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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Annexe III. Exemples d’activités de calcul mental

Texte intégral

1Cette annexe présente des exemples d’activités de calcul mental proposées dans chaque niveau de classe. Certaines des activités proposées aux élèves de CM2 sont reprises en 6e, voire en 5e. Les domaines numériques changent toutefois selon le niveau de la classe considérée.

III.1. Exemples d’activités de calcul mental, niveau CM2

1. Jeux de mémoire visuelle ou auditive

2Mémoriser des nombres seulement écrits ou énoncés ; les restituer tels quels ou avec un traitement numérique (ranger dans l’ordre croissant ou décroissant, ajouter ou enlever 1, 10, multiplier ou diviser par un nombre donné…)

2. Jeu du furet

3Compter, décompter de n en n (n entier à un, deux, ou trois chiffres) ; cas particulier des multiples de n (en particulier n = 10) ou de n décimal. L’activité est collective et orale. Le professeur interroge les élèves à tour de rôle dans un ordre quelconque. Un certain rythme doit être maintenu pour amener les élèves à calculer rapidement.

4Il s’agit par exemple de compter de 9 en 9 à partir de 7, de 13 en 13 à partir de 4 ou de décompter de 8 en 8 à partir de 123, de 14 en 14 à partir de 246, etc.

3. Jeux de portrait

5Plusieurs modalités possibles :

  • Le professeur choisit un nombre. Les élèves posent des questions pour le trouver auxquelles il n’est répondu que par “Oui” ou par “Non”.

  • Le professeur fait le portrait d’un nombre. Les élèves doivent le trouver ; il peut y avoir plusieurs solutions possibles. Par exemple : “Je suis entre 600 et 700 ; mon chiffre des dizaines est 8 ; mon chiffre des unités est la moitié de mon chiffre des dizaines” ; ou bien : “Je suis entre 100 et 200 ; je ne suis pas plus grand que 150 ; j’ai 13 dizaines ; mon chiffre des unités est plus petit que celui des dizaines” ; ou bien : “Je contiens 14 unités et 2 dizaines”.

  • À partir d’une liste de nombres écrite au tableau, le professeur fait le portrait d’un des nombres. Les élèves doivent le trouver à partir des informations données. Par exemple : Les nombres écrits au tableau sont : 27 ; 35 ; 55 ; 75 ; 54 ; 135 ; 202 ; 88. Le nombre cherché n’a pas trois chiffres, il se termine par 5, le chiffre des unités n’est pas le même que celui des dizaines, le chiffre des unités est plus grand que le chiffre des dizaines.

4. Jeu du nombre caché

6Le professeur choisit un nombre. Les élèves doivent le trouver en proposant des nombres. Le professeur répond « trop grand » ou « trop petit » (le maître peut proposer au départ un intervalle dans lequel il choisit son nombre).

5. Jeu de la chaîne

7À partir d’un nombre de départ, on applique des transformations successives (+, –, x), il faut trouver le résultat final.

6. Le nombre pensé

8L’inconnue peut être le nombre de départ ou le nombre d’arrivée. Par exemple : Je pense à un nombre ; je lui enlève 76 et je trouve 47. À quel nombre ai-je pensé ?

9Si l’inconnue est la règle, le jeu devient celui de “la règle pensée” : On donne deux ou plusieurs couples de nombres ; il faut trouver la règle sous-jacente. La règle peut être : ajouter n, enlever n, multiplier ou diviser par n, ou une combinaison de deux de ces règles. Par exemple : x → 3x + 5 ou x → 2x-1.

7. Le compte est bon. Cas particulier : objectif zéro

10Il s’agit d’atteindre (ou de se rapprocher le plus possible) d’un nombre cible à partir de quatre nombres donnés en les combinant avec les quatre opérations.

8. La conjecture de Syracuse

11On part d’un nombre n ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. On arrive toujours à 1.

12Ex : 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

9. Vrai ou faux ?

13Avec la moitié, le double, le tiers, le quart… Par exemple : La moitié de 700 est 350, vrai ou faux ?

10. Activités en liaison avec la numération

  1. Écrire en chiffres les nombres : 4033, 42 dizaines et 5 unités, 80 centaines, 150 dizaines…

  2. Nombre de dizaines, centaines, unités de mille : Combien y a-t-il de dizaines dans 546 ?, de centaines dans 1758 ?, d’unités de mille dans 145000 ?…

  3. Encadrement : Encadre le nombre 981 par les deux multiples de 10 les plus proches. Par les deux multiples de 100 les plus proches…

  4. Cas des nombres décimaux :

    1. Passer d’une écriture à une autre (écriture à virgule, fractionnaire, sous la forme “7 unités et 61 centièmes”) ; en particulier décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur : 36,07 = 36 + 0,07 ou 36,07 = 36 + 7/100

    2. Compléments à l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule : de 7,2 à 8 ou de 9,5 à 10…

    3. Encadrer un décimal entre deux entiers consécutifs

    4. Encadrer un décimal entre deux décimaux : Encadrer le nombre 3,05 par deux nombres s’exprimant en dixièmes

    5. Intercaler un décimal entre deux décimaux.

11. Multiplication par une puissance de 100

178 x 10

17 x 1000

5000 x 10

30000 ÷ 10

400000 ÷ 1000…

12. Additions et soustractions mentales

  • Calculer des sommes ou des différences du type : 300 + 60 ; 360-60 ; 2000 + 42 en liaison avec la numération parlée.

  • Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… à un nombre quelconque : 76 + 3 ; 385 + 50 ; 525 – 30…

  • Ajouter ou soustraire des nombres entiers : 31-18 450 – 180 2600 + 1400 39 + 45 60 – 26 119 + 36 83 – 49…

  • Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers en regroupant des termes “qui vont ensemble” : 47 + 180 + 60 + 53 + 20

  • Calculer des sommes ou des différences de nombres décimaux dans des cas simples : 5,6 + 2,4 7,2 – 2,5 etc.

  • Complément d’un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur : complément à 1 de 0,45

  • Écrire plusieurs différences égales : 958 – 792 = 968 – 802 =…

  • Compléments à 10, 100, 1000…, aux dizaines ou centaines supérieures : compléments de 430 à 500 puis de 2430 à 2500

  • Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou multiples de 250 inférieurs à 1000 : 75 = 50 + 25 1000 – 750 = 250

  • Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux : 2,5 + 2,5 = 5 ; 7,5 + 7,5 = 15

13. Multiplications et divisions mentales

32 x 5

32 x 25

28 x 9

34 x 11

158 ÷ 2

305 ÷ 5

549 ÷ 9

568 ÷ 8

14. Produits égaux

  • Déterminer différentes écritures d’un même nombre sous la forme d’un produit de deux facteurs

  • Déterminer si plusieurs écritures multiplicatives sont égales sans les calculer explicitement (par exemple : 8 x 36 et 12 x 24),

  • Utiliser la décomposition d’un nombre en produits de facteurs pour calculer mentalement des produits (par exemple : 18 x 36 = 2 x 9 x 9 x 4 = 81 x 8 = 648)

15. Problèmes à résoudre mentalement

  • La distance entre deux arrêts successifs d’un autobus est d’environ 1500 mètres ; au premier arrêt 10 personnes montent, au second arrêt 3 personnes descendent, au troisième arrêt 5 personnes montent. Y-a-t-il plus ou moins de personnes dans l’autobus quand il repart après ce troisième arrêt ? Combien en plus ou en moins ?

  • Un quadrillage rectangulaire comporte 168 carreaux en tout, il y a 4 carreaux sur la largeur. Combien y a-t-il de carreaux sur la longueur ?

  • Un restaurant propose un menu du jour à 70 F. Il y a quatre choix possibles pour l’entrée, trois choix possibles pour le plat principal et, deux choix possibles pour le dessert. Combien de menus différents peut-on constituer ?

  • Avec ses bottes de 7 lieues, le Petit Poucet se déplace de ville en ville ; il fait des pas de 8 km. S’il parcourt 50 km, combien de pas va-t-il faire ?

III.2. Exemples d’activités de calcul mental, niveau sixième

14Il s’agissait notamment de reprendre les activités exposées ci-dessus en étendant le domaine numérique fréquenté. Citons notamment :

1. Compter, décompter

  • Compter de 0,3 en 0,3 à partir de 7,2 ;

  • Décompter de 0,3 en 0,3 à partir de 7,2.

2. Ordre de grandeur

15Donner une valeur approchée de 0,195 x 4,11 ; de 0,294 x 0,4 ;

16Le quotient de la division 9675 ÷ 43 est-il de l’ordre de 2, 20 ou 200 ?

17Ordre de grandeur de 21,7 x 39, à l’unité près.

18Des deux fractions 5/7 et 7/5, laquelle est plus petite que 1 ?

3. Opérations mentales

407,8 – 100

407,8 – 10

407,8 – 0,1

407,8 – 1/100

4. Calcul rapide sur les fractions

1/9 x 3/5

2/7 x 3/4

23,5 + 4/100

19Donner quatre écritures différentes de 35/8 en utilisant les signes +, –, x.

5. Problèmes à résoudre mentalement

  • J’achète 48 bonbons à 0,80 F l’un. J’ai 24 F. Ai-je assez ? J’ai 50 F. Ai-je assez ?

  • J’ai 18F dans mon porte-monnaie, combien au maximum puis-je acheter de sucettes coûtant 1,50 F l’une ?

  • Deux groupes montent dans un car. Il y a 30 personnes dans le premier groupe, le nombre de personnes du deuxième groupe est égal au 2/3 de celui du premier. Combien de personnes sont montées ?

  • On sait que deux élèves sur trois ont plus de 12 au contrôle. Donner trois exemples de classes, en indiquant pour chacune le nombre total d’élèves et le nombre d’élèves ayant eu plus de 12 au contrôle.

III.3. Exemples d’activités de calcul mental, niveau cinquième

20De même, certaines des activités précédentes sont reprises dans le cadre du domaine numérique fréquenté en 5e. Citons par exemple :

1. Ordre de grandeur d’un résultat

73 x 10,2

4731,4 + 5036

1000,3 – 218

2. Priorité des opérations, énoncé de problème

  • Effectue 200 + 4 x 30

  • Invente un problème qui se résout par ce calcul.

3. Travail sur les fractions

  • Ecris sous forme d’un entier le plus grand possible plus une fraction : 3/2 14/3

  • Donne une autre écriture fractionnaire de : 4/6 7/3

  • Ecris en ordre croissant : 4/5 2/5 7/4 7/5

  • Ecris une fraction égale à : 0,25 1,2

  • Ecris si possible un nombre décimal égal, sinon la valeur approchée à 0,01 près de : 3/2 3/4 2/3

  • Effectue : 3/7 + 5/7 1 – 7/9 2 + 3/5
    6 x 7/3 2/5 x 4/5 2/7 x 3/4

4. Problèmes à résoudre mentalement

  • Julien a eu 30 sur 40 au premier devoir et 20 sur 30 au deuxième. Quelle est la meilleure note ?

  • Huit garçons et quatre filles mangent chacun un petit pain au chocolat à 2,50 F. pièce. Combien les enfants ont-ils dépensé en tout ?

  • Un rectangle a une longueur de 8 cm et une largeur de 6 cm, un autre rectangle a une longueur de 17 cm et une largeur de 15 cm. Leurs côtés sont-ils proportionnels ?

  • Un pull valait 200 F. Combien vaut-il après une augmentation de 25 % ?

  • Après 20 % de réduction, un livre coûte 40 F. Combien coûtait-il avant la réduction ?

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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