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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 2)

Mersenne, Frenicle, et l’elaboration de l’analyse combinatoire dans la premiere moitie du xviie siecle

Préface

Texte intégral

  • 1 Cf. notre article sur « Le problème des partis avant Pascal », Archives internationales d’histoire (...)

1Dès ses premiers pas, le calcul des probabilités a trouvé dans l’analyse combinatoire un instrument, sinon indispensable1, du moins extrêmement précieux. Sous quelles modalités la jonction a-t-elle pu s’effectuer entre les notions de probabilité et de combinaison ? Telle est une des questions les plus délicates qui se soit posée à nous au cours des recherches que nous avons entreprises sur les origines et les premiers développements du calcul des probabilités. Si la notion de probabilité découvre sans mal son riche passé, il n’en va pas de même de celle de combinaison. Sans doute les historiens des mathématiques n’ont-ils pas négligé l’analyse combinatoire, mais ils en ont toujours morcelé l’étude selon un même esprit ; qu’ils en parlent à propos du calcul des probabilités, ou qu’ils la rencontrent plus incidemment dans un ouvrage déterminé, ils ne vont guère au-delà de sèches références : tel auteur connaissait tel théorème, tel autre avait aperçu une propriété différente. Ces allusions isolées ou ces études fragmentaires ne laissent rien transparaître des multiples résonances qu’éveille pourtant à lui seul le verbe « combiner ».

  • 2 Pour la vie et l’activité intellectuelle de Mersenne, cf. l’ouvrage fondamental de Robert Lenoble, (...)

2Une occasion s’est présentée à nous de prendre les choses autrement : nous avons eu la surprise de rencontrer chez le Père Mersenne2 des travaux de qualité en analyse combinatoire, travaux eux-mêmes enserrés dans un réseau complexe d’influences et de préoccupations qui en faisait un objet d’étude historique privilégié. Aussi nous a-t-il paru utile de leur consacrer une monographie qui s’appliquerait à les analyser de manière détaillée, en même temps qu’à évoquer leur contexte.

  • 3 Nous suivons ici Herbert John Ryser, Combinatorial Mathematics, New-York : Mathematical Association (...)

3Après n’avoir été longtemps appréciés que pour leur beauté ou leurs vertus récréatives, les problèmes combinatoires ont acquis de nos jours une très grande importance ; la technologie moderne, tournée par vocation vers le discret, a transformé en questions on ne peut plus sérieuses de vieilles récréations mathématiques ; et la combinatoire a considérablement étendu son domaine, en s’appliquant aux terrains de recherche les plus neufs : topologie, étude du fondement des mathématiques, théorie des graphes, théorie des jeux, programmation linéaire, etc. Son caractère interdisciplinaire très marqué fait qu’il est difficile d’en donner une définition satisfaisante3.

4Mais ce que nous appellerons « analyse combinatoire » dans ce travail couvre de toute manière un champ infiniment plus restreint : il s’agit de ce noyau très limité de définitions et de théorèmes, bien stabilisé depuis le xviiie siècle, qu’on désigne par cette expression à un niveau élémentaire de l’enseignement des mathématiques, et qui constitue un chapitre traditionnel dans les manuels de mathématiques générales ou de calcul des probabilités.

5Il serait à peine besoin d’en dire davantage, n’étaient quelques délicates questions de vocabulaire. Les mots employés pour traiter de ce chapitre ont largement différé selon les époques, les pays et les auteurs. Ainsi,

  • 4 Molk 1904, vol. I, p. 65.

« les mots de permutation et d’arrangement n’ont pas toujours eu une signification aussi précise qu’aujourd’hui ; l’un et l’autre ont été pris indifféremment dans les ouvrages écrits en français au début du xixe siècle, pour désigner tout groupe d’éléments rangés dans un ordre déterminé4 ».

6Prenons ici Antoine-Augustin Cournot à témoin des critiques que peut susciter le choix de certains mots :

  • 5 Antoine-Augustin Cournot, Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Paris : Hachett (...)

« Dans les traités élémentaires d’algèbre, où la théorie des combinaisons n’est enseignée qu’en vue de ses applications à l’algèbre, on a coutume maintenant d’appeler arrangement ce que nous désignons par combinaison ordonnée. Cette dénomination est impropre. Arranger, dans la langue commune, signifie mettre les choses dans un certain ordre, et non choisir ou combiner les choses que l’on arrange. La permutation est l’opération par laquelle on substitue un arrangement à un autre, les choses arrangées restant les mêmes5. »

7Ce n’est plus au nom de la justesse linguistique, mais pour des motifs d’ordre mathématique que les mathématiciens modernes contestent la pertinence du vocabulaire traditionnel. Insérée dans la théorie des ensembles, l’analyse combinatoire prend un autre visage.

  • 6 Georges Papy, Mathématiques modernes, Paris : M. Didier, vol. V, p. vi.

« Dans l’optique moderne, la combinatoire est essentiellement le problème du dénombrement des applications, injections et bijections d’un ensemble fini dans un ensemble fini6. »

  • 7 Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, 2e éd. revue et corrigée, vol. XX, L. I, ch. 3, Actual (...)

8C’est en ces termes qu’en traite Bourbaki dans ses Éléments de mathématiques7.

9Pour aussi précieuses que puissent être de telles vues, même pour l’analyse historique des notions, il ne nous est pas apparu possible de n’utiliser qu’elles dans cette étude. Ayant précisément à examiner la manière dont s’est institué un découpage de concepts qui devait se maintenir pendant plus de deux siècles, il était plus opportun, semble-t-il, de s’en tenir au langage consacré.

10Aussi emprunterons-nous la caractérisation suivante à un ouvrage assez ancien :

  • 8 Molk 1904, vol. I, « Analyse combinatoire et théorie des déterminants », p. 63.

« L’Analyse combinatoire est la branche des mathématiques qui s’occupe de la formation, du dénombrement et des propriétés des différents groupements que l’on peut constituer, d’après des lois déterminées, au moyen d’un nombre fini d’éléments8. »

  • 9 Ibid., p. 63 – 65. Ce chapitre est exposé par Henri Vogt d’après le chapitre correspondant de l’édi (...)

11Lorsqu’on forme des groupements au moyen d’éléments donnés, il suffit de savoir quels sont, parmi ces derniers, ceux que l’on considère comme distincts, et ceux que l’on considère comme identiques. Parmi toutes les manières de grouper ces éléments, on considère comme fondamentales les trois formations que l’on appelle Permutations, Combinaisons et Arrangements9.

12Les définitions qui suivent sont données seulement à titre signalétique. Leur donner plus de rigueur et de précision nous aurait demandé trop de place.

13Les objets considérés peuvent être :

  • soit discernables,
  • soit indiscernables,
  • soit partiellement discernables.

14Les groupements que l’on peut former à l’aide de ces objets peuvent être :

15— soit ordonnés : en ce cas, deux groupements contenant les mêmes objets sont considérés comme distincts lorsque ces objets sont placés dans un ordre différent ;

16 — soit non ordonnés : en ce cas, deux groupements contenant les mêmes objets sont considérés comme identiques, quel que soit l’ordre dans lequel sont placés ces objets.

Permutation simple

17Soit n objets discernables. On appelle Permutation simple de ces n objets, tout groupement ordonné formé à l’aide de ces n objets.

18Le nombre des Permutations de n objets qui sera désigné par P (n) est égal à :

19P(n) = 1 ⋅ 2 ⋯ ⋅ n = n !

Permutation avec répétitions

20Soit un ensemble de n objets répartis en i groupes contenant respectivement n1, n2, ⋯, ni objets (n = n1 + n2 + ⋯ + ni), les objets d’un même groupe étant indiscernables entre eux, deux objets de groupe différent étant discernables l’un de l’autre.

21On appelle Permutation avec répétitions de ces n objets tout groupement ordonné de ces n objets. Le nombre des Permutations avec répétitions de ces n objets est égal à :

Arrangement simple

22Soit un ensemble de n objets discernables.

23On appelle Arrangement simple de p objets choisis parmi n (ou de n objets pris p à p), tout groupement ordonné de p d’entre les n objets, chacun de ces n objets ne pouvant figurer qu’une fois au plus dans un même groupement (p ≤ n).

24Le nombre de ces Arrangements, qui sera désigné par A(n, p), est égal à :

25A(n, p) = n (n − 1) ⋯ (n − p + 1).

Arrangement avec répétitions

26Soit un ensemble de n objets discernables. On appelle Arrangement avec répétitions de p objets choisis parmi n (ou de n objets pris p à p), tout groupement ordonné de p d’entre les n objets, chacun des n objets pouvant figurer jusqu’à p fois dans un même groupement.

27Le nombre de ces Arrangements avec répétitions, qui sera désigné par C(n, p), est égal à :

28C(n, p) = np.

Combinaison simple

29Soit un ensemble de n objets discernables. On appelle Combinaison simple de p objets choisis parmi n (ou de n objets pris p à p), tout groupement non ordonné de p d’entre les n objets, chacun de ces n objets ne pouvant figurer qu’une fois au plus dans un même groupement (p ≤ n).

30Le nombre de ces Combinaisons, qui sera désigné par C(n, p), est égal à :

31Et l’on a :

32C(n, p) = C(n, n − p) = C(n − 1, p) + C(n − 1, p − 1).

33C(n, 0) + C(n, 1) + ⋯ + C(n, n) = 2n.

Combinaison avec répétitions

34Soit un ensemble de n objets discernables.

35On appelle Combinaison avec répétitions de p objets choisis parmi n (ou de n objets pris p à p), tout groupement non ordonné de p d’entre les n objets, chacun de ces n objets pouvant figurer jusqu’à p fois dans un même groupement.

36Le nombre de ces Combinaisons avec répétitions, qui sera désigné par K (n, p), est égal à :

37Et l’on a :

38K(n, p) = K(n, p − 1) + K(n − 1, p).

39K(n, p) = C(n + p − 1, p).

  • 10 La disposition des symboles C(n, p), etc., a été choisie pour des raisons typographiques. Pour les (...)

40Nous rencontrerons souvent, dans les textes que nous allons étudier, les mots « permutations » et « combinaisons » pris dans des sens fort divers ; aussi, pour éviter autant que possible les ambiguïtés, avons-nous pris pour règle d’écrire toujours avec une majuscule les mots qui viennent d’être définis ci-dessus. Par ailleurs, pour faire court, nous omettrons souvent l’adjectif « simple » dans les expressions : Permutation simple, Arrangement simple, Combinaison simple10.

41Lorsque sont en jeu des domaines, des périodes où les mathématiques sont contaminées par des spéculations étrangères à leur ordre propre, où elles ne progressent que mêlées à d’autres activités, l’histoire des sciences rencontre toujours la même difficulté : va-t-on décider de ne trier que les recherches et les résultats proprement mathématiques ? Mais quel arbitraire souvent dans un tel choix ! On baptise indûment théorème un exemple plus ou moins bien généralisé ; et les illusions de fausse reconnaissance guettent constamment ceux qui méprisent trop les contextes. En revanche, à trop vouloir respecter ces mêmes contextes au nom de la fidélité historique, ne va-t-on pas noyer l’essentiel dans de trop longues paraphrases ?

42Il nous a semblé, en ce qui nous concernait, que deux circonstances pouvaient nous permettre de tourner à demi la difficulté. La production de Mersenne en analyse combinatoire se distribue selon deux périodes tout à fait distinctes, distinctes même à un tel point qu’en passant de l’une à l’autre, Mersenne a franchi un véritable seuil ; c’est seulement au cours de la seconde période qu’il possède un savoir mathématique solide et bien organisé. Pourtant, on ne peut dire que, même alors, il ait dégagé dans leur pureté, des propriétés ou des théorèmes mathématiques. Ses calculs, ses dénombrements sont étroitement mêlés aux usages qu’il en veut tirer, ou adhèrent fortement à certains exemples types ; et ils relèvent par là de la problématique qui était déjà celle de la première période. En acquérant plus de savoir, Mersenne n’a pas changé de style.

43Telles sont, et la différence, et l’analogie, sur lesquelles s’articule notre exposé. Si nous voulions isoler et présenter sous la forme la plus systématique possible l’apport mathématique de Mersenne, seuls importaient les textes de la seconde période : on les trouvera analysés de ce point de vue dans nos Deuxième et Troisième Parties, où sera conduite également la confrontation entre les recherches de Mersenne et celles de Frenicle. Par contre, si nous commençons bien dans notre Première partie par considérer les textes appartenant à la première période, nous tenterons aussi d’y brosser un tableau plus général de l’art de combiner, et nous nous demanderons comment des thèmes très disparates ont pu concourir au progrès du calcul combinatoire.

Notes

1 Cf. notre article sur « Le problème des partis avant Pascal », Archives internationales d’histoire des sciences 18, nos 72-73, juillet-décembre 1965, p. 245-272 [repr. in Coumet (Ernest), 2016, Œuvres, t. 1, éd. par Thierry Martin et Sophie Roux, Besançon : PUFC, p. 73 – 95].

2 Pour la vie et l’activité intellectuelle de Mersenne, cf. l’ouvrage fondamental de Robert Lenoble, Mersenne ou la naissance du mécanisme, Paris : Vrin, 1943, que nous citerons ultérieurement sous forme abrégée Lenoble 1943.

3 Nous suivons ici Herbert John Ryser, Combinatorial Mathematics, New-York : Mathematical Association of America et John Wiley & Sons, 1963, p. 1 – 2. La définition de l’analyse combinatoire posait déjà des problèmes délicats au xixe siècle : cf. John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, New-York : John Wiley & Sons, 1958, p. vii – viii, où on peut lire les définitions données par Augustus de Morgan et Percy Alexander MacMahon.

4 Molk 1904, vol. I, p. 65.

5 Antoine-Augustin Cournot, Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Paris : Hachette, 1843, p. 7, note 1.

6 Georges Papy, Mathématiques modernes, Paris : M. Didier, vol. V, p. vi.

7 Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, 2e éd. revue et corrigée, vol. XX, L. I, ch. 3, Actualités scientifiques et industrielles 1243, Paris : Hermann, 1956, « Analyse combinatoire », p. 62 – 66.

8 Molk 1904, vol. I, « Analyse combinatoire et théorie des déterminants », p. 63.

9 Ibid., p. 63 – 65. Ce chapitre est exposé par Henri Vogt d’après le chapitre correspondant de l’édition allemande qui était dû à Eugen Netto.

10 La disposition des symboles C(n, p), etc., a été choisie pour des raisons typographiques. Pour les Arrangements avec répétitions, nous avons adopté la lettre C, cette « combinaison » étant désignée par nos deux auteurs, ainsi qu’on le verra plus loin, comme étant la combinaison générale.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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