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Le calcul mental entre sens et technique

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Denis Butlen

Chapitre III. Des écritures multiplicatives à la multiplication en environnement informatique

Texte intégral

1Comment les élèves de CE1 acquièrent-ils la notion de produit de deux entiers naturels ? Comment l’écriture multiplicative a x b désignant ce produit prend-elle sens ? Quels liens existent entre ces acquisitions et la pratique de calculs de produits ?

  • 1 Nous reprenons ici les résultats de certains des travaux que nous avons menés en ce domaine (Butlen (...)

2Nous avons tenté de répondre à ces questions en proposant à des élèves de CE1 des situations utilisant un environnement informatique1.

3Précisons dans un premier temps les résultats des recherches en didactique sur l’apprentissage de la technique opératoire de la multiplication que nous avons utilisés. L’apprentissage de la multiplication a fait l’objet de recherches dans les premières années du développement de la didactique des mathématiques en France notamment dans les travaux de M. Artigue, G. Brousseau, R. Brissiaud, D. Coquin-Viennot, G. Deramécourt et R. Douady. Depuis, d’autres travaux ont été effectués sur le sujet, mais ils ne portent pas directement sur l’apprentissage de la notion de produit de deux entiers naturels ou sur celui d’une technique opératoire. Le développement des recherches en didactique des mathématiques en général, la construction de cadres théoriques et l’accumulation de résultats de plus en plus probants ont fait émerger de nouvelles questions de recherche.

4Plusieurs hypothèses sont à l’origine de l’élaboration de ces ingénieries. Elles concernent à la fois la définition privilégiée par l’ingénierie lors de la construction de la technique standard ; l’environnement mathématique proposé aux élèves pendant la période précédant la maîtrise de la technique standard ; et le scénario d’enseignement à mettre en place afin de permettre aux élèves de construire effectivement l’algorithme opératoire usuel.

1. La multiplication comme mesure-produit

5Une première hypothèse porte sur la définition de la notion de produit et d’écriture multiplicative qui va être privilégiée lors de la construction de l’algorithme de la multiplication. Alors que les pratiques des enseignants (telles qu’on pouvait alors les appréhender en analysant les manuels scolaires) s’appuyaient majoritairement en France sur l’addition réitérée pour introduire la notion de produit, la majorité des travaux que nous venons de citer adoptent un autre point de vue : celui de la mesure-produit.

  • 2 Cf. Artigue et al., 1980.

6En effet, deux types de situations sont susceptibles d’être mathématisées à l’aide de la multiplication2 :

  • une situation de type “loi de composition externe” de ℕ x ℕ dans ℕ (ou de D x D dans D) pouvant se traduire par l’étude de la correspondance entre, par exemple, le nombre de tours de manège à 3 F le tour et le prix qu’on doit payer pour effectuer ces tours ; situation où l’écriture multiplicative apparaît comme l’écriture réduite d’une addition réitérée ; le terme “fois” est alors privilégié.

  • une situation du type “loi de composition interne” de ℕ x ℕ dans ℕ (ou de D x D dans D) qui se traduit par l’évaluation du cardinal de produit cartésien A x B en fonction des cardinaux des ensembles A et B ou par l’aire d’un rectangle en fonction des mesures de ses côtés ; situation où le point de vue est celui de la mesure-produit. L’expression “multiplié par” est alors privilégiée.

7Les arguments légitimant le point de vue de la mesure-produit sont exposés le plus clairement et le plus complètement par Lecoq dans La multiplication des entiers naturels à l’école élémentaire où il analyse dans un premier temps l’introduction de la multiplication à partir des additions répétées. Bien que tenant cette introduction pour légitime, Lecoq considère qu’elle n’est pas adaptée aux élèves de cours élémentaire au vu des arguments suivants :

8Dans l’écriture n x p = p + p + p +… + p, n et p ne se référent pas à des objets de même nature. Cette différence se manifeste au niveau manipulatoire : n désigne un nombre d’ensembles et p le nombre d’éléments de chaque ensemble. Elle se manifeste aussi au niveau numérique : p désigne le nombre qui est répété dans l’écriture p + p + p +… + p et n le nombre de répétition de la lettre p. Cette différence de nature non seulement ne traduit pas la commutativité de la multiplication, mais même s’y oppose. De plus, elle conduit à certains abus : p + p + p ++ p doit s’écrire p x n (pour « p multiplié par n ») et se lire « n fois p » et non pas « p fois n ». Cette présentation introduit des difficultés d’ordre perceptif chez l’enfant qui doit percevoir simultanément plusieurs types d’objets : n collections deux à deux disjointes, p objets dans chaque collection et des correspondances un à un.

9Elle ne constitue pas un outil efficace d’exploration, notamment parce qu’elle ne permet pas de représenter simplement la distributivité à droite de la multiplication par rapport à l’addition. Faute de représentation adaptée, elle conduit à une étude de la multiplication se situant presque exclusivement au niveau des écritures.

10L’analyse précédente conduit l’auteur à présenter la multiplication à partir de situations répondant aux quatre conditions suivantes : lever les critiques formulées ci-dessus ; engager l’activité manuelle et donner un outil (une représentation bien adaptée au problème étudié) ; permettre aux enfants (dès le CE1) de faire des multiplications, même sans avoir acquis une technique opératoire affinée ; et enfin, favoriser l’élaboration par ceux-ci de techniques de calcul qui s’amélioreront avec leur pratique, leurs connaissances et leur souci d’économie.

11Ce choix conduit généralement à présenter l’introduction de l’écriture a x b à partir de la situation de communication suivante. Les élèves sont divisés en plusieurs équipes, chaque équipe étant scindée en deux groupes : un groupe émetteur et un groupe récepteur. Le groupe émetteur possède une feuille portant des points disposés en rectangle (par exemple 7 x 12) et une bande de papier destinée au message. Le groupe récepteur possède environ six feuilles de points disposés en rectangle, une seule d’entre elles étant identique à l’une des feuilles du groupe émetteur (par exemple : 8 x 7 ; 7 x 10 ; 9 x 8 ; 7 x 12 ; 9 x 12 ; 12 x 13), ainsi qu’une boîte de cent jetons.

12Le groupe émetteur doit réaliser un message qui doit permettre au groupe récepteur de choisir, parmi les six feuilles, la feuille qui correspond à celle du groupe émetteur, et de reconstruire à l’aide des jetons une collection correspondant au message, la validation des messages se faisant par confrontation des collections d’objets.

  • 3 Cf. Artigue et al., Deramécourt, 1980.

13Deramecourt3 propose la classification suivante des bons messages (ceux comportant une indication exacte sur le nombre d’objets de la collection). Si les messages ne sont pas ceux attendus (par exemple, s’ils sont du type 12 + 12 + 12 +… ou simplement 84), il propose une reprise de l’activité en précisant les contraintes. Il faut des messages plus courts dans le premier cas. Ce n’est pas le message le plus rapide à obtenir, ni celui permettant une recherche la plus rapide pour les récepteurs dans le second cas. Si les messages utilisent une écriture pertinente (« 7 lignes de 12 », « 7 rangées de 12 », « 7 x 12 », « 7 lignes et 12 colonnes »), le maître donne l’écriture correcte utilisant le signe x et propose (éventuellement) des exercices de renforcement du même type. Le temps joue un rôle important dans la mobilisation d’écritures jugées pertinentes.

14Cette activité est suivie par une activité utilisant des caches dont le but est de faire prendre conscience aux élèves que le nombre de points d’un tableau rectangulaire est déterminé par le nombre de lignes et le nombre de colonnes. Le professeur propose aux élèves des grilles incomplètes (un cache masquant une partie des points). Ils doivent déterminer le nombre d’éléments de la collection et coder celui-ci sous forme d’une écriture multiplicative. Ils ont, selon les cas, la possibilité de se référer à des exemplaires de grilles complètes.

2. De l’écriture multiplicative à l’algorithme

15Nous avons signalé dans le paragraphe précédent les situations qui permettent d’introduire l’écriture multiplicative à partir du dénombrement des éléments d’une collection organisée sous la forme d’une grille rectangulaire. Un travail important de manipulation des écritures multiplicatives ainsi introduites est nécessaire.

16Celui-ci se fait à l’occasion de calculs de produits, calculs s’appuyant en particulier sur la détermination du nombre d’éléments de collections organisées sous forme de grilles rectangulaires.

  • 4 Viennot et Artigue, 1980 ; Brousseau, Deramécourt, Artigue et al, 1980

17Les ingénieries didactiques élaborées ont une caractéristique commune dans les activités visant à dénombrer une collection organisée en grille rectangulaire. Leurs auteurs4 supposent que l’élève de CE1 va implicitement associer les deux facteurs du produit aux dimensions des différents rectangles intervenant dans les calculs : ils admettent l’hypothèse que l’élève a acquis cette connaissance lors des activités d’introduction des écritures multiplicatives.

18Ces recherches débouchent sur des propositions d’ingénieries qui influencent encore largement les propositions faites par les manuels scolaires actuels. Les grandes étapes sont les suivantes :

  • Découpages de grilles en petits pavés dont on peut calculer le nombre d’éléments, soit directement, soit à l’aide d’un répertoire multiplicatif.

  • Construction, enrichissement et organisation d’un répertoire multiplicatif non standard, l’organisation de ce dernier en table de multiplication se faisant progressivement et étant motivée par les calculs de produits.

19Cette progression prend en compte, de façon très nette, le souci d’économie manifesté par les élèves dans les calculs. Au-delà de certaines variantes, elle s’articule ainsi :

  • À partir de la comparaison de grilles (de faibles dimensions), début de construction d’un répertoire multiplicatif, puis organisation partielle de ce dernier à partir de la comparaison des écritures (avec retour éventuel aux collections).

  • Réduction d’écritures multiplicatives, dans un premier temps “sauvage”, à partir du découpage d’une grille en grilles plus petites dont l’élève sait calculer le cardinal (directement ou à l’aide de produits connus), puis calcul de ce produit par addition, avec écriture canonique correspondante. Le découpage est traduit par un arbre de calcul.

  • Utilisation du souci d’économie des élèves et d’un répertoire imposé (ainsi que d’une compétition entre élèves) pour réduire ce découpage.

  • Découverte de la “règle des zéros” (multiplication par 10, 100, 1000, etc.) et réinvestissement de cette découverte dans les découpages précités.

  • Passage d’un découpage effectif à la représentation de ce découpage sous forme de schéma.

  • Étude et/ou réinvestissement de l’étude des puissances de 10 dans la réduction des écritures multiplicatives.

20Enfin on construit l’algorithme usuel de la multiplication, en passant éventuellement par une étape intermédiaire (algorithme de Fibonacci). Deux cas sont possibles : soit de construire l’algorithme dans le cas où le multiplicateur a un chiffre pour assurer sa compréhension au CE1 puis construire l’algorithme dans le cas général au CE2, soit de construire directement l’algorithme dans le cas général (le multiplicateur ayant deux ou trois chiffres dès le début).

3. La notion de produit chez les élèves en difficulté

21La construction de l’algorithme que nous venons d’exposer repose sur une hypothèse admise plus ou moins implicitement. Les notions de produit (et d’écriture multiplicative) sont suffisamment installées lors des situations d’introduction (et de réinvestissement qui les prolongent) pour que tous les élèves puissent les mobiliser lors de calculs de produits plus complexes. Cette disponibilité suppose que l’élève associe quasi automatiquement dimensions du rectangle et facteurs du produit associé. Elle suppose de plus que l’écriture a x b désigne bien un nombre (qu’on peut déterminer par calculs ou en se référant à un répertoire multiplicatif) et ne se limite pas à une écriture décrivant une organisation spatiale de collection.

22Pour calculer le nombre d’éléments d’une collection organisée en grille rectangulaire, l’élève doit envisager une stratégie de calcul correspondant à un découpage. Contrairement à une des additions réitérées correspondantes, l’écriture multiplicative a x b n’indique pas d’emblée le calcul à effectuer. L’élève devra donc effectuer le découpage, c’est-à-dire déterminer des rectangles, déterminer les produits associés et les additionner au fur et à mesure ou bien en fin de découpage. Deux tâches peuvent en découler. La première revient à déterminer un produit et à découper le rectangle correspondant. La deuxième décrit la démarche inverse : le rectangle étant donné (par les contraintes du découpage par exemple), il faut alors en déterminer les dimensions et écrire le produit partiel correspondant. Cela suppose donc que l’association entre produit et rectangle d’une part, entre facteurs de ce produit et dimensions du rectangle d’autre part, soit suffisamment maîtrisée.

23Nous verrons par la suite que ce pari ne va pas de soi pour tous les élèves. L’analyse des performances et des stratégies de découpages et de calculs mises en œuvre lors des deux situations fait en effet apparaître que la notion de produit (et d’écriture multiplicative) reste fragile pour certains élèves en difficulté après les situations qui permettent de les introduire. C’est le cas notamment pour le lien entre écriture désignant une organisation spatiale et nombre. L’association entre facteurs du produit et dimensions du rectangle n’est pas toujours suffisante pour que l’élève puisse mener à terme les découpages réels ou simulés qui lui sont demandés lors de la construction de la technique.

  • 5 Cf. Douady, 1985. Un cadre est constitué des objets d’une branche des mathématiques, des relations (...)

24Nous dégageons toutefois des conditions qui permettent à certains élèves jugés faibles en mathématiques par leur professeur de surmonter ces difficultés. Celles-ci font intervenir notamment des jeux de cadres5 et une dialectique entre conceptualisation et travail des techniques opératoires.

25Dans un premier temps, nous exposons le diagnostic, dans un second temps nous décrivons des pistes susceptibles de permettre de surmonter certaines des difficultés rencontrées.

4. La construction de la notion de produit, un processus qui prend du temps

26Afin de tester la compréhension des notions de produit et d’écriture multiplicative, nous avons développé un logiciel. Celui-ci a été testé dans deux types de classes : une classe de CE2 ayant déjà construit en partie la technique opératoire de la multiplication, et une classe de CE1 venant d’aborder la notion d’écriture multiplicative à partir de la situation exposée précédemment mais n’ayant pas encore travaillé la technique opératoire.

27Bien que cette recherche soit qualitative, elle nous permet d’évaluer les difficultés rencontrées par certains élèves pour acquérir les notions de produit et d’écriture multiplicative.

4.1. Présentation de la situation n° 1

28Cette situation est une adaptation dans un environnement informatique de la situation de réinvestissement évoquée plus haut. Les élèves doivent désigner par une écriture multiplicative le nombre d’éléments des grilles rectangulaires incomplètes représentées ci-dessous.

Grille n° 1 : 18 x 15

Grille n° 1 : 18 x 15

Grille n° 2 : 13 x 14

Grille n° 2 : 13 x 14

Grille n° 3 : 21 x 11

Grille n° 3 : 21 x 11

Grille n° 4 : 16 x 17

Grille n° 4 : 16 x 17

Grille n° 5 : 13 x 11

Grille n° 5 : 13 x 11

Grille n° 6 : 15 x 15

Grille n° 6 : 15 x 15

Grille n° 7 : 17 x 13

Grille n° 7 : 17 x 13

29L’activité se présente sous forme de jeu : les élèves sont crédités d’un score. Une grille incomplète étant affichée à l’écran, l’élève doit désigner sous la forme d’une écriture multiplicative le nombre d’objets de la grille complète correspondante. Il peut faire afficher des croix supplémentaires, mais il est alors pénalisé. En cas de réponse donnée sous forme multiplicative mais erronée, une grille correspondant à cette réponse s’affiche à l’écran en surimpression de la collection à dénombrer. Un jeu sur les couleurs permet aisément de comparer cette dernière grille avec la grille initiale.

30Cette situation nous renseigne sur la capacité d’élèves de cours élémentaire déjà familiarisés avec la notion de produit et la technique de la multiplication à associer les facteurs d’un produit et les dimensions correspondantes d’une grille rectangulaire. Il ne s’agit pas ici d’évaluer le degré de précision du dénombrement des élèves, mais de comprendre comment les dimensions de la grille sont perçues et traduites par le produit des deux facteurs correspondants. Il s’agit de repérer si le nombre de croix de chaque dimension est bien perçu comme l’invariant permettant de traduire le nombre de croix total de la collection.

4.2. Analyse des résultats

31Le tableau n° 4 présente les performances des élèves des deux classes. Pour chaque grille, le nombre d’élèves et le pourcentage correspondant sont indiqués. Lorsqu’ils doivent déterminer le nombre de croix d’une dimension non complètement tracée en se référant aux autres dimensions (grilles 3 et 4) ou en faisant afficher des croix supplémentaires (grilles 5 à 7), certains essaient d’évaluer de visu les croix manquantes. C’est le cas de la moitié des élèves de CE2 (90 % dans le cas des trois dernières grilles). Ils produisent des réponses erronées dans 63 % des cas.

32Si l’on excepte les erreurs de comptage, on constate que 30 % des élèves de CE2 n’associent pas dimensions de la grille et facteurs du produit correspondant lors de la première grille. Trois élèves de cette classe reproduisent ce type d’erreurs pour les grilles 2 ou 3 et un seul élève pour la grille 4. Ces élèves essaient le plus souvent d’évaluer le nombre de croix manquantes, de déterminer le nombre de croix total et de traduire mentalement (sans se référer aux nombres de croix des deux dimensions du rectangle) ce nombre par un produit. Cette proportion est plus importante pour les élèves de la classe de CE1, de 30 % (grille 5 ou 6) à 35 % (grille 7) d’entre eux n’associant pas facteurs du produit et dimensions de la grille rectangulaire. Certains évaluent par exemple le nombre de croix manquantes, comptent le nombre de croix affichées et multiplient les deux résultats ainsi obtenus pour produire une écriture multiplicative. Ces élèves sont le plus souvent ceux qui ont le plus en difficulté en général en mathématiques.

33Notons que la grille n° 1 est plus mal réussie que la grille n° 2. Deux raisons viennent à l’esprit : c’est la première rencontre des élèves avec la tâche prescrite ; et il y a davantage d’informations à trier pour isoler les deux dimensions dans la première grille que dans la seconde. Cette dernière est la mieux réussie (60 % des élèves de CE1 et 80 % des élèves de CE2).

34Notons que les élèves qui comprennent la nécessité de dénombrer les croix des dimensions de la grille font en général afficher des croix manquantes dans le cas des dernières grilles.

Tableau n° 4 : performances des élèves

Tableau n° 4 : performances des élèves

35Ces résultats attestent que l’association entre facteurs du produit et dimensions de la grille rectangulaire reste fragile pour les élèves en difficulté en mathématiques même après une pratique importante de calculs de produits (classe de CE2). Quand l’évaluation des dimensions n’est pas immédiate, les réponses des élèves montrent qu’ils n’arrivent pas aisément à reconstituer les informations nécessaires. Les situations d’introduction et de réinvestissement (prévues usuellement par l’enseignement) des notions de produit et d’écriture multiplicative associée ne permettent pas un réinvestissement dans un cadre plus complexe pour les élèves les plus en difficulté.

36Ce premier constat nous a amené à préciser notre diagnostic et à nous intéresser davantage au processus d’acquisition de la notion de produit et d’écriture multiplicative associée durant les activités de construction d’un algorithme opératoire standard de la multiplication.

37Nous avons dans ce but construit deux autres situations utilisant un environnement informatique.

5. Conceptualisation et technique, un premier exemple d’activité

38Nous avons essayé de mieux cerner les connaissances fonctionnant dans les situations de découpages évoquées plus haut.

5.1. Problématique

  • 6 Le lecteur pourra se reporter à un rapport de recherche pour le Groupe de Recherche de Didactique d (...)

39Avec un matériel usuel, l’élève peut découper effectivement des rectangles (ou calculer le nombre de cases de la sous grille correspondante) sans pour autant explicitement désigner les dimensions du rectangle associé. Le pari effectué par les chercheurs qui ont testé ces types de situations est celui d’un fonctionnement implicite de l’association des facteurs du produit et les dimensions du rectangle. Nous avons construit deux variantes informatiques6 de ces situations qui imposent aux élèves d’expliciter systématiquement les rectangles découpés et leurs dimensions dans le cas de la deuxième situation.

  • 7 Le processus d’institutionnalisation (Brousseau, 1987) permet aux élèves de reconnaître, parmi tout (...)

40Nous nous proposons de tester les hypothèses suivantes. La manipulation des écritures multiplicatives non seulement permet la construction progressive de l’algorithme opératoire standard, mais favorise en outre une meilleure conceptualisation de la notion de produit de deux naturels. Ce processus de conceptualisation prend plus ou moins de temps selon les élèves. Il nécessite pour certains de nombreuses explicitations, formulations et institutionnalisations locales7. Des cheminements cognitifs différents de ceux parcourus par leurs pairs et le respect d’étapes sont profitables à certains élèves en difficulté.

5.2. Présentation des situations

415.2.1. Définitions du rectangle mobilisées

  • 8 La souris n’est pas utilisée ici. L’élève déplace un curseur à l’aide des flèches : ←, →, ↑, ↓ du c (...)

42Si l’élève utilise uniquement le clavier8, la simulation informatique d’un découpage d’une grille rectangulaire en grilles rectangulaires plus petites dont il peut déterminer le nombre d’éléments en faisant appel à des faits numériques nécessite la mobilisation d’une définition du rectangle. Les côtés des rectangles sont parallèles au bord de l’écran.

43Deux définitions sont alors envisageables. La première consiste à déplacer un curseur sur la grille (à l’aide des touches flèches du clavier) et à fixer quatre sommets du rectangle (en appuyant sur une touche, par exemple sur la touche “F”). La seconde nécessite de déplacer le curseur (à l’aide des flèches) afin de fixer un sommet du rectangle (à l’aide de la touche précédente) et de déterminer les deux dimensions du rectangle à découper en précisant pour chacune un nombre entier, une direction et un sens (à l’aide des touches flèches du clavier).

44La première définition ne nécessite pas d’expliciter les dimensions du rectangle, l’élève (ou le logiciel) devant seulement vérifier que les déplacements et les cases fixées définissent bien un rectangle. En revanche, la seconde impose cette explicitation.

45La détermination d’un rectangle nécessite une mobilisation de connaissances spatiales relevant du repérage et du déplacement sur un quadrillage. En effet, la première définition repose sur le repérage de quatre cases du quadrillage, extrémités de segments parallèles ou perpendiculaires deux à deux ; il faut de plus savoir coder à l’aide de flèches sur le quadrillage représenté par la grille de croix le parcours passant par ces quatre sommets. La seconde nécessite aussi des déplacements et repérages sur quadrillage.

46Ces deux définitions procédurales ne sont pas totalement nouvelles pour un élève de CE1. Il a déjà eu l’occasion de se familiariser avec ces déplacements et ces repérages lors de séances de mathématiques consacrées au repérage et aux déplacements dans le plan avec support quadrillé. À cette occasion, des codages proches de ceux utilisés par les situations décrites ont été introduits et travaillés.

47C’est la première définition du rectangle qui est en jeu dans la situation n° 1. Cette séquence propose aux élèves une simulation du découpage d’une grille rectangulaire affichée sur l’écran de l’ordinateur, les élèves devant effectuer le moins de découpages possible.

48La situation n° 2 mobilise la seconde définition. La séquence propose également la simulation du découpage d’une grille rectangulaire affichée sur l’écran de l’ordinateur, les élèves étant incités à utiliser un répertoire multiplicatif et à faire un minimum de découpages.

  • 9 Nous renvoyons le lecteur à d’autres travaux (Butlen et al., 1985 ; Butlen, 1986) pour une analyse (...)

49L’analyse des performances et des procédures des élèves nous permet de mesurer pour une part les effets d’une pratique de calculs de produits sur l’acquisition de la notion de produit de deux entiers naturels9.

5.2.2. Le public testé

50Ces deux situations ont été expérimentées au mois de mai dans une classe de CE1. Les élèves avaient déjà travaillé sur la multiplication auparavant. Les notions d’écriture multiplicative et de produit de naturels ont été introduites. Les élèves connaissaient les tables de multiplication (jusqu’à 5). Ils avaient donc déjà manipulé des écritures multiplicatives et fréquenté les produits de la première partie du répertoire. Ils abordaient le calcul de certains produits.

5.2.3. Le scénario d’expérimentation

51Les scenarii d’expérimentation sont proches pour les deux situations.

52Une présentation de la situation avec un matériel non informatique permet au professeur d’apprendre aux élèves à utiliser le logiciel. Il expose également à cette occasion le but de l’activité : dénombrer les croix d’une collection grâce aux calculs de produits partiels correspondant à des découpages de rectangles. Il s’assure que les élèves ont bien perçu le but poursuivi et les moyens de l’atteindre.

53Cette présentation est suivie de la passation de la situation sur ordinateur. Dans chaque cas, une séance d’explicitation en classe avec un matériel ordinaire suit ce travail.

54Lors de la séance de bilan de la première séquence (correspondant à la première situation), les élèves doivent calculer un produit à partir d’un matériel papier/crayon et du découpage effectif d’une grille rectangulaire. Cette séance débouche sur une synthèse des productions et sur l’explicitation de méthodes de découpage et de calcul associé. Elle est suivie d’une nouvelle passation sur ordinateur pour les élèves ayant rencontré le plus de difficulté à la première passation.

55Lors du bilan de la deuxième situation, ils doivent de même simuler (par le dessin) le découpage d’une grille rectangulaire en utilisant des éléments d’un répertoire multiplicatif. Là encore, une synthèse permet de comparer les procédures mobilisées par les élèves. De même, cette institutionnalisation débouche sur une seconde passation.

56Décrivons rapidement chaque logiciel.

5.2.4. Première situation avec environnement informatique

57L’objectif de ce logiciel est donc de permettre à l’élève de se familiariser avec l’action de découpage d’une grille rectangulaire de croix en rectangles plus petits et de manipuler des écritures multiplicatives. Les grilles rectangulaires utilisées sont des grilles de croix rouges dont les dimensions correspondent successivement aux produits : 15 x 18 ; 19 x 13 ; 17 x 17.

58Il s’agit de découper la grille de croix en rectangles qui sont déterminés par quatre sommets. L’élève doit garder présent à l’esprit que le but de l’activité est de découper la grille entière, ce qui exige son recouvrement par des rectangles disjoints. Si besoin, il doit comprendre comment découper un rectangle-bande, en particulier s’il faut superposer plusieurs sommets.

59À l’écran s’affichent une grille de croix rouges, un cadre violet destiné au répertoire et un curseur (petit carré jaune) situé en haut et à gauche de la grille. En bas apparaissent les ordres, les messages d’erreurs et la somme partielle (en violet) correspondant à l’état de découpage de la grille. Quand l’élève à défini le rectangle à découper, le produit partiel correspondant s’affiche à l’écran. Sitôt que toute la grille est découpée, un calcul additif correspondant aux découpages effectués s’affiche au bas de l’écran comme le montre l’exemple ci-dessous. Le logiciel prend donc en charge la correspondance entre des données telles que dimensions du rectangle et facteurs du produit et les calculs partiels et final. Cette dernière page écran est ensuite imprimée et donnée à l’élève.

5.2.5. Seconde situation avec environnement informatique

60Il s’agit d’une situation ayant pour but d’optimiser le découpage d’une grille rectangulaire du point de vue du nombre de découpages utilisés. Rappelons que c’est la seconde définition du rectangle qui fonctionne.

61Le logiciel propose une grille de croix rouges et un répertoire de produits qui, lorsqu’il est bien utilisé, permet de faire un découpage de la grille en quatre rectangles. Cinq grilles de croix sont proposées successivement ; elles correspondent aux produits : 15 x 18, 11 x 16, 17 x 17, 14 x 14 et 16 x 11. L’élève doit découper la grille en utilisant le répertoire c’est-à-dire en choisissant des rectangles dont le nombre de croix est déjà calculé dans le répertoire. S’il ne peut plus utiliser le répertoire et seulement dans ce cas là, il peut le compléter pour finir de découper la grille. L’attribution d’un score vise à favoriser l’utilisation du répertoire en limitant le nombre de découpages proposés.

62Quand le découpage de la grille est achevé, le nombre de croix est donné sous la forme d’une écriture multiplicative, d’une écriture additive et d’un nombre, après quoi on rappelle le score obtenu.

63Pour réaliser la tâche, l’élève doit donc comprendre qu’un rectangle est entièrement défini par deux dimensions et traduire cette connaissance en actions acceptables par le logiciel. Pour chaque rectangle découpé, il faut que l’élève évalue la position du rectangle à découper sur la grille, et cela soit de visu, soit en dénombrant (par exemple à l’aide de ses doigts). Simultanément, il doit choisir dans le répertoire des produits qui correspondent à l’opération précédente, la traduction de ces deux activités se faisant par le choix correct de deux couples (flèche, nombre). Après plusieurs découpages, une mauvaise planification peut le conduire à ne pouvoir découper que des rectangles de petite taille. Il est possible de déterminer a priori deux grands types de stratégies permettant de terminer le découpage d’une grille rectangulaire :

64Stratégie n° 1 : L’élève anticipe le découpage final, c’est-à-dire le choix de tous les produits intermédiaires en fonction des dimensions de la grille. Il doit de plus limiter le nombre de rectangles découpés.

65Stratégie n° 2 : L’élève n’anticipe pas globalement le découpage, mais procède localement en choisissant les rectangles éventuellement les plus grands, ce qui peut l’amener à compléter le répertoire.

5.3 Les principaux résultats10

  • 10 Pour plus d’informations, nous renvoyons le lecteur au Cahier de DIDIREM n° 25-2 et au rapport de r (...)

66L’analyse des productions des élèves nous permet de mieux comprendre les liens qui existent entre l’acquisition de la notion de produit de deux naturels, la désignation de ce produit par une écriture multiplicative et la manipulation de ces écritures dans le cadre de calculs de produits. Nous voyons que la planification du découpage nécessite la mobilisation de l’une ou l’autre des définitions du rectangle : la compréhension des calculs effectués par l’ordinateur impose la mise en relation des dimensions avec les facteurs intervenant dans les produits partiels.

67Des contraintes plus fortes dues à l’environnement informatique nous permettent de recueillir des informations sur les connaissances, mobilisées par les élèves, qui s’avèrent difficilement récupérables avec un matériel classique (papier, crayon, ciseaux).

5.3.1. La première situation

68La passation est individuelle. Les élèves ont été répartis en trois groupes de niveaux par le professeur des écoles : bons, moyens et faibles.

Une grande différence de performances

69On peut constater que les performances varient à l’extrême d’un élève à l’autre.

70Les élèves qui obtiennent régulièrement des résultats satisfaisants en mathématiques réussissent à découper trois grilles dans le temps imparti pour la passation. Ils limitent le nombre de rectangles découpés (entre deux et quatre) dès la deuxième grille. Cette performance s’accompagne d’une extension du domaine numérique habituellement fréquenté. Dans cette classe, la table de Pythagore a déjà été partiellement mémorisée, à peu près jusqu’aux produits inférieurs à 50. Lors de la présentation de la première grille, les élèves se cantonnent au domaine numérique qui leur est familier, puis ils utilisent dès la deuxième grille un domaine numérique plus étendu qui leur permet de la découper rapidement.

71Les performances des élèves plutôt jugés moyens sont inférieures. Dans leur grande majorité, ils ne découpent qu’une seule grille. Le nombre de découpages est important car le domaine numérique mobilisé correspond à celui des tables en cours de mémorisation.

72Enfin, les élèves du troisième groupe mobilisent des produits inférieurs à 20. Il leur faut donc faire un grand nombre de découpages, ce qui les amène à ne pas finir pour la plupart le découpage de la première grille.

Des cheminements cognitifs différents

73Tout se passe comme si, dans un premier temps, les élèves faibles ne pouvaient que très difficilement traduire la définition d’un rectangle par des déplacements du curseur. Ils n’envisagent pas d’étendre le domaine numérique fréquenté habituellement pour le calcul de produit : l’apprentissage de ce nouveau langage à ce stade semble renforcer les difficultés liées à un manque de connaissances.

74Plusieurs facteurs peuvent concourir à expliquer ce constat.

75Difficultés spatiales, repérage et déplacement sur un quadrillage : les élèves semblent avoir le plus grand mal à se repérer et à déplacer le curseur dans le quadrillage affiché à l’écran. Les connaissances acquises dans ce domaine au cours préparatoire et au début de l’année de CE1 ne sont pas réinvesties dans la tâche de découpage. Les élèves de niveaux moyen et faible paraissent ne pas pouvoir aisément isoler un parcours rectangulaire et le décrire à l’aide du codage imposé par le logiciel bien que ce codage soit proche de celui enseigné lors des activités spécifiquement consacrées au repérage ou au déplacement sur un quadrillage. Les supports différents semblent limiter d’éventuels réinvestissements.

Des faits numériques peu disponibles

76Les élèves de cette classe ont fréquenté des écritures multiplicatives dans le domaine des tables de multiplication jusqu’à 5 (produits inférieurs à 50). Ils ont commencé à les mémoriser, mais c’est un peu comme si les sujets considérés comme moyens ou faibles ne réinvestissaient pas cet apprentissage à l’occasion de cette activité. Ils n’ont pas encore eu l’occasion de mobiliser ces produits partiels lors de calculs : il leur est certes déjà arrivé d’associer le produit de deux naturels et les dimensions du rectangle correspondant au cours de situations précédentes, mais cette association n’a jamais été réinvestie dans le cadre de la réalisation d’une tâche plus complexe. Le constat effectué lors de la passation de la situation précédente est confirmé : l’acquisition de la notion de produit ne semble pas pouvoir se faire seulement grâce à l’étude de l’association du rectangle et de l’écriture multiplicative. Elle nécessite pour certains élèves un réinvestissement dans des calculs plus complexes.

77L’analyse des performances et des difficultés des élèves montre qu’au-delà des difficultés de manipulation du langage spécifiquement associé au logiciel (choix de flèche, appui sur la touche permettant de fixer un sommet), les sujets les plus en difficulté sont incapables d’étendre la définition d’un produit à un domaine numérique. À l’inverse, les élèves qui se représentent mieux la notion de rectangle optimisent davantage leur découpage. La prise en charge des calculs intermédiaires par le logiciel leur permet d’être plus performants qu’avec un matériel usuel.

78Toutefois, l’explicitation des procédures de leurs pairs lors d’une phase de synthèse permet aux élèves les plus en difficulté de combler leur décalage cognitif dès la seconde passation : les élèves du troisième groupe produisent alors des découpages semblables à ceux du premier groupe. Ces élèves ont besoin d’un temps de fréquentation des écritures multiplicatives plus important : en quelque sorte, c’est un peu comme si la notion de produit de deux naturels s’élaborait progressivement dans une dialectique entre formalisation et réinvestissement, tout semblant indiquer que la manipulation des écritures multiplicatives lors de la mise en œuvre de techniques de calculs non standard influe notablement sur ce processus de conceptualisation.

79Ces premiers constats sont confirmés par les résultats de la deuxième passation.

5.3.2. La seconde situation

80Comme nous l’avons souligné ci-dessus, cette deuxième situation nécessite a priori une explicitation et une mobilisation plus grandes de l’association entre écriture multiplicative et rectangle découpé.

Une association entre facteurs du produit et dimensions du rectangle peu maîtrisée

81Lors de la passation, un seul élève a mis effectivement en œuvre une stratégie fondée sur une planification du découpage ; il a découpé les trois grilles dans le temps imparti (en quatre rectangles dans deux cas).

82Deux autres élèves achèvent le découpage de la première grille. Dix découpages ont été nécessaires, et les autres élèves ne parviennent pas à terminer l’activité prescrite. Rappelons qu’un score limite le nombre d’essais de chacun.

83Les nombreuses erreurs commises sont significatives d’une difficulté à se représenter et à coder les dimensions d’un rectangle donné : les élèves concernés n’arrivent pas à prévoir les rectangles à découper. Là encore, les élèves utilisent fréquemment de petits produits et sont donc pénalisés au score.

Les effets du travail de la technique et du débat entre pairs

84Une seconde passation par binôme est effectuée dans un second temps. Les binômes sont de deux types : ils comportent tantôt un bon élève et un élément faible (type 1), tantôt un élève de niveau moyen et un autre faible (type 2). Les participants doivent se mettre d’accord, l’élève faible transcrivant les ordres au clavier après discussion. Les binômes du premier type découpent plusieurs grilles avec un nombre de découpages variant entre 4 et 7 : ils mettent en œuvre des stratégies de type 1. Les autres binômes restent en échec et ne terminent pas leur premier découpage. La résolution par groupe de problèmes du même type avec un matériel papier/crayon assure la diffusion de ces connaissances et techniques à l’ensemble de la classe.

85Là encore, les apprentissages précédents ne semblent pas suffisants pour que les élèves en difficulté ou de niveau moyen réussissent l’activité en première présentation et individuellement.

86Les connaissances acquises sur les écritures multiplicatives ne semblent pas suffisamment disponibles. Néanmoins, une familiarisation plus importante avec la technique de découpage et un débat entre pairs permet aux élèves de réaliser la tâche demandée dans un second temps.

6. Conclusion

87L’analyse des difficultés rencontrées par les élèves comme celle des cheminements cognitifs parcourus dans chaque cas nous amènent à de premières conclusions.

88Les situations s’appuyant sur un environnement informatique ont permis de mettre en évidence une difficulté spécifique rencontrée par les élèves en général et par les éléments faibles en particulier lors de l’apprentissage de la technique opératoire de la multiplication.

89Un scénario souvent proposé par les manuels scolaires pour aider à construire la technique usuelle de la multiplication s’appuie sur une conception de la notion de produit qui ne semble pas toujours suffisamment disponible, ni même présente, chez les élèves de CE1.

90Un travail spécifiquement axé sur la mise en relation des termes du produit de deux entiers naturels et des dimensions d’une collection organisée en grille rectangulaire ne semble pas susceptible d’assurer cette disponibilité chez tous les élèves, et l’apprentissage des tables de multiplication ne suffit pas non plus. Les élèves les plus en difficulté en général en mathématiques sont là aussi le plus souvent ceux qui sont le plus en échec.

91Tout se passe comme si l’acquisition de la notion de produit nécessitait une manipulation longue et explicitée des écritures multiplicatives. Cette manipulation peut s’opérer au moyen de calculs de produits à l’aide de procédures non standard : ces calculs faisant intervenir un domaine numérique plus important que celui exploré lors de la construction des tables de multiplication, l’élève a la possibilité de se construire un répertoire multiplicatif non standard assez riche pour que la notion de produit prenne sens et que s’installe un processus dialectique entre techniques de calculs et conceptualisation. La compréhension de la notion d’écritures multiplicatives permet alors de calculer de nouveaux produits qui vont eux-mêmes conforter cette compréhension grâce à l’accroissement de la familiarisation et de la disponibilité : cela montre bien que la notion de produit est tout à la fois un préalable nécessaire à la construction d’une technique opératoire et le résultat de cette construction.

92Écriture multiplicative → Calculs de produits → Écriture multiplicative.

93Les analyses précédentes montrent que les élèves empruntent des cheminements cognitifs différents. Les élèves en difficulté, notamment, doivent mobiliser plus longtemps les procédures de calculs non expertes, de même qu’ils ont besoin de davantage d’explicitations et d’institutionnalisations locales ; ces deux leviers semblent nécessaires pour qu’ils puissent bénéficier comme leurs pairs des jeux de cadres susceptibles d’être mis en œuvre.

Notes

1 Nous reprenons ici les résultats de certains des travaux que nous avons menés en ce domaine (Butlen, 1985 ; Butlen et al., 1986 et 1987) en les analysant du point de vue des liens existant entre conceptualisation, d’une part, et travail de la technique opératoire, d’autre part. Ces publications développent un autre point de vue : celui de l’apport de l’outil informatique à l’apprentissage de notions mathématiques enseignées au cours élémentaire. Ces diverses recherches s’appuient sur des ingénieries didactiques utilisant un environnement informatique.

2 Cf. Artigue et al., 1980.

3 Cf. Artigue et al., Deramécourt, 1980.

4 Viennot et Artigue, 1980 ; Brousseau, Deramécourt, Artigue et al, 1980

5 Cf. Douady, 1985. Un cadre est constitué des objets d’une branche des mathématiques, des relations qu’ils entretiennent, de leurs désignations et des images mentales que le sujet peut en avoir.

6 Le lecteur pourra se reporter à un rapport de recherche pour le Groupe de Recherche de Didactique des mathématiques (CNRS), également publié sous forme de deux cahiers de didactique des mathématiques (Butlen, Lethielleux, 1986, 1987)

7 Le processus d’institutionnalisation (Brousseau, 1987) permet aux élèves de reconnaître, parmi toutes les connaissances en jeu dans une situation, celles qui doivent être retenues et qui ont le statut culturel de savoirs mathématiques. Des institutionnalisations locales correspondent à des décontextualisations et dépersonnalisations partielles.

8 La souris n’est pas utilisée ici. L’élève déplace un curseur à l’aide des flèches : ←, →, ↑, ↓ du clavier. Cette option a été choisie afin d’éviter des erreurs de manipulation dues au maniement de la souris.

9 Nous renvoyons le lecteur à d’autres travaux (Butlen et al., 1985 ; Butlen, 1986) pour une analyse des apports spécifiques d’un environnement informatique sur ces apprentissages.

10 Pour plus d’informations, nous renvoyons le lecteur au Cahier de DIDIREM n° 25-2 et au rapport de recherche correspondant.

Table des illustrations

Titre Grille n° 1 : 18 x 15
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Titre Grille n° 3 : 21 x 11
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Titre Grille n° 5 : 13 x 11
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Titre Grille n° 6 : 15 x 15
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Titre Grille n° 7 : 17 x 13
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Titre Tableau n° 4 : performances des élèves
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© Presses universitaires de Franche-Comté, 2007

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