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  • 1. Jalons historiques
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    Plan

    Plan détaillé Texte intégral 1.1. Les mots 1.2. Genèse du concept de vecteur 1.3. XIXe siècle : la notion de vecteur 1.4. La notion de vecteur dans l’enseignement 1.5. Tableau chronologique Notes de bas de page

    Histoires de vecteurs et de produit scalaire

    Ce livre est recensé par

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    Table des matières

    1. Jalons historiques

    p. 15-45

    Texte intégral 1.1. Les mots 1.1.1. Origine du mot « vecteur » 1.1.2. Origine des mots « scalaire » et « produit scalaire » 1.2. Genèse du concept de vecteur 1.2.1. L’influence des idées sur la composition des forces dans le domaine de la mécanique 1.2.2. La représentation géométrique des quantités imaginaires 1.3. XIXe siècle : la notion de vecteur 1.3.1. Les quaternions de William Rowan Hamilton (1805-1865) 1.3.2. La Théorie de l’extension de Hermann Günther Grassmann (1809-1877) 1.3.3. Entre-temps… la théorie des équipollences de Giusto Bellavitis (1803-1880) 1.3.4. Et l’invention de la notion de travail d’une force, par de Coriolis (1792-1843) 1.4. La notion de vecteur dans l’enseignement 1.4.1. Le point de vue de Charles Ange Laisant 1.4.2. Les notions de vecteurs dans l’enseignement secondaire au XXe siècle en France 1.5. Tableau chronologique Notes de bas de page

    Texte intégral

    1.1. Les mots

    1Les mots des mathématiques résonnent parfois étrangement aux oreilles des élèves ; les enseignantes et enseignants ont souvent oublié ces premières difficultés qu’elles et ils ont probablement connues. La recherche de l’origine des mots dessine souvent déjà une première esquisse historique.

    1.1.1. Origine du mot « vecteur »

    2Voici ce que nous trouvons dans une publication numérique du CNRS, le Centre National des Ressources Textuelles et Lexicales (CNRTL)1 :

    Figure 1. Étymologie du mot vecteur, CNRTL.

    VECTEUR, -TRICE, subst. masc. et adj. Étymol. et Hist. A. 1. 1596 « conducteur d’un bateau ou d’une voiture » (Hulsius); 2. 1752 (Trév.: Vecteur. s.m. Qui porte, qui entraîne. Les Tourbillons vecteurs des planètes); 3. 1760 rayon vecteur « rayon qui va du centre d’un astre à un satellite » (Paulian, Dict. de phys. portatif, s.v. rayon); 4. a) 1910 « hôte d’un agent infectieux qui le transmet en parasitant un être vivant » (Brumpt, Parasitol., p. 113);
    b) 1928 plus gén. « transmetteur d’agent infectieux » (Teissier, Duvoir ds Nouv. Traité Méd. fasc. 2, p. 88); 5. 1922 empl. adj. substance vectrice (Policard, loc. cit.); 1925 « ce qui conduit, qui transporte quelque chose » (E. Perrier, Zool., t. 3, p. 2820); 6. 1936 « ce qui transmet un message, une donnée abstraite » (Wicart, Orateur, t. 1, p. 241); 7. 1962 « engin permettant le transport d’une bombe atomique à son point de chute » (Goldschmidt, loc. cit.). B. 1862 math. (Allégret, Thèse sur le calcul des quaternions de M. Hamilton, Paris, Thunot, p. 24). Empr. au lat.vectŏr, -ōris « celui qui transporte », dér. de vehĕre « transporter, porter ». Pour le sens B le terme a été introd. par l’intermédiaire de l’angl. vector utilisé en math. (1846, W. R. Hamilton ds NED Suppl.2) d’apr. son usage en astron. (1704 ds NED).

    © 2013 - ATILF / CNRS / Nancy Université.

    3Nous retiendrons ici la référence aux travaux de William Rowan Hamilton (1805-1865), qui donnera le nom de « vector », traduit en français par « vecteur », à une partie d’un quaternion, la partie imaginaire2. Nous reviendrons sur cette invention qui est liée de façon directe à la naissance de ce qui deviendra le produit scalaire. Le terme « vecteur » ou « vector » est probablement issu de son usage en astronomie sous la forme « rayon vecteur », que nous trouvons dès le XVIIe siècle3. Une majorité des scientifiques, dont Hamilton, s’intéressaient de façon plus ou moins prégnante à cette science.

    1.1.2. Origine des mots « scalaire » et « produit scalaire »

    4Le mot « scalaire », provient du mot anglais « scalar », qui dérive lui-même du mot latin « scala », échelle. Le mot scalar apparaît pour la première fois en 1844 sous la plume de Hamilton, mentionné plus haut, dans son article On quaternions, puis en 1846, dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, pour désigner la partie réelle d’un quaternion.

    […] then we give the name of scalars to all numbers of the kind called usually real, because they are all contained on the one scale of progression of number from negative to positive infinity […]
    W. R. Hamilton, 18464

    5C’est de fait l’invention de « la droite des réels ». Les nombres « 3 », ou , ou –5,7 sont représentés par un point d’une droite (orientée), et ce ne sont plus des segments vers la droite pour les positifs, vers la gauche pour les négatifs, à partir d’une origine, dont les mesures seraient respectivement « 3 », «   », « 5,7 ».

    6Le mot scalaire n’est pas réservé aux mathématiques. Le hasard de nos recherches nous a menées à des coquillages, les Scalaires précieuses, et des poissons, les poissons scalaires ! Il y a peut-être d’autres objets, plantes ou animaux qui ont ce qualificatif, pour rappeler tout simplement leur lien avec une échelle ou une forme d’escalier.

    Figure 2. Une scalaire précieuse.

    © Steve Jurvetson / CC BY 2.0.

    Figure 3. Des poissons scalaires.

    © Citron / CC BY-SA 3.0.

    7Le mot « produit scalaire » provient de la partie réelle du produit de deux vecteurs de deux quaternions, sur lequel nous reviendrons. C’est William Kingdon Clifford (1845-1879) qui le définira sous sa forme actuelle, en 1878, dans Elements of Dynamic5.

    8Ces premières recherches indiquent quelques directions que nous allons approfondir.

    1.2. Genèse du concept de vecteur

    9Il est traditionnel de considérer trois grandes origines pour le concept de vecteur6 :

    1. la quête d’une « réalité tangible » pour les quantités imaginaires7, qui mènera à une représentation géométrique de ces quantités, au début du 19e siècle, avec la notion de « direction », nous dirions de segments orientés ;
    2. les recherches de G. W. Leibniz sur une possibilité de calculer directement sur les figures et les éléments de géométrie sans passer par des intermédiaires algébriques, étrangers à la géométrie, ainsi que l’on opérait par exemple dans la géométrie de Descartes ;
    3. les idées sur la composition des forces ou des vitesses dans le domaine de la mécanique.

    Figure 4. Origines.

    10Nous retrouvons en (1) et (3) les deux origines privilégiées respectivement par Bourbaki et Jean Rosmorduc.

    1.2.1. L’influence des idées sur la composition des forces dans le domaine de la mécanique

    11Intéressons-nous à ce point de vue en consultant quelques ouvrages fondateurs.

    12D’abord dans l’œuvre de Simon Stevin (1548-1620).

    13Le Flamand Simon Stevin, exilé en Hollande, est mathématicien, inventeur, ingénieur… Il est souvent cité pour son ouvrage « La Disme », de 1585, où il propose un système de notation décimale pour les nombres. Il a eu une carrière reconnue d’ingénieur, construisant des moulins à vent, des écluses, des ports, des fortifications, notamment un char à voile qui permettait de se déplacer plus vite qu’à cheval.

    14Il n’est pas moins connu pour son apport à la statique, approchant la notion de force, et dégageant les notions d’équilibre stable ou instable. Il produit, entre autres « L’Art Pondéraire ou de la Statique » en 1586, qu’il traduit lui-même en français, la même année.

    Figure 5. Œuvres de Simon Stevin.

    © BnF / Gallica et CC PD-Mark 1.0.

    15Les représentations ci-dessous sont extraites de l’édition française de ses œuvres complètes de 16348.

    16Les deux premières se trouvent dans La Statique, et la troisième dans la « Première partie de l’adjonction de la Statique traitant de la Spartostatique ou de l’Art pondéraire par cordages ».

    Figure 6. Images de La Statique de Simon Stevin, 1634 (édition française).

    17Nous « lisons » sur les deux dernières images ce que nous appelons le triangle des forces, donnant la règle du parallélogramme, qui sert à trouver la résultante d’un système, donc l’équilibre. Le mot « force » n’est pas vraiment utilisé par Stevin. Et dans tous les cas, les petites mains nous donnent vraiment envie de mettre des flèches, sauf qu’il n’y en a pas.

    18Parcourant quelques années nous trouverons sur notre chemin Pierre Varignon (1654-1722). Ce père jésuite, est un mathématicien français auteur d’importantes contributions à la statique. Correspondant avec Newton, Leibniz et surtout les frères Jacques et Jean Bernoulli, il fut l’un des promoteurs en France, avec le marquis de l’Hospital, du calcul différentiel et intégral, qu’il appliqua à la cinématique, en s’appuyant sur une définition de la vitesse instantanée (qui sera assez rapidement adoptée). Son nom est un peu connu des élèves de collège et lycée par un théorème qui porte son nom : la figure obtenue en joignant les milieux des côtés d’un quadrilatère quelconque est un parallélogramme. Nous nous intéressons ici à sa contribution à la statique, à travers un ouvrage de 1687 qui lui valut une reconnaissance immédiate : le « Projet d’une nouvelle méchanique avec un examen de l’opinion de M. Borelli sur les propriétés des Poids suspendus par des cordes9 ».

    19Dans la dernière partie P. Varignon examine et démonte les idées de Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) qui était très critique de Stevin. Varignon défend et démontre, en particulier, le principe de composition des forces concourantes selon la règle du parallélogramme.

    Figure 7. Pierre Varignon, Projet d’une nouvelle méchanique, 1687.

    © BnF / Gallica.

    Figure 8. Jugement de Pierre Varignon sur Monsieur Borelli.

    20Et nous continuerons avec Charles Louis Camus (1699-1768).

    21Il est l’auteur, en 1752, d’un « Cours de mathématiques à destination des ingénieurs », qui comprend trois parties : « élémens d’arithmétique, élémens de géométrie théorique et pratique, élémens de méchanique statique ».

    22C’est bien sûr ce dernier qui nous a intéressées.

    23Dans le tome 2 de ce livre III, au chapitre intitulé « De la machine funiculaire », nous trouvons la figure suivante, illustrant le problème ainsi énoncé10 :

    Trois puissances P, Q et R sont appliquées à trois cordons AP, AQ, AR assemblés par un nœud A, étant en équilibre ; trouver en quels rapports sont ces trois puissances, lorsque les directions de leurs cordons sont données.

    24Qui va se réduire « à trouver sur les directions connues des deux puissances P, Q deux parties AB, AC qui puissent exprimer deux forces dont la résultante soit représentée par AF ».

    Figure 9. Élémens de Mechanique Statique, Charles Louis Camus, 1752.

    25Il est possible de composer deux ou plusieurs forces, il est possible aussi de décomposer une force en deux (ou plusieurs).

    26Nous faisons quelques pas dans le passé de C. L. Camus, pour retrouver Isaac Newton (1642-1727) et son ouvrage fondateur paru en 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Nous le consultons dans la traduction française de Madame la Marquise du Châtelet, « Principes mathématiques de philosophie naturelle11 ».

    27La règle du parallélogramme pour la composition des forces apparaît de façon précise dans le corollaire II, de la première section où sont énoncées les définitions et les lois.

    Figure 10. Principes mathématiques de philosophie naturelle, I. Newton traduit par Madame la Marquise du Châtelet, p. 19.

    28Le corollaire précédent est appliqué par exemple à la recherche de la trajectoire d’un corps soumis à deux forces, dont l’une centripète, qui va permettre de démontrer ici la loi des aires.

    Figure 11. Proposition 1 seconde section, p. 49.

    © BnF / Gallica.

    29Newton dans ces Principia, dont nous notons qu’ils sont presque contemporains du « Projet » de P. Varignon, apporte une autre dimension au concept de forces. Beaucoup de choses, y compris la définition de ce qu’est une force étaient restées floues. Il éclaircit les rapports entre composition des forces, des vitesses, introduisant de façon presque explicite la notion de direction et sens. Et nous reconnaissons la modernité, à la fois dans le dessin et dans la pensée, par rapport aux auteurs précédents. Nous pourrions donc dire, en référence aux auteurs cités en introduction, que « la composition des forces et des vitesses renfermaient bien en germe le calcul vectoriel » et que « la mécanique était porteuse du concept de vecteur. » Restait-il seulement à l’expliciter ?

    30Nous sommes habitué·e·s à « voir » des vecteurs dès qu’il y a force ou compositions de forces. Il ne faut pas s’y méprendre. Ni chez Simon Stevin, ni chez Isaac Newton il n’y a de notion de vecteurs au sens contemporain du terme. Cependant, de façon évidente, les mathématiciens12 des XVIIIe et XIXe siècles sont nourris de ces images ; la mécanique, l’étude des mouvements, l’astronomie… influencent en permanence leur questionnement et leurs inventions mathématiques.

    1.2.2. La représentation géométrique des quantités imaginaires

    31Autant nous sentions bien le lien de parenté entre les forces en mécanique et les vecteurs que nous enseignons, autant il peut sembler étrange de mêler à cette histoire les nombres complexes. Et pourtant !

    32L’invention par Raffaele Bombelli (1545-1572) au XVIe siècle, d’un objet mathématique dont le carré vaut –1, semble a priori fort éloignée de la notion de vecteur. Depuis cette invention, ces objets qui allaient être appelés « imaginaires » par René Descartes (1596-1650), avaient trouvé leur place dans le monde mathématique. Ils étaient très utiles à plus d’un titre. Mais qui étaient-ils exactement ? Ce n’étaient pas des nombres, puisqu’ils ne pouvaient mesurer aucune grandeur13. Quel sens pouvait-on leur donner ?

    33Rappelons que, dans son « Algebra », paru en 1572, Raffaele Bombelli avait osé ce que Jérôme Cardan avait seulement suggéré, pour résoudre les équations de degré 3 en appliquant les « formules » dites de Tartaglia-Cardan, au cas, en particulier, où elles ont trois solutions réelles14.

    34Pour résumer un peu cette histoire, Cardan avait démontré que toute équation algébrique de degré 3 pouvait se ramener à une équation sans terme en x2. Autrement dit, ce que nous écririons :

    x3 + bx2 +cx + d = 0 se ramenait à x3 + Bx + C = 0

    ou plutôt à trois cas :

    x3 + px = q

    x3 + q = px

    x3 = px + q

    où p et q étaient des réels positifs. (Pas de négatifs, et prudence avec = 0 ; « égal à rien » a peu de sens).

    Les « formules » établies par Tartaglia puis Cardan permettaient de trouver une solution que nous écririons pour le 3e cas :

    35Ce qui bien sûr n’est calculable que si .

    36Or, par exemple dans l’équation x3 = 15x + 4, ceci n’est pas réalisé et on obtiendrait une solution égale à .

    37Bombelli propose d’accepter que quelque chose ait pour carré –1, il le nomme piu di meno et en donne les règles de calcul, comme si c’était un nombre.

    38Ce qui est écrit précédemment donne alors une solution réelle : 4.

    Figure 12. L’équation « cruciale », dans l’Algebra de R. Bombelli.

    39Rapidement, piu di meno sera noté . Et non moins rapidement les solutions du type a + b seront écrites et mentionnées sans que l’on sache trop quoi en faire, si ce n’est qu’elles sont très utiles, d’abord pour arriver très simplement à des résultats « réels », comme dans la résolution précédente, mais pour aussi s’assurer par exemple que la résolution de l’équation est achevée, puisque l’on commence à admettre ce qui deviendra le « théorème fondamental » de l’algèbre. C’est ce qu’écrit le mathématicien Albert Girard (1595-1632), dans son « Invention nouvelle en Algèbre », en 1629 : « Toutes les équations reçoivent autant de solutions que la dénomination de la plus haute quantité le démontre15. […] Donc il faut se souvenir d’observer toujours cela : on pourrait dire à quoi servent ces solutions qui sont impossibles, je réponds pour trois choses, pour la certitude de la règle générale et qu’il n’y a point d’autres solutions et pour son utilité […]. Ainsi qu’on peut donner trois noms aux solutions, vu qu’il y en a qui sont plus que rien, d’autres qui sont moins que rien et d’autres enveloppées, comme celles qui ont des , comme des . »

    40Les racines négatives des équations sont « fausses » et celles-ci seront imaginaires16.

    41Mais les vecteurs ? Où sont-ils dans cette histoire ?

    42Les mathématiciens recherchent déjà une signification pour les quantités négatives qui apparaissent inévitablement. A. Girard déjà écrivait : « La solution par moins s’explique en géométrie en rétrogradant, et le moins recule là où le plus avance ».

    43Cela semble d’une évidence élémentaire pour un esprit du XXIe siècle. Il faudra un certain temps pour que ce soit communément admis.

    44Et les imaginaires !

    45À la fin du XVIIIe siècle et au début du XIXe siècle, la question est donc de trouver une représentation géométrique de ces quantités, ce qui est la seule façon, alors, de leur donner une certaine réalité tangible. C’est devenu une nécessité pour continuer. Le mathématicien C. V. Mourey17 l’exprime très bien dans un ouvrage marquant du début du XIXe siècle :

    Tous les mathématiciens qui pensent et qui sont de bonne foi conviennent que la théorie des quantités négatives est loin d’être satisfaisante. Mais s’il en est ainsi des quantités simplement négatives, que doit-on dire des imaginaires ? […] Il reste une difficulté qui est grande pour tout esprit exact : c’est qu’on applique à des figures qui n’expriment rien, des transformations, des règles et des équations qui n’ont été démontrées que pour les formules qui expriment des quantités18.

    46L’idée d’introduire une « direction » en géométrie est fortement présente.

    47L’histoire des mathématiques est loin d’être linéaire, il y a des bifurcations, des cheminements parallèles, et des moments de rencontres… C’est ce qui est arrivé sur les imaginaires. Probablement parce que les questions étaient pressantes. Nous nous écarterions trop de notre domaine si nous entrions dans le détail du foisonnement des contributions sur le sujet en ce début du XIXe siècle, dues souvent à des presque inconnus. L’histoire cependant permet d’aborder avec les élèves ce qu’est l’invention mathématique. Ce cheminement de la « logique des forces19 » pour reprendre un titre connu, vers les vecteurs, permet d’enrichir à la fois la culture scientifique et l’activité mathématique proprement dite.

    48Parmi ces contributions, nous avons choisi celle de Jean-Robert Argand, car elle se prête bien à des activités avec les élèves.

    49Jean-Robert Argand (1768-1822) est considéré parfois comme l’un des fondateurs de la représentation géométrique des nombres complexes20. Il est pourtant un illustre inconnu, simple libraire parisien, lorsqu’il publie son « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques », en 1806. C’est le mathématicien François Français (1768-1810), qui contribuera indirectement à leur diffusion. Son frère Jacques Fréderic, à partir d’une lettre retrouvée chez François après sa mort, publiera en 1813 un article, dans les « Annales de mathématiques pures et appliquées » (dites Annales de Gergonne)21 sur les résultats d’Argand, qui se fait alors connaître.

    50Constatant que dans de nombreuses situations les quantités négatives peuvent être imaginaires (comme avoir une fortune négative de –100 francs), mais que l’on peut en donner une représentation géométrique, en introduisant une idée de direction. « Le rapport des directions ou sens » auxquelles les quantités appartiennent sera « l’identité ou l’opposition ».

    51Imaginons que l’on veuille déterminer la moyenne proportionnelle entre +1 et –1, donc x tel que :

    On est arrêté ici comme on l’a été en voulant continuer au-delà de 0 une progression arithmétique décroissante, car on ne peut égaler x à aucun nombre positif ou négatif. Mais puisqu’on a trouvé plus haut que la quantité négative, imaginaire lorsque la numération était appliquée à certaines espèces de grandeurs, devenait réelle lorsque l’on combinait d’une certaine manière l’idée de grandeur absolue avec l’idée de direction, ne serait-il pas possible d’obtenir le même succès relativement à la quantité dont il s’agit, quantité réputée imaginaire par l’impossibilité où l’on est de lui assigner une place dans l’échelle des quantités positives ou négatives22 ?

    52Et voici la représentation qu’il propose.

    Figure 13. Représentation des imaginaires, par J. R. Argand.

    53K est un point fixe, l’unité positive est la ligne KA, notée , pour indiquer qu’il y a une direction de K vers A, l’unité négative sera , KE, perpendiculaire à KA, représente « géométriquement » la moyenne proportionnelle entre KA et KI, donc sera une représentation de , et la direction opposée représentera .

    54De proche en proche on pourra insérer des « moyennes proportionnelles entre les quantités déjà représentées ». Il suffit pour cela de diviser les angles en parties égales.

    55Nous sommes clairement dans un contexte mathématique, mais pour mieux faire saisir ses propos, Argand va prendre au départ au moins, ses images dans la mécanique et le concept de force.

    On peut, pour aider les idées à se fixer, considérer un cas particulier, comme, par exemple, si l’on désigne par une force déterminée prise pour unité, et dont l’action s’exerce sur tous les points possibles, parallèlement à KA et dans le sens de K à A, cette unité pourra être exprimée par une ligne parallèle à KA, prise à partir d’un point quelconque. L’unité négative sera une force égale en action, et dont l’effet a lieu parallèlement à la même ligne, mais dans le sens de A à K, et pourra pareillement être exprimée par une ligne partant d’un point quelconque, laquelle sera prise en sens contraire à la précédente.

    56Vous trouverez un peu plus loin quelques propositions à destination des élèves, construites à partir de textes de Jean Robert Argand (1768-1822), ou de C. V. Mourey, comme celui qui suit :

    Avec un nouveau système d’algèbre que je cherchais, j’ai trouvé un nouveau système de géométrie, auquel je ne m’attendais pas. Ce ne sont cependant pas deux sciences ; ce n’est qu’une seule science, une seule théorie, laquelle a deux faces, l’une algébrique, et l’autre géométrique. C’est une algèbre émanée de la géométrie ; c’est une géométrie généralisée et rendue algébrique23.

    57Nous sommes très proches de la notion de vecteur du plan. Lors de la deuxième édition de l’ouvrage d’Argand, en 1874, Jules Houël écrivait :

    Les idées d’Argand furent le point de départ de la théorie des quaternions de Hamilton. […]Le livre du modeste savant genevois contient le germe de plusieurs recherches […]auxquelles l’avenir réserve peut-être un grand rôle, parmi lesquelles il suffira de citer celles de Möbius, de Bellavitis, de Hamilton, de Grassmann24.

    58En 1874, l’avenir de ces « vecteurs », « quaternions », « équipollences » n’est pas encore très clair, d’où peut-être la prudence de Houël.

    59En ce XIXe siècle naissant, autour de ces interrogations vont se faire jour alors deux axes de recherche, en quelque sorte.

    Figure 14. Influences diverses vers la notion de vecteurs.

    1.3. XIXe siècle : la notion de vecteur

    1.3.1. Les quaternions de William Rowan Hamilton (1805-1865)

    Figure 15. Timbre irlandais rappelant les équations de W. R. Hamilton.

    60William Rowan Hamilton, né à Dublin, est un mathématicien, physicien, astronome, poète, linguiste éminent et beaucoup d’autres choses encore. Il s’est intéressé lui aussi, à la question des quantités imaginaires, mais d’un point de vue algébrique. En 1837, il produit Elementary Essay on Algebra as a science of pure time25, dans lequel il considère l’ensemble des couples de nombres réels, muni d’opérations qui prolongent celles des nombres « ordinaires ». Le couple (a, b) est la représentation de a + bi. Dans cet ensemble on trouve les nombres réels positifs, les négatifs, les imaginaires… C’est une introduction des nombres complexes qui fut souvent utilisée en classe terminale.

    61En relation avec les autres représentations géométriques des quantités imaginaires, il réalise ainsi une liaison entre plan « géométrique » et couples de nombres réels. Dans une sorte de vision unitaire, il pense pouvoir construire une représentation algébrique de l’espace. Et naturellement il se tourne du côté des triplets de nombres réels. La difficulté c’est de construire des opérations qui prolongent les opérations déjà connues, pour que d’une certaine façon, comme il a déjà procédé, l’ensemble des couples de nombres réels puisse être plongé dans l’ensemble des triplets. Il travaille dans cette direction sans succès. Jusqu’à ce que, ainsi qu’il l’écrira à un de ses fils, il ait un éclair fulgurant en passant sur le pont de Brougham, à Dublin : ce sont des quadruplets qui seront la solution.

    Figure 16. Plaque sur le pont de Brougham à Dublin.

    © Clliché : Cécile Armana.

    62Il retracera tout son cheminement de pensée dans la préface de Lectures on quaternions26 (1853). Il expliquera en particulier l’influence de ses travaux en astronomie. Après coup il exposera la « naturalité » de cette découverte, puisque ce sont les couples de nombres réels qui permettent de décrire le plan, ce seront les couples de nombres complexes qui permettront de décrire l’espace.

    63Que sont les quaternions ?

    64En 1837, dans son petit traité : Theory of Conjugate Functions, Hamilton a donc étudié l’ensemble des couples de nombres réels, dans lesquels il définit des opérations, le couple (a,b) étant assimilé au nombre complexe a + bi27.

    65En particulier la multiplication de deux couples est définie par :

    66(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2 – b1b2, a1b2 + a2b1)

    où l’on reconnaît le produit de deux « nombres complexes ».

    67Il va alors essayer de définir une multiplication analogue sur les triplets de nombres réels.

    68Son idée est qu’un « nombre complexe » est aussi un opérateur, qui dans la multiplication peut s’interpréter comme une « similitude » ; « i » correspond à une rotation d’un quart de tour dans le sens positif, comme défini plus haut.

    69Hamilton pense qu’une interprétation analogue doit exister pour la multiplication des triplets, cette fois dans l’espace. Bien sûr, les couples étant des triplets particuliers (a, b, 0), la multiplication des triplets doit « prolonger » celle des couples. Il n’y parvient pas.

    70C’est alors qu’il rapporte avoir eu son flash, en 1843, qu’il fallait considérer non pas des triplets, mais des quadruplets, qu’il baptisa « quaternions », et cette découverte fut gravée sur le pont de Brougham à Dublin :

    i2 = j2 = k2 = ijk = –1.

    71Un quaternion est donc un quadruplet de nombres réels : (a, b, c, d), vu comme le « nombre » a + bi + cj + dk.

    i, j, k sont des « imaginaires ».

    72Et la multiplication de deux quaternions est définie par :

    73(a1 + ib1 + jc1 + kd1)(a2 + ib2 + jc2 + kd2) = (a1a2 – b1b2 – c1c2 – d1d2) + i(a1b2 – b1a2 – c1d2 – d1c2) + j(a1c2 – b1d2 + c1a2 + d1b2) + k(a1d2 – b1c2 – c1b2 + d1a2).

    74Par analogie avec la partie réelle et la partie imaginaire d’un « nombre complexe », il nomme a, partie scalaire, et bi + cj + dk, partie vectorielle, qui deviendront scalaire et vecteur.

    75Toutes les propriétés « classiques » sont conservées, sauf la commutativité. C’est une première dans l’histoire des mathématiques. Hamilton a expliqué que cet abandon de la commutativité avait été un de ses blocages.

    76Si l’on considère le produit de deux « vecteurs », donc avec a1 = a2 = 0, on obtient :

    77(b1i + c1j + d1k)(b2i + c2j + d2k) = – b1b2 – c1c2 – d1d2 + (c1d2 – d1c2)i + (d1b2 – b1d2)j + (b1c2 – c1b2)k.

    78La partie scalaire est l’opposé de ce que nous nommons actuellement « produit scalaire », et la partie vectorielle est ce que nous nommons « produit vectoriel ».

    79Vous trouverez en annexe un extrait du début de son ouvrage posthume Elements of quaternions28 (1866) où il expose de façon très claire ce qu’il appelle « vecteur ».

    1.3.2. La Théorie de l’extension de Hermann Günther Grassmann (1809-1877)

    80Plus connu de ses contemporains comme linguiste, son œuvre touche à la fois à la physique, la botanique, la musique, la cristallographie, la cinématique… Il enseignera à la fois, le latin, l’allemand, les mathématiques, la physique, la religion, avant de devenir professeur de mathématiques et physique au lycée de Stettin. Hermann Grassmann, mathématicien autodidacte, publie, en 1844, Di Lineale Ausdehnungslehre (La science de la grandeur extensive), première partie29 d’une nouvelle branche des mathématiques qui ne serait pas seulement dans le domaine de la géométrie, mais dont la géométrie serait une application.

    Le premier ouvrage de M. Grassmann : la Science de la grandeur extensive ou Ausdehnungslehre, 1re partie, s’annonce comme une nouvelle discipline mathématique qui veut prendre sa place entre l’analyse et la géométrie sans être un lien entre ces deux disciplines mathématiques, telle la géométrie analytique.
    Ernst Kummer30 184731

    81Son œuvre sera reçue de façon très mitigée, parfois attaquée, et très incomprise. Il la réécrit en 1862, sans un meilleur accueil. La reconnaissance de son travail n’arrivera que beaucoup plus tard, après sa mort. Il avait en fait jeté les bases de ce qui deviendrait l’algèbre multilinéaire, vers les années 1920, et des espaces vectoriels32.

    82C’est en réponse à un concours lancé en 1846 pour le bicentenaire de Leibniz que le nom de Grassmann était réapparu. Il avait obtenu le prix, et Möbius, un des seuls à avoir lu l’Ausdehnungslehre avait proposé de l’éditer, pour le faire connaître, sans succès. Le concours s’appuyait sur une lettre33 de Leibniz publiée seulement en 1833, où celui-ci proposait une sorte de calcul direct sur les formes géométriques, qui serait totalement différent de l’algèbre, et donc de la méthode cartésienne.

    83Hermann Grassmann dit avoir été inspiré par les travaux de son père Julius. Un segment AB doit être pensé comme parcouru par un point P de A vers B, et AB + BC comme obtenu par un point P parcourant d’abord AB puis BC. Et « en suivant le concept de produit, tel qu’il fut conçu par mon père, je trouvais que non seulement le rectangle34, mais aussi le parallélogramme est à considérer comme le produit de deux segments en tenant compte de leur direction. En combinant le concept de produit avec celui de somme, je trouvais par la considération des mouvements que si je multipliais un segment par la somme de plusieurs segments alors ce produit est égal à la somme des produits partiels35. »

    84Dans une lettre du 18 avril 1845 au mathématicien et physicien Adhémar Barré Comte de Saint Venant, H. Grassmann avait écrit :

    Comme je lisais l’extrait de votre mémoire sur les sommes et les différences géométriques publié dans les Comptes rendus (tome 21, 1845), je fus frappé par la ressemblance merveilleuse, qu’il y a entre les résultats qui y sont communiqués et les découvertes faites par moi-même depuis l’année 1832 ; […] J’ai conçu la première idée de la somme et de la différence géométriques de deux ou plusieurs lignes et du produit géométrique de deux ou trois lignes dans l’année nommée, idée en tout égard identique à celle qui est représentée dans l’extrait de votre mémoire.
    […] c’est aussi vers 1832 que m’est venue l’idée d’étendre l’emploi des signes algébriques à ces opérations géométriques que l’on est dans le cas de faire en mécanique sur des lignes ou des aires, mais je n’ai rien publié avant 1845.

    85Adhémar Barré, Comte de Saint-Venant (1797-1886) avait en effet écrit, dans les mémoires de l’Académie36

    J’appelle somme géométrique d’un nombre quelconque de lignes a, b, c, … données en grandeur, direction et sens, une ligne qui est égale et parallèle au dernier côté d’un polygone dont les autres côtés sont a, b, c, … placées bout à bout chacune avec son propre sens. Si l est le dernier côté, j’écris :
    …

    86Hamilton reconnaît un intérêt certain aux travaux de Grassmann, mais les considère comme très inférieurs aux siens.

    I am not so enthusiastic to-day about Grassmann as I was when I last wrote. But I have read through nearly all of what I could procure of his writings, including a subsequent commentary (in German) by Möbius. Grassmann is a great and most german genius ; his view of space is at least as new and comprehensive as mine of time […] I must say that I should not fear the comparison37.

    87Ce sont les successeurs qui permettront d’allier les qualités de l’un et de l’autre. Ce sont plutôt les travaux de Grassmann qui influeront sur les mathématiques.

    88Nous donnons en annexe 3 quelques extraits de l’introduction de l’Ausdehnungslehre de 1844, et dans les travaux élèves un extrait de son mémoire de 1839, Theorie der Ebbe und Flut (Théorie des flux et des marées). Ce mémoire ne sera même pas lu par les examinateurs et sera publié de façon posthume en 1911. Il y expose les principes de son calcul géométrique et cela constitue un accès facile à ce qui deviendra le produit scalaire, en liaison avec la notion de travail d’une force, car très proche de ce que nous enseignons. Nous l’avons exploité avec succès auprès de nos élèves et nous vous présentons cette activité.

    Figure 17. Page de couverture des œuvres complètes de H. Grassmann, 1911.

    89Hermann Grassmann avait jeté les bases de ce qui deviendrait les espaces vectoriels de dimension n. Mais faute peut-être d’être bien inséré dans le monde académique, mal compris de ses contemporains, il s’écoulera un temps assez long avant que ses idées prennent enfin leur essor.

    1.3.3. Entre-temps… la théorie des équipollences de Giusto Bellavitis (1803-1880)

    90Mathématicien autodidacte italien, Giusto Bellavitis voulait trouver une autre géométrie « un algorithme qui représente à la fois la grandeur, et la position des diverses parties d’une figure ». Il invente la méthode des équipollences. Et il se place sur le terrain géométrique pour interpréter les « quantités imaginaires » (nos nombres complexes). Dès 1837, il écrit un mémoire sur la méthode des équipollences, qui sera suivi de beaucoup d’autres. Dans son « Exposition de la méthode des équipollences » de 1854 (traduit en français par Charles Ange Laisant en 187438), Giusto Bellavitis propose une interprétation des quantités imaginaires très proche de ce que nous pouvons présenter à nos élèves comme introduction à la notion de vecteurs du plan. Ses travaux influenceront probablement Hermann Grassmann. Vous trouverez un peu plus loin une proposition s’appuyant sur ce texte. Ce que nous nommons le produit scalaire n’est pas ici présent. Le produit qu’il propose est une interprétation du produit de deux quantités imaginaires.

    1.3.4. Et l’invention de la notion de travail d’une force, par de Coriolis (1792-1843)

    Figure 18. Page de couverture du Calcul de l’effet des machines, par de Coriolis, 1829.

    © BnF / Gallica.

    91La « force de Coriolis » a rendu son nom universellement connu. Le personnage en lui-même l’est beaucoup moins, en dépit du rôle important qu’il a joué dans la science mécanique.

    92Gaspard Gustave de Coriolis est né à Paris dans une famille noble mais déshéritée. Il intègre en 1808 l’École polytechnique, puis le Corps des Ponts et Chaussées en 1810.

    93Devenu répétiteur d’analyse à l’École Polytechnique en 1817, il le restera jusqu’en 1838, date à laquelle il sera nommé directeur des études. Il mourra de tuberculose à l’âge de 51 ans. Sa charge à Polytechnique ne lui convient pas trop et il se consacre beaucoup à ses travaux de recherches. En 1819, il écrit des « Notes sur la théorie des machines », qui seront souvent citées par ses collègues. Hélas celles-ci n’ont jamais été retrouvées.

    94En 1826, répondant à un concours lancé par l’Académie, de Coriolis propose de nommer « travail » le produit de la force par le déplacement (c’est-à-dire le produit de la composante de la force dans la direction du déplacement par la distance sur laquelle s’effectue le déplacement). Ce terme, qui remplaçait les appellations les plus diverses (quantité d’action, moment d’activité, etc.), a fini par s’imposer et c'est celui en usage aujourd’hui. C’est dans son ouvrage Du Calcul de l’effet des machines, publié en 1829, que le concept moderne de travail est mis en place.

    95Très souvent la notion de « travail » est prise comme introduction au produit scalaire ; du moins lorsque les élèves étudient à la fois les mathématiques et la physique. C’est toujours le cas en lycée d’enseignement professionnel, et beaucoup moins en enseignement général. Il nous a semblé pertinent d’éclairer l’histoire conjointe de ces deux notions. Nous avons construit et proposé aux élèves plusieurs activités sur ce thème, dans des cadres différents.

    96Nous donnons en annexe quelques extraits de l’ouvrage de Coriolis qui permettent de bien comprendre la justification du terme « travail ». De Coriolis montre que c’est une véritable grandeur physique.

    97Nous remarquerons surtout qu’il ne faut pas confondre la notion de « produit scalaire », qui est un concept mathématique, et la notion de « travail d’une force ». Nous faisons quelques remarques à ce sujet, dans la présentation de nos activités élèves.

    1.4. La notion de vecteur dans l’enseignement

    1.4.1. Le point de vue de Charles Ange Laisant

    98Charles Ange Laisant est un des fondateurs de la revue L’enseignement mathématique, en 1899. Cette publication est le lieu de grands échanges, au début du XXe siècle, sur l’opportunité ou non d’enseigner les vecteurs au niveau de l’enseignement secondaire, si oui, dans quel contexte, plutôt du côté de la physique ou des mathématiques, et avant tout, comment définir vraiment ce qu’est un vecteur. C’est ainsi que Charles Ange Laisant, donne son point de vue, dans un article de 1912 de cette revue39 :

    Qu’est-ce qu’un vecteur ?
    Le calcul des vecteurs offre de grandes ressources. Dans les applications géométriques ou mécaniques notamment, il permet d’obtenir d’importantes simplifications et une plus grande clarté. Non seulement les écritures sont sensiblement abrégées, mais l’instrument analytique qu’on emploie représente d’une façon directe les choses auxquelles il s’applique, et que l’usage des coordonnées fait trop souvent perdre de vue.
    Depuis de longues années, en Grande Bretagne surtout, l’emploi des vecteurs a permis d’en constater tous les avantages, et de grands efforts ont été faits pour les mettre en lumière. En France, non sans peine, le mot « vecteur » a fini par prendre droit de cité dans l’enseignement. Il figure dans une foule de programmes, et aussi dans la plupart des livres classiques contemporains.
    Je dis le mot, avec intention, car il n’en est pas de même de la chose. Du mot, on use et je pourrais dire on abuse. La chose reste dans une sorte de pénombre mystérieuse. Fait pour ainsi dire incroyable, on ne trouve à peu près nulle part une définition précise d’un vecteur, même dans d’excellents ouvrages, ou dans les cours des plus éminents professeurs ; et je n’ai jamais rencontré un seul candidat capable de répondre à cette question : « Qu’appelez-vous un vecteur ? », alors que depuis un quart d’heure au moins, il m’exposait une foule de considérations sur les vecteurs et se livrait à des développements de calcul assez étendus à ce sujet. Jamais non plus je n’en ai tenu rigueur aux candidats ; ce n’est pas en effet leur faute, mais bien celle d’une mauvaise tradition, contre laquelle il serait utile de réagir. Le manque de précision est toujours funeste en matière d’enseignement.
    La statique élémentaire va me permettre d’indiquer plus nettement la confusion que je constate et que je critique, car c’est peut-être là que les résultats ont été les plus funestes. On y définissait jadis une force, appliquée en un point A, par un segment AB, dont la longueur AB mesurait l’intensité de la force ; la demi-droite indéfinie AB indiquait la direction et le sens de la force; on l’appelait sa ligne d’action; et on admettait comme postulat qu’une force peut être transportée où l’on voudra le long de sa ligne d’action.
    Cette terminologie a été critiquée, parce qu’on ne peut pas établir a priori l’identité entre les forces en question et les forces de la dynamique. On a fait remarquer avec raison que la statique élémentaire n’est au fond qu’une géométrie particulière, préparatoire à la mécanique ; mais c’est à tort qu’on a cru sortir de peine et tourner la difficulté en remplaçant le mot force par le mot vecteur ; et le tort est d’autant plus grand qu’on l’a fait sans le dire. On a surtout appelé vecteur ce qui n’est pas un vecteur, ni dans le langage des inventeurs, ni dans celui des géomètres qui ont fait usage de ce nouveau mode de calcul géométrique.

    Figure 19. Portrait de Charles Ange Laisant (1841-1920).

    © BnF / Gallica.

    1.4.2. Les notions de vecteurs dans l’enseignement secondaire au XXe siècle en France

    99La notion de vecteur a du mal à s’imposer dans le milieu des mathématiciens français. Voici ce qu’en dit par exemple Raoul Bricard40 en 1929 :

    Le calcul vectoriel a mis assez longtemps à pénétrer en France, et l’on ne peut dire encore qu’il y soit couramment pratiqué. Il gagne pourtant rapidement du terrain, surtout parmi les physiciens, M. G. Bruhat, par exemple, en fait largement usage dans son beau Cours d’électricité. C’est aussi un instrument de choix en géométrie infinitésimale, en Mécanique rationnelle, en Hydrodynamique, dans la Théorie de l’élasticité. Avant deux ou trois lustres, sans doute, il ne sera permis à aucun mathématicien d’en ignorer l’emploi.

    100Cela allait changer rapidement avec la mise en avant de l’algèbre linéaire et des espaces vectoriels.

    101La présence des vecteurs dans l’enseignement secondaire a suivi un peu cette lente reconnaissance. Au début du XXe siècle, le concept de vecteur est encore en cours de constitution et on les trouve dans le cours de mécanique et de cinématique, pour les classes scientifiques. Ce sont alors plutôt des « segments orientés ». Pendant longtemps persiste un certain flottement sur la définition du vecteur entre son usage en mécanique (où la notion de force nécessite un point origine), en cinématique, où la notion de vecteur vitesse ou vecteur accélération apparaîtra… Les notions de vecteurs liés, vecteurs libres, vecteurs équipollents répondront en partie à ce manque de précision, dont Laisant, nous l’avons vu, affirmait qu’il est funeste en matière d’enseignement.

    102Vers 1925, ils servent à introduire les nombres relatifs dans les classes qui correspondraient à notre collège actuel. En fait, ce sont plus les mesures algébriques qui sont en jeu que les vecteurs.

    103Dans les programmes de 1947, apparaissent en 1re scientifique les vecteurs équipollents, et l’introduction de l’homothétie grâce aux vecteurs. Suivront en 1957 le barycentre et le produit scalaire. En classe terminale de mathématiques, le produit scalaire sera un outil privilégié pour la trigonométrie.

    104La réforme dite « des maths modernes » donnera évidemment un tour très nouveau à cet enseignement.

    105Jusqu’à la réforme des mathématiques modernes nous trouvons dans les manuels d’enseignement, aussi bien de mathématiques que de physique, différentes dénominations pour les vecteurs.

    106Voici ce que nous trouvons par exemple dans le manuel d’Algèbre de la classe de seconde Scientifique de Maurice Monge 196141 :

    Un vecteur glissant est un vecteur porté par un axe fixe, sur lequel il peut se déplacer « en conservant une mesure algébrique constante », c’est-à-dire qu’on « ne précise pas sa position sur l’axe ».
    Un vecteur lié est aussi un vecteur porté par un axe mais il possède une origine fixe O sur cet axe.

    107Puis dans le manuel de géométrie42 :

    Le vecteur libre est « seulement assujetti à demeurer équipollent à un vecteur lié donné  », deux vecteurs équipollents étant « des vecteurs qui ont des supports parallèles, des longueurs égales, et qui sont de même sens ». Cette notion permet de définir la translation.

    108Dans un autre manuel43 de la même époque, nous trouvons :

    Un vecteur lié est un élément géométrique défini par un couple rangé de deux points. Le vecteur lié défini par les deux points A et B sera noté

    109Puis on définit l’équipollence des vecteurs, et :

    Tous les vecteurs liés équipollents à un vecteur lié donné sont équipollents entre eux. Ils ont une propriété commune : ils correspondent au même vecteur libre, ou simplement au même vecteur.

    110Tout ceci sera balayé quelques années plus tard, avec « la réforme des maths modernes ».

    111Et s’il reste un petit support géométrique dans un manuel de seconde A (littéraire)44 :

    On appelle vecteur toute classe d’équivalence déterminée par la relation d’équipollence dans l’ensemble des bipoints du plan. Ceci a déjà été introduit en classe de 4e.

    112Dans une classe de seconde scientifique (C et T)45, on définit la notion d’espace vectoriel sur et le premier exemple est celui de l’espace vectoriel des fonctions affines. On rappelle alors que « sans que le mot ait été prononcé », l’ensemble des vecteurs du plan de la classe de 4e, constituait un espace vectoriel…

    113Dès lors, en classe de première scientifique, le produit scalaire sera une « forme bilinéaire symétrique, définie positive ».

    114La définition de vecteurs comme classe d’équivalence déterminée par la relation d’équipollence dans l’ensemble des bipoints perdurera assez longtemps après la « contre-réforme » de 1981. En revanche, dans les années 80, la notion de force sera prise très souvent comme exemple type de vecteurs, dès la classe de seconde. On ne reparlera plus cependant de « vecteur lié », « libre », « glissant »…

    115Voici les dénominations que l’on trouve sur le Centre national des ressources textuelles et lexicales46, à la rubrique « vecteur », qui marque bien les hésitations entre vecteur physique et vecteur mathématique, tout au long du XXe siècle : potentiel vecteur ; vecteur axial ; vecteur glissant ; vecteur libre ; vecteur polaire…

    116Vous trouverez en annexe 4 des extraits d’un manuel du début du XXe siècle qui illustrent, avec des exemples, toutes ces dénominations.

    117Nous avons donné ici un aperçu très rapide de la notion de vecteur dans l’enseignement secondaire en France. Cet enseignement est l’un de ceux qui naviguent d’un niveau à l’autre selon les changements de programme. Il y a souvent des tentations de les supprimer carrément, au moins pour les non scientifiques. La question sous-entendue est évidemment à quoi ça sert d’enseigner les vecteurs pour des non scientifiques ?

    118Cela relève bien sûr de l’utilité de l’enseignement des mathématiques en général, de la dialectique outil/objet. De façon évidente, nous semble-t-il, les mathématiques participent de la CULTURE. Mais ce sentiment n’est pas totalement partagé. Nous espérons que vous trouverez à la lecture de ce petit ouvrage, nombre de raisons de convaincre les élèves que les vecteurs aident à comprendre le monde, par leur histoire, mais aussi par l’ouverture interdisciplinaire qu’ils offrent.

    1.5. Tableau chronologique

    119L’histoire de l’émergence du concept de vecteur permet de bien mettre en évidence les regards croisés et les influences réciproques des mathématiques et de la physique.

    120Le tableau chronologique que nous vous proposons en est une illustration et peut être un outil pour aller plus loin.

    121La première partie donne des éléments de la « préhistoire » de la notion de vecteur, la deuxième est relative aux recherches sur la représentation des nombres complexes et les grandeurs « orientées », et la dernière concerne de façon précise la notion de vecteur.

    Tableau 1.

    La mécanique et la composition des forces

    Simon Stevin (1548-1620)

    1586 : La Statique ou l’Art de peser

    Apparition du triangle de composition des poids

    Galilée (1564-1642)

    1593-1594 : La Méchanique 1638 : Discours sur deux sciences nouvelles

    Gilles Personne de Roberval (1602-1675)

    Diverses publications dans les Mémoires de l’Académie des sciences

    Étude de la composition des vitesses

    Gottfried Wilhelm Leibniz (1648-1716)

    1671 : Hypothesis phisica nova 1679 (publié en 1833) : Analysis situs

    Essai d’invention d’une géométrie « algébrique » ; d’un calcul direct sur les objets géométriques

    Isaac Newton (1643-1727)

    1687 : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

    Idée du parallélogramme des forces

    Pierre Varignon (1654-1722)

    Projet d’une nouvelle mécanique

    Daniel Bernoulli (1700-1782)

    1726 : Examen des principes de la mécanique et démonstrations géométriques de la composition et de la résolution des forces 1738 : Hydrodynamica

    Essai d’une démonstration de la règle du parallélogramme pour la composition des forces.

    La représentation géométrique des quantités imaginaires

    Caspar Wessel (1745-1818)

    1799 (traduit en français en 1897) : Essai sur la représentation analytique de la direction

    En essayant de donner un statut géométrique aux « quantités imaginaires » (= nombres complexes, voire négatifs), apparition de la notion de « segment orienté », « lignes dirigées », (sens direction, longueur), de la relation « de Chasles » (indûment nommée), des angles orientés…

    Jean-Robert Argand (1768-1822)

    1806 (connu en 1813 ; perdu jusqu’en 1860 ; retrouvé dans la bibliothèque de Chasles) : Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques

    C. V. Mourey (?)

    1828 : La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    1831 : Sur la représentation géométrique des imaginaires

    August Ferdinand Möbius (1790-1868)

    1827 : Der barycentrishe calcul

    Michel Chasles (1793-1880)

    1839 : Aperçu historique sur les méthodes en géométrie 1852 : Traité de géométrie supérieure

    XIXe siècle, le concept de vecteur

    Hermann Günther Grassmann (1809-1877)

    1839 : Théorie des flux et marées (Theorie der Ebbe und Flut) 1844 : Ansdehnungslehre (calcul de l’extension)

    Aires orientées, produit « linéal » (= produit scalaire), théorie des formes (début de ce qui deviendra les espaces vectoriels, l’algèbre linéaire, etc.)…

    Giusto Bellavitis (1803-1880)

    1834 : Mémoire sur la méthode des équipollences. 1854 : (traduit en français par C. A. Laisant en 1874) : Exposition de la méthode des équipollences

    Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

    1827 : A theory of systems of rays 1833-1835 : Algebra as a science of Pure time 1837 : Theory of conjugate functions or Algebraic couples 1843 : « découverte » ou « invention » des quaternions (lettre du 16 octobre 1643) 1853 : Lectures on quaternions 1866 : Elements of quaternions

    Invention des quaternions. Apparition du mot « vecteur » au sens mathématique du terme, du mot « scalaire »…

    Peter Guthrie Tait (1831-1901)

    1867 (traduit en français en 1882) : Traité élémentaire des quaternions

    Fait connaître les travaux de Hamilton

    James Clark Maxwell (1831-1879)

    1873 : Traité d’électricité et magnétisme

    Montre l’intérêt pour la physique de la partie « vectorielle » des quaternions de Hamilton.

    Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

    1881-1884 : Éléments d’analyse vectorielle 1901 : publication par un de ses étudiants de : Vector analysis, a Text Book for the uses of students of mathematics and physics and founded upon the Lectures of J. W. Gibbs

    Créateur, avec Heaviside, de l’analyse vectorielle moderne. (fondée à la fois sur les travaux de Grassmann et de Hamilton).   Première présentation « moderne » en anglais de l’analyse vectorielle.

    William Kingdon Clifford (1845-1879)

    1877 : Elements of dynamic 1882 : Mathematical papers

    Sépare produit scalaire et produit vectoriel

    Giuseppe Peano (1858-1932)

    1887 : Applicazione geometriche del calcolo infinitesimale 1888 : Calcolo geometrico (secondo l’Ansdehnungslehre)

    Reprend les équipollences de Bellavitis   Reprend les idées de Grassmann

    Oliver Heaviside (1850-1925)

    1893 : Electromagnetic theory (qui contient The elements of vectorial algebra and analysis)

    Travaille avec Gibbs

    Cesare Burali-Forti (1861-1931)

    1897 : Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode de H. Grassmann

    Proche de Peano

    Roberto Marcolongo (1862-1931)

    1909 (publié en français en 1910) : Éléments de calcul vectoriel

    Burali-Forti (qui est mathématicien) et Marcolongo (qui est physicien) sont surnommés « le binôme vectoriel »

    Georges Bouligand (1889-1979)

    1924 : Leçons de géométrie vectorielle 1926 : Initiation aux méthodes vectorielles

    Notes de bas de page

    1 [En ligne], URL : https://www.cnrtl.fr/

    2 Avant un plus long développement, indiquons qu’un quaternion s’écrit sous la forme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d sont des nombres réels, et i, j, k des imaginaires, comme dans un nombre complexe a + bi, a et b sont réels, et i un imaginaire. Il y a donc aussi la partie réelle et la partie imaginaire d’un quaternion.

    3 Le NED ou New English Dictionary, a été publié pour la première fois en 1702 à Londres.

    4 Hamilton, W. R., « On symbolical geometry, » Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. I, 1846.

    5 Clifford, W. K., Elements of dynamic, introduction to the study of motion and rest in solids and fluid bodies, London, 1878, p. 95.

    6 Voir par exemple : Michael J. Crowe, A history of vector analysis, Dover publication Inc., New York, rééd. 2003.

    7 C’est ainsi qu’étaient désignés jusqu’à la fin du XIXe siècle les « nombres complexes ».

    8 Stevin, Simon, L’Art pondéraire ou de la Statique, Leyde, 1634, in Œuvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges, le tout revu, corrigé et augmenté par Albert Girard, chez Bonaventure et Abraham Elsevier, imprimeurs ordinaires de l’Université, p. 454, 479 et 505.

    9 Varignon, Pierre, Projet d’une nouvelle Mécanique avec Un Examen de l’opinion de M. Borelli, sur les propriétés des Poids suspendus par des Cordes, Paris, Veuve d’Edme Martin, Jean Boudot & Estienne Martin, 1687.

    10 Camus, Charles Louis, Cours de mathématiques à destination des ingénieurs, partie III, Elemens de méchanique statique, tome second, par M. Camus de l’Académie Royale des Sciences, Examinateur des Ingénieurs, Professeur et Secrétaire perpétuel de l’Académie Royale, d’Architecture, Imprimerie Royale, Paris, 1752, § 286.

    11 Newton, Isaac, De Breteuil, Émilie, Principes mathématiques de philosophie naturelle, par feue Madame la Marquise du Châtelet, tome premier, Lambert imprimeur-libraire, rue et à côté de la Comédie française, au Parnasse, Paris, 1759, p. 19, figure 1 planche 1.

    12 Nous ne citerons ici hélas aucune mathématicienne, sauf, mais de façon très indirecte, Madame du Châtelet pour sa traduction des Principia de Newton. Nous espérons que nos recherches futures feront sortir quelques femmes de l’oubli ou de l’invisibilité, sur ce sujet aussi.

    13 La question se posait aussi pour les négatifs.

    14 On pourra se reporter avec intérêt à l’ouvrage de Gérard Hamon, « L’Algebra de Bombelli », in Faire des mathématiques à partir de leur histoire, tome II, IREM de Rennes, 1995.

    15 Nous pourrions résumer : une équation algébrique de degré n a n racines, en tenant compte des racines réelles positives, négatives, imaginaire et des racines multiples.
    Vous pourrez vous reporter à notre brochure : Boyé, Anne, Comairas, Marie-Céline, Deuxième promenade : les moins que rien et les imaginaires mènent au réel, IREM des Pays de la Loire, 1998.

    16 Pour des activités éventuelles avec des élèves, ou pour en savoir plus, vous pourrez vous reporter à la page Histoire des mathématiques du site de l’APMEP [en ligne], URL : https://www.apmep.fr/-Ressources-pour-enseigner- ou encore à Images, imaginaires, imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes, Coll. Épistémologie et histoire des mathématiques, Paris, Ellipses, 1998.

    17 L’ouvrage de C. V. Mourey sera une sorte de référence mais curieusement on ne connaît rien sur la vie de ce mathématicien, même pas ce que signifient les initiales C. V.

    18 Mourey, C. V., La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, 1828, reproduit par l’IREM de Dijon, 1992, (introduction).

    19 Sandori, Paul, Petite logique des forces, Point Sciences, Seuil, 1982.

    20 Comme souvent en mathématiques des idées sont dans l’air, pour répondre à certaines interrogations. Vous pourrez faire des recherches par exemple sur le danois Caspard Wessel, qui avait écrit en 1797 Essai sur la représentation analytique de la direction, mais qui resta inconnu jusqu’à la fin du XIXe siècle.

    21 Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4, 1813, J. F. Français, « Philosophie mathématique. Nouveaux principes de géométrie de position et interprétation géométrique des symboles imaginaires », p. 61-71, et J. R. Argand, « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques », p. 133-147, [en ligne], URL : http://www.numdam.org/volume/AMPA_1813-1814__4/

    22 Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 2e édition, précédée d’une préface par M. J. Houël, Gauthier-Villars, Paris, 1874, p. 6.

    23 Mourey, C. V., La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, 1828, reproduit par l’IREM de Dijon, 1992, (introduction).

    24 Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 2e édition, précédée d’une préface par M. J. Houël, Gauthier-Villars, Paris, 1874, introduction.

    25 William Rowan Hamilton, « Elementary Essay on Algebra as a science of pure time », Transactions of the Royal Irish Academy, vol. 17, 1837, p. 293-422.

    26 William Rowan Hamilton, Lectures on quaternions, Macmillan & co, Cambridge, 1853.

    27 Il serait plus exact de parler de quantité imaginaire, même si Gauss a déjà proposé « nombres complexes ». C’est une période où l’on hésite encore à appeler « nombre » ce qui n’est pas réel positif. C’est un objet d’interrogation jusqu’à la fin du XIXe siècle.

    28 William Rowan Hamilton, Elements of quaternions, Longmans, Green & co, London, 1866.

    29 Il n’y aura pas de deuxième partie.

    30 Ernst Kummer (1810-1893) est un mathématicien allemand, qui a beaucoup travaillé en théorie des nombres.

    31 Cité dans « Théorie des formes et avènement d’une nouvelle discipline des mathématiques pures, selon Hermann Günther Grassmann (1809-1877) », par Dominique Flament, Revue Brasileira de Historia da Ciencia, Rio de Janeiro, v. 1, n. 2, p. 178-210, juillet 2008.

    32 Nous renvoyons celles et ceux qui voudraient en savoir plus au très bel article de Jean-Luc Dorier, « Hermann Grassmann et la théorie de l’extension », Repères IREM, n° 26, janvier 1997, p. 89-108.

    33 Nous en donnons quelques extraits en annexe.

    34 Dans la tradition euclidienne, le produit de deux nombres est un rectangle dont les côtés ont pour dimension ces deux nombres. Ici, Grassmann fait intervenir l’orientation des segments, et l’inclinaison mutuelle de leurs directions (l’angle).

    35 Préface de l’Ausdehnungslehre, cité dans Dorier, Jean-Luc, « Hermann Grassmann et la théorie de l’extension », Repères IREM, n° 26, janvier 1997.

    36 Mémoire sur les sommes et les différences géométriques et sur leur usage pour simplifier la mécanique (1845).

    37 Cité dans « Théorie des formes et avènement d’une nouvelle discipline des mathématiques pures, selon Hermann Günther Grassmann (1809-1877) », par Dominique Flament, Revue Brasileira de Historia da Ciencia, Rio de Janeiro, v. 1, n. 2, p. 178-210, juillet 2008.

    38 Giusto Bellavitis, Charles Ange Laisant (traducteur), Exposition de la méthode des équipollences, Gauthier-Villars, Paris, 1874.

    39 Laisant, C. A., « Qu’est-ce qu’un vecteur ? », L’enseignement mathématique, vol. 14, 1912, p. 362-365, [en ligne], URL : https://www.unige.ch/math/EnsMath/

    40 Bricard, Raoul, Le calcul vectoriel, Armand Colin, Paris, 1929.

    41Monge, Maurice, Algèbre classe de seconde A’CMM’, Belin, 1961.

    42Monge, Maurice, Géométrie classe de seconde A’CMM’, Belin, 1961.

    43 Girard, Georges et Lentin André, Mathématiques, 2e A’CMM’, Cours Maillard, Hachette, 1961.

    44 Lebossé, Camille et Hémery, Corentin, Algèbre et géométrie, classe de seconde A, Fernand Nathan, 1969.

    45 Gourion, Marc, Keramsi, Georges, et Queysanne, Michel, Mathématique, 2e CT, collection Queysanne Revuz, Fernand Nathan, 1973.

    46 [En ligne], URL : https://www.cnrtl.fr/definition/bhvf/vecteur

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    Histoires de familles. Les registres paroissiaux et d’état civil, du Moyen Âge à nos jours

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    Démographie et généalogie

    Paul Delsalle

    2009

    Le calcul mental entre sens et technique

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    2007

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    Interactions entre recherches en didactique(s) et formation des enseignants

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    2014

    L’intelligence tactique

    L’intelligence tactique

    Des perceptions aux décisions tactiques en sports collectifs

    Jean-Francis Gréhaigne (dir.)

    2014

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    2016

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    Réglementation, paramètres chimiques et biologiques & procédés d’épuration innovants

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    2018

    Les inégalités d’accès aux savoirs se construisent aussi en EPS…

    Les inégalités d’accès aux savoirs se construisent aussi en EPS…

    Analyses didactiques et sociologiques

    Fabienne Brière-Guenoun, Sigolène Couchot-Schiex, Marie-Paule Poggi et al. (dir.)

    2018

    L’éducation à la citoyenneté

    L’éducation à la citoyenneté

    Julien Pasteur et Carole Widmaier (dir.)

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    Histoires de familles. Les registres paroissiaux et d’état civil, du Moyen Âge à nos jours

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    Analyses didactiques et sociologiques

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    1 [En ligne], URL : https://www.cnrtl.fr/

    2 Avant un plus long développement, indiquons qu’un quaternion s’écrit sous la forme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d sont des nombres réels, et i, j, k des imaginaires, comme dans un nombre complexe a + bi, a et b sont réels, et i un imaginaire. Il y a donc aussi la partie réelle et la partie imaginaire d’un quaternion.

    3 Le NED ou New English Dictionary, a été publié pour la première fois en 1702 à Londres.

    4 Hamilton, W. R., « On symbolical geometry, » Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. I, 1846.

    5 Clifford, W. K., Elements of dynamic, introduction to the study of motion and rest in solids and fluid bodies, London, 1878, p. 95.

    6 Voir par exemple : Michael J. Crowe, A history of vector analysis, Dover publication Inc., New York, rééd. 2003.

    7 C’est ainsi qu’étaient désignés jusqu’à la fin du XIXe siècle les « nombres complexes ».

    8 Stevin, Simon, L’Art pondéraire ou de la Statique, Leyde, 1634, in Œuvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges, le tout revu, corrigé et augmenté par Albert Girard, chez Bonaventure et Abraham Elsevier, imprimeurs ordinaires de l’Université, p. 454, 479 et 505.

    9 Varignon, Pierre, Projet d’une nouvelle Mécanique avec Un Examen de l’opinion de M. Borelli, sur les propriétés des Poids suspendus par des Cordes, Paris, Veuve d’Edme Martin, Jean Boudot & Estienne Martin, 1687.

    10 Camus, Charles Louis, Cours de mathématiques à destination des ingénieurs, partie III, Elemens de méchanique statique, tome second, par M. Camus de l’Académie Royale des Sciences, Examinateur des Ingénieurs, Professeur et Secrétaire perpétuel de l’Académie Royale, d’Architecture, Imprimerie Royale, Paris, 1752, § 286.

    11 Newton, Isaac, De Breteuil, Émilie, Principes mathématiques de philosophie naturelle, par feue Madame la Marquise du Châtelet, tome premier, Lambert imprimeur-libraire, rue et à côté de la Comédie française, au Parnasse, Paris, 1759, p. 19, figure 1 planche 1.

    12 Nous ne citerons ici hélas aucune mathématicienne, sauf, mais de façon très indirecte, Madame du Châtelet pour sa traduction des Principia de Newton. Nous espérons que nos recherches futures feront sortir quelques femmes de l’oubli ou de l’invisibilité, sur ce sujet aussi.

    13 La question se posait aussi pour les négatifs.

    14 On pourra se reporter avec intérêt à l’ouvrage de Gérard Hamon, « L’Algebra de Bombelli », in Faire des mathématiques à partir de leur histoire, tome II, IREM de Rennes, 1995.

    15 Nous pourrions résumer : une équation algébrique de degré n a n racines, en tenant compte des racines réelles positives, négatives, imaginaire et des racines multiples.
    Vous pourrez vous reporter à notre brochure : Boyé, Anne, Comairas, Marie-Céline, Deuxième promenade : les moins que rien et les imaginaires mènent au réel, IREM des Pays de la Loire, 1998.

    16 Pour des activités éventuelles avec des élèves, ou pour en savoir plus, vous pourrez vous reporter à la page Histoire des mathématiques du site de l’APMEP [en ligne], URL : https://www.apmep.fr/-Ressources-pour-enseigner- ou encore à Images, imaginaires, imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes, Coll. Épistémologie et histoire des mathématiques, Paris, Ellipses, 1998.

    17 L’ouvrage de C. V. Mourey sera une sorte de référence mais curieusement on ne connaît rien sur la vie de ce mathématicien, même pas ce que signifient les initiales C. V.

    18 Mourey, C. V., La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, 1828, reproduit par l’IREM de Dijon, 1992, (introduction).

    19 Sandori, Paul, Petite logique des forces, Point Sciences, Seuil, 1982.

    20 Comme souvent en mathématiques des idées sont dans l’air, pour répondre à certaines interrogations. Vous pourrez faire des recherches par exemple sur le danois Caspard Wessel, qui avait écrit en 1797 Essai sur la représentation analytique de la direction, mais qui resta inconnu jusqu’à la fin du XIXe siècle.

    21 Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4, 1813, J. F. Français, « Philosophie mathématique. Nouveaux principes de géométrie de position et interprétation géométrique des symboles imaginaires », p. 61-71, et J. R. Argand, « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques », p. 133-147, [en ligne], URL : http://www.numdam.org/volume/AMPA_1813-1814__4/

    22 Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 2e édition, précédée d’une préface par M. J. Houël, Gauthier-Villars, Paris, 1874, p. 6.

    23 Mourey, C. V., La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, 1828, reproduit par l’IREM de Dijon, 1992, (introduction).

    24 Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 2e édition, précédée d’une préface par M. J. Houël, Gauthier-Villars, Paris, 1874, introduction.

    25 William Rowan Hamilton, « Elementary Essay on Algebra as a science of pure time », Transactions of the Royal Irish Academy, vol. 17, 1837, p. 293-422.

    26 William Rowan Hamilton, Lectures on quaternions, Macmillan & co, Cambridge, 1853.

    27 Il serait plus exact de parler de quantité imaginaire, même si Gauss a déjà proposé « nombres complexes ». C’est une période où l’on hésite encore à appeler « nombre » ce qui n’est pas réel positif. C’est un objet d’interrogation jusqu’à la fin du XIXe siècle.

    28 William Rowan Hamilton, Elements of quaternions, Longmans, Green & co, London, 1866.

    29 Il n’y aura pas de deuxième partie.

    30 Ernst Kummer (1810-1893) est un mathématicien allemand, qui a beaucoup travaillé en théorie des nombres.

    31 Cité dans « Théorie des formes et avènement d’une nouvelle discipline des mathématiques pures, selon Hermann Günther Grassmann (1809-1877) », par Dominique Flament, Revue Brasileira de Historia da Ciencia, Rio de Janeiro, v. 1, n. 2, p. 178-210, juillet 2008.

    32 Nous renvoyons celles et ceux qui voudraient en savoir plus au très bel article de Jean-Luc Dorier, « Hermann Grassmann et la théorie de l’extension », Repères IREM, n° 26, janvier 1997, p. 89-108.

    33 Nous en donnons quelques extraits en annexe.

    34 Dans la tradition euclidienne, le produit de deux nombres est un rectangle dont les côtés ont pour dimension ces deux nombres. Ici, Grassmann fait intervenir l’orientation des segments, et l’inclinaison mutuelle de leurs directions (l’angle).

    35 Préface de l’Ausdehnungslehre, cité dans Dorier, Jean-Luc, « Hermann Grassmann et la théorie de l’extension », Repères IREM, n° 26, janvier 1997.

    36 Mémoire sur les sommes et les différences géométriques et sur leur usage pour simplifier la mécanique (1845).

    37 Cité dans « Théorie des formes et avènement d’une nouvelle discipline des mathématiques pures, selon Hermann Günther Grassmann (1809-1877) », par Dominique Flament, Revue Brasileira de Historia da Ciencia, Rio de Janeiro, v. 1, n. 2, p. 178-210, juillet 2008.

    38 Giusto Bellavitis, Charles Ange Laisant (traducteur), Exposition de la méthode des équipollences, Gauthier-Villars, Paris, 1874.

    39 Laisant, C. A., « Qu’est-ce qu’un vecteur ? », L’enseignement mathématique, vol. 14, 1912, p. 362-365, [en ligne], URL : https://www.unige.ch/math/EnsMath/

    40 Bricard, Raoul, Le calcul vectoriel, Armand Colin, Paris, 1929.

    41Monge, Maurice, Algèbre classe de seconde A’CMM’, Belin, 1961.

    42Monge, Maurice, Géométrie classe de seconde A’CMM’, Belin, 1961.

    43 Girard, Georges et Lentin André, Mathématiques, 2e A’CMM’, Cours Maillard, Hachette, 1961.

    44 Lebossé, Camille et Hémery, Corentin, Algèbre et géométrie, classe de seconde A, Fernand Nathan, 1969.

    45 Gourion, Marc, Keramsi, Georges, et Queysanne, Michel, Mathématique, 2e CT, collection Queysanne Revuz, Fernand Nathan, 1973.

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    Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. « 1. Jalons historiques ». In Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Besançon: Presses universitaires de Franche-Comté, 2023. doi:10.4000/books.pufc.52496.
    Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. « 1. Jalons historiques ». Histoires de vecteurs et de produit scalaire, Presses universitaires de Franche-Comté, 2023, https://doi.org/10.4000/books.pufc.52496.

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    Boyé, Anne, et Mélanie Berthelot-Lepage. Histoires de vecteurs et de produit scalaire. Presses universitaires de Franche-Comté, 2023, https://doi.org/10.4000/books.pufc.52416.
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