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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Troisième partie. Énumérations et numérations

Chapitre 1 : Énumération de permutations

Texte intégral

  • 1 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 3, H, 2.
  • 2 Cf. ci-dessus, p. 127-128.

1Voici n lettres ; de combien de manières peut-on en modifier l’ordre ? Qui touche peu ou prou, sans préparation, à un tel problème, prend naturellement sa plume pour tenter d’écrire toutes les Permutations possibles. Tant que n ne dépasse pas 4, on peut prendre les Permutations comme elles se présentent à l’esprit ; on apercevra d’un coup d’œil si on réécrit à tort une Permutation déjà inscrite. Mais si n est plus grand, la vue se brouille vite ; les anagrammatistes1 en firent sans doute souvent l’expérience ; Blaise de Vigenère, avons-nous vu plus haut, souhaitait que des tables viennent abréger « le labeur extreme, que prennent ceux qui cherchent de cest artifice quelque gloire et reputation2 ».

  • 3 Cf. ci-dessus, p. 87 – 88.

2Dans La Vérité des sciences, au chapitre où il s’interrogeait sur le plus beau des chants, Mersenne avait donné les 120 chants que l’on peut composer avec 5 notes, en variant simplement leur ordre ; mais il ne suivit pas, pour en établir la liste, une procédure vraiment systématique3. Dans l’Harmonie universelle, II (« Livre second des chants »), il prend en considération une note supplémentaire, et donne, en leur entier, deux énumérations de dimensions respectables :

3— p. 111 – 115 : « Table des 720 Chants d’Vt, re, mi, fa, sol, la » ;

4— p. 117 – 128 : « Sept cens vingt Chants de l’Hexachorde mineur » [ré, mi, fa, sol, la, fa ; ici les notes sont inscrites sur des portées, et non désignées par leur nom, comme dans la table précédente, et les chants sont numérotés].

  • 4 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 110.
  • 5 Id. (Mersenne renvoie ici à la Propositio V du Liber VII des Harmonicorum Libri).
  • 6 Id.

5Mais cette fois-ci, Mersenne suit avec scrupule ce qu’il appelle lui-même une « methode de combiner, & de trouver toutes les varietez de chaque nombre de choses proposees4 ». Méthode qu’il nous dit avoir exposée en deux lieux : « dans la 5 proposition du 7 livre Latin des chants5 », c’est-à-dire dans la proposition où il avait reproduit l’opuscule de Matan sur l’ars combinandi ; et en second lieu, « dans le liure des varietez de l’Octaue, qui fait 40 320 chants tous differens6 ». C’est à ce « livre » qu’est consacré le présent chapitre.

6Il s’agit d’un ouvrage manuscrit de Mersenne dont nous verrons tout d’abord dans quelle intention il fut composé (A) ; puis, avant de passer à l’analyse de son contenu mathématique (D), nous évoquerons deux textes, l’un de Descartes (B), l’autre du Père Dobert (C) qui permettent de mieux en situer les visées.

A. Le Manuscrit des chants de 8 notes

7Il ne faut pas manquer de patience pour rédiger la liste des 720 chants de 6 notes ; ce serait pourtant mal connaître Mersenne que de croire qu’il se soit arrêté en si bon chemin ; certes, comme il le remarque lui-même, le nombre des variétés augmente considérablement, même lorsque le nombre des choses qu’on varie croît faiblement. Comme 7 ! = 5 040, il fallait bien du courage pour envisager même de retranscrire les « chants de 7 notes ». Mersenne fit mieux. Avec intrépidité, il poussa l’entreprise jusqu’à l’extrême limite où, en acceptant d’y sacrifier beaucoup de temps et de travail, elle n’était pas encore impossible à réaliser en pratique. Le résultat de cette compilation d’un nouveau genre : l’ouvrage que nous avons déjà eu l’occasion de citer sous le titre conventionnel de Manuscrit des chants de 8 notes ; dans cet énorme volume manuscrit, se succèdent, pendant des pages et des pages, dans un ordre parfait, des portées de 8 notes. Comme 8 ! = 40 320, ce sont autant de Permutations de 8 notes différentes données qu’a dû aligner le copiste appliqué à qui Mersenne avait confié ce gigantesque pensum.

  • 7 24 256. Table de « tous les chants qui se peuvent faire de 8 notes (octave) par la combination ordi (...)

8Ce volume, qui se trouve actuellement à la Bibliothèque nationale, et qui provient du couvent des Minimes, ne comprend pas seulement, comme pourrait le faire penser la description du Catalogue des manuscrits cette seule « table » des chants de huit notes7. Celle-ci s’intercale en effet dans une suite de 8 « propositions » où Mersenne situe dans un cadre plus général l’énumération à laquelle il procède, et en précise l’intérêt pratique.

  • 8 Gaignières, B.N., mss., fonds français, ancien supplément français, 12358, fol. 37 v°-44 r°. Cette (...)
  • 9 Il n’a pas évidemment repris la description des chants ! « Icy », écrit-il à l’endroit du texte où (...)

9Ce sont ces propositions qu’Aimé de Gaignières avait soigneusement recopiées dans la dernière partie de son recueil de textes de Mersenne8, jugeant avec raison qu’elles avaient par elles-mêmes9 un certain intérêt. Il s’agissait donc d’une sorte de traité autonome qui devait faire suite, comme le laisse penser la première phrase, à une étude générale de l’analyse combinatoire :

  • 10 Mersenne, B.N., mss., fonds français, anciens petits fonds français, 24256, fol. 1 r°.

« Encore que j’aye desia monstré combien l’on peut faire de chants differents de tel nombre de notes que l’on voudra, ie veux aioûter l’exemple de 8 notes, d’autant qu’elles contiennent toute la musique, affin que ceux qui ont souvent besoin de composer des airs, et de chanter, puissent en faire tel nombre qu’ils voudront sans se peiner et sans user de redites comme ils font ordinairement10. »

  • 11 « Encore que i’aye donné la table des combinations de toutes les choses qui se peuvent ioindre ense (...)

10Mais il semble bien que Mersenne l’ait composé avant d’avoir écrit les textes qui traitent des « combinaisons » dans l’Harmonie universelle et dans les Harmonicorum libri, puisque lorsqu’il y donne, à la fin, la table des factorielles de 1 à 64 !, il cite seulement La Vérité des sciences11, et non les deux autres ouvrages que nous venons de mentionner. En tout cas, aussi téméraire qu’en fût le projet, Mersenne songea à publier ce traité, ainsi que nous en avons trouvé le témoignage dans une lettre de Peiresc qui, quelque peu effaré par une publication si peu commune aussi bien par son objet que par ses dimensions, ne la croit pas toutefois impossible :

  • 12 Mersenne 1933-1988, vol. 5, Nicolas-Claude Fabri de Peiresc à Mersenne, 20 août 1635, lettre 472, p (...)

« Je pense comme vous que vostre grand et immense volume de la musique ou combination de tons pourroit estre de grand usaige et soulagement aux bons maistres de musique. Mais je ne sçay si gueres d’aultres s’en pourroient servir. C’est pourquoy difficilement se trouveroit-il non seulement des imprimeurs, mais quasi des achepteurs d’un tel ouvraige, et ne pense pas que celuy à qui vous en destinez la dedicace, voulust avoir fourny pour cela 100 pistoles. Toutesfois il ne faut rien négliger et puisque vous avez le volume tout faict, je vous conseille de le faire porter à vostre voyage, afin que nous le voyons icy en passant, et possible qu’en Italie on l’imprimera aultant et plus volontiers qu’en France, principalement à Venise, où la debite d’Allemagne pourroit estre considéré. Il y fauldroit adjouster quelque petite observation curieuse, capable de compenser un peu de l’ennuy que de tels labeurs ingrats causent [à] ceux qui ne s’en peuvent ou ne s’en sçavent pas bien servir & ayder12. »

11Et Peiresc de suggérer à Mersenne de faire part de... ses « observations des lunettes », ou de « celles de l’aimant » !

12Cette demi-rebuffade ne fit pas perdre entièrement espoir à Mersenne, puisque dans un passage de l’Harmonie universelle, il en parle comme d’un ouvrage accessible à tous :

  • 13 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 110 – 111.

« Quant à la methode de combiner, & de trouver toutes les varietez de chaque nombre de choses proposees, i’en ay traité dans le livre des varietez de l’Octave, qui fait 40 320 chants tous differens, [...] c’est pourquoy ie ne la repete point icy. Ie laisse encore la maniere de trouver combien il y a de chants dans cet Hexacorde qui ayent une Sexte, une ou deux Quintes, une, deux ou trois Quartes, & c. parce qu’on la trouvera dans le volume des 8 Notes, dans lequel on verra semblablement les utilitez de la combination13. »

  • 14 « Septimo denique quot Sextae, Quintae, Quartae, vel etiam alia intervalla contineantur in communi (...)

13Mais ailleurs, tout en soulignant ce que ce travail avait, à ses propres yeux, de prodigieux14, il semble se résigner à ne pouvoir lui donner la diffusion d’un livre imprimé. Désireux toutefois d’en faire au moins profiter ceux qu’il pourrait intéresser directement, il offrira généreusement, à plusieurs reprises, de le communiquer sur demande :

  • 15 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 363. Cf. également : « Porro si quis ampli (...)

« Et si l’on veut user de l’estenduë de l’Octave, tous les Chants possibles qui se trouuvent dans l’estenduë des 8. Chordes du Diapason, lesquels ie communiqueray à ceux qui le désireront, peuvent servir à la mesme chose15. »

  • 16 Cf. Ci-dessus, p. 134 – 135.

14C’est qu’en effet le but poursuivi par Mersenne était tout pratique : avec ce répertoire d’un genre sans doute complètement inédit, il désirait offrir aux musiciens un utile instrument de travail16.

B. Une remarque de Descartes sur les anagrammes

15Comment rechercher la meilleure anagramme qu’on peut faire à partir des Permutations (transpositiones) des lettres d’un nom donné ? Tel est l’exercice (tout à fait analogue à la recherche du plus beau des chants parmi les chants d’un nombre de notes donné), qu’évoque Descartes dans la Regula VII des Regulae ad directionem ingenii. Bien que la vaste entreprise cartésienne et le propos limité de Mersenne ne puissent évidemment être mis sur le même plan, la comparaison méritait d’être faite pour la lumière qu’elle jette sur deux attitudes très différentes à l’égard des dénombrements méthodiques. Descartes mentionne les anagrammes comme exemples des cas (de moindre importance au point de vue philosophique et scientifique) où on n’a plus à se soucier des distinctions entre « absolu » et « relatif », « facile » et « difficile », distinctions capitales qui commandent la méthode dont il vient d’illustrer les préceptes. Ayant dit ce que devait être l’« énumération », il précise que l’ordre d’énumération des choses peut d’ordinaire varier et dépend de l’arbitre de chacun. Après quoi, il ajoute la remarque suivante :

  • 17 Trad. des Regulae par Jacques Brunschwig (Descartes 1963, vol. I, p. 113 – 114).

« Parmi les activités plutôt futiles auxquelles s’amusent les hommes, il en est aussi beaucoup dont toute la méthode de résolution tient dans l’établissement de cet ordre : par exemple, si l’on veut faire la meilleure anagramme en transposant les lettres d’un mot quelconque [ex litterarum alicujus nominis transpositione], il n’est pas nécessaire de s’élever du plus facile au plus difficile, ni de distinguer l’absolu du relatif, car ce n’est pas le lieu de faire tout cela ; il suffira de se proposer, pour examiner les transpositions [transpositiones] de lettres, un ordre tel que les mêmes combinaisons ne se présentent jamais deux fois [ut nunquam bis eaedem percurrantur], et que leur nombre soit par exemple réparti en un certain nombre de classes, de telle manière que sautent aussitôt aux yeux celles dans lesquelles il y a le plus d’espoir de trouver ce que l’on cherche ; de cette manière en effet, le travail ne sera souvent pas bien long, il ne sera que puéril [sed tantum puerilis labor]17. »

  • 18 Belaval 1960, p. 289.

16Peut-on véritablement discerner dans ce texte l’hostilité aux recherches combinatoires qu’y voit M. Yvon Belaval ? S’ajoutant aux multiples limitations qu’a imposées le « modèle géométrique » à l’algèbre cartésienne, « c’est encore le géométrisme qui fait manquer à cette algèbre une autre voie de généralisation, à savoir la combinatoire qui est d’essence arithmétique18 » ; bien que, comme le montre sa règle des signes, Descartes eût été capable d’aborder et de faire progresser la combinatoire, sa première réflexion, lorsqu’il y touche dans les Regulae,

  • 19 Id., p. 289 – 290.

« est nettement hostile aux recherches d’un art combinatoire. N’apercevant pas comment les combinaisons peuvent se précéder naturellement les unes les autres, Descartes n’y rencontre qu’un ordre arbitraire qui, quoique susceptible d’investigation méthodique, ne permet pas de distinguer entre absolu et relatif. Une telle investigation garde donc quelque chose de puéril quand elle s’applique à des lettres ou à des chiffres19 ».

17En toute rigueur, Descartes n’a pas tort de penser qu’il n’existe pas un ordre vraiment « naturel » selon lequel les Permutations des lettres du nom donné [transpositiones] se précéderaient et se suivraient les unes les autres ; l’ordre lexicographique lui-même n’est qu’un des ordres possibles ; on peut par ailleurs choisir à sa fantaisie la Permutation que l’on considère comme la première de la liste ; n’oublions pas enfin que Descartes songe à la recherche de la meilleure anagramme possible : il y aura dans le parcours des Permutations des embranchements qu’on jugera, d’un coup d’œil, sans intérêt. La présence de l’arbitraire fait-elle disparaître toute possibilité d’« ordre » en la matière ? Tout au contraire. Comme précisément cet arbitraire fait qu’aucun partage ne distingue ici ce qui est « absolu » et ce qui est « relatif », tous les préceptes se réduisent à l’obligation de respecter un ordre : « toute la méthode consiste à établir cet ordre » ; puisqu’on n’a pas à articuler les objets à ordonner selon la hiérarchie du « plus facile » et du « plus difficile », puisqu’ils se présentent en quelque sorte sur le même plan, la méthode revient à suivre un chemin tout uni. Il y a bien une nuance péjorative dans l’expression puerilis labor : mais elle n’est pas, selon nous, dans la condamnation que porterait Descartes contre de futiles « puérilités » ; Descartes ne rejette pas comme sans intérêt de tels exercices combinatoires, il en souligne la facilité ; la méthode pour les résoudre est si aisée qu’un enfant même peut la suivre sans mal.

18Que Descartes ait bien fait leur place aux domaines où tout revient à effectuer de tels dénombrements méthodiques, nous en trouvons également témoignage dans le célèbre passage de la Règle X où il nous convie à tirer exemple des artisans qui tissent des toiles et des tapis, et de ces femmes qui brodent à l’aiguille, ou tricotent des fils pour en faire des tissus de structures infiniment variées. Ce qui nous est dit ici de ces exercices pourrait parfaitement s’appliquer à l’énumération des anagrammes d’un même mot :

  • 20 Descartes 1963, vol. I, p. 127.

« Comme en effet rien n’y reste caché, et qu’ils s’ajustent parfaitement à la capacité de la connaissance humaine, ils nous présentent de la façon la plus distincte des types d’ordre en nombre infini, tous différents les uns des autres, et cependant tous réguliers ; or c’est à les observer minutieusement que se réduit presque toute la sagacité humaine.
C’est pourquoi nous avons prévenu qu’il fallait étudier ces problèmes avec méthode ; et la méthode, dans ces questions d’assez peu d’importance, n’est le plus souvent rien d’autre que l’observation scrupuleuse d’un ordre, que cet ordre existe dans la chose même, ou bien qu’on l’ait ingénieusement introduit par la pensée20. »

  • 21 « C’est merveille comme tous ces exercices développent l’esprit, pourvu seulement que nous n’en rec (...)
  • 22 Ce que lui reproche Leibniz pour qui les deux derniers préceptes du Discours de la méthode ne saura (...)

19Toutefois ces exercices ne sont qu’exercices : ils cultivent l’esprit, mais à condition que chacun aille seul à leur découverte21 ; ils ne s’organisent pas en une discipline mathématique. Descartes s’est laissé abuser ici par la facilité des petits problèmes auxquels il songeait ; il a négligé le fait que les dénombrements méthodiques exigent très vite, lorsque le nombre des objets augmente, le secours de l’analyse combinatoire ; aussi n’a-t-il pas considéré qu’il convenait d’en codifier de plus près les règles22. Sans doute aussi son anti-arithmétisme l’a-t-il détourné d’exemples où intervenaient de plus grands nombres, et ne lui a pas permis de croire l’arithmétique capable de maîtriser les différents types de variétés possibles, et d’ouvrir la voie à une science de l’ordre en tant qu’ordre.

20Travail aisé qu’on pourrait confier à un enfant ? Mersenne doute au contraire que le musicien, le praticien soient capables de l’accomplir sans faute. Respect d’un ordre, mais d’un ordre arbitraire ? Mersenne va montrer, lui, qu’on peut rapporter l’énumération considérée à « l’ordre naturel » des nombres.

21« Votre conseil est bon », aurait pu dire Mersenne à Descartes, « mais qu’est un précepte sans des critères palpables ? »

C. Énumérations du Père Dobert

  • 23 Dobert 1650. L’ouvrage avait connu déjà une première édition, où l’auteur n’était désigné que comme (...)

22Pour mieux situer l’ordre que Mersenne jugera « naturel », évoquons tout d’abord d’autres méthodes de rangement. Pour illustrer celles-ci, rien ne nous paraît mieux convenir qu’un ouvrage fort curieux, aussi peu connu que sont célébres les Regulae de Descartes, et dont l’auteur est non seulement un contemporain de Mersenne, mais, comme lui, Père Minime : les Recreations literales et mysterieuses23 du Père Antoine Dobert. S’exerçant à ce qu’il appelle joliment l’« anatomie anagrammatique » des mots, il s’intéresse, non seulement au nombre des anagrammes possibles, mais surtout aux différentes manières de « changer les lettres ».

23Avec deux voyelles A et E, on aura deux changements.

  • 24 Id., p. 283 – 284.

« De ces deux changements par le moyen de l’I vous en ferez six, le logeant en trois divers endroits, à savoir au commencement, au milieu, & à la fin de AE et de EA, qui seront trois fois deux, et par conséquent six : parmi lesquels si vous venez à faire rouler l’O, l’arrêtant par tout où il peut loger, comme cette pause se pourra faire quatre fois en chacun, à savoir au commencement une fois, à la fin une fois, & deux fois au milieu, vous en ferez quatre fois six, ou six fois quatre qui feront 24 sur lesquels par le moyen de l’U vous en ferez six vingt, et pour vous faire voir avec plus de satisfaction la pratique de cette théorie, je veux accompagner les Voyelles de la première des Consonantes, d’une manière qui babillera de soi-même, sans qu’il soit besoin d’en interrompre l’ordre, ou entrecouper la suite pour y entremêler aucun avertissement24. »

  • 25 Id., p. 287.

« Voilà la gradation des changements, selon laquelle par les moindres on entre dans les plus grands avec assurance de n’en manquer aucun, et c’est le grand chemin des transpositions facile à tenir, et bien assuré.
Toutefois, comme l’assurance des grands chemins, quoique battus et faciles, est accompagnée de longueur, ceux qui en sont ennuyés sont bien aises de savoir des voies plus courtes, que l’on appelle dressiéres, pour arriver plus tôt là où ils prétendent. Que si vous en désirez une pour le sujet que nous traitons, et savoir la manière de changer d’abord cinq lettres en leurs six vingt façons diverses, sans passer par les changements de trois et de quatre ; vous avez un point à observer, qui est de mettre par ensemble tous les changements, qui peuvent commencer par a ou ba, prenant garde de les ranger régulièrement, & observer l’ordre des Voyelles25.
Cette nouvelle énumération commencera ainsi

Cet ordre comme vous voyez est tout différent du précédent, et vous le pouvez encore changer : car au lieu que j’ai mis ensemble tous les changements qui commencent de même façon, vous pouvez au contraire loger ensemble tous ceux qui finissent de même manière, ou bien accoupler de deux à deux ceux qui sont opposés diamétralement comme ba be bi bo bu, et bu bo bi be ba, ou bien encore faire suivre le ba be bi du haut à bas en commençant ou en finissant comme ceci :

  • 26 Id., p. 289 – 290.

Plusieurs autres ordres s’y peuvent observer ayant une fois le résultat des changements, mais le vrai moyen de l’avoir est celui que j’ai observé tant pour le grand chemin que pour les sentiers : et le plus régulier que tous n’observent pas, car les uns se plaisent à commencer par le ba bi qu’ils aiment tant, & finir par le bi be, d’autres aiment mieux le bi bo, pour après venir au ba bi plus gaillardement, si ce n’est que l’excès les en empêche, les logeant dedans l’é bo bi, qui leur fait ba bo faute de tempérance26. »

24Pour « découvrir les transpositions de six », on prendra les six notes de musique, dont l’énumération commence ainsi :

  • 27 Id., p. 304.

« Cet ordre pour être différent de ceux des Voyelles n’en est pas moins régulier, puisqu’il tient des deux, à savoir du grand chemin, et de la dressière : du premier, en ce que la note ut va roulant de biais de six en six changements, de même que Bu parmi les Voyelles de cinq en cinq ; et du second, en ce que pour le faire courir de la sorte sans passer par trois ni par quatre, j’ai seulement changé ré mi fa sol la de même que les cinq Voyelles, assemblant de 24 en 24 les changements qui commencent de même façon. Je pouvais tout d’une venue vous donner tous les ut ensemble, tous les , tous les sol, et ainsi des autres de six vingt en six vingt, puisque chacune des six notes, en commence tout autant, mais j’ai été bien aise de diversifier27. »

25Enfin,

« une diversité bien divertissante serait de disposer les susdits changements de telle sorte que les six notes se suivissent toujours du haut à bas de part & d’autre, d’une manière diamétralement opposée comme ceci :

  • 28 Id., p. 304 – 305.

26Cette méthode serait bien agréable, mais comme l’on ne le peut continuer jusques à la fin, & ne peut durer que durant ces vingt et quatre changements, cela m’a dégoûté de vous la commencer autrement que par l’exemple que je vous en donne28 ».

D. Numération des permutations de n notes

27Mersenne, nous l’avons dit, ne fut pas arrêté par un tel dégoût ! Si, par ailleurs, il avait pris conscience par expérience personnelle de la diversité des ordres possibles d’énumération, il en a privilégié un seul qui est l’ordre alphabétique. Sil n’avait fait que le définir et l’utiliser, cela ne vaudrait pas la peine qu’on s’y attarde, encore que rares étaient ceux, avant lui, qui s’étaient avisés de l’utiliser systématiquement. Mais il s’est attaqué, en fait, à une question plus complexe.

28Soit n lettres ; on peut former n ! mots de n lettres chacun, en permutant ces lettres de toutes les façons possibles. Définir un ordre d’énumération de ces mots, c’est définir sur l’ensemble de ces mots un ordre total, qui permette de faire correspondre à chacun de ces mots un et un seul numéro, distinct des numéros de tous les autres mots. Une première question se pose alors : soit un mot déterminé, comment puis-je calculer directement son numéro ? La réponse demande réflexion ; mais la question même avait pu être suggérée à Mersenne par l’habitude qu’il avait prise, lorsqu’il transcrivait une suite de Permutations, d’indiquer au-dessus de chacune d’elle son numéro.

  • 29 Nous avons reproduit dans notre appendice les propositions du Manuscrit des chants de 8 notes que n (...)

29Par contre, la seconde question relève sans doute bien plus d’un souci théorique que pratique : elle est d’un mathématicien qui, ayant traité d’un problème, se pose le problème inverse ; à savoir ici : un numéro étant donné, comment déterminer le mot auquel il correspond29 ?

1. Un chant étant donné, déterminer son numéro30

(a) Deux exemples préliminaires ; un exemple de Mersenne

301er exemple

31Prenons les 3 lettres A, B, C, dans l’ordre alphabétique.

32a) Écrivons tout d’abord le mot ABC. Puis permutons les deux dernières lettres ; nous obtenons le mot ACB.

33b) Prenons la lettre qui suit A dans l’ordre alphabétique : B. B étant ôté, l’ordre alphabétique pour les lettres qui restent est : A, C. Écrivons le mot BAC. Puis permutons les deux dernières lettres ; nous obtenons le mot BCA.

34c) Écrivons de la même manière les mots commençant par C : CAB et CBA.

35Notre liste de mots étant dressée, nous numérotons les mots dans l’ordre où ils apparaissent dans la liste.

36Cette liste est divisée en 3 sections comportant chacune deux mots : la 1ère est celle des mots commençant par A, la 2ème celle des mots commençant par B, ...

37Soit maintenant un mot comme CAB ; comment pouvons-nous déterminer le numéro qui lui correspond ?

38— Sa première lettre est C : avant de parvenir à lui en parcourant la liste depuis son début, on rencontre tout d’abord les mots qui commencent par A, puis ceux qui commencent par B ; il y en a : 2 × 2 = 4.

39— Plaçons-nous maintenant dans la section des mots commençant par C : les lettres A, B admettent deux dispositions différentes. Dans notre mot, elles sont disposées dans l’ordre naturel. Ce mot est donc le premier de cette section.

40En définitive, son numéro sera donc : 4 + 1 = 5.

412ème exemple

42Opérons de manière analogue avec les 4 lettres A, B, C, D.

43Le premier mot est ABCD. Permutons les deux dernières lettres : nous obtenons le mot ABDC. Puis mettons C en deuxième position, et écrivons les deux autres lettres B, D, selon l’ordre alphabétique : d’où le mot, ACBD, etc.

44Nous obtenons ainsi une liste constituée de 4 sections comprenant chacune 6 mots. Quel est le numéro du mot CBDA ?

45En parcourant cette liste depuis son début, nous rencontrons avant de parvenir à ce mot :

  • tous les mots commençant par A,

  • tous les mots commençant par B : c’est-à-dire deux sections contenant chacune 6 mots ;

  • parmi les mots commençant par C, tous les mots dont la seconde lettre est A : c’est-à-dire une sous-section de la liste contenant 2 mots ;

  • enfin parmi les mots commençant par CB, le mot CBAD. Le numéro du mot CBDA sera donc :

(2 × 6) + 2 + 1 + 1 = 16.

46Détachons-nous maintenant de notre liste, et tâchons d’établir les règles qui permettent de retrouver les termes de ce genre d’addition en considérant seulement les lettres du mot donné dans l’ordre où elles apparaissent successivement à partir du début du mot.

47Soit le mot CDBA :

48a) La première lettre du mot est C : son rang dans l’ordre alphabétique est 3. Or notre mot est précédé par (3 - 1) = 2 fois autant de mots qu’il y a de permutations de 3 lettres : 2×3 !

49b) La seconde lettre du mot est D : mettons de côté la lettre C. Les lettres qui restent, écrites dans l’ordre alphabétique sont : A, B, D. Le rang de D parmi ces lettres est 3. Il nous faut ici considérer les mots commençant par CA et CB ; leur nombre est égal à :

(3 − 1) × 2 !

50On aperçoit ainsi que ce qu’il convient de noter, chaque fois qu’on aborde une nouvelle lettre dans le mot en question, c’est son rang parmi les lettres qu’on n’a pas encore rencontrées dans ce mot, lorsque ces lettres sont disposées selon l’ordre alphabétique : ce que nous appellerons son rang relatif.

51c) Pour ce qui est des deux dernières lettres, il suffit de considérer si elles se suivent ou non dans l’ordre alphabétique. Dans le premier cas, on compte 1, dans le second 2.

52Le numéro du mot CDBA sera :

[(3 − 1) × 3 !] + [(3 − 1) × 2 !] + 2 = 18.

533ème exemple

  • 31 Proposition 5.

54Nous sommes maintenant en mesure de reprendre un exemple de Mersenne31, mais la notation musicale qui donne un même nom à des notes différentes n’est pas pour faciliter la compréhension d’un texte déjà embarrassé. Aussi allons-nous établir une table de correspondance entre lettres et notes (nous affectons d’un indice les notes qui ont un même nom, mais sont distinctes) :

55Le chant donné est :

56Parlant de notes inscrites sur des portées, et ayant pris pour ordre de départ l’ordre ascendant des notes, Mersenne exprimera la situation respective de deux notes, en disant que l’une est « en un plus bas lieu » que l’autre. Pour éclairer par ailleurs son raisonnement, imaginons dressée une liste analogue à celle dont nous avons parlé dans les deux exemples précédents. Chaque fois qu’il va rencontrer une note du chant donné, Mersenne va s’interroger sur les chants qui le précédent dans cette liste, en se demandant quelles notes plus basses on aurait pu mettre à la place de cette note (ces notes plus basses étant seulement celles qui n’ont pas encore été utilisées dans le chant donné).

57Puisque 8 ! = 40 320, on peut faire 40320 chants avec les 8 notes données. Fixons une note « que nous conservons au premier lieu » : les 7 autres notes « se peuvent varier en 5040 manières ». Fixons une note au premier lieu, une autre note au second lieu : les 6 autres notes « se peuvent varier 720 fois » ; « et ainsy des autres ».

« Cecy estant posé, il faut remarquer que cet Air commence par mi1 [C, et conséquemment qu’il y a 5 040 ut [A] et autant de ré1 [B] qui le précédent ; c’est pourquoy il faut mettre deux fois 5 040. »

58La deuxième note est mi2 [G].

« Ut, ré1, fa1, sol, ré2 [A, B, D, E, F] sont les 5 lieux, où l’on peut mettre la seconde note, et partant, il faut conter 5 fois 720, qui sont 3 600, qu’il faut mettre sous 5 040. La 3 note est ut [a], et parce que l’on ne le peut mettre plus bas, il faut le laisser ; quoy que s’il eust été à la 2 ligne, ou dans quelque autre, il l’eust fallu conter 120 fois, autant de fois qu’il y eust eü de lignes, où l’on eust peu mettre. [Autrement dit, il faut prendre ici : 0 × 5 !] »

59La quatrième note est fa1 [D],

« et parce qu’au lieu dudict fa l’on eust peu mettre la dite 4 note au ré2 [F], il faut conter 24 pour le dit lieu, [c’est-à-dire : 1 x 4 !] qu’il faut mettre souz 3 600 ».

60La cinquième note est ré1 [B] « qu’il faut obmettre, parce qu’elle ne peut estre mise plus bas ; et sy l’on l’eust peu faire, il eust fallu conter 6, autant de fois ». [Il faut donc prendre ici : 0 × 3 !]

61La sixième note est sol [E], « qui ne peut aussy estre mise plus bas, et si l’on l’eust peu faire, l’on l’eust conté 2 ». [Il faut donc prendre ici : 0 × 2 !]

« Les 2 autres notes sont fa2 [H], ré2 [F] : Et parce que l’on eust peu mettre ré2 [F], fa2 [H], il faut conter 2, à scavoir un pour ré2, fa2, et un pour fa2, ré2.
Or si l’on assemble tous ces nombres, l’on trouvera que la chant proposé est le 13706 chant des 40320 qui se peuvent faire de 8 notes. »

62On a donc :

(2 × 7 !) + (5 × 6 !) + (0 × 5 !) + (1 × 4 !) + (0 × 3 !) + (0 × 2 !) + 2 = 13706.

63Mersenne décrit ainsi fidèlement le processus de calcul, mais il ne dit rien d’autre sur son principe, sinon « qu’il faut multiplier par un moins que le nombre de la note » ; ce qui revient à dire qu’il faut ôter une unité à ce que nous avons appelé le rang relatif de la note.

(b) Règle générale ; cas particuliers

64Il nous faut toutefois donner, pour notre part, une idée plus précise de ce processus, afin de mieux comprendre comment se présentent certains cas particuliers où le calcul peut être abrégé, et dont Mersenne tire bénéfice, sans les énoncer très clairement.

65Soient n lettres ordonnées alphabétiquement. Tous les mots de n lettres distinctes qu’on peut former avec ces n lettres sont rangées alphabétiquement.

66Soit un mot : an−1an−2 … a1a0.

67À an−1, on fait correspondre bn−1 qui est son rang parmi les lettres disposées selon l’ordre alphabétique.

68À an−2, on fait correspondre bn−2 qui est son rang parmi les (n − 1) lettres obtenues en ôtant la lettre an−1 des n lettres données au départ.

69À an−3, on fait correspondre bn−3 qui est son rang parmi les (n − 2) lettres obtenues en ôtant les lettres an−1, et an−2 des n lettres données au départ, etc.

70Le numéro N du mot donné sera égal à :

(bn−1 − 1) ⋅ (n − 1) ! + (bn−2 − 1) ⋅ (n − 2) ! + ⋯ + (b1 − 1) ⋅ 1 ! + b0.

71Cas particuliers

72Supposons que nous nous apercevions que, dans le mot donné, les lettres qui suivent la lettre a :

73p

74— se suivent selon l’ordre alphabétique : après avoir calculé selon la procédure générale les termes de la somme précédente jusqu’au pe, il suffira de leur ajouter :

[(bp − 1) ⋅ p !] + 1.

75En effet, on aura bi = 1 pour tout i inférieur à p. (Le rang relatif de chacune des lettres rencontrées après la pe sera en effet 1, puisque ces lettres auront toujours le premier rang dans l’ordre alphabétique par rapport aux lettres suivantes.)

76— se suivent selon l’ordre inverse de l’ordre alphabétique : après avoir calculé selon la procédure générale les termes de la somme N jusqu’au pe, il suffira de leur ajouter :

bp ⋅ p !

77En effet nous aurons dans ces conditions :

b0

=

1

b1

=

2

bp−1

=

p

78Nous avons à calculer :

(bp−1 − 1) ⋅ (p − 1) ! + (bp−2 − 1) ⋅ (p − 2) ! + ⋯ + (b1 − 1) ⋅ 1 ! + 1

79c’est-à-dire :

[(p − 1) ⋅ (p − 1) !] + [(p − 2) ⋅ (p − 2) !] + ⋯ + 1 + 1,

80somme qui est égale à p ! En effet :

81Comme, dans le calcul de N, le terme correspondant à la lettre ap est : (bp − 1) × p !

82On aura bien :

N = [(bp−1 − 1) ⋅ (p − 1) !] + ⋯ + [(bp − 1) ⋅ p !] + p !

= [(bp−1 − 1) ⋅ (p − 1) !] + ⋯ + (bp ⋅ p !)

83On aurait pu également justifier cette simplification de la procédure générale en considérant que, dans la liste alphabétique des mots, les mots présentant le trait particulier dont nous venons de parler se trouvent à la fin d’une certaine sous-section de la liste. C’est très probablement un raisonnement de cette sorte qu’a dû faire Mersenne. Toujours est-il qu’il savait en utiliser le résultat. Ainsi, dans un exemple où il cherche le rang d’un chant composé de 10 notes, il calcule tout d’abord les coefficients de 9 !, 8 !... 4 !, et déclare ceci lorsqu’il en vient à la septième note dont le rang relatif est 2 : « Elle se peut mettre en un lieu plus bas, mais les 3 qui suivent vont de suite de haut en bas, c’est pourquoy, ie multiplie 6 par 2. » Et le calcul du numéro du chant s’arrête là.

84Avec nos notations : b3 = 2, p = 3 !

85Le numéro de ce chant se calcule effectivement comme suit :

[(b9 − 1) ⋅ 9 !] + [(b8 − 1) ⋅ 8 !] + ⋯ + [(b4 − 1) ⋅ 4 !] + [b3 ⋅ p !]

2. Un numéro étant donné, déterminer le chant auquel il correspond

86« Un nombre étant donné, trouver le chant auquel il respond entre tous les chants qui se peuvent faire d’un nombre donné de notes. »

87« Cette proposition est l’inverse de la précédente. » Encore faut-il préciser les conditions du problème. La procédure définie au § 1 permet de construire une infinité de listes numérotées, celles des Permutations de 1, 2, 3... n notes. Si maintenant je considère un nombre p comme un numéro de chant, je dois préciser de plus les listes de chants que je prends en considération ; si je me limite à la liste des chants de n notes, p ne pourra être le numéro d’un chant appartenant à cette liste que si :

p≤n !

« Cette proposition est l’inverse de la precedente, c’est pourquoy l’on peut trouver le chant qui respond au nombre donné, pourveu qu’il ne soit pas plus grand que le nombre entier de la combination [n !] ; par exemple pourveu qu’il ne surpasse pas 40 320 [8 !] pour la combination de 8 notes, ou 3 628 800 [10 !] pour celle de 10 notes. »

88Exemple 1

« Je suppose donc maintenant que l’on veuille sçavoir le chant de 8 notes, qui respond à 2 166, c’est à dire le deux mille cent soixante et sixieme chant des 40320 que l’on peut faire de 8 notes. »

89Mersenne va procéder à une série de divisions successives par 7 !, 6 !... dont nous allons noter dans son texte les différentes étapes, et que nous schématiserons ensuite dans un tableau, en reprenant les notations et le vocabulaire que nous avons utilisés plus haut.

90— « Or il faut prendre la combination de 7 choses, à scavoir 5 040 par laquelle il faut diviser 2166 : Mais parce que cette division ne se peut faire », il faut « mettre la premiere note au lieu le plus bas » : la division étant impossible, le rang relatif de la note est 1 ; son rang absolu est également 1.

91— Il faut maintenant diviser 2 166 « par la combination de 6, qui est 720, [...] le quotient est 3, le reste 6. C’est pourquoy il faut mettre la 2 note 4 rangs plus haut que la première, c’est-à-dire au 5 lieu et laisser trois rangs entre les 2 ». Le quotient étant 3, le rang relatif de la deuxième note est : 3 + 1 = 4 ; et puisqu’on a déjà mis en place la première note, son rang absolu est : 5.

92— « Il faudroit encore diviser le reste, à scavoir 6 par 120, puis par 24... ». Ces divisions ne sont pas possibles : par conséquent le rang relatif de la 3ème note sera 1, son rang absolu sera 2 ; de même le rang relatif de la 4ème note sera 1, son rang absolu sera 3.

93— Il faut finalement diviser le reste 6 par 6 : « la division estant faite par 6, il ne reste rien », on met la 5ème note au plus bas lieu qui soit possible : son rang relatif est 1, son rang absolu est 4.

« Et pour les 6 qui restent de la division ie mets les 3 dernières notes de haut en bas, d’autant que ces 3 notes ne se peuvent changer que de 6 façons : Et consequemment la 6 note sera au 8, et dernier lieu, la 7 au 7, et la 8 ou dernière au 6 lieu. »

Second exemple
(Mersenne cherche parmi les chants de 10 notes, le chant qui a pour numéro 1 203 481.)

3. Une méthode « naturelle » d’énumération32 : nombres ordonnés selon leur grandeur

  • 32 Proposition 7.

94Revenons maintenant comme le fait Mersenne, à titre de complément, au premier problème :

« Expliquer la maniere dont il faut user en variant les notes d’un chant donné pour éviter la confusion, et pour n’obmettre aucune sorte de combination, ou de conjonction. »

95Les règles qui permettent d’établir des listes de chants sont simples ; mais lorsque le nombre des notes augmente, elles deviennent malaisées à appliquer sans risque d’erreur. Aussi Mersenne (qui, au surplus, n’en avait pas rendu compte explicitement) va-t-il en faciliter la mise en pratique, et mieux se garantir contre les dangers d’omission ou de répétition, en exposant une méthode à la fois plus intuitive et plus naturelle :

« Encore que l’exemple precedent de la combination et des varietez de 8 notes fasse voir la maniere dont il faut proceder pour rencontrer toutes les varietez possibles, neantmoins ie 1’explicque icy par discours, affin que ceux qui voudront prendre la peine de trouver et d’escrire les varietez des chants composez de 10, 12, et 15, ou autre plus grand nombre de notes, suivent l’ordre naturel, qui est le plus facile, et qu’ils n’obmettent nulle varieté. »

96Ainsi contrairement à Descartes qui s’en remettait en l’occurrence au pur caprice de chacun, pourvu qu’un ordre déterminé fût suivi, il est possible d’articuler l’énumération suivant un ordre naturel, et cet ordre naturel sera celui qui est considéré comme le plus évident par les mathématiciens, celui selon lequel se succèdent les nombres :

Or il n’y a point de meilleur moyen pour éviter l’embarras, la confusion et la difficulté de ces varietez, que de s’imaginer que l’on arrange des nombres qui se suivent d’un ordre naturel, comme font 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 [...].

97Imaginons en effet que les 8 objets pour lesquels nous avons à établir la liste de toutes les Permutations soient ces 8 chiffres. La première permutation sera lue comme s’il s’agissait du nombre : 12 345 678. Si je permute les deux derniers chiffres de ce nombre : 7, 8, j’obtiens le nombre : 12 345 687 qui est le plus petit des nombres qu’on peut obtenir en permutant des chiffres dans le nombre 12 345 678.

98Ainsi les nombres 1, 2, 3... 8 nous

« monstrent que cette disposition est la premiere des varietez, ou des combinations, parce que l’on ne peut les disposer autrement que la somme de ces nombres ne soit plus grande que la précédente, le second rang de nombres doit seulement changer l’ordre des 2 derniers en cette maniere 12 345687 : Les 3 derniers nombres à sçavoir 678, peuvent estre variez 6 fois, c’est à dire 4 fois, oûtre les 2 precedentes varietez, comme l’on voit icy 768, 786, 867, et à rebours, de sorte que la sixieme, ou la derniere variete 876, est le plus grand nombre de tous ; par où l’on void que cet ordre commence par le moindre nombre et finit par le plus grand ».

99Nous en sommes à : 12 345 876. Il faut maintenant mettre au 5e rang le chiffre 6, à la place du 5. Le nombre suivant sera : 12 346 578, « puis il faut varier 578 en 6 façons ».

100Viendront ensuite successivement au 5e rang les chiffres 7, 8 ; et on variera de même respectivement en 6 façons : 568, puis 567. « Si l’on suit tousiours cet ordre, l’on ne se troublera nullement, et l’on n’obmettra nulle des varietez possibles. »

101Et, avantage supplémentaire, il sera facile de trouver, un chant étant donné, ceux qui le précédent et le suivent immédiatement :

« Or il faut remarquer qu’il est aysé de trouver le nombre qui doibt suivre quand le precedent est donné, parce que c’est le plus grand qui suit immédiatement [...]. Mais pour avoir le précédent, il faut prendre celuy qui est immédiatement moindre que celuy qui est donné. »

102L’ordre proposé n’est pas « naturel » au sens des Regulae, mais il l’est aux yeux de Mersenne, parce qu’il ramène le problème à la consultation de l’ordre qui nous est le plus familier, et qui assure une garantie palpable contre l’erreur : l’ordre de succession des nombres.

Conclusion : d’après un exposé de C.-A. Laisant

  • 33 Charles-Ange Laisant, « Sur la numération factorielle. Application aux permutations », Bulletin de (...)

103À notre connaissance, il n’y a pas trace chez Frenicle du problème que nous venons de voir traité par Mersenne ; nous ignorons par ailleurs, quant à nous, si ce même problème fut abordé par quelque autre mathématicien au xviie et au xviiie siècles ; nous en avons rencontré une solution dans une communication faite par Charles-Ange Laisant à la Société mathématique de France, le 21 novembre 1888, et ayant pour objet un système de numération particulier que l’auteur dénomma numération factorielle33. Communication dont il nous a paru utile de donner ici un résumé, à la fois pour jeter une nouvelle lumière sur les procédés de Mersenne, et pour souligner leur solidarité avec la numération factorielle.

1. Numération factorielle34

  • 34 Id., p. 176 – 178.

104Soit un nombre entier N .

105a) Supposons que N ne soit pas exactement égal à une factorielle : il tombe nécessairement entre deux factorielles consécutives : n ! < N < (n + 1) !

106Si nous divisons N par n ! nous obtiendrons nécessairement un quotient inférieur à n + 1, sans quoi le nombre donné N serait égal ou supérieur à (n + 1) ! Si R est le reste de la division, nous avons :

N = bn ⋅ n ! + R R < n !

107Comme : R < n !, nous pouvons diviser R par (n − 1) ! :

R = bn−1 ⋅ (n − 1) ! + R1,

avec 0 < bn−1 < n et R1 < (n − 1) !.

108Répétant la même opération sur R1, et ainsi de suite, nous voyons qu’en fin de compte, le nombre N peut être mis sous la forme :

N = bn ⋅ n ! + bn−1(n − 1) ! + ⋯ + b3 ⋅ 3 ! + b2 ⋅ 2 ! + b1,

109chacun des coefficients b1, b2,..., bn pouvant prendre respectivement les valeurs entières :

1100, 1

1110, 1, 2

112...

1130, 1, 2,..., n

114sans jamais dépasser la valeur de son indice, c’est-à-dire de son rang compté à partir de la droite.

  • 35 Id., p. 177.

« On peut convenir d’écrire ce nombre N sous la forme : (bnbn−1 ⋯ b3b2b1) b1, b2,..., bn représentant alors des chiffres, respectivement limités comme nous venons de le dire, et nous avons ainsi un système particulier de numération, que nous nommerons numération factorielle35. »

115b) Si le nombre N, ou l’un des restes obtenus ci-dessus, se trouvait justement égal à une factorielle, le quotient obtenu serait 1 et le reste 0, c’est à dire qu’à partir de ce reste, ce qu’on obtiendrait s’écrirait :

1161000... 0.

117La conversion d’un nombre, du système factoriel dans le système décimal se fera en utilisant la formule de décomposition de N donnée ci-dessus. La conversion d’un nombre du système décimal dans 1e système factoriel se fera en divisant ce nombre par 2, le quotient obtenu par 3 !, et ainsi de suite ; les chiffres cherchés seront précisément les restes successifs.

2. Application à la classification des Permutations ; liens entre celles-ci et la numération factorielle ; solutions des deux problèmes de Mersenne

118Soient deux objets a, b, classés dans un certain ordre, c’est-à-dire représentés respectivement par 1 et 2, nombres qui désignent leurs rangs. On peut former avec ces deux objets les Permutations ab et ba. La première ne présente pas d’inversion : figurons-la par le symbole 0 ; la seconde présente une inversion : représentons-la par le symbole 1.

119Soient trois objets classés a, b, c, ou 1, 2, 3. On peut former avec eux les 6 Permutations :

123, 132, 213, 231, 312, 321.

120Considérons une Permutation quelconque.

121— Les inversions qui existent entre le premier objet et ceux qui les suivent sont au nombre de :

1220 si le premier objet est 1,

1231 si le premier objet est 2,

1242 si le premier objet est 3.

125— La Permutation de 2 objets qui suit le premier objet peut présenter ou 0, ou 1 inversion.

126Nous pouvons donc figurer chacune des Permutations par un symbole composé de 2 caractères :

127— le premier étant 0, 1, ou 2 et représentant le nombre des inversions par rapport au premier objet ;

128— le second étant 0 ou 1.

129Les symboles figuratifs des 6 Permutations ci-dessus seront donc respectivement : 00, 01 , 10, 11, 20, 21.

130Ces symboles représentent, dans le système de numération factorielle, les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5.

131Si l’on écrit les Permutations selon l’ordre défini ci-dessus le rang de chacune d’elles sera :

132(p) + 1

133en désignant par (p) son symbole figuratif, considéré comme représentant un nombre écrit dans le système factoriel.

134On peut généraliser ceci de proche en proche, et définir cette même propriété pour les Permutations d’un nombre quelconque d’objets.

  • 36 Id., p. 180.

« L’identité entre les résultats obtenus ici et le système de la numération factorielle résulte de ce que le nombre des inversions entre un objet quelconque et ceux qui le suivent ne peut varier que de 0 à n, n indiquant le nombre des objets suivants, c’est à dire présente justement la même propriété que les chiffres de la numération factorielle36. »

135Ce système de classification des Permutations permet de résoudre aisément les deux problèmes suivants, ceux que s’était posés Mersenne :

136a) Étant donné une Permutation de m objets, trouver le rang de cette Permutation.

137Soit une Permutation de m objets 1, 2,..., m. Le symbole du premier objet, diminué d’une unité, donnera le premier chiffre du symbole figuratif de la Permutation. Dans la Permutation restant à droite, nous diminuerons de 1 les symboles des objets supérieurs à celui du premier, et nous appliquerons la même règle, et ainsi de suite.

138Exemple : soient les 6 objets a, b, c, d, e, f ou 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; nous ferons les transformations suivantes pour trouver le rang de la Permutation dcfeab ou 436512 :

139Le signe figuratif est donc :

(32320).

140Le rang est donc :

(32320) + 1 = 3.5 ! + 2.4 ! + 3.3 ! + 2.2 ! + 1 = 431

141La Permutation donnée est donc la 431e.

142b) Étant donné le rang d’une Permutation, trouver cette Permutation

143Connaissant le rang d’une Permutation, on aura immédiatement le signe représentatif en retranchant une unité, et en convertissant le nombre ainsi obtenu dans le système factoriel. Ayant obtenu ce symbole, on en augmentera tous les chiffres d’une unité ; puis on écrira dans leur ordre tous les objets :

144— si le premier chiffre du résultat ainsi obtenu est c1, on prendra l’objet de rang c1 et on l’effacera de la liste pour le mettre en tête de la Permutation ;

145— si le deuxième chiffre est c2, on prendra l’objet de rang c2 parmi ceux qui restent, et ainsi de suite.

146Exemple : on demande par exemple, la 17e Permutation de 4 objets. Nous convertissons 17 - 1 = 16 dans le système factoriel et nous avons (220). Nous en formons 331 ; puis les quatre objets

147a, b, c, d

148étant écrits dans leur ordre, nous prenons le 3e, c ; puis le 3e de ceux qui restent, ou d ; puis le 1er de ceux qui restent, ou a ; nous avons donc cdab pour la Permutation cherchée.

Notes

1 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 3, H, 2.

2 Cf. ci-dessus, p. 127-128.

3 Cf. ci-dessus, p. 87 – 88.

4 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 110.

5 Id. (Mersenne renvoie ici à la Propositio V du Liber VII des Harmonicorum Libri).

6 Id.

7 24 256. Table de « tous les chants qui se peuvent faire de 8 notes (octave) par la combination ordinaire, à sçavoir 48 320 ». Chansons notées, à la fin du volume (fol. 351 – 353), sur des feuillets ajoutés. xviie siècle. Papier. 353 feuillets. 355 sur 215 millimètres. Rel. parchemin. (Minimes 19.) (Henri Omont, Catalogue des manuscrits français, Anciens petits fonds français, 1897 – 1902, Paris : E. Leroux, vol. II, p. 295.)

8 Gaignières, B.N., mss., fonds français, ancien supplément français, 12358, fol. 37 v°-44 r°. Cette copie est très fidèle. Signalons simplement qu’à la fin, Gaignières n’a pas reproduit la « Table des combinations ou varietés de 64 choses ». Il en donne le titre et ajoute : « La dite table se trouvera à la page... », en laissant en blanc le numéro de cette dernière.

9 Il n’a pas évidemment repris la description des chants ! « Icy », écrit-il à l’endroit du texte où ils se présentent, « se debvroient escrire en nottes de musique les 40 320 chants de l’octave », et il ajoute une remarque qui semble bien prouver que l’ouvrage tel qu’il l’a eu en main, n’était pas encore relié sous la forme où il nous est parvenu (et où les « chants » vont du fol. 4 r°au fol. 339 v°) : « Le R. pere Mersenne a fait escrire tous les dits 40320 chants en 168 feuilles de papier en telle sorte que dans chasque feuille il y en a 240. C’est à scavoir 60 en chasque page qui est composée de 12 lignes et en chasque ligne il y en a cinq ». (Id., fol. 38 v°.)

10 Mersenne, B.N., mss., fonds français, anciens petits fonds français, 24256, fol. 1 r°.

11 « Encore que i’aye donné la table des combinations de toutes les choses qui se peuvent ioindre ensemble depuis 1 iusques à 50 dans le 10 chapitre du 3 livre de la Vérité des Sciences. » (Id., fol. 348 r°.) C’est Mersenne lui-même qui a ajouté de sa main : « de la Vérité des Sciences ».

12 Mersenne 1933-1988, vol. 5, Nicolas-Claude Fabri de Peiresc à Mersenne, 20 août 1635, lettre 472, p. 357. Il ne fait pas de doute pour nous que ce « grand et immense volume de la musique ou combination des tons » soit le « gros volume manuscrit » où était consignée la combinaison des 8 notes ; pour aussi brèves qu’elles soient, les indications de Peiresc qui répond ici à une lettre, aujourd’hui perdue, de Mersenne suffisent à l’assurer. (Dans une note relative à ce passage (id., p. 357, n. 2), C. de Waard renvoie, sans autre précision, à une lettre de Mersenne et à des éclaircissements dont l’objet général est l’analyse combinatoire.)

13 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 110 – 111.

14 « Septimo denique quot Sextae, Quintae, Quartae, vel etiam alia intervalla contineantur in communi sex notarum varietate, quod ostendimus quinta propositione ingentis, atque prodigiosi operis quo 40 302 [lire 40 320] octo notarum varietatis notis Practicis exhibuimus : ubi & de Praxi & utilitate combinationum septima propositione actum est & omnis varietas possibilis octo notis tributa, quod reliquorum numerorum possit esse paradigma. » (Mersenne 1636b, VII, p. 123.) [ « Septièmement enfin, combien de Sextes, de Quintes, de Quartes et d’autres intervalles sont contenus dans la variété commune de six notes, ce que nous montrons dans la cinquième proposition d’un ouvrage immense et prodigieux où nous avons présenté en notes pratiques [les] 40302 [lire 40320] [cas] de la variété de huit notes : où il est question de la pratique et de l’usage des combinaisons par la septième proposition et toute la variété possible attribuée à huit notes, ce qui peut être un paradigme des autres nombres. »]

15 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 363. Cf. également : « Porro si quis amplius Combinationis exemplum requirat, praedictam octo notarum, quibus omnes species Diapason imo & duodecim Modi comprehenduntur, varietatem, quam 168 papyri foliis complexus sum, a me facile impetrabit. » (Mersenne 1636b, VII, p. 123.) [ « De plus si quelqu’un requiert un exemple plus détaillé de combinaison il pénétrera facilement grâce à moi la variété mentionnée de huit notes, dans lesquelles toutes les espèces de diapason ou plutôt du douzième mode sont incluses, variété qui a été saisie dans les 168 pages du manuscrit. »] ; « Porro si quis exemplum 8 notarum 40 320 cantus diversos habens cupierit meum exemplar libenter commodaturus sum. » (Mersenne 1647, p. 206.) [ « De plus si quelqu’un souhaite mon exemple des 8 notes ayant 40320 chants différents, je suis volontiers disposé à mettre à sa disposition mon exemplaire. »]

16 Cf. Ci-dessus, p. 134 – 135.

17 Trad. des Regulae par Jacques Brunschwig (Descartes 1963, vol. I, p. 113 – 114).

18 Belaval 1960, p. 289.

19 Id., p. 289 – 290.

20 Descartes 1963, vol. I, p. 127.

21 « C’est merveille comme tous ces exercices développent l’esprit, pourvu seulement que nous n’en recevions pas d’autrui la solution, mais que nous la trouvions nous-mêmes. » (Ibid.)

22 Ce que lui reproche Leibniz pour qui les deux derniers préceptes du Discours de la méthode ne sauraient effectivement s’appliquer sans utiliser l’art combinatoire (Cf. Belaval 1960, p. 196 – 198).

23 Dobert 1650. L’ouvrage avait connu déjà une première édition, où l’auteur n’était désigné que comme « Ecclesiastique Dauphinois ». Dobert mourut avant que fut achevée l’impression de la seconde édition. Il ne semble pas que, pour les textes que nous allons citer, il se soit inspiré de Mersenne. Signalons cependant que ce dernier est mentionné à un autre propos : « Le savamment universel Mersenne des nôtres, en ses doctes Commantaires sur le premier livre des sacrés cayers, anime les lettres d’un autre esprit. » (Id., p. 165.)

24 Id., p. 283 – 284.

25 Id., p. 287.

26 Id., p. 289 – 290.

27 Id., p. 304.

28 Id., p. 304 – 305.

29 Nous avons reproduit dans notre appendice les propositions du Manuscrit des chants de 8 notes que nous étudions ci-dessous. Aussi nous contenterons-nous de renvoyer, pour chacun des problèmes traités, à la proposition concernée.

30 Proposition 3.

31 Proposition 5.

32 Proposition 7.

33 Charles-Ange Laisant, « Sur la numération factorielle. Application aux permutations », Bulletin de la Société mathématique de France XVI (1887 – 1888), 176 – 183. Notons que le problème s’est posé tout récemment de définir des méthodes de parcours des Permutations plus économiques que la méthode lexicographique : cf. Mark B. Wells, « Generation of Permutations by Transposition », Mathematics of Computation XV-74 (1961),
192 – 195. [Référence communiquée par M. Georges-Théodule Guilbaud].

34 Id., p. 176 – 178.

35 Id., p. 177.

36 Id., p. 180.

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Légende Premier exemple
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Légende Vérification
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Légende Second exemple(Mersenne cherche parmi les chants de 10 notes, le chant qui a pour numéro 1 203 481.)
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Légende Vérification
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