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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre IV. Résolution mentale de problèmes additifs : le problème de l’autobus

Texte intégral

1Nous abordons dans ce chapitre et le suivant un deuxième point de vue pour traiter des liens entre travail sur les techniques opératoires et conceptualisation, celui de la résolution de problèmes numériques.

2Comme nous l’avons souligné dans l’introduction de cet ouvrage, nous avons choisi de centrer notre travail sur les techniques de calcul mental. Il s’agit de montrer sur différents exemples comment une pratique régulière de calcul mental peut développer les compétences des élèves en résolution de problèmes. Cette recherche ne concerne pas spécifiquement les élèves en difficulté en mathématiques mais tous les types d’élèves.

3Nous étudions plus particulièrement les liens entre habiletés calculatoires et prise de sens dans la résolution de problèmes numériques. Nous entendons par prise de sens aussi bien la recherche fructueuse de procédures de résolution adaptées que la reconnaissance des opérations arithmétiques à effectuer.

4Nous avons adopté deux entrées différentes. Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux valeurs que le professeur peut affecter à certaines variables d’une situation susceptibles de favoriser la recherche de procédures efficaces de résolution. Il s’agit surtout de la taille des nombres intervenant dans le problème et du mode de résolution (mental, écrit). Nous avons plus particulièrement étudié la résolution mentale d’un problème de composition de transformations additives : le problème de l’autobus. Au chapitre suivant, nous nous intéresserons aux effets d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques standard.

5Étudions maintenant les conditions susceptibles d’accroître les performances d’élèves de l’école élémentaire lors de la résolution de problèmes numériques. Nous avons centré notre étude sur l’activité de résolution mentale et plus particulièrement sur des contraintes liées à ce mode de résolution : recours réduit à un support écrit, temps limité. Nous analysons les effets de ces contraintes sur l’évolution de certaines démarches de résolution de problèmes numériques.

6Dans quelle mesure, ces contraintes permettent d’accélérer le passage de certaines étapes cognitives et favorisent l’abandon progressif de procédures de résolution plus primitives au profit de procédures jugées plus expertes ?

7Pour apporter des éléments de réponse, nous avons analysé les procédures et les performances d’élèves de l’école élémentaire (du CE1 au CM2) lors de la résolution d’un problème de transformations additives : le problème de l’autobus.

1. Analyse a priori de la situation

1.1. Énoncé du problème et procédures susceptibles d’être mobilisées

8L’énoncé est le suivant :

9Dans un autobus il y a n voyageurs, à un arrêt il en monte a et il en descend b, combien y a-t-il de voyageurs quand l’autobus repart ?

  • 1 En reprenant la terminologie de Vergnaud (1981, 1982)

10Nous distinguons1 deux types de procédures pour résoudre ce problème : une procédure portant sur les états et une procédure portant sur les transformations.

11La “procédure sur les états” revient à considérer un état initial El (le nombre n de voyageurs dans l’autobus avant l’arrêt), à lui appliquer une transformation T1 (ajouter à ce nombre le nombre a de voyageurs qui montent) et à en déduire un état intermédiaire E2 (n + a = n’ voyageurs), à appliquer à E2 la transformation T2(retrancher le nombre b de voyageurs qui descendent) et en déduire un état final E3 : (n + a)-b = n’ – b = n”.

12La “procédure sur les transformations” revient à considérer un état initial El (n voyageurs), à évaluer une transformation T3 correspondant à a – b obtenue par composition des transformations T1 et T2, et à appliquer cette transformation à El afin d’en déduire l’état final E2 : n” = n + (a – b). À l’école élémentaire, Les élèves ne connaissent pas les nombres entiers relatifs. La procédure composée T3 est déterminée par la recherche de deux éléments. L’élève doit calculer le nombre de voyageurs correspondant à la différence (en valeur absolue) entre les nombres de voyageurs qui montent et qui descendent. Il doit aussi déterminer la nature de la transformation correspondante, c’est-à-dire décider si le nombre ainsi déterminé correspond à un nombre de voyageurs (virtuel) qui montent ou qui descendent ?

13Ces procédures correspondent à des étapes cognitives différentes des sujets. En effet, la procédure sur les transformations est mobilisée plus tardivement et nécessite un enseignement spécifique. Notre but est de déterminer des conditions permettant d’accélérer cette mobilisation. Il s’agit d’amener les élèves des classes observées à mobiliser la procédure la plus économique en fonction des données intervenant dans les calculs. Nous avons pour cela étudié l’effet de certaines variables sur les performances et démarches des élèves.

14Une analyse a priori permet de penser que lors d’une résolution mentale, la procédure sur les états peut se révéler fiable quand les nombres de voyageurs qui montent et qui descendent sont petits. En revanche, la procédure de composition peut être plus économique quand ces nombres sont plus grands.

1.2. Des variables de commande

15Des éléments de la situation peuvent être modifiés sans pour autant changer la nature du problème mathématique soumis aux élèves. C’est le cas des nombres n, a et b ; du mode de résolution adoptée (mentale, écrite) ; du temps accordé aux élèves pour résoudre le problème ; du contexte convoqué par l’énoncé (autobus, jeu avec gain et pertes, etc.) ou encore de l’ordre dans lequel les transformations sont énoncées. Ces éléments sont des variables dont un changement de valeur est susceptible de modifier les procédures et performances des élèves.

16Nous avons mis en place un dispositif expérimental permettant de tester l’effet de trois de ces variables : la taille des nombres intervenant dans le calcul, l’ordre dans lequel les deux transformations interviennent dans l’énoncé et enfin l’habillage du problème.

17Nous avons choisi de faire varier les données n, a et b sur deux domaines numériques :

  • Le domaine D1 défini par n < 100, a < 10 et b < 10 ;

  • Le domaine D2 défini par n < 200, a > 10 et b > 10 et |a – b|< 10.

18Dans les deux cas, n est nettement supérieur à a et b.

19Dans le cas du domaine D1, nous avons également analysé les résultats et procédures des élèves en fonction de l’existence ou non de ce que nous avons appelé un passage de la dizaine. Le calcul ci-dessous présente deux passages de la dizaine :

20n + a + b22 + 9 – 3 = 31 – 3 = 28

21En revanche, le calcul ci-dessous ne représente pas de passage de la dizaine :

2227 – 4 + 3 = 23 + 3 = 26

23Nous avons proposé plusieurs types d’énoncés suivant les moments et les classes, afin de ne pas lasser les élèves ou afin de justifier les valeurs prises par les données numériques : jeux de billes avec pertes et gains, jeu de la grand-mère (Je suis à n pas de ma grand mère, elle me dit d’avancer de a pas puis de reculer de b pas, où suis-je ?)

24Nous avons systématiquement proposé l’énoncé standard ou bien l’une des variantes exposées ci-dessous, en inversant les termes “montent” et “descendent” ou bien en prenant a – b > 0, a – b < 0 ou a – b = 0.

25Cela permet de générer dix-huit énoncés possibles dans le cas du domaine numérique D1 et pour un habillage donné. Six énoncés sont proposés aux élèves dans le cas du domaine D2 et pour un habillage donné.

26En fonction des niveaux de classes et des résultats à l’activité standard, nous avons proposé des questions intermédiaires qui avaient pour but de donner du sens à la tâche :

Dans un autobus, il y a n personnes, il en monte a et il en descend b. Après l’arrêt, y a-t-il plus ou moins de voyageurs ?

27Ou bien

Dans un autobus, il y a n personnes, il en monte a et il en descend b. Après l’arrêt, y a-t-il plus, moins, autant de voyageurs, combien en plus, ou combien en moins ?

1.3. Le scénario

28Nous avons observé une classe de CE1, deux classes de CE2, une classe de CM1 et une classe de CM2.

29Une fois par semaine, les élèves ont à résoudre mentalement quatre variantes du problème. L’énoncé est donné oralement, le nombre initial de voyageurs n est inscrit au tableau. Les élèves écrivent le résultat et d’éventuels calculs intermédiaires. Ils doivent expliciter oralement leurs procédures de calcul.

30Le scénario comporte deux périodes. Les élèves se familiarisent avec le problème dans le cadre du domaine D1 pendant quatre à sept séances. Quand le taux de réussite se stabilise entre 65 % et 70 %, le problème est proposé avec des données numériques relevant du domaine D2. La durée de cette période dépend du niveau de la classe : deux semaines en CM2, trois semaines en CM1, quatre à cinq semaines en CE2.

31Nous présentons en annexe II le détail des divers scenarii.

2. Analyse des procédures observées

32Pour chaque niveau scolaire, nous nous sommes attachés à repérer en fonction des données n, a et b et de la familiarisation avec le problème, les procédures de résolution et les performances des élèves ainsi que leur évolution.

33Nous avons comparé ces résultats. Enfin, nous avons évalué l’effet de l’introduction par le professeur de notations ou schémas particuliers sur l’évolution des performances et procédures des élèves.

2.1. Procédures utilisées pour le domaine numérique D1

34Quel que soit leur niveau, les élèves effectuent mentalement les opérations, le plus souvent, dans l’ordre proposé par l’énoncé. La majorité ne compose pas les transformations. Quelques élèves toutefois, en général les meilleurs de la classe, composent de façon systématique les transformations (10 % dans l’un des CE2, 33 % en CM1). Ils emploient cette procédure quand l’énoncé présente une inversion des termes “montent” et “descendent” ou quand le nombre de voyageurs descendant est plus important que celui des voyageurs qui montent ou, enfin, quand il y a passage de la dizaine. Lors des bilans et corrections, ces élèves soulignent les avantages de cette démarche. Mais ils n’arrivent pas à convaincre leurs pairs. Ceux-ci ne ressentent pas la nécessité de l’utiliser car ils arrivent autrement à calculer le résultat demandé sans trop d’erreurs.

35Les exercices faisant intervenir des passages de la dizaine sont moins bien réussis que les autres. Les erreurs les plus fréquentes sont dues à une prise en compte d’une seule transformation, d’un seul type de transformation ou relèvent d’erreurs de calculs (erreur de retenue dans le cas du passage de la dizaine). Ces erreurs diminuent avec le degré de familiarisation avec le problème comme le prouvent les tableaux 5 et 6 suivants :

Tableau 5 : Résultats de la classe de CE2, n° 1 (sept séances)

Tableau 5 : Résultats de la classe de CE2, n° 1 (sept séances)

Tableau 6 : Résultats de la classe de CM1 (trois séances)

Séances

n° 1

n° 2

n° 3 (*)

Nombre d’élèves produisant 4 bonnes réponses

5

5

4

Nombre d’élèves produisant 3 bonnes réponses

6

4

6

Nombre d’élèves produisant 2 bonnes réponses

3

5

8

Nombre d’élèves produisant 1 bonne réponse

2

1

1

Nombre d’élèves ne produisant aucune réponse juste

0

1

1

Total des élèves présents

16

16

20

Pourcentage de bonnes réponses

71 %

68 %

64 %

2.2. Procédures utilisées pour le domaine numérique D2

36Dans les classes de CE2, CM1, CM2, quand les nombres a et b sont plus grands (avec |a – b|< 10), nous avons constaté une chute très nette des performances dans un premier temps. Puis, la procédure de composition des transformations se diffuse dans la classe. Elle est adoptée par la quasi totalité des élèves (80 % des élèves de CE2, la totalité des élèves de CM1 et CM2). Les élèves qui l’utilisaient dans le cas du domaine D1 et n’arrivaient pas à convaincre leurs pairs, en démontrent l’intérêt par leurs réussites systématiques.

37Seuls les élèves très faibles ne composent pas systématiquement les transformations.

38De façon générale, les erreurs proviennent d’une difficulté à mémoriser toutes les données ou d’une difficulté à évaluer le “signe” de la transformation composée (alors que l’écart entre a et b est souvent correctement évalué). Cette difficulté est renforcée lorsque le signe de la transformation globale est négatif ou lorsque le nombre de voyageurs qui descendent est donné en premier. Les tableaux 7 et 8 ci-dessous présentent les performances des élèves de CE2, CM1 et CM2.

2.3. Le cas particulier de la classe de CE1

39Quelle que soit la taille des nombres intervenant dans le problème, les élèves de CE1 ne composent pas les transformations. Ils rencontrent des difficultés pour prendre en compte le nombre de voyageurs qui descendent car la soustraction venant d’être abordée, les élèves ne se représentent pas le problème. Une progression ménageant des étapes n’a pas d’effet sur la majorité des élèves. C’est ainsi le cas quand le professeur leur pose des questions intermédiaires comme : Y a-t-il autant, plus ou moins de voyageurs après l’arrêt ? Combien en plus, combien en moins ?

40La classe de CE2 semble donc être un moment privilégié pour enseigner la composition de transformations additives.

2.4. Des institutionnalisations locales

41Le recours au domaine D2 et à une résolution mentale est donc un levier particulièrement efficace pour amener les élèves à mobiliser des procédures de composition de transformations, en particulier au CE2.

42L’intervention du professeur est toutefois importante. Dans l’une des classes de CE2, le professeur se contente de faire expliciter les procédures mobilisées par les élèves. Il ne privilégie aucune d’entre elles, ne met pas en valeur l’efficacité de la composition dans le cas du domaine D2. La diffusion de cette dernière est très lente. La lassitude et le découragement des élèves deviennent importants, comme le montre le tableau 9 des performances.

Tableau 9 : Résultats de la classe de CE2, n° 2 (quatre séances)

Séances

n° 1

n° 2

n° 3

n° 4 (*)

Nombre d’élèves produisant 4 bonnes réponses

5

0

12

3

Nombre d’élèves produisant 3 bonnes réponses

4

5

5

7

Nombre d’élèves produisant 2 bonnes réponses

5

6

3

5

Nombre d’élèves produisant 1 bonne réponse

4

4

1

4

Nombre d’élèves ne produisant aucune réponse juste

2

5

2

4

Total des élèves présents

20

20

23

23

Pourcentage de bonnes réponses

58 %

40 %

76 %

51 %

43Dans l’autre classe de CE2, le professeur fait comparer les procédures en terme d’efficacité et d’économie et introduit la notation ci-dessous pour décrire la procédure de composition des transformations :

44De plus, reprenant une proposition d’élève, qui a décomposé 17 en 10 + 7, il explique que « cela revient à faire descendre 7 voyageurs » (puisque lorsque a = 10 et b = 10, « cela revient à ne rien faire »). Cette procédure est reprise sur d’autres exemples, toujours avec le souci de voir « à quoi ça revient ? ».

45Quand a = b, le bilan ne semble pas poser de problème aux élèves. Ils déclarent que « ça revient à ne rien faire ». Par contre, si ab, par exemple b > a, ils apprennent à décomposer b en [(b – a) + a] suite à une proposition de l’un d’entre eux, reprise et institutionnalisée par le professeur.

46La grande majorité des élèves des deux classes de CE2 utilisent finalement la procédure sur les transformations. Toutefois une institutionnalisation plus rapide permet aux élèves de la seconde classe de progresser plus vite dans le cas du domaine D2.

3. Conclusion

47Un jeu sur les variables numériques intervenant dans le problème et un recours à la résolution mentale du problème ont permis d’améliorer la disponibilité des procédures de composition des transformations additives à partir du CE2. Tous les élèves de CM, quel que soit leur niveau de performance habituel en mathématiques, sont concernés par cette évolution. Les premiers font davantage d’erreurs de calcul. En CE2, le recours à des notations adaptées (introduites par l’enseignant) permet d’enclencher cette évolution. Des différences de performances restent toutefois sensibles entre les élèves en difficulté et leurs pairs

48La forme de résolution et le temps accordé pour la résolution sont décisifs dans cette évolution. En effet, quel que soit leur niveau scolaire (CE2, CM1 ou CM2), quand la résolution est écrite, les élèves ne mobilisent pas de procédures de composition car ils n’ont pas à mémoriser les données, celles-ci restant accessibles par simple lecture de l’énoncé. De plus, le recours à l’algorithme écrit permet dans un temps relativement court de mener à bien les calculs successifs d’état. La composition des transformations peut même s’avérer moins sûre car elle demande de prendre davantage de recul par rapport à la temporalité de l’énoncé.

Notes

1 En reprenant la terminologie de Vergnaud (1981, 1982)

Table des illustrations

Titre Tableau 5 : Résultats de la classe de CE2, n° 1 (sept séances)
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/9893/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 37k
Titre Tableau 7 :
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/9893/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 48k
Titre Tableau 8 :
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/9893/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 34k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/9893/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 3,9k

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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