— Tu veux que je sache ?
— Je connais ton projet !...
Ça signifie...
Les Pieds Nickelés

Exposition des thèmes

1Dans le présent texte, j’aimerais tenter d’éclairer la question des rapports entre le didactique et le cognitif du point de vue du modèle de l’Intentionnalité (Portugais, 1998)1. Même si ces termes en italiques sont désormais classiques, sans doute est-il utile de les préciser d’emblée. Le cognitif2 est le lieu des phénomènes relevant de la cognition individuelle, c’est-à-dire de l’acquisition des connaissances et des compétences. Le didactique est le lieu des phénomènes de mise en circulation des savoirs, c’est-à-dire de l’apprentissage provoqué par un jeu de conditions et de contraintes intentionnellement mises en place. Ces définitions, déjà, indiquent l’existence d’une terre commune entre ces lieux : le didactique rencontre nécessairement le cognitif dès lors qu’il est question des rapports enseignement/apprentissage. L’articulation entre le didactique et le cognitif est donc un problème théorique important qui, me semble-t-il, n’est pas encore résolu.

2Un indice de cette importance peut être décelé dans le fait qu’au sein des débats de la communauté didacticienne, on rencontre une opposition systématique entre les tenants des approches où les processus cognitifs individuels jouent le rôle déterminant et les tenants des approches où ce sont les échanges et les interactions sociales qui jouent un rôle décisif3 Les apparences donnent à ces positions un caractère irréconciliable : d’un côté « la cognition du sujet » qui tend à expliquer les phénomènes didactiques par l’entrée sur les opérations de pensée du sujet psychologique et de l’autre côté, « le collectif de pensée4 » qui tend à expliquer ces mêmes phénomènes par les régularités du fonctionnement social. Rien ne semble pouvoir unir ces deux manières de lire le didactique. Un dualisme s’est installé.

3Les échanges du REF de 1996 ont voulu entrer de plein pied dans ce débat en tentant de répondre à la question posée par Gisèle Lemoyne et François Conne5 : « Quelle est la place du cognitif en didactique des mathématiques ? » J’essaie pour ma part de prendre une position non dualiste relativement au débat évoqué : le cognitif ne se distingue pas du didactique en s’opposant à lui, il lui est plutôt intégré en raison du fonctionnement intentionnel des sujets et des institutions. C’est une des thèses que je vais défendre dans le présent texte.

4J’ai différentes intentions en écrivant ce texte. Premièrement, je voudrais montrer comment le sens mathématique du savoir (à enseigner et enseigné), comme enjeu du fonctionnement didactique, n’est pas dans le savoir lui-même, mais qu’en tant que phénomène intentionnel, le sens est à l’extérieur du savoir ; qu’il se situe dans l’interface entre cognition du sujet et collectif de pensée. Deuxièmement, je souhaite montrer que le sens est profondément marqué par les trois instances intentionnelles (I_o, I, i) que j’ai définies dans le modèle (Portugais, 1998, Nota : je fais des rappels plus loin à ce sujet). Troisièmement, je voudrais montrer que le travail de conversion savoir/connaissance repose, dans le fonctionnement de l’échange didactique, sur d’autres conversions plus profondes entre divers types d’intentionnalité et que cela permet une relecture théorique des notions de dévolution et d’institutionnalisation. Quatrièmement, je désire introduire la notion d’Arrière-plan comme solution au problème de la Référence6 en tentant de répondre à la question : « À partir de quelles couches de significations plus profondes se constitue le sens ? » (ou pourquoi le sens d’une chose dépend du sens des autres choses). Enfin, je voudrais sensibiliser mes lecteurs à l’interprétation qu’il convient de donner au modèle de l’Intentionnalité en le situant au sein des efforts actuels de théorisation de la didactique des mathématiques. Mon texte va suivre aussi linéairement que possible ces intentions préalables.

Quelques rappels

5Le présent texte est la suite d’un travail théorique récent intitulé Esquisse d’un modèle des intentions didactiques (Portugais, 1998). Afin de faciliter le travail du lecteur et de lui éviter un trop grand nombre de renvois au premier texte, je vais effectuer d’abord quelques rappels.

6Le modèle de l’intentionnalité du didactique cherche à ouvrir sur un espace de possibles qui, me semble-t-il, ne fait pas partie des domaines de réalité explorés par les trois principales théories actuelles, à savoir : la théorie des situations didactiques, la théorie de la transposition didactique et la théorie des champs conceptuels. Ce domaine est celui des intentions didactiques, c’est-à-dire l’espace des décisions et des projets individuels ou sociaux reliés au projet d’enseignement des mathématiques.

7J’ai distingué trois ordres de choses relatives à la question de l’intention en didactique : l’Intentio, l’Intentionnalité et les intentions didactiques. En voici des portraits tracés au pas de course.

8L’Intentio (notée I_o) désigne l’intention didactique du système d’enseignement à l’endroit des objets de savoir et du sens de ces objets de savoir. L’Intentio se caractérise de quatre manières : par le travail institutionnel sur le savoir mathématique, par la volonté d’orienter le rapport institutionnel au savoir mathématique, par l’existence d’injonctions sociales qui décrivent le genre de relation que l’élève et le maître vont devoir avoir avec les savoirs et enfin par toute condition appréhendée de fonctionnement de certain savoir. Lorsque l’on rencontre ces caractéristiques, il s’agit donc d’Intentio.

9L’Intentionnalité (notée I) est le mécanisme fondamental qui met en rapport le sujet avec le monde ; c’est une machine productrice d’états et d’actions intentionnels. Il s’agit donc de quelque chose de beaucoup plus large que les intentions (qui n’en sont qu’un cas particulier). Deux caractéristiques fondamentales de l’Intentionnalité doivent être rappelées : elle est commune aux états mentaux et aux actions et elle n’est ni spécifique de la conscience ni spécifique de la volonté. Enfin, il faut souligner le fait que l’Intentionnalité possède la propriété particulière d’engendrer des événements (causalité intentionnelle).

10Les intentions didactiques (notées i) sont la part actualisée de l’Intentionnalité qui va chercher à déterminer un bon fonctionnement des problèmes à résoudre, des situations, de la dévolution et de l’institutionnalisation. Il s’agit des intentions qui sont en jeu dans une situation didactique donnée.

11J’ai de plus insisté sur le fait que ces trois ordres de choses sont à la fois solidaires et mutuellement dépendants. Un développement théorique a été réalisé ensuite sur la base de ces trois ordres d’objets intentionnels. C’est ainsi que j’ai introduit en particulier la notion de trame intentionnelle du didactique pour désigner les étroites connexions entre les différentes intentions didactiques et les limitations qu’elles produisent sur le fonctionnement des élèves et du maître. Différents ordres d’intentions didactiques ont été distingués de même qu’a été esquissée la classification des intentions préalables et des intentions-en-acte, des intentions fictives et effectives, etc. Le lecteur intéressé par ces détails se rapportera donc au premier texte. Pour les autres, j’espère que les rappels que je viens de faire ne sont pas trop elliptiques.

Le sens est une réalité non intrinsèque au savoir

Si comme il convient nous ne considérons les objets des sens que comme de simples phénomènes, cependant nous reconnaissons aussi par là qu’ils ont comme fondement une chose en soi, bien que nous ignorions comment elle est constituée en elle-même et que nous n’en connaissions que le phénomène, c’est-à-dire la façon dont nos sens sont affectés par cette chose inconnue.
E. Kant, Prolégomènes

121. — Qu’est-ce que le sens d’une notion mathématique ? Est-ce le sens du concept tel qu’il apparaît en lui-même, c’est-à-dire en tant que chose en soi (noumenon), en tant que donné ? Dans le cadre des travaux de recherche en didactique, ce n’est pas au sens mathématique en soi que l’on s’intéresse, mais plutôt aux conditions d’existence, de diffusion et de production d’un sens socialement choisi par des institutions. Le sens est alors plutôt l’enjeu d’un savoir, il est, pourrions-nous dire en première approximation, la position relative que prend l’objet de savoir étant donnée d’une part l’interprétation que le sujet se donne de ce savoir et étant donnée d’autre part la détermination sociale que subit le savoir à travers sa mise en circulation. Le sens n’est pas le donné mais l’interprétation du donné.

132. — Le caractère doublement intentionnel de la signification est donc incontournable : le sens n’est pas intrinsèque au savoir mais il est extrinsèque au savoir, car il est subjectif, il est éprouvé à la première personne mais toujours sous la contrainte de l’Intentio7.

143. — Dans la perspective phénoménologique8 qu’introduit le modèle de l’Intentionnalité, la signification n’est donc pas une chose que l’on retrouve dans le savoir mathématique lui-même. La signification se tisse (est en production) suivant un ensemble d’états et d’actions intentionnels qui proviennent de diverses instances. Le sens est intentionnel en ceci qu’il est déterminé par des états et actions intentionnels, il n’est pas une chose en soi mais une chose éprouvée, une chose qui arrive aux sujets.

154. — Le sens est un trait relatif à la reconnaissance d’utilité du savoir selon son utilisateur9, ce n’est donc pas une caractéristique du savoir lui-même. Comme le sens est le trait d’utilité du savoir, lorsqu’il dit « je sais », le sujet parle autant du contenu du savoir que du caractère d’utilité qu’il reconnaît au savoir ; il dit en fait tout à la fois « je sais ce que c’est » et « je sais ce que ça veut dire ». En établissant la différence entre connaissance et savoir sur la base du critère d’utilité, François Conne a ainsi ouvert la voie à une analyse du couple savoir/sens en tant que phénomène intentionnel. Plus encore, la notion de savoir institué qualifie le savoir par le marquage de la reconnaissance du savoir utile en tant qu’objet social de la transaction, comme si l’on acceptait de dévoiler les intentions premières du système didactique. Lorsqu’on rencontre des expressions du genre : « C’était bien ça que nous voulions ! » on identifie la connaissance utile en tant que contenu intentionnel de l’Intentio.

165. — Mais le sens est un terme polysémique et c’est là un paradoxe qu’il faut résoudre. Dans la langue quotidienne, on retrouve d’un côté l’acception voulant que le sens désigne l’existence d’une orientation dynamique associée à l’objet de savoir (il faut comprendre ceci suivant telle direction) et, d’un autre côté, le sens désigne une construction statique achevée (il n’a pas compris le sens de la tâche). Le langage quotidien nous a habitués à ce dualisme entre le processus et le produit : soit le sens est une tension ou un processus vers une position à atteindre, soit le sens est le résultat atteint. Mais l’objet de sens atteint, le sens construit, qui a déjà pu véritablement le fixer ? Notre expérience quotidienne de la signification est bien plutôt qu’il s’agit de quelque chose de labile, de fragile, voire d’infinitésimalement variable. Il existe des multiplicités relativement conformes de lectures d’une situation, mais elles ne sont pourtant jamais idoines. Qui peut dire qu’il a compris exactement la même chose que les autres ?... Le sens est toujours en débat.

176. — Il faut donc résoudre le paradoxe de la polysémie du sens (la distinction dynamique/statique). Nous devons nous débarrasser de cette distinction parce qu’elle nous empêche d’avancer dans la compréhension des phénomènes de mise en circulation des savoirs. Pour cela, je propose d’accepter l’idée suivant laquelle le sens n’est pas une chose en soi, qu’il n’est pas nouménal10, qu’il n’est pas le résultat statique d’un processus, qu’il n’est pas cette chose à acquérir du même mouvement par lequel on mémorise des caractéristiques du savoir. Le sens est plutôt une qualité d’être de l’objet de connaissance, il est phénoménal en ceci qu’il n’existe que dans la relation que notre esprit entretient avec l’objet de savoir, qu’il est ce mouvement même de la pensée qui va vers l’objet de savoir. Dans le langage du modèle, je dirai que le sens est intentionnel ou n’est pas. Je vais maintenant continuer de défendre cette idée en tentant de saper la valeur que nous attribuons au sens statique (6.1 à 6.3).

186.1. — Je voudrais dire à quel point la seconde acception (le sens désigne une construction statique achevée) est fâcheuse et qu’elle nous empêche de voir correctement ce qui est en jeu lorsqu’il est question de savoir et de sens en didactique. Tout se passe comme si nous faisions l’inférence suivante : si le sens est une chose achevée, alors nous pouvons décrire le chemin qui y mène. Et, de l’idée que le sens est constructible, il est alors déduit de manière simpliste que les étapes qui y mènent sont en nombre fini (en petit nombre) et qu’elles sont reproductibles. En témoignent beaucoup de manuels scolaires qui proposent un cheminement par paliers successifs vers le sens du concept mathématique en jeu11 Nous avons là une conception erronément matérialiste du sens dans l’enseignement des mathématiques : accédons-y par telles et telles étapes...

196.2. — Or pourquoi faudrait-il que le sens se comporte essentiellement différemment dans l’enseignement des mathématiques de la façon dont se comporte le sens dans les autres sphères d’activité humaine ? Car chacun sait que le sens est une réalité fuyante et difficile à partager. Je crois pour ma part qu’il y a une raison bien simple à cette différence supposée (car selon moi elle n’existe pas) entre le sens mathématique et le sens des autres domaines d’activité. C’est que le fonctionnement mathématique a si durement conquis le langage formel qu’il est devenu, par cette gloire formelle même, l’image — figée sur une pellicule — à laquelle on rapporte le savoir à enseigner. Si les mathématiques sont si bien organisées et construites, si bien structurées disaient les bourbakistes, on peut donc partir de ces organisations pour structurer, voire pour algorithmiser l’enseignement des savoirs. Le fantôme de la belle et grande architecture des mathématiques guette sans cesse celui qui veut les enseigner ; il imagine pouvoir reproduire le savoir, faire refaire la construction aux élèves, leur faire accéder au sens via une séquence bien définie d’étapes ; mieux encore, il suppose pouvoir faire l’économie de nombreux détails en faisant accéder directement au savoir par la voie formalisée, en y aménageant des entrées par les formes les plus achevées. Tout se passe comme si les mathématiques étaient identifiées à l’image de l’arbre de la connaissance, comme si nous pouvions nous reporter à elle comme à une totalité explicative transcendantale. Or les mathématiques de notre siècle ont abondamment fait la preuve que cette grande architecture à dichotomies successives bien réglées était un leurre. Si les mathématiques étaient plutôt considérées comme formant, au lieu d’un arbre, un rhizome12, sans doute verrait-on moins de tentatives de produire des genèses d’accès au savoir et au sens qui soient si fortement teintées par le structuralisme et si fortement tentées par la transcendance13.

206.3. — Ce paradoxe dualiste entre le sens statique et le sens dynamique a presque toujours été dissimulé et, dans le secteur des études sur l’enseignement des mathématiques, on a le plus souvent repris ainsi le chemin de la recherche des procédés d’élaboration empirique du sens. Je ne vais citer qu’un exemple pour le montrer, mais je pourrais en prendre beaucoup d’autres. Les travaux sur l’enseignement des mathématiques de Bergeron et Herscovics, (1982, 1987, 1989) ont affirmé qu’un tel enseignement nécessite a priori que l’on se donne un bon modèle théorique de la compréhension en mathématiques. Ce modèle construit puis mis à l’épreuve de diverses expériences14, on en déduit des « implications pédagogiques » qui prennent la forme de recommandations aux enseignants sur la manière d’aborder telle notion, en privilégiant la diversité des procédures, etc. Les études menées dans le cadre de ce modèle sont alors présentées de telle manière que l’on suppose que la prise en compte du cognitif en didactique se réduise à la morale qu’il faut tirer de l’étude du fonctionnement du sujet individuel sur des tâches mathématiques. C’est négliger le fait que pèsent sur l’élève et le maître des conditions et contraintes didactiques d’un poids considérable, poids que les travaux de didactique des mathématiques ont éclairé de manière décisive depuis plus de vingt ans15. Dans de tels modèles de la compréhension, le postulat de base est donc que le sens est saisissable dans la seule relation du sujet avec l’objet, et du sujet cognitif pur plutôt que du sujet didactique ; mais surtout, cela suppose que le sens puisse ensuite émerger dans un enseignement à travers la seule prise en compte des caractéristiques de la relation sujet-objet, comme si le sens était véritablement contenu dans le savoir et qu’un simple aménagement didactique correct permettait d’y accéder. De tels efforts théoriques, pour sincères qu’ils soient, n’en sont pas moins condamnés à la caducité dès lors que l’on constate que le sens n’est pas véhiculé par le savoir, qu’il n’est pas intrinsèque au savoir, mais qu’il est tissé à même la trame intentionnelle du didactique. Beaucoup d’autres travaux sur l’enseignement des mathématiques, notamment des travaux nord-américains, s’insèrent dans un tel paradigme psychopédagogique. La conception primitive du savoir qui cherche toujours à s’y exprimer devient aujourd’hui de mieux en mieux comprise par les travaux de didactique. La théorie des situations didactiques a échappé à ce malheureux dualisme en posant le couple savoir/sens comme enjeu de l’adaptation aux contraintes de la situation didactique/adidactique. J’espère pour ma part pouvoir faire la lecture suivante de cette théorie : le sens n’y est pas postulé comme le résultat d’une démarche mécaniste, mais comme une dynamique adaptative liée aux systèmes intentionnels en présence.

217. — J’ai dit que le sens est extrinsèque au savoir ; j’affirme donc que le sens n’est pas dans l’objet de savoir mathématique, c’est-à-dire que le sens ne se situe pas dans le savoir comme objet de transaction didactique, mais qu’il réside ailleurs dans la relation à ce savoir, qu’il se situe dans le projet didactique lui-même. Je dis donc que le sens est régi par l’Intentionnalité toute entière, celle des institutions (I_o) comme celle du maître et celle de l’élève. Le sens est donc quelque chose de subjectif, d’individuel, qu’il s’agit de rapporter à un collectif de pensée au moyen d’une Référence qu’il reste à analyser. Ce mouvement du sens à la Référence n’est aucunement paradoxal : le sens existe bel et bien à travers une certaine détermination collective du savoir, il y a bien quelque chose comme des institutions du sens16. Mais cela ne doit pas nous induire à affirmer qu’il y a un privilège ou un primat de la pensée sociale sur la pensée individuelle. Dire que le sens est régi par l’Intentionnalité toute entière, c’est dire que la réalité que nous essayons d’appréhender en didactique n’est ni réduite aux modèles de type « interactions sociales » (primat de l’interaction entre plusieurs sujets) ni réduite aux modèles de type « cognition individuelle » (primat de l’autonomie de pensée du sujet). Il n’y a pas de rupture de continuité entre le cognitif et le social. Le cognitif et le didactique sont inséparables... ils sont pris à leurs pièges réciproques. L’habitude prise de renvoyer dos à dos le cognitif et le collectif est selon moi responsable d’une lecture dualiste courante en didactique des mathématiques : puisque le sens est dans le savoir, alors comment socialement y faire accéder le sujet cognitif ? semblent dire beaucoup de travaux de didactique. Le moment est venu d’abandonner cette manière de regarder le travail sur le sens en didactique.

228. — Ainsi le sens n’est pas pris en charge exclusivement par le sujet ni non plus pris en charge uniquement par le réseau des échanges extérieurs au sujet. Le nœud de rencontre entre le travail de l’élève vers la signification du savoir et les projets sociaux que l’on fait tendre vers lui et vers son activité mathématique, c’est tout cela le sens et la signification mathématique. Cette signification mathématique est donc doublement intentionnelle : elle est tissée par la rencontre du projet social (I_o) avec les intentions professorales et avec les intentions des élèves.

239. — Au terme de cette discussion, la question de départ : « Est-ce que le sens mathématique est celui du concept tel qu’il apparaît en lui-même, c’est-à-dire en tant que chose en soi ? » n’est donc plus pertinente17. Le sens associé didactiquement à un savoir est intentionnel, il n’est pas du tout un état individuel de connaissance. Le sens est relatif au réseau, voire à la trame intentionnelle. Dans le système didactique, le sens prend corps en fonction du vecteur intentionnel (I_o, I, i)18. Le sens appartient à l’esprit, non aux choses.

Le sens est une réalité marquée par les trois instances intentionnelles

241. — Résumons la thèse avancée jusqu’ici : le sens est extrinsèque au savoir, ce qui fait du sens un objet phénoménologique, c’est-à-dire une tension entre l’esprit et le substrat sur lequel il porte. Quand nous affirmons que le sens est intentionnel, c’est pour dire qu’il est à la fois de nature individuelle (cognition du sujet) et de nature sociale (collectif de pensée). Il est clair que les ressources et structures internes du sujet sont engagées dans le travail d’attribution de sens19. Mais il est clair aussi que le sens participe — sans s’y réduire — de la reprise individuelle d’un projet socialement mis en place. Il est indéniable qu’il y a une opération dynamique qui est menée collectivement sur le sens — c’est ce que prend en charge l’Intentio. Cependant, cela n’affirme point que seule existe cette opération ; il y a aussi un travail dynamique chez le sujet qui est fait au regard de ce travail collectif — c’est celui que caractérise l’Intentionnalité. On n’en sort pas, le dualisme est une erreur fondamentale20 car le sens est un événement intentionnel : il est travaillé réciproquement par le sujet cognitif et par le collectif de pensée.

252. — Pour en finir une bonne fois pour toutes avec ce dualisme « cognition/collectif », je vais étayer la thèse suivante : le sens fait partie de cette catégorie d’objets qui ne sont ni purement et simplement du ressort de la cognition du sujet, ni purement et simplement du ressort du collectif de pensée, mais bien des deux à la fois, dans un mouvement continu21, mutuel et permanent. Je me risque ici à une triple démonstration par l’absurde de l’idée que le sens réside nécessairement dans ce mouvement cognition du sujet/collectif de pensée.

262.1. — Si le sens n’était que de nature individuelle, toute communication du savoir serait impossible puisque le sens est l’enjeu du savoir. Le sens est donc impersonnel car il est indéniable que des individus différents ont des manières de faire et de penser qui sont les mêmes (bien qu’ils n’aient pas créés eux-mêmes ces manières).

272.2. — Si le sens n’était que de nature sociale ou n’était qu’une convention sociale, toute conceptualisation individuelle serait impossible de même que serait impossible toute création de nouveaux savoirs ; aucun individu ne pourrait entrer de lui-même dans le savoir et y reconnaître une signification possible pour lui (ce qui éliminerait tant l’autodidactisme que l’invention). Comment une personne pourrait-elle penser toute seule si elle ne reprenait pas à sa charge — en lui redonnant une coloration personnalisée et subjective — le sens travaillé collectivement ? Du point de vue du sujet, le sens est ce qui permet de passer de l’ignorance à la connaissance.

282.3. — Si le sens n’était ni de nature individuelle ni de nature sociale, il serait alors une chose en soi, un noumène. Or le sens est un phénomène, c’est-à-dire qu’il est relatif aux positions prises par les esprits au sujet des choses.

292.4. — Conclusion : il faut nécessairement que le sens soit à la fois de nature sociale et de nature individuelle.

303. — Une question importante n’a cependant pas encore été traitée : puisque le sens est extrinsèque au savoir, comment s’articule-t-il à ce dernier dans le contexte de la mise en circulation intentionnelle des savoirs que constitue tout enseignement des mathématiques ? Pour répondre à cette question, je vais maintenant développer une affirmation cruciale faite plus haut (voir p. 75), à savoir que la signification se tisse (est en production) suivant un ensemble d’états et d’actions intentionnels qui proviennent de diverses instances. Je vais montrer que le couple savoir/sens est entièrement déterminé par les trois instances intentionnelles du modèle, c’est-à-dire par l’Intentio, par l’Intentionnalité et par les intentions didactiques.

314. — Je vais commencer par montrer que le sens est déterminé par l’Intentio. Je rappellerai d’abord22 que l’Intentio est caractérisé tant par le travail institutionnel sur le savoir (à des fins d’enseignement) que par le travail d’orientation sur différents types de rapport au savoir (id.) ainsi que par toute condition appréhendée de fonctionnement de certain savoir (ibid.). Suivant cela, il est aisé de montrer que le sens est déterminé par l’Intentio puisque dans la chaîne qui va des institutions (qui déterminent et travaillent les savoirs à enseigner) jusqu’au système didactique lui-même, le sens correspond au projet social que l’on fait porter sur le savoir. Le sens est la relation consensuelle et dynamique au savoir que la noosphère va décider de mettre en jeu. Ce jeu, le travail de transposition didactique, fait apparaître les modifications que l’on fait subir à l’objet de savoir dans une perspective intentionnelle. La notion d’Intentio fait apparaître comment on en arrive à décider que telle notion sera enseignée suivant telle ou telle signification particulière.

324.1. — Je vais prendre un exemple que je vais exploiter pour chacune des argumentations sur le rôle joué par les trois instances intentionnelles. Lorsque la noosphère décide de fixer didactiquement le sens de l’objet de savoir mathématique appelé « fonction », comment le fait-elle ? Elle fait un choix délibéré qui peut référer à d’autres sens comme ceux de continuité, de variation, de correspondance entre deux ensembles de valeurs23. Le sens de « fonction » est ainsi régulé très en amont du système didactique par une sorte de découpage dans le champ conceptuel : des aspects seront ainsi mis de l’avant, d’autres minorés ou même abandonnés. C’est donc par un déterminisme social très organisé que l’objet de savoir fonction sera ainsi travaillé par l’Intentio. L’écart sensible entre le savoir mathématique de référence et le savoir mathématique transposé est observable à travers ces changements de sens24. Le sens est donc irrémédiablement marqué par l’Intentio.

335. — Je vais maintenant tâcher de montrer que le sens est sans cesse travaillé par l’Intentionnalité. Il convient de rappeler comment nous avons caractérisé celle-ci. L’Intentionnalité est le mécanisme fondamental par lequel le sujet est mis en rapport avec le monde. Soulignons que cette définition remet en cause la dissociation entre les choses et leur représentation dans la tête de quelqu’un (Descombes, 1995, p. 36). Revenons à notre tâche : nous avons dit que le sens n’était pas nouménal mais phénoménal, qu’il appartenait aux réseaux de relations entre l’esprit et le substrat sur lequel il porte. En suivant Descombes encore, on dira alors que l’Intentionnalité est le mécanisme qui permet d’imposer un ordre de sens à un matériau25. Le terme de matériau doit être compris non comme une référence à la matérialité de l’objet, mais au contraire comme une indication que le contenu intentionnel (le substrat de l’Intentionnalité) n’est pas forcément un objet matériel, il peut être par exemple un savoir, une intention à propos d’un savoir, même une intention à propos de l’idée que quelqu’un se fait d’un savoir.

345.1. — Reprenons notre exemple de « fonction » : si je pense qu’une fonction est une correspondance biunivoque entre un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée, je me donne un contenu intentionnel pour « fonction ». Ce contenu est partiel par rapport au savoir (la notion de fonction est autrement plus profonde et ne se réduit pas à la propriété de bijectivité). En me donnant ce contenu intentionnel pour « fonction », je lui donne un sens, je peux le mettre en circulation. L’échange didactique devrait me permettre de réviser et de compléter ce sens pour l’enrichir jusqu’à la notion de fonction choisie par l’Intentio. Mais il se peut bien qu’aucun mécanisme didactique particulier ne soit mis en place pour me faire changer de point de vue et que je reste avec cette lecture de « fonction » pendant longtemps. Il se peut que l’Intentionnalité du professeur26 converge vers une position analogue à la mienne. De façon stable, des échanges pourraient s’engager entre ce professeur et moi et d’autres élèves à propos de fonctions qui ne soient pas des fonctions, mais des ersatz de fonctions.

355.2. — Le matériau qui sert de substrat à l’Intentionnalité peut donc ne pas être conforme au projet de l’Intentio, ce qui revient à dire que du point de vue de l’Intentionnalité, le contenu intentionnel n’est pas identifiable au savoir de référence. Ainsi lorsque nous disons que l’Intentionnalité impose un ordre de sens à un matériau, nous mettons en évidence le fait que le sens n’apparaît pas comme déterminé par le savoir lui-même, mais qu’il est déterminé par les réseaux intentionnels qui se stabilisent autour de contenus intentionnels du maître et des élèves et que ces contenus ne sont pas forcément idoines au contenu intentionnel de l’Intentio. Dit autrement, le projet social est repris de façon privée par le professeur qui le marque de son Intentionnalité (il lui impose ainsi un ordre de sens) et derechef par les élèves qui le marquent à nouveau de leur Intentionnalité (idem). Mais il ne faut pas négliger le fait que sur ce premier niveau de travail sur le sens vont s’ajouter des tas de couches successives d’intentionnalité qui vont prendre d’autres contenus intentionnels. Je m’explique en rappelant d’abord que « l’Intentionnalité est une machine productrice d’états et d’actions intentionnels » (Portugais, 1998). Étant donné que notre objet d’étude est un système didactique — donc marqué par I’Intentio —, nous allons rencontrer de l’Intentionnalité agissante sur des contenus tels que : « comprendre le sens de fonction en relation avec la continuité ». Lorsque le professeur va instaurer un certain milieu adidactique pour que l’élève « comprenne le sens de fonction en relation avec la continuité », il va avoir des intentions didactiques très précises (nous y venons dans le prochain paragraphe). Concluons simplement que le sens est bel et bien travaillé par l’Intentionnalité, que c’est une caractéristique fondamentale de cette instance que de chercher à imposer un ordre de sens au substrat (au matériau) sur lequel elle porte.

366. — Je voudrais finalement montrer comment le sens est sans cesse travaillé et organisé par les intentions didactiques. Il convient d’abord de rappeler que les intentions didactiques ne sont que des formes particulières de l’Intentionnalité. Nous les avons caractérisées comme étant « la part actualisée de l’Intentionnalité qui va chercher à déterminer un bon fonctionnement des problèmes à résoudre, des situations, de la dévolution et de l’institutionnalisation. Il s’agit des intentions qui sont en jeu dans une situation didactique donnée. » (Portugais, 1998) Autrement dit, la fonctionnalité des intentions didactiques est d’assumer le travail nécessaire à la conversion savoir/connaissance.

376.1. — En gardant cela en tête, revenons sur notre exemple de notion mathématique de fonction. Lors du déroulement de l’échange didactique, maître et élèves vont produire une trame d’états et d’actions intentionnels dont le rôle sera de modeler sans cesse (voire de moduler) le sens de ce qu’est une fonction dans l’écologie de la classe. Chacun va cependant mettre en route des réseaux intentionnels différents, bien qu’étroitement connectés l’un à l’autre. Du côté de l’élève, le travail attendu consiste à se rapprocher au mieux des pratiques à travers lesquelles l’institution puisse reconnaître qu’il ait effectivement compris ce qui était visé. Ce travail ne peut se réduire à de simples imitations des pratiques gestuelles car l’institution cherche à contrôler, via ses technologies (au sens de Chevallard) la signification que vont prendre ces gestes du point de vue de l’Intentio, c’est-à-dire du point de vue fixé a priori par la noosphère. L’élève reconnaît quelles intentions didactiques sont possibles pour lui dans la situation ; il cherche à faire fonctionner les signes, les assertions et les objets qu’on lui soumet comme indicateurs d’un certain sens encore hors de portée. Mais les contraintes didactiques peuvent prendre une telle ampleur (calculs de valeurs, dessins de courbes graphiques, construction de tables de correspondance, transformations d’écritures diverses) qu’il se peut bien que jamais la signification de fonction visée par l’Intentio ne soit atteinte, ou que, si elle l’est, on n’en ait aucune indication. Comme le Petit Poucet, le joueur peut très bien ne jamais retrouver son chemin au moyen des pierres laissées sur les terrains fréquentés. Il est important de se rappeler que les intentions didactiques sont produites et lues suivant l’Intentionnalité propre à chaque joueur. Ainsi, du côté du maître, le fait de demander d’établir une table de 20 valeurs sur [0, 1] pour f(x) = 5^x est une tâche qui mène à l’idée (combien lointaine en fait !) de continuité. L’intention didactique est ensuite reprise par l’élève comme une tâche indiquant effectivement cela : il y a partage de l’intention didactique ! Eurêka ! Mais le lendemain lorsqu’une autre fonction (non continue) sera étudiée, l’action intentionnelle de construire une table de valeurs sur un intervalle de longueur 1 sera didactiquement associée à l’idée de continuité et un choix malheureux de valeurs fera conclure à une telle continuité ! Le sens est donc un objet terriblement fragile, il est sans cesse exposé aux contresens puisqu’il est négocié à travers un complexe d’intentions didactiques dont plusieurs doivent — adidactique oblige ! — rester cachées. Dans de telles situations, qu’entend-on, par exemple, par « comprendre le sens du concept de fonction » ? Il nous faut en fait poser une toute autre question, plus radicale : à partir de quelles couches de significations plus profondes se constitue le sens de « fonction » qui correspond à l’intention didactique optimale dans la situation ?

386.2. — Cette dernière question est d’une énorme complexité car elle indique que « les conditions de satisfaction d’un état intentionnel ne peuvent être détachées des conditions de satisfaction des autres états ou actions du réseau » (Portugais, 1998). Nous soulevons ici le problème de la multiplicité des intentions didactiques et de leurs coordinations réciproques, voire de leur adéquation à un projet unifié27. En revenant maintenant sur la proposition présentée au début de ce paragraphe, nous pouvons dire que le sens est effectivement largement dépendant des intentions didactiques.

397. — Cette triple argumentation sur la détermination du sens par chacune des trois instances intentionnelles (IQ, I, i) aboutit à un résultat théorique : la question du sens en didactique se pose en termes de fonctionnement intentionnel28.

Conversions entre les différents types d’intentionnalité

401. — Nous avons donc établi que le sens est le problème central de l’interface cognition du sujet/collectif de pensée qui est à l’œuvre dans le didactique. Ce problème est doublement important pour la didactique : parce que cette discipline étudie les mécanismes de mise en circulation des savoirs et parce que le sens, bien qu’associé au savoir, ne lui est pas intrinsèque.

412. — Nous sommes maintenant en mesure d’étudier la question de l’articulation entre le savoir et le sens, et en particulier d’examiner le problème soulevé précédemment : comment le sens s’articule-t-il au savoir dans le contexte de la mise en circulation intentionnelle des savoirs que constitue tout enseignement de mathématiques ? C’est une autre manière de poser la question de la place du cognitif en didactique. Je désire traiter cette question à partir d’un critère permettant le découpage de la complexité : le cognitif rencontre le didactique là où se négocie le sens. Ce principe nous amène à approfondir la question des rapports entre le cognitif et l’Intentionnalité, c’est-à-dire qu’il nous faut étudier l’articulation savoir/sens. J’ai voulu montrer antérieurement comment le sens était nécessairement aux prises avec les trois instances intentionnelles. Mais comme l’explique Searle le problème du sens c’est : « Comment l’esprit impose-t-il l’Intentionnalité à des entités qui ne sont pas intrinsèquement Intentionnelles ? » (Searle, 1985, p. 202) C’est à cette importante question que je vais travailler maintenant.

423. — Je vais introduire de nouvelles distinctions non décrites dans le texte précédent, mais qu’il faut considérer comme faisant partie du modèle. Ce travail est un peu technique, mais il est éclairant je pense. Je vais considérer, en leur attribuant un sens particulier pour le travail théorique que je mène, les trois sortes d’intentionnalité décrites par Searle29 : l’Intentionnalité intrinsèque, l’Intentionnalité comme-si et l’Intentionnalité dérivée. Je désire les illustrer en prenant un substrat mathématique susceptible d’être un contenu de l’Intentionnalité didactique.

433.1. — L’Intentionnalité intrinsèque (Ii) est une propriété fondamentale de tout sujet : c’est lorsqu’il existe un état intentionnel qui cherche à imposer un ordre de sens à un matériau. Si je pense par exemple qu’il est possible que 8x² = 8x, c’est que je peux me trouver dans un état intentionnel où cette assertion est vraie pour moi (indépendamment de sa véracité pour tout x).

443.2. — L’Intentionnalité comme-si (Ics), c’est lorsqu’un sujet considère qu’un objet se comporte comme s’il avait de l’Intentionnalité : « l’équation 8x² = 8x n’admet pas x = 2 comme solution » ne signifie pas que l’équation est capable d’intentionnalité (!) mais simplement, cette assertion indique que nous faisons comme-si l’équation avait de l’Intentionnalité, comme-si elle n’admettait pas cette valeur. Le fonctionnement est ici métaphorique car il n’y a rien d’intrinsèquement intentionnel dans cette phrase. L’Intentionnalité comme-si, c’est lorsqu’un objet est traité comme s’il pouvait de lui-même imposer un ordre de sens à un matériau.

453.3. — L’Intentionnalité dérivée (Id), c’est lorsqu’un objet est doté de l’Intentionnalité que lui attribuent les sujets humains, par exemple, lorsque nous disons que « 8x² = 8x veut dire que la courbe graphique correspondante à 8x (x – 1) = 0 coupe l’axe des abscisses lorsque que x vaut 0 ou 1 ». Mathématiquement (disons plutôt lorsque des gens communiquent entre eux avec des mathématiques), cette phrase signifie vraiment ce qu’elle dit, mais elle ne le dit pas d’elle-même mais parce qu’un agent humain lui attribue cette Intentionnalité. Il n’y a ici rien de métaphorique dans cette phrase, la phrase dit bien une chose réelle (peu importe qu’elle soit vraie d’ailleurs), elle dit ce que les sujets dotés d’intentionnalité reconnaissent ce qu’elle dit, elle possède donc une Intentionnalité dérivée, une Intentionnalité qui lui provient de ce que les sujets en pensent lorsqu’ils l’utilisent comme objet de transaction dans les communications qu’ils ont entre eux. L’Intentionnalité dérivée c’est lorsqu’un objet véhicule une Intentionnalité en provenance de sujets humains, lorsqu’un ordre de sens est imposé, de manière dérivée, à un matériau.

464. — La distinction entre ces trois types d’intentionnalité va nous permettre d’éclairer de manière nouvelle l’articulation savoir/sens et partant, de renouveler la problématique des rapports entre le cognitif et l’Intentionnalité dans le didactique. Cette distinction est cruciale parce qu’elle permet de mettre en relief un problème central de l’analyse didactique posé par le modèle de l’Intentionnalité : la conversion réciproque entre l’Intentionnalité intrinsèque et les Intentionnalités comme-si et dérivée. Nous revenons ainsi à la question fondamentale : comment l’esprit impose-t-il l’Intentionnalité à des entités qui ne sont pas intrinsèquement Intentionnelles ? Autrement dit, comment les sujets didactiques attribuent-ils de l’Intentionnalité aux savoirs, aux situations et aux milieux avec lesquels ils sont aux prises ? Posée classiquement en didactique, cette question peut se formuler de deux manières : « Comment s’opèrent les conversions de savoir à connaissance et de connaissance à savoir ? » ou bien « Comment fonctionnent la dévolution et l’institutionnalisation ? » Nous allons voir que ces questions sont étroitement liées à l’analyse de l’Intentionnalité.

475. — Examinons d’abord30 le cas de la dévolution d’un problème, ou si l’on préfère de l’axe qui va de savoir à connaissance. Je veux ici montrer deux choses dont la seconde découle directement de la première.

485.1. — La conversion savoir/connaissance (s → c) est sous-tendue par les conversions Id → Ii et lcs → Ii. L’attribution du statut de connaissance suppose que le sujet cognitif se donne des états intentionnels propres pour un objet de la transaction ; il ne peut imposer un ordre de sens au matériau proposé de manière à en faire une connaissance que suivant son Intentionnalité intrinsèque. Mais pour réussir cette opération, il doit effectuer une conversion dans les rapports intentionnels qu’il entretient avec ce matériau. Le sujet doit reconnaître une intention didactique possible pour lui, c’est-à-dire qu’il doit reconnaître ce qui, dans le matériau à traiter, est déjà doté d’intentionnalité. Cette reconnaissance affirme qu’il s’agit alors ou bien d’une Intentionnalité comme-si (Ics) ou bien d’une Intentionnalité dérivée (Id). S’il s’agit d’une Intentionnalité comme-si, le sujet entre dans la situation en supposant que ce matériau se comporte comme-s’il avait un sens qui lui échappe encore. Si par contre il s’agit d’une Intentionnalité dérivée, le sujet entre dans la situation en supposant que le matériau veut dire une certaine chose qu’il connaît déjà. On voit donc que l’opération qui consiste à se placer dans un état intentionnel tel qu’il donne un sens à un objet pour en faire une connaissance, que cette opération suppose au préalable que cet objet soit doté d’intentionnalité dérivée ou comme-si31.

495.2. — Le regard que nous portons habituellement sur la dévolution n’est donc braqué que sur un maillon d’une chaîne de conversions intentionnelles. Car pour pouvoir travailler la conversion s →c, il faut déjà accepter que le savoir est déjà savoir d’une certaine manière. Si bien que le savoir ne peut-être pensé et vécu à ce moment comme savoir qu’en fonction de Id et Ics. Autrement dit, pour que l’élève travaille dans le système didactique en direction de la connaissance (pour qu’il participe de la dévolution), il doit attribuer de l’Intentionnalité comme-si ou dérivée au matériau qu’il traite avant même de commencer à travailler ce matériau en fonction de ses propres états intentionnels. Seule son Intentionnalité intrinsèque pourra lui permettre de donner — per se — un sens aux choses qu’il fait et avec lesquelles il est en rapport. Si bien que ce que nous appelons conversion savoir/connaissance (s → c, la dévolution) est en fait une opération qui suppose déjà une forme d’institutionnalisation avant-coup. La dévolution est donc un processus supportant de multiples conversions entre différents types d’intentionnalité ; les faire apparaître est nécessaire pour comprendre finement le fonctionnement du didactique.

506. — Voyons maintenant ce qu’il en est de l’institutionnalisation, c’est-à-dire de l’axe qui va de connaissance à savoir. Je veux ici encore montrer deux choses.

516.1. — La conversion connaissance/savoir (c → s) est sous-tendue par les conversions Ii → Id et Ii → Ics. Revenons d’abord rapidement sur des éléments théoriques établis pour cette conversion. Je dirai que selon un premier mouvement (suivant en cela F. Conne), la transformation de la connaissance en savoir est fondée sur la reconnaissance de l’utilité de la connaissance et que suivant un second mouvement, ce caractère utile est ensuite identifié au contenu de l’Intentio pour en faire un savoir institué. Le premier mouvement permet au sujet de se rendre compte que cette connaissance lui donne une prise sur la situation32 tandis que le second mouvement fait du savoir vécu par le sujet un objet socialement reconnu à la fois pour cette utilité et pour le projet institutionnel qui le porte. Mais pour que cette opération de conversion c → s réussisse, il va falloir cette fois accepter, aux fins de l’Intentio, de dépouiller la connaissance de son Intentionnalité intrinsèque, de l’ordre de sens que le sujet a réussi à lui imposer. Il se passe alors une chose étrange : le sens qu’il convient de donner à l’objet ainsi transformé est un sens que l’on éprouve lorsque l’on se trouve assujetti à une institution didactique. Ceci explique pourquoi l’Intentionnalité intrinsèque doit être reconvertie en Intentionnalité dérivée ou en Intentionnalité comme-si.

526.2. — L’institutionnalisation devra donc être analysée en tant que processus qui estompe les conversions intentionnelles antérieures au profit de nouvelles conversions irréversibles : la connaissance devenue savoir ; le canon établi, il faut désormais ne considérer le savoir qu’en tant que contenu de l’Intentio. En fait, l’utilité reconnue par le sujet dans le savoir ne peut plus être évoquée comme déterminante lorsqu’il s’agit du savoir institué. Il n’en demeure pas moins que cet ordre de sens socialement institué que l’on associe au savoir ne prend sa pleine mesure que si l’Intentionnalité intrinsèque demeure vivante, présente dans l’esprit du sujet. Cette conversion ne suppose d’ailleurs pas la disparition des états antérieurs ; elle ressemble plutôt à une suite de fichiers modifiés dont on garderait toujours des traces (estompées ou non) des versions antérieures. Ainsi, nous sommes conduits à constater que le jeu qui se mène entre savoir et sens suppose que soit réalisé un équilibre contradictoire entre le résultat de la dévolution (le sens est intrinsèquement éprouvé) et la démarche visant à priver le savoir d’un sens intrinsèquement attribué (l’institutionnalisation doit dépouiller le savoir de cette forme d’intentionnalité). Si bien que ce que nous appelons conversion connaissance/savoir (c → s, l’institutionnalisation) est en fait une opération qui repose sur l’intégration après-coup, de la dévolution.

537. — Nous venons de voir que du point de vue intentionnel, il y a une nette dissymétrie entre les deux axes de conversion savoir/connaissance (s → c et c → s). D’un côté, la dévolution suppose que la connaissance ne fonctionne que si le sujet se donne une reconnaissance partielle du statut de savoir (via Id et Ics), ce qui implique que le sens est travaillé à même le rapport cognition du sujet/collectif de pensée. D’un autre côté, l’institutionnalisation suppose que le savoir ne peut s’instituer qu’en fonction du sens personnel et subjectif que le sujet lui attribue (via Ii) et qu’il est donc nécessaire d’intégrer le cognitif au didactique pour que le projet de l’Intentio se réalise. Il s’agit là d’une critique fondamentale de la symétrie entre savoir et connaissance. Sans doute que ce regard bouleverse un peu l’ordre des choses en didactique. Il nous oblige en tout cas à y regarder de plus près en ce qui concerne l’Intentionnalité dérivée et comme-si. Cela nous convie à une redéfinition de notre objet d’étude : parce qu’il est lié au sens, le savoir n’existe pas dans le système didactique en tant que chose-en-soi ; il existe plutôt dans sa relation phénoménale au sens. Et puisqu’il nous faut étudier les transactions de sens, il ne suffit plus de regarder le savoir. Nous devons accepter l’idée que le sens n’est pas intégré au savoir mais qu’il lui est associé à travers l’Intentionnalité. Il faut donc procéder à des études de la trame intentionnelle du didactique.

Référence et Arrière-plan de potentialités

541. — Je désire maintenant expliquer pourquoi, dans une théorie de l’intentionnalité didactique, nous pouvons faire l’économie du problème de la Référence, notamment en utilisant la notion d’Arrière-plan de potentialités. Pour cela, je vais d’abord reprendre le fil conducteur de notre travail en synthétisant quelques points abordés jusqu’ici. La réponse à la question : « Comment l’esprit impose-t-il l’Intentionnalité à des entités qui ne sont pas intrinsèquement Intentionnelles ? » se trouve dans le travail qui se mène sur l’interface cognition du sujet/collectif de pensée, au sein des conversions savoir/connaissance33. Dans le système didactique, le sens est régulé à même l’interface cognition/collectif, ce qui implique qu’il n’est jamais pris en charge exclusivement par l’un ou l’autre des pôles de cette interface. Ce résultat a une conséquence importante : le sens dépend d’autre chose que de lui-même ; il n’est pas un surgissement subitement éprouvé sous la seule responsabilité du sujet cognitif, il n’est pas non plus un éclairage inopinément jeté sur le savoir par la seule responsabilité du collectif de pensée. De quoi s’agit-il alors ? Nous pouvons formuler ce problème de la façon suivante : à partir de quelles couches de significations plus profondes se constitue le sens ? Ou encore : pourquoi le sens d’une chose dépend du sens des autres choses ?

552. — Classiquement, si le sens survient, c’est parce que le savoir fonctionne en référence à une réalité extérieure : on a réussi à le rapporter à une réalité préexistante à notre visée (c’est le point de vue dualiste signifiant/signifié). J’aborde ici le problème de la Référence, bien connu depuis les travaux de Ferdinand de Saussure (1857-1913) et que Gérard Vergnaud a mis à l’ordre du jour de la didactique des mathématiques. Je vais tenter de résumer le point de vue classique sur cette question. Le problème du sens selon Saussure peut-être exprimé de la façon suivante : nous disposons d’objets pour communiquer par le langage oral et écrit, ce sont les mots, les symboles et les gestes (signifiants). Ces objets n’existent pas seuls car ils sont liés irrémédiablement aux concepts et notions auxquels ils renvoient (signifiés). Les deux catégories d’objets, signifiant et signifié, sont fondus en une entité duale : le signe. Les rapports internes entre signifiant et signifié sont ceux de la signification tandis que les rapports externes sont ceux de la dénotation (l’ensemble des sens d’un même signe). Dans la linguistique structurale, l’analyse de la signification pose moins de problèmes que l’analyse de la dénotation, parce que cette dernière (prise dans son acception étroite) est ce qui renvoie à l’existence objective d’une chose définie.

563. — La Référence pose donc le problème du renvoi entre signifiants et signifiés. La tradition dualiste fait en sorte que nous considérons justement les signifiants comme renvoyant à la réalité objective, et donc au monde des choses-en-soi. Or nous avons vu que le sens est une réalité d’une autre sorte, il appartient aux phénomènes, non aux noumènes. Poser le problème du sens, c’est poser un problème phénoménologique à la didactique, c’est demander comment se jouent les échanges intentionnels à propos du couple savoir-sens.

574 — Pourtant, la didactique n’a jusqu’à présent abordé le problème du sens que comme une catégorie d’objet nouménal et pas du tout comme un objet phénoménal. D’où alors le fameux problème de la Référence posé encore récemment par Gérard Vergnaud : « De quoi la connaissance est-elle connaissance ? ou si l’on préfère, en quoi consiste la Référence34 ? » Vergnaud répond lui-même à sa question en affirmant : le réel, bien sûr. Lorsqu’il demande ensuite de quel réel il s’agit, Vergnaud explique que l’on peut penser le réel soit comme « un ensemble d’objets munis de propriétés et entretenant des relations avec d’autres objets », soit encore comme « un ensemble de situations dans lesquelles le sujet est engagé de manière active et affective » (idem). Et la solution de Vergnaud consiste à analyser la fonction de représentation en termes d’homéomorphismes partiels entre le réel et la représentation. Il met également en lumière l’importance des concepts de schème et de situation qu’il juge essentiels pour analyser l’acquisition des connaissances (donc pour étudier le cognitif).

585. — Je pense que nous touchons là à une question absolument fondamentale pour la théorie didactique. Pour y répondre, il faut décider d’abord si nous travaillons à élaborer une théorie cognitive du didactique ou si nous travaillons à élaborer une théorie didactique du cognitif. Ce n’est pas la même chose. La première perspective suppose que nous cherchions à décrire le fonctionnement de la connaissance à l’intérieur du réseau de contraintes du système didactique, comme s’il y avait un primat de la cognition sur l’Intentionnalité didactique. Je ne pense sincèrement pas que ce soit le cas et il me semble avoir montré dans les parties précédentes de ce texte que le cognitif, bien que sans cesse actif, est cependant surdéterminé par le didactique35. La seconde perspective suppose à l’inverse que nos efforts soient tournés vers une théorisation de l’Intentionnalité didactique qui tienne compte des mécanismes de la cognition. C’est sur cette seconde voie que la théorie de l’intentionnalité est engagée.

596. — Je voudrais maintenant expliquer pourquoi le problème de la Référence ne se pose pas dans une théorie de l’Intentionnalité didactique. Je vais commencer par une réponse un peu globale puis je vais donner une réponse technique en introduisant la notion d’Arrière-plan.

606.1. — Dans le modèle de l’Intentionnalité, il n’y a pas de choses comme « le réel représenté dans la tête de quelqu’un ». Il n’y a pas de dissociation entre le réel et sa lecture par le sujet. Puisqu’il n’y a pas de dualisme signifiant-signifié, le problème de la Référence ne se pose donc pas. En particulier, il n’y a pas dans ce modèle de fonction de représentation, parce que ce qui donne accès au réel est une catégorie du réel lui-même, c’est l’Intentionnalité. Si par exemple je dis que je pense à log4√x et que je me trouve vraiment dans cet état intentionnel, il n’y a pas une réalité log4√x qui soit indépendante de cet état intentionnel ; log4√x est l’état intentionnel lui-même. Il faut donc comprendre que ce n’est pas parce que nous pouvons nous trouver dans de multiples états intentionnels différents face à un même contenu (log4√x) que cela signifie que ce contenu soit une réalité séparée, une chose-en-soi, c’est simplement que chacun des états intentionnels dépend de Réseaux intentionnels différents. Il y a là un tournant dangereux que je pourrais dessiner à grands traits comme ceci : ce n’est pas parce que surviennent des états intentionnels distincts d’un objet évoqué que l’objet évoqué existe de lui-même ; ce sont les états intentionnels qui lui donnent corps et c’est le travail de mise en relation de ces différents états intentionnels qui, à travers les actions intentionnelles et leurs résultats, déterminent la signification. L’accès à la catégorie des objets phénoménaux de la réalité se fait par un travail sur l’interface cognition/collectif. Et le sens n’est pas dans l’objet de savoir ; il est dans le travail sur le Réseau intentionnel et sur toute la Trame intentionnelle. Dire cela ne revient pas à nier l’existence des noumènes, c’est rappeler plutôt que les savoirs, dont une part est irréductiblement nouménale, dépendent d’objets phénoménaux (comme le sens), et que l’enseignement est un travail sur le sens, donc sur la Trame intentionnelle.

616.2. — La réponse technique va exiger que je fasse certains rappels, justement à propos de Réseau et de Trame. Je commence par la notion de Réseau intentionnel. Une expression particulière d’intentionnalité (état ou action) est toujours rattachée à de nombreux autres états et actions intentionnels, avec la propriété suivante : les conditions de satisfaction d’un état intentionnel ne peuvent être détachées des conditions de satisfaction des autres états ou actions du Réseau. Les Réseaux intentionnels concernent un sujet ; ils relient des états et actions intentionnels en fonction du savoir en jeu, en fonction d’un objet lié à ce savoir ou encore en fonction des conditions de satisfaction communes ou interdépendantes. La Trame intentionnelle est une généralisation de la notion de Réseau aux acteurs du système didactique. Les Réseaux vont entrer en de multiples connexions pour former la Trame avec la propriété suivante : les conditions de satisfaction des états intentionnels du maître et des élèves vont tisser une trame très dense qui va limiter les conditions de satisfaction de l’Intentionnalité des uns et des autres (Portugais, 1998).

626.3. — Attaquons maintenant les principales questions restées en suspens : comment se fait-il que l’Intentionnalité soit le mécanisme qui permette le sens ? Sur quoi se fondent l’Intentionnalité, le Réseau et la Trame intentionnels ? La réponse est simple : l’Intentionnalité, le Réseau et la Trame ne peuvent fonctionner qu’en relation à un ensemble de potentialités qui sont non-intentionnelles. Ces potentialités sont des savoir-faire, des compétences ou encore des capacités de divers ordres qui ne sont pas intentionnels. Suivant Searle (1995), l’ensemble de ces éléments se nomme Arrière-plan de potentialités. La notion (ou l’hypothèse) d’Arrière-plan permet de comprendre pourquoi le sens d’une chose est un phénomène relationnel, que le sens d’une chose dépend du sens des autres choses. Car le problème que nous rencontrons dans toute conversion s ↔ c est bien le problème du sens. J’y reviens avec mon exemple de tout à l’heure : pour donner un sens à log4√x, je dois pouvoir m’appuyer sur des tas d’autres choses déjà sues comme la multiplication (4 × √x), la racine carrée (√x), le logarithme en base 10, la variable x, etc. Personnellement, je ne pense pas vraiment qu’à ce moment précis, toutes ces choses soient mobilisées véritablement en tant que connaissances, c’est pourquoi j’ai parlé de choses déjà sues, c’est-à-dire qu’il y a un formidable implicite de capacités, de compétences et de savoir-faire qui sont mobilisés comme des potentialités, ces capacités sont non-intentionnelles et constituent le nécessaire Arrière-plan. Bref l’Intentionnalité, ou plutôt la Trame intentionnelle à l’œuvre au moment didactique où il s’agit de tenter de donner un sens à log4√x ne peut fonctionner sans s’appuyer sur cet Arrière-plan de potentialités (qui, elles, ne sont pas intentionnelles36).

637. — L’Arrière-plan de potentialités est une hypothèse très forte. À mes yeux, c’est même la candidate la plus sérieuse pour régler le fameux problème de la Référence. Dans le modèle intentionnel du didactique, les connaissances ne sont pas les réponses à la représentation du réel dans la tête du sujet connaissant, elles sont des adaptations aux contraintes de la Trame intentionnelle. Nous n’avons pas besoin de tenter de savoir en quoi les connaissances se rapporteraient à quelque chose d’autre qui soit le réel objectif (en tout cas nous n’avons pas besoin de l’hypothèse exigeante d’une réalité du savoir qui serait entièrement nouménale). Nous pouvons nous contenter d’affirmer que tout état intentionnel nécessite, pour attribuer un ordre de sens à un matériau, d’être raccordé aux autres états et actions du Réseau et de la Trame intentionnels, qui à leur tour reposent sur l’Arrière-plan de potentialités. En revenant maintenant sur la question suivante : « À partir de quelles couches de significations plus profondes se constitue le sens ? », nous pouvons dire que les autres couches de signification sont celles des Réseaux et de la Trame. Mais il nous faut insister sur le fait que ces dernières reposent sur tout un Arrière-plan de potentialités qui ne sont pas intentionnelles. Nous avons là un solide critère pour effectuer un découpage de la complexité intentionnelle, et notamment pour empêcher la dérive vers un espace théorique dans lequel absolument tout serait intentionnel.

Un saut dans la complexité du didactique

641. — Je désire maintenant sensibiliser mes lecteurs à l’interprétation qu’il convient de donner au modèle de l’Intentionnalité en le situant dans l’effort actuel de théorisation de la didactique des mathématiques. Pour cela, il faut d’une part que je fasse quelques considérations théoriques d’ordre assez général et que, d’autre part, j’indique quelles questions et quels problèmes nouveaux pose la théorie de l’Intentionnalité à la didactique des mathématiques.

652. — Lorsqu’on examine les travaux de didactique des mathématiques des vingt ou trente dernières années, on retrouve dans l’effort de théorisation une volonté nettement affirmée de modéliser une réalité plus large que celle de la psychologie d’inspiration piagétienne. En effet, la didactique s’intéresse au modèle sujet × situation, porteur d’une complexité plus importante que celle du modèle sujet × objet. Dans ce dernier cas, on s’intéresse au rapport cognitif individuel que le sujet épistémique entretient avec un objet37. Élargir ce cadre déterminant mais trop étroit pour le sujet didactique, voilà ce que la théorie des situations didactiques s’est proposée de faire en modélisant le jeu sujet/savoir au moyen des concepts de situation, de milieu et de contrat didactiques. Un premier saut décisif dans la complexité a ainsi été effectué en prenant en charge les rapports du sujet didactique aux savoirs mathématiques sur la base de leur fonctionnement au sein de l’institution didactique porteuse du projet d’enseignement.

663. — On retrouve aussi dans les travaux de didactique des mathématiques des visées importantes d’approfondissement de chacun des deux pôles du modèle sujet × situation. Je vais rappeler quelques faits théoriques saillants.

673.1. — D’un côté la théorie des champs conceptuels a montré de quelle manière les structures de la connaissance sont relatives au fonctionnement cognitif du sujet, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de connaissance sans conceptualisation et sans opérationnalité des schèmes. Cette théorie a ainsi montré que l’on ne peut appréhender un objet de connaissance sans le relier à un ensemble beaucoup plus vaste d’autres connaissances mathématiques, ensemble appelé champ conceptuel. On a ainsi pu commencer à prendre en compte toute la complexité du fonctionnement de la pensée du sujet en train d’apprendre des mathématiques, en analysant ce qui rend la connaissance possible du point de vue du sujet connaissant (qui se trouve nécessairement derrière le sujet didactique). On rencontre donc ici une nouvelle entrée sur la complexité du didactique, celle de la structure du sujet et des mécanismes qui le régule de telle manière qu’il puisse reconnaître, dans les situations auxquelles il sera confronté, le projet qu’il fera sien.

683.2. — D’un autre côté, la théorie institutionnelle nous a instruits sur le fonctionnement de ce que nous pourrions appeler les déterminants anthropologiques de l’institutionnel, c’est-à-dire ce qui produit des régulations de nature sociale dans la situation didactique. Cette théorie s’est donc intéressée en particulier aux conditions et aux contraintes que font peser sur le système didactique diverses Institutions38, en particulier les institutions qui se situent en amont de la relation didactique maître/élèves/savoir (noosphère). Ce travail permet de prendre en compte dans la théorie didactique ce qui est activement déterminant pour la situation didactique et ses acteurs, comme par exemple les transformations adaptatives opérées sur le savoir à enseigner et sur le savoir enseigné (la transposition didactique), le fonctionnement des composantes publiques et privées du rapport au savoir de l’élève et du maître, l’institutionnalisation du rapport officiel au savoir, etc. Cette théorie propose donc une nouvelle entrée sur la complexité du didactique en montrant ce qui façonne le savoir et la situation d’un point de vue extérieur au sujet cognitif, c’est-à-dire à partir des lieux où se met en branle la volonté sociale d’enseigner des mathématiques.

694. — La théorie de l’Intentionnalité didactique propose de faire un nouveau saut dans la complexité : il s’agira de passer d’un modèle sujet × situation à un modèle sujet × situation × Intentionnalité39. Il s’agit en effet d’opérer un nouvel élargissement de l’objet d’étude. Cet élargissement est rendu nécessaire par les éléments suivants.

704.1. — Le sens est un phénomène intentionnel, il est l’enjeu du savoir mis en scène dans la situation didactique. Or le modèle sujet × situation ne rend compte ni du projet didactique et de ses transformations, ni de la gestion du sens à travers les différents états et actions intentionnels des acteurs du système. Par exemple, comment expliquer le passage d’un moment didactique à un moment adidactique (et inversement), sinon par une analyse des différentes formes d’intentionnalité qui sont déployées lors de ce passage ? Puisque le sens est l’enjeu du savoir, donc de la relation didactique, il est nécessaire d’analyser l’Intentionnalité qui façonne les rapports du sujet avec le milieu didactique comme celle qui façonne le milieu lui-même. Le sens étant travaillé à la fois par les instances intentionnelles relatives au sujet individuel (Intentionnalité, intentions didactiques) et par celles relatives au projet de l’institution didactique (Intentio), la théorie didactique doit intégrer à son champ d’étude l’analyse des phénomènes intentionnels et de leurs transformations, relativement aux savoirs à mettre en circulation. Or la théorie intentionnelle prend précisément en charge l’interface cognition/collectif, elle ne peut donc ni être réduite au pôle sujet didactique, ni être réduite au pôle situation didactique. Il faut donc ajouter un troisième terme (l’intentionnel) au modèle sujet × situation.

714.2. — Les conversions savoir/connaissance (s → c et c → s) ne sont pas théorisées par un modèle de type sujet × situation, elles sont seulement postulées comme devant se faire. J’ai proposé ailleurs la thèse suivant laquelle le vecteur intentionnel est le mécanisme fonctionnel spécifique du didactique (Portugais, 1998), c’est-à-dire que c’est ce mécanisme qui est le moteur des conversions savoir/connaissance. Dans le présent texte, j’ai développé ce point de vue en montrant comment d’autres formes de conversion (Ii ↔ Id, Ii ↔ Ics) organisent la dévolution et l’institutionnalisation. Le modèle doit donc inclure l’intentionnel pour être en mesure d’analyser le travail de conversion savoir/connaissance.

724.3. — Avant d’aborder mon troisième élément, je voudrais ouvrir une importante parenthèse. Je pense que l’objectivité des objets mathématiques40 a contaminé la didactique des mathématiques en l’induisant à croire que les objets de la didactique (savoirs, connaissances, sens, situations, contrats...) avaient la même objectivité que les objets mathématiques. C’était négliger le fait que l’objet étudié par la didactique est un objet marqué par les différentes instances intentionnelles, comme je l’ai montré plus haut. En vertu de cela, j’en viens à mon troisième élément : l’hypothèse d’un Arrière-plan de potentialités épargne à la didactique d’avoir à se poser la question de la Référence. C’est-à-dire qu’au lieu d’étudier la représentation que le sujet se donne d’une réalité soi-disant objective du savoir, il s’agit plutôt d’étudier les phénomènes intentionnels relatifs à l’enjeu savoir/sens. Ces phénomènes seront analysés à travers les différentes instances intentionnelles (I_o, I, i), les Réseaux, la Trame et l’Arrière-plan.

735. — En guise de conclusion, je voudrais esquisser les questions renouvelées, sinon les nouvelles questions, que le modèle de l’Intentionnalité pose à la didactique des mathématiques. Je distingue trois catégories de questions : celles de la description des instances intentionnelles, celles des rapports entre les instances intentionnelles et celles des transformations intentionnelles.

745.1. — Les questions relatives à la description des instances intentionnelles sont celles qui touchent à la composition et au fonctionnement de l’Intentio, de l’Intentionnalité et des intentions didactiques. Quelques exemples : quels sont les projets didactiques de l’institution scolaire ? Comment les répertorier ? Quelles sont les intentions didactiques du professeur, ses intentions préalables et ses intentions-en-acte ? Quels sont les projets didactiques des élèves ? Y a-t-il partage de l’intention d’enseigner ? Comment fonctionnent les intentions didactiques ?

755.2. — Les questions relatives aux rapports entre les instances intentionnelles sont d’un autre niveau de complexité. Il s’agit alors d’entreprendre le travail d’analyse de la dynamique qui se joue entre l’Intentio, l’Intentionnalité et les intentions didactiques. Bref, il s’agit de commencer à rendre compte du fonctionnement de la Trame intentionnelle et d’entreprendre l’étude de ses Arrière-plans de potentialités. En particulier, on se demandera alors comment se manifeste la diversité des intentions didactiques ? Comment se coordonnent (ou se concurrencent) les multiples intentions didactiques ? On s’intéressera à des phénomènes didactiques récurrents, mais difficiles : de quelle manière les processus cognitifs sont-ils mis hors service par la prégnance de l’Intentio ? Comment le professeur négocie-t-il la mise en œuvre de ses intentions didactiques avec les contraintes de l’Intentio ? Quelles transformations adaptatives du savoir et du sens se produisent alors ? Comment les élèves négocient-ils leurs productions en rapport avec les intentions didactiques déclarées du professeur ? Quels jeux se jouent entre intentions didactiques fictives et effectives41 ?

765.3. — Les questions relatives aux transformations intentionnelles sont certes parmi les plus importantes qui se posent à la didactique. Elles touchent aux questions de dévolution, d’institutionnalisation, d’épistémologie du professeur et de contrat didactique. Se posent par exemple les questions suivantes : comment produit-on de l’Intentionnalité dérivée à partir de l’Intentionnalité intrinsèque ? Comment passe-t-on de la connaissance utile au savoir institué42 ? Comment réussit-on une institutionnalisation ? Comment reconnaît-on la solution à un problème comme étant idoine à celle qui était visée et attendue par l’institution ? Toutes ces questions nécessitent des conversions entre Intentionnalité intrinsèque et Intentionnalité dérivée (ou Intentionnalité comme-si). Plus largement, un espace très vaste de questions s’ouvre à propos des phénomènes didactiques : peut-on décrire le contrat didactique en termes de variations de l’espace de l’Intentionnalité didactique ? Comment fonctionne la dévolution ? Comment s’opère-t-elle ? Comment fonctionne l’institutionnalisation ? Comment s’opère-t-elle ? Comment s’effectuent les transformations entre les différents types de contrats didactiques et non didactiques ? Comment s’opèrent les transformations des différents types de rapports au savoir ? Comment s’effectue la disparition des intentions premières ?