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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »

Chapitre 5 : Les Combinaisons multiples

Texte intégral

1Tous les problèmes envisagés dans les chapitres précédents reposaient chaque fois sur la prise en considération d’un ensemble donné de n objets distincts.

2Que se passe-t-il maintenant lorsqu’il s’agit d’associer entre eux des objets de nature différente ? Et lorsqu’on s’interdit de plus d’accepter telle ou telle sorte d’association ?

3En se posant des questions semblables, Mersenne et Frenicle ont débordé le champ limité des théorèmes élémentaires de l’analyse combinatoire pour faire concourir simultanément ces théorèmes à la construction de problèmes originaux. Mersenne a pris comme terrain d’exercice les deux domaines qui lui étaient chers, celui de la musique (A) et celui de la langue (B) ; Frenicle ouvre à ce propos une nouvelle rubrique dans sa classification : celle des « combinaisons multiples » (C).

A. Mersenne : variations de chants

1. Variation des temps de notes

  • 1 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149.

« Determiner le nombre des Chants que l’on peut faire de tel nombre de notes que l’on voudra, en variant les temps, ou les mesures d’une ou de plusieurs ou de toutes les notes1. »

4Tel est le problème que se pose Mersenne :

  • 2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149 – 151.

5— dans la Proposition XIX du « Livre second des chants » (Harmonie universelle, II)2.

  • 3 Mersenne 1636b, VII, p. 141 – 144.

6— et dans la Propositio XV du « Liber septimus de cantibus » (Harmonicorum libri, VII)3.

  • 4 « Vt auteur ista varietas clarius intelligatur, sumo facilius exemplum, quod possit oculis subjici  (...)

7Selon son habitude, il commence par des exemples où interviennent des nombres très élevés, et n’en vient qu’après coup à un exemple plus simple, et par conséquent plus éclairant4 : c’est par ce dernier que nous amorcerons, pour notre part, notre examen.

8Soient 4 notes distinctes, disons UT, RÉ, MI, FA, disposées dans cet ordre. Supposons « que l’on a la liberté d’user de 4 temps différents » ; autrement dit chacune des notes précédentes peut avoir une « mesure » différente : elle peut-être ou une ronde, ou une blanche, ou une noire, ou une croche. Le nombre de manières dont on pourra « varier les temps » pour les 4 notes données sera égal à : 44.

9Un chant de 4 notes

  • 5 Mersenne 1636a/1963, II, p. 149.

« peut se changer 256 fois, lors que l’on a la liberté d’vser de 4 temps differens, encore que les 4 notes gardent tousiours vn mesme ordre, dautant que 4 estant multiplié 4 fois fait 256, car 4 fois 4 font 16, 4 fois 16 font 64, 4 fois 64 font 256, comme l’on void dans l’exemple qui suit, ou les 4 notes de la Quarte font 256 chants differens5 ».

  • 6 Mersenne 1636a/1963, II, p. 150 – 151. Cf. Mersenne 1636b, VII, p. 142 – 143.

10Mersenne donne effectivement pour illustrer son exemple une « Table des 256 Varietez de quatre temps differens6 ».

11Considérons maintenant toutes les Permutations auxquelles peuvent donner lieu les 4 notes données ; il y en a 4 ! = 24 ; chacune de ces Permutations, on vient de le voir, souffre 256 « varietez ». Le nombre des chants que l’on peut obtenir avec 4 notes distinctes,

12— en variant leur ordre — en « variant les temps »

13sera égal à :

44 × 4 ! = 6144.

14Pour une fois, Mersenne indique la raison qui justifie ce calcul.

15En variant les temps des 4 notes de la quarte, on obtient 256 chants différents,

  • 7 Mersenne 1636a/1963, II, p. 150-151. Cf. également Mersenne 1636b, VII, p. 141 : « vnde constat 24  (...)

quoy que l’on prenne seulement le premier des 24 chants que se peuuent faire des 4 notes, comme l’on void au commencement de l’exemple. D’où il s’ensuit que l’on peut faire 24 fois autant de chants avec 4 temps differens, comme il y en a dans l’exemple qui suit, c’est à dire 24 fois 256, qui font 61447.

16Dans cet exemple, chaque chant comportait quatre notes distinctes ; par contre, les « temps » peuvent être semblables pour 2 ou plusieurs notes : un chant peut comporter par exemple 2 noires et 2 blanches.

17Or on peut imaginer bien d’autres possibilités. On pourrait par exemple imposer à l’inverse que les « temps » soient tous distincts dans chaque chant (chacun d’eux ne comprendrait qu’une ronde, une blanche, une noire, une croche), et que les notes puissent se répéter dans chaque chant. Mais on pourrait aussi poser que le choix des 4 notes se fait dans un plus grand nombre de notes, et que le nombre des « temps » ne soit pas non plus limité à 4 :

  • 8 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « On doit cependant observer que ces variétés interviennent dans des (...)

« Obseruandum est tamen variis modis istas varietates iniri, vel enim notae & tempora sumuntur semper eodem numero, vel notae solae eodem numero, & tempora diuerso, vt contingit in praedicto exemplo quatuor notarum, quae semper eaedem, eodemque numero audiuntur in singulis Cantilenis, quamuis tempora sint similia, vel dissimilia, & eodem vel diuerso numero ponantur. Quandoque enim idem tempus quatuor notas afficit, quandoque quatuor notae habent duo, vel tria, vel quatuor tempora diuersa8. »

2. Exemples

18De ces manières variées dont peuvent s’associer d’un côté le mode de choix des notes, de l’autre le mode de choix des « temps », Mersenne donne plusieurs exemples dont nous analyserons brièvement le contenu.

19(a)

20Longueur des chants : 4

21Choix des notes : Permutations de 4 notes distinctes.

22Choix des temps : Permutations de 4 temps distincts.

23Nombre des chants :

4 ! × 4 ! = 576.

24Ce nombre est très inférieur au nombre obtenu dans l’exemple précédent, où le choix des temps se faisait parmi les Arrangements avec répétitions de 4 temps pris 4 à 4 :

4 ! × 44 = 6144.

  • 9 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Si en effet on trouve toujours quatre temps dans chaque chant, c’e (...)

« Si enim quatuor tempora semper in singulis cantibus reperiantur, hoc est solam ordinis varietatem instar quatuor notarum subeant, combinatio quatuor rerum, hoc est 24 in se ductus, dabit 576 numerum Cantilenarum, qui superatur a numero praecedenti Cantilenarum, in quibus eadem tempora non semper ponuntur, illae siquidem hocce numero 5568 superant, vt constat ex substractione 576 à 6 1449. »

25(b)

26Longueur des chants : 4

27Choix des notes : Arrangements avec répétitions de 4 notes prises 4 à 4. Choix des temps : Arrangements avec répétitions de 4 temps pris 4 à 4. Nombre des chants :

44 × 44 = 65536.

  • 10 Il s’agit de la proposition relative à la generalissima combinatio.
  • 11 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « si les notes sont changées de tout autant de façons que les temps (...)

« Si notae totidem modis ac tempora mutentur iuxta generalissimam praecedentis propositionis10 varietatem, 256 ductus in seipsum dabit numerum 15280, qui binos praecedentes numeros, hoc est 576, & 6 144, longe superat11. »

  • 12 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149. Mersenne dit à tort qu’« il faut mult (...)

28Mersenne donne un autre exemple d’un cas analogue, à savoir « le nombre de tous les chants possibles, lors que l’on prend aussi bien 22 temps differens comme 22 notes12 » :

2222 × 2222

29nombre immense qui « contient 60 characteres ».

30(c)

31Longueur des chants : 8

32Choix des notes : Arrangements de 12 notes prises 8 à 8.

33Choix des temps : Arrangements avec répétitions de 5 temps pris 8 à 8.

34Nombre des chants :

A(12, 8) × C(5, 8)

[12 × 11 × ⋯ × 5] × 58.

35Les résultats numériques que nous donne Mersenne attestent que c’est bien là le calcul qu’il a effectué, mais il a commis une erreur dans son commentaire : il dit qu’on doit calculer : 88, alors qu’il faut effectuer : 12 × 11 × ⋯ × 5 = 19 958 400

  • 13 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Si en vérité on prend le nombre de notes par lesquelles les chants (...)

« Si vero numerus notarum, quibus constant Cantilenae, sumatur in alio maiori numero notarum, exempli gratia, si octo notae sumantur in duodecim notis, prius inquiri debet numerus Cantilenarum multiplicatione priori octo in seipsum, deinde eiusdem octo in productum, donec septimus ab octonario terminus occurrat, nempe 19 958 400, quibus si quinque tempora adiungas, quinque in seipsum ducatur, deinde in productum, donec occurrat etiam septimus terminus, nempe 390 625, qui ductus in numerum praecedentem Cantilenarum dat 7 796 250 000 00013. »

36(d)

37Longueur des chants : 8

38Choix des notes : Arrangements de 12 notes prises 8 à 8.

39Choix des temps : Arrangements de 12 temps pris 8 à 8.

40Nombre des chants :

A(12, 8) × A(12, 8) = (12 × 11 × ⋯ × 5)2.

  • 14 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « En continuant, toutes les fois que des temps et des notes sont pri (...)

« Porro quoties tempora & notae sumuntur in eodem numero, vt in singulis Cantilenis vtraque aequalem varietatem subeant, numerus Cantilenarum in seipsum ductus numerum quaesitum tribuit ; exempli gratia, si sumerentur octo tempora in duodecim temporibus, vt octo notae in duodecim notis14. »

41(e)

42Longueur des chants : 8

43Choix des notes : Arrangements de 12 notes prises 8 à 8.

44Choix des temps : Arrangements de 10 temps pris 8 à 8.

45Nombre des chants :

A(12, 8) × A(10, 8) = (12 × 11 × ⋯ × 5) × (10 × 9 × ⋯ × 3).

  • 15 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Mais lorsqu’on prend les temps parmi un nombre plus petit, par exe (...)

« Sed cum tempora sumuntur in minori numero, puta in decem, hic numerus denarius in novem ducendus, & productus in octo, & ita deinceps, donec habeantur octo termini, quorum primus est decem, vltimus vero 1 814 400, qui ductus in numerum Cantilenarum octo notis in duodecim sumptis constantium dat numerum 3 621 252 096 000 quaesitum15. »

3. Les façons de chanter à plusieurs voix

46« Determiner en combien de façons differentes deux ou plusieurs voix peuuent chanter un Duo, ou une autre piece de Musique ».

  • 16 Mersenne 1636a/1963, II, p. 152 – 153.

47Mersenne consacre à cette question la Proposition XX du « Livre second des chants », dans l’Harmonie universelle16. Elle ne diffère pas pour le fond de celle que nous venons de voir traiter ci-dessus, et dont Mersenne va simplement généraliser le principe de solution pour l’appliquer à des cas plus complexes.

48Il s’agit en effet de « trouuer en combien de sortes deux ou plusieurs personnes peuuent chanter ensemble, & en mesme temps deux ou plusieurs parties de Musique ».

49Premier cas Soient 4 suites de notes : (a), (b), (c), (d). Chacune de ces suites est de longueur 7, et dans chacune d’elles, deux notes distinctes se répétent deux fois.

50Par exemple, la suite (a) sera :

UT UT RÉ RÉ MI FA SOL.

51Considérons toutes les Permutations avec répétitions des notes de cette suite :

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52Le premier chanteur pourra donc chanter 1 260 chants, et il en sera de même des trois autres chanteurs.

« Or puis que le premier de ces quatre chants se peut chanter en 1 260 façons par le seul changement du lieu des notes, quand le premier chantera l’vn des siens, le second pourra chanter tous ses 1 260, & encore autant en mesme temps que le premier chantera le second des siens, & ainsi des autres ; c’est pourquouy il faut quarrer 1 260 pour auoir 1 587 600, qui est le nombre des chants qui se peuuent faire avec deux parties ; & ce nombre quarré estant multiplié par sa racine, donnera le cube 2 000 376 000 pour la 3 partie : & si l’on ajoûte la 4 partie, il faut multiplier le nombre precedent par la racine 1 260 pour auoir 2 520 473 760 000. »

53Mersenne justifie ainsi très clairement la règle générale qui sera valable pour un nombre quelconque de chanteurs :

« Il faut seulement multiplier le nombre des chants de l’vn par le nombre de ceux de l’autre ; & consequemment lors que le nombre des notes & de leurs differentes valeurs est egal, il faut quarrer le nombre des notes de l’vn d’iceux ; s’il y a 3 parties, il le faut cuber, & s’il y en a 4 il le faut quarrer, & ainsi des autres, suiuant les dignitez de l’Algebre iusques à l’infini. »

54Deuxième cas

55Voyons maintenant ce qui se passe « si le nombre des notes estoient inégaux, ou que les notes fussent d’vne differente valeur ». Analysons tout d’abord l’exemple que nous donne Mersenne. Il se donne 4 suites de notes, et calcule le nombre de Permutations auxquelles donne lieu chacune d’elles :

56Suite (a) :

57— longueur = 7,

58— toutes les notes ont même « temps »,

59— deux notes distinctes se répètent chacune 2 fois.

60Nombre de Permutations avec répétitions :

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61Suite (b) :

62— longueur = 6 (« par exemple, si au second chant il n’y auoit que six notes, comme s’il y auoit la pose d’vne mesure au commencement, ou en quelqu’autre endroit »),

63— toutes les notes ont même « temps »,

64— une note se répète 2 fois.

65Nombre de Permutations avec répétitions :

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66Suite (c) :

67— longueur = 7,

68— toutes les notes ont même « temps »,

69— une note se répète 3 fois.

70Nombre de Permutations avec répétitions :

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71Suite (d) :

72— longueur = 7,

73— une note se répéte deux fois, mais elle se présente une fois comme ronde, une autre fois comme blanche,

74— une autre note se répète deux fois, mais elle se présente une fois comme noire, une autre fois comme croche.

75Nombre de Permutations :

7 ! = 5040.

76« Et finalement si l’on chante à quatre parties, il faut trouuer le nombre des chants de la quatriesme partie, à sçauoir 5 040, parçe qu’elle a sept notes ; car bien qu’elle ait 2 notes semblables, & 2 encore semblables, il les faut neanmoins prendre toutes differentes à raison de leurs temps differens. : fg

77Quel est maintenant « le nombre des chants que 4 parties peuuent chanter ensemble auec le changement de lieu des notes qui sont contenuës en chaque chant » ?

78Mersenne obtient ce nombre en multipliant les nombres de Permutations calculées pour chacune des 4 suites de notes :

1260 × 360 × 840 × 5040.

79On aurait pu faire intervenir ici une source de diversité dont nous devons remarquer que Mersenne n’a tenu aucun compte : c’est celle de la durée des chants qui forment les « parties » du quatuor.

80Ainsi pour la suite (b), il ne prend pas en considération dans son calcul la place où se situe dans le chant la « pose d’une mesure ». Cette « pose » aurait pu être traitée comme équivalente à une note, et les suites (a) et (b) qui ne comportent que des rondes auraient empli une durée égale.

81On notera de même que la quatrième « partie » qui comporte deux blanches et une noire durera moins que les autres « parties », et que le chanteur qui tient cette « partie » ne chantera pas aussi longtemps que les autres chanteurs.

82Autrement dit, Mersenne mène son calcul comme si « un chant que 4 parties peuvent chanter ensemble » était défini dès lors que chacune des parties est donnée, quelle que soit la durée de celles-ci.

83Troisième cas

84Ce troisième cas n’apporte rien de nouveau. Mersenne rencontre pour des chants de longueur plus élevée (27 et 28 notes) une situation analogue à celle qu’il avait déjà définie à propos de la suite (d) de 4 notes, dans le deuxième cas : si une note se répète 2 fois dans un chant, mais avec à chaque fois 2 « temps » différents, il faudra la compter comme valant 2 notes lorsqu’on effectue le calcul des Permutations :

« Il faut remarquer que l’on trouue le nombre des chants qui ont plusieurs notes sur la mesme ligne, c’est à dire à l’Vnisson, de la mesme maniere que si elles estoient toutes differentes, & en des lieux differens, lors qu’elles ont leur temps differens. »

B. Mersenne : mots « utiles » et mots « inutiles »

1. Le problème : les contraintes de la prononciation ; relativité des classifications des voyelles et des consonnes ; système I et système II

  • 17 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 57.
  • 18 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.
  • 19 Cf.ci-dessous, Troisième Partie, ch. 2, A, 1, a.

85La table qui, dans le « Livre second des chants » porte sur « la combination generale » de 22 notes ou lettres, et qui donne les valeurs de 22, de 222,..., 2217, peut servir « pour sçauoir combien il y a de dictions, dans les 22 lettres de l’alphabet considéré en toutes les manieres possibles18 ». Cette table, pourvu qu’on la prolonge, contient tous les idiomes possibles qu’on peut écrire avec 22 caractères : d’où l’idée de la prendre comme fondement d’une langue universelle19.

86Mersenne, toutefois, était trop conscient de la diversité des langues parlées, et trop intéressé par les conditions physiologiques de la voix, pour ne pas se poser à lui-même l’objection suivante : prendre des dictions quelconques, cela va bien tant qu’il suffit d’écrire ; mais qu’on essaie de les proférer, on risque fort de tomber sur des suites de lettres imprononçables. Ainsi Mersenne rencontre-t-il un nouveau problème : les contraintes de ce qu’il appelle la « prononciation » empêchant qu’on admette dans une langue artificielle destinée à être parlée telle ou telle « conionction » de lettres ; comment faudra-t-il s’y prendre pour tenir compte de ces contraintes ?

  • 20 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

« Mais parce qu’il y a plusieurs assemblages de consonantes dans la table susdite qui ne peuuent estre prononcees, il faut user d’vne autre methode pour faire toutes les dictions prononçables afin qu’il n’y ait rien de superflu20. »

87Cette « autre méthode » va se développer selon deux étapes distinctes : il faut en un premier temps définir les sons élémentaires, puis dénombrer parmi les « dictions » que l’on peut former avec ces sons, celles qui sont acceptables du point de vue de la prononciation.

  • 21 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 61.
  • 22 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 56.

88Tout au long des propositions qui précédent, dans ce « Livre premier de la voix », Mersenne s’est intéressé à la riche diversité de sons que peut produire la voix humaine. Il a mis l’accent sur la relativité des « differentes manieres de parler21 », il a tenté d" « expliquer de quels mouvements il faut remuer la langue, ou les autres organes de la voix pour former les voyelles, les consonantes, & les syllabes22 », et s’il admet, dans cet examen, la division des lettres en « voyelles » et « consonnes », il n’est nullement conduit à un système bien déterminé où seraient rigoureusement fixés le nombre et 1a nature de celles-ci. Il remarque que « toutes nos consones ne sont pas necessaires », et que l’on peut, par exemple, « rejetter les lettres qui ont presque vne semblable prononciation, à sçauoir g, t, & p qui se prononcent quasi comme c, d, & b22 ». D’un autre côté,

  • 23 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 59.

« c’est chose asseurée qu’il peut y auoir d’autres voyelles que les nostres, car pourquoy ne peut-on pas dire que la voix qui imite le son d’vn tuyau d’Orgue, ou d’une fluste, est vne voyelle particuliere, & differente des cinq ordinaires ? de sorte que l’on peut dire qu’il y a autant de voyelles que de sons differens des Instrumens23 ».

  • 24 Lenoble 1943, p. 520.

89Bref, Mersenne est porté à admettre que le système de sons élémentaires qu’on fixera au départ pour créer une nouvelle langue est assez arbitraire, et qu’il convient seulement de bien les caractériser au besoin par des signes nouveaux : c’est le lieu de rappeler que Mersenne avait pris la défense de l’orthographe phonétique prônée par Baïf et Pontus de Tyard24.

90On ne s’étonnera donc pas qu’il fixe son choix sur deux systèmes possibles :

  • le premier comporte « 16 consonantes, à sçauoir b, d, f, g, h, k, 1, m, n, p, q, r, s, t, x, z » et les 5 « voyelles ordinaires » ;

    • 25 On met une barre sur le n « comme font les Espagnols », « pour signifier qu’il la faut prononcer do (...)
    • 26 Mersenne illustre par des exemples la signification des cinq voyelles qu’il ajoute ici aux cinq voy (...)

    le second comporte 19 « consonantes » : aux 16 qui viennent d’être citées, Mersenne ajoute ici : c, u, ñ25 ; et 10 voyelles : a, e, é, ê, i, o, u, au, ou, eu26.

91Une fois ces systèmes définis (nous les appellerons pour plus de commodité Système I et Système II), on peut à l’intérieur de chacun d’eux se poser des problèmes purement mathématiques de dénombrement : quel est par exemple le nombre des mots appartenant au système I, qui comportent 3 voyelles et 5 consonnes ?

  • 27 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

92Mais les contraintes de la prononciation vont réapparaître ici. Non pas si on admet seulement des mots où n’intervient qu’une consonne, possibilité que Mersenne envisagera effectivement (« l’on peut faire vne langue toute entiere d’vne seule consonante accompagnee de cinq voyelles27 »). Mais dès qu’on envisage les mots où peuvent se rencontrer deux consonnes, il conviendra d’écarter les dictions « inutiles » : « inutiles à raison qu’elles ne se peuuent prononcer ». C’était ici le moment le plus original de la démarche de Mersenne, mais nous allons voir que c’est aussi celui où il pousse le moins loin ses investigations. Il va se restreindre, pour définir ce que sont les mots imprononçables, à des cas très particuliers : il ne va prendre en considération que les mots dont le début ou la fin comportent la répétition d’ une même consonne (comme bba, abb, bbaa, ...).

93Pour analyser les calculs que comprennent les Propositions XLVII et XLVIII du « Livre premier de la voix », nous procéderons de la manière suivante. Nous dégagerons tout d’abord la règle générale qui préside à ces calculs, puis nous verrons comment cette règle s’applique à ce que nous avons appelé les systèmes de sons élémentaires I et II. Quant aux « dictions inutiles », nous analyserons en leur lieu et place, les passages où Mersenne en parle.

2. Illustration de la méthode par des exemples

  • 28 « Or si l’on veut poursuiure toute la table iusques aux dictions de 19 consones, il faut suiure la (...)

94Mersenne ne nous donne des éclaircissements sur la « méthode28 » qui lui permet d’effectuer ses dénombrements qu’après avoir déjà dressé des tables. Afin de mieux comprendre comment sont constituées ces dernières, il sera préférable, quant à nous, de prendre d’abord connaissance de cette « méthode ».

95Détaillons deux des exemples que nous donne Mersenne.

96Ces deux exemples concernent le cas où l’on dispose de 19 consonnes et de 10 voyelles.

  • 29 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

97Premier exemple29

98Combien peut-on former de mots comportant 6 lettres dont 3 consonnes et 3 voyelles ?

99— premièrement, on consultera la table qui donne « le nombre des variations » de 1, 2, 3... consonnes, à savoir la table qui donne : 19, 192, 193,… . Comme dans les mots cherchés, il doit y avoir 3 consonnes, nous prendrons :

C(19, 3) = 193 = 6859.

100— « secondement, il faut adioûter autant de zeros que l’on met de voyelles avec les trois consones : par exemple, s’il y a trois voyelles, l’on aura ce nombre 6 859 000 ».

101Autrement dit, comme il doit y avoir 3 voyelles dans les mots cherchés, il faut calculer :

C(10, 3) = 103

102et multiplier 193 par 103.

103— « Troisiesmement, il faut multiplier ce nombre par la combination ordinaire des lettres, qui est vingt par l’addition des six lettres, dans laquelle il y a trois lettres d’vne sorte, & trois autres d’vne autre ; car puis que six est la combination du ternaire, il faut multiplier six par soy mesme pour auoir trente-six, par lequel la combination de six choses differentes, c’est à dire 720, estant divisee, l’on a vingt pour le quotient. »

104Les mots considérés ont 6 lettres. La « combination ordinaire » de 6, à savoir le nombre des Permutations de 6 lettres est égal à :

6 ! = 720.

105Parmi les lettres des mots considérés, il y en a 3 d’une sorte, et 3 d’une autre. La « combination ordinaire » de 3, la « combination du ternaire » est :

1063 ! = 6.

107Il faut multiplier ce nombre par lui-même :

3 ! × 3 ! = 36

108et diviser 720 par 36, ce qui donne 20, « de sorte que ce nombre de trois consones est 137 180 000 », plus précisément, le nombre des mots formés de trois consonnes et de trois voyelles est égal à :

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  • 30 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 69.

109Deuxième exemple30 Combien peut-on former de mots comportant 50 lettres dont 30 consonnes et 20 voyelles ?

« Finalement si les dictions estoient de 30 consones, & de 20 voyelles, il faudroit poursuivre la multiplication des consones par 19 iusques à ce que l’on eust 30 nombres, c’est à dire qu’il faudroit faire 29 multiplications... »

1930

« ... & aiouster 20 zero au produict à cause du nombre des voyelles »

1930 × 1020

« ... & puis il faudroit multiplier ce nombre par la combination ordinaire de 50 choses, qui est le nombre des lettres de la diction, entre lesquelles il y en auroit 30 d’vne sorte, & 20 d’vne autre ; mais il faut multiplier la combination ordinaire de 30 choses [30 !] par celle de 20 [20 !], & diviser celle de 50 [50 !] par le produit pour auoir le nombre de ces dictions, & le quotient sera le multiplicateur cherché ».

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3.

(a) Système I : 16 consonnes, 5 voyelles

110On dispose de 16 consonnes et de 5 voyelles.

111Mots comportant une seule consonne

  • 31 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

« Si l’on vse d’vne voyelle prise dans les cinq voyelles ordinaires, ie dis premierement que l’on peut faire 160 dictions d’vne seule voyelle, & d’vne consonante, & qu’en prenant 2, 3, 4 ou 5 voyelles avec vne seule consonante, l’on peut faire autant de dictions differentes, comme l’on en void dans la table qui suit, lesquelles peuuent toutes estre prononcees, comme l’on expérimente dans ce vocable a, é, r, i, ée, qui a cinq voyelles. Or l’on en peut faire trois cens mille semblables, comme l’on en peut faire cinquante mille de quatre voyelles, & d’vne consonante, qui seront semblables à ces deux dictions aërée, & a, i, m, ée31. »

  • 32 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

112Le tableau32 auquel Mersenne renvoie ci-dessus est le suivant :

Une consonante

Avec une voyelle,

160

Avec 2 voyelles,

1 200

Avec 3 voyelles,

8 000

Avec 4 voyelles,

50 000

Avec 5 voyelles,

300 000

Somme totale

359 360

113Les nombres donnés par Mersenne ont été obtenus de la manière suivante : Nombre de mots comportant une consonne

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114Mots comportant deux consonnes

  • 33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

« Et si l’on veut vn plus grand nombre de dictions, & que l’on veuille user de deux consonantes semblables, ou differentes, l’on fera 3 840 dictions auec une seule voyelle & deux consonantes, dont il y en aura 160 d’inutiles à raison qu’elles ne se peuuent prononcer, comme sont bba, abb ; 38 400 auec deux voyelles, dont il y en aura 800 d’inutiles, comme bbaa, ou aabb : auec trois voyelles il y en aura 320 000, mais 4 000 seront inutiles sembles à bbaaa ; & si l’on vse de 4 voyelles, l’on aura 2 400000 dictions, c’est à dire plus de deux millions, qui surpassent la multitude des dictions de la
langue la plus feconde du monde : car il n’y en a que vingt-mille d’inutiles, & si l’on y joint cinq voyelles, l’on en aura 16 800 000, dont il y en a cent mille d’inutiles33. »

115Les nombres donnés par Mersenne ont été obtenus de la manière suivante : Nombre de mots comportant deux consonnes

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116Nombre de mots « inutiles » parmi les mots comportant deux consonnes

— et une voyelle :

16 × 5 × 2

=

160

— et deux voyelles :

16 × 52 × 2

=

800

— et trois voyelles :

16 × 53 × 2

=

4000

— et quatre voyelles :

16 × 54 × 2

=

20000

— et cinq voyelles :

16 × 55 × 2

=

100000

117Le texte dans lequel Mersenne justifie le calcul des mots « inutiles » mérite quelque précision.

118Mots comportant 2 consonnes et 1 voyelle : ce sont, nous dit Mersenne, des mots comme bba ou abb. La consonne répétée peut être choisie de 16 manières ; la voyelle peut être choisie de 5 manières ; et la consonne répétée peut-être soit en tête du mot, soit à la fin du mot. Le nombre des mots « inutiles » sera donc :

16 × 5 × 2 = 160.

119Mots comportant 2 consonnes et 2 voyelles : ici encore, la consonne répétée peut-être choisie de 16 manières, et peut se trouver en tête ou à la fin du mot. Mais, alors que Mersenne ne nous donne comme exemple de ces mots que : bbaa, et aabb, il faut préciser que les deux voyelles du mot peuvent ne pas être semblables ; c’est le cas pour les mots : bbae, bbea, aebb, eabb. Les suites ordonnées de deux voyelles prises sur 5 sont au nombre de : 52. Le nombre des mots cherchés sera donc :

16 × 52 × 2 = 800.

120Mots comportant 2 consonnes et 3 voyelles : ici encore Mersenne ne cite comme exemple que le mot bbaaa, où les 3 voyelles sont semblables, mais on pourrait citer les mots bbaai, bbaei, bbeai, eaibb, ... Les suites ordonnées de 3 voyelles prises sur 5 étant au nombre de : 53, le nombre des mots cherchés sera donc :

16 × 53 × 2 = 4000.

121On raisonnera de même pour les deux autres cas où l’on rencontre les coefficients 54

122et 55.

(b) Système II : 19 consonnes, 10 voyelles

123On dispose de 19 consonnes et de 10 voyelles.

124Ce cas inspire à Mersenne des calculs plus compliqués et des développements plus prolixes que nous ne jugeons pas nécessaire d’analyser en détail, dans la mesure où nous avons suffisamment illustré avec ce qui précède la méthode qu’il emploie.

125Prenons comme exemple la table la plus simple :

380

1

5700

2

76000

3

950000

4

11400000

5

  • 34 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

126La première colonne de cette table « montre le nombre des dictions qui sont faites d’vne consone iointe avec les voyelles ; & la seconde enseigne combien il y a de voyelles à chaque diction34 ».

127Indiquons, à titre d’échantillon, à quoi correspond le nombre de la troisième ligne :

128nombre de mots d’une consonne et de 3 voyelles :

Image 10000000000000CB0000003FCF7AEA2DDB6E6FFF.jpg

  • 35 Mersenne choisit de s’arrêter à la cinquième ligne (c’est-à-dire au nombre de mots comportant 5 voy (...)

129La table précédente porte sur les mots qui ont une consonne. Mersenne donne des tables analogues (ayant toutes 5 lignes35) pour les mots qui ont 2, 3, 4, 5 consonnes.

130Considérons maintenant les mots « inutiles » de deux consonnes et de deux voyelles ; ce seront des mots comme : bbaa, bbae, aabb, aebb, ... Les deux voyelles pourront être choisies de 102 façons différentes ; le nombre cherché de mots inutiles sera donc :

19 × 102 × 2 = 3800.

131Et l’on voit qu’on passera aux lignes suivantes du tableau en multipliant chaque fois par 10 le nombre de la ligne précédente.

132Pour ce qui est des « dictions inutiles », Mersenne ne les a prises en compte complètement que dans la seconde table

  • 36 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

« où l’on void le nombre des dictions de deux consonnes, ausquelles on ioint une, deux, trois, quatre, ou cinq voyelles ; mais parce qu’on ne peut repeter deux fois une mesme consonante au commencement & à la fin d’vn mot : i’ay marqué vis à vis de chaque nombre de ces diuerses dictions de deux consonantes combien il y en a d’inutiles36. »

10830

1

inutiles

380

216600

2

3800

3610000

3

38000

54150000

4

380000

758500000

5

3800000

133Il s’agit des mots qui comportent 2 consonnes, et 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 5 voyelles.

134Le calcul des mots inutiles peut se justifier simplement.

135Soient les mots comportant deux consonnes et une voyelle : Mersenne considère comme mots « inutiles » ceux qui commencent ou finissent par deux consonnes semblables, ainsi bba, ou abb.

136Le nombre des mots qui commencent par deux consonnes semblables est égal à :

19 × 10.

137Et il y a autant de mots qui se terminent par deux consonnes semblables.

138Le nombre des mots « inutiles » de deux consonnes et d’une voyelle est donc :

19 × 10 × 2 = 380, etc.

139Pour le cas des mots qui ont 3 consonnes, Mersenne a seulement amorcé le calcul ; il s’est arrêté après avoir rempli les deux premières lignes, laissant les autres lignes en blanc, ce qui ne manque pas de surprendre dans un ouvrage imprimé. C’est peut-être qu’il a rencontré ici des difficultés imprévues. Les deux nombres qu’il nous donne sont les suivants :

140nombre de mots inutiles :

  • de 3 consonnes et d’une voyelle = 7 600

  • de 3 consonnes et de 2 voyelles = 115 400

  • 37 Nous le voyons d’autant moins que ce nombre n’est pas divisible par 19. En supposant une erreur de (...)

141Le premier nombre est exact ; par contre nous ne saurions dire à quoi correspond le second37.

4. Nombres très grands de mots très longs

142Dans les cas examinés jusqu’ici, le nombre des voyelles et celui des consonnes qui entraient dans les mots faisant l’objet de calculs ne dépassait pas 5. En quoi Mersenne se conformait parfaitement à son objet premier : présenter des langues où les « dictions » soient les plus brèves possible. Le calculateur va l’emporter maintenant chez lui sur le linguiste, et livré à sa pente naturelle, jonglera avec de plus grands nombres.

  • 38 « & parce que l’on peut trouuer des dictions qui auront quelques consones deux, ou plusieurs fois r (...)

143Pour faciliter les calculs, Mersenne a dressé une « Table générale des dix-neuf Consones » qui donne les puissances de 19 jusqu’à 1930, et il reprend dans la Proposition XLVIII, en y ajoutant des précisions numériques, des exemples déjà énoncés dans la proposition précédente38.

144Il calcule ainsi le nombre des mots qui ont :

  • 10 consonnes et 8 voyelles,

  • 10 consonnes et 10 voyelles,

  • 30 consonnes et 20 voyelles.

  • 39 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 72.

145Nous avons cité plus haut le passage où Mersenne indique la marche à suivre pour traiter ce dernier exemple. Deux pages plus loin, il procède effectivement au calcul et trouve un nombre « de 73 caracteres39 ».

146Notons enfin qu’après avoir calculé le nombre des mots ayant 10 voyelles et 10 consonnes :

Image 10000000000000BC00000040366CC8F86D18F3A9.jpg

147Mersenne ajoute la remarque suivante :

  • 40 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 71 – 72.

« Or il faut remarquer que ce nombre de dictions est moindre que si l’on prenoit 20 lettres dans les 29 lettres que nous supposons dans cette proposition, dautant que dans les dictions precedentes l’on est astraint à vn certain nombre de voyelles & de consones, & dans l’autre l’on peut prendre des seules voyelles ou des seules consones40. »

148Mersenne veut dire que le nombre précédent est inférieur au nombre des Arrangements avec répétitions de 29 lettres prises 20 à 20 :

1492920,

150ce qu’on peut apercevoir par un raisonnement direct. Si on permet qu’une lettre quelconque, voyelle ou consonne, se répète 20 fois, il est évident qu’on obtiendra un nombre de mots supérieur à celui qui avait été calculé en imposant des conditions plus restrictives : n’admettre que les mots ayant un nombre déterminé de voyelles et de consonnes.

C. Frenicle : les « combinaisons multiples ». Leur place dans la classification des combinaisons

151La classification sur laquelle s’ouvre l’Abrégé des combinaisons mentionnait, nous l’avons déjà signalé, une quatrième sorte de combinaison, la « combinaison multiple ». Il y a deux sortes principales de combinaison,

« chacune desquelles se divise encore en d’autres. De ces deux jointes ensemble on en fait une troisiéme qui est mêlée de ces deux, & encore une quatrième qu’on nommera multiple, parce qu’elle se fait par la multiplication de chacune de ces sortes ».

152Le manuscrit autographe de la première partie de l’Abrégé (Archives de l’Académie des sciences, Frenicle, mss a) révèle que Frenicle y a ajouté après coup le membre de phrase que nous avons souligné ci-dessus : il n’avait donc pas prévu primitivement de place pour la « combinaison multiple » dans sa classification des espèces fondamentales de combinaison, et il se vit sans doute conduit à en faire mention le jour où il envisagea d’adjoindre à son premier travail des développements complémentaires.

  • 41 Frenicle, ici encore, a apporté quelques corrections à sa première rédaction : ainsi corrigé, ce te (...)
  • 42 Cf. Appendice.
  • 43 Cf. Frenicle 1729, p. 107 : « Un homme met un ducat à la Banque à multiplier pour 32 ans, à la char (...)

153Quant au texte même qui porte sur la « combinaison multiple », nous le retrouvons41 dans le manuscrit du fonds français, n.a., 5 176 (fol. 38 v°-39 v°) de la Bibliothèque nationale42 (où il fait suite comme dans l’imprimé à une question dont on ne voit pas bien pourquoi Frenicle lui a fait place dans ses problèmes combinatoires)43.

154Pour nous qui venons de voir traiter par Mersenne des problèmes analogues à ceux que va aborder maintenant Frenicle, la dénomination de « multiple » que ce dernier accole à cette espèce de combinaison s’éclaire d’elle-même : la règle fondamentale qui s’applique de manière mécanique dans ce genre de questions est une règle de multiplication. Les exercices qui suivent sont assez clairs pour que nous nous soyons contentés la plupart du temps d’en résumer le résultat.

  • 44 Le manuscrit autographe porte : « On a considere 2 sortes [...] ».
  • 45 Frenicle 1729, p. 108.

155« On a consideré de44 deux sortes de Combinaisons ; l’une d’ordre, & l’autre de varieté ou changement, chacune desquelles peut être multipliée : en voici des exemples45. » Cette phrase annonce une manière de plan : puisqu’il y a différentes sortes de combinaison, on verra comment elles sont source à leur tour de « combinaisons multiples » ; mais en fait, et on le verra encore mieux dans le développement, l’expression « combinaison de varieté ou changement » est confuse en regard de la classification à laquelle s’était tenu Frenicle dans les développements précédents.

1. Exemples portant sur des Permutations

  • 46 Frenicle 1729, p. 108.

156Premier exemple46

« Six choses se peuvent ranger en 720 façons : que ce soient par exemple six soldats à qui je donnerai six sortes d’armes : parce que les armes se peuvent encore combiner en 720 façons il faudra prendre le quarré de 720, & on aura 518 400 façons de les ranger & de les armer... »

(6 !)2

« ... mais si avec cela on leur donne six sortes de livrées, il faudra prendre le cube de 720 pour la varieté dont on les pourra ranger avec leurs diverses armes & livrées, ce qui se fera en 373248 000 façons ».

(6 !)3.

  • 47 Frenicle 1729, p. 109.

157Deuxième exemple47

« Mais si on n’avoit pas autant de sortes d’armes & de livrées que de soldats, par exemple, si on n’avoit que de quatre sortes d’armes, & que de l’une des sortes il y en eût trois, comme si on avoit trois épées, un mousquet, une pique & une hallebarde [...] : il faudra prendre pour les armes la combinaison de six choses entre lesquelles il y en auroit trois semblables. »

6 !

3̄! = 120.

158En supposant maintenant

« qu’on n’eut que trois sorts de livrées, sçavoir deux de chaque sorte, il faudra diviser 720 par la combinaison de deux choses répétees trois fois, qui est huit ».

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159Il faudra donc multiplier par 90 « le produit qu’on vient d’avoir, qui est 86 400, & on aura en tout 7 776 000 manieres d’arranger ces soldats avec leurs armes & leurs livrées differentes ».

2. Exemples portant sur des Arrangements

  • 48 Pour cet exemple, voir Frenicle 1729, p. 109 – 110.

« Que si au contraire on avoit plus de sortes d’armes & de livrées qu’il n’y a de soldats ; par exemple, si on avoit sept sortes d’armes, & huit sortes de livrées qu’on voulût donner à six soldats en toutes les manieres possibles, on se serviroit de la combinaison de variété : voici comme se fait cette combinaison48. »

160La « combinaison d’ordre » va encore intervenir ici mais seulement à propos de la « quantité de façons dont on peut ranger les six soldats ».

161On va constater par ailleurs que la « combinaison de variété » qui intervient à propos des armes et des livrées n’est autre que la combinaison que Frenicle avait nommée « combinaison mêlée » de première sorte dans sa classification générale : Frenicle aura en effet à considérer ici des Arrangements.

« Pour les armes, parce qu’il y en a de sept sortes, mais qu’on n’en prend que six à chaque fois, on multipliera 7 par les nombres moindres jusqu’à ce qu’on ait 6 nombres, sçavoir jusqu’à 1 : on multipliera donc 7 par 6, le produit 12 [lire 42] par 5, puis le produit par 4, 3, & 2, on aura 5040 qui est le même nombre que celui de la combinaison d’ordre de sept choses, parce que 1 ne multiplie point. »

A(7, 6) = P (7) = 5040.

« Pour les livrées, parce qu’il y en a de huit sortes, & qu’on ne se sert que de six, il faudra prendre le changement de six choses prises dans huit, qui se trouve en multipliant l’un par l’autre six nombres commençant par 8 en diminuant, sçavoir 3, 4, 5, 6, 7, 8, dont le produit est 20160 y compris l’ordre. »

A(8, 6) = 20160.

« Il faudra donc multiplier 720, qui montre la quantité de façons dont on peut ranger six soldats, par 5 040, qui est la variété de leurs armes, & le produit 3 628 800 (qui contient l’ordre des soldats & des diverses manieres dont on peut les armer) par 20 160, qui est la variété des livrées, & on aura 73 156608 000, qui montre toutes les façons d’arranger ces soldats, & de leur donner diverses armes & livrées. »

3. Exemples portant sur des Combinaisons

  • 49 Pour cet exemple ; cf. Frenicle 1729, p. 110 – 111.

162« La combinaison de variété se peut aussi multiplier par une autre combinaison de variété49. »

163La « combinaison de variété » que met en jeu l’exemple qui suit n’est plus comme dans l’exemple précédent la « combinaison mêlée I » de la classification générale, mais la « combinaison de changement I ».

« On a six Places à pourvoir de Commandans, mais on n’en veut placer d’abord que trois : on demande en combien de manieres on peut placer dans trois de ces Places trois de ces Commandans pris dans six qui sont arrêtez. »

  • 50 Frenicle, ainsi qu’on le constate dans son manuscrit, avait choisi tout d’abord un exemple où l’ord (...)

164On n’a pas ici « d’égard à l’ordre50 ». On se préoccupera seulement d’assigner un groupe de 3 commandants à un groupe de 3 places, sans se soucier de savoir si tel commandant se voit attribuer telle ou telle place.

165Frenicle calcule :

C(6, 3) × C(6, 3)

166et conclut « qu’on aura 400 façons de placer trois de ces Commandans dans l’une des six Places ».

« Or il n’importe pas qu’il y ait autant de Places que de Commandans : il y en peut avoir plus ou moins, & la régle sera toujours la même.
Si par exemple, il n’y avoit que cinq Places, il faudroit prendre la variété de trois choses prises dans cinq, qui est 60 l’ordre compris, qui étant divisé par six qui est l’ordre de trois choses, on a dix, lequel multiplié par 20, qui est la Combinaison de trois Commandans pris dans six, on auroit 200 façons de les placer. »

C(5, 3) × C(6, 3) = 200.

« De même, s’il y avoit huit Places on prendroit la combinaison de trois pris dans huit, qui est 336 compris l’ordre, qui étant divisé par six, qui est l’ordre de trois choses, donne 56, qui multiplié par 20 donneroit 1120 façons de placer ces trois Commandans. »

C(8, 3) × C(6, 3) = 1120.

4. Exemples portant sur des Permutations : assemblages de lettres pour former des dictions

167Frenicle, dans son dernier exemple, va en quelque sorte revenir en arrière, vers le cas de la « combinaison d’ordre » dont il avait déjà traité dans son premier exemple. C’est ce qui ressort bien de cette phrase du manuscrit autographe :

  • 51 B.N., mss., fonds français, nouv. acquis., 5176, fol. 39 r°.

« Il y a quelqu’autre chose a considerer dans la combination d’ordre : dans l’assemblage des lettres qui forment les dictions, il y en a quelques unes qui ne se peuvent prononcer quand elles sont ensemble, c’est pourquoi il est necessaire de les séparer51. »

  • 52 Frenicle 1729, p. 111.

168Or nous lisons dans l’imprimé un début de phrase différent : « Il y a quelqu’autre chose à considérer dans la combinaison pour l’assemblage des lettres qui forment les dictions : il y en a quelques unes... » (le reste est identique)52.

169Cette modification est assez curieuse ; la première phrase est claire et s’insère de manière logique dans le développement, alors que l’expression « considérer dans la combinaison » est beaucoup plus vague. Aussi est-il possible de supposer que cette modification n’est pas due à Frenicle lui-même. Il ne peut s’agir de toute manière de simples mots sautés (les mots : « d’ordre ») : en effet, le mot « pour » a été délibérément substitué au mot « dans ».

Premier exemple53

  • 53 Frenicle 1729, p. 111

« On veut sçavoir, par exemple, combien on peut faire de dictions de huit lettres, a, b, c, d, e, i, o, s, à telle condition que les trois b, c, d, ne sa trouvent jamais ensemble. »

170Le nombre d’anagrammes que l’on peut former avec les huit lettres est : 8 ! = 40 320.

171Si nous ôtons les lettres b, c, d, les autres lettres peuvent être permutées de 6 ! = 720 manières différentes.

172Considérons les trois lettres b, c, d, « comme une seule » ; et parce que ces trois lettres « se peuvent trouver de suite en six façons », il faut multiplier 720 par six ; le produit est 4 320, qu’il faut ôter de la combination de huit choses qui est 40 320, restera 36 000 dictions ou anagrammes qu’on pourra faire avec ces huit lettres sans que b, c, d, se trouvent ensemble.

Deuxième exemple54

  • 54 Frenicle 1729, p. 111 – 112.

173« On pourroit encore demander que deux de ces consonnes ne se trouvassent jamais au commencement ni à la fin des dictions. »

174Frenicle mène son calcul en deux temps :

« Pour le trouver, il faut voir combien il se fait de changemens pendant que deux de ces lettres sont au commencement ou à la fin ; & parce qu’il reste six lettres, on aura 720 changemens : mais entre ces 720 il y en a 120 ausquels la troisiéme consone se trouve contre les deux autres, & cela est compris dans les 4 320 qu’il a fallu ôter de 40 320 ; il faut donc ôter 120 de 720, reste 600. »

175Il faut maintenant considérer de combien de manières on peut choisir parmi b, c, d, les deux consonnes qui se trouvent au début ou à la fin des mots :

2 × A(3, 2) = 12.

176Le nombre 600 obtenu plus haut doit être multiplié

« par 12, parce qu’on peut prendre les deux lettres dans les trois en trois façons ; & à cause de l’ordre il faudra multiplier trois par deux ; & parce qu’il ne faut pas aussi que les deux lettres se trouvent à la fin, on aura douze variétez, qui multipliées par 600 donnent 7 200 qu’il faut ôter de 36000, restera 28800 anagrammes ».

177On aura remarqué qu’à la différence des soldats, commandants et bouquets dont on ne trouve pas trace chez Mersenne pour illustrer ces sortes de combinaisons, les « assemblages » de lettres qui forment les « dictions » rappellent directement en revanche les « dictions utiles et inutiles » de l’Harmonie universelle. Frenicle se place certes dans des conditions différentes en ne considérant, un alphabet de 8 lettres étant donné, que les mots de 8 lettres et à propos d’un sujet sur lequel Mersenne s’était étendu longuement, il ne traite que deux exemples. Le fait est, pourtant, qu’il impose à ses mots une restriction analogue à celle qu’avait choisie Mersenne : il ne faut pas que deux consonnes se trouvent jamais au commencement ou à la fin d’un mot.

Conclusion

178Ne verrait-on dans la suite de calculs quelque peu monotone parcourue au cours de ce chapitre que l’illustration répétée d’une règle simple de multiplication, ces exercices ne manqueraient pas de prix : c’est pour la première fois, nous semble-t-il, qu’ils apparaissent dans l’histoire des mathématiques ; ils font la preuve, par ailleurs, que Mersenne et Frenicle n’ont pas enfermé les « combinaisons » dans le champ clos de quelques théorèmes, mais les ont ouvertes, selon la ligne d’une activité mathématique vraiment progressive, à des investigations toujours plus complexes.

179Si on réduisait ces exercices à des applications quasi mécaniques de théorèmes élémentaires, on manquerait toutefois un de leurs aspects les plus significatifs. Ils représentent, à un autre point de vue, le pôle autour duquel se sont organisées les recherches de Mersenne : ils sont la marque manifeste de cette fécondité que nous avons prêtée dans notre Première Partie aux préoccupations de Mersenne relatives à la musique et aux langues artificielles ; pour « œuvrer utilement » dans ces deux domaines, il fallait apprendre à les résoudre, ce qui exigeait la maîtrise des différents types de « combinaisons ».

Notes

1 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149.

2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149 – 151.

3 Mersenne 1636b, VII, p. 141 – 144.

4 « Vt auteur ista varietas clarius intelligatur, sumo facilius exemplum, quod possit oculis subjici » [ « Mais pour comprendre plus clairement cette variété, je prends un exemple plus facile qui puisse sauter aux yeux. »]. (Mersenne 1636b, p. 141.)

5 Mersenne 1636a/1963, II, p. 149.

6 Mersenne 1636a/1963, II, p. 150 – 151. Cf. Mersenne 1636b, VII, p. 142 – 143.

7 Mersenne 1636a/1963, II, p. 150-151. Cf. également Mersenne 1636b, VII, p. 141 : « vnde constat 24 cantus, qui fiunt ex Combinatione quatuor notarum, adiunctione quatuor temporum diversorum mutari, seu combinari posse 6144, cum vnumquodque 256 varietur » [ « d’où on voit que les 24 chants qui se font par la combinaison de quatre notes peuvent être, par l’adjonction de quatre temps variés, changés ou combinés en 6 144, étant donné que chacun est varié en 256. »]

8 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « On doit cependant observer que ces variétés interviennent dans des modes variés, soit en effet que les notes et les temps soient pris toujours de même nombre, soit que les notes seules [soient prises] de même nombre, et les temps [en nombre] divers, comme il arrive dans l’exemple précédent des quatre notes, qui sont toujours les mêmes et sont entendues en même nombre dans les chants singuliers, alors qu’autant qu’on voudra de temps sont semblables, ou dissemblables, et qu’ils sont placés en même nombre ou non. Et en effet tantôt le même temps affecte les quatre notes, tantôt les quatre notes ont deux, ou trois, ou quatre temps différents. »]

9 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Si en effet on trouve toujours quatre temps dans chaque chant, c’est-à-dire qu’ils remplacent la seule variété de l’ordre à l’instar des quatre notes, la combinaison de quatre choses, c’est-à-dire 24 multiplié par lui-même, donnera 576 comme nombre des chants, ce qui est dépassé par le nombre précédent des chants, dans lesquels on ne prend pas toujours les mêmes temps, ceux-là dépassant en vérité de ce nombre, 5568, comme on le voit par la soustraction de 576 à 6 144. »]

10 Il s’agit de la proposition relative à la generalissima combinatio.

11 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « si les notes sont changées de tout autant de façons que les temps d’après la variété très générale de la proposition précédente, 256 multiplié par lui-même donne le nombre 15 280, qui dépasse de beaucoup les deux nombres précédents, 576 et 6 144. »]

12 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 149. Mersenne dit à tort qu’« il faut multiplier la somme totale de la 5 proposition par soy mesme ». Il devrait renvoyer ici à la Proposition XII, qui traite de la « combinaison la plus générale » et par ailleurs, « la somme totale de la table » (22 + 222 + ⋯ + 2222) n’a rien à faire ici.

13 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Si en vérité on prend le nombre de notes par lesquelles les chants sont constitués parmi un autre nombre plus grand de notes, par exemple, si on prend huit notes parmi douze notes, on doit d’abord chercher le nombre de chants par la multiplication du premier des deux, 8, par lui-même, ensuite ce même huit dans le produit jusqu’à ce qu’on atteigne le septième terme à partir de 8, bien sûr 19 958 400, auxquels si tu ajoutes cinq temps, cinq est multiplié par lui-même, ensuite par le produit, jusqu’à atteindre en effet le septième terme, donc bien 390625, qui multiplié par le nombre précédent de chants donne 7796 250 000 000. »]

14 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « En continuant, toutes les fois que des temps et des notes sont prises en même nombre, de sorte que dans des chants singuliers ils portent une variété égale de chaque, le nombre de chants multiplié par lui-même donne le nombre cherché ; par exemple, si huit temps sont pris dans douze temps, comme huit notes parmi douze notes. »]

15 Mersenne 1636b, VII, p. 141. [ « Mais lorsqu’on prend les temps parmi un nombre plus petit, par exemple parmi dix, ce nombre dix multiplié par neuf, et le produit par huit, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait huit termes, dont le premier est dix, le dernier en vérité 1814 400 qui multiplié par le nombre de chants constitués de huit notes prises parmi douze donne le nombre cherché 3621252096000. »]

16 Mersenne 1636a/1963, II, p. 152 – 153.

17 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 57.

18 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

19 Cf.ci-dessous, Troisième Partie, ch. 2, A, 1, a.

20 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

21 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 61.

22 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 56.

23 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 59.

24 Lenoble 1943, p. 520.

25 On met une barre sur le n « comme font les Espagnols », « pour signifier qu’il la faut prononcer doucement & mollement, comme l’on fait la syllabe Françoise gnon dans ces deux dictions compagnon et mignon » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 67).

26 Mersenne illustre par des exemples la signification des cinq voyelles qu’il ajoute ici aux cinq voyelles ordinaires. Il nous dit en particulier du OU que « les Canadois & les autres sauvages d’Amerique [en] vsent souuent à la fin de leurs dictions ». (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 67.)

27 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

28 « Or si l’on veut poursuiure toute la table iusques aux dictions de 19 consones, il faut suiure la mesme methode dont ie me suis seruy pour faire les tables precedentes. » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.)

29 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

30 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 69.

31 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

32 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 66.

34 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

35 Mersenne choisit de s’arrêter à la cinquième ligne (c’est-à-dire au nombre de mots comportant 5 voyelles) sans doute par analogie avec les calculs effectués précédemment pour le Système I.

36 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 68.

37 Nous le voyons d’autant moins que ce nombre n’est pas divisible par 19. En supposant une erreur de retranscription, on peut noter que : 125400 = 19 × 66 × 10, mais cette remarque ne nous a mené à aucune interprétation plausible.

38 « & parce que l’on peut trouuer des dictions qui auront quelques consones deux, ou plusieurs fois repetees, la table qui suit va iusques à 30, afin que l’on puisse sçauoir le nombre des dictions qui seroient composees de 19 consones, dont l’vne se repeteroit 11 fois, ou l’vne 5 & l’autre 6 fois & c » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 70). Pour ce qui est des dictions que l’on peut former avec 10 voyelles, il suffit de multiplier 10 par lui-même autant de fois qu’il sera nécessaire, « ce qui est si aisé qu’il n’est pas necessaire d’en donner la table » (ibid.).

39 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 72.

40 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre premier de la voix », p. 71 – 72.

41 Frenicle, ici encore, a apporté quelques corrections à sa première rédaction : ainsi corrigé, ce texte correspond à quelques variantes près, au texte imprimé (cf. Appendice).

42 Cf. Appendice.

43 Cf. Frenicle 1729, p. 107 : « Un homme met un ducat à la Banque à multiplier pour 32 ans, à la charge d’en avoir les intérêts, & intérêt d’intérêt à raison de 5 pour 100. On demande à combien se montera le principal & les intérêts au bout de ce temps. » Dans le manuscrit précité, cette question occupe le fol. 38 r°.

44 Le manuscrit autographe porte : « On a considere 2 sortes [...] ».

45 Frenicle 1729, p. 108.

46 Frenicle 1729, p. 108.

47 Frenicle 1729, p. 109.

48 Pour cet exemple, voir Frenicle 1729, p. 109 – 110.

49 Pour cet exemple ; cf. Frenicle 1729, p. 110 – 111.

50 Frenicle, ainsi qu’on le constate dans son manuscrit, avait choisi tout d’abord un exemple où l’ordre intervenait. Il l’a biffé ensuite au profit de l’exemple des places et des commandants : « On a 6 pots & 6. bouquets differents, on veut mettre 3. de ces bouquets sur un autel dans 3 de ces pots de toutes les façons possibles. On n’a point icy d’egard a l’ordre pour mettre les bouquets, car il n’importe pas lequel on mette le premier dans les pots ; mais cet ordre est dans la diversité des bouquets, [car] il y aura de la difference dans l’ornement si on met l’un de ces bouquets au milieu ou à l’une des extremités. » (B.N., mss., fonds français, nouv. acquis., 5176, fol. 39 r°.)

51 B.N., mss., fonds français, nouv. acquis., 5176, fol. 39 r°.

52 Frenicle 1729, p. 111.

53 Frenicle 1729, p. 111

54 Frenicle 1729, p. 111 – 112.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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