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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre VI. Calcul mental et élèves en difficulté

Texte intégral

1Nous avons vu précédemment que les effets d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques standard ne sont pas identiques pour tous les problèmes. De plus, ils ne concernent pas tous les élèves. L’impact est moindre pour ceux qui rencontrent en général des difficultés en mathématiques.

2Dans cette partie, nous apportons des éléments de réponse à deux questions. Comment étendre le domaine des problèmes sur lesquels ces effets précédemment étudiés s’exercent effectivement ? À quelles conditions les élèves en difficulté, surtout quand ils sont scolarisés en ZEP, peuvent-ils bénéficier de ces apports ?

3Pour répondre à la seconde question, il est nécessaire de mieux comprendre pourquoi certains élèves n’ont pas bénéficié comme leurs pairs des apports d’une pratique régulière de calcul mental.

4Les techniques opératoires travaillées lors des activités de calcul mental ne sont pas les algorithmes écrits. Au deuxième chapitre, nous avons vu que ces techniques entraient en compétition avec les algorithmes opératoires standard. Une fois maîtrisés, ces algorithmes paraissent plus sécurisants car automatisés, ils sont plus disponibles que ces techniques. Ils sont donc appelés prioritairement quand un calcul doit être effectué par écrit, mais aussi mentalement. L’algorithme écrit est alors simulé mentalement. Cette simulation peut être coûteuse, la charge de travail en mémoire dépendant notamment de la taille des nombres en jeu.

5Nos recherches ont montré que des apprentissages spécifiques peuvent enrichir la palette des procédures disponibles pour des calculs mentaux de sommes ou de produits.

6Une première étape consiste à mettre en place des automatismes élémentaires visant à étendre le domaine des décompositions additives ou multiplicatives susceptibles d’être convoquées par les élèves et d’accroître leur disponibilité. Une seconde étape consiste, en fonction des nombres et des opérations en jeu, à apprendre à choisir les décompositions mobilisables dans les calculs parmi toutes celles qui sont possibles : chaque décomposition étant plutôt associée à une procédure de calcul, l’économie des calculs et des rappels en mémoire oriente prioritairement le choix à effectuer.

7L’élève doit donc non seulement posséder une palette de décompositions des nombres entiers et de procédures de calcul suffisamment riches et accessibles, mais aussi apprendre à choisir rapidement parmi celles-ci la plus adaptée au calcul du moment.

8Délivrer un enseignement approprié au développement de ces compétences est une tâche délicate. Nous avons repéré certaines conditions indispensables à l’exercice des effets précédemment décrits.

9Les automatismes élémentaires dont la mise en place est nécessaire pour assurer une plus grande disponibilité de décompositions des nombres ne doivent pas entrer en compétition ni s’exclurent mutuellement : les choix de procédures en seraient inévitablement limités. Ils ne doivent pas non plus s’opposer à la construction des algorithmes écrits, qui se fait en effet par combinaison et optimisation de certains d’entre eux (chapitre 2).

10Apprendre à choisir localement la procédure de calcul la plus adaptée aux données numériques nécessite à la fois une pratique de calcul importante, une explicitation des choix ouverts et une comparaison des procédures mobilisées en fonction des données.

11Cette compétence se développe grâce à des institutionnalisations locales assez souples pour ne pas induire des automatismes caricaturaux, mais suffisamment explicites pour que l’élève puisse hiérarchiser les procédures possibles. Les critères de choix doivent être assez lisibles pour ne pas laisser croire que toutes les techniques de calcul se valent localement.

12L’analyse des performances des élèves en calcul mental a montré que la diversité des procédures disponibles dépendait de la pratique de calcul de l’élève. Tout se passe comme si sa capacité à choisir entre des stratégies de calcul différentes dépendait de son habitude à explorer les données et à s’adapter en fonction des opérations en jeu. Il s’agit pour lui de trouver un équilibre entre automatisme et invention.

13Nous avons également attiré l’attention sur le développement dialectique des connaissances numériques et de la maîtrise de techniques opératoires. Les premières sont nécessaires pour le travail de la technique, tandis que l’habileté calculatoire ainsi acquise renforce les connaissances numériques ou contribue à en explorer de nouvelles. Ce processus doit être toutefois initialisé.

14Ces conditions concernent tous les élèves. Quels sont les facteurs à l’origine des différences constatées chez les élèves en difficulté ?

1. Origine des différences constatées

15La mise en relation des conditions que nous venons de répertorier avec les résultats des recherches en didactique des mathématiques centrées sur les élèves en difficulté comme avec ceux d’autres recherches portant sur le rapport au savoir peut apporter des éléments d’explication.

  • 1 Cf. Perrin-Glorian, 1992 et 1993.

16Les travaux de Perrin-Glorian1 ont mis en évidence des caractéristiques des élèves en difficulté. Nous en listons certaines qui peuvent être à la source des décalages constatés dans les apprentissages évoqués dans les chapitres précédents.

1.1. Absence de projet de réinvestissement et d’identification des enjeux

17Deux caractéristiques permettent de mieux comprendre les difficultés rencontrées par les élèves les plus faibles.

Absence de création de représentations mentales et de projet implicite de réinvestissement

18Il y a souvent chez l’élève en difficulté un divorce entre les situations d’action qui devaient servir à donner du sens aux notions enseignées et l’institutionnalisation qui est faite ensuite par le maître.

19Les élèves en difficulté ne se distinguent que très peu de leurs pairs lors des situations d’action. En revanche, la différence est nettement plus marquée quand il s’agit de réinvestir les connaissances fréquentées précédemment dans le contexte de nouveaux problèmes. Le savoir institutionnalisé par le maître semble coupé du contexte dans lequel il a fonctionné auparavant. Tout se passe comme si, lors des situations d’action et d’institutionnalisation, l’élève n’avait pas de projet de décontextualisation. Contrairement aux autres élèves, l’élève en difficulté résout le problème posé, dans les termes où il est posé.

20De ce fait même, il lui est très difficile de se construire une représentation mentale réutilisable dans d’autres occasions. De plus, les connaissances nouvellement construites ne sont pas mises en relation avec les anciennes. Tout cela renforce les difficultés de capitalisation et de mémorisation souvent manifestées par ces élèves.

Absence d’identification des enjeux d’apprentissage

21C’est une autre façon d’expliquer le défaut de réinvestissement récurrent chez l’élève en difficulté. Celui-ci ne percevant pas les véritables enjeux d’apprentissage des situations proposées, il s’acquitte de la tâche prescrite sans la mettre en perspective avec d’autres activités. Perrin-Glorian cite un exemple afférent à l’apprentissage des fractions. L’élève en difficulté ne comprend pas qu’une activité de découpage de rectangles en n parties égales et une autre de pliage de bandes de papier (toujours en n parties égales) participent d’un objectif commun : définir une fraction.

22Cette absence d’identification des enjeux des situations et ce manque de projet implicite de réinvestissement font que l’élève en difficulté n’anticipe pas les formulations futures lors de l’action et donc ne peut pas bénéficier des phases d’institutionnalisation.

23Ces caractéristiques sont particulièrement sensibles lors des institutionnalisations de procédures effectuées dans les ingénieries de calcul mental évoquées précédemment. Essentiellement locales et portant à la fois sur des contenus mathématiques et sur des choix à effectuer, elles sont plus difficiles à décoder pour l’élève en difficulté.

24De plus, certains processus ne peuvent pas être explicités par le professeur : c’est le cas du processus dialectique d’acquisition des connaissances explicité plus haut. Il ne peut pas non plus totalement expliciter les éventuels réinvestissements des compétences acquises à l’occasion d’activités de calcul mental lors la résolution de problèmes : cela suppose en effet une suite de décontextualisations et de contextualisations qui ne sauraient se mettre complètement en mots. Une large part d’implicite est donc laissée à la charge d’élèves qui ont déjà du mal à prendre du recul par rapport à l’action pour penser les activités en terme d’apprentissage plutôt qu’en terme d’action.

25D’autres caractéristiques peuvent encore aggraver le décalage entre les élèves en difficulté et les autres.

1.2. Recherche de règles, d’algorithmes et difficulté à changer de point de vue

Recherche d’algorithmes

26Les élèves en difficulté cherchent à utiliser le plus possible des algorithmes afin d’économiser leur pensée. Dès le début de l’apprentissage d’une notion, ils se construisent des règles de fonctionnement (voire des recettes) qui, bien souvent, ne tiennent compte que d’une partie de l’information et ont des domaines de validité très restreints, voire nuls. Non seulement cette tendance s’oppose en partie à la mise en place et à la mobilisation des automatismes élémentaires nécessaires à la disponibilité des décompositions des nombres, mais elle contribue sans doute aussi à limiter la diversité des procédures de calcul. Réduisant les choix, ces élèves recherchent plutôt un algorithme sûr, capable de s’appliquer à tous les calculs : seul l’algorithme écrit remplit cette condition mais sa simulation mentale est très coûteuse – elle conduit souvent à l’échec. Quand d’autres techniques de calculs sont institutionnalisées, le risque est grand de les voir adoptées trop rapidement sans que leur domaine de validité soit pris en considération ; dès qu’elles deviennent sources d’erreurs, les élèves peuvent être tentés de les rejeter au profit de nouvelles aussi peu fiables.

Difficulté à changer de point de vue

27La dérive précitée peut être renforcée par une difficulté à aborder une question sous plusieurs angles en envisageant plusieurs solutions possibles. Une notion étudiée dans un contexte est difficile à réutiliser dans un autre contexte.

1.3. Défaut de capitalisation et connaissances peu fiables

28Nous avons déjà évoqué un défaut de connaissances et de méthodes qui peut tenir à plusieurs facteurs.

Manque de capitalisation

29L’élève a du mal à retenir le cours, à mémoriser vocabulaire et propriétés. L’apprentissage par cœur n’apporte pas de solution : des élèves connaissant parfaitement des définitions ne savent pas les utiliser pour résoudre un exercice. Les connaissances visitées à un moment ou un autre ne sont que rarement disponibles.

Manque de fiabilité des connaissances anciennes

30L’absence de connaissances antérieures solides auxquelles se référer contribue à ce manque d’organisation et d’intégration des savoirs nouveaux : pour certains élèves, rien n’est sûr, tout peut toujours être remis en question puisqu’ils ont l’habitude de se tromper.

Manque d’investissement et lassitude

31Ce manque d’investissement est particulièrement sensible lors des contrôles écrits et du travail à la maison où l’élève n’aborde pas une partie des questions. Ce trait est sans doute à mettre en relation avec un manque de méthodes et un défaut de confiance dans la réussite.

32L’élève se lassant très vite des situations, il devient très difficile pour le maître de conduire l’étude à son terme et d’extraire les savoirs en jeu. Les situations s’usant très vite, elles ne tardent pas à devenir obsolètes.

33Ce manque de capitalisation des connaissances anciennes ainsi que cette méfiance suscitée par les connaissances nouvellement acquises ont des effets sur les activités de calcul mental. Lors des calculs mentaux, elles conduisent l’élève en difficulté à ne pas explorer les mêmes démarches ni mobiliser les mêmes connaissances numériques que ses pairs.

34L’obsolescence rapide des situations peut l’amener à ne plus s’investir dans des calculs qui peuvent lui paraître semblables car ne se différenciant que par les données numériques.

1.4. Problème d’expression et difficulté de socialisation

Difficulté d’expression

35À l’oral comme à l’écrit, l’élève en difficulté a souvent du mal à faire des phrases simples ayant un sens ou à utiliser le vocabulaire adapté. Il ne parvient pas à se dégager de son action. En outre, la plupart des élèves sont parfois incapables de décoder seuls un texte de problème et de tenir compte de la totalité de l’information.

36Les problèmes de langage, d’expression et de lecture sont ainsi à l’origine de difficultés mathématiques qui sont au moins de trois ordres différents : la prise d’information, la production, la conceptualisation. Nous avons vu que l’explicitation des procédures jouait un rôle particulier lors des activités de calcul mental : ces élèves formulent plus difficilement leurs démarches ou ne comprennent pas celles formulées par des pairs.

2. Portée et limite du calcul mental

37Un élève en difficulté ne présente pas toutes les caractéristiques identifiées par Perrin-Glorian que nous avons décrites dans le paragraphe précédent : certaines sont plus marquées que d’autres. Nous pensons toutefois que ces traits peuvent aider à comprendre les différences de performances constatées lors des recherches précédentes.

38La mise en relation des conditions auxquelles le travail sur les techniques opératoires (notamment lors d’activités de calcul mental) peut avoir des effets positifs sur la conceptualisation de notions mathématiques ou sur la résolution de problèmes et des caractéristiques manifestées par les élèves en difficulté nous a conduits à repenser les activités de calcul mental proposées afin de mieux comprendre les mécanismes en jeu.

39Nous sommes en effet confrontés à un paradoxe.

40Une pratique régulière de calcul mental est supposée renforcer les compétences et les connaissances des élèves. En particulier, elle est censée favoriser la capacité d’adaptation des élèves, la prise en compte de conditions locales, le tri des informations, etc. Cette pratique devrait enrichir la palette des procédures de calcul, notamment grâce à une explicitation collective des démarches. Les répertoires de faits numériques à la disposition des élèves devraient être plus étendus.

41Pour bénéficier des expériences numériques ainsi vécues, l’élève doit toutefois pouvoir effectuer des choix, disposer de certaines connaissances numériques et les adapter aux conditions du moment, prendre en compte les démarches de ses pairs, etc. Ce sont justement ces connaissances et compétences qui sont fragiles dans le cas de l’enfant en difficulté.

42Ce constat nous incite à penser que les activités de calcul mental doivent être couplées avec d’autres activités tenant compte des caractéristiques spécifiques de ces élèves. Les recherches que nous exposons aux chapitres suivants utilisent et analysent les effets d’ingénieries qui ne négligent pas cette hypothèse. Plusieurs leviers sont utilisés pour susciter une prise de distance par rapport à l’action, une capitalisation des connaissances fréquentées et la décontextualisation nécessaire à leur réinvestissement : ces ingénieries permettent de mieux cerner la portée et certaines limites d’un enseignement de mathématique à un public en difficulté.

43Nous présentons dans les chapitres suivants deux travaux centrés sur l’enrôlement à court et à moyen terme des élèves dans les tâches scolaires qui leur sont proposées. Ces deux recherches portent sur le processus de dévolution.

44La première se concentre sur la dévolution à court terme de conditions nécessaires à l’apprentissage. Le problème multiplicatif (de combinatoire) qu’il s’agit de résoudre donne l’occasion d’étudier dans un contexte numérique la dialectique qui s’établit entre simplification et complexification des situations.

45La seconde recherche traite des conditions favorables à moyen terme à une prise de distance par rapport à l’action. La situation que nous analysons utilise plusieurs leviers : une pratique régulière de bilans de savoirs, l’écrit comme outil de distanciation et le recours au débat entre pairs. L’expérimentation s’est déroulée dans une classe de CE2 située en ZEP.

46Le travail que nous décrivons ensuite mettra en évidence quelques-uns des intermédiaires grâce auxquels les cheminements cognitifs, décrits dans les chapitres précédents, peuvent devenir plus accessibles : cette recherche analyse des effets d’une ingénierie sur un long terme (deux années scolaires) utilisant les leviers précédents.

47Nous identifierons des étapes inhérentes au processus de conceptualisation de notions mathématiques qui se caractérisent par un recours à une certaine généricité ; ce recours est mis en évidence par l’analyse des énoncés mathématiques produits par les élèves de classes de fin d’école élémentaire et de début de collège comportant beaucoup d’éléments en difficulté.

48L’analyse de ces écrits permettra également d’identifier un second intermédiaire afférent aux effets d’une pratique de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques : les élèves des classes concernées construisent des outils heuristiques de type pré-algébriques.

49Enfin, nous reviendrons sur la portée et les limites de tous ces résultats.

Notes

1 Cf. Perrin-Glorian, 1992 et 1993.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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