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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre IX. Conclusion

Texte intégral

1Les résultats des recherches que nous avons exposées dans cet ouvrage apportent des éléments de réponses aux questions soulevées dans l’introduction. Certains portent sur l’ensemble des élèves, d’autres concernent plus particulièrement les élèves en difficulté en mathématiques ou les élèves scolarisés en ZEP.

1. Résultats sur les techniques opératoires et la conceptualisation

2Nos travaux nous ont permis de mieux cerner les liens existant entre travail sur les techniques opératoires et conceptualisation.

3Dans les chapitres 2 et 3 de cet ouvrage, nous avons montré en quoi les connaissances numériques des élèves conditionnent la construction de techniques opératoires standard écrites (multiplication) et la mobilisation de procédures de calcul mental adaptées (décompositions additives et multiplicatives des entiers). À l’inverse, nous avons aussi établi qu’un travail spécifique sur les techniques opératoires contribue à renforcer ces connaissances sous certaines conditions : en particulier, nous avons vu comment la mise en place d’automatismes de calcul élémentaires peut accroître les répertoires additif ou multiplicatif des élèves ainsi que la disponibilité de faits numériques dépassant les classiques tables d’addition et de multiplication.

4Dans les chapitres 4 et 5, nous avons analysé les liens existant entre techniques opératoires et résolution de problèmes numériques. Une plus grande habileté calculatoire – surtout quand elle est acquise grâce à une pratique régulière de calcul mental – accélère le processus d’automatisation de reconnaissance des opérations usuelles. Elle permet une meilleure acquisition des structures additives et multiplicatives.

  • 1 Cf. Douady, 1987.

5Cette relation dialectique entre d’une part l’acquisition de connaissances sur les nombres entiers (portant notamment sur les décompositions additives et multiplicatives) ou résolution de problèmes numériques et la maîtrise de techniques opératoires standard d’autre part, renvoie à une dialectique entre les aspects outil et objet des concepts mathématiques. Douady1 développe l’idée qu’un concept mathématique a une double nature d’outil et d’objet : il peut être étudié comme outil quand on s’intéresse à son fonctionnement dans les problèmes qu’il permet de résoudre et comme objet quand on s’intéresse à la place et au statut qu’il occupe dans l’organisation des savoirs mathématiques reconnue culturellement à un moment donné par la communauté scientifique.

6Des aspects différents du concept d’entier naturel fonctionnent comme outils dans la pratique de techniques opératoires (décompositions additives, règles de fonctionnement). Cette mobilisation comme outil contribue à la maîtrise du concept : la connaissance des décompositions additives et multiplicatives des nombres entiers détermine la mobilisation de procédures de calcul mental économiques, le travail sur ces techniques renforçant ensuite ces connaissances sur les nombres et justifiant leur étude en tant qu’objet.

7De même, la connaissance des opérations et de leurs propriétés permet de résoudre plus facilement les problèmes dans lesquels elles interviennent. Un travail du concept comme objet est nécessaire à l’automatisation du processus de reconnaissance ; en retour, la résolution de problèmes familiarise l’élève avec l’opération et favorise ainsi la reconnaissance de celle-ci.

8Ces premiers résultats concernent l’ensemble des élèves, les recherches qui ont permis de les obtenir n’ayant pas été spécifiquement centrées sur les élèves en difficulté. L’analyse des difficultés rencontrées permet toutefois de repérer des cheminements cognitifs différents et d’identifier des sources possibles de différenciation.

2. Résultats concernant les élèves en difficulté

9Certaines caractéristiques des élèves en difficulté mises en évidence par les travaux de Perrin-Glorian sont confirmées par nos recherches.

10Tous nos travaux sur le calcul mental et la résolution de problèmes attestent que les élèves en difficulté commettent des erreurs ou utilisent des procédures inadaptées semblables à celles de leurs pairs plus à l’aise en mathématiques. Néanmoins, ces erreurs semblent plus réfractaires aux diverses tentatives de traitement professorales.

11De même, les procédures primitives, coûteuses et/ou inadaptées au problème ou aux données perdurent plus longtemps (cf. le problème de l’autobus) ; les procédures plus expertes sont adoptées plus tardivement et sont souvent contrariées par les premières. Enfin, ces élèves produisent peu de représentations permettant d’explorer la structure des problèmes à résoudre (cf. le problème des menus) ou les mettent en œuvre plus tard que les autres.

12Les élèves en difficulté en mathématiques ne mobilisent pas suffisamment les connaissances adaptées au problème du moment : ces connaissances ne semblent pas disponibles. Ils ont tendance à se servir d’algorithmes stéréotypés qui, bien que pouvant conduire à la réponse recherchée, amènent fréquemment à suivre des voies trop coûteuses. Ils utilisent plus souvent que leurs pairs des algorithmes écrits en “posant dans la tête” un calcul demandé mentalement, et nous avons même observé des dérives formelles importantes : certains élèves de CM2 qui essaient par exemple de calculer mentalement le produit 25 x 32 en mettant en œuvre une double distributivité (20 + 5) x (30 + 2) oublient tel ou tel terme de la somme. Le manque d’adaptabilité semble donc être une caractéristique particulièrement fréquente chez les élèves en difficulté en mathématiques.

13S’il peut arriver que des élèves habituellement faibles en mathématiques présentent de très bonnes compétences en calcul mental, ces cas demeurent rares. Le plus souvent, les activités de calcul mental reproduisent les inégalités constatées en général en mathématiques. Cela renvoie à une autre contradiction : parce que tout calcul mental exige un effort d’adaptation, les élèves faibles risquent de moins bénéficier des effets de cette pratique que leurs pairs en tant même qu’ils doivent fournir un effort plus grand encore. Si le calcul mental développe les capacités d’adaptation des élèves, il profite surtout à ceux qui sont déjà capables de s’adapter aux autres activités mathématiques.

14Les institutionnalisations locales concomitantes des activités de calcul mental sont moins efficaces pour les élèves en difficulté parce que la perception des enjeux didactiques s’avère plus malaisée dans leur cas. Les connaissances et les procédures de calcul institutionnalisées ayant un domaine de validité limité, les institutionnalisations portent plus souvent sur les démarches de calculs que sur les critères qui permettent de choisir entre ces démarches.

15Ces élèves prennent peu de recul par rapport à l’action car ils n’identifient pas aussi vite et aussi bien que leurs pairs les enjeux d’apprentissage des situations fréquentées. Se traduisant également par une difficulté à évaluer la pertinence des procédures susceptibles d’être mises en œuvre dans les calculs comme dans les problèmes, ce trait renforce la difficulté explicitée ci-dessus. Pour nombre d’entre eux, toutes les solutions se valent, surtout s’ils ont réussi à en ébaucher une.

16Nous avons essayé dans un second temps d’analyser plus finement les conditions qui pourraient permettre aux élèves en difficulté de bénéficier des effets positifs d’une pratique régulière de calcul mental et du travail sur les techniques opératoires qui l’accompagne.

17Ces derniers travaux de recherches reposent sur une hypothèse préalable.

18Les activités de calcul mental supposent des capacités d’adaptation supplémentaires : les enjeux des institutionnalisations qu’elles impliquent étant plus difficiles à saisir, elles supposent en général des compétences qui font défaut aux élèves en difficulté. Mais, dans la mesure où ces compétences sont développées par la pratique du calcul mental, réduire, voire éviter ces activités considérées d’emblée comme plus difficiles risquerait d’accroître les difficultés de ces élèves en les privant d’expériences numériques indispensables.

19Il en va de même du travail sur les techniques opératoires : il ne peut influer sur d’autres apprentissages que s’il ne se limite pas aux techniques standardisées qui sont justement recherchées en priorité par les élèves le plus en difficulté. Seule la diversification de ces techniques est susceptible de contrer cette tendance.

20Ce n’est toutefois possible que si des conditions particulièrement propices à l’enrôlement des élèves faibles favorisent le dépassement des difficultés évoquées ci-dessus. Ces conditions font l’objet des recherches centrées sur les apprentissages des élèves en difficulté, notamment scolarisés en ZEP. L’expérimentation d’ingénieries alliant pratique régulière du calcul mental et travail sur les techniques opératoires à d’autres leviers – tels que le recours à l’écrit, le débat entre pairs ou encore la pratique régulière de bilans de savoirs – nous a permis de déterminer quels itinéraires cognitifs sont favorables aux apprentissages.

21Rappelons les principaux résultats enregistrés.

2.1. Simple-complexe, une absence de règles générales

22Nos travaux montrent qu’il n’existe pas de stratégie générale efficace pour tous les types de problèmes. La stratégie à adopter pour favoriser les apprentissages dépend beaucoup de la nature du problème à résoudre. Une progression de type simple-compliqué productive pour un problème de composition de transformations additives (problème de l’autobus) peut s’avérer inopérante et faire obstacle pour un problème de dénombrement comme celui du problème des menus. Dans le premier cas, une familiarisation avec la structure du problème faisant intervenir de petits nombres favorise la construction d’une représentation du problème ; dans le second, cette même familiarisation se traduit par la mise en œuvre et l’installation de procédures trop primitives. Celles-ci limiteront par la suite l’exploration de procédures plus expertes et plus adaptées à la structure du problème mais exigeant que l’élève rompe avec les conceptions précédentes.

23Nous avons vu que jouer sur les variables de la situation permet des apprentissages durables : des changements du rapport au savoir et à l’école perceptibles bien que limités deviennent dès lors possibles.

24La pratique régulière de bilans de savoirs finalisés par la production d’un écrit collectif consécutifs à un débat entre élèves amène les élèves de CE2, mais aussi de CM2, 6e et 5e, à prendre de la distance par rapport à l’action. Ils apprennent ainsi à repenser collectivement les situations fréquentées en termes d’apprentissage plutôt qu’en termes d’action : il nous est apparu que ce retour réflexif sur les activités mathématiques initialise un processus d’anticipation qui se traduit par un affinement de la compréhension des enjeux didactiques.

25Le rapport au savoir mathématique de ces élèves a évolué. Le rapport à l’école en général semble avoir été partiellement modifié, ce second effet étant toutefois plus difficile à mesurer. Lors d’entretiens, les professeurs des classes concernées déclarent qu’une grande partie des élèves envisagent autrement leur métier d’élève : ils acceptent davantage de s’engager dans des recherches, ils se sont d’après eux « remis au travail ».

2.2. Des itinéraires cognitifs originaux ménageant des étapes profitables

26Une pratique régulière de calcul mental alliée à des bilans de savoirs finalisés par la production d’un écrit collectif a montré que l’aménagement d’étapes dans le processus de conceptualisation est susceptible de profiter aux élèves en difficulté. La généricité que ces étapes font émerger se révèle dans les énoncés mathématiques produits notamment par les élèves en difficulté lors de bilans de savoirs ; ce sont des écrits mathématiques intermédiaires : les énoncés formels de définition ou de propriétés s’appuyant sur ou illustrés par un exemple générique qu’ils constituent correspondent à un niveau de décontextualisation qui renvoie lui-même à une étape précise du processus de conceptualisation. Tout se passe comme si l’élève ressentait le besoin de contextualiser l’énoncé formel afin de pouvoir non seulement l’expliquer à un pair, mais aussi se l’expliquer à lui-même.

27Ces productions résultent de la dialectique entre appropriation individuelle et construction collective de savoirs que la pratique régulière de bilans de savoirs finalisés par la production collective d’un écrit tend à mettre en place. On peut les rapprocher de la notion de pseudo-concept chère à Vygotsky, auteur qui a décrit le processus de formation des concepts comme le passage d’une structure de généralisation à une autre dans son ouvrage intitulé Pensée et langage. Sans être équivalentes complètement à de pseudo-concepts, les étapes du processus de conceptualisation paraissent remplir des fonctions similaires : facilitant comme eux la communication afférente à une même notion mathématique entre pairs de niveau cognitif proche, elles profitent aux élèves en difficulté en tant même qu’elles leur permettent d’accéder à une meilleure conceptualisation.

28L’apparition d’outils heuristiques transitoires correspond à une autre forme d’intermédiaire. Les élèves en difficulté des classes de 6e et de 5e qui ont bénéficié des ingénieries décrites en troisième partie de cet ouvrage déclarent mettre en œuvre des démarches de type pré-algébrique lors de la résolution de problèmes numériques. Ils remplacent par exemple les nombres de l’énoncé par des nombres plus simples (par des entiers naturels plus petits) afin de rechercher l’opération à effectuer ; cette démarche est significative d’un changement de statut des données : elles ne sont plus figées, mais peuvent être changées. Ces démarches semblent correspondre à une forme de réinvestissement des compétences acquises pendant les activités de calcul mental.

2.3. Un bilan contrasté

  • 2 Cf. Butlen, Pézard, 1992.

29Nos recherches révèlent donc des pistes intéressantes pour les apprentissages des élèves faibles, mais ces pistes restent d’une portée limitée car elles ne concernent pas tous les élèves en grande difficulté : c’est surtout chez les élèves de CE2 en difficulté moyenne que nous avons observé les effets les plus marqués. Ces limites sont confirmées par les recherches effectuées sur des classes de dernière année d’école élémentaire et de début de collège (6e et 5e), et cela, malgré une expérimentation portant sur un temps plus long (deux années scolaires). Ces limites peuvent vraisemblablement s’expliquer par des phénomènes de seuil ; de convergence et de cumul (phénomènes déjà mis en évidence par Perrin-Glorian). Les phénomènes de seuil sont liés aux pré-requis. Ainsi lors de calculs mentaux, nous avons montré que l’élève ne pourra adapter ses procédures aux nombres en jeu que s’il dispose de connaissances suffisantes sur les décompositions des nombres. De même, d’autres pré-requis relatifs au langage et à la communication mais aussi relevant du domaine cognitif semblent nécessaires pour bénéficier d’une pratique de débats de savoirs et de production d’écrits collectifs. De plus, les difficultés rencontrées par certains élèves semblent tellement se cumuler que leur traitement devient plus difficile. Une autre recherche que nous n’avons pas évoquée ici – elle a trait à une autre classe de CE2 située en ZEP – confirme également ce résultat2

30Les représentations de l’élève jouent un rôle important dans sa réceptivité. Des caractéristiques personnelles que ni l’enseignant ni le chercheur ne maîtrisent peuvent favoriser ou interdire à tout moment l’impact d’une intervention. Rappelons à ce propos l’exemple de Rachid, élève d’une classe de CE2 dont nous avons détecté le cas grâce à des entretiens particuliers. Rachid pense que le plus important pour « être bon élève », c’est de « bien tenir son cahier, de s’appliquer, de bien écrire, de bien souligner ». Ainsi, pour réussir une multiplication, il lui faut absolument bien disposer les chiffres les uns sous les autres. Rachid déploie tellement d’efforts pour bien écrire qu’il ne peut bénéficier des institutionnalisations. Il est toujours en retard sur le reste de la classe. De ce fait, il n’entend pas toujours ce qu’il est important de retenir. Pourtant, rien ne le distingue des autres élèves en cours de séance. En effet, palliant son retard par des mémorisations et des prises d’indices superficiels particulièrement efficaces, il semble “dans l’activité”. Ce n’est qu’à moyen terme qu’il “décroche”. Dans l’immédiat, il réussit à se maintenir à niveau et répond ponctuellement aux demandes du professeur.

31Seul un entretien de fin d’année nous a permis de comprendre ce rapport particulier à l’école et à la réussite. Nous sommes ici confrontés à une contradiction décisive : les conceptions de Rachid doivent être prises en compte de manière spécifique, mais cela ne doit pas se faire au détriment des apprentissages collectifs. Ces apprentissages collectifs doivent exister et se concilier avec la logique de fonctionnement particulière à cet individu.

32Pour conclure, résumons les pistes de travail que nos recherches ont permis de dégager.

3. Diversifier les types d’intervention

33Nous avons constaté à maintes reprises que le contact avec un élève particulier pouvait s’établir sur un thème mathématique donné. Certains se réconcilient avec les mathématiques en se valorisant au cours d’activités de calcul mental ; d’autres deviennent attentifs quand on évoque les conditions historiques de la découverte de certains concepts mathématiques ; quelques-uns enfin découvrent les mathématiques grâce au dessin géométrique. Dans chaque cas de figure, l’élève a éprouvé du plaisir en faisant des mathématiques.

34Ce plaisir peut être dû à la pratique mathématique elle-même ou au pouvoir qu’elle confère. Ainsi, un élève en échec fréquent qui peut à l’occasion d’un calcul mental exposer une procédure originale et reconnue comme économique cherchera à retrouver cette impression valorisante. Cette recherche de pouvoir ou de valorisation assez fréquente notamment chez les garçons scolarisés en ZEP peut être une piste à exploiter. Si l’élève comprend que les mathématiques en particulier, et le savoir en général, lui confèrent un pouvoir ou une possibilité de contrôle sur le monde qui l’entoure, son rapport à l’école peut en être modifié.

35Cela permet également au professeur d’avoir dans la classe des “alliés” sur lesquels il pourra s’appuyer pour enseigner.

36La diversité des cheminements cognitifs que nous avons constatée nous conduit à penser que l’enseignement doit proposer un environnement mathématique suffisamment riche, organisé autour des notions à acquérir durant l’année. Il s’agit avant tout de permettre aux élèves d’accumuler des expériences variées, de revenir dessus, d’échanger avec leurs pairs et débattre sur des savoirs.

  • 3 Cf. Butlen, 2003 et 2004.
  • 4 Nous ne développerons pas davantage cette question qui a fait l’objet d’une autre publication (Butl (...)

37Dans une autre recherche3, nous avons constaté que la mise en place de cet environnement mathématique ne se fait que si des conditions propres aux pratiques professionnelles des enseignants sont remplies. En effet, la prise en compte de la diversité des cheminements cognitifs des élèves s’accompagne d’une diversification de pratiques pour le professeur4.

4. Des connaissances indispensables qui ne sont pas toujours enseignées

  • 5 Cf. Briand, 1994.

38Certaines activités sont indispensables à des apprentissages futurs. Elles mettent en jeu des connaissances qui ne sont pas toujours reconnues comme des savoirs à enseigner par l’institution scolaire. Briand a montré5 que c’était le cas pour l’énumération. Les élèves en difficulté issus de milieux socialement défavorisés ne peuvent bénéficier d’un environnement familial et culturel prenant en charge ces apprentissages en lieu et place de l’école.

39C’est aussi le cas pour le calcul mental ; une pratique régulière de calcul mental favorise certains de ces apprentissages souvent implicites.

40Prenons les exemples de l’apprentissage de la numération écrite avec des mots – appelée par certains “numération orale” – et du passage de la numération de position chiffrée à la numération orale.

  • 6 Le système de numération de position chiffrée en base dix, utilise les dix chiffres : 0, 1,…, 8, 9. (...)

41Ces deux systèmes fonctionnent différemment6. Les règles d’écriture et de lecture ne sont pas les mêmes. L’enfant de CP doit apprendre en même temps les deux systèmes et acquérir des automatismes. Il doit penser 80 et donc “voir” les chiffres 8 et 0 en entendant quatre-vingts.

42Les manuels scolaires prévoient de nombreuses activités propices à l’exploration des règles de la numération chiffrée : activités de groupements et d’échanges, étude de “compteurs”, etc. En revanche, l’apprentissage des règles de la numération écrite avec des mots est souvent plus succinct : les activités permettant d’en découvrir les règles de fonctionnement et les exceptions sont plus rares. En fait, l’activité scolaire la plus fréquente est la dictée de nombres. L’élève doit alors apprendre et explorer, en même temps qu’il doit les restituer, les règles qui permettent de traduire dans l’un des systèmes l’écriture d’un nombre écrit dans l’autre système. Non seulement l’apprentissage de la numération orale n’est pas assez systématisé, mais il semble même relever pour une large part d’apprentissages effectués dans un cadre extra scolaire.

43Le risque d’acquisitions fragiles et incomplètes est alors très grand. Si l’école ne prend pas en charge ces apprentissages, l’existence de milieux culturels différents peut conduire à des inégalités et devenir source de difficultés cognitives réelles.

44Des élèves de CP écrivent fréquemment 420 au lieu de 80 en entendant quatre-vingts, puis cette erreur s’estompe les années suivantes. L’élève semble avoir acquis les deux écritures de manière différente et traduire automatiquement l’une dans l’autre. Les enseignants peuvent alors être rassurés ; l’apprentissage semble durable. Toutefois, beaucoup reproduisent plus tard cette erreur dans le cadre de l’apprentissage des grands nombres : ils écrivent souvent (mais pas systématiquement) 2000420 pour 2000080 (deux millions quatre-vingts).

45Nous présentons en annexe IV des exemples d’activités capables de s’inscrire dans une pratique de calcul mental et visant ces apprentissages spécifiques. Les élèves issus de milieux modestes ne bénéficient pas de certains enseignements et ne peuvent donc pas toujours combler les manques ainsi occasionnés. C’est le cas pour la numération, pour certains calculs mais aussi pour d’autres enseignements tels que les changements de cadres ou pour l’ancrage des connaissances nouvelles dans les connaissances anciennes.

5. Adapter les situations au public de ZEP

46Des recherches restent à mener en didactique des mathématiques pour adapter les situations proposées par les manuels scolaires aux élèves de ZEP. Celles-ci ont été souvent inspirées par des ingénieries ou des innovations expérimentées dans des classes non situées en ZEP. Il s’agit de ne pas se limiter a priori dans le choix des situations, mais de montrer qu’il est possible, tout en gardant leur richesse, de les modifier pour ce public. Cette adaptation doit être guidée par la prise en compte de plusieurs critères explicitement définis.

47Citons quelques exemples de critères guidant l’adaptation de situations construites pour un public standard (complexité, durée, découpage et planification des tâches) ou la mise en place de situations élaborées pour prévenir certaines difficultés spécifiques (contexte, lien entre connaissances anciennes et connaissances nouvelles) ou y remédier.

La durée et le degré de complexité des situations

  • 7 Cf. Butlen et al., 2004.

48Lors d’entretiens que nous avons menés avec des professeurs débutants7, ces derniers reprochent souvent à la formation initiale de proposer des situations faites pour des classes standard. En effet, ces situations sont souvent issues ou inspirées par des ingénieries didactiques construites à l’occasion de recherches testées dans des classes ordinaires : il convient par conséquent d’aider ces professeurs à se doter des outils intellectuels indispensables à l’élaboration d’un enseignement tenant compte des spécificités de leur public, afin de leur donner la possibilité de proposer des situations assez complexes pour que la notion abordée puisse prendre du sens mais aussi assez simples pour que les élèves puissent mobiliser les connaissances nécessaires à leur engagement dans l’activité prescrite.

Le découpage de la tâche

49Dans les pratiques dominantes du genre majoritaire observé, nous avons souvent relevé un découpage quasi systématique de la tâche de l’élève en tâches élémentaires les plus simplifiées possible. Si les activités algorithmisées se justifient dans les phases d’entraînement, les situations d’apprentissage, notamment de notions nouvelles, doivent laisser à l’élève une part d’initiative, un temps de recherche réel, en particulier.

Le contexte des situations

  • 8 Cf. Ngono, 2003

50Elles peuvent être choisies dans des contextes variés non nécessairement proches du vécu des élèves contrairement à une pratique assez répandue, notamment en ZEP. Cette pratique se fonde sur l’idée que le choix d’un contexte proche du vécu des élèves va faciliter la dévolution du problème en montrant l’utilité des mathématiques dans la vie courante, mais nous avons pu constater à plusieurs reprises qu’elle a des effets pervers8. Les élèves se situant dans un domaine de rationalité autre que les mathématiques, l’enseignant se trouve confronté à une difficulté supplémentaire due à son défaut d’anticipation : incapable le plus souvent de résister aux malentendus créés, il ne réussit pas à revenir au problème mathématique initial.

L’ancrage du nouveau dans l’ancien

  • 9 Cf. Perrin-Glorian, 1993 ; Butlen, Pézard, 2003.

51Les élèves de ZEP doutent souvent autant de leurs capacités potentielles que de leurs compétences déjà acquises. Des phases de rappels plus nombreuses et plus régulières9 permettent alors de rassurer les élèves, de leur donner des repères et de les aider à prendre du recul par rapport à leurs connaissances. Il s’agit de mettre en relation les différentes activités tout en ancrant les connaissances nouvelles dans les connaissances anciennes.

52Ces différentes pistes de travail constituent de nouveaux sujets de réflexion et de recherche ; ils concernent l’enseignement des mathématiques aux élèves en difficulté mais aussi la formation initiale et continue des enseignants.

Notes

1 Cf. Douady, 1987.

2 Cf. Butlen, Pézard, 1992.

3 Cf. Butlen, 2003 et 2004.

4 Nous ne développerons pas davantage cette question qui a fait l’objet d’une autre publication (Butlen, 2004).

5 Cf. Briand, 1994.

6 Le système de numération de position chiffrée en base dix, utilise les dix chiffres : 0, 1,…, 8, 9. Il suffit d’écrire dans le bon ordre les chiffres 2, 4, 6 et 9 pour désigner le nombre 2469. La position du chiffre indique l’exposant de la puissance de dix correspondant : 2469 = 2 x 103 + 4 x 102 + 6 x 101 + 9 x 100
Les opérations implicites sont des multiplications et des additions. L’ordre est évidemment indispensable à l’écriture et à la lecture des nombres dans ce système (d’où son nom). Ce système permet d’écrire sans ambiguïté tous les nombres entiers avec 10 chiffres seulement.
Le système de numération orale (ou encore écrite avec des mots) est un système polynomial. Dans ce système, nous écrivons le nombre 2469 : “Deux mille quatre cent soixante-neuf”. Les mots ne désignent pas les mêmes objets, certains désignant des coefficients multiplicatifs de la puissance de la base, d’autres désignant les puissances de la base correspondante et d’autres encore désignant une concaténation des deux. Les opérations implicites sont aussi des multiplications et des additions. Localement nécessaire, l’ordre correspond davantage à une nécessité sociale qu’à une nécessité mathématique. Contrairement au système précédent, il n’est pas potentiellement possible d’écrire tous les nombres entiers car il faut une infinité de mots pour désigner la suite infinie des puissances successives de 10. Il faut alors inventer une nouvelle règle permettant de générer ces mots.

7 Cf. Butlen et al., 2004.

8 Cf. Ngono, 2003

9 Cf. Perrin-Glorian, 1993 ; Butlen, Pézard, 2003.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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