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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre VIII. Processus de conceptualisation chez les élèves en difficulté

Texte intégral

1Nous nous intéressons dans ce chapitre au processus de conceptualisation de certaines notions mathématiques. Une ingénierie adaptée nous a permis de mettre en évidence des étapes de ce processus qui semblent profitables aux élèves en difficulté. Ces étapes correspondent à des degrés de décontextualisation différents.

2L’ingénierie qui nous a permis de les susciter reprend et développe les leviers exposés dans les chapitres précédents : une pratique régulière de calcul mental, des bilans de savoirs finalisés par la production collective d’un écrit rédigé suite à un débat entre élèves. Nous avons pris en compte la diversité des élèves. Nous avons choisi comme indice révélateur de cette diversité, le degré de décontextualisation des formulations écrites qu’ils produisent.

  • 1 Nous présentons ici une synthèse des principaux résultats ainsi que de la méthodologie qui a permis (...)

3Avant de présenter les résultats de cette recherche1, nous exposons comment nous avons articulé décontextualisation et conceptualisation afin d’analyser les processus en jeu et précisons les questions auxquelles nous contribuons à répondre.

I. Un premier exemple : l’émergence d’une certaine généricité

1. Des degrés différents de conceptualisation et décontextualisation

4Nous admettons une hypothèse préalable : chez les élèves de 11 à 13 ans, la conceptualisation de certaines notions implique et est impliquée par différentes activités de décontextualisation : généralisation, changement de contexte, formalisation, etc. qui correspondent à des degrés différents.

5Vygotsky dans Pensée et langage décrit le processus de formation des concepts comme le passage d’une structure de généralisation à une autre et définit le pseudo-concept comme un équivalent fonctionnel du concept, en apparence semblable au concept, mais qui en diffère quant au mode de généralisation et de catégorisation dont il résulte. Ces deux niveaux de conceptualisation, bien que différents, permettent toutefois aux individus de communiquer et de se comprendre (au moins partiellement). Nous montrons dans l’analyse qui suit que des formulations produites par les élèves témoignent aussi d’étapes intermédiaires dans le processus de conceptualisation. Sans identifier complètement ces étapes à des pseudo-concepts, elles semblent assurer des fonctions similaires. Elles permettent la communication entre pairs de niveaux cognitifs différents à propos d’une même notion mathématique et s’avèrent profitables pour des élèves en difficulté dans la mesure où elles leur permettent d’accéder à une meilleure conceptualisation.

6La décontextualisation peut être en partie dévolue aux élèves. En effet, elle ne s’opère pas uniquement dans les phases d’institutionnalisation mais peut commencer dès qu’il y a explicitation de la part des élèves, par exemple de modèles implicites mobilisés dans l’action. Cette décontextualisation peut s’opérer aussi lors des différentes phases de formulation, en particulier lorsque celles-ci prennent la forme d’un débat entre élèves débouchant sur la production collective d’un écrit. La décontextualisation ne se termine pas toujours, pour les élèves, avec l’institutionnalisation. Il peut être profitable, voire nécessaire, de revenir sur les notions étudiées lors de situations spécifiques, construites pour cela.

Exemples d’énoncés témoignant de degrés de décontextualisation différents

7Voici des exemples de formulations relatives à la multiplication d’un nombre décimal par une puissance entière de 10. Peu d’élèves de cet âge produisent l’énoncé complet de la propriété ; celui-ci est difficile à restituer avec le langage usuel sans utiliser des outils mathématiques plus formels.

8Nous avons constaté une diversité d’exemples ou d’énoncés incomplets témoignant de niveaux de généralités différents. Voici certaines de ces formulations que nous avons réorganisées en fonction de leur degré de formalisation :

  • Un exemple sur les entiers : « 150 x 100 = 15000 » ; la règle est limitée aux entiers et au domaine de calcul usuel (multiplication par 10n avec n < 3) ;

  • Des exemples partiels sur les décimaux, pouvant être accompagnés de quelques éléments de règle : « 1,50 x 100 = 150, quand on multiplie par 100, on repousse la virgule de 2 rangs 1,50 x 104 = 15000 » ;

  • Des énoncés illustrés par un exemple générique : « Dans notre tête, mentalement, nous nous sommes dit que l’exposant indiquait de combien de rangs vers la droite, on déplaçait la virgule. Là comme le multiplicateur était 104, on l’a déplacée de 4 rangs vers la droite et on a complété par deux zéros car il manque deux nombres à la partie décimale. Exemple 1,50 x 104 = 15000. » ;

  • Ou encore la formulation d’une règle plus décontextualisée : « Pour multiplier un nombre par des puissances de 10 : on met autant de zéros à droite du nombre que l’indique l’exposant. »

9Ces énoncés diffèrent par leur degré de généralisation (ensembles numériques de référence, emploi d’une notation plus ou moins formalisée) ou par leur degré de décontextualisation lié à la présence d’une règle plus formelle. Pour nous, ces énoncés sont associés à des degrés de conceptualisation différents.

10Les étapes intermédiaires que notre ingénierie met en évidence se traduisent par la production par les élèves d’énoncés dont le degré de décontextualisation est intermédiaire entre l’exemple seul et l’énoncé formel d’une définition, d’une propriété ou d’un théorème. Il peut s’agir soit d’un exemple générique induisant une règle générale mais non formulée, soit d’un énoncé illustré par un exemple ou formulé à partir d’un exemple.

2. Problématique et ingénierie

2.1. L’hypothèse à l’origine de la recherche

11Afin de favoriser la conceptualisation de certaines notions mathématiques, nous avons proposé aux élèves de s’exercer régulièrement à des décontextualisations de propriétés ou de définitions liées à ces notions. Les élèves en difficulté ont en effet du mal à produire des énoncés non contextualisés. Nous avons donc essayé de remédier à cette difficulté en provoquant différentes activités de décontextualisation pour entraîner la conceptualisation visée. Il s’agit en fait d’amener les élèves à davantage de généralisation (extension par exemple du domaine de validité de la propriété étudiée) ou bien à davantage de formalisation ou plus simplement à dépasser la description du contexte de la situation ou l’énoncé de la tâche prescrite pour expliciter l’activité mathématique en jeu. Il s’agit aussi de provoquer une dépersonnalisation plus importante des expériences vécues et donc des notions mathématiques fréquentées grâce à un débat entre pairs.

2.2. Le détail de l’ingénierie, divers leviers

12Nous avons élaboré et mis en place une ingénierie longue (sur une ou deux années) comportant des tâches devant provoquer ces activités de décontextualisation : la rédaction collective et régulière de bilans écrits de savoirs. Nous avons repris les situations de bilan de savoirs exposées au chapitre précédent. Leur déroulement est identique.

13Notre but est comme précédemment d’amener les élèves, par un retour collectif et réflexif sur leurs activités, à dépasser le stade de l’action et à prendre de la distance par rapport au contexte de ces activités.

14Nous avons déjà développé dans le chapitre précédent ce qu’apportaient le recours à l’écrit et le débat entre pairs. Notre problématique nous a amenés à limiter ces bilans de savoirs aux activités numériques, en particulier au calcul mental et à la résolution de problèmes numériques. Le détail des activités est présenté en annexe III. Précisons la forme et la fréquence de celles-ci.

15Dans toutes les classes, les séances de mathématiques commencent par des activités de calcul mental. Leur durée est variable selon l’objectif de la séance. Les séances quotidiennes durent environ une dizaine de minutes. Plusieurs exercices sont proposés aux élèves qui doivent répondre rapidement. Le but est alors d’entraîner les élèves au calcul. L’explicitation des procédures mobilisées par les élèves et des erreurs éventuellement produites n’est pas systématique. Par contre, d’autres séances plus longues sont consacrées à l’explicitation des procédures de calcul, à leur comparaison. Les stratégies les plus efficaces, les plus économiques en fonction des données intervenant dans les calculs sont mises en évidence et institutionnalisées. L’enseignant attire l’attention des élèves sur le domaine d’efficacité des procédures jugées les plus économiques. Cette explicitation s’appuie sur l’expérience acquise par les élèves complétée éventuellement par des exemples et contre-exemples appropriés.

16Toutes les deux semaines au CM2, toutes les trois semaines en 6e et 5e, des séances de bilan de savoirs sont organisées. Elles portent essentiellement sur le domaine numérique, le calcul mental et la résolution de problèmes.

17Précisons deux autres leviers.

La prise en compte de la diversité des élèves

18La prise en compte de la diversité des cheminements cognitifs des élèves est une hypothèse nouvelle. Nous considérons que dans une même classe et dans un temps limité, l’acquisition par les élèves d’une notion mathématique peut se faire par des cheminements cognitifs différents que l’on peut en partie identifier et provoquer. Nous adoptons l’hypothèse que cette diversité peut être source de progrès surtout si l’on met en place des situations permettant des échanges entre élèves de niveaux cognitifs différents relativement à une même notion mathématique.

19Des élèves ayant accédé à des degrés différents de décontextualisation d’une même notion mathématique peuvent communiquer, échanger entre eux à condition que les degrés de conceptualisation correspondants ne soient pas trop éloignés. Cette confrontation de points de vue peut permettre notamment à des élèves en difficulté d’accéder à des niveaux de généralisation plus riches, pouvant constituer des étapes intermédiaires du processus de conceptualisation.

Une explicitation de méthodes

20L’impact d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution de problème est supposé être renforcé par les différents types d’explicitation à la charge des partenaires de la relation didactique prévus dans l’ingénierie. La responsabilité de l’explicitation est du côté des élèves dans le cas de la situation de bilan de savoirs. Elle est du côté du professeur dans le cadre d’une explicitation orale et quotidienne des méthodes rencontrées lors des activités mathématiques, méthodes de calcul comme méthodes de résolution de problèmes. Cette dernière explicitation, sans être détachée totalement de l’expérience de l’élève, en constitue une première généralisation. Elle occupe un moment particulier, spécifique, dans l’enseignement dispensé et devrait initialiser un processus de décontextualisation.

2.3. L’objet de la recherche

21Notre recherche a donc consisté d’une part à concevoir cette ingénierie et d’autre part à analyser les productions des élèves par rapport aux décontextualisations qu’ils réussissent à effectuer. Dans ce chapitre, notre problématique consiste à étudier ces décontextualisations, qui s’avèrent diverses, et à en caractériser des étapes.

22Le terme de décontextualisation peut en effet désigner soit l’activité consistant à extraire la notion mathématique en jeu, soit le passage d’un énoncé donné à un énoncé davantage formalisé ou plus général (par exemple quand le domaine numérique de référence est plus étendu.)

23Nous montrons que tout se passe comme si des élèves en difficulté devaient passer par l’étape du générique avant d’accéder au formel.

24Ces énoncés, intermédiaires entre l’exemple seul et l’énoncé formel sans exemple, révèlent en fait, soit un degré intermédiaire de décontextualisation et de conceptualisation, soit une prise en compte de contraintes liées à la communication lors du débat. Ces deux aspects peuvent coexister et sont dialectiquement liés. L’exemple illustrant un énoncé formel produit par les élèves peut jouer le même rôle que l’exemple proposé par le professeur après l’énonciation d’une définition ou d’un théorème dans un cours de mathématiques. L’exemple remplit alors une double fonction didactique : d’une part, faire comprendre à un pair l’énoncé formel ; d’autre part, s’expliquer à soi-même et donc mieux comprendre cet énoncé.

25L’énoncé intermédiaire s’inscrit aussi dans un processus de conceptualisation s’appuyant sur une dialectique entre collectif et individuel. Dans un premier temps résultat d’une démarche collective, il témoigne ensuite d’un apprentissage individuel par un double mouvement de contextualisation et de décontextualisation. Tout se passe comme si l’appropriation des énoncés intermédiaires produits collectivement permettait aux élèves d’une part, de recontextualiser certains énoncés formels afin de leur donner du sens, d’autre part, de généraliser leurs exemples individuels afin de les dépersonnaliser tout en autorisant des appels éventuels à l’expérience.

26Il semble que nous soyons ici en présence d’une appropriation collective qui précède et induit pour certains élèves en difficulté une appropriation individuelle. Nous retrouvons ici un effet de la dynamique interactive mis en évidence dans les travaux des psychosociologues déjà cités.

3. Éléments de méthodologie

27Notre ingénierie a été testée dans trois niveaux de classe (CM2, 6e et 5e), avec des élèves souvent en difficulté en mathématiques. Les classes de collèges concernées sont considérées comme les plus faibles de l’établissement. L’expérimentation s’est déroulée durant une année scolaire dans la classe de CM2 et dans une des deux classes de sixième. Elle a duré deux ans dans l’autre sixième où elle s’est poursuivie en cinquième.

3.1. Le recueil des données

28Présentons maintenant le dispositif adopté pour recueillir les données. Dans les classes ayant bénéficié de notre ingénierie, nous avons recueilli deux types de textes : d’une part les écrits collectifs produits lors des situations de bilan de savoirs, d’autre part, en fin d’année, des textes individuels de bilan.

29Afin de mesurer l’impact de notre ingénierie, nous comparons les productions individuelles de ces classes avec celles de classes témoins. Il s’agit de deux classes de chaque niveau : CM2, sixième et cinquième. D’après les enseignants, ce sont des classes constituées d’élèves qui, dans leur majorité, ne présentent pas de difficultés particulières.

30Les éléments spécifiques de notre dispositif d’enseignement (pratique régulière et importante de calcul mental, production collective d’écrits mathématiques) ne sont pas mis en œuvre dans ces classes témoins.

31Les élèves des classes entraînées et des classes témoins de CM2 et de sixième doivent écrire en fin d’année un texte individuel résumant « tout ce qu’ils ont appris d’important cette année pour résoudre des problèmes, tout ce qu’il faut retenir, utiliser, faire, pour savoir résoudre des problèmes où interviennent des nombres. » Le texte manuscrit ne doit pas dépasser une feuille de cahier.

  • 2 Cf. Brousseau, 1987.

32Signalons une limite méthodologique : les informations recueillies dans l’ensemble des productions étudiées sont essentiellement de caractère déclaratif. Les élèves, individuellement comme collectivement, sont amenés à expliciter par écrit des notions et des méthodes ; ces déclarations ne sont pas forcément synonymes d’actions ou d’apprentissages. Un élève qui explicite une méthode de résolution de problèmes ne l’utilise pas forcément et inversement un élève peut l’utiliser sans l’expliciter. Le caractère déclaratif des bilans peut aussi traduire des effets de contrat2 : l’élève peut, par exemple, “réciter” le discours méthodologique du maître sans pour autant l’utiliser dans la réalité.

33De plus, les bilans individuels des classes témoins n’ont pas tout à fait le même statut que ceux des classes entraînées. Dans ces dernières, les élèves se sont familiarisés avec la rédaction de bilans de savoirs en mathématiques alors que cette activité est complètement nouvelle dans les classes témoins. Les élèves de ces classes peuvent alors penser qu’ils doivent se limiter à la reproduction mot à mot des définitions, propriétés ou méthodes institutionnalisées pendant le cours. Notons aussi que les textes obtenus occultent parfois certaines activités, en particulier celles devenues habituelles, au profit d’activités nouvelles. Nous rencontrons ici les limites mêmes du processus d’objectivation des savoirs.

34Nous considérons toutefois que ces productions nous donnent des informations, parfois incomplètes, mais souvent révélatrices des apprentissages effectués.

3.2. L’analyse des données

35Nous avons utilisé deux types d’indicateurs pour analyser les textes produits collectivement ou individuellement par les élèves : la nature des énoncés, le degré de décontextualisation des énoncés produits.

3.2.1. La nature des énoncés

36Les textes rédigés par les élèves, collectivement ou individuellement, peuvent comporter des énoncés ayant différents statuts : énoncés mathématiques, énoncés de méthodes (de calcul ou de résolution de problèmes), description du contexte de l’apprentissage ou de la tâche prescrite.

37Pour analyser le degré de décontextualisation des textes produits par les élèves, nous avons utilisé plusieurs grilles d’analyse. Nous ne présentons ici que la grille qui a servi à analyser les énoncés mathématiques. Les énoncés décrivant la consigne ou la tâche à effectuer qui ne sont pas liés à un contenu mathématique ne sont pas concernés. Nous n’avons pas retenu les énoncés de méthodes trop généraux.

38Dans un premier temps, nous avons distingué trois degrés de décontextualisation : l’énoncé mathématique se limitant à un exemple, l’énoncé s’appuyant sur un exemple et l’énoncé formel sans exemple. Dans un second temps, une grille plus précise nous permet d’affiner notre analyse des énoncés mathématiques et de méthodes. Elle concerne plus particulièrement les énoncés intermédiaires.

3.2.2. Découpage des textes

  • 3 Cet élément de méthodologie est détaillé dans un rapport de recherche (Butlen, Pézard, 1997)

39Les textes ont été découpés en unités élémentaires. Nous désignons par cette expression une partie de texte ayant un sens en elle-même indépendamment des autres ; elle peut comporter plusieurs mots, une voire deux phrases3. Ce découpage nous permet toutefois de caractériser de manière suffisamment précise les textes produits par les élèves et d’en faire une étude à la fois quantitative et qualitative.

3.2.3. L’analyse des énoncés intermédiaires

40Nous avons défini une classification qui permet de distinguer six degrés de formalisation. Nous définissons ainsi de façon plus précise des types d’énoncés intermédiaires correspondant à des degrés de décontextualisation différents.

41Les tableaux 17 et 18 ci-dessous décrivent chaque type d’énoncé ; dans chaque cas nous avons donné un exemple. Nous avons distingué trois catégories : les exemples mathématiques (E1) ou de méthodes (E2) illustrant une action ou une consigne, les énoncés intermédiaires (degré 3 à 5) et enfin les énoncés mathématiques ou de méthodes formels (E6) ainsi que les énoncés formels décrivant un outil heuristique (H6).

42Le tableau 17 présente un exemple d’énoncé mathématique très contextualisé .

43Nous avons regroupé ci-dessous (voir tableau n° 18) les six types d’énoncés intermédiaires allant des énoncés les plus contextualisés comme l’exemple mathématique ou de méthode induisant une règle à caractère général mais non formulée (E3 ou E3 bis) aux énoncés mathématiques ou de méthodes illustrés par un exemple (E4) ou formulés à partir d’un exemple (E5) et aux énoncés évoquant un outil heuristique illustré par un exemple (H4) ou formulé à partir d’un exemple (H5).

Tableaux n° 17 : énoncés comportant un exemple illustrant une action ou une consigne

Tableaux n° 17 : énoncés comportant un exemple illustrant une action ou une consigne

Tableau n° 18 : énoncés intermédiaires

Tableau n° 18 : énoncés intermédiaires

44Un troisième groupe d’énoncés est constitué des énoncés formels (tableau n° 19) :

Tableau n° 19 : énoncés formels

Tableau n° 19 : énoncés formels

4. Les principaux résultats de la recherche

45La comparaison des textes de bilans individuels des classes entraînées et des classes témoins confirme l’existence d’étapes du processus de conceptualisation des élèves qui se caractérisent par des énoncés intermédiaires.

4.1. Des énoncés mathématiques et de méthodes plus nombreux et plus décontextualisés dans les classes entraînées

  • 4 Par l’expression “classes entraînées”, nous désignons les classes ayant bénéficié de notre ingénier (...)

46Les écrits produits par les élèves des classes entraînées4 sont davantage centrés sur des mathématiques. Ils sont plus décontextualisés que ceux produits par les élèves des classes témoins.

4.1.1. Une production plus importante d’énoncés mathématiques

47Lors des bilans individuels, le nombre d’élèves de chaque degré de scolarité produisant des énoncés est nettement plus élevé dans les classes entraînées que dans les classes témoins. Ainsi, les descriptions de contextes de situation, les descriptions d’actions ou les énoncés des tâches prescrites sont nettement plus nombreux dans les classes témoins. Le tableau n° 20 montre que l’écart entre le nombre d’élèves des classes entraînées et des classes témoins produisant des énoncés mathématiques est de 70 % en CM2, de 54 % en sixième et de 21 % en cinquième.

Tableau n° 20 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes dans les classes témoins et dans les classes entraînées

Tableau n° 20 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes dans les classes témoins et dans les classes entraînées

4.1.2. Une production plus décontextualisée

48Analysons plus finement le degré de décontextualisation des énoncés mathématiques produits à chaque niveau de scolarité. Globalement, nous constatons que notre ingénierie permet la production d’énoncés plus décontextualisés. L’écart entre le nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques intermédiaires ou formels (E3 à E6) des deux types de classes est important (50 % en CM2, de l’ordre de 58 % en sixième et de 20 % en cinquième, cf. tableau n° 21).

Tableau n° 21 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires et formels dans les classes témoins et dans les classes entraînées

Tableau n° 21 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires et formels dans les classes témoins et dans les classes entraînées

49Cet effet est toutefois différent selon les niveaux de scolarité ; il est nécessaire d’analyser quel type d’énoncé mathématique est concerné (cf. tableau 22).

50Il y a systématiquement davantage d’élèves produisant des énoncés intermédiaires (niveau 3 à 5) dans les classes entraînées.

La classe de CM2

51L’écart entre le nombre d’élèves de la classe entraînée de CM2 et celui des classes témoins produisant des exemples mathématiques isolés (E1 et E2) est de 56 % ; il est de 30 % pour les énoncés formels (E6). Les élèves produisant des énoncés intermédiaires sont plus nombreux dans la classe entraînée mais l’écart est moins important (respectivement : 20 % pour E3 et E3 bis et 14 % pour E4 et E5).

La classe de sixième

52Les deux classes de sixièmes entraînées n’ont pas le même profil : l’écart est plus marqué pour les énoncés intermédiaires (E3 et E3 bis : 69 %) dans le cas de la première sixième. En revanche, c’est l’écart entre le nombre d’élèves produisant des énoncés formels qui est le plus important (E6 : 32 %) dans l’autre classe.

La classe de cinquième

53En cinquième l’écart s’observe uniquement dans le cas des exemples mathématiques isolés (E1 et E2 : 25 %) et dans celui des énoncés intermédiaires (20 %). La proportion d’élèves produisant des énoncés formels (E6) est la même dans les deux classes. Cette différence est due au degré de formalisation exigé et disponible à ce niveau de scolarité. Plus important que dans les autres classes, cela se traduit par un nivellement du nombre des productions les plus formelles. Par contre, la production plus importante d’énoncés intermédiaires dans la classe entraînée est un effet de notre ingénierie. Les élèves de la classe entraînée sont donc plus nombreux à produire des énoncés mathématiques mais la différence porte sur le nombre d’élèves qui produisent des énoncés moins décontextualisés. Cette différence est encore plus nette quand il s’agit de produire des énoncés intermédiaires. En effet, 29 % des élèves de la classe entraînée produisent ce type d’énoncés (mais ne produisent pas d’énoncés formels) alors que 9 % seulement des élèves des classes témoins sont dans ce cas.

Tableau n° 22 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires dans les classes témoins et dans les classes entraînées

Tableau n° 22 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires dans les classes témoins et dans les classes entraînées

54Ce dernier constat nous amène à préciser le rôle des écrits intermédiaires

4.1.3. Le recours au générique, une étape vers le formalisme

55Une analyse plus fine des productions montre que lors des bilans individuels, une proportion importante d’élèves des classes entraînées ont produit des énoncés intermédiaires mais ne produisent pas d’énoncés formels. Elle est de 20 % en CM2, de 43 % en 6e et de 29 % en 5e. Il semble donc que le type d’énoncé le plus décontextualisé produit par ces élèves soit l’énoncé de type intermédiaire. Ce résultat confirme donc notre hypothèse de l’existence pour ces élèves d’une étape inhérente au processus de décontextualisation. Ces énoncés révèlent une prise de distance par rapport à l’action et une certaine décontextualisation.

56L’analyse des textes produits collectivement par les élèves des classes entraînées nous permet de préciser comment se réalise cet apprentissage. Il est dû, pour une large part, à la pratique régulière de bilans de savoirs.

4.2. Un apprentissage révélé par l’analyse des textes collectifs

57L’analyse des textes produits collectivement lors des bilans de savoirs fait apparaître une évolution qui se caractérise par une certaine décontextualisation et un apport décisif du débat.

4.2.1. Des textes collectifs plus décontextualisés

58La production de descriptions du contexte des situations évoquées décroît au profit de la production d’écrits plus mathématiques (y compris de méthode) quand les élèves se familiarisent avec la situation de bilan de savoirs.

Une décontextualisation très sensible en cinquième

59Les textes produits par les élèves de cinquième sont plus décontextualisés. Ils contiennent nettement moins de descriptions (13 % au lieu de 44 % ou 46 % en CM2 et sixième).

60Cette évolution semble due à un effet de cumul. Les élèves se sont familiarisés pendant deux années consécutives avec la production collective d’énoncés mathématiques. Les effets d’une pratique régulière de bilans de savoirs sont renforcés par une exigence institutionnelle plus grande de formalisation en cinquième. La pratique du professeur intervient également. L’un des deux professeurs de sixième (S2) explicite davantage dans son enseignement les méthodes rencontrées quotidiennement au cours des activités de mathématiques. Cela a un impact certain sur les productions de la classe. Cette pratique a des effets sur le contrat didactique en place dans cette classe. Les élèves sont non seulement habitués à entendre ce type de discours mais savent qu’ils doivent pour une part le reproduire. Les énoncés mathématiques ainsi produits (y compris les énoncés de méthodes) sont majoritairement des énoncés plutôt décontextualisés mais cette décontextualisation n’est pas systématique.

Une décontextualisation qui dépend de la familiarisation avec les contenus mathématiques évoqués

61Au cours de l’année, le degré de décontextualisation des textes produits collectivement n’évolue pas de manière régulière. La familiarité avec les contenus évoqués intervient. Ainsi, la nouveauté et la nature de certains thèmes mathématiques peuvent expliquer une plus grande contextualisation des énoncés produits collectivement.

62La classe de CM2 présente un profil particulier. Les textes collectifs sont au cours de l’année de plus en plus décontextualisés mais cette évolution reste fragile. Ainsi, la proportion d’énoncés décrivant des actions décroît régulièrement de la première (80 %) à la sixième séance (30 %). Elle est nulle de la septième à la neuvième séance. Elle redevient importante à partir de la dixième (55 %) pour décroître à nouveau pendant les séances suivantes. Une interruption de presque deux mois entre les séances neuf et dix, s’ajoutant à la nouveauté des thèmes mathématiques abordés peuvent expliquer cette évolution contrastée.

63Le débat contribue pour une part importante mais sous certaines conditions à la décontextualisation des énoncés produits collectivement (cf. tableau n° 23).

4.2.2. Les apports du débat entre pairs

Un apport très important en CM2 et 5e

64L’apport du débat à la décontextualisation des énoncés mathématiques est particulièrement important en CM2 (93 % d’énoncés mathématiques plutôt décontextualisés produits lors du débat) et en cinquième (91 %). Le débat contribue aussi à décontextualiser les énoncés de méthodes, mais dans une moindre mesure au CM2. Les élèves abandonnent certains énoncés exprimant des actions, pour les remplacer par des énoncés mathématiques ou de méthodes davantage dépersonnalisés et décontextualisés.

Tableau n° 23 : Proportion d’énoncés mathématiques ou de méthodes plutôt décontextualisés produits lors du débat collectif

CM2

6e S1

6e S2

5e

Pourcentage d’énoncés mathématiques plutôt décontextualisés (degré 1 ou 2) élaborés lors du débat (par rapport à l’ensemble des énoncés mathématiques élaborés lors du débat)

93 %

67 %

75 %

91 %

Pourcentage d’énoncés de méthodes plutôt décontextualisés (degré 2 ou 3) élaborés lors du débat (par rapport à l’ensemble des énoncés de méthodes élaborés lors du débat)

43 %

67 %

75 %

74 %

65Donnons deux exemples. Le premier traduit une première décontextualisation. Il s’agit du passage de la description d’une tâche prescrite par le professeur à l’énoncé d’une propriété mathématique. La phrase : « Nous avons compté de 8 en 8 en commençant par le nombre 7 » du texte initialement produit par deux élèves de CM2 est complétée par l’énoncé : « On a remarqué que le chiffre des unités revenait toujours et était impair. »

66Voici un autre texte amendé par des élèves de cinquième. Il traduit une seconde décontextualisation. Les ajouts produits lors du débat (en caractères gras) précisent le texte initial et le complètent. Ils décrivent d’autres éléments de vérification qui enrichissent ainsi la palette des outils de contrôle de chaque élève. Un exemple générique produit collectivement illustre une méthode permettant de reconnaître une situation de proportionnalité.

« Définition de la proportionnalité
Il y a proportionnalité lorsque sur le tableau les termes de la seconde ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par un même nombre le coefficient (voir exemple). Il y a aussi beaucoup d’autres propriétés qui nous facilitent les calculs.
Sur un graphique, les points doivent être alignés avec l’origine
Nous avons cherché plusieurs problèmes : on pouvait faire des tableaux pour mieux les comprendre.
Mais, attention un tableau n’est pas toujours un tableau de proportionnalité

Avec la propriété d’addition, on pourrait se tromper, mais on peut calculer le coefficient en divisant un nombre par son correspondant ; on trouve 3 : 2 = 1,5. Mais 5 : 1,5 n’est pas égal à 4. On sait que 4 x 1,25 = 5 donc ce tableau n’est pas proportionnel.
On peut le voir plus vite : 4 est le double de 2, son correspondant devrait être 6 le double de 3.
Dans certains calculs nous pouvons nous aider des fractions. Si 4 devient 5, alors 2 doit être multiplié par 5/4 c’est-à-dire 1 + 1/4. je cherche 1 fois 2 et 1/4 de 2 (la moitié de la moitié) ça fait 2,5. »

67Certes, indépendamment de notre ingénierie, l’enseignement et la pratique des mathématiques amènent les élèves à produire des énoncés davantage décontextualisés au fur à mesure de leur progression dans la scolarité. Toutefois, notre ingénierie accélère ce processus et les élèves concernés sont plus nombreux.

68Enfin, le tableau n° 24 montre que cette décontextualisation se caractérise notamment par la production d’écrits intermédiaires.

Tableau n° 24 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les textes collectifs des différentes classes entraînées

Tableau n° 24 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les textes collectifs des différentes classes entraînées

69En CM2, en cinquième et dans une des sixièmes (S2), les élèves participant davantage au débat comme à l’activité de production d’écrits en général, produisent plus d’énoncés intermédiaires (énoncés E3 à E5) que ceux de l’autre sixième (S1). Tout se passe comme si le fait de “jouer le jeu” du débat et de la production collective les amenait à expliciter davantage leurs formulations, pour convaincre les autres et pour affiner leur propre pensée, voire se convaincre eux-mêmes, et donc à produire des énoncés d’un degré intermédiaire de décontextualisation.

70Comme nous l’avons déjà indiqué, ces écrits intermédiaires se retrouvent dans les productions individuelles des élèves concernés. Dans un souci de communication, les élèves de ces classes ont appris, lors des séances de production collective d’écrits, à utiliser des exemples génériques pour illustrer ou générer des énoncés mathématiques. Le nombre important d’énoncés intermédiaires dans les bilans individuels révèle un mode d’expression devenu individuel et traduisant un degré effectif de décontextualisation.

71Nous constatons donc un double effet de notre ingénierie : d’une part une production plus précoce d’énoncés formels en CM2 et partiellement en sixième, d’autre part l’apparition, dès le CM2, d’énoncés intermédiaires s’appuyant sur des exemples à caractère générique. Si tous les élèves n’ont pas forcément besoin de ces étapes, pour d’autres, en particulier ceux ayant des difficultés, elles risquent d’être indispensables. C’est que nous étudions dans le paragraphe suivant.

5. Des étapes intermédiaires qui profitent à des élèves en difficulté moyenne

72Rappelons que notre expérimentation s’est déroulée dans des classes plutôt faibles. La classe de cinquième entraînée est la plus faible du collège. Les classes témoins sont jugées par leurs professeurs d’un niveau standard. Si, comme nous l’avons souligné précédemment, notre ingénierie permet à davantage d’élèves de produire des énoncés mathématiques ou de méthodes (intermédiaires ou formels), des élèves plutôt faibles sont concernés.

73Nous avons demandé aux enseignants des classes entraînées de classer leurs élèves en quatre catégories les élèves obtenant en mathématiques de très bons résultats scolaires (catégorie A), des résultats bons ou moyens (catégorie B), les élèves en difficulté moyenne (catégorie C) et enfin ceux présentant des difficultés importantes (catégorie D).

74La répartition des élèves en quatre catégories nous conduit à travailler sur des effectifs assez faibles. Nous devons donc être prudents dans nos interprétations. Une répartition des types d’énoncés produits par les élèves en fonction de leur niveau de réussite en mathématiques permet d’affiner le profil des élèves produisant des énoncés intermédiaires dans les classes entraînées (voir tableau n° 25).

Tableau n° 25 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les bilans individuels en fonction du niveau de réussite des élèves, par niveaux de classes

Tableau n° 25 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les bilans individuels en fonction du niveau de réussite des élèves, par niveaux de classes

75En CM2 et cinquième, les énoncés intermédiaires sont produits essentiellement par les bons élèves (catégorie A) et par les élèves plutôt faibles (catégorie C). En sixième, ce sont surtout les bons élèves (catégories A et B) qui produisent les énoncés intermédiaires.

Les élèves de catégorie A

76À tous les niveaux de scolarité étudiés, ils s’avèrent capables de produire des énoncés de tout degré de décontextualisation. Ainsi, 4 élèves sur 7 en CM2, 2 sur 5 en sixième et 6 sur 8 en cinquième produisant des énoncés intermédiaires. Nous pouvons interpréter leur production d’énoncés intermédiaires comme un effet de contrat. Habitués à produire ce type d’énoncés lors des bilans collectifs de savoirs, ils le font également lors des bilans individuels. Toutefois, comme ils sont capables de produire des énoncés formels, la production d’énoncés intermédiaires ne constitue pas forcément, pour eux, un passage obligé. Cela semble davantage être le signe d’une plus grande capacité à s’adapter aux exigences de la communication.

Les élèves de catégorie B

77Les élèves moyens de CM2 et de cinquième produisent, soit des énoncés contextualisés, soit des énoncés formels. En sixième, leurs productions représentent tous les types d’énoncés, la moitié d’entre eux produisant uniquement des énoncés intermédiaires. La production de ce dernier type d’énoncés semble leur être profitable et nécessaire pendant un temps relativement court. En cinquième en effet, dans leurs bilans individuels de savoir, ils abandonnent la production de ces énoncés pour des énoncés formels. Ils sont sans doute moins sensibles aux effets de contrat que leurs pairs de catégorie A.

Les élèves de catégorie C

78La moitié des élèves en difficulté moyenne produisent des énoncés intermédiaires en CM2 et en cinquième. En sixième, ils ne produisent pas d’énoncés de ce type mais produisent essentiellement des exemples seuls. Cette différence de résultats entre la sixième et les deux autres classes peut s’expliquer à la fois par la faible participation des élèves de cette classe au débat, par leur rapport particulier à l’écrit et par des effets de contrat. À ce niveau scolaire, ce sont les élèves les plus performants qui s’autorisent à produire plus d’énoncés mathématiques ou de méthodes en ayant recours partiellement au formalisme. Il semble qu’une année soit nécessaire pour que les élèves de collège participent, à degré égal à celui de l’école élémentaire, à l’élaboration et à l’amélioration collective d’écrits mathématiques.

79Des contraintes institutionnelles spécifiques au collège – le remplacement d’un maître unique par une équipe de professeurs spécialisés – sont à l’origine de cette réticence. En CM2, c’est la même personne qui enseigne le français et les mathématiques. Écrire un texte se présentant comme une rédaction surprend moins les élèves de CM2. Ce n’est pas le cas au collège où les rôles sont plus spécialisés. Enfin, le professeur est le principal producteur d’écrits mathématiques : les définitions, théorèmes, règles sont en général formulés par le professeur. La part des élèves dans cette production est souvent faible, particulièrement au collège. La production par les élèves d’écrits mathématiques, surtout quand ils ont pour but de synthétiser les apprentissages effectués, ne fait pas partie du contrat. Ce rapport à l’écrit mathématique confère à un texte écrit au tableau, même par un pair, un caractère officiel, qui rend toute modification difficile à envisager. Un temps assez long, supérieur à une année scolaire, semble nécessaire pour renégocier cet aspect du contrat didactique.

80Ces contraintes semblent empêcher provisoirement les élèves en difficulté moyenne de bénéficier de notre ingénierie, en particulier de la situation de bilan de savoirs. Deux années seront nécessaires au collège pour permettre à la moitié d’entre eux d’accéder à ce niveau de décontextualisation.

Les élèves de catégorie D

81Les élèves en difficulté importante produisent plutôt des textes qui restituent l’énoncé de la tâche prescrite ou décrivent le contexte de l’apprentissage en 6e (4 sur 6) ; c’est encore le cas d’un tiers d’entre eux en 5e. En CM2, ils produisent soit des énoncés mathématiques contextualisés (3 élèves sur 5), soit des énoncés formels (3 élèves sur 5). En 5e, la majorité d’entre eux produisent des énoncés très contextualisés. Notons toutefois que quatre élèves de ce niveau produisent des énoncés formels. Notons que la majorité de ces élèves très faibles n’ont pas bénéficié du dispositif d’enseignement en 6e, ils sont en effet issus d’autres classes. On dénombre un élève sur les cinq de catégorie D en CM2, 1 sur 6 en sixième et 2 sur 9 en cinquième qui produisent des énoncés intermédiaires.

Un intermédiaire profitable pour les élèves en difficulté moyenne

82Il semble donc que notre ingénierie crée des conditions permettant à des élèves faibles (niveau C) de produire des énoncés intermédiaires. Cet effet, déjà perceptible au CM2, devient plus explicite au bout de deux années au collège. Cette production d’énoncés intermédiaires s’accompagne, d’après les évaluations du professeur, de réels progrès en mathématiques. Notre dispositif d’enseignement permet à ces élèves de produire des énoncés mathématiques plus décontextualisés mais ancrés dans leur expérience personnelle. Cette production a été favorisée par les échanges avec leurs pairs et par l’explicitation de méthodes par le professeur. La mémoire collective de la classe ainsi construite semble constituer pour chacun un ensemble d’expériences, de connaissances et de savoirs en partie décontextualisés, vécus en commun avec les autres élèves et avec le maître, partiellement codifiés dans leur mémoire personnelle ; cela leur permet d’élargir leurs possibilités de formulation mais aussi de s’approprier, au moins partiellement, certaines notions et méthodes mathématiques.

83Le fait que les élèves en grande difficulté ne bénéficient pas de notre ingénierie montre qu’il semble exister un seuil minimum de connaissances mathématiques pour que les élèves puissent s’approprier un type de formulation produit collectivement.

6. Conclusion

84Notre recherche nous a permis de vérifier l’existence d’étapes intermédiaires dans le processus de conceptualisation et d’étudier des conditions permettant à des élèves en difficulté d’accéder à une meilleure conceptualisation de notions mathématiques par l’intermédiaire d’un travail sur les formulations (et sur la décontextualisation). Nous avons proposé aux élèves un environnement mathématique plus riche, notamment à travers des activités de calcul mental, des apprentissages plus étayés grâce à une explicitation des méthodes par le professeur comme par les élèves et enfin une élaboration régulière et collective d’écrits mathématiques à l’issue d’un débat. Tout se passe comme si les cheminements singuliers de ces élèves prenaient appui sur cette expérience enrichie des mathématiques et se construisaient grâce à un processus dialectique entre apprentissage collectif et apprentissage individuel. Les énoncés intermédiaires témoignent d’une appropriation personnelle originale de notions mathématiques revisitées et reformulées au cours des productions collectives d’écrits. Ces productions semblent permettre, notamment à certains élèves faibles, de prendre suffisamment de distance par rapport au contexte de l’apprentissage pour s’approprier les notions mathématiques visées, tout en les ancrant dans leur expérience personnelle et collective.

85Nous avons proposé à un groupe témoin de bons élèves de rédiger en fin d’année des bilans individuels répondant à la même consigne que celle des classes entraînées. L’analyse de ces bilans montre que les étapes intermédiaires décrites ci-dessus ne constituent pas un passage obligé. En effet, la majorité de ces élèves produit directement des énoncés formels correspondant à des notions considérées comme suffisamment maîtrisées selon l’évaluation des professeurs.

86Ces étapes intermédiaires peuvent, par contre, constituer des étapes originales nécessaires pour certains élèves, notamment ceux qui ont des difficultés en mathématiques. Ce cheminement n’est possible que si certaines contraintes institutionnelles et cognitives sont dépassées. En particulier, nous avons vu que les élèves devaient disposer de suffisamment de connaissances pour participer au débat et à la production collective correspondante et surtout pour se l’approprier et donc en bénéficier. Nous avons aussi montré que la durée est un facteur important pour instaurer un débat productif de savoirs.

87Notre recherche permet également de préciser les conditions de participation d’élèves faibles à des débats de savoir. Quand nous avons mis en place notre ingénierie, nous pensions accélérer le processus de production d’énoncés formels dans des classes faibles. Cet objectif n’est que partiellement atteint. L’existence d’un nombre important d’élèves en difficulté participant au débat et à la production collective d’énoncés mathématiques s’est traduite par une production finale témoignant d’un compromis entre différents degrés de formalisation et de décontextualisation. Nous pensons avoir ainsi contribué à l’étude de la gestion de débats scientifiques. Cette recherche permet en effet de mieux mesurer la résistance manifestée par des élèves en difficulté dans ce type de situation. Non seulement, le débat peut s’avérer plus difficile à installer mais les effets peuvent en être différents.

88Nous présentons dans le paragraphe suivant un autre résultat important de cette recherche : la production par les élèves d’outils heuristiques.

II. Un second exemple : l’émergence d’outils heuristiques

89Cette recherche montre aussi comment une pratique régulière de calcul mental, intégrée dans un dispositif d’enseignement comportant des situations de bilans écrits de savoirs et une explicitation régulière de méthodes, permet aux élèves de se construire des outils heuristiques.

90L’analyse comparée des textes de bilan individuel des classes témoins de différents niveaux fait apparaître plusieurs résultats convergents.

1. Peu de références au calcul mental dans les bilans individuels des élèves des classes témoins

91Les élèves des classes témoins de dernière année de l’école élémentaire n’évoquent pas explicitement un apport du calcul mental à la maîtrise des calculs. Un nombre très faible d’élèves des classes témoins de première année de collège évoque le calcul mental, essentiellement à travers la connaissance des tables. Les rares apports du calcul mental explicités par les élèves des classes témoins de deuxième année de collège, se réduisent à une meilleure maîtrise des calculs. Trois élèves seulement (sur cinquante-six) évoquent l’utilité des arrondis ou d’un ordre de grandeur. Ce résultat n’est pas vraiment remis en cause par l’analyse des bilans individuels d’un autre échantillon constitué uniquement de bons élèves des différents niveaux scolaires. Dans les classes témoins, l’apport du calcul mental est donc finalement peu explicité par les élèves et essentiellement calculatoire.

92Par contre, deux élèves sur trois des classes entraînées de dernière année de l’école élémentaire et de première année de collège évoquent l’apport du calcul mental à la résolution de problèmes. Cette proportion est un peu plus faible en deuxième année de collège (un élève sur deux).

2. L’émergence d’outils heuristiques dans les classes entraînées

93L’apport est tout autre dans les classes où notre ingénierie a été mise en œuvre.

94L’analyse des déclarations des élèves des différents niveaux scolaires fait apparaître une gradation dans les apports du calcul mental à la résolution de problèmes.

95Tout d’abord, en dernière année de l’école élémentaire, une pratique régulière de calcul mental débouche sur une plus grande aisance et une plus grande rapidité de traitement des opérations lors de la résolution de problèmes numériques.

96En première année de collège, l’apport est plus riche : les techniques étant plus sûres, les élèves utilisent le calcul mental d’une part pour prévoir et contrôler leurs résultats (« Pour moi, c’est important de trouver l’ordre de grandeur des opérations car après on peut comparer à son résultat et il faut trouver un résultat très proche de l’ordre de grandeur »), d’autre part pour faciliter leur recherche, par exemple, en simplifiant les données numériques du problème.

97Cet apport est encore plus riche en deuxième année de collège où nous décelons un changement de statut des nombres dans un énoncé de problème : l’élève peut remplacer les données numériques soit par des nombres plus simples (arrondis ou plus petits) soit par des lettres pour trouver plus facilement le raisonnement à effectuer :

« Si dans des problèmes on a des chiffres difficiles, on peut les remplacer par des lettres ou par des nombres plus simples »

98ou bien :

« Quand il y a des nombres compliqués, on les simplifie ; après les avoir simplifiés, on cherche une méthode et lorsque l’on trouve on l’applique aux nombres compliqués. »

99Les données numériques ne sont plus figées, elles peuvent varier, l’accès au modèle est alors plus aisé. Cette prise de distance par rapport aux données numériques rend l’exploration des relations entre ces données plus aisée ; la recherche du modèle sous-jacent au problème en est facilitée. Le calcul mental devient alors un outil de recherche lors de la résolution de problèmes.

100Dans un premier temps, notre ingénierie permet donc une explicitation de la part des élèves des apports du calcul mental à la résolution de problèmes. Puis, en les amenant à dépasser les habiletés calculatoires, elle débouche sur de nouveaux apports qui relèvent de l’heuristique dans la mesure où ils aident l’élève à acquérir des procédures de résolution de problèmes numériques.

101Un enseignement méthodologique “classique” ne semble pas permettre, du moins à ce niveau de scolarité, de créer un lien entre les apprentissages effectués en calcul mental et ceux relatifs à la résolution de problèmes. Ainsi, les élèves des classes témoins évoquent dans les bilans de savoirs individuels des étapes de résolution indépendantes des contenus : lecture “intelligente” de l’énoncé, tri des données, recherche de l’opération, calcul, vérification en recalculant, rédaction d’une phrase réponse… Ils explicitent d’autre part certaines règles de “bonne conduite du métier d’élève” : bien présenter ses calculs, bien rédiger, réfléchir…

102Ces attitudes et compétences sont sans doute importantes pour les apprentissages, mais on peut s’interroger sur leur efficacité quand elles ne s’accompagnent pas d’outils mathématiques mobilisables lors de la résolution effective de problèmes.

103Les effets de notre ingénierie se situent davantage au niveau de l’activité mathématique de l’élève. En effet, il devient davantage capable d’explorer les relations entre les données d’un problème soit en utilisant des techniques proches de l’algèbre (remplacer des nombres par des lettres et écrire les relations en jeu), soit en jouant sur la taille et la nature des nombres (remplacer par des nombres plus simples, passer des nombres décimaux aux entiers…)

3. Un chemin original pour certains élèves en difficulté

104Ces résultats ouvrent de nouvelles perspectives de recherche. Les outils heuristiques précédemment décrits, construits lors de notre expérimentation, pourraient aider les élèves de collège à s’approprier une démarche algébrique. En effet, explorer les relations entre les données d’un problème, remplacer les nombres par des lettres… sont des techniques qui seront, par la suite, utilisées en algèbre, en particulier quand il s’agit de mettre en équation un problème. Notre ingénierie serait efficace à un moment bien particulier du cursus et sans doute pour des élèves présentant des difficultés moyennes. En effet, elle doit précéder un enseignement d’algèbre, permettre de donner du sens à celui-ci en s’appuyant sur des exemples de transformations de procédures arithmétiques en procédures pré-algébriques. Toutefois, elle ne doit pas intervenir trop tard car une démarche algébrique institutionnalisée en écraserait les effets. En revanche, ce passage peut s’avérer inutile pour des élèves capables de s’approprier rapidement une démarche algébrique.

4. Conclusion

105De même que les énoncés intermédiaires permettent à des élèves en difficulté moyenne de dépasser le contexte de l’apprentissage tout en donnant du sens aux énoncés formels, les outils heuristiques décrits précédemment peuvent être interprétés comme une étape dans l’appropriation des méthodes explicitées par le professeur. Celles-ci, grâce aux expériences accumulées lors des activités de calcul mental et à une prise de distance due aux écrits collectifs, se concrétisent tout en gardant un degré de généralisation suffisamment large pour être réutilisables dans des contextes voisins. Ainsi, par exemple, l’expression : « Chercher l’opération » se transforme en : « Remplacer les nombres par des nombres plus simples pour trouver l’opération ».

106La première correspond souvent à un “geste” vide de sens pour des élèves en difficulté, elle s’avère tout aussi inutile pour des élèves ayant déjà construit un schéma automatique de reconnaissance. Le recours à l’exemple générique ainsi que l’acquisition et la mise en œuvre de démarches pré-algébriques se traduisant par la construction d’outils heuristiques constituent donc des étapes intermédiaires dans le processus de conceptualisation de notions mathématiques. Ces étapes originales semblent nécessaires pour certains élèves en difficulté.

107Ce cheminement n’est possible que si certaines contraintes institutionnelles et cognitives sont dépassées. En particulier, cette construction demande du temps ; notre recherche montre que les résultats ne deviennent vraiment significatifs que dans la classe de 5e de collège, soit donc au bout de deux années de pratique régulière de calcul mental et de production collective de bilans de savoirs écrits.

Notes

1 Nous présentons ici une synthèse des principaux résultats ainsi que de la méthodologie qui a permis de les obtenir. Cette recherche a par ailleurs fait l’objet d’un rapport de recherche (Butlen, Pézard, 1997) et d’un article dans la revue Recherche en Didactique des mathématiques (Butlen, Pézard, 2003)

2 Cf. Brousseau, 1987.

3 Cet élément de méthodologie est détaillé dans un rapport de recherche (Butlen, Pézard, 1997)

4 Par l’expression “classes entraînées”, nous désignons les classes ayant bénéficié de notre ingénierie.

Table des illustrations

Titre Tableaux n° 17 : énoncés comportant un exemple illustrant une action ou une consigne
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Titre Tableau n° 18 : énoncés intermédiaires
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Titre Tableau n° 19 : énoncés formels
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Titre Tableau n° 20 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes dans les classes témoins et dans les classes entraînées
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Titre Tableau n° 21 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires et formels dans les classes témoins et dans les classes entraînées
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Titre Tableau n° 22 : Comparaison du nombre d’élèves produisant des énoncés mathématiques ou de méthodes intermédiaires dans les classes témoins et dans les classes entraînées
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Titre Tableau n° 24 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les textes collectifs des différentes classes entraînées
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Titre Tableau n° 25 : Présence d’énoncés mathématiques ou de méthodes dans les bilans individuels en fonction du niveau de réussite des élèves, par niveaux de classes
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© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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