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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Glossaire

Texte intégral

  • 1 Pour des informations supplémentaires, le lecteur pourra consulter le glossaire de didactique rédig (...)

1Ce glossaire a pour but de préciser certains termes de didactique des mathématiques utilisés dans cet ouvrage. Il ne s’agit pas de définitions exhaustives qui demanderaient un développement beaucoup plus important mais d’indications permettant au lecteur de se repérer dans un ensemble de notions souvent utilisées en recherche comme en formation1.

 

2Didactique des mathématiques

  • 2 Rapport GRECO DIDAMA T CNRS (1983)

3La didactique des mathématiques est un champ de recherche au confluent de plusieurs autres champs disciplinaires (mathématiques, psychologie cognitive, psychologie sociale, sociologie, épistémologie, etc.). Elle se propose d’étudier les rapports existant entre enseignement et apprentissage dans le contexte spécifique des mathématiques. Ainsi, elle étudie2 les processus de transmission et d’acquisition des connaissances relatives au domaine spécifique de cette discipline ou des sciences voisines avec lesquelles elle interagit. Elle décrit et analyse les difficultés rencontrées et propose des moyens pour aider les professeurs, les élèves et les étudiants à les surmonter, et notamment pour faire du savoir enseigné, un savoir vivant, fonctionnel et opératoire.

 

4Situation

5Le terme de situation décrit les conditions dans lesquelles un individu ou un groupe évolue, les relations que ces personnes entretiennent entre elles mais aussi avec leur environnement, leur milieu, les éléments caractéristiques de leur action et de son évolution à un moment donné.

 

6Situation d’action

  • 3 Brousseau 1981, Problèmes de didactique des décimaux, Recherche en Didactique des mathématiques, vo (...)

7G. Brousseau3 a mis en évidence trois dialectiques intervenant dans les rapports entre enseignement et apprentissage : les dialectiques d’action, de formulation et de validation.

8La dialectique de l’action consiste à placer l’élève devant une situation (d’action) lui posant un problème dont la meilleure solution, dans les conditions proposées, est la connaissance à enseigner. Il doit pouvoir agir sur la situation et se créer un modèle implicite guidant cette action. La situation, en lui renvoyant de l’information, doit lui permettre de juger le résultat de son action et d’ajuster cette dernière.

 

9Institutionnalisation

10Le processus d’institutionnalisation a pour but de donner aux connaissances éventuellement mobilisées par les élèves un statut de savoir culturel et social.

  • 4 Brousseau 1987, Briand (1991)

11G. Brousseau4 précise que l’institutionnalisation porte aussi bien sur une situation d’action, que sur une situation de formulation ou de preuve. Les maîtres doivent prendre acte de ce que les élèves ont fait, décrire ce qui s’est passé et qui a un rapport avec la connaissance visée, donner un statut aux événements de la classe comme résultat des élèves et comme résultat de l’enseignant, assumer un objet d’enseignement, l’identifier, rapprocher ces productions des connaissances des autres (culturelles ou du programme), indiquer qu’elles peuvent resservir.

  • 5 Douady, Perrin 1989 Educational Studies of mathematics Vol n° 20, Briand (1991)

12R. Douady5 situent le processus d’institutionnalisation par rapport aux aspect outil et objet d’un concept. Dans l’information traitée, l’enseignant choisit et expose, avec les conventions en usage, ce qui est nouveau à retenir. Il fait le “cours”. Ainsi, l’enseignant a la charge de donner un statut aux concepts qui, jusque là, sont intervenus comme outils. Il constitue alors un savoir de classe auquel chacun pourra se référer.

 

13Dévolution

  • 6 Brousseau 1987, Briand (1991)

14Le processus de dévolution décrit l’ensemble de l’activité du professeur qui consiste à amener l’élève à s’approprier le problème à résoudre, à mobiliser les connaissances nécessaires et à assumer la responsabilité de la résolution. La dévolution6 est un élément important du contrat didactique. Il ne suffit pas de “communiquer” un problème à un élève pour que ce problème devienne son problème et qu’il se sente seul responsable de le résoudre. Il ne suffit pas, non plus, que l’élève accepte cette responsabilité pour que le problème qu’il résout soit un problème “universel” dégagé de présupposés subjectifs. La dévolution est un processus qui porte sur toutes les situations.

 

15Le contrat didactique

  • 7 Brousseau 1986 Recherche en Didactique des mathématiques vol 7.2.

16Brousseau7 définit le contrat didactique comme le résultat de la négociation des rapports établis explicitement et/ou implicitement entre un élève ou un groupe d’élèves, un certain milieu et un système éducatif, aux fins de faire approprier aux élèves un savoir constitué ou en voie de constitution.

17Il précise cette définition en signalant un paradoxe : le contrat didactique est en fait souvent intenable. Il met le professeur devant une véritable injonction paradoxale : tout ce qu’il fait pour faire produire, par les élèves, les comportements qu’il attend, tend à priver ces derniers des conditions nécessaires à la compréhension et à l’apprentissage de la notion visée : si le maître dit ce qu’il veut, il ne peut plus l’obtenir.

18Mais l’élève est lui aussi devant une injonction paradoxale : s’il accepte que, selon le contrat, le maître lui enseigne les résultats, il ne les établit pas lui-même, et donc il n’apprend pas les mathématiques, il ne se les approprie pas. Apprendre, implique pour lui de refuser le contrat mais aussi d’accepter la prise en charge.

19Donc l’apprentissage va reposer, non pas sur le bon fonctionnement du contrat, mais sur ses ruptures.

 

20Ingénierie didactique

21Une ingénierie didactique se caractérise par un ensemble organisé de situations d’enseignement qui vise non seulement l’apprentissage d’une notion mais l’étude des conditions de cet apprentissage. Le chercheur l’a construit pour analyser comment les élèves, en situation scolaire, apprennent la ou les notions visées par la recherche.

 

22Variables de commande, variables didactiques

23Une variable de commande est un élément de la situation qui peut être modifié par le maître, cette variable est didactique quand un changement de valeur affecte la hiérarchie des stratégies de solutions (par le coût, la validité, la complexité).

24Les exemples sont divers :

  • le matériel utilisé (ex : papier quadrillé, papier blanc en géométrie)

  • le type de tâche (ex : tâche de constat ou de fabrication dans la comparaison de collection d’objets au C.P.)

  • la répartition des tâches (entre enfants, dans le temps, etc.)

  • les contraintes de la tâche (ce qui est autorisé)

  • la forme du travail (individuel, par groupes)

  • la gestion du temps (le temps laissé aux élèves pour résoudre un problème permet d’éliminer des procédures trop coûteuses en temps)

  • la taille des nombres

 

25Saut informationnel

26Le saut informationnel désigne une augmentation importante de la valeur d’une variable de commande nécessitant un traitement de l’information différent et entraînant un éventuel changement de procédures et de performance.

 

27Dialectique outil-objet

  • 8 Douady, Perrin 1989 Educational Studies of mathematics Vol n° 20

28Concept outil/concept objet : R. Douady définit un concept mathématique comme ayant un double nature d’outil et d’objet. Un concept est outil8 lorsque l’intérêt est focalisé sur l’usage qui en est fait pour résoudre un problème ou poser des questions. Un concept est objet lorsqu’il est considéré d’un point de vue culturel, qu’il a une place dans l’édifice structuré des connaissances d’un moment reconnues socialement.

  • 9 Douady, 1986, Recherche en Didactiques des Mathématiques Vol 7-2

29Dialectique outil/objet : R. Douady9 a construit des ingénieries didactiques basées sur une dialectique faisant intervenir la double nature des concepts mathématiques visés par l’enseignement. Il s’agit d’un processus cyclique organisant les rôles respectifs de l’enseignant et des élèves, au cours duquel les concepts mathématiques jouent alternativement le rôle d’outil pour résoudre un problème et d’objet prenant place dans la construction d’un savoir organisé.

30Un travail où interviennent de façon alternée et interactive les aspects outil et objet des concepts doit permettre leur adaptation et leur réinvestissement dans des situations différentes de celles qui les ont produits.

31La théorie de la dialectique outil-objet est associée aux notions de cadres, changements et jeux de cadres.

32Cadre : un cadre est constitué des objets d’une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales que le sujet associe à un moment donné à ces objets et à ces relations.

33Changement de cadres : un changement de cadres est un moyen d’obtenir des formulations différentes d’un problème qui, sans être nécessairement tout à fait équivalentes, permettent un nouvel accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d’outils et de techniques qui ne s’imposaient pas dans la première formulation.

  • 10 Douady, 1986, Recherche en Didactiques des Mathématiques Vol 7-2

34Jeux de cadres10 : les jeux de cadres sont des changements de cadres provoqués à l’initiative de l’enseignant, à l’occasion de problèmes convenablement choisis, pour faire avancer les phases de recherche et évoluer les conceptions des élèves.

35La dialectique outil-objet est créatrice de sens. Les jeux de cadres sont source de déséquilibre ; la ré équilibration participe à l’apprentissage. Les jeux de cadres jouent un rôle moteur dans l’une des phases de la dialectique.

 

36Décontextualisation / Contextualisation

37Il s’agit du processus visant à aller du particulier au général. En didactique des mathématiques, ce terme est notamment utilisé pour désigner le processus qui vise à généraliser le domaine de fonctionnement ou d’application d’une notion, à l’extraire du ou des contextes particuliers dans lequel ou dans lesquels, elle a été rencontrée pour lui donner un statut plus général. La notion ne dépend plus du problème spécifique qu’elle permet de résoudre mais prend place dans l’organisation des savoirs mathématiques. Inversement le processus de contextualisation revient à énoncer ou préciser un ou plusieurs problèmes (contexte) que la notion permet de résoudre.

38Le travail du professeur de mathématiques consiste dans un premier temps à contextualiser le savoir visé par l’enseignement, par exemple en choisissant un problème qu’il permet de résoudre puis dans un deuxième temps à généraliser le domaine de fonctionnement de ce savoir en élargissant le domaine des problèmes qu’il permet de résoudre et en décontextualisant progressivement le savoir en question.

 

39Concept

  • 11 Vergnaud 2002, La conceptualisation, clef de voûte des rapports entre pratique et théorie, In Analy (...)

40G. Vergnaud11 définit ainsi le concept comme un triplet : un ensemble de situations, qui donnent sens au concept ; un ensemble d’invariants opératoires, sur lesquels s’appuie l’organisation de l’activité ; un ensemble de formes symboliques et langagières, qui permettent de représenter les concepts et leurs relations avec l’action.

 

41Champ conceptuel

  • 12 Vergnaud 1981
  • 13 Vergnaud 2002, La conceptualisation, clef de voute des rapports entre pratique et théorie, In Analy (...)

42G. Vergnaud12 définit un champ conceptuel comme un espace de problèmes ou de situations-problèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroite connexion. Conceptualisation et schème sont étroitement associés. G. Vergnaud13 définit le schème comme une totalité dynamique fonctionnelle qui organise le déroulement dans le temps et dans l’espace des gestes instrumentaux (…). Plus précisément, c’est une organisation invariante de l’activité pour une classe de situations définie. L’invariance caractérise l’organisation et non l’activité ; le schème n’est pas un stéréotype ; il permet au contraire de traiter la contingence et la nouveauté, ce qui ne serait pas le cas s’il s’agissait d’un stéréotype. S’adressant à une classe de situations, c’est un universel. Pour étudier l’activité des individus (…), il est donc nécessaire d’identifier les différentes catégories de situations auxquelles ils sont confrontés – même si les limites de ces catégories ne sont pas hermétiques, ni rigoureusement définies.

43Un schème comprend nécessairement quatre composantes : un but (ou plusieurs), des sous-buts et des anticipations ; des règles d’action, de prise d’information et de contrôle, qui s’avèrent décisives pour sélectionner l’information pertinente et générer les actions au fur et à mesure ; des invariants opératoires, c’est-à-dire des théorèmes-en-actes (propositions tenues pour vraies sur le réel) et des concepts-en-actes (concepts pertinents pour la construction de ces théorèmes-en-acte) ; des possibilités d’inférence.

Notes

1 Pour des informations supplémentaires, le lecteur pourra consulter le glossaire de didactique rédigé par Joël Briand dans le tome 1 des documents pour la formation des professeurs d’école en didactique des mathématiques édité par la COPIRELEMet l’IREM de Paris 7. Certaines des citations figurant dans le présent glossaire en sont extraites.

2 Rapport GRECO DIDAMA T CNRS (1983)

3 Brousseau 1981, Problèmes de didactique des décimaux, Recherche en Didactique des mathématiques, vol 2.1.

4 Brousseau 1987, Briand (1991)

5 Douady, Perrin 1989 Educational Studies of mathematics Vol n° 20, Briand (1991)

6 Brousseau 1987, Briand (1991)

7 Brousseau 1986 Recherche en Didactique des mathématiques vol 7.2.

8 Douady, Perrin 1989 Educational Studies of mathematics Vol n° 20

9 Douady, 1986, Recherche en Didactiques des Mathématiques Vol 7-2

10 Douady, 1986, Recherche en Didactiques des Mathématiques Vol 7-2

11 Vergnaud 2002, La conceptualisation, clef de voûte des rapports entre pratique et théorie, In Analyse des pratiques et professionnalité des enseignants, Formation continue-Publications-Eduscol

12 Vergnaud 1981

13 Vergnaud 2002, La conceptualisation, clef de voute des rapports entre pratique et théorie, In Analyse des pratiques et professionnalité des enseignants, Formation continue-Publications-Eduscol

Table des illustrations

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© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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