Annexes
p. 103-125
Texte intégral
1Les textes qui suivent peuvent venir en appui des travaux présentés, puisque ce sont ceux qui nous ont inspirées. Certains peuvent simplement contextualiser les éléments du programme, d’autres éclairer les notions à introduire auprès des élèves, d’autres enfin donner des supports d’autres travaux élèves, à imaginer.
Annexe 1. Sur les quaternions de Hamilton
2Peter Guthrie Tait (1831-1901) est un disciple de Hamilton, et contribue largement à la diffusion de la théorie des quaternions. Il écrit en 1867 Elementary Treatise on Quaternions, et en 1873 Introduction to Quaternions.
Extrait du Traité élémentaire des quaternions traduit en français par Gustave Plarr, 18821
Dans ce but, Hamilton s’est servi d’une figure pour présenter à l’esprit l’ensemble des valeurs numériques, et il a ainsi conçu l’idée d’une échelle (scala), qui s’étendrait en ligne droite depuis les régions de l’infini négatif jusqu’à celles de l’infini positif ; les valeurs numériques seraient en quelque sorte inscrites sur les degrés de l’échelle.
De plus un mobile, qui cheminerait le long de l’échelle et qui servirait d’index, désignerait, à proprement parler, le nombre scalaire, mais nous risquerions ainsi de créer une expression qui serait en dehors du génie de la langue. Nous avons préféré à cet inconvénient l’introduction du terme étranger : le scalar. Nous ferons usage dans notre traduction de ce terme, dont la signification est donnée, dans son acception purement analytique, au chapitre II, no 77 et suivants.
[…]
Ce résultat montre qu’un quaternion peut toujours se décomposer en une somme de deux parties, l’une d’elles étant un nombre (affecté d’un signe + ou – ), l’autre partie étant un vecteur (au chapitre II, n° 95, un calcul plus explicite s’occupera de cette décomposition). Hamilton désigne les deux parties d’un quaternion respectivement par les noms de scalar et de vecteur2.
Quoique je ne sois pas encore très avancé dans la nouvelle voie, j’ai fait assez de chemin pour acquérir la certitude qu’avec le temps la Physique mathématique tirera un profit incalculable de la science d’Hamilton.
[…]
Il me reste à faire quelques observations techniques. Pour déterminer la nature des rotations, j’ai regardé comme positif le sens dans lequel la Terre tourne autour de son axe ou, si l’on veut, le sens dans lequel la Terre se meut autour du Soleil pour un observateur qui est placé dans l’hémisphère septentrional. Le sens de cette rotation est alors l’opposé du mouvement dans lequel tournent les aiguilles d’une montre3.
Extraits de Elements of quaternions4, de W. R. Hamilton
Figure 1. Couverture d’Elements of quaternions de W. R. Hamilton.

ELEMENTS OF QUATERNIONS.
BOOK I. ON VECTORS, CONSIDERED WITHOUT REFERENCE TO ANGLES, OR TO ROTATIONS.
CHAPTER I. FUNDAMENTAL PRINCIPLES RESPECTING VECTORS.
SECTION 1.- On the Conception of a Vector; and on Equality of Vectors.
ART. 1.- A right line AB, considered as having not only length, but also direction, is said to be a VECTOR. Its initial point A is said to be its origin; and its final point в is said to be its term. A vector AB is conceived to be (or to construct) the difference of its two extreme points; or, more fully, to be the result of the subtraction of its own origin from its own term; and, in conformity with this conception, it is also denoted by the symbol B – A: a notation which will be found to be extensively useful, on account of the analogies which it serves to express between geometrical and algebraical operations. When the extreme points A and B are distinct, the vector AB or B – A is said to be an actual (or an effective) vector; but when (as a limit) those two points are conceived to coincide, the vector AA or A – A, which then results, is said to be null.
Fig.1

Opposite vectors, such as AB and BA, or B – A and A – B, are sometimes called vector and revector. Successive vectors, such as AB and BC, or B – A and C – B, are occasionally said to be vector and provector: the line AC, or C – A, which is drawn from the origin of the first to the term c of the second, being then said to be the trans-vector. At a later stage, we shall have to consider vector-arcs and vector-angles; but at present, our only vectors are (as above) right lines.
Fig. 2

2. Two vectors are said to be EQUAL to each other, or the equation AB = CD, or B – A – D – C, is said to hold good, when (and only when) the origin and term of the one can be brought to coincide respectively with the corresponding points of the other, by transports (or by translations) without rotation. It follows that all null vectors are equal, and may therefore be denoted by a common symbol, such as that used for zero; so that we may write,
A – A = B-B = &C. = 0;
but that two actual vectors, AB and CD, are not (in the present full sense) equal to each other, unless they have not merely equal lengths, but also similar directions. If then they do not happen to be parts of one common line, they must be opposite sides of a parallelogram, ABDC; the two lines AD, BC becoming thus the two diagonals of such a figure, and consequently bisecting each other, in some point E. Conversely, if the two equations,
D – E = E – A, and C – E = E – B,
Fig. 3

are satisfied, so that the two lines AD and BC are commedial, or have a common middle point E, then even if they be parts of one right line, the equation D – C = B – A is satisfied. Two radii, AB, AC, of any one circle (or sphere), can never be equal vectors; because their directions differ.
Fig. 4

3. An equation between vectors, considered as an equi difference of points, admits of inversion and alternation; or in symbols, if D – C = B – A
then
C – D = A – B,
and
D – B = C – A.
Fig. 5

Two vectors, CD and EF, which are equal to the same third vector, AB, are also equal to each other; and these three equal vectors are, in general, the three parallel edges of a prism.
Fig. 6

SECTION 2.- On Differences and Sums of Vectors taken two by too.
4. In order to be able to write, as in algebra,
(C’ – A’) – (B – A) = C – B, if c' – A' = C – A,
we next define, that when a first vector AB is subtracted from a second vector AC which is co-initial with it, or from a third vector A'C' which is equal to that second vector, the remainder is that fourth vector BC, which is drawn from the term B of the first to the term C of the second vector: so that if a vector be subtracted from a transvector (Art. 1), the remainder is the provector corresponding. It is evident that this geometrical subtraction of vectors answers to a decomposition of vections (or of motions); and that, by such a decomposition of a null vection into two opposite vections, we have the formula,
0 – (B – A) = (A – A) – (B – A) = A – B
so that, if an actual vector AB be subtracted from anull vector AA, the remainder is the revector BA. If then we agree to abridge, generally, an expression of the form 0 – a to the shorter form, – a, we may write briefly, – AB = BA; a and -a being thus symbols of opposite vectors, while a and –(– a) are, for the same reason, symbols of one common vector: so that we may write, as in algebra, theidentity,
– (– a) = a.
5. Aiming still at agreement with algebra, and adopting on that account the formula of relation between the two signs, + and –,
(b – a) + a = b,
in which we shall say as usual that b-a isaddedto a, and that their sum is b, while relatively to it they may be jointly called summands, we shall have the two following consequences:
I. If a vector, AB or B-A, be added to its own origin a, the sum is its term в (Art. 1); and
II. If a provector BC be added to a vector AB, the sum is the transvector. AC; or in symbols,
I..(B – A) + A = B; and II.. (C – B) + (B – A) = C – A.
In fact, the first equation is an immediate consequence of the general formula which, as above, connects the signs + and -, when combined with the conception (Art. 1) of a vector as a difference of two points; and the second is a result of the same formula, combined with the definition of the geometrical subtraction of one such vector from another, which was assigned in Art. 4, and according to which we have (as in algebra) for any three points, A, B, C, the identity,
(C – A) – (B – A) = C – B.
It is clear that this geometrical addition of successive vectors corresponds (comp. Art. 4) to a composition of successive vections, or motions; and that the sum of two opposite vectors (or of vector and revector) is a null line; so that
BA + AB = 0, or (A – B) + (B – A)=0.
Fig. 7

It follows also that the sums of equal pairs of successive vectors are equal;
or more fully that
if B’ – A’ = B – A, and C’ – B’ = C – B, then C’ – A’ = C – A;
[…]
17. The positive or negative quotient, x =
, which is thus obtained by the division of one of two parallel vectors by another, including zero as a limit, may also be called a SCALAR; because it can always be found, and in a certain sense constructed, by the comparison of positions upon one common scale (or axis); or can be put under the form,
x =
=
where the three points, A, B, C, are collinear (as in the figure annexed). Such scalars are, there- fore, simply the REALS (or real quantities) of Algebra; but, in combination with the not less real VECTORS above considered, they form one of the main elements of the System, or Calculus, to
[…]
CHAPTER II. POINTS AND LINES INA GIVEN PLANE.
Fig. 18

which the present work relates. In fact it will be shown, at a later stage, that there is an important sense in which we can conceive a scalar to be added to a vector; and that the sum so obtained, or the combination,
“Scalar plus Vector,”
is a Quaternion.
Annexe 2. Sur la notion de travail
3Nous donnons ici quelques extraits du texte de G.-G. de Coriolis où il définit ce qu’il appellera travail d’une force. La dernière partie est celle qui est la plus proche de ce que nous enseignons dans le secondaire. Mais pour la bonne compréhension il nous semble nécessaire de lire ce qui précède les derniers paragraphes.
Extraits de Du calcul de l’effet des machines, ou considérations sur l’emploi des moteurs et sur leur évaluation, pour servir d’introduction à l’étude spéciale des machines5, Gustave-Gaspard de Coriolis
Définissons encore, avant d’en venir au principe des vitesses virtuelles, ce que nous appellerons travail virtuel élémentaire : dénomination que, pour des motifs que nous expliquerons plus tard, nous substituerons à celle du moment virtuel, qu’on a employé jusqu’à présent.
Si un point matériel faisant partie d’un système est soumis à une force ; qu’on conçoive une vitesse virtuelle pour ce point, et qu’on décompose la force en deux, l’une agissant suivant la même droite que la vitesse virtuelle, et l’autre agissant perpendiculairement ; qu’on multiplie la composante dans le sens de la vitesse virtuelle par cette même vitesse ; le produit infiniment petit qu’on obtiendra sera ce que quelques géomètres ont désigné par moment virtuel, et ce que nous appellerons travail virtuel élémentaire.
[…]
Concevons que chaque force donnée, appliquée à un certain point du système, soit décomposée en deux, l’une agissant dans le sens de la tangente à la courbe décrite par ce même point, pendant le mouvement, et l’autre dans le sens de la normale ; désignons par P la première composante. dsétant le petit arc décrit, que nous prenons pour vitesse virtuelle, il s’ensuivra que le travail élémentaire dû à chacune de ces forces données sera le produit Pds. Il faudra, d’après le principe des vitesses virtuelles, distinguer celles des composantes P qui tombent dans le sens contraire de l’arc décrit ds, c’est-à-dire celles qui proviennent de forces dont les directions font des angles obtus avec les arcs, et prendre négativement les produits Pds qu’elles fourniront. […] Les forces qui font ainsi des angles obtus avec la direction de la vitesse, et qui conséquemment produisent des travaux élémentaires négatifs P’ds’, sont celles qui s’opposent au mouvement ; nous les appellerons forces résistantes : les autres qui font des angles aigus avec les vitesses, et qui conséquemment produisent des travaux élémentaires positifs Pds, sont celles qui favorisent le mouvement ; nous les appelleront forces mouvantes.
[…]
Si un point en mouvement est soumis à une force ; qu’on décompose cette force en deux, l’une perpendiculaire à la courbe décrite par le point, et l’autre dans la direction de cette courbe ; qu’on multiplie cette dernière composante par la différentielle de l’arc parcouru, l’intégrale de l’élément différentiel que forme ce produit sera la quantité en question.
Si la composante tangentielle à la courbe est constante, l’intégrale devient le produit de cette composante par le chemin que parcourt le point où elle est appliquée : dans tous les cas elle s’assimile toujours au produit d’une force par une longueur.
Si l’on conçoit que le chemin parcouru soit porté en ligne droite sur un axe, et serve d’abscisse à une courbe dont l’ordonnée serait la composante P, l’aire comprise entre cette courbe, l’axe des abscisses et les deux ordonnées qui répondent aux limites de l’intégrale, sera la valeur de cette quantité6.
4Il est bon de remarquer que si F est la force dont P est la composante dans le sens de l’arc décrit ds, et si δ est l’angle que fait cette force F avec cet arc ds, on aura P = F cos δ, et par suite Pds = F cos δ ds.
[…]
Nous proposerons la dénomination de travail dynamique, ou plus simplement travail, pour la quantitédéfinie comme on vient de le dire. Ce nom ne fera aucune confusion avec aucune dénomination mécanique ; il paraît très propre à donner une juste idée de la chose, tout en conservant une acceptation commune dans le sens de travail physique. On attache en effet au mot travail, dans ce sens, l’idée d’un effort exercé et d’un chemin parcouru simultanément : car on ne dirait pas qu’il y a un travail produit, lorsqu’il y a seulement une force appliquée à un point immobile, comme dans une machine en équilibre ; on n’appliquerait pas non plus l’expression de travail à un déplacement opéré sans aucune résistance vaincue. Ce nom est donc très propre à désigner la réunion de ces deux éléments, chemin et force.
[…]
C’est donc chose utile que la faculté de produire ainsi le déplacement accompagné de la force dans le sens du déplacement, c’est-à-dire que la faculté de produire la quantité que nous appelons travail. Soit qu’on la tire des animaux, de l’eau ou de l’air en mouvement, de la combustion du charbon, de la chute des corps, elle est limitée pour chaque temps, pour chaque lieu ; elle ne se crée pas à volonté. Les machines ne font qu’employer et économiser le travail, sans pouvoir l’augmenter ; dès lors la faculté de le produire se vend, s’achète, et s’économise comme toutes les choses utiles qui ne sont pas en extrême abondance.
[…]
Le nom de travail, que nous avons adopté, nous paraît très propre à donner une idée juste de la quantité qu’il sert à désigner. On se rappellera facilement, lorsqu’on parlera du travail qu’un cheval produit par jour, que c’est l’effort avec lequel il peut tirer dans le sens du chemin multiplié par ce chemin, ou plus généralement que c’est l’intégrale du produit de cet effort multiplié par l’élément du chemin. Lorsqu’on dira que la vapeur que fournit un kilogramme de charbon, produit une certaine quantité de travail, on se représentera facilement que cette quantité est la pression exercée sur le piston, multipliée par le chemin qu’il décrit, ou intégrée par rapport à ce chemin.
Les expressions de travail moteur, travail résistant, travail utile et travail perdu, qui forment toutes les distinctions à établir dans l’emploi de ce mot pour la théorie des machines, seront d’un usage clair et facile.
Annexe 3. Vecteurs versus coordonnées cartésiennes
5Un des grands avantages du nouveau concept est de pouvoir décrire et calculer directement sur les objets géométriques ou physiques sans passer par exemple par des coordonnées, donc de réaliser le programme de Leibniz. De nombreux auteurs insistent sur cet aspect. C’est ce qui a séduit très rapidement les physiciens. Raoul Bricard7, qui expose en 1929 le calcul vectoriel dans une petite collection plus ou moins vulgarisatrice, souligne :
D’une manière générale, les expressions qui résultent d’un calcul vectoriel sont susceptibles d’une interprétation simple et immédiate, pour la raison que les vecteurs y restent intacts. Le calcul vectoriel se rapproche par là d’une méthode purement géométrique, tout en conservant la puissance du calcul algébrique.
Lettre de Leibniz à Huygens8, 16799
Je ne suis pas satisfait de l’algèbre car elle ne fournit ni les méthodes les plus rapides, ni les plus belles constructions géométriques.
C’est pourquoi, je crois que, en ce qui concerne au moins la géométrie, nous avons besoin d’une analyse différente qui soit essentiellement géométrique ou linéaire et qui soit capable d’exprimer directement les « situs », de même que l’algèbre exprime directement les positions. Je crois avoir mis au point une telle méthode qui permet de représenter les figures, et même les machines et les mouvements par des signes, de même que l’algèbre représente les nombres et les positions par des signes. Je vous envoie donc ce qui me paraît important.
6Dans l’Essai joint à la lettre, Leibniz décrit son système :
J’ai découvert certains éléments d’une nouvelle théorie, qui est différente de l’algèbre et dont un des principaux avantages est de représenter pour l’esprit, d’une façon exacte et réelle, même sans figure, tout ce qui dépend de la perception des sens. Le domaine d’application de l’algèbre est exclusivement celui de nombres indéterminés et des positions, mais elle ne s’applique pas aux situations, aux angles et aux mouvements. C’est ce qui explique la difficulté d’analyser les propriétés d’une figure par le calcul, et la difficulté encore plus grande, de trouver des démonstrations et des constructions géométriques, même lorsque le calcul algébrique est terminé. Cette nouvelle théorie, par contre, qui tient compte des différentes évolutions d’une figure, ne peut pas échouer pour donner à la fois la solution, la construction et la démonstration géométrique, d’une façon naturelle et dans une seule analyse, c’est à dire par un procédé bien déterminé.
7Et un peu plus loin :
Sa principale valeur réside dans le raisonnement que l’on peut faire et dans les conclusions qui peuvent être déduites grâce aux opérations de cette théorie ; conclusions qui ne peuvent être établies par une simple étude de figures sans les multiplier d’une manière considérable et sans faire apparaître des confusions entre les différentes droites et les différents points des figures que l’on est amené à tracer. Cette méthode par contre nous conduit d’une manière sûre et sans effort. Je suis persuadé que grâce à une telle méthode on peut étudier la mécanique aussi simplement que la géométrie, et que l’on peut même tester les propriétés des métaux puisqu’elles dépendent généralement de leur partie visible. Enfin, je ne pense pas que la physique puisse progresser, tant qu’une telle méthode rapide, allégeant le fardeau de l’imagination n’aura pas été mise au point.
Une nouvelle discipline des mathématiques pures, introduction à l’Ausdehnungslehre10, Hermann Günther Grassmann, 1844
La place de la géométrie vis à vis de la théorie des formes dépend du rapport de l’intuition de l’espace avec la pensée pure. Bien que nous disions qu’une telle intuition fait face à la pensée d’une manière indépendante, nous n’avons pourtant pas de la sorte affirmé que l’intuition de l’espace ne nous vient pas de la contemplation des choses spatiales ; mais c’est une intuition fondamentale qui nous est donnée a priori par le fait que notre sens est ouvert au monde sensible et qui nous est originellement inhérente de la même manière que le corps l’est à l’âme. Il en est de même du temps et du mouvement qui est fondé sur les intuitions du temps et de l’espace.
Avec la méthode habituelle à l’ordinaire, l’idée était complètement obscurcie par l’introduction de coordonnées arbitraires qui n’avaient rien à faire avec le sujet, et le calcul consistait en un développement mécanique de formules qui n’apportaient rien à l’esprit et qui par conséquent le tuait. Ici en revanche, où l’idée, qui n’était plus troublée par quelque chose d’étranger, transparaissait dans toute sa clarté à travers des formules, l’esprit était saisi, même lors de chaque développement de formules, par le développement progressif de l’idée.
Or, par ce succès me semblait justifié l’espoir d’avoir trouvé dans cette nouvelle analyse, la seule méthode conforme à la nature, selon laquelle devait progresser toute application de la mathématique : et selon laquelle il fallait également traiter la géométrie si elle devait mener à des résultats généraux et fructueux.
Treatrise on Electricity and Magnetism11, James Clerk Maxwell, 1873
Mais en de nombreuses occasions du raisonnement physique, considéré comme distinct du calcul, il est souhaitable d’éviter l’introduction explicite des coordonnées cartésiennes, et de fixer immédiatement l’attention sur un point de l’espace plutôt que sur ses trois coordonnées, et sur la grandeur et la direction d’une force au lieu de ses trois composantes. Cette façon de voir les quantités géométriques et physiques est plus primitive et plus naturelle que l’autre, bien que les idées qui s’y rattachent ne reçurent leur plein développement que lorsque Hamilton, par l’invention de son calcul des quaternions, fit avancer d’un grand pas le traitement de l’espace.
Comme les méthodes de Descartes sont encore les plus familières aux étudiants scientifiques, et puisqu’elles sont réellement les plus utiles en matière de calcul, nous exprimerons tous nos résultats dans la forme cartésienne. Je suis convaincu cependant, que l’introduction de ces idées, telles qu’on les distingue à partir des opérations et des méthodes des quaternions, nous sera d’un grand secours dans l’étude de toutes les parties de notre sujet, et plus spécialement en électro-dynamique, où nous devons traiter de nombreuses quantités physiques, dont les relations mutuelles trouvent une expression beaucoup plus simple par quelques expressions de type Hamilton que par les équations ordinaires.
L’un des aspects les plus importants de la méthode de Hamilton est la division des quantités entre scalaires et vecteurs.
Extraits de Éléments de Calcul Vectoriel avec de nombreuses applications à la géométrie, à la mécanique et à la physique mathématique12 de Cesare Burali Forti et Roberto Marcolongo
C’est l’opinion de plusieurs, y compris ceux qui font usage des méthodes vectorielles ordinaires, que : le calcul vectoriel ait nécessairement besoin des coordonnées cartésiennes et que la concision bien connue du calcul vectoriel soit due, en substance, au fait qu’on indique par une seule lettre une expression complexe.
En réalité, les calculs vectoriels ordinaires sont des tachygraphes des coordonnées cartésiennes, et ainsi l’opinion que nous venons d’indiquer est la conséquence nécessaire et logique d’un fait réel. Mais il est possible d’envisager le calcul vectoriel d’une toute autre manière. Notre calcul diffère substantiellement des calculs ordinaires, en ce qu’il peut opérer directement sur les éléments géométriques et physiques, sans avoir jamais besoin de recourir à aucune coordonnée. Notre calcul peut ainsi s’appeler intrinsèque, ou absolu, ou autonome.
Les avantages que l’on obtient du calcul intrinsèque sont fort considérables. Pour traiter des questions de Physique, de Mécanique et de géométrie, il n’est plus nécessaire de recourir à ces artifices spéciaux dépendant du choix des coordonnées, auxquels on doit, paraît-il, dans les expositions classiques et dans les actuelles, le succès de toutes recherches13.
Annexe 4. Différents visages du vecteur en physique et en mathématiques
Cours de mécanique à l’usage des élèves de la classe de mathématiques (terminale) et des élèves de première et seconde C et D, début du XXe siècle14
8Ce cours de mécanique est destiné aux élèves (garçons bien sûr !) de la classe de mathématiques (terminale) et aux élèves de première et seconde C et D au début du XXe siècle. Nous l’avons choisi car il est caractéristique de l’enseignement des vecteurs à cette époque. La mécanique est une partie du cours de mathématiques ; nous pouvons lire qu’il n’y a aucun formalisme d’espace vectoriel. Ainsi que les auteurs le précisent, ce cours sur les vecteurs est une introduction au cours de mécanique.
Figure 2. Cours de mécanique à l’usage des élèves de la classe de mathématiques (terminale) et des élèves de première et seconde C et D.

COURS DE MÉCANIQUE
[…]
projection sur un axe orienté qui a un signe, comme nous allons le voir dans la suite.
Soit un vecteur (AB) et un nombre m positif ou négatif, le symbole m (AB) représente un vecteur ayant même origine et même ligne d'action que le vecteur (AB), il a même sens si m est positif, sens contraire si m est négatif; le nombre qui le mesure est égal au produit des nombres mesurant (AB) et la valeur absolue de m.
Vecteurs équipollents. – Deux vecteurs sont équipollents lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur: si, en outre, ils ont même ligne d'action, on dit qu'ils sont équivalents.
Il résulte de cette définition que deux vecteurs équipollents à un troisième le sont entre eux.
Soient deux vecteurs équipollents (AB) et (CD); joignons les origines A et C, les extrémités B et D, la figure ABCD est un parallélogramme.
Pour écrire que deux vecteurs sont équipollents, on se sert de la notation suivante, qu'on appelle une égalité géométrique
(AB) = (CD)
On dit que deux vecteurs sont égaux et opposés lorsqu'ils ont même grandeur, même direction, mais sont de sens contraire.
Projection d'un vecteur sur un axe orienté. – Soit un vecteur (AB) et un axe orienté ox, a etb les projections de A et B: le segment de droite ab compté sur la droite orientée ox est par définition la projection du vecteur sur cet axe. La projection a de l'origine A du vecteur est l'origine du segment projection.
Le signe de cette projection dépend à la fois du sens du vecteur (AB) et du sens de l'axe ox.
Si les projections sont orthogonales, on a :
ab = AB. cos (ox, AB)
Vecteurs libres.
2. – Deux vecteurs équipollents représentent parfois la même grandeur mécanique, alors on peut remplacer un de ces vecteurs par un autre qui lui est équipollent; lorsqu'il en est ainsi, on dit que les vecteurs qui représentent ces quantités sont des vecteurs libres, ou encore des vecteurs non localisés.
Somme géométrique. Définition. - Considérons un système de vecteurs libre :
(A1B1), (A2B2). . . . . . . .(AnBn)
(OB'1) B'1 B'2) . . . (B'n-1B'n)
définis par :
(B’1B'2) = (A2B2)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
(B'n-1B'n) = (AnBn)
le vecteur (OB'n) est par définition la somme géométrique du système considéré.
REMARQUE. – La somme géométrique est un vecteur libre puisque son origine O est arbitraire.
3. Théorème. – Étant donné un système de vecteurs la somme géométrique est indépendante de l'ordre des vecteurs.
Fig. 2

Commençons par le cas des deux vecteurs : pour démontrer le théorème dans ce cas il suffit de remarquer que la somme géométrique des deux vecteurs (A1B1) et (A2B2) est la diagonale (OB'2) d'un parallélogramme dont les deux côtés OB'1 et OB’’1, sont des
[…]
Y’ = Y’1 + Y’2 + … + Y'n
Z’ = Z’1 + Z’2 + … + Z’n.
On a pour produit géométrique :
XX' + YY + ZZ’ = (X, X₂ … + Xn) (X’1 + X’2 + … X'n)
+ (Y₁+ Y2 … +Yn) (Y'₁ + Y’2 … Y'n)
+ (Z₁ + Z2 … + Zn) (Z'₁ + Z2 … Z'n)
ce que l'on écrit symboliquement :
9∑ [Xi X'j + Yi Y'j + Zi Z'j]
Vecteurs glissants et Vecteurs liés.
12. Une même grandeur mécanique peut parfois n'être pas représentée par deux vecteurs équipollents mais l'être par deux vecteurs équivalents. Dans ce cas, la position du vecteur sur sa ligne d'action n'intervient pas. On dira que de tels vecteurs sont glissants sur la droite, ou encore localisés sur cette droite.
Pour étudier ces vecteurs nous allons introduire la notion de moment.
Commençons par rappeler certaines définitions d'orientation.
SENS DE LA ROTATION AUTOUR D'UN AXE ORIENTÉ. – Soit un axe orienté OZ, un point M décrit une ligne quelconque, supposons un observateur placé sur OZ les pieds en O, la tête en Z et regardant le point M; s'il voit ce point se déplacer de sa gauche vers sa droite, on dit que le mouvement se fait autour de l'axe dans le sens rétrograde ou dextrorsum. Dans le cas contraire, le mouvement se fait dans le sens direct ou sinistrorsum.
ORIENTATION MUTUELLE DE DEUX DEMI-DROITES NON CONCOURANTES. – Soient deux demi-droites OZ et AB orientées, un mobile parcourt AB dans le sens positif, si le mouvement par rapport à OZ se fait dans le sens positif, il en sera de même du mouvement par rapport AB d'un mobile, parcourant OZ dans le sens positif. Et on dira alors que l'orientation mutuelle des deux demi-droites est positive.
Étant donné deux vecteurs (AB) et (CD), leur orientation mutuelle est la même que celle des demi-droites AB et CD.
13. Moment d'un vecteur par rapport à un point. – DÉFINITION. – Le moment d'un vecteur (AB) par rapport à un point O est un vecteur (OG) défini comme il suit: son origine est le point O, sa direction, celle de la perpendiculaire au plan OAB, son sens est tel que l’orientation mutuelle de (OG) et (AB) soit positive, sa grandeur est mesurée par le double du nombre qui mesure la surface du triangle OAB.
Nous désignerons ce moment par la notation (AB, O).
Remarquons que le moment est complètement déterminé; on dit que ce vecteur est localisé au point O, ou encore qu'il est lié au point 0.
Fig. 7.

REMARQUES. – I. Lorsque le vecteur (AB) se déplace sur sa ligne d'action, son moment par rapport au point O ne varie pas.
II. Si on prend deux points O et O₁, sur une parallèle à AB, le moment de (AB) par rapport à O1 est équipollent au moment de ce même vecteur par rapport au point O.
III. Le nombre qui mesure (OG) est le même que celui qui mesure le double de la surface du triangle OAB: donc, pour que le moment de (AB) par rapport au point O soit nul, il faut et suffit que ce vecteur passe par ce point, ou encore qu'il soit nul.
[…]
en outre on a :
=
les deux triangles OAO1. G’O1G1 sont donc semblables et on a l'égalité numérique :
= AB
en outre, une rotation d'un angle droit, amène O1G1 et O1G’ à être respectivement parallèle à AO1 et AO, cette même rotation mène G’1G1 parallèle à OO1, done G’G₁ est perpendiculaire à OO1 et l’orientation mutuelle de OO1 et G’G1 est la même que celle de AO et OG. Il résulte de là que si nous menons par O un vecteur équipollent à (AB) et si nous prenons son moment par rapport au point O1 on obtient un vecteur Oy équipollent à G’G1 ; d'où le théorème énoncé.
Nous pouvons écrire symboliquement ce résultat :
(AB.O1) = (AB.O) + (OB’.O1)
avec :
(OB’) = (AB)
15.Vecteurs concourants. Résultante. – DÉFINITION. – Étant donné un système de vecteurs concourants, leur somme géométrique, obtenue en prenant comme origine le point de concours des vecteurs du système se nomme la résultante du système. On dit que les vecteurs du système sont les composantes de la résultante.
Il est très important de ne pas confondre somme géométrique et résultante; la résultante est une somme géométrique particulière dont l'origine est déterminée, c’est un vecteur lié, alors que la somme géométrique est un vecteur libre.
Si on considère des vecteurs glissants dont les lignes d'action sont concourantes, nous pouvons les supposer concourants au point commun des lignes d'action, leur résultante est alors un vecteur glissant passant par ce point.
Dans aucun cas, la résultante n'est un vecteur libre, la somme géométrique au contraire est toujours un vecteur libre.
16. Théorème de Varignon. – Le moment de la résultante d'un système de vecteurs concourants est égal à la résultante des moments des vecteurs composants.
Pour démontrer ce théorème nous allons transformer l'expression du moment d'un vecteur.
Soient le vecteur AB et le point O ; le moment (OG) est perpendiculaire au plan OAB, par conséquent à AB ; il en résulte qu’il est dans le plan P passant par O et perpendiculaire à OA : projetons orthogonalement AB sur ce plan en Ob ; cette projection étant dans le plan OAB est perpendiculaire à OG ; l'orientation du trièdre ObGA, étant positive, si on fait tourner (Ob) d'un angle droit autour de (OA) pour l'amener sur (OG), la rotation se fait dans le sens positif. Le nombre qui mesure le moment OG est le double du nombre qui mesure la surface du triangle OAB, mais les deux triangles OAB et OAb ayant même base OA et des hauteurs égales, ont même surface ; donc le nombre qui mesure OG est le double du nombre qui mesure la surface AOb et, comme ce triangle est rectangle, égal au produit des nombres mesurant Ob et OA.
Revenons au théorème de Varignon; commençons par le démontrer pour deux vecteurs.
Fig. 10.

Soient les deux vecteurs (AB) et (AC) leur résultante (AR) ; nous prenons les moments par rapport au point O. Menons le plan P passant par O et perpendiculaire à OA puis projetons les vecteurs sur ce plan. […]
Annexe 5. Évolution des notations
10Il est intéressant de prendre conscience de l’évolution des notations au fur et à mesure de l’invention et surtout des besoins et des usages. On pourra aussi à ce propos mettre en évidence que les notations ne sont jamais figées et évoluent en permanence, ce qui souvent surprend les élèves.
11Voici par exemple un récapitulatif de 1921.
Tableau récapitulatif15 par Charles Ernest Weatherburn, 1921
Figure 3. Évolution des notations vecteurs et produit scalaire.

12En 1929, Raoul Bricard produisait chez l’éditeur Armand Colin, un ouvrage à visée pédagogique, « Le calcul vectoriel ». Il soulignait avoir adopté les notations de Gibbs, parce que c’était les règles adoptées par la collection, tout en les critiquant pour risque de confusion avec les symboles de la multiplication ordinaire. Il souligne que (en 1929), en France, pour éviter la confusion entre le segment non orienté AB et le segment orienté AB, on avait adopté la notation . C’est à son avis une complication souvent inutile.
Notes de bas de page
1 Tait, P. G., Traité élémentaire des Quaternions traduit par G. Plarr, Gauthier-Villars, Paris, 1882.
2 Avis du traducteur G. Plarr, p. VI.
3 Préface de P. G. Tait, p. XIV-XV.
4 W. R. Hamilton, Elements of quaternions, Longmans, Green and co. London, 1866.
5 G. G. de Coriolis, Du calcul de l’effet des machines, ou considérations sur l’emploi des moteurs et sur leur évaluation, pour servir d’introduction à l’étude spéciale des machines, Paris, Carilian-Golury, 1829, p. 11-18, 28.
6 Ces deux paragraphes, force constante et mouvement en ligne droite, sont en général les conditions de la définition du travail d’une force au niveau d’enseignement qui nous intéresse, qui mène à la formule : « produit de la composante parallèle à la trajectoire (rectiligne) par la distance parcourue ».
7 Bricard, Raoul, Le calcul vectoriel, Armand Colin, Paris, 1950, p. 3.
8 G. W. Leibniz, La caractéristique géométrique texte établi, introduit et annoté par Javier Echeverria, traduit, annoté et postfacé par Marc Parmentier, Mathesis, Vrin, 1995.
9 Publié en 1833.
10 Cité dans Flament Dominique, « H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline mathématique : l’Ausdehnungslehre », Philosophia Scientiae, cahier spécial 5 (2005), p. 81-141.
11 Maxwell, James Clerk, Treatise on Electricity and magnetism, vol. 1, Clarendon Press, Oxford, 1873, p. 9
12 Burali Forti, Cesare et Marcolongo, Roberto, Éléments de Calcul vectoriel avec de nombreuses applications à la Géométrie, à la Mécanique et à la Physique mathématique traduit de l'italien par S. Lattes, Paris, A. Hermann et Fils, 1910.
13 Le XIXe siècle est un siècle de remise en question de la toute-puissance de la géométrie des coordonnées, dite géométrie analytique, qui a permis de fait de faire de très grandes avancées. De nombreux mathématiciens veulent revenir à une géométrie plus « pure », mais aussi efficace que la géométrie des coordonnées, sans pour autant revenir à la « vieille » géométrie d’Euclide. L’émergence de la notion de vecteur se situe dans ce courant.
14 Ce livre est non daté. D’après nos recherches, sa date est probablement 1912, compte tenu des auteurs, professeurs agrégés, cités, dont nous avons retrouvé la trace.
15 Weatherburn, Charles-Ernest, Elementary Vector Analysis with Application to Geometrical Physics, Bell and Sons, Londres, 1921, préface, p. XXVII.
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