Table des matières
Mersenne, Frenicle, et l’elaboration de l’analyse combinatoire dans la premiere moitie du xviie siecle
Préambule
- 1. Sur Aimé de Gaignières
- (a) Les recueils manuscrits de la Bibliothèque nationale, fonds français, 12357 et 12458
- (b) L’identité du copiste. Hommage de Pascal à Aimé de Gaignières à propos d’un problème de combinaison
- (c) Contenu des notes de lecture relevées par Aimé de Gaignières dans les œuvres de Mersenne
- Premier groupe
- Deuxième groupe
- 2. À propos de Frenicle : L’Abrégé des combinaisons édité en 1693
Première partie. Émergence de l’analyse combinatoire à travers les « usages » des « combinaisons »
Chapitre 1 : Premiers Contacts de Mersenne avec les « Combinaisons »
- A. Le texte des Quaestiones in Genesim. Lutte de Mersenne contre la Cabale
- 1. Occasion d’un exposé sur les « combinaisons » : critique de Pic de la Mirandole
- 2. Règles de calcul
- (a) Combinaisons
- (b) Permutations
- (c) Essai d’appliquer à un même mot ces deux types de commutatio
- 3. Textes de cabalistes sur les « commutations » des lettres de l’alphabet ; différents résultats correspondant à des types de calculs distincts
- 4. Critiques de Mersenne contre les procédés des cabalistes ; nature combinatoire de ces procédés
- B. Un texte de La Vérité des sciences. Plagiat par Mersenne d’un texte de Clavius
- 1. Analyse du texte de Clavius
- (a) Combinaisons
- (b) Règle de la « proposition double »
- (c) Permutations
- (d) Un projet de calcul ambigü ; calcul de A (22, 22)
- 2. Comparaison entre le texte de Clavius et sa reprise par Mersenne
- C. « Usages » des « combinaisons » selon Leurechon
- 1. Présentation d’un texte de Leurechon (appartenant aux Selectae propositiones de 1622) repris par Mersenne dans La Vérité des sciences
- 2. L’inventaire de Leurechon
- (a) Permutations
- (b) Langage et écriture
- (c) Un vers célèbre
- (d) Logique
- (e) Musique et peinture
- 3. L’adaptation de Mersenne. Un passage sur le jeu d’échecs
- D. Conclusion du chapitre I
Chapitre 2 : Des merveilles alphabétiques aux langues artificielles
- 1. Cryptographie et alphabets
- (a) Intérêt porté à la cryptographie dans le milieu de Mersenne
- (b) Mersenne et les « chiffres »
- (c) Manipulations alphabétiques en cryptographie
- 2. Un texte de Guldin
- 3. Mersenne : langues artificielles
- (a) De la critique de la langue adamique aux langues artificielles
- (b) Conditions imposées à la meilleure langue possible ; « art des caractères » et « art de combiner »
Chapitre 3 : Vers l’art de combiner
- A. Texte de Matan sur l’ars combinandi
- 1. Texte anonyme publié par Mersenne ; l’auteur en est Matan
- 2. Procédé méthodique d’énumération de Permutations
- 3. L’« utilité » de l’ars combinandi
- (a) Anagrammes et mots soumis à des métathèses
- (b) Calculs combinatoires de Xénocrate et Chrysippe
- (c) La polygraphie de Trithème ; mention d’autres arts
- B. De la fécondité de certains « usages » pour le calcul combinatoire
- 1. Atomes : comparaisons entre les atomes et les lettres de l’alphabet
- 2. Anagrammes
- 3. Le problème du plus beau des chants
- (a) L’antinomie du plus beau des chants
- (b) Avis divergents de correspondants de Mersenne
- (c) Incertitude de Mersenne ; nouvelle orientation : chercher à parfaire les chants
- (d) Tous les chants n’ont pas été faits
- C. Art de combiner et mathématiques
- 1. « Combinaisons » et arithmétique pratique
- 2. La passion pour les grands nombres
Deuxième partie. L’étude mathématiqe des « combinaisons »
Chapitre 1. Les notions fondamentales chez Mersenne
- A. Permutations
- 1. Permutations simples : la « combinaison ordinaire »
- 2. Permutations avec répétitions
- B. Arrangements
- C. Combinaisons
- 1. Liens avec les Arrangements
- 2. La règle de la progression double
- 3. Une énumeration de Combinaisons
- 4. Propriété de symétrie des tables de Combinaisons
- D. Combinaisons avec répétitions
- E. Arrangements avec répétitions
- 1. On tient compte de l’ordre et de la répétition ; régle de calcul ; combinaison la plus générale
- 2. Tous les mots de longueur inférieure ou égale à 22, formés avec 22 lettres ; panégyrique de la facilité et de l’universalité
Chapitre 2 : Les notions fondamentales chez Frenicle
- A. Classification générale des « combinaisons »
- B. Permutations
- 1. « Combinaison d’ordre » I
- 2. « Combinaison d’ordre » II
- C. Combinaisons et Arrangements
- 1. Rapports entre « combinaison mêlée » I et « combinaison de changement » I
- 2. La formule directe des combinaisons
- 3. Théorèmes
- D. Arrangements avec répétitions et Combinaisons avec répétitions
- 1. « Combinaison mêlée » II : règle de calcul illustrée par les « variétés » obtenues avec des chiffres
- 2. Exemples typiques de la « combinaison mêlée » II et de la « combinaison de changement » I ; la première de ces « combinaisons » comme « combinaison générale »
Chapitre 3 : Les Combinaisons avec répétition
- A. Premières approches
- 1. Chants où une note se répète plusieurs fois
- (a) Proposition XVII du « Livre second des chants »
- (b) Passage correspondant des Harmonicorum libri
- 2. À propos d’une équivoque
- (a) Notes semblables et différentes ; une critique d’Aimé de Gaignières
- (b) Une propriété de symétrie de longueur 22
- (c) Une table figurant dans les manuscrits d’Aimé de Gaignières
- 3. Chants où plusieurs des notes distinctes peuvent se répéter (Proposition XVIII du « Livre second des chants »)
- (a) Cas où on peut se ramener à ceux qui ont été examinés dans la Proposition XVII
- (b) Cas qui se résolvent dans un raisonnement direct élémentaire
- B. Cas général
- 1. Exemple soluble à l’aide des règles précédentes : chants de longueur 4
- 2. Calcul de K (n, p) : cas où ne jouent plus les analogies
- C. Rapports entre les calculs de K (n, p) et C(n, p)
- 1. Reprise en considération de l’ordre
- (a) On tient compte de l’ordre : passage de K (n, p) à C(n, p)
- (b) Passage inverse
- 2. Parallélisme entre les deux méthodes indirectes pour calculer K (n, p) et C(n, p)
- D. Méthode directe pour calculer K (n, p)
- 1. Présentation d’un calcul
- 2. « Ôter l’ordre » de la Table de C(n, p)
- (a) Caractère équivoque de cette expression
- (b) Méthode directe et méthode indirecte
- E. Frenicle : la formule directe donnant K(n, p)
- 1. Texte de l’Abrégé des combinaisons
- (a) Calculs de K(36, 12) et K(6, 100) ; calcul de K(n, p)
- (b) Liens entre Combinaisons simples et Combinaisons avec répétitions
- 2. Une tentative de calcul avortée : croyance à un passage aisé de C (n, p) à K (n, p)
- 3. Mersenne a eu du mal à comprendre le propos de Frenicle
- F. Un problème sur le jeu de dés
- Conclusion
Chapitre 4 : Le Triangle arithmétique
- A. Cardan et Tartaglia
- 1. Cardan
- (a) Construction de la table
- (b) Les numeri angulares ; la formule directe donnant C (n, p)
- 2. Tartaglia : circonstances extraordinaires de son invention
- (a) Le problème : calcul de K (6, n) ; solution de Montmort
- (b) Construction et propriétés de la table
- B. Mersenne
- 1. Une table construite à propos d’un problème particulier
- 2. Construction de la table ; avantage de la méthode directe pour obtenir C (36, 1), C (36, 2)
- 3. Un autre mode de lecture : trouver des nombres uno intuitu
- 4. La table comme procédé de calcul
- (a) Attitude critique à l’égard de la table
- (b) Mersenne ne l’a pas considérée comme un objet mathématique
- C. Frenicle. Liens entre C (n, p) et K (n, p)
- 1. Les « puissances triangulaires »
- (a) Les « ordres numériques » chez Pascal ; définition par Frenicle des « puissances triangulaires »
- (b) Texte de Fermat
- (c) Sur le choix de l’expression « puissance »
- 2. Quelques propriétés importantes
- 3. Une erreur de lecture de Mersenne
- Conclusion
Chapitre 5 : Les Combinaisons multiples
- A. Mersenne : variations de chants
- 1. Variation des temps de notes
- 2. Exemples
- 3. Les façons de chanter à plusieurs voix
- B. Mersenne : mots « utiles » et mots « inutiles »
- 1. Le problème : les contraintes de la prononciation ; relativité des classifications des voyelles et des consonnes ; système I et système II
- 2. Illustration de la méthode par des exemples
- 3.
- (a) Système I : 16 consonnes, 5 voyelles
- (b) Système II : 19 consonnes, 10 voyelles
- 4. Nombres très grands de mots très longs
- C. Frenicle : les « combinaisons multiples ». Leur place dans la classification des combinaisons
- 1. Exemples portant sur des Permutations
- 2. Exemples portant sur des Arrangements
- 3. Exemples portant sur des Combinaisons
- 4. Exemples portant sur des Permutations : assemblages de lettres pour former des dictions
- Premier exemple
- Deuxième exemple
- Conclusion
Conclusion
- 1.
- (a) Les points d’analyse combinatoire traités par Hérigone
- (b) Les résultats atteints par Mersenne et Frenicle
- 2.
- (a) Parallèle entre les classifications des « combinaisons » de Frenicle et de Jacques Bernoulli
- (b) Difficultés surmontées et mises à jour d’un réseau simple de relations entre des notions et entre des règles de calcul
Troisième partie. Énumérations et numérations
Chapitre 1 : Énumération de permutations
- A. Le Manuscrit des chants de 8 notes
- B. Une remarque de Descartes sur les anagrammes
- C. Énumérations du Père Dobert
- D. Numération des permutations de n notes
- 1. Un chant étant donné, déterminer son numéro
- (a) Deux exemples préliminaires ; un exemple de Mersenne
- (b) Règle générale ; cas particuliers
- 2. Un numéro étant donné, déterminer le chant auquel il correspond
- 3. Une méthode « naturelle » d’énumération : nombres ordonnés selon leur grandeur
- Conclusion : d’après un exposé de C.-A. Laisant
- 1. Numération factorielle
- 2. Application à la classification des Permutations ; liens entre celles-ci et la numération factorielle ; solutions des deux problèmes de Mersenne
Chapitre 2 : « Combinaisons générales » et numérotation
- A.
- 1. Problème I : un mot étant donné, trouver son numéro
- 2. Problème I’ : un numéro étant donné, trouver le mot correspondant
- B. Problèmes analogues aux problèmes I et I’ pour les mots de même longueur
- 1. Problème II
- 2. Problème II’
- C. Frenicle : traitement des mêmes problèmes
- 1.
- (a) Problème I
- (b) Problème I’
- 2.
- (a) Problème II
- (b) Problème II’
- D. Analogie entre les procédures précédentes et le système de numération à base 22
- 1. Mersenne
- (a) Analogie, mais absence du zéro
- (b) Intérêt historique de l’analogie. Mersenne a lu ses dictions comme des nombres
- 2. Frenicle : le système décimal comme un certain système d’écriture
Chapitre 3 : Énumérations et numérations
- A. Langues artificielles
- 1. Lettre de Peiresc
- 2. Capacité indéfinie de dénomination des langues artificielles
- 3. « Un paradoxe d’une autre force que celui d’Archimède »
- B. Cryptographie
- 1. Les Procédures I et II comme systèmes cryptographiques
- 2. Construction d’alphabets ayant un nombre réduit de caractères
- (a) Vigenère et Bacon
- (b) Mersenne
- 3. Un système cryptographique de représentation des nombres chez Cardan
- Conclusion
Appendice
I. Textes manuscrits inédits de Mersenne
- A. Extraits de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, II
- B. Extraits du Manuscrit des chants de 8 notes
- C. Notes manuscrites portées par Mersenne sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle
- 1. Notes portées dans les marges du « Livre second des chants »
- 2. Note portée à la fin de l’Harmonie universelle
III. Notice sur les manuscrits de l’Abrégé des combinaisons de Frenicle
- A. Manuscrits des Archives de l’Academie des sciences
- 1. Le manuscrit F-a
- 2. Le manuscrit F-b
- B. Manuscrits de la Bibliothèque nationale
- 1. Bibliothèque nationale, fonds français, nouvelles acquisitions, 5 176
- (a) Fol. 38 r°-fol. 39 v°
- (b) Fol. 40 r°-fol. 41 v°
- (c) Fol. 42 r°
- 2. Bibliothèque nationale, fonds français, nouvelles acquisitions, 5 175
- (a)
- (b)
- C. Sur la provenance de ces manuscrits
S. D. Poisson élève à l’École polytechnique : quelques documents inédits
- 1. Deux attestations
- Attestation de bonne conduite et de civisme
- Attestation relative à la situation de Siméon Poisson, père
- 2. « L’affaire du binôme de Newton »
- A. Note du Citoyen Hachette au directeur
- B. Projet de lettre au Moniteur
- C. Guyton de Morveau au Moniteur
- 3. « Société d’enseignement »
- A. Annonce
- B. L’opinion du Conseil
- C. Projet de cours de géométrie descriptive
- 4. Satisfaction et encouragements : vers le bonheur des nations
- Bibliographie
