Table des matières
Gérard Vergnaud
Préface
Chapitre II. Procédures disponibles lors de calculs de sommes, différences et produits
- 1. Calcul mental, représentation des nombres en mémoire et automaticité
- 1.1. Représentation des nombres en mémoire
- 1.2. Démarches de calcul et automaticité
- 1.3. Problématique
- 2. Procédures de calcul mental et disponibilité des décompositions d’entiers
- 2.1. Procédures et performances observées lors des activités additives
- 2.1.1. Méthodologie de recueils des données
- 2.1.2. Les procédures utilisées par les élèves
- Compter ou décompter de n en n
- Calcul mental d’additions
- 2.2. Le CE2 (enfants de 8-9 ans), étape importante dans la construction des structures additives
- 2.3. Le poids de l’algorithme écrit
- 2.4. Des étapes dans le processus d’automatisation de diverses procédures de calcul
- 3. Procédures et performances observées lors des activités multiplicatives
- 3.1. Éléments de méthodologie
- 3.1.1. Un premier diagnostic portant sur trois classes du cycle 3
- 3.1.2. Le choix des produits
- 3.1.3. Le recueil des données
- 3.2. Les procédures mobilisées par les élèves de CM2
- 3.2.1. Les procédures additives ou mixtes
- 3.2.2. Les procédures multiplicatives
- 3.2.3. Des décompositions multiplicatives très peu disponibles
- 3.2.4. Des erreurs significatives
- 4. Conclusion
Chapitre III. Des écritures multiplicatives à la multiplication en environnement informatique
- 1. La multiplication comme mesure-produit
- 2. De l’écriture multiplicative à l’algorithme
- 3. La notion de produit chez les élèves en difficulté
- 4. La construction de la notion de produit, un processus qui prend du temps
- 4.1. Présentation de la situation n° 1
- 4.2. Analyse des résultats
- 5. Conceptualisation et technique, un premier exemple d’activité
- 5.1. Problématique
- 5.2. Présentation des situations
- 5.2.2. Le public testé
- 5.2.3. Le scénario d’expérimentation
- 5.2.4. Première situation avec environnement informatique
- 5.2.5. Seconde situation avec environnement informatique
- 5.3 Les principaux résultats
- 5.3.1. La première situation
- Une grande différence de performances
- Des cheminements cognitifs différents
- Des faits numériques peu disponibles
- 5.3.2. La seconde situation
- Une association entre facteurs du produit et dimensions du rectangle peu maîtrisée
- Les effets du travail de la technique et du débat entre pairs
- 6. Conclusion
Chapitre IV. Résolution mentale de problèmes additifs : le problème de l’autobus
- 1. Analyse a priori de la situation
- 1.1. Énoncé du problème et procédures susceptibles d’être mobilisées
- 1.2. Des variables de commande
- 1.3. Le scénario
- 2. Analyse des procédures observées
- 2.1. Procédures utilisées pour le domaine numérique D1
- 2.2. Procédures utilisées pour le domaine numérique D2
- 2.3. Le cas particulier de la classe de CE1
- 2.4. Des institutionnalisations locales
- 3. Conclusion
Chapitre V. Effet d’une pratique régulière du calcul mental sur le sens et la technique
- 1. Le cadre de la recherche
- 1.1. Résolution de problèmes et modèles de système mnésique
- 1.2. Allégement de la charge en mémoire de travail lors de la résolution de problèmes
- 1.3. Les travaux de Julo sur la représentation de problème
- 1.4. Problématique
- 1.4.1. Une disponibilité plus grande des propriétés des nombres et des opérations arithmétiques
- 1.4.2. Une adaptabilité et des capacités d’initiative plus grandes
- 2. Méthodologie de recueil et d’analyse des données
- 2.1. Le dispositif d’enseignement
- 2.2. Le test
- 2.3. Problèmes familiers
- 3. Interprétation des résultats
- 3.1. Impact du calcul mental sur la résolution mentale de problèmes numériques
- Les problèmes simples
- Les problèmes complexes
- 3.2. Impact du calcul mental sur la résolution écrite de problèmes numériques
- 3.2.1. L’effet du recours à l’écrit sur les performances des élèves des classes témoins
- Les problèmes additifs simples
- Les problèmes additifs complexes et les problèmes multiplicatifs simples
- Les problèmes multiplicatifs complexes
- 3.2.2. Impact d’une pratique régulière de calcul mental sur la résolution écrite de problèmes
- Les problèmes simples
- Les problèmes additifs complexes
- Les problèmes multiplicatifs complexes
- 3.3. Conclusion
- 4. De nouvelles perspectives
Chapitre VI. Calcul mental et élèves en difficulté
- 1. Origine des différences constatées
- 1.1. Absence de projet de réinvestissement et d’identification des enjeux
- Absence de création de représentations mentales et de projet implicite de réinvestissement
- Absence d’identification des enjeux d’apprentissage
- 1.2. Recherche de règles, d’algorithmes et difficulté à changer de point de vue
- Recherche d’algorithmes
- Difficulté à changer de point de vue
- 1.3. Défaut de capitalisation et connaissances peu fiables
- Manque de capitalisation
- Manque de fiabilité des connaissances anciennes
- Manque d’investissement et lassitude
- 1.4. Problème d’expression et difficulté de socialisation
- Difficulté d’expression
- 2. Portée et limite du calcul mental
Chapitre VII. Du calcul mental à la résolution de problèmes numériques
- I. Un jeu original entre simple et complexe
- 1. Un premier exemple : la résolution d’un problème de combinatoire
- 1.1. Le dispositif d’enseignement
- 1.2. Le test d’évaluation
- 2. Les résultats
- 2.1. Résolution du problème complexe
- 2.2. La simplification
- 2.3. Le retour au problème complexe
- 2.4. Le test
- 3. Conclusion
- II. Créer et développer une mémoire collective de la classe
- 1. Le cadre de la recherche
- 1.1. Bilans de savoirs et situation de rappels
- 1.2. L’écrit, outil de distanciation
- 1.3. Débat de savoir, dialectique entre apprentissage collectif et apprentissage individuel.
- 2. Construction d’une mémoire collective de classe
- 2.1. Un premier exemple de texte collectif sur la notion de multiple
- 2.2. Un deuxième exemple de texte collectif sur la division
Chapitre VIII. Processus de conceptualisation chez les élèves en difficulté
- I. Un premier exemple : l’émergence d’une certaine généricité
- 1. Des degrés différents de conceptualisation et décontextualisation
- Exemples d’énoncés témoignant de degrés de décontextualisation différents
- 2. Problématique et ingénierie
- 2.1. L’hypothèse à l’origine de la recherche
- 2.2. Le détail de l’ingénierie, divers leviers
- La prise en compte de la diversité des élèves
- Une explicitation de méthodes
- 2.3. L’objet de la recherche
- 3. Éléments de méthodologie
- 3.1. Le recueil des données
- 3.2. L’analyse des données
- 3.2.1. La nature des énoncés
- 3.2.2. Découpage des textes
- 3.2.3. L’analyse des énoncés intermédiaires
- 4. Les principaux résultats de la recherche
- 4.1. Des énoncés mathématiques et de méthodes plus nombreux et plus décontextualisés dans les classes entraînées
- 4.1.1. Une production plus importante d’énoncés mathématiques
- 4.1.2. Une production plus décontextualisée
- La classe de CM2
- La classe de sixième
- La classe de cinquième
- 4.1.3. Le recours au générique, une étape vers le formalisme
- 4.2. Un apprentissage révélé par l’analyse des textes collectifs
- 4.2.1. Des textes collectifs plus décontextualisés
- Une décontextualisation très sensible en cinquième
- Une décontextualisation qui dépend de la familiarisation avec les contenus mathématiques évoqués
- 4.2.2. Les apports du débat entre pairs
- Un apport très important en CM2 et 5e
- 5. Des étapes intermédiaires qui profitent à des élèves en difficulté moyenne
- Les élèves de catégorie A
- Les élèves de catégorie B
- Les élèves de catégorie C
- Les élèves de catégorie D
- Un intermédiaire profitable pour les élèves en difficulté moyenne
- 6. Conclusion
- II. Un second exemple : l’émergence d’outils heuristiques
- 1. Peu de références au calcul mental dans les bilans individuels des élèves des classes témoins
- 2. L’émergence d’outils heuristiques dans les classes entraînées
- 3. Un chemin original pour certains élèves en difficulté
- 4. Conclusion
Chapitre IX. Conclusion
- 1. Résultats sur les techniques opératoires et la conceptualisation
- 2. Résultats concernant les élèves en difficulté
- 2.1. Simple-complexe, une absence de règles générales
- 2.2. Des itinéraires cognitifs originaux ménageant des étapes profitables
- 2.3. Un bilan contrasté
- 3. Diversifier les types d’intervention
- 4. Des connaissances indispensables qui ne sont pas toujours enseignées
- 5. Adapter les situations au public de ZEP
- La durée et le degré de complexité des situations
- Le découpage de la tâche
- Le contexte des situations
- L’ancrage du nouveau dans l’ancien
Annexe III. Exemples d’activités de calcul mental
- III.1. Exemples d’activités de calcul mental, niveau CM2
- 1. Jeux de mémoire visuelle ou auditive
- 2. Jeu du furet
- 3. Jeux de portrait
- 4. Jeu du nombre caché
- 5. Jeu de la chaîne
- 6. Le nombre pensé
- 7. Le compte est bon. Cas particulier : objectif zéro
- 8. La conjecture de Syracuse
- 9. Vrai ou faux ?
- 10. Activités en liaison avec la numération
- 11. Multiplication par une puissance de 100
- 12. Additions et soustractions mentales
- 13. Multiplications et divisions mentales
- 14. Produits égaux
- 15. Problèmes à résoudre mentalement
- III.2. Exemples d’activités de calcul mental, niveau sixième
- 1. Compter, décompter
- 2. Ordre de grandeur
- 3. Opérations mentales
- 4. Calcul rapide sur les fractions
- 5. Problèmes à résoudre mentalement
- III.3. Exemples d’activités de calcul mental, niveau cinquième
- 1. Ordre de grandeur d’un résultat
- 2. Priorité des opérations, énoncé de problème
- 3. Travail sur les fractions
- 4. Problèmes à résoudre mentalement
Michèle Artigue
Postface
