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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Appendice

I. Textes manuscrits inédits de Mersenne

Texte intégral

A. Extraits de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II

  • 1 Nous indiquons en marge de nos retranscriptions la référence des pages.

1Nous donnons ci-dessous des passages de la Quaestio1, où à propos de la confusion des langues née à Babel, Mersenne a livré un de ses grands exposés sur l’analyse combinatoire ; nous avons laissé de côté des développements dont on retrouve le contenu sans grande modification dans l’Harmonie universelle ou les Harmonicorum libri.

  • 2 Ici, comme pour les textes qui suivent, nous mettons entre crochets les mots d’interprétation incer (...)

2Cette difficulté ayant pu retentir ici ou là sur la fidélité de notre retranscription, il nous faut signaler que ce n’est pas sans mal que nous avons mené à terme le déchiffrement de ces pages couvertes d’une écriture très serrée et souvent difficile à lire2.

3|225| Articulus secundus

« Quot idiomata, quotque dictiones ex 22 Alphabeti nostri litteris componi possint, sive dictiones unica, vel duabus, tribus etc. litteris constent, dummodo nulla dictio plures quam 22 litteras habeat : idemque sive littera cuiuslibet dictionis sit diversa, sive una, vel plures litterae in iisdem dictionibus bis, ter, quater, aut quoties [libuerit], assumantur : ubi et alia plurima hactenus ignota deteguntur.
Multi de combinationibus, aliqui etiam de conternationibus, conquaternationibus, etc. egerunt : qui vero dixerit quoties datus rerum numerus ex alio maiori numero sumptus, sive numerus ille constet rebus diversis, sive iisdem, aut partim iisdem partim diversis variari possit, nullus est [ ;] qui enim hactenus dictionum numerum in alphabeti litteris inclusarum [inierunt] nulla dictioni hoc [fecere] privilegium ut aliquam litteram bis aut ter repeterit, quod cum saepenumero contingat in dictionibus hebraicis, graecis, latinis, gallicis et aliarum linguarum, unde fit ut cum omnes dictiones se credunt invenuisse, multas omiserunt, quotquot nempe duos, aut plures characteres similes habent, exempli gratia, duo b, vel c, vel a, etc. Hic autem nullum vocabulum omittemus, tametsi 22 litteras similes habeat, quod nunquam contingit. Omitto tamen varios accentus, variasque pronunciationes, quibus eaedem voces a variis nationibus pronuntiari solent aut possunt, ita tamen ut alia tabella omnis ipsa varietas comprehendi queat, dummodo variorum accentuum, atque diversarum pronunciationum numerus agnoscatur : hunc autem articulum sequentibus propositionibus proficimus.
Prima propositio
Explicare quot vocabula, seu dictiones fieri possint ex dato litterarum numero, cum in qualibet dictione litterae omnes propositae assumuntur, et ordo litterarum modis omnibus variatur.
Ab ista propositione regula vulgaris illius varietatis pendet quae, licet improprio, combinatio vocatur. Cum autem litterarum quemlibet numerum assumere possimus, sufficient 22 quae tam hebraicum quam latinum, ac proinde Gallicum alphabetum conficiunt ; ut quispiam sciat quot dictiones ex istis alphabetis queant : si quis vero plures litteras assumat, habet tabulam litterarum, vel aliarum rerum 50 in nostro adversus Scepticos libre, nec non artem qua numerus dictionum ex 50 litteris compositus investigatur. »

4|226|

« Haec est autem fere sola combinatio, de qua sermo fieri solet, cum quaeritur quot modis certus numerus variari potest, sive homines, sive sonos, sive colores, et alia sescenta proponas. Methodus autem varietatis istius invenienda facillima est, quandoquidem tot numeri duntaxat ordinandi sunt, quot res propositae fuerint, incipiendo ab unitate, qui cum sese invicem multiplicaverint dabunt numerum varietatum quaesitarum [...]. »

5[Exemples]

6[Suit une remarque relative à la Table des factorielles]

« Haec autem tabella, hocque varietatis, seu combinationis genus magno postea nobis usui erit, ut ordo rerum ex aliis varietatis seu combinationis generibus aufferatur, vel aliis hoc genere combinationis destitutis restituatur. »

7|227| Propositio secunda

  • 3 Cette proposition donne les règles de calcul pour les Permutations avec répétitions.

« Rerum vel litterarum varietatem seu combinationem praecedentem explicare, quando una, duae, vel plures litterae bis, ter, quater, aut quoties volueris, in dato rerum, vel litterarum numero repetuntur : unde fluit Anagrammatismus seu ars omnium anagrammatum inveniendorum3. »

8[...]

9|229| Tertia propositio

  • 4 Cette proposition traite des Arrangements simples.

« Explicare numerum dictionum, quae fieri possunt ex dato litterarum numero, qui sumatur in alio maiori numero litterarum : hoc est assignare numerum dictionum, quae fieri possunt ex 22 litteris, quando dictiones sunt duarum, trium, out plurium litterarum, quarum nulla in qualibet dictione repetatur, ita tamen ut quaelibet dictio eandem locorum, sive ordinis patiatur diversitatem, quam dictiones primae propositionis4. »

10[...]

11|230| Quarta propositio

  • 5 Cette proposition traite des Combinaisons simples.
  • 6 C’est-à-dire A(22, 1), A(22, 2), ....
  • 7 La table donne donc les Combinaisons simples de 22 lettres.
  • 8 C’est-à-dire les Arrangements simples de 22 lettres. Mersenne montre ici comment on peut passer de (...)
  • 9 Nous supposons que Mersenne a voulu dire que deux sentinelles peuvent être choisies de 630 façons p (...)
  • 10 Exemples semblables à ceux deMersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145 – 146, où (...)

« Explicare modum quo combinatio vulgaris primae propositionis, que locorum varietas utitur, ex praecedenti varietate auferenda est, ut quaelibet dictio novam semper habeat aliquam litteram : hoc est assignare numerum combinationum, vel conternationum, etc., quae possunt fieri ex 22 litteris ita ut nullus ordo earumdem litterarum observetur5.
Si quilibet praecedentium numerorum6dividatur per combinationem primae propositionis, hoc est numerum dictionum, quae fiunt ex combinatione, per 2 ; numerus dictionum quae fiunt ex conternatione per 6 ; qui fit ex conquaternatione per 24, et ita deinceps, exurgent dictiones, quae fieri possunt ex alphabeto, quarum unaquaeque novam litteram habebit, et quae proinde pati poterit novam combinationem, [utpote] priman de qua prima propositione actum est.
Sequenti vero tabella omnes illae dictiones exhibentur, si enim sit dictio unius litterae, fient tantum 22 ex 22 litteris, quemadmodum unica dictio fiet ex 22 litteris : itaque prima columna ostendit numerum litterarum cuiuslibet dictionis, seu combinationes, conternationes, etc. exempli gratia, 5, significat conquinationes, 6 consenationes, etc. [ut et ut] in tabula praecedenti. Secunda columna dat numerum dictionum, e regione litterarum quotlibet numeri quaesitarum : nam 231 significat fieri posse conternationes, seu dictiones 3 litterarum 231 ex 22 litteris : quemadmodum 7 315 ostendit numerum dictionum ex 4 litteris compositarum7.
Ex quibus patet varietatem tertiae propositionis8conflari ex varietate istius, et primae, quandoquidem combinatio primae propositionis sequenti tabulae, vel illius combinationi addita restituit tabulam praecedentis propositionis, quemadmodum illa combinatio ablata ex tabula praecedente, relinquit sequentem ; quod fit si dividatur quilibet numerus illius tabulae per combinationem ordinariam, exempli causa 462 per 2. 9 240 per 6, etc. ut notavi ad tabulam praecedentem : [verum] illam divisionem sequens tabella supplebit.
Potest autem ista tabella contrahi, cum a 12 usque ad 22 iidem omnino numeri litterarum occurrant, qui positi sunt ab unitate ad duodenarium usque : quanquam illam descripsi integram, ne vel tantillum laboret intellectus, aut [oculus].
Plura hac methodo reperiri possunt, exempli gratia quot modis queunt milites 2, 3, 4 aut plures sumpti ex 22, aut ex 36, vel alio quopiam militum numero : quod utile esset in civitatum excubiis, dum gubernator summopere cavere debet, ne custodes ab hoste corrumpantur, potest enim sexcentis triginta sex vicibus illos mutare, si [ternos] distribuat ex 369 ;
quod si plures ad exurbias destinet, verbi causa 12, illos duodenos varie sumere poterit 125167770 ex numero 36 ut constat ex tabella sequente, quae potest etiam accommodari ad ludos alearum, seu foliorum lusoriorum10, nam prima columna ad dextram posita demonstrat numerum militum seligendorum, vel foliorum, ex maiori militum aut foliorum numero sumendorum : Secunda vero exhibet quoties quilibet rerum praedictarum numerus varius sumi possit, ita ut semper nova res in qualibet sumptione ponatur : Quae quidem tabella, eadem penitus ac praecedens methodo construitur, aliaque construitur, si plures, aut pauciores milites in maiori numero, puta in 100 000 sumi debeant. »

12|231|

  • 11 Sur les problèmes traités dans cette proposition, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, « Les Comb (...)

« Hinc fit duos aleis ludentes tamdiu lusoros antequam idem ludus redeat alterutri donec tot ludos [perfecerint] quot e regione cuiuslibet foliorum numeri scribuntur ; exempli gratia, si sumantur 3 folia, ludi 7140 perficiendi antequam ludus idem contingat, si modo ludi toties quoties possunt varientur : ac proinde ludus, quem vocant Piqueti, in quo 12 folia ex 36 sumit alteruter, nunquam idem redibit, donec 1251677700 ludos perfecerint qui omnes diversi erunt.
[Table donnant C(36, 1), C(36, 2), ..., C(36, 12)]
Idem omnino concludendum de dictionibus, quae sumi possunt in 36 litteris diversis, deque sexcentis huiusmodi, quae quispiam divinare potest in usus suos : sufficit enim si vocabulorum numerum in tota hac quaestione proponamus, ut qui multitudinem idiomatum statuere voluerit, sciat quot in orbe terrarum et alibi lingua fieri possint.
Corollarium
Horum autem omnium numerorum summa habebitur, si totidem numeri scribantur in progressione dupla Geometrica, quot sunt species varietatum, hoc est quot sunt numeri in prima columna duplum enim ultimi numeri progressionis, dempta unitate, dabit summam quaesitam, ut constat ex prima huiusce propositionis tabula, quae cum 22 ordines complectatur, 22 terminus numerorum dupla se ratione superantium, et ab unitate incipientium duplicatus, unitate dempta, hoc est 4 194 303 dabit numerum omnium dictionum. Idemque contingerit in tabula secunda, si tot haberet ordines quot supponit litteras, nempe 36, quandoquidem duplus numeri tricesimi sexti, dempta unitate, daret summam omnium varietatum, quae fieri possunt ex 36 rebus, aut litteris. At vero haec numerorum progressio dat numerum dictionum omnium duntaxat in confuso ; cum prima tabula, atque secunda dant illas distincte, et in particulari.
Propositio quinta
Methodum explicare, qua singulae dictiones inveniantur, quae binae, ternae, quaternae, etc. ut antea, sumuntur in 22 litteris, quando licet eandem litteram bis, ter, aut quater, etc. repetere in qualibet dictione, in qua nulla locorum, sed tantum litterarum varietas observatur11.
Inprimis notandum est quotnam litterae habeantur in dictione proposita, nulla ratione litterarum similium [habita] quippequae pro unica littera numerari debent : exempli gratia si sumatur dictio Inimici, censebitur 4 duntaxat litterarum, licet 7 habeat caracteres, quia littera i quater repetita pro unica littera sumitur, ideoque sumendus est numerus dictionum primae tabulae propositionis praecedentis, quae fiunt ex 4 diversis litteris, hoc est 7 315, qui multiplicatus per 4, dat 29 260 dictiones, quae fiunt ex 7 litteris, quarum una quater repetitur : idemque contingit in dictione 5 litterarum, quarum una bis repetitur, et in reliquis quotcumque litterarum dictionibus, quae 4 duntaxat litteras differentes habent. Ne vero calculus istorum vocabulorum ulli molestiam facessat, tabula sequens ostendet quot fiant dictiones ex dato litterarum numero, quarum aliquae bis, aut ter, etc. repetantur. »

13|232|

« Prima columna huius tabulae, quae sita est ad dextram, ostendit diversitatem litterarum, sive dictio constet ex 2, sive ex 3, sive ex 20 litteris ; secunda numerum dictionum complectitur, quae fiunt ex quotcumque litteris, ex quibus, una bis, ter, aut pluries repetitur. Exempli gratia, 2 significat dictiones quaspiam, quae 2 tantum habent diversas litteras, esse 462 : quae vero 3 habent diversas, esse numero 4 620, quibus si restituatur varietas ordinis, idem exurget dictionum numerus.
Cum autem iidem numeri reperiantur à 12 usque ad 22, qui ab undecimo ad 1, non erat necesse ultra undecimum descendere : quanquam id factum est, ne cuiuspiam imaginatio laboret. »

  • 12 Sur cette table et sur son commentaire, cf. ci-dessus, 198.

14[Voici le début et la fin de cette table12]

462 2
4620 3
29260 4
29260 19
4620 20
462 21
22
  • 13 Sur ces analogies entre « types » de chants, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, A, 3.

« Licet vero haec tabula complectatur omnes dictiones (dummodo non supersunt numerum 22 litterarum) in quibus una littera toties repetitur quoties volueris, non tamen illas in quibus una littera aliquoties, deinde altera etiam aliquoties ad libitum repetitur eapropter sequentia notanda veniunt.
Primum si non solum una, sed et plures litterae bis, ter, etc. repetantur inveniendum est in tabula numerus cui conveniant : exempli gratia, si una bis, et alia bis repetatur ut in dictione natan, quae refertur ad dictiones 4 litterarum, in qua una bis repetitur, vel dictiones 5 litterarum, in qua una ter repetitur, ut fit in dictione araba, cui 4 620 dictiones similes esse possunt in alphabeto, ut constat ex numero e regione 3 collocato. Idem etiam dicendum est de dictione 6 litterarum, in qua 3 litterae bis repetuntur, ut in Mattan, quia 2, 2, et 2 similes sunt 1, 1, et 1.
Secundum : dictiones quae aliquam habent rationem cum dictionibus tabulae praecedentis ob litterarum dispositionem atque repetitionem facile reperiuntur : si enim in aliqua dictione una littera bis, alia ter, aut quater, vel una ter, alia quater : vel una 5, alia sexies repetatur, similis erit dictioni, in qua una ponitur bis, alia semel, vel una semel, alia ter, aut quater, aut quinquies, quarum unaquaeque cum duas solummodo litteras differentes habeat, numerus istarum dictionum ponitur 462 e regione 213.
Tertium, Quia vero omnes dictiones non omnino respondent dictionibus praedictae tabulae, hic appono dictiones 4, 5, 6, 7, et 9 litterarum, sive ordinis varietas servetur, sive tollatur, ut ex his varietatibus de reliquis iudicium fieri possit. »

  • 14 Sur la Table des mots de 4 lettres, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, B, 1 et C (cette table e (...)

15[Prennent place ici plusieurs tables14 ; pour les mots de 4, 5, 6 lettres, Mersenne donne les résultats pour les deux possibilités : sublato ordine et ordine restituto [sans tenir compte, et en tenant compte, de l’ordre] ; pour les mots de 7 et 9 lettres, il ne les donne que pour le cas sublato ordine [sans tenir compte de l’ordre].]

16|233|

  • 15 Sur cette qualification de la « combinaison générale », cf. ci-dessus, p. 169.
  • 16 Sur ce paragraphe, cf. ci-dessus, p. 221.
  • 17 Sur la « combinaison générale », cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, E, 1.

« Ex quibus facile indicari poterit de reliquis dictionibus, quae referri poterunt ad praecedentes, quotiens nempe illarum similes litterae cum similitudine praedictarum analogiam servaverint.
Porro facile est ordinem dictionibus 7 et 9 litterarum restituere, sicut et aliis combinationibus, e quibus sublatus, ut postea demonstrabitur : nunc enim accedendum est ad varietatem dictionum, sive combinationem omnium generalissimam, quae reliquas ambitu suo complectitur15, adeo ut illae sunt veluti partes huius, ut constat ex sequenti propositione16.
Propositio sexta
Explicare methodum qua reperitur numerus omnium dictionum quae fieri possunt ex 22 litteris, si binae, ternae, et quaternae, etc. sumantur : sive servetur ordo, sive non servetur : sive quaedam, aut omnes litterae repetantur, sive non repetantur : atque adeo explicare varietatem omnimodam quam 22 litterae [utrimque] sumptae pati possunt17. Non potest generalior excogitari methodus, imo neque facilior : hinc apparet ea, quae sunt magis universalia, esse faciliora, quamvis mirabile videatur, ut quae maiorem afferunt notitiam magisque regnum, seu rempublicam scientiae atque litterarum extendunt, facilius comparentur, sed et in tota natura spectatur idem ordo, cum enim elementis, et lumine solari nihil sit universalius, nihil etiam magis in promptu est ; sed et inter invisibilia, atque spiritualia quid, amabo, deo [repertum] facilius, cum sit in unoquoque nostrum, et in eo vivamus, moveamur, et simus, cum tamen illo nil sit melius, nil sublimius, denique in omnibus scientiis universaliora, faciliora, ut [enumeranti] constabit. »

17[234]

  • 18 Mersenne avait d’abord omis la 4ème colonne. Il a collé ensuite sur sa première rédaction un papier (...)
  • 19 Mersenne veut dire que les deux dernières colonnes sont destinées à la présente proposition [calcul (...)

« Haec igitur varietatum, seu coniunctionum regula, omnium quae proponi possunt, generalissima est, quandoquidem non solum omnes combinationes, seu varietates includit, in quibus nulla res bis repetitur, sed omnes alias, in quibus res vel litterae bis, ter, quater, et sic in infinitum repetuntur, sive litterae binae, ternae quaternaeve seorsim, sive binae, ternae, et quaternae, etc., simul assumantur : exempli gratia, si ex 22 litteris, unaquaeque bis, ter, etc. usque ad 22 repetatur, maximus numerus dictionum ex illis varietatibus praecedentium hisce 30 characteribus constabit 35 768 634 714 896 679 177 439 424 706. Sequenti [vero] methodo quotcumque litterarum propositarum dictiones invenientur. Primun enim si detur unica littera 22 dictiones ex ea fieri poterunt cum bis et vigesies repeti possit : si [vero] duae proponantur, numerus dictionum exurget, si 22 litterae, in quibus [exeritur] tota varietas, in seipsas ducantur, fientque 484. Si 3 litterae proponantur, numerus 10 648 exurget ex multiplicatione 484 per 22, hoc est ex primo tabulae sequentis ordine ducto in secundum : qui primus ordo ductus in 3 generat quartum, ductus in quartum generat quintum, et ita de reliquis usque ad 22.
Ex quibus constat nihil ista combinatione facilius esse, cum numerus multiplicans idem semper permaneat neque duos binarios supersit, cum solae 22 litterae assumuntur : si vero plures volueris, puta 23, 24, aut 30 etc., multiplicante dato, reliqui ordines ab eo multiplicati totam tabulam conficient. Exempli gratia, si 24 litterae sumantur, dictionum numerus ex 2 litteris omnifariam in 23 [lire 24] sumptis compositarum invenitur ex ductu 24 in seipsum, hoc est 576, qui multiplicans per 24, utpote communem multiplicationem, producit 13 824, numerum videlicet dictionum 3 litteris constantium, quae sumuntur utrinque in 24 litteris.
Secundum observandum est tabulae istius ordines se invicem consequi iuxta dignitates Algebrae, quas Viata 3. capite Isagoges, magnitudines scalares appellat : quarum prima dicitur latus, seu radix ; secunda quadratum, 3. cubus : 4, quadratoquadratum : 5, quadratocubus : 6, cubocubus : 7, quadrato-quadrato-cubus : 8, quadrato-cubo-cubus : 9, cubo-cubo-cubus, quibus respondent e regione longitudo, planum, solidum, planoplanum, plano-solidum, solido-solidum, plano-plano-solidum, plano-solido-solidum, et solido-solido-solidum : [eaque serie] et methodo reliqui tabulae sequentis ordines denominari poterunt, et lateris hoc est 22 beneficio ducti in quadrato-cubum, seu quintum gradum, exurgit 6 gradus, seu cubo-subus, qui dat numerum dictionum 6 litteris constantium. Omitto totum Isagoges tractatum ad sequentem tabulam posse redigi, in qua primus ordo significat numerum litterarum, secundus vero litteras alphabeti latini complectitur, ex quibus demi poterat K et Y, sed solum K aufero, ut 22 supersint, quot etiam in alphabeto hebraico reperiuntur : de harum autem columnarum usu sequenti propos. agemus. Tertius ordo, seu tertia columna continet denominationes numerorum quibus utemur [postea]. Quartus18 ostendit numerum litterarum qui singulas dictiones componit. Quintus denique numerum quarumcumque dictionum, quae duae ultimae columnae huic propositioni destinantur quemadmodum 3 primae cum quinta sequenti propositione19. Porro Arabes, Turcae, Iudaei, Sinenses nationes similem tabulam suis Alphabetis respondentem [condere] poterunt, et uti praecedentibus si suas omnes dictiones investigare voluerint quae dubio procul cum omnibus dictionibus gallicis, latinis, atque graecis nostra tabula continentur, si modo cum nostris litteris scribere valeant. »

18|235| Tabula omnium dictionum possibilium

19[Nous ne donnons que le schéma de cette table dont on trouve l’analogue dans Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 137 : « Table de tous les Chants & de toutes les dictions qui se peuuent faire de 22 notes, ou de 22 lettres ».]

« Corollarium I
Facillimum est agnoscere summam istorum omnium numerorum, cum sint in progressione Geometrica 1 ad 22, quandoquidem eadem est ratio 22 ad 484, et istius ad sequentem, & ita deinceps, quae 1 ad 22, cum haec progressio suam assumat denominationem à 22. Eapropter si quis scire velit quot dictiones contineantur à 9 primis ordinibus, unitas ex decimo auferenda, residuumque divisum per 21 dabit 57 489 010 371 pro quotiente. Idemque reperitur in reliquis numeris, si eadem methodus observetur. Si tamen non habeatur decimus terminus, eadem summa exurget, si nonus terminus a quo dempta prius fuerit unitas, per 21 dividatur, et quotienti nonus terminus integer addatur.
Corollarium II
Antequam ad numerum linguarum ex praecedentibus dictionibus compositarum accedamus, egregius usus istius tabulae proponendus est, quo litterae secretae in omnem orbem terrae scribi, mittere possint, quas nullus praeter eos, qui scierint fabricam & usum istius tabulae explicare, aut etiam scribere poterit. »

20[Dans les trois propositions qui suivent, Mersenne traite le problème de la numération des Arrangements avec répétitions de 22 lettres, dont nous avons parlé ci-dessus, au chapitre 2 de la Troisième Partie. Nous citerons le titre de chacune de ces propositions en indiquant chaque fois la procédure (numérotée selon notre propre nomenclature) qui en fait l’objet.]

21|236| Sexta [bis] propositio

« Data qualibet dictione dare locum, seu ordinem auem obtinet in numero, seu summa omnium dictionum tabulae praecedentis, ac proinde dare methodum qua litterae scribantur, quae a nullo mortalium legi possint. »

22[Procédure I]

23|238| Septima propositio

« Dato quolibet numero praecedenti tabella comprehenso dare dictionem, datisque alicuius epistolae numeris quodvis significantibus dare, atque legere integram epistolam. »

24[Procédure I’]

25|239| Octava propositio

« Data quavis dictione dare locum quem obtinet inter dictiones totidem litterarum ; datoque numero, dare locum dictionis, cui respondet. »
[Procédure II et procédure II’]

26|240| Nona propositio

  • 20 Sur le début de cette proposition où l’on trouve la méthode directe pour calculer le nombre des Com (...)

« Combinationis ordinariae ab aliis varietatibus auferendae methodum explicare20.
Combinatio auferenda prima propositione explicata est, et iam ex tabula varietatum tertiae propositionis ablata beneficio tabulae quartae propositionis : ita [vero] ex tabula generali 6 propositionis aufertur. Scribantur tot numeri ab unitate incipiendo iuxta progressionem naturalem, quot erunt litterae, quibus dictio constat, quae sint, gratia exempli, 10, itaque scribendi sunt numeri 1, 2, 3, etc. usque ad 10 in una recta linea, deinde regione 1 statuantur 22, quot sunt dictiones ex unica littera : Ut autem reperiantur dictiones 2 litterarum, dividatur 22 per 2, ut habeatur 11, deinde addatur unitas 22, ut habeatur 23, qui ductus in 11 producit 253, quot sunt dictiones 2 litterarum, e quibus ordo sublatus est.
Trium [vero] litterarum numerus habebitur, si 253 dividatur per 3, quotiens erit 84 : deinde 2 addemus numero 22, ut habeatur 24, qui ductus in 84 generat 2024, hoc est dictiones 3 litterarum. Qui numerus a 4 dividus, fit 506 pro quotiente : tum addendus 3 numero 22, ut fiat 25, qui ductus in 506 dat 12650, seu dictiones 4 litterarum : qua etiam ratione numerus aliarum dictionum reperitur, ut sequente tabula demonstratur. »

27[Cette table donne K (22, 1), K (22, 2), ..., K (22, 10) ; on retrouve la même table dans les Reflexiones physico-mathematicae, Mersenne 1647, p. 208, où elle a pour titre : Sexta tabula Generalis Combinationis absque ordine.]

28|241|

  • 21 Cf. ci-dessus, p. 384.
  • 22 Le nombre des mots de longueur 6 dont le type est : (2, 1, 1, 1, 1) lorsqu’on tient compte de l’ord (...)
  • 23 Mersenne veut donc construire une nouvelle table en « ôtant l’ordre » de tous les termes de la tabl (...)

Eadem combinatio aufertur a varietate primae tabulae quintae propositionis21, quae duas aut plures litteras similes habet, si dividantur illius numeri per numerum anagrammatum quae fieri possunt ex unica dictione illis simili, de quibus fuse egimus in corollario 2 propositionis. Exempli gratia, aufertur ordo ex dictionibus 6 litterarum, e quibus una bis repetitur, si dividatur numerus istarum dictionum, puta 47 401 200, per mediam partem combinationis 6 rerum, hoc est per 360, quotiens enim dabit 131 67022. Verum tabula prima quintae propositionis dudum ab ista combinatione liberata est, cui si quis illam restituere velit, eodem modo per medietatem cuiuslibet combinationis multiplicande sit, per qua tabula continens ordinem dividebatur : cum autem non fuerit hactenus allata tabula cum ordine, de qua nunc agimus, hic illam appono usque ad dictiones 13 litterarum23. »

29[Extrait de la table intitulée « Dictiones quae habent 2 litteras similes »]

0 1
22 2
1386 3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13
  • 24 Mersenne rapproche ici deux nombres qui ont entre eux une relation simple, puisque le premier est l (...)

« Hic auteur observandum est dictiones 5 litterarum huius tabulae, quae 2 litteras similes habent esse decuplo maiore numero dictionum 4 litteris constantium, quae litterae omnes differentes habent [simul cum] ordine24. Omitto alia plurima quae a quovis circa hanc, et alias tabulas notari possunt, ut tandem ad linguas accedam, in quarum gratiam hae propositiones allatae sunt. »

B. Extraits du Manuscrit des chants de 8 notes

30Sur cet ouvrage que nous désignons, quant à nous, sous le titre de « Manuscrit des chants de 8 notes », qui en indique l’objet principal (énumération méthodique des Permutations de 8 notes données), cf. ci-dessus, Troisième Partie, ch. 1, A.

  • 25 Cf. ci-dessus, préambule, 1, a.

31Aimé de Gaignières avait pris copie25 de l’ensemble des propositions contenues dans ce manuscrit (B. N., mss., fonds français 12 358, fol1. 37 r°-44 v°).

32Nous allons tout d’abord donner les titres de toutes les propositions ; après quoi nous avons retranscrit le texte des Propositions III, IV, VI, que nous avons analysées ci-dessus (Troisième Partie, ch. 1, D), et de la Proposition VII où Mersenne dit l’« utilité » que les praticiens peuvent tirer de son répertoire des 40 320 chants de 8 notes.

33Il nous est arrivé de supprimer des majuscules à certains mots (comme Nombres, Notes, etc.) ; signalons qu’il est des mots dont l’orthographe varie à l’intérieur de ce texte (par exemple : « explicquer » et « expliquer »).

34[Titres des propositions]

35« Premiere proposition

36Expliquer et déscrire, tous les chants qui peuvent etre faicts des huit notes de l’octave et consequemment tous les airs qui se peuvent rencontre dans les 7 especes d’octaves, et dans les 12 notes. »................................................... fol. 1 r°-2 v°

37« Seconde proposition

38Descrire tous les chants qui se peuvent faire des 8 notes de l’octave, lors que l’on les prend toutes 8 dans chaque chant, et qu’il n’est pas permis de repeter 2, ou plusieurs fois une note ; c’est à dire donner tous les chants qui se peuvent faire de 8 notes par la combination ordinaire, à scavoir 40 320 » [C’est ici que se place sous le titre de : « Chants de huit notes » l’énumération des 40320 chants]........................ fol. 3 v°-340 r°

39« Troizieme proposition

40Un chant étant donné trouver le quantiesme il est dans la combination ordinaire. » fol. 340 r°-341 r°

41« Quatrieme proposition

42Un nombre étant donné trouver le chant auquel il respond entre tous les chants qui se peuvent faire d’un nombre donné de notes. »..................... fol. 341 v°-343 r°

43« Cinquiesme proposition

44Determiner combien il y a de chants dans les 8 notes de l’octave, qui ayant l’intervalle de l’octave, ou celui de la septieme, de la sexte, de la quinte, & c. une, deux, trois, ou plusieurs fois, et combien de fois chaque intervalle se repete dans les chants qui se font de 8 notes. ».................................................... . fol. 344 r°-344 v°

45« Sixieme proposition

46Expliquer la maniere dont il faut user en variant les notes d’un chant donné pour éviter la confusion, et pour n’obmettre aucune sorte de combination ou de conionction. » fol. 345 r°-346 v°

47« Septieme proposition

48Explicquer les utilitez que les Praticiens peuvent tirer des 8 notes et de tous leurs chants. »....................................................... . fol. 347 v°-348 v°

49« Proposition huictiesme

50Explicquer la table des combinations et son utilité.

51Table des combinations ou varietez de 64 choses. »............... fol. 348 r°-349 r° [Texte des Propositions III, IV, VI, VII]

52|340 r°| Troizieme proposition

53« Un chant étant donné trouver le quantiesme il est dans la combination ordinaire. Il faut premierement scavoir de combien de notes le chant est composé : par exemple, si l’on suppose qu’il soit composé de 8 notes, comme est celuy cy, »

« La combination ordinaire enseigne que l’on peut faire 40 320 chants de ces 8 notes : Et si l’on oste la premiere note de ce chant, que les autres se peuvent variez en 5 040 manieres : donc il s’ensuit que puisque chaque note demeurant au premier lieu l’on peut faire 5 040 chants, que les deux premieres notes demeurant aussy dans un mesme lieu, qu’il reste 6 notes qui se peuvent varier 720 fois, et ainsy des autres.
Cecy estant posé, il faut remarquer que cet Air commence par mi, et consequemment, qu’il y a 5 040 ut et autant de ré qui le précédent ; c’est pourquoy il faut mettre deux fois 50 405 ; puis il faut conter 5040 pour le second mi, et tout autant pour chaque note, qui est sous ce mi, à sçavoir pour ut, ré, fa, sol, ré qui sont les 5 lieux, où l’on en peut mettre la 2 note, et partant, il faut conter 5 fois 720, qui sont 3 600, qu’il faut mettre sous 5 040.
La 3 note est ut, et parce que l’on ne le peut mettre plus bas, il le faut laisser ; quoy que s’il eust été à la 2 ligne, ou dans quelque autre, il l’eust fallu conter 120 fois, autant de fois qu’il y eust eü de lignes, où l’on eust peu mettre. »

54|340 v°|

55« La 4 note est fa ; et parce qu’au lieu dudict fa l’on eust peu mettre la dite 4 note au ré, il faut conter 24 pour le dit lieu, qu’il faut mettre souz 3 600, d’autant qu’apres ce fa il y a 4 notes qui se peuvent varier en 24 manieres.

5040
5040
3600
24
13706

56La 5 note est ré, qu’il faut obmettre, parce qu’il ne peut estre mis plus bas ; et sy l’on l’eust peu faire, il eust fallu conter 6, autant de fois.

57La 6 note est sol, qui ne peut aussy estre mise plus bas, et si l’on l’eust peu faire, l’on eust conté 2.

58Les 2 autres notes sont fa, ré : Et parce que l’on eust peu mette ré, fa, il faut conter 2, à scavoir un pour ré, fa, et un pour fa, ré : or si l’on assemble tous ces nombres, l’on trouvera que le chant proposé est le 13 706 chant des 40 320, qui se peuvent faire de 8 notes.

59Mais affin que la Reigle soit generale, et que l’on puisse trouver le lieu de chaque chant pris dans un moindre, ou dans un plus grand nombre de notes que huit, je veux ajoûter cet Exemple d’un chant de 10 notes. »

60« Desquelles l’on peut faire 3 628 800 chants differents : Et parce que la premiere note de ce chant est au 4 lieu, il faut multiplier la combination de 9, qui est 362 880, par 3, car il faut tousjours multiplier par moins un, si ce n’est lors que tout le reste des notes va de suite de haut en bas ; or 362 880 multiplié par 3 donne 1 088 640 : Et parce que la 2 note de ce chant se pouvoit mettre en 4 lieux plus bas, il faut multiplier 40 320 qui est la combination de 8, par 4, dont le produit est 161 280, qu’il faut mettre souz 1088 640.

61[calcul placé dans la marge]

1088640
161280
5040
1440
120
12
1256532

62La troizieme note se pouvoit mettre en un lieu plus bas, c’est pourquoy il faut mettre 5 040 souz 161 280 : La 4 note se pouvoit mettre en deux lieux plus bas, il faut donc multiplier 720 par 2, dont le produit est 1 440.

63La 5 note se pouvait mettre en un lieu plus bas, c’est pourquoy il faut mettre 120 ; et parce que la 6, ne peut estre plus bas, il ne faut rien mettre : La 7 note se pouvoit mettre [|341 r°|] un rang plus bas, et parce que les 3 qui suivent vont de suite de haut en bas, il faut seulement multiplier 6 par 2, pour avoir 12 ; or tous ces nombres t adioûtés donnent 1 256 532, comme l’ on void à la marge, lequel est le nombre cherché, qui monstre le rang que tient le chant de 10 notes parmy tous les chants qui se peuvent composer de ces 10 notes.

64Corollaire

65Il est tres aysé de trouver la mesme chose dans tel autre nombre de notes que l’on choisira, par exemple dans 15, 20, et 30 notes ; or ce que ie die icy des chants, peut estre apliqué aux dictions, qui sont faites d’autant de lettres differentes qu’il y a de notes ; ce qui peut encore servir pour escrire par la Musique tout ce que l’on voudra sans qui l’on puisse dechifrer les secrets. Mais la proposition qui suit enseigne comme il faut dechifrer les mesmes secrets. »

66|341 v°| Quatrieme proposition

« Un nombre étant donné, trouver le chant auquel il respond entre tous les chants qui se peuvent faire d’un nombre donné de notes.
Cette proposition est l’inverse de la precedente, c’est pourquoy l’on peut trouver le chant qui respond au nombre donné, pourveu qu’il ne soit pas plus grand que le nombre entier de la combination ; par exemple, pourveu qu’il ne surpasse pas 40 320 pour la combination de 8 notes, ou 3 628 800 pour celle de 10 notes.
Je suppose donc maintenant que l’on veuille sçavoir le chant de 8 notes, qui respond à 2 166, c’est à dire le deux mille cent soixante et sixieme chant des 40320 que l’on peut faire de 8 notes ; or il faut prendre la combination de 7 choses, à scavoir 5040 par laquelle il faut diviser 2 166 : Mais parce que cette division ne se peut faire, il faut le diviser par la combination de 6, qui est 720, et mettre la premiere note au lieu le plus bas. Puis, il faut diviser 2 166 par 720, le quotient est 3, le reste 6. C’est pourquoy il faut mettre la 2 note 4 rangs plus haut que la premiere, c’est à dire au 5 lieu et laisser trois rangs entre les 2.
Il faudroit encore diviser le reste, à scavoir 6 par 120, puis par 24, et finalement par 6 : Mais parce que la division estant faite par 6, il ne reste rien, il faut mettre les 3 notes suivantes de bas en haut, c’est à dire la premiere au plus bas lieu, s’il est possible, (lequel se rencontre icy au 2 lieu, d’autant que la premiere note est au premier lieu) et les autres ensuite : C’est pourquoy la 3 note sera au 2 lieu, la 4 au 3, et la 5 au 4 lieu. Et pour les 6 qui restent de la division ie mets les 3 dernieres notes de haut en bas, d’autant que ces 3 notes ne [528] se peuvent changer que de 6 façons : Et consequemment la 6 note sera au 8, et dernier lieu, la 7 au 7, et la 8, ou derniere au 6 lieu, de sorte que le chant qui respond au nombre 2 166 doit estre escrit comme l’on le void icy. »

67|342 r°|

« Soit encore donné le nombre 40 272, si l’on desire sçavoir quel chant lui respond. Il faux diviser 40 272 par 5040, le quotient sera 7 et restera 4 992. Or quand il reste quelque chose, il faut tousiours adioûter un au quotient : Et quand il ne reste rien, il n’y faut rien aioûter, mais il faut mettre les notes qui restent de haut en bas. I’adioûte donc un au quotient 7 pour avoir 8, et consequemment la premiere note du chant que nous cherchons est au 8, ou dernier lieu ; il faut par apres diviser le reste 4 992 par 720, le quotient est 6 et reste 672, c’est pourquoy ie mets la 2 note au 7 lieu, parce qu’il faut adioûter un au quotient 6 ; puis ie divise le reste 672 par 120, le quotient est 5, et reste 72, partant ie mets la 3 note au 6 lieu ; ie divise encore 72 par 24, le quotient est 3, et ne reste rien : Ie mets donc la 4 note au 3 lieu, à cause qu’il ne reste rien, et puis ie mets tout de suite les 4 notes qui restent en commençant en haut et finissant en bas ; Or le plus haut lieu qui n’est point occupé, est le 5, partant ie mets la 5 note au 5 lieu, la 6 au 4, la 7 au 2 lieu parce que le 3 est occupé, et la derniere au premier, de sorte que ie trouve que ce chant est le 40 272 entre ceux qui se peuvent faire de 8 notes. »

« Si l’on veut prendre le chant dans plus de huit notes, il faut faire la mesme chose : par exemple, si l’on demande le quantiesme est ce chant, qui se compose de 10 notes, dans les 3 628 800 chants qui se peuvent faire de 10 notes. »

68|342 v°|

69« Il faut premierement remarquer que la premiere note est au 4 rang. C’est pourquoy il faut multiplier la combination de 9 qui est 3 628 801, par 3, car il faut tousiours multiplier par un moins que le nombre de la note, si ce n’est quand tout le reste des notes va de suite de haut en bas. Or 362 880 multiplié par 3 produit 1 088 640 ; et par ce que la seconde note se pouvoit mettre en 4 lieux plus bas, il faut multiplier 40 320, qui est la combination de 8 par 4, le produit est 161 280 que ie mets souz 1 088 640. La 3 note se pouvoit mettre un lieu plus bas, et partant ie mets 5 040 souz 161 280. La 4 note pouvoit estre en 2 lieux plus bas ; c’est pourquoy ie multiplie 720 par 2, le produit est 1440, la 5 note se pouvoit mettre un lieu plus bas, et partant ie mets 120 ; la 6 note ne se peut mettre plus bas, c’est pourquoy il ne faut rien mettre pour elle. La 7 note se peut mettre en un lieu plus bas, mais les 3 qui suivent vont de suite de haut en bas, c’est pourquoy ie multiplie 6 par 2, pour avoir 12, or tous ces nombres estant adioûtes donnent 1 256 532, qui est le nombre que nous cherchons.

70[calcul placé dans la marge]

1088640
161280
5040
1440
120
12
1256532

71Mais si l’on demande quel chant pris dans 10 notes respond à 1203 481, il faut diviser 1 203 481 par la combination de 9, qui est 362880 ; le quotient est 3, qui monstre qu’il faut laisser 3 lieux au dessouz de la premiere note, et la mettre au 4 lieu : Et la division estant faite, il reste 114 841, que ie divise par 40 320 (qui est la combination de 8). Le quotient est 2, le reste 34 201, ie mets donc la 2 note au 3 lieu, et laisse 2 lieux au dessouz : (Car i’ay dict cy dessuz qu’il faut tousiours adioûter un au quotient, lors qu’il reste quelque note apres la division) et puis je divise 34 201, par 5 040, qui est la combination de 7, le quotient est 6, le reste 3 961, c’est pourquoy je mets la 3 note au 7 lieu de ceux qui restent, qui est la 9me en contant les 2 notes qui sont desia placées ; et puis je divise 3 961 par 720, le quotient est 5, et partant, ie mets la 4 note au 6 lieu de ceux qui restent, qui est la 8me, reste 361, que ie divise par 120, le quotient est 3, et reste 1. Je mets donc la 5 note au 4 lieu de ceux qui restent, qui est le 6me ; et par ce qu’il ne reste qu’un je mets le reste des notes de bas en haut, à scavoir la 6 note au plus bas, ou premier lieu, qui n’est point occupé, |343 r°| la 7 au 2 lieu, la 8 au 5 lieu, par ce que le 3, ou le 4 sont occupés ; la 9 au 7 lieu, parce que le 6 est occupé, et finalement, la 10 ou derniere note au 10, ou dernier lieu qui n’est point occupé par d’autres notes, et consequemment le nombre 1 207 481 represente le chant qui suit, ou une diction de 10 lettres, si l’on suppose un alphabet composé de 10 characteres, dont on fasse toutes les dictions possibles. »

« Mais il n’est pas necessaire de parler de ces dictions par ce que i’ay dit ailleurs tout ce que l’on en peut scavoir. »

72|345 r°| Sixieme proposition

« Expliquer la manier dont il faut user en variant les notes d’un chant donné pour éviter la confusion, et pour n’obmettre aucune sorte de combination, ou de conionction.
Encore que l’exemple precedent de la combination et des varietez de 8 notes fasse voir la maniere dont il faut proceder pour rencontrer toutes les varietez possibles, neantmoins ie l’explicque icy par discours, affin que ceux qui voudront prendre la peine de trouver et d’escrire les varietez des chants composez de 10, 12 et 15, ou autre plus grand nombre de notes, suivent l’ordre naturel, qui est le plus facile, et qu’ils n’obmettent nulle varieté.
Or, il n’y a point de meilleur moyen pour éviter l’embarras, la confusion et la difficulté de ces varietez, que de s’imaginer que l’on arrange des nombres qui se suivent d’un ordre naturel, comme font 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, car ils monstrent que cette disposition est la premiere des varietez, ou des combinations, parce que l’on ne peut les disposer autrement que la somme de ces nombres ne soit plus grande que la precedente, le second rang de nombres doit seulement changer l’ordre des 2 derniers en cette maniere 12 345 687 : Les 3 derniers nombres à sçavoir 678, peuvent estre variez 6 fois, c’est à dire 4 fois, oûtre les 2 precedentes varietez, comme l’on voit icy 768, 786, 867, et à rebours, de sorte que la sixieme, ou la derniere varieté 876, est le plus grand nombre de tous ; par où l’on void que cet ordre commence par le moindre nombre et finit par le plus grand.
Apres que l’on a varié les 3 derniers nombres, ou les 3 dernieres notes, il faut changer le 4 nombre, à scavoir 5, et mettre le nombre suivant, c’est à dire 6, en sa place parce qu’il est le moindre des autres ; l’on aura 6 578, puis il faut varier 578 en 6 façons, comme i’ay dit cy dessuz : en apres il faut donner le premier rang au 6 et le mettre au lieu du 4, et faire la mesme chose au sept, et au 8, affin d’avoir 24 varietez ; et puis il faut mettre le 5 au 5 rang au lieu du 4, en cette maniere 54 678, et changer 4 678 en 24 façons comme i’ay dit cy devant si l’on suit tousiours cet ordre, l’on ne se troublera nullement et l’on n’obmettra nulle des varietez possibles.
Or il faut remarquer qu’il est aysé de trouver |345 v°| le nombre qui doibt suivre quand le precedent est donné, parce que c’est le plus grand qui suit immédiatement ; par exemple, que le nombre precedent soit 32 415 786, ie dis que 32 415 867 suit immediatement après ; car puisque 7 demeurant où il est, il n’y en a point de plus grand, il faut changer, et mettre 8 en sa place ; et celuy d’apres est 32 415 876.
Mais pour avoir le precedent, il faut prendre celuy qui est immediatement moindre ; que celuy qui est donné, à scavoir 32 415 768 ; et si l’on veut encore avoir celuy qui precede immediatement l’on aura 32 415 687 ; l’autre precedent est 32415 678, et l’autre est 32 415 678 [sic].
Si l’on prend les 5 derniers nombres, à scavoir 15 678, il ne s’en trouve point de moindre, parce que le moindre se rencontre tout le premier ; c’est pourquoy il faut changer le 4 nombre ; et mettre 1 en sa place pour avoir 32 187 654.
Ce qui suffit pour comprendre la maniere de combiner et de trouver toutes les varietez possibles de chaque multitude de nombres de notes, de lettres, ou d’autres choses données, particulieremunt si l’on entend ce que i’ay dit dans les autres propositions. »

73[Dans la suite de la proposition, Mersenne passe à des remarques plus générales sur la quantité de papier considérable qui serait nécessaire si on voulait transcrire les chants de 9, 10, 15 notes, et s’efforce d’expliquer pourquoi « le nombre de leurs variétés s’augmente si fort, quoy que le nombre des choses que l’on varie croisse si peu ».]

  • 26 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 3, B, 3 : « Le problème du plus beau des chants ».

|347 v°| Septiesme proposition
« Explicquer les utilitez que les Praticiens peuvent tirer des 8 notes, et de tous leurs chants26.
Encore que les 40 320 chants qui sont faicts de 6 notes differentes en contiennent beaucoup de mauvais, comme ceux qui ont une, ou deux septiemes, ou une, 2, ou 3 sextes maieures, neantmoins il n’y a nul chant qui ne puisse servir à quelque chose ; par exemple, à representer ou à exciter quelque passion, ou affection d’esprit ; et dont on ne puisse user pour faire de bons chants en adioûtant quelques notes pour remplir les intervalles des septiemes, et des sextes, ou les autres selon le dessein que l’on aura. Or l’une des utilitez que l’on peut tirer de ces varietez consiste en l’invention des differentes modulations, ou dans les idées que le compositeur conçoit en voyant plusieurs chants qu’il ne s’estoit iamais imaginez ; car il n’importe qu’il ne les approuve pas en tous leurs intervalles, pourveu qu’il y rencontre quelque chose de particulier, dont il puisse tirer de la lumiere pour l’employer aux differents suiets qu’il traicte, et dont il puisse enrichir ses inventions et ses fantaisies.
L’autre utilité sert pour varier un subject autant de fois qu’il est possible, sans que personne y puisse adiouster aucune varieté ; ce que le Musicien fera sans confusion, et sans desordre lorsqu’il entendra ce discours, par le moien duquel les praticiens peuvent commencer les varietez d’un nombre donné de sons, ou de notes partout où ils voudront ; par exemple, ils peuvent commencer les chants de 6 notes par le 5040, et poursuivre iusques à la fin, ou rebrousser, et descendre iusques au commencement, ou garder tel autre ordre qu’ils voudront sans manquer à aucune varieté : Et consequemment ils pourront surmonter tous les autres praticiens qui n’auront pas cette connoissance quelque genie, ou bon naturel qu’ils puissent avoir, toutes et quantes fois qu’il sera question de varier tel chant que l’on voudra. [...]
|347 r°| Mais la principale utilité qui se peut tirer de ces varietez consiste à discerner, et à reconnoistre les meilleurs chants, et les plus agreables de ces 40 320 varietez, dont le premier et le dernier plaisent davantage à plusieurs qu’aucun des autres : Quoy qu’il semble que l’on ne puisse iuger absolument quel est le meilleur, ou le plus agreable, d’autant que ce qui plaist, ou desplait davantage aux uns, plaist ou desplait moins aux autres, selon qu’ils sont differemment passionnez, disposez ou preoccupez. Il peut mesme arriver que ceux que l’on iuge ordinairement les pires seront pris par quelques uns pour les meilleurs et qu’il n’y a nul chant en tous les 40 320 des 8 notes, qui ne puisse tellement agrééer à quelque oreille, qu’elle le preferera à tous les autres. Car il est des oreilles comme des gousts, dont les uns se plaisent aux saveurs aigres, et picquantes, et les autres aux douces, et aux fades, puisque l’on experimente que les chants qui usent de grands intervalles plaisent plus à quelques uns que ceux qui vont par degrez conjoincts ; ce que l’on peut aplicquer aux autres sens exterieurs, puisque les yeux differents font choix de differentes couleurs, et que l’odeur qui agree à l’un blesse l’autre. »

C. Notes manuscrites portées par Mersenne sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle

1. Notes portées dans les marges du « Livre second des chants »

74Cet exemplaire de main de l’Harmonie universelle est celui qui est conservé à la Bibliothèque des Arts et Métiers, à Paris, et qui a été édité en reproduction photostatique par le C.N.R.S. en 1963.

75Le « Livre second des chants » fait partie (p. 89 – 180) des « Traitez de la voix et des chants » publiés en tête du second volume de cette édition.

  • 27 B.N., mss., fonds français, ancien supplément français, 12 357, cf. ci-dessus, préambule, sec. 1, a

76La copie qu’avait prise de ces notes Aimé de Gaignières27 nous a été souvent d’une aide précieuse pour déchiffrer les pattes de mouche de Mersenne.

77Nous avons indiqué succintement entre crochets le sujet traité par Mersenne dans les textes en regard desquels il a ensuite placé ses notes manuscrites.

  • 28 Cf. ci-dessus, Préambule, sec. 2.
  • 29 Faute de pouvoir présenter ici côte à côte les textes de Mersenne et de Frenicle.
  • 30 On verra de plus ci-dessous qu’un des passages des notes de la p. 135 correspond à un passage du ma (...)

78L’intérêt de celles-ci vient avant tout du fait que plusieurs d’entre elles ont pour origine la lecture par Mersenne du manuscrit autographe F-a de Frenicle28. Chaque fois qu’il s’agit de passages que nous avons commentés ci-dessus, nous le disons en note ; voici par ailleurs un relevé sommaire29 des rapprochements qu’on peut établir entre les notes de Mersenne et le texte de Frenicle ; pour la commodité des références, nous citons l’édition imprimée de l’Abrégé des combinaisons [Frenicle 1729] ; nous indiquons tout d’abord la page de l’Harmonie universelle, et en regard la ou les pages correspondantes de l’Abrégé : 111 : 90 – 91 ; 131 : 96 – 100 ; 132 : 101 et 105 – 106 ; 135 : 97 – 9830 ; 146 : 100-101 ; 147 : 95-96.

79Page 107

80[Proposition VIII. « Règle ordinaire des combinations »]

  • 31 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 2, §2, notre commentaire de ce texte de Guldin.
  • 32 C’est-à-dire la Proposition XI portant sur les Arrangements.

« Voyez le problème arithmetique à la fin du 2 tome de Centro gravitatis de Guldinus31, qui conte le nombre des lettres qui sont en toutes les dictions qui se peuvent faire des 23 lettres de l’alphabet, et combien tout cela ferait de volumes et de bibliothèques, encore qu’en chasque diction nulle lettre ne se repetast ce qui se rapporte à [notre] proposition 11 qui suit32 : or il se trouve autant de lettres
1 546007 491 267 262 147 905433,
dont le premier ciphre 1 vaut un septilion, et le nombre des dictions qui contiennent ce nombre de lettres est 70273 067 330 330 098 091153, dont le 1er ciphre 7 vaut septante ou sept dizaines de sextilions. »

81Page 110

82[À propos du nombre 64 !]

  • 33 C’est-à-dire les Quaestiones in Genesim. Cf. ci-dessus, 139.

« Il y a 90 caractères dans le 64me nombre, de sorte qu’il y a au premier ternaire 221 huitilions, il y a aussi 90 caractères dans le Livre de la Genèse33, page 53 qui monstre combien un monde d’autant plus grand que cestuicy, que cestuicy iusque au firmament est plus grand qu’un grain de sable, contiendrait de grains de sable en toute sa solidité.
Mais si l’on prend un nombre quarré magique et que l’on veuille scavoir en combien de manieres il se peut varier [demeurant tousiours] magique, le nombre sera encore plus grand, particulièrement si ce nombre est un peu grand, comme celui de 22, dont une enceinte pouvant estre ostée en sorte que les rangs 20 qui restent soient encore egaux en leur somme la variation n’en peut estre exprimes que par le nombre qui vient de la multiplication de 1 332 756 462 138 013 445 206 441 942 056960, par 1188 496 086 155 689 918 464 000 000 000,
et du produit par 11 411 553 620 219 513 137 885 347 840 000.
Et le quarre de 14, duquel on oste chaque enceinte iusques à 4, [ce] qui est du 4[e] restant touiours de mesme se peut varier en 3 371 056 466 400.
Quant à la variation absolue où les bons sont avec les mauvais, c’est à dire les magiques avec les non magiques, il ne faut que prendre la combination ordinaire du quarré par exemple de 9 qui est le 1er, de 14, de 22, et ainsi des autres.
Et si l’on exprimait toutes les varietés magiques du quarré de 22, il faudrait un nombre de plus de 400 caractères. »

83Page 111

84[Proposition IX. Permutations de 6 notes]

  • 34 Mersenne paraphrase ici un développement de Frenicle sur des énumérations de Permutations ; cf. ci- (...)
  • 35 Ce « gros volume » est évidemment celui que nous désignons comme le « Manuscrit des chants de 8 not (...)

« Pour faire toutes les varietés sans se confondre, il faut tenir un ordre à arranger le nombre des choses proposées34 : par exemple s’il y en a 4 comme DIEV, il faut retenir la 1ere lettre et changer l’ordre des 3 autres, ie change donc les trois IEV en 6 façons, et parce que I est la 1ere, ie la retiens encore, et change EV en toutes les sortes qui sont 2, scavoir EV et VE, puis ie change E, [...] ainsi EI et puis ie mets les 2 autres en leurs 2 façons : puis après D ie mets la 4eme lettre V, et change encore les 2 autres en leurs 2 façons, et parce que la 4eme est la derniere, et qu’on ne peut plus en mettre d’autre au 2d lieu, ie change la 1ere D pour mettre la 2 I en sa place, et ensuite les 3 autres selon leur ordre, scavoir la 1ere au second, et puis la 3 et 4 et ainsi I demeurant au 1er lieu, on fait les 6 changements des 3 autres DEV comme devant. Ce qu’estant accompli, on mettra la 3 lettre E au 1er lieu pour faire encore les 6 variations des trois autres DIE en leurs 6 façons.
S’il y avait 5 lettres [différentes], il faut faire comme devant les 24 changements des 4 dernières, la 1ere demeurant tousiours en son 1er lieu, et puis on oste la 1ere et l’on met en son lieu la 2de pour faire encore 24 variations et ainsy la 3, 4 et 5 lettre.
Et s’il y avait 6 choses comme icy 6 notes, on doit faire le changement des 5 dernières, de 120 façons, qu’on changera en 6 sortes à cause des 6 choses qui doivent l’une apres l’autre tenir le 1er lieu.
Pour 7 choses on fera 720 changements des 6 dernieres qui [sont recommencees] 7 fois affin que chacune ait le 1er lieu et ainsi des autres à l’infini.
Par où l’on void qu’il faut commencer à travailler sur les 3 dernières, et gardant la lere des 3, ranger les deux dernières en deux façons, et parce qu’il y a 3 lettres, on met chacune des 3 pour la 1ere, et apres chacune des 2 autres de 2 façons ; de la vient que pour avoir la combination de 3, on multiplie 2 par 3 pour avoir 6.
Voyez la combination des 8 notes de l’octave dans le gros volume manuscrit entier de cette matiere avec les règles des combinations devant et apres35. Et parce qu’apres avoir considere la variete des 3 notes en 6 façons, et que chacune des 4 notes peut tenir le ler rang, on multiplie 6 par 4 pour avoir 24 de combination et ainsi de 5, 6, 7 et les autres à l’infini. »

85Page 113

86[Table des 720 chants d’ut, ré, mi, fa, sol, la]

« Pour scavoir comme il faut separer les mauvais chants, ou [tels] autres intervalles qu’on voudra de cette combination, par exemple pour oster VT BI, ou bien VT LA, des 4 320 [lire : 40 320] chants de l’octave, prenons VT BI pour une note dont la combination avec les 6 autres sera comme la combination de 7 notes, c’ est à dire 5040 ; et parce que BI, VT, donne encore le mesme intervalle, [prenes] le double scavoir 10 080 et tout autant pour VT, LA et LA VT. Mais parce que parmi ces 20160 chants, il s’en trouve quelques uns qui ont ensemble VT, BI, et LA VT scavoir une sixieme [maisure], et une septiesme, il faut prendre BI, VT la pour une note qui avec les 3 autres fait 6 notes, on aura la combination de 6 choses, à scavoir 720 : et pour ce qu’on peut aussi prendre LA, VT, BI il faut doubler ce nombre, pour avoir 1 440, lequel osté de 20 160 reste 18720 chants, qui ont une sexte maisure ou une septiesme, qu’il faut oster de 40 320.
Il faut suivre la mesme regle pour detacher VU LA et LA VT, des chants de ces 6 notes qui font 720 varietez. »

87Page 131

88[Arrangements]

  • 36 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. Deuxième Partie, ch. 2, C et ch. 3, E, 1

« La combination de changement36 est de 2 sortes, l’une où toutes les choses sont differentes, comme aux 12 cartes du piquet, l’autre où elles peuvent estre [indifferemment] ou toutes differentes ou toutes semblables, ou partie differentes et partie semblables, comme si l’on prenait le dit ieu de 12 cartes en 12 ieux de piquet.
Pour l’une et l’autre, il faut faire 12 nombres par multiplication, y compris le 1er qu’on multiplie, qui est 36. Mais pour le 1er où tout est different, il faut multiplier par le nombre inférieur scavoir 35, et le produit par 34 [et coet.]. Et pour le 2d ordre, il faut multiplier par les supérieurs scavoir par 37, 38 [et coet.]. Donc pour le 1er, il faut faire 11 multiplications, et le dernier produit 599 555 620 984 320 000 donnera la varieté de 12 cartes prises en 36, avec l’ordre, c’est à dire supposant qu’on les arrange en toutes les façons possibles, qui est le 1er cas, ou 1ere sorte de combination meslée qui suppose toutes les choses differentes, mais prises en un plus grand nombre, et supposant ainsi l’ordre.
Partant pour avoir les [dits] ieux de piquet sans l’ordre, puisqu’il ne change point le ieu, il faudra diviser le grand nombre [précédent] qui a 5 quadrillons par son 1er cifre par la combination de l’ordre de 12 choses scavoir par 479 001 600, et on aura 1251 677 700 varietez de ieu de piquet.
Pour ce qui est de iouër et ietter les cartes sur la table, il faut avoir esgard à l’ordre, et chaque ieu se peut iouer en 479 001 600 façons qui est l’ordre de 12. Et partant, pour avoir en tout en combien de sortes on peut iouër les 12 cartes prises en 36. il faut multiplier les dits 125 167 700 par 479 001 600 pour avoir le grand nombre cy-devant trouvé 599 et coet.
Voyla pour le 2 changement où toutes les choses sont differentes soit sans l’ordre ou avec l’ordre. Mais lorsqu’elles peuvent estre semblables ou en tout ou en partie, il faut multiplier 36 par 37, et puis le produit par 38, iusqu’à ce qu’on ayt 12 nombres ou produits, autant que la multitude de choses, et ainsi le dernier nombre qui multiplie sera 47, et puis il faut diviser le produit par l’ordre de 12. »

89Page 132

90[Suite de la page précédente]

  • 37 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, p. 191, p. 222.
  • 38 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 4, C, 1  (...)
  • 39 Sur cette référence aux Harmonicorum libri, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 4, sec. 3.
  • 40 Même remarque.

« De mesme pour les 6 paniers de fruits37 desquels on en choisis cent, avec liberté de les prendre tous semblables et en un mesme panier ie prends 6 pour le terme des multipl. ie le multiplie par 7, i’ay 42 et puis 42 par 8 et coet. tant que i’aye 100 nombres y compris 6. le dernier nombre multipliant sera 105, qui surpasse 6 de 99 scavoir de un moins que la multitude des choses 100, a cause que 6 conte pour le 1er.
Le dernier produit estant divisé par l’ordre des 100 choses donnera le nombre requis. [un trait]
Lorsque les 12 cartes38 sont prises en 12 ieux pour estre semblables, et qu’on y garde l’ordre, il faut se servir des puissances quarrees ; et sans l’ordre des puissances triangulaires, [les quarrees sont les ordinaires] : la triangulaire se fait par l’addition des puissances qui ont 1 moins d’exposant depuis la 1ere qui est 1 jusques à celle qui a pareille R. Car la 6eme puissance triangulaire de 5 est la somme des 5 premieres 5emes puissances, et la 5eme puissance de 5 est la somme des 5 premieres 4emes puissances. Et la 4eme puissance de 5 est la somme des 5 premiers tétraedres, ou 3emes puissances, et le tetraedes de 5 est la somme des 5 premiers triangles : car le 5eme triangle ou le triangle de 5 est la somme des 5 premiers nombres. Voyez la table des dites puissances triangulaires iusque à la 12 puissance de 25 page 136 de l’harmonie en latin, en la 12 perpendiculaire39. Donc pour avoir les 12 cartes sans l’ordre, il faut prendre la 12eme puissance triangulaire de 36, qui est à la fin de la susdite table, a scavoir 1256 et coet. D’où il est aisé de tirer la regle pour avoir les puissances triangulaires : par exemple la 6eme puissance triang. de 5. la R est 5, et l’exposant 6, prenons les 6 nombres de suite dont la R 5 sera le moindre, scavoir 5. 6. 7. 8. 9. 10. qu’il faut multiplier l’un par l’ autre, et diviser le produit par l’ordre de la multitude [des dits] nombres qui est [representé] par l’exposant 6, et cet ordre est 720. Ou pour eviter la division, ôtez des 6 nombres [susdits] les six premiers nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, et il restera 7. 3. 10 dont le produit est la puissance requise, scavoir la 6eme puissance triangulaire de 5 comme on void à la table [citee] de l’harmonie40.
Qui se void aussi dans ce Livre page 145. »

91Page 135

92[Arrangements avec répétitions]

  • 41 Pour le sens du texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, p. 191.
  • 42 Mersenne a noté ici le passage du manuscrit autographe F-a, où B. Frenicle cherchait un procédé dir (...)

« Si l’on avait 6 paniers41 pleins chacun d’une espace de fruits differens, mais egaux entre eux, comme l’un de poires, l’autre de prunes et toutes egales, et qu’on voulut choisir un cent [des dits] fruits dans [les dits] paniers, dont chacun ayant du moins un cent de fruits, affin qu’on puisse si on veut prendre un cent de mesme sorte il faut faire la combination generale de 100 choses prises en 6 sortes de choses car le 6 est R c’est à dire la varieté des choses, et 100 est l’exposant c’est a dire la multitude des choses : partant il faut prendre la 100eme puissance de 6 pour la varieté des diverses façons dont les susdits fruits pris en 6 paniers se peuvent arranger.
[Un trait]
La combination generale42 contenant celle de l’ordre en toutes les façons possibles tant de choses differentes que des semblables ne peut estre divisé par le [dit] ordre parce que plusieurs diviseurs estant assemblés font aussi autre chose que divises : or l’ordre y est compris en toutes sortes de façons par exemple si on a 4 choses elles y sont [considerées confusement], soit qu’on les prenne toutes [differentes comme] a b c d ou 2 differentes et 2 semblables comme aabc, ou 3 semblables et une autre comme aaab, ou 2 d’une sorte et 2 d’une autre comme aabb, ou enfin toutes 4 semblables comme aaaa, ou bbbb.
Abcd se change en 24 façons, aabc en 12, aaab en 4, aabb en 6 et finalement aaaa d’une sorte ; or tous ces nombres font 47, nombre 1er qui ne peut diviser aucune puissance dont la combination generale est faite, si elle n’avait 47 pour R.
De plus l’ordre de 4 ayant 5 varietés, il faudrait diviser 47 par 5, ce qui est trop incommode. »

93Page 138

  • 43 À propos d’un calcul relatif à ce que nous avons nommé ci-dessus (Troisième Partie, ch. 2, « Énumér (...)

94[Note sur la phrase « Fa est la 3 note du chant et la 5 du système [...]43. »]

« Parce que le bfa6 mi fait deux degres dans la table de sorte que ce fa est en C sol ut fa, qui est le 5 degre, ou la 5 chorde du systeme. »

95Page 139

  • 44 Même remarque.

96[Note sur la phrase : « Le mi est la troisiesme note & la 15 du systeme [...]44. »]

  • 45 « Par 15 » a été ajouté avec raison par Gaignières dans sa copie.

« Et partant, il faut multiplier 484 qui est le 3eme nombre de la table par 15, ce qui donne 7 260, et ainsi des autres : par exemple fa qui est la 4eme, [prise tousiours] à rebours, est la 16 du systeme, et partant il faut multiplier la 4 nombre de la 5 colonne de la table 10648, par 16.
De mesme, la 5 note, mi qui est [encore] la 15 du systeme, car il faut multiplier le nombre cinquieme de la 5 colonne à scavoir 234276 [par 1545] d’où il viendra 3514 140, et non 3 513 840, comme il y a dans le texte qui est fautif, c’est pourquoy il faut refaire la [supputation]. »

97Page 144

  • 46 Ce texte est reproduit dans Mersenne 1933 – 1988, vol. VII, Appendice IV, p. 447 – 448.

98[La progression géométrique double depuis 23 jusques à 6446.]

991.

  • 47 Sur ce problème, cf. ci-dessus, p. 93.

« Par les nombres on soût mille difficultez : comme lors qu’on propose 50 ou cent choses distantes chacune d’une toise, qu’il faut toutes porter dans un mesme lieu, il faut seulement multiplier le nombre des choses par le nombre qui est moindre immediatement par exemple s’il y a 6 choses, estans multipliées par 5 l’on a 30 toises de chemin à faire, et si le lieu où il faut porter est esloigne de 7 toises, estant multiplié par 6, nous avons 42 toises, donc s’il y a 50 choses à ramasser il faut multiplier 50 par 49, pour avoir 2450, et s’il y en a cent, l’on aura 9 90047.
2.
Si l’on veut scavoir la somme des nombres qui se suyvent immédiatement comme 1, 2, 3, 4 [Et coet.]. si le dernier est pair comme 14 l’on prend la moitié 7 et puis on multiplie le nombre plus grand de l’unité à scavoir 15 par 7 pour avoir 105. Et si le dernier nombre est impair, comme 5, il faut le multiplier par son milieu 3 et l’on aura 15 : de mesme 15 doit estre multiplié par 8 pour avoir 120 que font les nombres 1, 2, 3 [et coet.] jusques à 15. »

100Page 146

  • 48 Cf. ci-dessus, 38, p. 252.
  • 49 Sur cette Table, cf. ci-dessus, p. 160 et p. 252.

101[Dans le Corollaire III de la Proposition XVI, Mersenne avait commis l’étourderie48 de dire que pour calculer C(36, 2), ..., C(36, 12), il faut uniquement procéder à des multiplications : 36 × 35,..., 36 × 35 × ⋯ × 25 ; autrement dit, il avait confondu Combinaisons et Arrangements. Il corrige ici cette faute, en se reportant aux nombres de la « Table des Chants de 12 notes, ou des ieux differens du Piquet pris en 36 notes ou chartes49 », qui suit ce même corollaire ; dans cette table, les Combinaisons (C(36, 1), ..., C(36, 12)) sont portées dans la colonne II, les Arrangements (A(36, 1), ..., A(36, 12)) dans la colonne IV.]

« Il faut prendre garde que le 2d terme apres 36, c’est à dire que le produit de 36 par 35 est 1260, mais ce nombre estant divisé par les combinations ordinaires de l’ordre, il reste 630 : de sorte qu’il faut accommoder ce discours aux tables suivantes autrement il [serait] faux que le 2d terme de la multiplication fust 630, et le dernier 125 677 700 : desquels les combinations de la 3eme colonne sont ostees, ceux de la 4 colonne sont les veritables produits qui contiennent le changement de l’ordre, tel qu’il peut estre en [servant] et iettant les chartes sur la table. »

102Ibid.

103[La table mentionnée ci-dessus comportait des erreurs numériques.]

« Il y avait une faute, sur le dernier nombre de la 3eme colonne, a scavoir 6 227 etc. : la combination du 13 [13 !] et il y manquait la combination du 10 [10 !], ce qui a tout troublé. »

104Ibid.

105[Proposition XVII. Chants de 7 notes prises dans 22 notes, quand on répéte 4 fois une même note. La remarque manuscrite n’a pas de rapport direct avec ce problème.]

  • 50 Mersenne s’interroge ici sur deux règles données par Frenicle [relatives en fait au calcul de C(36, (...)
  • 51 C’est-à-dire évidemment Frenicle.

« Il y a icy une combination à expliquer50 qui est lors qu’on prend, par exemple, 12 chartes du ieu de piquet dans 12 ieux de chartes differents ou dans le nombre des choses il y en a [tousiours] à chasque fois quelqu’une differente, comme sy l’on veut scavoir en combien de manieres on peut faire une compagnie de cent soldats, pris dans un régiment de mille hommes.
Pour les 12 cartes prises en 36, lors qu’on a 12 ieux semblables il faut prendre 36 pour R, et 12 pour exposant, et partant ce sera la 12 puissance de 36, si on ne prenait qu’une carte, on n’aurait que 36 varietez, si on prenait 2 cartes on aurait 1 296 varietez scavoir le quarré de 36 pour 3 cartes on prend le cube, pour 4 le quarré quarré, [et coet.] à l’infini.
[Neantmoins] autre part Mr Fren.51 dit que pour ces 12 cartes prises en 12 ieux de 36 cartes il faut multiplier 36 par 37, et le produit par 38 et coet. jusques à 11 multiplications, où le dernier multipliant sera 47 : et que pour en oster l’ordre il faut diviser par la combination ordinaire de 12 de mesme que pour scavoir en combien de manieres on peut prendre 100 fruits en 6 paniers il faut multiplier 6 par 7 et le produit par 8 et ainsi [consequemment] iusques à avoir 100 nombres y compris 6 et ainsi le dernier nombre multipliant est 105, qui surpasse 6 de 99 : et le dernier produit divisé par l’ordre de 100 choses, donne le nombre requis. Il faut donc concilier ces deux façons, et explicquer ce qu’il y a à dire. »

106Page 147 [Suite de la Proposition XVII]

« Ainsi 2 choses prises en 10 2 à 2 font 100 varietez, car le nombre 100 contient 10 et 2, car 10 est la R et 2 son exposant.
Et la varieté de 2 prises en 9 nombres, n’est que de 81.
Si on ne prend qu’une chose en 9, on n’aura que 9 varietés, si l’on en prend 2 choses puis qu’aprez chascune des 9 choses on peut prendre chascune des mesmes 9 l’une apres l’autre il faut pour avoir cette varieté multiplier 9 par 9 pour avoir 81 : et si on prend 3 choses, on pourra devant chascune des 81 lettres precedentes mettre chascune des 9 choses, partant il faut multiplier 81 par 9 pour avoir 729 cube de 9 et ainsi du reste car pour 4 choses il faut prendre le Q Q [quarré quarré] c’est à dire multiplier 729 par 9 et coet. Noter que la diversité des choses qu’on prend, comme icy 9, [sert] tousiours de [R] ; et la multitude des choses [sert] d’exposant. »

107Ibid.

  • 52 Sur cette correction, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, A, 2b.

108[Correction du commentaire portant sur la « Table de tous les chants qui ont plusieurs notes semblables ». Mersenne avait écrit « semblables » pour « differentes »52.]

  • 53 Mersenne renvoie ici au Liber VII de Mersenne 1636b.

« L’on aura le present nombre de dictions puisqu’il y a 4 lettres differentes dans la diction suivant le 7 Livre Latin de Cantibus, prop. 13. page 13853. »

109Page 152

« [Proposition XX. « Déterminer en combien de façons differentes deux ou plusieurs voix peuvent chanter un Duo, ou une autre piece de Musique. »]
Si l’on veut faire que les 7 notes differentes de chaque partie puissent tousiours faire des accords ensemble, ou discords supportables suivant les Loix de Musique, il y en aura 2 520 473 760 000, dont l’on n’en pourra chanter que 450483 000 dans le temps de cent ans, bien que chaque chant ne dure qu’une seconde minute, de sorte qu’il faudrait plus de cent mille siecles pour chanter tous ces chants iour et nuit.
Faisant 4 chants pour accorder tousiours ensemble, ils serviraient aussi pour longtemps, car l’exemple de 4 notes qui font trois parties contient une 26me et celui de 4 partyes une 36me ou 5 octaves. Les notes sont les cadences du 1er mode, ou d’un autre par exemple, ut, mi, sol, fa, iointes aux 4 notes d’une taille, differentes des 4 notes precedentes font 576 duo.
Les 4 de la haute contre font un trio de 13 729 chants et le dessus fait 319 376 quatuor. Neantmoins une grande partie des accords de ces varietes ne valent rien à cause des quartes, des quintes et des octaves qui se suivent souvent 2 ou 3 de suite, et des intervalles desagreables et dificiles à chanter, par lesquels on passe d’une consonante à une autre soit à 2, à 3, ou à 4. Il n’y a point d’autres notes [authentiques] au nombre de 4, qui puissent tousiours accorder à 2, 3, et 4, que les 2, 3, ou 4 cadences des modes. Et si chaque note dure une mesure, l’on aura pour plus 12 [id.] à chanter. »

110Page 154

111[Proposition XXI. Sur le chant le meilleur de plusieurs chants proposés]

  • 54 Il s’agit du « Manuscrit des chants de 8 notes ».

« Parce qu’il n’y a pour l’ordinaire dans les beaux traits des chants que 3 ou 4 notes, [celles] en les 6. de la 9me Proposition qui se varient en 720 manieres, et les 8 du gros volume54 qui se varient en 40320 manieres peuvent servir pour faire de beaux chants, quoy qu’ils dependent souvent de la repetition des mesmes notes. »

2. Note portée à la fin de l’Harmonie universelle

112Mersenne avait couvert de remarques diverses les feuilles restées en blanc à la fin de son exemplaire de main.

113Dans l’édition du C.N.R.S., le texte qui suit se trouve au bas du recto de l’avant-dernière feuille du tome III.

114Sur le passage de l’Abrégé des combinaisons intitulé « Déterminer en combien de façons trois dez peuvent faire leurs points », cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, F, « Un problème sur le jeu de dés ».

« Des differens ieux des dez Tous les ieux de 3 dez, qui peuvent venir sont le cube de 6, c’est à dire 216. Mais les ieux particuliers, c’est à dire les diverses façons de chacun des nombres, on l’a en cette façon, le moindre est 3, et le plus grand 18, qui sont en tout 16 nombres dont les 8 premiers ressemblent aux 8 derniers, et ainsi 3 et 16 [lire 18] se raportent 4.17/5.16/6.15/7.14/8.13. et coet. Pour les diverses façons dont on peut avoir chacun des dits nombres, il faut pour les 6 premiers ou les 6 derniers, prendre les 6 premiers triangles, et ainsi on pourra avoir 3 et 18 en une sorte, 4 et 17 en 3 sortes, 5 et 16 en 6 sortes, 6 et 15 en 10/7 et 14 en 15/8 et 13 en 21. Pour les 2 suivants 9 et 12, il faut prendre le quarré de 5, scavoir 25. et pour [faire] 10 et 11 on prendra le cube de 3 scavoir 27 or si l’on assemble ces nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27 on aura 108, dont le double est 216. »

Notes

1 Nous indiquons en marge de nos retranscriptions la référence des pages.

2 Ici, comme pour les textes qui suivent, nous mettons entre crochets les mots d’interprétation incertaine.

3 Cette proposition donne les règles de calcul pour les Permutations avec répétitions.

4 Cette proposition traite des Arrangements simples.

5 Cette proposition traite des Combinaisons simples.

6 C’est-à-dire A(22, 1), A(22, 2), ....

7 La table donne donc les Combinaisons simples de 22 lettres.

8 C’est-à-dire les Arrangements simples de 22 lettres. Mersenne montre ici comment on peut passer de la Table des Combinaisons à celle des Arrangements (cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, C 1).

9 Nous supposons que Mersenne a voulu dire que deux sentinelles peuvent être choisies de 630 façons parmi 36 soldats [en effet : C (36, 2) = 630]. La phrase que nous lisons ici comporterait donc deux erreurs : il faudrait binos au lieu de ternos, et sexcentis triginta au lieu de sexcentis triginta sex. Mersenne avait d’ailleurs mis d’abord 630 qu’il a biffé ensuite.

10 Exemples semblables à ceux deMersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145 – 146, où Mersenne se demande « combien le jeu de Piquet peut venir de fois differemment iusques à ce que le mesme jeu reuienne ».

11 Sur les problèmes traités dans cette proposition, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, « Les Combinaisons avec répétitions », A, B, C.

12 Sur cette table et sur son commentaire, cf. ci-dessus, 198.

13 Sur ces analogies entre « types » de chants, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, A, 3.

14 Sur la Table des mots de 4 lettres, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, B, 1 et C (cette table est reproduite p. 214.) ; sur la Table des mots de 7 lettres, cf. ci-dessus, p. 212 ; sur le contenu de toutes ces tables, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, B 2.

15 Sur cette qualification de la « combinaison générale », cf. ci-dessus, p. 169.

16 Sur ce paragraphe, cf. ci-dessus, p. 221.

17 Sur la « combinaison générale », cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, E, 1.

18 Mersenne avait d’abord omis la 4ème colonne. Il a collé ensuite sur sa première rédaction un papier où il avait porté les 4 colonnes.

19 Mersenne veut dire que les deux dernières colonnes sont destinées à la présente proposition [calcul de C(22, 1), ..., C(22, 22)] alors que sont destinées à la proposition suivante [numérotation des Arrangements avec répétitions de 22 lettres] les trois premières colonnes ainsi que la dernière.

20 Sur le début de cette proposition où l’on trouve la méthode directe pour calculer le nombre des Combinaisons avec répétitions de 22 lettres, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, D.

21 Cf. ci-dessus, p. 384.

22 Le nombre des mots de longueur 6 dont le type est : (2, 1, 1, 1, 1) lorsqu’on tient compte de l’ordre des lettres dans les mots est : 47 401 200 ; si l’on veut le nombre des mots de longueur 6, de même type, mais lorsqu’on ne 6 ! 720 tient plus compte de l’ordre des lettres dans les mots, il faut diviser 47 401 200 par : 2 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! = 2 = 360.

23 Mersenne veut donc construire une nouvelle table en « ôtant l’ordre » de tous les termes de la table dont nous avons donné la référence p. 384 ; et ceci grâce à des divisions dont il vient de fournir un exemple pour les mots de longueur 6 qui « ont 2 lettres semblables ». La démarche de Mersenne apparaît plus clairement dans Mersenne 1647, p. 209, où ces deux tables sont présentées l’une à la suite de l’autre ; elles y sont respectivement intitulées :
 — Septima tabella dictionum 2. litteras similes habentium,
 — Octaua Tabula dictionum 2 litteras similes, absque ordine habentium.
Dans l’Harmonie universelle et dans les Harmonicorum libri, Mersenne ne donne que cette seconde table.

24 Mersenne rapproche ici deux nombres qui ont entre eux une relation simple, puisque le premier est le décuple du second :
 — le nombre des mots de longueur 5 et de type (2, 1, 1, 1), en tenant compte de l’ordre : 1 755 600 ;
 — le nombre des mots de 22 lettres prises 4 à 4, en tenant compte de l’ordre, et sans permettre les répétitions de lettres, c’est-à-dire A(22, 4) ∶ 175 560.
Il en va comme le dit Mersenne puisque le premier de ces deux nombres se calcule ainsi : C(22,4) × 43̄ !! × 2̄5 !! = A(22, 4) × 35 ! 2 ! = A(22, 4) × 10.

25 Cf. ci-dessus, préambule, 1, a.

26 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 3, B, 3 : « Le problème du plus beau des chants ».

27 B.N., mss., fonds français, ancien supplément français, 12 357, cf. ci-dessus, préambule, sec. 1, a.

28 Cf. ci-dessus, Préambule, sec. 2.

29 Faute de pouvoir présenter ici côte à côte les textes de Mersenne et de Frenicle.

30 On verra de plus ci-dessous qu’un des passages des notes de la p. 135 correspond à un passage du manuscrit autographe F-a de Frenicle que ce dernier biffa par la suite.

31 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 2, §2, notre commentaire de ce texte de Guldin.

32 C’est-à-dire la Proposition XI portant sur les Arrangements.

33 C’est-à-dire les Quaestiones in Genesim. Cf. ci-dessus, 139.

34 Mersenne paraphrase ici un développement de Frenicle sur des énumérations de Permutations ; cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, B.

35 Ce « gros volume » est évidemment celui que nous désignons comme le « Manuscrit des chants de 8 notes ».

36 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. Deuxième Partie, ch. 2, C et ch. 3, E, 1.

37 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, p. 191, p. 222.

38 Pour le texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 4, C, 1 a et 2.

39 Sur cette référence aux Harmonicorum libri, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 4, sec. 3.

40 Même remarque.

41 Pour le sens du texte de Frenicle que M. Mersenne reprend ici, cf. ci-dessus, p. 191.

42 Mersenne a noté ici le passage du manuscrit autographe F-a, où B. Frenicle cherchait un procédé direct simple pour aller de C(n, p) à K(n, p) ; cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, E, 2.

43 À propos d’un calcul relatif à ce que nous avons nommé ci-dessus (Troisième Partie, ch. 2, « Énumération d’Arrangements avec répétitions »), la Procédure I.

44 Même remarque.

45 « Par 15 » a été ajouté avec raison par Gaignières dans sa copie.

46 Ce texte est reproduit dans Mersenne 1933 – 1988, vol. VII, Appendice IV, p. 447 – 448.

47 Sur ce problème, cf. ci-dessus, p. 93.

48 Cf. ci-dessus, 38, p. 252.

49 Sur cette Table, cf. ci-dessus, p. 160 et p. 252.

50 Mersenne s’interroge ici sur deux règles données par Frenicle [relatives en fait au calcul de C(36, 12) et de K (36, 12)] dont il se demande comment on peut les « concilier » ; cf. ci-dessus, « Une remarque critique de Mersenne », Deuxième Partie, ch. 3, E, 3.

51 C’est-à-dire évidemment Frenicle.

52 Sur cette correction, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, A, 2b.

53 Mersenne renvoie ici au Liber VII de Mersenne 1636b.

54 Il s’agit du « Manuscrit des chants de 8 notes ».

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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