Version classiqueVersion mobile

Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »

Chapitre 4 : Le Triangle arithmétique

Texte intégral

  • 1 Cf. par exemple Smith 1958, vol. II, p. 508 – 511.

1Le Traité du triangle arithmétique est une des œuvres les plus célèbres de Pascal ; la tradition fait qu’aujourd’hui on parle couramment du triangle arithmétique de Pascal. La célébrité a sa rançon, et les historiens se sont évertués à contester à Pascal l’originalité de cette découverte, et à retrouver le triangle arithmétique au Japon comme en Chine, chez les Arabes comme chez de nombreux auteurs occidentaux du xvie siècle1.

2Pour ce qui est de l’application du triangle qui nous concerne directement, à savoir ce que Pascal désigna comme son « usage pour les combinaisons », la liste des précurseurs est moins longue. Deux noms au xvie siècle, mais ce sont deux grands noms : ne serait-ce que pour cette raison, il nous a paru utile d’évoquer ici des textes de Cardan et de Tartaglia, souvent signalés au passage, mais rarement analysés de près. D’autant que ces textes appartiennent à des ouvrages qui continueront d’être pratiqués attentivement au xviie siècle. Leur style et leur contenu nous prépareront à mieux mesurer la portée des quelques passages de Mersenne et de Frenicle que nous allons avoir à présenter, et nous mettront en garde contre le flou de certaines expressions : le triangle arithmétique se trouve, dit-on, chez tel ou tel auteur ; cela est bien ; mais pourquoi, et surtout sous quelle forme, s’y trouve-t-il ? Voilà qui importe davantage.

A. Cardan et Tartaglia

1. Cardan

(a) Construction de la table

  • 2 Jérôme Cardan, Opus novum de proportionibus numerorum, ponderum, sonorum, aliarumque rerum mensuran (...)

3La proposition CLXX de l’Opus novum de proportionibus2 de Cardan a pour titre : « Coniugationes cuiusvis numeri breviter invenire » [ « Trouver rapidement les conjonctions de n’importe quel nombre »].

4Cardan commence par proposer l’exemple suivant. Soit dix hommes :

  • il est évident qu’on peut les prendre un à un, et ceci de dix manières ;

  • on peut les prendre tous ensemble, et ceci seulement d’une seule manière ;

    • 3 Nous développons ainsi le raisonnement que Cardan n’exprime qu’imparfaitement : « nam, cum erunt oc (...)

    en les prenant 2 par 2, on peut les prendre de 45 manières ; et il est manifeste qu’on pourra les prendre en autant de manières si on les prend 8 par 8 ; car chaque fois qu’on prend huit hommes, il en reste deux ; à chaque groupe de huit hommes, on peut donc faire correspondre un groupe de deux hommes. Il y aura donc exactement autant de manières de grouper 10 hommes 8 par 8 que 2 par 23.

5Seront de même respectivement égaux :

  • le nombre de manières de les grouper 3 par 3, et 7 par 7 ;

  • le nombre de manières de les grouper 4 par 4, et 6 par 6 ;

  • enfin, comme 5 est la moitié de 10, c’est en les groupant 5 par 5 qu’on obtiendra le nombre de manières de grouper les 10 hommes le plus élevé.

6Cardan a donc noté ainsi qu’on avait :

C(10, p) = C(10, 10 − p).

7Il poursuit par une phrase peu claire à première vue, mais où il propose peut-être un moyen de construire la table qu’il donnera plus bas :

  • 4 Ibid. [ « Et ainsi, en suivant l’ordre, tu enlèves un, de sorte que s’il y a onze hommes tu poses d (...)

« Et ideo pro ordine huius detrahes unum, ut sint undecim viri pones decem, si decem pones novem, & colliges naturalem seriem numerorum, ut infra vides uno semper termino deficientes4. »

8Si nous comprenons bien, Cardan donne ici tout d’abord un moyen de calculer :

C(10, 2) = 45.

9Prenons les (10 - 1) = 9 premiers termes de la suite des nombres naturels, et additionnons-les entre eux :

1 + 2 + ⋯ + 9 = 45.

10De même on aura :

C(11, 2) = 1 + 2 + ⋯ + 10 = 55.

11On obtient ainsi les deux premières colonnes de nombres suivants :

Le schéma de construction étant le suivant :

Le schéma de construction étant le suivant :

12Or — et c’est ce que Cardan sous-entendrait selon nous —, on peut appliquer le même schéma de construction aux colonnes suivantes. Par exemple :

13En supposant (ce qui n’est pas dit explicitement dans le texte) que la première ligne est formée d’unités, on aboutit, en appliquant le procédé précédent, à la table donnée par Cardan et à propos de laquelle il se livre aux remarques suivantes.

14Première remarque : le 3 qui se trouve dans la première colonne, est le double de 6 qui se trouve vis-à-vis de lui, dans la deuxième colonne. Or, le 10 qui se trouve au-dessous du 6, est le double de 20, nombre qui se trouve vis-à-vis de lui dans la troisième colonne.

Table donnée par Cardan dans l’Opus novum de proportionibus

Table donnée par Cardan dans l’Opus novum de proportionibus

15On a de même en suivant un cheminement semblable :

70 = 2 × 35

252 = 2 × 126.

16(Ce qui revenait à noter que l’on a : C(n + 1, p + 1) = 2C(n, p), lorsque : n = 2p + 1).

  • 5 Ibid. [ « & ceci pour savoir qu’on a opéré ainsi correctement. »]

17Cardan note ce fait parce qu’il permet de vérifier si on a opéré correctement pour construire la table (« & hoc pro cognitione quod recte sic operatus5 »).

  • 6 « Secundo animadvertes sequentes ordines fieri ex recta linea priorum, velut sextus ordo est 7.28.8 (...)

18Deuxième remarque : on retrouve des nombres identiques selon qu’on lit la table par colonnes ou par lignes6.

19Troisième remarque : Cardan relève sous une forme très concise la propriété de symétrie que présente sa table, ce qui revenait à noter que :

C(n, p) = C(n, n − p).

  • 7 « Et si essent decem tantum [homines], vt ab initio proposui, primus ordo finitur ad 10. secundus a (...)

20La table permet de connaître C(n, p) pour n ≤ 11, et ceci par simple lecture. Pour avoir, par exemple, C(10, 1), on cherchera quel est pour le nombre 10, le dernier terme du premier ordre ; pour avoir C(10, 2), on cherchera, toujours pour le nombre 10, le dernier terme du second ordre, etc.7.

(b) Les numeri angulares ; la formule directe donnant C (n, p)

  • 8 « Et ita colligeretur summa ex extremis numeris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. » (Ph (...)

21Il en résulte immédiatement, et c’est la première règle de calcul que donne Cardan, qu’on obtiendra le nombre total des coniugationes possibles qu’on peut former avec 10 hommes, en additionnant tous les nombres C(10, 1), C(10, 2), ..., C(10, 10) dont nous venons de parler. Ces nombres qui se trouvent disposés sur une ligne oblique, Cardan les appelle numeri angulares, image proche de celle qui a fait donner au tableau de nombres qu’il utilise le nom de « triangle arithmétique8 ».

  • 9 « Cum enim superior sit vera & demonstrativa, non est tamen facilis, & praecipue in magnis numeris. (...)
  • 10 La phrase où Cardan énonce sa règle générale est obscure, et le texte doit en être sans doute altér (...)

22Bien que cette procédure soit « vraie et démonstrative », elle n’est pas cependant facile, et cela surtout lorsqu’il s’agit de grands nombres. « Aussi, écrit Cardan, ai-je inventé celle-ci, qui, (comme je l’ai dit), est très facile9. » Cette procédure plus aisée n’est autre que la règle dite précisément règle de Cardan10. En voici un exemple : si le nombre des choses données est 10, on ajoute 1 à 10, ce qui donne 11, et on prend le onzième « nombre en proportion double », à savoir le onzième terme de la suite :

1, 2, 4,…, 1024, 2048,…,

  • 11 « Exemplum, si sint 10. adde 1 fit 11. Undecimus ergo numerus in proportione dupla est 1024. detrah (...)

23onzième terme qui est 1 024, d’où on ôte 1 : il reste 1 023 qui est le nombre des conjonctions cherchées11.

24Ce qui revient à dire qu’on a :

C(n, 1) + C(n, 2) +... + C(n, n) = 2n − 1.

  • 12 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, C, 2.
  • 13 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, B, 1 b.

25C’est la propriété que nous avons rencontrée déjà plusieurs fois sous la plume de Mersenne12 ainsi que chez Clavius13.

26Cette propriété n’était pas trop difficile à établir. Il n’en est pas de même du problème auquel Cardan va maintenant passer sans transition, et dont de nombreux historiens des mathématiques ont cru que la solution n’avait été découverte qu’au xviie siècle :

  • 14 Cardan 1663, vol. IV, p. 557 – 558. [ « Mais pour obtenir les nombres des ordres singuliers, en n’i (...)

« Ut autem habeas numeros singulorum ordinum, in quavis multitudine, deducito numerum ordinis a primo, & divide per numerum ordinis ipsius reliquum, & illud quod provenit, ducito in numerum maximum praecedentis ordinis, & habebis numerum quaesitum. Velut si sint undecim volo scire breviter numeros, qui fiunt ex variatione trium. Primum deduco pro secundo ordine 1. ex 11. fit 10 divido per 2. numerum ordinis, exit 5. duco in 11. fit 55. numerus secundi ordinis. Inde detraho 2. qui est numerus differentiae ordinis tertii a primo ex 11. relinquitur 9. divido 9, per 3. numerum ordinis exit 3. duco 3. in 55. numerum secundi fit 165. numerus tertii ordinis. Similiter volo numerum variationum quatuor, deduco 3. differentiam 4, a primo ordine ab 11. relinquitur 8. divido 8. per 4. numerum ordinis, exit 2. duc 2. in 195. fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4. differentiam a primo ordine, relinquitur 7. divido per 5. numerum ordinis exit 2/5. [lire 7/5] duco in 330. numerum praecedentis ordinis, sit 462. 5 numerus quinti ordinis14. »

27Analysons les exemples donnés par Cardan ; rappelons la manière dont sont disposés dans sa table, les nombres qu’il va calculer par une autre voie.

28Soit n = 11

29Pour p = 1 : C(11, 1) = 11

30Pour p = 2 : Différence du 2e ordre et du 1er : 1

31C(11, 2) = 5 × 11 = 55

32Pour p = 3 : Différence du 3e ordre et du 1er : 2

33C(11,3) =3×55 = 165

34Pour p = 4 : Différence du 4e ordre et du 1er : 3

35C(11,4) =2×165 = 330

36Pour p = 5 : Différence du 5e ordre et du 1er : 4

37La règle générale que donne Cardan dans la première phrase du texte cité, peut donc être transposée, sans qu’on fasse autre chose que l’exprimer autrement, dans la formule suivante :

  • 15 Charles B. Boyer, « Cardan and the Pascal Triangle », The American Mathematical Monthly (1950), vol (...)

38Il est très remarquable que Cardan ait connu cette formule, et C. B. Boyer a eu toute raison de protester contre le fait que les historiens des mathématiques aient attribué à Pascal le mérite de sa découverte15.

2. Tartaglia : circonstances extraordinaires de son invention

  • 16 « Règle générale trouvée par l’auteur le premier jour du carême de 1523, à Vérone, pour savoir trou (...)
  • 17 « Stantiando l’anno 1523 in Verona, & il giorno di Carnevale vna cometiva di giovinetti, & altri di (...)
  • 18 « & cosi tutta la notte sopra tal materia andai tanto freneticando » (Ibid.)

39Circonstances extraordinaires que celles de l’invention de Tartaglia : il en fut lui-même si frappé qu’il l’a relatée avec des précisions autobiographiques dont le ton est inhabituel dans un traité de mathématiques. Ce texte, dont on regrettera la brièveté, a pour titre : « Regola generale dal presente auttore ritrovata il primo giorno di quaresima l’anno 1523. in Verona, di saper trovare in quanti modi puo variar il getto di che quantita di dati si voglia nel tirar quelli16. » À Vérone, le jour du carnaval de l’année 1523, Tartaglia se trouva dans une compagnie où chacun interrogeait, à l’aide de trois dés, un livre de prédictions de Lorenzo Spirito, et cherchait à comprendre ce que, à propos de tout sujet, lui assignait ce livre17. Mais, même en ce jour de carnaval, le mathématicien resta mathématicien : Tartaglia remarqua que l’auteur avait trouvé par expérience que les 3 dés pouvaient varier de 56 façons. Ce que voyant, il se proposa de découvrir selon « quelle règle générale » pouvait se déterminer un tel résultat, et cela non seulement pour le cas de 3 dés, mais pour un nombre quelconque de dés. Après une nuit de réflexions passée dans une agitation frénétique18, Tartaglia savait, dès le lendemain (qui était le premier jour du Carême), répondre à sa propre question.

  • 19 Cantor, 1894-1900, vol. II, p. 522.
  • 20 Selon Jacques-Charles Brunet, Manuel du libraire, Paris : F. Didot, 1864, vol. V, p. 493) cet ouvra (...)
  • 21 Dans un but qui n’a évidemment rien à voir avec le calcul des probabilités ! Alors que Cantor (Cant (...)

40Pour éclaircir ce que celle-ci a d’obscur au premier abord, comme le pensait Moritz Cantor19, point n’est besoin de se livrer à des hypothèses. Tartaglia nous dit quel fut le prétexte de sa recherche : le Libro della ventura de Lorenzo Spirito20. Il n’est que d’ouvrir cet ouvrage pour voir figurer21 sur de nombreuses pages les 56 modi selon lesquels se varient les 3 dés. Ce sont 56 groupes de 3 faces de dés ayant cette forme :

41Il n’y est pas tenu compte de l’ordre selon lequel se suivent les points marqués sur les faces de dés, mais seulement du fait que chacun de ces groupes diffère des autres par au moins une face.

(a) Le problème : calcul de K (6, n) ; solution de Montmort

  • 22 Faute de l’avoir compris, Montucla adresse à Tartaglia un reproche injustifié : « Il s’agissait de (...)

42Ainsi, qu’on y prenne garde, il ne s’agit pas ici de Combinaisons (à la différence de l’usage auquel sera lié le triangle arithmétique chez les auteurs dont nous parlons plus bas) ; car ce ne sont pas non plus les Arrangements avec répétitions de n chiffres pris dans 622 qui intéressaient Tartaglia, mais les Combinaisons avec répétitions de 6 chiffres pris n à n.

  • 23 « Prima eglie manifesto che un sol dato puo variar in 6 modi. » Nous utilisons le mot « variété » p (...)

43Un seul dé peut donner six « variétés23 » différentes, parce qu’il comporte 6 faces sur lesquelles sont portés 6 chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

44Pour trouver combien 2 dés peuvent donner de « variétés », il faut additionner tous les nombres de la « progression continue » de 1 jusqu’à 6 :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

45Pour trouver combien 3 dés peuvent donner de « variétés », il faut additionner tous les termes de la « progression » suivante : 1, 3, 6, 10, 15, 21, dont la somme est égale à 56.

46Pour trouver combien 4 dés peuvent donner de « variétés », il faut additionner tous les termes de la « progression » suivante : 1, 4, 10, 20, 35, 56.

47Tartaglia énumère ainsi les « progressions » qui permettent de trouver le nombre de « variétés » que donnent 5, 6, 7, 8 dés. Il en dit moins qu’il n’en sait, et on le regrettera, sur l’« origine » de ces progressions : c’est que, déclare-t-il pour s’en excuser, il faudrait un livre tout entier pour en parler convenablement.

  • 24 Montmort 1713, p. 37 – 38.

48Il nous appartient donc de rétablir les raisonnements selon lesquels Tartaglia a été conduit à sommer les termes de ces « progressions ». Rien de particulièrement hasardeux dans une telle reconstitution, puisqu’il s’agit de raisonnements exacts, portant sur des dénombrements simples qu’il importait seulement de mener avec méthode. Puisque Rémond de Montmort a traité ce même problème dans le même esprit, qu’on nous permette de citer sa démonstration24.

49Pour savoir combien de « coups » différents (à savoir combien de « variétés » distinctes au sens de Tartaglia) on peut former avec un dé, il suffit d’ajouter :

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

50Pour savoir combien de coups différents on peut former avec deux dés, on ajoutera :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.

51En effet,

« il est évident qu’en joignant l’as du deuxiéme dé avec les six faces du premier dé on a 6, & le 2 du deuxiéme dé avec les cinq faces du premier où l’as n’est point, on a 5 ; & qu’en joignant le 3 du deuxième dé avec les quatre faces du premier où l’as ni le 2 ne se trouvent point, on a 4, & c. En sorte qu’il y a en tout 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 coups différens où chacune des faces peut entrer. 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, où chacune des faces peut entrer, à l’exception de l’as. 4 + 3 + 2 + 1 = 10, où chacune des faces peut entrer, à l’exception de l’as & du 2, & c. ».

52Pour savoir combien de coups différents on peut former avec trois dés, on commence par constituer la table suivante qui donne les coups que l’on peut former avec deux dés :

53On remarquera que « l’as du troisiéme dé se joignant aux 21 coups differens de deux dés, donnera 21 coups differens, & que le 2 du troisième dé se joignant aux 15 coups de la Table où il n’entre point d’as, donne 15 coups ; & que le 3 du troisième dé se joignant aux 10 coups de la Table où il n’entre point d’as ni de 2, donne 10 coups, & ainsi du reste.

54En sorte que la somme de tous les differens coups possibles avec trois dés est 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56. »

55Ainsi voyons-nous se constituer sous nos yeux les mêmes « progressions » dont Tartaglia avait déclaré, sans se justifier, qu’elles fournissaient la solution du problème posé.

(b) Construction et propriétés de la table

56Chacune de ces « progressions » permettait de répondre à une question particulière : quel est le nombre de « variétés » pour un nombre de dés déterminé ?

57Mais ces « progressions » ne sont pas indépendantes les unes des autres. Tartaglia les dispose dans une table, et consent à livrer à son lecteur les remarques suivantes sur les rapports qui les lient entre elles.

  • 25 « [...] ma accioche in parte resti satisfatto, sappi che ogni una di di dette progressioni si forma (...)

58— Première remarque : « Chacune de ces progressions se forme à partir de la progression précédente ; et la première étant formée de 6 termes chacun égaux à l’unité : 1, 1, 1, 1, 1, 1, la somme de ces 6 termes dit en combien de manières peut varier le jet d’un seul dé, comme on le voit dans le tableau25. »

Figure 1 – Table des variétés résultant des jets de 1, 2,..., 8 dés, donnée par Tartaglia au fol. 17r. de La Seconde parte del General Trattato.

Figure 1 – Table des variétés résultant des jets de 1, 2,..., 8 dés, donnée par Tartaglia au fol. 17r. de La Seconde parte del General Trattato.

59La première phrase laisse supposer que Tartaglia savait qu’une ligne quelconque de sa table pouvait se déduire de la ligne précédente par le procédé de sommation suivant.

60Supposons donnée la 4ème ligne. Le premier terme de la 5ème ligne est 1 ; le deuxième terme de cette même ligne s’obtient en additionnant 1 et 4 (deuxième terme de la quatrième ligne) ; le troisième terme s’obtient en additionnant le nombre ainsi obtenu 4, avec le troisième terme de la quatrième ligne. Pour calculer un terme quelconque de la table, il faut donc additionner deux termes qu’on aura calculés au préalable par le même procédé : ceux qui se trouvent immédiatement au-dessus et à gauche du terme cherché.

61En vérité, il n’est pas absolument certain que Tartaglia ait aperçu cette propriété sous sa forme générale, mais les deux remarques qui suivent viennent confirmer qu’il n’envisageait pas sa table comme une liste de dénombrements particuliers, mais comme une construction arithmétique.

  • 26 « Et nota che l’ultimo termine di ciascuna di dette progressions vien a esser la summa della ancian (...)

62— Deuxième remarque. Le dernier terme de chaque « progression » est égal à la somme des termes de la progression immédiatement précédente26.

  • 27 « & con tal ordine potrai saper li 10 000 dati in quanti modi ponno variar il lor getto. » (Ibid.)

63— Troisième remarque. En suivant un ordre analogue on pourra savoir à combien de « variétés » donnerait lieu le jet de 10 000 dés27.

64Ce dernier point est très important. Nous sommes loin du petit décompte que Lorenzo Spirito ne devait au surplus qu’à « l’expérience ». Tartaglia avait toute raison de qualifier sa trouvaille de « règle générale » : il était assuré que sa table pouvait être allongée assez loin, en procédant de proche en proche, de manière à répondre à la question posée pour un nombre quelconque de dés.

65Cette généralité ainsi reconnue et délimitée, il faudrait se garder d’oublier que cette règle générale a pour objet un problème particulier concernant des dés, et ne s’insère pas dans une réflexion plus vaste sur des questions combinatoires.

  • 28 Tartaglia 1556, fol. 69 v – 73 r.

66Il faut remarquer par ailleurs que Tartaglia n’a pas rapproché lui-même sa table d’une autre figure qu’il avait tracée dans une autre partie du Trattato, en vue de la détermination des coefficients des puissances du binôme, et dont voici les premières lignes28.

B. Mersenne

1. Une table construite à propos d’un problème particulier

67Tout d’abord une constatation qui a son prix par elle-même : Mersenne a bel et bien publié à deux reprises une table qui ressemble au triangle arithmétique de Pascal en ce qu’elle comporte les mêmes termes, et cette table avait pour raison d’être un calcul relatif aux Combinaisons. Autre surprise, mais celle-ci est fâcheuse : cette table n’a pas le commentaire qu’on attendrait. Au demeurant, Mersenne la présente si maladroitement que nous aurons à nous demander pourquoi il lui fait un sort si malheureux. Cette négligence qui nous interdit de cerner exactement ce que Mersenne connaissait sur ce sujet, nous contraindra à examiner au plus près le peu qu’il nous en dit. Examen délicat, que ne facilite pas la manière assez énigmatique dont Mersenne a distribué sa matière : dans les Harmonicorum libri, il fait passer au second plan les remarques qui sont à nos yeux les plus intéressantes ; et il est allé jusqu’à supprimer purement et simplement ces mêmes remarques dans l’Harmonie universelle.

  • 29 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 145.

68Pour commencer, nous examinerons les développements qui sont communs aux deux ouvrages précités. Nous intégrerons à cet examen ce que Mersenne nous dit du procédé de construction de sa table dans les Harmonicorum libri, puisqu’aussi bien il donne lui-même, dans l’Harmonie universelle la précision suivante : « Or i’ay donné la maniere de la construire dans la 12 proposition du Livre Latin des chants29. »

69Cette table a des dimensions respectables ; elle comprendra 300 nombres. Et pourtant, Mersenne l’introduit uniquement pour répondre à un problème très précis : quelle est la valeur de C(36, 12) ?

  • 30 Ibid.

« Si l’on vouloit trouuer combien l’on peut faire de chants ou de dictions de 12 notes, ou de 12 lettres prises en 36 notes ou lettres, ou combien le jeu de Piquet peut venir de fois differemment iusques à ce que le mesme jeu reuienne, il faudroit construire la table qui suit, dont le dernier nombre donne le nombre des chants, des dictions, & des ieux differens de 12 chartes prises en 3630. »

  • 31 « Livre second des chants », Corollaire II de la Proposition XVI. Cette proposition traite en effet (...)
  • 32 Propositio XII. « Datis 36 notis ostendere quot ex iis Cantilenae fieri possint si binae, vel terna (...)

70Dans l’Harmonie universelle, le caractère particulier de cette question est accentué par le fait que Mersenne l’a reléguée dans un simple corollaire qui, au surplus, n’a aucun rapport avec la proposition à laquelle il fait suite31 ! Cette même question trouve une place plus en vue dans les Harmonicorum libri où une proposition entière lui est consacrée32, et où il est nettement précisé, au préalable, que si l’on prend 36 notes, il s’agit d’un exemple : il serait possible de choisir comme exemple un nombre quelconque de notes ; inférieur ou supérieur à 36, pour lequel on procéderait de la même manière. Il n’en reste pas moins que la table dont nous allons voir maintenant comment on la bâtit a une destination bien déterminée : fournir un et un seul nombre.

2. Construction de la table ; avantage de la méthode directe pour obtenir C (36, 1), C (36, 2)

  • 33 « At certe haec Tabula nimis operosa est, quanquam longe difficilius ab iis componetur, qui vtuntur (...)

71Il est à remarquer que Mersenne fait allusion à une méthode de construction différente de celle qu’il utilise lui-même. Sa méthode, dit-il, est supérieure à celle de « ceux qui se servent de l’addition et de la soustraction33 ». Nous ignorons qui pouvaient bien être ces auteurs. Toujours est-il que leur manière de procéder se distingue surtout par le fait que sont construites différemment, la seconde colonne d’une part, toutes les colonnes suivantes d’autre part. Peut-être cette différence permet-elle de suspendre la difficulté de lecture que comportait la construction de la table par simple addition. Voici comment procèdent en effet nos auteurs :

72— ils ajoutent les nombres de la première colonne, 1, 2,..., 25, pour avoir 325 comme dernier terme de la deuxième colonne ;

73— ensuite, ils soustraient 25 de 325, de sorte qu’il faut écrire 300 en face du 24 de la première colonne ;

74— en troisième lieu, ils ôtent 24 de 300, de sorte qu’ils posent 276 en face de 23.

75Ils poursuivent toujours ainsi jusqu’à l’unité, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’ils soient parvenus au premier terme de la seconde colonne, et construisent toutes les autres colonnes de manière identique. Pour ce faire, — et ce pouvait être un avantage pour des esprits peu rompus à la formation de telles tables — on n’a besoin de considérer chaque fois que deux termes qui se trouvent en quelque sorte au même niveau, l’un en face de l’autre.

Figure 2 – Extrait de la « Table des varietez d’vn chant de 12 notes prises en 36 », Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145.

Figure 2 – Extrait de la « Table des varietez d’vn chant de 12 notes prises en 36 », Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145.

76N’exigeant que des additions, la méthode que suit pour son compte Mersenne est, comme il s’en flatte, de loin plus aisée ; mais encore avait-il fallu, pour en apercevoir le principe, décaler d’un rang une des lignes par rapport à l’autre. Lorsqu’on a à calculer un terme de la table, il faut additionner :

77— le terme qui se trouve au-dessus de lui dans la même colonne ;

78— le terme qui se trouve sur la même ligne que lui, dans la colonne précédente. Le schéma de la construction est le suivant :

79C’est celui-là même que Pascal définira ainsi :

  • 34 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 448.

« Le nombre de chaque cellule est egal à celuy de la cellule qui la precede dans son rang perpendiculaire, plus à celuy de la cellule qui la precede dans son rang parallele. Ainsi la cellule F, c’est à dire le nombre de la cellule F, egale la cellule C, plus la cellule E, et ainsi des autres34. »

80Mersenne connaissait aussi probablement (en ce qui touchait sa seule table), la propriété que Pascal énonce comme

  • 35 Id., p. 450.

« Conséquence troisiesme : En tout triangle Arithmétique chaque cellule egale la somme de toutes celles du rang perpendiculaire precedent, comprises depuis son rang parallele jusques au premier inclusivement35. »

81Mersenne nous dit, en effet, que le 25e terme de la 12e colonne peut être obtenu en additionnant les 25 termes de la 11e colonne : ceci ne concerne certes que deux colonnes déterminées, et on pourrait se demander si Mersenne connaissait la propriété sous sa forme générale. Il y a en tout cas un motif très vraisemblable à ce que, la connaissant, il l’ait précisément utilisée dans ce cas particulier : elle y abrégeait sensiblement les calculs ; au lieu d’avoir à calculer en détail tous les termes de la 12e colonne, on pouvait obtenir directement le dernier terme de celle-ci, en additionnant les termes de la 11e colonne.

82Mais nous avons trop vite fait de parler de Pascal et du triangle arithmétique. Sans doute Mersenne construit-il sa table comme Pascal son triangle, mais que cette analogie ne nous fasse pas oublier le but très précis de cette construction : trouver combien l’on peut faire de chants de 12 notes prises en 36. C’est de ce point de vue limité que Mersenne va maintenant se placer pour juger la méthode qu’il vient de définir.

  • 36 Cf. Mersenne 1636b, VII, p. 135 ; et Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 133.
  • 37 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

83Et comment, dans cette perspective, n’estimerait-il pas que son immense table accouche d’un bien mince résultat ? Comme lassé de toutes les additions qu’elle a exigées, et prenant le lecteur à témoin de la peine qu’il s’est donnée, Mersenne songe alors naturellement à une méthode qu’il avait déjà utilisée auparavant36, et qui est « bien plus vtile et plus aisee37 ».

84Pour connaître C(36, 12), point n’est besoin d’un aussi considérable détour ; il suffit de calculer :

  • 38 Telle est l’argumentation que Mersenne voudrait développer en faveur de la méthode directe. En fait (...)

85Cette méthode, que nous appellerons par commodité dans ce qui suit la méthode directe, nous donne de même rapidement : C(36, 1), C(36, 2), …, alors que la table ne nous donne laborieusement que C (36, 12). Le nombre des opérations à effectuer avec cette méthode se réduit encore considérablement si l’on utilise la propriété38 mentionnée dans la Proposition XI :

C(36, p) = C(36, 36 − p).

  • 39 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, C, 1. [ « Table méthodique très utile des arrangements par t (...)

86Par opposition à la première table, Mersenne va donc vanter les mérites d’une autre table, dénommée en français : « Table des Chants de 12 notes ou des jeux differens du Piquet pris en 36 notes ou chartes », et qui a en latin un titre plus pompeux : « Tabula Methodica Conternationum, Conquaternationum & c. utilissima39 ». En voici un fragment :

87La deuxième colonne donne C(36, 1), C(36, 2), ..., et en particulier C(36, 12) ; et ceci à la suite de calculs simples dont les autres colonnes indiquent la marche. Cette simplicité, dit Mersenne, fait que cette nouvelle table l’emporte de très loin sur la première.

88Si Mersenne n’en avait pas dit davantage, si nous ne connaissions de lui que le texte de l’Harmonie universelle, nous pourrions conclure qu’il n’avait rien saisi ni de la structure, ni de l’intérêt du triangle arithmétique ; car il a tout fait pour nous laisser croire que sa première table ne livrait qu’un nombre intéressant : le dernier, celui qui se trouve à l’angle inférieur droit.

3. Un autre mode de lecture : trouver des nombres uno intuitu

  • 40 « Tametsi prima Tabula solas ostendat Cantilenas ex duodecim notis in 36 sumptis compositas, nec ul (...)

89Mais l’esprit brouillon de Mersenne nous réserve une surprise. Un modeste corollaire — qu’on trouve seulement dans les Harmonicorum libri, mais non dans l’Harmonie universelle — vient donner un regain d’intérêt à cette table dont la cause semblait définitivement réglée. Sans doute est-il vrai, reprend Mersenne, que cette table répond à un seul cas, lorsqu’on se demande le nombre de chants que l’on peut composer avec 36 notes données ; elle nous fait connaître seulement C(36, 12). Mais si nous avons à composer des chants avec 25 notes données, ou avec un nombre de notes inférieur à 25, on trouve d’un seul coup d’œil dans la table le nombre de chants qui peuvent ainsi être composés40.

90Voilà qui répond à la question que nous posions plus haut. Mersenne a bien aperçu que les termes de sa table ne dépendaient nullement du fait qu’il avait posé n = 36 ; il dégage en une phrase un de ses usages principaux : pour n ≤ 25, on peut lire d’un seul coup d’œil C(n, i) (avec 1 ≤ i ≤ 25).

91Il sait bien de quoi il parle, comme nous le montrent les exemples suivants :

  • 41 « exempli gratia, si sumantur 11 notae in 25, aufero 10 ex 25, supersunt 15, ut reperiam in 15 line (...)

92— soit à calculer le nombre C(25, 11) : j’ôte 11 - 1 = 10 de 25, ce qui me donne 15 ; je trouverai le nombre cherché à l’intersection de la 15e ligne et de la 11e colonne41 ;

93— soit à chercher le nombre C(25, 12) : j’ôte 12 - 1 = 11 de 25, ce qui me donne 14 ; je trouverai le nombre cherché à l’intersection de la 14e ligne et de la 12e colonne.

94Mersenne sait également se servir de la propriété :

C(n, p) = C(n, n − p)

95pour utiliser au mieux le nombre limité de termes que comporte sa table. Si on cherchait dans celle-ci le nombre C(25, 13), à l’aide de la seule règle qui vient d’être illustrée dans les deux exemples précédents, on ne l’y trouverait pas : il nous faudrait consulter une 13e colonne que la table ne comporte pas. Mais comme nous savons que :

C(25, 13) = C(25, 12),

  • 42 « Si vero tredecim notae sumantur in 25, non sunt quaerendae 13, cum sint tantum duodecim ordines, (...)

96il nous suffira d’appliquer la règle précédente à la recherche de C(25, 12) pour avoir C (25, 13). De la même façon, pour avoir C(25, 14), C(25, 15), nous chercherons respectivement dans la table : C(25, 11) et C(25, 10)42. Mersenne note ensuite en songeant sans doute à une propriété qu’il avait relevée par ailleurs : si on prend n = 24, le nombre le plus grand de Combinaisons qu’on peut former avec 24 notes, sera C(24, 12) qu’on trouvera à l’intersection de la 13e ligne et de la 12e colonne.

97Dans une dernière remarque, Mersenne nous apprend à parcourir la table d’un regard continu : lorsque nous voulons connaître toutes les Combinaisons que l’on peut former avec 25 notes, nous prenons 25 dans la première colonne ; puis nous passons à la colonne suivante, en montant d’une ligne : nous prenons 300 ; puis nous passons à la colonne suivante, en montant à nouveau d’une ligne : nous prenons 2 300 ; et ainsi de suite, jusqu’à la dernière colonne. Nous pourrons donc, comme l’indique Mersenne prendre pour base de lecture la 1ère colonne où les nombres se suivent selon l’ordre naturel : nous y prenons tout d’abord 25 ; puis en face de 24, nous lisons 300 dans la 2e colonne ; puis en face de 23, nous lisons 2300 dans la 3e colonne, et ainsi de suite jusqu’à 14 en face duquel, nous lisons 5 200 300 dans la dernière colonne. (Pour connaître C(25, 13), C(25, 14), ..., C(25, 24), on se reportera à C(25, 12), C (25, 11), ..., C(25, 1) dans la table).

  • 43 « quod lineolis peculiaribus demonstratur, quae superimponuntur numeris, quibus varietates Cantuum (...)

98Mersenne a surligné43 les nombres qu’on rencontre ainsi successivement dans la Table, et il est curieux qu’il les ait surlignés également dans la table de l’Harmonie universelle, ouvrage où pourtant il n’est rien dit de ces nombres en particulier.

  • 44 Simili ratione numerus Cantilenarum reperietur, quae fiunt ex notis in 24 aut 23, aut 22 assumptis, (...)

99Mersenne précise en terminant qu’on peut procéder de même pour n = 24, n = 23, n = 22. En surlignant les nombres correspondants, nous obtiendrons dans chaque cas, une rangée de nombres formant dans la table comme une ligne transversale44.

  • 45 De toute manière, à l’en croire lui-même, Mersenne connaissait d’autres usages de la table dont il (...)

100Tout porte à penser que Mersenne considérait qu’il en était de même pour n = 21,..., 1. En nous tenant au plus près du texte, nous pouvons donc assurer qu’il connaissait parfaitement le sens des termes qui apparaissaient dans sa table, et qu’il savait celle-ci bien plus riche qu’il ne l’avait laissé paraître à première vue45. On peut y lire C(n, p) uno intuitu [ « d’un coup d’œil »] pour :

n ≤ 25, 1 ≤ p ≤ 25.

101— si p ≤ 12 : il faut prendre le nombre qui se trouve à l’intersection de la pe colonne et de la (n − p + 1)e ligne ;

102— si p > 12 : on utilisera la propriété :

C(n, p) = C(n, n − p)

103pour se ramener au cas précédent.

4. La table comme procédé de calcul

(a) Attitude critique à l’égard de la table

104Avons-nous dès lors le droit d’aller plus loin, et d’avancer que Mersenne savait fort bien qu’il lui était possible de prolonger sa table en y ajoutant aussi bien des lignes que des colonnes ? Savait-il que sa table n’était qu’un fragment d’une table de grandeur indéterminée où se logent les nombres C(n, p) pour n et p quelconque (p ≤ n) ? Pouvons-nous affirmer que sa table n’est autre, à des différences de forme près, que le triangle arithmétique de Pascal ?

105On hésite à se prononcer très fermement ; on sent même que ces questions, à première vue équivalentes, exigeraient des réponses différemment nuancées. C’est qu’il est des degrés distincts dans la maîtrise d’un savoir, et en toute rigueur, on ne saurait dire de Mersenne, comme de tout autre auteur, qu’il « connaît » d’une propriété autre chose que ce qu’il en formule explicitement. Aussi devrions-nous nous en tenir aux analyses précédentes qui se sont éloignées le moins possible de la lettre et du détail du texte : Mersenne ne « connaîtrait » de sa table que les termes qui y sont contenus ; sa table serait en quelque sorte un rectangle fermé que ne viendraient pas border virtuellement des lignes et des colonnes supplémentaires. Il n’est pas invraisemblable que Mersenne ait pu avoir une perspective aussi limitée : après s’être posé une question à propos de C (36, 12), Mersenne se serait rendu compte que les nombres de sa table lui donnaient bien d’autres renseignements, mais il n’aurait point songé du tout à s’interroger sur ce qu’il adviendrait si on continuait à écrire des nombres au-delà de 25 dans la première colonne, et à construire les nombres qui leur correspondent dans les autres colonnes.

106Mais réfléchissons un instant, et revenons sur ce qui a servi de prétexte à la constitution de la table : pour savoir qu’il fallait écrire 25 lignes et 12 colonnes afin d’obtenir C (36, 12), il fallait bien que Mersenne sût d’avance les règles qu’il ne nous livre qu’après coup ; il lui fallait bien prévoir que le nombre cherché se trouverait à l’intersection de la 25e ligne (36 - (12 - 1)) et de la 12e colonne. Autrement dit, rien ne nous oblige à confondre l’ordre de l’exposé avec celui de la progression des idées. Il nous semble raisonnable de penser que Mersenne aurait su construire tout aussi bien un autre nombre que C(36, 12) : il possédait effectivement, selon nous, des règles générales de construction et d’interprétation.

107Mais pourquoi alors tout cet embarras ? Ce serait pouvons-nous supposer, parce que Mersenne a pris à l’égard de ce procédé dont lui-même nous apprend qu’il avait été utilisé avant lui, une attitude critique. Il aurait voulu l’illustrer par un exemple, et calculer de cette façon C(36, 12) ; en choisissant n assez grand, il montrait ensuite aisément qu’il était incomparablement plus rapide de faire les opérations suivantes :

  • 46 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 469.
  • 47 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 476.

108plutôt que de se jeter dans une multitude d’additions, et de construire tout spécialement une grande table pour obtenir le même résultat. En un mot, pour ce qui touche ce que Pascal appellera l’Usage du triangle arithmétique pour les combinaisons46, Mersenne savait bien comment obtenir une table permettant de répondre à la question : « Estans proposez deux nombres, trouver combien de fois l’un se combine dans l’autre par le Triangle Arithmétique47 », mais il lui aurait paru que, pour résoudre un problème particulier, cette voie était plus ardue que la formule directe donnant C(n, p). Appréciation qui a sa part de vérité, et qui se justifie d’autant mieux, au point de vue pratique où se place Mersenne, que n est plus grand.

  • 48 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 588. Cf. ci-dessus, p. 54.

109Du point de vue historique, convient-il par ailleurs de se laisser obnubiler par l’éblouissante architecture théorique construite par Pascal sur le seul triangle arithmétique ? Ce serait vouloir cantonner à toute force Mersenne dans le rôle étroit de précurseur de Pascal que de s’en tenir à un simple constat de carence : il serait injuste de lui reprocher sommairement d’avoir eu le triangle arithmétique en quelque sorte sous la main, et d’avoir laissé passer cette occasion, faute d’esprit mathématique. En effet, ce dont on fait gloire à bon droit à Cardan, n’est-ce pas d’avoir découvert la formule directe donnant C(n, p), tout autant et même plus que d’avoir analysé les propriétés du triangle arithmétique ? D’ailleurs, pourquoi chercher ailleurs que chez Pascal lui-même l’éloge de cette formule directe ? Rappelons l’aveu de Pascal, à la fin de l’opuscule Combinationes : il ignorait cette formule lorsqu’elle lui fut communiquée par Aimé de Gaignières48 ; ce dernier lui ayant proposé d’en chercher la démonstration, Pascal fut « effrayé par la difficulté, et pensa qu’il convenait d’en laisser la démonstration à son auteur » ! C’est seulement ensuite, après avoir analysé la solution donnée au même problème par son triangle arithmétique, qu’il constata que cette solution coïncidait avec celle de son ami.

110On peut donc trouver à Mersenne les meilleurs motifs pour avoir préféré une voie « bien plus utile et plus aisée » à un cheminement qui n’atteignait son but qu’après avoir traversé une multitude d’étapes intermédiaires.

(b) Mersenne ne l’a pas considérée comme un objet mathématique

111Mais, dira-t-on, une fois la table construite, elle présente bien des commodités par rapport à la formule directe : l’avantage lui revint alors, et de la commodité, et de la rapidité. Avantage que Mersenne est loin d’avoir négligé puisqu’il le signale avec toute la précision souhaitable ; on n’en éprouve pas moins quelque déception devant le peu de parti qu’il tire de cette remarque. Sa réflexion tourne court au moment où il aurait pu s’attacher à analyser pour elle-même l’organisation interne de sa table. Il n’a pas tenté de relier à cette organisation des « usages » somme toute fort pratiques, mais dont on ne voit pas clairement ce qui les autorise. Il lui a manqué la patience de recommencer pour les cas les plus simples ce qu’il avait fait pour n = 25 ; il a couru au plus pressé, c’est-à-dire au plus impressionnant : aux nombres les plus élevés de sa table, et il lui a échappé que celle-ci pouvait à son tour être embrassée uno intuitu dans son ossature mathématique. Bref, au sens propre du mot, il n’a pas vu dans sa table le triangle arithmétique.

112En définitive, il ne conviendrait pas, selon nous, de chicaner à Mersenne la connaissance des propriétés les plus importantes de sa table, ni de refuser qu’il ait eu conscience de la portée générale de celle-ci : mais il reste indifférent devant l’ordre caché qui la sous-tend, ordre que Pascal devait déployer, lui, en une gerbe de définitions et de conséquences. Là où un regard de « géomètre » sut percevoir un objet mathématique, il n’y avait eu pour Mersenne qu’un procédé de calcul, au demeurant assez modeste.

113On explique toujours mal une myopie intellectuelle. Qu’il nous soit permis toutefois de réfléchir un instant sur quelques circonstances qui ont pu s’opposer à ce que Mersenne voie les « cellules » du triangle arithmétique se dessiner en quelque sorte d’elles-mêmes sous ses yeux.

114En premier lieu, un détail tout matériel : mais le respect des bons détails ne fait-il pas les bons diagrammes ? Comme dans le bas de la table, les nombres deviennent de plus en plus élevés, au fur et à mesure qu’on se déplace de la gauche vers la droite, Mersenne a agrandi progressivement la largeur de ses colonnes.

  • 49 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 446.

115Du coup, si nous cherchons dans la table, ce que Pascal appelait les « bases des Triangles49 » du triangle arithmétique, nous constatons qu’elles n’ont pas la rectitude qui laisserait apparaître clairement leur rôle : elles s’infléchissent en lignes courbes, et c’est le cas en particulier des nombres que Mersenne a soulignés pour indiquer C(25, 1), C(25, 2), ..., C(25, 12).

Les « bases des triangles » sont indiquées par les traits obliques.

Les « bases des triangles » sont indiquées par les traits obliques.

Figure 3 – Les « bases des triangles » dans la table de Mersenne.

Figure 3 – Les « bases des triangles » dans la table de Mersenne.

116Du seul fait de cette disposition matérielle, des propriétés fondamentales de symétrie se trouvaient masquées à la vue. Il ne sautait pas au regard que des « cellules réciproques » venaient se disposer autour de la diagonale qui part de l’angle supérieur gauche de la table ; « cellules réciproques » dont la fonction est si importante que Pascal la mettra en évidence dès le début de son Traité du triangle arithmétique :

  • 50 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 447.

« Les cellules d’une mesme base egalement distantes de ses extremitez sont dites reciproques, comme celles-cy, E, R, et B, Θ, parce que l’exposant du rang parallele de l’une est le mesme que l’exposant du rang perpendiculaire de l’autre50. »

117Une autre raison, théorique celle-là, devait porter Mersenne à ne pas accorder beaucoup d’attention à ces « cellules réciproques ». Non pas faute de connaître la propriété :

C(n, p) = C(n, n − p)

118qui en fonde tout l’intérêt. Tout au contraire, c’est grâce à elle qu’il calcule C(25, 13), C (25, 14), ... en se ramenant à la lecture de C(25, 12), C(25, 11), ... qui se trouvent effectivement inscrits dans la table. Aussi Mersenne pouvait-il, et même devait-il, se dispenser, par raison d’économie, d’allonger sa table pour y écrire : C(25, 13), C(25, 14), ..., C(25, 25).

C. Frenicle. Liens entre C (n, p) et K (n, p)

119Que trouvons-nous, maintenant, sur le même sujet, chez Frenicle ? Un texte très bref, mais beaucoup plus riche, dans sa brièveté que tous ceux que nous avons examinés jusqu’à présent.

120Frenicle connaissait et venait d’exposer tout juste avant ce corollaire second que nous allons citer, la formule de passage :

K(n, p) = C(n + p − 1, p).

121Il en résulte une conséquence dont on ne saurait trop marquer l’intérêt : Frenicle va nous parler plus bas de Combinaisons avec répétitions, mais tout ce qu’il en dira pourra s’appliquer, grâce à la formule précédente aux Combinaisons simples. Bien qu’il ne le souligne pas expressément, Frenicle savait donc, en fait, que l’étude des deux problèmes que nous avons vu analyser plus haut par Cardan et Tartaglia, pouvait être conduite de manière analogue.

122Autre découverte non moins remarquable : Frenicle va établir un lien entre la théorie des nombres figurés et celle des Combinaisons. Sans doute parce qu’on ignorait la date de rédaction de l’Abrégé, on n’a prêté aucune attention à sa tentative : comment ne l’aurait-on pas cru postérieure à Pascal, impressionné qu’on pouvait être par le ton que prend ce dernier pour dire qu’il a été obligé de baptiser lui-même certains nombres « de très grand usage », mais négligés par ses prédécesseurs ?

1. Les « puissances triangulaires »

(a) Les « ordres numériques » chez Pascal ; définition par Frenicle des « puissances triangulaires »

123Voici comment s’ouvre en effet, dans le traité de Pascal, l’Usage du triangle arithmétique pour les ordres numériques :

« On a consideré dans l’Arithmetique les nombres des differentes progressions ; on a aussi consideré ceux des differentes puissances et des differens degrez ; mais on n’a pas, ce me semble, assez examiné ceux dont je parle, quoyqu’ils soient d’un tres-grand usage : et mesme ils n’ont pas de nom ; ainsi j’ay esté obligé de leur en donner ; Et parceque ceux de progression, de degré et de puissance sont déja employez, je me sers de celuy d’ordres.
J’appelle donc Nombres du premier ordre les simples unitez :
1, 1, 1, 1, 1, 1, etc.
J’appelle Nombres du second ordre les naturels qui se forment par l’addition des unitez :
1, 2, 3, 4, 5, etc.
J’appelle Nombres du troisiesme ordre ceux qui se forment par l’addition des naturels, qu’on appelle Triangulaires :
1, 3, 6, 10, etc.
C’est-à-dire, que le second des triangulaires, sçavoir 3, egale la somme des deux premiers naturels, qui sont 1, 2 ; ainsi le troisiesme triangulaire 6 egale la somme des trois premiers naturels, 1, 2, 3, etc.
J’appelle Nombres du quatriesme ordre ceux qui se forment par l’addition des triangulaires, qu’on appelle Pyramidaux :
1, 4, 10, 20, etc.
J’appelle Nombres du cinquiesme ordre ceux qui se forment par l’addition des precedens auxquels on n’a pas donné de nom expres, et qu’on pourrait appeler triangulo-triangulaires :
1, 5, 15, 35, etc.
J’appelle Nombres du sixieme ordre ceux qui se forment par l’addition des precedens : 1, 6, 21, 56, 126, 252, etc.
Et ainsi à l’infiny 1, 7, 28, 84, etc.
1, 8, 36, 120, etc.
Or, si on fait une table de tous les ordres des nombres, où l’on marque, à costé les exposans des ordres, et au-dessus les racines, en cette sorte :

  • 51 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 466 – 467.

Racines
on trouvera cette table pareille au Triangle Arithmétique51. »

  • 52 Ce projet n’avait en soi rien de très original (cf. Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 438 – 441). Ce (...)

124Si nous avons énuméré tout au long cette suite de définitions, c’est que rien ne pouvait mieux nous faire comprendre le passage suivant de Frenicle ; ce dernier s’était proposé, avant Pascal, de donner des noms à ces mêmes suites de nombres52, mais il le fit avec moins de bonheur :

  • 53 Frenicle 1729, p. 105 – 106.

« On nomme puissance triangulaire celle qui se fait par l’addition des puissances qui ont 1 moins d’exposant depuis la premiere, qui est 1, jusques à celle qui a pareille racine : ainsi la sixième puissance triangulaire de 5 est la somme des cinq, premieres cinquiémes puissances, & la cinquiéme puissance de 5 est la somme des cinq premieres quatriémes puissances, & la quatriéme puissance de 5 est la somme des cinq premiers tetraédres, ou troisiémes puissances, & le tétraédre de 5 est la somme des cinq premiers triangles, comme le cinquième triangle, ou le triangle de 5 est la somme des cinq premiers nombres53. »

125Les « puissances triangulaires » de Frenicle ne sont rien d’autre que les « ordres numériques » de Pascal. Les nombres que Pascal appelle nombres du ne ordre sont ceux que Frenicle désigne comme les « puissances triangulaires » dont « l’exposant » est (n − 1), ou plus brièvement comme les (n − 1)e puissances. Exprimons plus clairement les exemples que nous donne Frenicle.

126Soit la « racine » 5 :

127— son « triangle » (autrement dit sa puissance d’exposant 2, ou deuxième puissance) est la somme des 5 premiers nombres naturels :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

128— son « tétraèdre » (autrement dit sa puissance d’exposant 3, ou troisième puissance) est la somme des 5 premiers « triangles » :

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35.

129— sa quatrième puissance, ou puissance d’exposant 4, est la somme des 5 premiers « tétraèdres » ou quatrièmes puissances :

1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70.

130— sa cinquième puissance, ou puissance d’exposant 5, est la somme des 5 premières quatrièmes puissances :

1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126.

131— sa sixième puissance, ou puissance d’exposant 6, est la somme des 5 premières cinquièmes puissances :

1 + 6 + 21 + 56 + 126 = 210.

132On voit maintenant ce que signifie la définition générale. « On nomme puissance triangulaire celle qui se fait par l’addition des puissances qui ont 1 moins d’exposant depuis la premiere, qui est 1, jusques à celle qui a pareille racine » : Étant donnée une racine r, sa puissance triangulaire d’exposant n est égale à la somme des r premières puissances d’exposant (n − 1).

133Par analogie avec le tableau donné par Pascal, nous pourrions donc construire la table suivante :

134On ne trouve pas de tel tableau dans 1e texte imprimé de l’Abrégé des combinaisons. Par contre, dans une marge du manuscrit Frenicle ms-b (fol. 27 v°) on peut voir, écrits très vraisemblablement de la main de Frenicle, les nombres suivants disposés comme suit :

(b) Texte de Fermat

  • 54 Rappelons par ailleurs que la date de rédaction du texte manuscrit de Frenicle sur les « puissances (...)

135Si la clarté de Pascal nous a aidé à mettre mieux en relief les vues de Frenicle, il est des textes de Fermat que nous nous devons de citer ici à cause de leur date, bien que l’analyse combinatoire n’y soit pas directement mise en jeu, et que nous ignorons, pour notre part, s’ils furent connus de Frenicle54.

  • 55 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 510.

« Les manieres de tourner une mesme chose sont infinies : en voicy un illustre exemple, et bien glorieux pour moi. Cette mesme proposition que je viens de rouler en plusieurs sortes, est tombée dans la pensée de nostre celebre conseiller de Toulouze, Monsieur de Fermat ; et ce qui est admirable, sans qu’il m’en eust donné la moindre lumiere, ny moy à luy, il écrivoit dans sa Province ce que j’inventois55. »

136Cette page de Pascal devenue célèbre suit l’énoncé de la Proposition XI du Traité des ordres numériques :

  • 56 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 509 – 510.

« Un nombre, de quelque ordre que ce soit, estant multiplié par la racine precedente et divisé par l’exposant de son ordre, donne pour quotient le nombre de l’ordre suivant qui procede de cette racine56. »

137La manière dont Fermat « a pris cette mesme proposition » est, nous apprend Pascal, la suivante :

  • 57 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 510.

« En la progression naturelle qui commence par l’unité, un nombre quelconque estant mené dans le prochainement plus grand, produit le double de son triangle.
Le mesme nombre, estant mené dans le triangle du prochainement plus grand, produit le triple de sa pyramide.
Le mesme nombre mené dans la pyramide du prochainement plus grand, produit le quadruple de son triangulo-triangulaire ; et ainsi à l’infiny, par une methode generale et uniforme57. »

138Or Fermat connaissait ces propriétés bien avant 1854 ; nous lisons en effet dans une lettre de Fermat à Mersenne, qui est probablement du début de juin 1638 :

  • 58 Fermat 1891 – 1912, vol. II, p. 70. [Voici la traduction donnée par Paul Tannery dans le volume III (...)

« Interim addimus propositionem pulcherrimam a nobis inventam, quae nobis lucem de-dit ad hujusmodi propositiones inveniendas : In progressione naturali ultimus numerus in proxime majorem facit duplum trianguli collateralis, in triangulum numeri proxime majoris facit triplum pyramidis collateralis, in pyramidem numeri proxime majoris facit quadruplum triangulo-trianguli collateralis, et ea in infinitum uniformi methodo58. »

  • 59 Fermat 1891 – 1912, vol. II, p. 84 – 85 ; Mersenne 1933-1988, lettre 573, 4 novembre 1636, vol. VI, (...)

139Fermat fit part également de cette « très belle proposition » à Roberval, dans une lettre du 4 novembre 163659.

(c) Sur le choix de l’expression « puissance »

140D’où vient que Frenicle ait choisi l’expression de « puissance triangulaire » ? Il nous faut dire maintenant qu’il l’introduit à propos de la résolution d’un problème déterminé d’analyse combinatoire, et qu’il semble à première vue étendre le sens ordinaire du mot « puissance » en vertu uniquement d’une analogie qui lui était suggérée par le problème qu’il avait à ce moment-là dans l’esprit :

« Lorsqu’on prend les douze cartes dans douze jeux de cartes, afin qu’elles puissent être toutes semblables, on les peut considerer avec l’ordre, ou sans l’ordre : si on y met l’ordre, il se faut servir des puissances quarrées ; si on n’y met point l’ordre, on se servira des puissances triangulaires.
On nomme ici puissance quarrée celle qui se fait par multiplication de la racine par elle-même, puis du produit par la même, & c. comme sont les puissances ordinaires. On nomme puissance triangulaire celle qui se fait par l’addition des puissances qui ont 1 moins d’exposant depuis la premiere qui est 1, jusques à celle qui a pareille racine. »

141Les deux questions à propos desquelles Frenicle donne ces deux définitions sont les suivantes :

142— pour connaître le nombre des Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p, on calcule

143C(n, p) = np,

144on fait donc appel aux « puissances ordinaires ». Puisque Frenicle va utiliser ensuite le mot « puissance » en un autre sens, il désignera « ici » les puissances ordinaires comme des « puissances quarrées ». Ainsi np sera la « puissance quarrée » de racine n et d’exposant p ;

145— pour connaître le nombre des Combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p, nous consultons le tableau que nous avons construit ci-dessus, et nous prenons la « puissance triangulaire » de racine n et d’exposant p. La valeur de K (n, p) est ainsi égale à la puissance triangulaire de racine n et d’exposant p.

  • 60 Frenicle 1729, p. 106.

« En chaque sorte on prend pour racine la varieté des choses, et pour exposant leur multitude : ainsi pour avoir les douze cartes lorsqu’elles peuvent être semblables avec l’ordre, on prend la douzième puissance de 36 [3612], parce qu’il y a trente-six sortes de cartes ; mais si on prend les mêmes douze cartes sans y joindre l’ordre, il faudra prendre la douzième puissance triangulaire de 36 [K (36, 12)]60. »

  • 61 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, E, 1, b.

146On sait toutes les raisons qu’avait Frenicle de présenter côte à côte les règles qui donnent C(n, p) et K(n, p)61. On pourrait donc penser que c’est pour marquer fortement un parallélisme assez artificiel que Frenicle a voulu employer le même mot « puissance » pour désigner les nombres auxquels conduisent respectivement chacune des deux règles.

147Mais regardons y de plus près, et essayons de restaurer autour du vocabulaire de Frenicle ce qui était très certainement son véritable contexte : la théorie des nombres figurés. Il apparaît alors que nous avons les lois de décomposition suivantes :

148Puissance carrée de la racine n d’exposant 2

149= n × (puissance carrée de la racine n d’exposant 1)

150= somme de n puissances carrées de la racine n d’exposant 1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

151Puissance triangulaire de la racine n d’exposant 2

152= somme des puissances triangulaires d’exposant 1 des racines : 1, 2,…, n − 1, n

X

X

X

X

X

X

153Lorsque nous prenons 2 comme exposant, l’expression « puissance carrée » a son sens habituel : elle désigne la multiplication de la racine par elle-même ; et l’adjectif « triangulaire » renvoie directement à l’expression traditionnelle : « nombre triangulaire » ; par définition, le nombre triangulaire n est égal à la somme :

1 + 2 +… + n.

154Frenicle a pris ainsi pour distinguer ses deux types de puissances, des adjectifs utilisés couramment dans le cas où l’exposant est 2 : « carré » et « triangulaire ».

155C’est que, pour cette valeur de l’exposant, nous voyons figurée sous nos yeux, pour chacune des deux puissances, une décomposition de la racine n en une somme de n termes. Or une telle décomposition a aussi bien lieu pour une valeur quelconque de l’exposant :

156Puissance carrée de la racine n d’exposant p

157= somme de n puissances carrées de la racine n d’exposant (p − 1).

158Puissance triangulaire de la racine n d’exposant p

159= somme des puissances triangulaires d’exposant (p − 1) des racines : 1, 2,…, (n − 1).

  • 62 Remarquons par ailleurs que Pascal, au début de l’Usage du triangle arithmétique pour les ordres nu (...)

160En définitive, si l’on veut bien considérer qu’on désigne par « puissance » une virtualité incluse dans un sujet, et susceptible d’engendrer autre chose, on admettra que Frenicle n’a pas vraiment détourné ce mot de son vrai sens62. « Puissance carrée » et « puissance triangulaire » se sont présentées à lui très naturellement comme deux types d’engendrement de nombres dont le rapprochement n’avait rien d’artificiel.

2. Quelques propriétés importantes

161Nous venons de voir que :

162le nombre des Combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p est égal à la puissance triangulaire de racine n et d’exposant p.

163On peut tirer de cette égalité deux conséquences.

164Frenicle indique la première explicitement ; il avait exposé au préalable la méthode permettant de calculer directement K (n, p) à partir de n et de p :

165Cette méthode fournit immédiatement un moyen de calculer la puissance de racine n et d’exposant p :

  • 63 Frenicle 1729, p. 106. Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, E, 1 a.

« On pourra tirer de là une régle bien facile pour avoir les puissances triangulaires. On demande, par exemple, la sixiéme puissance triangulaire de 5, la racine est 5, & l’exposant est 6, on prendra six nombres de suite dont la racine 5 sera le moindre, sçavoir 5, 6, 7, 8, 9, 10 ; il les faut multiplier l’un par l’autre, & diviser le produit par l’ordre de la multitude des nombres, qui est représentée par l’exposant 6, & cet ordre est 720, ou bien, pour éviter la division, on ôtera de ces six nombres, les six nombres premiers, 1, 2, 3, 4, 5, 6, comme on a vû ci-devant, & il restera 7, 3, & 10, dont le produit 210 est la puissance requise, sçavoir la sixiéme puissance triangulaire de 563. »

166La puissance triangulaire de racine r et d’exposant p est donc égale à :

167Quant à la seconde conséquence que nous annoncions plus haut, Frenicle ne l’a pas formulée, mais elle dérive immédiatement de la définition qu’il donne de la puissance triangulaire ; la puissance triangulaire de racine n et d’exposant p, est égale, rappelons-le, à la somme des puissances triangulaires d’exposant (p - 1) des racines 1, 2,..., n ; il en résulte la propriété suivante des Combinaisons avec répétitions :

K(n, p) = K(1, p − 1) + K(2, p − 1) + ⋯ + K(n, p − 1).

168Nous avons également le droit d’expliciter un autre fait que Frenicle ne met pas nettement en lumière, mais qui ressort directement du rapport qu’il établit lui-même entre les deux espèces de « combinaisons de changement » : ainsi que nous l’avons dit en commençant, ce que dit Frenicle des Combinaisons avec répétitions en termes de puissances triangulaires, pourra s’appliquer aux Combinaisons simples, en vertu de la formule de passage :

K(n, p) = C(n + p − 1, p).

169En particulier, le tableau des puissances triangulaires peut permettre de connaître par simple lecture tout aussi bien C(n, p) que K(n, p). On trouvera C(n, p) à l’intersection de la (n − 1)e colonne et de la pe ligne.

170Il reste finalement que, quelles que soient les conséquences virtuellement contenues dans le texte de Frenicle, ce dernier n’a pas attaché grand intérêt, au moins dans l’Abrégé à la Table des puissances triangulaires prise en tant que table. Cette indifférence a sans doute une autre source que le désintérêt de Mersenne à l’égard de sa grande table. Frenicle n’éprouve pas le besoin de faire valoir par une table numérique des définitions qu’il sait exprimer verbalement avec concision. Mersenne, disions-nous, n’a pas vu le triangle arithmétique ; Frenicle, lui, n’a pas jugé bon de le montrer.

3. Une erreur de lecture de Mersenne

  • 64 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 132.
  • 65 Frenicle, ms. a, p. 15. Cette référence se retrouve, identique, dans le ms. b, fol. 27 r°. Dans l’é (...)

171Mersenne avait pris connaissance dans le manuscrit autographe de Frenicle de la définition des « puissances triangulaires » : il l’a recopiée dans son exemplaire de main de l’Harmonie universelle64. Ce passage avait dû d’autant plus retenir son attention qu’il avait lu en marge du deuxième corollaire de Frenicle : « On voit une table des d[ites] puissances triangulaires jusques à la 12e puissance de 25. in libro harmonicon page 13665. » (Il s’agit évidemment de la grande table des Harmonicorum libri que nous avons analysée plus haut). Lorsque Mersenne a recopié le corollaire de Frenicle, il a inséré et complété cette référence dans sa copie : « Voyez la table des dites puissances triangulaires iusque à la 12 puissance de 25 page 136 de l’harmonie en latin, en la 12 perpendiculaire » ; et plus loin, à propos du calcul des puissances triangulaires, Mersenne a précisé que la table susdite se trouvait également dans l’Harmonie universelle : « ... comme on void à la table citee de l’harmonie.

172Qui se void aussi dans ce Livre [Livre second des chants] page 145 ».

173Mersenne s’est même reporté à sa propre table pour préciser la valeur numérique exacte d’une « puissance triangulaire » à laquelle Frenicle s’était contenté de faire allusion :

  • 66 Note manuscrite, Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 132.

« Donc pour avoir les 12 cartes sans l’ordre, il faut prendre la 12eme puissance triangulaire de 36, qui est à la fin de la susdite table, a sçavoir 1 256 et coet.66. »

174Ce disant, Mersenne commettait une erreur ; car, ainsi qu’il venait de le noter lui-même, dans une phrase que nous avons citée plus haut : le dernier nombre de cette table est la 12e puissance de 25, et non la 12e puissance de 36.

175D’où vient que Mersenne se contredise à ce point dans deux phrases qui se suivent ? La raison nous paraît claire : au moins lorsqu’il a rédigé cette note, Mersenne a cru que le développement de Frenicle sur les puissances triangulaires portait directement sur les Combinaisons ; il n’a pas vu clairement le lien plus étroit de ces puissances avec les Combinaisons avec répétition. Autrement dit, Mersenne, en notant ce passage de Frenicle, n’avait en tête que le seul usage de sa table dont il avait lui-même parlé : le calcul des Combinaisons ; il a donc cru que la puissance triangulaire de racine n et d’exposant p était égale à :

C(n, p)

176alors qu’elle est égale à :

K (n, p).

  • 67 Frenicle 1729, p. 106. Cf. ci-dessus, C, 1 c, la citation de la phrase complète.

177Mersenne a une excuse : un énoncé un peu trop elliptique de Frenicle a pu le pousser à cette confusion. Frenicle avait écrit : « [...]mais si on prend les mêmes douze cartes sans y joindre l’ordre, il faudra prendre la douziéme puissance triangulaire de 3667 » ; lisant rapidement cette phrase, Mersenne pouvait bien croire qu’il s’agissait du cas où ces douze cartes « sont toutes differentes », et non de celui où elles « peuvent être toutes semblables ».

178Mersenne s’est-il rendu compte de son erreur ? Nous n’en savons rien, et nous ignorons également si, apercevant la portée du nouvel « usage » révélé par Frenicle, il a conçu plus d’estime pour sa propre table.

Conclusion

179Il ne fait nul doute, après ce que nous en avons dit, que le triangle arithmétique, et son usage « pour les combinaisons », ait été connu de certains dans le milieu auquel Pascal dut sa formation mathématique, et ceci bien avant qu’il ne rédige son propre Traité. Cette antériorité chronologique méritait d’être soulignée, puisque jusqu’ici on n’en a tenu aucun compte.

  • 68 Cf. dessus, p. 54.

180Toutefois on ne saurait s’autoriser de cette constatation pour ouvrir une querelle de priorité : l’aveu d’ignorance dont nous avons fait état plus haut68 nous interdit de penser que Pascal ait été en contact direct avec les écrits de Mersenne et de Frenicle relatifs à ce sujet, au moment où il composa l’opuscule sur les Combinationes. S’il est un enseignement qu’on peut éprouver sur cet exemple, c’est, en tout cas, qu’un objet ou un théorème mathématique peuvent être « présents » de bien des manières dans des œuvres différentes. Ainsi, pour être « générale » à sa façon, la règle de Tartaglia formulée exclusivement pour des jets de dés, ne peut être considérée comme ayant le même degré de généralité que les théorèmes de Cardan qui portent sur des objets quelconques. À leur tour, les découvertes de ces deux auteurs qui n’ont traité qu’occasionnellement de ce type de problèmes, ne peuvent être mises sur le même plan que les recherches de Mersenne et de Frenicle qui embrassaient un champ beaucoup plus vaste de l’analyse combinatoire. C’est précisément parce que la table construite par Mersenne venait s’insérer dans un tel champ qu’elle n’a représenté à ses yeux qu’un procédé de calcul subalterne. Cette table est et n’est pas à la fois le triangle arithmétique de Pascal : elle l’est dans la mesure où Mersenne en connaissait les propriétés fondamentales ; elle ne l’est pas, du fait que les mêmes propriétés ont été développées et surtout synthétisées par Pascal selon une visée mathématique entièrement différente.

181Enfin, Frenicle doit à la hauteur de vue qui lui a permis de bien mettre en place les notions fondamentales de l’analyse combinatoire d’avoir aperçu un « usage » du triangle arithmétique, dont Pascal n’a dit mot : on peut y lire tout aussi bien K (n, p) que C(n, p).

Notes

1 Cf. par exemple Smith 1958, vol. II, p. 508 – 511.

2 Jérôme Cardan, Opus novum de proportionibus numerorum, ponderum, sonorum, aliarumque rerum mensurandum, Basel : H. Petri, 1570. Nous citons d’après l’édition des Opera omnia de Cardan publiés à Lyon en 1663, Cardan 1663, vol. IV, p. 556 – 558.

3 Nous développons ainsi le raisonnement que Cardan n’exprime qu’imparfaitement : « nam, cum erunt octo, duo qui relinquuntur, variari 45 modis, ergo & illi octo ad unguem totidem modis » [ « en effet, comme ils seront huit, les deux qui sont laissés variant de 45 manières, ces huit exactement donc d’autant de manières »] (id., p. 557).

4 Ibid. [ « Et ainsi, en suivant l’ordre, tu enlèves un, de sorte que s’il y a onze hommes tu poses dix ; s’il y en a dix, tu poses neuf, et tu assembles la série naturelle des nombres, de sorte qu’en-dessous tu les voies toujours avec un terme en moins. »]

5 Ibid. [ « & ceci pour savoir qu’on a opéré ainsi correctement. »]

6 « Secundo animadvertes sequentes ordines fieri ex recta linea priorum, velut sextus ordo est 7.28.84.210.462. ita incipiendo in primo ordine à 7. & tendendo ad dextram, invenies illos eosdem numeros ad vnguem. » (Ibid.) [ « deuxièmement tu remarques que les ordres successifs sont faits à partir de la ligne droite des précédents, par exemple le sixième ordre est 7. 28. 84.210.462 ainsi en commençant dans le premier ordre à 7 & en se portant vers la droite, tu trouves ces mêmes nombres exactement. »]

7 « Et si essent decem tantum [homines], vt ab initio proposui, primus ordo finitur ad 10. secundus ad 45. tertius ad 120. quartus ad 210. quintus ad 252. sextus redit ad 210. septimus ad 120. octavus ad 45. nonus ad 10. decimus ad 1. » [ « Et s’il y a 10 [hommes], comme je l’ai proposé au début, le premier ordre se termine à 10, le second à 45, le troisième à 120, le quatrième à 210, le cinquième à 252 ; le sixième revient à 210, le huitième à 45, le neuvième à 10 et le dixième à 1. »], Ibid.

8 « Et ita colligeretur summa ex extremis numeris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. » (Phrase faisant suite à celle qui a été citée dans la note précédente.) [ « Et on assemble alors la somme, à partir des derniers nombres angulaires, 1023. Et il y aura autant de conjugaisons. »]

9 « Cum enim superior sit vera & demonstrativa, non est tamen facilis, & praecipue in magnis numeris. Et ideo inveni hanc, quae (ut dixi) facillima est. » (Ibid.)

10 La phrase où Cardan énonce sa règle générale est obscure, et le texte doit en être sans doute altéré.

11 « Exemplum, si sint 10. adde 1 fit 11. Undecimus ergo numerus in proportione dupla est 1024. detrahe 1. relinquuntur 1023. numerus coniugationum vt in priore supputations. » (Ibid.) [ « Par exemple, soit 10, ajoute 1, cela fait 11. Le nombre 11, donc, en proportion double, est 1024. Enlève 1. Il reste 1023, le nombre des conjugations comme dans le calcul précédent. »]

12 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, C, 2.

13 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, B, 1 b.

14 Cardan 1663, vol. IV, p. 557 – 558. [ « Mais pour obtenir les nombres des ordres singuliers, en n’importe quelle quantité, déduis le nombre de l’ordre moins le premier (1), et divise le reste par le nombre même de l’ordre, et celui qui en provient multiplie-le par le plus grand nombre de l’ordre précédent, et tu auras le nombre cherché. Ainsi, soit onze, je veux savoir rapidement les nombres qui proviennent de la variation de trois. D’abord je déduis pour le deuxième ordre 1 de 11, il vient 10 que je divise par 2, le nombre de l’ordre, il vient 5. Je le multiplie par 11, cela fait 55 le nombre du deuxième ordre. De là je soustrais 2 qui est le nombre de la différence du troisième ordre avec le premier, de 11, il reste 9. Je divise 9 par 3 le nombre de l’ordre, il vient 3, je multiplie 3 par 55 le nombre du deuxième, il vient 165, le nombre du troisième ordre. De même, je veux le nombre de variations de 4. Je déduis 3, la différence de 4 au premier ordre, de 11, il reste 8. Je divise 8 par 4 le nombre ordinaire, il vient 2, je multiplie 2 par 195, cela fait 330, le nombre du quatrième ordre. De même pour 5 j’enlève 4 la différence au premier ordinaire, il reste 7. Je divise par 5 le nombre ordinaire, il vient 2/5 [lire 7/5]. Je multiplie par 330 le nombre de l’ordre précédent, soit 462, le nombre du cinquième ordre. »]

15 Charles B. Boyer, « Cardan and the Pascal Triangle », The American Mathematical Monthly (1950), vol. LVII, n° 7, 387 – 390.

16 « Règle générale trouvée par l’auteur le premier jour du carême de 1523, à Vérone, pour savoir trouver de combien de manières peut varier le jet de quelque quantité de dés que vous vouliez tirer », Tartaglia 1556 ; tout le texte que nous allons analyser se trouve au recto du fol. 17.

17 « Stantiando l’anno 1523 in Verona, & il giorno di Carnevale vna cometiva di giovinetti, & altri di matura età traeuano con 3 dati sul libro (detto) della ventura di Lorenzo spirito, cercando ciascun di loro da intendere quello che tal libro gli determinaua circa alle materie, che tal libro prepone da notificarli. » (Ibid.)

18 « & cosi tutta la notte sopra tal materia andai tanto freneticando » (Ibid.)

19 Cantor, 1894-1900, vol. II, p. 522.

20 Selon Jacques-Charles Brunet, Manuel du libraire, Paris : F. Didot, 1864, vol. V, p. 493) cet ouvrage sous le titre Delle sorti fut peut-être, en 1473 le premier livre imprimé à Vicence. Il en parut de nombreuses éditions, au xvie siècle ; Brunet en cite une, parue à Rome, en 1535, dont le titre était Libro della ventera di Lorenzo Spirito. Nous n’avons pu consulter pour notre part qu’une traduction française du xviie siècle : Le Passetemps de la fortune des dez, ingénieusement compilé par maistre Laurens L’Esprit, pour response de vingt questions par plusieurs coutumièrement faites et désirées scavoir. Les vingt questions sont spécifiées en la roüe de Fortune, au feuillet séquent, Paris : C. Sevestre, 1634 (B.N. Res. Ye 828).

21 Dans un but qui n’a évidemment rien à voir avec le calcul des probabilités ! Alors que Cantor (Cantor, 1894 – 1900, vol. II, p. 522 – 523), ayant négligé la référence donnée par Tartaglia, laisse penser que ce dernier visait, dans sa recherche, une application de sa règle à un problème de probabilité.

22 Faute de l’avoir compris, Montucla adresse à Tartaglia un reproche injustifié : « Il s’agissait de savoir quel était le nombre de points différens qu’on peut amener avec deux dez, avec trois, avec quatre, etc. Il trouve au moyen de la sommation de six termes de la progression naturelle, triangulaire, etc., que pour deux dez il y a 21 points differens, pour trois 56, pour quatre 126 ; sur quoi néanmoins il convient d’observer que Tartalea ne fait pas attention aux diverses manières, dont tous les points, hors les rafles, peuvent être amenés, car ces diverses manières sont pour deux dez 36, pour trois 216, pour quatre 1256, etc. » (Montucla 1799 – 1802, vol. I, p. 569 – 570).

23 « Prima eglie manifesto che un sol dato puo variar in 6 modi. » Nous utilisons le mot « variété » pour rendre plus lisible la paraphrase qui suit.

24 Montmort 1713, p. 37 – 38.

25 « [...] ma accioche in parte resti satisfatto, sappi che ogni una di di dette progressioni si forma della progressione anciana, & la prima progressione viene a esser di 6 termini di una unita per termine in questa forma 1. 1. 1. 1. 1. 1. et cosi la summa di questi 6 termini di progressione puo variar il getto di un dato solo, coma vedi in figura. »

26 « Et nota che l’ultimo termine di ciascuna di dette progressions vien a esser la summa della anciana progressions. » (Ibid.)

27 « & con tal ordine potrai saper li 10 000 dati in quanti modi ponno variar il lor getto. » (Ibid.)

28 Tartaglia 1556, fol. 69 v – 73 r.

29 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 145.

30 Ibid.

31 « Livre second des chants », Corollaire II de la Proposition XVI. Cette proposition traite en effet d’un problème complètement différent (cf. ci-dessous, Troisième Partie, ch. 2, H).

32 Propositio XII. « Datis 36 notis ostendere quot ex iis Cantilenae fieri possint si binae, vel ternae, & c. solum assumantur. » [ « Étant donné 36 notes montrer combien de chants peuvent être faits à partir d’elles si on les suppose seulement prises par deux, par trois, etc. »] Cette Propositio et son Corollarium I occupent les pages 136 et 137.

33 « At certe haec Tabula nimis operosa est, quanquam longe difficilius ab iis componetur, qui vtuntur additione ac substractione » [ « Mais certes cette table est moins laborieuse alors qu’elle est composée beaucoup plus difficilement par ceux qui se servent de l’addition et de la soustraction. »] (Mersenne 1636b, VII, p. 136.)

34 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 448.

35 Id., p. 450.

36 Cf. Mersenne 1636b, VII, p. 135 ; et Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 133.

37 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

38 Telle est l’argumentation que Mersenne voudrait développer en faveur de la méthode directe. En fait, trop pressé de mettre en valeur la rapidité de celle-ci, il va déclarer qu’elle ne requiert « qu’onze multiplications », ce qui est vrai de A(36, 12) mais non de C (36, 12). Il commet ainsi une étourderie dont il nous a paru préférable d’alléger ici notre analyse, pour mieux concentrer notre attention sur le véritable nerf de l’argumentation.

39 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 1, C, 1. [ « Table méthodique très utile des arrangements par trois et par quatre. »]

40 « Tametsi prima Tabula solas ostendat Cantilenas ex duodecim notis in 36 sumptis compositas, nec ullum alium numerum complectatur, si tamen notae quotlibet sumantur ex 25, aut alio quovis numero minori, vnico intuitu reperitur in illa Tabula, quot fieri possint Cantilenae. » [ « Quoique la première table montre les seuls chants composés de douze notes prises parmi 36, et ne comprend aucun autre nombre, si cependant les notes sont prises au choix parmi 25 ou quelque autre nombre quelconque plus petit, on trouve d’un seul coup d’œil dans cette table combien de chants peuvent être faits. »] (Mersenne, VII, p. 137.)

41 « exempli gratia, si sumantur 11 notae in 25, aufero 10 ex 25, supersunt 15, ut reperiam in 15 linea XI ordinis quaesitam varietatum multitudinem ; hoc est quot sint Cantilenae ex 11 notis in 25 sumptis, quando nulla ratio habetur ordinis : quae quidem linea ostendit 4 457 400. » (Ibid.) [ « par exemple, si on prend 11 notes parmi 25, j’enlève 10 de 25, il reste 15, de sorte que je trouve dans la ligne 15 de l’ordre XI la quantité des variétés cherchée, c’est-à-dire combien il existe de chants faits à partir de 11 notes prises parmi 25, sans tenir compte de l’ordre : cette ligne fournit 4 457 400. »]

42 « Si vero tredecim notae sumantur in 25, non sunt quaerendae 13, cum sint tantum duodecim ordines, sed 12, cuius varietati aequalis est varietas notarum 13, quemadmodum varietas 14 & 15 aequalis est varietati 11 & 10, & ita deinceps, vt prius observatum est. » (Ibid.) [ « Si en fait treize notes sont prises parmi 25, ce ne sont pas ces treize qu’on doit chercher, mais 12, dont la variété est égale à la variété de 13 notes, de même que la variété de 14 et de 15 est égale à la variété de 11 et 10, et ainsi de suite, comme il a été observé auparavant. »]

43 « quod lineolis peculiaribus demonstratur, quae superimponuntur numeris, quibus varietates Cantuum significantur vsque ad duodecim notas, quarum varietatem decimus quartus vltimae, hoc est XII columnae terminus 5 200 300, numerum Cantuum ostendit. » (Ibid.) [ « ce qui est montré par les petites lignes spéciales qui sont surimposées aux nombres par lesquels les variétés des chants sont indiquées jusqu’à douze notes, variété dont le quatorzième terme de la dernière, c’est-à-dire de la XIIe, colonne montre 5 200300, le nombre de chants. »]

44 Simili ratione numerus Cantilenarum reperietur, quae fiunt ex notis in 24 aut 23, aut 22 assumptis, linae siquidem transversae singulas varietates quaesitas ostendent. (Ibid.) [ « Par le même moyen, on trouve le nombre des chants qui se font à partir des notes prises parmi 24, ou 23, ou 22, puisque les lignes transverses font voir les variétés singulières cherchées. »]

45 De toute manière, à l’en croire lui-même, Mersenne connaissait d’autres usages de la table dont il n’a pas jugé bon de faire part à son lecteur : « Omitto plures alios vsus istius Tabulae, vt ad reliquas varietates accedam. » (Ibid.) [ « J’omets de nombreux autres usages de cette table, pour aborder les variétés restantes. »]

46 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 469.

47 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 476.

48 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 588. Cf. ci-dessus, p. 54.

49 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 446.

50 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 447.

51 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 466 – 467.

52 Ce projet n’avait en soi rien de très original (cf. Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 438 – 441). Ce qui est beaucoup plus neuf, c’est que ce problème soit mis explicitement en rapport avec des questions d’analyse combinatoire.

53 Frenicle 1729, p. 105 – 106.

54 Rappelons par ailleurs que la date de rédaction du texte manuscrit de Frenicle sur les « puissances triangulaires » est très incertaine.

55 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 510.

56 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 509 – 510.

57 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 510.

58 Fermat 1891 – 1912, vol. II, p. 70. [Voici la traduction donnée par Paul Tannery dans le volume III, p. 291 – 292 : « En attendant, j’ajouterai une très belle proposition, que j’ai trouvée et qui m’a fourni la lumière pour les questions de ce genre. Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre immédiatement supérieur ; on a le triple de la pyramide ayant pour côté le dernier nombre, en mutipliant celui-ci par le triangle immédiatement supérieur ; on a le quadruple du triangulo-triangle du dernier nombre, en multipliant celui-ci par la pyramide du nombre immédiatement supérieur ; et ainsi de suite à l’infini, par une méthode uniforme »]. Les éditeurs de ces Œuvres avaient publié cette lettre comme étant de septembre ou octobre 1636. Cette même lettre a été reportée au début de juin 1638 dans Mersenne 1933 – 1988 (vol. VII, Fermat à Mersenne (début de juin 1638), lettre 677 ; le passage cité est à la p. 279) selon des indications fournies par Jean Itard (« Sur la date à attribuer à une lettre de Pierre de Fermat », Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, (1948), vol. II, n° 1, p. 95 – 98.).

59 Fermat 1891 – 1912, vol. II, p. 84 – 85 ; Mersenne 1933-1988, lettre 573, 4 novembre 1636, vol. VI, p. 146 – 147. « Il est très remarquable que cette proposition capitale qui donne, de fait, la composition des coefficients du binôme, après avoir été ainsi communiquée en 1636 à Mersenne, à Sainte-Croix et à Roberval, soit restée assez ignorée pour que dix-huit ans après, Pascal, en la retrouvant sous une autre forme, n’ait eu aucun soupçon de la très grande antériorité de la découverte de Fermat. » (Note des éditeurs dans Fermat 1891 – 1912, vol. II, p. 70, note 1.)

60 Frenicle 1729, p. 106.

61 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, E, 1, b.

62 Remarquons par ailleurs que Pascal, au début de l’Usage du triangle arithmétique pour les ordres numériques, nous dit avoir choisi le mot ordre, « parce que ceux de progression, de degré et de puissance sont déjà employés ».

63 Frenicle 1729, p. 106. Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, E, 1 a.

64 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 132.

65 Frenicle, ms. a, p. 15. Cette référence se retrouve, identique, dans le ms. b, fol. 27 r°. Dans l’édition imprimée, il a été précisé que l’auteur de l’ouvrage cité est Mersenne : ... « in lib. Harmonicon, du P. Mersenne... ».

66 Note manuscrite, Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 132.

67 Frenicle 1729, p. 106. Cf. ci-dessus, C, 1 c, la citation de la phrase complète.

68 Cf. dessus, p. 54.

Table des illustrations

Titre Le schéma de construction étant le suivant :
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 6,9k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 3,4k
Titre Table donnée par Cardan dans l’Opus novum de proportionibus
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 17k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 4,9k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 1,4k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 1,4k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 1,4k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 4,6k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-9.jpg
Fichier image/jpeg, 5,3k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-10.jpg
Fichier image/jpeg, 2,9k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 2,0k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-12.jpg
Fichier image/jpeg, 6,4k
Titre Figure 1 – Table des variétés résultant des jets de 1, 2,..., 8 dés, donnée par Tartaglia au fol. 17r. de La Seconde parte del General Trattato.
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-13.jpg
Fichier image/jpeg, 13k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-14.jpg
Fichier image/jpeg, 11k
Titre Figure 2 – Extrait de la « Table des varietez d’vn chant de 12 notes prises en 36 », Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145.
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-15.jpg
Fichier image/jpeg, 12k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-16.jpg
Fichier image/jpeg, 1,9k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-17.jpg
Fichier image/jpeg, 2,2k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-18.jpg
Fichier image/jpeg, 2,5k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-19.jpg
Fichier image/jpeg, 9,3k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-20.jpg
Fichier image/jpeg, 2,4k
Titre Les « bases des triangles » sont indiquées par les traits obliques.
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-21.jpg
Fichier image/jpeg, 7,5k
Titre Figure 3 – Les « bases des triangles » dans la table de Mersenne.
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-22.jpg
Fichier image/jpeg, 3,8k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-23.jpg
Fichier image/jpeg, 10k
Légende Racineson trouvera cette table pareille au Triangle Arithmétique51. »
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-24.jpg
Fichier image/jpeg, 11k
Légende Racines
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-25.jpg
Fichier image/jpeg, 11k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-26.jpg
Fichier image/jpeg, 7,2k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-27.jpg
Fichier image/jpeg, 3,3k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-28.jpg
Fichier image/jpeg, 3,1k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/15028/img-29.jpg
Fichier image/jpeg, 2,5k

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search