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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Postface

Michèle Artigue

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1À un moment où les débats fleurissent sur la place publique, symptômes des difficultés que le système éducatif rencontre à établir un rapport satisfaisant au nombre et au calcul, le livre de Denis Butlen est particulièrement bienvenu. Centré sur le calcul mental mais l’abordant, aux delà de ses techniques propres, dans les relations qu’il entretient avec les techniques opératoires et la résolution de problèmes, il nous laisse entrevoir un paysage fascinant.

2Le lecteur n’y trouve pas de grandes études statistiques, l’approche est plus intimiste : chaque étude ne concerne que quelques classes, mais ce qui nous est offert c’est ce que permet d’obtenir une recherche patiente qui tisse ses fils dans la durée, c’est ce que permet la mise en perspective de travaux menés depuis plus de vingt ans en collaboration avec Monique Pézard, et une relecture éclairée par les résultats des travaux récents sur les élèves en difficultés et l’enseignement en ZEP.

3La réflexion qui y est menée sur le calcul mental illustre à mes yeux particulièrement bien la dualité à l’œuvre dans les rapports entre mathématiques et calcul que nous avions tenu à souligner dans le rapport sur ce thème publié par la Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques : dualité entre automatisation et raisonnement. Le calcul mathématique est puissant parce qu’il est accessible à l’automatisation, mais il ne saurait être enfermé dans les mécanismes de son automatisation. Il est porté par la pensée mathématique et il est le support de son développement. Il joue un rôle essentiel dans la compréhension que nous avons des objets qu’il engage. Cette dualité, Denis Butlen l’exprime comme tension entre deux facettes du calcul mental : un calcul mental qui est mis au service de la mémorisation et de l’automatisation du calcul d’une part, un calcul mental qui est mis au service de la connaissance des nombres et des opérations d’autre part, et qui, pour jouer ce rôle, se doit de rester flexible, s’adaptant aux particularités des contextes et des objets en jeu. Au fil des époques, cette tension est perçue et gérée différemment, et l’analyse des programmes faites par Denis Butlen montre bien le basculement qui s’opère soudain d’un pôle à l’autre puis, ce basculement effectué, les difficultés que va rencontrer le système à établir un équilibre satisfaisant, des difficultés qui aujourd’hui même ne sont pas complètement surmontées. Comment permettre la mémorisation, développer les automatismes nécessaires à un calcul mental efficace sans rigidifier ce calcul, sans lui enlever la plasticité qui lui permet de se mettre au service de la compréhension du nombre et des opérations ? Les quelques ingénieries didactiques qui sont décrites et analysées nous montrent bien que trouver des équilibres efficaces ne va pas de soi, que les équilibres sont à construire patiemment, dans la durée, en choisissant soigneusement la progression des tâches, mais aussi les leçons qui doivent en être retenues à travers des institutionnalisations locales ou globales.

4Le lecteur qui chercherait dans ce livre une voie royale pour l’enseignement du calcul mental restera sans aucun doute sur sa faim. Car ce que nous donnent à voir les études minutieuses qui sont effectuées, ce ne sont pas des progressions spectaculaires, en dépit de l’attention portée à la définition des tâches et des progressions ainsi qu’à leur gestion, mais des progrès mesurés, et de plus différenciés suivant les catégories d’élèves. Parfaitement cohérentes avec divers autres travaux, les recherches décrites ici nous montrent ainsi que les élèves les plus fragiles profitent peu de situations a priori intéressantes mais trop riches, qu’il faut penser pour eux des étayages spécifiques. Ils nous montrent aussi que choisir des tâches adaptées ne suffit pas, qu’il faut également s’assurer qu’il n’y a pas de malentendu entre enseignants et élèves concernant l’enjeu de leur résolution, et que, même lorsqu’il s’agit de calcul mental, des écrits sont souvent utiles, voire nécessaires. Le dispositif des bilans de savoir, présenté dans les derniers chapitres, est de ce point de vue particulièrement intéressant, comme est intéressante l’étude comparative des énoncés produits par les élèves.

5Les programmes font, à juste titre, une place importante au calcul mental. Mais ils ne sauraient à eux seuls donner les moyens d’une pratique raisonnée et efficace du calcul mental au fil de la scolarité élémentaire et du collège. En refermant ce livre, on ne dispose certes pas d’outils clefs en main pour ce faire mais il me semble que l’on se sent beaucoup mieux armé pour accomplir une telle tâche. On se sent éclairé sur ce que l’on peut attendre d’un apprentissage du calcul mental et sur les écueils à éviter. On sait mieux ce qu’il est raisonnable d’attendre des élèves à tel ou tel niveau. On dispose d’un éventail de tâches ou plutôt de familles de tâches qui peuvent servir à construire des progressions et d’informations sur la façon dont les élèves sont susceptibles de réagir à ces tâches. On dispose d’éclairages sur des dispositifs comme celui des bilans de savoir qui peuvent aider les élèves à comprendre les enjeux du travail qu’ils mènent et à en capitaliser les acquis. Bien sûr, il reste à l’enseignant un travail important à réaliser mais ce n’est pas un des moindres mérites de ce livre, me semble-t-il, que de nous montrer, page après page, l’expertise qui est requise pour rendre mathématiquement efficace une pratique d’enseignement si ancienne et qui peut sembler si banale.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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