1Dans cette partie, nous vous proposons des activités destinées à répondre à la question : comment l’histoire peut nous aider à donner plus de sens aux notions de vecteurs et de produit scalaire, pour nos élèves. Chacune de ces activités sera abordée en suivant différentes étapes. Tout d’abord, nous vous proposerons une introduction historique à l’usage des élèves, suivie d’une présentation pédagogique puis l’activité élève et des propositions pour aller plus loin.
2.1. Les vecteurs
2Pour aborder les vecteurs par l’histoire des mathématiques, trois voies ont été utilisées : l’algébrique à partir d’un texte de C. V. Mourey, la géométrique à partir d’un texte de Giusto Bellavitis et celle issue des nombres complexes à partir d’un texte de Jean Robert Argand.
2.1.1. Scénario pédagogique avec C. V. Mourey
3Niveau : Seconde ou Première générale/Premières professionnelles.
4Présentation : activité de découverte ou diagnostique de la notion de vecteur.
5Pré-requis : aucun.
6Objectif principal : Suivre pas à pas la construction de la notion de vecteur.
7Matériel : extrait du texte original de Mourey.
2.1.1.1. Organisation pédagogique
8Par exemple :
Système de classe inversée testé en Première professionnelle. Certains groupes préparent le cours avant la séquence sur les vecteurs à partir d’extraits choisis du texte de Mourey, à la maison ou en classe lorsqu’ils ont fini l’activité proposée. Pour ceci, les élèves devront compléter une fiche d’aide avec leurs mots, sans schéma. Ensuite cette fiche sera proposée à un ou plusieurs groupes n’ayant pas pris connaissance du texte, les membres de ces groupes devront effectuer des schémas illustrant les propositions du groupe précédent. Puis, viendra la mise en commun avec l’aide de l’enseignant·e, puis la phase d’institutionnalisation. Le temps estimé pour le travail en îlots, la mise en commun et l’institutionnalisation est de 1 h 30 min.
Travail de groupes ou à la maison et retour en classe testé en Première générale.
2.1.1.2. Dialectique outil/objet
9Ces activités permettent de définir l’objet vecteur par le postulat d’égalité de chemins. Mourey définit aussi la relation qui sera dite « de Chasles » d’addition de chemins.
10Voici dans les deux cas l’introduction historique et les extraits de texte qui ont été proposés aux élèves pour ce travail.
2.1.1.3. Mise en situation
11Introduction par l’enseignant·e. Au début du XIXe siècle, les mathématiciens ne sont pas très à l’aise avec les nombres négatifs ; d’autres nombres ont aussi été inventés, nécessaires pour résoudre certains problèmes (que vous étudierez peut-être un peu plus tard), qu’ils ont appelés imaginaires. Les mathématiciens calculent avec ces nombres, résolvent des équations et des problèmes parfois très élaborés, mais une question commence à se poser : les négatifs et les imaginaires sont-ils vraiment des nombres ? Représentent-ils quelque chose ? Ne devrait-on pas s’interroger sur la rigueur de leurs fondements ? En essayant de leur donner une interprétation géométrique, une nouvelle branche des mathématiques va être inventée.
12Voici la citation de C. V. Mourey dans son introduction :
Avec un nouveau système d’algèbre que je cherchais, j’ai trouvé un nouveau système de géométrie, auquel je ne m’attendais pas. Ce ne sont cependant pas deux sciences ; ce n’est qu’une seule science, une seule théorie, laquelle a deux faces, l’une algébrique, et l’autre géométrique. C’est une algèbre émanée de la géométrie ; c’est une géométrie généralisée et rendue algébrique.
13Remarque de l’enseignant·e. La biographie de Mourey, l’auteur du texte que nous vous proposons, nous est inconnue. Cependant de nombreux auteurs de son époque (XIXe siècle) le citent et font référence à son ouvrage qui a été réédité en 1992, par les bons soins de l’IREM de Dijon, que nous remercions1.
2.1.1.4. Étude du texte
Moyen de suppléer à la soustraction
2. Si un voyageur, ou un mobile quelconque, partant du point A, va d’abord au point B (fig. 1, 2, 3 et 4),
et que du point B il aille ensuite en C, il sera aussi avancé que s’il fut allé directement de A en C, ni plus ni moins ; donc, voyage de A en B + voyage de B en C est équivalent à voyage de A en C ; ou, pour abréger, AB + BC = AC. Développement 4. Nous appellerons ligne directive ou chemin, la ligne considérée comme représentant un voyage, c’est-à-dire comme conduisant dans un seul sens. Il est bon de concevoir le chemin comme fluant, et indiquant par son flux le sens dans lequel il conduit. Pour désigner le chemin qui conduit de A en B, nous dirons simplement AB ; et pour désigner celui qui conduit de B en A, nous dirons BA. Ces deux notations AB, BA indiquent donc deux chemins différents, ou deux lignes directives différentes, quoiqu’elles n’expriment qu’une même ligne non directive. Des deux extrémités d’un chemin, l’une est le point de départ, ou l’origine ; l’autre est le point d’arrivée, ou le terme. Dans AB, par exemple, l’origine est A, et le terme est B ; dans BA, au contraire, l’origine est B et le terme est A . La droite et la gauche d’un chemin sont la droite et la gauche du spectateur qui, placé à l’origine, regarde le terme. Addition 5. Nous dirons que deux chemins sont de suite, si le terme de l’un est l’origine de l’autre. Ainsi, dans les figures 1, 2, 3 et 4, les deux chemins AB et BC sont de suite, parce que le terme B du premier, est l’origine du second. L’équation AB + BC = AC sera notre principe fondamental. Il ne faut pas s’amuser à discuter sur la rigueur de ce principe ; pour tirer au court, il faut le regarder comme une convention à admettre. On doit admettre cette convention, si elle est utile : or, elle est de la plus grande utilité, puisqu’elle seule peut nous fournir le moyen de suppléer, en Algèbre, à la soustraction. Donc, La somme de deux chemins de suite est le chemin simple qui conduit de l’origine du premier au terme du second ; plus simplement, c’est le chemin qui a même origine que le premier, et même terme que le second. 6. Trois lettres P, Q, R désignant trois points quelconques, on peut faire l’addition des deux chemins PQ, QR, sans voir la figure. En effet, de quelque manière que ces trois points puissent être situés, les deux chemins PQ, QR sont de suite, puisque le terme Q du premier est l’origine du second ; donc leur somme est le chemin PR, qui a même origine P que le premier, et même terme R que le second. Mais non seulement on peut faire de cette manière l’addition de PQ avec QR, on peut tout aussi bien faire celle de PR avec RQ, celle de QR avec RP, etc. En un mot, trois points quelconques P, Q, R donnent de suite 6 équations : PQ + QR = PR , PR + RQ = PQ, QP + PR = QR, QR + RP = QP, RP + PQ = RQ, RQ + QP = RP. Égalité 8. L’égalité n’est pas une relation aussi absolue qu’on pourrait le penser au premier abord. Deux choses sont égales pour tel emploi, si, étant substituées l’une à l’autre dans cet emploi, elles produisent un même effet. Ainsi, deux choses peuvent être en même temps égales et inégales ; égales pour un emploi, et inégales pour un autre. Par exemple, deux pièces de monnaie, de même diamètre, même épaisseur et même forme sont égales pour remplir un espace donné ; mais il ne s’ensuit pas qu’elles soient égales pour payer la valeur d’un objet donné. Pour que deux chemins aient même direction, il n’est pas nécessaire qu’ils soient situés sur une même droite ; il suffit qu’ils soient parallèles et qu’ils conduisent dans le même sens. Pour exprimer que deux chemins ont même direction, nous dirons qu’ils sont concurrents. Pour exprimer que deux chemins ont des directions opposées, nous dirons qu’ils sont opposés. Donc, pour que deux chemins soient égaux, il faut et il suffit qu’ils soient concurrents et qu’ils aient même longueur. Pour exprimer que deux chemins sont opposés et qu’ils ont même longueur, nous dirons qu’ils sont inverses. Addition 9.Proposons-nous maintenant de faire l’addition de deux chemins qui ne sont pas de suite. Soient les deux chemins AB, DE (fig. 1, 2, 3 et 4). Du terme B de l’un, traçons un chemin BC qui ait même direction et même longueur que l’autre. Les chemins AB et BC étant de suite, il est facile de trouver leur somme ; elle est AC. Nous regarderons donc AC comme la somme de AB + DE ; car si DE est égal à BC, il est tout naturel de regarder la somme de AB + DE comme égale à la somme de AB + BC. Le résultat AC que nous venons de trouver, est la somme de AB + DE. Si l’on voulait trouver la somme de DE + AB, il faudrait, du terme E de DE, tracer un chemin EF égal à AB, et prendre DF pour somme. Inverse. Signe –. Car, AB + BA = AA. Or, AA n’est qu’un point ; c’est zéro de chemin ; donc, AB + BA = 0. D’où AB + inverse AB = 0 ; D’où AB + inverse AB = AB – AB… (1) Mais nous avons démontré que le signe –, considéré comme exprimant la soustraction, ne peut pas être admis en Algèbre (no 1) ; il est donc convenable de lui donner quelque autre interprétation, afin de l’utiliser. L’équation ci-dessus (1) nous en fournit le moyen ; nous n’avons qu’à admettre que ce signe – signifiera + inverse. Ou bien encore, nous pouvons admettre que – signifiera simplement inverse, et nous écrirons : AB+–AB = 0. Nous emploierons tantôt l’une et tantôt l’autre de ces deux interprétations ; mais, dans l’un et l’autre cas, l’énoncé sera le même, plus inverse. 14. Il est évident que l’inverse de l’inverse de AB, étant l’inverse de BA, est AB lui-même ; donc Ainsi, la réunion de deux signes – est nulle, et doit être supprimée.
2.1.1.5. Support de production du cours pour la classe inversée
Vous compléterez cette fiche avec vos propres mots. Nom de l’auteur :
Titre du texte et date de publication :
Principe fondamental (ce que l’on est obligé d’admettre) :
Chemins de suite avec des exemples pour 2 ou 3 chemins :
Chemins concurrents :
Chemins opposés :
Chemins égaux :
Chemins inverses :
Additions de deux chemins qui ne sont pas de suite :
2.1.1.6. Support pour le travail de groupe ou à la maison restitué en classe
Questionnement 1.Lire les paragraphes 4, 5 et 6. 2. L’auteur distingue les « chemins » ou « lignes directives et les « lignes non directives ». Comment nommons nous maintenant les « lignes directives » ? Quels symboles permettent de distinguer une « ligne directive AB », et une « ligne non directive AB » ? 3. Au paragraphe 5, l’équation AB + BC = AC est appelée principe fondamental. a. Diriez-vous que c’est une équation ? Pourquoi ? Nous vous conseillons de rechercher l’origine du mot équation. Vous pourrez consulter des dictionnaires et, si vous le pouvez, l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert, référence majeure à la fin du XVIIIe siècle2. b. À quelle relation fait-elle penser ? L’écrire avec nos notations contemporaines. 4. Illustrer par des schémas quelques-unes des égalités proposées au paragraphe 6. 5. Lire le paragraphe 8. a. Actuellement, utilisons-nous les mots « opposé » et « direction » avec la même signification que celle proposée par l’auteur ? b. Essayer d’écrire en langage contemporain : « deux lignes directives sont égales » ; « deux chemins ont même direction » ; « deux chemins sont opposés » ; « deux chemins sont inverses ». Illustrer chaque situation par un schéma. 6. Retour au paragraphe 2 : que propose Mourey pour remplacer la soustraction, dans le cas de voyages ? Donner un exemple de ce qu’il propose en notations contemporaines. 7. Lire le paragraphe 9. L’illustrer par des schémas.
2.1.1.7. Description et analyse des activités
2.1.1.7.1. Système de classe inversée
14Au tout départ, certains élèves voulant poursuivre leurs études en STS ont été sollicités pour effectuer le travail à la maison en laissant 10 jours de délai. Malheureusement, aucun retour écrit n’a été possible. Les arguments invoqués étaient le style et la longueur du texte.
15Il a ensuite été proposé à ces mêmes élèves de faire cette activité en classe lorsqu’ils avaient fini leur travail. Il a été possible alors de revenir sur des points méthodes de recherche d’informations comme le surlignage ou de faire des croquis pour mieux analyser un texte dur à appréhender.
16Quelques élèves ont finalement réussi à finaliser le travail écrit de préparation à la classe inversée mais ne se sentant pas suffisamment à l’aise avec le contenu ont ensuite refusé d’endosser la responsabilité de l’activité auprès de leurs camarades. La deuxième phase de l’activité n’a donc pu être expérimentée.
2.1.1.7.2. Travail de groupe ou à la maison et restitution en classe
17Le texte de Mourey se prête bien à une introduction de la notion de vecteur en Seconde générale, ou une réactivation du concept de vecteur, en Première générale, spécialité mathématiques, où on revient plutôt à la notion de vecteur direction, sens, longueur.
18L’activité proposée est destinée à se réapproprier le vecteur sous cet angle. Les questions pourront être modulées s’il s’agit d’introduire la notion de vecteur.
19Cette activité est riche d’interrogations pour les élèves et un moyen de réveiller les notions sur les vecteurs, et ceci « sans douleur », pour ceux et celles qui en ont un souvenir difficile. Ce peut être aussi une occasion d’entamer une réflexion sur l’évolution du vocabulaire et des notations en mathématiques. Les élèves sont souvent indigné·e·s par exemple sur le « mauvais » emploi du mot inverse ! C’est aussi un moment pour préciser les mots « segments », « distance », « longueur », et ranimer les règles sur opposé d’une somme…
20Le texte permet aussi de se pencher sur la notion d’addition. Ici les objets qui sont additionnés ne sont pas des nombres. On peut mettre en parallèle les chemins de Mourey et leur addition, et la définition traditionnelle du vecteur par les translations, et l’addition par la composée des translations.
21La compréhension de la soustraction comme addition de l’opposé est aussi très riche. Elle est parfois abordée ainsi en collège, mais dans ce nouveau contexte, elle peut trouver un supplément d’âme.
22De la même façon, il pourra être intéressant de proposer aux élèves de chercher les dates de Michel Chasles pour les comparer avec la date (1828) de l’œuvre dont est extrait le texte.
2.1.1.8. Pour aller plus loin
23Il s’agit ici des premières apparitions de ce qu’on appellera plus tard les vecteurs du plan. Cette notion mettra longtemps avant d’être largement répandue. Le concept de vecteur se met en place au XIXe siècle pour répondre à des interrogations mathématiques, et trouve presque instantanément des applications en physique.
24Les notations resteront fluctuantes pendant très longtemps (en particulier la notation ). (L’on pourrait dire qu’elles continuent d’évoluer, les élèves en ont pris conscience avec étonnement.)
25Les grands noms attachés à la création du concept de vecteur sont H. Grassmann, W. R. Hamilton, J. C. Maxwell... Si ce concept met longtemps à s’imposer, les mathématiciens cependant, à chaque pas qu’ils feront dans l’invention des vecteurs, seront émerveillés par les possibilités de ce nouveau calcul et la facilité que cela apporte pour résoudre en une seule fois de nombreux problèmes.
2.1.2. Scénario pédagogique avec Bellavitis
26Niveau : Seconde ou Première générale/Premières professionnelles.
27Présentation : activité d’introduction ou de remédiation sur les définitions ou propriétés d’égalité de vecteurs, d’addition de vecteurs.
28Pré-requis : Dans l’expérimentation proposée l’institutionnalisation avait déjà été faite mais cette activité peut être également envisagée en ayant uniquement comme prérequis la définition d’un vecteur (direction, sens, norme) et sa notation.
29Objectif principal : Cette activité met en lumière comment ont été définis les vecteurs ainsi que leur addition ou leur multiplication par un réel. Ainsi, cette activité pourra permettre à l’enseignant·e d’aborder l’utilité de conventions, ou d’axiomes pour la définition de la somme de vecteurs par exemple.
30Matériel : Texte de Bellavitis dans la traduction de C. A. Laisant 1874.
2.1.2.1. Organisation pédagogique
31Cette activité a été testée en travail de groupe de 3 ou 4 élèves sur 1 heure, en milieu de séquence sur les vecteurs, les différentes notions abordées avaient été vues en cours. Il est possible d’y ajouter une restitution orale d’un ou plusieurs des groupes à l’ensemble de la classe.
2.1.2.2. Dialectique outil/objet
32Bellavitis définit l’objet mathématique équipollence de droites et la multiplication de droites (nous dirions segments orientés) par un nombre positif ou négatif. Ce texte est très proche de ce qui est développé actuellement dans l’enseignement secondaire.
2.1.2.3. Mise en situation
33Introduction par l’enseignant·e. Le mathématicien italien Giusto Bellavitis (1803-1880), écrit ce traité « Exposition de la méthode des équipollences » (Sposizione del metodo delle equipollenze) en 1854. Il sera traduit en français et largement popularisé, par le mathématicien Charles Ange Laisant, en 1874. Bellavitis se préoccupait de donner du sens aux « quantités imaginaires », que nous appelons « nombres complexes ». Vous étudierez peut-être ces nombres. Ce faisant Bellavitis invente une notion qu’il nomme « équipollence », qui donne une vision géométrique à ces imaginaires, sous la forme de « segments orientés », proches de ce que vous apprenez sous le nom de « vecteurs du plan ».
On y considère les droites tracées sur un plan dans des directions quelconques ; puis, les représentant par des notations qui impliquent à la fois la grandeur et la direction, et cherchant à exprimer les relations géométriques qui lient entre elles les différentes parties des figures planes, on arrive à établir un calcul (Calcul des Équipollences) dont les règles sont les mêmes que celles du Calcul algébrique ordinaire Charles Ange Laisant, 1874. Ce n’est pas que de nombreux travaux n’aient été faits dans la même direction. Mais aucun des auteurs qui ont traité ce sujet n’a présenté la méthode avec autant d’étendue que le savant professeur de Padoue, dont les travaux remontent à l’année 1832 ; aucun ne l’a exposée sous une forme aussi simple et aussi bien appropriée au sujet. Jules Houël3, 1869.
2.1.2.4. Étude du texte
Nous indiquerons une droite, comme d’habitude, au moyen des deux lettres qui marquent ses extrémités ; toutefois, on doit remarquer qu’on exprime ainsi, non seulement la grandeur de la droite, mais bien sa grandeur et sa direction à la fois. C’est pourquoi, par exemple, il n’est pas permis de remplacer MQ par QM. Ces deux notations MQ, QM indiquent bien une même droite, mais prise en sens opposés. La confusion de l’une avec l’autre serait pareille à celle d’une quantité positive avec une quantité négative d’égale valeur ; nous verrons, en effet, que MQ est identique avec – QM, et – MQ avec QM. Cette convention est souvent admise dans la géométrie moderne. Pour qu’une droite puisse être substituée à une autre, il ne suffit pas qu’elle lui soit égale ‘c’est-à-dire d’égale grandeur), mais il faut en outre que ces deux droites soient parallèles et dirigées dans le même sens. Deux droites qui ont de telles relations sont dites équipollentes ; et, dans le calcul des équipollences, on peut toujours substituer à une droite une autre qui lui soit équipollente. Ainsi la droite AB (fig. 1) est équipollente à DC, et est seulement égale à EF ;
Fig. 1.
ce qu’on distingue par le moyen de deux signes différents, en écrivant AB DC Et AB = EF […] D’après ce qui précède, se trouve définie la signification d’une équipollence à deux termes seulement, dont chacun renferme une seule droite. Voyons maintenant comment on réunit ensemble plusieurs droites, en tenant compte de leurs grandeurs et de leurs directions ; au résultat de cette opération, nous donnerons le nom de somme géométrique ou de composée équipollente. Pour mieux fixer mes idées, imaginons qu’un voyageur parcoure une ligne brisée OPQR (fig. 2) ; le chemin effectif et utile qu’il aura fait ainsi ne sera point égal à la longueur de la ligne brisée, mais équivaudra à la droite OR, par laquelle il serait également parvenu de O en R ; nous appellerons cette droite OR la somme géométrique de toutes les droites qui constituent la ligne brisée.
Fig. 2.
Nous savons qu’en mécanique une telle somme géométrique exprime la résultante des forces appliquées au point O, et respectivement équipollentes (c’est-à-dire égales, parallèles et dirigées dans le même sens) avec OP, PQ, QR.Pour construire la somme géométrique des droites AB, DC, EF, on mènera par un point O quelconque, la droite OP équipollentes à AB ; puis à la suite PQ équipollente à DC, et QR équipollente à EF ; OR sera la somme géométrique cherchée. Il est facile de démontrer que, dans quelque ordre que l’on dispose les unes à la suite des autres les droites équipollentes aux droites données, on obtiendra toujours la même droite OR. En prenant autrement le point arbitraire O, on trouvera, pour somme géométrique, une autre droite, qui sera toujours équipollente à OR. Si les droites étaient toutes parallèles, leur somme géométrique ne serait autre que leur somme algébrique, obtenue en tenant compte des signes. […] Une droite est dite équipollente à une autre, multipliée par un nombre positif, quand ces deux droites ont entre elles ce nombre pour rapport, et qu’elles sont en outre parallèles et dirigées dans le même sens. Ainsi l’on dira que DN est équipollente à AB multipliée par le nombre positif n, et l’on écrira DN nAB
Question
34Quelles sont les notations ou noms actuels qui n’étaient pas institués à l’époque ? Schématiser au maximum vos propositions.
2.1.2.5. Description et analyse
35Voici les réponses de trois des groupes d’élèves nommés A, B, C.
Figure 1. Extrait de copie de l'élève A.
Figure 2. Extrait de copie de l'élève B.
Figure 3. Extrait de copie de l'élève C.
36Globalement les différents groupes sont bien entrés dans la recherche, des arguments contradictoires ont émergé. Pour les guider, ils ont été incités à schématiser leurs idées, (organisation en colonnes avant et maintenant) et à s’appuyer sur leur cours. Par ailleurs, pour certains élèves en difficulté avec l’objet même de vecteur, cette activité a été une très bonne remédiation.
37Plus spécifiquement, cela a permis d’identifier des notions sur lesquelles il fallait revenir. Par exemple, pour le groupe A, revenir sur la notation (AB) et . Pour le groupe B, revenir sur la relation de Chasles et son tracé ici .
2.1.2.6. Pour aller plus loin
38On pourra faire une comparaison entre les deux auteurs Mourey et Bellavitis dans leurs essais de donner du sens à la notion de quantités imaginaires, et leur façon de faire apparaître des « segments orientés » et la relation dite « de Chasles ». Les élèves pourront mesurer que l’attribution de « noms » aux théorèmes ou principes ne relate pas forcément la paternité (et encore plus rarement la maternité) de l’invention.
40Présentation : Activité d’introduction à l’interprétation géométrique des nombres complexes.
41Pré-requis : Les vecteurs, la forme algébrique des nombres complexes et opérations, la notion d’image vectorielle d’un nombre complexe.
42Matériel : Feuille de recherche GeoGebra si besoin.
2.1.3.1. Organisation pédagogique
43L’activité consiste à faire découvrir au fur et à mesure l’objet mathématique étudié par Argand. La notion de vecteur a de bonne chance d’émerger. L’enseignant·e pourra alors dévoiler le titre de la parution portant sur les imaginaires.
2.1.3.2. Dialectique outil/objet
44La notion de vecteurs n’est pas encore présente chez Argand. Mais ce texte et la figure nous montrent ici que le travail engagé pour expliciter les quantités imaginaires, pour nous la forme trigonométrique des nombres complexes, ouvre sur la représentation vectorielle des nombres complexes actuels. Les vecteurs constituent alors un outil pour les complexes.
45Ce texte peut également être très riche pour faire du tissage entre différents domaines des mathématiques et de la physique. Cela peut permettre aux élèves de prendre du recul vis-à-vis de leurs différents apprentissages et de mieux saisir les liens entre différents objets mathématiques.
46Une phrase de l’extrait « ces lignes pouvant elles-mêmes être l’expression de grandeurs d’une autre espèce » incite à chercher ailleurs par exemple dans les sciences.
2.1.3.3. Mise en situation
47Introduction par l’enseignant·e. Jean-Robert Argand (1768-1822) est considéré parfois comme l’un des fondateurs de la représentation géométrique des nombres complexes4. Il est pourtant un illustre inconnu, simple libraire parisien, lorsqu’il publie son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques, en 1806. C’est le mathématicien Jacques Frédéric Français, qui, convaincu par les idées d’Argand (qu’il ne connaît pas au demeurant), contribuera à leur diffusion dans un article publié en 1813 dans les Annales de mathématiques pures et appliquées (dites Annales de Gergonne)5.
48La manière de représenter les quantités imaginaires (que nous appelons maintenant nombres complexes), vous évoquera peut-être ce que l’on désigne par représentation trigonométrique.
2.1.3.4. Étude du texte
En conséquence de ces réflexions, on pourra généraliser le sens des expressions de la forme … et toute expression pareille désignera, par la suite, une ligne d’une certaine longueur, parallèle à une certaine direction, prise dans un sens déterminé entre les deux sens opposés que présente cette direction et dont l’origine est à un point quelconque, ces lignes pouvant elles-mêmes être l’expression de grandeurs d’une autre espèce. Comme elles doivent être le sujet des recherches qui vont suivre, il est à propos de leur appliquer une dénomination particulière ; On les appellera lignes en directions ou, plus simplement lignes dirigées. Elles seront ainsi distinguées des absolues dans lesquelles on ne considère que la longueur, sans aucun égard à la direction.
Questions
491. Si on fixe un point A, existe-t-il un unique point B correspondant à la « ligne » proposée dans l’article précédent ? Argand utilise-t-il le mot « direction » dans le même sens que nous le faisons actuellement ?
50Vous effectuerez un schéma outillé permettant de justifier votre réponse.
512. Dans le texte d’Argand, nous trouvons la figure suivante, obtenue en partageant le disque de centre K en deux demi-disques, par les points diamétralement opposés A et I, puis en insérant les points E et N, pour obtenir des quarts de disques, et ainsi de suite, en partageant successivement tous les arcs obtenus en deux arcs égaux. Les 16 arcs ici obtenus sont de même longueur, mais le cercle est orienté.
Figure 4. Dessin dans l’Essai d’Argand pour représenter toutes les « directions ».
52Indiquer alors les « lignes dirigées » égales à :
53Justifiez vos réponses.
543. D’après vous, à quelle notion mathématique Argand pourrait-il faire référence dans cette publication ? Justifiez votre réponse.
55Explicitez le lien entre nombre complexe et vecteur.
56Travail interdisciplinaire : Prolongement physique possible avec la dernière phrase du premier paragraphe : « Ces lignes pouvant elles-mêmes être l’expression de grandeurs d’une autre espèce. »
574. À votre connaissance, quelles grandeurs physiques peuvent être modélisées par un vecteur ou un nombre complexe ?
58Vous pourrez vous aider d’internet et valider votre résultat auprès de votre enseignant·e de sciences.
Figure 5. Page de couverture de l’Essai d’Argand, édition 1874.
2.1.3.5. Description et analyse
59Cette activité met en évidence la notion sous-jacente de vecteurs dans les nombres complexes au XIXe siècle. Elle permet également de mieux envisager un complexe x + yJ (ou x + yi) comme représentant d’un vecteur (x ; y) dans un repère.
60Cette activité a été testée en cours dialogué, en prenant support sur un fichier GeoGebra.
61Une discussion s’est créée autour de la question 1, et de la notation « ligne » « expression pareille ».
62La question 2 n’a pas été démontrée ici, juste observée.
63Pour la question 3, la notion de vecteurs est vite apparue en termes de direction, sens, « longueur » (Argand précisera en 1815 que la « longueur » associée à (que nous noterions plus volontiers a + bi) est , et l’appellera module).
64Lors de la question 4, des croisements ont été effectués entre les propriétés opératoires des vecteurs et celles des complexes.
65Par exemple, le titre du texte (Extrait sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques) n’a été dévoilé qu’en fin de parcours.
66Prolongement interdisciplinaire possible sur d’autres « espèces » physiques : nature ondulatoire, vecteur de Fresnel et représentation complexe de phénomènes ; retour sur le vecteur de Fresnel vu en électricité, introduction de la forme complexe des courants alternatifs, ou des sons…
2.2. Les produits vectoriel et scalaire
2.2.1. Scénario pédagogique avec Grassmann
67Niveaux : Première générale, Terminale Bac Pro module complémentaire.
68Recommandations institutionnelles programme de Première générale 2019 :
Histoire des mathématiques : La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparait chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l’élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique. Le calcul vectoriel et le produit scalaire permettent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, sans doute puissante, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calcul.
69Présentation : Activités d’introduction du produit scalaire et aperçu sur le produit vectoriel.
70La notion de produit vectoriel n’est pas au programme de Terminale, mais elle présente un intérêt certain pour la construction des opérations sur les vecteurs.
71Prérequis : vecteurs, trigonométrie.
72Objectif principal : Mettre en évidence la construction de deux opérations sur les vecteurs : le produit scalaire, et une autre, le produit vectoriel comme ouverture pour aller plus loin éventuellement.
73Matériel : pour l’activité expérimentale le logiciel GeoGebra.
2.2.1.1. Organisation pédagogique
74Deux activités d’approches différentes : la première expérimentale pour les Terminales Bac Pro prenant appui sur GeoGebra et l’autre pour les Premières générales en travail de groupe.
2.2.1.2. Dialectique outil/objet
75Grassmann définit le produit linéal (notre produit scalaire actuel). Les autrices ont fait le choix d’aborder rapidement en classe le produit géométrique (actuel produit vectoriel) pour mettre en lumière l’intention des chercheurs : déterminer des opérations sur les vecteurs comme celles sur les nombres réels : addition, soustraction (par addition de l’opposé d’un vecteur), multiplication par un nombre, produit linéal, produit géométrique (produit vectoriel actuel). L’idée sous-jacente à cette démarche est d’introduire un espace d’objets vecteurs et des opérateurs associés.
2.2.1.3. Approche expérimentale à l'aide de GeoGebra
Introduction par l’enseignant·e. Plus connu de ses contemporains comme linguiste, l’œuvre de Hermann Günther Grassmann (1809-1877) touche à la fois à la physique, la botanique, la musique, la cristallographie, la cinématique…, Il enseignera à la fois, le latin, l’allemand, les mathématiques, la physique, la religion, avant de devenir professeur de mathématiques et physique au lycée de Stettin. Hermann Grassmann, mathématicien autodidacte, publie, en 1844, Di Lineale Ausdehnungslehre (La science de la grandeur extensive), première partie6 d’une nouvelle branche des mathématiques qui ne serait pas seulement dans le domaine de la géométrie, mais dont la géométrie serait une application.
Dans l’ouvrage la Théorie des flux et marées (1839-1840) (publié de façon posthume en 1911), on trouve :
Produit géométrique Par produit géométrique de deux segments orientés nous signifions l’aire du parallélogramme déterminé par ces segments en fixant cependant le plan de ces segments. Nous disons que deux aires planes sont géométriquement égales seulement si elles sont égales en grandeurs et situées dans des plans parallèles. Produit linéal7 Par « produit linéal » de deux segments (orientés) nous entendons le produit algébrique de l’un par le projeté orthogonal de l’autre sur lui. Nous choisissons comme signe de la multiplication linéale de telle sorte que par définition ab = ab cos(ab).
Figure 6. Parallélogramme pour illustrer le produit linéal.
2.2.1.4. Étude du texte
Figure 7. Texte original de Theorie der Ebbe und Flut, Hermann Grassmann, 1839.
Consignes portant sur le produit « géométrique »
Expérimentez sur le fichier GeoGebra.
Déterminez les lieux géométriques de E tels que les deux parallélogrammes ABDC et ABFE proposés aient la même aire géométrique.
Figure 8. Aires de parallélogrammes.
Questions portant sur le produit « linéal »
76A. Interrogez-vous sur ce que signifie « segment orienté » ? Quel mot utiliserions-nous plutôt aujourd’hui ?
77Représentez géométriquement un segment orienté c tel que a c = a b.
78B. Caractérisez un segment orienté c tel que a c = – a b.
79Illustrez votre réponse par un schéma.
2.2.1.5. Travail de groupe à partir du texte de De Coriolis
80Introduction par l’enseignant·e. Dans son ouvrage de 1829, « Du calcul de l’effet des machines, ou considérations sur l’emploi des moteurs et sur leur évaluation », l’ingénieur Gustave-Gaspard de Coriolis (1792-1843), invente le concept de travail d’une force, afin de pouvoir comparer l’efficacité et le rendement des machines, éventuellement par rapport à des travaux non mécanisés (par exemple celui des hommes ou des animaux de trait).
81Il considère un point matériel en mouvement soumis à une force, et s’intéresse au chemin parcouru.
82Examinons ce qui peut se passer.
83Il note F la force, et ds une infiniment petite portion du chemin à parcourir. (Ce qu’en mathématique on appelle un infiniment petit. La ligne à parcourir est la somme de ces infiniment petits8).
84Voici un schéma pour mieux comprendre.
Figure 9. Schéma illustratif de la notion de travail.
85La trajectoire est considérée comme une succession d’une infinité de « segments » ds, infiniment petits. Le ds infiniment petit dirige la tangente à la trajectoire. Vous pourrez vous référer à la notion de dérivée et de tangente à une courbe.
86Voici plusieurs situations, où nous imaginons que A est un point « matériel » assigné à ne se déplacer que dans la direction ds, de A vers B.
Figure 10. Effet d’une force, suivant sa direction, sur une trajectoire.
Questions
87À votre avis dans la situation 3 quel sera le mouvement du point ? La force sera-t-elle efficace pour avancer sur le chemin ds ?
88Entre les situations 1 et 2 quelle sera la force la plus efficace ?
89Gustave de Coriolis proposera de décomposer la force appliquée en deux composantes, l’une perpendiculaire à la direction du mouvement, l’autre dans la direction même du mouvement.
Figure 11. Décomposition d’une force.
90Il définit alors le travail de la force F comme étant le produit Pds. Nous noterons que la notion de vecteur n’existe pas encore, mais il y a bien sûr clairement la notion de sens et de direction d’un mouvement. Pour la même raison, une force n’est pas modélisée par un vecteur, mais il y a le point d’application, l’intensité, la direction et le sens.
Désignons par P la première composante, dans le sens de la tangente au mouvement, ds étant le petit arc décrit, il s’ensuivra que le travail élémentaire dû à chaque force sera le produit Pds. Il faudra distinguer celles des composantes P qui tombent en sens contraire de l’arc décrit ds, c’est-à-dire celles qui proviennent de forces dont les directions font des angles obtus avec les arcs, et prendre négativement les produits Pds.
Figure 12. Force contraire au sens de ds.
91Un peu plus loin, nous trouvons :
Il est bon de remarquer que si F est la force dont P est la composante dans le sens de l’arc décrit ds, et si δ est l’angle que fait cette force avec cet arc ds, on aura P = F cos δ, et par suite P ds = F cos δ ds.
Figure 13. Influence de l’angle de la force par rapport à la trajectoire.
92Êtes-vous d’accord avec cette égalité ?
2.2.1.6. Aller plus loin avec Grassmann
93Introduction par l’enseignant·e. En 1839, Hermann Grassmann, écrit un petit texte : Theorie der Ebbe und Flut (Théorie des flux et marées). Ce texte a certes des visées « mécaniques », mais il y livre des nouveaux principes mathématiques. Partant de la figure d’un parallélogramme, dont les côtés seraient des segments orientés, il définit « le produit linéal » de deux segments orientés.
Figure 14. Parallélogramme pour le produit linéal.
Par « produit linéal » de deux segments (orientés) nous entendons le produit algébrique de l’un par le projeté orthogonal de l’autre sur lui. Nous choisissons comme signe de la multiplication linéale de telle sorte que par définition ab = ab cos(ab). Theorie der Ebbe und Flut (1839-1840) (Théorie des flux et marées publié en 1911).
Consigne
94Comparez cette définition à celle du travail d’une force telle que définie par de Coriolis.
95Commentaire de l’autrice. Ici les rôles des segments orientés a et b sont absolument symétriques, donc le produit linéal est commutatif. Alors que bien sûr ce n’était pas le cas pour une force F et un petit segment parcouru ds, a priori de natures différentes. Leurs rôles sont dissymétriques.
96C’est la définition de Grassmann qui sera retenue en mathématiques et qui sera nommée le produit scalaire des deux segments orientés a et b ; puis plus tard des deux vecteurs et .
97Mais le travail d’une force pour déplacer un point matériel de A vers B est le produit scalaire .
2.2.1.7. Description et analyse
Activité expérimentale
98Travail programmé à la maison, réalisé en correction par un élève au tableau sur GeoGebra, puis discuté avec l’ensemble du groupe. Au préalable, le parallèle avec le travail d’une force avait été fait (voir partie Mathématiques et sciences). Concernant le « produit linéal », ces élèves de spécialité gros œuvre, travaux publics ont tout de suite fait référence à l’action de forces sur un déplacement.
Activité de recherche en travail de groupe
99Cette activité donne une vision de la relation originelle entre mathématiques et physique au sujet des vecteurs et du produit scalaire. On pourra faire remarquer aux élèves la définition non symétrique du travail mettant en jeu deux grandeurs différentes : force et segment orienté. Puis on pourra faire envisager le produit scalaire comme une généralisation mathématique symétrique prenant en charge deux vecteurs.
100La notion de travail a été reconnue après coup comme un « produit scalaire ».
Support d’activité complémentaire
101On pourra s’intéresser à la notion d’aire algébrique définie par Peano (1858-1932). Il pose : ABC = – ACB pour exprimer que les triangles n’ont pas le même sens mais que les aires (géométriques) sont les mêmes. Ceci permettra aussi de mettre en relation le produit vectoriel et la « règle du bonhomme d’Ampère ».
Figure 15. Figures orientées.
2.2.2. Scénario pédagogique avec Weatherburn
102Niveaux : Première générale, Terminale Bac Pro module complémentaire.
103Présentation : Activités de réinvestissement du produit scalaire, pour aller plus loin.
104Prérequis : vecteurs et produit scalaire.
105Objectif principal : Faire le lien entre mécanique, mathématique sur un support écrit en anglais. Cela nécessite de :
Rechercher des informations dans un texte en anglais ;
Bien identifier les liens développés ici par Weatherburn entre sciences physiques et mathématiques ;
Analyser ;
Associer à la règle de distributivité d’une opération ici le produit scalaire vis-à-vis de l’addition de vecteurs.
2.2.2.1. Organisation pédagogique
106Cette activité peut permettre de donner du sens aux différentes disciplines et de mettre en valeur les capacités de l’élève sur une problématique réelle complexe.
107Par ailleurs, cet exercice met en lumière l’obstacle épistémologique que les élèves devront passer pour aborder la commutativité du produit scalaire. En effet, physiquement, le calcul du travail n’est pas une opération commutative car le chemin et la force ne sont pas des grandeurs interchangeables alors que le produit scalaire l’est.
2.2.2.2. Dialectique outil/objet
108L’accent est mis ici sur la notion d’opérations sur les objets vecteurs. L’activité est construite pour mettre en évidence les similarités et les différences avec les opérations algébriques dans l’ensemble des nombres réels. Les vecteurs sont alors des éléments d’un ensemble sur lequel on définit des opérations.
2.2.2.3. Mise en situation
109Introduction par l’enseignant·e. Charles Ernest Weatherburn (1884-1974) est un mathématicien australien. Son ouvrage Elementary vector analysis with applications to geometry and physics publié en 1921 fut réimprimé 14 fois, avant une révision en 1955.
110Voici une note9 de lecture parue sur son ouvrage à sa sortie :
The author’s object in this book is to present the simpler portions of vector analysis and to apply them to portions of mechanics. He adheres to the notation of Gibbs10. He gets as far as differentials and integrals, but does not bring in the notions of curl, convergence, and other ideas that belong to the general study of fields. The definitions are geometric for the scalar and the vector products, the vectors being always thought of as lines, or geometric vectors.
2.2.2.4. Étude du texte
Questions
A. Quel parallèle physique fait Weatherburn avec le vecteur somme mathématique ?
B. D’après ce texte et vos connaissances mathématiques, pouvez-vous faire un lien entre produit scalaire actuel et travail ?
C. Voici trois propriétés possibles pour une opération :
a. Dans ce texte, Weatherburn fait référence à deux d’entre elles, lesquelles ? Justifiez vos choix en citant les extraits concernés.
b. Parmi les deux propriétés citées, quelle est celle qui diffère entre le produit de nombres réels et le produit scalaire ? Justifier vos réponses.
c. En prolongement : la propriété qui n’a pas été abordée ici, est-elle commune au produit de nombres réels et au produit scalaire de deux vecteurs ?
Commutativité
Une opération T est dite commutative si et seulement si aTb = bTa
La « règle du produit nul »
Si aTb = 0 alors a = 0 ou b = 0
Distributivité
Une opération T est dite distributive sur une autre opération • si et seulement si aT(b•c) = aTb • aTc
Notes de bas de page
1 Extraits issus du facsimilé du texte de C. V. Mourey, IREM de Dijon, 1992.
3 Jules Houël (1823-1886) est un mathématicien français.
4 Comme souvent en mathématiques des idées sont dans l’air, pour répondre à certaines interrogations. Vous pourrez faire des recherches par exemple sur le danois Caspard Wessel, qui avait écrit en 1797 un essai sur la représentation analytique de la direction, mais qui resta inconnu jusqu’à la fin du XIXe siècle.
5Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4, 1813, J. F. Français, « Philosophie mathématique. Nouveaux principes de géométrie de position et interprétation géométrique des symboles imaginaires », p. 61-71, et J. R. Argand, « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques », p. 133-147. [En ligne], URL : http://www.numdam.org/item/AMPA_1813-1814__4__133_0.pdf
7 Nous adoptons ici la traduction de Dominique Flament qui nous a semblé judicieuse, plutôt que linéaire souvent employée.
8 Note à l’intention des enseignantes et enseignants : au niveau de la classe Terminale, il sera possible de faire un prolongement avec le calcul intégral. Au niveau de la classe de Première, le « ds » peut donner aussi l’occasion de faire un parallèle entre physique et maths, à propos de la notion de dérivée.
9 James Byrnie Shaw, Bulletin of American Mathematical Society, 29 (1923), p. 233.
10 Willard Gibbs (1839-1903) mathématicien américain. Voir la chronologie.
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3 Jules Houël (1823-1886) est un mathématicien français.
4 Comme souvent en mathématiques des idées sont dans l’air, pour répondre à certaines interrogations. Vous pourrez faire des recherches par exemple sur le danois Caspard Wessel, qui avait écrit en 1797 un essai sur la représentation analytique de la direction, mais qui resta inconnu jusqu’à la fin du XIXe siècle.
5Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4, 1813, J. F. Français, « Philosophie mathématique. Nouveaux principes de géométrie de position et interprétation géométrique des symboles imaginaires », p. 61-71, et J. R. Argand, « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques », p. 133-147. [En ligne], URL : http://www.numdam.org/item/AMPA_1813-1814__4__133_0.pdf
7 Nous adoptons ici la traduction de Dominique Flament qui nous a semblé judicieuse, plutôt que linéaire souvent employée.
8 Note à l’intention des enseignantes et enseignants : au niveau de la classe Terminale, il sera possible de faire un prolongement avec le calcul intégral. Au niveau de la classe de Première, le « ds » peut donner aussi l’occasion de faire un parallèle entre physique et maths, à propos de la notion de dérivée.
9 James Byrnie Shaw, Bulletin of American Mathematical Society, 29 (1923), p. 233.
10 Willard Gibbs (1839-1903) mathématicien américain. Voir la chronologie.
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Référence numérique du chapitre
Format
Boyé, A., & Berthelot-Lepage, M. (2023). 2. Activités pédagogiques histoire des mathématiques. In Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Besançon: Presses universitaires de Franche-Comté. https://doi.org/10.4000/books.pufc.52501
Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. « 2. Activités pédagogiques histoire des mathématiques ». In Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Besançon: Presses universitaires de Franche-Comté, 2023. doi:10.4000/books.pufc.52501.
Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. « 2. Activités pédagogiques histoire des mathématiques ». Histoires de vecteurs et de produit scalaire, Presses universitaires de Franche-Comté, 2023, https://doi.org/10.4000/books.pufc.52501.
Référence numérique du livre
Format
Boyé, A., & Berthelot-Lepage, M. (2023). Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Besançon: Presses universitaires de Franche-Comté. https://doi.org/10.4000/books.pufc.52416
Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Besançon: Presses universitaires de Franche-Comté, 2023. doi:10.4000/books.pufc.52416.
Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Presses universitaires de Franche-Comté, 2023, https://doi.org/10.4000/books.pufc.52416.