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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »

Chapitre 2 : Les notions fondamentales chez Frenicle

Texte intégral

  • 2 Cf. ci-dessous, ch. 5.

1Ainsi débute l’Abrégé des combinaisons de Frenicle. Nous sommes mis d’emblée en face d’une classification dont Mersenne ne nous avait fait découvrir les grandes lignes que progressivement, et qu’il n’a jamais synthétisée avec une telle concision. Frenicle donne des noms différents aux différentes sortes de combinaisons, distingue des sous-espèces, et caractérise les rapports qui lient entre elles toutes ces combinaisons. Il prend les choses de plus haut que Mersenne, et pour mieux mettre l’accent sur cette différence de style dans la présentation, nous commencerons par dégager le sens des nouvelles dénominations introduites par Frenicle. (Nous laisserons de côté cependant la quatrième sorte de combinaison, la « combinaison multiple » qui tient une place à part parmi les autres combinaisons, et que nous aurons l’occasion d’étudier plus loin séparément2.)

2En fait, l’exposé de Frenicle ne donne pas ce que laissait espérer son introduction. Celle-ci semblait tracer un plan très clair dont on est surpris de constater, à la lecture, qu’il n’est pas suivi. Il y a là tout autre chose que des maladresses de rédaction : Frenicle a eu à faire face à une difficulté sérieuse lorsqu’il a voulu formuler avec précision comment, à partir des deux premières sortes de combinaison « jointes ensemble » on pouvait engendrer la « combinaison mêlée ». Ce qui soulève cette difficulté, ce sont les Combinaisons avec répétitions dont, comme nous l’avons déjà annoncé plus haut en parlant de Mersenne, nous réservons l’étude au chapitre suivant.

3En réunissant des passages qui sont épars dans l’Abrégé, nous allons restituer à la classification de Frenicle son caractère systématique, après quoi nous analyserons les développements qui se rapportent à chacune de ces rubriques.

A. Classification générale des « combinaisons »

4La combinaison d’ordre

  • 3 Frenicle 1729, p. 87.
  • 4 Id., p. 88.

« La combinaison d’ordre contient les façons differentes dont on peut arranger et disposer plusieurs choses [...] la propriété particuliere de cette combinaison, est que les choses une fois prises ne doivent point être changées.3. »
« Cette combinaison a plusieurs cas, ou une infinité, qui se réduiront à deux. Le premier & le principal est quand toutes les choses combinées sont differentes [...]. Le second, qui dépend du premier, est quand parmi les choses combinées, il y en a de semblables4. »

5La combinaison de changement ou de choix

  • 5 Id., p. 96

6Elle est nommée « de changement, ou de choix, à la difference de la premiere, où on suppose que les mêmes choses demeurent toûjours : mais en celle-ci, on les varie, & on en fait comme divers amas pris dans une grande multitude5 ».

7Cette combinaison est « divisée en deux espèces » :

  • « sçavoir celle en laquelle toutes les choses sont differentes »,

    • 6 Id., p. 97.

    « & celle en laquelle il se trouve plusieurs choses semblables6 ».

8La combinaison mêlée

  • 7 Id., p. 87.

9En joignant la combinaison d’ordre et la combinaison de changement « on en fait une troisiéme qui est mêlé[e] de ces deux7 ».

  • 8 Id., p. 93 – 94.

« Cette combinaison est celle qui a été appellée mêlée parce qu’elle contient tant l’ordre que le changement des choses.
On la peut aussi diviser en deux especes comme les autres :
— sçavoir si on considere les choses toutes differentes,
— ou bien si on suppose qu’elles puissent être toutes semblables, ou qu’il y en puisse avoir plusieurs semblables8. »

10Cette deuxième espèce de combinaison mêlée porte aussi le nom de « combinaison générale ».

11Nous avons donc ici trois « sortes » de combinaisons, et chacune de celles-ci se subdivise en deux « espèces ». Cette subdivision est cependant de même nature pour les trois « sortes » de combinaison ; on distinguera chaque fois deux cas que nous appellerons pour notre part I et II :

12I. La combinaison est celle où « toutes les choses combinees sont differentes ».

13II. La combinaison est celle où plusieurs des choses combinées « peuvent être semblables », et où il peut même arriver que toutes les choses combinées soient semblables.

14Rapportée à la nomenclature que nous avions nous-mêmes choisie, celle de Frenicle se présente donc ainsi :

15Pour la commodité de l’exposé, nous distinguerons par I et II chacune des « espèces » selon lesquelles se divise chaque « sorte » de combinaison (ainsi parlerons-nous de « combinaison d’ordre » I, de « combinaison de changemen » II, etc.).

« Combinaison d’ordre »

Permutations

I

sans répétition

II

avec répétition

« Combinaison de changement »

Combinaisons

I

sans répétition

II
« Combinaison mêlée »

avec répétition

I

sans répétition

II « combinaison générale »

avec répétition

B. Permutations

1. « Combinaison d’ordre » I

16La règle générale relative à la « combinaison d’ordre » I est la suivante :

  • 9 Id., p. 88. C’est nous qui soulignons.

« L’ordre des choses differentes se trouve comme il s’ensuit. On multiplie la combinaison de la multitude précédente par le nombre de la multitude donnée9. »

17Soit n « le nombre de la multitude donnée » :

P(n) = n ⋅ P(n − 1).

18Ce que Frenicle illustre par les exemples suivants :

  • 10 Ibid.

« Ainsi pour avoir l’ordre de six choses, il faut multiplier l’ordre de 5 choses par 6 ; & pour avoir l’ordre de 5, on multipliera celui de 4 par 5 ; & pour celui de 4, on prendra le produit de l’ordre de 3 par 4 ; de même pour celui de 3, on multipliera l’ordre de 2 par 310. »

19Si nous connaissions maintenant « l’ordre de 2 », il serait possible de calculer progressivement en appliquant la règle générale énoncée ci-dessus : « l’ordre » de 3, de 4, de 5,...

  • 11 Id., p. 88 – 89.

« Or l’Ordre de 2 ne peut être que 2, car deux choses ne souffrent que deux dispositions differentes, sçavoir en mettant au premier lieu celle qui auparavant étoit au second, comme B, A. & A, B. On pourroit dire aussi que la combinaison de deux choses se trouve en multipliant celle de 1, qui est 1 par 2.
Si on veut donc trouver l’ordre de quelque multitude, il faudra chercher celui des multitudes précédentes, & faire la Table de toutes, comme on voit ici11. »

20Cette table est celle qui donne 1 !, 2 !, 3 !, ..., 22 ! .

21Frenicle donne en marge, face à cette table la référence suivante :

  • 12 Id., p. 89. Frenicle renvoie ici à Mersenne 1636b, Liber septimus de cantibus, p. 116 – 117. Rappel (...)

« On trouvera cette combinaison poursuivie jusques à 64. in lib. Harmonicon. du Père Mersenne, pag. 116. & 11712. »

22Cette table est ainsi disposée :

1

1

2

2

6

3

24

4

  • 13 Frenicle 1729, p. 89.

« La colomne qui est du côté droit contient le nombre de la multitude des choses dont on veut sçavoir l’ordre, c’est-à-dire la differente façon de les arranger : celle qui est du côté gauche contient l’ordre13. »

  • 14 Notons à ce propos qu’il a justement repris de sa main une partie des textes de Frenicle que nous a (...)

23Rappelons que Mersenne n’avait pas justifié avec rigueur la règle des Permutations14. Par contre, Frenicle va s’attacher à faire

  • 15 Frenicle 1729, p. 91.

« connoître la construction de la table précedente & la raison pour laquelle il faut multiplier tous les nombres & leurs produits depuis l’unité jusqu’au nombre de la multitude requise, pour avoir la combinaison de quelque multitude15 ».

  • 16 Id., p. 90. Notons en passant la présence du verbe « arranger » chez Frenicle.

24Il va s’appuyer, pour faire cette démonstration, sur la méthode qu’on peut suivre pour « arranger » un nombre donné de lettres différentes de manière à « n’omettre aucune disposition16.

  • 17 Ibid.

« Voici la differente disposition qu’on peut donnez à quatre choses, afin de faire voir de quelle façon on les arrangera pour n’omettre aucune disposition. On se proposera premierement quelque ordre, comme en ces quatre lettres, o, b, i, e. La premiere soit o, la seconde b, & c. il faut en retenant la premiere changer l’ordre des dernieres. Ainsi, ayant placé & disposé les quatre lettres selon cet ordre, je retiens o que je laisse toujours au premier lieu, & je change les trois autres b, i, e, en toutes les façons possibles qui sont 6, & pour ces 6, on observera encore la même regle ; & ainsi parce que je trouve b, le premier des 3, je le retiens, & je change les deux autres i, e, en toutes les sortes qui sont 2, sçavoir i, e, & e, i17. »

25Autrement dit, on retient les deux premières lettres o, b, et on change les deux autres pour obtenir :

obie
obei

  • 18 Ibid.

« Cela fait je change le b, & en son lieu je mets la lettre suivante, sçavoir la troisiéme qui est i, & on aura o, i, & ensuite je mets les deux autres b, e, dans leurs rangs, & enfin après o je mets la quatriéme lettre, sçavoir e, & je change encore les deux autres b, i, en leurs deux façons18. »

oibe
oieb
oebi
oeib

  • 19 Id., p. 91.

« Et parce que la quatriéme lettre est la derniere, & qu’on ne peut plus en mettre d’autre au second lieu, je change la premiere lettre o, & en sa place je mets la seconde b, & ensuite les trois autres selon leur ordre, sçavoir la premiere au second lieu, puis la troisiéme & quatriéme ; & la seconde lette b, demeurant ainsi au premier lieu, on fera les six changemens des autres trois, sçavoir de o, e, i, comme auparavant. Cela étant fait, on mettra la troisiéme lettre i au premier lieu, & on fera encore les six variations des trois autres o, b, e ; & enfin on mettra la derniere au commencement, pendant que les trois autres o, b, i, seront arrangées en six façons19. »

26Frenicle donne la liste complète des 24 « changements » de ces 4 lettres de :

obie

27jusqu’à :

e i b o.

28Il va considérer maintenant une cinquième lettre t (ce qui nous fait comprendre le choix des lettres précédentes : le mot dont on va chercher les anagrammes sera TOBIE), pour faire apparaître que : P(5) = 5 ⋅ P (4).

  • 20 Id. p. 92.

« S’il y avoit cinq lettres differentes comme TOBIE on auroit en la même maniere que ci-devant les vingt-quatre changemens de o, b, i, e, le t demeurant toûjours le premier ; puis on ôteroit le t du premier lieu, & en sa place on mettroit o, après lequel on mettroit t, b, i, e, en vingt-quatre sortes ; puis la troisiéme lettre b tiendroit le premier lieu, & enfin la quatriéme & la cinquiéme20. »

29Frenicle note de même que :

P(6) = 6 ⋅ P(5)

P(7) = 7 ⋅ P(6).

30Cherchant à préciser ensuite la « raison » de la règle générale, il va reprendre en fait des exemples particuliers :

P(3) = 3 ⋅ P(2) = 6

P(4) = 4 ⋅ P(3) = 24

P(5) = 5 ⋅ P(4) = 120

31et conclure :

  • 21 Ibid.

« & ainsi de suite, il faudra multiplier la combinaison précedente par le nombre de la multitude donnée ; & cela est une preuve évidente qui sert de démonstration pour la construction de la table21 ».

32Si l’on s’en tient à la lettre du texte, cet « ainsi de suite » ne peut être tenu pour une preuve rigoureuse, et l’« évidence » à laquelle se rapporte Frenicle ne semble être que celle de manipulations effectuées sur des exemples particuliers, lorsque n = 1, 2… 7.

33On admettra toutefois qu’il est bien près ici de formuler un véritable raisonnement par récurrence :

34— il a noté explicitement que :

P(2) = 2 ⋅ P(1)

35— tous ses exemples tendant à prouver que si on connaît P (n − 1), on aura :

P(n) = n ⋅ P(n − 1).

36Supposons établie selon la méthode exposée plus haut, la liste des (n − 1) ! « changements » de (n − 1) lettres. Ajoutons une nouvelle lettre : nous la mettons « au premier lieu », et nous obtenons (n − 1) ! changements ; « mais parce que chacune » des (n − 1) lettres déjà considérées peut également « tenir le premier lieu », on « rangera » chaque fois les autres lettres de (n − 1) ! « façons », « il faudra donc multiplier » (n − 1) ! par n « pour avoir la variété de l’ordre » de n choses.

2. « Combinaison d’ordre » II

37Les mots dont on a calculé précédemment le nombre d’anagrammes avaient toutes leurs lettres différentes.

38Pour ce qui est des mots dont certaines lettres se trouvent être semblables, Frenicle distingue deux cas pour lesquels il formulera deux règles de calcul ; il ne se donnera pas toutefois la peine de les justifier par une preuve, comme il l’avait fait pour la « combinaison d’ordre » I.

39Premier cas

  • 22 Ibid.

« Lorsque dans une diction il y a plusieurs lettres semblables, comme en cette diction, Beauté ; il est certain qu’il n’y aura pas tant de varietez en l’ordre, que si toutes les six lettres étoient différentes ; & que les deux e qui s’y rencontrent diminuent la multitude de ces varietez22. »

40Ce premier cas concerne les mots où une seule lettre se répète plusieurs fois. Pour trouver les anagrammes d’un tel mot, il faut suivre la règle suivante :

  • 23 Ibid.

En ce cas, il faudra prendre la combinaison de l’ordre des lettres selon leur multitude, & la diviser par l’ordre qui appartient à la multitude des semblables23.

41Soit un mot de longueur n où une même lettre se répète p fois (p ≤ n),

n = multitudedeslettresdumot,

p = multitudedessemblables,

n ! = combinaison de l’ordre des lettres selon leur multitude,

p ! = ordre qui appartient à la multitude des semblables.

42Nombre des anagrammes du mot :

43Frenicle illustre sa règle par deux exemples :

  • 24 Id., p. 93.

44« Ainsi, pour sçavoir combien on peut faire d’anagrammes de la diction Beauté, on prendra la combinaison de l’ordre de six choses, qui est 720 ; & parce que dans la diction il y a deux lettres semblables, on divisera 720 par la combinaison de deux choses, qui est 2, le quotient 360 sera la multitude des anagrammes requises24. »

45On calculera de même « la multitude des anagrammes » du mot Ebene qui a 5 lettres dont une se répète 3 fois :

46Deuxième cas

  • 25 Ibid.

47« Que s’il y avoit plusieurs sortes de lettres semblables, il faudroit diviser la combinaison de toutes les lettres par celle de chaque sorte de semblable25. »

48Soit un mot de longueur n où :

49— une lettre se répète n1 fois

50— une autre lettre se répète n2 fois, ...

n ! = « combinaison de toutes les lettres »

n1 ! = « combinaison » de la première « sorte de semblable ».

n2 ! = « combinaison » de la seconde « sorte de semblable », ...

51Nombre des anagrammes du mot :

52Voici un exemple :

53« comme aux dictions, Pierre & George, ausquelles il y a six lettres, mais deux d’une sorte & deux d’une autre.

  • 26 Ibid..

54Je prendrai la combinaison de 6, sçavoir 720, & la diviserai par celle de 2, & le quotient 360 encore par celle de 2, & j’aurai 180 : ou bien je multiplierai la combinaison de 2 par celle de 2, le produit sera 4, par lequel je diviserai 720, & le quotient sera 18026 ».

  • 27 Ibid..

55Frenicle dit également comment il faut procéder « pour avoir la combinaison ou la multitude des anagrammes de la diction, Ananas27 » qui a 6 lettres, et où le a se répète 3 fois, le n 2 fois :

C. Combinaisons et Arrangements

1. Rapports entre « combinaison mêlée » I et « combinaison de changement » I

56De même que Mersenne, Frenicle fait interférer les explications relatives aux Combinaisons et aux Arrangements, c’est-à-dire, dans son vocabulaire, la « combinaison mélée » I et la « combinaison de changement » I.

57Combinaison mêlée I

58Soit

  • 28 Id., p. 99 – 100.

« la variété de douze cartes prises en trente-six avec l’ordre, c’est-à-dire supposant qu’on les arrange aussi en toutes les façons possibles, qui est le premier cas, ou premiere sorte de la combinaison mêlée, qui suppose toutes les choses differentes, mais prises en un plus grand nombre, & supposant aussi l’ordre28 ».

59Pour connaître le nombre qui contient cette variété,

  • 29 Frenicle dit ailleurs : il faut multiplier 36 par 35, 34, & c. « tant qu’on ait autant de nombres o (...)
  • 30 C’est nous qui soulignons.
  • 31 Id., p. 99.

« il faudra multiplier 36 par les nombres précedens moindres, sçavoir par 35, & le produit 1 260 par 34, pour avoir 42 840, qu’il faudra encore multiplier par 33, & continuer tant qu’on ait douze nombres29, ce qui se fera après onze multiplications, & le dernier nombre par lequel il faudra multiplier sera 25, sçavoir 11 moins que 36, car on prend toûjours un moins que la multitude des choses30, à cause que le nombre de la variété, sçavoir 36, est pris pour le premier nombre31. »

60Frenicle calcule donc A(36, 12) :

6136 est le nombre de la variété

6212 est le nombre de la multitude

63A(36, 12) = 36 × 35 × ⋯ × 25.

64Le dernier nombre par lequel il faut multiplier étant :

6525 = 36 − (le nombre de la multitude − 1).

  • 32 Ibid.

66Le produit obtenu 599 555 620 984 320 000 « contient la varieté de douze cartes prises en trente-six avec l’ordre32 ».

67Combinaison de changement I

  • 33 Id., p. 100.

« Que si on veut avoir les jeux de piquet sans l’ordre, puisque cet ordre ne change point le jeu, il faudra diviser le nombre trouvé 599 555 620 984 320 000 par la combinaison de l’ordre de douze choses, sçavoir par 479 001 600, & on aura 1 251 677 700 varietez de jeux de piquet33. »

68Traduisons l’expression : « les jeux de piquet sans l’ordre » ; il s’agit de calculer le nombre d" « amas » de 12 cartes distinctes que l’on peut former en prenant 12 cartes dans un jeu de 36 cartes, lorsqu’on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel sont disposées les 12 cartes dans chaque amas :

C(36, 12).

69Et Frenicle vient de nous dire que :

70On peut inversement calculer A(36, 12) en partant de C(36, 12) :

  • 34 Ibid.

71« Pour ce qui est de joüer & de jetter les cartes sur la table, il faut avoir égard à l’ordre, & chaque jeu se peut jouer en 479 001 600 sortes, car telle est la combinaison de l’ordre de douze choses [12 !], & ainsi pour avoir en tout en combien de sortes on peut joüer les douze cartes prises en 36, il faut multiplier 1 251 677 700 [C(36, 12)] par 479 001 600, pour avoir le nombre ci-devant trouvé 599 555 620 984 320000, qui montre en combien de façons on peut avoir & joüer les douze cartes [A(36, 12)]34. »

A(36, 12) = 12 ! × C(36, 12).

2. La formule directe des combinaisons

  • 35 À propos d’un calcul portant sur les « hazars ».

72Dans un passage de l’Abrégé qui traite d’un problème particulier35, Frenicle ayant à chercher la valeur de :

C(100, 5)

73explique pourquoi il faut calculer :

74Et à ce propos, il justifie incidemment la formule directe des Combinaisons, justification que Mersenne n’avait pas fournie aussi clairement. Aussi, bien qu’il soit un peu long, allons-nous citer ici tout ce passage :

  • 36 Frenicle 1729, p. 122 – 123.

« Pour sçavoir en combien de manieres on peut choisir cinq choses dans 100, on multiplie l’un par l’autre les cinq nombres 100, 99, 98, 97, & 96, & on divise le dernier produit par l’ordre de cinq choses.
Si on ne prenoit qu’une chose dans 100, il est certain qu’on ne le pourroit faire qu’en 100 façons. Que si on en prend deux, puisque la premiere se prend en 100 façons, après chacune des 100 on peut mettre laquelle on voudra des 99 restantes ; mais on voit ici que l’ordre y est compris, parce que chacune des 100 sera dans tous les choix la premiere & la derniere ; il faudra donc diviser par deux, sçavoir par l’ordre de deux choses, le produit de 99 par 100.
Si on choisit trois choses dans 100, parce que deux choses se prennent en 9 900 manieres, qui est le produit de 100 par 99, & qu’il en reste 98, on pourra choisir chacune de ces 98 qui restent, & l’ajoûter à chacune de 9 900 façons dont on a choisi deux choses : le produit de 9 900 par 98 contiendra les diverses manieres de choisir trois choses dans 100, l’ordre compris.
Par la même raison pour choisir quatre choses, il faudra multiplier ce dernier produit, qui est 970 200, par 97 qui restent ; & pour cinq choses multiplier encore ce dernier produit, qui est 94 109 400, par 96, & diviser le produit 9 034 502 400 par 120, qui est l’ordre de cinq choses, parce que par cette construction chacune des 100 choses tient alternativement chacun des cinq rangs qui sont dans cinq choses, sçavoir le premier, le deuxiéme, troisiéme, quatrième & dernier36. »

3. Théorèmes

75Frenicle va tenter d’exprimer sous une forme générale les règles relatives à la « combinaison mêlée » I et à la « combinaison de changement » I ; mais il était difficile de se maintenir à ce niveau de généralité sans le secours de quelques symboles, et Frenicle revient vite, sans doute pour rendre moins indigeste son énoncé, aux exemples précédents :

  • 37 Id., p. 100.

« Voilà pour ce qui appartient à la combinaison de changement, & à la combinaison mêlée lorsque toutes les choses sont differentes.
Car la mêlée, où l’ordre est compris, se trouve comme on a vû multipliant le nombre de la varieté des choses, comme 36 par les nombres précedens 35, 34, & c. tant qu’on ait autant de nombres ou produits compris 36, que la multitude des choses, qui est 12, & prenant le dernier produit pour le nombre requis.
Et la combinaison de changement se trouve divisant ce nombre, sçavoir le dernier produit, par le nombre de la combinaison d’ordre de la multitude des choses, qui est ici 1237. »

76Ce que nous pourrions traduire ainsi :

77nombre de la variété des choses = n

78nombre de la multitude des choses = p

79ces deux nombres étant donnés, la combinaison mêlée I correspondante est égale à :

n (n − 1)… (n + p − 1)

80et la combinaison de changement I correspondante est égale à :

81Soucieux d’économiser les calculs, Frenicle va montrer comment on peut abréger le calcul de la combinaison de changement I :

  • 38 Id., p. 101.

« Mais parce que de si grandes divisions & multiplications sont ennuyeuses, on se pourra servir du moyen suivant pour se passer de la division, & diminuer beaucoup les multiplications38. »

82Soit à calculer :

  • 39 Id., p. 102.

« Puis donc que le produit des nombres inferieurs doit diviser celui des superieurs, il faut que les inferieurs se trouvent tous séparément dans les superieurs, autrement leur produit ne diviseroit pas l’autre grand produit39. »

83Frenicle va indiquer en détail la méthode à suivre pour que tous « les inferieurs soient ôtez des superieurs ».

8436 = 3 × 12 : « j’ôte donc 36 de la ligne superieure, & 3 & 12 de l’inferieure ». (Frenicle les barre.)

35 = 5 × 7 : « j’ôte donc 35 d’un côté, & 5 & 7 de l’autre ».

« 34 est fait de 2 & 17 ; mais parce que 17 n’est point en la ligne inferieure, je passe à une autre, & considere 33, qui est produit par 3 & 11 ; j’ôte donc 33, & de la ligne inferieure j’ôte 3 & 11, mais parce que le nombre 3 ne s’y trouve plus, je l’ôte de quelque composé de la même ligne inferieure, comme de 9, & je remets un 3 dessus parce que 9 est fait & produit de deux 3. »

  • 40 Id., p. 102 – 104. Notons que Jacques Bernoulli détaille de manière analogue cette règle de simplif (...)

85Frenicle poursuit ainsi jusqu’à ce qu’il ne reste plus aucun nombre dans la ligne inferieure40 .

D. Arrangements avec répétitions et Combinaisons avec répétitions

86Frenicle, nous venons de le voir, illustre par des exemples analogues :

  • la « combinaison mêlée » I,

  • la « combinaison de changement » I.

87Il fera de même pour :

  • la « combinaison mêlée » II,

  • la « combinaison de changement » II.

88Mais, en ce cas, il va choisir des exemples qui ne laissent pas d’intriguer au premier abord, et qui ne vont pas sans embrouiller son exposé. Aussi allons-nous tout d’abord nous assurer, en citant une illustration de la combinaison mêlée II, à laquelle Frenicle fait presque jouer le rôle de preuve, que cette combinaison mêlée II correspond bien à nos Arrangements avec répétitions.

1. « Combinaison mêlée » II : règle de calcul illustrée par les « variétés » obtenues avec des chiffres

  • 41 Bernoulli fera appel au même type d’exemple pour illustrer la règle qui donne le nombre des Arrange (...)

89Frenicle prend les dix symboles : 0, 1, 2,..., 9 et se demande combien on peut former de nombres en associant ces symboles 2 à 2, 3 à 341. L’intervention du zéro l’entraîne dans une digression où il serait inutile d’entrer ici ; aussi passons directement au second exemple où Frenicle se pose un problème analogue pour les 9 symboles : 1, 2..., 9 ; il s’agit bien ici, soulignons-le, d’Arrangements avec répétitions de 9 symboles pris 2 à 2, 3 à 3,..., tout à fait au même sens où Mersenne pouvait calculer le nombre de mots qu’on peut former avec 9 lettres en les prenant 2 à 2, 3 à 3,... :

  • 42 Frenicle 1729, p. 95.

« Les mêmes nombres ou chiffres pourroient encore fournir un autre exemple, sçavoir si on prenoit les deux choses dans neuf differentes, comme si on cherchoit tous les nombres de deux chiffres qui n’ont point de zero ; car par ce moyen on n’auroit que neuf lettres : or en chaque dixaine il y a neuf nombres qui n’ont point de zero, & il n’y a que neuf dixaines qui ayent deux lettres, car les nombres de la premiere n’ont qu’une lettre : si donc on multiplie 9 par 9, on aura 81, qui est la varieté requise de deux choses prises dans neuf ; c’est la même chose aux autres quantitez. Mais voici comme on fera voir la verité de cette règle42. »

  • 43 D’ailleurs, Frenicle avait d’abord écrit : « et ce dernier exemple de 9 sert aussi de raisonnement  (...)

90On voit pourquoi nous avons dit de cet exemple qu’il pouvait passer pour une preuve, aux yeux de Frenicle : le dénombrement se fait ici presque directement, le système de numération articulant de manière claire les nombres à compter43. Frenicle ajoute cependant une preuve générale relative aux combinaisons de choses quelconques :

  • 44 Frenicle 1729, p. 95 – 96.

« Pour ne point sortir de notre exemple de neuf, on voit premierement que si on ne prend qu’une seule chose dans neuf differentes, on n’aura que 9 varietez : mais si on prend deux choses, puisqu’après chacune des neuf choses on peut mettre chacune des mêmes l’une après l’autre ; pour avoir cette varieté, il faudra multiplier 9 par 9, & on aura 81, qui est le quarré de 9.
Que si on prend trois choses dans les neuf, on pourra devant chacune des 81 combinaisons précedentes mettre chacune des neuf choses : il faudra donc, pour avoir la varieté de trois choses prises dans neuf, multiplier 81 par 9, pour avoir 729 cube de 9. Et ainsi continuant, on fera voir que pour avoir la varieté de quatre choses prises dans neuf, il faut multiplier 729 par 9, pour avoir le quarré quarré de 9, parce que devant chacune des 729 façons dont on aura pris & arrangé trois choses, on pourra mettre chacune des neuf dans lesquelles on les a prises. De même, pour cinq choses prises dans neuf, on prendra la cinquiéme puissance de 9, & c.44. »

C(9, 1) = 9

C(9, 2) = 92

C(9, 3) = 93

C(9, 4) = 94

C(9, 5) = 95

91Frenicle ne donne pas ici un véritable raisonnement par récurrence, mais fonde la règle donnant C(9, n) par induction à partir des 5 cas précédents, où il montre comment on passe d’un cas au cas suivant en multipliant par 9 le nombre déjà obtenu précédemment.

92La règle générale est ici très claire :

  • 45 Id. p. 96.

« Il faut seulement prendre garde que la diversité des choses qu’on prend, comme est ici 9, sert toûiours de racine, & la multitude des mêmes choses sert d’exposant45. »

2. Exemples typiques de la « combinaison mêlée » II et de la « combinaison de changement » I ; la première de ces « combinaisons » comme « combinaison générale »

93Venons en maintenant aux exemples que Frenicle a considérés comme des exemples typiques de la « combinaison mêlée » II et de la « combinaison de changement » II.

94Il est facile de comprendre comment il y a été conduit. Il avait pris comme exemple de « combinaison mêlée » I, et de « combinaison de changement » I, celui du choix de 12 cartes dans un jeu de 36 : on peut effectivement former alors des “amas” de 12 cartes distinctes.

95Par contre si on veut continuer à utiliser le même exemple des cartes pour illustrer la « combinaison mêlée » II ou la « combinaison de changement » II, on se heurtera à une impossibilité toute matérielle : si on ne dispose que d’un jeu de 36 cartes ne comportant que 4 rois, on ne pourra pas réunir 12 rois de pique. Pour assurer qu’on puisse rassembler sur la table des « amas » de 12 cartes semblables, Frenicle va donc supposer que le choix se fait non pas dans un jeu de 36 cartes, mais dans 12 jeux de 36 cartes chacun. Il faut donc faire « omme si on prenoit les douze cartes du piquet dans douze jeux de piquet ».

  • 46 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. 3, E, 3.

96Cette manière de s’exprimer risquait d’être équivoque, et de fait, elle troubla Mersenne46. L’analogie était rompue d’une certaine façon avec les exemples qui illustraient le calcul de :

97A(36, 12)

98et C(36, 12).

99Dans ces deux cas, les 36 cartes données étaient considérées comme distinctes. Le sont-elles lorsque Frenicle prend 12 jeux de 36 cartes ? Le « nombre de la varieté » est-il alors 12 × 36 ?

100Non, et Frenicle va le préciser à propos de son second exemple :

  • 47 Frenicle 1729, p. 97.

« Exemple - Si on avoit six paniers dont chacun fût plein d’une espece de fruit différent des autres, mais égaux entr’eux, & qu’on voulût voir en combien de façons on pourroit prendre un cent de ces fruits dans les six paniers, supposant toûjours que dans chaque panier tous les fruits soient égaux, & qu’il n’y ait rien à choisir, de sorte que chaque espece de fruit soit reputée pour un même fruit, ainsi que les lettres de l’Alphabet, chacune desquelles ne differe en rien de sa semblable en ce qui regarde l’usage qu’on en fait dans les dictions ; & ainsi dans la diction Anna, le premier a n’est pas autre que le second : or on entend que les fruits d’une même espece soient ici pris en la même façon que les lettres47. »

101Autrement dit, tout se passe comme si je désignais les 6 « espèces » de fruits par les 6 lettres : a, b, c, d, e, f ; lorsque je prends « un cent de fruits », et que je les mets en ligne, leur succession correspond à un mot de longueur 100 où chacune des lettres peut se répéter jusqu’à 100 fois ; lorsqu’une lettre a se répète, « le premier a n’est pas autre que le second » : rien ne serait changé dans un mot où j’échangerais entre eux ces deux a. Bref :

102— lorsqu’on tient compte de l’ordre des lettres dans les mots, les cents de fruits considérés comme distincts correspondent aux Arrangements avec répétitions de 6 lettres prises 100 à 100 ;

103— lorsqu’on ne tient pas compte de l’ordre des lettres dans les mots, les cents de fruits considérés comme distincts correspondent aux Combinaisons avec répétitions de 6 lettres prises 100 à 100.

104Il en ira de même pour les jeux de cartes : je peux imaginer que j’ai 36 « paniers » comportant chacun 12 cartes de même espèce (chaque panier comportant une espèce distincte). À chaque panier, donc à chaque espèce, j’assigne une lettre distincte ; je tire de mes paniers des suites de 12 cartes, et peu importe quelle carte déterminée je tire d’un panier donné : seul compte le fait qu’elle soit de telle espèce. Chaque suite de 12 cartes est représentée par un mot de longueur 12 où 36 lettres distinctes peuvent se répéter chacune jusqu’à 12 fois.

105Toutes les suites de 12 cartes que je peux former correspondent donc :

106— aux Arrangements avec répétitions de 36 lettres prises 12 à 12, lorsque je tiens compte de l’ordre où sont disposé les cartes dans chacune de mes suites ;

107— aux Combinaisons avec répétitions de 36 lettres prises 12 à 12, lorsque je ne tiens pas compte de l’ordre où sont disposées les cartes dans chacune de mes suites.

  • 48 Pour le second cas, cf. le chapitre suivant, E, 1.

108Seul le premier cas nous intéresse ici48 . Il suffira d’appliquer la règle générale de la combinaison mêlée pour savoir que le nombre de manières dont on peut prendre « 12 cartes du piquet dans douze jeux de piquet » est :

C(36, 12) = 3612.

109Nous sommes mieux en mesure maintenant de comprendre la manière dont Frenicle présente la « combinaison mêlée » II, celle où « on suppose que les choses puissent être semblables, ou qu’il y en puisse avoir plusieurs semblables » :

  • 49 Frenicle 1729, p. 94.

« Cette derniere combinaison est la plus universelle de toutes, puisqu’elle comprend toute seule tout ce qui est compris dans toutes les autres ; car on y considere l’ordre comme en la premiere, & on prend les choses dans une plus grande multitude, comme en la seconde ; & outre cela on en peut prendre plusieurs semblables ou toutes, comme si on prenait les douze cartes du piquet dans douze jeux de piquet, car par ce moyen les douze cartes pourraient être semblables, & ainsi on pourrait avoir 12 Rois de pique ; ou seulement neuf ou dix cartes semblables, & les autres differentes, & en toutes les autres façons possibles ; & l’ordre fera voir en combien de manieres on les pourroit joüer et jetter sur la table en toutes ces sortes de jeux49. »

  • 50 Id., p. 98 et p. 112. C’est également cette expression qui sert de titre (Id., p. 93) à une section (...)

110L’exemple choisi ici par Frenicle pour illustrer sa « combinaison mêlée » II concerne, avons-nous vu, les Arrangements avec répétitions de 36 cartes prises 12 à 12, et nous constatons qu’il emploie pour caractériser cette combinaison une expression analogue à celles dont Mersenne avait usé dans le même cas : « la plus universelle de toutes ». En d’autres passages, Frenicle parlera d’ailleurs, à ce même propos, de « combinaison générale50 ». Cette rencontre est-elle fortuite ? Il est plus vraisemblable, selon nous, que Frenicle s’inspire directement de Mersenne.

111Tout comme Mersenne, Frenicle s’efforce de caractériser cette nouvelle combinaison en soulignant qu’elle intègre des propriétés d’autres combinaisons, mais il se laisse aller à une comparaison inexacte. Il est vrai que dans « la combinaison la plus universelle de toutes », « on considère l’ordre » comme dans la première espèce de combinaison (la combinaison d’ordre) ; il est vrai aussi que dans « la combinaison la plus universelle de toutes », on peut prendre plusieurs choses semblables ou toutes les choses semblables, mais il n’est pas exact à la rigueur, que dans cette même combinaison, « on prend les choses dans une plus grande multitude » comme dans la seconde espèce de combinaison (la combinaison de changement » I). En effet :

112C(n, p) n’a de sens que si p ≤ n.

113Mais pour ce qui est des Arrangements avec répétitions de n objets pris p à p, les nombres n et p sont quelconques.

114Bien que son exposé souffre manifestement de l’enchevêtrement des exemples, Frenicle rassemble avec autorité les traits essentiels de l’analyse combinatoire. Une question toutefois reste pendante : quel est le statut de la « combinaison de changement » II proche par sa définition de la « combinaison de changement » I, mais qui est illustrée, par ailleurs, à l’aide d’exemples proches de ceux qui traduisent la « combinaison mêlée » II ? C’est ce que nous aurons à examiner dans le prochain chapitre.

Notes

2 Cf. ci-dessous, ch. 5.

3 Frenicle 1729, p. 87.

4 Id., p. 88.

5 Id., p. 96

6 Id., p. 97.

7 Id., p. 87.

8 Id., p. 93 – 94.

9 Id., p. 88. C’est nous qui soulignons.

10 Ibid.

11 Id., p. 88 – 89.

12 Id., p. 89. Frenicle renvoie ici à Mersenne 1636b, Liber septimus de cantibus, p. 116 – 117. Rappelons que Mersenne avait tout d’abord donné (p. 116), une Tabula combinationis ab 1 ad 22, donnant 1 !, 2 !, 3 !, ..., 22 !, puis (p. 116 – 117) une Tabula Combinationis à 23 usque ad 64, donnant la suite des factorielles de 23 ! à 64 ! .

13 Frenicle 1729, p. 89.

14 Notons à ce propos qu’il a justement repris de sa main une partie des textes de Frenicle que nous allons citer plus bas, dans son exemplaire de main de Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 111.

15 Frenicle 1729, p. 91.

16 Id., p. 90. Notons en passant la présence du verbe « arranger » chez Frenicle.

17 Ibid.

18 Ibid.

19 Id., p. 91.

20 Id. p. 92.

21 Ibid.

22 Ibid.

23 Ibid.

24 Id., p. 93.

25 Ibid.

26 Ibid..

27 Ibid..

28 Id., p. 99 – 100.

29 Frenicle dit ailleurs : il faut multiplier 36 par 35, 34, & c. « tant qu’on ait autant de nombres ou produits compris 36, que multitude des choses, qui est 12 » (id., p. 100).

30 C’est nous qui soulignons.

31 Id., p. 99.

32 Ibid.

33 Id., p. 100.

34 Ibid.

35 À propos d’un calcul portant sur les « hazars ».

36 Frenicle 1729, p. 122 – 123.

37 Id., p. 100.

38 Id., p. 101.

39 Id., p. 102.

40 Id., p. 102 – 104. Notons que Jacques Bernoulli détaille de manière analogue cette règle de simplification dans l’Ars conjectandi, Bernouilli 1713, p. 100 – 101.

41 Bernoulli fera appel au même type d’exemple pour illustrer la règle qui donne le nombre des Arrangements avec répétitions de n objets 1 à 1, 2 à 2... : « Ex. gr. ad indagandum quot diversis modis inter se transponi possint 10 notae numerales, si accipiantur tum singulae, tum binae, ternae » [ « Par ex. pour chercher de combien de façons peuvent être transposés entre eux 10 signes numériques, s’ils sont acceptés tant seuls que par 2, par 3,... »] (Bernoulli 1713, p. 130).

42 Frenicle 1729, p. 95.

43 D’ailleurs, Frenicle avait d’abord écrit : « et ce dernier exemple de 9 sert aussi de raisonnement » (Frenicle, ms. Acad. sc. b, p. 15).

44 Frenicle 1729, p. 95 – 96.

45 Id. p. 96.

46 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. 3, E, 3.

47 Frenicle 1729, p. 97.

48 Pour le second cas, cf. le chapitre suivant, E, 1.

49 Frenicle 1729, p. 94.

50 Id., p. 98 et p. 112. C’est également cette expression qui sert de titre (Id., p. 93) à une section de l’Abrégé.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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