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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre V. Effet d’une pratique régulière du calcul mental sur le sens et la technique

Texte intégral

1Nous abordons maintenant un second aspect des liens existant entre sens et technique c’est-à-dire entre conceptualisation et travail sur les techniques opératoires : celui de l’automatisation de la reconnaissance de l’opération arithmétique à effectuer pour résoudre un problème numérique standard.

2Plus précisément, nous étudions les rapports entre la maîtrise de techniques de calcul, les connaissances sur les nombres et les propriétés des opérations arithmétiques d’une part, et les performances et procédures d’élèves lors de la résolution de problèmes numériques d’autre part. Certaines de ces connaissances numériques ont été acquises lors d’activités de calcul mental. Les techniques opératoires que nous prenons en compte sont des techniques de calcul mental.

3Nous entendons par problèmes numériques standard, des problèmes faisant intervenir une ou plusieurs opérations dont la reconnaissance est exigible par des élèves de ce niveau, et dont l’énoncé s’inscrit dans le répertoire habituel des manuels scolaires. Ces énoncés ne présentent pas de difficultés particulières de vocabulaire ou de syntaxe. Les données numériques peuvent être toutefois plus ou moins complexes selon leur ensemble de référence. La réussite à ces problèmes renseigne sur le degré d’acquisition de grands concepts enseignés à l’école élémentaire (structures additives et multiplicatives, proportionnalité).

1. Le cadre de la recherche

4Pour interpréter les données que nous avons recueillies concernant les performances des élèves, nous nous référons aux résultats de la psychologie. Ils concernent notamment la représentation du problème et les rapports entre résolution de problèmes et mémoire.

  • 1 Notons toutefois que Julo et Houdebine (1992) se sont intéressés à la résolution de problèmes de pr (...)

5Peu de recherches en didactique des mathématiques comme en psychologie cognitive portent sur la résolution de problèmes arithmétiques standard. Les travaux menés ont trait le plus souvent à des problèmes susceptibles d’introduire une notion ou bien ils font intervenir des problèmes pour lesquels l’élève ne dispose pas a priori d’une stratégie de résolution. Le travail que nous avons mené est dans ce sens assez particulier1.

1.1. Résolution de problèmes et modèles de système mnésique

  • 2 Cf. Richard, 1982

6La résolution de problèmes est une activité complexe qui passe aussi par l’utilisation de la mémoire. Les travaux de psychologues2 montrent que les difficultés rencontrées dans une tâche de résolution de problèmes sont liées, pour une grande part, aux contraintes de fonctionnement des systèmes mnésiques. Classiquement, les psychologues distinguent entre mémoire à court terme et mémoire à long terme. Dans une activité de résolution de problèmes, on fait appel à la fois à des connaissances en mémoire à long terme (propriétés, relations, règles générales de déduction, algorithmes, etc.) et à des informations en mémoire à court terme, considérée alors comme une mémoire de travail (données du problème, résultats déjà calculés, etc.).

7Les psychologues s’accordent pour reconnaître que la capacité de la mémoire à court terme est limitée. De plus, il y a compétition entre d’une part, le stockage de l’information et d’autre part l’exercice d’activités cognitives non automatisées qui peuvent se faire difficilement sans contrôle conscient et éventuellement peuvent s’accompagner d’une verbalisation.

8Les psychologues ne peuvent que formuler des hypothèses pour expliquer cette concurrence entre activités de stockage et activités de traitement : la mémoire à court terme étant très labile, elle devrait, pour ne pas être perdue, être entretenue par une activité de révision périodique dont la répétition mentale serait une forme. Cela interdirait donc d’exécuter conjointement des traitements cognitifs complexes. Les limitations de la mémoire à court terme ne sont pas sans effet sur la résolution de problèmes. Ces effets peuvent être divers : difficulté dans la compréhension de l’énoncé, défaut de prise en compte de certaines données, perte de contrôle dans l’exécution de l’algorithme de résolution, dans le cas où il serait complexe.

  • 3 Cf. Fayol, 1987.

9L’idée de compétition dans la mémoire à court terme est reprise3 à propos de deux catégories de calculs : le calcul numérique renvoyant aux opérations classiques et le calcul relationnel concernant les opérations mentales nécessaires à la saisie des relations en jeu. Ces deux catégories de calculs ne sont pas indépendantes.

  • 4 Conne, 1981

10Les mêmes problèmes (à calcul relationnel invariant) présentés en faisant varier les valeurs numériques entraînent une baisse de performances (liée à l’accroissement de la taille des nombres) mais surtout des changements dans la représentation du problème4.

11Les psychologues postulent l’existence d’un espace mental assimilé à la mémoire à court terme ou à la mémoire de travail. Cet espace mental total (espace de traitement total) disponible croîtrait ou non avec l’âge. Il serait constitué d’un espace de stockage des données et de construction de la représentation associée à un problème et d’un espace requis pour les opérations. Que l’espace de traitement total reste constant ou augmente avec l’âge du sujet, l’espace requis pour les opérations diminue grâce à l’automatisation progressive de celles-ci. Cette diminution se ferait au profit d’un meilleur stockage des données dans l’espace de stockage et d’une meilleure construction des représentations. Nous interprétons une partie de nos résultats sur l’accélération du processus de reconnaissance de l’opération dans un problème à l’aide de ce modèle mnésique.

12Il est également nécessaire de situer notre recherche par rapport à certains travaux sur la résolution de problème qui concernent l’allégement de la charge de travail en mémoire ou qui ont trait plus largement aux aides possibles à apporter aux élèves. Ces différents travaux sont souvent en relation étroite avec ceux concernant la représentation du problème.

1.2. Allégement de la charge en mémoire de travail lors de la résolution de problèmes

13Sur quels éléments peut-on agir afin de réduire la charge en mémoire de travail lors de la résolution de problèmes ?

  • 5 Cf. Denis, 1982 ; Moyer, Sowder, Threadgill-Sowder et Moyer, 1984.
  • 6 Cf. Rosenthal et Resnick, 1974 ; Ferreiro, 1971 ; De Corte et Verschaffel, 1987 ; Fayol, 1990 ; Nes (...)

14Dans L’enfant et le nombre, Fayol expose un certain nombre d’éléments susceptibles d’alléger la charge en mémoire de travail lors de la résolution de problèmes. S’appuyant notamment sur des études de psychologues américains, il cite la présence de matériel physique ou manipulatoire, le cas des énoncés de problème présentés sous forme partiellement ou totalement imagée5 : ce dernier support faciliterait le traitement sémantique des données. D’autres travaux6 mettent en évidence l’impact des formulations des énoncés de problèmes sur les performances globales des élèves : par exemple, l’ordre de succession chronologique ou non des faits relatés, l’ordre de présentation des informations, en particulier la place de la question, la formulation plus ou moins explicite des énoncés, le recours au mime de l’action, la familiarité plus ou moins grande avec le type de texte de l’énoncé.

  • 7 Cf. Morales, Shute et Pellegrino, 1985.

15Nous retiendrons plus particulièrement pour analyser nos résultats le concept de schéma. Fayol considère que le sujet se construit une représentation globale du problème numérique de type “schéma” auquel sont associées des procédures7. Cela l’amène à distinguer les sujets novices des sujets experts. Les premiers, ne disposant pas de schéma en mémoire à long terme, doivent stocker en mémoire à court terme les informations du problème et en élaborer une représentation globale. Dès lors, il y a risque de surcharge en mémoire de travail. Au contraire, les seconds, à la lecture de l’énoncé du problème, peuvent sélectionner et activer en mémoire le schéma adéquat.

16Nous développons maintenant certains travaux de psychologie cognitive, notamment ceux de Julo afin de préciser le rôle bénéfique du tâtonnement dans la construction de la représentation d’un problème.

1.3. Les travaux de Julo sur la représentation de problème

  • 8 Cf. Julo, 1995.

17Julo8 considère que se représenter un problème, c’est d’abord se représenter un objet particulier défini par un ensemble d’informations qui nous est fourni à son propos. C’est aussi se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet. En psychologie, cette notion de tâche sert à désigner l’ensemble formé par le but, les contraintes et les aides dans une situation où la production d’une action est attendue.

  • 9 Il précise la notion plus générale de représentation de problème que Richard (1990) définit ainsi : (...)

18Il s’intéresse uniquement aux représentations qualifiées de « particularisées ». Il s’agit de représentations ponctuelles et occasionnelles liées à une situation particulière9.

19Julo définit trois processus qui lui paraissent importants dans la construction de représentations particularisées de problèmes : le processus d’interprétation et de sélection, le processus de structuration et le processus d’opérationnalisation.

  • 10 Contexte sémantique : ensemble très vaste d’éléments de nature différente dont certaines variations (...)

20Le processus d’interprétation conduit le sujet à sélectionner certaines informations pertinentes du point de vue de la tâche à réaliser et à les décoder. Ce décodage passe par une interprétation du contexte sémantique10. Par ailleurs, le contenu des représentations est souvent un ensemble structuré.

21L’analyse du processus de structuration amène Julo à faire le lien avec le concept de schéma de problèmes. Les problèmes que l’élève rencontre sont mémorisés en tant que connaissances spécifiques et intégrées comme telles à sa structure cognitive.

22L’expression “schémas de problèmes” désigne globalement toutes les formes sous lesquelles cette mémoire des problèmes peut intervenir dans la construction d’une représentation particularisée.

23Le processus d’opérationnalisation est celui qui permet le passage à l’action, qu’il s’agisse d’une action effective (commencer des calculs, faire un dessin, tâtonner…) ou d’une action mentale (faire des déductions…).

24Ce processus se caractérise par la mise en œuvre de connaissances opératoires issues de l’expérience du sujet sur la résolution de problèmes.

25Julo, après avoir décrit ce dernier processus, analyse les liens qu’il entretient avec le processus de structuration. Cela l’amène à préciser le rôle bénéfique du tâtonnement dans la construction de la représentation : dans le cas où cette dernière ne conduirait pas immédiatement à une procédure de résolution, le tâtonnement permet à l’élève de transformer et de faire évoluer sa représentation du problème.

26Julo évoque deux cas permettant de mieux comprendre comment l’élève élabore des procédures de résolution. Le premier cas est celui de la mobilisation d’un prototype de problème auquel se trouvent associées des connaissances opératoires immédiatement transformables en procédures de résolution.

27Le second cas est celui des problèmes dans lesquels l’élève peut agir, faire des essais, tâtonner. L’étude de ce cas amène Julo à préciser la notion d’heuristique, c’est-à-dire de connaissances propres à la résolution de problèmes qui ne conduisent pas directement à la solution d’un problème donné mais qui augmentent la probabilité de découvrir celle-ci. Il les définit aussi comme des règles d’action qui orientent la recherche dans une direction ou dans une autre.

28Le processus de structuration et les connaissances spécifiques que sont les schémas de problèmes pourraient avoir un rôle important dans le passage à une représentation opérationnelle.

1.4. Problématique

29Nous pensons qu’il est possible d’intervenir sur le processus de construction des représentations des problèmes. Nous faisons l’hypothèse que le calcul mental facilite l’action des élèves lors de la résolution. Leurs connaissances sur les nombres étant plus disponibles, ils s’autorisent davantage à faire des essais et ce d’autant plus qu’ils sont habitués à adapter, lors des calculs mentaux, leurs stratégies aux données numériques.

30Nous pensons que ces tâtonnements contribuent à renforcer les processus de structuration et d’opérationnalisation évoqués plus haut et favorisent donc la construction de représentations du problème. Nous sommes toutefois conscients que le tâtonnement a ses limites dans la mesure où il ne débouche pas forcément sur une procédure de réussite.

31Précisons les questions que nous allons traiter dans ce chapitre. Elles concernent la reconnaissance des opérations arithmétiques intervenant dans la résolution de problèmes numériques standard. Est-ce qu’une plus grande maîtrise de procédures de calcul diversifiées et une plus grande disponibilité de propriétés sur les nombres et les opérations peuvent contribuer à accélérer l’automatisation de la reconnaissance d’opérations arithmétiques intervenant dans des problèmes standard ? Si oui, quels sont parmi les problèmes enseignés en fin d’école élémentaire (CM2) ceux qui sont concernés par cet effet ? Quels sont les critères qui permettent de les caractériser ? Quelle interprétation peut-on donner de ce phénomène ?

32Pour répondre à ces questions, nous avons mis en place une expérimentation s’appuyant sur une pratique régulière de calcul mental. Nous allons décrire le dispositif d’enseignement, puis la méthodologie adoptée pour le recueil et l’analyse des données. Nous exposerons ensuite nos résultats.

33Par l’analyse des effets de deux leviers – le développement d’habiletés calculatoires spécifiques d’une pratique régulière de calculs mentaux et la fréquentation d’un domaine riche d’expériences numériques liées à cette pratique – cette étude apporte des éléments nouveaux à la question de la gestion en mémoire de la charge de travail et à celle de la représentation du problème.

  • 11 Cf. Boero, 1989.

34Le calcul mental est un domaine d’expérience11 pour la résolution de problèmes numériques. En effet, il contribue à rendre plus disponibles, chez les élèves, les propriétés des nombres et des opérations. De plus, une pratique régulière de calcul mental accroît les capacités d’adaptation et d’initiative des élèves. Ceux-ci ne se précipitent plus sur les algorithmes écrits mais osent faire des essais, notamment en jouant sur la taille des nombres en jeu. Ce tâtonnement devrait avoir un rôle spécifique dans la construction de la représentation du problème

1.4.1. Une disponibilité plus grande des propriétés des nombres et des opérations arithmétiques

35Les chapitres précédents montrent qu’une pratique régulière du calcul mental contribue à rendre plus disponibles les propriétés des nombres et des opérations. C’est un moment privilégié de l’apprentissage pour enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité, accroître la familiarisation de l’élève avec les nombres et les opérations, faire fonctionner et s’approprier les propriétés de ces dernières, enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul.

36Prenons l’exemple du calcul du produit 24 x 25. Si le calcul est fait rapidement et mentalement, l’élève peut être amené à mettre en œuvre des procédures faisant intervenir des décompositions additives ou multiplicatives des facteurs et des propriétés de la multiplication (commutativité, associativité, distributivité par rapport à l’addition, etc.). C’est le cas du calcul suivant qui utilise une décomposition additive de l’un des facteurs et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :

3724 x 25 = 20 x 25 + 4 x 25 = 10 x 50 + 100 = 500 + 100 = 600.

38Le calcul 24 x 25 = 6 x 4 x 25 = 6 x 100 = 600 fait intervenir des diviseurs particuliers de 24 et l’associativité de la multiplication. Alors que le calcul 24 x 25 = 24 x 100 ÷ 4 = 2400 ÷ 4 = 600 mobilise des multiples particuliers de 25 et l’associativité.

39De fréquentes applications contextualisées de ce type contribuent à renforcer la connaissance de ces propriétés et à accroître leur disponibilité. Cet exemple montre aussi comment des activités de calcul mental permettent aux élèves de découvrir des règles locales de calcul qui enrichissent leurs connaissances sur les nombres (ici 24 ou 25), sur leurs multiples ou diviseurs, sur les rapports entre multiplication et division, etc.

1.4.2. Une adaptabilité et des capacités d’initiative plus grandes

  • 12 Cette décomposition additive s’appuie sur la décomposition classique de l’un des facteurs selon les (...)

40Une pratique régulière de calcul mental accroît les capacités d’adaptation et d’initiative des élèves. L’exemple précédent montre que l’élève peut être amené à adapter des procédures routinières de calcul (par exemple, choix du nombre à décomposer dans le cas d’une procédure s’appuyant sur la décomposition additive canonique12 d’un seul des facteurs). Il peut même être profitable d’abandonner ces procédures sûres mais coûteuses pour d’autres plus économiques car adaptées aux propriétés des nombres intervenant dans le calcul (décomposition multiplicative d’un des facteurs par exemple).

41Une pratique régulière de calcul mental habitue donc l’élève à explorer différentes procédures possibles lors de calculs. Il est davantage incité à ne pas recourir immédiatement aux algorithmes opératoires les mieux maîtrisés, fiables mais parfois inadaptés, à rechercher des procédures de calcul déjà rencontrées ou non, à faire des essais, à recommencer, à accepter de faire des erreurs.

42Les calculs évoqués plus haut constituent des “petits problèmes” à résoudre dans un contexte épuré, purement mathématique. L’élève doit envisager différentes procédures, effectuer un choix, voire inventer de nouvelles démarches. Les données numériques sont des scalaires non attachés à des grandeurs. L’accès aux propriétés arithmétiques est direct.

43Est-ce que ces fréquentes explorations, toujours renouvelées bien que très contextualisées car dépendant des nombres en jeu dans le calcul, peuvent constituer un entraînement régulier à la résolution de problèmes numériques ? C’est cette question de l’extension de compétences acquises lors d’une pratique régulière de calcul mental à la résolution de problèmes numériques, que nous abordons maintenant, cette résolution n’étant plus strictement mentale comme précédemment mais aussi écrite.

2. Méthodologie de recueil et d’analyse des données

2.1. Le dispositif d’enseignement

44Le dispositif a donc été construit autour d’une pratique régulière de calcul mental et de résolution mentale et écrite de problèmes numériques. Il concerne la dernière année de l’école élémentaire (CM2, élèves de 10 à 11 ans). Les activités de calcul mental s’inscrivent dans les apprentissages mathématiques en général.

45Les élèves ont fréquenté de nombreuses activités : compter et décompter de n en n, calculer des additions et des soustractions mentales faisant intervenir des nombres entiers ou décimaux, calculer des produits faisant notamment intervenir des facteurs particuliers (multiples et puissances de 10, 11, 15, 25, 50, puissances de 2, nombres décimaux). Des jeux de calcul mental, comme “le compte est bon”, “trouver le nombre caché” ou encore la conjecture de Syracuse, ont été proposés. Des exemples de ces activités de calcul mental sont proposés en annexe III.

46Le professeur s’attache à faire expliciter oralement les différentes méthodes de calcul mises en œuvre par les élèves, à les faire comparer. Les procédures conduisant à des erreurs sont également explicitées et analysées collectivement.

47Pour évaluer l’impact d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution de problèmes, nous avons joué sur deux variables : le public testé (deux classes entraînées au calcul mental et deux classes témoins de CM2) et le mode de résolution des problèmes (mental ou écrit). Les écoles des classes témoins sont semblables à celles des classes entraînées : les élèves sont issus de milieux sociaux comparables ; les résultats obtenus lors des évaluations nationales de début de CE2 sont proches.

2.2. Le test

  • 13 Le degré de complexité prend en compte certaines caractéristiques du problème : présence de mesures (...)
  • 14 Pour cette différenciation, nous nous appuyons sur les travaux de Vergnaud (1982, 1983)

48Nous avons construit un test comportant des problèmes numériques qui s’inscrivent dans les apprentissages prévus en dernière année d’école élémentaire et qui font intervenir des notions déjà travaillées. Ce sont des problèmes que nous qualifions de standard. Nous avons limité le nombre des variables intervenant dans la construction des énoncés. Il s’agit de la nature des opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) et du nombre de données numériques (deux données, trois données, une donnée inutile). Nous avons aussi défini deux degrés de complexité des problèmes13 : simple ou complexe14.

49Nous croisons la variable “type d’opération” avec les variables “données numériques” et “degré de complexité”. À chaque opération, correspondent ainsi six énoncés de problèmes (trois problèmes simples et trois problèmes complexes) ; ce qui représente donc vingt-quatre problèmes différents.

50Les valeurs numériques sont choisies de telle sorte qu’elles n’apportent pas de complexité supplémentaire (nombres inférieurs à 10 ou se prêtant à un calcul mental facile).

51Le tableau n° 10 synthétise les critères qui ont servi à l’élaboration de ces vingt-quatre problèmes.

  • 15 Dans chaque case du tableau : en haut à gauche figurent les numéros des problèmes simples et en bas (...)

Tableau n° 10 : Critères de construction des problèmes15

Tableau n° 10 : Critères de construction des problèmes15

52Pour l’addition, nous considérons comme problèmes simples, les problèmes de composition de mesures (réunion) ou ceux faisant intervenir le calcul d’un état final.

  • 16 Le code 2d (respectivement 3d) indique que deux données numériques (respectivement trois données) s (...)
  • 17 di indique la présence dans l’énoncé d’une donnée inutile.
  • 18 Pour chaque problème de l’autobus, l’énoncé décrit entièrement le mouvement des voyageurs à tous le (...)

Problème16 4 (+, 2d, s) : Hier, j’ai lu mon livre jusqu’ à la page 134 ; aujourd’ hui, j’ai lu 27 pages. À quelle page en suis-je maintenant ?
Problème17 10 (+, di, s) : Dans une ville, il y a 3 écoles ; dans la première, on compte 150 élèves ; dans la seconde, 58 élèves ; dans la troisième, 70 élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans cette ville ?
Problème 12 (+, 3d, s) : Dans un autobus, il y a 36 personnes ; au premier arrêt, 3 personnes montent ; au second arrêt, 12 personnes montent18. Combien y a-t-il de personnes dans l’autobus quand il repart ?

53Nous considérons comme problèmes complexes, les problèmes de calcul d’un état initial ou ceux faisant intervenir une composition de transformations positives.

Problème 5 (+, 2d, c) : Pierre a perdu 15 billes à la récréation ; il lui en reste 20. Combien avait-il de billes avant ?
Problème 16 (+, 3d, c) : Au premier arrêt d’un autobus, 10 personnes montent ; au second arrêt, 3 personnes montent ; au troisième arrêt, 8 personnes montent. Y a-t-il des personnes en plus ou en moins dans l’autobus quand il repart après le troisième arrêt ? Combien en plus ou en moins ?
Problème 3 (+, di, c) : Marie fête son anniversaire le 22 septembre : elle a 11 ans. Elle dit à sa maman : « J’ai exactement 32 ans de moins que toi ! » Quel est l’ âge de Maman ?

54Pour la soustraction, de la même façon, nous considérons comme problèmes simples, soit les problèmes de recherche du complément, soit les problèmes de calcul d’un état final (sens “enlever”).

Problème 15 (-, 2d, s) : Dans un parking, il y a 100 places ; ce matin, 67 places sont occupées. Combien reste-t-il de places libres ?
Problème 6 (-, 3d, s) : Dans un autobus, il y a 38 personnes ; au premier arrêt, 8 personnes descendent ; au second arrêt, 6 personnes descendent. Combien y a-t-il de personnes dans l’autobus quand il repart ?
Problème 11 (-, di, s) : Jean part de Paris, il doit passer par Melun et être à Fontainebleau à 10 heures ; la distance Paris Fontainebleau est de 65 km et il y a 15 km de Melun à Fontainebleau. Quelle est la distance entre Paris et Melun ?

55Nous considérons comme problèmes complexes soit les problèmes de calcul d’un état initial, soit les problèmes de composition de transformations négatives (à noter que ces derniers se résolvent en fait par une addition).

Problème 19 (-, 2d, c) : J’ai maintenant 200 F dans ma tirelire ; on vient de me donner 50 F en cadeau. Combien avais-je avant ?
Problème 7 (-, 3d, c) : Au premier arrêt d’un autobus, 12 personnes montent ; au second arrêt, 4 personnes descendent ; au troisième arrêt, 5 personnes descendent. Y a-t-il plus ou moins de voyageurs dans l’autobus quand il repart ? Combien en plus ou en moins ?
Problème 21 (-, di, c) : La distance entre chaque arrêt d’un autobus est d’environ 1500 m ; au premier arrêt, 10 personnes montent ; au second arrêt, 3 personnes descendent ; au troisième arrêt, 5 personnes montent. Y a-t-il plus ou moins de voyageurs dans l’autobus quand il repart après ce troisième arrêt ? Combien en plus ou en moins ?

56Pour la multiplication, nous considérons comme simples, les problèmes d’addition réitérée ou de calcul du cardinal d’une collection discrète pouvant se représenter par une grille rectangulaire.

Problème 1 (x, 2d, s) : Pour réaliser un pull, Sylvie achète 18 pelotes de laine à 20 F la pelote. Calcule le montant de la dépense.
Problème 2 (x, di, s) : Une famille de 3 personnes séjourne pendant 6 jours à la résidence “des 3 îles” ; le tarif journalier de la pension est de 200 F par personne. Calcule le montant de la dépense.
Problème 20 (x, 3d, s) : Une famille de 3 personnes part à la montagne pendant 6 jours ; le tarif journalier de la pension est de 200 F par personne. Quel est le montant de la dépense ?

57Nous considérons comme complexes, les problèmes de combinatoire (recherche de tous les possibles) et ceux faisant intervenir un calcul d’aire ou de volume.

Problème 8 (x, 2d, c) : Un quadrillage rectangulaire comporte 34 carreaux sur la longueur et 20 carreaux sur la largeur. Combien ce quadrillage a-t-il de carreaux ?
Problème 13 (x, 3d, c) : Dans une boîte, on dispose 5 morceaux de sucre sur la longueur, 3 morceaux sur la largeur et 4 morceaux sur la hauteur. Combien de morceaux de sucre y a-t-il dans la boîte ?
Problème 24 (x, di, c) : Un restaurant propose un menu du jour à 70 F ; il y a 4 choix possibles pour l’entrée, 3 choix possibles pour le plat principal et 2 choix possibles pour le dessert. Combien de menus différents peut-on constituer ?

58Pour la division, nous considérons comme simples, les problèmes de partage ou de répartition. Les problèmes de division avec trois données n’étant pas adaptés, nous proposons à la place des problèmes de division avec reste.

Problème 17 (÷, 2d, s) : On répartit 126 œufs dans des boîtes de 6. Combien de boîtes peut-on remplir ?
Problème 9 (division avec reste, s) : On doit répartir 50 pommes dans des corbeilles de 8 pommes chacune. Combien peut-on remplir de corbeilles ? Combien reste-t-il de pommes ?
Problème 23 (÷, di, s) : Un rallye cycliste comporte 105 km ; le départ est à 7 heures le matin ; les relais sont distants de 5 km ; chaque participant doit pointer au départ, à chaque relais, et à l’arrivée. Combien de fois doit-il pointer ?

59Les problèmes complexes sont des problèmes faisant intervenir l’inverse d’une multiplication ou la recherche d’une dimension dans un calcul d’aire ou de volume.

  • 19 L’énoncé de la réponse à ce problème nécessite d’interpréter le résultat de la division en terme de (...)

Problème 22 (÷, 2d, c) : Un quadrillage rectangulaire comporte 168 carreaux en tout ; il y a 4 carreaux sur la largeur. Combien y a-t-il de carreaux sur la longueur ?
Problème 18 (÷, di, c) : Pour Noël, Jean, qui dispose de 250 F, a décidé d’offrir le même livre à ses 4 amis ; il paye 208 F. Quel est le prix d’un livre ?
Problème 14 (division avec reste, c) : Avec ses bottes de sept lieux, le petit Poucet se déplace de ville en ville ; il fait des pas de 8 km. S’il parcourt 50 km, combien de pas va-t-il faire19 ?

2.3. Problèmes familiers

60Nous avons analysé les résultats des élèves des différentes classes (entraînées et témoins) en comparant leurs performances, le nombre et la qualité des erreurs produites.

61Pour analyser les performances des deux types de classes nous avons pris en compte le degré de complexité des problèmes et le type d’opérations mobilisées. Ces deux critères permettent de définir des degrés de familiarisation des élèves de CM2 avec les problèmes du test.

  • 20 Nous entendons ici par modèle l’opération arithmétique intervenant dans le problème.

62Les problèmes que nous qualifions de familiers sont soit des problèmes additifs complexes (en particulier faisant intervenir des compositions de transformations), soit des problèmes multiplicatifs faisant intervenir une addition réitérée, une division ou un calcul d’aire. Un élève de dernière année de l’école élémentaire a rencontré ce type de problèmes à plusieurs reprises mais la reconnaissance du modèle20 sous-jacent n’est pas entièrement automatisée.

63Nous qualifions de très familiers les problèmes additifs simples tels que la reconnaissance du modèle est quasi automatisée. Au contraire, les problèmes faisant intervenir un calcul de volume ou de cardinal d’un produit cartésien sont relativement nouveaux pour des élèves de dernière année de l’école élémentaire qui reconnaissent difficilement le modèle sous-jacent : ils sont dits non familiers.

3. Interprétation des résultats

64Nous interprétons les écarts de performances des élèves des classes entraînées et témoins aux différents problèmes posés en faisant référence aux modèles mnésiques décrits précédemment. Nous considérons qu’une pratique régulière de calcul mental peut réduire l’espace des opérations au profit de l’espace consacré au stockage des données et à la représentation du problème. Nous décrivons ci-dessous les types de problèmes pour lesquels cet effet se manifeste. Le calcul mental peut aussi être utilisé comme un “échauffement”, au sens d’une mise en forme, d’une mise en condition intellectuelle pour faire des calculs, des rapprochements, des corrélations, des essais, etc.

  • 21 Plus généralement, nous pouvons donner une autre interprétation. Ces effets peuvent correspondre à (...)

65Il est délicat a priori de distinguer ce qui relève de l’effet d’une simple pratique de calcul mental de ce qui relève des apprentissages plus généraux, en particulier de l’apprentissage de la résolution de problèmes21. Cela rend difficile l’appréciation de la part spécifique du calcul mental dans les différences éventuelles de performances.

66Nous présentons les résultats concernant l’impact d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution mentale puis écrite de problèmes numériques.

3.1. Impact du calcul mental sur la résolution mentale de problèmes numériques

67Nous comparons les performances des élèves aux différents problèmes classés simples ou complexes.

Les problèmes simples

68Le tableau 11 montre qu’il n’y a pas d’écart de performances significatif dans le cas de la résolution mentale de problèmes simples. Deux problèmes seulement présentent une différence significative (au sens du test du χ2 à 0.05). Dans le cas des problèmes simples, les écarts de performances sont donc faibles et les erreurs des deux types de classes sont essentiellement des erreurs de calculs ou de données. La reconnaissance de l’opération à effectuer est aisée car les élèves sont familiarisés avec ce type de problème. Il est donc difficile d’améliorer de façon significative une reconnaissance déjà en grande partie automatisée. L’impact d’un entraînement au calcul mental ne peut porter que sur une meilleure maîtrise des calculs et des données ; ce qui est le cas pour les deux problèmes présentant un écart significatif. Les calculs étant aisés, l’effet est réduit.

Tableau 11 : Structures simples, comparaison des performances en résolution mentale entre une classe entraînée et un échantillon constitué de deux classes non entraînées (classes témoins)

Tableau 11 : Structures simples, comparaison des performances en résolution mentale entre une classe entraînée et un échantillon constitué de deux classes non entraînées (classes témoins)

Tableau 12 : Comparaison des performances en résolution mentale entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)

Tableau 12 : Comparaison des performances en résolution mentale entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)

Les problèmes complexes

  • 22 Nous utilisons l’expression “problèmes additifs” pour désigner les problèmes où intervient soit une (...)

69On observe des écarts de performances significatifs pour les problèmes additifs22 (cf. tableau 12). Les élèves des classes témoins reconnaissent moins bien l’opération à effectuer. Quatre problèmes sur six présentent une différence de performances significative (au sens du test du χ2 à 0.05). Ce n’est pas le cas pour les problèmes multiplicatifs complexes où le nombre important d’erreurs de modèle dans les classes entraînées ne nous permet pas de conclure.

70Les élèves sont moins familiarisés avec ces types de problèmes. Un entraînement régulier au calcul mental en libérant de l’espace mental au profit de la construction de la représentation permet une meilleure reconnaissance du modèle dans le cas où celui-ci n’est pas trop nouveau. Dans le cas des problèmes multiplicatifs complexes, la fréquentation de ce type de problème n’est pas assez importante pour qu’un effet soit sensible.

3.2. Impact du calcul mental sur la résolution écrite de problèmes numériques

71Afin de répondre à cette question, nous devons mesurer, dans un premier temps, les différences de performances, entre résolution mentale et écrite, chez les élèves des classes témoins. Dans un second temps, nous nous proposons de mesurer les effets d’une pratique régulière de calcul mental sur cet écart de performances dans le cas des classes entraînées.

3.2.1. L’effet du recours à l’écrit sur les performances des élèves des classes témoins

72Plusieurs facteurs peuvent impliquer des performances plus élevées lors de la résolution écrite que lors de la résolution mentale des mêmes problèmes. En effet, le temps accordé pour les calculs est plus long, les données peuvent être consultées en permanence car les élèves disposent de l’énoncé écrit. Enfin le recours à l’algorithme écrit est plus sûr.

73Pour tous les types de problèmes, nous observons que les écarts de performances entre résolution mentale et résolution écrite sont significatifs (cf. tableau 13). Le recours à l’écrit facilite donc la résolution mais les erreurs concernées ne sont pas toujours de même nature selon la complexité du problème.

Les problèmes additifs simples

74L’écart porte sur la diminution du nombre des erreurs de calcul et de données dans le cas des problèmes additifs. La reconnaissance du modèle étant aisée, le recours à l’écrit ne se traduit que par une meilleure maîtrise des calculs et des données.

Tableau 13 : Analyse des écarts de performances entre résolution écrite et mentale pour un échantillon témoin (structures complexes)

Tableau 13 : Analyse des écarts de performances entre résolution écrite et mentale pour un échantillon témoin (structures complexes)

Les problèmes additifs complexes et les problèmes multiplicatifs simples

75L’écart porte sur la diminution de tous les types d’erreurs. Le modèle est moins familier aux élèves. À l’écrit, les calculs sont plus sûrs, moins coûteux et les données restent présentes. L’espace mental réservé aux opérations se trouve donc réduit au bénéfice de celui réservé à la représentation du problème. Les élèves peuvent ainsi bénéficier de ce transfert car le modèle n’est pas trop familier.

Les problèmes multiplicatifs complexes

76L’écart porte sur la reconnaissance de l’opération. Nous pouvons donner la même interprétation que ci-dessus dans ce dernier cas où le modèle est encore moins familier aux élèves, voire presque totalement nouveau.

77Étudions maintenant l’impact d’un entraînement régulier en calcul mental sur la résolution écrite de problèmes. Pour cela, nous comparons les performances des élèves des classes témoins et entraînées.

3.2.2. Impact d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution écrite de problèmes

78Comme en résolution mentale, les résultats sont diversifiés en fonction du degré de complexité et de familiarité du problème posé.

Les problèmes simples

79Cet effet n’existe que pour les problèmes multiplicatifs ; il porte alors sur les erreurs de calcul et de données. Quatre problèmes sur six présentent en effet un écart significatif (cf. tableau 14). Un entraînement en calcul mental semble donc renforcer l’effet du recours à l’écrit dans le domaine de la maîtrise des calculs mais uniquement dans le cas des problèmes multiplicatifs.

Les problèmes additifs complexes

80L’impact d’une pratique régulière de calcul mental est de même nature que le recours à l’écrit : il concerne tous les types d’erreurs. En effet, trois problèmes sur six présentent un écart significatif. Ce sont des problèmes faisant intervenir des compositions de transformations de même signe ou de signe contraire. Un entraînement en calcul mental semble donc renforcer l’effet du recours à l’écrit à la fois pour la maîtrise des calculs et la reconnaissance du modèle.

Les problèmes multiplicatifs complexes

81Dans ce dernier cas, l’entraînement au calcul mental n’a pas le même effet que le recours à l’écrit qui favorise dans tous les cas la reconnaissance du modèle. Nous distinguons les problèmes multiplicatifs complexes relativement familiers (calcul d’aire, division) et les problèmes multiplicatifs complexes très peu familiers (calcul de volume ou du cardinal d’un produit cartésien). Dans le premier cas, l’impact existe et se traduit par une diminution de tous les types d’erreurs ; dans le second cas, un entraînement au calcul mental n’a pas d’effets significatifs.

Tableau 14 : Comparaison des performances en résolution écrite entre une classe entraînée et un échantillon témoin (structures simples)

Tableau 14 : Comparaison des performances en résolution écrite entre une classe entraînée et un échantillon témoin (structures simples)

Tableau 15 : Comparaison des performances en résolution écrite entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)

Tableau 15 : Comparaison des performances en résolution écrite entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)

82Un entraînement en calcul mental semble donc renforcer l’efficacité du recours à l’écrit, uniquement dans le cas de problèmes relativement familiers, pour la maîtrise des calculs comme pour la reconnaissance de l’opération. L’effet se traduit par une diminution des erreurs de calcul et de données dans le cas de problèmes familiers (problèmes simples multiplicatifs) ou par une diminution de tous les types d’erreurs dans le cas de problèmes un peu moins familiers (composition de transformations additives, calcul d’aire et division).

83Un entraînement régulier au calcul mental réduit donc l’espace des opérations ; cela se traduit soit par une meilleure maîtrise des calculs et des données quand le modèle est familier, soit par une meilleure reconnaissance du modèle qui s’ajoute à une meilleure maîtrise des calculs quand le modèle est moins familier. Les problèmes concernés ne doivent être ni trop simples, ni trop complexes. Entre ces deux degrés extrêmes de complexité, nous constatons que l’entraînement au calcul mental vient renforcer graduellement certains effets du recours à l’écrit. Dans ces conditions, lorsque le degré de complexité augmente, l’effet porte davantage sur la reconnaissance du modèle.

84Nous avons également étudié l’impact du calcul mental sur les écarts de performances entre résolution mentale et écrite des mêmes problèmes. Cette étude qualitative montre qu’un entraînement au calcul mental diminue ces écarts de performances dans le cas de problèmes simples ou de problèmes additifs complexes. Il s’agit donc de problèmes relativement familiers mais ne recouvrant toutefois pas exactement la catégorie précédente.

3.3. Conclusion

85Résumons sous forme d’un tableau les effets d’une pratique régulière de calcul mental sur la reconnaissance des opérations arithmétiques.

86Une plus grande aisance calculatoire due à une pratique régulière de calcul mental réduit le nombre des erreurs (de calculs ou de tri de données) produites par les élèves en résolution mentale comme en résolution écrite. Une plus grande habileté calculatoire a également des effets sur la reconnaissance de l’opération arithmétique à effectuer. Le nombre des erreurs de modèle est plus faible. Les performances des élèves sont ainsi nettement meilleures lors de la résolution mentale des problèmes additifs complexes et lors de la résolution écrite des problèmes additifs complexes et des problèmes multiplicatifs simples et plutôt familiers. Ce sont donc en général les problèmes familiers qui sont concernés. L’exemple type semble être celui des problèmes additifs complexes faisant intervenir des compositions de transformations. Dans ce dernier cas, l’impact est sensible en résolution mentale comme en résolution écrite.

87Tout se passe comme si un entraînement au calcul mental, en améliorant les habiletés calculatoires des élèves, favorisait une “prise de sens” et contribuait ainsi à accélérer le processus d’automatisation de la reconnaissance des opérations.

88En nous référant aux travaux de psychologie évoqués plus haut, nous pouvons donner trois éléments d’explication. Le premier relève de la gestion du système mnésique, les deux autres concernent davantage la construction de la représentation du problème.

Tableau 16 : Types de problèmes concernés par un impact d’une pratique régulière de calcul mental

Tableau 16 : Types de problèmes concernés par un impact d’une pratique régulière de calcul mental

89Une plus grande familiarité avec les nombres et les propriétés des opérations s’accompagne d’une plus grande aisance calculatoire. Un plus grand nombre de procédures de calcul sont disponibles. Les élèves les mettent en œuvre plus sûrement et commettent donc moins d’erreurs de calcul. Cet effet concerne la résolution mentale comme la résolution écrite des problèmes. Nous pensons que cette aisance contribue aussi à alléger la charge en mémoire consacrée au traitement opératoire au profit du stockage des données et de la représentation du problème.

90L’habileté à résoudre des problèmes purement numériques, le développement des capacités d’adaptation de l’élève grâce aux activités régulières de calcul mental semble avoir également des effets sur les compétences en résolution de problèmes en général : plus grande initiative, habitude à changer rapidement de point de vue, de stratégies, à faire des essais, etc.

91Enfin, une meilleure maîtrise de techniques de calcul (standard ou non) peut également se traduire par une meilleure aisance dans la reconnaissance de l’opération à effectuer. Ainsi par exemple, une connaissance accrue des propriétés des opérations, une plus grande aptitude à déterminer rapidement le résultat d’une opération ou à en évaluer l’ordre de grandeur aide l’élève à choisir l’opération la plus adaptée.

92Ces trois éléments se combinent pour faciliter la reconnaissance de l’opération à effectuer. Il en est certainement de même pour le tri des données intervenant dans la résolution. Rappelons que les élèves des classes entraînées au calcul mental gèrent en général mieux que leurs pairs les données inutiles figurant dans les énoncés.

93Toutefois, ces effets ne deviennent sensibles que si d’autres conditions sont remplies. L’élève doit avoir déjà construit une représentation, même partielle, du problème à résoudre. Cela n’est possible que si celui-ci est un peu familier. Dans ce cas, les compétences évoquées semblent se combiner pour accélérer le processus de construction de schéma de problèmes au sens précisé plus haut. Le fait que ce soit essentiellement les problèmes un peu familiers qui sont concernés nous amène à penser que l’effet le plus capital d’une pratique de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques standard concerne l’accélération du processus de reconnaissance de l’opération arithmétique en jeu. En effet, ce sont ces problèmes qui sont concernés à court terme par ce processus d’automatisation.

4. De nouvelles perspectives

94Nous avons ainsi dégagé deux catégories de problèmes sur la résolution desquels une pratique de calcul mental peut avoir des effets positifs.

95Les problèmes de la première catégorie peuvent être résolus par des procédures expertes dont la mise en œuvre s’avère plus économique lors d’une résolution mentale. Dans ce cas, l’effet d’une pratique de calcul mental concerne l’évolution de la palette des procédures disponibles pour les élèves.

96Les problèmes de la seconde catégorie sont des problèmes numériques standard de CM2 pour lesquels la reconnaissance de l’opération en jeu n’est pas encore automatisée. Ces problèmes sont toutefois un peu familiers pour les élèves. Un travail sur les techniques opératoires grâce à une pratique régulière de calcul mental accélère le processus d’automatisation du modèle sous-jacent et favorise l’élaboration d’un schéma de problèmes.

97Ce travail nous a aussi permis d’entrevoir un autre effet qui reste toutefois à confirmer : la résolution mentale de certains problèmes numériques pourrait être une aide à l’apprentissage de la lecture d’énoncés.

98En effet, lors de notre expérimentation, les élèves ont eu à résoudre des problèmes mentalement. Ce mode de résolution mental contraint l’élève à prendre très vite en compte les données nécessaires à cette résolution ainsi que les relations existant entre les données. Devant écouter très attentivement l’énoncé oral du problème (lu deux fois par le professeur), ils apprennent autrement à trier les données utiles. En particulier, nous avons remarqué des écrits traduisant un tri d’informations lors de la première lecture.

99Voici des exemples de notes prises par un élève de CM2 lors de la lecture du problème n° 6 : Dans un autobus, il y a 38 personnes. Au premier arrêt 8 personnes descendent. Au second arrêt, 6 personnes montent. Combien y a-t-il de personnes dans l’autobus quand il repart ?

100Ou bien :

101Le tri des données est facilité par la lecture du professeur. En effet, celui-ci met le ton, respecte la ponctuation de l’énoncé. Tout se passe comme si cette lecture orale constituait une première occasion permettant de sélectionner les données, celles-ci sont ainsi mises en évidence. L’élève utilise cela pour repérer des éléments susceptibles d’être traités dans un second temps. Cette lecture constitue ainsi un premier étayage car le professeur facilite ainsi l’identification certains des éléments pertinents de la tâche à réaliser. L’élève semble accéder au sens de l’énoncé en écoutant le professeur lire le texte du problème.

102Dans des classes comportant une part importante d’élèves ayant des difficultés de lecture, ce type d’activité s’appuyant sur une résolution mentale peut être l’occasion d’un apprentissage à la résolution de problèmes. Le professeur peut mettre à distance l’écrit et donc une partie des difficultés des élèves et entraîner ces derniers à trier les informations. Ce mode de travail paraît donc pertinent soit pour des élèves jeunes, apprentis lecteurs, soit pour des élèves plus âgés, repérés comme ne sachant pas “lire un énoncé”.

103Les élèves en difficulté ne semblent pas toujours bénéficier des effets d’un travail sur les techniques de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques. L’étude exposée dans les chapitres suivants permet de mieux comprendre les limites de nos résultats. L’analyse de ces limites propose des perspectives d’autres itinéraires cognitifs susceptibles d’améliorer les apprentissages.

Notes

1 Notons toutefois que Julo et Houdebine (1992) se sont intéressés à la résolution de problèmes de proportionnalité ou de partages (inégaux) plus classiques.

2 Cf. Richard, 1982

3 Cf. Fayol, 1987.

4 Conne, 1981

5 Cf. Denis, 1982 ; Moyer, Sowder, Threadgill-Sowder et Moyer, 1984.

6 Cf. Rosenthal et Resnick, 1974 ; Ferreiro, 1971 ; De Corte et Verschaffel, 1987 ; Fayol, 1990 ; Nesher et Katriel, 1977.

7 Cf. Morales, Shute et Pellegrino, 1985.

8 Cf. Julo, 1995.

9 Il précise la notion plus générale de représentation de problème que Richard (1990) définit ainsi : « un problème est défini par trois catégories d’éléments : la situation initiale, la situation terminale ou but à atteindre, les transformations (matérielles ou symboliques) permise pour y parvenir. La représentation du problème est l’interprétation que le sujet se donne des ces trois éléments ».

10 Contexte sémantique : ensemble très vaste d’éléments de nature différente dont certaines variations peuvent faciliter ou perturber la mise en place de la représentation du problème.

11 Cf. Boero, 1989.

12 Cette décomposition additive s’appuie sur la décomposition classique de l’un des facteurs selon les puissances de 10 (exemple : 2523 = 2000 + 500 + 20 + 3) Nous la désignons sous le terme de procédure de “distributivité simple” (cf. Butlen, Pézard, 1992).

13 Le degré de complexité prend en compte certaines caractéristiques du problème : présence de mesures, de relations liant ces mesures, de transformations opérant sur une mesure… Nous prenons en compte également le point de vue privilégié dans le problème : addition réitérée ou mesure-produit pour la multiplication par exemple.

14 Pour cette différenciation, nous nous appuyons sur les travaux de Vergnaud (1982, 1983)

15 Dans chaque case du tableau : en haut à gauche figurent les numéros des problèmes simples et en bas à droite figurent les numéros des problèmes complexes.

16 Le code 2d (respectivement 3d) indique que deux données numériques (respectivement trois données) sont présentes dans l’énoncé. Le code s (respectivement c) signifie simple (respectivement complexe).

17 di indique la présence dans l’énoncé d’une donnée inutile.

18 Pour chaque problème de l’autobus, l’énoncé décrit entièrement le mouvement des voyageurs à tous les arrêts (nombre de voyageurs qui montent et nombre de voyageurs qui descendent du véhicule)

19 L’énoncé de la réponse à ce problème nécessite d’interpréter le résultat de la division en terme de quotient (nombre de pas) et de reste (distance restant à parcourir)

20 Nous entendons ici par modèle l’opération arithmétique intervenant dans le problème.

21 Plus généralement, nous pouvons donner une autre interprétation. Ces effets peuvent correspondre à des adaptations locales ou plus générales, résultats de changements quantitatifs (effet de répétition) mais aussi qualitatifs (adaptation moins contextualisée). Nous retrouvons ici un résultat déjà mis en évidence à propos d’élèves de lycée (Robert, 1996)

22 Nous utilisons l’expression “problèmes additifs” pour désigner les problèmes où intervient soit une addition, soit une soustraction. De même l’expression “problèmes multiplicatifs” désigne les problèmes où intervient soit une multiplication, soit une division.

Table des illustrations

Titre Tableau n° 10 : Critères de construction des problèmes15
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Titre Tableau 11 : Structures simples, comparaison des performances en résolution mentale entre une classe entraînée et un échantillon constitué de deux classes non entraînées (classes témoins)
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Titre Tableau 12 : Comparaison des performances en résolution mentale entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)
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Titre Tableau 13 : Analyse des écarts de performances entre résolution écrite et mentale pour un échantillon témoin (structures complexes)
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Titre Tableau 14 : Comparaison des performances en résolution écrite entre une classe entraînée et un échantillon témoin (structures simples)
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Titre Tableau 15 : Comparaison des performances en résolution écrite entre deux classes entraînées et un échantillon témoin (cas des problèmes complexes)
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Titre Tableau 16 : Types de problèmes concernés par un impact d’une pratique régulière de calcul mental
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