3. Activités interdisciplinaires mathématiques-sciences
p. 75-99
Texte intégral
1Les vecteurs ont été inventés par des mathématiciens pour répondre à des problèmes mathématiques. Ce sont les physiciens qui s’en sont d’abord emparés.
2Pédagogiquement, l’imbrication des mathématiques et des sciences est une source indéniable de compréhension et d’intérêt pour nos élèves. En effet, la dialectique Outil-Objet de Régine Douady peut encore nous éclairer1.
Jeux de cadres : le mot « cadre » est à prendre au sens usuel qu’il a quand on parle de cadre algébrique, cadre arithmétique, cadre géométrique… Les jeux de cadre sont des changements de cadres provoqués à l’initiative de l’enseignant, à l’occasion de problèmes convenablement choisis pour faire avancer les phases de recherche et évoluer les concepts des élèves. La dialectique outil objet est créative de sens. Les jeux de cadres sont source de déséquilibres, la rééquilibration participe à l’apprentissage.
Deux cadres peuvent comporter les mêmes objets et différencier par les images mentales et la problématique développée.
Le changement de cadres est un moyen d’obtenir des formulations différentes d’un problème qui sans être nécessairement tout à fait équivalents, permettent un nouvel accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d’outils et techniques qui ne s’imposaient pas dans la première formulation.
3Nous proposons ici des activités qui peuvent permettre, grâce à cette double perspective, de contourner ou franchir certains obstacles qui se présentent souvent dans l’enseignement des vecteurs et/ou du produit scalaire. Ces activités ont été testées pour la plupart en classe de lycée professionnel mais peuvent souvent se transposer dans l’enseignement général, même si l’association mathématiques-physique peut se heurter aux nouveaux choix de spécialités.
4En lycée professionnel, les enseignant.es sont bivalent.es mathématiques/ sciences physiques et Chimie. Dans ce cadre, l’institution recommande que pour une même section l’enseignant.e prenne en charge les deux disciplines. (En tertiaire, l’enseignement des sciences ne concerne que les élèves de CAP et pas de Bac Pro). L’interdisciplinarité est donc très favorisée. Il est par exemple tout à fait possible d’engager le début d’une séquence de mathématiques en prenant appui sur une expérience de sciences ou de revenir sur une notion de mathématiques en sciences.
5Par ailleurs, depuis la réforme du lycée professionnel de 2009, les élèves de Terminale Bac Pro ont de plus en plus accès aux classes de technicien supérieur. Une partie de nos élèves arrivent en Seconde Bac Pro intéressé.es par la section et ayant l’objectif de poursuivre leurs études. Une autre partie de nos élèves ont des difficultés, et s’interrogent même parfois sur la poursuite dans la section. Pour prendre en charge ces deux publics, les enseignant·es de lycée professionnels doivent différencier très régulièrement les productions, les méthodes pédagogiques et pourquoi pas les contenus. Une façon d’y arriver peut être d’alimenter parfois les élèves souhaitant poursuivre leurs études avec des activités s’appuyant sur l’Histoire des mathématiques.
3.1. Vecteur comme représentant de « champ » ou force
6En mathématiques, on peut caractériser un vecteur par sa direction, son sens, sa norme. Or, en sciences, la représentation graphique « flèche » n’est pas associée à un seul type d’objet.
7Elle peut représenter :
- Un champ impliquant deux propriétés : direction, sens ;
- Une force et ses quatre caractéristiques : direction, sens, norme ainsi que le point d’application de la force ;
- Un vecteur force dans la construction d’un dynamique : avec ses trois propriétés : direction, sens, norme d’un vecteur.
8Voici quelques activités de sciences physiques illustrant ces différents cas.
3.1.1. Représentation d’un champ magnétique
9Discipline : Sciences.
10Niveau : Première ou Terminale professionnelle tronc spécifique.
11Présentation : Mise en évidence expérimentale de propriétés d’un champ magnétique.
12Objectif principal : Savoir analyser et représenter graphiquement des propriétés d’un champ magnétique.
13Aspect pédagogique : Cette activité permet de mettre en évidence l’obstacle que doit surmonter l’élève vis-à-vis de la représentation graphique de « flèche ». Ici, celle-ci est définit uniquement par une direction et un sens, elle devra muer vers la représentation d’un vecteur.
3.1.1.1. Dialectique outil/objet
14L’objet vecteur n’est pas encore mis en place. Par contre, la représentation graphique de flèche (signifiant) est souvent utilisée dans la vie courante ou en sciences. Par exemple, on peut retrouver une flèche pour représenter un déplacement ou ici pour représenter un champ magnétique dont on connait la direction et le sens. Pointer du doigt cette « mauvaise » utilisation en ce qui concerne l’objet mathématique de vecteurs (signifié) peut certainement éclairer certains élèves pour qui l’utilisation usuelle de flèches constituera un obstacle dans l’appropriation de la troisième composante d’un vecteur, la norme.
3.1.1.2. Activité
15Voici 6 représentations d’expérience.
Figure 1. Expériences de champs magnétiques.

Source : Physique, collection Eurin-Gié, Hachette lycée 1989.
- A. Quel est le phénomène mis en lumière par toutes ces expériences ?
- B. Parmi les expériences présentées certaines informent d’une caractéristique physique, d’autres de deux. Répartir les activités en deux groupes selon quelles mettent en évidence un ou deux phénomènes.
- C. Expliciter brièvement ces deux caractéristiques physiques.
- D. Représenter graphiquement ces deux informations sur les illustrations.
3.1.2. Construction d’un dynamique de forces à partir de forces ponctuelles
16Disciplines : Mathématiques et sciences physiques.
17Niveau : Seconde générale, Première professionnelle.
18Présentation : Activité conjointe enseignement mathématique/sciences sur l’objet vecteur.
19Mise en évidence dans cette activité de la distinction entre le vecteur force qualifié par un point d’application, une droite d’action, un sens, une intensité, et le modèle mathématique vecteur défini par une direction, un sens, une norme.
20Aspect pédagogique : Reprendre en mathématiques un énoncé de travaux pratiques de sciences pour identifier le changement de « statut » du vecteur qui passe d’une représentation de 4 caractéristiques (les 3 propriétés du vecteur + le point d’application) à celle de 3 caractéristiques lors du dynamique.
3.1.2.1. Réflexions pédagogiques sur la notion de vecteur
21Les vecteurs sont utilisés dans la séquence de sciences comme outils soit pour vérifier l’équilibre ou non d’un objet en réalisant le dynamique des forces (ou somme des forces en mathématiques) soit pour déterminer les caractéristiques d’une force inconnue sachant que le solide est en équilibre.
22L’analyse du changement de statut du vecteur entre la représentation de la force au point d’application et celle du vecteur lors du dynamique permet de revenir sur l’objet vecteur mathématique. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens, même norme. L’autrice exerçant en lycée professionnel a pu à de multiples reprises se rendre compte comment le passage du vecteur modélisant l’action ponctuelle à l’objet mathématique du dynamique était difficile. Elle émettrait l’idée que le fait de manipuler avec ses mains les dynamomètres, de relever les points d’application et directions donnent une importance accrue à la position sur la feuille des premières modélisations de vecteurs dont l’origine commence au point d’application. Quand il s’agit de passer à la modélisation par l’objet mathématique vecteur en créant un dynamique de forces, certains élèves ne s’autorisent pas à déplacer les vecteurs même si on leur spécifie que la construction du dynamique constitue une autre phase de modélisation faisant intervenir d’autres objets mathématiques.
3.1.2.2. Activité motivée par les lignes à haute tension
23Introduction par l’enseignant.e. L’observation des câbles de lignes à haute tension est source de réflexion sur la notion de force. Cette activité est motivée par les réflexions pédagogiques décrites dans le paragraphe précédent. En effet, lorsqu'on a « bien tendu » un fil entre deux piquets, on a l’impression que ce fil est une réalisation d'une droite ; lorsqu’on regarde un câble à haute tension « bien tendu », une droite mathématique ne semble pas être un bon modèle. Est-ce qu'une droite modélise un fil bien tendu ? Est-ce que les câbles à haute tension sont mal tendus ? Cherchons une réponse en étudiant les forces en présence. Comment le vecteur force est-il qualifié au départ ?
24Déterminer la question à partir de laquelle le « vecteur force » change de statut. Comment peut-on le décrire à la fin ?
25Pourquoi les câbles à hautes tensions ne sont pas tendus ?
Figure 2. Câbles à haute tension.

© Andrey Metelev via Unsplash.
Figure 3. Dispositif d’étude d’un système dynamique.

26Système étudié : Carton de masse très petite. Ici, la force de pesanteur agissant sur lui-même est négligée.
27Forces exercées :
- La force 1 exercée par le dynamomètre
;
- La force 2 exercée par le dynamomètre
;
- La force exercée par le fil auquel la masse de 50 g est suspendue.
28I. Faire l’inventaire des forces en complétant pour chacune un tableau de caractéristiques de type
| Point d’application | ||
| Droite d’action | ||
| Sens | ||
| Intensité |
29II. Manipulation : Première position d’équilibre
- A. Repères sur la feuille (voir figure 5)
- a. Repérer soigneusement sur la feuille les positions des points A, B, C points d’application des forces.
- b. Toujours sur la feuille, repérer par des pointillés les droites d’actions des forces. Puis, décrocher la feuille.
- B. Travail sur la feuille
- a. Les droites d’actions
- Noter A, B, C aux points correspondants.
- Prolonger les droites d’actions des forces par des pointillés.
- Que remarquez-vous ?
- b. Représentation graphique des forces
- En vous référant aux tableaux de caractéristiques, représentez en rouge les forces.
On prendra l’échelle : 1 cm correspond à 0,1 N. - Construire le dynamique de ces 3 forces au crayon à papier.
Le dynamique d’un solide soumis à 3 forces en équilibre est-il ouvert ou fermé ?
- En vous référant aux tableaux de caractéristiques, représentez en rouge les forces.
- a. Les droites d’actions
30III. Manipulation : Seconde position
- A. Que se passe-t-il lorsque l’on incline les forces 1 et 2 de sorte qu’elles se rapprochent de l’horizontal ?
- B. Visualisation sur la modélisation GeoGebra.
- C. Réponse à la question : « Pourquoi les câbles à hautes tensions ne sont pas tendus ? » Pour vérifier les résultats expérimentaux nous avons pu nous appuyer sur la simulation GeoGebra suivante.
Figure 4. Simulation GeoGebra : système de 3 forces en équilibre.

Figure 5. Extrait de la fiche manipulation d’un élève.

3.1.2.3.Analyse
31Lors des travaux pratiques de sciences, les élèves ont souvent des problèmes à réaliser le dynamique. Le fait qu’il puisse être exécuté à partir de n’importe quel point les gêne énormément. L’activité permet de revenir sur l’obstacle et de mieux comprendre que le vecteur a changé de statut : il est passé de vecteur physique lié à un point à vecteur libre mathématique. Ces différents points de vue, liés à l’histoire ont été évoqués dans l’introduction historique et vous trouverez un complément en annexe.
3.1.3. Construction de la résultante de forces
32Discipline : Mathématiques ou sciences.
33Niveau : Seconde générale, Première Bac Pro.
34Présentation : Modéliser, construire et interpréter la somme de forces par des opérations sur les vecteurs;
35Aspect pédagogique : Activité effectuée en groupe de quatre.
36Les cas 2 et 3 sont travaillés en démarche d’investigation avec ou sans aide.
37Les vecteurs sont utilisés comme outil ici soit pour déterminer la trajectoire d’un système soit pour identifier les caractéristiques de résultante de plusieurs forces.
3.1.3.1. Mise en situation
Aides distribuées à la demande pour le cas 2 (Remorquage d’une péniche)
- A. Que signifie le terme trajectoire ?
- B. Quelles sont les normes des deux vecteurs ?
- C. Tracer en P deux vecteurs égaux aux deux vecteurs de départ.
- D. Faire la somme de ces deux vecteurs.
- E. En déduire la direction prise par la péniche
Aides distribuées à la demande pour le cas 3 (Traîneau)
38On donne l’échelle 1 cm pour 100 N.
- A. Représenter les forces exercées par Api et Boum.
- B. Faire la somme de ces deux vecteurs.
- C. Mesurer le vecteur somme et en déduire l’intensité de force que devrait exercer un seul chien.
Fiche élève : Comment prévoir un déplacement ? Cas 1 (Entraînement de rugby)
39Au cours d’une séance d’entraînement de rugby, l’entraîneur propose l’exercice suivant.
40Le joueur J1 est retenu à l’aide de deux cordes par deux autres joueurs J2 et J3 et doit s’efforcer d’avancer.
41Déterminer dans chacun des trois cas, si J1 avance ou recule.
42Sont représentées ci-dessous les 3 forces. On admettra que leur intensité est proportionnelle à la norme des vecteurs représentés.
Figure 6. Composition des forces lors d’un déplacement.

Fiche élève : Cas 2 (Remorquage d’une péniche)
43Une péniche dont le gouvernail a été endommagé est tirée par deux remorqueurs de puissances différentes. On admettra que les intensités de forces déployées par les remorqueurs sont proportionnelles aux normes des vecteurs représentés.
44Quelle trajectoire cette péniche va-t-elle prendre ?
Figure 7. Remorquage d’une péniche.

Fiche élève : Cas 3 (Traineau)
45Le chien Api tire avec une force de 250 N ; pour sa part le chien Boum exerce une force de 200 N.
46Quelle devrait être l’intensité exercée par un seul chien pour produire le même effet ?
Figure 8. Tractage d’un traîneau.

3.1.3.2. Description et analyse
47Ces activités avec prise d’autonomie progressive permettent d’aborder la notion de somme de vecteurs avec quadrillage puis en utilisant la règle et l’équerre ou le compas. La plus grande difficulté vient comme l’activité précédente, liée au TP, du fait que le vecteur n’est pas lié à un point, il est libre. Le dynamique ou la résultante peuvent ainsi être tracés à partir de tout point quelconque.
3.2. Vecteur et translation
3.2.1. Préambule
48Les vecteurs sont utilisés sur un autre volet, celui des translations. Ce thème peut être très riche mais peut engager une réelle ambiguïté.
49En effet, les mathématiques et les sciences font usage du mot translation sans y accorder le même sens.
50En mathématiques : la translation de vecteur est la transformation qui à tout point M fait correspondre M’ tel que
=
. C’est même souvent ainsi que la notion de vecteur est abordée. Ce qu’écrivait Charles Ange Laisant dans son petit ouvrage, « Introduction à la méthode des quaternions » en 1881, pourrait être presque repris dans un cours élémentaire de mathématiques sur les vecteurs :
Un vecteur est l’expression d’une translation rectiligne. Lorsqu’une figure subit un tel mouvement de translation, tous ses points décrivent des lignes droites égales en longueur, parallèles et dirigées dans le même sens2.
51Une différence importante réside cependant dans la notion de mouvement. « Translation », actuellement en mathématiques n’implique pas mouvement, contrairement à l’usage courant dans la langue française. Nous constatons que pour Laisant, translation est un mouvement. Cette distorsion peut constituer un obstacle épistémologique, qui pourra parfois être contourné par l’approche en sciences physiques.
52En sciences physiques : un objet est dit en mouvement de translation quand à tout instant il garde la même orientation par rapport à la terre. Autrement dit si tout vecteur joignant deux points d’un solide reste parallèle à lui-même au cours du temps, on dit que ce solide est en translation.
53Prenons ici deux exemples :
- Comme on peut se douter, lors d’un déplacement rectiligne, il y a un mouvement de translation. A deux instants distincts t1 et t2, tout vecteur
est égal à un unique vecteur
.
- Mais, on retrouve aussi la translation dans le sens physique dans le cas d’un mouvement circulaire où l’objet reste orienté toujours de façon identique par rapport à la verticale.
Figure 9. Mouvement d’une nacelle d’une grande roue.

54On pourra remarquer que la « translation » au sens mathématiques du terme s’intéresse seulement aux situations « départ »-« arrivée », sans s’occuper du mouvement intermédiaire qui a permis de passer de l’une à l’autre.
55Précisons par le schéma suivant ce qui constitue en physique un mouvement de rotation et un mouvement de translation.
Figure 10. Mouvement de rotation et mouvement de translation, en sciences physiques.

56Toutes les précautions ayant été prises au préalable, ayant évoqué avec les élèves ces différences de point de vue, voici une activité élève liant vecteur et translation.
3.2.2. Scénario pédagogique
57Discipline : Mathématiques.
58Niveau : Seconde générale, Première professionnelle.
59Présentation : expérimentation contextualisée introduisant les composantes d’un vecteur.
60Pré-requis : Définition d’un vecteur en tant que triplet direction, sens, norme.
61Objectif principal : Donner du sens à la notion de vecteur et modéliser mathématiquement la translation physique de la voiture.
62Matériel : fichier voiture sur GeoGebra
3.2.2.1. Démarche d’investigation sur GeoGebra
63Les élèves ont construit, mesuré, tracé des parallèles. Ils se sont globalement bien engagés dans le travail géométrique, en utilisant le triplet droite, sens, norme.
64Se référer au fichier GeoGebra.
Figure 11. Mouvement de translation d’une voiture.

3.2.2.2. Dialectique outil/objet
65Les vecteurs sont utilisés comme outils pour modéliser le mouvement d’une voiture en translation. Réflexion orale proposée quelle pourrait être la situation dans laquelle tous les points ne sont pas en translation. (Exemple de l’avant d’une voiture qui percuterait un objet, le vecteur correspondant au mouvement du pare-choc n’aurait pas la même norme…)
66Pour vérifier que plusieurs vecteurs sont égaux, les élèves vont au départ se référer à la définition d’un vecteur : direction, sens, norme. Vu l’outil GeoGebra, ils vont être bloqués par le fait de vérifier que deux droites sont parallèles autrement que par la perception. Certains penseront à l’équation de droite. Ils devront effectuer un changement de cadres entre le géométrique et le numérique. D’autres observeront la « concordance » des coordonnées des vecteurs. Ils passeront également du cadre géométrique au numérique.
3.2.2.3. Description et analyse
67Retour sur la définition d’un vecteur défini par une direction, un sens, une norme. Les élèves ont en général utilisé assez facilement les outils GeoGebra de droites parallèles, de mesures de longueurs. Certains ont remarqué dès le début les coordonnées des vecteurs « quasi identiques » dans la fenêtre algèbre.
3.3. Vecteur et électricité
3.3.1. Préambule
68Voici à présent un autre domaine de sciences physiques où le vecteur est un outil de modélisation : l’électricité.
69À partir de l’enseignement supérieur ou dans certaines filières professionnelles de Bac pro liées à l’électronique, les enseignants de sciences ou de spécialité peuvent demander à leurs élèves de passer facilement de l’expression fonctionnelle d’une tension instantanée, à son vecteur de Fresnel et à sa forme complexe associée.
70Ces changements de cadres constituent une difficulté qu’il ne faut pas minimiser.
Figure 12. Changements de cadres.

3.3.2. Scénario pédagogique
71Discipline : Mathématiques et sciences.
72Niveau : Terminale professionnelle module spécifique en sciences, programme complémentaire en mathématiques, Terminale générale spécialité chapitre complexes.
73Présentation : Activité mettant en lumière les différents cadres : géométrique (vecteur), fonctionnel (sinusoïdal), analytique (complexe).
74Pré-requis : vecteur, fonction sinusoïdale, complexe.
75Matériel : GeoGebra.
3.3.2.1. Aspect outil/objet
76Le vecteur est utilisé comme un outil pour résoudre des problèmes d’électricité.
77Par contre, cette activité permet de situer l’objet vecteur vis-à-vis d’autres objets de mathématique. En effet, cette activité permet d’aborder différents cadres : géométriques (vecteur), analytique (complexes) et fonctionnel (fonction sinusoïdale).
78Ces différents changements de cadres permettent de tisser des liens entre différents apprentissages et de donner du sens aux objets mathématiques.
3.3.2.2. Activité
Figure 13. Le courant triphasé.

79On donne comme origine des temps la tension V1.
- A. Indiquer le déphasage (non orienté) en degrés de :
- la tension V2 par rapport à V1 ;
- la tension V3 par rapport à V1.
- B. Déterminer le maximum d’une tension simple.
- C. Donner la forme complexe de ces trois tensions :
- V1 ( module ; argument) ;
- V2 ;
- V3.
- D. Tracer sur GeoGebra le vecteur représentant la tension composée U12 = V1 – V2. Puis donner la forme complexe de la tension composée.
- E. On donne les expressions des fonctions correspondant aux tensions :
- V1 par V1(x) = 12 sin(x/15) ;
- V2 par V2(x) = 12 sin[(x + 120)/15].
80La tension composée est notée U12. Proposer une expression U12(x) = … sin[(x + ...)/15]. Vérifier sur GeoGebra si l’expression est plausible.
3.2.2.3. Note historique
81Augustin Fresnel (1788-1827) n’a bien sûr pas utilisé la représentation « vectorielle » qui porte son nom, puisque le concept de vecteur comme nous l’avons vu dans la partie historique ne se dégage que vers la fin du XIXe siècle. Les principes de la « construction de Fresnel » sont exposés dans le Mémoire sur la diffraction de la lumière de 1819, couronné par l’Académie des sciences. Outre ses travaux sur les ondes lumineuses, il travaillera avec son ami André Marie Ampère (1775-1836) qui va créer une nouvelle branche de la physique, l’électrodynamique et qui développera l’électro magnétisme3.
82Ils sont dans ce courant du XIXe siècle qui voit naître la physique mathématique. C’est un exemple particulièrement frappant des contributions réciproques de la physique et des mathématiques, dans lesquelles va naître le concept de vecteur.
3.4. Produit scalaire et travail d’une force
83Niveau : Première générale spécialité mathématiques, Terminale Bac Pro programme complémentaire.
84Présentation : Activités de découverte de propriétés du produit scalaire par la notion de travail de force.
85Pré-requis : les vecteurs, la définition géométrique du produit scalaire comme « le produit algébrique de l’un par le projeté orthogonal de l’autre sur lui » de Grassmann.
86Objectif principal : Donner du sens à la notion de produit scalaire, ainsi qu’à certaines de ses propriétés.
87Matériel : Possibilité d’amener un chariot jouet ou de traction pour expérimenter, fichier GeoGebra si besoin pour l’activité sur le chariot.
3.4.1. Aspect pédagogique
88Cette activité est très complémentaire de celle proposée dans la partie « historique ».
89Nous avons pu constater la difficulté des élèves à appréhender la notion de produit scalaire. Pour eux, le premier obstacle est que le produit de deux vecteurs donne un nombre (scalaire), et que celui-ci peut être positif ou nul mais aussi négatif. La seconde difficulté est, probablement, l’acceptation de la propriété u.v = u.w avec v et w non égaux.
3.4.2. Dialectique outil/objet
90Le vecteur est utilisé comme un outil pour une force en mécanique. Le produit scalaire est utilisé comme outil pour estimer l’énergie déployée par une force sur un déplacement donné.
91D’un point de vue mathématique, cette activité permet de travailler sur l’objet mathématique pour :
- La définition du produit scalaire : opération sur des vecteurs donnant comme résultat un nombre réel.
- Sur la propriété : u.v = u.w avec v et w non égaux.
92C’est la raison du choix de l’introduction du produit scalaire par cette activité contextualisée. Nous espérons ainsi donner du sens et des réponses aux problèmes cités précédemment.
93Pour le résultat du produit scalaire, ici le travail de la force, l’élève l’associera à la capacité de la force à faire bouger. Si le résultat est positif, la force agit dans le sens du déplacement. Si le travail est nul, la force n’a aucun effet. Si enfin, il est négatif, la force va à l’encontre du mouvement.
94Pour le dernier obstacle, intuitivement les élèves savent que pour déplacer l’objet il faut se mettre le plus parallèle possible au déplacement. Ainsi, ils appréhendent mieux que la composante perpendiculaire au déplacement n’intervient pas et que l’on peut donc avoir :
95 .
=
.
avec
et
non égaux.
3.4.3. Activité : Influence d’une force sur un déplacement
96Soit une force appliquée sur un objet lors d’un déplacement rectiligne de A vers B.
97Ici le cas d’un athlète travaillant sa poussée en traînant un chariot de traction.
Figure 14. Chariot de traction.

- A. D’après vos connaissances de mécanique, quels sont les paramètres à prendre en compte pour étudier l’influence de la force de cet athlète sur un déplacement d’un point A à un point B ?
Remarque pédagogique : Faire au moins surgir que l’influence dépend de l’intensité de la force, de la distance entre les points A et B, commencer à s’intéresser à l’orientation de la force par rapport au déplacement.
- B.
- a. Indiquer, pour les cas suivants, si la force est sans effet, s’oppose ou favorise le mouvement (voir document GeoGebra : chariot de poussée)
Figure 15. Chariot de poussée.

Figure 16. Représentation de la force dans différentes orientations.

Figure 17. Différentes orientations pour effets équivalents.

Figure 18.

3.4.4. Description et analyse
98Cette activité de difficulté progressive se déroule bien en général, elle permet aux élèves de donner du sens à la notion du produit scalaire et de diminuer les obstacles cités dans l’introduction de cette activité partie aspect pédagogique.
3.4.5. Retenons
3.4.5.1. Influence d’une force sur un déplacement : le travail d’une force
99Le travail d’une force sur un déplacement de A à B nous informe de l’énergie donnée à l’objet pour qu’il se déplace ou qu’il ralentisse, il s’exprime en joues (J).
Figure 19. Effet de l’intensité et de l’orientation.

100Le résultat du travail est un « scalaire », il est donc positif, négatif ou nul.
101Première remarque : Pourquoi le produit scalaire ici ?
102Seule la composante selon la direction du déplacement de la force travaille, car c’est la seule à provoquer ou ralentir le déplacement.
3.4.5.2. Les différents types de travail de forces
Figure 20. Travail moteur, travail résistant.

103L’homme monte la charge.
104Le déplacement et sont dans le même sens. On dira que le travail de la force exercée par le personnage est un travail moteur. Le travail sera positif.
et le déplacement sont en sens inverse.
105Le travail du poids de la caisse est un travail résistant. Le travail sera négatif.
106Remarque : si une force s’exerce perpendiculairement au déplacement, son travail est nul.
3.4.5.3. Application directe
- A. Comparer les travaux des différentes forces.
Quelles sont les forces dont le travail est moteur, résistant, ou nul ? - B. Représenter sur le schéma une force dont le travail serait négatif. On pourra ici se reporter à la partie historique pour approfondir le lien entre travail d’une force et produit scalaire.
Notes de bas de page
1 Douady, Régine, « Jeux de cadres et dialectiques outil-objet », Recherches en Didactique des mathématiques, 7(2), p. 5-31, 1986. [En ligne], URL : https://revue-rdm.com/1986/jeux-de-cadres-et-dialectique
2 Laisant, Charles Ange, Introduction à la méthode des quaternions, Gauthier-Villars, Paris, 1881, p. 1.
3 Celles et ceux qui voudraient en savoir plus pourront se reporter à l’ouvrage très riche de la commission inter IREM épistémologie et histoire des mathématiques, Images, Imaginaires, Imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes, éditions Ellipses, 1998. En particulier le chapitre VII, p. 279-324.
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