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Éloge du flou

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Arturo Sangalli

Appendice 1. Les inférences floues

Texte intégral

LES INFÉRENCES FLOUES COMME APPLICATIONS

1Une règle d’inférence floue typique a la forme

Si x est A et y est B, alors z est C

A, B et C sont des sous-ensembles flous des univers X, Y et Z, respectivement, c’est-à-dire sont des fonctions

A : X

[0,1]

B : Y

[0,1]

C : Z

[0,1],

des univers à l’ensemble [0, 1] des nombres réels entre 0 et 1.

2Une règle d’inférence floue est interprétée mathématiquement comme définissant une application de sous-ensembles flous à sous-ensembles flous. Le sous-ensemble flou C′ de Z qui correspond à la paire A, B de sous-ensembles flous de X et Y, respectivement, est, par définition,

où ⋁ signifie maximum (ou supremum, si X ou Y est un ensemble infini) et ∧ signifie minimum.

DIGRESSION : DÉDUCTIONS FLOUES ET MODUS PONENS

3Dans la logique classique, le modus ponens est la règle de déduction par laquelle la vérité de la proposition Q résulte de la vérité de la proposition conditionnelle « si P, alors Q » et de l'affirmation P. Cela s’écrit généralement comme suit :

si P, alors Q

4Une règle d’inférence floue a la forme d’une proposition conditionnelle ; la tentation est alors grande de voir C′ résulter de la conclusion d’une déduction « floue » en écrivant

si x est A et y est B, alors z est C

5Dans le cas particulier A′ = A et B′ = B, la déduction floue ci-dessus serait formellement identique au modus ponens à condition que C′ = C. Or, si A =A′ et B = B′ dans (1), alors

et donc C′ n’est pas nécessairement égal à C. Ce fait a été interprété par certains comme signifiant que le modus ponens s’effondre dans la logique floue. (En fait, si pour un certain∊ X et ∊ Y nous avons A(x) = 1 et B(y) = 1, alors C′ = C. Le lecteur est invité à vérifier cela.)

LA SORTIE FLOUE

6Dans le cas général, il y a n règles d’inférence floue :

si x est A1 et y est B1, alors z est C1
si x est A2 et y est B2, alors z est C2

si x est An et y est Bn, alors z est Cn.

7L’application (mapping) définie par cet ensemble de règles associe à la paire d’entrée (A, B′) de sous-ensembles flous le sous-ensemble flou de Z défini par :

8Dans les applications du contrôle flou, un ensemble de règles d’inférence floue peut être interprété comme une fonction z = f(x,y) qui ne peut être décrite parfaitement par une équation mathématique. Supposons que les valeurs d’entrée (numériques) soient x =x0 et y =y0. Ces nombres sont employés pour définir les sous-ensembles (ordinaires) A′ = {x0} et B' = {y0} en tant que fonctions de la manière habituelle : A′(x0) = 1, et A′(x) = 0 pour xx0 ; B′(y0) = 1, et B′(y) = 0 pour≠ y0.

9Le côté droit de (2) peut maintenant se simplifier par la constatation que A′ (x0)B′(y0) =11 = 1 ; et A′ (x)B (y) = 0 pour tout (x,y)≠(x0,y0), de sorte que (2) se réduit à

10Par exemple, si n = 2, (3) devient

C′(z) = (A1(x0)∧B1(y0)∧C1(z))∨(A2 (X0))∧B2(y0)∧C2(z))

ou

C′ (z) = max{min{A1(x0),B1 (y0),C1 (z)},
min {A2 (x0),B2 (y0), C2 (z)}}

ANNULATION DU FLOU

11La procédure pour obtenir une valeur numérique unique z = z0 à partir de la sortie floue C′ est appelée annulation du flou. La méthode du centre de gravité est une des plus courantes. Si—comme c’est souvent le cas—l’univers Z est fini, disons Z = {z1, z2,..., zm}, alors le centre de gravité z0 peut être calculé avec la formule

12Ensemble, les équations (3) et (4) définissent la sortie z = z0 à partir des valeurs d’entrée x =x0 et y =y0. Elles constituent une des nombreuses définitions raisonnables de la fonction mathématique z = f(x, y) décrite par un ensemble donné de règles d’inférence floue. Beaucoup de variantes soit de la sortie floue soit de la méthode d’annulation du flou ont servi dans des applications particulières. Par exemple, l’annulation du flou peut aussi se réaliser par le choix du nombre z0 avec le plus grand degré d’appartenance à C’ (ou par leur moyenne arithmétique, s’il y en a plus d’un).

© Presses de l’Université de Montréal, 2001

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