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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Première partie. Émergence de l’analyse combinatoire à travers les « usages » des « combinaisons »

Chapitre 1 : Premiers Contacts de Mersenne avec les « Combinaisons »

Texte intégral

  • 1 Sur cet ouvrage, cf. Lenoble 1943, p. xii – xiii ; p. 25 – 28.
  • 2 Id., p. 25 – 26. Mersenne poursuivra son commentaire, sans parvenir à l’achever, dans les textes ma (...)

1Les Quaestiones in Genesim parues en 1623, et La Vérité des sciences parue en 1625 (ouvrages dont nous allons commenter maintenant quelques textes) diffèrent profondément, et par leur esprit, et par leur contenu. L’exégèse et la théologie tiennent une place prédominante dans les Quaestiones1. Mersenne y prend à partie dans d’interminables Questions et Articles tous ceux, naturalistes, cabalistes, déistes, athées qui lui semblaient mettre la Foi en danger. Il fait étalage à cette occasion de son savoir dans les domaines les plus divers : musique, mathématiques, physique, astronomie, linguistique, et même agriculture. Il « parle de tout à propos de tout, si bien qu’il doit s’arrêter, épuisé, après avoir consacré plus de 1900 colonnes in-folio aux six premiers chapitres du texte sacré2 ».

  • 3 Mais c’est un genre littéraire dans lequel Mersenne réussit bien mal ; il oublie les protagonistes (...)
  • 4 Id., p. 231.
  • 5 Id., p. xv et p. 33.
  • 6 Id., p. 32.

2La Vérité des sciences, écrite en français et sous forme de dialogue3, est beaucoup plus accessible au profane. L’intention apologétique reste certes très sensible, Mersenne voulant cette fois confondre les sceptiques ; mais le programme étant surtout de montrer qu’on peut être « aussi bon catholique que mathématicien4 », l’ouvrage tourne à une encyclopédie des sciences5. « Diogène prouvait le mouvement en marchant ; Mersenne prouvera la valeur de l’esprit humain en faisant connaître quelques-unes de ses plus belles découvertes6. »

A. Le texte des Quaestiones in Genesim. Lutte de Mersenne contre la Cabale

  • 7 Id., chap. 3, § 2, « La Cabale », p. 96 – 109.
  • 8 Gershom Scholem, Les Grands Courants de la mystique juive, trad. de Marie-Madeleine Davy, Paris : P (...)
  • 9 Henri Sérouya, La Kabbale, Paris : Grasset, p. 473.
  • 10 Id., p. 477 – 483. Cf. François Secret, Les Kabbalistes chrétiens de la Renaissance, Paris : Dunod, (...)
  • 11 Mersenne 1624, vol. I, p. 140.

3Dans la première partie de sa vie, Mersenne s’est beaucoup préoccupé de lutter contre la « Cabale7 ». Ce terme générique pourrait tromper ; précisons que, dans ce qui suit, il ne désigne pas l’ensemble de ce mouvement aussi profond que divers à travers lequel s’est manifesté la mystique juive8. La « Cabale » à laquelle s’en prend Mersenne est celle qu’avait introduite Pic de la Mirandole dans le monde chrétien9, et dont les principaux représentants ont été Jean Reuchlin, Agrippa de Nettesheim, Francesco Zorzi10 ; plus précisément encore, la doctrine qu’il fustige dans les textes qui nous concernent est celle de « ceux qui n’ont que la Cabale commune parmy les Rabins, laquelle se sert des lettres et de leurs combinations pour trouver quantités de secrets, et matiere de discours11 ».

1. Occasion d’un exposé sur les « combinaisons » : critique de Pic de la Mirandole

  • 12 Quaestio quarta (« Quot modis Bereschit, sicut & aliae Scripturae partes explicari possint »), Arti (...)

4Dès 1623, dans les Quaestiones celeberrimae in Genesim, Mersenne toucha à l’analyse combinatoire12. Quelques paragraphes dans cet énorme volume, et qui ne semblent dus au surplus qu’à une remarque incidente, c’est sans doute bien peu. Cette digression est pourtant plus significative qu’il n’y paraît à première vue.

5Au cours d’une des multiples escarmouches où il s’oppose à tous ceux qui tirent une foule de conclusions merveilleuses de la seule commutatio des lettres dans certains mots des textes sacrés, Mersenne s’en prend vivement à Pic de la Mirandole :

  • 13 Heptaplus Johannis Pici Mirandulae, de Septiformi sex dierum geneseos enarratione, ouvrage paru d’a (...)
  • 14 Mersenne 1623a, col. 701. [Le texte de Mersenne dit en fait : « ... in hac sola dictione Beresit ea (...)

« Caballistae in singulis fere literis, aut versiculis nonnulla mysteria se detegere existimant, à quibus Mirandula in heptaplo13 non abhorrere videtur, nam omnes literas diversa ratione componit ac dividit, adeo ut in hac sola ratione Beresit ea reperiat14. »

  • 15 Igitur praeter spem meam praeter opinionem inveni quod neque inveniens ipse credebam, neque credere (...)
  • 16 Jacques Gaffarel, Profonds mystères de la Cabale divine, trad. de Abdita divinae Cabalae (1625), Pa (...)

6Mersenne vise ici les dernières pages de l’Heptaplus, où Pic, avant même d’exposer ses découvertes, n’avait pas assez d’adjectifs pour dire combien elles étaient admirables15. Admirables en effet ces longs discours théologiques et philosophiques qui se déploient à partir d’un seul mot : car ce n’est rien moins qu’une théologie de la création et une théorie du microcosme humain que Pic fait surgir des lettres de Beresit, associées séparément de différentes manières. Citons, sur le même sujet, Gaffarel qui mit la même constance à défendre Pic qu’à se déchaîner contre Mersenne. Un des procédés de la Cabale consiste à transposer les lettres d’un mot. En voici une illustration16 :

« Dans le premier chapitre de la Genèse, le premier mot : Bereschit, est traduit : dans le commencement. Or, de profonds théologiens affirment que le mot Bereschit signifie : J’établirai le fils, parce que le Père éternel, depuis le commencement [...] a engendré son Fils unique ; et que ce Fils, depuis le commencement des temps, [...] devait s’incarner dans le sein d’une Vierge très pure. Or, tout cela se trouve contenir dans le mot Bereschit lui-même »,

7pourvu qu’on transpose légèrement les lettres de ce mot ; le nouveau mot « veut dire : fille bienheureuse ou fille des béatitudes, ou encore fille des félicités célestes ; toutes expressions qui désignent excellemment la vénérable et très sainte Vierge Marie. [...] Les lettres Aleph et Beth nous révèlent le Fils unique du Père [...] ». La première et la dernière lettre du mot : aleph et mem, réunies, donnent un mot qui signifie mère, etc.

8Mersenne, lui, ne s’émerveille pas devant ce genre de découvertes ; il crie à l’imposture. Double imposture d’ailleurs, car si les procédés qui y conduisent sont en eux-mêmes condamnables, Pic n’a fait que les emprunter aux rabbins :

  • 17 « La gematrie (ou géométrie) ou science des nombres, que la Cabale étudie dans leur abstraction ; l (...)
  • 18 Mersenne 1623a, col. 701. [ « En vérité, ce mode d’explication ne me plaît pas trop, car il imite b (...)

« Verum hic explicandi modus parum arridet, maxime quia Rabbinorum Ghematriam, & Notariacum17 imitatur, à quibus multa profecta sunt, quae Magi frequenter usurpant18. »

9Pour protester contre cette usurpation, Mersenne va, en quelque sorte, combattre le mal par le mal. Il ne va pas s’en prendre, comme il le fait ailleurs, aux interprétations elles-mêmes, sur le terrain théologique ou philosophique. Il ne va pas tenter non plus, de détruire les faux prestiges de ces procédés de « commutation » des lettres, en déracinant la croyance qui les fait proliférer : la doctrine selon laquelle lettres et mots auraient une puissance propre, possèderaient, de par les correspondances symboliques qui les lient à telles ou telles parties de l’univers ou de l’homme, de puissantes vertus, et pourraient ouvrir l’accès aux plus profonds secrets, si on les dissocie, conjoint, ou permute selon les règles de la Cabale. Tout au contraire, Mersenne va prendre en charge ces procédés ; il va même exposer les règles qui permettront à chacun, si tel est son plaisir, de s’exercer dans le genre d’explication auquel ils conduisent ; ainsi retourne-t-il leur usage contre ceux-là mêmes qui en tiraient gloire :

  • 19 Ibid. [ « Cependant je veux assigner des règles grâce auxquelles quiconque, s’il lui plaît de s’exe (...)

« Attamen regulas assignare velim, quibus aliquis, si lubet, sese in hoc explicandi genere exercere valeat, saltem ut eos refellat, qui hocce modo quosdam errores astruunt, decet enim eos, qui versantur in scripturis omni scientiarum, & artium encyclopaedia instructos esse, vel ut Catholicos instruant, atque confirment in fide, vel ut Atheos, paganos, hereticos, Iudaeos, Schismaticos, & reliquos fidei hostes modis omnibus convincant, & ad veritatem adducant, atque reducant19. »

10Ainsi l’analyse combinatoire va-t-elle entrer en lice pour servir le combat pour la Foi. Il ne sera pas inutile de nous interroger plus loin sur le contexte où s’inscrit ce combat ; mais il importe tout d’abord de voir en détail quelles sont les « règles » que nous expose Mersenne.

2. Règles de calcul

11Les deux premières règles portent respectivement sur les Combinaisons et les Permutations ; puis Mersenne va associer ces deux règles en une troisième, afin d’essayer de résoudre un problème plus général. Notons sans plus attendre, que dans tout ce texte, il ne sera question que de mots dont toutes les lettres sont distinctes les unes des autres.

(a) Combinaisons

12Mersenne va nous donner tout d’abord, en en détaillant le calcul correspondant en quatre points, la règle qui permet de savoir en combien de mutationes diverses peuvent être transposées les lettres d’un mot donné.

13Il faut, c’est le premier point, compter les lettres de ce mot, puis on poursuivra le calcul comme suit :

  • 20 Ibid. [ « Ensuite on doit construire tout autant de nombres, en commençant à l’unité et en augmenta (...)

« deinde numeri totidem constituendi sunt facto ab unitate initio, & ab ea per duplam proportionem ascendendo, donec numeri sint literis aequales.
Tertio. illi numeri sibinvicem addendi sunt.
4. ex numero illo per omnium additionem conflato litterarum numerus auferendus est, numerus enim residuus ostendet, quot mutationibus diversis literae transponi valeant20. »

14Par conséquent, si le nombre de lettres du mot est n, on additionnera entre eux les nombres suivants :

151, 2, 22, ⋯, 2n−1

16Et le nombre cherché des mutationes sera égal à :

17(1 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1) − n.

18Il apparaît ainsi que Mersenne ne considère pas les lettres elles-mêmes, prises une à une, comme des mutationes, et sa règle peut être ainsi retranscrite :

19C(n, 2) + C(n, 3) + ⋯ + C(n, n) = (1 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1) − n.

20On pourra simplifier le calcul de la somme :

211 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1

en utilisant la propriété :

221 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1 = 2n − 1.

23C’est ce que nous dit Mersenne dans un cinquième point, qu’il illustre ensuite par un exemple :

  • 21 Ibid. [ « pour appréhender d’un coup d’œil la somme de tous les nombres joints à l’unité, double le (...)

« 5. ut summam omnium numerorum sibi iunctorum unico deprehendas intuitu, numerum ultimum duplica, & ex summa resultante tallas unitatem, residuum enim dabit numerum quaesitum21. »

  • 22 Id., col. 702.

24Prenons, par exemple, le mot DEUS. On formera la suite de 4 nombres : 1, 2, 4, 8 puisque ce mot a 4 lettres. Pour avoir la somme de ces nombres, on prendra le double de 8 : 16, dont on ôtera 1, ce qui fait 15. Appliquons maintenant la règle exposée plus haut : pour avoir le nombre des mutationes du mot DEUS, il faudra ôter 4 de 15, ce qui donne 11. Mersenne essaie de vérifier par une énumération effective l’exactitude de ce résultat ; mais cette énumération semble faite sans méthode et comporte des erreurs : DEUS, EUS, DUS, DES, DE, DS, DU, EU, ENS, ES, US (DEU manque, alors que ENS n’a rien à faire ici)22.

  • 23 Qua ratione scire possunt, quoties omnium consonantiarum intervalla simul iungi possint, quandoquid (...)

25Mersenne donnera exactement la même règle dans un autre passage des Quaestiones, mais ce sera à propos de questions musicales : il n’y parlera plus de mutationes, mais de coniunctiones23, et donnera un exemple numérique un peu plus compliqué :

  • 24 Id., col. 1539 – 1554.
  • 25 Id., col. 1692 b. [ « Par exemple on dénombre 12 intervalles dissonants, comme il est dit art. 2, d (...)

« Exempli gratia 12 intervalla dissona numerantur, ut art. 2 dictum est24, quorum omnium systematicae coniunctiones usque ad 4083 perueniunt ; praeterque quae numerantur 7 intervalla, quae sunt consonantiae, vt ibidem videre est, quae si modi omnibus cum praecedentibus intervallis misceantur, coniunctiones 521068 inde nascentur25. »

26Pour 12 intervalles, on a :

27213 − 1 − 12 = 4096 − 13 = 4083

28Lorsqu’il se propose ensuite de « mêler » 7 autres intervalles d’un autre type aux 12 intervalles déjà considérés, Mersenne est bien loin de pouvoir envisager, à cette époque, ce qui se passerait si dans ce « mélange », il maintenait le type propre de chaque intervalle. En fait, il va simplement considérer qu’il a affaire en l’occurrence à :

2912 + 7 = 19 intervalles.

30On a alors :

31220 − 1 − 19 = 524288 − 20 = 524268

32Le nombre 521068 avancé par Mersenne provient sans doute d’une erreur de retranscription.

(b) Permutations

  • 26 On lit en marge la remarque suivante : Modus hic anagrammatismus dici potest, quo omnia possibilia (...)

33Passons à un problème différent, qu’on rencontre lorsqu’on cherche, un mot étant donné, à obtenir toutes les anagrammes26 de ce mot, en en renversant ses lettres de toutes les manières possibles :

  • 27 Ibid. [ « Il y a une autre commutation, dans laquelle apparaît toujours le même nombre de lettres, (...)

« Est & alia commutatio, in qua semper idem literarum numerus apparet, per quam omnia rimamur quae sunt in aliquo nomine, quocunque modo susque deque vertatur, dummodo literae omnes semper in qualibet mutatione remaneant [...]27. »

34Le début de la phrase pourrait faire croire que Mersenne change de vocable en abordant ce nouveau problème, et qu’il désignera comme commutatio ce qu’on obtient en intervertissant simplement les lettres d’un mot. Mais en fait, il n’en est rien, et les textes que nous citons montrent que Mersenne emploie ces termes l’un pour l’autre.

35Comment faut-il procéder, pour connaître le nombre des Permutations de n lettres différentes ?

  • 28 Id., col. 702. [ « Il faut d’abord avoir le nombre de lettres, comme plus haut. Puis il faut dispos (...)

« Primo literarum numerus habendus est, ut supra : Deinde totidem numeri serie naturali disponendi sunt incipiendo ab uno. 3. multiplicandi sunt inter se, nam productus inde numerus dabit quaesitum28. »

36Nous trouvons exprimée ici la règle générale permettant de connaître le nombre des Permutations de n lettres différentes :

37P(n) = 1 ⋅ 2 ⋯ n

38Suit une application de cette règle à l’exemple déjà utilisé plus haut, du mot DEUS :

  • 29 Ibid. [ « Donc au lieu des 4 lettres de ce mot Deus, prends ces 4 nombres 1, 2, 3, 4, dont le résul (...)

« Igitur pro 4 litteris dictionis istius Deus sume hos 4 numeros 1. 2. 3. 4. quos omnes si in se invicem duxeris, summula 24 resultabit ideoque concludes nomen Deus, & alia quadrilatera nomina vigesies [viginti] & quater, seu modis 24 posse variari [...]29. »

(c) Essai d’appliquer à un même mot ces deux types de commutatio

39C’est à dessein que Mersenne a choisi le même mot Deus pour illustrer ses deux premières règles, car il va tenter maintenant, en les appliquant simultanément à un même mot, de rassembler les résultats auxquels elles aboutissent chacune de leur côté.

40On devine aisément ce qu’il vise, ce faisant. Il voudrait faire jouer sur le même mot les deux types de commutatio (ou mutatio) dont il avait traité séparément. Mais on ne saurait affirmer qu’il ait aperçu distinctement la nature de ces deux types. Qu’on en juge en effet par le calcul auquel il va se livrer. Cherchant donc à obtenir toutes les commutationes auxquelles peut donner lieu le mot Deus, Mersenne va ajouter :

41— toutes les Permutations des 4 lettres du mot Deus,

42— les Combinaisons des 4 lettres du mot Deus prises 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4 ; mais on ôtera 1 du nombre de ces Combinaisons parce que le mot Deus lui-même est déjà compté une fois dans le nombre des Permutations :

  • 30 Ibid. [ « Tu as donc dans un mot 24 commutations, et mots, qui ont ou non une signification, et out (...)

« Habes ergo in una dictione 24 commutationes, & dictiones, sive illae significent, sive non, praeter quas impossibile est novas alias in dictione Deus reperire, quibus si praecedentes 11 adiungas, vel potius 10, quia deus in utroque modo reperitur, in una 4 literarum dictione 34 mutationes diversas, imo & dictiones habebis, tametsi non omnes significent30. »

43Alors qu’il prend en considération les Permutations des lettres du mot Deus, lorsqu’elles sont prises 4 à 4, Mersenne ne tient pas compte du fait qu’elles pourraient être aussi permutées lorsqu’elles sont prises 3 à 3, ou 2 à 2. Tout porte à penser qu’il aurait désiré calculer :

44A(4, 4) + A(4, 3) + A(4, 2)

  • 31 Mersenne reprend un calcul analogue pour les 6 lettres du mot Beresit écrit dans l’alphabet hébreu. (...)

et que son dénombrement est donc fautif par omission31.

45Une semblable erreur d’appréciation montre combien Mersenne était peu versé, à cette époque, dans ce genre d’exercice. Mais peut-être ne faut-il pas lui imputer cette erreur, de même qu’il ne conviendrait pas de lui attribuer le mérite d’avoir formulé plus haut deux règles exactes ! Il est fort vraisemblable à nos yeux, et on verra mieux pourquoi dans la suite, que tout le texte que nous venons d’analyser n’est pas de Mersenne ; il ne nous a pas été possible, toutefois, d’en déterminer la source exacte.

3. Textes de cabalistes sur les « commutations » des lettres de l’alphabet ; différents résultats correspondant à des types de calculs distincts

  • 32 Id., col. 1692b.
  • 33 Cf. ci-dessous, Première Partie, ch. 3, B, 3, A, p. 129.

46Toujours est-il qu’aussi modestes et peu personnelles que soient ses connaissances, Mersenne en tire déjà un profit tout personnel. Elles lui suffirent pour justifier la première de ces exhortations qu’il ne cessera d’adresser aux musiciens32, et dont nous aurons à rendre compte plus loin33. Mais, dans ces Quaestiones où il revient si souvent à la charge contre toute sorte d’hérésies, on retiendra surtout qu’il croit ces connaissances propres à confondre les cabalistes et leurs imitateurs.

  • 34 quod sane stupendum est. (Mersenne 1623a, col. 1692b.)
  • 35 Cogita vero quantus commutationum numerus ex toto alphabeto 22, aut 24 literarum oriretur, si quis (...)

47Avec 6 lettres, on peut former 776 mots : cela est tout à fait stupéfiant34 ! Mais combien plus élevé serait le nombre des commutationes auxquelles peut donner lieu un alphabet de 22 ou de 24 lettres35 ! Cette réflexion laisse présager bien des recherches et bien des surprises futures ; et si elle ne débouche pas sur un calcul effectif, on y sent déjà l’ardente fierté de l’Arithméticien qui se sait capable de se mesurer aux plus grands nombres. C’est sur ce terrain que, dans un autre passage des Quaestiones, il lancera un défi orgueilleux aux cabalistes :

  • 36 Mersenne 1623, col. 1390. [ « Ô hommes doctes qui affirmez pouvoir parvenir à la connaissance de to (...)

« O doctos homines, qui solis literarum commutationibus se in omnium rerum cognitionem devenire posse affirmant ; cur obsecro hisce commutationibus non intenditis ? an quia numerus illarum, quem his notis exprimitis 112400259082719680000 explicari nequit ? at totum hunc numerum unius diei Arithmeticus efferet, quandoquidem centum quintiliones non superat36. »

48Quoi, ces prétendus savants soutiennent que par les seules « commutations » des lettres, on peut parvenir à connaître toutes choses, et ils ne consacrent pas toute leur attention au calcul de ces « commutations » ? Est-ce parce que leur nombre leur paraît impossible à expliquer ?

49On saisit mal le sens de cette dernière accusation. Mersenne veut-il dire simplement que le nombre cité est si grand qu’il paraît incompréhensible à de tels esprits, mais qu’il n’impressionne nullement l’Arithméticien ? En fait nous avons retrouvé une accusation du même genre, mais plus précise, dans un passage de La Vérité des sciences où Mersenne parle de grands nombres :

  • 37 Mersenne se réfère ainsi à ce que nous appelons la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, où (...)
  • 38 Le Père F. Zorzi, vénitien, dit également Giorgio ; en 1623, Mersenne consacra un ouvrage entier à (...)
  • 39 Mersenne 1625, p. 439.

« Vous en pouuez voir vn beaucoup plus grand dans le deuxiesme Tome sur la même Genêse, qui a 285 characteres37, & conclurre que François George Venitien38 a été deçeu quand il a dit dans la septiesme section de ses problêmes, problême 244, que la combination des lettres, & des poincts Hebraïques ne pouuoient pas estre nombrée par les hommes, car le nombre qui signifiroit toutes les combinations des susdites lettres, des poincts & des accents Hebrieus n’auroient pas nonante caracteres, comme nous pourrons montrer quand nous parlerons des combinations39. »

50Le « problême 244 » visé par Mersenne est le suivant :

  • 40 Francesco Giorgio, In Scripturam Sacram, et Philosophos, tria millia Problemata, Paris : J. Bessin (...)

« Quot indiuidua facta sunt, prout ex aliqua coniectura deprehendi potest ? Nonne, si literae sunt materiales compositorum partes, ex eis, omnibus modis possibilibus coniunctis, deprehendere possumus numerum rerum creaturarum : qui supputari, potest, proferri vero nequaquam, nisi ab eo, qui numerat multitudinem stellarum, & pillos capitis, & arenam maris & pluuiae guttas ? Ex omnibus enim literarum combinationibus secundum regulas secretiorum Theologorum infaillibiles, absque punctorum aliqua immixtione hic numerus resultat : videlicet 1124002590827719680000. Si vero permixtiones cum punctis addantur, erit numerus nec expressibilis nec supputabilis à nobis : Deo proculdubio cognitus40. »

  • 41 Sérouya 1947, op. cit., p. 128 – 138 ; Georges Vajda, Introduction à la pensée juive du Moyen Âge, (...)

51Le début du texte fait allusion à la sorte de théogonie combinatoire qu’on trouve dans un des livres qui joua un très grand rôle dans la Cabale : le Sefer Yessirah (ou Livre de la Création41). Les vertus symboliques des 22 lettres de l’alphabet hébreu y tiennent une grande place. Il y est dit que le Créateur, lorsqu’il a tracé, découpé, multiplié, pesé et interverti ces lettres, a créé tout ce qui est. D’où l’espoir de connaître le nombre des créatures à partir d’une spéculation sur toutes les manières dont on peut conjoindre les lettres entre elles. Blaise de Vigenère nous explique plus nettement que le Père Zorzi pourquoi cet espoir est déçu :

  • 42 Cf. ci-dessous, p. 78.
  • 43 Cf. ci-dessous, p. 139.
  • 44 Vigenère 1587, fol. 42. (Sur cet auteur, cf. plus bas p. 103.) Claude Duret a repris ce développeme (...)

« Et ont esté les Cabalistes si speculatifs, parauenture trop curieux, entant que la coniecture de l’esprit humain s’est peu estendre, de penser par les diuers assemblemens des lettres, atteindre à sçauoir le nombre des choses créées ; qui se pourroit bien supputer, mais nompas proferer, ny presque comprendre, fors de celuy qui sçait le compte des estoilles, & leur donne à toutes des noms ; des poils estans en nostre teste, & tout le reste de la personne ; des grains de sablon ; & goutes de pluye : Car de la diuersité des Ziruphs42, ou accouplemens, & suittes de lettres, sans aucun meslange de points, vient à resulter vn nombre, qui est autant comme infiny pour nostre regard ; assauoir 112400259082719680000. Que si l’on y veut adiouster les points, le nombre ne se pourroit pas exprimer, ny conceuoir presque de nous ; combien qu’Archimede en son traicté de l’Arene se soit ingeré de trouuer vne maniere de compter qui va iusques en infiny43 : mais cela est reserué au seul Dieu, & passe l’apprehension de ses creatures [...]44. »

  • 45 Cf. Mayer Lambert, Commentaire sur le Séfer Yesira ou Livre de la Création par le Gaon Saadya de Fa (...)
  • 46 Le nombre donné par Mersenne concorde avec celui de Vigenère. Celui que donne le Père Zorzi comport (...)

52Quelle est tout d’abord se demandera-t-on la signification de ce nombre qui est « comme infiny pour nostre regard » ? On le devinera en lisant dans le Sefer Yessirah l’explication de la manière dont les lettres « se multiplient » : « [...] c’est que de deux lettres dérivent deux mots, de trois lettres six mots, de quatre lettres vingt mots [sic], de sept cinq mille quarante, et après cela tu peux compter jusqu’à ce que la bouche ne peut dire, ni l’oreille entendre45 ». Il s’agit on le voit de la règle des Permutations ; or les nombres que nous avons rencontrés dans les textes précédents46 présentent une analogie frappante avec le nombre des Permutations de 22 lettres :

53P (22) = 1124000727777607680000

54nombre qui commence et finit comme les nombres précités qui proviendraient donc soit d’une erreur de calcul, soit d’erreurs de retranscription.

  • 47 Mersenne suit sans doute Vigenère lorsqu’il écrit dans L’Impiété des déistes, Mersenne 1624, vol. I (...)

55Très curieusement, c’est encore de Blaise de Vigenère que nous apprenons dans le même ouvrage l’existence d’un nombre « trop plus grand sans comparaison que celuy qui a esté touché cy deuant », nombre dû au calcul des mêmes cabalistes, et dont nous apprenons cette fois-ci sans ambiguïté le mode de calcul47. Vigenère donne en effet la règle permettant de connaître les Arrangements avec répétition de 22 lettres :

56A(22, n) = 22n

57Le grand nombre qu’on lira ci-dessous voudrait donc représenter A(22, 22) ; en fait, le calcul est erroné, et ce nombre n’a en commun avec A(22, 22) que ses deux premiers chiffres (3, 4) et le fait de comporter le même nombre de chiffres :

  • 48 La référence de la page manque ; il s’agit très certainement de la « page » 42 que nous avons citée (...)
  • 49 Vigenère 1587, op. cit, fol. 81 v°.

« [Ce nombre de 22 est] en vn si grand predicament enuers les Cabalistes, qu’ils se sont imaginez de pouuoir par le fondement d’icelui arriuer à cognoistre celuy des Estoilles [...] & ce par les reiterees multiplications des 22. lettres, qui arriuent finablement à vn nombre incompréhensible ineffable ; trop plus grand sans comparaison que celuy qui a esté touché cy deuant en la page48 car cestuy-cy monte à 340342437295386858641036799104. Que si l’on vouloit adiouster ensemble toutes les 21. multiplications chacune à par-soy, que seroit-ce ? mais ils ne commancent qu’au Beth, d’autant que l’Aleph qui représente l’vnité ne peult rien produire multipliée de soy seule, & en soy : & font ainsi, 22. fois 22. font 484.22. fois 484. pour le Gimel 10648. Et ainsi du reste ; laquelle curiosité de numeration est de vray du tout friuole & incertaine ; car quel fondement y peult-il auoir en cela ? n’estant qu’vne couuerture, sans bien peu ou rien d’apparence de vraysemblable ; aussi bien que celle dont les Talmudistes s’efforcent de nombrer les anges par vne autre voye [...]49. »

58À propos toujours du nombre des étoiles, Scipion de Gramont nous met sous les yeux encore un autre grand nombre :

  • 50 Scipion de Gramont, De la nature, qualitez et prerogatives admirables du poinct, Paris : M. Daniel, (...)

« Les Caballistes en mettent autant qu’il y a d’Anges, & disent qu’il y a autant d’Anges, comme d’especes des choses creées, & que le tout reuient au nombre que font les combinations des vingt & deux lettres de l’alphabet exprimé par ces caracteres
1177 321 905343 428 940 313.
La quantité duquel nombre, pour ne pouuoir estre exprimé par des termes intelligibles, ny compris a faict par la conception, qui ne nous en sçauroit former qu’une image confuse & indeterminée, nous le dirons plustost innombrable que non pas infini50. »

59Ce nombre – dont nous ne sommes pas sûrs qu’il nous soit ici transmis directement – voudrait très certainement représenter la somme :

60P (1) + P (2) +... + P (22).

61Il concorde en effet avec le nombre obtenu par cette somme pour les 4 premiers chiffres et les 11 derniers chiffres (mais comporte 2 chiffres de plus).

62À lire ces textes, le premier reproche adressé par Mersenne aux cabalistes paraît bien injustifié : ils s’étaient bien adonnés au calcul des « commutations » de lettres, et dans plusieurs directions. Mais il est vrai, si l’on en croit du moins leurs commentateurs, que chaque fois, ils mettaient des bornes à la puissance du calcul, retenus qu’ils étaient par la peur de profaner des secrets divins s’ils allaient au-delà de certaines limites. Mersenne serait ici certainement d’accord avec Scipion de Gramont pour rejeter comme tout à fait impropre le qualificatif d’« infini » conféré de manière irréfléchie à de telles limites ; mais il n’accepterait pas davantage l’adjectif « innombrable ». À ses yeux, Archimède a bien découvert dans son Traité de l’Arénaire, « vne maniere de compter qui va iusques en infiny », et c’est là une des plus belles merveilles de l’arithmétique.

63Il n’en reste pas moins que vient de se révéler à nous, derrière l’allusion de Mersenne dont nous essayions de percer le sens, tout un passé insoupçonné de l’analyse combinatoire.

4. Critiques de Mersenne contre les procédés des cabalistes ; nature combinatoire de ces procédés

64Or il en ira tout à fait de même des critiques dirigées par Mersenne contre les divers procédés de transpositions de lettres utilisées par les cabalistes. Ces critiques qui lui tiennent à cœur et qu’il développe longuement pourraient se résumer d’un mot : aucune règle déterminée et raisonnable ne gouverne de tels procédés ; on peut par conséquent en tirer tout ce qu’on veut ; ils ne présentent donc aucun intérêt.

  • 51 Lenoble 1943, p. 102, note 2.

65C’est ce même argument que Mersenne oppose aux interprétations tirées de la valeur numérale des lettres d’un mot ; ayant assigné un nombre à chaque lettre de l’alphabet, les cabalistes se faisaient fort ensuite de montrer que les sens de deux mots différents pouvaient être confondus, parce que les valeurs numérales de ces deux mots se révélaient identiques au terme de telle ou telle opération arithmétique. Mersenne s’amuse à montrer aux rabbins par un procédé analogue que Jésus est bien le Messie51. D’ailleurs on trouve chez les cabalistes autant d’interprétations que d’auteurs.

  • 52 Id., p. 106.

« Voici par exemple deux alphabets cabalistes : celui de Cattano et celui de Cornelius Agrippa, où sont indiquées les valeurs numériques des lettres. Ils ne concordent pas. Mersenne en propose même aimablement un troisième, qu’il tient, dit-il, d’un onomancien, et qui n’a aucun rapport avec les précédents. Cette prétendue science n’est donc qu’un amas de contradictions52. »

  • 53 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, vol. 2, p. 259.
  • 54 Id., p. 528.

66Aussi peu fondées, et aussi insensées sont les conclusions qu’on voudrait tirer des « métathèses » des noms. Des oreilles chrétiennes supporteront mal qu’on prononce « sued » au lieu de « deus », et « seius » au lieu de « Iesus53 ». Pas plus de sérieux dans ce genre d’exercices que dans ces anagrammes de noms de personnes où l’on voudrait lire louanges ou blâmes : s’il y a parfois quelque vérité dans ces anagrammes, ce n’est que par accident54. En fin de compte, pour choisir telle « commutation de lettres » plutôt que telle autre, les rabbins n’ont d’autre motif que leur propre fantaisie :

  • 55 Id., p. 529. [ « Pourtant, les Rabbins ne peuvent offrir d’autre raison pour préférer une commutati (...)

« [...] non tamen aliam rationem affere possunt Rabbini cur unam potius litterarum commutationem, quàm aliam approbent, nisi quia suae mentis figmentum sequi volunt, atque ita sit pro ratione voluntas55. »

  • 56 Cf. ci-dessous, page 80.

67Ces accusations sont d’ordre si général qu’on voit mal, de prime abord, quel lien elles peuvent avoir avec l’analyse combinatoire. Mersenne, avons-nous dit, enrôle cette dernière dans son combat pour la Foi, mais n’est-ce pas association d’idée mal fondée s’il fait suivre d’un exposé sur les combinaisons les sarcasmes dont il accable Pic de la Mirandole ? À dire vrai, Mersenne ne s’est pas expliqué lui-même sur l’usage polémique qu’il pensait pouvoir faire de ses règles de calcul. Mais une remarque, sans doute assez vague, mais qui n’est pas sans portée, nous le laisse deviner. Elle concerne le procédé dit des Ziruphs qui consistait à établir des alphabets de substitution en associant deux à deux les 22 lettres de l’alphabet56. Ce sont là pures inventions humaines ; qui a décidé d’associer telle lettre avec telle autre, et, poursuit Mersenne, pourquoi associer les lettres deux à deux, et non pas trois à trois, ou autrement ?

  • 57 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, vol. 2, p. 258. [ « Est-ce qu’ils peuvent avec deux, t (...)

« [...] nunquid cum duabus, tribus & pluribus aliisque litteris [aleph] & caeterique characteres non tantum combinari, sed et triplicari, vel si dici fas est contrinari possunt57 ? »

68Tirons les conséquences de cette objection : artificieux, les procédés des cabalistes le sont en quelque sorte intrinsèquement, parce que leur fait défaut toute justification théologique ou philosophique, mais leur caractère arbitraire éclatera de manière encore plus criante, si l’on imagine les procédés analogues qu’on pourrait mettre à contribution. Tant qu’on s’enferme dans l’application d’un procédé particulier, l’esprit peut se laisser abuser par des rencontres qui paraissent merveilleuses. Jetez donc les yeux sur d’autres procédés, et vos illusions tomberont. Plus sont nombreux les modes de combinaison, et plus paraît arbitraire le choix qu’on fait de tel ou tel d’entre eux. Or la multitude de ces modes est attestée par des règles mathématiques. Celles-ci révèlent tout un fonds de possibilités en regard desquelles les jeux cabalistiques paraissent dérisoires.

  • 58 Lenoble 1943, chap. III.
  • 59 Id., chap. VI.

69Sans qu’il l’ait explicitée aussi nettement, telle est la ligne où s’inscrit l’attitude critique de Mersenne. Il est ici du côté de tous ceux qui ont lutté contre la magie des nombres ou des lettres, en la dépouillant de l’habit mathématique qu’elle voudrait usurper. Et son premier contact avec les combinaisons prend place dans la lutte qu’il avait entreprise contre la fausse science des naturalistes58, et dans la réalisation de son grand dessein : l’apologétique scientifique59.

70L’objet de notre étude nous interdit cependant ici des oppositions trop simplistes. Maintenant que nous voilà assurés que les cabalistes possédaient quelques règles d’analyse combinatoire, nous ne saurions, comme le fait R. Lenoble dans une autre perspective, condamner en bloc la Cabale comme une variété de l’animisme. Toute la magie de l’arithmologie pythagoricienne ne fait pas que l’historien des mathématiques s’en désintéresse.

  • 60 Scholem, op. cit., p. 148-150. Cette « science » est décrite par Abulafia comme un guide méthodique (...)

71Et même au-delà d’informations précises sur le savoir mathématique auquel ont pu parvenir certains cabalistes, on pourrait s’interroger sur ce que nous avons appelé la théogonie combinatoire du Sefer Yesirah, comme sur cette surprenante « science de la combinaison des lettres » exposée par Abulafia60. On pourrait également se demander si et comment la pratique habituelle de certaines méthodes d’interprétation symbolique pouvait ouvrir la voie à une vue plus réfléchie des « combinaisons ».

72Pour notre part, nous nous contenterons de demander à Mersenne lui-même le relevé de telles méthodes :

  • 61 Cf. ci-dessus, p. 77. Ce procédé qui ne nous concerne pas ici uttilise les valeurs numérales des le (...)
  • 62 Cf. ci-dessus, chap. I. A, 1.
  • 63 Jean Léon lança cet autre avatar de la Cabale dans son Histoire de l’Afrique. Les Renaissants s’y i (...)
  • 64 Mersenne 1624, vol. I, p. 163 – 166. [ « [...] À ce propos, Dieu a pesé les lettres et les a permut (...)

« La premiere façon s’appelle Etbas, c’est-à-dire transposition de lettres, ce qui se fait en deux sortes ; Premierement par équivalence de nombres, lors que deux dictions contiennent une mesme somme61 [...]. L’autre sorte est par metatheses, & anagrammes, telles que sont celles desquelles ie me suis seruy pour explicquer la premiere parole de l’escriture saincte Beresit, en la 4. question62 art. 2. & 3. La seconde façon est appelée Themurah, qui fait les changemens materiels ; la troisiesme Ziruph, laquelle fait les mutations, & combinations formelles, & n’est guere esloignee du Zairagia63 des Mores or par cette uoye, ils conioignent les 22 lettres de leur Alphabet, selon qu’ils ont appris du Iezira, qui parle ainsi, Qua de re appendit litteras Deus, & permutauit eas, Aleph cum omnibus, & omnes cum Aleph, Beth cum omnibus, & omnes cum Beth afin qu’ils ayent 22 Alphabeths64. »

  • 65 Sérouya 1947, p. 103 – 104.

73En fait, ce n’est là qu’une classification possible et on en trouve bien d’autres chez les cabalistes et leurs commentateurs65. Schématiquement, on pourrait distinguer :

74— les anagrammes au sens strict : un mot étant donné, on conserve toutes ses lettres, et on les permute entre elles ;

  • 66 Vigenère 1587, fol. 93 v°. Cf. Fol. 95 r°une « Table des Ziruphs, ou commutations d’alphabets ».

75— le procédé consistant à grouper 2 à 2 les lettres de l’alphabet, et à considérer les lettres ainsi associées comme équivalentes entre elles. D’où la « Table des Ziruphs » : « ce sont diuers assemblemens de deux lettres, & les permutations qui peuuent estre de l’vne en l’autre66 ». Ce que Duret précise dans les termes suivants :

  • 67 Cf. Guillaume Postel, Abrahami patriarchae liber Iezirah, sive Formationis mundi, Paris : G. Postel (...)

« [...] maintenant il est tres necessaire de parler & traicter en ce lieu de l’autre mystere des susnommez Hebrieux nomme Ziruph, ou Ziruf, c’est-à-dire Combination, que nous pouvons dire ou expliquer accouplements & eschangements formels de lettres Hebraiques, quand on les transporte & commuë de leur vraye faculté & puissance, en d’autres avec des transpositions & commutations reciproques de lettres simples ou doubles telles qu’elles peuvent, ou puissent estre [...]. Et lequel Ziruph ou Ziruf, mot derivé du verbe Hebrieu [...] Zaraf, (ainsi que le deduict amplement Guillaume Postel en ses Commentaires sur le Iezirah) qui signifie en langue hebraique repurger, se fait par la disposition & conionction de deux en deux, des lettres de l’Alphabet Hebrieu, & mariant & accouplant Aleph avec toutes les susdites lettres, Beth, de mesme, Ghimel, pareillement, & ainsi les autres sequentes, & de ces mariages & accouplements les Hebrieux embrassent autant d’ordres & rengs qu’il y a d’Elemens Hebrieux, qui sont 22. en tout l’Alphabet Hebrieux67. »

76Un fait au moins se dégage des seules citations précédentes, et il mérite réflexion : les mots qu’utilisent les cabalistes sont ceux-là mêmes qui fourniront à l’analyse combinatoire son vocabulaire.

B. Un texte de La Vérité des sciences. Plagiat par Mersenne d’un texte de Clavius

77Dans le passage du De arte combinatoria où il s’interroge sur ceux qui l’ont précédé dans l’étude de cet art, Leibniz déclare en terminant :

  • 68 Leibniz 1666/1965, p. 39. [ « Christophe Clavius a exposé d’une manière particulièrement claire tou (...)

« Imprimis dilucide quicquid dudum habetur, proposuit Christoph. Clavius in Com. supra Joh. de Sacro Bosco Sphaera. edit. Romae forma 4ta anno 1585 p. 33 seqq.68. »

  • 69 Cf. Pascal 1908-1914, vol. III, p. 442.
  • 70 Né à Bamberg en 1537 [N. D. É. : La date du 25 mars 1538 est maintenant adoptée par les spécialiste (...)
  • 71 In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius. Selon une pratique très ancienne, et qui se prolon (...)
  • 72 Cf. Étienne Gilson, Texte et commentaire du Discours de la méthode de R. Descartes, Paris : Vrin, 1 (...)
  • 73 Mersenne 1625, cf. par exemple p. 457, 499, 522, 707, 826, et particulièrement p. 711 où Mersenne d (...)

78Cette référence, tout en signalant un texte qui a son importance, nous a révélé un plagiat insoupçonné de Mersenne. Dans ces mêmes pages de La Vérité des sciences qui ont été considérées comme une de ses premières contributions à l’analyse combinatoire69, il suit en effet d’assez près une curieuse digression que Clavius70 avait glissée dans un ouvrage d’astronomie et de géographie71. S’il est extrêmement probable que Descartes ait connu les œuvres de Clavius, dès sa jeunesse, au Collège de la Flèche72, il en fut sans doute de même pour Mersenne. Ce dernier, précisément dans La Vérité des sciences, mentionne à plusieurs reprises, et non sans éloges, les œuvres du savant jésuite73 qui furent une des sources principales de sa propre culture mathématique. Pourtant, il en a tu le nom, au moment même où il le mettait le plus directement à contribution. Peut-être jugeait-il superflu de préciser dans un ouvrage de vulgarisation une référence que les spécialistes sauraient identifier sans mal.

79D’ailleurs à larcin, larcin et demi. Il est fort vraisemblable que Clavius ne tire pas de son propre fonds tout ce qu’il va nous apprendre. Ne justifie-t-il pas sa Digression par le petit nombre des auteurs qui ont traité de ces questions ?

  • 74 [ « J’ai trouvé bon d’insérer à cet endroit ces choses concernant les combinaisons, puisqu’il en av (...)

« Placuit haec de combinationibus inserere huic loco, quoniam mentio facta fuerat combinationum, & a paucis huiusmodi regulae explicari solent74. »

80En petit nombre ou non, ces auteurs devaient lui être connus, mais nous ignorons pour notre part qui ils étaient.

1. Analyse du texte de Clavius

  • 75 L’ouvrage de Clavius cité ci-dessus parut pour la première fois à Rome, en 1570 (Cf. Sommervogel 18 (...)
  • 76 [Digression très belle à propos des combinaisons ou comparaisons des choses]. Nous citerons, dans c (...)

81Examinons tout d’abord les pages où Clavius75 développe une Digressio pulcherrima de rerum combinationibus sive comparationibus76. Cette digression n’a curieusement pour seul prétexte que la considération du nombre des « éléments ». Problème simple en vérité que celui de savoir combien on peut former d’« éléments » à partir des quatre « qualités » prises deux à deux : le chaud, le froid, le sec et l’humide ; le nombre des combinaisons à former n’est pas, semble-t-il, à ce point élevé qu’il faille un calcul pour en vérifier l’exactitude... Aussi est-ce sans doute par esprit de rigueur que Clavius demandera à une règle générale de démontrer avec certitude qu’il y a en l’occurence six combinaisons possibles et non davantage.

  • 77 Hae autem omnes combinationes luce clarius in figura proposita conspiciuntur [ « Mais toutes ces co (...)
  • 78 Leibniz 1666/1965, p. 34. Cf. p. 45 : Apposuimus Schema (vide paginam titulo tractatus proximan), q (...)

82Est-ce rencontre fortuite cependant si la digression sur les combinaisons vient se greffer sur un antique problème tout auréolé de l’attention que lui ont prêtée « es Philosophes » ? Sans qu’apparaisse ici en toute lumière le sens de cette jonction, celle-ci ne symbolise-t-elle pas déjà l’ambition d’un art qui s’ouvre ainsi la voie et qui se voudra la science de l’ordre en tant qu’ordre ? N’y a-t-il pas dans l’entrecroisement des lignes qui figure la constitution des « éléments77 » comme l’emblème de l’art qui se donne pour but de lier et ranger toutes chose ? De fait, c’est cette même figure, prise sans doute dans l’ouvrage même de Clavius qui ouvrira le De arte combinatoria de Leibniz78.

83Reprenons maintenant point par point cette « très belle Digression » au demeurant fort bien et clairement conduite.

(a) Combinaisons

84Clavius a commencé, avons-nous dit, par se demander, quatre qualités étant données, comment on peut les conjoindre ensemble deux à deux (quot modis primae hae quatuor qualitates inter se possunt coniungi), combien elles forment de combinationes ; ce à quoi suffit une simple énumération. Mais quelle est la règle lorsque le nombre des choses données n’est plus 4, mais est quelconque ?

85Il faut multiplier ce nombre par le nombre immédiatement inférieur ; la moitié du nombre obtenu par ce produit indiquera combien il peut y avoir de combinaisons entre les choses proposées.

86Cette règle peut prendre deux formes :

87— si le nombre donné de choses est pair : il faut multiplier la moitié de ce nombre par le nombre immédiatement inférieur ; exemple :

88— si le nombre donné de choses est impair : il faut multiplier ce nombre par la moitié du nombre qui lui est immédiatement inférieur ; exemple :

(b) Règle de la « proposition double »

89Qu’advient-il maintenant si les choses proposées sont prises non seulement deux à deux, mais trois à trois, quatre à quatre, etc.?

  • 79 Clavius 1611-1612, In Sphaeram, vol. III, p. 18. [ « Que si l’on souhaite savoir, un certain nombre (...)

« Quod si scire placuerit, quotcunque rebus propositis, quot simpliciter coniunctiones ex ipsis possint fieri, non solum intelligendo, quando binae sumuntur, ut in praecedenti regula, sed etiam quando ternae, quaternae, quinae, & c. hoc est, quotnam modis distinctis inter sese possint comparari, efficietur id hac arte, & regula79. »

90En fait nous ne sommes pas ici en présence d’une règle analogue à la règle précédente ; il ne s’agit pas de calculer C(n, 3), C(n, 4), etc. (problème dont Clavius ne dira mot) mais de savoir, selon l’image éclairante que nous avons soulignée dans le texte précédent, en combien de manières différentes les choses données peuvent être comparées entre elles.

91Prenons, en commençant par l’unité, autant de nombres en proportion double qu’il y a de choses proposées ; puis soustrayons de la somme de ces nombres le nombre des choses proposées ; le nombre obtenu indiquera combien on peut effectuer de « comparaisons différentes ».

92n étant le nombre des choses proposées, le nombre de ces comparaisons sera donc :

93(1 + 2 + 22 + ⋯ + 2n−1) − n.

  • 80 Cf. en effet Christophorus Clavius, Epitome arithmeticae praticae, Rome : D. Basa, 1585, cap. 25 : (...)

94Or, on a selon une règle pour laquelle Clavius renvoie à son Arithmetica practica80 :

951 + 2 + 22 + ⋯ + 2n = 2n+1 − 1.

  • 81 Pour n = 5, Clavius donne un exemple tiré de la logique : Hac ratione inter quinque res, vt inter q (...)

96Clavius donne pour exemples les cas où n = 4, n = 5, n = 7. Ce dernier cas concerne le problème traditionnel des conjonctions des 7 planètes81. Clavius se demande ensuite combien on peut former de mots « utiles ou inutiles » avec les 23 lettres de l’alphabet, c’est-à-dire de combien de manières différentes ces 23 lettres peuvent être conjointes entre elles, de telle sorte qu’il s’agisse toujours de conjonctions différentes, prononçables ou imprononçables. Il y en a :

97(223 − 1) − 23 = 8388584.

(c) Permutations

98Cet agrégat, ou conjonction de lettres AVE, peut être varié de 6 manières différentes, à savoir AVE, AEV, VAE, VEA, EVA, EAV : mais dans la règle précédente, nous n’avons compté ces différents modes que pour une seule conjonction, puisqu’ils contiennent les mêmes lettres, bien que celles-ci changent mutuellement de place (qui quidem modi sumpti sunt à nobis in regula pro una duntaxat coniunctione, quoniam omnes hi modi easdem continent literas, quamvis inter se locum mutent).

99On peut donc se poser un nouveau problème : soit un nombre donné de choses ; ce nombre restant constant, en combien de manières peut-on les permuter entre elles (quotnam modis illae inter se possint commutari) ?

100La règle de calcul sera la suivante : il faut, en commençant par l’unité, prendre autant de nombres dans la suite naturelle des nombres qu’il y a de choses proposées, et multiplier ces nombres entre eux.

101P (2) = 1 × 2 = 2 : en effet, si on a 2 lettres A, B, chacune pourra occuper le premier lieu (Nam quaevis primum occupabit locum, hoc modo, AB, BA).

102P (3) = 1 × 2 × 3 = 6 : en effet, une des 3 lettres se trouvant au premier lieu, les deux autres pourront être permutées de 2 manières différentes. (Ratio huius est, quoniam unaquaeque res primum tenebit locum semel, & reliquae duae bis possunt, ut diximus, mutari inter sese.)

103On peut répéter un raisonnement analogue pour P(4), et le calcul effectué pour P(10) donne :

104P (10) = 3628800.

105On est surtout frappé, sur ce sujet des Permutations par le vocabulaire que lui réserve Clavius : permutari, variari, commutari, mutari.

(d) Un projet de calcul ambigü ; calcul de A (22, 22)

106L’usage des Permutations permet d’augmenter le nombre des mots que l’on peut former avec les 23 lettres de l’alphabet. Si une coniunctio déterminée est considérée comme un ensemble non ordonné de lettres, on pourra à partir d’elle, former plusieurs mots : il suffira, pour cela, de permuter entre elles, de toutes les façons possibles, les lettres que contient cette coniunctio :

  • 82 Clavius, op. cit., p. 18. [ « Il est vrai qu’on peut faire plusieurs mots, ou conjonctions de lettr (...)

« Verum est plures dictiones fieri posse, sive literarum coniunctiones, si literae in quavis coniunctione permutentur inter sese82. »

107Ayant enseigné le mode de calcul de ces Permutations, Clavius va maintenant avancer une affirmation trop imprécise pour que l’on sache vraiment ce qu’il avait dans l’esprit :

  • 83 Ibid. [ « Donc, une fois connues par l’exemple précédent toutes les conjonctions des 23 lettres de (...)

« Postquam igitur per documentum praecedens omnes coniunctiones viginti trium literarum alphabeti cognitae fuerint, si inquiratur per hanc regulam quot modis literae uniuscuiusque coniunctionis inter se commutari possint, habebitur numerus omnium dictionum utilium & inutilium, dummodo in una dictione nulla litera bis, vel ter, & c. accipiatur83. »

108Il pourrait sembler, à une première lecture de ce passage, que Clavius se propose ici, après avoir traité des Combinaisons, d’aborder le calcul des Arrangements : il nous a enseigné précédemment à connaître toutes les coniunctiones des 23 lettres de l’alphabet, et nous dit qu’en appliquant à chacune de ces conjonctions la règle des Permutations qu’il vient d’exposer, on obtiendra le nombre de tous les mots possibles (en supposant qu’aucune lettre ne se répète dans chacun de ces mots). Cela signifie-t-il que Clavius cherche à obtenir A(23, i) à partir de C (23, i) ?

109Peut-être a-t-il soupçonné le problème, mais on ne voit pas qu’il ait eu les moyens de le résoudre : il ne dit mot, en effet, ne l’oublions pas, de la règle qui permettrait de calculer C(23, i) pour i > 2. Aussi ne livre-t-il pour seul exemple que le cas particulier où le calcul du nombre d’Arrangements se ramène à un calcul de Permutations :

110A(23, 23) = P (23) = 23 !

  • 84 À savoir, les considérations exprimées dans la phrase citée plus haut.
  • 85 Clavius, op. cit., p. 19. [ « De cette manière, il y a 25852016738884976640000 permutations des 23  (...)

« Hac ratione84 ex ultima coniunctione viginti trium literarum sese constituentur permutationes 25852016738884976640000 [...]85. »

  • 86 Cf. également plus bas, ch. 2. 2, les prolongements que donna Guldin à ce passage de Clavius.

111Le texte de Clavius s’achève ainsi sur des considérations pour le moins ambiguës, et Mersenne aura toute excuse de s’être empêtré, ainsi que nous allons le voir, pour avoir cherché à en préciser les intentions86.

2. Comparaison entre le texte de Clavius et sa reprise par Mersenne

112Mersenne ne s’est pas contenté de plagier Clavius : il l’a embrouillé à plaisir. À lire ses développements sans connaître son modèle, on se perd dans son fatras : il distingue mal les différents cas, donne des exemples d’application avant d’avoir énoncé les règles de calcul, et s’il use d’un vocabulaire plus riche que celui de Clavius, sa nomenclature des différentes combinaisons n’en est que plus obscurcie. Une fois lu le texte de Clavius, nous y voyons plus clair, puisque nous est mis sous les yeux l’ordre logique qu’aurait dû suivre Mersenne, et avec lequel il a pris des libertés, moins sans doute pour masquer son emprunt que par dispersion d’esprit, et par désir (louable à tout prendre) d’ajouter des réflexions personnelles. Disons simplement, car il n’apparaît pas utile de confronter en détail les deux textes, que Mersenne a repris sans différences très notables, les développements de Clavius que nous avons analysés plus haut sous les rubriques (a) et (b).

113(a)

114Mersenne reprend l’exemple des combinaisons qu’on peut former des 4 « qualitez » que considèrent « les Philosophes ».

  • 87 Mersenne 1625, p. 535 – 536.

« On treuue le nombre de ces conjonctions en multipliant le dernier nombre par le penultiesme, sçauoir est 4 par 3, car la moitié du produit enseigne toutes les combinations qui peuuent estre faites : or 4 multiplié par 3 fait 12, par consequent 4 choses étant tousiours prises deus à deus peuuent estre diuersement conjointes 6 fois. Vous treuuerez le mesme en toute sorte de nombre, par exemple en 10, car 9 multipliant 10 fait 90, la moitié duquel donne 45 pour le nombre des susdites combinations.
Ceste regle ne sert ordinairement que pour les nombres qui sont pairs, mais s’ils sont impairs, par exemple si on propose 15 choses, il faut prendre 7 qui est le moindre nombre lequel approche le plus près de la moitié de 15, car 7 [66] multipliant 15 donnera 105 combinations ; ce qui doit estre entendu quand on ne prend que deus choses à chaque combination87. »

115(b)

116À propos de (b) retenons la règle générale suivante :

  • 88 Id., p. 536.

« quand on veut sçauoir combien les choses proposées peuuent estre diuersement coniointes soit qu’on en prenne deux, soit qu’on en prenne 3, 4, 5, ou tel nombre qu’on voudra à chaque fois, soit qu’on les prenne toutes ensemble, il faut disposer autant de nombres en raison double les vns apres les autres, comme il y aura de choses proposées, & puis il faut oster le nombre des choses de ces nombres ainsi disposez, car le reste donnera le nombre des diuerses conionctions qui se peuuent rencontrer entre les choses proposees88. »

117(c)

118Pour ce qui touche aux Permutations (rubrique (c)), nous noterons d’une part que le vocabulaire de Mersenne est assez flottant, et d’autre part, qu’il développe un raisonnement différent de celui qu’avait tenu Clavius.

  • 89 Id., p. 539.
  • 90 Id., p. 540.

« Theoresme III. On sçaura combien de fois chaque nombre de choses proposées peut receuoir de dispositions, & de conionctions differentes, si [...] on prend autant de nombres selon leur ordre naturel, comme il y aura de choses, car le nombre produit par leur addition [lire : multiplication] nous donnera le nombre des susdites dispositions89.
[...] la disposition de ce theoresme nous donne le nombre de toutes les conionctions qui peuuent se treuuer en chaque nombre de choses absolûment parlant, & sans aucune restriction, pourueu qu’on prenne le nombre total à chaque conionction90. »

119Pour prouver ce théorème, Clavius considérait comme fixe la première lettre d’une Permutation donnée, et cherchait de quelle manière les lettres suivantes pouvaient être permutées entre elles. Mersenne procède autrement :

  • 91 Id., p. 541 – 542.

« La raison est parce qu’il y a autant d’ordres, & de lieus en chaque mutation, comme il y a de choses proposées, & chaque chose peut estre mise autant de fois en chaque lieu, ou en chaque rang : par exemple dans le premier, le second, ou le 3 rang ; comme le nombre precedent des choses a receu de changemens divers ; c’est pourquoi on multiplie tousiours le nombre suiuant des choses par le nombre precedent.
Ce que ie vous montre en 4, car deus choses peuvent changer de lieu deus fois, comme vous voyez en cette syllabe AB, BA ; multipliez 3 par 2 vous aurez 6 mutations de cette diction AVE, comme vous avez veu ci dessus : donc si vous voulez avoir les diuerses methatêses, ou transpositions de 4 choses, il faut multiplier 4 par 6, affin d’auoir 24 diuerses mutations, car ne plus ne moins que deus choses se mettent deux fois, sçauoir est chacune au premier lieu, de mesme si on aioûte vne troisiesme chose, elle pourra se treuuer deus fois au premier lieu, deus fois au second, & deus fois au troisiesme : & si on aioûte vne quatriesme chose, elle pourra se rencontrer 6 fois au premier lieu, 6 fois au 2, 6 fois au 3, & 6 fois au 4 : en fin si on aioûte vne 5 chose, elle se treuuera 24 fois au 1 lieu, 24 au 2, 24 fois au 3, 24 au 4, & 24 fois au 591. »

120Disons également ici-même, sans plus attendre, que dans le chapitre X qui fait suite à celui où il plagie Clavius, Mersenne introduira, sur ce même sujet des Permutations deux innovations qui semblent lui être personnelles : une énumération et une table, qui ouvrent la voie aux exercices plus difficiles auxquels il se livrera plus tard.

  • 92 Id., p. 544-545.

121À propos d’une question qui lui tient à cœur, Mersenne va « faire voir » tous les chants « qui se peuuent faire dans l’étenduë d’une quinte, lesquels sont iusques à six vingt, encore qu’on ne profere qu’vne fois chaque son de la quinte, dans chaque chanson, comme vous voyez dans les 120 airs qui suiuent92 ». En termes plus clairs, il s’agit, 5 notes : ut, ré, mi, fa, sol étant données, d’écrire toutes les Permutations de ces 5 notes ; elles sont au nombre de 120.

  • 93 Id., p. 546 – 547.

122La liste qu’en dresse Mersenne93 n’est, pour ainsi parler, qu’à demi ordonnée. Voici en effet, comment il s’y est pris :

123— Sa liste est divisée en 5 sections comportant chacune 24 chants : on trouve d’abord les 24 chants commençant par ut, puis ceux commençant respectivement par ré, mi, fa, sol. À l’intérieur de chacune de ces sections, Mersenne respecte également l’ordre alphabétique pour le choix de la seconde note des chants : ainsi, par exemple dans la troisième section, on aura les 6 chants ayant ut pour seconde note, puis ceux ayant respectivement pour seconde note : ré, fa, sol.

124— Mais ensuite, pour ce qui est des trois autres notes, de chaque chant, Mersenne ne suit apparemment aucun ordre déterminé.

  • 94 Id., p. 548.

« Ie pourrois semblablement [assure Mersenne], rapporter tous les chants qui se peuuent faire avec 6, 7, 8,10, & plusieurs autres sons, mais ie serois trop long, il suffit qu’on sache par ce que i’ay dit des combinations, en combien de manieres chaque multitude de choses peut estre changée, ie me contenteray de mettre ici le nombre des chans qui peuuent se treuuer en toutes sortes de nombres de cordes, de sons, ou de vois depuis 1 iusques à 5094. »

  • 95 Cf. ci-dessus, p. 73.
  • 96 Mersenne 1625, p. 549 – 550.

125Dans les Quaestiones in Genesim, le grand nombre des mots qu’on peut former avec les lettres de l’alphabet n’avait arraché à Mersenne qu’une exclamation admirative95 ; ici, laissant déjà paraître la patience et l’ardeur au calcul qu’il prodiguera plus tard en ce domaine, il s’est jeté dans d’impressionnantes multiplications, et a dressé la table96 des factorielles de 1 à 50 !

126Ces nombres « enseigneront incontinent » combien de fois des choses en nombre donné « peuuent estre changées diuersement », « pourueu que les choses ne surpassent point le nombre de 50 ; neantmoins s’il y en auoit 51, on n’auroit qu’à multiplier le dernier nombre qui est vis à vis de 50, par 51, & ainsi consécutiuement iusques à l’infini ».

127(d)

128En ce qui concerne la rubrique (d), Mersenne va accumuler les confusions, lorsque voulant tirer parti d’une indication de Clavius, il va se lancer sans précaution dans une suite d’additions hasardeuses :

  • 97 Id., p. 542 – 543.

« Il faut premierement remarquer qu’il faut aioûter le nombre des combinations precedentes [obtenu par la règle des nombres en raison double (rubrique b)] à celle-ci [Permutation] si on veut sçauoir en combien de manieres chaque nombre de choses peut estre changé : par exemple nos 23 lettres nous peuuent donner autant de diuers changemens selon ce 3 theoresme [Permutation], comme il y a d’vnitez dans ce nombre 25852016738884976640000 [23 !] [...] : auquel il faut aioûter 16777168 qui contient le nombre des mutations qui se peuuent faire des mesmes 23 lettres supposé qu’on ne les prenne iamais toutes ensemble que les deus dernieres fois, lesquelles il faut oster de ce nombre, parce que ces deus transpositions se treuuent semblablement dans les dispositions precedentes, de maniere qu’il nous reste 16777166 pour aioûter au grand nombre precedent : or ces deux nombres étant aioûtez nous donnent 25852016738884993417166 pour toutes les diverses transpositions qui se rencontrent en 23 lettres selon ces deux manieres de combination97. »

  • 98 Cf. ci-dessus A, 2, c.

129Manifestement, Mersenne voudrait associer ici ce qu’il a appris d’un côté sur les « combinations », et de l’autre sur les « methathêses, ou transpositions ». Souvenons-nous du calcul boiteux des Quaestiones in Genesim effectué dans une même intention98. Ici, Mersenne ne va pas se contenter d’additionner Permutations et Combinaisons ; espérant ainsi atteindre toutes les transpositions qui se rencontrent en 23 lettres, les deux nombres suivants :

130— le nombre des Permutations de 23 lettres : 23 !

131— le nombre 16777166.

132Que représente ce dernier nombre ?

  • 99 Mersenne 1625, p. 540.

133Plus haut, Mersenne avait évoqué « une nouuelle disposition laquelle augmentera les transpositions qui se font des choses prises deus à deus, trois à trois, & c. car si nous retenons les mesmes lettres, nous doublerons le nombre en renuersant le seul ordre des choses : par exemple, au lieu que 4 choses ne pouuoient estre coniointes qu’onze fois, elles pourront estre conjointes 22 fois99 ».

  • 100 Ibid.

134On devine bien sur cet exemple simple, l’intention de Mersenne. Les quatre lettres A, B, C, D donnent les 11 « conionctions » AB, AC... ABCD. Mersenne oublie qu’il s’agit là de suites non ordonnées de lettres, et il lit chaque « conionction » comme un mot dont les lettres se suivent selon l’ordre alphabétique. Après quoi, il « renverse le seul ordre des choses » : autrement dit, il lit chaque mot à l’envers, ABC donnant par exemple CBA ; procédé qui double effectivement le nombre des « conionctions » de départ, et qui, appliqué au cas de 23 lettres, donne le résultat suivant100 : « par consequent, le nombre de dictions qui pourraient estre formées de nos 23 lettres, seroient 16777168, lequel est le double de 8388584 », ce dernier nombre représentant : C(23, 2) + C(23, 3) +... + C(23, 23).

  • 101 Si l’on ordonne les « mutations » à la fois selon l’ordre alphabétique, et selon leur longueur, cel (...)

135Or, dans ces 16 777 168 « mutations », sont compris les deux mots101 :

136ABC... XYZ

137ZYX... CBA

138mots qui font également partie des 23 ! « transpositions » de 23 lettres. Par conséquent, afin de ne pas les compter deux fois, en additionnant le nombre des « mutations » et celui des « transpositions », il faut retrancher 2 de 16 777 168 : ainsi Mersenne obtient-il le nombre 16 777 166.

  • 102 Après avoir recopié ce même calcul, Aimé de Gaignières exprime en marge ses doutes à son sujet : «  (...)

139Que croyait obtenir Mersenne au terme de son addition ? Il laisse imprimer qu’il s’agit de toutes les transpositions qui se rencontrent en 23 lettres. Or, il ne manque pas d’apercevoir lui-même qu’il est encore loin du but, et nous le voyons, non sans surprise, récuser en toute sincérité le calcul qu’il vient de faire102, pour esquisser celui qu’il y aurait lieu de mener à bien :

  • 103 Mersenne 1625, p. 543.

« Neantmoins il y a encore d’autres transpositions, qu’il faudrait sçavoir affin qu’il n’y eust plus aucune transposition qui peust estre faite : car il faudroit prendre chaque nombre separé, & voir combien de fois il peut estre changé : par exemple pour cognoistre parfaitement combien de fois ces 23 lettres peuuent changer de lieu ou de rang, il faudrait outre ce que nous avons dit, prendre chaque nombre l’un apres l’autre, iusques à 22, & voir combien chacun contient de transpositions ; puis il faudroit les assembler avec le dernier nombre [23 !] qui montre les conionctions de 23 lettres differentes, sans se soucier de l’autre combination, laquelle nous avons tantost aioûtée à ce nombre d’autant qu’elle ne contient aucune transposition qui ne soit comprise par les autres nombres103. »

  • 104 Nous songeons au sens qu’il faut donner au mot « nombre » dans la phrase : « prendre chaque nombre (...)

140« L’autre combination » dont il ne faut plus se soucier, c’est celle que Mersenne a dénommée plus haut « mutation », et qui consistait à renverser simplement les lettres d’un mot. Mersenne s’aperçoit donc que ce procédé laisse échapper la plus grande partie des Arrangements qu’on peut former avec 23 lettres. Que faire pour en calculer le nombre exact ? Le plan de calcul que propose Mersenne est trop elliptique104 pour qu’on ne puisse l’interpréter de deux manières différentes :

141— ou bien Mersenne commet l’erreur de croire qu’il faut additionner :

142P(1) + P(2) +... + P(23)

143— ou bien il pense qu’il faudrait considérer chaque C(23, i) (avec i = 1, 2 ⋯ 23), et voir « combien chacun contient de transpositions », ce qui reviendrait à calculer tous les Arrangements A (23, i).

144À supposer que cette seconde interprétation soit exacte, Mersenne ébaucherait ainsi une recherche qu’il entreprendra plus tard avec succès. Mais la seule tentative qu’il ait faite ici, d’aller au-delà de ce qu’il avait puisé dans Clavius, n’est qu’un faux pas, et il ne semble pas qu’il ait eu, plus que Clavius, une idée claire de la notion d’Arrangement et des rapports de celle-ci avec la notion de Combinaison.

C. « Usages » des « combinaisons » selon Leurechon

1. Présentation d’un texte de Leurechon (appartenant aux Selectae propositiones de 1622) repris par Mersenne dans La Vérité des sciences

145Le « Philosophe » (l’un des protagonistes du dialogue que met en scène Mersenne dans La Vérité des sciences) est un thuriféraire de l’arithmétique. Or, aux louanges qu’il adresse à celle-ci de son propre chef, il ajoute, à un certain moment, une longue liste de mérites, dont il ne cache pas qu’elle est empruntée à un ouvrage récent :

  • 105 Mersenne 1625, p. 603.

« [...] comme ont remarqué les Mathématiciens du Pont dans leurs thèses de l’an 1622, esquelles vous pouuez lire plusieurs autres excellentes conclusions tirées de l’Arithmétique105. »

  • 106 Dont le sens avait échappé à Lenoble (Lenoble 1943, p. 237, note 2). C’est une indication du Père C (...)
  • 107 [Propositions très belles choisies çà et là dans l’ensemble des mathématiques, et que les auditeurs (...)

146Cette désignation assez énigmatique106 renvoyait en fait le lecteur à un petit ouvrage, paru effectivement en 1622 à Pont-à-Mousson, sans nom d’auteur, et qui avait pour titre : Selectae propositiones in tota sparsim mathematica pulcherrimae, quas, in solemni festo sanctorum Ignatii et Xaverii et anniversaria Collegii Mussipontani celebritate literaria propugnabunt Mathematicarum Auditores107.

147Comme cela se pratiquait couramment, l’auteur de ces propositions n’était autre que le maître de mathématiques qui donnait généreusement à ses « auditeurs » l’honneur de la publication.

  • 108 Né à Bar-le-duc, le 15 mai 1591 ; son père, médecin du duc de Lorraine, s’opposa tout d’abord à ce (...)
  • 109 François de Dainville, « L’enseignement des mathématiques dans les collèges jésuites de France du x (...)
  • 110 Jean Leurechon, Récréation mathématique, Pont-à-Mousson : J. Appier Hanzelet, 1626. Parue tout d’ab (...)
  • 111 Le Père Wapy consacra un opuscule à ces « honneurs et applaudissements rendus par le collège de la (...)
  • 112 Selectae propositiones in tota sparsim mathematica pulcherrimae ad usum et exercitationem Celebrium (...)

148Il s’agissait en l’occurrence du Père Jean Leurechon108, dont nous savons109 qu’il était bien professeur de mathématiques au collège jésuite de Pont-à-Mousson en 1622. Ce mathématicien modeste est connu surtout par la Récréation mathématique110 qui, enrichie de commentaires et d’additions par Denis Henrion et Claude Mydorge eut un vif succès. C’est à l’occasion d’une fête pleine d’éclat où chaque discipline devait briller par ce qu’elle avait de meilleur que Leurechon composa ce florilège des beautés de la mathématique111. C’est une compilation bizarre, divisée en sections qui vont de l’arithmétique à l’optique, où sont mises bout à bout, sans commentaire, une multitude de « propositions ». L’ouvrage fut sans doute apprécié puisqu’il fut réédité en 1629, sans autre modification qu’un changement de titre112.

149Leurechon consacre les Selectae propositiones arithmeticae II, III, IV aux applications des règles de Permutation et de Combinaison. Quant aux théorèmes proprement dits, son savoir ne devait pas aller très loin. On n’en trouvera que plus originale l’idée d’ordonner selon la division traditionnelle des sciences des exemples d’application de ce genre de calcul. Pour la plupart, ces derniers n’apportent par eux-mêmes rien de neuf et certains d’entre eux viennent d’un vieux fonds de récréations mathématiques ressassées depuis longtemps. Mais, à notre connaissance, le texte de Leurechon est le premier à les rassembler sous une rubrique commune, et davantage même, à les embrasser dans une vue panoramique, tout comme s’ils relevaient d’une discipline susceptible d’extension universelle. Leurechon bat le rappel des plus importantes branches du savoir, et partout, les « combinations » sont présentes : en logique, en physique, en astrologie, en grammaire, en poésie, en musique, en peinture. Certes l’idée ne se fait pas clairement jour d’un art combinatoire dominant toutes ces sciences, mais il est déjà fort remarquable que soit mise en valeur l’aptitude des « combinations » à s’appliquer en autant de domaines.

  • 113 « De l’homme qui va recueillant des pommes, des pierres, ou chose semblable, à certaine condition. (...)

150Ce catalogue était trop ambitieux à cette époque pour ne pas être très hétéroclite. Leurechon mêle à ses exemples, des problèmes relatifs aux progressions ; il convient d’autant plus de le signaler que Mersenne le copiera directement sur ce point, et que cette association entre ces deux types de problèmes tient sans doute à la profusion de grands nombres auxquels ils conduisent tous deux. Ainsi, parmi d’autres, le problème des cent pommes qu’on retrouve dans la Récréation mathématique113 sous la rubrique générale : « Des Progressions & de la prodigieuse multiplication des animaux, des plantes, des fruicts, de l’or & de l’argent quand on va tousiours augmentant par certaine proportion ».

2. L’inventaire de Leurechon

151Nous ne possédons malheureusement de la péroraison due à Leurechon que les thèses, et non leurs développements. Faute de connaître ceux-ci, force nous est de deviner le sens de certaines allusions. À vrai dire, il nous serait impossible de faire davantage, et d’assigner des sources précises à chacune des affirmations de Leurechon. Dans les remarques qui suivent, nous voudrions simplement rendre vraisemblable l’existence de telles sources, bref suggérer que Leurechon ne laisse pas aller son imagination personnelle, mais se livre à un recensement.

(a) Permutations

  • 114 Leurechon 1622, p. 2. [ « Dans la physique, les conjugaisons des qualités premières, et les variété (...)

152Leurechon ne donne aucune précision sur les règles arithmétiques auxquelles il pense ; il les désigne comme Arithmeticae Complicationum Regulae, et elles ne devaient pas dépasser celles que nous avons trouvées chez Clavius. Deux des exemples donnés par ce dernier se répétant d’ailleurs ici : In Physica primarum qualitatum Coniugationes, & Corporum Simplicium vel mixtorum ex iis determinato gradu temperatis, varietates possibiles ; In Astrologia Planetarum Coniunctiones [...]114.

153Les seules précisions numériques données par Leurechon concernent des problèmes de Permutations simples.

  • 115 Sur le vers cité par Leurechon, cf. plus bas, rubrique (c).
  • 116 Traduction par Mersenne des Selectae propositiones de Leurechon (Mersenne 1625, p. 805).
  • 117 Mersenne ajoute au texte de Leurechon la mention des sons.

154Un vers115 comportant 8 mots peut être « inversé » de 40.320 manières, si l’on compte toutes les manières possibles, sans se soucier des règles de la versification ; « on peut faire116 3628800 bouquets différents de 10 fleurs ; [...] 23 soldats, 23 lettres, 23 sons117, & c. peuuent estre changez 258520167388 84976640000 ».

  • 118 Mersenne 1625, p. 805.

« Nous sçauons aussi par les combinations que si sept hommes s’asseoient tous les iours vne fois sur vn banc l’espace de 14 ans, qu’il se pourroit faire qu’ils ne se treuueroit [sic] iamais en mesme disposition118. »

  • 119 Pacioli 1523, fol. 43 v°-44 r°. La première édition est de 1494.
  • 120 Smith 1958, vol. II, p. 526.
  • 121 Signalons en particulier que Leibniz la cite dans le De arte combinatoria, Leibniz 1666/1965, p. 86 (...)

155Luca Pacioli traite un problème analogue dans sa Summa119, et c’est même là le premier témoignage d’intérêt pour l’analyse combinatoire qu’on trouve dans un ouvrage imprimé120. Soit 10 personnes ; supposons qu’elles prennent autant de dîners qu’il y a pour elles de manières différentes de s’asseoir à table ; le prix d’un dîner étant donné, à combien s’élèvera la note ? Pacioli donne à ce propos la règle de calcul des Permutations simples, en en détaillant les raisons pour n = 2, 3, ⋯, 6 ; et il donne P (n) pour n = 2, ⋯, 11. Cette même amusette devait se perpétuer sous différentes formes dans les manuels de mathématique ou les recueils de récréations mathématiques121.

(b) Langage et écriture

  • 122 Cf. ci-dessous, chap. 3, B, 2.
  • 123 In Poesi versus quilibet quantumlibet difficiles, quoties fieri potest inuerti [En poésie, combien (...)
  • 124 Nous avons vu plus haut (ci-dessus, B, 1 c et d.) que Clavius avait envisagé une telle recherche.
  • 125 Cf. plus bas, p. 141 et Troisième partie, ch. 3, A, 3.

156Tout un lot des remarques de Leurechon porte sur le langage et l’écriture : elles concernent non seulement les inévitables anagrammes122, et la manière dont on peut inverser les mots d’un vers123, mais aussi tous les mots possibles, « utiles ou inutiles » (c’est-à-dire prononçables ou non) que l’on peut former avec des lettres données124, et tous les livres écrits ou à écrire en une langue quelconque, que peut produire n’importe quel homme, même ignorant le latin : thèmes qui eurent une grande fortune au xviie siècle et auxquels s’attacha en particulier Leibniz125. Leurechon y ajoute une allusion dont le sens n’apparaît pas très clairement :

  • 126 Mersenne devait plus tard s’intéresser de près à ce problème (Cf. ci-dessous, ch. 3, C, 2).
  • 127 Leurechon 1622, p. 3.

« Omnes numeri possibiles ex finitis notis126, Syllabae omnes, omnes libri quocumque Idiomate scripti aut scribendi, exhiberi possunt ab homine etiam latinitatis imperito, imo omnes Conceptus compositi specie diversi, scripturaeque omnes & Iudicia mentis occulta detegi datis tantum litteris aut conceptibus simplicibus127. »

157Passage que Mersenne traduit ainsi :

  • 128 Mersenne 1625, p. 804-805.

« On peut semblablement treuuer par les combinations tous les nombres possibles qui peuuent estre produits d’un nombre fini de characteres, toutes les syllabes, tous les liures qui ont été composez iusques à present, & tous ceux qui seront composez en quelque langue que ce soit, encore qu’on n’entende pas seulement le latin, toutes les pensées composées qui sont de differentes especes, & toutes les operations de l’esprit tant occultes, & cachées qu’elles puissent estre pourueu qu’on sçache les lettres avec lesquelles elles sont exprimées, ou les simples conceptions, & apprehensions de l’esprit desquelles les pensées, & les ratiocinations sont composées128. »

158La seconde partie de la phrase nous suggère quant à nous, deux interprétations possibles.

  • 129 Sur Trithème, cf. ci-dessous p. 122.

159Leurechon songe peut-être ici aux promesses emphatiques qu’un auteur célèbre en ce temps, Jean Trithème129, avait jointes à l’exposé d’un système cryptographique de son invention ; il avait fait correspondre aux lettres de l’alphabet toute une série de mots latins ; supposant donnée par exemple une phrase française, il y remplaçait des lettres par autant de mots latins, de manière à obtenir une phrase latine qui ait un sens : opération qu’on peut effectuer quasi mécaniquement. Trithème prétendait de ce fait qu’un homme ignorant le latin, pouvait apprendre en quelques heures à écrire, lire, et parler latin ; ce qui est vrai aussi des autres langues :

  • 130 Trithème 1625, p. 258 – 259.

« Attendu que celuy, qui onc n’a sceu ny entendu un seul mot du langage François, le pourra non seulement bien & correctement escrire, mais aussi pourra d’avantage par & sous bons termes d’iceluy, & autres langages nouveaux & peregrins, inthimer & faire entendre vniversellement, seurement, tres-secretement, & sans suspicion, la conception de sa volonté à celuy qui sera son binaire & cabalistique130. »

  • 131 Cf. Wilhelm Risse, Geschichte der Logik vol. I : Die Logik der Neuzeit, Stuttgart et Bad Cannstatt  (...)

160Mais la référence à des conceptus compositi, le fait que Mersenne ajoute dans sa traduction le mot de « ratiocinations » nous inclinent à interpréter ce passage comme un renvoi à un « art » qui séduisait bien des esprits à cette époque : celui de Lulle131. Une des méthodes lullistes visait à former toutes les propositions qu’on peut concevoir. Lulle avait dressé une sorte de table des catégories, réparties en 6 séries, et distingué 9 attributs absolus, 9 relations, 9 questions, 9 sujets, 9 vertus, 9 vices. Ces 6 séries représentées par des lettres étaient disposées sur autant de cercles concentriques qu’on pouvait combiner en faisant tourner ces cercles les uns par rapport aux autres. De toute manière, les deux interprétations que nous proposons ont ceci de commun qu’elles font intervenir deux domaines où le xviie siècle sentit la présence active des « combinaisons ».

(c) Un vers célèbre

  • 132 Traduction par Mersenne des Selectae propositiones de Leurechon (Mersenne 1625, p. 805). [N. D. É.  (...)

« Nous sçavons aussi par les combinations [...] que ce vers Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sydera caelo Peut estre changé 40320 fois, & 1022 si on veut observer les regles de la quantité, ce qui fait qu’un seul vers peut faire un livre : que cet autre vers Rex, dux, sol, lex, lux, fons, spes, pax, mons, petra, Christus Peut estre changé 3628800 en gardant perpetuellement la quantité que requiert le susdit vers132. »

  • 133 Montucla, vol. III, p. 388.
  • 134 Erycius Puteanus, Pietatis Thaumata in Bernardi Bauhusii, e Societate Iesu, Proteum parthenium, uni (...)
  • 135 Jean Prestet, Nouveaux Élémens de mathématiques, 2e ed., Paris : Pralard, 1689, vol. I, L. V, p. 12 (...)
  • 136 Leibniz 1666/1965, p. 98.
  • 137 John Wallis, Of Combinations, alternations and aliquot parts, London :J. Playford & R. Davis, 1685, (...)
  • 138 Bernoulli 1713, p. 77 – 81. Cf. p. 79 – 81 : Typus Variationum Versus Bauhusiani 3312.

161Futilités, tendrait-on à penser, que ces vers à transformation. Ces exemples connurent pourtant une fortune assez extraordinaire, et chez les plus grands auteurs. Le premier vers est de Bernardus Bauhusius et c’est un « monument singulier de la piété de ce jésuite flamand envers la Sainte Vierge133 ». Le nombre des Permutations des 8 mots de ce vers est 40320, mais si on observe les règles de la métrique poétique, le nombre des manières dont peut varier le vers est beaucoup moins élevé ; il était, selon Bauhusius de 1022 : rencontre merveilleuse entre la poésie, la théologie et l’astronomie ! Ce nombre n’est autre que le nombre des étoiles selon le relevé de Ptolémée. 1022 variations, le nombre est déjà respectable, « ce qui fait qu’un seul vers peut faire un livre ». Le livre fut effectivement écrit et publié : Erycius Puteanus consigna dans 46 pages de ses Pietatis Thaumata134 les 1022 variations, et c’est très certainement à cet ouvrage paru en 1617 que fait allusion Leurechon. Pendant cent ans, la piété faisant place à la curiosité des calculateurs, ceux-ci s’exercèrent à calculer le nombre des Permutations du vers admissibles selon les seules règles de la métrique. Parmi ceux qui se penchèrent sur ce problème, rien moins que Jean Prestet135, Leibniz136, John Wallis137, et Jacques Bernoulli138. Le second vers cité par Leurechon est également de Bauhusius, et il a été écrit lui, à la gloire du Christ.

(d) Logique

  • 139 [ « En logique, les figures et les modes des syllogismes, les prédications et comparaisons des univ (...)

« In Logica figurae & modi Syllogismorum, praedicationes & comparationes universalium139. »

  • 140 Cf. Risse, op. cit., p. 556.
  • 141 Johann Wirth, dit Hospinianus, Non esse tantum triginta sex bonos malosque categorici syllogismi mo (...)
  • 142 Leibniz 1666/1965, p. 46.
  • 143 Cf. Risse, op. cit., p. 556 – 557 ; Couturat 1901, p. 3 – 4.
  • 144 On peut faire la même remarque à propos d’un texte d’Albert le Grand, cité pourtant par J. M. Boché (...)
  • 145 Sarton 1927, vol. I, p. 424-426 ; Smith 1958, vol. II, p. 524.

162Voilà un thème que Mersenne ne reprendra guère, proche qu’il était ici de Descartes, par sa désaffection à l’égard de la syllogistique. Etant donné cependant l’intérêt que portera Leibniz à ce genre de problème on aimerait savoir si l’analyse combinatoire n’a pas trouvé en logique un de ses premiers domaines d’élection. Les documents que nous apportent à ce sujet les historiens de la logique ne sont pas très abondants140, et il nous faut surtout retenir ici le nom de Johannes Hospinianus141 dont Leibniz devait s’inspirer dans son De arte combinatoria142, et qui, dans un opuscule de 1560, avait soutenu qu’il existait en tout 512 modes du syllogisme143. Hospinianus qui fut le premier surpris par ce nombre qui lui parut « presque incroyable », ne procède, au sujet de ce problème particulier, qu’à un simple dénombrement144. Il n’en va pas de même d’un auteur qui nous est signalé, lui, par les historiens des mathématiques145, et qui est de ceux dont il ne serait pas du tout surprenant qu’on perçoive l’écho chez Leurechon : nous voulons parler de Boèce. Ce dernier, dénombrant le nombre des « différences » qui existent entre des choses qu’on compare entre elles, donne en effet la règle permettant de calculer C(n, 2) :

  • 146 Ancius Manlius Severinus Boetius, Opera omnia, tomus posterior, vol. LXIV, Paris : [J. P. Migne], 1 (...)

« Propositarum enim numero rerum si unum dempseris, atque id quod dempto uno relinquitur, in totam summam numeri multiplicaveris, dimidium ejus quod ex multiplicatione factum est, coaequaliter ei pluralitati quam propositarum rerum differentiae continebant146. »

(e) Musique et peinture

163Voici enfin deux remarques auxquelles nous ne saurions, pour notre part, faire correspondre aucun ouvrage antérieur à Leurechon, qui en fasse mention. Ce qui ne veut évidemment pas dire que ce soit Leurechon lui-même qui les a inventées pour remplir les rubriques de la musique et de la peinture :

  • 147 Leurechon 1622, p. 2. [ « En musique, [un usage des combinaisons est de] permettre à un homme inexp (...)

« In Musica etiam ab homine Musices imperito omnes cantilenae componi, quae intra definitos octauarum limites extare possunt ; In pictura & statuaria exhiberi varietas specifica Imaginum, colorum, & Emblematum, quae opere Mosaico & versicolori fieri possent ex lapidibus aut coloribus determinato numero & gradu sumptis, atque adeo pulcherrimum, in unoquoque determinato, inueniri147. »

  • 148 Cf. notre troisième partie, chap. I.
  • 149 Cf. plus bas, chap. III, B, 3.

164Notre ignorance est d’autant plus regrettable que Mersenne a consacré précisément un ouvrage à la composition méthodique et quasi mécanique des chants que l’on peut former avec les huit notes d’une octave148. Leurechon propose par ailleurs de chercher la plus belle composition de mosaïque que l’on peut effectuer avec des pierres ou des couleurs de nombre et de déterminés : Mersenne se passionnait au même moment pour un problème analogue, celui du plus beau des chants149.

3. L’adaptation de Mersenne. Un passage sur le jeu d’échecs

165Mersenne a pris autant de libertés avec le texte de Leurechon qu’avec celui de Clavius ; son adaptation appelle quelques remarques. Il ôte à l’énumération de Leurechon, ce qu’elle avait de systématique en y supprimant les têtes de rubriques (In Logica, In Physica, etc.) ; là où Leurechon n’avait pris en compte que 4 lignes, il considère lui « toutes les différentes conionctions qui peuuent estre faites des lettres qui sont en 10 ou 12 lignes » ; il intercale ailleurs des réflexions personnelles :

  • 150 Cf. ci-dessous, p. 110.
  • 151 Cf. ci-dessous, p. 364.
  • 152 Mersenne 1625, p. 806.

« A quoy on adiouste qu’une infinité de Rhetoriciens se rencontreroient en mesmes pensées, & en mesmes parolles, si un nombre infini d’iceux composoient une oraison sur un mesme suiet150 ; qu’il est impossible151 d’imposer des noms propres, & differents à tous les indiuidus, ou à toutes les especes, d’autant que le nombre des choses est infiniment plus grand que le nombre de parolles152. »

166Mersenne traduit généralement complicationes par « conionctions » ; mais pour rendre la phrase suivante : Credibile est Deum elegisse optimam complicationem possibilem inter omnes mundi partes, il écrit : « il est probable que Dieu a choisi la plus parfaite disposition quand il a creé le monde, de toutes celles qui etoient possibles », faisant ainsi disparaître les résonances pré-leibniziennes que pouvait avoir la phrase de Leurechon ; et très certainement c’est cette même phrase qu’il essaie de commenter dans les termes suivants vers la fin de son « discours sur les combinations » :

  • 153 Id., p. 578 – 580.

« Quelques-uns concluent semblablement que Dieu a choisi l’ordre le plus excellent de tous ceus qui pouvoient se rencontrer, lorsqu’il a disposé toutes les parties du monde, d’autant que toutes les autres situations qu’on pourroit donner aus quatre elemens, & aus autres parties du monde, leur seroient violentes, c’est pourquoy les choses les plus epaisses, & les plus pesantes ont esté mises au centre, & en un lieu plus étroit, & les plus rares en un lieu plus haut, plus large, & plus grand, sçavoir est en la circonference153. »

167On voit mal ce que les « combinations » ont à voir en cette affaire. Beau conseil de prudence que cet exemple sans son propre commentaire, on aurait prêté volontiers à Mersenne une vue combinatoire de la Création.

168Pour finir, c’est ici que nous relèverons un texte beaucoup plus remarquable de La Vérité des sciences sur le « ieu des échets » ; on peut, nous semble-t-il y reconnaître un emprunt à la Récréation mathématique (parue, rappelons-le, sans nom d’auteur) de Leurechon :

  • 154 Id., p. 580.

« De plus on peut conclurre qu’on ne sçauroit demontrer le ieu des échets, à raison de la grande, & prodigieuse multitude des diverses mutations, lesquelles peuvent estre faites dans le susdit ieu : or si quelqu’un avait treuvé la raison, & la demonstration de ce ieu, il gagneroit toutes sortes de personnes, & ne pourroit iamais estre gaigné, si ce n’estoit par quelqu’autre qui sceust pareillement la raison dudit ieu, encore ne sçait on pas s’ils pourroient finir le ieu & si l’un pourroit estre gaigné par l’autre154. »

169Ce texte fait écho au Problème 79 de la Récréation mathématique où le P. Leurechon parlait « Du Ieu des dames & des eschets » :

  • 155 Leurechon 1626, op. cit., p. 85 – 86.

« Que ces ieux soyent de science, & provenus de l’invention des Mathematicques il appert par l’ordonnance, disposition, & mouvement de toutes leurs pieces ; car elles sont agencées dessus un quarré, qui a les costez divisez en 8 parties egales, d’où resulte 64 petits quarreaux. Elles sont en nombre egal de part & d’autre, & par reigle d’Arithmeticque, on peut trouver toutes les façons possibles, d’ordonner son ieu, soit qu’on ayt encore toutes ses pieces ; voire mesme, ayant trouué toutes les ordonnances, l’on peut descouurir quelle est la meilleure façon, pour gaigner : quoy que cela soit presque d’vn travail infiny, & qu’en ce ieu aussi bien qu’en tout autre, l’esprit, la memoire, la force de l’imagination, l’exercice & l’affection servent plus que les preceptes. Plusieurs ont escrit sur ce subiect, & i’ay appris depuis peu qu’on imprime un nouveau traicté sur le ieu des dames, pour monstrer le moyen infaillible de gaigner, lors que le ieu est conduit à un certain poinct155. »

D. Conclusion du chapitre I

170Aussi bien par leur contenu que par leur mode d’exposition, le texte des Quaestiones in Genesim et celui de La Vérité des sciences présentent des analogies frappantes : comme nous nous trouvons, dans ce dernier ouvrage, devant des connaissances d’emprunt, il ne serait pas autrement étonnant que Mersenne se soit également inspiré, sans le dire, de quelque autre source dans les Quaestiones. Bien que très embarrassé lorsqu’il quitte les sentiers explorés avant lui, il marque toutefois de son empreinte des connaissances encore mal assimilées.

171De même, alors que le seul panorama brossé par Leurechon, nous a révélé en combien de directions variées pouvaient s’engager des recherches sur les « combinaisons », nous avons déjà senti que Mersenne incline celles-ci vers deux domaines qui lui tenaient particulièrement à cœur : la philosophie du langage et la musique. C’est effectivement à propos de problèmes linguistiques qu’il traitera d’analyse combinatoire dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim et dans l’Harmonie universelle et comme il est naturel dans des ouvrages qui ont pour titre Harmonie universelle et Harmonicorum libri, il multipliera là les preuves du profit que peut tirer la musique des « combinaisons ».

172À se concentrer ainsi sur des difficultés précises, Mersenne a beaucoup gagné : comme nous allons le montrer tout d’abord pour ces langues artificielles dont il voulut se faire le promoteur, des exigences s’imposèrent alors à lui, qui devaient favoriser l’expansion du calcul combinatoire.

Notes

1 Sur cet ouvrage, cf. Lenoble 1943, p. xii – xiii ; p. 25 – 28.

2 Id., p. 25 – 26. Mersenne poursuivra son commentaire, sans parvenir à l’achever, dans les textes manuscrits que nous désignons sous le titre de Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim (id., p. xiii – xiv ; cf. notre Appendice).

3 Mais c’est un genre littéraire dans lequel Mersenne réussit bien mal ; il oublie les protagonistes de son dialogue pour se lancer dans des exposés sans fin (id., p. 79).

4 Id., p. 231.

5 Id., p. xv et p. 33.

6 Id., p. 32.

7 Id., chap. 3, § 2, « La Cabale », p. 96 – 109.

8 Gershom Scholem, Les Grands Courants de la mystique juive, trad. de Marie-Madeleine Davy, Paris : Payot, 1960.

9 Henri Sérouya, La Kabbale, Paris : Grasset, p. 473.

10 Id., p. 477 – 483. Cf. François Secret, Les Kabbalistes chrétiens de la Renaissance, Paris : Dunod, 1964.

11 Mersenne 1624, vol. I, p. 140.

12 Quaestio quarta (« Quot modis Bereschit, sicut & aliae Scripturae partes explicari possint »), Articulus tertius (« In quo declaratur secunda explicatio elementaris Bereschit Caballistica ») [Question quatrième (de combien de façons on peut expliquer Bereschit ainsi que d’autres parties de l’Écriture), article troisième (dans lequel on fait voir la deuxième explication cabalistique élémentaire de Bereschit)], Mersenne 1623a, col. 701 – 702. Nous citerons plus loin les deux allusions à des exercices combinatoires qu’on trouve dans le même ouvrage.

13 Heptaplus Johannis Pici Mirandulae, de Septiformi sex dierum geneseos enarratione, ouvrage paru d’abord à Florence et qu’on retrouve dans le vol. I des Opera omnia Joannis Pici Mirandulae, Basel : H. Petri, 1572 ; cf. Lenoble 1943, p. 106, note 3.

14 Mersenne 1623a, col. 701. [Le texte de Mersenne dit en fait : « ... in hac sola dictione Beresit ea reperita quae sequuntur : Pater in filio, et per filium, principium et finem... », i. e. : « Les cabalistes pensent que plusieurs secrets se dévoilent dans presque chaque lettre ou verset ; ce à quoi Pic de la Mirandole ne semble pas réfractaire dans l’Heptaplus, car il compose et sépare toutes les lettres de manière diverse jusqu’à ce qu’il trouve dans cette unique expression, Beresit, ce qui suit : le père dans le fils, et par le fils, le principe et la fin... ».]

15 Igitur praeter spem meam praeter opinionem inveni quod neque inveniens ipse credebam, neque credere alii facile poterunt, universam de mundi rerumque omnium creatione rationem in una ea dictione apertam & explicatam. Rem dico mirabilem, inauditam & incredibilem [Donc au-delà de mon espérance, au-delà de l’opinion, j’ai trouvé ce que je croyais moi-même ne jamais trouver, ce que d’autres ne pourront pas croire facilement, la raison universelle de la création du monde et de toutes les choses dans cette seule expression, mise au grand jour et expliquée. Je dis que c’est chose admirable, inouïe et incroyable], Opera omnia Joannis Pici Mirandulae, op. cit., vol. I, fol. 60.

16 Jacques Gaffarel, Profonds mystères de la Cabale divine, trad. de Abdita divinae Cabalae (1625), Paris : Bibliothèque universelle Beaudelot, 1912, p. 42 – 43.

17 « La gematrie (ou géométrie) ou science des nombres, que la Cabale étudie dans leur abstraction ; le notariacon, qui traite des abréviations de l’écriture et de la transposition des lettres. » (Id., p. 42.)

18 Mersenne 1623a, col. 701. [ « En vérité, ce mode d’explication ne me plaît pas trop, car il imite beaucoup la gématrie des rabbins, et le notariacon, par lesquels sont obtenues beaucoup de choses dont les magiciens font fréquemment usage. »]

19 Ibid. [ « Cependant je veux assigner des règles grâce auxquelles quiconque, s’il lui plaît de s’exercer à ce genre d’explication, en soit capable, au moins pour réfuter ceux qui accumulent les erreurs de cette façon ; il faut en effet que ceux qui s’immergent dans les écrits soient informés de toute l’encyclopédie des sciences et des arts, soit pour qu’ils instruisent les Catholiques et les confirment dans leur foi, soit pour qu’ils confondent de toutes les façons les athées, les païens, les hérétiques, les Juifs, les Schismatiques et les autres ennemis de la foi et les conduisent à la vérité, et les y ramènent. »]

20 Ibid. [ « Ensuite on doit construire tout autant de nombres, en commençant à l’unité et en augmentant à partir d’elle en proportion double, jusqu’à ce que les nombres soient égaux [en nombre] aux lettres. Troisièmement, il faut ajouter ces nombres entre eux. 4. De ce nombre obtenu par l’addition de tous, il faut enlever le nombre de lettres ; en effet le nombre restant indique en combien de mutations diverses les lettres peuvent être transposées. »]

21 Ibid. [ « pour appréhender d’un coup d’œil la somme de tous les nombres joints à l’unité, double le dernier nombre, et si tu enlèves l’unité du résultat obtenu, le reste en effet donnera le nombre cherché. »]

22 Id., col. 702.

23 Qua ratione scire possunt, quoties omnium consonantiarum intervalla simul iungi possint, quandoquidem numerus intervallorum, quae discutere volueris, ita solummodo disponendus est, ut ab unitate usque ad ultimum numerum dupla proportione scribas numeros intervallorum : ultimus enim numerus per binarium multiplicatus ostendet productum, a quo si prius tollas unitatem, deinde numerum intervallorum, omnium coniunctionum possibilium sive gratarum, sive ingratarum num. exurget [...] (Id., col. 1692 b). [ « Et par ce moyen ils peuvent savoir combien de fois les intervalles de toutes les consonances pourraient être joints ensemble, puisqu’il n’y a qu’à disposer le nombre des intervalles que tu aurais voulu résoudre de telle sorte que tu écrives les nombres des intervalles, à partir de l’unité jusqu’au dernier nombre, par proportion double : le dernier nombre multiplié par 2 donne alors un produit, dont, si tu enlèves d’abord l’unité, sort ensuite le nombre des intervalles de toutes les conjonctions possibles, acceptables ou non. »]

24 Id., col. 1539 – 1554.

25 Id., col. 1692 b. [ « Par exemple on dénombre 12 intervalles dissonants, comme il est dit art. 2, dont les conjonctions systématiques montent jusqu’à 4083 ; et en outre on dénombre 7 intervalles qui sont consonants, comme on le voit au même endroit, dont naissent, s’ils sont mêlés de toutes les façons avec les intervalles précédents, 521 068 conjonctions. »]

26 On lit en marge la remarque suivante : Modus hic anagrammatismus dici potest, quo omnia possibilia anagrammata certissime reperias [Ce mode, par lequel tu trouves infailliblement tous les anagrammes possibles, peut être appelé anagrammatique]. Id., col. 702. Cf. ci-dessous, p. 128, 153, 198.

27 Ibid. [ « Il y a une autre commutation, dans laquelle apparaît toujours le même nombre de lettres, et par laquelle nous cherchons toutes les choses qui sont dans un certain nom, de quelque façon, indifféremment, qu’il soit renversé, pourvu que toutes les lettres demeurent toujours dans une mutation quelconque. »]

28 Id., col. 702. [ « Il faut d’abord avoir le nombre de lettres, comme plus haut. Puis il faut disposer tous les nombres selon la suite naturelle en commençant par 1. Troisièmement. Il faut les multiplier entre eux, car le nombre ainsi produit donne celui cherché. »]

29 Ibid. [ « Donc au lieu des 4 lettres de ce mot Deus, prends ces 4 nombres 1, 2, 3, 4, dont le résultat, si tu les multiplies les uns par les autres, donnera 24. D’où tu conclus que le nom Deus et les autres noms de 4 caractères peuvent être variés vingt-quatre fois, ou de 24 manières. »]

30 Ibid. [ « Tu as donc dans un mot 24 commutations, et mots, qui ont ou non une signification, et outre ceux-là il est impossible d’en trouver d’autres nouveaux dans le mot Deus, auxquels si tu ajoutes les 11 précédents, ou plutôt 10, puisque Deus s’y trouve de chaque façon, tu auras dans un mot de 4 lettres 34 mutations différentes, des mots en fait, quoique tous n’aient pas de signification. »]

31 Mersenne reprend un calcul analogue pour les 6 lettres du mot Beresit écrit dans l’alphabet hébreu. Il additionne les nombres 720 et 56, c’est-à-dire : P(6) = 720, C(6,5) + C(6, 4) + C(6,3) + C(6, 2) = 56. On trouve ainsi 776 dictiones avec les 6 lettres données. (ibid.)

32 Id., col. 1692b.

33 Cf. ci-dessous, Première Partie, ch. 3, B, 3, A, p. 129.

34 quod sane stupendum est. (Mersenne 1623a, col. 1692b.)

35 Cogita vero quantus commutationum numerus ex toto alphabeto 22, aut 24 literarum oriretur, si quis investigaret, quot dictiones ex eo confici possint, quod in praedicta quaestione contra Cabalam ostendemus. (Id.) [ « Or, imagine en vérité quel grand nombre de commutations naîtrait de tout l’alphabet de 22 ou de 24 lettres, si quelqu’un cherchait combien de mots peuvent être construits à partir de lui, ce que nous montrons dans une question précédente contre la Cabale. »] À quel autre texte Mersenne nous renvoie-t-il ici ? Au sujet de l’exemple des mots de 6 lettres, Mersenne avait ajouté : alia subiuncturus ubi de vi nominum postea adversus Caballis tas agam [ « Je vais en ajouter d’autres lorsque je traiterai plus tard de la puissance des noms contre les Cabalistes »]. En fait, il renonça plus tard à traiter ce sujet dans les Quaestiones, car nous lisons à la col. 1218 : Hic de vi nominum agere decreueram sed iustis de causis ad 2. tomum pulchram illam quaestionem reseruo. [ « J’avais décidé de traiter de cette puissance des noms, mais à juste raison, je réserve cette belle question pour le tome 2. »]. Mersenne a développé effectivement ce sujet dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2 (Quaestio : An voces, seu verba tam dei, quam hominis vim aliquam habent [ « Question : Si les paroles, ou les mots tant de “Dieu” que d’“homme”, possèdent quelque puissance »], p. 499 – 551) mais il n’y fait pas mention du calcul annoncé.

36 Mersenne 1623, col. 1390. [ « Ô hommes doctes qui affirmez pouvoir parvenir à la connaissance de toutes les choses par les seules commutations des lettres ; pourquoi, de grâce, ne tournez-vous pas votre attention sur ces commutations ? Est-ce parce leur nombre, que vous exprimez par ces signes 112400259082719680000, ne peut être expliqué ? Mais un Arithméticien d’un jour produirait ce nombre entier, puisqu’il ne dépasse pas cent quintillions. »]

37 Mersenne se réfère ainsi à ce que nous appelons la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, où nous n’avons pu retrouver ce nombre. De toute manière, il y cite des nombres bien plus grands (cf. ci-dessous, p. 139).

38 Le Père F. Zorzi, vénitien, dit également Giorgio ; en 1623, Mersenne consacra un ouvrage entier à réfuter les Problemata cités ci-dessous (cf. Lenoble 1943, p. xiii et p. 27) ; sur cet auteur, dont les Problemata et le De harmonia furent une des principales sources du courant de la cabale chrétienne, cf. Secret, op. cit., p. 126 – 139.

39 Mersenne 1625, p. 439.

40 Francesco Giorgio, In Scripturam Sacram, et Philosophos, tria millia Problemata, Paris : J. Bessin et G. Alliot, 1622, vol. V, sec. vii, § 244, p. 382 – 383. [ « Combien d’individus ont été formés, pour autant qu’on puisse le tirer de quelque conjecture ? Est-ce que, si les lettres sont les parties matérielles des composés, nous ne pouvons pas tirer d’elles, jointes de toutes les manières possibles, le nombre des choses créées ; [nombre] qui peut être conjecturé, mais assurément pas dévoilé, si ce n’est par celui qui compte la multitude des étoiles, & les cheveux de la tête, & le sable de la mer et les gouttes de pluie ? De fait, ce nombre résulte de toutes les combinaisons de lettres, sans aucun mélange de points, suivant les règles infaillibles des secrets des théologiens : on peut voir que c’est 112400259082719680000. Mais si on ajoute les mélanges avec les points, nous ne pourrons ni exprimer, ni conjecturer ce nombre : de Dieu il est indubitablement connu. »]

41 Sérouya 1947, op. cit., p. 128 – 138 ; Georges Vajda, Introduction à la pensée juive du Moyen Âge, Paris : Vrin, 1947, p. 17. Mersenne a publié lui-même, dans ses Observations de 1623 (Mersenne 1623b, col. 255 – 259) la traduction latine du Liber Iezira donnée par G. Postel (cf. ci-dessous, p. 80, note 67) qu’il fait suivre d’Animadversiones in Librum Ietzira seu de Creatione mundi Abrahae tributum (col. 259 – 262), où il attaque violemment G. Postel (Cf. Secret, op. cit., p. 343, et François Secret, « Notes sur Guillaume Postel », Bibliothèque d’Humanisme et de Renaissance, vol. XXI, 1959, p. 463 – 464).

42 Cf. ci-dessous, p. 78.

43 Cf. ci-dessous, p. 139.

44 Vigenère 1587, fol. 42. (Sur cet auteur, cf. plus bas p. 103.) Claude Duret a repris ce développement dans son Thrésor de l’histoire des langues de cest univers, Duret 1613, p. 203.

45 Cf. Mayer Lambert, Commentaire sur le Séfer Yesira ou Livre de la Création par le Gaon Saadya de Fayyoum, Bibliothèque de l’E.P.H.E. fascicule 85, Paris : E. Bouillon, 1891, p. 83. Saadya, dans son Commentaire, pousse pour sa part le calcul jusqu’à P(11) et s’arrête à ce nombre parce que le mot le plus long qui se trouve dans la Bible a 11 lettres (Id., p. 85).

46 Le nombre donné par Mersenne concorde avec celui de Vigenère. Celui que donne le Père Zorzi comporte un chiffre de plus (un 7) : « ... 827. 719... ». Il concorde à son tour avec le nombre cité par le Père Archangelus de Burgonovo dans un texte proche de celui du Père Zorzi : Apologia [...] pro defensione doctrinae Cabalae, Basel : H. Petri, 1600, p. 555.

47 Mersenne suit sans doute Vigenère lorsqu’il écrit dans L’Impiété des déistes, Mersenne 1624, vol. I, p. 159 : « et par les vingt et deux lettres multipliees les vnes par les autres, ils croyent qu’on peut cognoistre le nombre des estoiles, & de toutes les autres créatures : voicy leur nombre 340[...]104 ». (Notons cependant que le nombre donné par Mersenne comporte un chiffre de plus que celui de Vigenère : ... 7999104...)

48 La référence de la page manque ; il s’agit très certainement de la « page » 42 que nous avons citée ci-dessus.

49 Vigenère 1587, op. cit, fol. 81 v°.

50 Scipion de Gramont, De la nature, qualitez et prerogatives admirables du poinct, Paris : M. Daniel, 1609, p. 51.

51 Lenoble 1943, p. 102, note 2.

52 Id., p. 106.

53 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, vol. 2, p. 259.

54 Id., p. 528.

55 Id., p. 529. [ « Pourtant, les Rabbins ne peuvent offrir d’autre raison pour préférer une commutation de lettres à une autre, si ce n’est qu’ils veulent suivre une fiction de leur esprit et avoir ainsi leur désir en guise de raison. »]

56 Cf. ci-dessous, page 80.

57 Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, vol. 2, p. 258. [ « Est-ce qu’ils peuvent avec deux, trois et plusieurs autres lettres non seulement combiner deux par deux [aleph] et d’autres caractères, mais aussi les associer par groupe de trois, ou, si l’on peut dire, les contriner ? »]

58 Lenoble 1943, chap. III.

59 Id., chap. VI.

60 Scholem, op. cit., p. 148-150. Cette « science » est décrite par Abulafia comme un guide méthodique pour la méditation à l’aide des formes et des combinaisons des lettres.

61 Cf. ci-dessus, p. 77. Ce procédé qui ne nous concerne pas ici uttilise les valeurs numérales des lettres.

62 Cf. ci-dessus, chap. I. A, 1.

63 Jean Léon lança cet autre avatar de la Cabale dans son Histoire de l’Afrique. Les Renaissants s’y intéresseront à l’envi. Duret en fait tout un chapitre de son Thrésor, avec le titre « De la cabale des Arabes, Turcs & Africains ». (Secret, op. cit., p. 292).

64 Mersenne 1624, vol. I, p. 163 – 166. [ « [...] À ce propos, Dieu a pesé les lettres et les a permutées, Aleph avec toutes & toutes avec Aleph, Beth avec toutes & toutes avec Beth [...]. »]

65 Sérouya 1947, p. 103 – 104.

66 Vigenère 1587, fol. 93 v°. Cf. Fol. 95 r°une « Table des Ziruphs, ou commutations d’alphabets ».

67 Cf. Guillaume Postel, Abrahami patriarchae liber Iezirah, sive Formationis mundi, Paris : G. Postello, 1552.

68 Leibniz 1666/1965, p. 39. [ « Christophe Clavius a exposé d’une manière particulièrement claire tout ce qu’on connaît depuis un certain temps dans ses Commentaires sur la Sphère de Jean de Sacrobosco, publiés à Rome en 1585, en format in-quarto, p. 33 et sq. »]

69 Cf. Pascal 1908-1914, vol. III, p. 442.

70 Né à Bamberg en 1537 [N. D. É. : La date du 25 mars 1538 est maintenant adoptée par les spécialistes, voir Eberhardt Knobloch, « Sur la vie et l’œuvre de Christophorus Clavius (1538 – 1612), Revue d’histoire des sciences, vol. XLI, n° 3, 1988, p. 331 – 356], Christophorus Clavius entra chez les Jésuites qui l’envoyèrent à Rome où, en 1581, il fut chargé par Grégoire XIII de la réforme du calendrier. Le titre d’« Euclide de son siècle » qu’on lui conféra, dit assez l’importance qu’on lui accorda de son temps, et le rayonnement qu’eut son enseignement lorsqu’on organisa autour de lui, à Rome, un véritable séminaire de jeunes mathématiciens, afin de pourvoir en professeurs les collèges jésuites (qui adoptèrent d’ailleurs comme manuels plusieurs de ses ouvrages). Son excellente édition commentée d’Euclide servit très longtemps d’édition de référence. Clavius mourut à Rome le 6 février 1612 (Cf. Jean-Baptiste Delambre, Histoire de l’astronomie moderne, Paris : Vve Courcier, 1821, p. 48 – 75 ; Sommervogel 1890-1900, vol. II, col. 1212 – 1224 ; Taton 1957-1958, vol. II, p. 42 – 43).

71 In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius. Selon une pratique très ancienne, et qui se prolongea jusqu’au xviie siècle, il était d’usage de prendre pour base de l’enseignement un ouvrage du moine anglais Joannes de Sacrobosco (ce nom étant une traduction latine de Holywood ou de Halifax). (Cf. Lynn Thorndike, The Sphere of Sacrobosco and its Commentators, Chicago : University of Chicago Press, 1949). « Cédant à la “manie des Commentaires” qui régnait alors, Clavius composa son traité sur la Sphère sous la forme d’un commentaire de l’opuscule de Sacro Bosco. Le texte du moine anglais disparaît sous les développements prolixes de Clavius, chacune de ses phrases a donné prétexte à plusieurs pages de glose. » (François de Dainville, La Géographie des humanistes, Paris : Beauchesne et fils, 1940, p. 38 – 39).

72 Cf. Étienne Gilson, Texte et commentaire du Discours de la méthode de R. Descartes, Paris : Vrin, 1925, p. 128 ; Gaston Milhaud, Descartes savant, Paris : Alcan, 1921, p. 235.

73 Mersenne 1625, cf. par exemple p. 457, 499, 522, 707, 826, et particulièrement p. 711 où Mersenne dit à propos de Clavius : « Je vous conseille de lire toute son algèbre ». Dans une lettre à Théodore Haack (Mersenne 1933-1988, vol. VIII, lettre 776, 1er novembre 1639, p. 581), à propos d’un choix des meilleurs écrits mathématiques, Mersenne cite parmi « les nouveaux les meilleurs [...] Clavius pour ses 4 ou 5 grands volumes ».

74 [ « J’ai trouvé bon d’insérer à cet endroit ces choses concernant les combinaisons, puisqu’il en avait été fait mention et que peu d’auteurs ont coutume d’expliquer les règles de cette sorte ». La citation, pour laquelle E. Coumet ne donne pas de référence, se trouve dans Christophorus Clavius, In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius, Rome : D. Basa, 1585, p. 36.]

75 L’ouvrage de Clavius cité ci-dessus parut pour la première fois à Rome, en 1570 (Cf. Sommervogel 1890- 1900, vol. II, col. 1212 – 1213), et connut de nombreuses rééditions, dont certaines revues et augmentées. Le texte qui nous intéresse se trouve inclus dans l’édition la plus ancienne qu’il nous ait été donné de consulter, celle de Lyon, 1593 ; Leibniz, on l’a vu ci-dessus, cite une édition de 1585. [N. D. É. : Celle-ci est maintenant disponible en ligne, sur le site http://gutenberg.beic.it/.]

76 [Digression très belle à propos des combinaisons ou comparaisons des choses]. Nous citerons, dans ce qui suit, d’après l’édition générale des œuvres de Clavius, parue de 1611 à 1612. La Digressio se trouve dans Clavius 1611-1612, vol. III, p. 17-19. Dans les pages qui suivent, nous abrégeons le titre de l’ouvrage de Clavius sous la forme : In Sphaeram.

77 Hae autem omnes combinationes luce clarius in figura proposita conspiciuntur [ « Mais toutes ces combinaisons seront perçues plus clairement dans la figure proposée »] (Clavius 1611-1612, In Sphaeram, vol. III, p. 18).

78 Leibniz 1666/1965, p. 34. Cf. p. 45 : Apposuimus Schema (vide paginam titulo tractatus proximan), quo origo Elementorum ex primis Qualitatibus luculenter demonstratur [ « Nous avons inclus une figure (voir la page la plus proche du titre du traité) où l’origine des Éléments à partir des qualités premières est exposée d’une manière lumineuse ».]

79 Clavius 1611-1612, In Sphaeram, vol. III, p. 18. [ « Que si l’on souhaite savoir, un certain nombre de choses étant proposées, combien on peut en former séparément de conjonctions, ce par quoi il faut comprendre non seulement quand on les assemble par deux, comme dans la règle précédente, mais aussi quand c’est par trois, quatre, cinq, etc., c’est-à-dire de combien de façons distinctes il est possible de les apparier/*comparer entre elles, ceci est produit par cet art, & par règle. »]

80 Cf. en effet Christophorus Clavius, Epitome arithmeticae praticae, Rome : D. Basa, 1585, cap. 25 : Progressiones geometricae, p. 288.

81 Pour n = 5, Clavius donne un exemple tiré de la logique : Hac ratione inter quinque res, vt inter quinque praedicabilia 26. possunt fieri diuersae comparationes. [ « De cette manière, entre cinq choses, ou entre cinq prédicats, on peut faire 26 comparaisons différentes. »]. Cf. ci-dessous, dans ce même chapitre : C, 2, d.

82 Clavius, op. cit., p. 18. [ « Il est vrai qu’on peut faire plusieurs mots, ou conjonctions de lettres, si dans une conjonction quelconque, on permute les lettres entre elles. »]

83 Ibid. [ « Donc, une fois connues par l’exemple précédent toutes les conjonctions des 23 lettres de l’alphabet, si on cherche par cette règle de combien de manières on peut commuter entre elles les lettres d’une de ces conjonctions, on aura le nombre de tous les mots, utiles et inutiles, pourvu de ne pas accepter deux fois, ou trois fois, etc., la même lettre dans un mot. »

84 À savoir, les considérations exprimées dans la phrase citée plus haut.

85 Clavius, op. cit., p. 19. [ « De cette manière, il y a 25852016738884976640000 permutations des 23 lettres entre elles dans la dernière conjonction. »]

86 Cf. également plus bas, ch. 2. 2, les prolongements que donna Guldin à ce passage de Clavius.

87 Mersenne 1625, p. 535 – 536.

88 Id., p. 536.

89 Id., p. 539.

90 Id., p. 540.

91 Id., p. 541 – 542.

92 Id., p. 544-545.

93 Id., p. 546 – 547.

94 Id., p. 548.

95 Cf. ci-dessus, p. 73.

96 Mersenne 1625, p. 549 – 550.

97 Id., p. 542 – 543.

98 Cf. ci-dessus A, 2, c.

99 Mersenne 1625, p. 540.

100 Ibid.

101 Si l’on ordonne les « mutations » à la fois selon l’ordre alphabétique, et selon leur longueur, cela revient à supposer « qu’on ne prenne iamais toutes ensemble » les 23 lettres « que les deus dernieres fois ».

102 Après avoir recopié ce même calcul, Aimé de Gaignières exprime en marge ses doutes à son sujet : « Je doubte de la verite de ceste proposition et me semble qu’au lieu d’adiouster ce nombre 16.777 168 j’estime qu’il faudrait multiplier celuy cy 25852016738884976640000 par 8 388 584 et que le produit seroit le nombre requis ou bien qu’il faudroit examiner cela car peut estre ce n’est ny l’un ny l’autre. » (B.N., fonds français, ancien supplément français, 12358, fol. 21 r°). Le scepticisme candide d’Aimé de Gaignières était justifié ; la solution qu’il envisage est complètement erronée, alors que le calcul de Mersenne n’est qu’incomplet.

103 Mersenne 1625, p. 543.

104 Nous songeons au sens qu’il faut donner au mot « nombre » dans la phrase : « prendre chaque nombre l’vn apres l’autre, iusques à 22 ».

105 Mersenne 1625, p. 603.

106 Dont le sens avait échappé à Lenoble (Lenoble 1943, p. 237, note 2). C’est une indication du Père Costabel qui nous a permis de découvrir cet opuscule. Après avoir identifié ce dernier, nous avons trouvé, dans un texte manuscrit de Mersenne lui-même, une référence plus précise que celle de La Vérité des sciences ; dans la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim (1, fol. 108 r°) il écrit en effet, à propos d’un calcul relatif à la grande quantité de froment engendré par un seul grain de froment : iuxta supputationem 11 thesis propositionum Mussiponti editarum in solemni festo sanctorum Ignatii & Xaverii. [ « suivant le calcul de la thèse 11 des propositions publiées à Pont-à-Mousson pour la fête solennelle des saints Ignace et Xavier ». Ce calcul figure en effet p. 5 de l’édition de 1622.]

107 [Propositions très belles choisies çà et là dans l’ensemble des mathématiques, et que les auditeurs de mathématiques défendront lors de la fête solennelle des saints Ignace et Xavier et de la célébration de l’anniversaire du collège de Pont-à-Mousson], [Leurechon] 1622.

108 Né à Bar-le-duc, le 15 mai 1591 ; son père, médecin du duc de Lorraine, s’opposa tout d’abord à ce qu’il entre chez les Jésuites. Il consacra seize ans à l’enseignement de la philosophie et des mathématiques ; il fut nommé recteur du collège de Bar-le-duc, et sut mériter la confiance du Duc de Lorraine, Charles III, qui le nomma son confesseur. Il mourut à Pont-à Mousson, le 17 janvier 1670. (Cf. Sommervogel 1890-1900, vol. IV, col. 1755 – 1756 ; Abbé A. Deblaye, « Étude sur la Récréation mathématique du P. J. Leurechon, Jésuite », Mémoires de la société philotechnique de Pont-à-Mousson Pont-à-Mousson : Ory, vol. I, 1874, p. 171 – 182.

109 François de Dainville, « L’enseignement des mathématiques dans les collèges jésuites de France du xvie au xviiie siècle, II », Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, vol. VII, 1954, p. 119. Cf. Eugène Martin, L’Université de Pont-à-Mousson (1572 – 1768), Paris et Nancy : Berger-Levrault, 1891, p. 324.

110 Jean Leurechon, Récréation mathématique, Pont-à-Mousson : J. Appier Hanzelet, 1626. Parue tout d’abord en latin, sans nom d’auteur, en 1624, sous le titre de : Hilaria mathematica ex variis geometriae, mechanicae, cosmographiae, opticae et aliarum hujus modi artium problematis contexta. (Sur l’histoire complexe des éditions de la Récréation mathématique, cf. Mersenne 1933-1988, vol. I, p. 422 – 423 et vol. II, p. 87.)

111 Le Père Wapy consacra un opuscule à ces « honneurs et applaudissements rendus par le collège de la Compagnie de Jésus, Université et bourgeoisie du Pont-à-Mousson », opuscule que le Père Léonard Perrin traduisit en latin. Malheureusement, aucune précision supplémentaire ne nous y est donnée sur le programme des Mathématiciens : Mathematici miracula doctrinae ediderunt. Ipsum ab eis propositum programma nova rerum expectatione mirifice delectabat. Id tamen quia longius erat, brevitatis causa hic praeteritur, Louis Wapy, Sacra atque Hilaria Mussipontana..., Pont-à-Mousson : S. Cramoisy, 1623, p. 51. [N. D. É. : La version française, maintenant en ligne (sur le site http://bibliotheque-numerique.inha.fr) est un peu plus explicite : « Les mathématiciens firent merveille, comme il se voyait en leur programme, que i’insererais ici volontiers si la longueur ne m’en empeschoit. Seulement diray-ie ce mot qu’à chaque heure ils entreprenoient matiere nouvelle, conformément à la celebrité ; par exemple, à l’occasion du siege de Pampelone où S. Ignace receut la blessure qui luy occasionna sa conversion, ils disputoient l’art d’assaillir & defendre une place fortifiée selon les règles de l’art. A raison de la Canonization des deux Saincts Ignace & François, faicte le 12. de Mars de l’an 1622. Ils traictoient les plus celebres difficultez qui se rencontrent en la Chronographie. Et parce que ces deux Saincts sont comme deux estoilles nouuelles au firmament de l’Eglise, ils mettoient sur le tapis plusieurs questions, touchant les nouuelles estoilles & cometes remarquables, & ainsi des autres parties de Mathematique. » (Louis Wapy, Honneurs et applaudissements..., Pont-à-Mousson : S. Cramoisy, 1623, p. 39-40.) Ce texte et les thèses de 1622 sont examinés dans Antonella Romano, La Contre-Réforme mathématique, Rome : École française de Rome, 1999, p. 494 – 496 et 500 – 506.]

112 Selectae propositiones in tota sparsim mathematica pulcherrimae ad usum et exercitationem Celebrium Academiarum [Propositions très belles choisies çà et là dans l’ensemble des mathématiques pour l’usage et l’exercice des illustres Académies], Pont-à-Mousson : G. Bernard, 1629.

113 « De l’homme qui va recueillant des pommes, des pierres, ou chose semblable, à certaine condition. II y a cent pommes ou cent œufs, cent pierres ou choses semblables, disposées en longueur de sorte qu’il y a tousiours un pas entre-deux. Quelqu’un ayant mis un panier à un pas pres de la premiere pomme entreprend de les recueillir toutes les unes apres les autres, & de les rapporter dans son panier. Ie demande combien il fera de chemin ? Response. Il luy faudroit bien un demy iour : car il fera dix mille & cent pas, c’est-à-dire 5. de nos lieües & cent pas surnumeraires. » (Leurechon, Recreation mathematique, op. cit., Problème 87, p. 114). Mersenne a jugé bon de revenir sur ce problème dans une note manuscrite portée sur son exemplaire de l’Harmonie universelle, Mersenne 1636a/1963, Livre second des chants, p. 144, pour montrer comment « par les nombres on soût mille difficultez », et l’a developpé dans une note manuscrite en latin portée à la fin de l’Harmonie universelle (Cf. Mersenne 1933-1988, vol. VII, p. 447 – 449).

114 Leurechon 1622, p. 2. [ « Dans la physique, les conjugaisons des qualités premières, et les variétés possibles des corps simples ou composés de ceux-ci combinés à une échelle déterminée » et « en astrologie, les conjonctions des planètes ».]

115 Sur le vers cité par Leurechon, cf. plus bas, rubrique (c).

116 Traduction par Mersenne des Selectae propositiones de Leurechon (Mersenne 1625, p. 805).

117 Mersenne ajoute au texte de Leurechon la mention des sons.

118 Mersenne 1625, p. 805.

119 Pacioli 1523, fol. 43 v°-44 r°. La première édition est de 1494.

120 Smith 1958, vol. II, p. 526.

121 Signalons en particulier que Leibniz la cite dans le De arte combinatoria, Leibniz 1666/1965, p. 86, comme une de ces applications de « la doctrine des complexions » qui sont plus amusantes qu’utiles ; il n’en donne pas moins en détail les calculs effectués par différents auteurs.

122 Cf. ci-dessous, chap. 3, B, 2.

123 In Poesi versus quilibet quantumlibet difficiles, quoties fieri potest inuerti [En poésie, combien de fois est-il possible de retourner des vers quelconques, aussi difficiles soient-ils]. Cf. plus bas les exemples donnés par Leurechon.

124 Nous avons vu plus haut (ci-dessus, B, 1 c et d.) que Clavius avait envisagé une telle recherche.

125 Cf. plus bas, p. 141 et Troisième partie, ch. 3, A, 3.

126 Mersenne devait plus tard s’intéresser de près à ce problème (Cf. ci-dessous, ch. 3, C, 2).

127 Leurechon 1622, p. 3.

128 Mersenne 1625, p. 804-805.

129 Sur Trithème, cf. ci-dessous p. 122.

130 Trithème 1625, p. 258 – 259.

131 Cf. Wilhelm Risse, Geschichte der Logik vol. I : Die Logik der Neuzeit, Stuttgart et Bad Cannstatt : F. Frommann et G. Holzboog, 1964, chap. 7 : « Die lullistische Tradition ».

132 Traduction par Mersenne des Selectae propositiones de Leurechon (Mersenne 1625, p. 805). [N. D. É. : Les deux vers (« Tes qualités, ô Vierge, sont aussi nombreuses que les étoiles du ciel » et « Roi, guide, soleil, loi, lumière, source, espoir, paix, montagne, rocher, Christ ») proviennent des Epigrammatum Libri V de Bernard van Bauhuysen, publiés à Antwerp en 1616.]

133 Montucla, vol. III, p. 388.

134 Erycius Puteanus, Pietatis Thaumata in Bernardi Bauhusii, e Societate Iesu, Proteum parthenium, unius libri versum, unius versus librum, stellarum numero, sive formis MXXII variatum, Antwerp : Plantin, B et J. Moret, 1617.

135 Jean Prestet, Nouveaux Élémens de mathématiques, 2e ed., Paris : Pralard, 1689, vol. I, L. V, p. 127 – 133.

136 Leibniz 1666/1965, p. 98.

137 John Wallis, Of Combinations, alternations and aliquot parts, London :J. Playford & R. Davis, 1685, p. 288 – 291.

138 Bernoulli 1713, p. 77 – 81. Cf. p. 79 – 81 : Typus Variationum Versus Bauhusiani 3312.

139 [ « En logique, les figures et les modes des syllogismes, les prédications et comparaisons des universaux » (Leurechon 1622, p. 2).]

140 Cf. Risse, op. cit., p. 556.

141 Johann Wirth, dit Hospinianus, Non esse tantum triginta sex bonos malosque categorici syllogismi modos ut Aristoteles cum interpretibus docuisse uidetur : sed quingentos et duodecim, quorum quidem probentur triginta sex, reluiqui uero omnes reijiciantur [Où l’on voit qu’il n’y a pas 36 catégories syllogistiques, bonnes et mauvaises, comme Aristote et ses interprètes l’ont enseigné : mais 512, dont 36 sont approuvées, toutes les autres assurément rejetées], Basel : J. Oporin, 1560.

142 Leibniz 1666/1965, p. 46.

143 Cf. Risse, op. cit., p. 556 – 557 ; Couturat 1901, p. 3 – 4.

144 On peut faire la même remarque à propos d’un texte d’Albert le Grand, cité pourtant par J. M. Bochénski comme exemple de l’application de la méthode combinatoire au calcul du nombre de tous les modes du syllogisme (Józef Maria Bocheński, A History of Formal Logic, tr. and ed. by I. Thomas, Notre Dame : University of Notre Dame Press, 1961, p. 219).

145 Sarton 1927, vol. I, p. 424-426 ; Smith 1958, vol. II, p. 524.

146 Ancius Manlius Severinus Boetius, Opera omnia, tomus posterior, vol. LXIV, Paris : [J. P. Migne], 1847, col. 149d. [ « En effet, si tu as enlevé un du nombre des choses proposées et si tu as multiplié ce qui reste, une fois 1 enlevé, par la valeur entière du nombre, la moitié de ce qui est produit par la multiplication égal cette n (n−1) pluralité qu’embrassaient les différences des choses proposées », autrement dit il y a façons de prendre 2 2 nombres parmi n, pour en former la différence.]

147 Leurechon 1622, p. 2. [ « En musique, [un usage des combinaisons est de] permettre à un homme inexpérimenté dans les choses musicales de composer tous les chants qui peuvent exister dans les limites définies des octaves ; en peinture et en sculpture, de mettre à jour la diversité spécifique d’images, de couleurs et d’emblèmes qui dans un ouvrage mosaïque et multicolore puissent être fabriqués par des pierres et des couleurs donnés, en nombre et degré déterminés, et bien plus de trouver le plus beau pour chaque détermination. »]

148 Cf. notre troisième partie, chap. I.

149 Cf. plus bas, chap. III, B, 3.

150 Cf. ci-dessous, p. 110.

151 Cf. ci-dessous, p. 364.

152 Mersenne 1625, p. 806.

153 Id., p. 578 – 580.

154 Id., p. 580.

155 Leurechon 1626, op. cit., p. 85 – 86.

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