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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »

Chapitre 1. Les notions fondamentales chez Mersenne

Texte intégral

1Nulle part, Mersenne ne définit ce qu’il faut entendre en général par « combination ». Les « combinaisons » vont se présenter à lui, divisées en « espèces », et il va à la découverte de celles-ci sans esquisser à l’avance leur classification. Cette découverte est loin de se faire au hasard ; il s’avérera qu’elle est manifestement commandée par un ordre logique. Mais pourquoi chercherions-nous d’emblée la rigueur là où une première lecture laisse l’impression d’une découverte progressive ? Laissons-nous donc entraîner tout d’abord par Mersenne au fil de ses propres questions ; elles seront toutes du type : « Combien y a-t-il de chants, ou de “dictions”, ayant tel ou tel caractère ? » À chaque question répondra une « règle », une « méthode », et nous ferons ainsi connaissance chaque fois avec un nouvel aspect des « combinations ».

2Que les mots d’Arrangements, de Combinaisons, etc., dont nous serons tout de même obligés de nous servir ne soient donc pas entendus comme autant de rubriques rigides où devraient venir se loger les textes de Mersenne, mais comme des mots commodes propres à mieux rythmer, dans ses étapes successives, le progrès d’une réflexion.

A. Permutations

1. Permutations simples : la « combinaison ordinaire »

  • 1 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 107. Pour ce passage de La Vérité des sciences(...)

« Il n’est pas besoin d’expliquer icy la regle des combinations ordinaires, puisque ie l’ay donnee dans le troisiesme livre de la verite des Sciences chap. 101. »

  • 2 Id.

3Mersenne ne se contente pas pourtant, dans ses ouvrages postérieurs à La Vérité des sciences, de rappeler cette référence2. Il donnera de ces « combinations ordinaires », dont nous savons déjà qu’elles ne sont autres que nos Permutations, une définition plus claire.

  • 3 Titre de la Proposition VIII du « Livre second des chants », Mersenne 1636a/1963, II, p. 107.

« La règle ordinaire des combinaisons enseigne combien l’on peut faire de chants de tel nombre de notes que l’on voudra, pourveu que l’on retienne tousiours le mesme nombre de notes, & que l’on ne repete iamais vne mesme note deux, ou plusieurs fois3. »

  • 4 Le mot est mal choisi, remarquera incidemment Mersenne, puisqu’ici on peut conjoindre non pas seule (...)
  • 5 Mersenne dira lorsqu’il passera à l’étude des arrangements : « cette combination est plus grande &  (...)

4On verra plus loin que si ces « combinations4 » sont qualifiées d « ordinaires », c’est par comparaison aux autres « espèces de combinations » qui s’avéreront moins simples et plus générales5.

  • 6 « Ab ista propositione regula vulgaris illius varietatis pendet quae licet improprio combinatio voc (...)
  • 7 Cf. également ci-dessous, Deuxième Partie, ch. 3, conclusion.

5Mais on aura remarqué dans la proposition précédente que Mersenne dit également de la « règle » qui porte sur ces « combinations ordinaires » qu’elle est elle-même « ordinaire » : cette règle, en effet, est bien connue, jusqu’à être commune (« vulgaris »), et c’est même presque la seule « variété » dont on a coutume de parler6. Indication fugitive7, mais précieuse sur la conscience qu’avait Mersenne de conduire son « discours » sur les combinaisons au-delà des limites traditionnelles.

6Quant au contenu de cette règle, Mersenne ne fait dans l’Harmonie universelle, que décrire les opérations qu’elle commande d’effectuer dans des cas déterminés :

  • 8 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 107.

« Or il est si aisé de trouuer le nombre de ces chants, qu’il n’est pas quasi besoin d’en expliquer la maniere, car il faut seulement escrire autant de nombres selon leur ordre naturel, comme il y a de notes dont on veut vser ; par exemple, si l’on veut sçavoir combien l’on peut faire de chants differents avec les huicts sons, ou les 8 notes de l’octave, vt, re, mi, fa, sol, re, mi, fa, il faut escrire 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8 & multiplier tellement ces 8 nombres, que le produit des deux soit touiours multiplié par le nombre naturel en cette maniere ; vne fois deux font deux ; car il faut laisser l’vnité, parce qu’elle ne multiplie nullement, & dire deux fois trois font six, quatre fois six font vingt-quatre, cinq fois 24 font 120, six fois 120 font 720, à sçavoir le nombre de tous les chants de six notes [...] : sept fois 720 font 5040, & huit fois 5 040 font 40 320, qui monstre le nombre des chants qui sont contenus dans 8 sons differens, par exemple dans les 8 notes de la premiere espece d’Octave8. »

7Par contre, dans les Harmonicorum libri, nous avons affaire à une véritable règle générale :

  • 9 [ « il est facile en vérité de découvrir cette variété, si on écrit autant de nombres naturels à pa (...)

« [...] facile vero reperitur ista varietas, si totidem ab vnitate numeri serie continua, & naturali scribantur, quot notae vel aliae res coniungendae variandaeque proponuntur, illi siquidem seipsos multiplicantes dant numerum varietatum9 ».

8P(n) = 1 ⋅ 2 ⋯ (n − 1) ⋅ n.

  • 10 Notons toutefois que Mersenne a recopié, dans son exemplaire de main de l’Harmonie universelle, un (...)

9Nulle part, pourtant, Mersenne n’a donné de preuve de cette règle10.

  • 11 « car il faudrait beaucoup plus de rames de papier pour noter tous les chants qui se trouuent dans  (...)
  • 12 Id., p. 108.
  • 13 Id., p. 109 – 110. « Puis que nous aurons besoin dans les autres discours de la combination d’vn pl (...)

10Dans La Vérité des sciences, Mersenne avait donné la Table des factorielles jusqu’à 22 ! Il glosera à nouveau sur l’amplitude considérable de ce nombre11, mais il aura malgré cela l’intrépidité de pousser le calcul au-delà, et d’ajouter à la « Table de tous les chants qui peuvent se rencontrer dans 22 sons, c’est à dire dans trois Octaves » [1, 2 !, 3 !, ..., 22 !]12, une « Table de la Combination depuis 23 iusques à 64 » [23 !, 24 !, ..., 64 !]13. Le dernier nombre obtenu est évidemment encore plus impressionnant que 22 !

  • 14 Id., p. 108. « Il y a 90 caracteres dans le 64e nombre, de sort qu’il y a au premier ternaire 221 h (...)

11Par un entraînement dont, déjà plusieurs fois, nous avons vu les effets, les Permutations conduisent aux grands nombres, et les grands nombres à l’émerveillement14.

12Mais il suffisait de diversifier un peu la question posée, pour briser le charme de cette multiplication indéfinie, et pour appeler des analyses plus fines, déjà délicates au niveau des nombres les plus petits. Que se passe-t-il en effet, lorsqu’au lieu de prendre des notes ou des lettres différentes, on permet à certaines d’entre elles de se répéter ?

2. Permutations avec répétitions

13Le problème est donc le suivant :

  • 15 Énoncé de la Proposition X, Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 129. Cf. la Propos (...)

« Combien l’on peut faire de chants de tel nombre de notes que l’on voudra, lorsqu’il est permis d’vser de deux, 3, 4, notes semblables, & c. & que l’on retient tousiours le mesme nombre total des notes doit on fait les chants15. »

14Mersenne n’a pas travaillé seul à ce problème ; c’est ce qu’atteste un des rares passages de sa Correspondance où sont évoquées des questions d’analyse combinatoire. Jean Beaugrand écrit en effet à Mersenne le 20 février 1632 :

  • 16 Mersenne 1933 – 1988, III, lettre 213, p. 254. Cf. ce que nous avons dit ci-dessus au sujet de la p (...)

« Comme je me voulois mettre à resoudre vos deux questions, j’ay trouvé en regardant ma lettre que Vous me rendistes dernierement que ce n’est pas celle, où est la Reigle de connoistre les changemens differens de plusieurs lettres, lorsqu’une mesme lettre est repetée 2, 3, ou plusieurs fois. Je Vous la renvoye donc, afin que Vous m’envoyiez l’autre16. »

15Que les « deux questions » posées par Mersenne aient été ou non en rapport avec la « Reigle » citée, il demeure que celle-ci lui a été communiquée. Jusqu’à quel point en tira-t-il profit ? Il est impossible d’en décider car rien ne nous désigne, dans ce que nous allons lire maintenant, le fruit d’une éventuelle collaboration.

16Par rapport à la règle de la combinaison ordinaire le problème devient un peu plus difficile lorsque dans un chant (ou un mot) donné, plusieurs notes (ou lettres) sont semblables :

  • 17 Mersenne 1636b, VII, p. 116. [ « La question semble un peu plus difficile, lorsque dans les notes i (...)

« Negotium tamen paulo videtur difficilius, cum ex notis duae vel plures similes occurrunt ; quod similiter in varie tatibus dictionum contingit, quando vocabulum propositum plures litteras similes habet, quod saepenumero contingit17. »

17Tout à l’heure, la règle se formulait simplement mais ici la difficulté vient du grand nombre de cas qui peuvent se présenter :

  • 18 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 227. [ « comme cependant cette règle a (...)

« [...] cum autem haec regula multos casus patiatur, quandoquidem vel unica littera bis, ter, etc. repetatur, vel duae aut plures itaut una bis, altera etiam bis, et ita deinceps, vel una bis, altera ter, alia quater, aut quinquies, etc. repetatur18. »

18Aussi Mersenne ne se risque-t-il à énoncer une règle que pour le cas où une note se répète 2, 3, 4,... fois :

  • 19 Mersenne 1636b, VII, p. 133. [ « Lorsque donc une certaine note est répétée deux fois, trois fois, (...)

« Cum igitur aliqua nota bis, ter, quater, & c. repetitur in proposita Cantilena, combinatio numeri notarum quae sunt in Cantilena, diuidenda est per combinationem notarum repetitarum19. »

19Si le nombre de notes est n, et qu’une note se répète n1 fois, le nombre des chants sera obtenu en divisant la « combinaison ordinaire » de n par la « combinaison ordinaire » de n1 :

  • 20 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 129 – 130.

20Pour les autres cas, Mersenne va illustrer la méthode à suivre par des exemples, en essayant parfois, mais non sans mal, de s’élever à des propositions plus générales. Nous allons citer les exemples qui sont donnés dans l’Harmonie universelle20 et qui rendent manifeste la maîtrise qu’avait Mersenne des règles qu’il voulait exprimer. Mais, faute d’un symbolisme tout à fait élémentaire, quelle gêne, quels embarras de style pour formuler le moindre calcul !

« Par exemple, le chant ut, re, mi, ut, fa, a cinq notes, dont la combination precedente est 120 ; mais parce qu’il y a deux notes semblables, à sçavoir deux ut, il faut diviser 120 par 2, c’est à dire par la combination de deux notes, le quotient donnera 60 pour le nombre des chants qui se peuvent faire des cinq notes precedentes. »

21n = 5 n1 = 2,

22De même, si l’on a

23n = 7 n1 = 3,

24le nombre des chants sera :

« Et s’il arrive que le chant ait deux notes semblables de deux sortes, comme en ce chant ut, re, mi, re, vt, où il y a deux vt, & deux re, il faut quarrer la combination de 2 qui font 4, par lequel 120, qui est le nombre de la combination de 5 notes, estant divisé monstre qu’il n’y a que 30 chants dans ces 5 notes. »

25n = 5 n1 = 2 n2 = 2,

26« S’il y avoit 3 binaires de notes semblables, il faudroit cuber 2 & c. suivant les dignitez de l’Algebre. Il faut dire la mesme chose de 2, de 3, & de 4 ternaires, quaternaires, & c. iusques à l’infiny. »

27n1 = k, n2 = k, ⋯, ni−1 = k, ni = k,

28« S’il y avoit 2 binaires, & vn ternaire, il faudroit multiplier la combination du ternaire par le quarré de la combination de deux. »

29n1 = 2 n2 = 2 n3 = 3,

30« Et si l’vne des notes se repetoit quatre fois, & l’autre 5 fois, il faudroit multiplier la combination de 5 par celle de 4 pour avoir le diviseur. »

31n1 = 4 n2 = 5,

32« Finalement, si l’on veut sçavoir combien l’on peut faire de chants differens de 22 notes, dont il y en ait deux qui se repetent chacune deux fois, vne qui se repete 3, & deux autres qui se repetent quatre fois, il faut quarrer la combination de 2 pour avoir quatre, par lequel il faut multiplier la combination de 3 pour avoir 24, qu’il faut multiplier par le quarré de la combination de 4, qui est 576. »

33n = 22,

34n1 = 2 n2 = 2 n3 = 3 n4 = 4 n5 = 4,

35Ce genre de calcul trouvera à s’appliquer immédiatement dans la recherche des anagrammes :

  • 21 Id., p. 130.

« Or la mesme industrie sert pour faire les Anagrammes des noms qui ont deux ou plusieurs lettres semblables, comme les deux autres propositions precedentes [Calcul de P (n)] servent pour sçavoir le nombre des Anagrammes de tous les noms dont les lettres sont toutes differentes21. »

36Mais ce qui pouvait intéresser plus directement le faiseur d’anagrammes, c’était de voir réuni sous ses yeux l’ensemble de ces résultats. Ainsi, un mot quelconque étant donné, pourrait-il connaître directement le nombre de ses anagrammes, sans avoir à refaire chaque fois le calcul. Mersenne satisfit à un tel désir dans un Corollarium pro Anagrammatibus :

  • 22 Mersenne, Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, II, p. 228. [ « Pour que quiconque sache vra (...)

« Ut vero quis absque ullo labore sciat quot Anagrammata sint in dictionibus quae non excedunt numerum 9 litterarum, sequentes tabulas subiungo, quae incipiunt a dictione 5 litterarum, quia dictiones 1, 2 , 3, 4 litterarum sunt nimium faciles22. »

37Mersenne donne 4 tables dont voici la première :

Dictiones 5

Litterarum 120

2

60

2 et 2

30

3

20

2 et 3

10

4

5

5

1

38On voit que Mersenne établit la liste exhaustive de tous les cas qui peuvent se produire pour n = 5, lorsque des lettres se répètent :

  • 23 Ibid. Dans l’Harmonie universelle, Mersenne donne seulement la table pour n = 9 (« Table des Chants (...)
  • 24 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

39Il donne des tables analogues23 pour n = 6, 7, 9. Nulle méthode de classification ne pouvait mieux montrer « combien l’on peut faire de chants d’vn certain nombre de notes en quelque sorte que l’on les puisse repeter24 ».

40À l’occasion de différents calculs, Mersenne, comme nous le verrons plus loin, aura à utiliser ces théorèmes. Mais il nous paraît intéressant d’en relever ici même une application simple qu’il en a faite à un problème de théorie musicale. Ayant à « expliquer toutes les especes de Quartes, de Quintes, & d’Octaves, dont on peut user dans le Genre Diatonic », il fera en effet appel à « la doctrine des Combinations ».

  • 25 « Mais si l’on varie les especes de Quarte, à raison du ton majeur, & du mineur, il y en aura 6 esp (...)

41Une quarte est une suite de 4 notes. Si l’on admet qu’il peut y avoir entre les notes 3 sortes d’intervalles : un demi-ton, un ton majeur et un ton mineur, il y aura 6 espèces de quarte, selon l’ordre où on rencontre ces intervalles25.

42Si on admet maintenant que dans une quinte, on rencontrera deux tons majeurs, un ton mineur, un demi-ton, il y aura « 12 especes de Quinte » :

  • 26 Id., p. 177.

« Mais comme i’ay monstré qu’il y a 6 especes de Quarte dans le Diatonic parfait, il faut semblablement expliquer combien il y a d’especes de Quinte, ce qui est tres-aisé par la doctrine des Combinations, car puis que 3 choses se varient 6 fois comme il arrive aux 3 intervalles de la Quarte, & qu’il y a 4 intervalles dans la Quinte, s’ils estoient tous 4 differens, elle se pourroit varier 24 fois, mais par ce qu’elle a 2 intervalles semblables, il faut diuiser la combination de 4, c’est à dire 24, par celle de 2, comme l’on fait aux dictions de 4 lettres, dont il y en a 2 semblables, & l’on trouuera que la Quinte peut estre diuise en 12 especes26. »

B. Arrangements

  • 27 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 231.

43La nouvelle « combination » dont nous allons parler a ceci en commun avec la « combination » ordinaire, « que l’on garde l’ordre des lieux differens27 » ; on tiendra donc compte de l’ordre des lettres, et chaque diction prise en particulier produira la même « diversité d’ordre » que dans la « combination ordinaire ».

  • 28 « Differt igitur haec combinatio a praecedente (P(n)) quod praeter varietatem ordinis diversas nota (...)

44Mais d’un autre côté, la nouvelle « combination » est /emphplus générale. Dans la « combination ordinaire », toutes les dictions avaient un même nombre de lettres ; ici, un nombre n de lettres étant donné, on se propose de former les dictions de 1, 2… n lettres28 :

  • 29 L’expression est en vérité malheureuse. La différence entre permutations de n lettres et arrangemen (...)
  • 30 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

« Nous avons seulement considéré la variété des lieux, & de l’ordre des notes dans les 3 propositions précédentes [P (n)], sans qu’il soit permis d’aioûter de nouvelles notes, mais nous monstrons dans celle-cy comme il faut trouver le nombre des chants qui se peuvent faire des notes ausquelles l’on en aioûte d’autres nouvelles29, de sorte que cette combinaison est plus grande & plus generale que la precedente, qu’elle contient, & à qui elle aioûte vne nouvelle consideration30. »

45Dans les deux énoncés de propositions que nous donnons ci-dessous, Mersenne analyse clairement les réquisits de la question suivante : soit n lettres ; quel est le nombre de mots de p lettres prises sur n, lorsqu’on tient compte de l’ordre des lettres dans les mots ? (1 ≤ p ≤ n)

  • 31 Mersenne 1636b, VII, p. 133. [ « Expliquer le nombre des chants que l’on peut faire avec un nombre (...)

« Numerum Cantilenarum, quae fieri possunt ex dato notarum numero, quae sumuntur in alio maiori notarum numero, explicare, quando patiuntur diversitatem ordinis, & binae, vel terna vel quaternae, & c. sumuntur31. »

  • 32 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 229. [ « Expliquer le nombre de dictio (...)

« Explicare numerum dictionum quae fieri possunt ex dato litterarum numero, qui sumatur in alio maiori numero litterarum : hoc est assignare numerum dictionum, quae fieri possit ex 22 litteris, quando dictiones sunt, duarum, trium, aut plurium litterarum, quarum nulla in qualibet dictione repetatur, ita tamen ut quaelibet dictio eandem locorum, sive ordinis patiatur diversitatem, quam dictiones primae propositionis [cette proposition porte sur P(n)]32. »

46Mersenne nous fait entendre sur un exemple, comment il faut calculer A(n, p) :

  • 33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

« L’exemple qui suit est si clair que l’on n’a point besoin d’autres preceptes. Ie suppose donc que l’on vüeille sçavoir tous les chants qui se peuvent faire de 8 notes prises dans 22 notes, de sorte que le chant n’ait tousiours que 8 notes.
[Calcul de A(22, B)]
Or il faut multiplier 22 par le nombre qui est moindre de l’vnité, à sçavoir par celuy qui suit immediatement vers l’unité, c’est à dire par 21, dont le produit est 462, qui est le nombre des variations, de deux notes prises dans 22 :
[A (22, 2) = 22 x 21 = 462]
puis il faut multiplier 462 par le nombre qui suit, à sçavair par 20, dont le produit 9240 monstre le nombre de 3 notes prises dans 22.
[A (22, 3) = 22 x 21 x 20 = 9240]
Il faut suivre ce mesme ordre iusques à 22 notes, & c. qui donnerons autant de chants que la combination ordinaire de 22.
[A (22, 22) = 22 x 21 x... x 2 x 1 = 22 !]33. »

47Mersenne dira ailleurs comment calculer :

48A(36, 2) = 36 × 35

49A(36, 3) = 36 × 35 × 34

50On voit donc qu’il savait appliquer la règle :

51A(n, p) = n (n − 1) ⋯ (n − p + 1)

  • 34 Dans l’Harmonie universelle (Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 132), cette Table (...)
  • 35 unico intuitu (Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 229).

52Pour ce qui est des mots de 22 lettres prises p à p en tenant compte de l’ordre, il a rassemblé dans une table34 tous les résultats, afin qu’on puisse voir d’un seul coup d’œil35 combien de mots d’un nombre donné de lettres on peut former avec les 22 lettres de l’alphabet.

53Dans cette table,

  • 36 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

« la colomne des nombres Romains contient le nombre des notes que l’on prend, & l’autre colomne où il y a par, monstre les nombres par lesquels il faut multiplier chaque nombre qui represente le nombre des chants vis à vis de chaque nombre de notes36 ».

C. Combinaisons

1. Liens avec les Arrangements

54Après avoir traité des Arrangements, Mersenne passe aux Combinaisons. La définition de celles-ci va venir s’articuler sur celle des Arrangements par le biais de la notion d’ordre. En fait, on passe des Arrangements aux Combinaisons, en modifiant une seule des conditions de la questions précédente : tout à l’heure, on « usait » de l’ordre, maintenant « on n’en use pas ». Ces deux possibilités sont mieux mises en valeur dans la question suivante qui les formule toutes deux à la fois :

  • 37 C’est nous qui soulignons.
  • 38 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

« Combien l’on peut faire de Chants differens d’un certain nombre de notes prises dans vn autre plus grand nombre, lors que lesdites notes sont toutes differentes, soit que l’on garde l’ordre des lieux differens, ou que l’on n’en use pas37, & lors qu’il est permis de les prendre deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, & c.38. »

55Mersenne tient à préciser encore mieux l’alternative :

  • 39 Id, p. 132.

« I’ay dit dans la proposition, soit que l’on garde l’ordre des lieux differens, c’est à dire la variation des lieux, comme nous avons fait dans toutes les precedentes combinations, ou que l’on n’en use pas, c’est à dire que l’on ne fasse point les varietez qui procedent des differents lieux39. »

  • 40 Mersenne fait allusion à cette opposition, mais de manière incidente, lorsqu’il dit de la Table des (...)

56Mersenne aurait pu illustrer cette différence par des exemples, et montrer comment d’un côté on compte pour différents des mots qui comportent des lettres identiques mais disposées dans un ordre différent, et comment, de l’autre, on compte pour un seul les mots de ce genre40. Mais pour une fois, il ne s’attarde pas en chemin, et la question à peine formulée, passe à la réponse. Rien de précipité toutefois dans cet empressement que motive une raison précise : ce qui prime, dans l’esprit de Mersenne, ce n’est pas ce qu’Arrangements et Combinaisons ont de différent par définition, mais c’est bien plutôt la solidarité étroite des règles de calcul portant sur chacune d’elles. Cette solidarité s’impose à Mersenne sous un jour bien déterminé : il a sous les yeux la table qui donne A(22, 1), A(22, 2), ..., A(22, 22) ; or il sait que de cette table, on peut en dériver aisément une autre, qui est justement la table donnant C(22, 1), C(22, 2), ..., C(22, 22), et c’est la possibilité de ce « détachement » qui caractérise vraiment pour lui les Combinaisons :

  • 41 Ibid. Dans Mersenne 1636b, VII, p. 135, Mersenne dit de cette méthode qu’elle est extrêmement facil (...)

« Or pour trouver cette particuliere combination qui est vn détachement de la Table precedente, il faut diviser le nombre de cette Table [A(22, p)] par la combination ordinaire [P (p) = p !] du nombre des choses, dont on cherche la combination [p]41. »

57On a donc la formule de passage fondamentale :

  • 42 Ibid.

« Par exemple, pour sçavoir combien l’on peut faire de chants de trois notes differentes prises dans la Vingt-deuxiesme c’est à dire dans 3 Octaves, il faut diviser le nombre 9 240, qui est vis à vis de 3 [lire III], par 6, qui est la combination ordinaire de 3, le quotient donnera 1 540 pour le nombre des chants dont chacun aura toujours quelque note nouvelle42. »

58La Table des Arrangements contient donc implicitement celle des Combinaisons :

  • 43 Ibid.

« De là vient que cette Table sert pour deux sortes de combinations, dautant que la combination ordinaire en oste la diversité des lieux, & consequemment laisse la Table des chants, qui ont tous quelque note differente43. »

59Explicitons, pour notre part, dans le tableau suivant, le double usage de cette table, en marquant bien la relation qui unit les deux sortes de « combinations » :

L’Arrangement

divisé par

donne la Combinaison

A(22, 1)

1 !

C(22,1)

A(22, 2)

2 !

C(22,2)

A(22, 22)

22 !

C(22,22)

60Sur une ligne quelconque de notre tableau, nous obtenons une Combinaison particulière C (22, i) en « ôtant l’ordre » de l’Arrangement correspondant A (22, i). Mais comme cette relation est vraie de toutes les lignes, on comprend que Mersenne puisse dire, en parlant cette fois-ci globalement, et par analogie avec ces cas particuliers : la troisième colonne n’est autre que la première colonne une fois qu’on en a « ôté l’ordre ». On « produit », on « détache » la Table des Combinaisons en « ôtant l’ordre » de la Table des Arrangements.

61Or comment l’ordre est-il ôté ? En divisant A(22, p) par la « combination ordinaire » p ! . D’où le sens équivalent que prennent sous la plume de Mersenne les expressions : « ôter l’ordre » et « ôter la combination ordinaire ».

62Ces précisions étant données, on se laissera moins surprendre par les sous-entendus que comportent les propositions où, ailleurs que dans l’Harmonie universelle, Mersenne aborde l’étude des Combinaisons : tout en y posant des questions, il amorce déjà les réponses puisqu’il déclare d’emblée que le problème revient à « ôter la combination ordinaire » :

  • 44 Mersenne 1636b, VII, p. 135. [ « Rechercher le nombre de chants qui peut être fait avec des notes p (...)
  • 45 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230. [ « Expliquer la façon dont la co (...)

« Cantilenarum numerum, qui fieri potest cum notis in maiori notarum numero sumptis investigare, quando non licet vti locorum varietate, hoc est cum prima combinationis specie non vtimur, & binae, ternae, quaternaevo, & c. sumuntur44.
Explicare modum, quo combinatio vulgaris primae propositionis [Permutation], qua locorum varietate utitur, ex praecedenti varietate [A(22, p)] auferenda est, ut quaelibet dictio novam semper habet litteram : hoc est assignare numerum combinationum, vel conternationum, & c. quae possunt fieri ex 22 litteri itaut nullus ordo carumdem litterarum observetur45. »

63N’y a-t-il pas lieu de déplorer dans ces énoncés des confusions de plans regrettables entre définitions, règles, questions et résultats ? Et ceci d’autant plus que, par la suite, Mersenne ne se soucie pas de justifier par une preuve in forma la règle qui permet de calculer C(n, p) ? Pourtant, il y a peut-être mieux à faire, en l’occurrence, qu’à déplorer simplement cette absence de preuve. Pourquoi ne pas tenter plutôt de comprendre le mode particulier selon lequel Mersenne appréhende ici un rapport mathématique ? Pour nous être peu familière, son approche n’en est pas pour autant stérile, puisqu’elle aboutit à des résultats exacts ; et elle dépasse d’ailleurs le simple plan de l’efficacité : elle met en jeu plus qu’une recette de calcul (comment procéder pour obtenir C(n, p) ?) ; elle vise d’emblée, avons-nous vu, à construire une table à partir d’une autre table. Si l’on veut mieux rendre justice à Mersenne, c’est, selon nous, dans les rapports tissés entre ces tables, qu’il faut chercher à saisir sa véritable démarche de pensée.

  • 46 Il s’agit du calcul de C (36, 12) qui conduira Mersenne à prendre en considération une table analog (...)

64À propos d’une question particulière46, Mersenne a justement juxtaposé sous la forme suivante les Tables des Arrangements et des Combinaisons de 36 notes :

I

II

III

IV

V

1

36

1

36

35

2

630

2

1 260

34

3

7 140

6

42 840

33

12

65Voici ce que contient chacune des colonnes de la table :

  • 47 Mersenne 1636b, VII, p. 146. [ « La première colonne contient les nombres en progression naturelle, (...)

« Prima [columna] continet numeros in progressione naturali ab vnitate vsque ad 12, ostenditque numerum notarum, ex quibus Cantilena componitur.
Secunda columna demonstrat numerum Cantilenarum, qui fit ex dato notarum numero ; exempli causa, IV primae columnae significat notas quatuor assumi, numerusque secundae 58 905 e regione positus significat totidem Cantilenas ex quatuor notis in 36 assumptis componi [C(36, 4)].
Tertia columna complectitur combinationes ordinarias, per quas quilibet numerus quartae columnae dividendus est, ut sublata varietate ordinis gignantur numeri secundae columnae.
Quinta denique columna demonstrat genesim quartae, quandoquidem 35 ductus in 36 facit 1260, & 34 ductus in 1 260, & 34 ductus in 1260, facit 42 840, qui significat totidem Cantilenas quae fiunt ex tribus notis in 36 assumptis, si varietas locorum observatur [A(36, 3)] & ita deinceps47. »

66Une telle table, une fois constituée, a certes un intérêt tout pratique : elle fournit d’emblée des réponses à des questions particulières : « par exemple, si l’on prenoit 3 notes en 36, elles seroient 7 140 dictions [C(36, 3)] & si l’on gardoit l’ordre elles en feroient 42 840 [A(36, 3)]. » Mais elle est bien plus qu’une table à enregistrer des résultats. Elle enveloppe en quelque sorte en elle-même les règles de sa construction.

67Les nombres de la colonne III sont obtenus à partir de ceux de la colonne I ; ceux de la colonne IV à partir de ceux de la colonne V. Enfin et surtout, les colonnes II et IV peuvent s’« engendrer » l’une à partir de l’autre selon les règles suivantes :

68ième nombre de la col. IV = (ième nombre de la col. II) × (ième nombre de la col. III)

69Dans le texte cité, Mersenne ne commente que le passage de la colonne IV à la colonne II, mais il est évident qu’on peut aussi bien envisager le passage inverse de la colonne II à la colonne IV. Dans un texte manuscrit, Mersenne remarque lui-même à un autre propos :

  • 48 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230. [ « D’eux [de ces calculs], il es (...)

« Ex quibus patet varietatem tertiae propositionis [A(22, p)] conflari ex varietate istius [C (22, p)], quandoquidem combinatio primae propositionis [P(p)] sequenti tabulae [Table de C (22, i), 1 ≤ i ≤ 22], vel illius combinationi addita restituit tabulam praecedentis propositionis [Table de A(22, i), 1 ≤ i ≤ 22], quandoquidem illa combinatio ablata ex tabula praecedente, relinquit sequentem ; quod fit si dividatur quilibet numeru illius tabulae per combinationem ordinariam48. »

70Ainsi passe-t-on des Combinaisons aux Arrangements en « restituant l’ordre », comme on était passé, à l’inverse, des Arrangements aux Combinaisons, en « ôtant l’ordre ».

71La table dont nous parlons se charpente donc autour des rapports qui lient les colonnes II et IV. Elle peut donc être parcourue de plusieurs manières différentes. Elle condense en elle tout un réseau de relations. Elle exemplifie par des nombres particuliers plusieurs règles de calcul, mais elle donne à voir en même temps comment ces règles s’engrènent les unes dans les autres. Ce serait trop de dire, si l’on veut parler avec rigueur, qu’elle tient lieu de la formule :

72Mais ce serait manquer la véritable signification de cette table que de réduire les applications que donne Mersenne de la formule précédente, à des applications mécaniques, privées complètement des raisons qui les justifient mathématiquement. Proposons de considérer cette table comme un schème opératoire qui synthétise une multiplicité de calculs particuliers, et à travers lequel Mersenne appréhende le rapport général entre Combinaisons et Arrangements. Ainsi que Mersenne le dit dans l’Harmonie universelle en termes bien plus concis que dans le texte latin cité ci-dessus :

  • 49 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

« la combination ordinaire que l’on void dans la 3 colomne est ostee des nombres de la 4 ; de sorte que ceux de la seconde colomne monstrent les varietez sans l’ordre49 ».

73Vus dans cette perspective, le double sens que nous avons relevé plus haut, de l’expression « ôter l’ordre », puis le fait que cette expression soit tenue pour synonyme de : « ôter la combination ordinaire » relèvent moins d’un style relâché que d’une manière de penser spécifique. Ces raccourcis d’expression sont aussi des condensés de raisonnement.

2. La règle de la progression double

  • 50 Cf. ci-dessus Première Partie, ch. 1, A, 2, a et ch. 4, B, 1, b et B, 2, B. On verra ci-dessous (De (...)
  • 51 Cette propriété a droit à une Proposition tout entière dans Mersenne 1636b, Propositio X, p. 133 –  (...)

74Mersenne ne pouvait manquer de revenir sur une propriété des Combinaisons qui fut la première qu’il ait connue, et qu’il avait énoncée dès ses premiers ouvrages : ce qu’on pourrait appeler la règle de la « progression double50 » ; mais il sait maintenant lui donner sa juste place, et en dégage très clairement la signification51 :

  • 52 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 133.

« Lorsque l’on ne se soucie pas de trouuer combien l’on peut faire de chants ou de dictions de 22 notes ou lettres en les prenant vne à vne, deux à deux, ou trois à trois, & c. iusques à 22, ou iusques à tel autre nombre que l’on veut, & que l’on se contente de sçauoir toutes les varietez qui se peuvent faire en les prenant en toutes ces manieres, sans specifier combien il y a de chants ou de dictions, de deux, ou de trois lettres, & c., il faut seulement disposer autant de nombres en progression geometrique double, en commençant par l’vnité, comme il y a d’vnitez dans le nombre total que l’on prend52. »

75Traduisons :

76C(22, 1) + C(22, 2) + ⋯ + C(22, n) = 1 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1.

77Cette règle ne nous donne pas chacune des valeurs de C(22, 1), C(22, 2), ..., qu’elle ne considère pas en particulier, mais comme un amas confus dont on compte globalement le nombre d’éléments :

  • 53 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 231. [ « Mais en vérité cette progress (...)

« At vero haec numerorum progressio dat numerum dictionum omnium duntaxat in confuso ; cum prima tabula [table donnant C(22, p), 1 ≤ p ≤ 22], atque secunda [table donnant C (36, p), 1 ≤ p ≤ 12] dant illas distincte, & in particulari53. »

78Dans le calcul précédent, on peut se dispenser d’effectuer la somme des termes :

791 + 2 + 22 +... + 2n−1

80en tirant profit du fait que cette somme est égale à 2n − 1 :

  • 54 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 134.

« Or il n’est pas necessaire d’ajoûter tous ces nombres pour sçauoir leur somme totale, car le double du dernier la donne en ostant l’vnité ; & consequemment le double de 2097 152, c’est à dire le 23 nombre de la progression doublee, à sçauoir 4 194304, donne le nombre des chants, des dictions, des chartes, ou des autres choses qui se peuuent faire dans le nombre de 22, en les prenant vne à vne, deux à deux, iusques à ce que l’on prenne les 22 pour vn seul chant, ou pour vne diction54. »

  • 55 Id., p. 134 – 135 et p. 144 ; Mersenne 1636b, p. 134 : « Tabellam vero ab 1 usque ad 64 produco, vt (...)

81Mersenne ajoute, pour le contentement de son lecteur, la Table des puissances de 2 jusqu’à la 63e puissance55 .

3. Une énumeration de Combinaisons

82Dans les Harmonicorum libri, Mersenne termine par ces mots la proposition qui traite de cette « progression double » :

  • 56 Mersenne 1636b, p. 134. [ « Toutes les choses mentionnées se montrent par la table suivante plus cl (...)

« Omnia vero praedicta clarius ex sequente Tabula, quam ex fusiore discursu elucescent56. »

  • 57 Id., p. 135.
  • 58 Sauf pour les unae.

83La table en question est la Tabula Combinationis, Conternationis, Conquaternationis, & c. octo notarum Octavae, seu, Diapason57, qui est une liste méthodique des Combinaisons de 8 lettres (A, B, C, D, E, F, C, a) prises une à une, 2 à 2... 8 à 8. Viennent d’abord les unae : A, B, ..., a ; puis les binae : AB, AC, ..., Aa, BC, BD, ..., F a, Ca ; puis les ternae : ABC, ABD, ..., ACD, ACE, ..., ECa, FCa ; suivent les quaternae, les quinae, les senae, les septenae, et les octonae ordonnées également selon l’ordre alphabétique. Au bas de chacune des sections de sa liste58, Mersenne donne le nombre des chants qui y sont contenus, à savoir respectivement : 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.

84On ne voit pas du tout comment cette table peut vraiment éclairer, ainsi que le prétend Mersenne, la règle de la « progression double ». Sur cette table, on pourrait seulement vérifier qu’on a bien :

858 + 28 + ⋯ + 28 + 8 + 1 = 28 − 1.

  • 59 « Table de la variété des huict jeux de l’Orgue ».

86De fait, Mersenne, avec sa passion de ne rien laisser perdre, a placé ici, sans sérieuse justification, une table qu’il avait construite dans un autre but. On trouve en effet la même table dans le « Livre des Orgues » de l’Harmonie universelle (III) où elle est destinée à illustrer de manière simple la variété des jeux de l’orgue59 :

  • 60 Mersenne 1636a/1963, III, « Livre sixième des Orgues », p. 373 – 374.

« Ie mets seulement icy la variété des huict ieux d’vn Cabinet, en supposant que ses huict ieux soient representez par les huict premieres lettres de nostre Alphabet A, B, C, D, E, F, C, H . Ie mets neanmoins nostre petit a pour la huictiesme lettre au lieu de l’H, afin que cet exemple serve tant pour la varieté des ieux composez de l’Orgue à huict ieux que pour celle des notes de l’Octave, ou de soldats, ou de mille autres choses60. »

87Quel que fût le prétexte de sa construction, cette table présente par elle-même de l’intérêt. Il est vraisemblable que Mersenne en a construit d’autres du même type pour sa gouverne personnelle. C’est par ce genre d’exercice qu’il a dû s’assurer de la validité des règles relatives aux Combinaisons, et peut-être même les a-t-il découvertes ainsi.

4. Propriété de symétrie des tables de Combinaisons

  • 61 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230.

88Comment la Table des Combinaisons de n objets se présente-t-elle lorsqu’on la considère isolée et pour elle-même ? Dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, Mersenne donne la table suivante61 :

1

22

2

231

3

1 540

10

646 646

11

705 432

12

646 646

20

231

21

22

22

1

Summa

4 194303

89Mais s’il a donné, dit-il, cette table en son entier, c’est pour épargner du travail à son lecteur. En fait, cette table peut être contractée, car en face de 12 jusqu’à 22, on voit se présenter exactement les mêmes nombres qui y trouvent place de 1 jusqu’à 12 :

  • 62 Ibid.

« Potest autem ista tabella contrahi, cum a 12 usque ad 22 iidem omnino numeri litterarum occurrant, qui positi sunt ab unitate ad duodenarium usque62. »

90Prise dans sa rigueur, la remarque n’est pas exacte, puisque ce qui correspond au 22 qui se trouve placé face au 1 de la 1re colonne, c’est ce même nombre 22 placé face au 21 de la 1re colonne. La dernière ligne de la table n’a pas de correspondant dans le haut de la table.

91S’il est ainsi gêné par l’absence de la convention :

92C(n, 0) = 1

  • 63 Id., p. 135.

93Mersenne nous montre dans les Harmonicorum libri qu’il sait parfaitement de quoi il parle. Dans cet ouvrage, il réduit effectivement la longueur de la table, et la Tabula peculiaris Combinationis63 ne comporte que 11 termes :

I

22

II

231

XI

705 432

Summa

2 449 867

94En justifiant cette réduction, Mersenne oubliera la place particulière que devrait avoir dans sa table le chant de 22 notes (qui en fait, n’y est pas présent) et écrira usque ad 22, là où il aurait dû écrire usque ad 21 :

  • 64 Ibid. [ « Mais les autres variétés de notes données sont rassemblées dans cette table, dont, alors (...)

« Alias tamen datarum notarum varietates hac Tabula deprehendentur, quae cum habere possit 22 ordines, vndecim contentis erimus, quia post vndecimum ordinem alii vsque ad 22 eadem proportione minuuntur, qua crescunt a primo ordine vsque ad vndecimum64. »

95Remarquer la propriété de symétrie de la table complète revenait à noter la relation :

96C(n, p) = C(n, n − p).

  • 65 « Quare si quaeratur quot sint varietates duodecim [C (22, 12)] notarum, varietas ista varietati de (...)

97Mersenne ajoute deux exemples65 qui prouvent que c’est bien à cette relation qu’il pense :

98C(22, 12) = C(22, 10)

99C(22, 13) = C(22, 9)

100Dans l’Harmonie universelle, il n’explicite pas verbalement cette remarque, mais il l’exprime tout de même par le truchement de la table suivante où on peut lire sur une même ligne C(22, p) et C(22, n−p). On notera qu’ici encore le chant de 22 notes n’apparaît pas :

Table des Chants qui ont leurs notes différentes

22

d’une note, & de 21

231

De 2, & de 20

1 540

de 3, & de 19

646 646

de 10, & de 12

705 432

de 11,

D. Combinaisons avec répétitions

101La différence entre Arrangements et Combinaisons reposait sur le fait qu’on tenait compte, ou qu’on ne tenait pas compte de l’ordre des lettres dans les mots.

102Mersenne va imaginer maintenant de faire intervenir ici un nouveau mode de formation des mots. Pour dénombrer Arrangements et Combinaisons, on avait posé comme convention que chacun des mots considérés devait avoir ses lettres distinctes entre elles Cette restriction va maintenant être levée : chacune des lettres pourra se répéter p fois (p étant la longueur des mots considérés).

  • 66 Cf. ci-dessus, p. 160 le titre de cette proposition.

103La proposition qui va suivre est naturellement liée à celle qui portait sur les Combinaisons66, et lui est identique sauf sur un point : la répétition des lettres est maintenant permise :

  • 67 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, titre de la Propositio quinta, p. 232. [ (...)

« Methodum explicare, qua singulae dictiones inveniantur, quae binae, ternae, quaternae, etc. ut antea, sumuntur in 22 litteris, quando licet eandem litteram bis, ter, aut quater, etc. repetere in qualibet dictione, in qua nulla locorum sed tantum litterarum varietas observatur67. »

104Soit 22 lettres ; Mersenne se propose de former les mots de longueur p tels qu’une lettre quelconque peut s’y répéter jusqu’à p fois, et que deux mots ne différant que par l’ordre de leurs lettres ne soient pas considérés comme distincts.

105Le nombre de ces mots sera K (22, p). L’« espèce de combination » qu’il vise dans sa proposition correspond donc à nos Combinaisons avec répétitions.

  • 68 Cf. ci-dessous, ch. 3.

106Qu’on nous pardonne ici de nous libérer un peu de notre promesse de fidélité ; nous ne suivrons pas Mersenne dans le détail de sa proposition. Non pas qu’il n’y ait rien à en retenir. Tout au contraire, elle est une des plus riches, mais aussi une des plus délicates à analyser si on veut en saisir tous les tenant et les aboutissants. Aussi nous a-t-il paru préférable de reporter cette analyse à un chapitre ultérieur tout entier consacré à cette question68.

107Mais nous nous devions de ne pas sauter un des chaînons selon lesquels, on en conviendra déjà, Mersenne progresse méthodiquement.

E. Arrangements avec répétitions

108La « combination » qu’il nous reste à considérer a un nom, et un nom qui la place en dignité au-dessus des autres « combinations » : elle est « la plus generale de toutes », elle est la Generalissima Combinatio.

109Afin de mieux comprendre le sens de ce qualificatif, ainsi que les commentaires qu’il inspirera à Mersenne, nous allons distinguer plus fermement que ne fait ce dernier deux problèmes différents.

1. On tient compte de l’ordre et de la répétition ; régle de calcul ; combinaison la plus générale

110Partons, pour commencer, de la proposition où, dans les Harmonicorum libri, Mersenne se pose la question suivante :

  • 69 Mersenne 1636b, Énoncé de la Propositio XIV, p. 139. [ « Expliquer la combination la plus générale, (...)

« Generalissimam Combinationem, seu varietatem quae reliquas complectitur, explicare ; hoc est dare numerum Cantuum, qui fieri possunt ex quolibet dato notarum numero in alio quovis maiori numero sumendarum, sive locorum varietas servetur, sive notae quotvis repetantur69. »

111Soit un nombre n de notes ; il s’agit de savoir combien de chants de longueur p on peut former avec ces n notes :

112— en tenant compte de l’ordre des notes, — en permettant à chaque note de se répéter jusqu’à p fois dans les chants.

113Les deux sive qui se trouvent en fin de proposition disent bien comment est construite la notion de cette « combination ». Pour caractériser plus haut chacune des autres « espèces de combinations », nous avons été conduits pour caractériser chacune d’elles à trancher les deux alternatives suivantes :

114— tient-on compte ou non de l’ordre des notes dans les chants ? — permet-on aux notes de se répéter p fois (p étant la longueur des chants) ou leur est-il interdit de se répéter ?

115Nous avons déjà rencontré les « espèces de combinations » correspondant aux réponses :

116— ordre - non répétition (Arrangements), — non ordre - non répétition (Combinaisons), — non ordre - répétitions (Combinaisons avec répétitions).

117Il restait donc une quatrième possibilité :

118— ordre - répétitions,

119et c’est à elle justement que correspond la « combination la plus generale » (Arrangements avec répétitions).

  • 70 Non potest generalior excogitari methodus, imo neque facilior (Mersenne, Suite manuscrite des Quaes (...)

120On ne peut imaginer « méthode plus générale et plus facile70 » que celle qui permet de répondre à la question posée dans la proposition précédente :

  • 71 L’expression est curieuse puisqu’il s’agit des chants d’une note formés avec les 22 notes données a (...)
  • 72 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

« car supposé que l’on vüeille sçavoir combien 8 notes prises dans 22 peuuent faire de chants, il faut prendre le nombre 22 pour le premier nombre des chants qui se peuuent faire d’vne seule note repetee 22 fois71, puis il faut quarrer 22 pour avoir le nombre des chants de 2 notes, à sçavoir 484, qu’il faut multiplier par 22 iusques à ce que l’on parvienne aux chants de 8 notes, qui s’expriment par 54 875 873 53672 ».

121On a donc :

C(22, 1)

= 22

C(22, 2)

= 222

C(22, 3)

= 223

........

.......

C(22, 8)

= 228

122Mersenne poursuivra le calcul des puissances de 22 jusqu’à 2222, mais la règle est valable quelle que soit la longueur p des chants considérés :

  • 73 Ibid.

123« Si l’on veut auoir les chants de plus de 22 notes », il faut multiplier 2222 par 22, « & le produit encore par 22 iusques à ce qu’on ait atteint le 30, le 40, le 50, ou tel autre nombre de notes que l’on voudra73 ».

124C(22, p) = 22p.

125Mais surtout la même méthode sera valable si le nombre des notes donné au départ est différent de 22 :

  • 74 Si on choisit le nombre 24, la table à laquelle fait allusion Mersenne sera celle des puissances su (...)
  • 75 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 234. [ « Si tu en veux plus en vérité, (...)

« Si vero plures volueris, puta 23, 24, aut 30, etc., multiplicante dato, reliqui ordines ab eo multiplicati totam tabulam74 conficient. Exempli gratia, si 24 litterae sumantur, dictionum numerus ex 2 litteris omnifariam in 23 [lire 24] sumpti compositarum invenitur ex ductu 24 in seipsum, hoc est 576, qui multiplicans per 24, utpote communem multiplicationem, producit 13824, numerum videlicet dictionum 3 litteris constantium75. »

126On a donc la règle générale :

127C(n, p) = np.

128Rien donc n’est plus facile que le calcul de cette combinaison, puisqu’il suffit de prendre le nombre de notes donnée (n) et de le multiplier p fois par lui- même :

  • 76 Ibid. [ « De cela, on constate que rien n’est plus facile que cette combinaison, puisque le nombre (...)

« Ex quibus constat nihil ista combinatione facilius esse, cum numerus multiplicans idem semper permanea76 »

129Nous sommes maintenant en mesure de comprendre pourquoi, en un premier sens, cette combinaison mérite d’être appelée « générale ».

  • 77 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

« Cette combination est la plus generale de toutes car elle monstre combien vn nombre de notes, ou d’autres choses prises dans tel autre nombre de notes souffre de varietez : par exemple, combien 4 notes peuvent estre variees, soit que l’on les prenne toutes differentes, ou partie differentes, partie semblable ou toutes semblables, & que l’on garde la varieté des lieux, ou de l’ordre ; de sorte que cette regle contient tout ce que l’on peut imaginer dans toutes les varietez & les combinations des notes, ou de telles autres choses que l’on veu77. »

130Faisons la liste des Arrangements avec répétitions de 22 notes prises 4 à 4 : cette liste enferme toutes les « varietez » qu’on peut former en associant ces notes 4 à 4 ; on ne peut imaginer aucun chant de longueur 4 formé avec ces 22 notes, en dehors de ceux qui sont dans la liste.

  • 78 « soit que l’on les prenne toutes differentes [...] & que l’on garde la variété des lieux, ou de l’ (...)

131En particulier, cette liste comprend, comme le remarque Mersenne, tous les Arrangements de 22 notes prises 4 à 478. Mais on pourrait aussi dire a fortiori que cette liste comprend aussi :

132— toutes les Combinaisons avec répétitions de 22 notes prises 4 à 4,

133— et par conséquent toutes les Combinaisons de 22 notes prises 4 à 4.

  • 79 Cette combination est « celle qui comprend toutes les autres » (id., p. 134).

134La combination générale embrasse donc en elle ces autres espèces de combination79 qui, considérées par rapport à elle, n’apparaissent que comme des cas particuliers. Elle a été caractérisée plus haut par le couple : ordre-répétitions. Mais à un autre point de vue, on pourrait dire que, pour comptabiliser les chants qui entrent dans la « combination générale », on ne tient pas compte de leurs traits distinctifs ; ou ce qui revient au même, on dira qu’on prend tous les chants quels que soient leurs traits distinctifs. Aussi Mersenne, dont on a vu qu’il caractérisait la « combination generale » par l’expression : « sive locorum varietas servetur, sive notae quotvis repetantur » [ « soit la variété des places est conservée, soit les notes sont répétées autant de fois qu’on veut »],

135pourra dédoubler, dans un autre texte, chacune de ces disjonctions puisqu’aussi bien la définition cherchée doit recouvrir tous les types possibles de chants :

  • 80 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 233, dans le titre de la Propositio se (...)

136« sive servetur ordo, sive non servetur : sive quaedam, aut omnes repetantur, sive non repetantur80. »

2. Tous les mots de longueur inférieure ou égale à 22, formés avec 22 lettres ; panégyrique de la facilité et de l’universalité

137Passons maintenant à un second problème, qui n’est à vrai dire, qu’une extension naturelle, du problème que nous venons de traiter :

  • 81 Ibid. [ « Expliquer la méthode par laquelle est découvert le nombre de dictions, qui peuvent être f (...)

« Explicare methodum qua reperitur numerus dictionum, quae fieri possunt ex 22 litteris, si binae, ternae, & quaternae & c. sumantur : sive servetur ordo, sive non servetur : sive quaedam, aut omnes litterae repetantur, sive non repetantur81. »

138Soit 22 lettres. Quel est le nombre des Arrangements avec répétitions de 22 lettres, prises 1 à 1, 2 à 2 , ..., p à p ? La réponse est immédiate :

13922 + 222 + ⋯ + 22p.

  • 82 Id., p. 234. [ « Donc cette règle de toutes les variétés, ou “conjonctions” qu’ils peuvent proposer (...)

« Haec igitur varietatum, seu coniunctionum regula omnium quae proponi possunt, generalissima est, quandoquidem non solum omnes combinationes seu varietates includit, in quibus nulla res bis repetitur, sed omnes alias, in quibus res vel litterae bis, ter, quater, et sic in infinitum repetantur, sive litterae binae, ternae, quaternaeve seorsim, sive binae, ternae, et quaternae, etc. simul assumantur82. »

140L’exemple qui suit éclairera mieux que tout autre en quoi la « combination » déjà dite « générale » gagne encore ici, si l’on ose dire, en généralité :

  • 83 Ibid. [ « Par exemple, si une, quelconque, parmi 22 lettres est répétée deux fois, trois fois, etc. (...)

« exempli gratia, si ex 22 litteris unaquaeque bis ter, etc., usque ad 22 repetatur, maximus numerus dictionum ex illis varietatibus praecedentium hisce 30 characteribus constabit83. »

141En additionnant :

14222 + 222 + ⋯ + 2222

  • 84 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, A, 2c.
  • 85 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, B, 2.

143on obtient le nombre de tous les mots dont la longueur est inférieure ou égale à 22. Mersenne a été fasciné par cet exemple qui comblait un vœu obscurément formulé dès les Quaestiones in Genesim84, et qui allait bien au-delà de ce qu’il avait cherché à tâtons dans La Vérité des sciences85. Ainsi il était en son pouvoir de dresser une Table de tous les Chants et de toutes les dictions qui se peuvent faire de 22 notes, ou de 22 lettres ! Ce pouvoir exalte l’esprit de Mersenne, au point que chaque fois qu’il a eu à exposer ce qu’était la « combination la plus générale », il s’est laissé très vite accaparer par cette table. Celle-ci avait de quoi impressionner :

  • 86 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 136. Cf. ci-dessous, Troisième Partie, ch. (...)

Car comme il ne peut y avoir nul chant dans les 22 notes qui ne soit contenu dans la table des nombres, il n’y a semblablement nulle diction qui n’y soit comprise, soit Latine, Françoise, Greque, Hebraïque, ou telle autre qui se puisse imaginer, pourveu qu’elle se puisse escrire avec nos 22 lettres, ou avec telles autres 22 lettres que l’on voudra86.

  • 87 Cf. Troisième Partie, ch. 2.

144Pour d’autres raisons encore87, la combinaison générale a causé sur l’esprit de Mersenne la plus vive impression, et elle se trouve comme magnifiée par le panégyrique de l’universalité auquel elle donne lieu. Cette combinaison est en même temps que très générale « la plus utile de toutes » :

  • 88 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 134.

« Ce qui arrive ordinairement à tout ce qui est général : car chaque maxime est d’autant plus utile qu’elle est plus universelle, parce que l’on en tire vn plus grand nombre de conclusions & de veritez. Et si l’on rencontroit une verité d’où l’on peust tirer toutes les autres comme de leur source & de leur origine, l’esprit seroit parfaitement content, & seroit perpetuellement raui dans la contemplation de cette verité88. »

145Mais ce que cette combinaison a de plus admirable c’est de conjoindre en elle universalité et facilité ; et que la méthode qui permette de la calculer soit des plus aisées, c’est la marque d’une loi de la nature qui veut que plus universelles sont les choses, plus elles sont faciles :

  • 89 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 233. [ « On ne peut imaginer une métho (...)

« Non potest generalior excogitari methodus, imo neque facilius : hinc apparet ea, quae sunt magis universalia, esse faciliora89. »

146Rien de plus universel dans la nature que la lumière du soleil, et rien non plus qui soit davantage en évidence ; et il en va de même pour Dieu dans l’ordre des choses spirituelles.

147Lorsqu’on parvient à la combinaison la plus générale après avoir parcouru les différentes étapes que nous avons décrites plus haut, elle se présente comme une sorte de sommet. Mais puisqu’elle s’offre, dans l’ordre de la connaissance, comme très aisée à connaître, ne pourrait-on envisager de la prendre comme point de départ d’un exposé qui ne suivrait pas, lui, le parcours de la découverte, mais qui irait, à l’inverse, du plus général au particulier ? C’est le parti qu’a choisi effectivement Mersenne dans le chapitre des Reflexiones physico-mathematicae où il condensa ses recherches sur les combinaisons :

  • 90 Mersenne 1647, p. 203. [ « et comme la plus grande des combinaisons ou des variétés, dont des chose (...)

« cumque maxima Combinationum, seu varietatum, quibus res quotlibet sumi, vel considerari possunt, sit omnium facillima, quippe sequitur dignitates Algebraicas, seu progressionem, aut proportionem Geometricam, illam primo loco statuemus, ex qua deinde possint aliae tabulae deduci, atque separari90. »

148Après l’ascension vers la combinaison générale, la descente vers les autres combinaisons. À n’en pas douter, on sent que Mersenne fut sensible aux prestiges platoniciens de ce double parcours : la métaphore solaire vient naturellement sous sa plume.

  • 91 Cf. ci-dessous, ch. 3.

149Tient-on là pour autant le véritable principe organisateur du champ des combinaisons ? La mise en place progressive de définitions et de propriétés que nous venons de suivre laisse soupçonner que non. Dans le jeu croisé des effets de l’ordre et de la répétition, la combinaison générale n’a pas de rôle privilégié ; elle est sur le même plan que les autres combinaisons. Par ailleurs, nous avons vu se manifester une solidarité d’un autre ordre entre Arrangements simples et Combinaisons simples, celle de règles de calcul. L’esprit d’analogie (non plus maintenant celui du philosophe, mais celui du mathématicien) devait conduire à se demander si une solidarité semblable ne liait pas Arrangements avec répétitions et Combinaisons avec répétitions91.

Notes

1 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 107. Pour ce passage de La Vérité des sciences, cf. ci-dessus ch. 1, B, 1c, p. 87.

2 Id.

3 Titre de la Proposition VIII du « Livre second des chants », Mersenne 1636a/1963, II, p. 107.

4 Le mot est mal choisi, remarquera incidemment Mersenne, puisqu’ici on peut conjoindre non pas seulement deux objets, mais un nombre quelconque d’objets (cf. note 6, p. 148).

5 Mersenne dira lorsqu’il passera à l’étude des arrangements : « cette combination est plus grande & plus generale que la precedente [la combination ordinaire], qu’elle contient, & à qui elle aioute vne nouvelle consideration » (« Livre second des chants », Mersenne 1636a/1963, II, p. 131).

6 « Ab ista propositione regula vulgaris illius varietatis pendet quae licet improprio combinatio vocatur » [ « de cette proposition dépend la règle ordinaire de cette variété, qu’on appelle, encore qu’improprement, “combination”. »] (Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 225) ; « Haec vulgo apellatur Combinatio, quamvis plura coniungantur estque fere sola varietas, de qua sermo fieri solet. » [ « Celle-ci est ordinairement appelée “combinatio”, il est vrai que plusieurs (choses) sont combinées et que c’est presque la seule variété dont on a coutume de parler. »] (Mersenne 1636b, VII, p. 116).

7 Cf. également ci-dessous, Deuxième Partie, ch. 3, conclusion.

8 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 107.

9 [ « il est facile en vérité de découvrir cette variété, si on écrit autant de nombres naturels à partir de l’unité en série continue que les notes ou les autres choses qu’on se propose de conjuguer et de varier ; puisque, en les multipliant ensemble, ceux-ci donnent le nombre de variétés. »] Mersenne 1636b, VII, p. 116.

10 Notons toutefois que Mersenne a recopié, dans son exemplaire de main de l’Harmonie universelle, un passage de Frenicle où ce dernier a tenté de formuler cette preuve (cf. plus bas, ch. 2, B, 1, et en particulier, p. 181, note 14).

11 « car il faudrait beaucoup plus de rames de papier pour noter tous les chants qui se trouuent dans 22 notes, encore que l’on n’en repete iamais aucune deux fois, qu’il n’en faudroit les vnes sur les autres depuis la terre iusques au firmament », Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 108.

12 Id., p. 108.

13 Id., p. 109 – 110. « Puis que nous aurons besoin dans les autres discours de la combination d’vn plus grand nombre de choses que de 22, & qu’elle a déja esté necessaire pour les difficultez du livre de la Voix, ie la mets icy depuis 23 iusques à 64, afin que ce livre ne suppose rien d’ailleurs, & qu’elle serue à mille vsages que l’on en peut tirer » (Id., p. 109). Cf. également Mersenne 1636b, VII, p. 116 – 117, où on trouve les deux mêmes tables.

14 Id., p. 108. « Il y a 90 caracteres dans le 64e nombre, de sort qu’il y a au premier ternaire 221 huitilions, il y a aussi 90 caracteres dans le Livre de la Genese [i.e. les Quaestiones in Genesim] page 53 qui monstre combien un monde d’autant plus grand que cestuicy, que cestuicy iusque au firmament est plus grand qu’un grain de sable, contiendrait de grains de sable en toute sa solidité. » (Note ms., Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 110.)

15 Énoncé de la Proposition X, Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 129. Cf. la Propositio VIII (Mersenne 1636b, VII, p. 135) : « Cantilenarum varietatem explicare, cum in dato notarum numero duae vel plures similes occurrunt. » [ « Expliquer la variété des chants qui se produisent quand, dans un nombre donné de notes, deux ou plus[ieurs] sont les mêmes. »]

16 Mersenne 1933 – 1988, III, lettre 213, p. 254. Cf. ce que nous avons dit ci-dessus au sujet de la présence d’une règle analogue chez Matan (Première Partie, ch. 2, A, 2).

17 Mersenne 1636b, VII, p. 116. [ « La question semble un peu plus difficile, lorsque dans les notes interviennent deux ou plusieurs [qui sont] semblables ; ce qui arrive de même dans les variétés des mots, quand le nom proposé a plusieurs lettres identiques, ce qui arrive souvent. »]

18 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 227. [ « comme cependant cette règle admet de nombreux cas, selon que soit une unique lettre est répétée deux fois, trois fois, etc., soit deux ou plusieurs, de sorte que une soit répétée deux fois, une autre encore deux fois, et ainsi de suite, ou une deux fois, une autre trois fois, une autre quatre fois, ou cinq fois, etc. »]

19 Mersenne 1636b, VII, p. 133. [ « Lorsque donc une certaine note est répétée deux fois, trois fois, quatre fois, etc., dans le chant proposé, la combinaison du nombre de notes qui sont dans le chant doit être divisée par la combinaison des notes répétées. »]

20 Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 129 – 130.

21 Id., p. 130.

22 Mersenne, Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, II, p. 228. [ « Pour que quiconque sache vraiment sans aucun travail combien il y a d’anagrammes dans des dictions dont le nombre de lettres n’excède pas 9, je place ci-dessous les tables suivantes, qui commencent par une diction de 5 lettres, car celles de 1, 2, 3, 4 lettres sont trop faciles. »]

23 Ibid. Dans l’Harmonie universelle, Mersenne donne seulement la table pour n = 9 (« Table des Chants qui se peuvent faire de 9 notes », Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 130).

24 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

25 « Mais si l’on varie les especes de Quarte, à raison du ton majeur, & du mineur, il y en aura 6 especes, puis qu’elle contient 3 intervalles differens, à sçavoir les deux tons, & le demi-ton. (Mersenne 1636a/1963, II, « Traitez des consonances... », « Livre troisiesme des genres de musique », p. 176, faussement paginée 180.)

26 Id., p. 177.

27 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 231.

28 « Differt igitur haec combinatio a praecedente (P(n)) quod praeter varietatem ordinis diversas notas vnicuique Cantilenae iungere possit. » [ « Donc cette combinaison diffère de la précédente (P(n)) en ce qu’outre la variété de l’ordre elle peut rassembler un nombre varié de notes de chaque chant. »] (Mersenne 1636b, VII, p. 135.)

29 L’expression est en vérité malheureuse. La différence entre permutations de n lettres et arrangements de n lettres ne vient pas de ce que, avec les arrangements on ait affaire à des mots ayant plus de n lettres. Ce qu’on « ajoute » ici, c’est comme le dit Mersenne plus bas, « une nouvelle considération », celle des mots qui ont moins de n lettres !

30 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

31 Mersenne 1636b, VII, p. 133. [ « Expliquer le nombre des chants que l’on peut faire avec un nombre donné de notes, qui sont prises parmi n’importe quel nombre plus grand de notes, quand on tient compte de la diversité de l’ordre et qu’on les prend par deux, par trois, par quatre, etc. »]

32 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 229. [ « Expliquer le nombre de dictions qui peuvent être faites avec un nombre donné de lettres, qui sont prises parmi n’importe quel nombre plus grand de lettres : c’est-à-dire d’attribuer le nombre de dictions, qui peuvent être faites à partir de 22 lettres, quand ces dictions sont de deux, de trois, ou de plusieurs lettres, dont aucune n’est répétée dans aucune diction, mais de sorte cependant qu’une diction quelconque permette la même diversité de places, ou d’ordre, que les dictions de la première proposition. »]

33 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

34 Dans l’Harmonie universelle (Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 132), cette Table porte un titre curieux : « Chants d’une note multipliée » ; dans les Harmonicorum libri, Mersenne 1636b, VII, p. 138, elle s’appelle Tabula generalis Combinationum [Table générale des combinaisons].

35 unico intuitu (Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 229).

36 Mersenne 1636a/1963, loc. cit.

37 C’est nous qui soulignons.

38 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

39 Id, p. 132.

40 Mersenne fait allusion à cette opposition, mais de manière incidente, lorsqu’il dit de la Table des Combinaisons de 22 notes prises 1 à 1, 2 à 2,..., 22 à 22, qu’elle est « la Table des Chants, qui ont tous quelque note différente » (Ibid.). Cf. également la Proposition de la Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230, que nous citons plus bas : « ut quaelibet dictio novam semper habet litteram » [ « De sorte qu’une diction quelconque ait toujours une nouvelle lettre. »]

41 Ibid. Dans Mersenne 1636b, VII, p. 135, Mersenne dit de cette méthode qu’elle est extrêmement facile : « methodus... quae facillima est, quandoquidem prima species combinationis ablata ex Tabula 9 propositionis [A(22, p)] dat numerum quaesitum varietatum » [ « méthode [...] qui est extrêmement facile puisque que la première espèce de combinaison, tirée de la Table de la proposition 9, donne le nombre des variétés cherché »].

42 Ibid.

43 Ibid.

44 Mersenne 1636b, VII, p. 135. [ « Rechercher le nombre de chants qui peut être fait avec des notes prises dans un nombre plus grand de notes, quand il n’est pas permis d’utiliser la variété de places, c’est-à-dire que nous n’utilisons pas la première espèce de combinaison et que [les notes] sont prises par deux, par trois, ou par quatre, etc. »]

45 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230. [ « Expliquer la façon dont la combinaison ordinaire de la première proposition, où l’on se sert de la variété de places, doit être enlevée de la variété précédente, pour qu’un mot quelconque ait toujours une lettre nouvelle ; c’est-à-dire assigner le nombre de combinaisons (ou combinations, au sens de rangement par deux), ou de con-tri-naisons (ou con-ter-nations, rangements par trois), etc., qui peuvent être faits à partir de 22 lettres si aucun ordre de ces lettres n’est observé. »]

46 Il s’agit du calcul de C (36, 12) qui conduira Mersenne à prendre en considération une table analogue au triangle arithmétique ; la table que nous donnons ci-dessus est selon Mersenne « plus utile et plus aisee » que le triangle arithmétique (cf. dans cette même partie le ch. 4). Dans la Proposition de l’Harmonie universelle qui porte sur les Combinaisons en général, Mersenne dit de ces deux tables : « I’ay encore donné deux tables tres-vtiles dans la 12 proposition, qui sont pour les conternations, conquaternations, & c. de 12 notes, ou 12 lettres prises dans le nombre de 36, dont on peut se servir icy. » (Mersenne 1636a/1963, « Livre second des chants », p. 134.)

47 Mersenne 1636b, VII, p. 146. [ « La première colonne contient les nombres en progression naturelle, de 1 jusque 12, et fait voir le nombre de notes à partir desquelles on compose le chant. La deuxième montre le nombre de chants faits avec un nombre donné de notes. En guise d’exemple, le 4 de la première colonne signifie que 4 notes ont été prises ; et le nombre de la deuxième 58 905 mis en face indique la totalité des chants composés avec 4 notes prises parmi 36. La troisième comprend les [nombres des] combinaisons ordinaires, par lesquels n’importe quel nombre de la quatrième colonne doit être divisé pour que, la variété de l’ordre étant supprimée, on engendre les nombres de la deuxième colonne. La cinquième colonne, enfin, montre l’engendrement de la quatrième, puisque 35 multiplié par 36 fait 1 260, et 34 multiplié par 1 260 fait 42 840, qui indique la totalité des chants composés de trois notes prises dans 36, si l’on tient compte de la variété des places, et ainsi de suite. »]

48 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230. [ « D’eux [de ces calculs], il est visible que la variété de la troisième proposition est formée à partir de cette variété, puisque la combinaison de la première proposition de la table suivante, ou celle ajoutée à cette combinaison redonne la table de la proposition précédente, puisque cette combinaison ôtée de la table précédente, laisse en reste la suivante ; ce qui se produit si on divise n’importe quel nombre de cette table par la combinaison ordinaire. »] L’expression ex quibus renvoie aux calculs de C (22, 1), C (22, 2). Qu’on prenne garde que les tables qui sont mentionnées dans ce texte sont distinctes de la table à cinq colonnes que nous commentons ici.

49 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 146.

50 Cf. ci-dessus Première Partie, ch. 1, A, 2, a et ch. 4, B, 1, b et B, 2, B. On verra ci-dessous (Deuxième Partie, ch. 4, A, 1, b), que Cardan connaissait cette règle.

51 Cette propriété a droit à une Proposition tout entière dans Mersenne 1636b, Propositio X, p. 133 – 134), mais est réléguée dans des Corollaires dans l Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim (Corollarium de la Quarta Propositio, p. 231), et dans Mersenne 1636a/1963, Corollaire III de la Proposition XI, p. 133 – 134, et Corollaire I de la Proposition XVI, proposition qui traite d’un problème tout différent, p. 144 – 145).

52 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 133.

53 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 231. [ « Mais en vérité cette progression des nombres ne donne le nombre de tous les mots que dans le désordre ; alors que la première table et la deuxième les donnent distinctement et en particulier. »]

54 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 134.

55 Id., p. 134 – 135 et p. 144 ; Mersenne 1636b, p. 134 : « Tabellam vero ab 1 usque ad 64 produco, vt absque vllo labore plurimae quaestiones solui possint, quibus Lectoris animus recreetur. » [ « Je produis donc la table de 1 à 64 afin que, sans aucun travail, puissent être résolues beaucoup de questions par lesquelles l’esprit du lecteur soit réjoui. »] Et de réciter deux récréations mathématiques dont celle des grains de blé à déposer sur les 64 cases d’un jeu d’échecs. De plus, Mersenne, mis en présence de la progression double, ne sait pas retenir sa plume, et explique comment calculer la somme des termes d’une « progression triple », d’une « progression quadruple », et de « toutes les autres possibles » (Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 145 ; Mersenne 1636b, p. 134).

56 Mersenne 1636b, p. 134. [ « Toutes les choses mentionnées se montrent par la table suivante plus clairement que par un discours plus profus. »]

57 Id., p. 135.

58 Sauf pour les unae.

59 « Table de la variété des huict jeux de l’Orgue ».

60 Mersenne 1636a/1963, III, « Livre sixième des Orgues », p. 373 – 374.

61 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 230.

62 Ibid.

63 Id., p. 135.

64 Ibid. [ « Mais les autres variétés de notes données sont rassemblées dans cette table, dont, alors qu’elle peut avoir 22 lignes, nous nous contenterons de 11, parce qu’après la ligne 11 les autres jusqu’à 22 diminuent dans la même proportion qu’elles croissent de la première ligne à la onzième. »]

65 « Quare si quaeratur quot sint varietates duodecim [C (22, 12)] notarum, varietas ista varietati decem [C (22, 10)] notarum, quemadmodum varietas tredecim [C (22, 13)] notarum varietati novem [C (22, 9)] notarum similis est. » (Ibid.) [ « Pourquoi si on demande combien il y a de variétés de douze notes, cette variété est semblable à la variété de dix notes, de la même façon que la variété de treize notes l’est à la variété de neuf. »]

66 Cf. ci-dessus, p. 160 le titre de cette proposition.

67 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, titre de la Propositio quinta, p. 232. [ « Expliquer la méthode par laquelle on trouve les mots singuliers qui sont pris dans 22 lettres, par deux, par trois, par quatre, etc., comme auparavant, quand il est permis que la même lettre soit répétée deux fois, trois fois, ou quatre fois, etc., dans n’importe quel mot, dans lequel on ne tient compte d’aucune variété de places, mais seulement de celle des lettres. »]

68 Cf. ci-dessous, ch. 3.

69 Mersenne 1636b, Énoncé de la Propositio XIV, p. 139. [ « Expliquer la combination la plus générale, ou la variété qui embrasse les autres ; c’est-à-dire, donner le nombre de chants qui peuvent être faits à partir de n’importe quel nombre de notes, qu’on doit prendre au choix dans un autre nombre plus grand, soit que la variété des places soit observée, soit que les notes soient répétées autant de fois qu’on veut. »] L’énoncé de la Proposition XII du « Livre second des chants » (Mersenne 1636a/1963, II, p. 135) est fautif ; Mersenne y oublie de dire en effet que dans les chants considérés, on tiendra compte de l’ordre des notes : « Combien l’on peut faire de Chants differents dvn nombre de notes prises dans tel autre nombre que l’on voudra, soit que l’on prenne les notes toutes differentes en vn mesme nombre, ou toutes semblables, ou partie differentes, & partie semblables. »

70 Non potest generalior excogitari methodus, imo neque facilior (Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 233.)

71 L’expression est curieuse puisqu’il s’agit des chants d’une note formés avec les 22 notes données au départ. On lit également dans Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p 234 : « Primum enim si datur unica littera 22 dictiones ex ea fieri poterunt cum bis et vigesies [viginti] repeti possit. » [ « d’abord en effet, si on donne une unique lettre, on pourra faire 22 mots à partir d’elle puisqu’on peut la répéter jusqu’à vingt-deux fois. »]

72 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

73 Ibid.

74 Si on choisit le nombre 24, la table à laquelle fait allusion Mersenne sera celle des puissances successives de 24.

75 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 234. [ « Si tu en veux plus en vérité, pose 23, 24 ou 30, etc., comme multiplicateur donné, les lignes restantes multipliées par lui font toute la table. Par exemple, si on prend 24 lettres, le nombre de mots composés de 2 lettres prises de toutes les façons dans 23 [lire 24] se trouve en multipliant 24 par lui-même, c’est 576, qui en multipliant par 24, vu la multiplication ordinaire, donne 13824, nombre concordant bien entendu pour les dictions de 3 lettres. »]

76 Ibid. [ « De cela, on constate que rien n’est plus facile que cette combinaison, puisque le nombre multipliant reste toujours le même. »]

77 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 135.

78 « soit que l’on les prenne toutes differentes [...] & que l’on garde la variété des lieux, ou de l’ordre » (ibid.)

79 Cette combination est « celle qui comprend toutes les autres » (id., p. 134).

80 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 233, dans le titre de la Propositio sexta. [ « soit l’ordre est conservé, soit non ; soit certaines [notes], ou toutes, sont répétées, soit non. »]

81 Ibid. [ « Expliquer la méthode par laquelle est découvert le nombre de dictions, qui peuvent être faites à partir de 22 lettres, si on les prend par deux, par trois, et par quatre, etc. : soit qu’on respecte l’ordre, soit non ; soit que quelques lettres, ou toutes, soient répétées, soit non. »]

82 Id., p. 234. [ « Donc cette règle de toutes les variétés, ou “conjonctions” qu’ils peuvent proposer est la plus générale, puisque non seulement elle inclut toutes les combinaisons ou variétés dans lesquelles rien n’est répété deux fois, mais encore toutes les autres dans lesquelles des choses ou des lettres sont répétées 2, 3, 4 fois et ainsi de suite à l’infini, ou quand les lettres sont prises par 2, par 3, par 4, etc. séparément, ou encore par 2, par 3, par 4, etc. en même temps. »]

83 Ibid. [ « Par exemple, si une, quelconque, parmi 22 lettres est répétée deux fois, trois fois, etc. jusqu’à 22, le plus grand nombre de mots procédant de ces variétés sera constitué disons de 30 caractères. »] Le nombre qui suit n’a en fait que 29 caractères.

84 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, A, 2c.

85 Cf. ci-dessus, Première Partie, ch. 1, B, 2.

86 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 136. Cf. ci-dessous, Troisième Partie, ch. 3, A, 1 et 2, l’espoir que dit naître en Mersenne cette circonstance : il crut qu’une telle table pouvait servir de fondement à un idiome universel.

87 Cf. Troisième Partie, ch. 2.

88 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 134.

89 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 233. [ « On ne peut imaginer une méthode plus générale, ni certes plus facile ; de là, il apparaît que ce qui est le plus universel est le plus facile. »]

90 Mersenne 1647, p. 203. [ « et comme la plus grande des combinaisons ou des variétés, dont des choses en nombre quelconque peuvent être prises, ou considérées, est la plus facile de toutes, puisqu’elle suit les puissances algébriques, soit la progression ou proportion géométrique, nous la plaçons en premier lieu, elle dont ensuite on peut déduire et distinguer les autres tables. »]

91 Cf. ci-dessous, ch. 3.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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