

P III: No, but you take them all. For the vector b you can take any vector. The point is that you multiply A by a vector and you get another vector.

S3: Okay, so we substitute different vectors x... and thus we get a whole chain of these free terms.

37Dans la session suivante, dans une récapitulation de ce qu’il avait lu dans le chapitre, S3 parle déjà de la « fonction y = Ax » (voir ci-dessous). Cette inscription symbolise une analogie pleine avec la manière usuelle de représenter la fonction linéaire dans les réels, « y = ax ».

March 21, S3 and P III:

S3: We were comparing the multiplication of a matrix by a vector to a function, where if I have the function y= Ax, A is the matrix, and x is the vector of x’s.

38S3 s’impatiente de la longueur des exemples dans le texte de Lay. La théorie est précédée par des exemples et alors on ne sait pas de quoi il s’agit, à moins de connaître déjà la théorie. Donc, on en arrive à la théorie et ensuite on revient à ces exemples, ce qui prolonge le travail. D’autre part, les exemples qui suivent la théorie illustrent les concepts d’une manière très verbeuse et pas toujours nécessaire pour la résolution du problème en question. Dans l’échange qui suit, S3 se plaint de ce dernier phénomène : l’exemple contient toute la théorie, ce qui provoque pas mal de répétitions dans le texte. S3 critique aussi les exemples introductifs mais, finalement, il arrive à la conclusion qu’il y a un certain avantage dans une telle approche. C’est une alternative à un enseignement, dirait-on, « strictement analytique », qui introduirait les concepts par leurs définitions formelles, sans aucune introduction.

March 21, S3 and P III.

S3: An example should simply be an example. There’s theory and there should be an example [for the theory], but here, there’s theory and there is an example which contains almost all the theory...

... which has already been presented, so there is a lot of repetition...

But [my criticism] may be a consequence of my being accustomed to a different way [of teaching]...

We are taught at school that first there is the text in which there is a definition, right, a word is being defined, like, a transformation from this to that is bla bla bla, or « On appelle », etc.

And then you read examples, and normally the teacher does something like that on the board and then there are applications...

But all this remains terribly abstract, because, it’s stupid, a word [being introduced like that], some word [you don’t know where it comes from]. So when they get you interested in the subject first, and you can do certain things... Maybe you don’t even have to be very interested, but you get the satisfaction from being able to do certain things, right, and only later you learn how all these things are called, and then it’s easier to understand.

39S3 réagit à l’introduction à la section « Linear Transformations » (Lay, 1994, p. 74) où l’on parle des propriétés de la multiplication d’une matrice par un vecteur (A(u+v) = Au + Av, A(cv) = cAv), par « Rien de neuf » (session du 21 mars). Ensuite, il lit la définition de la transformation linéaire et le précepteur la lui fait formuler en mots (« l’image de la somme des vecteurs est la somme des images », etc.). Mais il semble que pendant assez longtemps il ne pense pas dans les termes de cette définition générale. Il justifie les faits tels, par exemple, que l’image d’un vecteur zéro est un vecteur zéro par référence à la prémultiplication par une matrice (session du 22 mars : « If you multiply something by zero, you always get a zero »). Cela est assez naturel, parce que les transformations linéaires dans les espaces Rⁿ sont toujours des multiplications par des matrices et le texte, dans cette section au moins, ne concerne pas d’autres types d’espaces. De plus, en travaillant sur la modélisation d’une situation d’application, l’étudiant met en œuvre une conception où la transformation est un changement de variables (y₁ = a₁x₁ + b₁x₁y₂ = a₂x₂ + b₂x₂) ; il n’y est plus question d’espaces vectoriels ni de matrices (Sierpinska, 1995b).

40Ainsi la généralisation, proposée dans le texte, ne s’est pas opérée dans la pensée de ce lecteur. Elle ne s’est pas opérée non pas à cause d’une déficience cognitive de S3, mais parce que les conditions épistémologiques de l’émergence de ce concept n’ont pas été satisfaites.

41Quelles sont les conclusions qu’on peut tirer de cette analyse pour l’enseignement ? Faudrait-il abandonner les exemples introductifs ? Les remarques de S3 (session de 22 mars) suggèrent une réponse négative.

42Faudrait-il ne pas introduire une généralité qui dépasse les exemples ou le contexte des objets mathématiques discutés ? Par exemple, la généralisation des fonctions linéaires réelles ou de dimension un aux fonctions linéaires en plusieurs dimensions pourrait se faire plus naturellement en réfléchissant d’abord sur ce que veut dire « linéaire ». C’est là que la notion de combinaison linéaire entre en jeu ; elle peut être vue comme une généralisation de cette multiplication d’une variable par une constante, « ax » dont parle S3. Lorsqu’on passe d’une variable à plusieurs variables, ce qui correspond à « ax » est « a₁x₁ +... + a_nx_n », une transformation ou une fonction est linéaire si la seule opération qu’elle se permet sur les variables est une combinaison linéaire. Ainsi, une fonction qui transforme plusieurs variables x en plusieurs variables y est linéaire si elle est linéaire sur chacune des variables y, autrement dit, si les variables y s’expriment comme combinaisons linéaires des variables x. Ce concept est très ancien, mais il se rencontre encore aujourd’hui dans les dictionnaires de mathématiques. Il est utile et suffisant dans beaucoup d’applications. La propriété de préservation, par une transformation linéaire des combinaisons linéaires des vecteurs, utilisée dans le manuel de Lay comme condition définissante, peut en être dérivée. Il est bon de faire faire aux étudiants l’exercice de dérivation de cette propriété ; elle se montre utile, par exemple, dans des situations où l’on ne connaît pas la formule de la transformation mais ses valeurs sur quelques vecteurs et qu’on veut rapidement trouver sa valeur sur un autre vecteur. C’est bien dans le contexte d’un tel problème que S3 a finalement admis l’utilité de la définition formelle de la transformation linéaire donnée par le texte3 (ce problème n’était pas un des exercices du livre, il a émergé dans les discussions entre le précepteur et S3 à propos du sens de la matrice d’une transformation, session du 26 mars, discussion à propos des exercices 20 et 21 p. 78, Lay, 1994). À la fin de la session l’élève a dit : « One had to think in doing these problems. I could finally enjoy using my brain. »

De l’analyse des difficultés cognitives à l’identification des caractéristiques épistémologiques du savoir mathématique

43Une longue observation de plusieurs étudiants apprenant les débuts de l’algèbre linéaire à partir d’un texte et avec l’aide d’un tuteur nous a amenés à penser que les « causes » des difficultés ne sont peut-être pas toujours à chercher dans les insuffisances du fonctionnement cognitif des étudiants mais qu’elles peuvent parfois s’expliquer par l’impossibilité de réaliser, dans un cours donné, les conditions de compréhension des contenus visés dans l’enseignement.

44L’algèbre, et l’algèbre linéaire en particulier, est un produit de la pensée analytique. Mais il existe deux types de pensée analytique en algèbre linéaire. L’un est fondé sur l’arithmétisation de l’espace géométrique, nous l’avons appelé analytique-arithmétique (Sierpinska et al., 1997) : c’est la pensée en termes de n-uplets de nombres, de substitutions linéaires, d’algorithmes de la solution des systèmes d’équations, de matrices, de déterminants, etc. L’autre, appelé pensée analytique-structurelle, a pour objet principal : l’espace vectoriel général, une structure algébrique spécifique et les transformations linéaires. Dans une grande mesure, elle est l’effet de la généralisation et du passage de l’étude des fonctions particulières aux espaces de fonctions, soit l’expansion du domaine appelé aujourd’hui analyse fonctionnelle (Dorier, 1995, 1997).

45L’étude de l’histoire de l’algèbre linéaire suggère que son développement a été largement supporté par une interaction entre les trois modes de pensée : synthétique-géométrique, analytique-arithmétique et analytique-structurel. Mais le mode analytique-structurel a été le dernier à apparaître et pendant longtemps il ne pouvait pas susciter l’intérêt des mathématiciens. D’après Dorier (1995), les idées structurelles de Grassmann (Ausdehnungslehre, 1844) ont dû attendre presque un demi-siècle pour être reprises. Mais l’approche axiomatique de l’algèbre linéaire, entamée entre autres par Peano, n’a pas été rapidement poursuivie et elle n’a pas produit de résultats ou d’applications importants. La base de ces développements plus substantiels se préparait dans le contexte d’équations différentielles et d’espaces normés de fonctions. Ces espaces n’ont pas, d’habitude, de dimension finie ou même dénombrable et la représentation de leurs transformations par des matrices finies n’est pas possible. Les généralisations des cas finis aux cas dénombrables menaient à des techniques très fastidieuses. L’algèbre linéaire traditionnelle (donc l’approche analytique-arithmétique) s’est avérée, dans ces domaines, insuffisante. C’est dans le cadre de ces problèmes que l’approche structurelle a trouvé sa raison d’être. Finalement, en 1920, Banach introduisit l’axiomatique des espaces vectoriels généraux pour des raisons d’économie, afin de ne pas être obligé de démontrer dans chaque cas particulier des faits valides dans tous les espaces vectoriels.

46Ce regard jeté sur l’histoire de l’approche structurelle montre combien elle est injustifiée dans des cours d’algèbre linéaire dont le syllabus ne couvre que des espaces à dimension finie, et dont la plupart des étudiants n’iront jamais étudier l’analyse fonctionnelle. Pourtant, dans les premiers cours universitaires d’algèbre linéaire, les notions centrales sont : espace vectoriel introduit axiomatiquement, espace engendré et génération, base, transformation linéaire, isomorphisme de structures linéaires. La littérature sur les difficultés des étudiants en algèbre linéaire abonde de constatations du type : « Les étudiants ne voient pas le sens de la théorie », « Ils ne savent pas faire des démonstrations » (Sierpinska, 1995a). C’est vrai, la théorie, telle que présentée, n’a pas de sens, et on demande aux étudiants de faire des démonstrations « structurelles » là où ce mode de pensée n’est pas naturel et pas même toujours le plus économique (Sierpinska, 1996 ; Sierpinska et al., 1997).

Exemple 2

La difficulté de la pensée analytique-structurelle

47Cette analyse épistémologique générale peut-elle expliquer l’échec de certains de nos étudiants ? Voyons deux exemples de réponses erronées à une question typique d’examen dans un premier cours d’algèbre linéaire.

48La question était :

Let S = {l+x²,x-x²,l+x,2-x+x²} be a subset of P₂, where P₂ is the vector space of real polynomials of degree less than of equal to 2. Is S a basis of P₂? Is S linearly independent? Does S span P₂? Justify your answers.

49Nous allons analyser les réponses de deux étudiants4 : A (voir tableau 1) et B (voir tableau 2).

50L’étudiant A s’engage dans des activités, qui ont, chacune pour sa part, un certain sens : résolution d’équations, raisonnement par l’absurde, application de théorèmes. Il emploie aussi un style qui, à la surface, est du genre « démonstration ». Ce style pourrait peut-être suggérer que l’étudiant est capable de penser analytiquement et de raisonner à partir des définitions. Mais les équations ne sont pas celles qu’il faut ou elles sont inutiles, les « théorèmes » appliqués sont faux, et si T2 est considéré comme équivalent à Tl, c’est par une « loi logique » fausse (non p implique non q serait considéré comme équivalent à p implique q). Les définitions à partir desquelles l’étudiant raisonne ressemblent à un collage surréaliste : chaque élément a un sens mais le tout est absurde. Du point de vue conceptuel, il y a confusion totale.

51Si on admet que l’étudiant A est capable de penser analytiquement à propos d’objets théoriques, dans le domaine de l’algèbre linéaire, sa pensée se placerait dans la catégorie « analytique-arithmétique ». Il calcule et voudrait dériver ses conclusions des résultats de ses calculs. Il essaye de contourner les notions de génération et de base (fondamentales dans l’approche structurelle) et de les remplacer par la résolution des équations et la réduction des matrices. Il ne voit pas l’ensemble des polynômes de degré moindre ou égal à 2 comme un tout muni d’une structure par le fait même d’être fermé par rapport à certaines opérations. Il ne fait pas la distinction entre sous-ensemble et sous-espace. Il remplace les polynômes par des vecteurs colonnes dans une matrice mais ne voit pas comment cette action est justifiée par l’isomorphisme des structures P₂ et R³.

52Dans sa réponse au même problème, l’étudiant B a écrit non seulement ce qu’il a considéré comme une solution mais aussi une lettre adressée à son instructeur.

53La solution de l’étudiant B est moins « mystérieuse » que celle de l’étudiant A. La matrice (appelons-la M), au moins, est correcte ; par ailleurs, il est impossible de dire si l’étudiant sait ce qu’elle représente. Le fait qu’il la réduit pour savoir si l’ensemble S est indépendant suggère que non. On n’a pas besoin de faire cette réduction : le fait qu’elle a plus de colonnes que de rangées implique immédiatement que le système Mx=0 a des solutions non-triviales et donc que les colonnes sont linéairement dépendantes. On pourrait aussi se passer de la traduction de P₂ en R³ et de la matrice pour décider si S est une base de P₂. Le nombre d’éléments de S étant plus grand que la dimension de l’espace, S doit être dépendant. Mais cela est encore un argument structurel. La réduction d’une matrice peut être utile dans ce problème mais pour décider si S génère P₂, et alors il faudrait réduire non pas la matrice M mais la matrice transposée. Mais l’étudiant est confus : il ne sait pas s’il faut regarder les colonnes ou les rangées de la matrice et il n’a même pas le sens intuitif de l’indépendance linéaire, puisqu’il dit que les colonnes sont indépendantes. Les erreurs « grammaticales » dans la constation « S does not span P₂ for S is not a linear combination of P » suggèrent des problèmes avec la compréhension de « span » (engendrer) et de combinaison linéaire. La définition dit que S engendre P₂ si P₂ est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de S. L’étudiant voudrait que l’ensemble S soit « une combinaison linéaire de P₂ ». La compréhension de la notion d’engendrer exige qu’on sache dans quelles catégories d’objets se place ce qui a le droit d’engendrer, et avec quels objets on peut faire des combinaisons linéaires.

Tableau 2. Réponse de l’étudiant B

54La compréhension des concepts mathématiques se fait, la plupart du temps, à travers un discours : descriptions, définitions, représentations, exemples d’applications, cas particuliers qui sont également communiqués dans un langage, etc. Ce discours est plein de termes abstraits. Et le sens des termes abstraits doit être saisi à travers l’usage qu’on en fait dans les propositions « grammaticalement correctes » (nous faisons référence à notre interprétation de Wittgenstein, voir Sierpinska, 1995a, p. 17). Une définition est une des propositions « correctes » utilisant le terme. Les propositions correctes nous disent si le terme se réfère à un objet ou à un attribut d’objet, à quoi il est subordonné. On ne dit pas « l’ensemble des vecteurs sont linéairement indépendant » ; on dit : « l’ensemble des vecteurs est linéairement indépendant ». On ne dit pas : « combinaison linéaire d’un espace » ; on dit : « combinaison linéaire des vecteurs ».

55La pensée analytique doit ainsi être accompagnée d’une sensibilisation à la « grammaire » des termes abstraits. Cette sensibilisation manque souvent à nos étudiants.

56Notre analyse épistémologique et nos observations pourraient mener à la conclusion qu’une approche structurelle à l’enseignement de l’algèbre linéaire n’a pas de sens : « les conditions épistémologiques de la compréhension n’y sont pas satisfaites », avons-nous dit.

57Mais comment expliquer le succès de cette approche auprès de ces trois à six étudiants qui, dans chaque cours, arrivent à obtenir 90 % ou plus ? qui obtiennent une note finale « A » dans nos cours ? Pourquoi réussissent-ils ? Y a-t-il quelque chose dans les processus du développement historique des mathématiques que nous avons manqué de prendre en compte ?

58Regardons la réponse à la même question écrite par un étudiant C qui a reçu le maximum de points pour ce problème (voir tableau 3).

59Ce que nous observons chez l’étudiant C, c’est une conscience de plusieurs choses :

• de la distinction entre les polynômes et leur représentation en forme de coordonnées ;
• de la relativité de cette représentation par rapport à la base ;
• de l’isomorphisme entre P₂ et R³ et de ses conséquences vis-à-vis les propriétés de l’indépendance linéaire et génération.

60Cette conscience reflète une pensée analytique-structurelle à propos des objets de l’algèbre linéaire.

61Il existe donc des individus capables d’entreprendre le processus de compréhension des catégories de pensée élaborées dans un domaine scientifique sans connaître tous leurs sens et toutes leurs possibilités d’applications dès le début. Ils prennent connaissance des systèmes conceptuels d’abord en tant que systèmes conceptuels des autres. Ils accumulent des connaissances jusqu’au moment où ils commencent à produire leurs propres questions de recherche, trouvent leurs propres applications de ces connaissances et finalement les transforment. Dans ce processus, ils passent de la pensée analytique à la pensée synthétique : ils construisent dans l’intuition des objets nouveaux, que les autres vont devoir saisir par la pensée analytique. Et ainsi de suite. C’est, entre autres, ce phénomène appelé parfois « suspension de la compréhension », qui explique le « progrès » de la science, surtout dans ses périodes « normales » d’accumulation laborieuse. Mais les grandes « découvertes », et les « révolutions » non plus, ne sont pas faites par des amateurs naïfs : elles reposent « sur les épaules des géants5 ».

Tableau 3. Réponse de l’étudiant C

De l’importance de l’épistémologique dans les recherches en didactique des mathématiques

62Trois types d’arguments permettent, en principe ; de rejeter un projet d’enseignement :

1. ce projet est basé sur une conception erronée du sens des concepts mathématiques qu’il vise ;
2. ce projet ne prend pas en compte les conditions psychologiques de l’apprentissage en général ou d’apprentissage des contenus particuliers qu’il vise ;
3. ce projet ne prend pas en compte les conditions sociales et institutionnelles d’apprentissage et d’enseignement à l’école.

63Il est clair que le premier argument l’emporte sur les deux autres : un projet qui est « psychologiquement » et « institutionnellement » correct, mais « mathématiquement » incorrect, ne devrait pas être jugé acceptable. Par exemple, on apprend aux élèves la règle : pour additionner des fractions, on fait la somme de leurs numérateurs et la somme de leurs dénominateurs. Les élèves comprennent bien et leurs notes sont bonnes, du moins tant qu’ils n’ont pas d’examens externes à passer.

64Que faire, cependant, dans les cas où les contenus proposés sont mathématiquement corrects mais posent des questions du point de vue épistémologique, comme dans nos exemples ? Les conclusions didactiques ne sont pas indépendantes d’autres facteurs tels que, par exemple, le groupe d’étudiants auquel le projet est destiné, leur programme d’études, leurs expériences passées.

65L’épistémologie ne peut pas, à elle seule, trancher les débats en didactique des mathématiques. Mais elle joue un rôle important en ouvrant nos yeux à des difficultés possibles, à des transformations de sens qu’une telle ou telle autre approche peut amener. Les études, devenues classiques (Chevallard, 1985, 1989, 1989-90 ; Chevallard et Johsua, 1991) sur l’enseignement d’algèbre et sur la transposition didactique de la notion de distance illustrent bien ce fait.

66Ce sont aussi les réflexions épistémologiques qui nous permettent de remarquer que les moyens et modes de communication influencent ce que nous communiquons.

67Par exemple, dans nos observations d’étudiants apprenant l’algèbre linéaire à partir d’un texte avec l’aide d’un tuteur, nous avons pu constater quelle différence dans le sens de ce qui est appris peut provoquer le changement du type d’interactions existant entre l’étudiant, le texte et le tuteur. La lecture d’un même « exemple résolu » dans le texte peut mener à l’activité de modélisation mathématique chez un apprenant et à l’activité de calcul qui serait mieux faite par un ordinateur chez un autre, dépendamment du « standard » ou du « format » de comportement mathématique établi entre le tuteur et l’étudiant (Sierpinska, 1997).

68L’expression « Moyens de communication » se réfère autant à de tels « formatages » d’interactions entre étudiant et enseignant qu’aux logiciels algébriques ou géométriques tels que Maple, Cabri-Géomètre ou Geometer’s Sketchpad. Nous nous rendons compte maintenant qu’avec un logiciel X nous ne faisons pas les mêmes mathématiques que sans ce logiciel ou avec un autre logiciel Y. Le logiciel change la problématique de nos échanges avec les élèves : d’autres choses deviennent importantes, différents moyens de contrôle sont mis en jeu.

69Aussi, le choix d’un mode de représentation plutôt qu’un autre ne laisse pas les concepts intacts. Comme le remarque Balacheff (1993, p. 152), nier cela serait nier la thèse que ce qui constitue un concept ce sont des relations entre le signifiant, le signifié et la référence. Chaque représentation et chaque moyen de communication a son « domaine épistémologique de validité », qu’il s’agit de définir en faisant un choix didactique :

Since it is not possible to find a solution avoiding bias between representations and what they intend to represent, another way would consist of delineating an epistemological domain of validity of the chosen modeling or representation. Such a domain could be characterized by the set of problems which the choice of representation makes possible to solve in a reasonable way, the nature of the possible solutions, the ones which are excluded, the nature of the signifier System which has been chosen for both the internal and the interface representation, and their possible implication on the resulting students’ conceptions. (Balacheff, 1993, p. 152)

70Différents logiciels peuvent supporter différentes conceptions d’un même terme mathématique. Par exemple, dans le Geometer’s Sketchpad, le vecteur est une translation (comme chez Grassmann et Dorier, 1995). Dans Cabri-Géomètre, c’est un segment de droite orienté (comme chez Bellavitis et Crowe, 1967, p. 52). On parle aujourd’hui de « transposition informatique » :

The choices made in the knowledge modelling or representation process can modify the meaning of this knowledge through a process similar to that of the didactical transposition. Thus, they are likely to have strong effects on learning, that is the reconstruction of meaning by the learner... These problems and phenomena are consequences of general constraints of computerization and their physical implementation. They are indication of the work made to adapt knowledge representation to requirements of symbolic representations and computation. For these reasons I call computational transposition [...] the process which leads to the implementation of a knowledge model. (Balacheff, 1993, p. 152-153)

71Les changements de sens sous l’influence des ordinateurs se font aussi dans les mathématiques « savantes » : c’est le cas, en particulier, de la statistique (Biehler, 1993 ; Dreyfus, 1993). Ignorer cela dans nos projets d’enseignement serait une erreur grave.

Conclusion

72L’étude du fonctionnement cognitif des étudiants en mathématiques est incontournable dans les recherches en didactique des mathématiques. Le premier signal d’un problème didactique n’est-il pas le plus souvent un problème d’apprentissage ? La mesure de l’échec d’un enseignement est toujours l’échec de l’apprentissage qui en résulte. La question n’est donc pas s’il faut oui ou non se préoccuper du cognitif en didactique des mathématiques mais plutôt de cerner le champ des études sur le cognitif pertinentes du point de vue de la didactique des mathématiques. Une proposition dans cette direction a été faite par Duval (1996). Il est clair, aujourd’hui, que les approches strictement cognitivistes aux problèmes de l’apprentissage comme, par exemple, le constructivisme, posent problème tant au niveau théorique que pratique lorsqu’on veut les adapter ou s’en inspirer dans les recherches en didactique des mathématiques.

73La théorie didactique s’intéresse à la genèse artificielle des savoirs dans des institutions scolaires (Brousseau, 1981a) ; elle se propose d’étudier et produire des projets d’action didactique qui rendrait possible cette genèse. Elle ne s’intéresse pas à la cognition ou la genèse naturelle des savoirs, si le niveau de scolarité qu’elle vise est supérieur à l’école maternelle.

74La théorie didactique ne s’occupe pas, non plus, du sujet psychologique. Elle s’intéresse au sujet quelconque (Morf, 1994).

L’objet central de la théorie doit être constitué par les connaissances attribuables à un sujet quelconque (au sens fort du terme) : on admet que les connaissances observables relèvent d’un système cognitif qui peut être un sujet individuel, un groupe, une culture, autrement dit à tout système qui peut attribuer une signification à un objet ou à un événement. Le terme quelconque implique cependant que les caractéristiques de ce système (donc du sujet, au sens large) ne doivent pas intervenir dans la description des connaissances. (Morf, 1994, p. 33)

75Ce n’est qu’ainsi qu’elle peut créer un univers du discours proche de celui de l’enseignant, pour qui le terme de base est « la classe », c’est-à-dire le groupe d’élèves appartenant à un même système didactique local. La « classe » devient une unité de pensée : « un étudiant collectif » qui « a bien travaillé », ou « a compris la notion de limite » (Bromme, 1994). Le contexte social oblige et exige de l’enseignant de prendre en compte la classe entière comme un collectif, à tout moment de sa présence. Il n’a donc pas de choix entre le cognitif et le didactique. S’il s’occupe tout entier d’un élève en tant que sujet cognitif, il devient psychologue et abandonne son rôle d’enseignant.

76Par conséquent, dans la théorie didactique on va s’intéresser plutôt aux modèles du sens qu’aux modèles de compréhension chez des sujets psychologiques particuliers. On va s’intéresser aux conditions de compréhension chez un sujet « quelconque ». Ainsi, les études détaillées de cas n’ont d’intérêt pour la théorie didactique que dans la mesure où elles illustrent un mécanisme d’émergence de sens (et non en tant que rapports des processus de compréhension chez des sujets particuliers).

77Nous avons insisté, dans notre article, sur l’importance de la réflexion épistémologique dans les recherches en didactique des mathématiques. Mais lorsque la théorie didactique se met à étudier l’émergence des sens dans des classes concrètes de mathématiques, l’explication des raisons pour lesquelles un tel et pas un autre sens a émergé, demande d’habitude de sortir de l’épistémologique vers le didactique. Dans notre réflexion, qui rejoint celle de Voigt (1995) et de Sierpinska (1997), nous essayons de trouver ces raisons, par exemple, dans l’agenda de l’enseignant et les manières dont cet agenda est réalisé à travers les interactions entre l’enseignant et les élèves. On va les chercher aussi dans la sociologie des institutions scolaires, ou dans des réflexions de type anthropologique sur la culture des milieux dans lesquels vivent les participants de la classe (Mellin-Olsen, 1987 ; Walkerdine, 1988 ; Cobb, 1989 ; Chevallard, 1992 ; Skovsmose, 1994).

78Ainsi, les phénomènes d’enseignement des mathématiques ne peuvent se comprendre ni sans une réflexion épistémologique stricto sensu (sur la genèse et la validité des savoirs mathématiques) et l’étude des fonctions cognitives propres à la mathématique, ni sans aller au-delà de ces réflexions dans le domaine plus large du didactique.