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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Troisième partie. Énumérations et numérations

Chapitre 2 : « Combinaisons générales » et numérotation

Texte intégral

1Mersenne s’est posé pour les Arrangements avec répétitions qu’on peut former avec un nombre donné d’objets, exactement les mêmes questions que celles que nous venons de voir traiter à propos des Permutations d’un nombre n d’objets. Il est bon de noter que Mersenne lui-même n’a pas jugé nécessaire de relever cette analogie. Il est manifeste toutefois que ces questions sont liées, aussi bien par le souci auquel elles répondent que par la manière dont Mersenne les présente ; même vocabulaire : recherche du « rang » d’un chant ou d’une diction donnés ; et surtout même rythme dans la résolution des problèmes : après avoir cherché un procédé qui lui permette de passer d’une diction à un nombre, Mersenne s’attaque ensuite au problème inverse : passage d’un nombre donné à la diction qui lui correspond.

2On peut même présumer que Mersenne, s’étant donné satisfaction dans le cas des Permutations, s’est fixé ensuite pour tâche de traiter d’un cas plus général, et même du cas le plus général. Dans le cas des Permutations, on se donnait un nombre déterminé de notes qu’on n’avait pas le droit de répéter. Si maintenant,

  • 1 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

« on peut faire des Chants differents d’un nombre de notes prises dans tel autre nombre que l’on voudra, soit que l’on prenne les notes toutes differentes en vn mesme nombre, ou toutes semblables, ou partie differentes & partie semblables1 »,

  • 2 Id., p. 135 – 136.
  • 3 Id., p. 140.

3on sera en présence de tous les chants possibles qu’on peut composer avec un nombre de notes données. En un mot, il s’agit, rappelons-le, de la « combination la plus générale de toutes ». Ainsi s’expliquent les formules assez elliptiques par lesquelles Mersenne décrit la recherche qu’il va maintenant aborder : il cherchera à « sçavoir le quantiesme est chaque chant dans le nombre de tous les chants possibles2 » ; il se demandera en second lieu comment « trouver quelle diction ou quel chant est dans vn lieu donné de la combination générale3 ».

4Mersenne traite amplement de cette question dans deux ouvrages :

5Harmonie universelle, « Livre second des chants », Propositions XIII, XIV, XV, XVI, p. 136 – 144.

6Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, Propositions VI, VI [bis], VII, VIII, p. 236 – 241.

  • 4 Dans les Harmonicorum libri, Mersenne s’est contenté de donner à son lecteur une idée des résultats (...)
  • 5 Quitte à y revenir plus loin dans notre prochain chapitre.

7Dans ce qui suit, nous nous appuierons essentiellement sur le texte de l’Harmonie universelle qui présente le double avantage d’être un peu plus clair, et d’être écrit en français4. Ces pages ne sont pas d’une lecture plus aisée que bien d’autres ; mais ici, la difficulté ne vient pas de ce que Mersenne nous entraînerait sans cesse hors de son sujet. Il a fort bien circonscrit ce dont il avait à parler, et, pour une fois, ne s’en écarte pas vraiment. Son plan d’exposé est très net, et se justifie parfaitement. Malheureusement, il fait passer la clarté bien après le désir, plus sensible encore que dans le Manuscrit des chants de 8 notes, de mettre en valeur les profits qu’on peut tirer de ses découvertes. Aussi ne se résigne-t-il pas à s’en tenir tout d’abord à ce que celles-ci ont de proprement arithmétique ; il saute le plus vite qu’il peut à leurs « usages ». D’où un exposé plein de détours où il serait inutile de vouloir le suivre, et dont nous faisons, pour notre part, délibérément abstraction5. Du moins en un premier temps, nous isolerons dans ces pages la manière dont Mersenne définit les problèmes de numérotation qu’il va se poser, et ce qu’il dit de leurs solutions.

8Indiquons dès maintenant, puisqu’ils sont par eux mêmes suffisamment explicites, les titres des quatre propositions que nous allons examiner. Ces propositions se groupent deux à deux comme suit :

9Premier groupe

10Proposition XIII : « Un chant estant donné trouver le rang & l’ordre qu’il tient entre tous les chants possibles dans un nombre determiné de notes. »

11Proposition XIV : « Comme il faut lire toutes sortes de lettres & de dictions en quelque langue que ce soit, lors qu’elles sont escrites par nombres, ou par quelqu’autres characteres qui servent de nombres ; & comme l’on peut chanter toutes sortes d’Airs & de notes signifiees par toutes sortes de nombres donnez. »

12Second groupe

13Proposition XV : « Trouver le lieu & le rang que tient un chant donné de tant de notes que l’on voudra parmy ceux qui peuvent estre faits d’un nombre égal de notes prises en 22. »

14Proposition XVI : « Vn nombre estant donné trouver quel chant ou quelle diction tient le rang dudit nombre parmy les chants ou les dictions qui ont une mesme quantité de notes ou de lettres. »

15Le premier groupe de propositions traite, sous sa forme générale, du problème que nous venons d’évoquer plus haut ; le second groupe de propositions traite d’une question plus particulière : au lieu de considérer tous les Arrangements avec répétitions que l’on peut former avec 22 lettres, on prendra seulement en considération, parmi ces Arrangements, ceux qui ont un nombre déterminé de lettres.

16Pour la commodité de l’exposé, nous désignerons comme suit chacun des problèmes que Mersenne décrit dans ces quatre propositions :

17— (A) : Proposition XIII : problème I

18Proposition XIV : problème I’

19— (B) : Proposition XV : problème II

20Proposition XVI : problème II’

21Nous dirons ensuite (C), comment Frenicle a traité ces mêmes problèmes, pour souligner enfin (D) leur parenté avec des questions relatives à la numération.

22Essayant d’éclairer autant que se pouvait des pages particulièrement indigestes, nous avons pris le parti de mettre sous les yeux du lecteur des citations abondantes, commentées au fur et à mesure, et d’épouser ainsi le rythme d’analyses qui, disons-le dès maintenant, n’ont exploré que partiellement les problèmes posés.

A.

1. Problème I : un mot étant donné, trouver son numéro

23L’exemple sur lequel spécule Mersenne est trop complexe pour que soit claire d’emblée la méthode qu’il est destiné à illustrer. Commençons donc, pour notre part, par considérer le cas de 3 lettres A, B, C auxquelles nous donnons respectivement les numéros 1, 2, 3. Considérons les Arrangements avec répétitions de ces 3 lettres. Nous aurons :

3 mots de 1 lettre

32 mots de 2 lettres

33 mots de 3 lettres

...............................

3n mots de n lettres

................................

24Supposons ces mots rangés selon le principe adopté par Mersenne : A, B, C, AA, AB, AC, BA, ..., CC, AAA, ABB, ...

25Nous nous proposons d’assigner un numéro et un seul à chacun des mots ainsi formés.

26Le mot AA aura le numéro 4, qui se calculera ainsi : (1.3) + 1 = 4.

27Le mot BC aura le numéro 9, qui se calcule ainsi : (2.3) + 3 = 9.

28Le mot AAA aura le numéro 13, qui se calcule ainsi : (3.3) + 3 + 1 = 13.

29Le tableau qui suit illustre plus précisément le procédé de calcul qui permet, un mot étant donné, de trouver son numéro.

A

1

1

B

2

2

C

3

3

AA

1⋅3+1

4

AB

1⋅3+2

5

AC

1⋅3+2

6

BA

2⋅3+1

7

BB

2⋅3+2

8

CC

3⋅3+3

12

AAA

1⋅9+1⋅3+1

13

AAB

1⋅9+1⋅3+2

14

AAC

1⋅9+1⋅3+3

15

BAA

2⋅9+1⋅3+1

22

BBC

2⋅9+2⋅3+3

27

CCC

3⋅9+3⋅3+3

39

30Lisons maintenant la Proposition XIII qui a pour titre : « Un chant estant donné trouver le rang et l’ordre qu’il tient entre tous les chants possibles dans un nombre determiné de notes. »

  • 6 Que nous passerons ici sous silence, car elle ne concerne en rien, de façon essentielle, l’objet pr (...)

31Mersenne a mis tellement de hâte à faire part au lecteur des usages divers de cette proposition, il a tellement embrouillé son exposé en se référant à la notation musicale très complexe de « l’eschele de Musique6 » qu’on aperçoit avec peine, à première vue, le but qu’il poursuit. Mais si nous nous en tenons, pour commencer, à l’énoncé de la proposition, il apparaît que le problème à résoudre est celui-là même que nous venons d’examiner sur un exemple particulier. Là où, pour la commodité de l’expression, nous avons dit « numéro », Mersenne parle de « rang ». Il s’agit, un nombre n d’objets étant donné, de considérer les Arrangements avec répétitions de ces n objets, pris un à un, 2 à 2,..., et d’assigner un et un seul numéro à chacun de ces Arrangements.

32Mersenne prend : n = 22, mais précisera plus loin que ce n’est qu’un exemple. Les objets peuvent être « les notes de la Musique », ou « les nombres 1, 2, 3, etc. », ou « les lettres de notre Alphabet, A, B, C, etc. », numérotées de 1 à 22 [Mersenne ne compte pas les lettres J, K, U, W]. C’est ce dernier cas que nous retiendrons, car c’est celui qui se prête le mieux à l’analyse. Avec ces lettres juxtaposées, sont formées des « dictions » que nous lirons « à rebours de droit à gauche », de sorte que la lettre qui est la première en lecture normale devient ici la dernière, « la penultiesme la seconde, etc. iusques à la derniere à main gauche, qui est la premiere à main droite ».

33Soient donc 22 lettres. Les nombres 22, 222, 223,..., qui « suivent la progression des dignitez de l’Algebre » nous disent « qu’il faut passer par les 22 lettres avant que de venir aux dictions de deux lettres », et qu’il faut passer par 222 = 484 dictions « avant que de parvenir à la premiere diction de trois lettres », etc.

  • 7 « Or les exemples qui suivent font mieux comprendre cette table que le discours [...]. »

34Voici maintenant le procédé à suivre pour connaître, une diction étant donnée, son rang parmi toutes les dictions possibles de 22 lettres. Mersenne ne l’éclaire que par des exemples7.

351er exemple : soit la diction AEBD.

36— La 1ère lettre est D ; D « vaut 4 ».

37— La 2ème lettre est B ; c’est la seconde lettre de l’alphabet, et elle est au second rang dans la diction : « il faut multiplier 22 par 2 ».

38— La 3ème lettre est E ; c’est la 5ème lettre de l’alphabet ; on multipliera 222 par 5.

39— La 4ème lettre est A ; c’est la 1ère lettre de l’alphabet ; « il faut simplement écrire » : 223.

40« Ces 4 nombres ajoûtez donneront 13 116, qui monstre la quantiesme » est cette diction entre toutes celles qui se peuvent faire de 22 lettres.

41Nous pourrions ainsi disposer le calcul qu’effectue Mersenne :

422ème exemple : dans la Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, Mersenne lui-même dispose comme suit les nombres qu’il a à additionner, dans le cas de mot DEUS :

43Ainsi à un mot (ou à un chant) donné, on peut faire correspondre un nombre et un seul qui est son rang dans la liste de tous les mots (ou de tous les chants).

2. Problème I’ : un numéro étant donné, trouver le mot correspondant

« Apres avoir donné la maniere d’escrire toutes sortes de chants par le moyen des nombres & des lettres, il faut expliquer la maniere de connoistre le chant, & de le dechifrer lorsque le nombre est donné. »

44Tel était en effet le problème qui devait se poser naturellement : une fois établi la numérotation des dictions, il convenait de chercher, comment, un numéro étant donné, on peut retrouver la diction qui lui correspond.

45— Pour comprendre plus rapidement comment se fait cette recherche, reprenons, avant d’aborder le texte même de Mersenne, l’exemple simple proposé plus haut : supposons numérotés les Arrangements avec répétitions des 4 lettres A, B, C, D ; et cherchons les mots qui ont pour numéro 4, 13, 27.

46Numéro 4 : divisons 4 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 4, à savoir 3 ; le quotient de la division est 1 : donc, la deuxième lettre du mot est la première lettre de l’alphabet : A. Comme le reste de la division est 1, la première lettre du mot sera également la lre lettre de l’alphabet : A. Le mot est AA.

47Numéro 13 : divisons 13 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 13, à savoir 9 ; le quotient de la division est 1 : la 3ème lettre du mot est A ; le reste de la division est 4.

48Divisons 4 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 4, à savoir 3 ; le quotient de la division est 1 : la deuxième lettre est A ; le reste étant 1, la troisième lettre est également A. Le mot est AAA.

  • 8 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 140 – 141.

« Soit donc le nombre donné à déchiffrer 1 349 183819. Il faut chercher dans la Table de la combination générale de la 13 proposition [table donnant 1, 22, 222,..., 2221] le premier nombre qui est moindre, à scavoir 113 379 904, qui est le nombre des dictions de 6 lettres, & consequemment la diction proposée a 7 lettres, dautant que ce nombre pris dans la table de la 13 proposition, lequel commence par l’unité, se trouve au 7. lieu.
Ie divise donc le nombre donné par cestuy-cy, & le quotient estant 11, ie prens l’onziesme lettre de l’Alphabet qui est M.
Mais cette division estant faite, il reste 102 004 875, que ie divise encore par le nombre de la table, qui precede la premier diviseur, c’est à dire par 5 153 632 [225] le quotient est 19, c’est à dire la lettre V. [436] Il reste 4 085 867, que ie divise par 234 256 [224] le quotient est 17, qui donne la lettre S.
Mais il reste 103 515 que ie divise par 10648 [223] 1e quotient est 9 qui monstre la lettre I.
Il est resté 7 683, qu’il faut diviser par 484 [222] pour avoir le quotient 15, qui monstre la lettre Q.
Il est encore resté 423, qu’il faut diviser par 22, le quotient est 19 qui monstre la lettre V.
Finalement il est resté 5, qui monstre la lettre E ; de sorte que le chant qui avoit esté proposé est celuy qui est icy noté, & la diction est MVSIQVE8. »

B. Problèmes analogues aux problèmes I et I’ pour les mots de même longueur

1. Problème II

49Mersenne a travaillé plus haut sur la liste générale des Arrangements avec répétitions qu’on peut former avec 22 lettres, prises 1 à 1, 2 à 2,...

50Ainsi que nous l’avons vu, cette liste admet une division toute naturelle : elle se divise en sections, chacune de ces sections contenant tous les mots d’une longueur donnée.

51Mersenne va maintenant s’attacher à l’une quelconque de ces sections, et se poser à son propos une question tout à fait analogue à celle du Problème I : étant donné la section des mots de longueur n, il s’agit d’assigner un et un seul numéro à chacun de ces mots :

« Après avoir donné la maniere de trouver le lieu d’un chant, ou d’une diction dans le nombre de tous les chants possibles, i’en ajoûte un autre, qui sert pour trouver le lieu dans le nombre des chants qui ont mesme quantité de notes... ».

52Le nombre des mots de longueur n est 22n :

« Or la table de la combination des lettres enseigne combien une certaine quantité de lettres prises en 22 peut faire de chants, dont ceux que l’on compose de deux notes sont 484, comme ceux de trois notes sont 10 648, & c. »

53Ici encore, Mersenne ne va pas justifier la procédure qu’il va mettre on œuvre, mais l’illustre par un exemple. Soit la section des mots de 5 lettres. Quel est le numéro du mot ELIVD dans cette section ? La marche à suivre pour trouver ce numéro sera analogue à celle qui permet de résoudre le Problème I : nous aurons à chercher les coefficients de 22, 222, 223, 224.

54Dans le problème I, il suffisait de considérer le rang de chaque lettre ; dans l’alphabet. Ici, la procédure est un peu plus complexe. Il faut distinguer deux cas :

55a) la lettre considérée est en première position : « elle vaut son rang » ; « par exemple si la premiere lettre respond à n, elle vaut 12 » ;

56b) la lettre considérée n’est pas en première position : elle vaudra son rang diminué de l’unité. Si la lettre N est en troisième position, on multipliera 222 par 11. Si la lettre A se présente ailleurs qu’en première position, c’est par 0 qu’on multipliera la puissance convenable de 22 :

« Par exemple si la premiere lettre respond à N, elle vaut 12 : secondement si elle se trouve au 2, 3 ou 4 rang, & c. elle vaut un moins que le rang qu’elle tient : par exemple, si la lettre N tient le 2 rang à main droite, il faut multiplier 11 par 22, si elle est au 3, par 484, & c. »

57La lettre a « n’est qu’un zero, quoy qu’elle se puisse mettre au commencement de la diction, & qu’elle vaille un à la fin ».

58Appliquons ces règles à l’exemple cité plus haut du mot ELIVD :

  • 9 Mersenne a corrigé de sa main, mais à tort, 937024 en 937 424.

« Je suppose donc premierement que l’on vüeille sçavoir le lieu de la diction ELIVD qui a 5 lettres, dont il se peut faire 5 153 632 dictions, pourveu qu’on les prenne dans les 22 lettres de l’Alphabet.
Or la premiere lettre est D, qui est la 4 dans l’Alphabet.
La 2 est V, qui est la 19, mais elle ne vaut icy que 18, laquelle ie multiplie par 22, le produit est 396.
La 3 est I, qui est la 9, & ne vaut que 8, lequel multipliant 484 fait 3 872.
L est la 10, & ne vaut que 9, lequel multipliant 10 608 donne 95 832.
Et puis ie multiplie 234 256 par E qui vaut 4, le produit est 937 0249.
De sorte que tous ces nombres estans assemblez monstrent que le chant de 5 notes respondant à ELIVD est le 1 037 128 entre ceux des 5 notes. »

59Ce calcul peut se schématiser comme suit (nous plaçons sous chacune des lettres son rang alphabétique) :

60Il n’est pas difficile de voir comment Mersenne a été conduit à poser ses règles. Pour ne pas quitter l’exemple qui il nous donne, réfléchissons sur la manière dont est constituée la section des mots de 5 lettres, qui commence par le mot :

AAAAA

61auquel Mersenne donne le numéro 1.

62Nous pourrons justifier par un raisonnement direct la procédure que suit Mersenne pour trouver le numéro du mot ELIVD : il suffit de compter tous les mots qui précédent ce dernier dans la section des mots de 5 lettres.

63(Pour parler plus commodément, nous lirons les mots de gauche à droite, et dirons, à la différence de Mersenne, que la lettre qui se trouve le plus à gauche est la première, etc.) :

64a) nous prenons tout d’abord tous les mots qui commencent soit par A, soit par B, soit par C, soit par D. Nous avons ainsi 4 groupes de mots qui comportent chacun 224 mots : en effet, si je fixe la première lettre d’un mot de 5 lettres, je peux disposer les autres lettres de C(22, 4) façons différentes :

4 × 224.

65b) nous prenons ensuite tous les mots qui commencent par EA, EB, ..., EI. Nous avons ainsi 9 groupes de mots (car il y a 9 lettres qui précédent l dans l’ordre alphabétique) qui comportent chacun 223 mots : en effet, si je fixe les deux premières lettres d’un mot de 5 lettres, je peux disposer les autres lettres de C(22, 3) façons différentes :

9 × 223.

66c) nous prenons ensuite tous les mots qui commencent par ELA, ELB, ..., ELH, c’est-à-dire 8 groupes de mots qui comportent chacun 222 mots :

8 × 222.

67d) nous prenons ensuite tous les mots qui commencent par ELIA, ELIB, ..., ELIT, c’est-à-dire 18 groupes de mots qui comportent chacun 22 mots :

18 × 22.

68e) il nous reste à compter jusqu’au mot ELIVD (ce mot étant lui même compris) les mots commençant par ELIV : le rang alphabétique de D nous donne directement le nombre de ces mots ; il y en a 5.

69Il apparaît ainsi clairement pourquoi la dernière lettre (celle que Mersenne appelle la « première ») « vaut » son rang alphabétique, alors que pour les autres lettres du mot, on détermine le coefficient auquel elles correspondent en diminuant d’une unité leur rang alphabétique.

70La lettre A « vaut » bien « zéro » sauf si elle est en dernière position où elle « vaut » 1. Ainsi le numéro de :

est bien égal à 1.

71Le dernier mot de la section sera :

ZZZZZ

72dont le numéro sera 225 puisqu’il y a 225 mots de 5 lettres. On a bien, en calculant le numéro de ce mot avec la procédure précédente :

(21 × 224) + (21 × 223) + (21 × 222) + (21 × 22) + 22 = 225.

2. Problème II’

73De même que le Problème I’ était par rapport au Problème I, un problème inverse, Mersenne se proposera maintenant, un nombre étant donné, dont on sait qu’il appartient à une numérotation établie dans les conditions définies par le Problème II, de trouver la diction correspondant à ce numéro. Tel est l’objet de la Proposition XVI :

« Un nombre estant donné trouver quel chant ou quelle diction tient le rang dudit nombre parmy les chants ou les dictions qui ont une mesme quantité de notes ou de lettres. »

741ère méthode

75Pour l’essentiel, nous retrouverons ici le procédé de division successive du nombre donné par des puissances décroissantes de 22. En supposant tout d’abord, pour simplifier, que les divisions dont nous allons parler, sont possibles, nous schématiserons ainsi le procédé que Mersenne ne décrit que dans des applications particulières.

76Soit N le nombre proposé ; et nous supposons que N est le numéro d’un mot de n lettres (1 ≤ N ≤ 22n).

77Je divise N par la plus grande des puissances de 22 qui lui sont strictement inférieures. Le quotient est qn : le rang alphabétique de la dernière lettre du mot sera : qn + 1.

78Le reste est rn : je divise rn par la puissance de 22 immédiatement inférieure à la précédente. Le quotient est qn−1 : le rang alphabétique de l’avant-dernière lettre du mot sera : qn−1 + 1.

79On poursuivra les divisions jusqu’à ce qu’on parvienne à la division par 22. Au quotient q2 de cette dernière division, il faut ajouter 1 pour obtenir le rang alphabétique de la seconde lettre.

80Enfin le reste r3 de cette division nous donne directement le rang alphabétique de la première lettre.

81Ainsi s’éclaire le sens de la première remarque de Mersenne :

« L’on trouve quel chant tient le rang d’un nombre donné entre ceux qui ont mesme quantité de notes, si l’on remarque premierement qu’il doit tousiours rester quelque nombre à la fin des operations [le reste de la dernière division doit être supérieur ou égal à 1], afin que le quotient ne soit iamais plus grand que 21, car il faut aioûter à chaque quotient [pour un quotient qi , on obtient le rang de la lettre correspondante, en ajoutant 1 à qi ; on doit donc avoir : qi ≤ 21] excepté qu’apres la derniere division il pourra rester 22, parce qu’il ne faut rien ajoûter à ce reste [ce reste donne directement le rang de la première lettre du mot]. »

82Cas particuliers : nous avons supposé que toutes les divisions requises par les puissances convenables de 22 étaient possibles. Que doit-on faire quand tel n’est pas le cas ?

83a) N = 22n et N est supposé être un numéro d’un mot de n lettres. Il est évident que ce sera le dernier mot de la liste : il sera formé de n lettres Z :

« Or il faut tousiours diviser le nombre donné par celuy de la table generale qui se trouve prochainement moindre ; & si l’un des nombres de cette table se rencontre, l’on aura la derniere diction de cette sorte ; par exemple, si l’on trouve 10 648, qui est le nombre des dictions chants de trois lettres, l’on aura trois fois le Z. »

84Bien qu’un raisonnement direct nous apprenne ainsi de quel mot il s’agit, Mersenne a jugé bon cependant d’adapter à ce cas la procédure générale : « Or on trouve cette diction en divisant 10 648 par 484 dont le quotient est 22, & parce qu’il ne reste rien, l’on met 21, qui vaut la lettre Z. »

85On aura :

1 646 = 22 × 464

= (21 × 484) + 464

86et, par analogie avec la procédure générale, Mersenne continue à appeler 484 « le reste » :

« le reste 484 estant divisé par 22, le quotient est encore 22, de sorte qu’il faut prendre 21 qui vaudra 22 à raison de l’unité qu’il faut ajoûter, & l’on a encore un Z... »

87On aura : 21 x 22 = 484 - 22, « ... & reste 22 » qui, puisqu’il s’agit de la première lettre, « vaut » Z.

88Le mot est bien : Z Z Z.

89b) Ce premier cas permet de résoudre le cas analogue suivant où on rencontre un reste égal à 0 :

« Si le nombre donné se divisoit exactement sans aucun reste par le nombre pris dans la table, il faudroit mettre la lettre signifiee par le quotient sans y rien ajoûter, & autant de Z apres qu’il en est requis pour achever le nombre des lettres dont la diction devroit estre composee. »

90Ce cas se présente en effet pour un mot dont le numéro est de la forme :

N = p ⋅ 22q

91et dont l’expression pourra se développer sous la forme suivante :

N = (p−1) ⋅22q+22q

= (p − 1) ⋅ 22q + (21 + 1) ⋅ 22q−1

= (p − 1) ⋅ 22q + 21.22q−1 + 22q−1

= (p − 1) ⋅ 22q + 21 ⋅ 22q−1 + 21 ⋅ 22q−2 + ⋯ + 21 ⋅ 22 + 22

92La première lettre a pour rang alphabétique p : « il faudroit mettre la lettre signifiee par le quotient sans y rien ajoûter ».

93Toutes les autres sauf la dernière ont pour rang alphabétique :

21 + 1 = 22.

94Ce sont donc des Z.

95La dernière lettre est également un Z puisque le dernier terme du développement précédent nous donne directement son rang alphabétique : 22.

96Exemple : « par exemple 8 712 se divise exactement sans aucun reste par 484, dont le quotient est 18, qui respond à T, apres lequel il faudroit mettre deux Z ». [On a bien en effet :

(18-1) . 484

+

21 . 22

+

22

=

8712

T

Z

Z

17 . 222

+

222

=

8712

97c) Supposons qu’au cours de la procédure générale, nous ayons à diviser le reste rn−ipar 22n−i−1 et que rn−i < 22n−i−1. Ceci signifie que dans la formule donnant le numéro du mot, le coefficient de 22n−i−1 est nul : le rang alphabétique de la lettre correspondante est donc : 0 + 1 = 1 ; la lettre est A. Si on a de nouveau :

rn−i−1 < 22n−i−1,

98la lettre suivante est également A. Si par contre :

rn−i−1 > 22n−i−1,

99on poursuit la division selon la procédure générale.

« Si l’on ne peut diviser par tous les nombres de la table moindres que le premier diviseur, & qu’ils se trouvent plus grands que le nombre à diviser, il les faut passer en mettant a autant de fois que l’on aura passé, comme l’on fait lors qu’en la division le diviseur est plus grand que le nombre à diviser. »

100Exemple :

  • 10 Choix judicieux que celui d’un mot riche en lettres A. Mais plutôt que « BAALAM », on aurait attend (...)

« Soit donc le nombre proposé 5 157 999, lequel divisé par 5 153 632 donne le B, c’est à dire 1 pour le quotient, que l’on ne peut diviser par les 2 diviseurs suivans 234256, & 10 648, c’est pourquoy ie mets deux A, & puis ie le divise par 484, le quotient est 9, qui donne l, & reste 11 qui ne peut estre divisé par 22, ie mets donc A & M pour les 1 qui restent, de sorte que la diction est BAALAM10. »

1012ème méthode

102Cette deuxième méthode consiste à ramener le Problème II’ au Problème I’. Supposons que nous nous intéressions aux mots de 3 lettres ; le premier mot de 1a liste est AAA, qui a le numéro 1, du point de vue de la numérotation du Problème II. Cherchons son numéro du point de vue du Problème I : aaa sera précédé en ce cas des mots de 1 lettre et des mots de 2 lettres, c’est-à-dire par 22 + 222 mots ; son numéro sera donc ici :

22 + 222 + 1.

103Connaissant ce numéro, on trouvera le mot qui lui correspond en suivant la procédure I’.

« Il y a encore une autre methode de dechifrer ces nombres, à sçavoir en leur ajoûtant la difference du rang qu’ils tiennent dans le nombre total de dictions, & de celuy qu’elle tient dans le nombre des dictions d’une égale quantité de lettres ; or cette difference est l’addition des nombres des dictions composees de moins de lettres que de celles dont il est question. »

104Exemple : soit le nombre 7 272 considéré comme numéro d’un mot de 4 lettres (numéroté selon la procédure II).

« I’ajoûte le nombre des dictions de 3, de 2, & d’une lettre, à sçavoir 10 648, 484, & 22, dont la somme fait 11154, laquelle ajoûtee à 7 272 fait en tout 18426 : lequel estant divisé par 10 648 l’on a 1 pour le quotient ; reste 7 778, que ie divise par 484, le quotient est 16, reste 34, que ie divise par 22, & reste 12 ; c’est pourquoy ie prends la 1 & la 16, & puis la 1 & la 12 lettre, qui donnent la diction ARAN. »

C. Frenicle : traitement des mêmes problèmes

105Frenicle, dans l’Abrégé des combinaisons (p. 112-118) a traité exactement les mêmes problèmes que Mersenne, et ce dans le même ordre. Ces pages se situent après l’exposé concernant l’analyse combinatoire proprement dite, et s’ouvrent de manière assez abrupte par la phrase suivante :

« Pour sçavoir en quel rang est une diction dans le grand nombre de la combinaison générale à commencer à celles d’une lettre, puis à celles de deux, de trois, & ainsi du reste, jusqu’au nombre des lettres dont notre diction sera composée. »

106Ainsi naît l’impression que ce texte, qui forme un tout autonome, a été mis bout à bout avec les développements qui précédent, sans que Frenicle ait pris soin de rédiger, pour l’introduire, quelques phrases supplémentaires.

107Si nous consultons maintenant les manuscrits autographes de Frenicle, B.N., fonds français, nouv. acquis., 5 176, fol. 38 r°-42 r°, nous constatons qu’ils comportent, par rapport à ce que nous avons appelé la seconde partie de l’Abrégé, une lacune et cette lacune correspond précisément aux pages 112 – 118 de l’Abrégé qui nous intéressent ici.

  • 11 Sur ce feuillet, cf. appendice, III. Notice sur les manuscrits de Frenicle.

108Or nous avons retrouvé, à quelques variantes près, le contenu de ces mêmes pages dans un autographe de Frenicle, mêlé à des papiers divers de Roberval (B.N., fonds français, nouv. acquis., 5 175, fol. 46 r°-v°) ; il s’agit d’un feuillet de dimensions modestes, ce de quoi on pourra s’étonner, le texte correspondant de l’Abrégé couvrant plus de six pages. Pour des raisons que nous ignorons, Frenicle a en effet réduit son écriture à des dimensions microscopiques pour faire tenir ces développements en un si petit espace. Tout aussi énigmatique est la présence de ce feuillet parmi des papiers de Roberval. Quoiqu’il en soit, ce feuillet est très probablement antérieur à la mise au point de l’imprimé11.

109Le plan d’exposition, le vocabulaire, les exemples, la manière de présenter les opérations, tout concourt à rapprocher l’analyse de Frenicle des textes que nous venons d’étudier chez Mersenne. Aussi serait-il superflu de parcourir cette analyse dans tous ses détails ; il sera plus profitable de relever, sur chacun des Problèmes I, I’, II, II’, en quoi Frenicle diffère de Mersenne, d’autant qu’on trouve chez lui des précisions importantes que ne donnait pas Mersenne.

1.

(a) Problème I

  • 12 Frenicle 1729, p. 112.

110Bien qu’il ne le fasse qu’incidemment, Frenicle, à la différence de Mersenne, note comment sont disposées les « dictions », « dans le grand nombre de la combination générale » : on commence « à compter par A, puis B, & c. en après AA, AB, & c.12. »

111Nous avons relevé dans le feuillet manuscrit signalé plus haut, deux phrases qui ne se trouvent pas dans le texte imprimé, et où Frenicle donne des précisions intéressantes sur la constitution de cette liste préalable :

  • 13 Frenicle, mss. B. N., fonds français, nouv. acquis., 5 175, fol. 46 v.

« La raison pour laquelle on prend tousiours la combinaison du nombre moindre de l’unité que celuy des lettres, est que la combinaison ne commence que par 22 et non pas par un, et que la 1ère lettre à main droite ne s’exprime qu’une fois comme aux chiffres, la 2ème 22 fois, la 3ème 484 fois qui neantmoins est le nombre de la combinaison de 2 et non pas de 3. L’autre raison est que la combinaison par exemple de 5 pris dans 22 contient toutes les dictions de 5 lettres, & partant ces 5 Z [seroient] justement le nombre de la combinaison de 5 mais les 5 a seroient celuy d’apres le nombre de la combinaison de 4 & ne la surpasseroient que de l’unité13. »

112Voici le sens de la première remarque. Soit un mot de (n + 1) lettres qui a pour numéro le nombre y. On a :

y = xn+1 ⋅ 22n + xn ⋅ 22n−1 + ⋯ + x2 ⋅ 22 + x1.

  • 14 Cf. ci-dessous, p. 355, pour l’expression « comme aux chiffres ».

113La puissance la plus élevée de 22 qu’on trouve dans ce développement est n, et n est inférieur d’une unité au nombre des lettres du mot ; autrement dit, « on prend tousiours la combinaison du nombre moindre de l’unité que le nombre des lettres ». La raison de ce décalage vient, nous dit Frenicle14, du rôle particulier de la première lettre « à main droite », dont on ne prend que la valeur x1 pour calculer y. C’est seulement pour la seconde lettre « à main droite » qu’on doit faire intervenir la « combinaison » 22 : cette lettre « s’exprime 22 fois » [x2 ⋅ 22]. Pour la troisième lettre « à main droite », on calcule : x3 ⋅ 222 et non x3 ⋅ 223 : cette lettre s’exprime « 484 fois qui neantmoins est le nombre de la combinaison de 2 [222] et non pas de 3 [223] ». On voit ici tout l’embarras que peut entraîner l’absence d’une notation adéquate. La remarque précédente n’a plus de raison d’être, si, grâce à la convention 220 = 1, on rend homogènes les indices des coefficients xi et les degrés des puissances de 22 :

y = xn ⋅ 22n + xn−1 ⋅ 22n−1 + ⋯ + x1 ⋅ 221 + x0 ⋅ 220.

114Dans sa seconde remarque manuscrite, Frenicle montre qu’il a dû réfléchir sur la manière dont la liste des mots se répartissaient en sections, chaque section enfermant les mots d’une longueur donnée. Le mot AAAAA vient immédiatement après le mot ZZZZ, et le mot ZZZZZ termine la section des mots de 5 lettres.

  • 15 Cf. ci-dessous, D, 2.
  • 16 Frenicle 1729, p. 112.
  • 17 Ibid.

115Revenons au texte imprimé pour noter que, dans tous les exemples qu’il nous donne, Frenicle mène ses calculs autrement que Mersenne. Cette différence est en elle-même très minime puisqu’elle porte seulement sur le sens dans lequel on lit les mots ; mais, outre qu’elle peut avoir à un autre point de vue une certaine portée15, elle nous montre que nos deux auteurs, quoique très proches, choisissent ici deux voies différentes. Soit le mot Aser ; Mersenne aurait considéré r comme la première lettre du mot et aurait posé 16 ; puis la seconde lettre étant e, il aurait calculé : 5 × 22, et ainsi de suite ; alors que Frenicle prend la lettre a pour première lettre de la « diction », et pose tout d’abord : 1 × 223 puis prend la lettre s et pose : 17 × 222, et ainsi de suite16. De toute façon, Frenicle a noté pour sa part, après avoir donné ses exemples, qu’on pouvait tout aussi bien « commencer par la première lettre à main droite, qui ne vaut que son nombre, & la seconde le vaut 22 fois17 ».

116Frenicle prend pour exemples les mots Aser, Baal, et Levi ; mais il ne s’en tient pas à eux, et s’efforce de leur adjoindre un « discours » que Mersenne avait jugé, lui, superflu :

  • 18 Id., p. 113.

« Toutes les autres dictions se trouvent de même, soit qu’elles ayent plus ou moins de lettres ; & il faut remarquer que la premiere chose qu’il faut faire est de voir de combien de lettres la diction est composée, puis voir la quantiéme lettre est la premiere à main gauche, & par le nombre du rang qu’elle tient dans l’alphabet multiplier le nombre de la combinaison générale précédent celui des lettres dont est composée la diction : par exemple, si elle avoit huit lettres, & que la premiere lettre fut G, qui tient le septiéme lieu dans l’alphabet, il faudroit multiplier le nombre de la combinaison de sept choses, qui est celui qui précédé huit, par sept, et puis continuer aux autres lettres. Si la diction avoit six lettres, & que la premiere fut un U, qui tient le dix-neuviéme lieu, il faudroit multiplier la combinaison de cinq choses par dix-neuf, & ainsi des autres : ou bien commencer par la premiere lettre à main droite, qui ne vaut que son nombre, & la seconde le vaut 22 fois18. »

(b) Problème I’

117Frenicle se montre, en ce cas, bien supérieur à Mersenne. Il s’est rendu compte qu’il ne suffisait pas d’indiquer de manière générale la marche à suivre (à savoir le procédé par divisions successives), mais qu’il fallait prévoir les circonstances où ce procédé se heurtait à des impossibilités, et modifier en conséquence la méthode.

118Le texte suivant mérite d’être cité dans son intégralité, mais comme il n’est pas d’une lecture facile, nous nous sommes permis d’en modifier légèrement la disposition typographique, afin de mieux en marquer les articulations :

« Ayant donc un nombre donné, il faut prendre à la Table des combinaisons [celle qui fournit les valeurs de 22, 222, 223,..., 2222] le plus grand nombre qu’on pourra, qui néanmoins puisse servir de diviseur au nombre donné. La division faite il faut prendre ce qui est resté, & le diviser par la combinaison qui précède, & le quotient montre la quantiéme lettre on doit prendre dans l’alphabet, de sorte qui il ne faut pas que le quotient passe jamais 22, & il faut continuer à diviser jusques à ce que l’on divise par 22, & cette derniere division faite, il faut voir ce qui reste & mettre la lettre qui convient à ce nombre pour la derniere. »

  • 19 Id., p. 114 – 115.

119Frenicle expose ainsi clairement le seul procédé que nous avait décrit Mersenne. Appelons ce procédé le procédé général. C’est celui dont il faut commencer par voir s’il est efficace, chaque fois qu’on a à résoudre le Problème I’ pour un nombre donné. Mais ce procédé ne réussit pas toujours, et c’est le mérite de Frenicle d’avoir tenté le recensement19 des cas où il ne peut s’appliquer :

« 1) Il faut remarquer
— que si l’on ne pouvoit arriver à la division par 22,
— ou qu’icelle étant faite, il ne restât rien,
— ou que l’on ne put pas diviser par tous les nombres des combinaisons moindres que le premier qu’on a pris, & que le reste de la premiere division fut trop petit pour ce faire,
le nombre que l’on auroit pris pour diviseur seroit trop grand, & il faudroit prendre celui de devant, qui est moindre, & qui n’est que 1/22 du premier,
[Exemple] comme en ce nombre 234 299, si on prenoit 234 256 pour diviseur, le quotient seroit 1, & il ne resteroit plus que 43, que l’on ne pourroit diviser par les autres nombres ; ainsi il faudroit prendre celui de devant qui est 10 648,
& cela arrive toujours aux dictions qui commencent par un z, & à celles qui commencent par un y suivi d’un z.
2) Il faut remarquer que la diction aura toujours une lettre de plus que le nombre des combinaisons qui servira de diviseur,
comme en cet exemple, où 10648 sert de diviseur, qui est le nombre de la combinaison de trois choses, il y aura quatre lettres ; car ayant divisé 23 499 par 10 648, le quotient sera 21 qui vaut y,
& il restera 10 691 qu’il faudra diviser par 484, & le quotient sera 22, qui est un z
& il restera 43, qu’il faudra diviser par 22, & le reste est 21, qui est y ;
de sorte que le dit nombre vaudra autant que yzay.
3) Il est à remarquer qu’il faut diviser par tous les nombres moindres jusques à 22, & qu’il n’en faut passer aucun,
— & partant si le reste étoit moindre que le nombre par lequel on devroit diviser après, le quotient seroit trop grand, partant il le faudroit diminuer de l’unité.
— Si le quotient étoit 1, & que le reste fut trop petit, il faudroit changer de diviseur. Comme en l’exemple ci-dessous : par exemple, en ce nombre 21600, je prens 10648 pour diviseur, le quotient est 2, & il reste 304 qui est moindre que 484, partant je prens 1 pour quotient,
reste 10952, que je divise par 484, le quotient est 22,
& il reste 304 que je divise par 484, le quotient est 13,
& il reste 18 ;
de sorte que ce nombre sera Azot. »

120Disons tout d’abord de la seconde remarque qu’elle peut avoir, le cas échéant, son utilité, mais qu’elle manque singulièrement de portée. Il est vrai que « la diction aura toujours une lettre de plus que le nombre des combinaisons qui servira de diviseur » : si le diviseur, dans la première division, est 22n, le mot aura (n + 1) lettres ; mais toute la question, sera dans les cas difficiles, de déterminer quel doit être ce premier diviseur.

121Dans la première remarque, Frenicle note en effet que, un nombre, y étant donné, ce premier diviseur ne sera pas nécessairement (comme pouvait le faire croire l’énoncé de la procédure générale), 22n, n étant tel que :

22n < y < 22n+1.

122Soit y = 234 299 ; la puissance de 22 immédiatement inférieure à y est 224 = 234256. Or, 234 299 = 224 + 43.

123Il faudrait maintenant diviser le reste 43 par 223, ce qui est impossible. Cette impossibilité montre que le développement du nombre y ne peut se présenter sous la forme :

1 ⋅ 224 + x2 ⋅ 223 + x3 ⋅ 222 + x4 ⋅ 22 + x5.

124Frenicle nous dit alors qu’il faut prendre pour premier diviseur, non pas 224, mais 223. Mais si nous nous avisons de procéder à cette division (ce que Frenicle ne fait pas explicitement), nous voici à nouveau devant la difficulté précédente :

234 299 = 22 ⋅ 223 + 43.

125Le reste est toujours 43 et n’est pas divisible par 222. Allons-nous abaisser à nouveau d’un degré la puissance de 22 qui intervient dans la première division ? Mais si nous divisons 234 299 par 222, le quotient sera 222, supérieur à 22 ce qui obligerait à conclure que le mot a trois lettres. Or il est impossible que le mot cherché n’ait que 3 lettres. Il a nécessairement 4 lettres. Mais comment découvrir sa première lettre ? Nous savons que :

234 299 = x1 ⋅ 223 + x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4

126et nous avons vu que x1 = 22 ne convient pas. Nous pouvons alors supposer que x1 = 21 ; ce qui revient à dire que nous devrions alors avoir :

234 299 − (21 ⋅ 223) = x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4

10 691 = x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4.

127Il nous reste en définitive à résoudre le Problème I’ pour le nombre 10 691 :

10 691 = (22 × 222) + 43

43 = (1 × 22) + 21.

128Le mot cherché sera donc :

YZAY .

129Nous avons pu obtenir cette solution parce que, au lieu d’agir sur le diviseur de la première division, nous avons abaissé d’une unité la valeur du quotient.

130Ce que nous venons de voir permet d’éclairer les expressions elliptiques dont Frenicle se sert dans sa troisième remarque où il nous est dit effectivement qu’il est des cas où « il faudroit diminuer de l’unité » le quotient. Soit le nombre 21 600 donné en exemple par Frenicle :

13121 600 = (2 × 10 648) + 304.

132Le reste 304 est inférieur à 484. « Partant, je prens 1 pour quotient reste 10 952. » Cette expression de « reste » est pour le moins bizarre : elle désigne en effet le résultat de la soustraction :

21 600 − 10 648.

133Nous nous trouvons dans la même situation qu’il y a un instant, nous savons que :

21 600 = x1 ⋅ 223 + x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4,

134nous avons vu que x1 = 2 ne convient pas ; nous supposons que x1 = 1 ; nous devrons alors avoir :

21 600 − (223) = x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4

10 952 = x2 ⋅ 222 + x3 ⋅ 22 + x4.

135La procédure générale s’applique alors sans encombres, et l’on obtient le mot Azot.

136C’est à dessein que nous avions poussé à son terme l’exemple par lequel Frenicle voulait illustrer sa première remarque : il nous a contraint à avoir recours à un procédé qui n’est défini que dans la troisième remarque. C’est le signe que les cas distribués par Frenicle dans chacune de ces remarques doivent se chevaucher ; il suffit d’ailleurs de les examiner pour voir qu’ils se recouvrent en partie. Cette analyse n’est donc pas systématique ; nous pouvons en retenir essentiellement les points suivants :

137— il faut choisir la puissance de 22 qui sert de premier diviseur, 22n, de telle façon qu’ensuite :

  • on puisse procéder à toutes les divisions par 22n−1, 22n−2, , 22.

  • le reste de la division par 22 ne soit pas nul ;

138— il se peut, à certains moments, qu’on ait à « diminuer de l’unité le quotient ».

139La méthode esquissée par Frenicle consiste à opérer en quelque sorte par tâtonnements dirigés. On est sûr de pouvoir atteindre le résultat, mais, en cours de route, on pourra être contraint de biffer une suite de divisions déjà effectuées, et de recommencer toute une suite de divisions, selon de nouvelles conditions.

2.

(a) Problème II

140On retrouve pour le Problème II les légères différences que nous avions remarquées pour le Problème I ; Frenicle commence le calcul par la première lettre « à main gauche » :

  • 20 Frenicle 1729, p. 115.

« Si on vouloit voir quel rang tient une diction entre celles qui ont même nombre de lettres, comme une de trois lettres entre celles de trois lettres, dont il y en a 10 648, il faudroit multiplier la premiere lettre à main gauche, sçavoir le rang qu’elle tient dans l’alphabet moins un par 484, [...] ; puis la seconde lettre aussi moins un par 22, et puis mettre le lieu de la derniere sans en rien ôter20. »

  • 21 Ibid.
  • 22 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 239.

141Un détail, mais qui a son importance : Frenicle utilise comme exemple21 « ASA ». Mersenne prend également « ASA » pour illustrer le même problème, mais il ne le fait que dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim22. Ce qui laisse penser que, selon toute probabilité (si l’on admet que l’étude de Frenicle est postérieure à celle de Mersenne), que Frenicle a eu communication du manuscrit de Mersenne.

(b) Problème II’

  • 23 Frenicle 1729, p. 116.

142Frenicle l’énonce ainsi : « Ayant un nombre donné dire quelle diction tient ce rang dans le nombre total, pourvû qu’on dise de combien elle est de lettres23. »

  • 24 C’est seulement plus loin, à propos du Problème II’ que Frenicle explique clairement combien « vale (...)

143Il commence par donner ce que nous avons appelé à propos de Mersenne la deuxième méthode : « Il faut ajouter au nombre donné le nombre des combinaisons des dictions composées de moins de lettres », et pour le nombre ainsi obtenu, « j’opère comme si je voulois voir quelle diction tient ce rang dans le nombre total de toutes les dictions24 ».

144Quant à notre « première » méthode, Frenicle la définit ainsi :

  • 25 Id., p. 116.

« Autrement [si l’on n’emploie pas la « seconde » méthode] il faut diviser le nombre par le même diviseur que ci-dessus, & au quotient y ajouter 1, & faire ainsi à tous les quotiens : mais au reste qui se trouve après la division par 22, il ne faut rien ajouter25. »

145Il n’examine comme cas particuliers que ceux où intervient la lettre a ; soit par exemple

  • 26 Id., p. 117.

« ce nombre 155 qui tient lieu d’une diction de trois lettres ; je le devrois diviser par 484, mais à cause qu’il ne se peut, je mets un a comme si c’étoit un zero, sinon qu’il se peut mettre le premier, & qu’étant le dernier il vaut 1 ; puis je prens l’autre diviseur 22, par lequel je divise 155, le quotient est 7, & il reste 1, j’ajoute l’unité à 7, parce que a n’a point de valeur s’il n’est à la fin, & que b vaut 1, c 2, d 3, & c. si ce n’est quand ils sont à la fin, de sorte que ce mot sera Aha26 ».

146Enfin Frenicle développe un peu plus longuement une analogie que Mersenne n’avait fait que mentionner :

  • 27 Id., p. 117 – 118.

« Il faut encore remarquer que comme en faisant les opérations d’une division quand le diviseur est plus grand que le nombre qui lui est au-dessus, on met un zero ou deux, & on avance le diviseur d’une ou de deux places : aussi dans l’opération de toutes ces divisions-ci, si le diviseur se trouve plus grand que le dividende, il faut mettre un a, & mettre le diviseur d’après, lequel, s’il est trop grand, il faut encore mettre un a, & changer de diviseur, jusques à ce qu’il se trouve plus petit27 ».

  • 28 Id., p. 118. Cf. ci-dessus, ch. 2, B, 2.

147Pour illustrer cette analogie, Frenicle prend le même exemple que Mersenne : « ce nombre 5 157 999, qui tient rang d’une diction de six lettres » ; et dont on détermine par le calcul qu’il correspond au mot Baalam. Frenicle ajoute tout comme Mersenne : « pour faire Balaam il faudroit 5 249 47528.

D. Analogie entre les procédures précédentes et le système de numération à base 22

1. Mersenne

(a) Analogie, mais absence du zéro

148On aura sans doute été frappé par l’analogie que présentent les procédures I et I’ de Mersenne avec les règles de passage du système décimal de numération au système de numération de base 22.

149Supposons en effet que nous disposions de 22 symboles qui soient les 22 mêmes lettres qu’utilise Mersenne, rangées dans l’ordre alphabétique, et donnons leur pour valeur :

150En vertu du principe de position, toute juxtaposition de ces symboles exprimera un nombre. Prenons par exemple la suite : EFCB.

151Pour passer de cette expression au nombre équivalent dans le système décimal nous écrirons :

152Au décalage près de la numérotation des lettres, c’est exactement ce qu’aurait fait Mersenne pour passer de la « diction » EFCB au nombre qui lui correspond, selon la procédure I.

153Supposons maintenant que nous partions du nombre 45 057 écrit selon les principes du système décimal, et que nous voulions le transcrire dans le système à base 22, nous procéderons de la façon suivante :

154Nous obtenons ainsi le nombre :

4

5

2

1

E

F

C

B

155Encore ici, Mersenne n’aurait pas résolu différemment, quant à la méthode, la question de savoir quelle était la « diction » qui correspondait au nombre 45 057.

156Est-ce à dire que tout se passe comme si les « dictions » de Mersenne étaient des nombres exprimés dans le système de numération de base 22 ? Il s’en faut à la fois de peu et de beaucoup. Il s’en faut de peu, en un certain sans, puisque sur un très grand nombre de cas, on verrait se renouveler des coïncidences semblables à celles que nous venons de constater entre les procédures de Mersenne et les règles de passage entre systèmes de numération. Mais sur un point essentiel, le système de Mersenne est profondément différant du système de numération à base 22 : dans ce système, nous avions besoin d’une lettre qui ait la valeur zéro et nous avions choisi la lettre A à cet effet. Or l’absence du zéro dans la procédure I a des conséquences autrement importantes que celle de décaler simplement d’un rang la numérotation des lettres.

157Lorsqu’on écrit un nombre y dans le système de numération à base 22 :

y = xn ⋅ 22n + xn−1 ⋅ 22n−1 + ⋯ + x1 ⋅ 22 + x0,

158les coefficients xk doivent remplir les conditions :

0 ≤ xk ≤ 21.

159Mersenne, lui, est conduit à poser les conditions :

1 ≤ xk ≤ 22.

160Ce seul fait entraîne une complication considérable de la procédure I’.

(b) Intérêt historique de l’analogie. Mersenne a lu ses dictions comme des nombres

  • 29 Cf. Molk 1904, vol. I. 1, « Arithmétique », p. 15 ; Boutroux 1914, vol. I, p. 52.
  • 30 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 313.
  • 31 Quoiqu’il en ait dit lui-même, Leibniz doit sans doute à Weigel l’idée première de son arithmétique (...)

161Pour être boiteuse, l’analogie que nous venons ainsi de délimiter n’en a pas moins un grand intérêt du point de vue historique ; elle ne manque pas de prix, si l’on songe que Pascal est tenu généralement pour être le premier mathématicien à avoir conçu qu’il existait d’autres systèmes de numération que le système décimal29. « Cette conception n’était nullement courante en 1654. C’est en 1670 qu’elle fut pour la première fois exposée systématiquement par Caramuel y Lobkowitz30. » La Tetractys d’Erhard Weigel, qui fut un des maîtres de Leibniz31, et aux yeux de qui le système de numération à base 4 avait une valeur privilégiée, fut publiée en 1673. On ne manquera pas dès lors de s’interroger : ici encore, ne voyons-nous pas Mersenne engagé dans une des voies où, plus tard, s’illustrera Pascal ? À la seule vue de son procédé, il est patent, certes, que son système de numérotation n’est pas, à parler strictement, un système de numération à base 22. Mais il en est assez proche pour qu’on se soucie d’en cerner la portée véritable : est-ce fortuitement, préoccupé de tout autre chose, que ce fût de langue universelle ou de cryptographie, que Mersenne est tombé, sans en avoir du tout conscience, sur un nouveau type de numération ? A-t-il même senti les liens que pouvaient avoir entre elles la « combination universelle » et la numération ?

  • 32 Dans l’opuscule De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis [Pou (...)
  • 33 « Et non solum in progressione denaria, qua numeratio nostra procedit, (denaria enim ex instituto h (...)
  • 34 « si enim alia progressione procederent, verbi gratia duodenaria (quod sane gratum foret) » (Id., p (...)
  • 35 Ibid.

162Pascal, précisons le tout d’abord, affirme avec toute la netteté désirable, que « notre numération » n’est décimale qu’en vertu d’un choix arbitraire et « non par une nécessité naturelle, comme le pense le vulgaire » ; mais ce n’est pas là un problème auquel il se soit attaché pour lui-même : il n’a donné aucune analyse des règles propres à un système déterminé à base non décimale, non plus qu’il n’a formulé les lois de passage entre deux systèmes à base différente. C’est en abordant l’étude des caractères de divisibilité des nombres déduits de la somme de leurs chiffres32, qu’il remarque, pour insister sur la généralité de la méthode qu’il va proposer, que cette méthode ne s’applique pas seulement à « notre système de numération », à base 10, mais qu’elle s’applique aussi sans défaut à tout système de numération ayant pour base tel nombre qu’on voudra33. Il en donnera effectivement une illustration en montrant comment on reconnaît, dans le système à base 12, qui lui paraît particulièrement commode34, si un nombre est divisible par 9, et notera35 que, dans ce système, tous les nombres dont la somme est divisible par 11, sont eux-mêmes divisibles par 11.

  • 36 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 137.
  • 37 Id., p. 138.

163Revenons à notre question. De déclaration aussi nette et aussi péremptoire que celle de Pascal, nous n’en trouvons pas chez Mersenne. Mais des signes laissant penser que Mersenne a senti que son procédé de numérotation avait quelque rapport avec le problème de la numération, il n’en manque pas. Qu’on en juge d’abord par les curieuses dénominations que porte une des colonnes de sa table36, et dont nous n’avons dit encore mot : en regard de 1, 22, 222, 223,..., 2221, nous lisons « Nombre », « Dizaine », « Centaine », ..., « Sextilion ». Autant de dénominations qui, dans l’Harmonie universelle, surgissent de manière assez abrupte, et sont écartées de leur sens courant avec une liberté d’expression bien audacieuse. Faisant fi de ce que veulent dire « dizaine », « centaine », « mille », ..., dans le système décimal, Mersenne n’hésite pas à écrire par exemple37 :

« Re est la seconde note du chant, & est aussi la seconde du systeme, c’est pourquoy il faut multiplier la dizaine à savoir 22 par 2... Fa est la 3. note du chant, & la 5. du systeme, & par consequent il faut multiplier le 3. de la table [222], c’est à dire la centaine par 5. »

164S’il ne justifie pas directement cet étrange vocabulaire, Mersenne en dit cependant assez pour faire comprendre les motifs qui l’ont conduit à l’adopter :

  • 38 Id., p. 137 – 138.

« Or il y a tousiours mesme raison des deux nombres de la 5 colomne qui se suivent immédiatement, que d’un à 22, de sorte que la premiere raison monstre toutes les autres, car tous ces nombres suivent la progression des dignitez de l’Algebre, & consequemment la raison des deux nombres suivans est tousiours doublee de la raison des deux precedens. De là vient qu’il faut passer par les 22 notes ou par les 22 lettres avant que de venir aux chants & aux dictions de deux notes, ou de deux lettres, & consequemment qu’il faut passer par 22 dizaines, dont chacune ait deux notes avant que de parvenir à la premiere diction, ou au premier chant de trois lettres, qui tient le lieu de centaine, & qui exprime son nombre 484 fois.
D’où il s’ensuit qu’il faut vingt-deux centaines pour faire le mille, qui vaut 10 648, & vingt-deux milles pour la dizaine de mille qui vaut 234 256, & ainsi des autres38. »

165Qu’est-ce à dire sinon qu’il convient de mettre en parallèle la manière dont se succèdent les dictions, et celle dont se succèdent les nombres dans le système décimal ? Et que sont analogues les tranches selon lesquelles se découpent chacune de leur côté ces successions ? D’un côté un groupe de 22 lettres, de l’autre une tranche de 10 nombres ; puis il faut parcourir 22 groupes de 22 dictions avant de parvenir aux dictions de trois lettres, de même qu’il faut dix dizaines pour faire une centaine. Si 223 « tient le lieu de centaine », c’est que 223 joue pour la numérotation des dictions le même rôle que 100 pour le système décimal.

  • 39 « Et si haec a viginti ac amplius annis jam in mente habuerim, ita raro tamen animum huc adjeci, ut (...)
  • 40 « [...] si enim alia progressione [numeri] procederent, verbi gratia duodenaria [...] et sic ultra (...)
  • 41 « 10 (qui jam potest duodecim, non autem decem) ;... ; 30 (qui jam potest triginta sex, scilicet te (...)

166Il apparaît dès lors naturel que Mersenne, sachant bien ce qu’il faisait, ait usé pour désigner 22, 222, 223,..., des expressions de « dizaine », de « centaine » et de « mille », étranges pour un lecteur non prévenu. Et Leibniz ne nous apprend-il pas qu’il fît de même, lorsqu’il aborda ses recherches sur le calcul binaire, et désigna 2 et 22 par les expressions : « dix » et « cent39 » ? Et comment s’en tire Pascal, lorsque, ayant à utiliser le système duodécimal, il a besoin de deux caractères nouveaux ? Outre les neuf premiers chiffres du système décimal, ce système emploiera deux figures nouvelles40 pour désigner, l’une le nombre 10, l’autre le nombre 11 ; l’expression « dix » y sera donc réservée pour désigner la nouvelle base41.

167Que Mersenne ait adopté, en toute connaissance, un parti semblable, nous en avons trouvé confirmation dans un texte manuscrit qui nous apporte au surplus une précision de grande portée :

  • 42 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II, p. 237. [ « Mais c’est un fait établi pa (...)

« Constat autem ex dictis Litteras quarumcumque dictionum numerorum instar tutandas esse, quia sicut primus character numeri dati ad dextram positus, hoc est ultimus seipsum, seu digitalem numerum tantummodo significat, secundus vero decades, tertius centenarios, et quemadmodum per hunc numerum 10 transeundum est, antequam perveniamus ad numeros 2 caracteribus constantes, quorum primus est 11, ita 22 Litterae, seu dictiones unius Litterae A, B, C, etc. numerandae sunt antequam ad dictiones 2 Litterarum perveniatur, deinde per 22 decades antequam perveniamus ad dictiones 3 Litterarum prout transimus per 10 numerorum decades priusquam contenarii numerantur42. »

  • 43 « Ubi advertendum est perpetuum discrimen ordinis numerorum et istius tabulae, quod videlicet numer (...)

168Ainsi, – on ne saurait trop insister sur l’importance de ce fait – Mersenne a lu ses « dictions » comme des « nombres » : les lettres d’une diction « jouent le rôle » des chiffres dans l’expression d’un nombre dans le système décimal, le principe de cette analogie étant commandée par la position des lettres dans la diction. La première lettre « signifie » le nombre d’unités, la seconde le nombre de « dizaines »... Peut-on dire à partir de là que Mersenne proposait consciemment un nouveau système de numération ? Bien qu’il oppose les « numeri vulgares43 » aux nombres de sa table, c’est un pas que nous ne saurions franchir sans aller au-delà des textes.

  • 44 À propos du calcul de la somme 22n−1 = 22n−2 + ⋯ + 22 + 1 : « Facillimum est agnoscere summam istor (...)

169Dans le passage que nous venons de citer, surgit d’ailleurs en pleine lumière le point où se brisait la précieuse analogie que dévoilait Mersenne ; et par une fâcheuse répétition de l’histoire de la numération, ce point est celui-là même où se fit le progrès décisif du système décimal : l’introduction du zéro ! Le premier des nombres de deux caractères, nous dit Mersenne, c’est 11 : et 10 ? Mais 10, si on lui donne le même rôle que 22 dans la procédure I, c’est un symbole à lire comme un symbole d’un seul caractère ! Il est regrettable que Mersenne n’ait pas tiré les conséquences de cette remarque et n’y ait pas vu une invitation à introduire le zéro dans son « système ». Il était d’autant mieux à même de pouvoir apprécier les avantages que pouvait apporter cette introduction du zéro qu’il note44 à un certain moment la relation :

22n − 1 = 21 ⋅ 22n−1 + 21 ⋅ 22n−2 + ⋯ + 21.

170Il reste que le zéro apparaît effectivement dans la procédure II : la lettre a joue le rôle du zéro, « vaut » partout zéro... mais non lorsqu’elle se trouve en première position. Cette dernière restriction ôte une partie du bénéfice dû à l’introduction du zéro, mais nous sommes ici bien plus proches d’un système de numération à base 22. Malheureusement, cette procédure n’était aux yeux de Mersenne qu’une particularisation de la procédure I : aussi ne lui a-t-il réservé aucun commentaire où il aurait prolongé ses réflexions sur les rapports entre ces nouveaux nombres et les « nombres vulgaires ». Un fait demeure cependant, et il est très significatif : AAAA aura le numéro 1 dans la liste des dictions de quatre lettres. Nous saisissons ici sur le vif la répugnance à commencer une numérotation par le nombre zéro. Répugnance, ou plutôt obstacle de pensée : ne voyons-nous pas que les traités d’arithmétique énumèrent ainsi les chiffres dans leur exposé sur la numération ?

1, 2, 3, ⋯, 9, 0.

2. Frenicle : le système décimal comme un certain système d’écriture

  • 45 Cf. dans l’Abrégé des combinaisons : « je prens la première lettre A, qui est la premiere de toutes (...)
  • 46 « [...] comme l’on fait aux chiffres où l’on commence à compter par les nombres qui n’ont qu’un chi (...)

171Interrogés sur le même sujet, les textes de Frenicle n’apportent guère de précisions par rapport à ceux de Mersenne. Frenicle emploie lui aussi, comme allant de soi, les expressions de « centaine », de « mille »...45. Il marque brièvement l’analogie entre la numérotation des dictions et la numération décimale46, et insiste sur le rôle particulier de la lettre a dans la procédure II’. Mais c’est dans un autre passage que nous relèverons une remarque suggestive sur la manière dont le système décimal dispose de ses symboles pour l’expression des nombres. Frenicle illustre en effet par l’exemple suivant la règle des Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p :

  • 47 Id., p. 95.

« La vérité de cette opération se peut tirer ou du raisonnement ou de quelque exemple. Nous en avons un exemple aux chiffres, car il est certain qu’on les prend & dispose en toutes les façons possibles, soit semblables ou différentes & prises dans un plus grand nombre, & on a aussi egard à l’ordre : or les nombres se suivent, & ne different de proche en proche que de l’unité ; d’où il s’ensuit que le dernier & plus grand nombre de ceux qui ont une certaine multitude de lettres, comprendra tous les precedens ; par exemple le plus grand nombre qui s’écrive par deux lettres ou chiffres est 99, qui comprend non seulement les nombres de deux lettres, mais aussi ceux qui n’en ont qu’une ; mais il faut considerer que parmi ces nombres, il n’y en a aucun qui ait un zéro du côté gauche, & en la place des dixaines : on le pourra donc supposer au devant des neuf premiers chiffres où il ne signifie rien, en prenant 01, 02, & c. & ainsi on aurait 99 nombres de deux lettres. Mais il y en manque encore un, pour avoir toutes les combinaisons des dix caracteres pris deux à deux : car celui qui seroit fait de deux zero, sçavoir 00, n’y est point ; il faudra donc ajoûter 1 à 99 pour avoir en tout 100 varietez, que peuvent souffrir deux choses prises dans dix47. »

  • 48 « [...] car tout ce qui se dit des notes peut estre appliqué aux nombres » (Mersenne 1636a/1963, II (...)

172Aucune allusion explicite ne nous invite, dans le texte même de Frenicle, à rapprocher ce qu’il vient de dire ici de la procédure II. Frenicle s’exprime d’ailleurs comme s’il venait de cueillir au hasard un thème d’illustration : « nous en avons un exemple aux chiffres ». Mais que les chiffres soient pris justement ici à titre d’exemple, voilà qui mérite d’être noté. Nous avons vu plus haut que Mersenne, ayant à numéroter des Permutations, avait déjà pris des chiffres à 1a place des lettres ou des notes : ayant eu l’habileté de lire ses Permutations de chiffres comme des nombres, il avait pu définir une méthode "naturelle" de numérotation. En procédant ainsi, il constituait la liste ordonnée de tous les nombres que l’on peut écrire avec les 8 chiffres : 1, 2,..., 8. Que se passerait-il maintenant, si dans les Problèmes I ou II on prenait également des chiffres à la place des lettres ou des notes ? Va-t-on retrouver ici ce qui se passait pour les lettres et les notes ? De même que celles-ci conduisaient à l’ensemble des mots possibles, et à celui des chants possibles, débouchera-t-on avec les chiffres sur l’ensemble des nombres entiers possibles, tels que les écrit le système décimal ? Il n’est pas exclu que, de son côté, Mersenne se soit posé ces questions, puisqu’il place bien les nombres parmi les objets auxquels on peut appliquer la règle des Arrangements avec répétitions48 : pouvait-il entendre cette application autrement que Frenicle dans son « exemple » ?

173Telles sont en tout cas les questions que Frenicle rencontre pour sa part, sous un angle plus particulier, dans le passage cité plus haut.

174La première constatation qu’il est conduit à faire peut paraître anodine. Mais quand on sait toutes les résistances que pouvait susciter la moindre modification du système décimal sous sa forme reçue, on ne saurait la négliger. À première vue, l’exemple choisi par Frenicle n’était pas un bon exemple : si on écrit les nombres de la manière habituelle, les nombres qui « s’écrivent par deux chiffres » seront 10, 11, 12,..., 99 ; on tendrait donc à croire que ce système d’écriture n’épuise pas toutes les dispositions possibles auxquelles peuvent donner lieu les juxtapositions des 10 symboles 0, 1, 2,..., 8, 9, pris deux à deux. Mais avec un coup d’œil de vrai mathématicien, Frenicle sait où chercher les dispositions manquantes. Les nombres qui sont représentés par les symboles 0, 1, 2... 9 peuvent être tout aussi bien représentés en utilisant chaque fois deux symboles : 00, 01, 02,..., 09.

175En somme, Frenicle en vient à considérer les symboles 0, 1, 2,..., 9 comme tout à l’heure les lettres, A, B, C, ... lorsqu’il s’agissait de résoudre le problème II.

176Frenicle envisage en effet la liste des suites de deux chiffres :

liste ordonnée suivant le même principe que la liste :

177AA, AB, AC, ..., BA, ..., ZZ.

178On pourrait dire ensuite qu’il numérote sa liste en assignant pour numéro à chaque suite de deux chiffres le « nombre » qu’elle représente : « 02 » a le numéro 3, « 87 » le numéro 88 ; le « 00 » ayant une place à part en tête de liste.

  • 49 « l’assemblage des lettres qui forment les dictions » (Frenicle 1729, p. 111).

179En fait, Frenicle ne distingue pas clairement un nombre, comme par exemple 63, du symbole « 63 », juxtaposition des symboles « 6 » et « 3 ». Mais comment le lui reprocher ? Ne s’aventure-t-il pas ici dans une entreprise fort délicate : compter ce qui d’habitude sert à compter ? Cette distinction entre les nombres et leurs représentants symboliques se fait effectivement jour ici, malgré tous les embarras de style et d’expression ; et c’est le fait même de cette émergence qui doit nous retenir. Tout se passe comme si les chiffres étaient assimilés à des lettres, et les suites de chiffres à des mots. Pour paraphraser une expression de Frenicle, l’attention est attirée alors sur l’assemblage des chiffres qui forment les nombres49. Ainsi s’instaure une distance à l’égard du système décimal tel qu’il était traditionnellement conçu. Il apparaît mieux que ce système se ramène à l’utilisation, selon certaines règles, d’un matériel symbolique déterminé. Qu’on nous entende bien : nous ne songeons ni au principe de position clairement défini bien avant le xviie siècle, ni à la possibilité d’utiliser d’autres symboles que les chiffres arabes, 0, 1, 2,..., 9. Nous voulons dire qu’avec son exemple, Frenicle fait apparaître le système décimal de numération comme un certain système d’écriture. Un système d’écriture qui dispose d’un lot de 10 symboles et qui consiste à « assembler » de toutes les façons possibles ces symboles ; un système qui permet de fabriquer des désignations de nombres tout comme le système alphabétique assure la construction des mots. Mais à rapprocher ainsi numération et écriture, ne va-t-on pas introduire dans la numération un principe de mobilité propre aux alphabets ? Si le système décimal fonctionne en quelque sorte comme un alphabet, ne pourra-t-on pas se demander si, de même qu’il y a des alphabets distincts selon le nombre de leurs lettres, il ne pourrait pas y avoir de systèmes de numération comportant moins ou plus de 10 symboles ?

Notes

1 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

2 Id., p. 135 – 136.

3 Id., p. 140.

4 Dans les Harmonicorum libri, Mersenne s’est contenté de donner à son lecteur une idée des résultats auxquels conduit sa méthode : « Licet Tabulam huiusce propositionis [table donnant 22, 222, 223,..., 2222] fusius explicaturi simus libro de Voce, iuuat tamen aliquem illius gustum hocce Corollario facere, in quo methodum innuimus, qua quispiam inueniat quotus sit cantus propositus inter omnes qui praecedente Tabula comprehenduntur, & quem locum in ea occupet. » (Mersenne 1636b, VII, p. 140.) [ « Bien que nous expliquions la table de cette proposition avec plus de détail, au livre de la Voix, cependant il est utile d’en donner quelque goût par ce corollaire dans lequel nous indiquons la méthode grâce à laquelle n’importe qui découvre quel quantième est le chant proposé parmi tous ceux qui sont compris dans la table précédente et quel lieu il y occupe. »]

5 Quitte à y revenir plus loin dans notre prochain chapitre.

6 Que nous passerons ici sous silence, car elle ne concerne en rien, de façon essentielle, l’objet principal de la proposition.

7 « Or les exemples qui suivent font mieux comprendre cette table que le discours [...]. »

8 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 140 – 141.

9 Mersenne a corrigé de sa main, mais à tort, 937024 en 937 424.

10 Choix judicieux que celui d’un mot riche en lettres A. Mais plutôt que « BAALAM », on aurait attendu ici « BALAAM », nom d’un personnage de l’Ancien Testament (« Nombres », 22, 2), que Mersenne avait d’ailleurs eu l’occasion de mentionner dans Mersenne 1636a/1963, II, « Livre de la voix », p. 53 (Proposition XL : « Expliquer comment l’asnesse de Balaam & le serpent d’Edem ont parlé [...] »). On ne s’étonnera donc pas que Mersenne précise, immédiatement après le passage cité : « &, pour faire BALAAM il faudroit 5 249 475 ». Cf. plus bas, p. 349.

11 Sur ce feuillet, cf. appendice, III. Notice sur les manuscrits de Frenicle.

12 Frenicle 1729, p. 112.

13 Frenicle, mss. B. N., fonds français, nouv. acquis., 5 175, fol. 46 v.

14 Cf. ci-dessous, p. 355, pour l’expression « comme aux chiffres ».

15 Cf. ci-dessous, D, 2.

16 Frenicle 1729, p. 112.

17 Ibid.

18 Id., p. 113.

19 Id., p. 114 – 115.

20 Frenicle 1729, p. 115.

21 Ibid.

22 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 239.

23 Frenicle 1729, p. 116.

24 C’est seulement plus loin, à propos du Problème II’ que Frenicle explique clairement combien « valent » ici les lettres de l’alphabet : « Il faut noter ici que l’a ne vaut aucun nombre, sinon à la fin qu’il vaut 1, & toutes les autres aussi valent leur nombre quand elles sont les dernieres, mais étant au commencement ou au milieu elles valent 1 moins que le rang où elles sont dans l’alphabet, comme qui commenceroit à conter par b, c, d, 1, 2, 3, & c. & ainsi z ne vaut que 21, mais à la fin il vaut 22. » (Id., p. 117.)

25 Id., p. 116.

26 Id., p. 117.

27 Id., p. 117 – 118.

28 Id., p. 118. Cf. ci-dessus, ch. 2, B, 2.

29 Cf. Molk 1904, vol. I. 1, « Arithmétique », p. 15 ; Boutroux 1914, vol. I, p. 52.

30 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 313.

31 Quoiqu’il en ait dit lui-même, Leibniz doit sans doute à Weigel l’idée première de son arithmétique dyadique. Notons que, dès 1670, il concevait la possibilité de divers systèmes de numération, notamment du système à base 12 (Cf. Couturat 1901, p. 473, note 5).

32 Dans l’opuscule De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis [Pour reconnaître les nombres multiples par la seule addition de leurs caractères numériques] (Cf. Pascal 1908-1914, vol. III, p. 311 – 339).

33 « Et non solum in progressione denaria, qua numeratio nostra procedit, (denaria enim ex instituto hominum, non ex necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita est) ; sed in quacumque progressione instituatur numeratio, non fallet hic tradita methodus, ut in paucis mox videbitur paginis. » (Id., p. 315 – 316.) [ « Et non seulement dans la progression décimale, dont notre numération procède (la décimale en effet est établie par l’institution des hommes, et non par la nécessité de la nature, comme le pense le peuple, et sans doute de façon assez stupide) ; mais en quelque progression que soit instituée une numération, la méthode ici rapportée ne trompe pas, comme on le verra bientôt dans peu de pages. »]

34 « si enim alia progressione procederent, verbi gratia duodenaria (quod sane gratum foret) » (Id., p. 336.) [ « s’ils procédaient en effet par une autre progression, par exemple la duodécimale (qui sans doute serait bien favorable) ».]

35 Ibid.

36 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 137.

37 Id., p. 138.

38 Id., p. 137 – 138.

39 « Et si haec a viginti ac amplius annis jam in mente habuerim, ita raro tamen animum huc adjeci, ut de nominibus imponendis non cogitaverim quia potius soleo enuntiare ad morem vulgaris Arithmeticae 10 per decem, 100 per centum etsi significent 2 et 4. » (Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematische Schriften, éd. C.I. Gerhardt, Berlin : Ascher et Halle : Schmidt, 1849 – 1863, vol. VII, p. 241 – 242.) [ « Et si j’ai eu ceci à l’esprit il y a déjà vingt ans et plus, cependant j’y ai porté l’esprit rarement, de sorte que je n’avais pas réfléchi aux noms à mettre parce que j’ai plutôt coutume d’énoncer, selon la coutume de l’arithmétique ordinaire, 10 par dix, 100 par cent même s’ils signifient 2 et 4. »]

40 « [...] si enim alia progressione [numeri] procederent, verbi gratia duodenaria [...] et sic ultra primas novem figuras, aliae duae institutae essent, quarum altera denarium, altera undenarium exhiberet. » (Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 336.) [ « si en effet ils procèdent par une autre progression, par exemple la duodécimale [...] et ainsi, au-delà des neuf premières figures, deux autres sont instituées, dont l’une désigne le dix, l’autre le onze ».]

41 « 10 (qui jam potest duodecim, non autem decem) ;... ; 30 (qui jam potest triginta sex, scilicet ter duodecim) » (Ibid.) [ « 10 (qui vaut maintenant douze et non plus dix) ;... ; 30 (qui vaut maintenant trente six, à savoir trois fois douze) ».]

42 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II, p. 237. [ « Mais c’est un fait établi par ce qui a été dit que les lettres de toutes les dictions doivent être préservées à l’instar des nombres, parce que comme le premier caractère d’un nombre donné posé à droite, c’est à dire le dernier, signifie seulement lui-même ou le nombre des chiffres, assurément le second les dizaines, le troisième les centaines, et de même on doit passer au-delà par ce nombre 10, avant que nous parvenions aux nombres constitués de 2 caractères dont le premier est 11, ainsi les 22 lettres, ou les mots d’une lettre, A, B, C, etc doivent être dénombrés avant qu’on ne parvienne aux mots de 2 lettres, ensuite [il faut avancer] les dizaines par 22, avant que nous parvenions aux mots de 3 lettres comme nous avançons par 10 les dizaines de nombres en attendant que soient comptées les centaines. »]

43 « Ubi advertendum est perpetuum discrimen ordinis numerorum et istius tabulae, quod videlicet numeri vulgares progrediantur per decades his ciphris 10 explicatas ; numeri vero tabulae progrediantur per decades quarum 22 est radix. » (Ibid.) [ « Où l’on doit avertir d’une distinction permanente entre les nombres ordinaires et [ceux] de cette table, qui est clairement que les nombres vulgaires progressent par dizaines formulées par le chiffre 10 ; mais les nombres de la table progressent par des dizaines dont la racine est 22. »]

44 À propos du calcul de la somme 22n−1 = 22n−2 + ⋯ + 22 + 1 : « Facillimum est agnoscere summam istorum omnium numerorum, cum sint in progressione Geometrica 1 ad 22 [...]. Eapropter si quis scire velit quot dictiones contineantur à 9 primis ordinibus [229 + ⋯ + 22 + 1] unitas ex decimo auferenda [2210 − 1], residuumque divisum per 21 dabit 57 489 010 371 pro quotiente. » (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II, p. 235.) [ « Il est très facile de connaître la somme de tous ces nombres, car ils sont en progression géométrique de 1 à 22... En outre si quelqu’un veut savoir combien de mots sont contenus dans les 9 premières rangées, l’unité doit être ôtée de la dixième et le reste divisé par 21 donnera 57489 010 371 comme quotient. »]

45 Cf. dans l’Abrégé des combinaisons : « je prens la première lettre A, qui est la premiere de toutes, & ne vaut qu’un mille » ; « E qui est la cinquiéme dizaine dont chacune vaut 22 » (Frenicle 1729, p. 112). Frenicle use plus loin d’expressions audacieuses qui surprendraient quiconque n’est pas au fait du problème traité : « Le lieu de ce mot BAAL se trouve ainsi : il est composé de quatre lettres, & partant la premiere à gauche est mille, qui exprime son nombre 10 648 fois [...] la seconde lettre est A qui est centaine, & qui vaut 484 [...]. » Dans le mot LEVI, « l est la dixiéme lettre, & partant je multiplie le mille qui est 10 648 par 10 » (Id., p. 112 – 113).

46 « [...] comme l’on fait aux chiffres où l’on commence à compter par les nombres qui n’ont qu’un chiffre, puis on en vient à ceux qui en ont deux...] » (Id., p. 112).

47 Id., p. 95.

48 « [...] car tout ce qui se dit des notes peut estre appliqué aux nombres » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.)

49 « l’assemblage des lettres qui forment les dictions » (Frenicle 1729, p. 111).

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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