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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Troisième partie. Énumérations et numérations

Chapitre 3 : Énumérations et numérations

Texte intégral

1La question que nous venons de poser ne se trouve nullement explicitée, ni chez Frenicle, ni chez Mersenne. Nous croyons pouvoir dire pourtant qu’elle affleure, aussi bien dans l’exemple de Frenicle précité que dans les procédures I, I’, II, II’. D’un côté, un système de numération qui s’apparente à un alphabet, de l’autre un alphabet qui fonctionne comme système de numération. Autant de rapprochements qui nous conduisent comme au bord de l’idée de systèmes non décimaux de numération.

  • 1 Il est en particulier difficile de se faire une idée précise du statut théorique que pouvait avoir, (...)

2S’il n’y aurait pas de sens à aborder de front une idée qui demeure informulée, il reste du moins qu’on peut tenter d’en éclairer les entours. Tâche délicate dans la mesure où ce sujet a été peu exploré par les historiens des mathématiques du xviie siècle1. Certaines convergences de pensées nous ont paru toutefois assez frappantes pour que nous en amorcions ici l’étude. Suivant une méthode inverse de celle qui, dans notre première partie, nous avait fait assister à l’émergence du calcul combinatoire à partir de certains « usages » et des motivations qui les orientaient, c’est au contraire en replongeant le calcul dans certains « usages » que nous allons mettre en relief de telles convergences de pensées.

3Ces « usages » concernent essentiellement deux domaines, celui des langues artificielles, et celui de la cryptographie.

A. Langues artificielles

1. Lettre de Peiresc

  • 2 Cf. ci-dessus, p. 173, le passage de l’Harmonie universelle où Mersenne déclare que toute « diction (...)

4Imaginant rangés en bon ordre, et dûment numérotés les Arrangements avec répétitions des 22 lettres de l’alphabet, Mersenne a vu se déployer devant lui la liste des dictions de « tous les idiomes possibles2 » ; ce qui lui fit croire qu’il avait sous la main le fondement d’une langue et d’une écriture universelles ; on sent à lire cette lettre à Peiresc du 20 avril 1635, combien dut l’agiter, au moins momentanément, une telle espérance :

  • 3 Mersenne 1933 – 1988, vol. V, Mersenne à Peiresc, 20 avril 1635, lettre n° 422, p. 136.

« Je me suis imaginé une sorte d’escripture et un certain idiome universel, qui vous pourroit servir à cet effect, en dressant un alphabet qui contient tous les idiomes possibles, et toutes les dictions qui peuvent servir à exprimer chasque chose en telle langue qu’on vouldra. Il a ceste proprieté que sa seule lecture peut tellement enseigner la philosophie accomodee à son ordre, qu’on ne peut l’oublier ou si on l’oublie, qu’on peult la restablir sans l’ayde d’aulcun. Mais parce qu’il suppose l’instruction d’un quart d’heure pour en expliquer l’usage à ceux qui n’entendent pas nostre maniere d’escripre et de parler, je vous diray seulement que vostre nom est la 15 777 318 656 diction de cet alphabeth, lequel comprend plus de millions de vocables qu’il n’y a de grains de sable dans toute la terre, quoyqu’il soit si ayse à apprendre et à retenir que l’on n’a besoing d’aulcune memoire, pourveu que l’on ayt un peu de jugement3. »

5Malgré des promesse aussi alléchantes, ou plutôt à cause d’elles, l’enthousiasme de Mersenne ne gagna pas son correspondant :

  • 4 Id., vol. V, Peiresc à Mersenne, 17 juillet 1635, lettre n° 463, p. 323.

« Mais à qui que ce soit que vous addressiés vostre Epistre liminaire, si vous le trouvés bon, j’estime qu’il vaudroit mieux ne pas inserer ce que vous dictes de cette nouvelle invention d’escripture où il fault sçavoir si grand nombre de mots et presupposer qu’on soit demeuré d’accord de tant de choses avec des peuples si differants et si esloignés de tout commerce avec nous, quelque facilité que vous y puissiés imaginer. Car comme peu de gents se pourront persuader cette facilité, cellà pourroit quasi rebutter plusieurs personnes qui trouveroient estrange cette proposition en teste de vostre ouvrage et qui ne s’en cabreront pas si facilement si vous l’inserés dans le texte mesme de l’œuvre ou du moins dans vos Prefaces ou Advertissements au lecteur4. »

6Pour aussi grande que soit sa liberté de ton, Peiresc ne va pas jusqu’à taxer le bon Père d’extravagance ; mais il prend toute précaution pour ne pas être personnellement compromis par ses audaces d’imagination ! C’est que Peiresc se soucie peu des vues nouvelles qu’ouvraient ces audaces ; il va tout droit aux conditions qu’exigerait la réalisation effective de la nouvelle écriture. Et de ce point de vue, ses objections sont redoutables. Les « millions de vocables » ? Surabondance beaucoup plus fâcheuse qu’admirable. Mais c’est surtout se donner bien des facilités, devant quoi on a tout lieu de « se cabrer », que de parler comme si le point le plus difficile était déjà résolu : la merveille n’est pas de proposer une nouvelle écriture ; elle serait que tant de peuples si différents et ayant si peu de contacts avec nous, puissent être capables de s’entendre pour l’admettre et en instituer l’usage.

  • 5 Il n’en souffle mot dans l’emphatique mais peu précise « Epistre dedicatoire » qu’il adressa à « M. (...)
  • 6 « L’unité signifie Dieu », et « les dix premiers nombres [...] representent les dix perfections Diu (...)

7La franchise et la vigueur de cette rebuffade durent refroidir les élans d’enthousiasme de Mersenne, et peut-être cette fin de non-recevoir fût-elle une des raisons principales qui le détournèrent de pousser beaucoup plus avant sa découverte. Quant à la recommandation précise que lui avait donnée Peiresc, Mersenne en prit bonne note : c’est avec une grande discrétion qu’il mentionna, et précisément dans la « Préface au Lecteur » qui précéde les Traitez de la voix et des chants, une « nouvelle invention d’escripture5 ». Mais il ne s’agit plus ici de s’appuyer sur « l’alphabet qui contient tous les idiomes possibles ». Se lançant dans une voie toute différente, Mersenne choisit comme alphabet les « dix chiffres ordinaires », les nombres ainsi formés devant désigner des notions classées au préalable. Il nous importe moins ici, de souligner ce que cette classification a de sommaire6 que de nous rendre mieux compte des raisons qui firent s’enflammer Mersenne pour le projet exposé dans sa lettre à Peiresc.

2. Capacité indéfinie de dénomination des langues artificielles

  • 7 Cf. ci-dessus, p. 112.
  • 8 Cf. ci-dessus, p. 113 et Deuxième Partie, ch. V, B.
  • 9 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, A, 1.
  • 10 Cf. ci-dessus, p. 73 – 79.
  • 11 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 2, 3 a.

8L’« idiome universel » contient des millions de vocables : on pourra s’étonner que Mersenne en tire gloire auprès de Peiresc ; en effet, ne décide-t-il pas ailleurs que les langues artificielles doivent se recommander par leur « briéveté7 » ? Il y a là davantage qu’un de ces flottements de pensée dont Mersenne est familier : ces deux attitudes se rattachent à des problématiques tout à fait différentes. Brièveté et clarté sont des exigences d’ordre pratique dont nous avons montré comment elles avaient naturellement conduit Mersenne à des exercices d’analyse combinatoire8. Par contre, lorsqu’il se félicite de la surabondance des dictions, Mersenne a dans l’esprit un problème théologico-philosophique qui l’avait préoccupé dans sa jeunesse : et ici, par un mouvement inverse, c’est le calcul qui l’invite à revenir vers ce problème. Rééditant mais avec plus de fermeté une opération qu’il n’avait qu’esquissée dans les Quaestiones in Genesim9, il se sert du calcul comme d’une arme contre des vues dont nous savons (bien qu’ils ne soient pas ici désignés nommément), qu’elles étaient celles des cabalistes. Contre ces derniers qui assignaient des limites aux « commutations des lettres10 », Mersenne va montrer tout en portant les derniers coups contre l’idée de langue adamique11, qu’il se fait fort de disposer d’un nombre indéfini de dictions.

  • 12 « Si l’on veut auoir les chants de plus de 22 notes, il faut multiplier le dernier nombre qui est v (...)

9Cette vérité fort simple ressort immédiatement d’une remarque explicite de l’Harmonie universelle12 : la « Table generale de 22 mots et de tous les Chants qu’elles contiennent » peut être prolongée au-delà de 2222 ; le nombre des Arrangements avec répétitions de 22 notes prises n à n est 22n, quel que soit n. Mersenne pourrait tirer de là que les mots formés avec un alphabet de 22 lettres sont aussi longs qu’on veut, et qu’on peut indéfiniment en trouver de nouveaux.

10Mais en fait, ce n’est pas pour ces mots considérés en eux-mêmes que Mersenne se pose la question. Ce qui sous-tendait dans les Quaestiones in Genesim certaines de ses attaques contre les cabalistes, c’était le problème de la dénomination, et il va maintenant se prononcer nettement sur la difficulté suivante :

  • 13 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », dans le titre de la Proposition XLIX, p. 72.

« A sçauoir si l’on peut, ou si l’on doit donner vn seul nom, ou plusieurs à chaque indiuidu, & s’il y a plus de choses que de noms ou de dictions [...]13. »

  • 14 Id., p. 74.

11Les modèles mythiques s’effritent vite lorsqu’on exige d’eux une précision dont ils sont éloignés par essence. Il en va ainsi de la langue adamique dont Mersenne traque les contradictions au nom d’une arithmétique assez naïve. Ne nous attardons pas sur le calcul par lequel il prouve qu’Adam n’a pas eu une existence assez longue pour prononcer le nombre de mots qui eût été nécessaire pour servir de point de départ aux multiples langues humaines14.

12Bien plus judicieuse est l’argumentation par laquelle il cherche à savoir qui des mots ou des choses l’emporte en nombre. Il commence par montrer que ce qu’on pourrait appeler la capacité de dénomination des langues, effectivement pratiquées par les hommes, est très limitée : elles ne disposent pas en fait de noms propres pour toutes les choses existantes, et la plus grand partie de leur vocabulaire ne comprend que des noms généraux ; pour désigner telle chose déterminée, elles recourent à des artifices linguistiques, comme le pronom démonstratif ; ou bien, elles mettent les locuteurs en demeure de se taire, et de montrer simplement du doigt la chose en question.

  • 15 Id., p. 72.

« Il est tres-certain que les dictions de toutes les langues qui ont esté, ou qui sont encore en vsage dans tout le monde ne suffisent pas pour donner à chaque chose vn nom qui luy soit propre, & particulier, comme l’on experimente dans tous les indiuidus des herbes, & des arbres, car chaque nation se contente de leur donner le nom de leur espece : par exemple, tous les indiuidus des herbes que l’on appelle bétoine, verueine, romarin, & c. n’ont point d’autres noms que les precedens : car les François, les Latins, & les Grecs ne distinguent nullement les indiuidus de ces especes les vns d’auec les autres, qu’en les monstrant du doigt, ou par quelqu’autre signe, ou par ces pronoms demonstratifs, cét herbe, & c. par exemple, cette betoine, ce romarin, haec betonica, &15. »

13Et Mersenne d’illustrer par une précision numérique amusante l’étendue des choses que les langues ne sauraient nommer :

  • 16 Id., p. 72 – 73.

« Il arriue la mesme chose au poil de tous les animaux, & aux cheueux des hommes, dont chacun desire un nom particulier pour estre distingué des autres, de sorte que si vn homme a 100 000 cheueux à la teste, & 100 000 autres poils sur le reste du corps, il faut 200 000 noms ou vocables pour les nommer16. »

14Ainsi devient manifeste la pauvreté en « dictions » des langues naturelles, car le même argument peut être repris pour toutes les choses individuelles, c’est-à-dire toutes les choses qui peuvent être distinguées les unes des autres. Si à chose différente, il faut mot différent, aucune langue existante ne saurait répondre à une telle exigence ; et c’est justement cette impossibilité qui explique pourquoi sont nécessaires les vocables généraux :

  • 17 Id., p. 73.

« Or ce que i’ay dit du poil, se doit entendre de toutes les parties du corps, & de tous les indiuidus, & de leurs parties. Car puis que toutes ces choses sont differentes, elles ne peuuent estre expliquees que par des noms differens, qui manquent à toutes les langues, & à toutes les nations du monde qui sont contraintes d’vser de vocables generaux pour signifier les choses particulieres17. »

15Tout à l’opposé de cette carence est la multitude des mots dont on peut imaginer dotée une langue artificielle. De tous les exemples qu’il avait forgés dans les deux propositions précédentes, Mersenne emprunte bien sûr le plus probant : celui pour lequel cette multitude est la plus élevée. Soit une langue qui sera construite avec 19 consonnes et 10 voyelles ; le nombre des mots de 30 consonnes et de 20 voyelles sera :

  • 18 Cf. ci-dessus, p. 139.
  • 19 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 73.
  • 20 Ibid.
  • 21 Mersenne avait déjà dit dans La Vérité des sciences : « on pourroit aussi former autant de dictions (...)

16Ce nombre « est merueilleusement grand, car il contient 73 caracteres ». Or Mersenne pouvait en évaluer l’ordre de grandeur à l’aide de considérations qui l’avaient préoccupé dès les Quaestiones in Genesim18, et même le confronter ainsi au nombre hypothétique des choses qui existent dans l’univers : « il ne faut que 46 caracteres pour exprimer le nombre des grains de sable qui rempliroient toute la solidité du firmament, c’est à dire tout le monde qui nous est connu19 ». En comparant, non sans quelque maladresse, ces deux nombres, Mersenne conclut que « tous les indiuidus de la nature peuuent auoir des noms particuliers dans la langue vniuerselle que l’on peut faire selon les preceptes & les regles que i’ay donnees dans la 47. & 48. proposition, & ailleurs20 ». Une telle langue possède donc un fonds d’une extrême richesse où l’on pourrait puiser à loisir assez de noms propres pour tous les individus21.

17Pourtant Mersenne ne se tient pas encore pour satisfait, et nous entrons maintenant dans le vif de l’argumentation, dans ce qu’elle a de plus original, de plus curieux, et peut-être d’inédit en cette première moitié du xviie siècle. Jusqu’ici Mersenne n’a fait qu’opposer un grand nombre à un autre nombre. Il ira au-delà en cessant de poser que le nombre des choses existantes soit un nombre déterminé, et en imaginant que ce nombre puisse croître :

  • 22 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 73.

« Et si l’on dit que Dieu peut tousiours produire de nouueaux indiuidus iusques à l’infini, dont le nombre surpassera celuy desdites dictions, ie di semblablement que l’on peut tousiours aiouster de nouuelles dictions en augmentant le nombre de leurs lettres22. »

  • 23 Cf. ci-dessus, p. 139.

18Dans ce concours étrange où l’invention humaine parvient toujours à égaler la création divine, le langage artificiel manifeste une puissance indéfinie. On pourrait dire que parallèlement à la capacité de dénombrer indéfiniment qui est en lui23, l’homme possède aussi la capacité de dénommer indéfiniment.

3. « Un paradoxe d’une autre force que celui d’Archimède »

  • 24 Cf. ci-dessus, p. 139, note 108.
  • 25 Cf. ci-dessus, p. 139.

19Combien Mersenne ne devait-il pas être frappé par un tel rapprochement, lui qui avait tant admiré dans l’arithmétique son pouvoir de compter les grains de sable qui empliraient l’univers24, et qui avait tant peiné à prolonger les calculs effectués par Archimède dans l’Arénaire25 ! C’est là aurait-il pu dire, selon une formule que devait employer Leibniz dans une circonstance analogue, un paradoxe d’une autre force que celui d’Archimède.

  • 26 Louis Couturat, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits des manuscrits de la Bibliothèq (...)
  • 27 Id., p. 533.

« Puisque toutes [les] connaissances humaines », raisonne Leibniz, « se peuvent exprimer par les lettres de l’Alphabet, et qu’on peut dire que celuy qui entend parfaitement l’usage de l’alphabet sçait tout ; il s’en suit, qu’on pourra calculer le nombre des verités dont les hommes sont capables <et qu’on peut determiner> la grandeur d’un ouvrage qui contiendroit toutes les connaissances <humaines> possibles ; et ou il y auroit tout ce qui pourroit jamais estre sçû, ecrit, ou inventé ; et bien au dela. car il contiendroit non seulement les verités, mais encor les faussetés que les hommes peuvent enoncer ; et meme des expressions qui ne signifient rien26. »
« Ce paradoxe est bien d’une autre force que celuy d’Archimede, qui fit voir aux courtisans du Roy Hieron que le nombre des grains de sable qui rempliroient <non seulement tout le globe de la terre, mais encor> l’espace d’une bonne partie de l’univers <etendu d’icy jusqu’aux astres> est assez petit et aisé à écrire, car ce nombre n’est presque rien au prix de celuy des verités, puisqu’il n’y a point de grain de sable, qui n’ait sa figure particuliere, et qui ne pourroit fournir un grand nombre de verités, sans parler des verités tirées des autres choses27. »

20Leibniz parle de « vérités » ; Mersenne ne tenait compte plus haut que des noms propres. Cette différence nous donne toute la marge qui sépare une philosophie qui visera à soumettre l’univers entier des connaissances à la caractéristique, et une intuition péniblement conquise, mal explicitée, relative à la seule association des lettres en mots. Mais, jusqu’à plus ample informé, Mersenne est le premier à avoir associé philosophie du langage et calcul combinatoire : ainsi est-il un témoin précieux du passage délibéré, qui ne fut sans doute pas sans lien avec la constitution de l’algèbre, d’un langage clos à un langage indéfini.

B. Cryptographie

1. Les Procédures I et II comme systèmes cryptographiques

  • 28 Il s’agit, rappelons-le, de textes se trouvant dans l’Harmonie universelle, et dans la Suite manusc (...)

21Mersenne y revient plusieurs fois, au cours même de ses développements28 : les procédures de numérotation I et II peuvent permettre d’« écrire des lettres bien obscures » ; bref, elles peuvent servir de fondement à une méthode cryptographique.

  • 29 Cf. ci-dessus, p. 105.
  • 30 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 139.

22Cette méthode est semble-t-il tout à fait originale, mais Mersenne en alourdit l’exposé en la mêlant constamment avec un procédé beaucoup plus simple, qui lui, en revanche, était bien connu, et qu’il avait d’ailleurs évoqué dans un autre passage de l’Harmonie universelle29. On établit une relation biunivoque entre une liste de 22 notes distinctes et celle des 22 lettres de l’alphabet ; puis, un mot étant donné, on lui fait correspondre une suite de notes, en remplaçant chaque lettre du mot par la note convenable. C’est ce que fait Mersenne en traduisant en notation musicale les 9 mots d’un verset de psaume ; il obtient ainsi un chant de 39 notes, dont « chacune represente chaque lettre du verset precedent, qui peut estre escrit par ces notes. Et consequemment l’on peut escrire toutes sortes de lettres secrettes par le moyen de notes, dont on peut faire deux, ou plusieurs parties, selon l’estendüe du discours que l’on escrit30 ».

  • 31 Id., p. 142.
  • 32 Frenicle 1729, p. 113 – 114.

23De tout autre nature est la méthode qui remplace chaque mot du texte clair par son numéro (défini soit par la procédure I, soit par la procédure II). L’idée était peu banale d’assigner ainsi par des règles arithmétiques un nombre à tout mot possible, et le cryptographe qui se serait trouvé devant une suite de tels nombres, aurait dû être fort habile mathématicien pour parvenir à percer le secret d’un message exprimé de cette façon. Et l’on veut bien croire Mersenne lorsqu’il affirme, (à propos de la Procédure II) : « cette maniere peut seruir à escrire des lettres difficiles à dechifrer31 ». Frenicle dit de même (à propos de la procédure I) : « Par ce moyen on pourroit écrire des lettres bien obscures, & qu’il seroit bien difficile de déchifrer, si l’on n’en scavait la méthode ; sçavoir si on mettoit au lieu des mots le rang qu’ils tiennent dans le grand nombre32 ».

24Déchiffrer : le mot est significatif. Mersenne et Frenicle nous enseignent eux, comment il faut s’y prendre ; et si, précisément, ils font suivre chaque fois les procédures I et II par les procédures I’ et II’, c’est par un souci de cryptographe : il ne sert à rien de brouiller si l’on ne sait débrouiller ; un « chiffre » est sans valeur, si des règles assurées ne permettent de remonter sans aucune ambiguïté du message en code au texte de départ. Mersenne dirige son exposé comme s’il avait à donner des consignes à des chiffreurs éventuels :

  • 33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 140.

« Apres avoir donné la maniere d’escrire toutes sortes de chants par le moyen des nombres & des lettres, il faut expliquer la maniere de connoistre le chant, & de le dechifrer lors que le nombre est donné ; car ce que i’ay dit dans cette proposition sert seulement pour escrire les chants ou les dictions par nombres, mais il ne donne pas le moyen de lire les chants, ou l’escriture que l’on signifie par les nombres : de sorte que l’on peut escrire tout ce que l’on voudra, sans que pour cela l’on puisse lire ; & consequemment il n’est pas necessaire que les Secretaires puissent lire ce qu’ils escriuent33. »

25Frenicle ne s’exprime pas autrement, et nous permet de mieux comprendre ce que voulait dire Mersenne dans sa dernière phrase :

  • 34 Frenicle 1729, p. 114.

« Mais ce n’est pas assez de sçavoir écrire, si l’on ne sçait lire son écriture, & ce n’est pas peu de chose que de sçavoir lire celle-ci ; car ceux mêmes qui l’auroient écrite ne la pourroient lire, s’ils n’en sçavoient la méthode, quoiqu’ils sçussent celle de l’écrire34. »

26Sommes-nous ici en face de recherches arithmétiques qui ont débouché par hasard sur une application cryptographique ? Est-ce plutôt la vogue de la cryptographie qui aurait motivé ces recherches elles-mêmes ? Nous l’ignorons. De toute manière, le seul fait que nous venions d’être entraînés sur le terrain des « chiffres » nous invite à nous demander si la cryptographie n’eut pas d’autre occasion de toucher directement ou indirectement au problème de la numération.

2. Construction d’alphabets ayant un nombre réduit de caractères

27Lorsque avec E. Weigel et Leibniz, l’attention se porta sur la réduction du nombre de caractères susceptibles de représenter tous les nombres, cela faisait plus d’un siècle que, sur un plan plus modeste, les cryptographes avaient travaillé à diminuer le nombre des caractères de leurs alphabets.

28La plus riche variété des systèmes cryptographiques consistait à mettre en regard de l’alphabet de base une suite ordonnée de signes distincts, le nombre de ces signes étant égal au nombre des lettres emprises dans l’alphabet de base. Or il y eut des auteurs pour penser que cette égalité n’avait rien de nécessaire et qu’on pouvait fort bien représenter un alphabet de n lettres, avec un nombre de signes inférieur à n.

(a) Vigenère et Bacon

  • 35 Vigenère 1586, fol. 189, v.
  • 36 Ibid.
  • 37 Id., fol. 240r.

29Vigenère, protestant contre « cette multiplication de caracteres, vsitee és cours des Princes35 », estime qu’il serait opportun d’emprunter la voie inverse : « en lieu d’accroistre le nombre des caracteres, il vaudroit bien mieux l’accourcir, & la reduire au moins qu’il se peut36 ». Ainsi, « un des principaux artifices & ruzes des chiffres » dependra-t-il de « la reduction des lettres à vn moindre nombre37 ».

  • 38 Ibid.
  • 39 Id., fol. 190r.

30Parmi les trois moyens qui permettent d’y parvenir, il en est un qui consiste à « accoupler plusieurs mesmes lettres ensemble pour en faire une38 » ; « &, pour exemple, qui empeschera qu’vn a seul servant pour d ou e, estant redoublé aa ne serve pour l ; & triple aaa pour r ; ou autrement. Et ainsi des autres : si que cinq ou six lettres, & encore moins, suffiront par ce moien pour exprimer tout ce qu’on voudra : joint leurs diverses transpositions, qui s’estendent infiniment, deslors qu’on passe sept ou huit, pourveu qu’elles soient diferentes39 ».

31Cette dernière remarque donne occasion à Vigenère d’exposer la règle de calcul des Permutations de n objets, mais en fait, dans le procédé qu’il va exposer concrètement, il use des Arrangements avec répétitions.

32Vigenère prend les 3 lettres a, b, c, et établit la liste des Arrangements avec répétitions de ces 3 lettres prises 3 à 3 : le nombre en est 27, à savoir

  • 40 Id., fol. 199 v°. Ce fait, note Vigenère, pourrait bien avoir induit les Hébreux « d’adiouxter les (...)

« le Cube de Trois, autant qu’il y a de lettres differentes icy ; ouquel s’accomplist la parfaicte reuolution de toutes les transpositions & assemblemens qui peuuent escheoir au Ternaire40 ».

  • 41 Pour ajouter de la difficulté à son chiffre, Vigenère fait subir à la suite A, B, ..., Z une permut (...)

33Vigenère utilise 23 Arrangements pour représenter les lettres de l’alphabet de base A, B, ..., Z41 ; et pour ne pas laisser inemployés les 4 Arrangements restants, il s’en sert pour représenter &, 11, rr, β.

34Mais à la place des 3 lettres, a, b, c, on peut prendre 3 autres signes distincts quelconques :

  • 42 Ibid., fol. 199 r°-v°. C’est très certainement à ce procédé, et probablement à ce texte même de Vig (...)

« Voicy une table où il y a iusqu’à 27. accouplemens des trois premieres lettres ; au lieu desquelles vous pouuez vser de trois autres telles que bon vous semblera, ou de caracteres faits à plaisir, car cela n’importe de rien : on peult mesme se seruir de ceux du chiffre à compter, comme ils sont icy eualuez ausdites lettres ; de points aussi, & de lignes toutes semblables ; & d’autres qui sont differentes par leurs longueurs : Plus des notes dont se marquent les quantitez des syllabes, longues & briefues : - v. Mais cela a diuerses considerations & vsages ; car les points & lignes pareilles vont par certain ordre de leurs associations & redoublemens ; comme font tout de mesme les quantitez, toutesfois non tant, parce qu’elles sont de deux sortes : quant aux lignes qui se varient par leurs longueurs, parquoy elles se pourroient infiniment desguiser, nous n’en prendrons icy que trois differences, pour correspondre aux trois lettres, & notes du chiffre : mais à l’imitation de cecy se pourront mediter plusieurs autres inuentions, & tant qu’on voudra ; parquoy il suffist d’en auoir touché les maximes42. »

35Voici un fragment du début de cette table :

36Bacon propose de son côté une « invention » qu’il fit, nous dit-il, à Paris, lorsqu’il était jeune, et qu’il ne veut pas laisser perdre, « parce qu’elle contient un fort excellent Chiffre » :

  • 43 Francis Bacon, Neuf Livres de la dignité et de l’accroissement des sciences, trad. Gilbert de Golef (...)

« C’est à sçauoir que toutes choses peuuent estre signifiées par toutes choses : en sorte pourtant qu’il faut que ce qui est caché soit cinq fois plus petit que ce qui le cache, sans qu’il soit necessaire aucune autre condition ou restriction. Il se fera de cette sorte : Premierement, il faut reduire toutes les lettres de l’Alphabet en deux seules, & ce par leur transposition en cinq diuerses façons qui donneront trente-deux differences : & à plus forte raison en suffiront vingt-quatre, autant qu’il y a de lettres43. »

  • 44 Bacon songe plus précisément à des signaux audibles ou visibles, des « Objets propres à la Vouë & à (...)

37Ce chiffre réduit donc à deux seulement le nombre des signes44 utilisés ; Bacon extrait les 24 groupes de 5 signes dont il a besoin parmi les 32 = 25 Arrangements avec répétitions de 2 lettres prises 5 à 5.

38Il n’est pas indifférent de remarquer que Bacon ordonne parfaitement ses Arrangements selon l’ordre lexicographique :

A

aaaaa

B

aaaab

C

aaaba

D

aaabb

Y

babba

Z

babbb

(b) Mersenne

39Si parmi les textes que nous aurions pu citer, nous avons choisi ceux de Vigenère et de Bacon, c’est qu’on y trouve mentionné un petit calcul combinatoire, mais aussi parce qu’il est vraisemblable que Mersenne les a connus.

40Ce dernier a d’ailleurs, par deux fois, mentionné des procédés cryptographiques reposant sur l’usage d’un ensemble limité de signes.

  • 45 Nous avons cité ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, C, 1b, p. 215, le passage qui suit immédiatement (...)

41Le premier texte auquel nous songeons est une phrase, fort elliptique au demeurant, qu’on lit dans le développement des Harmonicorum libri consacré aux mots de 4 lettres qu’on peut former avec un alphabet de 22 lettres, selon qu’on tient compte ou non de l’ordre des lettres, et qu’on examine les différentes manières dont les lettres peuvent se répéter dans les mots45. Mersenne déclare qu’on peut utiliser ce « genre de combinaison » pour construire quantité d’« idiomes », grâce auxquels on confiera en toute sécurité des secrets dans ses lettres, même en se soumettant à cette condition qu’aucun mot d’un de ces idiomes n’aura plus de 4 caractères :

  • 46 Mersenne 1636b, VII, p. 139. [ « Mais il faut noter que ce genre de combinaison peut être très util (...)

« Sed notandum est hoc genus Combinationis utilissimum esse posse ad condenda quotpiam idiomata, quibus tutissime litteris arcana committantur, etiamsi nulla dictio pluribus constet quam quatuor characteribus46. »

42Mais il est très peu probable que Mersenne songe ici à construire un alphabet dont chaque élément s’écrirait avec 4 signes ; de même qu’il avait lancé l’idée de langues artificielles s’écrivant avec des alphabets de dimension réduite, il a plutôt en vue un dictionnaire de « dictions » ne comportant que 4 caractères, « dictions » auxquelles on attribuerait arbitrairement telles ou telles significations.

43Par contre, c’est tout à fait explicitement que, dans l’Harmonie universelle, Mersenne construit un alphabet, à l’aide seulement de 4 sons. On peut exprimer un discours par des sons, en assignant un son différent à chaque lettre de l’alphabet.

  • 47 Mersenne 1636a/1963, I, « Livre premier de la nature & des proprietez du Son », p. 40.

« Mais l’on peut pratiquer la mesme chose plus subtilement en exprimant tout ce que l’on voudra, tant en François, qu’en Hebrieu, en Grec, en Espagnol, en Italien, ou en autre sorte de langue, auec quatre Sons, ou mouuemens differens, qui peuuent estre variez en vingt-quatre manieres pour seruir de vingt-quatre lettres : car les nombres 1, 2, 3, 4 estant multipliez les vns par les autres font vingt-quatre differentes conionctions47. »

44Mersenne, on le voit, ne fait pas appel à des Arrangements avec répétitions, comme Bacon et Vigenère, mais à des Permutations, plus précisément aux 24 Permutations de 4 sons avec lesquelles il constitue un « Alphabet Harmonique ».

A

1

ut, re, mi, fa

B

2

ut, re, fa, mi

C

3

ut, mi, re, fa

Z

23

fa, ut, re, mi

fa, ut, mi, re

45Rien, bien sûr, dans les manipulations dont nous venons de parler, qui touche à la représentation des nombres. Mais à travers elles, se fait jour un progrès incontestable de l’« art des caractères » : les alphabets traditionnels sont remis à leur vraie place, celle de systèmes purement conventionnels d’écriture, et l’on s’aperçoit au surplus qu’il suffit de deux signes distincts pour fonder un système d’écriture. En cela, ne soupçonne-t-on pas dans ces manipulations une ébauche, peut-être même une amorce, d’un effort de pensée qu’il appartenait à l’arithmétique de parfaire dans son propre domaine ?

3. Un système cryptographique de représentation des nombres chez Cardan

46Il ne semble pas que le texte du De rerum varietate sur lequel nous allons nous pencher pour finir, ait jamais attiré l’attention ; Cardan s’y propose pourtant un problème curieux, celui d’exprimer des nombres dans un système cryptographique. Non pas certes à l’aide du procédé élémentaire qui consiste à réserver 10 signes pour exprimer les chiffres du système décimal, et qui revient ensuite à traduire simplement le nom d’un nombre dans le nouveau code : Cardan construit la désignation d’un nombre, et ceci grâce seulement à 3 signes, ou pour parler plus précisément, grâce à 3 signaux.

  • 48 Cf. ci-dessous la référence d’un texte de Polybe.
  • 49 Cf. Vigenère 1586, fol. 252 v° : « Mode de se faire entendre par des feuz de loin » ; cf. égalemont (...)

47Le système de signalisation par flambeaux auquel Cardan va donner un prolongement si original était connu et pratiqué sous différentes formes depuis l’Antiquité48, et on le trouve souvent mentionné dans les anciens traités de cryptographie49.

  • 50 Cardan 1663, vol. III, p. 619. Cardan avait d’abord tenu ce genre de procédé pour une invention ori (...)
  • 51 Trad. franç. du De subtilitate par Richard Le Blanc, Paris : G. Le Noir, 1556, fol. 331 r°.

48Notons que, dans un autre de ses ouvrages, le De subtilitate, Cardan avait combiné la nature des signaux et leur position pour représenter les lettres de l’alphabet50. On place 5 torches « sur cinq tours separees de loing les vnes des autres, en sorte qu’elles semblent estre separees en les voiant de loing » ; on assigne à chaque tour un lot de 4 lettres que celui qui se tient sur une de ces tours peut exprimer « en elevant la torche, ou en l’abbessant, ou en la flechissant à dextre ou à senestre51 ».

49Immédiatement avant le passage du De rerum varietate que nous allons maintenant citer, Cardan vient de décrire une méthode n’utilisant que deux flambeaux, l’un qui est tenu dans la main gauche, l’autre dans la main droite ; chacun des flambeaux peut se trouver dans 4 positions différentes : levé, baissé, incliné vers la droite, incliné vers la gauche. Après avoir défini la manière de représenter chacune des lettres de l’alphabet, Cardan dispose encore de 3 signaux dont il va tirer parti pour représenter des nombres :

50— le flambeau de gauche étant incliné vers la droite,

51— le flambeau de droite est : soit levé, soit baissé, soit incliné à gauche.

52Ces signaux que nous désignerons quant à nous par les symboles I, II, III peuvent être schématisés ainsi :

53Voici comment Cardan les utilise pour exprimer des nombres :

  • 52 Cardan 1663, vol. III, De rerum varietate, Lib. XII, cap. LXI, p. 237. [ « Outre ceux-ci, il y a en (...)

« Supersunt praeter has, tres aliae differentiae, quae a sinisera face in dextram partem inclinata prodeunt, cum dextra simul mota fuerit sursum aut deorsum, aut in sinistram partem. His igitur constituemus 0. 1 . 2. Et si repetatur 3. 6. 9. ut constituantur secunda vice ab 1. usque ad 11. tertio repetiti prima constitutio. 9. 18. 27. Et ita habes ab uno usque ad 38. Quod si quarto repetieris, primum signum 27. secundum 54. tertium 81. significabit, perveniesque usque ad 119. Ita in quinto habebis 81. 162. 343. & summam omnium 462. Neque parum est tam brevi duabus facibus, quarum altera codem modo semper se habet, scilicet ut ad dextram inclinetur, reliqua trifariam variatur, omnes numeros significari ab unitate usque ad 462. Atque hic modus minime fallax est, aut confusus brevisque ac perfectus52. »

  • 53 Du fait que les autres nombres donnés par Cardan coïncident avec ceux qui résultent de notre interp (...)

54Le système que propose Cardan est, si nous le comprenons bien, le suivant : chaque fois qu’il parle de « répétition », il songe à des émissions successives numérotées selon leur ordre d’apparition ; la valeur numérique des signaux varie selon le numéro de l’émission où ils apparaissent ; on peut rassembler dans le tableau suivant les valeurs données par Cardan53 :

55Si on met à part la première ligne de ce tableau, on voit que chacune de ses lignes correspond à une puissance déterminée de 3 ; sur la nème ligne, on trouve :

561 × 3n−1, 2 × 3n−1, 3 × 3n−1.

57Associons à chacun des nombres du tableau le couple signal-numéro d’émission qui le représente ; ainsi pour 9 : (III, 2).

58Pourquoi Cardan nous dit-il qu’avec les nombres contenus dans les deux premières lignes de notre tableau, on peut aller « jusqu’à 11 » ? C’est que 11 est le plus grand nombre qui puisse être exprimé en additionnant deux nombres dont l’un est pris dans la première ligne, et l’autre dans la seconde ligne :

(III, 1)

(III, 2)

2

+

9

=

11

59Si on émet ensuite (III, 3) comme troisième signal on obtiendra :

  • 54 Ici encore, comme pour 343, le nombre 462 qu’on lit dans le texte cité, nous semble fautif. Il s’ag (...)

60Avec une 4ème et une 5ème émissions, on pourra aller respectivement jusqu’aux nombres 119 et 36254 :

  • 55 La subtilité de Cardan se marque dans le choix d’un procédé, qui, en principe, peut-être poursuivi (...)

61Cardan n’insiste pas sur la manière dont on exprime les nombres intermédiaires, mais il est évident que son système se résume dans le fait que tout nombre55 peut y être exprimé par décomposition de la manière suivante :

N = a0 + a1 ⋅ 3 + ⋯ + an−1 ⋅ 3n−1 + an ⋅ 3n

62avec : 0 ≤ a0 ≤ 2, 1 ≤ ai ≤ 3 pour i > 0.

63Nous voilà donc en face d’un système arithmétique tout à fait analogue à la procédure I de Mersenne et de Frenicle, et si cette procédure I méritait d’être rapprochée d’un système de numération à base 22, la méthode cryptographique de Cardan est plus directement proche d’un système de numération à base 3, puisque son but précis est de représenter des nombres par des signes autres que les chiffres décimaux.

Conclusion

64L’expression « système de numération » n’est évidemment entendue en tout ceci qu’en son sens étroit : ce qui comptera pour l’histoire des mathématiques, ce sont les règles de calcul définies à l’intérieur de chacun de ces systèmes. Seule est en jeu, dans les exercices de Cardan, Mersenne et Frenicle, la possibilité de représenter les nombres autrement que par les symboles du système décimal. Il en va de même pour les efforts des cryptographes tendus vers de nouveaux alphabets, et encore de même pour les projets de langues artificielles agités par Mersenne, comme de sa tendance à mettre lettres et « dictions » sur le même pied que chiffres et nombres.

65Ces attitudes, ces tentatives, ces réussites se ramènent à une idée simple : l’esprit humain peut disposer avec une grande liberté des « caractères », et mille moyens existent de représenter un ensemble d’objets par des ensembles de « caractères ». Mais les idées simples ne sont pas les plus faciles à découvrir et encore moins à exploiter. Aussi y a-t-il quelque chose de désordonné et de maladroit dans ces explorations de la notion mathématique moderne d’« application » d’un ensemble dans un autre. À travers elles toutefois se mettent en place, sinon des concepts, du moins ce qu’on pourrait appeler des éléments conceptuels propres à mieux faire entendre la signification des notions de signe et de numération.

Notes

1 Il est en particulier difficile de se faire une idée précise du statut théorique que pouvait avoir, au xvie et au xviie siècles, le système sexagésimal, qui sembla avoir été apprécié surtout pour ses vertus pratiques dans des domaines déterminés d’application comme l’astronomie.

2 Cf. ci-dessus, p. 173, le passage de l’Harmonie universelle où Mersenne déclare que toute « diction » qui se peut imaginer se trouve comprise dans cette liste, « pourueu qu’elle se puisse escrire auec nos 22 lettres, ou auec telles autres 22 que l’on voudra ».

3 Mersenne 1933 – 1988, vol. V, Mersenne à Peiresc, 20 avril 1635, lettre n° 422, p. 136.

4 Id., vol. V, Peiresc à Mersenne, 17 juillet 1635, lettre n° 463, p. 323.

5 Il n’en souffle mot dans l’emphatique mais peu précise « Epistre dedicatoire » qu’il adressa à « M. Hallé, seigneur de Boucqueval, conseiller du Roy et ministre des Contes ». (Sur Jacques Hallé, voir Mersenne 1933 – 1988, vol. I, p. 141 ; vol. V, p. 434 – 436.)

6 « L’unité signifie Dieu », et « les dix premiers nombres [...] representent les dix perfections Diuines, & c. » (Mersenne 1636a/1963, II, « Preface au Lecteur des Traitez de la voix et des chants ».)

7 Cf. ci-dessus, p. 112.

8 Cf. ci-dessus, p. 113 et Deuxième Partie, ch. V, B.

9 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, A, 1.

10 Cf. ci-dessus, p. 73 – 79.

11 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 2, 3 a.

12 « Si l’on veut auoir les chants de plus de 22 notes, il faut multiplier le dernier nombre qui est vis à vis de 22, par 22, & le produit encore par 22, iusques à ce qu’on ait atteint le 30, le 40, le 50, ou tel autre nombre de notes que l’on voudra. » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.)

13 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », dans le titre de la Proposition XLIX, p. 72.

14 Id., p. 74.

15 Id., p. 72.

16 Id., p. 72 – 73.

17 Id., p. 73.

18 Cf. ci-dessus, p. 139.

19 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 73.

20 Ibid.

21 Mersenne avait déjà dit dans La Vérité des sciences : « on pourroit aussi former autant de dictions diuerses comme il y a de diuers indiuidus au monde » (cf. ci-dessus, p. 110.). Mais il avait écrit ailleurs dans le même ouvrage : « il est impossible d’imposer des noms propres, & differents à tous les indiuidus ou à toutes les especes, d’autant que le nombre des choses est infiniment plus grand que le nombre des parolles » (cf. ci-dessus, p. 98.). La contradiction paraît flagrante. Elle disparaît cependant, si l’impossibilité affirmée dans cette seconde phrase se rapporte aux langues naturelles, la première phrase énonçant, elle, une faculté des langues artificielles.

22 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 73.

23 Cf. ci-dessus, p. 139.

24 Cf. ci-dessus, p. 139, note 108.

25 Cf. ci-dessus, p. 139.

26 Louis Couturat, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits des manuscrits de la Bibliothèque royale de Hanovre, Paris : Alcan, 1903, p. 532 (PHIL, VIII, 95 recto).

27 Id., p. 533.

28 Il s’agit, rappelons-le, de textes se trouvant dans l’Harmonie universelle, et dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II. Dans les Harmonicorum libri, Mersenne renvoie en ces termes à ces deux ouvrages : « Insignem autem Tabulae istius [pour cette table, cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, E, 1] usum in scribendis arcanis, & inveniendis linguis, vel dictionibus novis secundo volumine in Genesim aperimus, unde plura decerpi possunt, quae varietates istas illustrent, vicissimque hinc & ex « Libris Harmonicas » Gallice scriptis in praedictum volumen refundi possunt, ut mutuas sibi operas praebeant. » (Mersenne 1636b, VII, p. 140.) [ « Mais l’usage remarquable de cette table pour écrire des secrets et inventer des langues, ou des nouveaux mots, nous le découvrons dans le volume 2 in Genesim, où on peut recueillir plusieurs choses qui illustrent ces variétés, et à leur tour elles peuvent être restituées dans le volume indiqué à partir [des choses contenues] ici et dans les Livres Harmoniques écrits en français, pour qu’ils s’offrent mutuellement des choses utiles. »]

29 Cf. ci-dessus, p. 105.

30 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 139.

31 Id., p. 142.

32 Frenicle 1729, p. 113 – 114.

33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 140.

34 Frenicle 1729, p. 114.

35 Vigenère 1586, fol. 189, v.

36 Ibid.

37 Id., fol. 240r.

38 Ibid.

39 Id., fol. 190r.

40 Id., fol. 199 v°. Ce fait, note Vigenère, pourrait bien avoir induit les Hébreux « d’adiouxter les cinq finales à leurs anciennes vingt deux lettres, pour arriuer à ce nombre de 27 ».

41 Pour ajouter de la difficulté à son chiffre, Vigenère fait subir à la suite A, B, ..., Z une permutation circulaire : « Finablement les lettres que représentent ces 27. triplications, sont icy transposees hors de leur ordre accoustumé, pour tousiours obscurcir davantage le chiffre ; mais celà se peult varier comme on veult. » (Ibid.)

42 Ibid., fol. 199 r°-v°. C’est très certainement à ce procédé, et probablement à ce texte même de Vigenère qu’il est fait allusion, dans la Seconde centurie des questions traitées es conferences du bureau d’adresse, depuis le 3. jour de novembre 1634 jusques à l’11 février 1636, Paris : Bureau d’Adresse, p. 403, où on relève dans une liste de méthodes cryptographiques l’indication suivante : « On s’est servi des nombres : on a abrégé l’alphabet, on l’a multiplié : on a dressé des tables pour mettre trois lettres pour une. »

43 Francis Bacon, Neuf Livres de la dignité et de l’accroissement des sciences, trad. Gilbert de Golefer, Paris : I. Dugast, 1632, p. 394 – 395.

44 Bacon songe plus précisément à des signaux audibles ou visibles, des « Objets propres à la Vouë & à l’Ouye ; pourueu qu’ils puissent estre seulement distinguez en deux façons : Par exemple, par des Cloches, par des Trompettes, par des Flambeaux, par des coups de Canon & autres choses semblables ».

45 Nous avons cité ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, C, 1b, p. 215, le passage qui suit immédiatement, dans les Mersenne 1636b, p. 139.) la phrase considérée ici.

46 Mersenne 1636b, VII, p. 139. [ « Mais il faut noter que ce genre de combinaison peut être très utile pour établir autant qu’on voudra de langages, par lesquels on rassemble des secrets dans des lettres d’une façon très protégée, même si aucun mot n’est formé de plus de quatre caractères. »]

47 Mersenne 1636a/1963, I, « Livre premier de la nature & des proprietez du Son », p. 40.

48 Cf. ci-dessous la référence d’un texte de Polybe.

49 Cf. Vigenère 1586, fol. 252 v° : « Mode de se faire entendre par des feuz de loin » ; cf. égalemont fol. 115 r°, fol. 202.

50 Cardan 1663, vol. III, p. 619. Cardan avait d’abord tenu ce genre de procédé pour une invention originale, mais il en vit ensuite la description dans Polybe (Cf. en effet Polybe, Histoires, Paris : Garnier, 1921, vol. III, L. X, XLIII-XLVII, p. 99 – 105).

51 Trad. franç. du De subtilitate par Richard Le Blanc, Paris : G. Le Noir, 1556, fol. 331 r°.

52 Cardan 1663, vol. III, De rerum varietate, Lib. XII, cap. LXI, p. 237. [ « Outre ceux-ci, il y a en plus trois autres différents, qui procèdent en inclinant le flambeau gauche dans la partie droite, alors que le droit en même temps sera levé ou baissé ou [incliné] vers la gauche. Ainsi nous constituons 0. 1. 2. Et si c’est répété 3.6.9 de sorte qu’au deuxième tour, on a constitué de 1 jusqu’à 11. Le premier arrangement répété trois fois [donne] 9. 18. 27. Et ainsi tu auras de 1 jusqu’à 38. Si tu le répétais quatre fois, le premier signe signifiera 27, le deuxième 54, le troisième 81. et tu parviendrais jusqu’à 119. Ainsi à la cinquième tu auras 81. 162. 343 et la somme de tous 462. Et il suffit de si peu que deux flambeaux dont l’un des deux se tient toujours selon le même mode, à savoir qu’il est incliné vers la droite, [et] le restant est varié de trois façons, pour que tous les nombres soient représentés de l’unité jusqu’à 462. Et cette façon n’est ni trompeuse ni confuse, mais au contraire brève et parfaite. »]

53 Du fait que les autres nombres donnés par Cardan coïncident avec ceux qui résultent de notre interprétation, nous sommes en droit de penser que le nombre 343 qu’on lit dans le texte cité est là pour 243.

54 Ici encore, comme pour 343, le nombre 462 qu’on lit dans le texte cité, nous semble fautif. Il s’agit selon nous d’erreurs d’impression. L’exemplaire du De rerum varietate, publié à Lyon en 1580 que nous avons également consulté, comporte une troisième erreur, car il donne 192 au lieu de 162.

55 La subtilité de Cardan se marque dans le choix d’un procédé, qui, en principe, peut-être poursuivi indéfiniment.

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