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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »

Chapitre 3 : Les Combinaisons avec répétition

Texte intégral

  • 1 Giovanni Vacca, Bibliotheca Mathematica, 3e ser., vol. II (1901), p. 357 (G. Vacca cite le troisièm (...)

1Même si l’on ne tient compte que de la date de parution de l’Abrégé des combinaisons, il paraît déjà assez remarquable que cet ouvrage contienne « pour la première fois la considération des combinaisons avec répétitions qu’on attribue d’ordinaire à Jacques Bernoulli (voir par ex. Cantor, 3 : 347)1 ». On sera d’autant plus supris d’apprendre que Mersenne a consacré au même sujet une étude très soutenue et très fructueuse. Il y revient sous diverses façons dans les ouvrages suivants :

  • Harmonie universelle, « Livre second des chants », p. 146 – 148 ;

  • Harmonicorum libri, VII, p. 138 – 139 ;

  • Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 232 – 234 ;

  • Reflexiones physico-mathematicae, p. 208 – 211.

2En dépit des maladresses de Mersenne, ces textes s’ordonnent naturellement selon le caractère et la difficulté des problèmes traités. Le texte de l’Harmonie universelle n’a qu’un caractère préparatoire [A] destiné à faciliter un traitement indirect des Combinaisons avec répétitions [B], et à permettre la mise en rapport de celles-ci avec les Arrangements avec répétitions [C]. Nous analyserons ensuite la formule directe donnant K(n, p) chez Mersenne [D], et chez Frenicle [E].

3(Par conséquent cette dernière section E est la seule qui, dans ce chapitre, concerne Frenicle.)

4Nous avons ajouté, à titre de complément, en fin de chapitre [F] l’analyse d’un texte de Frenicle portant sur un problème relatif au jeu de dés.

A. Premières approches

1. Chants où une note se répète plusieurs fois

(a) Proposition XVII du « Livre second des chants »

5Nous avons tout d’abord à examiner le problème suivant dont l’énoncé forme le titre de la Proposition XVII du « Livre second des chants » dans l’Harmonie universelle :

  • 2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

« Determiner le nombre des Chants qui se peuuent faire de tel nombre de notes que l’on veut, lors que l’on les prend dans vn plus grand nombre de notes (par exemple, lors que l’on prend 8 notes telles que l’on veut dans les 22 notes des 3 Octaves) & qu’il est permis de repeter dans lesdits chants les mesmes notes 2, 3, ou plusieurs fois2. »

6Nous disposons donc de 22 notes distinctes. Disons dès maintenant que ce nombre n’est choisi qu’à titre d’exemple ; Mersenne, soulignons-le, remarque explicitement que les choses peuvent être prises « dans le nombre de 22, ou dans un plus petit, ou un plus grand nombre, car cette proposition est indifférente à toutes sortes de nombres ».

7Considérons, selon l’exemple qui nous sera donné par Mersenne lui-même, un chant de longueur 7 où la note UT se répète 4 fois, et où les autres notes, au nombre de 3, sont différentes les unes des autres :

UT UT UT UT RÉ MI FA

8Nous allons nous demander combien nous pouvons former de chants analogues ; plus précisément, nous cherchons le nombre des chants répondant aux conditions suivantes, et dont nous dirons, pour faire bref, qu’ils sont de même type :

  • chaque chant sera de longueur 7,

  • les notes de ces chants sont choisies parmi les 22 notes données,

  • dans chacun de ces chants, une note se trouve répétée 4 fois.

9Dans un chant de ce type, il y aura donc 4 notes « semblables » (dans l’exemple cité ci-dessus : UT UT UT UT) et 4 notes « différentes » (dans l’exemple ci-dessus : UT, RÉ, MI, FA).

10Pour dénombrer ces chants, « il faut premierement voir combien il y a de notes dans le chant, sans auoir égard aux notes semblables qui ne sont contees que pour vne : par exemple, lors qu’en ce chant qui a 7 notes ie repete 4 fois l’UT, il faut seulement prendre ces 4 UT pour une note, de sorte qu’il faut seulement prendre les 4 notes differentes de ce chant ».

11En second lieu, il faut « voir combien l’on peut faire de chants de 4 notes differentes prises dans les 22 notes des 3 Octaues, dont l’ordre est osté, & l’on trouuera 7 315 [C(22, 4) = 7315] ».

12Enfin, ce dernier nombre « estant multiplié par 4 donne 29 260 chants differents, qui peuuent estre faits de ce 1 chant », c’est-à-dire qui sont du même type que le chant donné en exemple.

13Le raisonnement que Mersenne n’explicite pas entièrement est le suivant :

14— il faut tout d’abord compter le nombre des notes différentes, et se demander de combien de manières on peut choisir parmi les 22 notes données, ces notes différentes. Elles peuvent l’être de 7 315 manières puisque :

C(22, 4) = 7315.

15— une suite de 4 notes distinctes étant choisie, on peut ensuite choisir de 4 manières la note qui sera répétée 4 fois, c’est-à-dire qu’à chaque Combinaison de 4 notes distinctes correspondront 4 chants du type demandé :

4 × C(22, 4) = 29260.

(b) Passage correspondant des Harmonicorum libri

16À partir d’ici, le texte de l’Harmonie universelle présente les difficultés d’interprétation auxquelles nous aurons à faire face plus bas. Afin de ne pas rompre l’argumentation de Mersenne, et de dégager le plus clairement possible la propriété importante qu’il veut mettre en lumière, tournons-nous maintenant vers le passage correspondant des Harmonicorum libri. Il y donne le même exemple des chants de longueur 7, où une note est répétée 4 fois, et dont le nombre est :

4 × C(22, 4).

17Or on obtiendra un même résultat pour les chants :

  • de longueur 5,

  • où une note se répète 2 fois,

car ces chants ont comme les précédents 4 notes distinctes :

  • 3 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Et on doit dire de même à propos de n’importe quel autre nombre de (...)

« Idemque dicendum de quolibet alio notarum numero, dummodo sint tantum quatuor notae distinctae, vnde fit vt quinque notae, quarum vna bis repetitur, toties varientur, quoties septem notae predictae3. »

18Autrement dit, le nombre de fois où une note se répète dans chaque chant n’importe pas, ni non plus par conséquent, la longueur des chants. Il suffit, pour calculer dans chaque cas le nombre des chants, de prendre en considération le nombre des notes distinctes.

  • 4 Mersenne avait parlé dans les propositions précédentes des Arrangements et des Combinaisons.
  • 5 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Pour découvrir donc le nombre de chants qui peuvent être faits à p (...)

« Vt ergo reperiatur numerus Cantuum, qui fieri possunt ex praedictis notis, quando non solum binae, ternae, aut quaternae, vt antea4 sumuntur, sed etiam cum eadem nota bis, vel saepius repetitur, notandus est numerus diversarum, qui in Cantilena proposita occurrit, nulla prorsus habita ratione, notarum similium5. »

19Par conséquent, dans les conditions définies précédemment, le nombre des chants qui ont q notes distinctes sera :

q × C(22, q).

20En faisant varier la valeur de q, on pourra construire une table donnant les résultats numériques pour tous les cas possibles ; c’est ce que fait Mersenne dans la Tabula nova anagrammatica :

II

462

III

4 620

IV

29 260

V

131 670

XII

7 759 752

21Voici comment est disposée cette table :

  • 6 Ibid. [ « La première colonne montre combien il y a de lettres [sic] différentes dans les chants, l (...)

« prima columna demonstrat quot sint litterae differentes in Cantilena, secundo vero numerum Cantilenarum ostendit quae tot habent differentes notas, quot numerus primae columnae e regione positus vnitates complectitur : exempli gratia, numerus V ostendit Cantilenas quinque notarum differentium 131 670 fieri posse, siue vna bis, sive septies, octies, & c. repetatur6. »

22Les chants que dénombre cette table sont de longueur quelconque, et leur nombre est calculé ainsi :

Les chants qui ont :

sont au nombre de :

2 notes distinctes

2 × C(22, 2)

3 notes distinctes

3 × C(22, 3)

.................

..............

12 notes distinctes

12 × C(22, 12)

23On aura remarqué que Mersenne arrête sa table à la valeur q = 12, alors qu’il pourrait la poursuivre pour des valeurs supérieurs de q ; il s’en explique ainsi :

  • 7 Ibid. [ « Il suffit en effet d’écrire dix lignes parce que la onzième est la même que la dixième, l (...)

« sufficiet tamen decem ordines scribere quia vndecimus idem est ac decimus, duodecimus idem ac nonus, & ita deinceps7. »

24On prendra garde que les ordines dont il est question ici sont les lignes de la table, et la propriété que Mersenne met ainsi en lumière est la suivante : le nombre des chants qui ont q notes distinctes est égal au nombre des chants qui ont (22 − q + 1) notes distinctes.

25Mersenne n’en donne pas de justification : il constate qu’on retrouve les nombres déjà calculés si on prolonge la table au-delà de q = 12. On a bien en fait :

q × C(22 − q) = (22 − q + 1) × C(22, 22 − q + 1).

2. À propos d’une équivoque

26Nous allons ici ouvrir une parenthèse pour revenir un moment sur la Proposition XVII du « Livre second des chants » de l’Harmonie universelle : ce texte présente en effet, par rapport à celui des Harmonicorum libri que nous venons de citer, quelques anomalies qui méritent réflexion.

(a) Notes semblables et différentes ; une critique d’Aimé de Gaignières

27Nous venons de le voir, pour résoudre le problème posé, il faut s’attacher, dans chaque type de chant, au nombre de notes distinctes qu’il comporte : or, dans le texte français, Mersenne se réfère presque constamment au nombre de notes semblables.

28Il est clair que lorsqu’on considère un type de chant de longueur donnée, il importe peu qu’on parle de notes distinctes ou de notes semblables : on passe aisément du nombre des unes au nombre des autres ; si le chant est de longueur n et comprend p notes semblables, il comprendra (n − p + 1) notes distinctes. Ainsi raisonne Mersenne lorsqu’il nous dit :

  • 8 Dans les exemples qui suivent, Mersenne a commis des erreurs : « [...] & si ce chant de 10 notes en (...)

« Ie veux encore donner vn autre exemple de 10 notes, dont il y en a deux semblables, la varieté de 9 prise dans la table qui suit monstrera la multitude des chants8. »

29Ce type de chant est de longueur 10 ; il a deux notes semblables, et (10 - 2 + 1) = 9 notes distinctes ; nous pourrions donc obtenir le nombre des chants de ce type en nous reportant à la 9e ligne de la table des Harmonicorum libri donnée ci-dessus. Or la table de l’Harmonie universelle diffère de celle-ci en ce qu’elle porte mention de notes semblables et non de notes distinctes. Elle se présente ainsi :

Table de tous les chants qui ont plusieurs notes semblables

1

de 22 notes différentes

462

2 notes semblables

4 620

3 notes semblables, & c

7 759 752

12

30Si on rapporte cette table à l’usage que vient d’en faire Mersenne pour le type de chant de longueur 10, il est manifeste qu’elle ne garde un sens que si on lit « différentes » partout où Mersenne a écrit « semblables ». On sera porté à faire une réflexion analogue pour le texte qui suit où Mersenne compare cette table avec celle qui donne les Combinaisons de 22 notes :

  • 9 Le texte imprimé portait ici, par erreur : « dans la 4. proposition » ; nous avons repris et complé (...)

« Mais il faut remarquer que cette table est differente de celle que nous auons donnée dans le corollaire IIII de l’onziesme proposition9, parce qu’il faut multiplier chaque nombre de celle-la, par le nombre de notes semblables de chaque chant pour faire celle-cy, comme nous auons fait en multipliant le 4 nombre de ladite table, c’est à dire 7 315 par 4, à raison que le chant auoit 4 notes semblables, & si vn chant a seulement 3 notes semblables & 3 notes différentes, il faut multiplier le troisiesme nombre de ladite table par 3 pour auoir 4 620, qui est le 3 nombre de cette table ; or il faut tousiours suiure la mesme methode pour les autres chants. »

31Le premier exemple est identique à celui qui avait été traité au début de la Proposition XVII : type de chant de longueur 7 ayant 4 notes semblables, et 4 notes différentes. Ce qu’en redit ici Mersenne n’est pas faux à la rigueur, puisque le nombre de ces chants est bien :

4 × C(22, 4)

32mais où Mersenne s’égare, et se contredit lui-même, (puisque plus haut, il avait affirmé nettement qu’il ne fallait pas « auoir égard aux notes semblables »), c’est en déclarant que le coefficient 4 vient du nombre des notes semblables.

33Il en va de même du second exemple où Mersenne est à la fois bénéficiaire et victime du fait qu’il va prendre encore ici un type de chant où le nombre des notes semblables est égal au nombre des notes différentes : il se trouve ainsi que, pour le calcul, il revient au même de parler de notes semblables ou de notes différentes ; mais qu’« on suive la mesme methode pour les autres chants », qu’on dise que le nombre des chants d’un type donné s’obtient en ayant égard uniquement aux notes semblables, on tombe alors dans une erreur manifeste.

34Aimé de Gaignières fut frappé par cette confusion et la signala en ces termes à Mersenne :

  • 10 Cette indication est portée en marge dans la lettre.
  • 11 Cette table donne les valeurs de C(22, 1), C(22, 2), ..., C(22, 22).
  • 12 Mersenne 1933-1988, Aimé de Gaignières à Mersenne, 17 février 1637, lettre 585, vol. VI, p. 196 – 1 (...)

« Vous dites dans vostre « Second Livre des Chants » en françois, Prop. 17, p. 146 et 147, qu’il faut premierement voir combien il y a de notes dans le chant, sans avoir esgard aux notes semblables qui ne sont contees que pour une, de sorte qu’en cest exemple [AAAABCDEF10] les quatre A ne seront contés que pour une lettre, et partant il faut chercher combien six lettres différentes peuvent faire de combinaisons suyvant la Table du 4e Corollaire de l’onziesme Prop. du « Livre des Chants », p. 134, que j’ay mis à la marge pour plus grande facilité11. Il est donc ainsy que six lettres différentes se peuvent combiner en 74 613 manieres différentes. Lequel nombre vous dites qu’il faut multiplier par quatre qui est le nombre des lettres semblables, et par conséquent 74 613, multipliez par quatre, produisent 298 452, ce que je n’estime pas que vous trouviés véritable.
Car pour moy j’estime qu’il faut multiplier ledit nombre 74 613 par six qui est le nombre des lettres differentes, et par consequent qu’il y aura 447 678 combinaisons differentes de neuf lettres, dont quatre sont semblables [comme] AAAABCDEF, s’entend sans y comprendre la varieté de l’ordre12. »

35Mersenne fit bon accueil à l’objection, et nota en marge, sur la lettre même d’Aimé de Gaignières, face à la dernière phrase que nous venons de citer : « C’est vray contre ce que j’ay dit ». Et c’est probablement cette remontrance qui le conduisit à apporter des corrections sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle ; il y modifia ainsi la phrase : « Mais il faut remarquer... la mesme methode pour les autres chants » :

36— dans le premier exemple, il a barré par deux fois l’adjectif « semblables » pour le remplacer par « differentes », et il a noté en marge : « L’on aura le present nombre de dictions puisqu’il y a 4 lettres differentes dans la diction, suivant le 7 Livre Latin de cantibus, prop. 13, page 138 » ;

37— dans le second exemple, il a barré le passage : « il faut multiplier... le 3 nombre de cette table », sans ajouter de correction.

38Ce renvoi aux Harmonicorum libri prouverait, s’il en était besoin, que c’est bien là qu’il faut aller lire, ainsi que nous l’avons fait, la propriété importante que voulait dégager Mersenne, et qu’il va utiliser par la suite.

(b) Une propriété de symétrie de longueur 22

39Mais pourquoi, dira-t-on, avoir fait un sort à une étourderie qui aurait simplement substitué « semblables » à « différentes », d’autant que cette étourderie n’a aucune conséquence fâcheuse sur les calculs, étant donnés les exemples particuliers choisis par Mersenne ? C’est que, selon nous, cette étourderie n’est pas un simple lapsus calami, et qu’elle peut apporter des lumières sur les étapes préliminaires qu’a dû traverser Mersenne avant de résoudre le problème qu’il s’était proposé.

40Nous avons déjà pu constater la propension de Mersenne à prendre pour exemples des types de chants où le nombre des notes distinctes est égal au nombre des notes semblables. C’est aussi un exemple de ce genre qu’il cite dans les Reflexiones physico-mathematicae :

  • 13 Mersenne 1647, p. 210. [ « Soit, par exemple, le mot inimici, ayant 4 lettres semblables, et que so (...)

« Sit, exempli gratia, dictio inimici, habens 4 litteras similes, sumaturque numerus dictionum 4 litteris constantium tabulae V [Table des Combinaisons de 22 lettres] 7 315, qui ductus in 4, dat 29 260 pro numero dictionum tabulae sequentis 4 litteras similes habentium13. »

41Or, il y a un type de chant pour lequel il est indifférent de préciser si le nombre que l’on considère est celui des notes distinctes ou celui des notes semblables : ce sont les chants de longueur 22. Car à tout chant de 22 notes ayant r notes distinctes et dont les autres sont semblables à l’une des notes distinctes x, correspond un chant et un seul formé de la manière suivante : on prend les (22 − r) notes non utilisées dans le chant précédent, et on leur adjoint r fois la note x. Ainsi s’établit une correspondance biunivoque entre les deux ensembles de chants à r notes distinctes et à r notes semblables.

42Du coup, si on isole la table de l’Harmonie universelle des textes où Mersenne l’applique à des chants de longueur différente de 22, elle est tout à fait valable, et n’exige aucune correction pourvu qu’on l’entende comme Table des chants [de longueur 22] qui ont plusieurs notes semblables et on s’explique alors que la première ligne en soit :

431 [chant] de 22 notes differentes.

44Par la même occasion, le passage où Mersenne expose la propriété de symétrie de cette table prend un sens très clair, sans qu’on ait à corriger « semblables » en « différentes ».

  • 14 Cette dernière affirmation est fausse : le nombre des chants dont toutes les notes sont semblables (...)
  • 15 Mersenne a oublié de mentionner 11.
  • 16 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 147.

« Cette table n’a pas besoin d’estre prolongee iusques à 22 dautant qu’il y a mesme nombre de chants depuis 12 iusques à 22, que depuis vn iusques à 11 ; car comme l’on ne peut faire qu’vn chant de 22 notes prises dans 22 lors qu’elles sont toutes differentes, & qu’il n’est pas permis de changer l’ordre, l’on ne peut aussi faire qu’vn chant lors que l’on les prend toutes semblables14. Et comme il y a 462 chants lors qu’on prend seulement deux notes semblables, de mesme il y en a 462 lors que le chant a 21 lettres semblables ; de sorte que la semblance de deux respond à celle de 21, celle de 3 à celle de 20, & celle de 4, 5, 6, 7, 8, 9 & 1015, à celle de 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13 & 1216. »

45Bien sûr, ces remarques ne nous apportent aucune certitude, mais elles peuvent suggérer que Mersenne a abordé son problème en croyant qu’il fallait pour chaque type de chant considérer, et sa longueur, et le nombre des notes semblables, et qu’il a pris conscience d’une propriété de symétrie en étudiant les chants de longueur 22. Ce n’est qu’ensuite qu’il serait parvenu à découvrir qu’il faut faire abstraction de la longueur des chants et ne prendre en compte que le nombre des notes distinctes.

(c) Une table figurant dans les manuscrits d’Aimé de Gaignières

46Voici une autre circonstance propre à débrouiller encore un peu mieux cet imbroglio du différent et du semblable : nous avons relevé la présence, dans les manuscrits d’Aimé de Gaignières d’une table qui ne figure pas dans les œuvres de Mersenne et cette table porte sur le problème qui nous intéresse ici.

47Est-ce Aimé de Gaignières qui l’a construite lui-même pour faire toute la lumière sur une difficulté dont nous avons vu qu’elle l’avait retenu en particulier ? Ou bien est-ce Mersenne qui lui en a fait communication sous forme manuscrite ? Quoiqu’il en soit, cette table ne porte mention (mais ici c’est à très bon escient), que de notes semblables. Éclairons sur un exemple la manière dont il faut la lire :

Figure 1 – Extrait d’une table dressée par Aimé de Gaignières (B.N., mss, fonds français, 12358, fol. 27 r°)

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48Cela signifie que les chants de longueur 6 qui comportent 4 notes semblables sont au nombre de 4 620.

49Cette Table a le mérite de faire apparaître clairement la propriété de symétrie qui joue pour les chants de longueur 22. Si, d’autre part, on y lit une ligne donnée, par exemple la quatrième, on peut se demander quels sont les types de chants qui sont chacun au nombre de 4 620 : on constate alors que ce sont ceux qui ont 3 notes distinctes, quelle que soit leur longueur. Peut-être est-ce par le biais d’une telle constatation que Mersenne s’est persuadé qu’il ne fallait avoir égard qu’aux notes distinctes, et qu’une telle table pouvait alors être condensée en une table beaucoup plus simple : en supposant qu’il n’ait pas parfaitement maîtrisé ce passage d’une table à une autre, on s’expliquerait ainsi d’une autre façon qu’il ait eu l’esprit encombré de la référence aux notes semblables.

3. Chants où plusieurs des notes distinctes peuvent se répéter (Proposition XVIII du « Livre second des chants »)

50Cette parenthèse fermée, reprenons notre analyse au point où nous l’avions laissée à la fin du § 1. Nous allons faire un nouveau pas en avant, en abordant le problème énoncé dans la Proposition XVIII du « Livre second des chants » de l’Harmonie universelle :

  • 17 Id., p. 148. Tout le texte de cette Proposition XVIII tient dans la p. 148, référence que nous ne r (...)

« Determiner le nombre des Chants qui peuuent estre faits d’vn nombre de notes, quand il y en a de differentes qui sont semblables, comme quand on met deux fois Vt, & deux fois Re, & deux fois Mi, ou quatre fois les vnes & les autres, & c.17. »

51Dans la proposition précédente, a été seulement envisagée la répétition d’une note ; on cherchera maintenant ce qui se produit, lorsque plusieurs des notes distinctes peuvent se répéter.

52Pour résoudre ce problème, Mersenne va examiner successivement :

53a) des cas où on peut se ramener à ceux qui ont été examinés dans la proposition précédente ;

54b) des cas qui se résolvent par un raisonnement direct élémentaire.

(a) Cas où on peut se ramener à ceux qui ont été examinés dans la Proposition XVII

55Prenons le chant : UT UT RÉ RÉ MI [1]

56et disons (pour ne pas trop nous écarter du vocabulaire de Mersenne), que ce chant représentera le type des chants de longueur 5, où 2 notes distinctes se répètent chacune deux fois.

« Il faut chercher un chant dans la table precedente qui ait de la correspondance auec cettui-cy, & l’on trouuera qu’il se rapporte au chant de 4 notes qui a deux notes semblables, & deux differentes [...] »

UT UT RÉ MI [2]

« [...] ou à celuy qui a cinq notes, dont il y en a trois semblables »

UT UT UT RÉ MI [3]

57Pour ce qui est des chants de type [2] et [3] leur nombre s’obtient directement grâce à la règle de la proposition précédente :

3 × C(22, 3).

58Quant au « rapport » qu’ont entre eux les chants de type [1] et [3], Mersenne les explique d’une manière qui n’est pas un modèle de clarté, mais qui s’entend cependant avec un peu d’attention :

« Or le rapport qu’ont ces deux chants consiste en ce qu’il y a dans le premier 2 notes, & 2 & 1, & au second 1 & 1, & 3 notes, de sorte que comme 2 & 2 se ressemblent, & la 3 qui est 1, est differente dans le premier chant, 1 & 1 sont égaux dans le second, & 3 est nombre different. »

59Mersenne utilise évidemment ici les notions de ressemblance et de différence à un niveau distinct de celui auquel i1 les avait prises dans la proposition précédente, où il était dit qu’une même note répétée deux fois donnait lieu à deux notes « semblables ». Ici, nous avons à considérer les différents groupes que forment les notes répétées : ainsi pour les types de chants [1] et [3] :

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60Les deux types de chants peuvent se représenter par les suites de coefficients de répétition :

(2, 2, 1)

(1, 1, 3)

61C’est en songeant à ces coefficients de répétition que Mersenne nous dit que :

  • « 2 & 2 se ressemblent » et 1 est différent,

  • « 1 & 1 sont égaux », et « 3 est un nombre different ».

62Or si nous calculons maintenant le nombre des chants appartenant à chacun des types [1] et [3], nous nous apercevons que ce nombre est le même. La raison en est que :

63— ces deux types contiennent le même nombre de notes distinctes : 3, qu’on peut choisir de C(22, 3) manières ;

64— que les deux suites (2, 2, 1), et (1, 1, 3) qui représentent ces deux types sont équivalentes en ce qu’elles contiennent deux nombres égaux et un différent ; ce qui fait qu’il y a toujours 3 manières différentes d’appliquer les coefficients sur une même Combinaison de 3 notes, d’où le même résultat pour le nombre de chants cherché, à savoir :

3 × C(22, 3).

65Ainsi, et c’est ce que veut nous faire entendre Mersenne, le calcul demandé par la Proposition XVIII se ramène à celui de la Proposition XVII, chaque fois qu’une suite de 3 coefficients de répétition présente la caractéristique suivante : un seul des coefficients diffère des autres coefficients qui sont égaux entre eux. Du même coup, se trouve très largement étendu l’usage de la table de la Proposition XVII : lorsqu’un type de chant sera caractérisé comme il vient d’être dit, on cherchera dans cette table un type de chant « qui ait de la correspondance avec lui ».

(b) Cas qui se résolvent dans un raisonnement direct élémentaire

66Si l’on songe maintenant aux autres dispositions simples où peuvent se présenter les coefficients de répétition, deux cas s’offrent naturellement à l’esprit.

67Tous les coefficients sont égaux :

68Si, par exemple, un type de chant est représenté par la suite :

(2, 2, 2)

69le nombre des chants de ce type sera égal au nombre de manières dont on peut choisir 3 notes sur 22 sans tenir compte de l’ordre ; il est donc égal au nombre de chants du type :

(1, 1, 1)

70à savoir :

C(22, 3).

71On se trouve ramené à un calcul de Combinaisons.

« Lors que le chant a 6 notes, & qu’il y en a 2 d’vne sorte, 2 d’vne autre, & encore 2 d’vne autre, [...] il est semblable à vn chant de 3 lettres differentes, parce que 2, 2, 2, se ressemblent comme 1, 1, 1, c’est pourquoy il ne se peut faire que 1 540 chants semblables dans 22 notes. »

72Mersenne ajoute un autre exemple, et généralise :

« Il faut dire la mesme chose du chant qui auroit ses notes en mesme raison que ces nombres 2, 2, 2, 2, qui se rapporte aux chants de 4 lettres differentes, encore qu’il ait 8 notes ; de là vient qu’il n’y en peut auoir que 7315 [C(22, 4)] : ce qui doit estre entendu de ceux qui ont quatre ternaires, quaternaires, & c. de notes semblables. »

73Tous les coefficients sont différents :

74Considérons les chants de type :

(1, 2, 3)

(2, 3, 4)

75Pour calculer leur nombre, il faut chaque fois chercher le nombre de manières dont on peut choisir 3 notes sur 22, mais cette fois-ci en tenant compte de l’ordre ; car, par exemple, deux chants du premier type constitués des trois notes UT, RÉ, MI, différeront en ce que, dans l’un c’est la note UT qui se trouve répétée 2 fois, et que c’est la note RÉ qui se trouve répétée 2 fois dans l’autre.

76On se trouve donc ramené à un calcul d’Arrangements.

« Il arriue encore la mesme chose aux chants, dont le nombre des notes semblables est different : par exemple, au [...] chant des 6 notes, qui a vne note d’vne sorte, puis 2 d’vne autre, & encore 3 d’vne autre ; ou au [...] chant qui a 9 notes, dont il y en a 2 d’vne façon, 3 d’vne autre, & 4 d’vne autre, car le nombre des diuersitez de ces 2 chants est égal à vn chant de 3 notes differentes ausquelles l’ordre est remis, comme l’on void à la table de la 11 Proposition [Table des Arrangements de 22 notes] : & consequemment il y a 9 240 [A(22, 3)] chants semblables à ces deux dans 22 notes. »

77Mersenne ajoute que sont égaux les nombres de chants ayant pour types :

(1, 2, 3, 4)

(2, 3, 4, 5)

78« parce qu’il faut seulement voir combien il y a de sortes de notes ». Ces chants sont au nombre de :

A(22, 4).

B. Cas général

79Là s’arrête dans l’Harmonie universelle ce que Mersenne nous dit sur ce sujet. Pour achever la solution générale de la Proposition XVIII, il reste à traiter les cas où les coefficients de répétition donnés n’étant ni tous égaux, ni tous différents, il y en a cependant plus d’un différent des autres.

80Nous pouvons prévoir dès maintenant dans quelle direction il faut chercher la solution. Soit à chercher le nombre des chants de longueur p, dont le type est (i1, i2,…, ij ), il faudra considérer la manière dont ces coefficients se répartissent en groupes de coefficients discernables et indiscernables.

81Après ce que nous avons vu, ce raisonnement n’était pas au-dessus des moyens de Mersenne ; ce qui est sûr, comme nous allons le voir, c’est qu’il en possédait certainement le résultat.

1. Exemple soluble à l’aide des règles précédentes : chants de longueur 4

  • 18 Mersenne a traité effectivement cet exemple (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232 (...)

82Prenons pour commencer un exemple simple18 : quel est le nombre des chants de 4 notes prises sur 22 dans lesquels les notes ne sont pas nécessairement distinctes, mais peuvent être semblables ? C’est-à-dire que nous considérons ici les chants de longueur donnée [4] avec toutes les répétitions possibles.

83Remarquons que nous avons appris à calculer plus haut le nombre des chants de 4 notes :

84— où une note se répète 2 fois, une autre 2 fois ;

85— où une note se répète 2 fois, et où les deux autres sont distinctes,

86— etc.

87Il suffira alors, pour pouvoir répondre à notre question, de faire la liste exhaustive de tous les types possibles de chants ayant 4 notes, puis de calculer séparément le nombre de chants de chaque type, et d’additionner enfin les nombres ainsi trouvés.

88Nous avons 5 types de chants possibles :

Image 100000000000023E000000B88BC77D925C8458C4.jpg

89Pour calculer le nombre de chants d’un type donné, nous cherchons le type le plus simple qui lui soit « semblable ».

90Nous obtenons les résultats suivants :

Types des chants

Types élémentaires

Nombre des chants

1, 1, 1, 1

1, 1, 1, 1

C(22, 4) = 7 315

2, 1, 1,

2, 1, 1

3×C(22,3) = 4 620

2, 2

1, 1

C(22, 2) = 231

3, 1

2, 1

2 × C(22, 2) = 462

4

1

C(22, 1) = 22

Nombre total= 12 650

  • 19 C’est l’impression que pourrait avoir le lecteur qui s’en tiendrait au texte de l’Harmonie universe (...)

91Tel est le résultat très important auquel va aboutir Mersenne après ce qui aurait pu passer à première vue pour une suite dispersée d’exercices particuliers19. En fait, nous apercevons ici que les problèmes traités plus haut permettent maintenant de calculer K (22, 4) selon un procédé de décomposition méthodique. Ces problèmes n’étaient ainsi qu’autant d’étapes destinées à préparer le traitement général des Combinaisons avec répétitions, grâce à une analyse exhaustive, dans chaque cas, de toutes les possibilités.

2. Calcul de K (n, p) : cas où ne jouent plus les analogies

92Mersenne, cependant, n’était pas au bout de ses peines. La table précédente a pu être constituée en ne faisant appel à rien d’autre qu’aux simplifications exposées ci-dessus dans (A, 3). Mais il apparaît bien vite qu’on ne peut bénéficier de celles-ci lorsque le nombre des notes des chants augmente. Demandons-nous ainsi quel est le nombre des chants de 6 notes (toujours prises sur 22) dont le type est le suivant :

(2, 2, 1, 1).

93On ne peut faire jouer ici ni « analogies », ni « semblances » ; il faut calculer à nouveaux frais le nombre cherché :

Image 10000000000000DA0000003FE280589868588F49.jpg

94Cette constatation faite, il ne reste plus qu’à se livrer à de tels calculs chaque fois qu’ils sont nécessaires. C’est bien ce à quoi se résout Mersenne ; après avoir indiqué les limites d’application de sa table, il va montrer sur des exemples comment on peut pallier cette insuffisance :

  • 20 C’est la même que la Table de tous les chants qui ont plusieurs notes semblables dont nous avons pa (...)
  • 21 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Il est en effet certain qu’il y a beaucoup de répétitions de notes (...)

« Certum est tamen multas esse notarum repetitiones quae nulli praecedentis Tabulae20 numero respondent, quapropter exemplum affero Cantilenarum omnium, quae fieri possunt ex novem notis, quomodocumque repetitis, in quibus varietas ordinis non observabitur, ut ad istius exempli similitudinem alii numeri Cantilenarum ex notis simili modo repetitis compositarum iniri possunt21. »

  • 22 Sous le titre de Tabella novem notarum singularis [ « Table particulière pour neuf notes »] (id., p (...)
  • 23 Quia vero omnes dictiones non omnino respondent dictionibus praedictae tabulae, hic appono dictione (...)
  • 24 Fol. 1r°.

95Dans les Harmonicorum libri, Mersenne donne ainsi l’exemple des chants de 9 notes22. Dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, il donne les tables pour les dictions de 4, 5, 6, 7, et 9 lettres (prises sur 22)23, et l’on trouve dans le Manuscrit des chants de 8 notes une Table des « Chants de notes differentes ou semblables24 ».

96Les sommes qu’obtient Mersenne au bas de ces tables lui donnaient donc :

K(22, i) 4 ≤ i ≤ 9.

  • 25 Porro si quatuor litterae sumerentur in 10 litteris, haberentur 10 000 dictiones, cum ordine, vel 7 (...)

97Il donne également les résultats25 pour :

K (10, 4), K (10, 5), K (10, 6).

  • 26 Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, 2, p. 232.

98Jamais Mersenne ne donne le détail des calculs assez laborieux auxquels il a dû se plier pour établir toutes ses tables : il se contente de placer, face à chaque type de chant, le nombre de chants qui lui correspond. Aussi nous a-t-il paru utile de reprendre un cas traité par Mersenne lui-même26 et de préciser comment ont dû être obtenus les nombres qu’il nous donne, et de vérifier par là-même leur exactitude.

99Il nous semble qu’on peut avancer, au vu d’une telle table, que Mersenne connaissait la méthode pour résoudre le problème général suivant.

100Soient les chants de longueur p :

101— dont le type est : (i1, i2,…, ij)

[i1 + i2 +… + ij = p]

102— et tels que parmi ces coefficients de répétition, il y en ait :

Image 100000000000017A0000006D9F744569E0CA7E70.jpg

[k1 + k2 +… + ku = j].

103Le nombre de ces chants sera :

Image 10000000000000CE0000003E3E4D8202E514F067.jpg

104Tous les cas préliminaires examinés par Mersenne (section A, ci-dessus) entrent évidemment comme cas particuliers dans cette règle générale.

105En définitive, Mersenne savait donc calculer K (n, p) grâce au procédé suivant :

  • 27 En fait cette recherche qui n’a ici qu’un rôle préliminaire, et que M. Mersenne n’a effectuée que p (...)

106— on cherche tout d’abord de combien de manières différentes le nombre p peut être formé par addition de nombres entiers soit égaux, soit inégaux27. Chacune de ces décompositions de p en nombres entiers nous donne ce que nous avons appelé un type de chants ;

107— on calcule le nombre de chants appartenant à chaque type. On simplifie si possible ce calcul en essayant de se ramener à des types élémentaires ;

Figure 2 – Justification des résultats donnés par Mersenne dans la Table des Dictiones 7 literarum ordine sublato [ « Dictions de 7 lettres, sans tenir compte de l’ordre »] (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232)

Image 1000000000000214000003CC232D8516AF271AE5.jpg

108— on additionne les nombres obtenus pour chacun de ces types de chants. La somme donne K (n, p).

109Ce procédé devient extrêmement laborieux dès que n et p sont un peu grands, et si on ne s’intéresse qu’à la valeur de K (n, p) il est très lourd. L’on pourrait donc se demander si Mersenne l’a utilisé faute de mieux, parce qu’il ignorait la formule directe :

Image 10000000000000CA00000044742434362E13DB91.jpg

110Mais Mersenne avait en fait des raisons particulières de s’attacher à ce procédé indirect, et il a su en tirer la leçon qu’il en attendait quant aux rapports qui lient les Combinaisons avec répétitions et les Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p.

C. Rapports entre les calculs de K (n, p) et C(n, p)

1. Reprise en considération de l’ordre

(a) On tient compte de l’ordre : passage de K (n, p) à C(n, p)

111Considérons toujours les chants de quatre notes. Calculons comme nous l’avons fait précédemment, le nombre des chants ayant pour type : (2, 2). Leur nombre : 231, est obtenu, rappelons-le, en supposant qu’on ne tient pas compte de l’ordre des notes dans chaque chant, ce qui rend (2, 2) équivalent à (1, 1).

112Nous pouvons nous proposer maintenant d’introduire la considération de l’ordre dans chacun des chants d’un type donné.

113Soit le chant :

114UT UT RÉ RÉ

115appartenant au type (2, 2), et contenant 2 UT et 2 RÉ. Si nous permutons de toutes les manières possibles les notes de ce chant, nous obtiendrons :

Image 100000000000009E0000003F33BB2C2217B0C17E.jpg

116Autrement dit, le nombre des chants du type (2, 2), lorsqu’on tient compte de l’ordre des notes dans les chants, sera :

Image 10000000000000AE0000003EBB0DFE2C74F71841.jpg

117Or nous pouvons faire maintenant un calcul analogue pour tous les types possibles de chants de 4 notes : nous prenons le nombre de chants d’un type donné calculé lorsqu’on ne tient pas compte de l’ordre des notes dans les chants, et nous multiplions ce nombre par un certain coefficient de multiplication. Les coefficients de multiplication intervenant pour les différents types suivants :

118(1, 1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1), (2, 2), (4)

119seront respectivement :

Image 10000000000000AD0000003A5BF17FEF13628568.jpg

120Si nous additionnons entre eux les résultats obtenus, la somme nous donnera le nombre des Arrangements avec répétitions de 22 notes prises 4 à 4.

121Tel est le calcul qu’a dû effectuer Mersenne pour aboutir à la table que nous reproduisons ci-après où, après avoir calculé le nombre des notes de 4 lettres, selon tous les cas de répétition possibles, sans tenir compte de l’ordre (sublato ordine), il examine ensuite les mêmes cas en tenant compte de l’ordre (ordine restituto). Nous faisons suivre cette table d’un tableau explicatif où nous donnons le détail des calculs auxquels a dû se livrer Mersenne, et dont il ne livre que les résultats.

Figure 3 – « Table des mots de 4 lettres selon que l’ordre est ôté ou qu’il est restitué » (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232)

Image 100000000000019E0000024A26D37FFACCA7E48C.jpg

Figure 4 – Table explicative de la table précédente

Image 1000000000000284000001DF481245B1C113213F.jpg

(b) Passage inverse

122Rien n’empêche évidemment de faire les calculs en sens inverse, c’est-à-dire de passer sur notre tableau explicatif, d’une ligne de la colonne (b) à une ligne de la colonne (a) ; on procédera par division, au lieu de procéder par multiplication. Peut-être Mersenne veut-il suggérer cette possibilité, lorsque, présentant le même problème dans les Harmonicorum libri, il commence par dire ce qui se passe, lorsqu’on « conserve la variété de l’ordre » pour aborder ensuite les cas où on « ôte » cette variété.

  • 28 Mersenne 1636b, VII, p. 139. [ « En effet, quatre lettres prises parmi les 22 lettres de l’alphabet (...)

« Enimvero quatuor litterae in 22 Alphabets litteris assumptae suggerunt 234 256 dictiones, quando servatur ordinis varietas, quarum 175 560 suas omnes litteras differentes habent, nec enim ulla bis aut ter repetitur : cum enim duae litterae sunt similes, habentur solum dictiones 55 440 ; si una ter repetatur, erunt 1 848 ; cum una bis, & altera bis, nascuntur 1 386 dictiones ; sed cum omnes similes fuerint, 22 duntaxat oriuntur.
Quod si tollatur ordinis de quo iam toties, varietas, erunt solummodo 12 650 dictiones quarum 7315 suas omnes litteras differentes habent ; 4 620 habent duas similes ; si vero 3 similes fuerint, habentur 462, quemadmodum 231, si una bis, & altera bis repetatur ; denique si omnes similes fuerint, 22 dictiones orientur28. »

2. Parallélisme entre les deux méthodes indirectes pour calculer K (n, p) et C(n, p)

  • 29 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232. Nous revenons ci-dessous (D, 2, b) sur la f (...)

123Dans la Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, Mersenne a donné des tables analogues à celle reproduite ci-dessus pour les mots de 5 et 6 lettres29.

  • 30 Mersenne 1636b, VII, p. 139.

124Dans les Harmonicorum libri, il ne donne qu’une seule table, intitulée Tabella novem notarum singularis [Table particulière pour neuf notes]30, dont nous extrayons une ligne pour montrer qu’ici, les résultats « sans ordre » et « avec ordre » correspondant à un même type de chants se trouvent sur une même ligne.

[type des chants]

absque ordine

cum ordine

[sans l’ordre]

[avec l’ordre]

(7, 2)

462

16 632

125Chacune de ces tables aboutit pour finir à deux sommes :

126— l’une qui donne les Combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p ;

127— l’autre qui donne les Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p.

128Il ressort de tout ceci ce résultat essentiel :

129Mersenne vient de développer, parallèlement au procédé indirect permettant de calculer K (n, p) un procédé analogue permettant de calculer C(n, p).

D. Méthode directe pour calculer K (n, p)

130Une question vient alors naturellement à l’esprit : il existe pour calculer C(n, p) une règle simple, bien plus aisée que ce procédé indirect. Est-ce également le cas pour K (n, p) ? Y aurait-il moyen pour obtenir ce nombre d’éviter les longs détours de dénombrements qui deviennent vite fastidieux ? Mersenne s’est bien préoccupé de cette possibilité mais dans deux ouvrages seulement, la Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, et les Reflexiones physico-mathematicae ; et il l’a enveloppée chaque fois d’attendus assez bizarres et obscurs à première vue. Aussi, pour y voir plus clair, allons-nous commencer par prendre connaissance de la nouvelle règle introduite par Mersenne, avant d’essayer de comprendre la manière dont il la présente.

1. Présentation d’un calcul

131À quelques différences près d’expression, on trouve commentée, dans les deux ouvrages mentionnés, la construction de la table suivante :

22

1

253

2

2 024

3

12 650

4

65 780

5

44 352 165

10

132On dispose de 22 lettres ; cette table donne le nombre de mots formés avec 22 lettres prises 1 à 1, 2 à 2... 10 à 10, lorsqu’on ne tient pas compte de l’ordre des lettres dans les mots. Les nombres qu’elle comporte doivent donc correspondre à K (22, 1), K (22, 2), K (22, 3), etc., et nous allons constater qu’il en est bien ainsi.

  • 31 Mersenne 1647, p. 208. [ « Sont écrits d’abord les nombres 1, 2, 3, 4, etc., jusqu’à ce que tu parv (...)

« Scribantur primo numeri 1, 2, 3, 4, & c., donec assequaris numerum litterarum ex quibus dictio componitur, verbi gratia vsque ad decem, pro dictionibus 10. litterarum, & regione 1, scribatur 22, ob dictiones, quae fieri possunt ex dictionibus vnilitteris31. »

  • 32 Cela n’est pas sûr, car la tournure de la phrase correspondante de la Suite manuscrite des Quaestio (...)

133Dans la colonne de droite, sont donc portés les nombres de lettres contenues dans les mots considérés. Le « & c. » indique peut-être32 que Mersenne avait remarqué que la table pouvait être poursuivie aussi loin qu’on voulait.

134Nombre des mots de 1 lettre : 22.

  • 33 Mersenne 1647, p. 208. [ « Tu auras les mots composés de 2 lettres, en divisant le nombre précédent (...)

135Nombre des mots de 2 lettres : « Dictionis ex 2 litteris compositas habebis, diviso praecedente numero 22 per 2, quotiens erit 11, quos duco in 22, plus 1, hoc : est in 23, unde procedit 253 pro numero dictionum 2 solum litteras habentium33. »

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  • 34 Ibid. [ « Les mots de 3 lettres sont obtenus en divisant 235 par 3, d’où nait le quotient 84 1/3, e (...)

136Nombre des mots de 3 lettres : « Trium litterarum dictiones habentur, diviso 253 par 3. ut quotiens 84 1/3 nascatur, & addito binario 22, ut sint 24, quibus in 84 1/3 ductis oritur 2024, pro dictionibus 3. litterarum34. »

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  • 35 Ibid. [ « [Le nombre 2024] qui divisé par 4 donnera les mots de 4 lettres, le quotient sera en effe (...)

137Nombre des mots de 4 lettres : « [Numerus 2024] qui per 4 divisus dabit dictiones 4 litterarum, erit enim quotiens 506. Addatur ternarius 22, vt fiat 25, in quem ducto quotiente 506, productus dat 12650, pro dictionibus 4 litterarum35. »

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  • 36 Ibid. Cf. Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 240 : qua etiam ratione numerus aliaru (...)

138Mersenne ajoute : & ita de reliquis [et ainsi des autres]36 ; il a ainsi calculé les nombres de sa table par récurrence :

Image 1000000000000143000000CB6EBBE781B3ACA422.jpg

139Il n’en dit pas davantage, mais cela suffit, semble-t-il, pour attester qu’il possédait bien la formule de récurrence suivante :

Image 100000000000013F00000044F2950E3F1374393B.jpg

2. « Ôter l’ordre » de la Table de C(n, p)

140N’est-ce pas toutefois aller trop loin ? Mersenne a très bien pu connaître K (22, 1), ..., K (22, 10) par sa méthode indirecte, et chercher ensuite selon quels calculs numériques ces nombres déterminés se déduisaient les uns des autres. On ne pourrait pas affirmer en ce cas qu’il ait eu connaissance d’une règle générale. Aucun argument tout à fait décisif, reconnaissons-le, ne permet d’écarter absolument une telle hypothèse. Si nous inclinons malgré cela à tenir pour générale cette règle, c’est que Mersenne l’insère dans un plan d’ensemble qui la met sur le même pied que les autres préceptes de l’art de combiner.

(a) Caractère équivoque de cette expression

  • 37 La Prima tabula generalis Combinationis donnant C(22, 1), C(22, 2), ..., C(22, 22).

141Dans les Reflexiones physico-mathematicae, la table citée ci-dessus a pour titre : Sexta Tabula generalis Combinationis absque ordine [Sixième Table générale de combinaison sans l’ordre] ; Mersenne va jusqu’à dire d’elle qu’elle est « composée à partir de la Table de la combinaison générale, dont on aurait enlevé la variété de l’ordre » (quae componitur ex prima generali37, ex qua fuerit ablata varietas ordinis). C’est là manifestement un abus de langage. Il y a bien un rapport de signification entre les deux tables :

142— celle des Arrangements avec répétitions de 22 lettres prises p à p ;

143— celle des Combinaisons avec répétitions de 22 lettres prises p à p.

144La seule différence entre les mots considérés dans chacune d’elles est qu’on tient compte ou non de l’ordre des lettres dans les mots. Mais on ne peut dire que la seconde table soit tirée, déduite directement de la première.

  • 38 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 240. [Expliquer la méthode pour ôter l (...)

145La Nona Propositio de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim accuse encore mieux cet abus d’expression, mais permet de bien élucider en fin de compte les intentions de Mersenne. Cette proposition a pour titre : Combinationis ordinariae ab aliis varietatibus auferendae methodum explicare38. » Dans le premier cas examiné par Mersenne, l’expression « ôter la combinaison ordinaire » garde le sens strict que nous lui avons déjà vu donner :

  • 39 Id. [ « La combinaison à ôter est expliquée par la première proposition et déjà enlevée de la table (...)

« Combinatio auferenda prima propositione explicata est [Permutation] et iam ex tabula varietatum tertiae propositionis ablata [A(22, p)] beneficio tabulae quartae propositionis [C (22, p)] [...]39. »

Image 10000000000000B7000000450DB23DAC9F41FD0B.jpg

146Or Mersenne ajoute immédiatement :

  • 40 Id. [ « C’est pourquoi elle est en fait enlevée de la table générale de la proposition 6. »]

« ita vero ex tabula generali 6 propositionis [table donnant C(22, 1), C (22, 2), ..., C (22, 22)] aufertur40. »

147Après quoi il donne les calculs analysés ci-dessus donnant K (22, 1), ..., K (22, 10).

  • 41 Si nous insistons sur ce point, c’est que Frenicle croira un moment à l’existence d’une telle règle (...)

148Ce qui pourrait faire croire que, non seulement, on peut déduire la Table de K(n, p) à partir de celle de C(n, p), mais que cette déduction se fait grâce à la « combinaison ordinaire ». Mersenne paraît annoncer une règle de calcul, analogue à celle qui permet d’obtenir C(n, p) à partir de A(n, p), en divisant ce dernier nombre par la « combinaison ordinaire » de p : une telle règle donnerait simplement K(22, p) en fonction de C(n, p)41.

149En fait, une telle règle n’existe pas effectivement, et c’est tout autre chose, avons-nous vu, que nous livre Mersenne : c’est un moyen de calculer K (22, p) sans aucune référence à C (n, p). On voit donc que l’expression : « ôter la combinaison ordinaire » doit être prise en l’occurrence comme équivalente à l’expression : « ne pas tenir compte de l’ordre ».

150Reconnaissons que Mersenne nous l’avait laissé entendre dans la phrase qui précède la Nona Propositio : « combinaison ordinaire » signifiera ici, en un sens large, « variété des lieux » :

  • 42 Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, 2, p. 240. [ « Mais comme j’avais promis dans la propo (...)

« Cum auteur propos. 5 pollicitus fuerim methodum, qua combinatio ordinaria, seu varietas locorum aufertur ab aliis varietatibus, sequente propos. satisfacio42. »

151Il ressort de tout ceci que Mersenne met en parallèle avec raison les tables construites d’après les formules :

Image 10000000000001780000005E7A922432A05FBC38.jpg

152D’un côté, on a la Table de la combinaison générale [avec ordre], de l’autre la Table de la combinaison générale sans ordre.

(b) Méthode directe et méthode indirecte

  • 43 Cf. ci-dessus, C, 2.
  • 44 Pour le contexte dans lequel se situe cette phrase, cf. ci-dessus, p. 214, la Table des Dictiones 4 (...)

153Souvenons-nous ici que Mersenne avait déjà mis en parallèle les calculs de C (n, p) et de K (n, p) à propos de ce que nous avons appelé la méthode indirecte de déterminer ces nombres43, et revenons à la Proposition V à laquelle vient de nous renvoyer Mersenne dans la phrase citée ci-dessus, et où il avait « promis la méthode grâce à laquelle la combinaison ordinaire, ou varieté des lieux est ôtée des autres varietés ». En fait de promesse, Mersenne avait seulement écrit ce qui suit44 :

  • 45 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 233. [ « En continuant, il est facile de (...)

« Porro facile est ordinem dictionibus 7 et 9 litterarum restituere, sicut et aliis combinationibus, e quibus sublatus, ut postea demonstrabitur : nunc enim accedendum est ad varietatem dictionum, sive combinationum omnium generalissimam, quae reliquas ambitu suo complectitur, adeo ut illae sint veluti partes huius, ut constat ex sequenti propositione45. »

  • 46 Ceci est si vrai que Mersenne, dans la Nona Propositio de la Suite manuscrite des Quaestiones in Ge (...)

154Autrement dit, pour « restituer l’ordre », lorsqu’on a déjà calculé K (22, 7) et K (22, 9) par la méthode indirecte, on calculera C(22, 7) et C(22, 9) par la méthode directe. Mais ce que ne dit pas Mersenne, c’est qu’on perd ainsi le bénéfice de la distinction des cas offerte par la méthode indirecte, et, faute de différencier nettement ses deux méthodes46, il a obscurci un plan qui aurait pu être très cohérent, et qu’on pourrait schématiser ainsi :

155— méthode indirecte : elle exige l’analyse exhaustive de tous les cas possibles selon les modes de répétition des lettres dans les mots ; elle devient vite, de ce fait, très longue à mettre en œuvre, mais elle a cet avantage de mettre en relief la solidarité entre le calcul de C(n, p) et celui de K (n, p) ; plus précisément encore, on peut ici à volonté « ôter l’ordre » ou « restituer l’ordre » grâce à la « combinaison ordinaire » ;

156— méthode directe : elle met sur le même plan tous les cas possibles, sans se soucier des différents modes de répétition des lettres dans les mots ; elle a le mérite de fournir deux règles de calcul mécaniques et faciles, mais ces deux règles ne sont pas solidaires entre elles.

157Mersenne a construit son exposé selon d’autres articulations qui, si elles sont motivées, masquaient la nature de ces oppositions simples. Il a suivi le chemin suivant :

158— la méthode indirecte permettant de calculer K (n, p) a pour conséquence une méthode indirecte permettant de calculer C(n, p) ;

159— or il existe une méthode directe permettant de calculer C(n, p) ; cette méthode « restitue l’ordre » dans tous les cas examinés précédemment dans l’étude de K(n, p) ;

160— on se demandera ensuite comment on peut « ôter l’ordre » pour toutes les « variétés » possibles : Arrangements, Arrangements avec répétitions.

161D’où il est advenu que Mersenne n’a pas mis en valeur, sur le même plan que la « combinaison générale », la règle concernant la « combinaison générale sans ordre ». C’est peut-être qu’il a senti ce qu’avait d’insatisfaisant le procédé par récurrence que pour les besoins de notre exposé, nous avons appelé la méthode directe :

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162Peut-être a-t-il cherché en vain ce que nous désignerons comme la formule directe : qui aurait eu plus de prix à ses yeux, du fait de sa plus grande simplicité.

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E. Frenicle : la formule directe donnant K(n, p)

1. Texte de l’Abrégé des combinaisons

163Frenicle, disons-le sans plus tarder, a dominé mieux que Mersenne le problème des Combinaisons avec répétitions ; mais ne cachons pas non plus que nous aurons quelque peine à débrouiller l’écheveau des passages où il en parle.

  • 47 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, A.

164Rappelons que Frenicle range nos Combinaisons avec répétitions sous la rubrique de la « Combinaison de changement, lorsque les choses peuvent être semblables » (combinaison de changement II)47. Les deux éléments qui entrent dans cette définition vont l’inciter à conduire son analyse selon une double voie.

165La combinaison de changement II :

  • 48 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, D, 2.

166— est analogue en partie à la combinaison mêlée II en ce que, dans ces deux combinaisons, « les choses peuvent être semblables ». Aussi Frenicle va-t-il utiliser dans les deux cas les mêmes exemples, à la seule différence près qu’il précisera si l’on tient compte de l’ordre, ou si l’on n’en tient pas compte : ces exemples, analysés plus haut, sont celui des 12 cartes prises dans 12 jeux de 36 cartes chacun, et celui du cent de fruits pris dans 6 paniers, chaque panier contenant 100 fruits d’une espèce distincte de celle des fruits contenus dans des autres paniers48 ;

167— est analogue en partie à la combinaison de changement I, par le fait que dans les deux cas, on n’a pas égard à l’ordre.

  • 49 Cf. ci-dessous, dans cette même section E, le § 3.

168C’est vers cette seconde analyse que Frenicle va tout d’abord se porter, pour établir entre le calcul de ces deux combinaisons une manière de parallélisme qui risquait d’égarer son lecteur, et qui, de fait, comme nous le verrons plus loin, put troubler Mersenne49.

(a) Calculs de K(36, 12) et K(6, 100) ; calcul de K(n, p)

  • 50 Frenicle 1729, p. 99.

« Nous avons dit que la combinaison de changement était de deux sortes : l’une où toutes les choses sont differentes comme aux douze cartes du piquet ; l’autre où elles peuvent être indifferemment, ou toutes differentes, ou toutes semblables, ou en partie dissemblables & en partie semblables, comme si on prenait les douze cartes du piquet dans douze jeux de piquet. Pour l’une et l’autre sorte de choix, il faut faire douze nombres par multiplication, compris le premier qu’on multiplie, qui est 36, à cause qu’il y a trente six sortes de choses : mais pour le premier où tout est different, il faut multiplier par les nombres inferieurs, sçavoir par 35, & le produit par 34, & c. & pour le second qui peut avoir des choses semblables, il faut multiplier par les superieurs, sçavoir par 37, 38, & c.
Ce qu’il faut observer en ceci, est que le nombre par lequel on commence les multiplications est celui de la varieté, & la multitude des nombres qu’il faut trouver par les multiplications le premier compris, est la multitude des choses50. »

169Se lançant ensuite dans un exemple particulier, Frenicle laisse sa règle incomplète : il nous a dit que pour connaître C(36, 12) et K(36, 12), il fallait calculer respectivement :

36 × 35 × ⋯ × 25

36 × 37 × ⋯ × 47

170et il omet d’indiquer que dans chacun de ces cas, il faut diviser chacun de ces nombres par 12 !

171Frenicle répare son étourderie en calculant effectivement :

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172et poursuit en ces termes :

  • 51 Id., p. 100-101.

« Reste à donner un exemple de la même combinaison de changement, lorsque les choses peuvent être semblables.
Que les douze cartes se prennent dans douze jeux de piquet de trente-six cartes chacun, afin qu’elles puissent être toutes semblables, il faudra, comme on a dit ci-devant, multiplier 36 par les nombres suivans, sçavoir par 37, 38, & c. tant qu’on ait 12 nombres ou produits, sçavoir autant que la multitude des choses, & ainsi le dernier nombre qui multipliera sera 47, puis diviser le produit par l’ordre du nombre de la multitude, sçavoir par l’ordre de 1251. »

173Autrement dit :

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  • 52 Id., p. 101.

« De même pour les six paniers de fruits dans tous lesquels on choisit cent fruits à discrétion, avec liberté de prendre si on veut tous les cent de même espece, & d’un même panier.
Parce que le nombre de la variété est 6, je prens 6 pour le terme ou commencement des multiplications ; je le multiplie donc par 7, & le produit 42 par 8, & le produit par 9, tant qu’on ait 100 nombres, compris 6, & ainsi le dernier nombre qui multipliera sera 105, qui surpasse 6 de 99, sçavoir 1 moins que le nombre de la multitude 100, à cause que 6 est compté pour le premier nombre ; & le dernier produit étant divisé par l’ordre de cent choses, qui est la multitude des choses qu’on prend, donnera le nombre requis52. »

174Autrement dit :

Image 10000000000000FD0000003E97DD490BC1E01328.jpg

175À n’en pas douter, Frenicle possédait donc la formule directe permettant de calculer le nombre des Combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p.

176Dans le passage précédent, Frenicle a noté que « le dernier nombre qui multipliera sera 105, qui surpasse 6 de 99, sçavoir 1 moins que le nombre de la multitude 100 ». En usant de cette indication ainsi que des expressions contenues dans les citations précédentes, nous pouvons tenter de formuler ainsi la règle générale que suit Frenicle.

177Soit à calculer K(n, p) :

178— n est le nombre de la variété,

179— p est le nombre de la multitude.

180On multipliera n par tous les nombres immédiatement supérieurs jusqu’à et y compris le nombre (n + p − 1), c’est-à-dire le nombre qui surpasse n de p − 1, « sçavoir 1 moins que le nombre de la multitude ».

181On divisera le nombre obtenu par « l’ordre » de p.

182On aura donc :

Image 100000000000012E000000448F4E3AA59CF03B57.jpg

183Concernant le second exemple, répétons la remarque que nous avons déjà faite à propos de la combinaison mêlée II : il se peut que ce soit à dessein que Frenicle ait choisi ici les nombres n et p tels que n < p.

184Frenicle connaissait la formule :

Image 10000000000000D000000044F69B51F8EE29384E.jpg

185qui abrège les calculs si on dispose d’une Table des Permutations (« combinaison d’ordre la plus ordinaire »).

  • 53 Id., p. 101.

« Que si on avait des tables faites de la combinaison d’ordre qui est la plus ordinaire & la plus en usage, on y pourroit prendre la combinaison de 105, sçavoir de 1 moins que la somme des deux nombres de varieté & de multitude, & la diviser par la combinaison de 5, sçavoir de 6 - 1 ; car si on avait commencé par 2 à multiplier, & qu’on eût continué jusques à 105, on auroit la combinaison de 105 : mais parce qu’on n’a commencé que par 6, il s’ensuit que le produit devroit être multiplié par la combinaison de 5 pour parvenir à celle de 105 ; & par conséquent, si on divise celle de 105 par celle de 5, on aura le nombre requis, qui doit être divisé par celle de 100, comme il a été dit53. »

186Frenicle avait à calculer : K (6, 100). Sa règle consistait à effectuer :

Image 10000000000000990000003E612EBA87B032B584.jpg

Et il remarque que le numérateur est égal àImage 100000000000003F0000003845E1795BDF079A8D.jpgOn aura donc :

Image 10000000000000EB000000400C1D30C05E92EB7A.jpg

« Mais parce que de si grandes divisions & multiplications sont ennuyeuses, on se pourra servir du moyen suivant pour se passer de la division, & diminuer beaucoup les multiplications. »

  • 54 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, C, 3, p. 219 — 220.

187Ce moyen n’est autre que la méthode de simplification dont nous avons déjà parlé54 à propos de la Combinaison de changement I.

(b) Liens entre Combinaisons simples et Combinaisons avec répétitions

188Voici maintenant une remarque d’une tout autre importance. Frenicle connaissait la relation (que Mersenne ne semble pas avoir soupçonnée) qui lie entre elles Combinaisons sans répétition et Combinaisons avec répétitions :

C(n, p) = K(n − p + 1, p).

  • 55 Frenicle 1729, p. 104-105.

« De ce qui a été dit, il s’ensuit que tout nombre qui dénote la varieté des choses différentes sans l’ordre, dénote aussi la varieté de quelques autres, entre lesquelles toutes ou quelques-unes peuvent être semblables pareillement sans l’ordre, exemple. Le nombre qui montre la varieté de douze cartes prises dans trente six [C(36, 12)], montre aussi la varieté de douze cartes prises dans douze jeux de vingt-cinq cartes chacun, c’est à dire, supposant douze jeux semblables, chacun desquels auroit vingt-cinq cartes differentes [K (25, 12)].
La raison se tire de l’opération, car aux deux cas des cartes differentes ou semblables, on prend le nombre de la varieté pour le premier, & si les choses sont differentes, on prend les nombres moindres [36, 35...] : que si elles peuvent être semblables, on en prend autant qui soient plus grands que le nombre de la variété [25, 26...] : mais si du grand nombre comme 36, on descend au moindre 25, & qu’on multiplie les nombres qui sont entre eux, comme il a été dit, on aura le même produit, que si on prend 25 pour le nombre de la varieté, & qu’on monte jusqu’à 36 :
[36 × 35 ×… × 25 = 25 × 24 × ⋯ × 36]
mais le premier se fait quand les choses sont differentes, & le second quand elles peuvent être semblables : donc un même nombre montre la combinaison des choses differentes, & de celles aussi qui peuvent être semblables, en le divisant par la combinaison d’ordre de douze choses [12 !] : mais des deux nombres qui sont les extrêmes de ceux qui le multiplient, le plus grand sera la varieté des choses quand elles sont toutes differentes, comme 36 ; &, le moindre 25, quand les choses peuvent être toutes semblables55. »

189Frenicle ajoute, dans des termes embarrassés, un autre exemple où l’on passe, à l’inverse, des « cartes semblables aux différentes » :

K (36, 12) = C(47, 12)

190exemple qui illustre la formule :

K(n, p) = C(n + p − 1, p).

  • 56 Id., p. 105.

« De même, le nombre qui représente la diversité ou combinaison de douze cartes prises en douze jeux de trente-six cartes chacun [K (36, 12)], montre aussi la combinaison de douze cartes prises en quarante-sept [C(47, 12)]. Ainsi pour passer des cartes semblables aux differentes, on change la varieté des cartes, & on prend le douziéme nombre en augmentant si on se sert de douze cartes chaque fois, & au lieu de 36, on aura 4756. »

191Nous pouvons résumer ainsi les deux cas analysés par Frenicle. Soit n le nombre de la variété, et p le nombre de la multitude.

  • 57 Après la dernière phrase que nous avons citée, Frenicle reprend en ces termes son premier exemple : (...)

192Passage des choses différentes aux choses semblables57 : nous connaissons C(n, p) ; cette combinaison de changement I dénote une combinaison de changement II qui s’obtient ainsi : il faut prendre le pe nombre en diminuant à partir de n pour avoir le nombre de sa variété ; le nombre de la multitude est le même :

C(n, p) = K(n − p + 1, p).

193Passage des choses semblables aux choses différentes : nous connaissons K (n, p) ; cette combinaison de changement II dénote une combinaison de changement I qui s’obtient ainsi : il faut prendre le pe nombre en augmentant à partir de n pour avoir le nombre de sa variété ; le nombre de la multitude est le même :

K(n, p) = C(n + p − 1, p).

  • 58 Cf. ci-dessous, ch. 4, D, 2.

194Nous dirons dans le chapitre suivant le parti que Frenicle pouvait tirer de ces deux relations58.

2. Une tentative de calcul avortée : croyance à un passage aisé de C (n, p) à K (n, p)

  • 59 Voici un bel exemple des pièges où peut se laisser prendre l’interprétation historique. Au début de (...)

195Les brouillons autographes ont ceci de précieux qu’ils peuvent conserver la trace de tâtonnements que l’auteur effacera par la suite. Ainsi avons-nous eu la surprise59 de constater que Frenicle avait commencé par commettre une erreur grave : il s’est laissé prendre un moment à une analogie fallacieuse.

196Il savait que le nombre des Combinaisons de n objets pris p à p est égal au nombre des Arrangements de n objets pris p à p divisé par p !, c’est-à-dire par la « combinaison de l’ordre » de p choses différentes.

197Et il a cru qu’on pouvait inférer de là un procédé analogue de division qui ferait connaître sans mal « la combination de changement lorsque des lettres peuvent être semblables ». Il a estimé à première vue qu’on avait le droit de modifier simplement l’énoncé précédent en y substituant terme à terme les notions relatives aux cas où des répétitions sont permises. Ainsi a-t-il été conduit à poser l’égalité suivante :

198Le nombre des Combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p est égal au nombre des Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p divisé par « la combination de l’ordre de p choses tant semblables que differentes ».

199Nous lisons en effet dans le manuscrit autographe de Frenicle ce passage qu’il a biffé par la suite :

  • 60 Archives de l’Académie des sciences, Frenicle mss a, p. 8.

« Toute combination meslée estant divisée par l’ordre donne la combinaison de changement.
Si donc on divise la derniere combination nommee generale par la combination de l’ordre des choses, tant differentes que semblables apartenant a la multitude des choses proposees, on aura la varieté des amas qu’on pouroit faire de diverses choses, prises dans plusieurs soit qu’on les prit toutes semblables, ou toutes differentes, ou partie semblables [sic]60. »

200Et Frenicle d’ajouter un exemple qui ne laisse plus aucun doute sur le sens de ce qui précède :

  • 61 Ibid.

« On aura la varieté des jeux de 12. cartes qu’on pouroit avoir si on les prenoit dans 12. jeux de 36 chaqu’un, en divisant la 12e puissance de 36 (qui est la combination generale) par la combination de l’ordre de 12 choses tant semblables que differentes61. »

  • 62 Frenicle, après le texte cité plus haut, calcule sur un exemple le nombre des Arrangements avec rép (...)

201Toutefois, Frenicle ne tarde pas à s’apercevoir qu’il s’est engagé dans une voie délicate, et que ce qu’il vient de proposer est plus facile à dire qu’à faire62. Car, pour « la combination ordinaire », on sait clairement ce qu’elle signifie : soit à calculer C(n, 4) ; on divise A(n, 4) par 24 parce qu’on sait que 4 lettres distinctes a, b, c, d donnent lieu à 4 ! = 24 Permutations, et qu’il en sera de même de tout autre Combinaison de 4 lettres prises sur n. L’« ordre de la combination ordinaire » a donc une valeur déterminée : 4 !, et diviser A(n, 4) par 4 ! est une opération bien définie.

202Par contre, que peut signifier « l’ordre des choses tant differentes que semblables appartenant à la multitude des choses » ? Cette expression ne désigne plus, comme plus haut « l’ordre de la combination ordinaire », une notion qui ait un sens univoque. Tel est le principe de l’objection que Frenicle s’est adressée à lui-même ; mais l’argumentation par laquelle il la développe est bien confuse :

  • 63 Archives de l’Académie des sciences, Frenicle, ms. a, p. 8. Le texte de l’imprimé (Frenicle 1729, p (...)

« Et pour ce que la combination generale contient la combination de l’ordre de toutes les façons possibles, tant de choses semblables que differentes, on ne la peut pas diviser par le dit ordre, car plusieurs diviseurs etant assemblés font autre chose qu’etant separés, or est-il qu’en la dite combinaison generale l’ordre y est compris de toutes les façons possibles63. »

203Par exemple, ajoute Frenicle, si on a 4 choses on remarquera que :

la varieté comme

a, b, c, d,

se change en

24

façons

"

a, a, b, c,

"

12

"

"

a, a, a, b,

"

4

"

"

a, a, b, b,

"

6

"

"

a, a, a, a,

"

1

"

204Ce qui fait en tout 47 façons.

« Or tous ces nombres ensemble font 47 qui etant nombre premier ne pouroit pas diviser aucune puissance (dont la combinaison generale est faite) si elle n’avoit 47. pour racine. Il faudroit aussy prendre garde que l’ordre de 4. ayant 5 varietes, il faudroit diviser 47 par 5. mais cette division est trop incommode ; il vaut mieux passer à d’autres règles plus faciles, & plus intelligibles. »

205Quel est le calcul dont Frenicle a d’abord envisagé la possibilité ?

206Pour calculer C(n, p), on divise A(n, p) par 4 !, et 4 ! est le nombre de Permutations auxquelles peuvent donner lieu 4 lettres déterminées a, b, c, d.

  • 64 Nous utilisons ici à dessein le même terme que celui que nous avons employé plus haut à propos de t (...)

207Comment déterminer le nombre par lequel il faudrait diviser C(n, p) pour obtenir K (n, p) ? Si nous voulons procéder par analogie avec le cas précédent, une difficulté se présente aussitôt : prenons à nouveau 4 lettres déterminées a, b, c, d. Du fait des répétitions possibles des lettres, l’ordre interviendra différemment selon la distribution des lettres distinctes et des lettres répétées dans les mots de 4 lettres. Nous avons 5 « types64 » possibles de mots ; et par exemple, les mots formés comme aabc, où une même lettre se répète deux fois, sont au nombre de 12 ; de même :

208le nombre des mots de type (1, 1, 1, 1) est 24

"

(2, 1, 1)

"

12

"

(3, 1)

"

4

"

(2, 2)

"

6

"

(4)

"

1

209Ces cinq nombres doivent définir le diviseur cherché. Frenicle a posé, sans se justifier, que ce diviseur devait être la somme de ces cinq nombres. On aurait donc en ce cas :

Image 10000000000000D600000041A6DDB529FD8E9A2B.jpg

210Or cette division n’est possible que si n est un multiple de 47. La règle envisagée ne saurait donc être légitime.

211Frenicle s’est dit ensuite qu’il avait eu tort de ne pas tenir compte, dans le calcul précédent, du nombre des « types » de mots, de ce qu’il appelle le nombre des « variétés » mais « diviser 47 par 5 » ne facilite rien, et Frenicle quitte ce sujet épineux avec une formule ambiguë : « il vaut mieux passer à d’autres règles plus faciles, & plus intelligibles ». Espérait-il encore à ce moment-là que la voie qu’il avait essayé d’emprunter restait encore ouverte malgré l’échec personnel qu’il y avait subi ?

  • 65 Cf. la phrase citée ci-dessus, p. 228, note 63 : « Et parce que la combination generale... de toute (...)
  • 66 Cf. la phrase citée ci-dessus, p. 228 : « Or tous ces nombres ensemble... & plus intelligibles. »

212Toujours est-il que, dans le texte imprimé, on retrouve seulement le constat d’impossibilité : on ne peut pas diviser la « combination generale » par « ’ordre des choses tant differentes que semblables65 ». Frenicle dénombre bien encore les differentes « varietez » qu’on obtient avec 4 choses a, b, c, d, mais il a supprimé la phrase où il argumentait à partir du nombre 47 de ces « varietez66 », et il a ajouté pour ménager une transition avec le passage suivant : « mais voici comment on en séparera l’ordre ».

213Ce n’est pas là le seul passage de l’imprimé où se soit conservée une trace de l’échec qu’avait subi Frenicle dans sa première recherche sur les Combinaisons avec répétitions. On peut même dire que tout le plan de l’Abrégé en a été perturbé, et que cet ouvrage doit en partie sa confusion aux marques qui y subsistent d’une recherche avortée.

214Dans son plan primitif, Frenicle s’était proposé de parler de la « combination de changement » avant d’en venir à la « combination mêlée ». Mais à peine vient-il, dans le texte autographe, de donner deux exemples de la première de ces « combinations » qu’il passe à la « combination generale » :

« Mais pour ce que la combination generale & qui comprend toutes les autres est plus facile nous l’exprimerons premierement. »

215Cette décision brusque avait un motif encore plus précis. Frenicle croyait à ce moment-là que les règles concernant les deux sortes de combination de changement dériveraient des règles données pour les deux sortes de combination mélée : « Toute combination meslee estant divisee par l’ordre donne la combination de changement. »

216Or, une fois qu’il s’est rendu compte de son erreur, Frenicle, loin de lever l’équivoque, la renforce encore davantage ! Il a modifié le plan de son exposé, et justifie en ces termes le fait qu’il ne va traiter qu’en second lieu de la combination de changement.

  • 67 Frenicle 1729, p. 93.

« Il semble que l’ordre demanderoit qu’on traitât ensuite de la combination de changement ou de choix : mais parce qu’on trouve ses varietez par le moyen de la mêlée on traitera premiérement de celle-ci, & on commencera par celle qu’on nomme générale67. »

3. Mersenne a eu du mal à comprendre le propos de Frenicle

217Mersenne a recopié dans son exemplaire de main plusieurs passages du manuscrit de Frenicle relatifs à la combinaison de changement II. Certains d’entre eux ont fait lever des doutes dans son esprit, et l’ont laissé perplexe :

  • 68 Note manuscrite de Mersenne sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle, II, « Livre secon (...)

« Il y a une combination à expliquer qui est lors qu’on prend, par exemple 12 chartes du ieu de piquet dans 12 ieux de chartes differents ou dans le nombre des choses il y en a touiours à chasque fois quelqu’une differente, comme sy l’on veut sçavoir en combien de manieres on peut faire une compagnie de cent soldats, pris dans un regiment de mille hommes.
Pour les 12 cartes prises en 36, lors qu’on a 12 ieux semblables, il faut prendre 36 pour R, et 12 pour exposant, et partant ce sera le 12 puissance de 36 [...].
Neantmoins autre part Mr Fren. [Frenicle] dit que pour ces 12 cartes prises en 12 ieux de 36 cartes il faut multiplier 36 par 37, et le produit par 38 et coet. jusques à 11 multiplications, où le dernier multipliant sera 47 : et que pour en oster l’ordre il faut diviser par la combination ordinaire de 12 de mesme que pour sçavoir en combien de manieres on peut prendre 100 fruits en 6 paniers il faut multiplier 6 par 7 et le produit par 8 et ainsi consequemment iusques à avoir 100 nombres y compris 6 et ainsi le dernier nombre multipliant est 105, qui surpasse 6 de 99 : et le dernier produit divisé par l’ordre de 100 choses, donne le nombre requis.
Il faut donc concilier ces deux façons, et explicquer ce qu’il y a à dire68. »

  • 69 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, D, 2.

218Si Mersenne a eu du mal à comprendre le propos de Frenicle, c’est sans doute tout d’abord par l’aspect insolite qu’a dû prendre à ses yeux l’exemple où intervenaient 12 jeux de cartes. À vouloir maintenir le recours aux jeux de cartes pour illustrer un cas de « combinaison générale », Frenicle avait été contraint d’user d’une périphrase compliquée69 dont il n’est pas sûr que Mersenne ait clairement déchiffré le sens.

219Mais si Mersenne a cru percevoir une contradiction dans les règles de calcul proposées par son ami, c’est surtout parce que le texte qu’il avait sous les yeux pouvait très aisément prêter à confusion. Qu’on se souvienne en effet du parallèle établi par Frenicle entre les deux calculs suivants :

Image 10000000000001240000007D4935594ED3676CC4.jpg

  • 70 Sans doute Frenicle avait-il dit que la « combinaison generale » ne peut être divisée par « l’ordre (...)

220Dans les deux cas le dénominateur est le même : il s’agit de « la combinaison de l’ordre de douze choses ». Dans le calcul de C (36, 12), la division par 12 ! revient à « ôter l’ordre » de la « combinaison mêlée I » correspondante : A(36, 12). N’en va-t-il pas de même pour le calcul de K (36, 12) ? La division par 12 ! ne signifie-t-elle pas qu’on « ôte l’ordre » de la « combinaison mêlée II » correspondante : C(36, 12) ? Mersenne avait bien quelque lieu de juger que telle était bien la pensée de Frenicle70, et nous sommes assurés que c’est en ce sens qu’il l’a interprétée. En effet, là où Frenicle avait écrit : « [...] puis diviser par l’ordre du nombre de la multitude », Mersenne a noté pour sa part : « [...] et que pour en oster l’ordre il faut diviser par la combination ordinaire de 12 ».

221Le raisonnement de Mersenne a donc été le suivant : si on « ôte l’ordre » en divisant par 12 !, c’est que « pour les 12 cartes prises en 12 jeux de 36 cartes », il faut calculer :

36 × 37 ×… × 47.

222Or Frenicle avait dit par ailleurs que, pour la même « combinaison », il fallait prendre :

2233612.

224Ces deux procédés sont évidemment incompatibles. D’où la demande d’éclaircissement que Mersenne s’adresse à lui-même.

225Pour « expliquer ce qu’il y a à dire » sur ce sujet, peut-être a-t-il fait appel ultérieurement à Frenicle lui-même. Quoiqu’il en soit, sa remarque critique atteste qu’il ne prit pas pour argent comptant tout ce que lui avait communiqué ce dernier, et qu’il sut mettre le doigt sur un point particulièrement délicat qui méritait d’être clairement élucidé.

F. Un problème sur le jeu de dés

  • 71 Cf. ci-dessus, section C.

226Le problème sur le jeu de dés dont nous allons dire un mot avant de clôre ce chapitre, se réduit, en fait, à un exercice isolé auquel ni Mersenne, ni Frenicle n’ont donné de prolongement, et qu’ils n’ont pas intégré à leur réflexion générale sur les « combinaisons ». Si pourtant, nous en parlons ici, c’est que, pour le résoudre, il faut procéder à une analyse qui, formellement est analogue à la méthode de décomposition par cas appliquée systématiquement par Mersenne pour calculer K (n, p) et C(n, p)71.

227Soit 3 dés qui portent chacun les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. De combien de manières différentes peut-on obtenir les points 3, 4,..., 18 ?

  • 72 Cf. David 1962, p. 32 – 33.

228Cette question est de celles qui, historiquement, nous font remonter le plus haut dans le passé de l’analyse combinatoire. Elle est en effet traitée et résolue dans un poème latin intitulé De Vetula attribué à Richard de Fournival (1200 – 1250)72.

  • 73 Sopra le scoperte dei dadi [Sur les découvertes des dés] (Galilée 1890-1909, vol. VIII, p. 591-594)

229Galilée, à qui on avait demandé pourquoi, au jeu de dés, certains points sont plus avantageux que d’autres, s’appliqua à résoudre cette même question ; un manuscrit autographe, publié pour la première fois dans les Opere en 1898, pousse dans le détail, avec beaucoup de clarté, l’analyse des différents cas, et résume les résultats dans un tableau récapitulatif73.

230On ne peut en dire autant du texte de Frenicle que nous allons maintenant citer, et qui décrit des résultats plus qu’il ne les explique :

  • 74 Frenicle 1729, p. 106 – 107.

« Déterminer en combien de façons trois dez peuvent faire leurs points.
Pour dire en général combien ils peuvent faire de divers points, il faut cuber 6, & l’on a 216 ; mais pour sçavoir en particulier comment chaque point se peut faire, nous dirons ainsi. Depuis 3 jusqu’à 18 nous avons seize nombres, les huit premiers se rapportent aux huit derniers, c’est à dire que 3 & 18 sont égaux à 4 & 17 ; 5 & 16 valent 6 & 15 ; 7 & 14 valent 8 & 13, & c.
Or pour avoir en combien de manieres chaque nombre peut venir : pour les six premiers, il faut prendre les six premiers triangles, ainsi, l’on pourra amener 3 ou 18 en une sorte, car le premier triangle est 1 : 4 ou 17 en trois sortes, car 3 est le second triangle : 5 ou 16 en six façons, car le troisiéme triangle est 6 ; 6 ou 15 en dix sortes, car 10 est le quatriéme triangle : 7 ou 14 en quinze sortes, parce que 15 est le cinquiéme triangle : 8 ou 13 en vingt & une sortes, d’autant que 21 est le sixiéme triangle ; & voilà pour les six premiers, & pour les six derniers. Pour les quatre restans, sçavoir 9, 12, 10, 11. Pour 9 & 12, il faut prendre le quarré de 5, c’est-à-dire 25, & pour 10 & 11, il faut prendre le cube de 3 qui est 27, & ces deux nombres 25 & 27 déterminent les diverses manieres dont se trouveront ces quatre derniers. Or toutes ces façons différentes, sçavoir 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, etant jointes ensemble, font 108, & les doublant, nous avons 216, qui est le cube de 6, que nous avons pris au commencement74. »

231Le nombre de manières dont on peut faire tous les points possibles est :

C(6, 3) = 63 = 216.

232On peut obtenir du même nombre de manières les points i et j tels que :

i + j = 21, 3 ≤ i ≤ 18,3 ≤ j ≤ 18.

233Si Frenicle vise clairement à exprimer cette propriété de symétrie, on ne voit pas pourquoi il écrit que « 3 & 18 sont égaux à 4 & 17 », alors qu’en fait, il aurait dû écrire : « 3 & 18 sont égaux, et de même 4 & 17 », etc.

234Les résultats qu’il nous livre ensuite peuvent se résumer dans le tableau suivant :

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235Frenicle insiste, sans s’expliquer, sur le fait que les nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21 sont les cinq premiers « triangles » ; en revanche, il ne dit mot de la méthode qu’il a suivie pour établir ses résultats.

236On peut la rétablir sans mal. Prenons l’exemple d’un point déterminé, par exemple le point 6.

  • 75 Pierre Rémond de Montmort utilise cette expression de « coup » dans un texte que nous citons plus b (...)

237Appelons « coup » le triplet de nombres que nous obtenons, après avoir jeté trois dés75. Considérons les coups qui peuvent donner le point 6 : il y en a autant que de manières d’obtenir 6 comme somme de trois entiers positifs pris parmi 1, 2,..., 6, un entier pouvant se répéter jusqu’à 3 fois dans chaque somme :

4+1+1

3+2+1

2 + 2 + 2.

238Demandons-nous ensuite de combien de manières on peut obtenir chacun de ces coups par le jet de trois dés :

  • le premier peut être obtenu de 3 manières,

  • le second peut être obtenu de 6 manières,

  • le troisième peut être obtenu d’1 manière,

ce qui fait en tout 10 manières.

239On procédera de même pour chaque point à une analyse en deux temps : on établit tout d’abord le nombre des coups qui permettent de l’obtenir, et on évalue ensuite de combien de manières on peut obtenir chacun de ces coups par le jet de trois dés.

  • 76 C’est dire que, dans l’édition du C.N.R.S., le texte se trouve à la fin du vol. III (au bas du vers (...)

240On rencontre le texte sur le jeu de dés dans le manuscrit autographe de Frenicle (Frenicle mss-a), celui que Mersenne eut sous les yeux et où nous l’avons vu puiser d’abondants extraits. Cette fois-ci encore, Mersenne prit note du passage de Frenicle ; toutefois, ce ne fut pas dans les marges du « Livre des chants », mais sur une des pages blanches qui se trouvaient à la fin de l’Harmonie universelle76.

241Il n’a pas adopté le vocabulaire de Frenicle : il parle de jeux, et non de points, et exprime plus clairement que Frenicle la propriété de symétrie dont nous avons parlé plus haut :

« Des differens ieux de dez.
Tous les ieux de 3 dez, qui peuvent venir sont le cube de 6, c’est à dire 216. Mais les ieux particuliers, c’est à dire les diverses façons de chacun des nombres, on l’a en cette façon, le moindre est 3, et le plus grand 18, qui sont en tout 16 nombres dont les 8 premiers ressemblent aux 8 derniers, et ainsi 3 et 16 [lire 18] se raportent 4.17/5.16/6.15/7.14/8.13 et coet. »

  • 77 B. N., fonds français, 12357.
  • 78 Dans la liste des Arrangements avec répétitions, il compte deux fois les coups où les dés présenten (...)

242Mersenne n’ajoute au calcul de Frenicle aucune remarque personnelle. Par contre, Aimé de Gaignières77 a essayé de résoudre pour son compte le problème précédent pour le cas de deux dés, mais il s’est égaré dans ses dénombrements78. Pour le cas de trois dés, il a additionné le nombre des différents coups possibles ; il y en a 56.

243Ce nombre n’est autre que K (6, 3), et ce fait aurait pu conduire Mersenne ou Frenicle à remarquer que la comptabilisation du nombre des coups revenait à exhiber la suite des Combinaisons avec répétitions de 6 objets pris 3 à 3. Cette comptabilisation, élémentaire dans le cas considéré (trouver de combien de manières un point est obtenu comme somme de 3 entiers positifs pris parmi 1, 2,..., 6) renvoie dans le cas général, à cette théorie des nombres qu’affectionnaient tant nos deux auteurs ; signe qu’il y aurait lieu de voir comment leurs recherches en ce domaine furent liées à leur acquis en analyse combinatoire.

244Nous retiendrons simplement ici que le problème des dés revenait à calculer K (6, 3) et C(6, 3) selon un procédé de décomposition par cas, analogue dans ses démarches, à celle mise en application par Mersenne, mais selon une autre perspective, dans le domaine des lettres et des chants :

  • recherche de tous les cas possibles,

  • on ne tient pas compte tout d’abord de l’ordre,

  • on tient compte ensuite de l’ordre.

245Cette comparaison nous rend plus sensible le fait que par delà le but précis poursuivi par Mersenne, il faut mettre l’accent sur la manière d’approcher le problème, et d’ordonner les opérations à effectuer pour le résoudre : il s’agit là d’une méthode de traitement permettant d’aborder une foule d’exercices combinaboires.

Conclusion

246Il est curieux de constater à quel point se complètent mutuellement sur ce sujet des Combinaisons avec répétitions, les apports respectifs de Mersenne et de Frenicle.

247Le premier, sans ignorer une méthode directe de calcul, en a estompé l’intérêt en faisant surtout porter son effort sur une approche indirecte qui, une fois oubliées, et la dispersion des textes, et quelques maladresses, frappe par la rigueur de sa progression, et l’originalité de ses résultats.

248Le second n’a eu d’yeux que pour les règles de calcul simples qui pouvaient lier les Combinaisons avec répétitions aux autres « combinaisons ». Il parvint ainsi à mettre en place une des pierres angulaires de l’analyse combinatoire élémentaire, et à boucler en quelque sorte lui-même le réseau de relations qui associent entre elles les différentes espèces de « combinaisons ».

Notes

1 Giovanni Vacca, Bibliotheca Mathematica, 3e ser., vol. II (1901), p. 357 (G. Vacca cite le troisième volume des Vorlesungen de Moritz Cantor, Cantor 1894 – 1900).

2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

3 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Et on doit dire de même à propos de n’importe quel autre nombre de notes, pourvu qu’il y ait quatre notes distinctes ; d’où il vient que cinq notes, dont une est répétée deux fois, varient autant que les sept notes fixées avant. »]

4 Mersenne avait parlé dans les propositions précédentes des Arrangements et des Combinaisons.

5 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Pour découvrir donc le nombre de chants qui peuvent être faits à partir de notes fixées, quand elles sont prises non seulement par deux, par trois, ou quatre, comme avant, mais aussi avec la même note répétée deux fois, ou plus souvent, on doit noter le nombre des notes distinctes qui apparaissent dans le chant proposé, sans prendre absolument aucune considération des notes semblables. »] C’est nous qui soulignons.

6 Ibid. [ « La première colonne montre combien il y a de lettres [sic] différentes dans les chants, la deuxième montre de fait le nombre des chants qui ont autant de notes différentes que le nombre de la première colonne située en face contient d’unités ; par exemple, le nombre V montre que l’on peut faire 131670 chants avec cinq notes différentes, qu’on en répète une deux fois, ou sept, ou huit, etc. »]

7 Ibid. [ « Il suffit en effet d’écrire dix lignes parce que la onzième est la même que la dixième, la douzième la même que la neuvième, et ainsi de suite. »]

8 Dans les exemples qui suivent, Mersenne a commis des erreurs : « [...] & si ce chant de 10 notes en auoit 3 semblables, les varietez de 7 [lire : 8] donneroient le nombre des chants : s’il auoit 4 ou 5 notes semblables, la varieté de 6 [lire : 7] ou de 5 [lire : 6] donneroient le nombre des chants, comme l’on void à la table qui suit ». (Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 147.)

9 Le texte imprimé portait ici, par erreur : « dans la 4. proposition » ; nous avons repris et complété la correction manuscrite indiquée par Mersenne lui-même dans son exemplaire de main.

10 Cette indication est portée en marge dans la lettre.

11 Cette table donne les valeurs de C(22, 1), C(22, 2), ..., C(22, 22).

12 Mersenne 1933-1988, Aimé de Gaignières à Mersenne, 17 février 1637, lettre 585, vol. VI, p. 196 – 197 ; Pascal 1908-1914, vol. III, p. 597 – 598.

13 Mersenne 1647, p. 210. [ « Soit, par exemple, le mot inimici, ayant 4 lettres semblables, et que soit pris le nombre de mots de 4 lettres de la table des combinaisons, 7315, qui multiplié par 4, donne 29260 pour le nombre des mots ayant 4 lettres semblables dans la table suivante. »]

14 Cette dernière affirmation est fausse : le nombre des chants dont toutes les notes sont semblables est 22, et non 1. Soulignons ici l’embarras qu’ont causé à Mersenne les termes extrêmes de sa table, car la propriété de symétrie connaît un cas d’exception : il y a 22 chants de notes toutes semblables, et 1 seul de notes toutes distinctes.

15 Mersenne a oublié de mentionner 11.

16 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 147.

17 Id., p. 148. Tout le texte de cette Proposition XVIII tient dans la p. 148, référence que nous ne répétons pas dans l’analyse qui suit.

18 Mersenne a traité effectivement cet exemple (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232 ; Mersenne 1636b, VII, p. 139), mais il donne simplement les résultats sans préciser les calculs. (Cf. la table que nous avons reproduite p. 214.) C’est donc artificiellement que nous isolons cet exemple, pour mieux dégager l’ordre de difficultés croissantes qu’a dû résoudre Mersenne.

19 C’est l’impression que pourrait avoir le lecteur qui s’en tiendrait au texte de l’Harmonie universelle.

20 C’est la même que la Table de tous les chants qui ont plusieurs notes semblables dont nous avons parlé p. 200 ; cf. p. 198.

21 Mersenne 1636b, VII, p. 138. [ « Il est en effet certain qu’il y a beaucoup de répétitions de notes qui ne correspondent à aucun nombre de la table précédente, c’est pourquoi je propose l’exemple de tous les chants que l’on peut faire avec neuf notes, de quelque façon qu’elles soient répétées, et dans lesquels la variété de l’ordre n’est pas observée, afin que, par similitude avec cet exemple, on puisse entreprendre les autres nombres des chants composés de notes répétées de la même façon. »]

22 Sous le titre de Tabella novem notarum singularis [ « Table particulière pour neuf notes »] (id., p. 139).

23 Quia vero omnes dictiones non omnino respondent dictionibus praedictae tabulae, hic appono dictiones 4, 5, 6, 7 et 9 litterarum. [ « Parce qu’assurément, tous les mots ne correspondent pas parfaitement aux mots de la table mentionnée, je mets ici les mots de 4, 5, 6, 7 et 9 lettres. »] (Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 232).

24 Fol. 1r°.

25 Porro si quatuor litterae sumerentur in 10 litteris, haberentur 10 000 dictiones, cum ordine, vel 715 absque ordine. Si quinque litterae in eodem numero sumantur, fient 100 000 dictiones cum ordine, vel 2 002 absque ordine. Si constent dictiones sex litteris, erunt 1 000 000 cum ordine, & 5 005 absque ordine. [ « En continuant, si 4 lettres sont prises parmi 10, il y aura 10000 mots avec ordre, ou 715 sans ordre. Si 5 lettres sont prises parmi le même nombre, cela fera 100 000 mots avec ordre, ou 2002 sans ordre. Si les mots contiennent 6 lettres, il y aura 1000 000 avec ordre, et 5005 sans ordre. »] (Mersenne 1636b, VII, p. 139.)

26 Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, 2, p. 232.

27 En fait cette recherche qui n’a ici qu’un rôle préliminaire, et que M. Mersenne n’a effectuée que pour p ≤ 9 dans les exemples précédents, pose par elle-même un problème délicat qui n’a été résolu dans sa généralité que par Euler.

28 Mersenne 1636b, VII, p. 139. [ « En effet, quatre lettres prises parmi les 22 lettres de l’alphabet fournissent 234256 mots quand la variété de l’ordre est respectée, dont 175560 ont toutes leurs lettres différentes, sans qu’aucune ne soit répétée deux ou trois fois : en effet, lorsque deux lettres sont semblables, il n’y a que 55440 mots ; si une est répétée trois fois, il y en aura 1848 ; lorsqu’une est répétée deux fois, et une autre deux fois, il en naîtra 1386 mots ; mais si toutes étaient semblables, il n’en naîtrait que 22. Et si l’on ôte la variété de l’ordre dont il a tant de fois déjà été question, il y aura seulement 12650 mots dont 7 315 ont toutes leurs lettres différentes ; 4620 en ont deux semblables ; et s’il y en avait trois semblables, on en aurait 462 ; et de même 231 si une [lettre] est répétée deux fois et une autre deux fois ; enfin, si toutes les lettres étaient semblables, il y aurait 22 mots. »]

29 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 232. Nous revenons ci-dessous (D, 2, b) sur la fin de cette Propositio quinta.

30 Mersenne 1636b, VII, p. 139.

31 Mersenne 1647, p. 208. [ « Sont écrits d’abord les nombres 1, 2, 3, 4, etc., jusqu’à ce que tu parviennes au nombre de lettres dont la diction est composée, par exemple jusqu’à dix, pour les dictions de 10 lettres, et en face de 1, on écrit 22, les dictions qui peuvent être faits d’une seule lettre. »]

32 Cela n’est pas sûr, car la tournure de la phrase correspondante de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim (2, p. 240) laisse paraître que la portée du « etc. », dans cette autre formulation, est limitée à... 10 : scribendi sunt numeri 1, 2, 3, etc. usque ad 10. [doivent être écrits les nombres 1, 2, 3, etc. jusqu’à 10.]

33 Mersenne 1647, p. 208. [ « Tu auras les mots composés de 2 lettres, en divisant le nombre précédent 22 par 2, le quotient sera 11 que je multiplie par 22, plus 1, soit 23, d’où vient 235 comme nombre des mots ayant seulement 2 lettres. »]

34 Ibid. [ « Les mots de 3 lettres sont obtenus en divisant 235 par 3, d’où nait le quotient 84 1/3, et en ajoutant
2 à 22, qui fait 24, lequel multiplié par 84 1/3 produit 2024, pour les mots de 3 lettres. »]

35 Ibid. [ « [Le nombre 2024] qui divisé par 4 donnera les mots de 4 lettres, le quotient sera en effet 506. Que 3 soit ajouté à 22, faisant 25, par lequel le quotient 506 étant multiplié, le produit donne 12650 pour les mots de 4 lettres. »]

36 Ibid. Cf. Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 240 : qua etiam ratione numerus aliarum dictionum reperitur, ut sequente tabula demonstratur. [ « On obtient en effet par le même calcul le nombre des autres dictions, comme on le montre par la table suivante. »]

37 La Prima tabula generalis Combinationis donnant C(22, 1), C(22, 2), ..., C(22, 22).

38 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 240. [Expliquer la méthode pour ôter la combinaison ordinaire des autres variétés.]

39 Id. [ « La combinaison à ôter est expliquée par la première proposition et déjà enlevée de la table des variétés de la troisième proposition grâce à la table de la quatrième proposition. »]

40 Id. [ « C’est pourquoi elle est en fait enlevée de la table générale de la proposition 6. »]

41 Si nous insistons sur ce point, c’est que Frenicle croira un moment à l’existence d’une telle règle (cf. ci-dessous, dans ce même chapitre, D, 2).

42 Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, 2, p. 240. [ « Mais comme j’avais promis dans la proposition V la méthode par laquelle on ôte la combinaison ordinaire ou la variété des lieux des autres variétés, j’y satisfais dans la proposition suivante. »]

43 Cf. ci-dessus, C, 2.

44 Pour le contexte dans lequel se situe cette phrase, cf. ci-dessus, p. 214, la Table des Dictiones 4 litterarum sublato ordine, et ordine restituto. Mersenne fait suivre cette table de deux tables analogues pour les mots de 5 et 6 lettres, et de deux autres tables pour les mots de 7 et 9 lettres, où n’est considéré que le cas sublato ordine [sans ordre].

45 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 233. [ « En continuant, il est facile de restituer l’ordre des lettres aux dictions de 7 et 9 [lettres], ainsi qu’aux autres combinaison dont il a été enlevé, ainsi qu’il sera montré plus tard : maintenant en effet il faut accéder à la variété la plus générale des dictions, ou de toutes les combinaisons, qui embrasse les autres dans son périmètre, au point que celles-ci en sont comme des parties, comme on le voit à partir des propositions suivantes. »]

46 Ceci est si vrai que Mersenne, dans la Nona Propositio de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, après avoir donné la règle concernant K (n, p), reprend des exemples traités à l’aide de la méthode indirecte.

47 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, A.

48 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, D, 2.

49 Cf. ci-dessous, dans cette même section E, le § 3.

50 Frenicle 1729, p. 99.

51 Id., p. 100-101.

52 Id., p. 101.

53 Id., p. 101.

54 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 3, C, 3, p. 219 — 220.

55 Frenicle 1729, p. 104-105.

56 Id., p. 105.

57 Après la dernière phrase que nous avons citée, Frenicle reprend en ces termes son premier exemple : « Mais pour passer des choses differentes aux semblables, il faut prendre le douziéme nombre en diminuant, & au lieu de 36, on prend 25, car le nombre de la multitude, sçavoir 12, ne change poinct. » (Ibid.)

58 Cf. ci-dessous, ch. 4, D, 2.

59 Voici un bel exemple des pièges où peut se laisser prendre l’interprétation historique. Au début de notre étude, nous ignorions l’existence du manuscrit autographe de Frenicle ; aussi avions-nous confronté les notes écrites par Mersenne dans son exemplaire de l’Harmonie universelle avec le texte imprimé de l’Abrégé des combinaisons. Trouvant sous la plume de Mersenne le texte que nous citons plus bas, nous avions cru naturellement que l’erreur qui y est contenue était imputable à Mersenne, et nous en avions conclu que ce dernier n’avait pas été capable de comprendre ce que voulait dire Frenicle !

60 Archives de l’Académie des sciences, Frenicle mss a, p. 8.

61 Ibid.

62 Frenicle, après le texte cité plus haut, calcule sur un exemple le nombre des Arrangements avec répétitions de 6 objets pris 100 à 100 (6 100). Il songe alors à calculer d’un même trait K (6, 100) en divisant 6100 par « l’ordre ». Il a amorcé ainsi sa phrase : « & si on divise la de [dite] 100e puissance par l’or [...] », mais s’est arrêté en chemin, comme si une réflexion soudaine avait arrêté sa plume. Il a évidemment biffé ensuite ce début de phrase.

63 Archives de l’Académie des sciences, Frenicle, ms. a, p. 8. Le texte de l’imprimé (Frenicle 1729, p. 98) se présente ainsi : « Et parce que la combinaison générale contient la combinaison de l’ordre en toutes les façons possibles, tant des choses semblables que des differentes, dont l’ordre est different, on ne la peut pas diviser par l’ordre ; car la somme de plusieurs diviseurs donne un autre quotient que s’ils étoient séparez, c’est-à-dire que si on divisoit séparément par chacun d’eux. » Cf. ci-dessous, p. 229.

64 Nous utilisons ici à dessein le même terme que celui que nous avons employé plus haut à propos de textes de Mersenne (cf. ci-dessus, A et B) ; mais il nous faut souligner que Frenicle ne s’engage absolument pas dans la même voie que Mersenne. Ce dernier, dans sa méthode de décomposition (cf. ci-dessus, B, 1), était conduit à considérer les mots de 4 lettres prises sur 22, et à ne pas s’en tenir aux Permutations de 4 lettres déterminées.

65 Cf. la phrase citée ci-dessus, p. 228, note 63 : « Et parce que la combination generale... de toutes les façons possibles. »

66 Cf. la phrase citée ci-dessus, p. 228 : « Or tous ces nombres ensemble... & plus intelligibles. »

67 Frenicle 1729, p. 93.

68 Note manuscrite de Mersenne sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle, II, « Livre second des chants », p. 146.

69 Cf. ci-dessus, Deuxième Partie, ch. 2, D, 2.

70 Sans doute Frenicle avait-il dit que la « combinaison generale » ne peut être divisée par « l’ordre » (cf. ci-dessus, p. 228), mais la formule évasive par laquelle, dans le texte que M. Mersenne avait eu sous les yeux (cf. ci-dessus, p. 228), il plantait là ce sujet épineux, pour « passer à d’autres regles plus faciles, & plus intelligibles », pouvait laisser planer quelque doute sur cette impossibilité.

71 Cf. ci-dessus, section C.

72 Cf. David 1962, p. 32 – 33.

73 Sopra le scoperte dei dadi [Sur les découvertes des dés] (Galilée 1890-1909, vol. VIII, p. 591-594).

74 Frenicle 1729, p. 106 – 107.

75 Pierre Rémond de Montmort utilise cette expression de « coup » dans un texte que nous citons plus bas (ch. 4, A, 2) et qui porte précisément sur le dénombrement des « coups » possibles au jeu de dés.

76 C’est dire que, dans l’édition du C.N.R.S., le texte se trouve à la fin du vol. III (au bas du verso de l’avant-dernière feuille). Cf. dans notre Appendice la retranscription des notes manuscrites portées par Mersenne sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle.

77 B. N., fonds français, 12357.

78 Dans la liste des Arrangements avec répétitions, il compte deux fois les coups où les dés présentent des faces identiques.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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