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Genèse médiévale de l'anthroponymie moderne. Tome II-2 : Persistances du nom unique

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Monique Bourin
, 
Pascal Chareille

Éléments pour un traitement statistique des données anthroponymiques

Pascal Chareille

Texte intégral

1Il est assez habituel de considérer que, pris dans son ensemble, le travail statistique se décompose en cinq grandes phases :

  • Conception : délimitation d'un cadre d'étude, définition des objets étudiés, des unités statistiques, élaboration d'un questionnaire et d'un plan de sondage.
  • Collecte : recueil et codage1 des données.
  • Apurement : vérifications et contrôles, traitement des cas aberrants.
  • Description statistique : représentations graphiques, calculs d'indicateurs, recherche de liens.
  • Modélisation : étude du modèle probabiliste qui a engendré les données, spécification d'un modèle "explicatif".

2Chacune de ces étapes développe ses propres méthodologies mais lorsque l'étude concerne des données anthroponymiques, certaines peuvent intéresser tant le statisticien que le spécialiste. En fait, les sciences humaines dans leur ensemble constituent fort naturellement un des domaines privilégiés de l'analyse des données ; avant de dégager des lois, il faut, de la foule des observations accumulées, essayer d'extraire des variables indépendantes susceptibles de caractériser les individus et les comportements ; il faut aussi chercher à identifier et à décrire les relations qui peuvent exister entre elles.

  • 2 Un enregistrement informatisé des données avec le programme "Nomen" (ou tout autre programme spéci (...)

3Un traitement statistique des données anthroponymiques doit fournir des modes de représentation standardisés permettant la communication entre historiens et la comparaison des enquêtes. Chacun, confronté à sa propre documentation, est amené à faire un certains nombre de choix ; il est clair que la validité des résultats est d'autant plus grande qu'ils ne sont pas arbitraires et que, dans des circonstances identiques, ils sont les mêmes pour tous. Aussi, il parait indispensable de chercher à normaliser les dépouillements2 et, dans la mesure des possibilités, de parvenir à uniformiser les procédés de traitement ainsi que les critères de codification de manière à ce que les résultats obtenus dans les diverses études puissent être simplement et légitimement comparés. Cette motivation conduit à recommander l'utilisation d'un certain nombre de tableaux et de graphiques types qui peuvent parfois sembler mal adaptés à certaines documentations, mais qui doivent permettre une comparaison plus rapide et plus simple des divers résultats, facilitant ainsi le travail de synthèse nécessaire à la mise en évidence d'un certain nombre de points fondamentaux. Le respect par tous de règles identiques quant aux procédures de traitement garantit l'homogénéité et donc la qualité de l'information obtenue et transmise.

  • 3 Une gestion informatique des données devrait autoriser une plus grande diversité dans les traiteme (...)
  • 4 Les problèmes méthodologiques spécifiques, et les choix retenus pour leur traitement ont été préci (...)

4Pour que la comparaison des séries puisse s'appuyer sur des procédures mieux coordonnées, il faut s'accorder sur le choix du traitement statistique3 ; une fois réglés les problèmes méthodologiques inhérents à une telle enquête4, c'est le choix des modèles mathématiques les mieux adaptés à la description des comportements anthroponymiques qui doit être précisé.

5En tout état de cause, qu'il soit manuel ou informatisé, le traitement passe par l'exécution d'algorithmes de tris et de calculs dont l'élaboration et la mise au point sont du ressort de l'anthroponymiste, mais dont l'adaptation et l'optimisation peuvent faire l'objet d'un travail statistique pointu. La connaissance du problème tout comme celle des procédures et méthodes de calculs semblent indispensables pour maîtriser l'analyse et exploiter au mieux la documentation.

***

6Dès le début de cette enquête d'anthroponymie médiévale, avec les premiers dépouillements et les premières impressions, sont nées un certain nombre d'interrogations :

  1. Comment le stock onomastique s'est-il réduit ? Est-il possible de préciser le rythme et les mécanismes de cet appauvrissement ? Les choix se sont-ils portés davantage sur certains noms, y a-t-il eu réduction globale du patrimoine (moins de noms rares et augmentation homogène du nombre moyen d'individu par nom) ? Est-il envisageable de formaliser le processus, éventuellement de le simplifier, le paramétrer, et enfin de l'estimer ?
  2. La transformation du système anthroponymique, ajoutant un surnom au nom, est-elle corrélée, et suivant quelles modalités, à ce phénomène d’appauvrissement5 ? Quelle est la part effective des problèmes d’homonymie dans cette évolution ?
  3. Quelle réalité nos résultats nous permettent-ils réellement d'appréhender, en particulier, quelle est leur validité lorsqu'ils sont établis sur de petits échantillons ?

7La nature de cette étude exigeait donc la conception d'un certain nombre d'indicateurs spécifiques susceptibles de décrire au mieux et de la façon la plus "scientifique" possible ce que suggéraient les premières impressions. Dans bien des cas, elles ont pu être confirmées, parfois précisées. Les outils statistiques qui ont été établis à cet effet ont pu être affinés au fur et à mesure qu'avançaient les recherches, et avec elles une formulation de plus en plus précise des questions.

8Il reste cependant encore beaucoup à faire, en particulier à prendre la mesure exacte d'un certain nombre d'éléments juste entrevus à ce jour.

  • 6 Cf. infra "Analyse Factorielle".

9A ce stade de l'enquête, et dans la mesure où les dépouillements ont été essentiellement manuels, il était difficile d'aller beaucoup plus loin dans l'analyse quantitative. Tôt ou tard se serait posé le problème de la complexité et de la multiplicité des traitements. Il semble que le recours à un outil de calcul puissant soit nécessaire pour exploiter de façon plus systématique l'ensemble des informations recueillies6 ; seul un enregistrement informatisé des données peut permettre de l'envisager.

***

10Avant de présenter dans la dernière partie de cette contribution les outils spécifiques développés dans le cadre de cette étude, en précisant dans quelle mesure ils apportent des réponses plus ou moins complètes aux interrogations précédentes, un certain nombre de rappels statistiques sont proposés. Leur objet est d'expliquer les structures du raisonnement en analyse des données et de justifier la construction et le choix de nos indicateurs. Leur liste n'est bien entendu pas exhaustive, et la suite de l'étude, en particulier l'analyse des problèmes de dévolution, suscitera à coup sûr la construction de nouveaux instruments.

I. Vocabulaire élémentaire de la statistique

11Certains mots d'usage courant peuvent prendre dans le contexte statistique une signification particulière. Il peut être utile de rappeler le vocabulaire élémentaire usuel en la circonstance, en précisant quelques uns des termes qui font l'objet d'une définition propre.

a. Population / Échantillon / Individu

  • 7 Pour éviter toute ambiguité, les mots "caractère", "individu" et "population" devraient en toute r (...)

12Les données d'une étude quantitative permettent d'étudier certains caractères chez les individus d'une population7. L'étude peut être menée soit en considérant la totalité des individus, soit en se bornant à un certain nombre d'entre eux choisis comme échantillon de l'ensemble.

  • 8 L'échantillonnage est la technique du prélèvement des individus d'une population qui constituent l (...)
  • 9 L'inférence (ou l'induction) statistique consiste à utiliser les informations fournies par un écha (...)

13En pratique, l'information disponible n'est que rarement issue d'un recensement (ou relevé exhaustif) dans lequel l'ensemble de la population est "questionné" ; on a plus souvent recours à la méthode des sondages où seul un échantillon est pris en compte, soit parce qu'il est matériellement impossible d'examiner tous les individus de la population de base, soit parce que cette population-mère (ou population-parent, ou population de référence) et donc ses caractéristiques quant aux variables étudiées est inconnue (ce qui est le cas dans des études d'anthroponymie médiévale), soit enfin pour des raisons de formalisation, toute situation ne pouvant se ramener à l'étude d'un caractère sur un référentiel fini. L'échantillonnage8 est donc une opération très importante dont dépend la fiabilité des informations que l'étude d'un échantillon permet d'obtenir sur la population-mère ; la taille de l'échantillon (il s'agit du nombre de ses éléments), mais aussi sa "nature" (il s'agit de la façon dont il a été constitué) sont deux éléments essentiels dans l'inférence statistique9.

14On distingue échantillon aléatoire où les individus sont choisis au hasard, et échantillon représentatif où l'on procède à un choix "raisonné" :

  • Un échantillon est aléatoire si tous les individus de la population ont la même chance d'être prélevés. Son avantage est sa simplicité qui garantit des estimations non biaisées10 pour la population de référence. Un autre avantage important est que l'incertitude d'échantillonnage peut être évaluée et donc controlée.
  • Un échantillon représentatif, quant à lui, doit être une image réduite et fidèle de la population ; il n'est envisageable que dans le cas où la population-mère est connue (c'est à dire dans le cas où l’on dispose d'informations sur ses caractéristiques, au moins en ce qui concerne les variables dont on pense qu'elles influencent le phénomène étudié ; pour chaque modalité des différents caractères retenus pour décrire ces facteurs, l'échantillon doit contenir un nombre précis d'individus présentant cette modalité (méthode des quotas).
  • 11 Un échantillon aléatoire (e.a.) est un échantillon aléatoire simple (e.a.s.) si les prélèvements s (...)
  • 12 La nécessaire distinction entre "partie principale première", "partie principale seconde" et "autr (...)

15Il semble délicat de juger dans le présent contexte de la représentativité des divers échantillons servant de base aux enquêtes puisqu'aucune information exhaustive sur les populations de référence n'est à notre disposition. En revanche, il semble raisonnable de considérer ces échantillons comme des échantillons aléatoires simples11 dans la mesure où toutes les formes anthroponymiques relatives à un même document ont été prises en compte dans l'enquête12 (c'est en tout cas un des principes méthodologiques qu'il faut s'efforcer de suivre pour ne pas remettre en cause la validité statistique des résultats d'ensemble, tout choix d'une forme sur une autre relevant nécessairement de l'arbitraire).

b. Caractère statistique

16Les critères qui sont retenus lors de l'étude de la population (ou d'un échantillon) permettent donc de définir les caractères qui font l'objet d'un traitement. On distingue caractère quantitatif et caractère qualitatif :

17• Un caractère est dit quantitatif lorsqu'il est mesurable (i.e. numérique). À chaque unité statistique (individu de la population) correspond alors un nombre qui est la valeur (ou la mesure) du caractère.

18Par exemple, le "nombre d'individu(s) par nom (nomen proprium)" est un caractère quantitatif (il s'agit bien d'un nombre). Il est défini sur l'échantillon statistique du "corpus des noms attestés" d'une certaine tranche chronologique. Chacun des noms de ce corpus correspond à un individu statistique de l'échantillon, mais cet individu statistique n'est pas un individu humain : plusieurs individus humains peuvent porter le même nom (individu statistique). Le "nombre moyen d'individu(s) par nom" est défini comme la valeur moyenne de ce caractère, et le "stock pour 100 individus" n'est rien d'autre que l'inverse, exprimée en %, de ce nombre moyen.

19L'ensemble des valeurs prises par un caractère quantitatif définit un ensemble de nombres.

20• Un caractère est qualitatif (i.e. nominal, i.e. non mesurable) s'il n'est pas quantitatif. À chaque unité statistique correspond alors une modalité.

21Par exemple, le "nomen proprium" est un caractère qualitatif (ce n'est pas un nombre) défini sur l'échantillon des "formes anthroponymiques" d'une certaine tranche chronologique. Chacun des nomina propria attestés est alors une des modalités de ce caractère.

22Les diverses modalités d'un caractère qualitatif constituent les rubriques d’une nomenclature (ou classification). Elles doivent être exhaustives et mutuellement incompatibles, de telle sorte qu’un individu puisse être classé dans une et une seulement.

23La nomenclature qui correspond au caractère "nomen proprium" est le "corpus des noms attestés" dans la tranche.

24Dans certains cas, pour procéder au classement des unités statistiques suivant un caractère qualitatif, il est possible d'établir une nomenclature a posteriori. En fonction de la nature de l'information dont on dispose, ou de l'objet de l'étude que l'on effectue, on peut fixer plus ou moins conventionnellement le nombre de modalités selon lesquelles on considère le caractère. Ainsi, certains caractères qualitatifs comme "sexe" ou "état" peuvent ne présenter qu'un petit nombre de modalités (respectivement deux et trois : "homme/femme" et "laïc/clerc/indéterminé") ; cette situation, un peu particulière, donne lieu à un traitement spécifique qui consiste souvent à n'envisager que deux modalités disjonctives (respectivement "homme/non-homme" et "laïcs (certains)/autres").

c. Effectif/Fréquence

25L'effectif (ou fréquence absolue) d'une valeur ou d'une modalité est le nombre de fois où elle apparaît. C'est le nombre d'individus pour lesquels le caractère prend cette valeur ou cette modalité.

26Par exemple, dans l'étude du caractère qualitatif "nomen proprium", chacun des noms est affecté d'un effectif (ou fréquence absolue) qui est le nombre ni de ses occurrences dans la tranche chronologique envisagée.

  • 13 Le symbole "n" est habituellement utilisé en statistique pour désigner la taille d'un échantillon  (...)

En rapportant ce nombre d'occurrences au nombre total n de noms de la tranche (n désigne l'effectif total de l'échantillon13 : n = Σ ni, où Σ est le symbole usuel utilisé pour définir une somme), on définit le rapport Image appelé fréquence (ou fréquence relative) de la modalité. En pratique, on exprime les fréquences en pourcentages.

27On définit de la même façon la fréquence d'une valeur dans le cas d'un caractère quantitatif.

d. Effectif cumulé / Fréquence cumulée

28• On peut "ranger" dans un ordre prédéterminé plus ou moins arbitraire les différentes modalités d'un caractère qualitatif.

29Lorsqu'on dresse, par exemple, un palmarès des noms de baptème (nomina propria), l'ordre s'impose assez naturellement : le nom ayant le plus grand succès (i.e. d'effectif maximal) est rangé en premier, celui dont l'effectif suit en second, etc... On définit alors l'effectif cumulé croissant jusqu'à la modalité k du caractère (k désigne dans l'exemple précédent l'un des noms du corpus) comme la somme des effectifs associés aux modalités "inférieures ou égales" à k (i.e. rangées avant la modalité (le nom) k). On définit de la même façon la fréquence cumulée croissante jusqu'à la modalité k en additionnant les fréquences associées aux modalités "inférieures ou égales" à k.

30• Si le caractère étudié est quantitatif, les définitions sont analogues. Les différentes valeurs du caractère sont "rangées" dans l'ordre naturel (c'est à dire de la plus petite à la plus grande ou de la plus grande à la plus petite). Il faut noter que dans ce cas, ce sont les valeurs du caractère que l'on range et non les effectifs correspondants à ces valeurs.

  • 14 Cf. note 13 : nous avons noté "D" le nombre de noms différents du corpus et "T" la somme Σnixi qui (...)

31Par exemple, l'étude du caractère quantitatif "nombre d'individu(s) par nom (nomen proprium)" conduit (en rangeant les valeurs de la plus petite à la plus grande) à préciser combien de noms (du "corpus des noms attestés") ne sont portés que par un seul individu (nombre de "noms rares"), puis combien ne le sont que par deux, combien ne le sont que par trois, etc... Les valeurs xi du caratère (xi = 1, 2,...) font alors référence à un nombre d'individus (humains) et les effectifs correspondant ni à un nombre de noms du corpus (nombre n1 de noms portés par un seul individu, nombre n2 de noms portés par deux individus, etc...). La somme des effectifs (Σ ni) est le nombre de noms différents du corpus, et la somme Σ nixi le nombre d'individus (humains) de l'échantillon14 (en fait, le nombre de formes anthroponymiques puisqu'à ce stade de l'enquête, l'analyse prosopographique n'a pas en général permis de faire la distinction entre individu (humain) et forme anthroponymique).

e. Série statistique

32Lorsqu'un échantillon est étudié suivant un seul caractère, les différentes valeurs (ou modalités) du caractère et les effectifs correspondants définissent une série statistique à un caractère (ou distribution à une dimension). Lorsque l'échantillon est étudié suivant deux (ou plusieurs) caractères simultannés, on définit de la même façon une série à deux (ou plusieurs) caractères.

f. Paramètres d'une série statistique

  • 15 En toute rigueur, on distingue les caractéristiques d'une population qui sont des paramètres, et l (...)

33Les paramètres statistiques sont les indicateurs retenus pour caractériser une série statistique15.

  • 16 Le calcul de ces paramètres usuels ne fait pas l'objet d'un développement particulier à ce stade d (...)

34• Dans le cas d'un caractère quantitatif, les paramètres usuels16 (de nature numérique) sont :

  • la moyenne, la médiane, le mode (paramètres de tendance centrale)
  • la variance, l'écart-type (paramètres de dispersion)
  • l'indice de concentration (ou de Gini) (paramètre de concentration)
  • 17 Cf. infra.

35Bien entendu, il ne s'agit pas d'une liste exhaustive et chaque étude peut donner lieu à la construction d'indicateurs spécifiques17.

36• Dans le cas d'un caractère qualitatif, le seul paramètre véritablement usuel (de nature non numérique) est :

37- le mode (modalité d'effectif maximal).

38Par exemple, dans l'étude du caractère qualitatif "nomen proprium", le mode est le nom d'effectif maximal (i.e. celui le plus souvent attesté dans la tranche chronologique étudiée).

39Une série peut présenter plusieurs modes (c'est le cas lorsque plusieurs noms sont également attestés et que l'effectif correspondant est l'effectif maximal). Dans le cas où le mode est unique, on parle de série unimodale (ou distribution unimodale).

II. Éléments de probabilités

40Lorsque le traitement statistique est réalisé à partir de données provenant d'un échantillon, la phase descriptive doit être suivie d'une phase inductive.

41Cette induction consiste à :

  • envisager, à partir des données de l'échantillon, un modèle réduit d'un ensemble (la population) ayant trop d'éléments pour qu'on puisse les étudier tous.
  • estimer à partir de ce modèle certaines caractéristiques de l'ensemble tout entier (moyenne, écart-type, fréquences dans le cas d'un caractère quantitatif).
  • utiliser ce modèle pour tester des hypothèses faites sur la population de référence.

42Se pose donc le problème de l'étude du modèle probabiliste susceptible d'avoir engendré les données de l'échantillon (i.e. susceptible d’avoir donné naissance aux corpus observés). En outre, lorsque plusieurs solutions peuvent être envisagées, il faut chercher à préciser le modèle de plus grande vraisemblance.

43C’est essentiellement au calcul des probabilités qu’il est nécessaire de faire appel pour expliciter ce "passage" de l'échantillon à la population-mère et donc pour justifier nos choix et préciser la fiabilité de nos résultats.

44Le recours à la formalisation mathématique (modélisation) est nécessaire ; il passe par une description ensembliste (un peu formelle...) de la situation.

45Toutefois, les développements mathématiques ont été réduits au minimum nécessaire à l'exposition rigoureuse des concepts ; des exemples issu de "cas réels" sont proposés et détaillés afin de fournir au lecteur peu familiarisé avec la formulation mathématique une illustration concrète des propositions.

a. Variable aléatoire

46La population est définie comme l'ensemble (souvent noté Ω) des objets mathématiques attachés à un certain corpus (celui qui correspond au critère envisagé lors de l'étude d'un caractère particulier) ; un échantillon est alors une partie E de Ω.

47Chaque caractère statistique est associé à une variable aléatoire (v.a.) souvent notée X.

48Lorsque le caractère est quantitatif, la variable aléatoire est dite réelle (v.a.r.) ou quantitative.

  • 18 Pour un caractère quantitatif, l'ensemble en question H est alors un ensemble de nombres (sous-ens (...)

49A l'ensemble Ω (ou univers des possibles), on associe l'ensemble H = X(Ω) appelé univers image (c'est l'ensemble des valeurs de la v.a.r. X pour un caractère quantitatif18, et l'ensemble des modalités de la v.a. X pour un caractère qualitatif).

50Une variable aléatoire X peut alors se définir comme une application de l'ensemble Ω (population) dans l'ensemble H (univers image).

51• Si X est une variable aléatoire réelle (v.a.r.), à chaque élément ωi de Ω (individu), on associe le nombre noté xi qui correspond à la valeur prise par la v.a.r. X, après expérience ou tirage, pour l'individu ωi. (X(ωi), noté xi, est l'élément de H image de ωi par l'application X).

52Les valeurs x1, x2,..., xn sont les réalisations (ou valeurs observées ou issues) de la variable X pour n individus de la population.

53• Si X est une variable aléatoire non réelle (ou qualitative), à chaque élément ωi de Ω (individu), on associe la modalité xi qui correspond à la valeur prise par la v.a. X, après expérience ou tirage, pour l'individu ωi, Les modalités x1, x2,..., xn sont les réalisations (ou les observations) de la variable X pour n individus de la population.

54Une variable qualitative (ou nominale) est donc une application de l'ensemble Ω des individus dans un ensemble fini sur lequel on ne considère aucune structure : par exemple un ensemble de noms (nomina propria). Ainsi, on parle par exemple de la v.a. X : "nomen proprium" définie sur la population Ω des "formes anthroponymiques" d'une certaine tranche chronologique ; les réalisations de X sont les modalités du caractère correspondant, c'est à dire les nomina propria attestés dans la tranche en question.

55Une v.a. X est parfaitement déterminée lorsque les réalisations de cette v. a. sont données pour tous les individus de la population, ce qui n'est pas le cas lorsqu'on travaille sur un échantillon.

56On dit qu’on dispose d'un n-échantillon X = (X1, X2 …, Xn) de la v.a. X0 pour dire qu'on dispose de n variables X1, X2,..., Xn indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) (de distribution identique à celle de la v.a. X0).

57En pratique, disposer d'un n-échantillon de la v.a. X0, c'est disposer d'un échantillon de taille n de la population et de la donnée des observations (indépendantes) (x1, x2,..., xn) de la v.a. X0 pour les n individus en question. On est donc amené à confondre la variable X0 en tant qu'objet mathématique (application de Ω dans H) avec les observations xi de cette variable (ce qui se justifie par le fait que la variable n'est déterminée que par les observations disponibles pour les individus d'un échantillon).

b. Loi de probabilité

58On peut s'intéresser par exemple à la partie A de Ω telle que X(A) = {x}.

59"A" est l'événement de Ω associé à l'élément x de H (x désigne un nombre si la variable est quantitative, une modalité si elle est qualitative).

60Par exemple, pour la variable X : "nomen proprium", on peut définir la partie A de Ω correspondant aux individus (en fait, aux formes anthroponymiques) de la population-mère pour lesquels la réalisation de X est "Maria". Définir une probabilité sur H, c'est être en mesure de préciser la probabilité d'obtention de chacune des réalisations de la v.a. X, donc en particulier la probabilité qu'un individu pris au hasard dans Ω se nomme Maria. Cette probabilité est connue avec certitude si tous les individus de la population-mère le sont (en fait si les réalisations de la v.a. X le sont pour chaque individu de Ω).

  • 19 L'idée est que la connaissance des individus et celle des réalisations de la variable pour ces ind (...)

61On peut donc définir sur H une probabilité à partir de celle définie sur Ω19.

62La probabilité P ainsi définie sur H est appelée probabilité image par X de la probabilité p définie sur Ω (ou loi de probabilité de la variable aléatoire X).

63En pratique, si l'univers image est fini (soit H = (x1, x2,..., xn), déterminer la loi de probabilité de H revient à déterminer les probabilités : p1 = P(X = x1), p2 = P(X = X2),..., pn = P(X = xn) de chacun des événements élémentaires de P (c'est à dire, pour une v.a.r. la probabilité que chacune des valeurs possibles puisse être observée, et pour une variable qualitative la probabilité que chacune des modalités le soit).

64Les différentes variables associées aux caractères étudiés définissent donc des lois de probabilité.

  • 20 La probabilité est la fréquence idéale correspondant à un nombre infini d'observations. Cf. infra (...)

65On distingue la notion de probabilité (modèle mathématique) de celle de fréquence (modèle statistique) qui résulte d'une réalisation expérimentale. En quelque sorte, les probabilités "idéalisent" les fréquences de réalisation des issues xi au cours d'une expérience20.

66Une distribution de probabilité porte sur les probabilités classiques (probabilité a priori) associées à toutes les valeurs ou modalités accessibles à une variable aléatoire. Dans la mesure où ces probabilités sont fixées a priori, sans aucune expérimentation, une distribution de probabilité est souvent considérée comme une distribution théorique de fréquences (relatives). Pareille distribution diffère d'une distribution empirique de fréquences, laquelle rapporte, pour chaque événement aléatoire, le nombre de cas où il se produit effectivement au nombre total d'essais ou d'observations effectuées.

67Dans la phase descriptive du traitement statistique (étude d'un échantillon), on établit une distribution empirique de fréquences (par exemple celle des nomina propria). C'est à partir de cette distribution empirique qu'on cherche à établir la distribution théorique correspondant (étude de la population-mère).

68Pour que le modèle théorique retenu soit satisfaisant, il faut qu'au fur et à mesure que l'on augmente la taille de l'échantillon (à supposer que cela soit possible), la distribution empirique des fréquences "tende" à se stabiliser sur la distribution théorique (on parle de convergence de la fréquence vers la probabilité).

c. Fonction de répartition

69La fonction de répartition FX de la variable aléatoire réelle X est la fonction qui à tout x ϵ IR associe la probabilité P(X ≤ x). Elle représente les fréquences cumulées "idéales", et en est donc une formalisation mathématique.

d. Caractéristiques d'une variable aléatoire réelle

70Reprenons, par exemple, l'étude de la variable aléatoire réelle X : "nombre d'individu(s) par nom". À partir de la liste des noms ordonnés selon les effectifs décroissants (ou palmarès des noms), on peut préciser combien de nomina propria ne sont portés que par un seul individu (nombre de "noms rares"), puis combien ne le sont que par deux, combien ne le sont que par trois, etc... Caractériser cette distribution, c'est définir un (ou des) indicateurs susceptibles de la décrire le plus simplement possible. On peut par exemple retenir, comme cela a été fait presque systématiquement, le nombre moyen d'individu(s) par nom. Quel est la formalisation mathématique d'un tel paramètre ? Que mesure-t-il exactement ? Quels sont les éléments qu'il ne permet pas d'appréhender ?

1. Espérance

71Étant donnée une variable aléatoire réelle X prenant un nombre fini de valeurs x1, x2,..., xn avec les probabilités p1, p2,..., pn, on définit l'espérance mathématique E(X) de la v.a. X par :

Image

C'est la moyenne pondérée des xi avec les coefficients pi. Elle donne la "valeur moyenne" de la fonction X (mais ne donne aucun renseignement sur la dispersion de X autour de cette valeur moyenne). Par analogie avec la moyenne statistique, elle peut aussi être notée Image.

  • 21 Cf. infra "Estimations".

72La formule montre que le calcul (exact) de E(X) n'est possible que si toutes les valeurs x1, x2,..., xn ainsi que les probabilités correspondantes p1, p2,..., pn sont connues. Lorsque la v.a. X est définie sur une population et que le traitement est réalisé à partir d'un échantillon {x1, x2,..., xp} de p valeurs de cette variable, le calcul exact de E(X) est impossible ; on procède alors à un calcul approché ou estimé21.

73L'espérance d'une v.a. X est une formalisation mathématique de la moyenne statistique. Dans le cas de l'espérance, les coefficients de pondération sont les probabilités, dans celui de la moyenne, les fréquences observées.

Lorsque la taille d'un échantillon augmente, la moyenne Image des valeurs x1, x2,..., xp observées sur cet échantillon tend vers la valeur (exacte) de E(X) (qui concerne la population) ; on peut parler de "convergence" de Image vers l'espérance E(X) de la v.a.r. X,

2. Variance

74Pour connaître et préciser la dispersion de X autour de la valeur moyenne E(X), on est amené à introduire la variance et l'écart-type de X. La variance Var(X) de la variable aléatoire X est définie par :

Image

75C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts des valeurs de X à l'espérance E(X).

76Il s'agit d'un indicateur susceptible de distinguer deux variables aléatoires réelles de même moyenne mais présentant des caractéristiques différentes quant à leur dispersion.

77Pour reprendre l’exemple déjà évoqué de la v.a.r. "nombre d'individu(s) par nom", deux tranches chronologiques peuvent présenter le même nombre moyen d'individu(s) par nom alors que la "gestion" des deux corpus correspondant peut relever de deux modes de fonctionnement anthroponymique très différents ; tous les noms de l'un des corpus peuvent être également attestés, alors que ceux de l'autre corpus peuvent l'être de façon très inégale, les uns attestés en grand nombre, les autres restant très rares. Il semble essentiel de pouvoir distinguer ces deux situations qui ne correspondent pas à des procéssus de réduction du stock onomastique identiques, et dont les conséquences quant aux éventuels problèmes d'homonymie sont très différentes.

78Comme en ce qui concerne le calcul de E(X), celui de Var(X) n'est possible que si l'ensemble des valeurs x1, x2,..., xn ainsi que les probabilités correspondantes p1, p2,..., pn sont connues ce qui n’est pas le cas lorsque le traitement est réalisé à partir d’un échantillon ; on procède alors à un calcul estimé.

3. Écart-type

79Comme la variance, l'écart-type permet de comparer deux variables aléatoires plus ou moins dispersées ; il a pour avantage par rapport à la variance d'être "homogène" c'est à dire qu'il s'exprime dans les mêmes unités que X.

80L’écart-type σ(X) de la variable aléatoire X est défini par :

Image

  • 22 Cf. infra "Estimation - estimation par intervalle de confiance", où ces calculs sont explicités po (...)

81À partir du "palmarès complet des noms (nomina propria), il est possible de calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la v.a. X : "nombre d'individus par noms"22. Ces indicateurs nous renseignent sur la "gestion" du stock onomastique. En comparant plusieurs tranches chronologiques, on peut alors mettre en évidence des disparités qui ne seraient pas perceptibles avec le seul "nombre moyen d'individus par noms". En effet, à moyenne égale, un plus grand écart-type témoigne d'une plus grande dispersion dans la distribution des noms : certains peu portés sont nombreux tandis que d'autres très portés sont en petit nombre.

e. Loi de distribution statistique

  • 23 Cf. infra "Tests - tests de validation d’un modèle".

82Un petit nombre de modèles probabilistes (ou lois de probabilité) suffisent pour décrire la plupart des phénomènes statistiques, et ce de façon beaucoup plus précise que le simple calcul d'indicateurs d'échantillons. Il est donc d'usage de rechercher dans le catalogue des modèles les plus courants celui qui est susceptible de convenir à la description d'un phénomène dont l'observation a fourni une distribution expérimentale (ou empirique) "d'allure connue". Il reste alors à tester la validité du modèle retenu23 (i.e. s'assurer que les écarts observés entre les fréquences empiriques et les fréquences théoriques peuvent être raisonnablement attribués au hasard).

1. Loi de Bernoulli24 ou loi indicatrice

  • 24 Jacques Bernoulli (1654-1705) : mathématicien. Il a formulé la "loi faible des grands nombres".

83Pour modéliser une situation qui peut se réduire à un tirage (fictif...) dans un ensemble contenant deux catégories d'éléments dont l'une possède un caractère privilégié (décomposition en deux catégories éventuellement arbitraire ; par exemple : "formes anthroponymiques à 1 élément / formes anthroponymiques à plus de 1 élément", "nobles/autres", "Giraldus / autres", etc...), on définit une variable de Bernoulli (ou variable indicatrice).

84Cette variable X0 prend pour valeur :

851 si l'élément tiré possède le caractère privilégié ("succès")

860 sinon ("échec")

87Si p est la probabilité de l'événement "succès" (par exemple la probabilité de tirer un Giraldus) la loi de probabilité de la variable X0 est alors :

Xi

1

0

P(X0 = xi)

p

1-p

88Les caractéristiques de X0 sont :

  • espérance : E(X0) = p
  • variance : Var(X0) = p(1-p)

89On dit que la v.a.r. X0 suit une loi de Bernoulli.

2. Loi binomiale

90On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi binomiale lorsqu'elle compte le nombre d'occurences d'un résultat de probabilité p dans une répétition, dans des conditions identiques, d'une même épreuve.

91Définition explicite : une v.a.r. X suit une distribution binomiale de paramètres n et p (notée B(n,p)) (n ϵ IN et 0 ≤ p ≤ 1) lorsque :

Image

92P(X = k) est la probabilité d'obtenir k occurrences d'un même résultat au cours d'une répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

93Si la probabilité p de tirer un Giraldus dans la population-mère est connue (par exemple p = 0,12), la formule précédente permet de calculer la probabilité de trouver quatre Giraldus dans un échantillon de 20 individus (c'est à dire la proportion (théorique) attendue de Giraldus dans cet échantillon) :

On a Image soit environ 13 %.

94En pratique, dans le cadre d’une étude d’anthroponymie, la situation est quelque peu différente puisque la probabilité p est inconnue ; c'est l'échantillon qui doit permettre de présumer de sa valeur.

95Caractéristiques de la loi binomiale :

  • espérance : E(X) = np
  • variance : Var(X) = np(1-p)

3. Loi de Poisson25

  • 25 Denis Poisson (1781-1840) : mathématicien.

96La loi de Poisson correspond à la modélisation d'une situation où p est petit ; c'est la loi des phénomènes rares. On peut remplacer les probabilités associées à une loi binomiale B(n,p) par celles d'une loi de Poisson de paramètre m = np lorsque p est petit (p < 0,1), n est grand (n > 50), et m < 1 5. L'erreur commise dans le calcul des probabilités P(X = k) avec une telle approximation est alors inférieure à 1/1000e.

97Caractéristiques de la loi de Poisson :

  • espérance : E(X) = m = np
  • variance : Var(X) = m

4. Variables aléatoires réelles continues

98Dans les deux lois précédentes, binomiale et de Poisson, la variable aléatoire réelle prenait uniquement des valeurs entières ; dans une telle situation on dit qu'elle est discrète (ou discontinue). Dans d'autres modèles, elle peut prendre toute valeur d'un intervalle de IR ; on dit alors qu'elle est continue.

99Par exemple, la variable "nombre d'individu(s) par nom" est une v.a.r. X continue puisqu'elle peut prendre toute valeur de l'intervalle]0;+∞[.

100Lorsque la fonction de répartition de la loi d'une v.a.r. continue est définie et dérivable sur un intervalle de IR, on définit la densité de la loi de X comme la fonction dérivée de la fonction de répartition de cette loi.

5. Loi normale ou de Laplace-Gauss26

  • 26 Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et Karl Friedrich Gauss (1777-1855) : mathématiciens.

101Quand une v.a.r. X dépend d'un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s'additionnent et dont aucune n'est véritablement prépondérante, on peut modéliser sa loi de probabilité par la loi normale ; si μ est l'espérance de X et σ son écart-type, on la note N(μ, σ).

102D'une manière générale, une loi normale est donnée par une densité de probabilité dont la forme (qui ne dépent que des paramètres μ et σ) est connue et dont la fonction de répartition est connue.

Approximation de la densité de fréquence par la densité de probabilité quand la taille de l'échantillon augmente et l'amplitude des classes diminue

Image

Exemples de courbes de densités d'une variable normale suivant les valeurs des paramètres μ et σ

Image

103Caractéristiques de la loi normale :

  • espérance : E(X) = μ
  • variance : Var(X) = σ 2

104En pratique, en présence d'une loi normale N(μ, σ), on procède à un changement de variable pour se ramener à la loi normale centrée réduite pour laquelle l'espérance est μ = 0 et l'écart-type σ = 1 ; elle se note N(0,1).

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(μ,σ), la variable aléatoire Image suit alors la loi normale centrée réduite N(0,1).

105Son avantage réside dans la connaissance explicite de sa fonction de répartition F ce qui permet de la tabuler ; en utilisant une table statistique adéquate, on peut déterminer des probabilités a priori :

106On a : p(a < T ≤ b) = F(b) - F(a).

6. Loi log-normale (ou loi de Galton27)

  • 27 Galton : mathématicien.

107Pour le cas où les causes sont multiplicatives, par un changement de fonction avec la fonction logarithme, on obtient la loi log-normale (ou loi de Galton).

f. Opérations sur les variables aléatoires

108On peut définir :

  • la loi d'un couple de v.a. (X,Y) définies sur un même ensemble Ω. Les lois de probabilité de X et de Y s'appellent les lois marginales de la loi du couple (X,Y). La connaissance des lois marginales ne suffit pas pour déterminer la loi du couple.
  • la somme et la différence de deux variables aléatoires.
  • la notion de variables aléatoires indépendantes.
  • la somme de n variables aléatoires indépendantes et de même loi.

109• Exemple : la loi binomiale peut être définie comme la somme de n variables de Bernoulli.

110On tire par tirage aléatoire simple un individu dans la population. Soit X0 la v.a.r. qui prend pour valeur :

1111 si l'élément tiré se nomme Giraldus

1120 sinon ("échec")

113Si p est la probabilité (supposée connue) de tirer un Giraldus dans la population, les caractéristiques de X0 sont :

  • espérance : E(X0) = p
  • variance : Var(X0) = p(1-p)
  • 28 En toute rigueur, pour que les n tirages soient identiques, il faut procéder après chaque extracti (...)

114Tirer un échantillon de taille n dans cette population, revient à effectuer n tirages successifs identiques28 au tirage de Bernoulli précédent. On définit ainsi n variables aléatoires X1, X2,..., Xn indépendantes et de même loi que X0.

115Notons :

Image et Image.

En pratique, lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, on peut omettre l'indice n et noter Image la v.a. Image.

116La variable Sn permet de compter le nombre de Giraldus dans un échantillon de n individus. L'ensemble des valeurs prises par la variable Sn est {0, 1, ..., n} (il s'agit de l'univers image).

L'événement "Sn = k" représente l'apparition de k succès lors des n tirages, et l'événement Image représente la fréquence d'apparition de ces k succès (cette fréquence est évidemment fonction du nombre n d'individus tirés).

117Sn suit une loi binomiale B(n,p).

En utilisant les résultats relatifs à la somme de n variables aléatoires indépendantes et de même loi (non explicités), on peut déterminer les éléments caractéristiques des variables Sn et Image. On montre que :

118E(Sn) = np et Var(Sn) = np(1-p)

Image et Image

On remarque que, lorsque n est grand, la moyenne arithmétique des Xi (c.à.d. E(Image)) conserve la même espérance mathématique que X0, mais sa dispersion (c.à.d. Var(Image)) est plus faible (et d'autant plus faible que n est grand).

III. Lois limites

a. Théorèmes fondamentaux

1. L'inégalité de Bienaymé-Tchebycheff29

  • 29 Jules Bienaymé (1796-1878) et Pafnouti Tchebycheff (1821-1894) : mathématiciens.

119• Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff

120Si X est une v.a. quelconque d'espérance mathématique μ et d'écart-type σ et si t est un nombre réel donné strictement positif,

121alors on a :

Image

122Cette inégalité montre que, connaissant les valeurs de μ et σ pour une variable aléatoire, on peut toujours choisir t suffisamment grand pour que la probabilité relative à l'intervalle [μ - tσ ; μ + tσ] soit aussi proche de 1 qu'on le désire, et ce quelle que soit la loi de X.

2. Loi faible des grands nombres

123• Énoncé du théorème (loi faible des grands nombres)

124Si X1, X2,..., Xn est une suite de n variables aléatoires indépendantes, de même espérance E(X) et de même variance σ2,

si Sn et Image sont les variables aléatoires définies respectivement par :

Imageet Image

125alors on a :

pour tout Image tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Image mesure l’écart entre la fréquence statistique Image d’un événement et son espérance E(X). La loi faible des grands nombres indique que la probabilité que cet écart puisse être rendu aussi petit que l'on veut tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini (i.e. : si on augmente la taille de l'échantillon, la fréquence statistique de l'événement étudiée se rapproche de son espérance (probabilité a priori).

Ce théorème est essentiel dans la mesure où il permet de faire le lien entre les statistiques et les probabilités : il justifie le fait d'attribuer a priori comme probabilité p = E(X) à un événement sa fréquence statistique Image lorsque n est assez grand.

126• Application : convergence de la fréquence observée d’un événement vers sa probabilité

127À la notion de fréquence pour une distribution statistique observée correspond la notion de probabilité pour une loi de probabilité ; l'inégalité précédente justifie et précise cette correspondance.

Considérons le tirage d'un échantillon d'effectif n dans une population comprenant des individus A en proportion p et des individus B en proportion 1 - p. Si l'échantillon est un échantillon aléatoire simple (échantillon avec remise), la fréquence Image des individus A observés sur l'échantillon a pour espérance mathématique p et pour écart-type Image.

128En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff à ce cas, on obtient :

Image

129Par suite :

- on peut toujours choisir t assez grand pour que la probabilité que fn se trouve dans l'intervalle Image soit aussi proche de 1 que l’on désire.

130- t étant ainsi fixé, on peut toujours choisir l'effectif n de l'échantillon assez grand pour que fn soit aussi voisin de p que l'on désire.

3. Théorème de la limite centrée

131 Énoncé du théorème de la limite centrée (ou théorème central-limite)

132Si X1, X2,..., Xn est une suite de n variables aléatoires indépendantes, de même loi de probabilité, d'espérance μ et de variance σ2,

alors, lorsque n est grand, la loi de la moyenne arithmétique Image peut être approchée par la loi normale Image.

Il s'agit, en fait, d'un théorème de convergence ; ce résultat peut être présenté comme un théorème d'approximation numérique pour le calcul des probabilités des événements associés à Image ; un majorant uniforme de l'erreur commise par l'approximation peut être donné.

133Dans la pratique, on considère la variable centrée réduite :

Image

134dont la loi peut être approchée par une loi normale centrée réduite.

Sn suit une loi Image ; Tn suit la loi N(0,l).

135- Remarque : ce théorème s'applique sans qu'il soit nécessaire de connaître la loi (commune) des Xi ; c'est ce qui fait sa force et qui justifie son importance, en particulier par ses conséquences en statistique.

136• Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

137Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. X est la somme de n variables de Bernoulli, indépendantes, d'espérance p et de variance p(1-p).

138D'après le théorème de la limite centrée, lorsque n tend vers l'infini, la loi de X peut être approchée par une loi normale d'espérance np et de variance np(1-p), donc de même caractéristiques que la loi de X (Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Moivre-Laplace).

139Sous les conditions : n > 50, np > 15, n(1-p) > 15, l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale permet, dans les calculs de probabilités associées aux événements liés à X, d'obtenir des valeurs proches de celles que l'on obtiendrait directement par application de la loi binomiale 1/1000e près.

140En pratique, les conditions plus faibles : n > 20, np > 10, n(1-p) > 10, suffisent pour utiliser l'approximation ; ce résultat a été utilisé à plusieurs reprises, en particulier dans les problèmes d’estimations des proportions.

b. Loi d'échantillonnage

141Dans de nombreuses situations statistiques, l'étude exhaustive d'un caractère, dans une population d'effectif N (inconnu ou éventuellement infini), n'est pas possible et doit être remplacée par une approche à l'aide d'un échantillon de taille plus petite n (c’est en particulier le cas dans des études d’anthroponymie médiévale).

142La méthode de raisonnement utilisée est alors celle de l'inférence statistique ; elle peut être envisagée comme un raisonnement par analyse et synthèse.

143L'étude des distributions d'échantillonnage (ci-après) constitue l'analyse : on suppose Ω parfaitement connue (en particulier en ce qui concerne les caractères retenus) et on étudie les propriétés que possèdent tous les échantillons aléatoires simples de taille n extraits (que l'on pourrait extraire...) de Ω. Il s'agit davantage d'une justification des méthodes mises en œuvre que d'un outil à l'usage de l'anthroponymiste.

144L'étude de l'estimation et des tests, point essentiel pour nos études, constitue la partie synthèse.

1. Distributions d'échantillonnages d’une moyenne

145On considère une population d'effectif élevé N (inconnu) au sein de laquelle on prélève un échantillon de taille n. On suppose qu'il s'agit d'un "grand" échantillon (i.e. n > 30) et que n est petit devant N (τ < 0,1).

146On examine, dans cette population, un caractère modélisé par une variable aléatoire X0 d'espérance mathématique μ et de variance σ2 , connues.

147L'observation d'un échantillon aléatoire de taille n correspond à l'observation de la suite des valeurs x1, x2,..., xn prises par n variables indépendantes X1, X2,..., Xn de même loi que X0.

148Soit X = (X1, X2,..., Xn). L'aléa sur X provient du choix au hasard de l'échantillon (donc des individus).

On suppose la loi de X0 connue et on cherche à déterminer la loi de la variable aléatoire Image.

On montre (théorème de la limite centré) que Image est une variable aléatoire dont la loi peut être approchée par une loi normale de caractéristiques :

- espérance : Image

- variance : Image

- écart-type : Image

Dans la pratique, on utilise la variable centrée réduite : Image dont la loi peut être approchée par la loi N(0,1).

2. Distributions d'échantillonnages d'une fréquence (ou pourcentage)

Si le caractère étudié a deux éventualités, l'une (succès) étant vérifiée par N1 (inconnu) unités de la population-mère d'effectif N (inconnu), la variable aléatoire X0 (variable de Bernoulli ou variable indicatrice) prend, à l'occasion d'un tirage, la valeur 1 en cas de succès (avec la probabilité Image) et 0 en cas d'échec. En prenant des échantillons de taille n, la variable aléatoire X représente la fréquence de succès associée à chaque échantillon.

X suit une loi de probabilité qui peut être approchée par une loi normale (théorème de la limite centrée) de moyenne p et d'écart-type Image.

Dans la pratique, on utilise la variable centrée réduite : Image dont la loi peut être approchée par la loi N(0,1).

149• Exemple : situation utopique dans le cadre de nos enquêtes, supposons cependant connu avec certitude (à la suite d'un recensement par exemple) la proportion p de Guillelmus dans la population-mère (avec par exemple p = 0,15).

150On prélève au hasard un individu dans cette population.

151Soit X0 la variable aléatoire qui vaut 1 si l'individu prélevé se nomme Guillelmus et 0 sinon.

152X0 est une variable aléatoire de Bernoulli, de caractéristiques :

  • espérance : E(X0) = p = 0,15
  • variance : Var(X0) = p(1-p) = 0,15.(1-0,15) = 0,1275

153Supposons que l'on cherche à déterminer la probabilité pour qu'un échantillon de 200 individus pris au hasard dans la population-mère comporte au moins 20 % de Guillelmus. En appliquant le résultat précédent, on a : n = 200 ;

Image

Image

Image

Un échantillon (e.a.s.) comporte au moins 20 % de Guillelmus lorsqu'on dénombre, dans cet échantillon, au moins 200.0,20 = 40 Guillelmus. Comme Sn est une v.a. qui prend des valeurs entières (elle compte le nombre de Guillelmus), on effectue une correction dite correction de continuité. On cherche alors la probabilité Image. Cette probabilité est donnée par la table de la loi N(0,1).

154On a P(T > 0,1975) = 1 - F(0,1975) = 1 - F(0,20) avec F fonction de répartition de N(0,1) soit P(T > 0,1975) = 1 - 0,5793 = 42,1 %

155- Remarque : plus un échantillon est de taille élevée, plus il est représentatif de la population. La probabilité que la fréquence observée d'un caractère sur cet échantillon s'écarte notablement de la fréquence réelle du caractère dans la population tend vers 0 quand n tend vers N. (Le cas limite est celui où la taille de l'échantillon est celle de la population mère (n = N) auquel cas la fréquence observée fi sur l'échantillon est égale à la fréquence réelle p dans la population).

IV. Estimation

  • 30 Cf. infra.

Même réalisé à partir d’un échantillon, le traitement statistique des données ne se limite pas à son aspect descriptif : il ne se contente pas de compter des individus, de mesurer un certain nombre d'éléments anthroponymiques et de résumer ces informations. Dans de nombreux cas, il peut aussi fournir des détails sur la précision et la confiance que l'on peut avoir dans les informations présentées pour qu'elles soient valables dans un cadre plus grand que le groupe de sujets sur lesquels les mesures ont été prises et ce indépendamment de la taille de l’échantillon ayant servi de support à l’étude ; c'est bien là notre propos puisqu'il s'agit d'esquisser un état des lieux quant aux règles anthroponymiques et que bien évidemment, si les lois mises en évidence ne sont valides que sur les échantillons (parfois petits) sur lesquels se sont appuyées les enquêtes, elles ne présentent que peu d'intérêt. Il est clair que si on dénombre un seul Petrus dans un échantillon de 10 individus, il est pour le moins risqué d’affirmer qu’il y a Image de Petrus dans la population de référence. C'est en exploitant les informations sur la précision et le niveau de confiance30 de nos résultats que l'on peut cerner au plus près leur validité.

a. Le problème de l'estimation

156On se propose d'estimer objectivement certains paramètres d'une population, c'est à dire d'en déterminer une valeur approchée à partir de la connaissance d'un échantillon.

157On suppose implicitement la population-mère suffisamment importante pour que le prélèvement aléatoire d'un échantillon ne modifie pas notablement le caractère étudié et puisse ainsi être assimilé à un tirage avec remise ; il est en effet certain que dans le cadre de nos études, le taux de sondage soit resté bien en deça des 10 %.

b. Estimation ponctuelle : principe et définitions

158Ω représente l'ensemble des éléments (individus) de la population étudiée.

159On appelle statistique toute variable aléatoire Y fonction des variables aléatoires X1, X2,..., Xn. Par exemple, X1 est une statistique ; il en est de même pour les variables Sn et X définies par :

Image

160Soit X0 une variable aléatoire dont la loi de probabilité dépend d'un certain paramètre k inconnu et soit X = (X1, X2,..., Xn) un n-échantillon de X.

161Soit Z une statistique (donc une fonction de X1, X2,..., Xn).

162En "concentrant" les n variables aléatoires X1, X2,..., Xn en une seule statistique Z, on peut s'attendre à perdre de l'information en ce qui concerne le paramètre k inconnu que l'on cherche à estimer. C'est un problème équivalent à celui du résumé numérique en statistique descriptive (quand on remplace l'ensemble des données par leur valeur moyenne par exemple, on perd bien évidemment une partie de l’information disponible).

163En outre, on peut souhaiter construire une statistique qui, d'une part, contienne toute l'information sur k disponible dans l'échantillon (on parle de statistique exhaustive ou suffisante) et, d'autre part, une statistique qui fournisse en moyenne la valeur de k (on parle de statistique sans biais) avec des variations minimales (on parle de statistique à "variance minimale").

  • 31 En toute rigueur, un estimateur est une suite (Zn) de statistiques vérifiant un certain nombre de (...)

164Un estimateur du paramètre k est une variable aléatoire réelle31 définie sur Ω.

165Une variable aléatoire réelle Y est un "bon estimateur" du paramètre k si, en observant Y un grand nombre de fois, on obtient, en moyenne, une valeur qui approche k avec une probabilité acceptable.

166On peut modéliser cette exigence par E(Y) = k (où E(Y) désigne l'espérance de Y).

167On dit alors que Y est un estimateur sans biais du paramètre k.

168Une estimation ponctuelle du paramètre k est alors la valeur prise par l'estimateur Y sur l’échantillon observé ; elle est habituellement notée k par les statisticiens (cette valeur est fonction des observations).

169Si E(Y) ≠ k, l’estimateur Y est dit biaisé (pour le paramètre k).

170Il y a biais (ou artefact) lorsqu'un résultat apparent ne provient pas des phénomènes examinés mais est "fabriqué" (involontairement) par l'observateur ou l'expérimentateur, soit à cause de la procédure d'investigation utilisée, soit à cause de la nature des données utilisées. Le biais d'un paramètre statistique est donc ce en quoi l'instrument (le nombre) utilisé s'éloigne de ce qu'il est censé mesurer ; les causes de cet éloignement peuvent être multiples : mauvais choix du modèle, mauvaise évaluations des éléments quantifiés, etc...

  • 32 L’évaluation du biais d’un estimateur K du paramètre k est obtenue par B(K) = E(K) - k.

171L’une des conditions nécessaires au bon traitement statistique des données est la conception d’indicateurs dont le biais soit faible, voir nul, et en tout état de cause quantifié32 (donc contrôlé). Mais prendre la mesure réelle de certains biais dans le cadre de nos études n’est pas simple, parfois même impossible.

172Certaines situations en témoignent :

- la condensation du stock onomastique ; mesurée par le stock de noms pour 100 individus (ou par le nombre moyen d’individus par nom), l’indicateur retenu pour la quantifier est le rapport Image. Certes les listes régionales témoignent d’une formidable diversité des nomina propria mais, même très conséquent, le patrimoine des noms de baptême ne saurait être infini. Partant de cette constatation, il est clair que les deux éléments pris en compte pour l’estimation de la condensation, à savoir D (nombre de noms différents) et T (nombre total d’individus) ne sont pas indépendants ; plus précisément, quelles que soient les pratiques anthroponymiques, on peut (en théorie au moins) augmenter pratiquement à l’infini la taille d’un échantillon alors que le nombre D ne saurait le faire dans les mêmes proportions ; dès que l’échantillon est suffisamment grand pour "couvrir” le patrimoine des nomina propria, le rapport Image ne peut que diminuer (diminution du stock de noms pour 100 individus) accentuant ainsi l'impression de condensation. C'est cette situation à laquelle on se trouve confronté lorsque la taille de l'échantillon est très grande, ce qui est par exemple le cas pour les études menées par C. Bourlet sur Paris.

173- les conséquences d'une abscence (ou insuffisance) d'étude prosopographique ; il peut y avoir sur-représentation de certaines formes anthroponymiques, en particulier dans le cas où la documentation incite à de nombreuses présomptions d'identés d'individus. D’autre part la nature même, et à travers elle la qualité de la source étudiée, peuvent être cause de biais. Il se peut en effet que certains types d'individus, qu'ils soient acteurs et/ou témoins, soient amenés à intervenir souvent dans la documentation.

c. Estimateurs usuels

174Soit une population statistique et un caractère associé qui peut être assimilé à une variable aléatoire X0 dont la loi a pour moyenne μ et écart-type σ (μ est la moyenne vraie (inconnue) de la population-mère et σ l'écart-type vrai inconnu correspondant).

175Soit X = (X1, X2,..., Xn) un échantillon de X0 de taille n. (Rappel : les Xi sont de même loi que X0 et indépendants)

1. Estimateur de la moyenne

Un estimateur de la moyenne μ est Image où n est la taille de l'échantillon.

On a en effet Image et on montre, en utilisant la loi des grands nombres, que Image, donc que Image tend vers 0 quand n tend vers l'infini ; la dispersion des valeurs de Image autour de μ est minimisée dès que n est assez grand.

2. Estimateur de la variance et de l'écart-type

176De même, on définit un estimateur de la variance σ2 = Var(X0) d'une variable aléatoire réelle X0.

177On choisit en général comme estimateur de la variance d'une population :

Image

178

Image est la variance de l'échantillon.

L'estimateur Image est non biaisé puisque Image (alors que Image est un estimateur biaisé de σ2).

179Un estimateur de l'écart-type o d'une variable aléatoire réelle X0 est alors :

Image

3. Estimateur d'une proportion

180Soit une population dans laquelle on trouve une proportion p d’individus ayant un caractère C.

181On prélève, au hasard, dans cette population, un échantillon de taille n et on note X la variable aléatoire égale au nombre d'individus possédant le caractère C dans cet échantillon.

182X suit une loi binomiale B(n,p).

183On peut approcher cette loi binomiale par une loi normale sous les conditions suivantes :

184n > 50, np > 15, n(1-p) > 15

La loi de X est approchée par la loi normale Image.

Soit Fn la variable aléatoire (souvent appelée fréquence statistique) définie par : Image. La loi de F peut être approchée par la loi Image.

185Les caractéristiques de F sont alors :

186- espérance : E(F) = p

- variance : Image

187F est donc un estimateur sans biais de p (puisque E(F)=p), faiblement dispersé si n est grand (puisque Var(F) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini).

d. Estimation par intervalle de confiance

188La valeur observée d'un estimateur (ou estimation) pour un échantillon donné ne renseigne pas beaucoup sur le degré d'approximation du paramètre estimé.

189En pratique, on a plutôt intérêt à chercher un "intervalle aléatoire" dépendant de l'échantillon prélevé, tel que la probabilité qu'il encadre le paramètre étudié soit acceptable. Cette probabilité sera appelée "niveau de confiance" de l'estimation.

1. Estimation par intervalle de confiance d'une moyenne

190On distingue plusieurs cas :

191La population est normale et d'écart-type connu (cas simple, mais pour le moins utopique ; la connaissance de l'écart-type de la variable sans connaître sa moyenne est toute théorique...)

Si X0 suit une loi normale N(μ,σ) et si X = (X1, X2,..., Xn) est un n-échantillon de X0, alors X suit une loi normale Image et :

Image est un intervalle aléatoire encadrant μ de niveau de confiance 0,95. Il est appelé intervalle de confiance pour le paramètre μ au seuil de 5 % (ou au niveau de confiance de 95 %) (seuil de confiance a, niveau de confiance 1 - α).

D’une façon plus générale, Image est l'intervalle de confiance de la moyenne μ au seuil α lorsque la variable parente X0 est normale N(μ,σ). La valeur de tα est une valeur qui dépend de la nature de l'échantillon (aléatoire simple ou exhaustif) et du niveau de confiance 1 - α choisi.

Si, ensuite, on prélève un échantillon E et si l'on calcule la moyenne Image observée sur l'échantillon E, on obtient une observation de l'intervalle de confiance :

Image

192Cette observation est un intervalle de IR. On ne peut affirmer avec certitude si μ lui appartient. On ne peut non plus invoquer une probabilité d'appartenance de μ à cet intervalle de IR. Une fois l'échantillon tiré, il n'y a plus d'événement aléatoire.

193Formuler correctement la conclusion n'est donc pas simple puisqu'il faut faire la distinction entre l’observation et l’intervalle aléatoire. On peut traduire cette conclusion en terme de fréquence : "Si l’on répétait un grand nombre de fois le prélèvement (i.e. si on avait pu disposer d'un grand nombre d'échantillons), dans 95 cas sur 100, en moyenne, on aura raison d’affirmer que μ est dans l’intervalle observé, mais 5 fois sur 100, il n’y sera pas".

194On énonce en général le résultat sous la forme :

"au niveau de confiance 1-α, on peut dire que le paramètre μ est compris entre Image

195L’estimation par intervalle de confiance est une méthode qui se justifie si elle est mise en œuvre un grand nombre de fois, mais dans la pratique c’est au vu d’un seul échantillon que l'on est amené à conclure. On peut noter que la réponse est formulée à l'aide d'un intervalle ayant pour bornes des variables aléatoires.

196- Remarques : 1-Si α = 0,05 tα = 1,96

1972-Si α = 0,01 tα = 2,56

1983- Si le niveau de confiance augmente (i.e. si le risque d’erreur diminue) la longueur de l’intervalle de confiance augmente. Plus on est exigeant sur la fiabilité de la conclusion, plus l’encadrement du paramètre est imprécis.

b) La population suit une loi quelconque d’écart-type connu :

199Si la taille de l’échantillon est "suffisamment grande" (en pratique supérieure à 50) la loi de X est proche d’une loi normale et l’on est ramené au cas précédent (cf théorème de la limite centrée).

c) La population suit une loi normale d’écart-type inconnu :

200On démontre les résultats suivants :

• Si n > 30, on estime l’écart-type σ en utilisant l’estimateur Sn (défini par Image

qui permet d’obtenir une estimation ponctuelle sans biais de σ, soit Image, définie par : Imagei est l’écart-type calculé sur l’échantillon ayant servi de support à l’étude).

201On utilise alors les mêmes résultats que ceux établis précédemment (cf a).

202• Si n ≤ 30 (cas des petits échantillons), on ne peut plus faire l'approximation normale.

On montre que Image suit alors une loi de Student à n-1 degrés de liberté : on calcule tα à l'aide des tables de la loi de Student et l'on obtient l'intervalle de confiance :

Image

203- Remarque : si la loi suivie par la population n'est pas normale, on ne peut rien conclure à partir d'un petit échantillon. Il pourrait s'agir là d'une difficulté spécifique aux études médiévales, mais l'hypothèse de normalité n’a pas nécessairement davantage de raison d'être satisfaite, et le faible nombre d'occurrences dans certaines tranches chronologiques, s’il est assurément un handicap, n’est pas en soi une difficulté insurmontable.

  • 33 L'approximation d’une loi binomiale par une loi normale n’est possible que sous certaines conditio (...)

204Les petits échantillons peuvent accentuer l'impression de désordre masquant une possible homogénéité des résultats et l'existence de règles plus ou moins rigoureuses quant aux comportements anthroponymiques. En outre, leur non représentativité, d’abord intuitive, trouve sa justification dans le fait qu'elle interdit un certain nombre d'approximations assez utiles en statistique, approximations qui permettent de se ramener à des situations mettant en œuvre des lois usuelles simples telle que la loi normale33.

205• Exemple : en reprenant les données de D. Barthélémy relatives au nombre d'individus par nom dans le Vendômois dans la tranche chronologique 1080-1130, on obtient, pour cet échantillon :

  • taille de l'échantillon : n = D = 93 noms différents (La population statistique est ici celle du corpus des noms attestés).
  • nombre total d'individus concernés : T = ∑ nixi = 188
  • valeur du nombre moyen d'individus par nom (observé sur l'échantillon) : Image34
  • écart-type (observé sur l'échantillon) : σi ≈ 1,68

xi est une estimation ponctuelle du nombre moyen μ d'individus par nom dans la population du Vendômois en 1080-1130, soit : Image.

206L’intervalle de confiance pour μ est :

Image

207Pour préciser cet intervalle, il est donc nécessaire d’estimer σ, écart-type (vrai) dans la population-mère. En utilisant l'estimateur Sn, on obtient une estimation ponctuelle (sans biais) de σ, soit :

Image

Avec Image ; n = 93 ; σ ≈ 1,69 et a = 0,05 d'où tα = 1,96, on a :

Image

208Le résultat peut être énoncé sous la forme : "au niveau de confiance 95 % (ou avec 5 % de risque d’erreur), on peut dire que le "nombre moyen d'individus par nom en Vendômois en 1080-1130" est compris entre 1,67 et 2,37".

209On peut noter que si on cherche à minimiser le risque d'erreur (en choisissant par exemple α = 0,01), on a alors tα = 2,56 et l'intervalle de confiance pour le "nombre moyen p d'individus par nom" devient : [1,57 ; 2,47] ; il y a moins de chances de commettre une erreur avec une telle affirmation, mais en contre partie, l’intervalle proposé est plus grand (et le résultat paraît plus incertain).

210Si l’on compare cette situation avec celle concernant la même région mais pour la tranche chronologique suivante, soit 1130-1180, on obtient les résultats suivants :

  • taille de l’échantillon : n = D = 55 noms différents
  • nombre total d’individus concernés : T = ∑ ni xi = 107
  • valeur du nombre moyen d’individus par nom (observé sur l’échantillon) : Image
  • écart-type (observé sur l’échantillon) : σi ≈ 1,23

211d’où les estimations :

  • estimation ponctuelle du nombre moyen p d’individus par noms dans la population du Vendômois en 1080-1130 : Image
  • estimation ponctuelle (sans biais) de Image

212L’intervalle de confiance pour p, au risque 5 %, est : [1,62 ; 2,28] et donc : "au niveau de confiance 95 % (ou avec 5 % de risque d’erreur), on peut dire que le "nombre moyen d'individus par nom en Vendomois en 1130-1180" est compris entre 1,62 et 2,28".

213Si on compare les deux intervalles pour p (celui correspondant à la tranche chronologique 1080-1130, soit [1,67 ; 2,37] et celui correspondant à la tranche chronologique 1130-1180, soit [1,62 ; 2,28]), on constate qu'ils sont très voisins. Il n'est donc pas certain que le nombre moyen d'individus par nom ait réellement diminué ; on ne peut pas affirmer qu'il y a eu condensation du stock onomastique (au sens où nous l'avons défini) entre le XIe et le XIIe siècle en Vendômois.

Certes, l'exemple utilisé est quelque peu tendancieux dans la mesure où les données d'échantillon Image pour le XIe, et Image pour le XIIe siècle) étaient déjà très voisines, mais certaines situations peuvent révéler des similitudes moins évidentes au vu des simples données d'échantillon ; établir une différence statistiquement significative n'est pas toujours très simple et la lecture des résultats bruts n'est pas suffisante.

2. Estimation par intervalle de confiance d'une proportion

214La population étudiée contient une proportion p d’individus ayant un caractère C. On considère un échantillon de taille n de la population et la variable aléatoire X prenant comme valeur le nombre d'individus de l'échantillon possédant le caractère C.

215X suit une loi binomiale B(n,p) que l'on peut approcher par la loi normale N(np√np(1-p)) à condition que :

216n>50 np>15 > 15 n(1-p)>15

Soit alors F la variable aléatoire définie par : Image

F suit une loi normale Image). Notons σF = Image.

217L'intervalle de confiance du paramètre p au seuil a est :

218[F-tα σF ; F + tα σF]

Comme la valeur (inconnue) de p intervient dans l'expression de σF, l'intervalle de confiance du paramètre p s'exprime ici en fonction de ce paramètre. Pour éliminer cette valeur inconnue, on peut estimer p à l'aide d'une observation (estimation ponctuelle) : si n1 individus de l'échantillon possèdent le caractère C, on calcule σF en estimant p par Image (fréquence observée sur l'échantillon). L’observation de l’intervalle de confiance est alors :

Image

219• Exemple : Ω est la population des laïcs du chapitre d'Agde entre 1100 et 1130 (Ω de taille N inconnue).

220On a prélevé un échantillon de taille n = 238 (hommes laïcs) par tirage aléatoire simple (Le taux de sondage est assurément inférieur à 0,1 et on peut donc assimiler l'échantillon à un échantillon aléatoire simple).

221Soit X0 la variable du modèle (variable de Bernoulli de paramètre p), définie par :

222X0 = 1 si l'individu pris au hasard dans Ω se nomme Petrus

223X0 = 0 sinon.

224Lors d'un tirage d'un n-échantillon dans Ω, on note Xi la variable associée comme ci-dessus à la i-ème occurence tirée. On obtient un n-échantillon aléatoire de X0, soit X = (X1, X2,..., Xn) (les variables aléatoires X1, X2,..., Xn sont indépendantes et de même loi que X0 ; il s'agit de variable de Bernoulli).

225On pose Sn = Σ Xi ; Sn est le nombre de Petrus dans l'échantillon tiré (issu de Ω). On sait que Sn suit la loi binomiale B(n,p). La valeur de p (proportion "vraie" de Petrus dans la population Ω) est inconnue ; on l'estime par la proportion fi de Petrus observée sur l'échantillon.

226On a : E(Sn) = np

227Var(Sn) = np(1-p)

On peut approcher B(n,p) (loi de Sn) par Image).

Avec n = 238 et Image, on a : Image

228La valeur observée de l'intervalle de confiance pour le paramètre p au niveau de confiance 95 % (a = 0,05) est :

Image

229soit : [0,132 ; 0,230].

230Conclusion : en affirmant que la proportion p de Petrus dans la population des hommes laïcs à Agde entre 1100 et 1130 est comprise entre 0,132 et 0,230, il se peut que l'on se trompe. Cependant, le calcul qui entraine ce résultat conduit à une conclusion correcte pour 95 % des échantillons possibles. On peut donc prendre le risque (il n'y a que 5 % de chance de commettre une erreur) de considérer qu'effectivement la fourchette [0,132 ; 0,230] encadre p (proportion de Petrus dans la population des hommes laïcs à Agde entre 1100 et 1130).

Avec l'estuimation ponctuelle précédente pour p, soit Image, on pourrait ensuite chercher (par exemple) la probabilité que dans un échantillon de 1000 individus, on trouve entre 100 et 150 Petrus...

231Le seuil α (appelé risque de première espèce) est habituellement fixé à α = 5 % ; c'est aussi la valeur retenue dans le cadre de cette enquête. Elle conduit à des conclusions dites statistiquement significatives. Bien sûr, il peut être (parfois) tentant de se fixer un seuil d'exigence moindre (par exemple 10 %), mais il semble préférable, d'une part de se conformer à la valeur retenue habituellement par les statisticiens, d'autre part de ne pas faire preuve d'une trop grande complaisance à l'égard des dépouillements. Il faut éviter de chercher à confirmer ce qui peut n'être qu'une première impression.

V. Tests statistiques et prise de décision

a. Test statistique

  • 35 Elle peut aussi porter sur les populations d’où sont issus les échantillons (en particulier lorsqu (...)

232Un test statistique est une procédure qui repose sur une fonction des observations d'un échantillon, conduisant à conserver ou rejeter avec un certain risque d'erreur, une hypothèse généralement appelé hypothèse nulle (notée H0). Cette hypothèse porte sur la population d'où est issu l'échantillon35, ou sur les lois de probabilité considérées comme représentant cette population.

  • 36 L'hypothèse simple est une hypothèse pour laquelle la loi de probabilité représentant la populatio (...)

233À l’hypothèse nulle H0, on oppose une hypothèse dite alternative (notée H1) ; elle peut être simple ou composite36.

234Un test statistique autorise des comparaisons qui permettent de s'affranchir des problèmes de taille d'échantillon.

b. Test paramétrique

235Dans un test paramétrique, l'hypothèse nulle porte sur la valeur d'un ou de plusieurs paramètres de la population mère. Les tests paramétriques développés dans nos enquêtes concernent pour l'essentiel les problèmes de comparaison de moyennes et de proportions :

  • comparaison d'un même indicateur statistique dans plusieurs tranches chronologiques
  • comparaison de deux régions selon le même indicateur statistique
  • comparaison laïcs/clercs : l'hypothèse nulle émise a priori est alors (par exemple) du type : "aucune différence statististiquement significative entre les fréquences des nomina propria des laïcs et des clercs".
  • comparaison nobles/roturiers

236On peut aussi tester l'indépendance statistique de deux variables aléatoires.

c. Principe d'un test d'hypothèses

2371. On observe un phénomène aléatoire et, au vu des valeurs observées, on formule deux hypothèses :

  • la première, H0 (ou hypothèse nulle), correspond soit à une hypothèse facile à formuler, soit à une hypothèse de stabilité, soit encore à une hypothèse de prudence, de bon sens. C'est une hypothèse qui permet d’utiliser le calcul des probabilités : ce sera, en général, une égalité.
  • la seconde, H1 (ou hypothèse alternative), n'est pas nécessairement la négation de H0.

238• Exemple : H0 est l'hypothèse "la moyenne est μ = μ0".

239On pourra avoir comme hypothèse alternative H1 :

240a) μμ0 (qui conduit à un test bilatéral).

Image

241b) μ > μ0 qui conduit à un test unilatéral.

Image

2422. La décision prise, confrontée à la réalité, conduit à envisager les cas suivants :

décision réalité

H0

H1

H0

pas d'erreur

erreur de première espèce

H1

erreur de seconde espèce

pas d'erreur

243Le risque de première espèce est la probabilité de l'erreur de première espèce :

Image (α est la probabilité de refuser H0 alors que H0 est vraie).

244Ce risque est souvent appelé "risque du vendeur" ; en économie, il correspond au cas où un acheteur refuse un lot au vu d’un échantillon, alors que ce lot est bon.

245Le risque de seconde espèce est la probabilité de l'erreur de seconde espèce :

Image (β est la probabilité d'accepter H0 alors que H1 est vraie).

246C'est le "risque de l'acheteur" ; il correspond au cas de l'achat d'un lot défectueux au vu d'un échantillon.

247• Exemple :

248H0 est l'hypothèse "μ = μ0"et H1 l'hypothèse "μ = μ1" (μ1 > μ0)

Image

249Lorsque μ1 est proche de μ0 le risque de seconde espèce β peut être grand : on dit que le test est peu puissant.

250Si l'on diminue le risque de première espèce, celui de seconde espèce augmente puisque, dans cet exemple, diminuer a revient à décaler μα vers la droite.

251Ce phénomène est général pour tous les tests d'hypothèses.

252Il est souhaitable de diminuer à la fois α et β ; c'est le plus souvent possible en augmentant la taille de l'échantillon mais l'on est confronté alors au "coût économique" de cette augmentation.

253Dans le cadre de nos enquêtes, il n'est en général pas possible d'augmenter la taille des échantillons, de telle sorte que la valeur de α a été fixée à priori et qu'elle l'a été de manière à ce que les tests puissent mettre en évidence l'existence de différences statistiquement significatives. Le seuil de confiance retenu (soit 1-α) peut sembler important (95 %), mais il est le garant d’une certaine fiabilité de nos résultats et confère à nos commentaires une plus grande force.

d. Exples de tests d'hypotèses : comparaison d'échantillon

254Nombre de problèmes anthroponymiques se ramènent, en dernière analyse, à une comparaison de résultats obtenus sur des échantillons différents.

255On considère deux populations Ω1 et Ω2 dans lesquelles on a tiré deux échantillons (de taille éventuellement différentes). À partir des résultats observés sur les deux échantillons, on se propose de décider si les valeurs d'une caractéristique (i.e. d'un indicateur peuvent être considérées comme égales ou différentes dans les deux populations).

256Les valeurs observées de la caractéristique, k1 et k2 sont distinctes en général :

  • soit elles sont effectivement différentes dans les deux populations ;
  • soit elles sont égales et l'écart observé est dû aux seules fluctuations d'échantillonnage.

257Il s'agit de choisir entre ces deux hypothèses ; le problème revient donc à tester :

258H0 : k1 - k2 = 0 contre H1 : k1 - k2 ≠ 0

259Ces tests ont été utilisés à plusieurs reprises ; ils s'emploient aussi bien pour la comparaison de deux fréquences (par exemple : existe-t-il une différence significative entre le % de Maria dans la tranche 1100-1130 et celui de la tranche 1130-1160 ; ou encore entre le % de Petrus chez les laïcs et ce même % chez les clercs...) que pour celle de deux moyennes.

VI. Méthodes statistiques non paramétriques

260L'inférence statistique n'est possible que si l'on a fait certaines hypothèses sur la population contenant ces sujets et sur la façon dont ont été prises les mesures.

  • Par exemple, une hypothèse communément admise consiste à considérer les valeurs recueillies sur les sujets comme des réalisations de variables aléatoires indépendantes. Cette indépendance est une hypothèse et peut donc être remise en question.
  • Les mesures effectuées sur la population se traduisent par des variables aléatoires (éventuellement vectorielles dans le cas de séries multidimensionnelles) indépendantes entre elles et dont les lois de probabilité ne sont pas nécessairement identiques. Chaque variable (ou vecteur) aléatoire ainsi associé aux mesures prises sur un sujet est une observation de la loi qui est censée régir cette variable (ce vecteur) aléatoire. Une autre hypothèse importante que l'on fait habituellement porte sur les lois possibles pour ces variables aléatoires. Dans quelques cas cet ensemble s'impose à lui même. Par exemple si chaque mesure ne peut prendre que deux valeurs possibles, l'ensemble (ou un sous-ensemble) des lois de Bernoulli s'impose. A l'opposé, dans de nombreux cas, il s'agit d'un choix que l'on doit faire, choix qui est une partie importante de l'étude statistique d'un phénomène. Faire le choix d'un ensemble de lois possibles pour chacune des observations, supposées indépendantes, revient à faire le choix d'un modèle qui est la formalisation mathématique des hypothèses faites sur les observations.

261Un modèle définit donc l'ensemble des lois possibles pour chacune des observations. En particulier, lorsque toutes les observations obéissent à une même loi (c'est encore une hypothèse), on dit alors qu'on a un échantillon (aléatoire simple) de la loi en question.

262Quoique cette modélisation soit importante, elle est quelquefois négligée au profit du choix de la méthode statistique à employer pour analyser des observations. Or la méthode à utiliser dépend entre autres choses du modèle adopté. Il est alors bon de se poser la question du choix du modèle avant de choisir une méthode.

263On peut distinguer au moins trois situations distinctes :

  • lorsque la taille de l'échantillon est trop petite pour qu'on puisse raisonnablement prétendre que les distributions d'échantillonnage des statistiques soient approximativement normales et lorsqu'il est impossible de faire des hypothèses concernant la forme de la distribution de la population d'où a été prélevé l'échantillon.
  • lorsqu'on analyse des données ordinales ; on appelle donnée ordinale toute donnée indiquant le rang qu'occupe un élément à l'intérieur d'un ensemble. On obtient des données ordinales en effectuant un classement selon un critère bien défini et en assignant aux divers éléments le rang qu'ils occupent dans un ensemble.
  • lorsqu'on analyse des données nominales ; on appelle données nominales des données classées selon certaines catégories ayant leurs caractères propres ; chaque donnée entre dans une seule catégorie. Par exemple, on obtient des données nominales lorsqu'on classe les individus d'un groupe selon leur sexe, "homme" ou "femme".

264Un des avantages des techniques non paramétriques est qu'elles peuvent s'appliquer aussi bien à de petits qu'à de grands échantillons. Celles qui ont pu être développées ici sont parmi les plus employées : le test du Khi-deux, le test de Wilcoxon, le test de Mann-Whitney, le test du coefficient de corrélation des rangs de Spearman.

a. Test du Khi-deux (χ2)

265Le test du khi-deux est un test de comparaison à utiliser dans toutes les situations où un test d'égalité d'effectifs est requis. Il permet de juger de la validité d'une hypothèse d'égalité de plus de deux effectifs. La prise de décision consécutive au test a lieu après l'étude d'échantillons aléatoires indépendants provenant des populations considérées.

266Il peut permettre par exemple de tester l'existence d’un choix spécifique (programmatique) du nomen proprium pour les clercs. L'ypothèse nulle H0, émise a priori, est alors du type : "aucune différence statistiquement significative entre les fréquences des noms de laïcs et de clercs". À partir des effectifs correspondant à certains noms chez les laïcs-par exemple aux dix noms les plus fréquents - on calcule les effectifs "attendus" chez les clercs pour ces mêmes noms (compte tenu de la taille de l'échantillon dont on dispose à leur sujet) et on les compare aux effectifs réellement observés.

267Dans de nombreux tests, la prise de décision consiste à conserver ou rejeter l'hypothèse nulle. Elle a lieu après le calcul d'un certain rapport critique dont on connaît la distribution de probabilité. Celle-ci est celle de la loi normale, ou celle de la loi de Student, ou encore celle de la loi de Fisher, etc... La distribution de probabilité qui convient dans ce contexte de comparaison de plus de deux effectifs est la distribution Khi-deux (χ2).

268Tout comme pour les distributions de Student et de Fisher, mieux vaut parler d'une famille de distributions χ2 plutôt que d'une distribution unique. Ainsi, l'aspect de la courbe d'une distribution χ2 varie selon son nombre de degrés de liberté (d.1.). Ce nombre constitue le seul paramètre d'une distribution χ2 et à mesure que ce nombre augmente, la distribution χ2 s'approche lentement d'une distribution normale (l'approximation est généralement utilisée pour des valeurs n > 30).

269Dans un test du khi-deux, la décision finale repose toujours sur une évaluation des écarts entre les effectifs d'occurrences observées à l'intérieur d'échantillons aléatoires et les effectifs d'occurrences théoriques espérées qui devraient idéalement être observées si l'hypothèse soumise au test était vraie.

270D'une façon générale, les étapes d'un test du χ2 sont les suivantes :

2711• Énoncer l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H1. (L'hypothèse nulle stipule souvent qu'il n'existe aucune différence significative entre les effectifs d'occurrences des populations étudiées que l'on cherche à comparer ; l'hypothèse alternative stipule qu'ils ne sont pas tous égaux).

2722• Spécifier le seuil de signification α auquel doit se faire le test.

2733• Prélever des échantillons aléatoires de chacune des populations et relever les effectifs observés ni au sein de ces échantillons.

2744• Calculer les effectifs théoriques espérés ti que l'on devrait idéalement observer si H0 était vraie.

2755• À partir des effectifs observés n ; (échantillon) et des effectifs théoriques espérés ti (population hypothétique), calculer la valeur du χ2 ; cette valeur est donnée par :

Image

276Si les effectifs observés sont égaux aux effectifs théoriques espérés, la valeur du χ2 est égale à 0. Dans une telle situation, il est bien évident que l'on ne peut rejeter l'hypothèse nulle puisque les effectifs observés dans les échantillons sont exactement ceux auxquels on doit idéalement s'attendre si H0 est vraie. 0 est donc la valeur idéale que doit prendre le χ2 lorsque H0 est vraie. Dans une situation concrète, il est cependant très improbable que ni et ti soient identiques, et ce même si H0 est vraie. Les variations (ou fluctuations) d'échantillonage interviennent toujours et il en résulte généralement des écarts entre les effectifs observés n, et les effectifs théoriques espérés ti.

2776• On compare alors la valeur calculée du χ2 (étape 5) avec la valeur critique du χ2 (pour le seuil de signification désiré et le nombre de ddl de la distribution du χ2 appropriée) afin de déterminer si la valeur calculée du χ2 est significativement supérieure à 0. Une table statistique appropriée donne la valeur maximale que peut atteindre le χ2 calculé (pour un seuil de signification spécifié) sans que l'hypothèse nulle soit rejetée. Une telle table donne la valeur critique qui délimite la région d'acceptation et la région de rejet de H0. Si le χ2 calculé est inférieur ou égal à la valeur critique, il se situe dans la région d'acceptation et H0 sera alors accepté. En revanche, si le χ2 calculé est plus grand que la valeur trouvée dans la table, l'hypothèse H0 devra être rejetée.

278Si le seuil de signification du test est de 5 %, la valeur critique donnée par la table correspond à une valeur au dessus de laquelle le χ2 calculé ne devrait se trouver que dans 5 % des cas.

b. Test de validation d'un modelé

279Le test de validation d’un modèle est un test d'adéquation entre la loi empirique (observée) et certaines classes de lois usuelles.

280Le modèle d'échantillonnage habituellement retenu est celui qui postule que l'on dispose d'observations (x1, x2,..., xn) des v.a. X1, X2,..., Xn provenant d'une même loi P que X0, de fonction de répartition donnée F0. Il est possible de tester la validité de cette hypothèse ; on réalise alors un test d'adéquation à une loi donnée (à une loi théorique connue).

281On veut savoir si l'échantillon observé peut être considéré comme issu de cette loi, d'où le problème (la formulation possible du) de test :

282H0 : F = F0 contre H1 : F ≠ F0

283Plusieurs tests sont possibles : le test du khi-deux, test de Kolmogorov-Smirnov, etc...

284Dans un second temps, on peut chercher à déceler des valeurs considérées comme aberrantes par rapport au modèle retenu.

b. Le test de Wilcoxon37

  • 37 Franck Wilcoxon : statisticien. Il élabora ce test dans les années 1940.

285Le test de Wilcoxon est utilisé lorsqu'on veut déterminer s'il existe des différences significatives entre des paires de données ordinales provenant d'un échantillon unique ou de deux échantillons dépendants, et que l'on souhaite prendre en compte pour la prise de décision aussi bien la grandeur que le signe des différences observées entre les paires de données.

286D'une façon générale, les étapes d'un test de Wilcoxon sont les suivantes :

2871 • Énoncer l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H).

2882 • Spécifier le seuil de signification a auquel doit se faire le test.

289Les hypothèses étant clairement énoncées et le seuil de signification du test étant choisi, l'étape suivante consiste à traiter les données (brutes) pour en retirer l'information nécessaire au test.

2903 • Recueillir des paires de données et déterminer le signe et la grandeur des différences pour chaque paire d'observations.

2914 • Assigner un rang aux différences sans tenir compte de leur signe. À ce stade, il faut ignorer les signes des différences et attribuer un rang aux valeurs absolues des différences en assignant le rang 1 à la plus petite des différences ; la deuxième plus petite valeur à le rang 2, etc... Les différences nulles sont ignorées ; en cas d'égalité de deux différences, on accorde le rang moyen correspondant (méthode dite des rangs moyens). Cette démarche doit se continuer jusqu'à ce que toutes les différences aient un rang.

2925 • Accoler à chaque rang le signe approprié (qui est le signe de la différence correspondant).

2936 • Faire la somme des rangs. Il s'agit d'additionner d'une part tous les rangs positifs et d'autre part tous les rangs négatifs ; la plus petite des deux sommes obtenues est appelée valeur T calculée.

2947 • Tirer la conclusion statistique appropriée concernant l'hypothèse nulle.

295On compare alors la valeur calculée de T (étape 6) avec la valeur critique de T (pour le seuil de signification désiré et le nombre n d'observations retenues pour l'analyse). Une table statistique appropriée donne la valeur maximale que peut atteindre le T calculé (pour un seuil de signification spécifié) sans que l'hypothèse nulle soit rejetée. Une telle table donne la valeur critique qui délimite la région d'acceptation et la région de rejet de H0. Si le T calculé est inférieur ou égal à la valeur critique, il se situe hors de la région d'acceptation et H0 sera alors rejetée. En revanche, si le T calculé est plus grand que la valeur trouvée dans la table, l'hypothèse H0 devra être acceptée.

d. Le test de Mann-Whitney

296Le test de Mann-Whitney est utilisé lorsqu'on veut déterminer s'il existe des différences significatives entre deux ensembles de données ordinales provenant de deux échantillons indépendants, et que l'on souhaite prendre en compte pour la prise de décision aussi bien la grandeur que le signe des différences observées entre les paires de données.

297D'une façon générale, les étapes d'un test de Mann-Whitney sont les suivantes :

2981 • Énoncer l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H1.

2992 • Spécifier le seuil de signification α auquel doit se faire le test.

300Les hypothèses étant clairement énoncées et le seuil de signification du test étant choisi, l'étape suivante consiste à traiter les données (brutes) pour en retirer l'information nécessaire au test.

3013 • Réunir dans un même ensemble les données des deux échantillons indépendants et assigner un rang à chaque donnée. En fait, on considère que toutes les observations font partie d'un seul ensemble de données et on détermine le rang qu'occupe chacune des observations dans cet ensemble.

3024 • Faire la somme des rangs pour chaque échantillon.

3035 • Calculer la valeur de la statistique U (correspondant à ce test).

3046 • Tirer la conclusion statistique appropriée concernant l'hypothèse nulle.

305On compare alors la valeur calculée de U (étape 5) avec la valeur critique de U (pour le seuil de signification α désiré, les tailles n1 et n2 des deux échantillons et le type de test (unilatéral ou bilatéral)). Une table statistique appropriée donne la valeur maximale que peut atteindre le U calculé (pour un seuil de signification spécifié) sans que l'hypothèse nulle soit rejetée. Une telle table donne la valeur critique qui délimite la région d'acceptation et la région de rejet de H0. Si le U calculé est inférieur ou égal à la valeur critique, il se situe hors de la région d'acceptation et H0 sera alors rejetée. En revanche, si le U calculé est plus grand que la valeur trouvée dans la table, l'hypothèse H0 devra être acceptée.

e. Le test (de signification) du coefficient de corrélation des rangs de Spearman

306Supposons qu'au lieu d'envisager deux caractères quantitatifs, on considère des caractères qui permettent seulement de classer les individus au moyen des nombres 1 à n. Les deux séries envisagées sont alors constituées par les rangs qu'occupent les n individus statistiques dans deux classements distincts et on cherche s'il y a corrélation entre ces deux classements.

307Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman, rs, mesure ce degré d'association (la "force de la relation") entre deux variables ordinales. Dans un tel calcul, on considère le rang qu'occupent les valeurs de X et les valeurs de Y dans une série d'observations plutôt que les valeurs réelles de ces variables. Ce contexte est particulièrement adapté au cas des données anthroponymiques lorsqu'on souhaite comparer, par exemple, la distribution des fréquences des nomina propria chez les clercs et les laïcs ; plutôt que la fréquence relative à tel nomen proprium, on s'intéresse à sa place dans le palmarès des noms pour savoir si l'ordre des choix est le même dans les deux échantillons (clercs et laïcs) (indépendamment de l'éventuelle différence quant aux fréquences, celles-ci relevant davantage d'un problème de condensation/concentration).

308Le test de signification du coefficient de corrélation détermine à partir de la valeur calculée de rs s'il existe une relation statistique significative entre les variables.

309D'une façon générale, les étapes d'un test de signification du coefficient de corrélation rs sont :

3101 • Énoncer l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H1.

3112 • Spécifier le seuil de signification a auquel doit se faire le test.

312Les hypothèses étant clairement énoncées et le seuil de signification du test étant choisi, l'étape suivante consiste à traiter les données (brutes) pour en retirer l'information nécessaire au test.

3133 • Recueillir les données et leur assigner un rang.

3144 •Calculer les différences entre les paires de rangs.

3155 • Calculer la valeur de rs.

3166 •Tirer la conclusion statistique appropriée concernant l'hypothèse nulle.

317On compare alors la valeur calculée de rs (étape 5) avec la valeur critique de ρs (coefficient de corrélation des rangs de Spearman pour la population). Une table statistique appropriée donne la valeur maximale que peut atteindre le rs calculé (pour un seuil de signification spécifié) sans que l'hypothèse nulle soit rejetée.

VII. Analyse factorielle

318Les méthodes dites d'analyse factorielle (ACP, AFC, ACM et AFM) tiennent aujourd'hui une place primordiale en analyse des données. Tandis que les méthodes de statistique descriptive ne traitent qu'une ou deux variables à la fois, elles autorisent des approches multidimensionnelles et permettent la confrontation entre de nombreuses informations, ce qui a priori est plus riche que leur examen séparé.

319Leur principe est d’extraire les tendances les plus marquantes de données trop nombreuses pour être appréhendées directement en éliminant les effets marginaux ou ponctuels qui perturbent la perception globale des faits.

320La complexité et le nombre de traitements nécessaires à la mise en œuvre de ce type d’analyse, exige le recours à l’ordinateur. Quoique bien adapté au contexte qui est le notre, ce type d’approche ne pourra être envisagé que lorsque le programme "Nomen" sera tout à fait opérationnel.

a. ACP

321L'Analyse en Composantes Principales (ACP) s'applique à des tableaux à deux dimensions, croisant des individus et des variables quantitatives. Les lignes du tableau représentent les individus et les colonnes représentent les variables. A l'intersection de la ligne i et de la colonne k se trouve la valeur de la variable k pour l'individu i.

322On définit la notion de "distance entre deux individus" pour évaluer leur ressemblance (la formule de calcul de cette distance est propre à l’ACP). Deux individus se ressemblent d'autant plus qu'ils possèdent des valeurs proches pour l'ensemble des variables.

323A propos de deux variables, on essaie d'évaluer leur liaison. En ACP, la liaison entre deux variables est mesurée par le coefficient de corrélation linéaire.

324Les objectifs de l’ACP peuvent être définis ainsi :

  • dresser un bilan des ressemblances entre individus. On cherche alors à répondre à des questions du type : quels sont les individus qui se ressemblent ? Quels sont ceux qui sont différents ? Existe-t-il des groupes homogènes d'individus ? Peut-on dégager une typologie des individus ?
  • dresser un bilan des liaisons entre variables. Les questions sont alors : quelles sont les variables qui sont liées positivement entre elles ? Quelles sont celles qui s'opposent (liées négativement) ? Existe-t-il des groupes de variables corrélées entre elles ? Peut-on dégager une typologie des variables ?
  • résumer l'ensemble des variables par un petit nombre de variables synthétiques appelées ici composantes principales (une composante principale peut être considérée comme le représentant (la synthèse) d'un groupe de variables liées entre elles.

b. AFC

325L'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) a été conçue à l'origine pour étudier des tableaux appelés tableaux de contingence (ou tableaux croisés). Il s'agit de tableaux d'effectifs obtenus en croisant les modalités de deux variables qualitatives définies sur une même population de n individus.

326Bien que le tableau étudié soit de nature très différente de celui étudié en ACP, les objectifs de l'AFC peuvent s'exprimer de manière tout à fait analogue à ceux de l'ACP : on cherche à obtenir une typologie des lignes, une typologie des colonnes et à relier ces deux typologies entre elles. C'est la notion de ressemblance entre deux lignes ou entre deux colonnes qui est différente de celle de l'ACP.

c. ACM

327L'Analyse des Correspondances Multiples (ACM) permet d'étudier une population de n individus décrits par j variables qualitatives.

328Une des applications les plus courantes de l'ACM est le traitement de l'ensemble des réponses à une enquête. En ce sens, on saisit l'intérêt d'un traitement informatique des données anthroponymiques à partir d'un programme comme "Nomen" qui se présente justement comme une suite de questions.

329Chaque question constitue une variable dont les modalités sont les réponses proposées (parmi lesquelles chaque enquêté doit faire un choix unique).

330Pour transcrire numériquement l'ensemble de ces données, plusieurs codages sont possibles :

  • les données peuvent être rassemblées dans un tableau analogue à celui utilisé pour l'ACP ; les lignes représentent les individus, les colonnes représentent les variables. A l'intersection de la ligne i et de la colonne j se trouve la valeur xij (codage condensé) de l'individu i pour la variable j. Naturellement les valeurs xij sont des codifications qui ne possèdent pas de propriétés numériques
  • les données peuvent être rassemblées dans un tableau dit Tableau Disjonctif Complet (TDC) ; les lignes représentent les individus, les colonnes représentent les modalités des variables : à l'intersection de la ligne i et de la colonne k, on trouve xik qui vaut 1 ou 0 selon que l'individu i possède la modalité k ou non.

VIII. Éléments spécifiques ou "les outils de base à l'usage de l'anthroponymiste"

331Il semble essentiel de rappeler que les règles méthodologiques spécifiques à l’aspect anthroponymique de l’enquête doivent faire l’objet d’une attention particulière. La distinction entre "partie principale" et "autres occurrences" en est un exemple essentiel - il en est d’autres - et chacun doit, en tout état de cause, s’efforcer de respecter ces règles.

  • 38 Dans le cas de données surabondantes et/ou s'il n'est pas possible (faute de temps ou de moyen) d' (...)

332Sur le plan de la méthodologie statistique, après quelques hésitations, il ne semble finalement pas souhaitable de procéder dans chaque tranche chronologique à un "tirage au sort aléatoire" qui permet d'homogénéiser les effectifs en constituant des échantillons de taille constante. D'abord, parce qu'il n'est pas possible d'obtenir à partir de ce mode de traitement, des informations statistiques plus fiables que celles obtenues en traitant l'ensemble des données collectées, ce compte tenu du fait que la taille des populations de référence d'où sont issus les échantillons reste inconnue ; ensuite parce que la taille de certains corpus risque de nous obliger à travailler sur un effectif standard trop petit (sauf à ommettre les échantillons en question) et donc que ce souci d'uniformité peut conduire à ignorer bon nombre d'informations ; enfin parce que techniquement, un tirage au sort ne peut être réalisé simplement et avec toute la rigueur nécessaire que dans la mesure ou les données sont enregistrées de façon systématique38 (enregistrement que seul un traitement informatique peut autoriser). La solution à adopter consiste donc à exploiter un maximum d'informations issues d'un échantillon aléatoire simple réalisé de facto par la méthodologie retenue, puis à procéder par estimation en présumant, h partir des observations faites sur l'échantillon, des résultats relatifs à l'ensemble de la population.

333Pour l'étude des nomina propria, il semble indispensable d'établir une statistique exhaustive des noms. Cette statistique repose sur le relevé de tous les effectifs d'apparition des différents noms ; soit ni l'effectif du nom xi (l'indice i peut prendre toutes les valeurs de 1 à D, où D est le nombre de noms différents relevés parmi les T individus). Les noms sont alors rangés selon leur fréquence (la liste ordonnée par fréquence décroissante est le "palmarès des noms").

334Pour caractériser cette distribution de fréquence, un certain nombre d’indicateurs spécifiques à l'analyse des données anthroponymiques peuvent être utilisés :

1• Le nombre moyen d'individus par noms Image ou le stock de noms pour 100 individus Image

3352• Les 5 noms les plus courants (ou les 10) et le % d'individus qu'ils permettent de nommer.

3363• Le nombre minimal de noms nécessaire (et suffisant) pour désigner la moitié des individus.

3374• Le nombre D1 de noms rares (La taille de nos échantillons nous a conduit à retenir comme rares, les noms portés par un seul individu).

3385• La probabilité en % que deux individus pris au hasard dans l'échantillon de taille T portent le même nom (ou taux d'homonymie) donné par :

Image

339Cette probabilité est nulle si tous les noms sont distincts et vaut 100 % lorsqu'ils sont tous identiques, ces deux cas constituant les situations limites.

  • 39 Nous avons retenu en général pour k, 2 ou 3 % ; mais les disparités régionales interdisent ici tou (...)

3406• Le nombre L de noms dominants (i.e. portés par au moins k % des individus, la valeur de k étant fixée par chacun en fonction de sa documentation39.)

341Pour préciser l'ampleur et la nature de l’appauvrissement maintes fois évoqué du stock de nomina propria, plusieurs indicateurs spécifiques ont été définis :

  • 40 Cf. supra.

3427• Un paramètre de condensation : le stock de noms pour 100 individus (ou le nombre moyen de porteurs par nom). Une valeur faible du stock pour 100 individus (ou une valeur élevée du nombre moyen d'individus par nom) traduit en principe un éventail assez réduit de noms alors qu'au contraire une valeur forte correspond à un éventail plus large ; toutefois, ces valeurs ne sont pas toujours significatives ; c'est le cas en particulier lorsque l'effectif de la tranche est trop faible (il ne peut y avoir dans ce cas beaucoup de porteurs par nom - ou encore lorsque l’effectif de la tranche est trop élevé40).

343Mais ce paramètre ne nous renseigne pas sur la nature de cette condensation (comment s'est-elle opérée ? par diminution du stock global ou par choix de plus en plus fréquents de certains noms ?)

3448• Un paramètre (ou indice) de concentration relative (ou partielle) comme (par exemple) le nombre minimum de noms nécessaires pour désigner la moitié des individus (indiqué sur le palmarès des noms par un trait gras) et/ou la proportion d’individus portant l'un des 5 (par exemple) noms les plus fréquents (fréquence cumulée croissante associée au 5ème (ou 10ème) nom).

345Une "inversion" de la tranche chronologique vis à vis de ces deux critères peut trouver une explication du type : tranche chronologique avec un éventail assez ouvert de noms fréquents mais peu de noms rares.

  • 41 Corrado Gini : statisticien et mathématicien italien. Il a mis en place cet indice en 1912 pour de (...)
  • 42 D'autres tentatives ont été faites pour définir un indicateur synthétique susceptible de caractéri (...)

3469• Un paramètre de concentration globale (de type indice de Gini41) dont l'objet est de synthétiser les deux informations précédentes42 ; cet indice est associé à une courbe (courbe de concentration ou courbe de Gini) qui permet de préciser le pourcentage d'individus dans l'échantillon (donc par induction, dans la population) désignés par un pourcentage fixé de noms du corpus (ou inversement, de savoir quel est le pourcentage de noms du corpus qui permet de désigner un pourcentage fixé à priori d'individus de l'échantillon.

Exemples de courbe de concentration et d'indice de concentration globale : Grenoble 1101-1132 et Agde 1130-1190

Image

347L'indice de concentration globale est égal à 0 (concentration globale nulle) lorsque tous les individus portent un nom différent ; il est égal à 1 lorsque tous les individus portent le même nom, ces deux situations constituant les deux cas limites.

348On peut interpréter géométriquement cet indice : exprimé en %, il est l'expression du rapport de l'aire de la surface hachurée (limitée par la diagonale principale du carré et la courbe de concentration proprement dite) à l'aire du triangle inscrit dans le carré de concentration (carré de côté 100 pour des fréquences cumulées croissantes exprimées en %).

  • 43 Cf. Genèse Médiévale de l'anthroponymie Moderne, tome II-1, pp. 70-71.

349Enfin, analyser et préciser la nature d’une évolution chronologique43 peut conduire à mettre en œuvre des procédures d’ajustement (linéaire ou logarithmique). On a alors une mesure de la régularité par l’intermédiaire du coefficient de corrélation linéaire (qui permet aussi de tester la fiabilité du modèle retenu) et de son rythme par la valeur du coefficient directeur de la droite d’ajustement.

Notes

1 Ce terme de codage concerne le dépouillement de l'enquête et la construction de tableaux prêts à être analysés ; il inclut la transformation des données brutes en variables qualitatives ou quantitatives (notions précisées par la suite), le choix des lignes et des colonnes des tableaux, celui des éléments à fixer et de ceux à traiter en actif, etc...

2 Un enregistrement informatisé des données avec le programme "Nomen" (ou tout autre programme spécifique) est en ce sens une étape importante qui doit apporter à ce propos un bon nombre de garanties.

3 Une gestion informatique des données devrait autoriser une plus grande diversité dans les traitements. Elle pourrait offrir, par exemple, un éventail plus grand quant au choix des tranches chronologiques ; chacun aurait alors le loisir de les ajuster à sa documentations et/ou à des particularismes régionaux, sans pour autant sacrifier à la nécessaire comparaison avec d’autres régions ou d’autres catégories d'individus.

4 Les problèmes méthodologiques spécifiques, et les choix retenus pour leur traitement ont été précisés dans Genese Médiévale de l'Anthroponymie Moderne, tome I, Tours 1989, pp. 9 à 11 ; ces choix ne sont pas en contradiction avec la démarche statistique ; ils sont valides dans l’ensemble des enquêtes.

5 On pourrait penser qu'avec l'apparition d'une forme anthroponymique à plusieurs éléments, le stock des noms allait s'élargir (comme cela a été le cas au XVIIIème avec l'habitude du nom double ou triple qui a permis à la fois la conservation d'un patrimoine familial et de multiples innovations).

6 Cf. infra "Analyse Factorielle".

7 Pour éviter toute ambiguité, les mots "caractère", "individu" et "population" devraient en toute rigueur être suivis du mot "statistique". L'individu statistique n'est en effet pas nécessairement un individu humain (i.e. élément d'une population humaine). Dans le cadre de nos enquêtes, il peut être, en fonction des circonstances, ou bien l'une des formes anthroponymiques ou bien encore l'un des noms du corpus des noms de baptèmes (la situation est du reste encore plus ambigüe ici puisque ces notions font référence à des individus humains, alors que tel n'est pas toujours le cas en statistique). En tout état de cause, la population statistique est l’ensemble des unités considérées par le statisticien ; chaque observation porte sur une unité statistique.

8 L'échantillonnage est la technique du prélèvement des individus d'une population qui constituent l'échantillon.

9 L'inférence (ou l'induction) statistique consiste à utiliser les informations fournies par un échantillon pour obtenir des informations sur la population dont il est issu.

10 La notion de biais statistique est précisée par la suite.

11 Un échantillon aléatoire (e.a.) est un échantillon aléatoire simple (e.a.s.) si les prélèvements se font indépendamment les uns des autres (ce qui est le cas si tous les individus relatifs à un même document sont effectivement retenus pour l'enquête).

12 La nécessaire distinction entre "partie principale première", "partie principale seconde" et "autre occurrence" s'établit dans le traitement statistique en fonction de l'objet étudié plutôt qu'au moment du recueil des données.

13 Le symbole "n" est habituellement utilisé en statistique pour désigner la taille d'un échantillon ; cependant, dans le cadre de notre enquête, et plus particulièrement en ce qui concerne l'étude des nomina propria, ce sont les symboles "T" (nombre total d'individus) et "D" (nombre de noms différents) que nous avons retenu.

14 Cf. note 13 : nous avons noté "D" le nombre de noms différents du corpus et "T" la somme Σnixi qui correspond au nombre total d'individus (ou formes anthroponymiques en toute rigueur) de l'échantillon.

15 En toute rigueur, on distingue les caractéristiques d'une population qui sont des paramètres, et les caractéristiques d'un échantillon qui sont des statistiques. Les statistiques sont utilisées pour estimer les paramètres, et pour insister sur cette différence, il est d'usage d'utiliser des symboles différents :

μ : moyenne de la population

x : moyenne de l'échantillon

σ : écart-type de la population

s : écart-type de l'échantillon

N : taille de la population

n : taille de l'échantillon

p : pourcentage dans la population

f : pourcentage (fréquence) de l'échantillon

16 Le calcul de ces paramètres usuels ne fait pas l'objet d'un développement particulier à ce stade dans la mesure où il est détaillé par la suite dans le cadre de la modélisation.

17 Cf. infra.

18 Pour un caractère quantitatif, l'ensemble en question H est alors un ensemble de nombres (sous-ensemble de IR) donc bénéficie en temps que tel des structures opératoires induites par celles de IR.

19 L'idée est que la connaissance des individus et celle des réalisations de la variable pour ces individus sont en pratique confondus ; la probabilité de tirer un individu particulier dans Ω et celle de tirer une certaine réalisation dans H (par exemple Maria) sont liées.

20 La probabilité est la fréquence idéale correspondant à un nombre infini d'observations. Cf. infra "Lois limites - loi faible des grands nombres".

21 Cf. infra "Estimations".

22 Cf. infra "Estimation - estimation par intervalle de confiance", où ces calculs sont explicités pour les distributions des noms en Vendômois établie par D. Barthélémy.

23 Cf. infra "Tests - tests de validation d’un modèle".

24 Jacques Bernoulli (1654-1705) : mathématicien. Il a formulé la "loi faible des grands nombres".

25 Denis Poisson (1781-1840) : mathématicien.

26 Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et Karl Friedrich Gauss (1777-1855) : mathématiciens.

27 Galton : mathématicien.

28 En toute rigueur, pour que les n tirages soient identiques, il faut procéder après chaque extraction à une remise de l'individu prélévé dans la population de telle sorte qu'il puisse à nouveau faire l'objet d'un tirage et ce de manière à ce que les caractéristiques de la population-mère quant à la proportion de Giraldus ne soient pas modifiées au fur et à mesure que l'on prélève les individus (il faut que la probabilité p reste la même à chaque tirage). En pratique, on considère que ces conditions sont approximativement remplies lorsque la taille n de l'échantillon est petite face à celle N de la population-mère, ce qui est le cas dans nos enquêtes (On appelle taux de sondage le rapport τ = n/N ; on assimile habituellement un tirage à un tirage avec remise (dit non exhaustif) et donc l'échantillon à un échantillon aléatoire simple lorsque τ < 0,1 ce qui évite de devoir procéder "techniquement" à la remise).

29 Jules Bienaymé (1796-1878) et Pafnouti Tchebycheff (1821-1894) : mathématiciens.

30 Cf. infra.

31 En toute rigueur, un estimateur est une suite (Zn) de statistiques vérifiant un certain nombre de conditions.

32 L’évaluation du biais d’un estimateur K du paramètre k est obtenue par B(K) = E(K) - k.

33 L'approximation d’une loi binomiale par une loi normale n’est possible que sous certaines conditions. Cf. infra.

34 Le symbole - s'énonce : "peu différent de".

35 Elle peut aussi porter sur les populations d’où sont issus les échantillons (en particulier lorsqu'on compare deux tranches chronologiques, les populations de référence étant nécessairement distinctes).

36 L'hypothèse simple est une hypothèse pour laquelle la loi de probabilité représentant la population considérée est parfaitement déterminée. Dans le cas contraire, on est en présence d'une hypothèse composite.

37 Franck Wilcoxon : statisticien. Il élabora ce test dans les années 1940.

38 Dans le cas de données surabondantes et/ou s'il n'est pas possible (faute de temps ou de moyen) d'analyser l'ensemble de la documentation un tel tirage ne peut être réalisé sans que soient prises un certain nombre de précautions : tirage aléatoire d'un nombre de chartes qui seront intégralement exploitées (on peut numéroter aléatoirement l'ensemble des documents et analyser (en fonction du temps disponible) les no 1, no 11, no 21 etc..., ce qui permettra éventuellement de pouvoir analyser ultérieurement le no 5, no 15, no 25 etc..., puis les no 3, no 13, no 23 etc... sans avoir à reprendre ultérieurement... ce qui permet d'affiner les résultats au fur et à mesure en augmentant progressivement la taille des échantillons.

39 Nous avons retenu en général pour k, 2 ou 3 % ; mais les disparités régionales interdisent ici toute tentative d’homogénéisation. Il semble difficile de proposer une valeur fixe.

40 Cf. supra.

41 Corrado Gini : statisticien et mathématicien italien. Il a mis en place cet indice en 1912 pour des variables statistiques réelles continues à valeurs positives. Il a été adapté ici au contexte spécifique de notre étude.

42 D'autres tentatives ont été faites pour définir un indicateur synthétique susceptible de caractériser la distribution des nomina propria. Par exemple, l'utilisation d'une "température du stock des noms", à partir d'un modèle de type Pareto-Levy. Mais ce modèle ne semblant finalement pas très bien adapté à nos données, il a été abandonné.

43 Cf. Genèse Médiévale de l'anthroponymie Moderne, tome II-1, pp. 70-71.

© Presses universitaires François-Rabelais, 1992

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