Une connaissance scientifique suppose d’abord un dédoublement de la réalité en un vécu, qui est l’expérience concrète, actuelle ou virtuelle du connaissant — et en une « image » plus ou moins abstraite du connu.
Gilles Gaston Granger
(1973, p. 148)

Quelques définitions

1On considère le système didactique, maître, élève, savoir (M, E, S). On suppose que ce système fonctionne selon certaines règles, que nous étudions : c’est l’objet de la didactique. Les sous-systèmes maître, élève, savoir sont eux-mêmes des systèmes et ils peuvent être étudiés en tant que tels. Appelons, provisoirement, cognitifs ces niveaux systémiques. C’est Herbert Simon qui a introduit le terme de information Processing Systems. La particularité de ces sous-systèmes est qu’ils sont dotés de mémoire, de la capacité de choisir entre deux stratégies. Une boule dans un jeu de billard n’a pas le choix et devra suivre la trajectoire déterminée par les conditions initiales. Un chien effleuré avec la même queue de billard, décidera soit de s’écarter, soit qu’il s’agit d’un jeu. On a déjà affaire à un système cognitif. Une première caractéristique importante est donc une certaine incertitude fonctionnelle.

2L’étude des interactions entre deux sous-systèmes doit tenir compte (1) du fait que chaque sous-système a une mémoire autonome et (2) de la présence du troisième sous-système.

3Une formulation aussi générale peut paraître surprenante à première vue : le savoir serait-il aussi un sous-système, avec une composante cognitive ? A priori, nous n’écartons pas cette idée, car un objet de savoir n’est jamais isolé, il faut au moins des symboles pour entrer en rapport avec lui, mais cela ne suffit pas, les aspects sociaux et culturels ne sont pas négligeables (Thurston, 1995 ; Chevallard, 1991a, 1992). Certes un théorème se comporte plus comme une boule de billard que comme un jeune chiot. C’est en tant que sous-système du système didactique que le savoir s’enrichit de mémoire. Il se contextualise et devient un milieu. Prenons l’exemple des systèmes d’équations linéaires, aisément traités par des théorèmes que l’on applique aux coefficients. Dans le cadre d’une étude en contexte, séquentielle, au début de l’enseignement tout se passe comme si chaque système d’équations pouvait décider d’avoir aucune, une ou de nombreuses solutions. De ce point de vue, le sous-système « savoir », que les didacticiens nomment milieu et que Brousseau (1988a) définit comme système antagoniste, a bien une capacité de « décider ». Ce point de vue est aussi celui que propose Balacheff (1995).

Une question

4Étant donné un objet de savoir mathématique, un théorème de géométrie par exemple, peut-on déterminer des conditions sur un système cognitif pour qu’il puisse mettre cet objet en mémoire, puis l’utiliser dans un problème pour lequel il est nécessaire ?

5En vertu des définitions ci-dessus, ces conditions vont donc être des conditions de mémoire. Mais déjà à ce niveau, et en relation avec ce que les Anglo-Saxons appellent mémoire située ou mémoire partagée (Clancey, 1997), nous nous heurtons à la question du système dans lequel fonctionne le sous-système cognitif en question, et l’affaire se complique. Par exemple, selon certaines recherches, on pourrait modéliser la perception visuelle sans supposer de représentation interne du champ visuel, mais par des procédures qui considèrent le réel lui-même comme une base de données dans laquelle chercher l’information (O’Regan, 1992). En revenant aux théories didactiques, les données présentes dans le système didactique à un certain moment ont été filtrées par le contrat didactique. S’il en est ainsi, du moins si nous nous plaçons dans de telles hypothèses, où s’arrête le sous-système cognitif ? Faut-il ou non inclure l’environnement externe, c’est-à-dire le contrat ? Peut-on étudier ce sous-système indépendamment des autres ?

6Un certain applicationnisme piagétien a souvent répondu à la question des conditions cognitives, conduisant à la production de textes tels que celui-ci :

Différents arguments, d’ordre pédagogique aussi bien que psychologique ou historique, semblent indiquer que la géométrie constitue une voie privilégiée pour accéder à cet univers en apparence aride (et aux yeux de beaucoup hostile) qu’est celui du raisonnement mathématique. C’est notamment le lien quasi inévitable que la géométrie établit entre représentations et opérations abstraites d’une part, représentations et actions « concrètes » d’autre part, qui nous semble constituer sa caractéristique la plus remarquable. En effet, dans la plupart des cas, l’élève peut opérer avec le support auxiliaire d’une figure ou d’un objet, qui permettent plus facilement de repérer les éléments à traiter, de les comparer, de les combiner, etc. ; ou d’envisager différentes formes de vérification et de contrôle.
Selon ce point de vue, nous considérons d’emblée comme dépourvue d’intérêt pédagogique (au moins dans la phase initiale de l’apprentissage) l’idée selon laquelle le dessin d’une droite n’est pas une droite, le dessin d’un carré n’est pas un carré, etc. En adoptant une perspective plus proche de la situation de l’apprenant que des exigences formelles de la discipline, nous considérons que, pour l’élève débutant, le dessin du carré est un carré, les propriétés mises en évidence à l’aide du dessin sont les propriétés du carré, etc. À partir d’une telle approche, et par une démarche d’abstraction progressive, l’élève parviendra peu à peu à considérer le carré et ses attributs comme ayant une existence et un statut indépendants de tel ou tel dessin particulier, représentation imparfaite de l’objet géométrique abstrait et « idéal ». (G. Pini, G. Lorenz et A. Emery, 1993, p. 3)

7Peut-on traduire les conditions décrites dans cet extrait en termes de mémoire ? Le texte postule au moins deux types de mémoires, deux types de décisions possibles. Avec la première mémoire Ml les données prises en compte proviennent principalement de ce qui est perçu : des traces sur une feuille de papier. La mémoire M2 postule la présence de données plus abstraites, sous la forme de règles théoriques : la définition des objets en question. À qui revient le choix de la mémoire à mettre en œuvre ? Les auteurs du texte ci-dessus postulent une capacité d’abstraction progressive. La démarche est principalement à la charge du sujet. Les observations expérimentales ne permettent pas de déterminer les conditions qui conduisent tel ou tel élève particulier, mais aussi tel ou tel adulte, à s’appuyer sur Ml plutôt que sur M2. Outre ces mises en évidence de conditions sur le système cognitif élève, certains résultats révèlent l’importance de l’aspect culturel de l’initiation à la géométrie (Noirfalise, 1993 ; Arsac, communication, séminaire national de didactique des mathématiques, Paris, 1996). Nous retrouvons à nouveau le système didactique et le contrat.

8Faut-il alors s’arrêter ici en ce qui concerne le système cognitif, vu l’impossibilité d’en déterminer sa frontière dans le système didactique ? Est-ce à dire qu’il n’y a pas de problèmes spécifiques le concernant ? Ce serait alors dire que chez l’élève, tout est déterminé par le contrat. Ce qui n’est pas le cas, dans le modèle de Brousseau, puisque le contrat est voué à disparaître. Si tout était contrat, il ne resterait plus rien. Or les systèmes didactiques produisent des sachants, voire des savants. On le sait, de la remarque sur l’extinction du contrat, Brousseau conclut à la nécessité de l’existence d’un système antagoniste de l’élève, le milieu adidactique, image du futur milieu non didactique, où l’ex-élève sera, seul, face à son problème. Peut-être que de la même observation on peut déduire, par symétrie, la nécessité d’un système cognitif du côté de l’élève, constitué de l’organisation de ce qu’il faut faire, de règles, de savoirs.

9Néanmoins, dans le système didactique, l’enseignement ne peut pas agir directement sur cette organisation, mais seulement sur le milieu, d’où peut-être l’explication de la présence seulement implicite, ou semi-implicite des éléments cognitifs dans le modèle de Brousseau.

Du didactique au cognitif et vice versa

10Si elle devait avoir lieu, la rencontre du cognitif pourrait se faire de deux manières. Partant d’une question se rapportant au système didactique, on peut être amené à devoir étudier un sous-système cognitif. Vice versa, nous pourrions être conduits d’une question de nature cognitive vers une question didactique.

11En partant de l’élève, comme sous-système du système didactique, l’équipe de Jean Brun s’intéresse à l’enseignement des algorithmes de calculs et aux erreurs des élèves (Brun, Conne, Cordey, Floris, Lemoyne, Leutenegger, Portugais, 1994). Dans cet article, les auteurs discutent de la modélisation des erreurs systématiques dans les algorithmes et du champ de validité des modèles informatiques de production de ces erreurs, dont les principales ne seraient pas des simples ratés de l’algorithme, selon Vergnaud (1991)1. Le modèle de Van Lehn intègre la possibilité d’évolution du modèle en fonction des données, de telle sorte qu’il y a une certaine souplesse, qui ne serait cependant toujours pas suffisante, puisque les hypothèses conceptuelles et sémantiques sont évitées, au moins partiellement (Van Lehn, 1990). La notion de schème permet-elle d’éclairer le débat ? Ce n’est pas certain dans la mesure où « on ne saurait trop se méfier des clefs qui ouvrent toutes les serrures » écrit Granger (1973, p. 156). Vergnaud insiste sur l’aspect conceptuel, présent dans les connaissances en acte. Mais si l’on considère les algorithmes, les modèles informatiques intègrent des procédures dont l’invariant de boucle correspond aux connaissances utilisées, soit la décomposition numérique décimale. Ces modèles intègrent donc aussi des connaissances implicites. Mais le principal n’est semble-t-il pas là. Un programme est en définitive une suite de symboles et il faut un autre programme pour déterminer les gestes à associer à certains symboles, à certaines nouvelles combinaisons de symboles. La comparaison entre les données désirées et les données obtenues permet de sélectionner certains gestes parmi un ensemble de gestes possibles. Mais les données visées ne sont pas forcément et uniquement des données externes, comme les traces du déroulement d’un algorithme effectué par l’enseignant. Il y a certainement des données internes, déjà en mémoire, compilées : les primitives de la Repair Theory, les schèmes de Vergnaud ?

12En définitive, ces auteurs semblent surtout insister sur le fait que les modèles utilisés sont, en dernière analyse, des modèles mécaniques, même s’il s’agit plutôt d’un structuralisme mécanique, plus souple qu’une boîte à musique. L’idée de schème, c’est peut-être la prise en compte du non-modélisable, de l’accumulation à long terme d’imprévu. Car les résultats présentés sont principalement de nature descriptive, et on voit difficilement comment ils pourraient donner lieu à des prédictions, si ce n’est celles de l’imprévu lui-même ; on en revient au chien et à la boule de billard. Remarquons qu’il s’agit essentiellement de modèles du sous-système élève et non de l’interaction entre ce sous-système et le milieu. Dans ce second cas (théorie des situations de Brousseau), on recherche une explication liée à l’économie du système tandis que les modèles de l’élève ne s’en satisfont pas et postulent, en outre, une économie cognitive.

13Quelle articulation entre ces deux modélisations ? Entre psychologie constructiviste et faits didactiques il y a un paradoxe : les élèves finissent par savoir les algorithmes, constructions sociales s’il en est, alors que les connaissances du sujet sont supposées se construire. Mais comme souvent, les deux termes de la contradiction sont probablement faux : la connaissance mécanique d’un algorithme est rare et l’idée de la construction des connaissances par le sujet plutôt de l’ordre de l’idéologie. Ce que l’on a tendance à trouver plutôt, c’est une construction de l’utilisation de savoirs sociaux. Des résultats récents renforcent cette hypothèse puisque, dans le cas où des élèves doivent résoudre des problèmes arithmétiques sans avoir appris l’algorithme de l’opération correspondant au problème, on constate que certains élèves essayent d’adapter les schémas qu’ils connaissent, par exemple, l’algorithme de l’addition pour une soustraction ou pour une multiplication (récents mémoires dirigés par Jean Brun ; voir Brun, 1996). Il apparaît que la contrainte didactique de l’apprentissage d’un algorithme peut favoriser le travail personnel (cognitif ?) des connaissances numériques. On retrouve l’exemple 3 + 4 = 7 d’Alain Mercier dans sa contribution au symposium.

14Ces résultats plaident ainsi pour un système cognitif ouvert sur les objets didactiques à disposition. Nos propres recherches en géométrie montrent également comment les élèves se servent des savoirs et du contrat afin de réduire l’incertitude.

Redécouverte d’un théorème de géométrie

15Le savoir géométrique est hautement théorisé. L’enseignement relatif à ce savoir définit-il des contraintes sur les sous-systèmes du système didactique ? On peut se demander comment amener l’élève à un rapport adéquat aux données qui sont à sa disposition, c’est-à-dire à un asservissement des données matérielles aux données théoriques. Y a-t-il un obstacle cognitif à l’évolution vers un tel rapport ? Les recherches menées par les didacticiens n’aboutissent pas à des questions de cet ordre et mettent plutôt en évidence les multiples obstacles didactiques liés à la présentation empiriste des objets géométriques, pour dire les choses brièvement. Pour notre part, nous avons choisi de mener une étude à ce propos (Floris, 1996), à travers l’expérimentation d’une situation proposée par Guy Brousseau (1987).

16Ouvrons ici une parenthèse, d’ordre « meta », en relation avec les questions qui nous ont été posées par les organisateurs du symposium sur notre propre rapport au cognitif. La situation n’avait pas encore fait l’objet d’une véritable expérimentation, tout au plus de quelques essais, non documentés. Il s’agissait donc pour nous aussi d’un essai, dont le but principal était de « voir comment ça marchait ». On pourrait alors dire que c’est dans ces instants que le didacticien se heurte au cognitif, à l’instar du mathématicien qui fait des calculs ou des dessins « pour voir », et aussi de l’élève, nommons-le St, que l’on observera à l’œuvre dans cette situation. De ce point de vue, le cognitif serait-il alors du côté de ce vécu qu’évoque Granger dans la citation mise en exergue ? Mais alors, où se situe la partie modèle ? Pour nous, le modèle est constitué par l’analyse préalable des stratégies possibles dans la situation, dans le prolongement de celle initialement faite par Brousseau (1987) avec les apports de Mercier-Tonnelle (1991-92). L’observation expérimentale d’une stratégie prévue par ces derniers constitue une validation de la méthodologie, qui est celle de l’ingénierie didactique (Artigue, 1990).

La situation des médiatrices d’un triangle

17Le professeur trace devant les élèves un triangle ABC très obtus (c’est-à-dire ayant un angle très obtus), puis il trace les médiatrices des côtés du triangle en s’arrangeant pour que les points d’intersections respectifs forment un petit triangle AʹBʹCʹ.

18Il demande aux élèves de l’imiter, mais en essayant de trouver un triangle de départ XYZ tel que le triangle formé par les médiatrices soit le plus grand possible. L’activité est présentée comme un jeu : le vainqueur est celui dont le triangle XʹYʹZʹ est le plus grand possible, les six points devant rester à l’intérieur de la feuille donnée. Mais comment décider quel est ce vainqueur ? Guy Brousseau propose une organisation de classe en deux groupes, les élèves croyant avoir gagné et les autres se chargeant de vérifier que les dessins ont été faits avec soin. Si un élève conteste la précision d’un dessin, il doit en proposer un autre, en prenant le même triangle XYZ de départ, mais en obtenant un triangle XʹYʹZʹ plus petit que celui de son camarade. Plusieurs essais sont permis. S’il ne réussit pas, il donne un point à son camarade. S’il y parvient, il remporte alors tous les points gagnés par ce dernier, qu’il peut ensuite perdre face à un troisième camarade. Les points ne sont gagnés que lorsque le vainqueur a fait une « déclaration » s’opposant à celle de son compétiteur. Brousseau conjecture que l’on peut espérer voir baisser très vite les prétentions des premiers gagnants, ceux qui ont pu tracer un assez grand triangle XʹYʹZʹ, et voir apparaître des déclarations du type « je prévois un triangle dont tous les côtés ont une longueur nulle ». Après ces phases d’action et de formulation, se pose le problème de la validation : à la suite des expériences menées, les élèves peuvent accepter la déclaration ci-dessus, mais on n’a pas encore obtenu de preuve mathématique. « Il n’existe pas de règles qui assurent l’émergence de la vérité et l’intervention du maître sera tout de même souvent nécessaire. » En ce qui concerne les possibilités de clôture de la situation, Brousseau remarque : « Aucun élève n’aura a priori l’idée de tracer le cercle circonscrit à XYZ, mais s’il utilise son compas pour vérifier que le dessin est fait avec soin autrement qu’en suivant les actions du constructeur, il a de grandes chances de le faire, sans le savoir. Mais pour qu’il sache ce qu’il a fait, il faut une institutionnalisation du savoir. Ce peut être le fait du maître, ce peut être aussi le fait de l’élève, à condition qu’une bourse aux découvertes soit ouverte et l’incite à formuler ses observations : “Je sais tracer le cercle qui passe par les sommets d’un triangle”. » (1987, p. 79)

19Nous avons observé un groupe de quatre élèves (Sd, V, N et St) au travail pendant environ une heure. Lors d’un pré-test portant sur le triangle aplati de côtés 9,1cm, 4,2 cm et 4,9 cm, trois de ces élèves avaient tracé un triangle non plat tandis que St trace un segment et note : « 9,1 = 4,2 + 4,9 donc égal au même segment ». On constate que le rapport des élèves au problème peut se modéliser par deux types de jeux : l’un se joue dans un milieu de propriétés et l’autre dans un milieu graphique (Arsac, 1994 ; Floris, 1995). Illustrons ceci par un extrait de dialogue entre deux élèves du groupe, au début de leur travail commun :

St : Moi, ce que je ne comprends pas, c’est pourquoi ça lui donne un triangle, en bas.
V : C’est parce que ça se coupe.
St :Normalement ça doit pas faire un point ?
V : Pas forcément !

20Ici le jeu qui modélise le rapport de V se déroule plutôt dans le milieu du dessin, et semble correspondre à la mémoire Ml tandis que pour St c’est la recherche de règles qui guide sa lecture des dessins — la mémoire M2. Mais le contexte ne lui fournit pas les moyens d’argumenter, car le maître a instauré un jeu fondé sur le graphique et ses camarades jouent déjà ce jeu-là. La difficulté de maintenir le triangle A’B’C’ dans la feuille conduira ensuite les élèves à se détacher quelque peu de l’activité de dessin :

(Les élèves observent St qui effectue une construction.)

N : Je crois que t’auras pas assez de place.

(Silence.)

N : Les médiatrices, plus elles vont loin, plus il est grand le triangle parce que
plus l’aire est grande, plus les médiatrices elles se croisent à l’intérieur2.

(La feuille A3 sur laquelle travaille St n’est pas assez grande.)

St : Je crois qu’il faudrait que tu me passes ta feuille... (rire) pour que je continue.
N : Faudrait essayer de faire peut-être un rapport ?
V : Ouais, les rapports de similitude...
N (approbatif) : Mmm, mmm... a qui valait...

21La construction de St est une expérimentation graphique au sens de Mercier-Tonnelle (1991-1992). C’est la mise en œuvre d’une idée à propos d’un objet spatial inusuel, un triangle très aplati, que la théorie qu’elle connaît ne contrôle pas. Pendant que St poursuit son tracé sur une feuille de format A3, N et V explorent l’idée d’une proportionnalité entre les côtés du triangle de départ et les longueurs des médiatrices. N mesure ces dernières et calcule ces rapports. Cela ne débouche sur rien, et elle propose alors :

N : Si on essayait le contraire en fait. Tracer déjà le petit triangle (celui des médiatrices) qui vaut 58 mm. On agrandit, puis de trouver le grand triangle par la suite.

22Pendant un temps assez long, les élèves se livrent à des explorations, chacun de son côté, ou à deux sans véritablement aboutir. St s’est mise à effectuer une série de schémas puis d’épures3 en considérant un type de triangles moins obtus que précédemment, presque rectangles avec un côté nettement plus petit que les deux autres. Elle déclare alors :

St : Pouvez-vous m’expliquer pourquoi moi je trouve que ça se rejoint toujours en un point ?
V : Parce que t’as pris quoi ?
St : J’ai pris 5, 2, 4. Et pourquoi vous ça vous fait un triangle ?
N : Ça dépend de la grosseur du triangle que tu prends.

23L’intervention de St ne suscite pas plus de réactions et les élèves poursuivent leur travail. C’est ainsi que Sd propose de considérer un triangle de côtés 4, 2, 2 et en discute avec V qui admet que ça puisse faire un triangle, mais qu’il sera difficile de tracer le triangle AʹBʹCʹ :

V : Tu aurais pu le faire plus petit comme ça. Tu aurais encore fait plus parallèle, et ça se serait quand même coupé mais très très loin.
Sd : Disons que ça soit 0,1 le truc.
V : Mais pourquoi ? Pour que tu puisses le faire sur papier, mais l’infini...
Sd : C’est pas l’infini, 0,1 !
V : Ça te prendra 18 feuilles jusqu’à ce que ça se coupe.
Sd : Y a qu’à mettre cette idée comme ça.

24Mais St insiste : « Expliquez-moi pourquoi j’arrive toujours à un point ? », alors que ses camarades ne réagissent pas vraiment. C’est alors l’observateur qui demande :

O : Qu’est-ce qui est le plus étonnant, que ça fasse un triangle ou que ça se coupe ?

(Échange inaudible, mais on entend l’observateur rire.)

St : C’est ça ! c’est parce qu’il y a pas de précision et que c’est pour ça que ça fait un triangle !

(Un peu plus tard.)

V : C’est pas bête l’idée de Stéphanie.

(Puis)

V : Hé, mais c’est pas vrai, St ! Donne voir ton compas s’il te plaît ? Parce que... Quand on... Je ne sais pas si... Ça fait pas le cercle ?
St : Encore une fois, j’arrive à un point. Central.
N : Ça fait le cercle !
V : Donc, c’est manque de précision. Ça commence à m’étonner ce truc.
St : Je te dis, je suis big intelligente, hein ?
N : Pourquoi ?
V : Ouais, parce que la dernière fois on avait fait avec les médiatrices, puis ça... attends voir... C’est quoi qui donnait le cercle « exinscrit »... enfin ex... ?
N : Ben, les médiatrices !
V : Eh ben donc !

(Échanges inaudibles.)

St : Mais moi je suis sûre que c’est ça !
V : C’est possible... C’est très possible, même.

25Par son intervention, O a permis la réouverture de l’accès à la mémoire géométrique des élèves et V arrive donc à relier l’idée de St à la construction du cercle circonscrit et N commence à être convaincue. Elle a cependant besoin d’une confirmation qu’elle va chercher dans une expérimentation graphique alors que St essaye de la convaincre que celles-ci est nécessairement imprécise :

N : Ça me paraît incroyable, on l’a fait deux fois ce p... de truc et pis ça me donne... un triangle !
V : Mince ! C’est pas précis encore une fois... ? ? Une fois de plus !
St : À peu près, quoi... Regarde, hé... N ! Parce que quand tu fais des triangles... Passe-moi un crayon... Quand tu fais des triangles allongés...
N : Faudrait un triangle hypertaillé.
St : Même ! Tu vois pas ! Si tu as un croisement qui est comme ça, qu’est-ce que t’en sais que c’est là, le croisement ?
N : Vas-y, vas-y fais-nous un triangle...
V : Je vous fais un beau triangle si vous voulez. Fais ici, ça ira.
St : T’es d’accord maintenant avec nous ou pas ?
N : Mais non, mais je veux voir, je veux voir si... Non, non mais... Je suis d’accord avec toi, mais...

26N résiste encore un peu, cherchant une preuve définitive en faisant une construction très précise, et elle finit par se rallier à la position de V et St.

27C’est surtout en termes de jeu au sens de Brousseau et en termes de contrat que nous avons analysé l’expérimentation ci-dessus. Est-ce à dire que nous avons pu nous passer de la prise en compte du cognitif ? Si l’on entend par cognitif une analyse en termes de schèmes, on peut répondre que oui ; s’il s’agit de l’étude du jeu des élèves dans les interactions des sous-systèmes élèves et milieu (savoir), on peut répondre que non. Nous rejoignons alors fortement Brun quand il observe la conversion en connaissance (schème) d’un morceau d’algorithme. Ne peut-on pas dire la même chose de V ci-dessus lorsqu’il place la pointe sèche du compas sur le triangle/point X'Y'Z' et qu’il trace le cercle passant par les points X, Y et Z, retrouvant l’algorithme « oublié » ? Dans leur article sur la mémoire didactique de l’enseignant, Brousseau et Centeno nous procurent quelques éléments de réflexion au sujet de ces questions de conversions :

Un sujet apprend lorsqu’il change ses instances de contrôle d’une situation. Et un apprentissage va donc se manifester par des changements de connaissances, par des mises en mémoire et des changements de contrôle dans les décisions. Par exemple : un sujet peut s’adapter à une situation et passer — par rapport au contrôle qu’il a de celle-ci — d’une décision prise au hasard à une décision prise par une connaissance ; il peut passer d’un savoir communiqué par la société à une connaissance personnelle formulable et reconnue par l’institution scolaire. Ces transformations ou conversions de savoir en connaissances peuvent se faire par adaptation à une situation adidactique ou peuvent être produites avec l’aide du maître dans une situation didactique.
Les décisions du maître qui nous intéressent sont celles qui vont provoquer des apprentissages, c’est-à-dire des changements positifs dans le contrôle de la situation de la part de l’élève. Parmi ces décisions, il y aura celles qui ne vont demander aucune intervention de mémoire parce qu’elles seront des décisions conditionnées à la situation, ou instantanées ; et celles qui vont exiger que le maître se rappelle et qu’il fasse intervenir, soit une mémoire permanente du système, soit une mémoire didactique personnalisée, liée à l’histoire particulière de l’élève. Par exemple, la conversion — dans une situation didactique - d’une connaissance privée de l’élève en connaissance culturelle, exige de la part du maître la mémoire de la connaissance culturelle et aussi celle de la connaissance privée de l’élève. Ce modèle permet de distinguer des institutionnalisations différentes qui vont exiger de la part du maître des gestions différentes du passé de l’élève. (Brousseau et Centeno, 1991, p. 193)

28Avec ses gestes, V retrouve l’algorithme de construction du cercle circonscrit, que la situation rendait problématique et il s’en sert maintenant pour maîtriser une situation qui était instable. On rejoint aussi ici le principe d’utilité du savoir de Conne (1992) ainsi que Chevallard lorsqu’il décrit le travail mathématique comme une gestion d’ostensifs par des non-ostensifs (1995-1996).

Conclusion

29Les études plus spécifiquement cognitives des élèves fournissent au didacticien des moyens de perfectionner ses ingénieries. Mais il y en a d’autres, comme l’analyse de manuels ou l’enquête historique. Lorsque le didacticien observe ensuite des actions ou des déclarations d’élèves, il rapporte celles-ci à un modèle du système didactique tel que celui de la théorie des situations (Brousseau, 1986b). Ces observables sont les indices de stratégies dans un jeu. Ces stratégies proviennent-elles du hasard ou de la mise en situation spécifique ? Telles sont les questions qu’il se pose. Dans l’exemple que nous avons présenté, l’apparition des stratégies gagnantes peut-être associée au problème posé, menant d’abord à une impasse et à l’intervention de l’observateur guidant les élèves vers une remise en cause du contrat. L’analyse fine de la négociation relève-t-elle de l’explication didactique ? Jusqu’à quel point ? Peut-on trouver dans la théorie didactique les moyens du repérage de moments adidactiques ?

30Mais peut-être faut-il poser les questions différemment. Une modélisation incomplète et relativement fermée favorise la mise en évidence de phénomènes, ceux qu’elle n’explique pas. Modéliser la résolution algorithmique comme dans la Repair Theory (Van Lehn, 1990) permet de mettre en évidence des stratégies originales (Brun, Conne, Cordey, Floris, Lemoyne, Leutenegger, Portugais, 1994), modéliser le fonctionnement adidactique permet d’étudier le rôle du professeur (Arsac et Mante, 1988).