Conclusion
p. 99-103
Texte intégral
1Pourquoi enseigner les vecteurs ?
2Ils ne sont pas absolument nécessaires pour l’enseignement général au lycée. La géométrie pourrait se faire sans, et la notion de vecteur apparaît essentiellement comme outil performant, mais travesti largement par l’usage des coordonnées. Ils permettent cependant d’avoir une autre vision des mathématiques et sont par ailleurs utiles pour aborder différents domaines tels que les sciences physiques, l’économie, et pour modéliser de nombreux phénomènes. C’est par là même une occasion d’interdisciplinarité. Le double regard mathématiques/sciences physiques, enseignement général/enseignement professionnel offre alors de nombreuses ouvertures. Il nous a semblé que ce pouvait être un pont vers l’enseignement supérieur et les enseignements en algèbre linéaire et espaces vectoriels que beaucoup d’élèves suivront à des degrés divers, puisque les vecteurs sont partout !
3Ce double regard permet aussi souvent une meilleure compréhension. Unir la notion de travail et celle de produit scalaire, donne du sens et permet de dépasser certains obstacles. Les situations issues de la physique peuvent offrir de bonnes situations pour faire apparaître l’objet vecteur en classe de mathématiques, et le travail interdisciplinaire permet aussi de faire émerger auprès de nos élèves les moments où les mathématiques sont pertinentes pour traiter les grandeurs physiques vectorielles. Travailler ces sujets en interdisciplinarité permet aussi d’aborder de front ce qui souvent fait difficulté. La notion de vecteur, en tant qu’objet, peut prendre différentes représentations. Cet objet, au niveau qui nous concerne, se définit presqu’au travers des opérations d’addition, de multiplication par un scalaire de produit scalaire, et permet de faire émerger un nouveau cadre de démonstration, en géométrie ou en sciences physique, qui a sa spécificité et son efficacité. Il serait pertinent de mettre les élèves en situation de comparer l’outil vectoriel et les outils issus des autres cadres.
4C’est un calcul algébrique d’un type nouveau, le calcul vectoriel. Il s’agit de faire des opérations sur des objets qui ne sont pas des nombres. Le passage par les situations en sciences physiques peut être une aide à surmonter l’obstacle qui surgit alors. Et nous nous sommes tout à fait retrouvées dans le cheminement historique pour penser ces difficultés.
5« On peut dire en résumé que le calcul des quaternions c’est l’Algèbre des faits géométriques de l’espace » écrivait Laisant dans son introduction à la méthode des quaternions1. On pourrait presque substituer « vecteurs » à « quaternions », tant il soulignait que c’était là l’important.
6Quel intérêt pédagogique de faire appel à l’Histoire des mathématiques ?
7Pour imager notre avis sur cette question, nous vous proposons l’image du pas de côté, clin d’œil à la statue « Éloge du pas de côté » de la place du Bouffay de Nantes.
Figure 1. Éloge du pas de côté, place du Bouffay, Nantes, Philippe Ramette, 2018.

© Adagp, Paris, 2018.
8Faire appel à l’Histoire des mathématiques, c’est prendre le temps de mettre en lumière les idées initiales qui ont fait émerger des objets mathématiques actuels. Dans le cas de l’espace des vecteurs, on peut par exemple mettre en évidence auprès des élèves l’idée de création d’opérations sur des objets autres que des nombres : les vecteurs. Le fait d’aborder l’objet avec les termes de l’époque comme la notion de chemin de A vers B au lieu du vecteur AB, l’équipollence au lieu de l’égalité, fait se questionner les élèves. En effet, ce pas de côté permet de les interroger ou de les faire s'interroger sur leur représentation de l’objet et des opérations sur cet objet. Si besoin, l’enseignant ou l’enseignante peut alors y remédier en la modifiant ou la complétant.
9Vous avez pu l’observer dans ce livre, la construction de l’objet mathématique vecteur est l’aboutissement de travaux aussi bien de physiciens que de mathématiciens, dans des domaines différents : géométrie, analyse, algèbre. Pédagogiquement, nous sommes convaincues qu’établir des connexions entre ces différents cadres permet à nos élèves de mieux se repérer, de s’émanciper des attentes de la séquence, et de progresser sur un temps long.
10Contrairement à une idée peut-être répandue, une perspective historique dans le cours de mathématiques et de sciences ne s’adresse pas à « une élite », mais se révèle être très bénéfique à beaucoup d’élèves en difficulté. L’histoire des mathématiques peut être ainsi un outil de remédiation et de différenciation. Nous avons aussi remarqué dans nos cours que la conjonction mathématiques-sciences physiques permet de se rapprocher du va-et-vient historique qu’il y a eu entre les mathématiciens et les physiciens lors de la construction des vecteurs et les opérations définies sur ces nouveaux objets.
11Nous espérons aussi que cet éclairage historique, permettra aux enseignantes et enseignants d’y voir plus clair dans les différentes approches possibles, et leur donnera des possibilités d’ouverture, au-delà même de celles auxquelles nous avons songé.
Figure 2. B (+) (17/24), Bernar Venet, artiste contemporain.

© Fondation Venet.
Notes de bas de page
1 Laisant, Charles Ange, Introduction à la méthode des quaternions, Gauthier-Villars, Paris, 1881, p. VIII.
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