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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Première partie. Émergence de l’analyse combinatoire à travers les « usages » des « combinaisons »

Chapitre 3 : Vers l’art de combiner

Texte intégral

  • 1 Préface au Lecteur des « Traitez de la voix et des chants ».

1La foi qu’avait Mersenne, dès La Vérité des sciences, en l’utilité des combinaisons ne pouvait naturellement que se renforcer dans ses ouvrages suivants. « Le Livre des chants, promet-il dans l’Harmonie universelle, contient encore beaucoup de choses très utiles, & tres remarquables, car les tables des Combinations peuuent estre appliquées à une infinité de choses1 », et au cours même de son exposé, il proclamera à nouveau :

  • 2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

« Quant à l’utilité que l’on peut tirer de cette proposition, & de celles qui suiuent, l’on ne peut pas l’expliquer entierement sans faire de nouueaux liures sur ce sujet, comme il est aisé de monstrer par les differentes considerations qui s’en peuuent faire en mille sujets & mille rencontres, dont ie donneray quelques exemples assez signalez pour persuader cette verité à ceux qui ne la uerront pas dans les tables, & dans la methode de les construire comme dans des principes tres-feconds, d’où l’on en pourra encore tirer quelques autres2. »

  • 3 Mersenne 1647, p. 205.
  • 4 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 230 ; Mersenne 1636b, 2, p. 133.

2Pour ce qui est des « quelques exemples assez signalez », la promesse sera tenue, mais disons dès maintenant qu’ils appartiennent à deux domaines bien circonscrits : la langue et la musique. Quant aux « mille sujets & mille rencontres », Mersenne se montrera plus discret à leur égard. Il suggère bien que l’art militaire pourra tirer parti des combinaisons, puisqu’un général saura grâce à elle de combien de manières il peut répartir ses soldats3 ou les mettre en faction4 ; il effectue bien des calculs sur des jeux de cartes, mais ce sera sans dire ce que les joueurs peuvent faire de ses résultats, et pour le reste, il se contente de simples mentions : on peut accommoder les combinaisons aux couleurs, aux bouquets de fleurs, aux parterres, ...

3 Mersenne s’est si peu attaché à classer et à synthétiser ces usages que c’est au texte d’un auteur inconnu qu’il demandera quelques indications sur l’ars combinandi (A) ; mais, pour ne pas avoir défini cet art, Mersenne l’a fait progresser : la raison de son succès n’est-elle pas justement l’intérêt exclusif qu’il a porté à « quelques exemples signalez » (B) ? Enfin, qu’y avait-il de proprement mathématique dans cet intérêt (C) ?

A. Texte de Matan sur l’ars combinandi

1. Texte anonyme publié par Mersenne ; l’auteur en est Matan

  • 5 Mersenne1636b, vol. VII, p. 118 – 119.

4Dans les Harmonicorum libri5, Mersenne a inséré un livret sur l’ars combinandi, dont l’auteur n’était désigné de façon assez mystérieuse que par ses initiales :

  • 6 On verra ci-dessous que Mersenne passe à la considération du traité de Matan, parce qu’il venait de (...)
  • 7 Sur Pierre Trichet, avocat au Parlement de Bordeaux, Cf. Mersenne 1933-1988, vol. III, lettres 186  (...)
  • 8 Mersenne1636b, vol. VII, p. 118. [ « Et c’est donc ce que je présenterai dans le traité suivant don (...)

« Quod quidem praestabo6 tractatu sequente quem audio prodiisse absque alio quam ab his litteris I.M.D.M.I. designato nomine : quem cum manuscriptum ex impresso Trichetus7, vir in optimis litteris et libris versatissimus, ad me transmiserit, hic insero ne pereat iterum8. »

  • 9 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 442 – 443.
  • 10 Mersenne 1933 – 1988, vol. V, p. 139.

5Il a échappé aux éditeurs des Œuvres de Pascal9, et à ceux de la correspondance de Mersenne10, que ce dernier avait pris soin de donner la clef de l’énigme ; cette clef était cachée dans un court erratum (portant sur le passage qu’on vient de citer) perdu dans les Reflexiones physico-mathematicae :

  • 11 Mersenne 1647, « Animadversiones utilissimae in XII. Harmonicorum libris maiores, & in minores Hydr (...)

« iam nuper didici ab ipso auctore nomen illius esse Ioannem Matan, virum pietate, ac scientia ornatissimum11. »

  • 12 De toute manière, la remarque suivante de Florence N. David (David 1952, p. 81), à propos de l’inte (...)

6Cette information permet d’éviter les mécomptes de fausses attributions12 auxquelles auraient pu donner lieu les premiers renseignements donnés par Mersenne, mais ce nom de Matan n’étant pour nous rien d’autre qu’un nom, il ne nous apprend guère plus que les cinq mystérieuses initiales.

  • 13 « En 1634, Trichet envoya au Minime, à deux fois de reprise, la copie d’un traité sur la théorie de (...)

7Quoiqu’il en soit, au moment où en 1636, Mersenne publie le manuscrit que lui avait adressé Trichet13, il tient en grande estime l’auteur inconnu, et ne veut rien en laisser perdre. Il le conjure de livrer aux hommes doctes son art admirable, et souhaite (mais n’y a-t-il pas là quelque ironie ?) que la peur des plagiaires l’y contraigne :

  • 14 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « Par ailleurs je voudrais faire observer à l’auteur, s’il vit, (...)

« Quanquam monitum velim autorem, si vivit, volumen illud, quod in fine pollicebatur, viris doctis gratissimum futurum ; quandoquidem asserit se hac arte mirabile secretum reperisse, quod numericam condensationem appellat, vsque dum ex vrceo fiat amphora : vtinam aliquis plagiarius ei similis de quo conqueritur, eum cogat multos testes quaerere ; si vero abiit, cur haeredes praedicti tandiu nos opera tanto defraudant ? vtvt sit, in publicum redeat14. »

  • 15 « Combinatio ad rem olim equestrem pertinuit, duorum enim proprie velut conquaternatio, quatuor equ (...)

8Qu’était donc la numerica condensatio dont cet auteur obscur se targuait de connaître le secret, et en savait-il beaucoup plus, en fait, que ce qu’il nous en a livré indirectement par le truchement de Mersenne ? Il semble d’après certaines de ses remarques, qu’il était surtout versé dans l’étude des langues, et il n’était sans doute pas mathématicien. Ainsi relève-t-il avec soin, pour commencer, deux sens anciens du mot combinatio15, pour se consacrer ensuite à une étude, méthodique certes, mais peu originale des Permutations de 2, 3,..., 7 objets, sans ou avec répétitions.

2. Procédé méthodique d’énumération de Permutations

  • 16 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « un mélange de n’importe quelle sorte par métathèses répétées  (...)

9Usant d’un terme de rhétorique, il définit avec justesse ce qu’il entend par une combinatio de lettres, de chiffres, de tous autres caractères, ou des choses elles-mêmes : « omnimoda per iteratas metatheses commixtio16 ».

10Matan va ensuite exposer selon quelles « opérations » on peut effectuer concrètement de telles « metathèses », de manière à en donner, dans chaque cas une énumération exhaustive.

11Dans un mot, comme TU, les lettres sont comme des extrémités qui ne sont séparées par aucun milieu ; avec ces deux mêmes lettres, on ne pourra former qu’un autre mot distinct de TU, ce sera UT.

12Considérons maintenant 3 lettres :

  • 17 À savoir, l’opération portant sur deux lettres.
  • 18 Matan avait dû disposer les différentes Permutations selon une liste verticale, en les plaçant les (...)
  • 19 Même remarque.
  • 20 Il faudrait ici secundam et non tertiam.
  • 21 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « Trois lettres peuvent être combinées de six [façons], comme s (...)

« Litterae tres combinari sexies valent, veluti sum, smu : usm, ums : msu, mus. Ista operatio praecedentem17 supponit : nam vbi scripseris tres litteras, quales s, u, m. Primo duas litteras combina, qua iam dictum methodo, & hinc primae duae voces fient, siue combinationes, quibus est subducenda linea18. Secundo, praepono secundam, u, adde primam s, posteaque tertiam m, tum commisce postremas, erunt nouae duae voces, & linea quidem sustinendae19. Tertio, ante alias appinge tertiam proxime primam, vltimo tertiam20 & has compone duas simul, prodibunt vltimae duae combinationes21. »

13Cet ordre, ajoute Matan, est nécessaire. En effet, on peut trouver à la première place, ou s, ou u, ou m.

14Si c’est s, on aura à la seconde place, ou u ou m.

15Si c’est u, on aura à la seconde place, ou s ou m.

16Si c’est m, on aura à la seconde place, ou s ou u.

17Le texte précédent laisse clairement apparaître que Matan se propose d’exposer une méthode uniforme d’énumération. C’est ce que confirme la manière dont il traite en détail les cas de 4 lettres (exemple : A, M, O, R), et de 5 lettres (exemple : R, A, T, I, O) en donnant chaque fois la suite ordonnée de toutes les Permutations possibles. Il cherche nettement à faire ressortir que lorsqu’on a n lettres, il faut se ramener au cas de (n − 1) lettres, puis à celui de (n − 2) lettres, etc., jusqu’à ce qu’on parvienne à l’opération élémentaire qui consiste à permuter deux lettres seulement. Pour dire les choses rapidement, si les lettres de départ étaient rangées selon l’ordre alphabétique, il suivrait l’ordre lexicographique.

18Matan passe ensuite à la règle qui permet de calculer le nombre des Permutations de n lettres. Lorsque le nombre de ces lettres est 3, on multiplie 3 par le nombre des « combinaisons du binaire » ; lorsque ce nombre est 4, on multiplie par 4 le nombre des « combinaisons du ternaire » : « De reliquis consule calculum » [ « à propos des suivants, examine le calcul »]. (Une table de nombres donne 2 !, 3 !... 12 !).

19Matan envisage enfin, mais beaucoup plus rapidement, le cas où une lettre est répétée 2, 3,... fois :

  • 22 Dans l’exemplaire B.N., Res. V 582 de Mersenne, 1936b, M. Mersenne a corrigé de sa main cette expre (...)
  • 23 Matan cité par Mersenne (Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119). [ « Mais il s’agit là des mots dont tou (...)

« Et illic quidem agitur de vocibus, quarum diuersae litterae sunt omnes22 : si vero vna sit duplex, de producto numero tolle dimidium : si triplex, detrahe quinque sextas partes : si quadruplex retinenda tantum vigesima quarta pars iusti numeri : si quintuplex, è centum ac viginti partibus erit vna dumtaxat residua, & c. Vides igitur regulam hanc esse praecedentis Analyticam23. »

20On remarquera l’énoncé curieux des deux premières règles ; pour les cas où :

21- une lettre se répète 4 fois,

22- une lettre se répète 5 fois,

23Matan parle en termes de division (il faut prendre respectivement la vingt-quatrième et la cent-vingtième partie du nombre de Permutations qu’on obtiendrait s’il n’y avait pas répétition) ; alors que pour le cas où :

24- une lettre se répète 2 fois,

25- une lettre se répète 3 fois,

26il propose d’effectuer une soustraction (il faut soustraire respectivement la moitié ou les cinq sixièmes du nombre de Permutations qu’on obtiendrait s’il n’y avait pas répétition).

  • 24 C’est qu’en effet, nous ignorons la date à laquelle Mersenne lut pour la première fois le texte de (...)

27Il n’est pas impossible que Mersenne ait appris quelque chose de nouveau dans l’énoncé de ces dernières règles24, mais il a apprécié avant tout chez Matan sa méthode uniforme d’énumération. S’il consacre toute une Proposition à Matan sous le titre de : Artem Combinandi praeceptis & exemplis, aperire [ « découvrir l’art de combiner par des préceptes et des exemples »], c’est parce qu’il venait d’énumérer lui-même auparavant la « variété ou combinaison de quatre notes », et qu’il veut éviter toute peine à chacun dans l’énumération de semblables variétés : « l’art de combiner » apprendra à disposer ces chants selon un ordre déterminé, sans perte de temps et sans confusion :

  • 25 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « pour que personne en vérité ne peine à présenter ces variétés (...)

« Ne vero quis laboret in illis varietatibus cantuum exhibendis, & vt prompte, & absque vlla confusione per ordinem disponantur, artem Combinationis sequenti propositione declaramus25. »

  • 26 Cf. ci-dessus, chap. 1, B, 2, p. 88.
  • 27 Cf. ci-dessous, Troisième Partie, chap. 1.

28Mersenne, rappelons-le, n’avait donné, dans La Vérité des sciences, qu’une liste de chants à demi-ordonnée26 : rien n’interdit de supposer que ce fut dans Matan qu’il puisa cet art de ranger les Permutations auquel il devait consacrer un ouvrage particulier27.

3. L’« utilité » de l’ars combinandi

(a) Anagrammes et mots soumis à des métathèses

  • 28 Cf. ci-dessous, dans ce même chapitre, B, 2.
  • 29 Goropius Becanus (Van Gorp), médecin, né en 1518, mort en 1572, prétendait que la langue la plus an (...)

29La dernière section du livret intitulé Artis huius utilitas [ « Utilité de cet art »] contient quelques remarques curieuses. On y trouve évidemment évoquées les inévitables anagrammes28, mais il y est fait aussi mention des recherches sur la langue des Cimbres faites par Goropius Becanus : ce dernier y avait relevé les mots qui, après avoir été soumis à des permutations de lettres, prenaient un sens analogue, ou un sens contraire, ou un sens lié sous quelque rapport à leur sens de départ29. Et Matan nous fait part à ce propos d’une recherche personnelle : il a noté les mots qui dérivés d’une langue dans une autre, avec « métathèse des lettres », retiennent cependant leur première signification : ainsi le mot grec als et le mot latin sal.

(b) Calculs combinatoires de Xénocrate et Chrysippe

30Mais c’est surtout le problème relatif au nombre de syllabes que l’on peut former avec les lettres de l’alphabet qui se présente ici sous le jour le plus curieux. Venant à peine de trouver un nom, l’ars combinandi se cherche des précurseurs, et un érudit est là qui déniche un des rares textes qui portent témoignage de soucis combinatoires chez les Anciens :

  • 30 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « De même le calcul de Xenocrates pourrait être corrigé, lui qu (...)

« Corrigi similiter calculus poterit Xenocratis qui ex elementorum promiscua serie, id est vocalium simul & consonantium constantes dumtaxat 100 200 000 syllabas recenset, cum sint adhuc plures30. »

31Aimé de Gaignières fut frappé par cette phrase, et il eut la curiosité de demander des précisions à Mersenne, dans les remarques qu’il lui adressa à propos du « Livre des Chants en latin » :

  • 31 Étant donné la disposition typographique qui ne fait guère de différence entre le texte de Mersenne (...)
  • 32 Mersenne 1933-1988, vol. VI, Gaignières à Mersenne, 17 février 1637, lettre 585, p. 197.

« Au mesme livre p. 119 ligne 44 vous dites31 que l’on peut corriger le Calcul qu’a fait un certain Xenocrates de toutes les syllabes possibles. Je vous supplie de me mander quel livre a fait le dit Xenocrates où il a fait cette supputation, et si on le peut recouvrer32. »

32Nous ignorons si Mersenne satisfit à cette demande, mais il sera utile de préciser que la seule source à laquelle il aurait pu renvoyer son correspondant était un bref passage de Plutarque que nous allons reproduire sous la forme où il était aisément accessible au xviie siècle, dans la savoureuse traduction d’Amyot :

  • 33 Les Œuvres morales et meslees de Plutarque, ..., traduites de grec en françois par Jacques Amyot, . (...)

« Et Chrysippus escrit, que les diverses complications & entrelassures de dix propositions seulement surmontent le nombre d’un million, mais Hipparchus l’en reprend, & prouve que l’afirmative monte cent quarante & neuf mille, & la negative des mesmes propositions, trois cents dix mille neuf cents cinquante & deux. Et Xenocratés a asseuré que le nombre des syllabes que font les lettres iointes & meslees ensemble, monte à la somme de cent millions & deux cents mille33. »

  • 34 Cantor 1894 – 1900, vol. I, p. 236.
  • 35 Smith 1958, vol. II, p. 524, tient au contraire pour peu probable qu’on soit en face ici de calculs (...)

33Ainsi que l’a remarqué Moritz Cantor34, on ne voit pas comment interpréter ces nombres, mais le fait que deux des résultats soient loin d’être des nombres ronds exclut qu’il s’agisse ici d’estimations établies en gros, et ces nombres sont trop élevés pour qu’ils aient été atteints par un décompte empirique. Ils ont dû être véritablement calculés35 selon des règles qui, pour avoir été fausses n’en attestent pas moins que les problèmes combinatoires n’étaient pas totalement étrangers aux Grecs.

(c) La polygraphie de Trithème ; mention d’autres arts

  • 36 Matan dans Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « L’usage multiple des combinaisons peut être, si en (...)

« Multiplex Combinationum esse usus potest, siquidem enim alphabeto cuilibet haec applices aperient tibi Polygraphiae tum componendae tum soluendae methodum ita copiosam, vt ieiunus deinceps appareat Trithemus36. »

34Une source d’applications multiples : qu’on applique en effet les règles précédentes à un alphabet quelconque, on s’ouvrira, dans le domaine de la polygraphie, une méthode tant de composition que de solution, et cette méthode sera si féconde qu’ensuite celle de Trithème semblera bien pauvre à côté. Qu’est-ce donc que cette polygraphie, et qui est Trithème ?

  • 37 Sur Trithème, cf. Moreri 1759, vol. X, p. 350 ; Alfred Vacant et Eugène Mangenot, Dictionnaire de t (...)
  • 38 Cf. Lange et Soudart, 1925, p. iv, p. 24-25, p. 290-291.
  • 39 Mersenne participa personnellement à cette polémique. Dans les Quaestiones in Genesim, Mersenne 162 (...)

35Abbé bénédictin, auteur de nombreux ouvrages historiques, théologiques, ainsi que de recueils bibliographiques, Trithème37 (1462-1516) composa également un ouvrage de cryptographie38 : Libri polygraphiae VI . Mal lui en prit. Un des procédés qu’il utilisait consistait à remplacer des lettres par des mots ; un visiteur français à qui il avait laissé feuilleter son livre fut effrayé par les mots d’« esprits de nuit » et d’« esprits de jour » (qui en fait, n’étaient destinés qu’à ce type de chiffres), et publia, de retour en France, que Trithème était magicien. L’affaire fit du bruit et se poursuivit par une polémique qui dura jusqu’au xviie siècle39 : ce qui évidemment ajouta encore beaucoup à l’air de mystère que Trithème lui-même avait donné volontairement à sa polygraphie, en laissant croire qu’il possédait des moyens extraordinaires de communiquer à distance.

36Quelle est donc la « méthode » de cet ouvrage célèbre et mal famé à laquelle les combinaisons peuvent donner plus de perfection ?

  • 40 Trithème 1625.

37Dans ses Libri polygraphiae (dont une traduction française40 due à Gabriel de Collange devait paraître en 1625), Trithème propose à son lecteur de nombreux alphabets de substitution ; il use pour cela de différentes présentations : ou bien il met en face des lettres de l’alphabet disposées dans l’ordre naturel les mêmes lettres disposées dans un ordre différent ; ou bien il dresse des tableaux carrés, ou bien encore porte 6 alphabets différents sur des rayons d’une roue mobile, chacun de ces alphabets pouvant être ainsi mis en regard d’un alphabet fixe. Trithème cependant avait conscience de ne livrer à son lecteur qu’une petite partie des alphabets possibles :

  • 41 Id., p. 213.
  • 42 Id., p. 214.

« Et si par quantité et multitude de negoces et affaires, n’aviez assez alphabets de ceux qu’a y descrits, et consignez, pour satisfaire à la quantité et pluralité de vosdites affaires : ou bien, si aucune [sic] d’iceux vous semble par trop facile et intelligible : pourrez faire et introduire infinité d’autres transpositions et mutations, desquels le nombre sera ou pourra estre presque infiny et l’intelligence du secret perpetuellement occulté et incogneuë41 [...] attendu que la transposition des lettres se peult varier et changer, par innumerables et infinies sortes, toutes l’une de l’autre differentes : tellement que quiconque voudra mettre en peine et diligence, pourra trouver et avoir effect en son œuvre, par plusieurs moyens d’escrire par metathese, totalement differents de ceste nostre institution : moyennant peine et diligence, comme dit est. Car l’esprit de l’homme exercité et aydé par art, et par assidu [sic] estude, peult grandes et merueilleuses choses42. »

38Il nous semble très probable que tel est l’objet précis de l’allusion de Matan : son ars combinandi enseigne à faire se succéder régulièrement des métathèses ; aussi a-t-il dû penser qu’il pouvait aisément découvrir des « moyens d’escrire par metathese » complètement différents de ceux de Trithème.

39Si le nom de Trithème a pu nous éclairer l’allusion à la polygraphie, nous ne saurions dire à quoi songe Matan, lorsqu’il affirme sans aucune précision, qu’en combinant des nombres, des idées, des atomes, des étoiles, etc. on pourra enrichir l’art de Pythagore, celui d’Épicure, et l’art judiciaire : « Si numeris, ideis, atomis, syderibus, & c. per te Pythagorica, Epicuraea, arsque Iudiciaria plurimum locupletari poterunt. »

40À propos de la Cabale, Matan trouve seulement à reprocher aux Juifs de n’avoir reconnu que 12 « combinaisons » dans un mot de quatre lettres, alors qu’il y en a 24. À voir le caractère élémentaire de cette remarque, on est en droit de penser que, de toute façon, il n’avait pas dû pousser très loin les applications numériques de son art de combiner.

41Mersenne, tel que nous le connaissons, a dû accueillir avec satisfaction, les détails érudits rassemblés par Matan, et qui sont également précieux à nos yeux, car ils ajoutent quelques touches au tableau que nous avait donné Leurechon.

42Matan a-t-il jamais écrit un ouvrage plus ample que son petit livret ? L’eût-il fait que Mersenne n’aurait sans doute pas eu à regretter d’en ignorer le contenu mathématique : cet ouvrage en aurait peut-être dit moins, de ce point de vue, que La Vérité des sciences.

B. De la fécondité de certains « usages » pour le calcul combinatoire

  • 43 On lit en effet dans la « Table des XIX. Liures de Musique » (Table non paginée in Mersenne 1636a, (...)

43La principale originalité de Matan ne serait-elle pas d’avoir introduit un nouveau nom, en donnant son acte de baptême à un nouvel art : ars combinandi ? Mais le verbe combinare ne renvoie ici qu’à la forme de combinatio la plus simple, celle que Mersenne appelle la « combinaison ordinaire » (Permutation). Or, très discrètement mais avec à-propos, ce dernier a largement étendu le champ de « l’art de combiner », en lui faisant couvrir le domaine entier de toutes les formes de combinaisons43.

44Le mot art désigne en l’occurrence un ensemble de règles de style arithmétique associées à certains « usages ». Or Mersenne n’a jamais clairement dissocié — comme le fait Matan — les règles de leurs « usages ». Ce mélange a son avantage pour l’analyse historique : il laisse mieux apparaître le rôle très actif qu’a joué l’« utilité » dans la recherche combinatoire. La difficulté subsiste cependant de déterminer avec précision la fécondité que possédaient par eux-mêmes certains domaines d’application ; nous allons toutefois prendre le risque de classer trois de ces domaines selon un ordre de fécondité croissante.

1. Atomes : comparaisons entre les atomes et les lettres de l’alphabet

  • 44 Mersenne 1636b, VII, p. 123.

45Prenons pour prétexte de notre premier exemple une suggestion que nous trouvons dans Mersenne lui-même : parmi les choses auxquelles peuvent s’appliquer les combinaisons, il cite incidemment les atomes44. Ailleurs, il fait allusion à la conséquence cosmologique qu’on peut tirer de la combinaison des atomes :

  • 45 Id., p. 137. [ « de même, on doit dire que la combinaison ou la conjonction variée des atomes peut (...)

« idemque de atomis dicendum quarum varia combinatio, atque coniunctio singularum creaturarum numerum vel adaequare, vel superare potest45. »

46Pour être aussi brève, une autre de ses notations, manuscrite celle-là, retiendra davantage l’attention, dans la mesure où Mersenne y envisage la possibilité d’un calcul hypothétique sur la composition des corps :

  • 46 « Mansucrit des chants de 8 notes », B.N. fonds français 24 256, fol. 346 v.

« on peut dire que chaque chose est d’autant plus utile qu’elle est jointe avec un plus grand nombre d’autres choses.
Par exemple, que le soldat qui ne peut servir qu’en une façon lorsqu’il est tout seul, peut servir de 720 manières différentes, lorsqu’il est avec 5 autres soldats.
D’où il est aisé de conclure de combien de manieres un atome rond, ou quarré peut servir pour composer les corps, si l’on suppose le nombre des atomes qui doivent entrer dans la composition, et le nombre des corps qui doivent estre composez46. »

47La suggestion tourne court, et ce n’est pas hasard, selon nous, si les deux remarques que nous venons de citer restent aussi vagues.

  • 47 Leibniz 1666/1965, p. 89.
  • 48 Aristote, Métaphysique, A, 4, 985 b 15 – 18, trad. Jules Tricot, Paris : Vrin, 1953, vol. I, p. 40  (...)
  • 49 Leibniz interprète dans son propre vocabulaire (complexiones, variatio situs) le thème de Lucrèce. (...)
  • 50 [ « Les atomes se groupent dans un ordre et une position variés, comme les lettres qui, bien qu’en (...)

48Comparer atomes et lettres, dire que la diversité prodigieuse à laquelle aboutissent les rassemblements des premiers peut mieux se concevoir par la variété que produisent les groupements en mots et en œuvres des secondes, c’était un thème consacré par la tradition. Mais y avait-il plus dans ce rapprochement qu’une idée générale, une image sans prolongements ? Il ne semble pas si on en juge par les textes rassemblés par Leibniz, attentif plus que quiconque au profit qu’en aurait pu éventuellement tirer l’art combinatoire47. Dans un passage célèbre de la Métaphysique48, Aristote rapporte que, selon Leucippe et Démocrite, les différences que présentent les atomes, et qui sont les causes de toutes les autres qualités, sont au nombre de trois : la figure, l’ordre et la position. En premier lieu, ils diffèrent par la figure, comme la lettre A diffère de la lettre N ; ils peuvent différer en second lieu par l’ordre où ils sont disposés, de même que AN et NA diffèrent par l’ordre où sont disposées les lettres A et N ; en outre deux atomes peuvent être tournés dans une position différente comme Z et N. Lucrèce prenait pour exemple ses propres vers, et les mots qui y sont contenus, pour souligner que, malgré la présence en eux de lettres semblables, vers et mots signifient des choses différentes ; de même les choses diffèrent, selon que sont « permutés » intervalles, chocs, mouvements, etc.49. Lactance fait dire de même à Épicure50 : « Vario [...] ordine ac positione conveniunt atomi sicut litterae, quae cum sint paucae, varie tamen collocatae innumerabilia verba conficiunt. »

  • 51 Cf. également l’autre texte dont Leibniz donne la référence. C’est une simple phrase où Jean Chryso (...)

49Si nous passons maintenant aux modernes, nous voyons se répéter seulement avec un peu plus de précision le même argument. Pierre Gassendi reprenant les trois points d’Aristote, développe surtout le dernier, en donnant des exemples d’anagrammes51, et nous remarquerons surtout qu’il envisage non seulement la diversité des livres écrits, mais celle des livres qu’on peut écrire :

  • 52 Pierre Gassendi, Animadversiones in decimum librum Diogenis Laertii..., Lyon : G. Barbier, 1649, p. (...)

« Et tandem sicut literae figurarum non plurium, quam quae in Alphabeto visuntur, sola ordinis varietate innumerabilem dictionum diversitatem facere possunt, tantam nempe, quae omnibus libris non modo hactenus conscriptis, sed deinceps quoque conscribendis sufficiant : ita par est, ut Atomi innumerabilium figurarum varie compositae diversitatem qualitatum, seu specierum sui longe, & absque ulla proportione ne dicam prope infinite innumerabiliorem faciant52. »

  • 53 Gassendi, Animadversiones, op. cit., p. 207. [ « pense que ceci est analogue à ce qu’on observe [de (...)

50Leibniz aurait pu citer, dans le même ouvrage, un passage où Gassendi, cette fois, appuyait sa comparaison sur des considérations numériques : « cogita id perinde esse, ac dum exploratur diversitas vocum, quae ex duabus, tribus, quatuor, pluribusve literis varie commistis enascitur53 ». Et de donner le nombre des mots de 2, 3,..., 10 lettres, ainsi formés (2 !, 3 !, ..., 10 !). Immense sera donc le nombre des mots où 24 lettres seront disposées de toutes les manières possibles ; et bien plus immense encore la multiplicité des figures produites par les atomes !

51Au fond Gassendi n’en appelle au calcul que pour donner plus de force à cette exclamation. La précision numérique n’est là que pour frapper l’esprit ; elle n’a, prise en elle-même, aucune espèce d’importance ; son seul râle est de fixer un ordre de grandeur. L’atomisme qualitatif est satisfait si on lui accorde que le nombre des combinaisons possibles des atomes est « très grand » : pouvant tirer argument de simples métaphores, rien ne le contraint à conquérir la précision numérique. Les atomes ne pouvaient être, à ce stade, qu’un thème sans fécondité pour l’analyse combinatoire.

2. Anagrammes

  • 54 Étienne Tabourot, Les Bigarrures et Touches du seigneur Des Accords..., Paris : J. Richer, 1614, p. (...)
  • 55 Mersenne, suivant sans doute Duret, rappelle le souvenir du poète Lycophron qui excella grandement (...)
  • 56 Mersenne rapporte, dans la « Première Préface générale au lecteur » de l’Harmonie universelle, Mers (...)

52Les anagrammes sont « inuersions de lettres, tellement transposees, que sans aucune adjonction, repetition, ou diminution d’autres que celles qui sont au nom & surnom d’vne personne, on en fait quelque deuise ou periode accomplie d’un sens parfaict54 ». Elles furent en très grande vogue au xvie et au xviiee siècles. On s’en amusait, certes, en y prenant ce même plaisir que peuvent donner de nos jours les mots croisés ; mais elles offraient surtout une manière d’hommage très prisée dans le commerce des cours. Une glorieuse anagramme où les titres d’un Grand se laissaient magnifier par quelque rapprochement mythologique valait tous les dithyrambes. C’est que les anagrammes tiraient prestige de leur Antiquité55, et passaient pour être sources de profondes révélations, au regard de certaines doctrines cabalistiques ou astrologiques56.

53Il n’est pas trop difficile de faire des anagrammes sur un nom donné, car le nombre des choix possibles se voit considérablement limité par l’obligation de retomber sur un mot qui a lui-même un sens. Mais le xvie siècle s’était complu à étendre la recherche d’anagrammes à des phrases entières ou à des devises assez longues, et à s’imposer des contraintes beaucoup plus rigoureuses, en particulier dans le domaine poétique :

  • 57 Tabourot, op. cit., p. 89.

« Apres les Anagrammatismes, nous parlerons des vers Retrogrades par lettres & mots : parce qu’au lieu qu’es Anagrammes il faut transporter les lettres sans ordre certain, en ces vers Retrogrades par lettres il faut Anagrammatiser d’ordre, prenant la derniere lettre pour venir à la premiere57. »

  • 58 Jean-Pierre Camus, Les Diversitez, Paris : C. Chappellet, 1609, fol. 225v.

54Et la Cabale elle-même, si l’on envisage d’un point de vue formel les procédés que nous avons cités plus haut, que fait-elle, sinon « anagrammatiser » ? C’est ce qu’avait bien vu Jean-Pierre Camus : envisageant « les 3 especes de changemens appellez par les Cabalistes Ziruphs ou Combinations, Ethbas ou transpositions, & Themurah ou commutations materielles des lettres », il les rassemble « soubs ce nom general d’Anagrammatisme, c’est à dire artifice caché soubs le remuëment des lettres58 ».

55Pour reprendre cette dernière expression, on voit qu’il y eut au xvie siècle, un immense « remuëment de lettres ». Un « remuëment » que beaucoup menèrent sans doute aveuglément, se fiant à leur seule sagacité ou à la chance. Mais il est très probable aussi que ce domaine d’exercices particulièrement fructueux conduisit certains esprits à se préoccuper d’analyse combinatoire, et à chercher des procédés d’énumération méthodique ; ainsi Vigenère après avoir donné la règle des Permutations, envisagea-t-il la constitution de tables analogues à celles dont se servent les chiffreurs :

  • 59 C’est-à-dire qu’il s’agit d’une opération analogue à des procédés utilisés en cryptographie. On peu (...)
  • 60 Vigenère 1587, fol. 190 v°-191 r°.

« Cecy ay-ie bien voulu toucher icy en passant des anagrammes & transpositions de lettres, ou renuersemens de mots, comme on les appelle ; soit pour les noms propres, soit pour les deuises, & autres vsages à quoy on les voudroit appliquer ; parce que c’est comme vne maniere de chiffre59 : & se pourroient aisément dresser sur cecy des tables rondes & carrees, qui abbregeroient grandement le labeur extreme, que prennent ceux qui cherchent de cest artifice quelque gloire & reputation ; non en vain, car cela est en fort grand’vogue pour le iourd’huy ; si ie ne craignois qu’on m’imputast de vouloir entreprendre sur leur marche [...]60. »

56Sans être sûr que Vigenère y pense ici précisément, on songe à ce dispositif qu’affectionnaient les chiffreurs des bandes circulaires concentriques mobiles sur lesquelles étaient portées des lettres, et qu’ils faisaient mouvoir les unes par rapport aux autres.

57L’anagrammatisme, dès lors qu’on s’interroge sur toutes les anagrammes possibles sur un sujet donné, mène naturellement à l’art de combiner. Et cet art ne manquera pas, en retour, de revendiquer comme un de ses domaines privilégiés d’application les anagrammes. Dès les Quaestiones in Genesim, Mersenne y fit allusion :

  • 61 [ « On peut appeler anagrammatique ce mode par lequel tu trouves avec une parfaite certitude tous l (...)

« Modus hic anagrammatismus dici potest, quo omnia possibilia anagrammata certissime reperias61. »

58Il y revient dans La Vérité des sciences :

  • 62 Mersenne 1625, p. 579.

« Or auant que de mettre fin au discours des combinations nous pouuons facilement conclurre que toutes les anagrammes qui sont possibles peuuent estre treuuées par ces combinations, car on treuue par leur moyen combien toutes les lettres de chaque diction, & de chaque période peuuent estre changées & transposées diuersement62. »

  • 63 Mersenne 1636b, p. 133.
  • 64 Cf. également Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 110.

59Il reparlera de l’anagrammatismus dans les Harmonicorum libri63, et tiendra à préciser dans sa préface au lecteur des « Traitez de la voix et des chants » que la 10eproposition du « Livre des chants »« monstre l’Art de faire des Anagrammes64 ».

  • 65 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. V, B.

60On se rendra compte que Mersenne a conféré à cet art, en lui faisant déborder le cadre des Permutations, où l’enfermait la tradition, une subtilité et une complexité nouvelles. Il ira jusqu’à considérer les mots soumis à telles, ou telles conditions (en particulier à celle d’être prononçables) qu’on peut former avec un alphabet fini comportant des caractères de différents types65. Un « anagrammatiste » aurait-il même osé prendre en considération un problème aussi délicat ? Cela n’est pas impossible, mais il lui aurait fallu être arithméticien ; et pour résoudre le problème, il aurait dû acquérir au préalable, pour son compte, les théorèmes élémentaires de l’analyse combinatoire. Si Mersenne a accédé, lui, à une telle question, c’est qu’il avait été convié, par l’intérêt qu’il portait à la langue en général, à ne pas se laisser absorber par les variations auxquelles on soumet des mots, mais à élever son regard vers les alphabets, dont sont issus ces mots.

3. Le problème du plus beau des chants

  • 66 Pierre Boutroux, Les principes de l’Analyse mathématiques : exposé historique et critique, vol. I, (...)

61Or Mersenne a suivi, dans le domaine musical, un chemin parallèle à celui qui l’a conduit, dans le domaine linguistiquie, de la langue primitive à l’analyse combinatoire. Parmi les espérances suscitées par celle-ci, il en est une qui lui tint particulièrement à cœur : « N’est-ce point le calcul combinatoire qui inspire au Père Mersenne ce rêve insensé de déterminer mathématiquement les plus belles mélodies66 ? » Pour la place qu’il a tenue dans l’esprit de Mersenne, ce rêve appelle mieux, de notre part, qu’une condamnation rapide ; il est d’ailleurs des rêves irréalisables qui stimulent l’esprit d’invention ; si celui de Mersenne lui fut bien inspiré en un premier temps par le calcul combinatoire, ce même calcul y trouva par la suite un motif de progrès.

(a) L’antinomie du plus beau des chants

62Dès les Quaestiones in Genesim, Mersenne avait lancé cette objurgation aux musiciens : jamais ils ne parviendront à atteindre la perfection en leur art, s’ils ne soumettent tous les intervalles, pris séparément ou rassemblés, à un examen attentif, et s’ils ne les comparent tous entre eux ; sinon comment en connaîtraient-ils les effets ?

  • 67 Mersenne 1623a, col. 1692b. [ « Je veux ici avertir tous les musiciens, qu’ils ne parviendront jama (...)

« Hic autem musicos omnes advertere velim se nunquam ad musicae perfectionem perventuros esse, donec in monochordo accuratissime diviso omnia intervalla tam seorsim, quam coniunctim perpenderint, adeout nullum supersit, quod cum omnibus aliis divisive, & collective non contulerint. Alioquin quomodo scient quos effectus haec, aut illa consonantia cum his, vel aliis productura sit ? Viderint igitur quot sint intervalla, imo quot esse queant, sive consona, sive dissona, & omnia modis omnibus coniungant67. »

63Pas de perfection en musique sans comparaisons complètes, et point de comparaisons complètes sans énumérations complètes. On voit pourquoi le musicien devra demander secours aux « combinaisons » : avant de comparer entre eux les intervalles, il faudra savoir en combien de manières ils peuvent se conjoindre entre eux.

64Cet appel, toutefois, n’était jeté qu’en passant : Mersenne n’avait encore, de son côté, que peu de choses à offrir aux musiciens. Par contre, c’est avant tout en faveur des musiciens qu’il s’étendra sur les « combinaisons » dans La Vérité des sciences, et il y érigera en « Theoresme » cet avertissement :

  • 68 Mersenne 1625, p. 557.

« Il faut sçauoir en combien il peut y avoir de chants, ou d’airs sur un suiet donné pour pouuoir iuger quel est le plus beau chant de tous ceus qui se peuuent faire dans le nombre des sons qu’on ne ueut pas outre-passer68. »

65Pour un nombre de notes donné, on peut faire la liste de tous les chants possibles ; le musicien se devra de les examiner l’un après l’autre, pour choisir le plus beau :

  • 69 Id., p. 557 – 558.

« Il semble que ce theorême n’a pas besoin d’estre preuué, puis qu’on ne peut pas iuger quelle chose est la plus excellente de toutes celles qui sont proposées, si premièrement on ne les cognoist toutes ; or nous auons donné la manière de treuuer tous les chants possibles, c’est pourquoi il faut que le Musicien les considere tous l’un après l’autre, auant qu’il iuge en dernier ressort que celui-ci, ou celui-là est le plus beau, & le plus excellent, ou le plus desagreable, ou le plus deplaisant, & le plus mal fait de tous69. »

66Pour aussi évident et raisonnable que soit ce « Theoresme », ne jettera-t-il pas en fait le musicien dans une tâche sans fin ?

  • 70 Id., p. 558.

« Quelqu’un me dira peut-estre, que s’il étoit necessaire de sçauoir, & de considerer toutes les manieres par lesquelles on peut conioindre les mesmes notes, ou les mesmes sons qui se treuuent dans chaque air, qu’il seroit impossible de faire le plus beau, & le plus excellent de tous les chants sur un suiet donné ; qu’il n’y a pas d’apparence que la perfection des airs soit hors de l’art, & de l’industrie des hommes : or il est ce semble facile de montrer qu’il seroit impossible, d’autant que le nombre des chans ou des airs qui peuuent se rencontrer dans 50 sons, ou 50 chordes, est si grand, qu’on ne sçauroit les considerer tous, encore qu’on fust 10 mil ans entiers à ne faire autre chose70. »

67Ainsi Mersenne se heurte-t-il à l’antinomie du plus beau des chants : on ne peut le distinguer sans avoir trouvé au préalable tous les chants possibles : mais il est pratiquement impossible de connaître ces derniers. Mersenne laissait espérer que la perfection de la musique passait par les combinaisons, et voilà maintenant que celles-ci démontrent, par les grands nombres auxquels elles conduisent, combien cet espoir était déraisonnable.

68L’attitude de Mersenne face à cette difficulté est bien ambiguë ; il tient, semble-t-il, à ne pas renoncer à sa première affirmation, mais d’un autre côté, il place toute sa foi dans la perfection d’un art qui dispenserait précisément le Musicien de recourir au dénombrement des chants :

  • 71 Id., p. 558-559.

« Neantmoins il faut se tenir à notre conclusion, nonobstant que tous les hommes du monde ne peussent treuver ce chant, ni considerer tous ceux qui peuvent estre faits de 24, de 30, de 40, ou de 50 sons, plus ou moins : ce qui n’empesche pourtant pas que cette perfection ne soit dans l’art, & dans la science de la Musique, si on en avoit une parfaite cognoissance telle que les Anges le peuvent avoir.
I’espere avec l’aide de Dieu que nous arriverons à cette perfection, lors que nous traiterons de la Musique, ou du moins que nous en approcherons de fort pres, particulierement si ie peux retablir ce que pratiquoient les anciens en leurs chants71. »

  • 72 Notons que Mersenne avait posé la question du plus beau des chants à Galilée ; mais nous ne connais (...)

69Ce n’est pas de ses correspondants72 que Mersenne pouvait attendre de sortir d’embarras : leurs opinions sur ce sujet sont bien divergentes.

(b) Avis divergents de correspondants de Mersenne

70Claude Bredeau estime qu’« il se peut faire le plus bel air ou mot et que l’on puisse penser » :

  • 73 Mersenne 1933 – 1988, vol. I, Claude Bredeau à Mersenne, 12 décembre 1625, lettre no 41, p. 317. Br (...)

« Mes raisons sont que toutes disciplines tendent à un degré de perfection, auquel ceux qui les exercent taschent à parvenir, et suivant leur labeur et la bonté de leur entendement approchent à ce degré tant qu’il leur est possible. Si aucun ne parvient au sommet, ce n’est de la faute de l’art ains de l’artisan73. »

71Le P. Jean Chastellier est d’un avis tout opposé. Par une sorte de récurrence décevante, la recherche du plus beau des chants se mue en course à l’infini, car un chant étant donné, on en trouvera toujours un qui sera encore plus beau :

  • 74 Il s’agit de la cinquième question traitée par le P. J. Chastellier dans cette lettre.
  • 75 Id., le P. Jean Chastellier à Mersenne, 12 avril 1625, lettre no 27, p. 201. [ « Cinquièmement, s’i (...)

« Quinta74 est an demonstrari possit quisnam sit cantus seu harmonia perfectissima inter plures quae ab arte et artificibus fieri possunt.
Existimo certe demonstrari non posse, cum probabile admodum sit, in infinitum progressus fieri posse in his perfectionibus. Non dubito tamen quin demonstrari possit quisnam cantus sit perfectior aliquo certo ac determinato, et quid cuicumque dato adijciendum sit ut reddatur perfectior. Sed sentio non posse assignari tam perfectum cantum quo perfectior dari nequeat75. »

72Rejeté ainsi hors de toute atteinte, ce plus beau des chants est même, pour d’autres correspondants de Mersenne, radicalement inaccessible, puisque, par principe, il n’existe pas :

  • 76 Id., [Robert] Cornier à Mersenne, 18 août (1625), lettre no 35, p. 263 – 264.

« Quant est de beaux chants, dont vous demandés mon advis, parce que peut estre je ne scay pas jusques où va la force des regles de la Musique, j’y trouve une très grande difficulté, d’autant qu’il me semble que la Musique, aussi bien que le goust est respective aux persones qui l’escoutent et par consequence sera diversement jugée bonne, suivant les affections des auditeurs76. »

73Prise de position relativiste qui dissout le problème posé par Mersenne, et qu’il rencontrera également dans des lettres que lui adresse Descartes au cours des années 1630 et 1631 :

  • 77 Descartes 1897 – 1908, vol. I, 4 mars 1620, p. 126.
  • 78 Id., octobre ou novembre 1631, p. 227.

« Vous m’empeschez autant de me demander de combien vne consonance est plus agreable qu’vne autre, que si vous me demandiez de combien les fruits me sont plus agréables à manger que les poissons77. [...] Tout ce que vos Musiciens disent que les dissonances sont agreables, c’est comme qui diroit que les olives quoy qu’elles ayant de l’amertume, sont quelquesfois plus agreable au goust que le sucre, ainsi que ie croy vous avoir desia mandé78. »

  • 79 Id., 18 mars 1630, p. 133.

74Il en va ici comme des « compartimens d’vn parterre » ; on ne peut « nommer absolument l’vn plus beau que l’autre [...]. Mais ce qui plaira à plus de gens pourra estre nommé simplement le plus beau, ce qui ne sçauroit estre déterminé79 ».

(c) Incertitude de Mersenne ; nouvelle orientation : chercher à parfaire les chants

75À ce feu roulant d’objections, Mersenne ne fit pas face en choisissant un parti bien déterminé, ou en creusant plus avant une des thèses en présence. Puisque sur ce point, il n’alla pas très au-delà des positions incertaines qu’il avait esquissées dans La Vérité des sciences, nous pouvons annoncer dès maintenant que l’art de combiner, même doté de moyens plus étendus, ne lui permettra pas de trancher ce problème qui lui tenait tant à cœur.

  • 80 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », Proposition XXI, p. 154. (Cf. Mersenne 1636b, VII, (...)
  • 81 Mersenne 1636a, II, p. 154 – 156 (Cf. Hellmut Ludwig, Marin Mersenne und seine Musiklehre, Halle-Sa (...)
  • 82 Mersenne 1636a, II, p. 156.
  • 83 Mersenne 1636b, VII, p. 123 : « Cum autem hanc difficultatem potius attulerim, vt audiam ab ingenio (...)

76Avec quelque obstination, il persistera à poser le problème sous sa forme la plus élémentaire, sans qu’on sache d’ailleurs si c’est pour mieux montrer qu’il est insoluble, ou pour susciter des réponses plus assurées que la sienne : « à sçavoir si l’on peut déterminer quel est le chant le meilleur et le plus doux de plusieurs chants proposez, par exemple des 24 chants dont chacun a 4 sons ou 4 notes80. Le nombre des notes étant petit, on peut écrire aisément ces 24 chants, les examiner un par un, ou les comparer entre eux. Mersenne ne se fait pas faute d’aligner toutes les bonnes raisons qu’on pourrait avoir d’accorder la palme à tel chant, puis à tel autre, et encore à tel autre81. Aucun chant ne sortant vainqueur de cette confrontation, faut-il en conclure qu’aucun canon esthétique ne permet de distinguer le chant qui en soi, serait supérieur aux autres ? Cet échec ne ferait qu’ouvrir d’autres questions : car à supposer qu’on admette la variété irréductible des goûts et des sentiments, encore pourrait-on s’interroger sur les correspondances qui font que tel chant s’accorde avec tel tempérament82. Mais peut-être aussi le problème ne reste-t-il en suspens que parce qu’il est trop difficile, et qu’il faut en attendre la solution d’esprits plus ingénieux83 ?

77Entre temps, Mersenne ne laisse rien perdre des remarques qu’il avait sollicitées de ses correspondants : avec un éclectisme d’une souplesse sans égale, il les met tout simplement bout à bout dans une Proposition de l’Harmonie universelle, en les reprenant parfois mot à mot ! Cette juxtaposition forme bien sûr, une rhapsodie d’idées assez étonnante, mais ce qui nous touche ici directement, c’est que Mersenne la fait suivre du Corollaire que voici :

  • 84 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 107.

« Puis que la beauté des airs consiste particulierement dans leur varieté, & qu’il y en a qui croyent que l’on ne peut plus faire de chants qui n’ayent déja esté faits, il faut considerer cette diversité, & monstrer que tous les hommes du monde n’ont pû faire tous les airs contenus dans la main Harmonique, ou dans le systeme, & l’échele ordinaire de Musique, encore qu’ils eussent fait tous les iours mille chants differens depuis la creation du monde iusques à present, comme il sera aisé de conclure par les propositions qui suiuent, dans lesquelles l’on apprendra toutes les espaces de combination conternation, & c. & plusieurs autres choses qui sont tres remarquables84. »

78Ainsi Mersenne introduit-il le long exposé d’analyse combinatoire qu’il donnera dans l’Harmonie universelle. Ce Corollaire n’est-il qu’une transition plus ou moins arbitraire entre deux sujets tout à fait distincts ?

79Tel serait le cas si Mersenne ne faisait que réaffirmer comme une idée générale sans portée effective, une conviction ancienne, et s’il protestait une fois de plus, mais sans préciser davantage, de l’utilité des « combinations » pour les musiciens. Mais il nous paraît en fait que, selon une tendance déjà perceptible dans La Vérité des sciences, préoccupations proprement musicales et recherches arithmétiques se voient liées de manière beaucoup plus intime. Qu’il faille passer par des énumérations complètes pour découvrir le plus beau des chants, c’est somme toute une affirmation abstraite que pourra admettre ou discuter le théoricien de la musique, mais qui risque de laisser de glace le compositeur. À supposer par contre que, sans plus se soucier de définir rigoureusement la beauté, on se donne pour but de parfaire des chants et non d’isoler le plus parfait d’entre eux, à supposer même qu’on veuille tout simplement chercher ceux qui sonnent le plus agréablement pour chacun, c’est alors précisément que la considération des combinaisons se révèle la plus fructueuse.

(d) Tous les chants n’ont pas été faits

  • 85 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 107.
  • 86 Mersenne 1625, p. 553, dans la marge.

80Pour commencer, il faut éveiller chez les musiciens le sentiment de leurs propres richesses, leur révéler l’étendue des domaines qui leur restent à explorer. Que Mersenne mette quelque candeur à ressasser et entasser de grands nombres de chants possibles, sans doute. Mais c’est « qu’il y en a qui croyent que l’on ne peut plus faire de chants qui n’ayent déjà esté faits85 » ! Aussi fallait-il de toute nécessité convaincre de leur erreur ceux pour qui il n’est pas de chants neufs sous le soleil. « Tous les chants possibles n’ont pas été tous faits86 », c’est ce qu’il fallait démontrer, et que fait toucher du doigt le moindre calcul de « combinations » :

  • 87 Id., p. 552.

« Par ou tous les Musiciens peuuent conclurre qu’il y a beaucoup de chants lesquels n’ont iamais été faits, entre lesquels plusieurs sont peut estre meilleurs, & plus agreables que tous ceus desquels on s’est serui iusques à present87. »

81Déjà manifeste lorsqu’on modifie simplement la disposition des notes, cette vérité l’est bien davantage encore lorsqu’on varie « les temps » :

  • 88 Mersenne 1636a, II, Livre sixiesme de l’art de bien chanter, p. 396.

« Il est certain que les Compositeurs d’Airs, de Branles, & de Balets n’ont pas vn moindre nombre de varietez dans les temps de leurs mesures, que dans la modulation dont i’ay parlé dans le Liure des chants, & par consequent qu’ils n’ont pas encore employé toutes les especes de mouuemens, & qu’il en restera tousiours assez pour les exercer toute leur vie88. »

  • 89 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. I, A.

82Toute leur vie, certes, et des milliers et des milliers de vies... Mais à trop vouloir stimuler les musiciens, ne leur donnera-t-on pas plutôt le vertige ? Ne reculeront-ils pas devant le labyrinthe des possibilités ? Qu’ils se souviennent alors que l’arithméticien est toujours là qui peut les guider, et leur ménager quelques sûrs chemins : son rôle, en effet, ne s’arrête pas à calculer le nombre des « combinations » d’un ensemble donné de notes, et à circonscrire ainsi les limites du possible ; sa tâche la plus féconde commence lorsqu’il écrit lui même des listes méthodiques de chants, et met ainsi à la disposition des musiciens de véritables répertoires où ils pourront puiser à leur gré. Ainsi Mersenne dira-t-il à propos d’un tel répertoire, constitué par ses soins89 :

  • 90 « Manuscrit des chants de 8 notes », fol. 347 r.

« Or l’une des utilitez que l’on peut tirer de ces varietez consiste en l’invention des differentes modulations, ou dans les idees que le compositeur conçoit en voyant plusieurs chants qu’il ne s’estoit iamais imaginez ; car il n’importe qu’il ne les approuve pas en tous leurs intervalles, pourveu qu’il y rencontre quelque chose de particulier, dont il puisse tirer de la lumière pour l’employer aux differens suiets qu’il traicte, et dont il puisse enrichir ses inventions et ses fantaisies90. »

  • 91 Mersenne 1636a, II, Livre sixiesme de l’art de bien chanter, p. 362.
  • 92 Id., p. 363.
  • 93 « Manuscrit des chants de 8 notes », fol. 347 r°. Cf. également une semblable promesse dans cette p (...)

83Des chants « qu’il ne s’estoit iamais imaginez ». Tel est le plus fructueux apport des « combinations » : un surplus d’imagination. En effet, « l’vne des grandes peines qu’ont les Compositeurs d’Airs, consiste à éuiter les redites, & a trouuer des Chants qui n’ayent pas encore esté faits91 » ; or, l’une des choses qui peuvent « aider à faire de bons Chants, & particulierement à les varier, & à fuir les redites, dépend de la consideration de tous les Chants possibles qui se peuuent faire dans l’estendüe des sons, des chordes, ou des notes que l’on se propose92 ». Au fond, l’imagination individuelle, livrée à ses seules ressources, est bien courte ; elle tâtonne et ne trouve que par rencontre ; aussi a-t-elle tout à gagner en acceptant de prendre appui sur des dénombrements méthodiques. Les musiciens habiles à user de ces derniers « pourront surmonter tous les autres Praticiens qui n’auront pas cette connoissance, quelque genie, ou bon naturel qu’ils puissent avoir, toutes et quantes fois qu’il sera question de varier tel chant que l’on voudra93.

84Bref, ce sera la victoire de la méthode sur le génie. Et puisque la méthode donne tout pouvoir au musicien pour « enrichir ses inventions et fantaisies », on voit comment on pourrait dire que, pour Mersenne, l’ars combinandi ouvre naturellement la voie à l’ars inveniendi.

85Il semble bien que les offres de service de Mersenne se soient heurtées chez les musiciens à une fin de non-recevoir. Giovanni Battsita Doni condamne même comme trop futiles ses vaticinations mathématiques :

  • 94 Mersenne 1933 – 1988, vol. VI, Doni à Mersenne, lettre no 554, mai 1636, p. 72.

« Je voudrais bien que vous vous fussiez passé du travail que vous avez pris en tant de sortes de combinations et changemens de notes, car il me semble que vous faictes tort à vostre bel esprit et au temps que Dieu vous donne de l’employer en cela ; veu qu’il suffisoit d’en mettre quelque petit essay et laisser parachever le reste à quelqu’autre, qui ne seroit capable de choses meilleures. Mais quoyqu’il en soit si fault y advouer que vous avez montré en cela un grand zele d’aider ceste profession laquelle vous sera tousjours redevable94. »

86Un grand zèle en vérité ! Et c’est précisément parce que Mersenne s’était obstiné à œuvrer en faveur des musiciens qu’il fit progresser l’étude des combinaisons. Avec la foi du néophyte, il avait espéré que les mathématiques pourraient avancer sans tarder la recherche du plus beau des chants. Ce fut le contraire qui se produisit : contradictions, avis divergents, questions pendantes subsistèrent sur le plan de la théorie esthétique ; l’art de combiner, par contre, y gagna des théorèmes. Et nous comprendrons mieux par la suite combien a pu être décisive l’impulsion que put recevoir ici cet art : Mersenne, calquant ses objectifs sur ceux du compositeur, ne s’est pas borné à calculer le montant des « variétés » d’une sorte donnée, mais il s’est interrogé, pour s’en rendre mieux maître, sur les sources mêmes de la variété, dont il a voulu classer et associer les différents types.

C. Art de combiner et mathématiques

  • 95 Cf. ci-dessus, p. 107.
  • 96 Mersenne 1625, p. 248.

87Guldin, avons-nous vu, intègre discrètement les combinaisons dans sa classification des mathématiques95. Qu’en est-il, à ce sujet, de Mersenne ? À n’en pas douter, les combinaisons sont à ses yeux l’apanage de l’arithméticien, mais ce serait trop lui demander que de préciser nettement leur lieu propre à l’intérieur de l’arithmétique. Dans les pages où il en traite, il prend souvent le ton — et atteint parfois la saveur — des auteurs de récréation mathématiques ; il lui arrive de nous plonger par moments dans ce qu’il appelle lui-même joliment l’« Arithmétique joyeuse », celle « qui nous sert à deuiner mille petits secrets ioyeus ausquels on passe le temps96 ». Mais assurément, ce domaine des combinaisons avait à ses yeux une tout autre dignité et une tout autre importance, et nous dirons, en nous appuyant sur le plan choisi par Mersenne dans La Vérité des sciences pour parler des mathématiques, que ce domaine appartient à l’arithmétique pratique :

  • 97 Id., p. 257.

« [L’Arithmétique] a deus parties l’une est speculative, & l’autre est practique : celle-la considere la nature, les proprietez, les passions, & les effets des nombres absolument considerez, sans les appliquer à aucun suiet : & celle-cy accommode les nombres à toute sorte de matière97. »

88Cette seconde partie n’est pas moins digne d’attention que la première :

  • 98 Id., p. 433.

« Ie veus vous montrer que l’Arithmetique n’est pas moins certaine quand elle descend à la pratique que quand elle demeure en la seule contemplation : commençons par la numeration, par laquelle on exprime la quantité discrete, & la multitude de tous les obiects possibles98. »

1. « Combinaisons » et arithmétique pratique

89À l’étude de la numération fera suite celle des opérations arithmétiques, et c’est un raccord aussi artificiel que maladroit qui reliera à ces dernières l’examen des combinaisons :

  • 99 Id., p. 527.
  • 100 Id., p. 534.

« Titre du chapitre 10 : “De l’utilité des regles, & des operations precedentes, particulierement des combinations, & des diuerses conionctions qui peuuent estre faites de diuerses choses99”. »
« Theoresme II. La multiplication, & la diuision, l’addition, & la soustraction seruent pour sçauoir combien une multitude de nombres, de lettres, de soldats, de mouuemens, de sons, & de toutes sortes d’obiects peuuent estre changez, & transposez d’un lieu en un autre100. »

90Jamais plus Mersenne n’aura à se prononcer sur ce même sujet. Aucun soupçon évidemment chez lui d’une théorie générale qui repenserait les mathématiques à partir des combinaisons. Chaque fois qu’il aura à reparler de celles-ci, ce sera dans un contexte déterminé dont loin de vouloir se détacher il accentuera le rôle. De combinationibus & earum utilitate : ce titre, que Mersenne mettra en tête de son compendium final sur les combinaisons, dit bien que lorsqu’il pense « combinaisons », il pense en même temps « usages ». Est-ce à dire que Mersenne n’a pas perçu la présence, derrière tous ces usages, d’une même théorie abstraite ? Ce serait aller trop loin. Il a vu lorsqu’il parle de lettres, qu’il pourrait parler de soldats, ou de fleurs, etc. ; cette idée d’ailleurs n’a pas à ses yeux une telle clarté qu’il n’éprouve le besoin d’y revenir souvent ; avant d’en venir à affirmer que les combinaisons s’appliquent à « toutes sortes d’objets », il se livre à des énumérations semblables à celle du « Theoresme II » que nous avons cité plus haut, tout comme s’il ne se pénétrait de la vérité de son affirmation qu’au terme d’une induction amplifiante.

91Certes, Mersenne dit parfois « choses » tout court, sans préciser. L’exemple le plus frappant est celui du texte des Reflexiones physico-mathematicae : ici, sans autre préambule, il n’est d’emblée question que de r e s ; mais bien vite, au détour d’une phrase, nous passerons aux lettres :

  • 101 Mersenne 1647, p. 203. [ « par exemple 4 vis-à-vis duquel est placé 234 256, indique 4 choses ou le (...)

« verbi gratia 4, e cuius regione ponitur 234 256 significat res, aut litteras 4, sumptas in 22 litteris alphabeti101. »

92On voit bien la raison de ce passage : il s’agit de profiter de commodités d’expression dont on use largement encore aujourd’hui ; les lettres de l’alphabet ont pour avantage évident de former des mots, des « dictions » qui seront faciles à décrire et à manipuler. On pourrait en dire autant des notes et des « chants » familiers à Mersenne.

  • 102 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 469.

93Est-ce donc par la faute d’une pesanteur du langage que ce dernier alourdit la théorie mathématique des combinaisons de considérations trop particulières ? Mais Pascal saura, lui, ajouter une petite remarque qui place sous un jour nouveau l’appel aux lettres de l’alphabet ; ayant défini ce qu’il entend par les différentes combinaisons de plusieurs choses, Pascal poursuit ainsi : « Par exemple, si de quatre choses exprimées par ces quatre lettres A, B, C, D ...102 ».

94C’était là instituer clairement un système de notation, alors que pour Mersenne les lettres sont des choses au même titre que les soldats.

95La différence, pensera-t-on, n’emporte pas grande conséquence en la matière : à ce niveau élémentaire, ni les calculs ni les résultats ne s’en ressentent. Certes, mais nous trouvons là de quoi nous éclairer sur le rôle qu’ont joué « dictions » et « chants » dans les découvertes de Mersenne : on a toute raison de penser que celui-ci ne les a pas choisis délibérément et en toute conscience pour leur commodité d’expression ; ayant eu à les manipuler pour des motifs extrinsèques, il a profité là indirectement d’un matériel symbolique en quelque manière tout apprêté.

2. La passion pour les grands nombres

96Il est cependant un point sur lequel l’arithmétique devait subir, comme par contrecoup, et sans que cela soit d’abord très visible, l’influence de préoccupations combinatoires. Les premiers indices d’une telle influence se manifesteront déjà à nous, si nous creusons de plus près la complaisance avec laquelle Mersenne cultiva, plus que jamais, à propos des « combinaisons », la véritable passion qu’il eut pour les grands nombres.

97Il se livre autour de certains exemples à des variations dont le passage suivant, pris entre bien d’autres, illustre bien le ton :

  • 103 Mersenne 1625, p. 555 – 556.

« Il y a pareillement plus de chants dans 12 sons, qu’il n’y a de minutes d’heure que le monde est fait, à la fin de cette mesme année du Iubilé, le nombre desquelles est 155 368 140, qui est moindre que le nombre qui répond à XII sons : par consequent si Adam auoit vescu iusques à la fin de cette année, & qu’il eust chanté vn air qui eust été fait de 13 sons, de maniere qu’à chaque battement de son pous il eust chanté vn air diuers iusques à present, il n’eust pas encore acheué tous les chants qui sont compris dans 13 sons, car son pous n’eust battu que 1 014 297 240 fois, supposé que chaque battement eust duré la 66 partie d’vne minute d’heure, qui est la durée ordinaire103. »

  • 104 Mersenne 1636a, II, « Livre des chants », p. 108 – 109.

98Si des « Praticiens ne veulent pas croire qu’il y ait vne si grande diuersité de chants dans 8, 10, ou douze notes, & qu’ils desirent qu’on les escriue tous afin de les conuaincre par l’experience », Mersenne les met au défi : qu’ils fournissent donc le papier ! « Car s’ils promettent de donner le papier, & que l’on gage le contraire contre eux, il est tres-certain qu’ils perdront », et de calculer, (étant donnés la largeur des rames de papier et le nombre des chants qu’on note sur chacune d’elles), la hauteur prodigieuse qu’atteindraient, empilées les unes sur les autres, les rames contenant « tous les chants de 22 notes ». Et d’évaluer ensuite le prix de ces rames104 !

  • 105 L’expression est de Lenoble 1943, p. 253.
  • 106 Mersenne 1625, p. 661 sqq.
  • 107 Lenoble 1943, p. xvii ; Mersenne publiera à nouveau l’Arénaire dans l’Universae Geometriae Synopsis(...)
  • 108 « Quid obsecro admirabilius, quam ut numerum arenae maris imo & totius terrae recensere possit aliq (...)
  • 109 Clavius 1611, p. 237 – 240 : Digressio de arenae numero [Digression sur le nombre de grains de sabl (...)
  • 110 Cf. Mersenne 1623a, col. 49 – 54 ; « Paralipomena et observationes » in Mersenne 1623a, col. 1833 – (...)

99Tout nous rappelle ici ces jongleries numériques accommodées sous forme de fabliaux qui, depuis l’Antiquité, ont séduit les amateurs d’amusements arithmétiques. Nous n’avons d’ailleurs pas à chercher ailleurs que chez Mersenne lui-même qui s’y complaît avec une certaine « badauderie105 » les plus célèbres d’entre elles : celle des grains de froment que l’on dispose « selon la raison double », dans les « lieus du jeu d’échets106 » ainsi que le fameux problème de l’Arénaire. Dans cet opuscule, Archimède avait cherché une limite supérieure au nombre des grains de sable contenus dans une sphère d’un diamètre valant 100 000 000 de fois celui de la terre, c’est-à-dire dépassant la grandeur du monde tel que se le figuraient les Anciens ; il voulait illustrer ainsi un système de numération qui, utilisant les groupes successifs de 8 chiffres, ou octades, pouvait exprimer sans mal de très grands nombres. Mersenne, qui publia par ailleurs l’Arénaire dans sa Synopsis mathematica de 1626107, reprendra108, à la suite de Clavius109, le même problème, en y ajoutant de nouvelles variantes et en se réjouissant, chaque fois qu’il y revient, d’écrire des nombres de plus en plus grands110.

  • 111 Mersenne 1943, p. 253 – 254.
  • 112 Mersenne 1624, I, p. 110.
  • 113 Mersenne 1623a, col. 49 et col. 52. Notons que Descartes trouvera dans la puissance de nombrer une (...)
  • 114 Cf. ci-dessus, p. 138.

100Comme le remarque à-propos R. Lenoble111, il y a autre chose toutefois dans ces exercices que de naïves amusettes. L’esprit y joue avec l’infini, et par là, « l’homme s’assujettit le Ciel et la terre par la force de son entendement112 ». Cette présence de l’infini dans l’esprit de l’homme témoigne de l’existence de Dieu. S’il nous appartient de dénombrer les parties du monde entier, et de réduire ce monde à n’être qu’un point en regard de mondes considérablement plus étendus, c’est que notre âme ne tire pas son origine du monde, mais qu’elle participe d’un infini antérieur à ce dernier113. D’où l’exhortation à élever leur âme vers Dieu qu’adresse Mersenne aux praticiens qui « ne veulent pas croire qu’il y a une si grande diuersité de chants » dans un petit nombre de notes, et qui n’ont pas le droit de se réclamer de l’expérience « puis qu’ils n’ont seulement pas le moyen de fournir aux frais du papier114 » :

  • 115 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 109.

« Ce qui fait voir euidemment que l’esprit est bien plus excellent, & qu’il a vne capacité beaucoup plus grande que les sens, & qu’il est fait à l’image de Dieu, puis qu’il va si auant qu’il n’y a que le seul infiny qui le puisse borner, & consequemment que les Musiciens doiuent éleuer leur pensee plus haut qu’à leur Art, s’ils veulent faire paroistre qu’ils sont faits à l’image de Dieu, & qu’ils portent le caractere de la diuinité dans leur ame & dans leur esprit115. »

  • 116 Smith 1958, vol. II, p. 80 – 84.
  • 117 Id., p. 66-68.
  • 118 Après le « million » (106), on trouve le « bilion » (109), puis le « trilion » (1012), le « quatre- (...)

101Il faut bien marquer, par ailleurs d’un point de vue historique, que l’attirance de Mersenne pour des nombres toujours plus élevés n’est nullement un trait qui lui soit personnel. C’est seulement à titre exceptionnel que l’Antiquité avait eu besoin de grands nombres et s’était intéressé à eux ; or, peu à peu, à partir du xiiie siècle s’introduit et se répand l’usage du « million116 » ; et il y aura au xvie siècle de nombreuses tentatives pour faciliter l’écriture des grands nombres117. Mersenne s’inscrit si bien dans ce courant qu’il a proposé de son côté un nouveau système d’écriture118. Et du même coup, le lien entre grands nombres et « combinaisons » prend une nouvelle signification ; nous commençons d’entrevoir ici que, chez Mersenne, les « combinaisons » ont été davantage qu’une occasion parmi d’autres d’aligner des suites impressionnantes de chiffres. Mersenne, alerté à la fois par le problème de l’Arénaire, et par celui des « commutations » de caractères, se met précisément à regarder tout nombre comme un alignement de caractères. Sous une forme naïve, mais qui n’en est pas moins caractéristique, ce changement de perspective se marque par le nouveau prolongement que donne Mersenne à la fable des grains de sable emplissant l’univers ; le voilà qui se met à imaginer la longueur des alignements de chiffres que constituent les nombres écrits dans le système décimal :

  • 119 Id., p. 429.

« Or il est certain qu’vn centilion lequel a trois cents & six caracteres, ne peut être exprimé par des cyphres qui contiennent moins d’espace en longueur qu’vn pied de Roy, encore que les caracteres soient assez petits, & par consequent si nous voulions écrire un milion-ilion, il faudroit du moins l’espace d’vne demi lieue pour contenir les caracteres de ce nombre119. »

102Ainsi pourrait-on savoir ce que vaudrait le nombre qui serait écrit depuis le pôle arctique jusqu’au pôle antarctique.

  • 120 Cf. Troisième Partie, ch. II et III.

103Vu sous ce biais, le rapport entre grands nombres et « combinaisons » s’inverse : envisagés comme suites de signes, les nombres tels qu’on les écrit relèvent maintenant du calcul des combinaisons. Ainsi entrevoit-on déjà les liens étroits par lesquels se noueront, dans les écrits de Mersenne, calcul combinatoire et numération120.

Notes

1 Préface au Lecteur des « Traitez de la voix et des chants ».

2 Mersenne 1636a/1963, II, « Livre second des chants », p. 131.

3 Mersenne 1647, p. 205.

4 Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, p. 230 ; Mersenne 1636b, 2, p. 133.

5 Mersenne1636b, vol. VII, p. 118 – 119.

6 On verra ci-dessous que Mersenne passe à la considération du traité de Matan, parce qu’il venait de toucher précédemment à des énumérations de « variétés ».

7 Sur Pierre Trichet, avocat au Parlement de Bordeaux, Cf. Mersenne 1933-1988, vol. III, lettres 186 et 198, et « Éclaircissements ».

8 Mersenne1636b, vol. VII, p. 118. [ « Et c’est donc ce que je présenterai dans le traité suivant dont j’entends dire qu’il n’a été publié sous aucun nom si ce n’est celui marqué par ces lettres : I.M.D.M.I. ; comme Trichet, homme très versé dans les lettres et dans les livres, m’a transmis des presses ce manuscrit, je l’insère ici pour qu’il ne se perde pas encore une fois. »]

9 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 442 – 443.

10 Mersenne 1933 – 1988, vol. V, p. 139.

11 Mersenne 1647, « Animadversiones utilissimae in XII. Harmonicorum libris maiores, & in minores Hydraulicis Phaenomenis subiunctos », p. 168. [ « J’ai appris récemment de cet auteur que le nom [correspondant à I. M. D. M. I] est Jean Matan, homme très distingué par la piété et la science. »]

12 De toute manière, la remarque suivante de Florence N. David (David 1952, p. 81), à propos de l’interprétation des lettres I.M.D.M.I., ne semble due qu’à une confusion avec le problème d’identification posé par la mention M..., qu’on trouve dans une lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654 (Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 388) : It has been suggested that M.D.M. stands for Monsieur de Méré but this is unlikely.

13 « En 1634, Trichet envoya au Minime, à deux fois de reprise, la copie d’un traité sur la théorie des combinaisons, dont il semble être question dans la lettre du 4 décembre 1634. » Ces affirmations de Cornelis de Waard (Mersenne 1933 – 1988, vol. III, éclaircissement sur la lettre 198 de Trichet à Mersenne, du 27 avril 1631, p. 159) appellent plusieurs remarques. Nous ignorons pour notre part sur la foi de quel témoignage la date de l’envoi peut être fixée à 1634. En second lieu, pour dire qu’il y a eu double envoi, C. de Waard s’appuie sans doute sur l’expression employée par M. Mersenne dans la phrase citée au début de cette section : ne pereat iterum. Enfin, il n’y a aucun rapport visible entre le livret de Matan, et le « vieil manuscrit à la Platonicienne » dont Mersenne entretient Nicolas Fabri de Peiresc le 4 décembre 1634 (Mersenne 1933 – 1988, vol. IV, p. 402 – 403). [Notons que lors de la nouvelle édition de ce volume, Bernard Rochot a corrigé cet éclaircissement, avec l’aide de Coumet.]

14 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « Par ailleurs je voudrais faire observer à l’auteur, s’il vit, que ce manuscrit promis à la fin serait très bienvenu aux hommes doctes ; puisqu’il affirme avoir découvert par cet art merveilleux un secret qu’il appelle la condensation numérique, que du pot donc il fasse une amphore. Plaise au ciel que quelque plagiaire semblable à celui dont il se plaint le pousse à chercher de nombreux témoins ; si le fait est qu’il a disparu, pourquoi les héritiers mentionnés nous ont-ils frustré si longtemps d’un tel ouvrage ? Quoiqu’il en soit, qu’il parle en public. »]

15 « Combinatio ad rem olim equestrem pertinuit, duorum enim proprie velut conquaternatio, quatuor equorum copulatio dicebatur. Combinae vero diplomata erant a principe data, ut cui cursum liceret usurpare publicum. Sed vox ea Combinatio in Gymnasium tandem est a circo translata, & figuram significat eandem, quam Latini, alias Rhetores conduplicationem vocant, cum aliqua scilicet dictio in oratione geminatur, uti haec, meme adsum qui feci, & c. » (Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118). [ « Jadis, combinatio relevait de la question équestre, et se disait en effet proprement d’un attelage de deux chevaux, ou conquaternatio, de quatre. Le prince donnait ainsi des sauf-conduits « combinés » pour permettre à quelqu’un d’emprunter la voie du service des dépêches. Mais ce mot combinatio a été en fin de compte transporté du cirque au lycée, et désigne cette figure que les Latins ou ailleurs les Rhéteurs appellent conduplicatio, à savoir lorsque quelque expression est redoublée dans un discours, comme cela : meme adsum qui feci etc. » La citation latine, meme adsum qui feci (quant à moi me voici, qui ai fait etc.), avec me redoublé, est extraite de l’Enéide de Virgile, 9, 425.] Cf. Charles Dufresne Du Cange, Glossarium mediae et infimae latinitatis..., Paris : Didot, 1842, articles « Combinae », « Combinare », p. 448.

16 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « un mélange de n’importe quelle sorte par métathèses répétées ».]

17 À savoir, l’opération portant sur deux lettres.

18 Matan avait dû disposer les différentes Permutations selon une liste verticale, en les plaçant les unes sous les autres, et en séparant par une ligne horizontale les Permutations commençant par la même lettre.

19 Même remarque.

20 Il faudrait ici secundam et non tertiam.

21 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 118. [ « Trois lettres peuvent être combinées de six [façons], comme sum, smu : usm, ums : msu, mus. Cette opération est subordonnée à la précédente : en effet, quand tu auras écrit trois lettres, telles que s, u, m : d’abord, combine deux lettres par la méthode déjà exposée, et ainsi on produit deux premiers mots ou combinaisons, après lesquels il faut tracer une ligne. Ensuite, place d’abord la deuxième lettre, u, ajoute la première, s, puis la troisième, m, alors mélange les dernières. Il y aura 2 nouveaux mots, qui doivent être retenus par une ligne. Troisièmement, mets la troisième [lettre] avant les autres, la première au plus près, enfin la troisième [erreur pour : deuxième] et ces deux dernières apparie-les ensemble, les deux dernières combinaisons se manifesteront. »]

22 Dans l’exemplaire B.N., Res. V 582 de Mersenne, 1936b, M. Mersenne a corrigé de sa main cette expression en quarum omnes litterae diversae sunt.

23 Matan cité par Mersenne (Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119). [ « Mais il s’agit là des mots dont toutes les lettres sont diverses : si de fait l’une est doublée, enlève la moitié au nombre produit : si elle est triplée, soustrais cinq sixièmes de parties : si elle est quadruplée il faut retenir autant que la vingt quatrième partie de ce nombre : si elle est quintuplée, le reste sera seulement la cent vingtième partie, & c. Tu vois donc ce qu’est la règle analytique de ce qui précède. »]

24 C’est qu’en effet, nous ignorons la date à laquelle Mersenne lut pour la première fois le texte de Matan : or, nous verrons qu’en 1632, Jean Beaugrand mentionne une lettre de lui adressée à Mersenne traitant de ce même sujet des Permutations avec répétitions (Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, chap. 1, A, 2).

25 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « pour que personne en vérité ne peine à présenter ces variétés de chants et qu’elles soient disposées en ordre, promptement et sans aucune confusion, nous faisons voir clairement l’art de la combinaison dans la proposition suivante. »]

26 Cf. ci-dessus, chap. 1, B, 2, p. 88.

27 Cf. ci-dessous, Troisième Partie, chap. 1.

28 Cf. ci-dessous, dans ce même chapitre, B, 2.

29 Goropius Becanus (Van Gorp), médecin, né en 1518, mort en 1572, prétendait que la langue la plus ancienne du monde était le flamand. Ses « étymologies étranges et souvent ridicules », ironise Leibniz (Nouveaux Essais sur l’entendement humain, L III, chap. 2, § 1), « ont passé en proverbe » ; donner foi à des étymologies fantaisistes, c’est « goropiser ».

30 Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « De même le calcul de Xenocrates pourrait être corrigé, lui qui, de la série commune des éléments, c’est-à-dire des voyelles et des consonnes ensemble, recense seulement 100200000 syllabes concordantes, alors qu’il y en a bien plus. »]

31 Étant donné la disposition typographique qui ne fait guère de différence entre le texte de Mersenne et celui de Matan, il n’est pas étonnant qu’Aimé de Gaignières ait mis cette phrase sur le compte de Mersenne. (La même confusion se retrouve dans Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 442, note 2.)

32 Mersenne 1933-1988, vol. VI, Gaignières à Mersenne, 17 février 1637, lettre 585, p. 197.

33 Les Œuvres morales et meslees de Plutarque, ..., traduites de grec en françois par Jacques Amyot, ... augmentées de sommaires et annotations par Simon Goulart, Lyon : P. Frelon, 1611, vol. I, p. 222 (Cf. Plutarqe, Moralia, Leipzig : Teubner, 1971, vol. IV, p. 347 – 348). Le titre ajouté du paragraphe résume bien l’argumentation où s’insère cette information : « Si dix propositions & les lettres de l’alphabet font tant d’entrelassures & de syllabes, à plus forte raison le corps recevant de iour à autre tant de diferentes qualitez & remuements incertains, produira des maladies nouvelles. »

34 Cantor 1894 – 1900, vol. I, p. 236.

35 Smith 1958, vol. II, p. 524, tient au contraire pour peu probable qu’on soit en face ici de calculs combinatoires effectifs.

36 Matan dans Mersenne 1636b, vol. VII, p. 119. [ « L’usage multiple des combinaisons peut être, si en effet tu l’appliques à n’importe quel alphabet, qu’elles découvrent pour toi la méthode féconde de la Polygraphie tant pour la composition que pour la résolution, de sorte que Trithème paraisse ensuite improductif. »]

37 Sur Trithème, cf. Moreri 1759, vol. X, p. 350 ; Alfred Vacant et Eugène Mangenot, Dictionnaire de théologie catholique, Paris : Letouzey et Ané, 1950, vol. XV, IIe part., col. 1862 – 1867.

38 Cf. Lange et Soudart, 1925, p. iv, p. 24-25, p. 290-291.

39 Mersenne participa personnellement à cette polémique. Dans les Quaestiones in Genesim, Mersenne 1623a, col. 470 – 471, il résume l’ouvrage de Trithème, après quoi il l’attaque sur le problème des apparitions.

40 Trithème 1625.

41 Id., p. 213.

42 Id., p. 214.

43 On lit en effet dans la « Table des XIX. Liures de Musique » (Table non paginée in Mersenne 1636a, I), au mot « Combination » : « Combinations de 6 notes, vt, re, mi, fa, sol, la au nombre de 720. & toute autre sorte de combinations. 129. & dans tout le liure. 2. B [c’est-à-dire dans les « Traitez de la voix et des chants », in Mersenne 1636a, II] art de combiner. 107 leur utilité ». Sur ces Traités, et surtout celui des chants qui constitue un des grands exposés d’analyse combinatoire donnés par M. Mersenne, cf. notre Deuxième Partie.

44 Mersenne 1636b, VII, p. 123.

45 Id., p. 137. [ « de même, on doit dire que la combinaison ou la conjonction variée des atomes peut soit égaler soit dépasser le nombre des créatures individuelles ».]

46 « Mansucrit des chants de 8 notes », B.N. fonds français 24 256, fol. 346 v.

47 Leibniz 1666/1965, p. 89.

48 Aristote, Métaphysique, A, 4, 985 b 15 – 18, trad. Jules Tricot, Paris : Vrin, 1953, vol. I, p. 40 – 41 ; Léon Robin, La Pensée grecque et les origines de l’esprit scientifique, Paris : Albin Michel, p. 138.

49 Leibniz interprète dans son propre vocabulaire (complexiones, variatio situs) le thème de Lucrèce. Les vers que cite Leibniz ne se retrouvent pas dans le texte du De natura rerum, établi par Alfred Ernout, Paris : Les Belles Lettres, 1959 ; (cf. cependant les vers 688 – 699 et 723 – 727 où se trouve exprimé le même thème). Signalons une édition commentée de Lucrèce du xviie siècle où nous avons rencontré le passage en question sous la forme même où le donne Leibniz : Titi Lucretii Cari de Rerum natura libri sex, una cum paraphrastica explanatione et animadversionibus D. Joannis Nardii, Firenze : A. Massa, 1647, p. 172 – 173.

50 [ « Les atomes se groupent dans un ordre et une position variés, comme les lettres qui, bien qu’en petit nombre, forment cependant des mots innombrables lorsqu’elles sont placées de diverses manières. »]. Cf. Lactance, Divinarum institutionum libri VII, Lyon : J. de Tournes et G. Gazeau, 1548, iii, chap. 17 (et non 49 comme dit Leibniz) « De philosophia et indulgentia Epicuri », p. 226 – 233.

51 Cf. également l’autre texte dont Leibniz donne la référence. C’est une simple phrase où Jean Chrysostome Magnen commente des vers de Lucrèce : « Explicat diversitatum generationem ex atomis, varia transpositione, sicuti iisdem litteris scribimus Flumina Fulmina, & comoedia tragaediaque eisdem characteribus exprimitur. » [ « Il explique l’engendrement des diversités à partir des atomes, par transposition variée, de même qu’avec les mêmes lettres, nous écrivons Flumina et Fulmina et que les mêmes caractères expriment la comédie tout comme la tragédie. »] (Jean Chrysostome Magnen, Democritus reviviscens, Leyden : A. Wyngaerden, 1648, p. 269.)

52 Pierre Gassendi, Animadversiones in decimum librum Diogenis Laertii..., Lyon : G. Barbier, 1649, p. 227 – 228. (Cf. aussi Syntagma philosophiae Epicuri..., Den Haag : Valcq, 1659, p. 267 – 268, où Gassendi, reprenant la même idée lui accorde moins de place.) [ « Et donc, de même que des lettres dont les formes ne sont pas plus nombreuses que celles qu’on voit dans l’alphabet, peuvent, par la seule variété de leur ordre, fabriquer la diversité innombrable des mots, assez, c’est un fait certain, pour qu’elles suffisent non seulement à tous les livres écrits jusqu’ici, mais encore à tous ceux qui doivent l’être ensuite : de même il est juste que les atomes de formes innombrables composés de manière variée fabriquent la diversité des qualités, ou des espèces, de loin plus innombrable, et sans proportion que je ne dise proprement infinie. »]

53 Gassendi, Animadversiones, op. cit., p. 207. [ « pense que ceci est analogue à ce qu’on observe [de] la diversité des mots qui naît de deux, trois, quatre lettres, ou de plusieurs, assemblées différemment. »]

54 Étienne Tabourot, Les Bigarrures et Touches du seigneur Des Accords..., Paris : J. Richer, 1614, p. 80.

55 Mersenne, suivant sans doute Duret, rappelle le souvenir du poète Lycophron qui excella grandement en cette subtilité des anagrammes (Cf. Mersenne, Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, p. 528 ; Duret 1613, p. 162).

56 Mersenne rapporte, dans la « Première Préface générale au lecteur » de l’Harmonie universelle, Mersenne 1636a, « la gentille remarque » que lui avait envoyée Peiresc, des noms de deux religieux dont chacun a dans l’Anagramme de son nom, « les six syllabes ut, re, mi, fa, sol, la sans changer, aioûter, ny oster aucune lettre ». Mersenne se refuse à croire pour sa part que de telles Anagrammes « signifient aucune chose en la vie des hommes ».

57 Tabourot, op. cit., p. 89.

58 Jean-Pierre Camus, Les Diversitez, Paris : C. Chappellet, 1609, fol. 225v.

59 C’est-à-dire qu’il s’agit d’une opération analogue à des procédés utilisés en cryptographie. On peut imaginer par exemple qu’on substitue selon certaines règles à chaque mot du texte clair une anagramme de ce mot. Vigenère songe sans doute plutôt ici aux alphabets de substitution ; un alphabet de départ étant donné, on le remplace en quelque sorte par son anagramme, lorsqu’on lui substitue un alphabet comportant les mêmes lettres, mais rangées dans un autre ordre.

60 Vigenère 1587, fol. 190 v°-191 r°.

61 [ « On peut appeler anagrammatique ce mode par lequel tu trouves avec une parfaite certitude tous les anagrammes possibles. »] Mersenne 1623a, col. 702. Cf. ci-dessus, ch. I, A, 2, b.

62 Mersenne 1625, p. 579.

63 Mersenne 1636b, p. 133.

64 Cf. également Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 110.

65 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. V, B.

66 Pierre Boutroux, Les principes de l’Analyse mathématiques : exposé historique et critique, vol. I, Paris : Hermann & fils, 1914, p. 260.

67 Mersenne 1623a, col. 1692b. [ « Je veux ici avertir tous les musiciens, qu’ils ne parviendront jamais à la perfection de la musique s’ils [n’]examinent tous les intervalles du monocorde divisé de manière très précise, tant séparément qu’ensemble, jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun qu’ils n’aient comparé avec tous les autres, soit en les divisant soit en les assemblant. De quelle autre façon sauraient-ils leur effet, ou que cette consonance est produite avec ceux-ci, ou d’autres ? Qu’ils voient donc combien il y a d’intervalles, ou plutôt combien sont valides, soit consonants, soit dissonants et de combien de manières ils se combinent tous, de toutes les façons. »]

68 Mersenne 1625, p. 557.

69 Id., p. 557 – 558.

70 Id., p. 558.

71 Id., p. 558-559.

72 Notons que Mersenne avait posé la question du plus beau des chants à Galilée ; mais nous ne connaissons pas la réponse de ce dernier (cf. Mersenne 1933 – 1988, vol. II, lettre 124,1er février 1629, p. 174).

73 Mersenne 1933 – 1988, vol. I, Claude Bredeau à Mersenne, 12 décembre 1625, lettre no 41, p. 317. Bredeau essaie de préciser les conditions que devrait remplir cet air, mais il pose auparavant qu’« il est possible de trouver un grand musicien », ayant une grande aptitude naturelle, et « auquel on donnera un excellent sujet » ! (id., p. 318) ; cf. également id., p. 218 et p. 383.

74 Il s’agit de la cinquième question traitée par le P. J. Chastellier dans cette lettre.

75 Id., le P. Jean Chastellier à Mersenne, 12 avril 1625, lettre no 27, p. 201. [ « Cinquièmement, s’il est possible de démontrer quel est le chant ou l’harmonie les plus beaux entre plusieurs qui peuvent être faits par art ou artifice. J’estime en vérité qu’on ne peut le démontrer, étant donné qu’il est absolument probable qu’un progrès à l’infini peut être fait dans ces perfections. Je ne doute pas en effet qu’on puisse démontrer qu’un certain chant soit plus parfait qu’un autre fixé et déterminé, ni qu’à quelque chant donné on ne doive adjoindre quelque chose pour le rendre plus parfait. Mais je juge qu’un chant ne peut être estimé si parfait qu’on ne puisse en donner un plus parfait [encore]. »]

76 Id., [Robert] Cornier à Mersenne, 18 août (1625), lettre no 35, p. 263 – 264.

77 Descartes 1897 – 1908, vol. I, 4 mars 1620, p. 126.

78 Id., octobre ou novembre 1631, p. 227.

79 Id., 18 mars 1630, p. 133.

80 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », Proposition XXI, p. 154. (Cf. Mersenne 1636b, VII, Propositio VII, p. 123 : « Investigare quis sit Cantus omnium optimus, atque gratissimus ex omnibus Cantibus propositis. » [ « Chercher quel est le chant le plus beau de tous, et le plus agréable de tous les chants proposés. »])

81 Mersenne 1636a, II, p. 154 – 156 (Cf. Hellmut Ludwig, Marin Mersenne und seine Musiklehre, Halle-Saale : Buchhandlung des Waisenhauses, 1935, p. 81 – 83).

82 Mersenne 1636a, II, p. 156.

83 Mersenne 1636b, VII, p. 123 : « Cum autem hanc difficultatem potius attulerim, vt audiam ab ingeniosis solutionem, quam vt ei faciam satis, pauca haec aduertisse sufficit. » [ « Mais comme j’ai annoncé cette difficulté plutôt pour écouter la solution de gens ingénieux que pour en faire une satisfaisante, il suffit de faire ces quelques remarques. »]

84 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 107.

85 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 107.

86 Mersenne 1625, p. 553, dans la marge.

87 Id., p. 552.

88 Mersenne 1636a, II, Livre sixiesme de l’art de bien chanter, p. 396.

89 Cf. ci-dessous, Deuxième Partie, ch. I, A.

90 « Manuscrit des chants de 8 notes », fol. 347 r.

91 Mersenne 1636a, II, Livre sixiesme de l’art de bien chanter, p. 362.

92 Id., p. 363.

93 « Manuscrit des chants de 8 notes », fol. 347 r°. Cf. également une semblable promesse dans cette phrase des Mersenne 1636b, VII, p. 125 où il s’agit de ce même genre de musiciens : « quandoquidem apparebunt plurimi cantus, de quibus necdum cogitarunt, qui ad variandas cantilenas non parum conferunt ; aliosque propterea musurgos, quibus alioqui vel inferiores, aut ad sommam aequales fuerint, longe superabunt ». [ « Puisqu’apparaîtront de nombreux chants, auxquels ils n’ont pas encore pensé, et qui ne contribueront pas peu à varier les chansons ; et à cause de cela, ils dépasseront de loin les autres musiciens auxquels sans quoi ils seraient ou inférieurs ou au plus égaux. »]

94 Mersenne 1933 – 1988, vol. VI, Doni à Mersenne, lettre no 554, mai 1636, p. 72.

95 Cf. ci-dessus, p. 107.

96 Mersenne 1625, p. 248.

97 Id., p. 257.

98 Id., p. 433.

99 Id., p. 527.

100 Id., p. 534.

101 Mersenne 1647, p. 203. [ « par exemple 4 vis-à-vis duquel est placé 234 256, indique 4 choses ou lettres, prises parmi les 22 lettres de l’alphabet »]

102 Pascal 1908 – 1914, vol. III, p. 469.

103 Mersenne 1625, p. 555 – 556.

104 Mersenne 1636a, II, « Livre des chants », p. 108 – 109.

105 L’expression est de Lenoble 1943, p. 253.

106 Mersenne 1625, p. 661 sqq.

107 Lenoble 1943, p. xvii ; Mersenne publiera à nouveau l’Arénaire dans l’Universae Geometriae Synopsis, de 1644 (id., p. xxvii).

108 « Quid obsecro admirabilius, quam ut numerum arenae maris imo & totius terrae recensere possit aliquis ? id tamen negotio facillimo facit Arithmetica. » (Mersenne 1623a, col. 49). [ « quoi de plus admirable je vous prie que de pouvoir recenser le nombre des grains de sable de la mer ou mieux de toute la terre ? L’arithmétique le fait cependant par un travail très facile. »]

109 Clavius 1611, p. 237 – 240 : Digressio de arenae numero [Digression sur le nombre de grains de sable].

110 Cf. Mersenne 1623a, col. 49 – 54 ; « Paralipomena et observationes » in Mersenne 1623a, col. 1833 – 1834 ; Mersenne 1625, p. 251-252 ; Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, I, fol. 108 r°-111 r°.

111 Mersenne 1943, p. 253 – 254.

112 Mersenne 1624, I, p. 110.

113 Mersenne 1623a, col. 49 et col. 52. Notons que Descartes trouvera dans la puissance de nombrer une confirmation de la preuve de l’existence de Dieu (Belaval 1960, p. 223).

114 Cf. ci-dessus, p. 138.

115 Mersenne 1636a, II, « Livre second des chants », p. 109.

116 Smith 1958, vol. II, p. 80 – 84.

117 Id., p. 66-68.

118 Après le « million » (106), on trouve le « bilion » (109), puis le « trilion » (1012), le « quatre-ilion », etc. « quand on seroit aus centaines de mil-ilions, on pourroit recommencer de nouueaux bilions, en marquant ce second ordre avec un A, ou avec un B en cette manière B bilion ; [...] et lorsqu’on serait paruenu au B cent mil-ilions, on recommenceroit un troisieme rang de bilions, en disant C bilion, & ainsi consecutiuement selon les lettres de notre Alphabet ». (Mersenne 1625, p. 441 – 442).

119 Id., p. 429.

120 Cf. Troisième Partie, ch. II et III.

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