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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Sur le calcul ès jeux de hasard de Huygens. Dialogues avec les mathématiciens français (1655-1657)

Texte intégral

Huygens et la France, Paris : Vrin, 1981, p. 123-138. Nous remercions les Éditions Vrin de nous avoir autorisés à reproduire ce texte.

  • 1 Ce tome V a pour titre : « Francisci a Schooten Exercitationum Mathematicarum Liber V. Continens Se (...)
  • 2 Rappelons que le traité de Huygens, assorti des Annotations de Jacques Bernoulli constitue la premi (...)
  • 3 Le traité de Huygens est reproduit au vol. XIV des Œuvres (La Haye, 1920) dans sa version hollandai (...)

1« J’ay depuis quelques jours escrit les fondements du calcul es jeux de hasard à la priere de Monsieur Schooten qui le veut faire imprimer ». C’est en ces termes que, le 18 avril 1656, Huygens annonce à Roberval la composition d’un ouvrage que son maître avait obligeamment proposé d’insérer dans une de ses propres publications. Rédigé d’abord en hollandais, l’ouvrage fut ensuite traduit en latin ; mais ce fut cette seconde version qui parut la première dans l’édition latine des Exercitationun mathematicarum libri quinque de Van Schooten, à la fin du tome V, sous le titre suivant : De ratiociniis in ludo aleae1. Rien ne saurait mieux s’accorder au thème de la présente Table ronde : « Huygens et la France » que son examen. A Paris furent posées, au cours du premier voyage qu’y fit le jeune Huygens, les questions auxquelles il dut le jour ; aux contacts maintenus par correspondance avec les plus célèbres mathématiciens français furent dus les ajouts, de minime étendue mais de grande conséquence, dont s’enrichit la première rédaction. On ne saurait bien appréhender ni la structure ni même le contenu du De ratiociniis, sans pousser le plus loin possible la connaissance précise de ces questions et de ces contacts ; à l’inverse, c’est à travers lui que se prolongent certaines recherches de Fermat et de Pascal : c’est même par son office que, sous une forme à vrai dire enveloppée, quelques unes, parmi ces dernières, gagnèrent une publicité immédiate et purent ainsi jouer le rôle que l’on sait dans les développements ultérieurs du calcul des probabilités. Dans sa sécheresse mathématique, l’opuscule ne nous apprend lui-même quasiment rien sur de tels échanges, et même un commentateur aussi perspicace que Jacques Bernoulli2 ne pouvait, privé qu’il était de renseignements sur leurs péripéties, en pénétrer les arcanes. La monumentale édition de la Correspondance de Huygens, puis l’Avertissement, si étendu et si précis, qui précède dans le tome XIV des Œuvres le Van Rekeningh in Spelen van Geluck3 apportèrent une documentation si abondante, que, pour des raisons opposées, on aurait aujourd’hui plutôt du mal à en avoir une vue tout à la fois synthétique et circonstanciée, d’autant que les recherches historiques contemporaines nous octroient leur juste lot d’instructions nouvelles et d’interprétations divergentes.

2Il convient, et de scruter plus avant des indications fragmentaires, et de mieux mesurer les jugements portés sur certains textes : c’est à une telle tâche que nous voudrions contribuer, par l’examen, strictement délimité ici à quelques uns de leurs aspects, de ces dialogues entre Huygens et les mathématiciens français, en cette courte période qui va du premier voyage parisien à l’édition du De rationiis in ludo aleae.

  • 4 Avertissement, p. 3-4.

« On sait qu’en 1654, le Chevalier de Méré, joueur renommé et un peu mathématicien, proposa à Pascal quelques problèmes concernant les jeux de hasards, qu’il en résultait un échange de lettres entre Pascal et Fermat et que ce fut là l’origine du calcul des probabilités. Or, l’année suivante, le jeune Huygens, déjà connu par quelques ouvrages de mathématiques se rendit à Paris. Ce séjour se prolongea de la mi-juillet jusqu’à la fin de novembre. Huygens ne rencontra à cette occasion ni Fermat (qui demeurait à Toulouse) ni Pascal, ni Carcavy qui avait servi d’intermédiaire lors de l’échange de lettres de ces deux savants sur les problèmes de Méré ; mais il fréquenta Claude Mylon, un des amis de Carcavy, et Roberval à qui l’on s’était adressé, de même qu’à Pascal, pour la solution des problèmes qui occupaient de Méré. II n’y a donc pas lieu de s’étonner que Huygens fut informé de l’existence de ces problèmes (dont l’un est resté connu sous le nom de « problème des partis » et dont nous appellerons les autres « les problèmes des dés ») sans avoir l’occasion d’en connaître les solutions obtenues par Pascal et Fermat, ou les méthodes suivies par eux4. »

3Partons de ce bilan que recommandent et sa sûreté et sa concision ; il nous évitera de revenir sur les faits les plus connus et les mieux établis. Aussi prudent que soit ce relevé de nos certitudes comme aussi surtout de nos ignorances, ne s’y glisse-t-il pas une hypothèse forcée lorsqu’est donnée pour claire une distinction entre problèmes dont seule l’existence aurait été connue, et méthodes, solutions, elles entièrement ignorées ? À l’inverse, ne peut-on aller un peu au-delà du pur recensement des rencontres parisiennes ?

  • 5 Voir Pascal 1964, vol. I, p. 502.
  • 6 Dans des notations manuscrites de 1676 : « Proposuit mihi dux Roannesius », et « Mons. le duc de Ro (...)
  • 7 Des Billettes à Leibniz, 27 oct. 1696. Voir Mesnard 1965, vol. I, p. 370-371.
  • 8 Id., vol. I, p. 371, note 1. Arrivé à Paris le 28 oct. 1660, « le jeune savant hollandais avait dès (...)

4Pour commencer par ce point, la liste des informateurs éventuels est-elle bien complète ? Il est au moins deux personnages dont on pourrait imaginer qu’ils aient pu jouer ce rôle : le Chevalier de Méré, le duc de Roannez. Quant au premier, nous sommes assurés que Huygens l’a rencontré ; une brève note du Journal de voyage « constitue aujourd’hui, conjointement avec ce qu’en dit Pascal dans sa lettre à Fermat du 29 juillet 1654, un des plus sûrs garants de sa primauté en quelque a invention « relative aux jeux de hasard : « Diné chez le duc de Roannez avec le chevalier de Méré inventeur des partis dans le jeu5. » Mais cette rencontre n’eut lieu qu’au cours du deuxième séjour parisien, le 30 décembre 1660. Tournons nous maintenant vers cette autre possibilité : le duc de Roannez, témoin privilégié, féru de difficultés propres à surprendre ses relations savantes, n’aurait-il pas joué à l’égard du jeune Huygens le rôle qu’il jouera effectivement à l’égard du jeune Leibniz6 ? N’est-ce pas lui qui aurait proposé des questions à Huygens ? Une déclaration formelle de Des Billettes parait nous en assurer : quant à l’estimation des partis du jeu, « cela fut poussé par M. de Rouanez qui en parla à Mrs Hugens et Pascal, dont le premier en a fait un petit traité qu’il me donna nommé ce me semble de ludo aleae7 ». Mais la mémoire de Des Billettes est ici en défaut, comme l’a remarqué J. Mesnard : le duc de Roannez n’a pu intervenir aucunement comme intermédiaire ; il ne fit la connaissance de Huygens qu’en 16608.

5Restent Roberval et Mylon ; comme se contente de le remarquer l’Avertissement, ils font bien partie, eux, des personnes rencontrées par Huygens au cours du premier voyage. Plusieurs indices convergent qui nous feraient volontiers supposer plus fermement qu’ils entretinrent Huygens d’un sujet neuf qui avait agité il y a peu le groupe auquel ils appartenaient tous deux.

6Relevons tout d’abord le fait qu’à peine achevée la première rédaction de son opuscule, c’est vers eux que se tourne Huygens, non pas seulement pour en annoncer la parution, mais pour leur poser des problèmes de son cru. Le 18 avril 1656, il écrit à Roberval :

  • 9 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 404.

« J’ay depuis quelques jours escrit les fondements du calcul es jeux de hasard à la priere de Monsieur Schooten qui le veut faire imprimer, ou j’ay entre autres proposé une telle question. Quand je joue contre un autre avec deux dez, à condition que je gagneray aussi tost que je feray 7 poincts, et que il gagnera luy aussi tost qu’il fait 6 poincts ; et que je luy donne les dèz. Je demande qui des deux à de l’avantage en cecy, et quel. Je desire fort de veoir si vous trouverez mesme solution a cecy que moy9. »

  • 10 « Sommaire : Exemplaires. Questions des dez. Regle de Descartes [Chr. Huygens] » (id., p. 399).
  • 11 Cette lettre est une réponse à une lettre du 13 mai 1656 qui n’a pas été retrouvée par les éditeurs (...)
  • 12 Id., p. 426.

7Manifestement Huygens parle ici à quelqu’un qu’il sait déjà familier avec une matière si extraordinaire à cette époque, et ce n’est pas à un profane qu’on aurait ainsi posé, sans préparation d’aucune sorte, une question aussi directe ; le problème figure, comme le dit Huygens, dans son traité : il y constitue la Proposition XIV. Nous ne disposons pas dans la Correspondance de la lettre à Mylon où dut être formulée une demande semblable ; nous avons remarqué toutefois, dans un court Sommaire dû à Huygens, placé par les éditeurs en tête de la lettre de Mylon à Huygens du 15 avril 1656, la mention : « Question des dez10 ». De toute manière, nous est donnée la lettre du 1er juin 165611, dans laquelle Huygens déclare, avant de commenter les solutions qui lui ont été retournées : « J’ay pris grand contentement à veoir vostre raisonnement sur ce que j’avois proposé du jeu des dez12. » Il résulte des termes de cette lettre qu’outre le problème de la Proposition XIV,

  • 13 Avertissement (id., p. 6, note 3).

« Huygens avait posé à Mylon des questions sur l’avantage de la primauté dans le cas où le jeu est gagné par celui qui réussit le premier à faire un coup déterminé13. »

8Rappelons en second lieu ces passages bien connus de Pascal où figure le nom de Roberval :

  • 14 Pascal 1964, vol. II, p. 1137.

« J’admire bien davantage la méthode des parties que celle des dés. J’avais vu plusieurs personnes trouver celle des dés, comme M. le Chevalier de Méré, qui est celui qui m’a proposé ces questions et aussi M. de Roberval : mais M. de Méré n’avait jamais pu trouver la juste valeur des parties ni de biais pour y arriver, de sorte que je me trouvais seul qui eusse connu cette proportion14. »

9Roberval a bien eu par ailleurs, à décider de « l’art de faire le parti » : la lettre de Pascal à Fermat du 24 août 1654 nous en assure, mais nous informe du même coup que loin d’accepter de bonne grâce les méthodes proposées, il en critiquait le bien fondé, et ergotant pied à pied, se défiait de ce qui, en elles, ne lui paraissait pas vraiment démonstratif :

  • 15 Id., p. 1148-1149.

« Je communiquai votre méthode à nos Messieurs, sur quoi M. de Roberval me fit cette objection :
Que c’est à tort que l’on prend l’art de faire le parti sur la supposition qu’on joue en quatre parties, vu que, quand il manque deux parties à l’un et trois à l’autre, il n’est pas de nécessité que l’on joue quatre parties, pouvant arriver qu’on n’en jouera que deux ou trois, ou à la vérité peut-être quatre.
Et ainsi qu’il ne voyait pas pourquoi on prétendait de faire le parti juste sur une condition feinte qu’on jouera quatre parties vu que la condition naturelle du jeu, est qu’on ne jouera plus dès que l’un des joueurs aura gagné, et qu’au moins, si cela n’était faux, cela n’était pas démontré.
De sorte qu’il avait quelque soupçon que nous avions fait un paralogisme15 ».

  • 16 J. Mesnard, dans l’étude qui ressuscita littéralement l’Académie Le Pailleur (Mesnard 1964, p. 10). (...)

10Ce débat se tint devant « nos Messieurs ». « Pascal donne à ce propos le détail des arguments échangés : il nous fait véritablement assister à une séance de l’académie Le Pailleur16 ».

11Voici enfin une déclaration de Huygens qui, semble-t-il, n’a pas été remarquée jusqu’ici, et que nous avons relevée dans la lettre à Wallis du 21 juillet 1656 ; Huygens vient d’annoncer la composition de son traité De aleae ratiociniis ; il poursuit en ces termes :

  • 17 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 459-460.

« Occasionem mihi dederant in Gallia Mathematici quidam, qui quaestiones hujusmodi mihi proposuerant. Nempe quoto jactu aliquis una terrera qualibus vulgo nunc utuntur, senarium se daturum contendere possit. Item duabus tesseris quoto jactu senario duos. et plurimas praeterea hujus generis, quibus resolvendis non admodum facile fuit prima principia reperire17. »

  • 18 Pascal 1964, vol. II, p. 1142.

12Huygens laisse malheureusement en suspens la liste des questions proposées ; les deux questions mentionnées correspondent à celles qu’évoque Pascal dans sa lettre à Fermat du 29 juillet 1654, et dont les solutions suscitèrent « une difficulté qui étonnait fort » le Chevalier de Méré : « Si on entreprend de faire un six avec un dé », en combien de coups y a-t-il « avantage de l’entreprendre » ? Même question, « si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés18 ». Huygens les a insérées dans le De ratiociniis ; elles font l’objet respectivement des Propositions X et XI. Nous retiendra ensuite au premier chef cette expression : « Mathematici quidam » ; sous la plume de Huygens, elle ne peut désigner que des mathématiciens au sens propre du mot ; et dans le Paris de 1655, des mathématiciens liés par les mêmes intérêts. Tout concorde ainsi pour restreindre le cercle des informateurs éventuels de Huygens et nous confirmer dans l’opinion qu’ils touchaient de prés à l’Académie Le Pailleur. De tout ce qui précède, nous pouvons semble-t-il inférer que c’est bien par Roberval et Mylon que Huygens eut connaissance des questions relatives aux jeux de hasard.

  • 19 Voir Costabel 1974, p. 599. Nous avons rencontré, précisément dans le volume où parait le De ratioc (...)
  • 20 « J’esperois repasser et estudier avec vous ces belles sciences ou vous excellez. Je croyois avoir (...)
  • 21 Huygens ajoute à sa lettre du 27 juillet 1656, en post-scriptum : « Il y a longtemps que je n’ay po (...)

13 Mylon, lié par ailleurs de longue date avec Van Schooten19, aspirait vivement à poursuivre des échanges dont il regrettait qu’ils aient été trop vite interrompus à Paris20 ; comme nous le verrons, il tenta de s’appliquer aux problèmes venus de La Haye, et répondit de son mieux, conjointement avec Carcavy aux sollicitations d’un Huygens en quête d’avis autorisés. Roberval, pat contre, fit pour autant que nous le sachions, la sourde oreille. Nous avons toutefois remarqué que, par deux fois, le 27 juillet21 et le 12 octobre 1656, Huygens veut le tenir informé du dernier état de ses recherches ; le 12 octobre, il écrit même à Carcavy :

  • 22 Id., p. 506.

« Faites moy la grace je vous prie de communiquer tout cecy à Monsieur Mylon, et aussi à Monsieur de Roberval, puis que vous le voyez quelquefois, afin que je n’aye pas besoin d’escrire plusieurs fois une mesme chose22. »

14Le silence de Roberval mériterait qu’on s’y arrête. Peut-être n’est-il en rien significatif ; peut-être au contraire, a-t-il tenu à quelques graves réticences ; au cas même où, au cours de la discussion dépeinte plus haut, Roberval ait rendu les armes devant les « démonstrations » de Pascal, des doutes encore plus graves ont pu subsister dans son esprit ; nous ne serions pas loin de le penser, sur la foi d’indications concordantes. Ne produisons ici qu’un souvenir de Leibniz, à vrai dire déjà très parlant :

  • 23 Lettre à Filleau des Billettes du 30 juillet 1696, Leibniz 1896, cité par Mesnard 1965, vol. I, p.  (...)

15« Je me souviens que Monsieur le Duc de Rohannez me fit l’honneur de me conter l’histoire de la recherche sur l’estime des paris et des avantages du jeu […]. Il me conta aussi que M. Roberval n’y avoit rien compris et n’avoit point cru la matière susceptible de démonstrations23. »

  • 24 Ce texte se présente dans le De ratiociniis sous la forme d’une lettre datée (La Haye, le 27 avril  (...)
  • 25 La version latine de la Lettre-préface qui est la version originale a été donnée dans Huygens 1888- (...)

16 Huygens a placé en tête de son opuscule, pour y faire office de préface24, une lettre à Van Schooten25. C’est le seul lieu de l’ouvrage où quelque allusion soit faite à l’avènement du nouveau calcul. Dette y est déclarée, cela est bien connu, à l’égard de certains mathématiciens, parmi les plus célèbres de France, qui en avaient déjà traité. Mais lit-on vraiment ce texte avec les yeux d’un lecteur de 1657 ?

« Sciendum verò, quod jam pridem inter praestantissimos totâ Galliâ Geometras calculus hic agitatus fuerit, ne quis indebitam mihi primae inventionis gloriam hâc in re tribuat. Caeterùm illi, difficillimis quibusque quaestionibus se invicem exercere soliti, methodum suam quisque occultam retinuiêre, adeo ut à primis elementis universam hanc materiam evolvere mihi necesse fuerit. Quamobrem ignoro etiamnum an eodem mecum principio illi utantur ; at in resolvendis Problematis pulchrè nobis convenire saepenumerò expertus sum ».

  • 26 « […] omissa tamen analysi, cum quod prolixam nimis operam poscebant, si perspicuè omnia exequi vol (...)

17Certes, allusion est faite à des géomètres français, mais quel laconisme, pour ne pas dire quels mystères ! Un lecteur non prévenu pouvait-il soupçonner que l’allusion visait très précisément Fermat et Pascal ? Aucun nom, encore moins de détails anecdotiques. Rien absolument sur un voyage à Paris, rien sur les échanges ultérieurs, indirects et imparfaits certes, mais fructueux, avec ces mêmes géomètres français. L’auteur ignore si ces derniers se sont servis du même principe que lui ; l’assertion ne manquait pas de vérité, si on savait l’entendre ; comment deviner cependant à la lire, qu’assurance expresse avait été communiquée par Carcavy ? « Monsieur Pascal se sert du mesme principe que vous. » Mais il ne convient pas d’insister plus que de raison sur ce laconisme et ces silences ; les motifs en sont clairs. Ces quelques lignes n’ont d’autre but que de présenter brièvement ceux des Problèmes, simplement formulés en fin d’ouvrage, dont l’énoncé parvint de France. Elles sont d’un mathématicien qui a appris à son corps défendant la difficulté, mais aussi l’intérêt de ces Problèmes. En donner « l’analyse », c’était s’engager dans de trop longs développements26. Nous savons, nous, que manquait aussi le temps. Il reste que Huygens aurait pu tout simplement ne dire mot de tels problèmes. S’il a préféré, au prix de regrettables silences, les livrer à l’impression, c’est probablement qu’il accordait autant de prix aux subtilités des recherches en cours qu’à ses propres Propositions. On comprendra peut-être mieux de ce fait que Huygens, dans cette Lettre-préface, ne dise mot du novice qu’il fut en France.

18À ne pas distinguer avec la plus grande fermeté problèmes connus au cours du séjour parisien et problèmes reçus ultérieurement, on ne court pas seulement le danger de brouiller les chronologies, comme le font des historiques trop sommaires ; on s’ôte toute possibilité d’entrevoir ce que furent ces problèmes initiaux ; au surplus, le laconisme mal compris de la Lettre-préface a pu détourner les commentateurs de rechercher des renseignements plus précis dans la Correspondance.

19Les échanges entre Huygens et Van Schooten relatifs à la publication du De ratiociniis nous livrent de fait deux textes précieux dont on n’a pas jusqu’ici, semble-t-il, tiré vraiment profit.

20Le premier, écho très certainement d’une information obtenue à Paris, apporte pour le moins des confirmations à ne pas négliger sur des points qu’on pouvait considérer comme déjà connus :

  • 27 Lettre du 20 avril 1656 à Van Schooten (Huygens 1888-1950, vol. I, p. 405).

« Difficultas materiae vel ex eo intelligi queat, quod Paschalius acerrimi ingenii juvenis nihil sibi aequè obscurum occurrisse aut majori labore constitisse asseveret. nam et ipse omnia haec aut pleraque certè investigavit, uti et Fermatius ; sed quibus principiis usi fuerint nemini adhuc puto compertum27. »

21Que Pascal n’ait pas, en la période où il se livrait à leur étude, rencontré de matière plus obscure et ayant exigé de lui plus de peine que celle des jeux de hasard : en voici un témoignage très directement recueilli. Que Huygens ait entendu dire à Paris que Fermat en avait traité, le contraire eut été surprenant ; toutefois, l’indication, venant de Huygens lui-même – qui en a su encore moins sur les méthodes de Fermat que sur celles de Pascal – mérite d’être retenue. Qu’enfin, Huygens déclare ignorer sur quels principes se sont appuyés Pascal et Fermat, l’affirmation est bien plus riche de sens que celle, relevée plus haut, dans la Lettre-préface ; mais Huygens en dit davantage, et par ce trait, nous apprenons (personne, à ses dires, n’étant à ce jour, au fait de ces principes), que ses informateurs parisiens étaient à ses yeux, sur ce sujet, aussi ignorants que lui.

22Notre deuxième texte, une simple phrase dans la lettre à van Schooten du 6 mai 1656, retiendra déjà l’attention du fait qu’y est esquissé le projet de faire précéder le De ratiociniis par une lettre qui fera office de préface :

  • 28 Lettre du 6 mai 1656 à Van Schooten (Huygens 1888-1950, vol. I, p. 413).

« Quin etiam expediet ut praefationis vice epistola mea ad te praeponatur, in qua de materia ipsa deque eo qui primus eam examinare instituit quadam praescribantur, et quid mihi de Paschalii circa haec inventa in Gallia innotuerit28. »

23 On aura immédiatement vu que les deux derniers points mentionnés ne figurent pas dans la Lettre-préface telle qu’elle sera donnée à l’impression en 1657 ; l’auteur n’y dit mot, disions-nous plus haut, du novice qu’il fut ; nous sommes maintenant assurés, de source sûre, qu’il a bel et bien renoncé à en parler, alors qu’il avait, en un premier temps, projeté de faire état des informations recueillies à Paris. Ce dont nous a privés ce renoncement, ce sont des clartés sur celui qui « donna les premières ouvertures sur l’estime des paris » ; ne serait-ce pas en effet du chevalier de Méré dont voulait parler Huygens… « deque eo qui primus eam examinare instituit ». En second lieu, nous tirons, pour notre part, du dernier membre de phrase : « et quid mihi de Paschalii circa haec inventa in Gallia innotuerit », une indication en faveur de cette conjecture : Huygens se serait vu communiquer davantage que le seul énoncé de problèmes, et si, en toute rigueur, les « principes » lui échappèrent, quelques lueurs lui furent données sur des solutions particulières.

24Ainsi donc, lorsque, dans la Lettre-préface, Huygens évoque la « prima inventio » du calcul, il ne songe guère aux circonstances de sa première apparition, mais à sa constitution véritable entre les mains de Fermat et de Pascal : calcul bien fondé capable d’affronter les plus grandes difficultés. Mais qu’est donc son « principe », sur l’unicité duquel, en ce même lieu, Huygens laisse planer un si sérieux doute ?

  • 29 Huygens 1888-1950, vol. XIV, Avertissement, p. 18.

25« Le calcul des probabilités est une science de mathématiques appliquées. Afin de pouvoir traiter une telle science sous la forme que Huygens choisissait de préférence dans ses premiers ouvrages, il fallait donc commencer, à l’exemple d’Archimède, par formuler, comme supplément aux postulats purement mathématiques, une ou plusieurs hypothèses pouvant servir de point de départ à la démonstration des théories dont on avait besoin29. »

26Un tel jugement appelle plusieurs interrogations. Nous ne nous préoccuperons pas ici de ce style de rédaction du jeune Huygens qu’aurait marqué l’influence d’Archimède. Sur le terrain seul de l’analyse des jeux de hasard, n’y a-t-il pas quelque anachronisme à s’en rapporter d’emblée à la notion de « mathématiques appliquées » ? Ces distinctions entre postulats, hypothèses, démonstrations sont-elles pertinentes ? Et tout d’abord, est-ce bien ainsi qu’aurait pu s’exprimer Huygens ? Revenons à sa déclaration. « J’ay depuis quelques jours escrit les fondements du calcul es jeux de hasard. » Peut-on qualifier ces fondements par le mot « hypothèses » ? Quel est leur rapport au « calcul » ? Ne peut-on mieux préciser d’un point de vue historique la nature de leur insertion dans les Mathématiques ? Questions qu’il faut d’autant moins négliger que Jacques Bernoulli a consacré de son autorité ce mot de fundamentum, nous en proposant d’ailleurs déjà une interprétation : si Huygens l’exprime explicitement sous forme générale dans le Préambule, il l’exprime également mais sous forme particulière dans les trois premières Propositions :

  • 30 Bernoulli 1975, p. 110-111.

« Auctor hujus Tractatiis in fine Proœmii sui generaliter, in hâc verò & duabus sequentibus Propositionibus specialiùs totius Artis fundamentum exponit30. »

27Selon Nicolas Bernoulli sont présentés dans la première partie de l’Ars conjectandi les « prima Artis Conjectandi elementa » :

  • 31 Id., p. 108.

« Divisit Auctor Opus istud in quatuor Partes, quarum Ima continet Illustris Hugenii Diatribam de Ratiociniis in Aleae Ludo cum Annotationibus, quam Tractatui suo tanquam prima Artis Conjectandi elementa praemittendam esse judicavit31. »

28N’est-il pas frivole celui qui applique son esprit à des frivolités ? L’auteur croit bon de trouver excuse à ce qui a l’apparence d’un divertissement. Précaution liminaire significative ; il n’allait pas de soi qu’à une matière si légère puisse se rapporter un examen sérieux, qui plus est, mathématique.

  • 32 Lettre-préface.
  • 33 C. Huygens à G. A. Kinner von Löwenthurn, 30 oct. 1659, in Huygens 1888-1950, lettre n° 679, vol. I (...)

« Quippe cum in re levi ac frivolâ operam collocâsse videri alioqui possem […] Quanquam, si quis penitius ea quae tradimus examinare caeperit, non dubito quin continuo reperturus sit, rem non, ut videtur, ludicram agi […]32 ». « Quae quidem ludicra sunt quodammodo […]33 ».

  • 34 Voir dans la Lettre-préface : « […] sed pulchrae subtilissimaeque contemplationis fundamenta explic (...)
  • 35 Dans la Lettre-préface : « Et Problemata quidem quae in hoc genere proponuntur, nihilo minus profun (...)

29Huygens escompte du lecteur attentif qu’il échappe à ces premières impressions : rien n’est plus malaisé à saisir que ces apparentes bagatelles. Elles requièrent la plus grande subtilité34 ; en ordre de difficulté, elles égalent même, n’hésite pas à proclamer Huygens, les problèmes de Diophante. Elles ont exercé la sagacité de mathématiciens parmi les plus perspicaces qui se sont mis à l’épreuve en se proposant des questions très difficiles35. Difficulté proprement mathématique, mais aussi plus profondément, subtilité d’un art qui paraît d’autant plus admirable qu’il assujettit rationnellement ce qui paraît le plus rebelle à une telle prise :

  • 36 Ibid. Nicolas Bernoulli citera cette phrase à l’appui de sa propre célébration de l’Ars conjectandi(...)

« quanto enim minus rationis terminis comprehendi posse videbantur, quae fortuita sunt atque incerta, tanto admirabilior ars censebitur, cui ista quoque subjacent36 ».

30Comment ne pas songer à une célébration analogue de ce nouvel art admirable, celle de Pascal, dans l’Adresse à l’Académie parisienne ?

  • 37 Pascal 1964, vol. II, p. 1034-1035.

« Eam quippe tanta securitate in artem per geometriam reduximus ut certitudinis ejus particeps facta, jam audacter prodeat ; et sic matheseos demonstrationes cum aleae incertitudine jungendo, et quae contraria videntur conciliando, ab utraque nominationem suam accipiens, stupendum hune titulum jure sibi arrogat : Aleae Geometria37. »

31Venons en aux formes différentes que prend ce « fundamentum », ainsi défini en tête du De ratiociniis :

  • 38 Huygens 1657, p. 521-522.

« Hoc autem utrobique utar fundamento : nimirum, in aleae ludo tanti aestimandam esse cujusque sortem seu expectationem ad aliquid obtinendum, quantum si habeat, possit denuo ad similem sortem sive expectationem pervenire, aequâ conditione certans38. »

32Dans ce document particulièrement précieux qu’est ici la lettre à Carcavy du 6 juillet 1656, c’est un « théorème » que formule Huygens, lorsqu’il tient à faire la preuve qu’il possède bien la « méthode » permettant de venir à bout des problèmes proposés par Fermat :

  • 39 C. Huygens à Pierre de Carcavy, 6 juillet 1656, in Huygens 1888-1950, lettre n° 308, vol. I, p. 442

« [...] dans le traité que j’ay envoyé à Monsieur Schoten il y a 2 mois […], il y a aussi un Theoreme duquel je me sers dans toutes ces questions des partis du jeu […]. Le Theoreme est cettui-cy. Si le nombre des hazards qu’on à pour avoir b soit p, et le nombre des hazards qu’on à pour c soit q : Cela vaut autant que si l’on avoit Image39

  • 40 Id., p. 505.
  • 41 Ainsi dans la Lettre-préface : « Quamobrem ignoro etiamnum an eodem mecum principio illi utantur », (...)

33On reconnaît la « Proposition III » du De ratiociniis. Dans sa lettre suivante à Carcavy40, Huygens utilise conjointement les mots « théorème » et « regle » : « Dans le Theoreme dont vous dites que ce dernier [Pascal] se sert de mesme que moi »… « Or de cette reigle je m’en sers aussi dans l’exemple que vous avez proposé. » Enfin, dans des contextes où est moins directement en cause un « Théorème » se rencontrent également les mots « principe » et « méthode41 ».

34Loin de nous l’intention de dénoncer en ces variations de mots quelque dommageable flottement de pensée. Tout contraire est le trait que nous voudrions souligner : fermeté de la confiance en une règle, de quelque nom qu’on l’appelle ; l’assurance de pouvoir en toute question de ce genre, prendre appui sur une même méthode. Qu’en telle circonstance, Huygens donne sa Proposition III pour Théorème fondamental, cela prouve qu’en son esprit, la légitimation dont il avait doté cette Proposition en la dérivant à partir de son « fondement » initial, la consacrait comme « règle » ensuite directement utilisable. Cette confiance, cette assurance, nous devons aux à peu près de Carcavy, de les voir s’exprimer en toute clarté, lorsque Huygens, très intrigué assurément par la formulation arithmétique sous laquelle lui parvenaient des résultats particuliers de Pascal, se déclare convaincu de l’universalité de sa méthode :

  • 42 Id., p. 505.

« Et quoyque ce ne soit pas avec la mesme brievetè qu’apporte celle de Monsieur Pascal au cas que l’on a une ou deux parties à point ; Elle est toutefois fort universelle, et je croy que dans les autres cas aux quels celle de Monsieur Pascal ne s’estend point, il se sert de la mesme ou d’une semblable, et que mesme sans l’ayde d’une telle il n’est pas parvenu à la siene qui est à la verite fort compendieuse et belle42. »

35Et son théorème dut lui paraître d’autant plus puissant que par son seul usage, il vint à bout d’une difficulté que Pascal avait estimé redoutable, même pour Fermat :

  • 43 Ibid.

« Je me suis toujours servij du mesme theoreme que dessus, et par le moyen de cettuylà et de l’algebre j’ay trouvè la reigle generale pour cette question, qui est fort simple comme vous verrez43 ».

  • 44 Huygens, le 1er juin 1656, demande à Mylon de conserver le secret : « J’attends avec impatience ce (...)
  • 45 Je mettrai ici le Théorème, dit Huygens à Carcavy le 6 juillet 1656, « parce qu’autrement je ne pou (...)
  • 46 Voir Avertissement, p. 7, note 14.
  • 47 Le même jour, Huygens confie à Mylon, au sujet des mêmes problèmes : « Je vous asseure que la mesme (...)
  • 48 « Il ne me seroit pas difficile d’en inventer encore cent autres en cette matière qui seroyent beauco (...)
  • 49 Fermat donne cette précision dans l’extrait de lettre communiqué à Huygens par Carcavy, in id., p.  (...)

36Pour aussi certain qu’il ait été de la bonté de son « analyse », Huygens n’en a sans doute pas moins soupçonné que sa maîtrise n’était peut-être pas aussi ferme qu’il l’avait cru en avril 1656. Jouant tout d’abord à tenir cachés ses résultats44, le voilà ensuite mis sur la défensive et conduit à « faire voir » qu’il y était vraiment parvenu de son chef45. II dut être intrigué, avons nous remarqué, par certains résultats numériques de Pascal, répondant d’ailleurs à une question sur la « valeur » des parties dont il ignorait la nature46. À propos des problèmes posés par Fermat, il est contraint d’avouer que, s’il en a la solution, c’est seulement « quant à la méthode, non pas quant au calcul47. » Certes, il put mettre cet écart entre « méthode » et « calcul » au compte d’une complication superficielle de difficultés qu’on peut multiplier à loisir48, mais il en vint ensuite, la Lettre-préface l’atteste, à accorder un ordre supérieur de subtilité à certains de ces nouveaux problèmes. Au fond, dès que les contacts furent établis avec Fermat et Pascal, Huygens reçut plus qu’il ne demandait. II tablait sur la concordance des résultats obtenus de part et d’autre ; on lui en procure qui ont une forme énigmatique. Il tenait à savoir si les deux géomètres français se servaient du même théorème que lui ; on lui fait parvenir une liste où « toutes ces questions ont des methodes et des reigles différentes49 ». Certes rien n’est venu entamer la solidité des Propositions déjà rédigées du De ratiociniis ; tout au contraire. Mais tout se passe comme si, par delà ces Propositions, s’ouvraient des domaines d’abord insoupçonnés ; Huygens en a trop peu appris sur les explorations déjà entreprises pour en signaler davantage que la seule existence ; il formulera donc simplement en fin d’ouvrage, sans le moindre commentaire cinq problèmes : deux lui furent posés par Fermat, le cinquième n’est autre qu’une question posée par Pascal à Fermat. Au De raticociniis proprement dit, vient ainsi se juxtaposer comme un concentré des spéculations les plus récentes de Pascal et de Fermat.

37Dans cette juxtaposition se reflète ce qu’a eu d’extrêmement paradoxal la situation de Huygens dans cette courte période : il bénéficie de questions inédites, mais rien ne lui est communiqué de la correspondance échangée entre Pascal et Fermat, en 1654. Pour user des expressions de Pascal, il ne soupçonnera pas l’existence de cette autre « méthode » que celle des « partis », cette « méthode des combinaisons » dont Fermat usait magistralement ; sur la méthode des « partis », il ne saura pas davantage ce qu’elle devenait entre les mains de l’auteur du Triangle arithmétique. Pour expliquer, s’il se peut, de si surprenants défauts d’information, précisons ce que furent les échanges dont Carcavy fut la cheville ouvrière. L’intervention de ce dernier fut décisive : les relations personnelles qu’il entretenait tant avec Fermat qu’avec Pascal lui permirent d’obtenir de tous deux des réponses rapides. Dès sa première lettre datée du 20 mai 1656, Carcavy annonce qu’il a fait connaitre à Fermat la question de Huygens :

  • 50 Id., p. 418. Vraisemblablement, c’est Mylon qui a dû transmettre cette question à Carcavy. La lettr (...)

« Je lui ay envoyé par le dernier ordinaire ce que vous demandez touchant le parti des ieux50. »

et sera en mesure, le 22 juin, d’en communiquer la réponse

  • 51 Id., p. 432. L’extrait mentionné de la lettre de Fermat figure dans la correspondance, en appendice (...)

« Monsieur de Fermat m’a envoyé il y a desia quelques jours la solution de ce que vous aviez proposé touchant le parti des Jeux, et vous verrez par l’extrait que ie vous faits qu’il a la demonstration generalle de ces sorte de question [… ]51 ».

  • 52 Huygens 1888-1950, vol. XIV, p. 6-8.
  • 53 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 436-437.

38 Carcavy sollicita de même Pascal, mais la présentation par trop schématique des faits donnée, tant par l’Avertissement52 que par une notice des éditeurs de Pascal53 ne laisse point paraitre un trait important des relations entre Pascal et Fermat : la demande de Huygens a en quelque sorte déclenché la reprise, mais cette fois-ci par personnes interposées, de leurs joutes de 1654. Dans sa lettre du 20 mai 1656, où Pascal est loué pour avoir « enchery sur la pensee d’Apollonius », Carcavy ne disait point qu’il allait lui soumettre la demande « touchant le parti des jeux » dont il annonçait l’envoi à Fermat. De fait, il la lui soumit effectivement, et Pascal en avait « déjà » trouvé la solution, lorsque Carcavy put lui communiquer les « propositions » de Fermat

  • 54 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 432.

Pascal « avoit desia trouvé la solution de vostre proposition et me doit donner au premier iour celles de toutes les autres qui sont dans l’extrait de cette lettre de Monsieur de Fermat54. »

  • 55 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 437.
  • 56 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 439.

39Il est inexact d’affirmer qu’en juin 1656, Pascal ne tint point ses promesses et « ne remit rien à Carcavy55 ». Le 23 juin, Mylon apprend à Huygens que « Messieurs Defermat et Paschal ont trouvé séparément que c’estoit comme 30 à 3156 ». On peut très sérieusement conjecturer que Pascal s’exerça également à résoudre les difficultés adressées de Toulouse ; peut-être aussi que Fermat, s’adressant à Carcavy, escomptait produire quelque effet sur son interlocuteur de 1654. Autre conjecture dont nous ne pouvons ici développer toutes les raisons : n’est-ce pas en 1656, après avoir pris connaissance des problèmes proposés par Huygens et Fermat que Pascal en proposa un autre à son tour ? Relevant le gant à titre personnel, et croyant même prendre Fermat en défaut, en lui retournant une question encore plus difficile :

  • 57 Id., p. 493.

« Voicy une autre proposition qu’il a fait à Monsieur de Fermat laquelle il juge sans comparaison plus difficile que toutes les autres […] la question parut si difficille à Monsieur Pascal qu’il douta si Monsieur de Fermat en viendroit à bout, mais il m’envoya incontinent cette solution57. »

40Ainsi reprendraient en France, un bref moment, des assauts de prouesse technique où chaque protagoniste pouvait avoir surtout en tête le point où en étaient leurs propres débats.

41Ne sachant pas jusqu’où allait, en la matière, la science de leur jeune émule, et assurés par ailleurs de ses capacités à aborder des questions difficiles, c’est en quelque sorte à mi-mot qu’ils s’expriment à son égard : Fermat lui fournit matière à exercices diversifiés ; Pascal veut lui faire d’emblée l’aveu de son ignorance, lui confiant, à propos du problème de la valeur des parties, qu’il n’en a pas la « règle générale ». La discussion s’instaurant au plus haut niveau, silence est tenu sur les cas élémentaires, comme sur le détail des méthodes. Ce n’est pas pourtant que les deux maîtres auraient refusé de s’en expliquer, s’ils en avaient été sollicités. Autre aspect paradoxal de la situation, ce fut son assurance d’en savoir assez qui priva Huygens de telles explications. Comme il déclara au plus vite avoir résolu les problèmes de Fermat, du moins « quant à la méthode », il n’y avait plus lieu de donner suite à l’offre obligeante de Fermat :

  • 58 Id., p. 434.

« Toutes ces questions ont des methodes et des reigles differentes, si on n’en peut venir à bout ie vous les expliqueray toutes avec leurs démonstrations58. »

  • 59 Huygens : « Si le nombre des hazards qu’on à pour avoir b soit p, et le nombre des hazards qu’on à (...)

42Comme, en second lieu, Huygens se déclarait surtout soucieux de connaitre si Fermat et Pascal se servaient du même « théorème » que lui, c’est un « principe », une « règle » que lui communique brièvement Pascal par l’intermédiaire de Carcavy ; en dehors de la réponse précise à la question posée, Huygens pouvait d’autant moins entrevoir les méthodes de Pascal que « l’énonciation » de la règle ressemble étrangement à celle donnée de son propre théorème, dans sa lettre à Carcavy59.

43Rendez-vous manqués, réponses retardées ou refusées, intermédiaires peu adroits, silences calculés : une sorte de malheureuse illustration des contraintes dont pouvaient souffrir, en cette deuxième moitié du xviie siècle, les échanges scientifiques. Face à cela, un texte apparemment uni, anonyme à quelques allusions près, concis au point que son terme en est énigmatique, bref hors du temps en ses raisonnements et calculs. Le contraste est tel qu’on serait tenté, se conformant à la sobriété de l’auteur, d’oublier quand vient l’heure d’étudier l’opuscule, le détail des échanges. Mais une telle dissociation s’avérerait en fait très hautement dommageable et irait jusqu’à interdire la plus simple intelligence de l’œuvre. En la division des questions en deux types, – d’où la section « De Tesseris » –, retentit directement l’écho des exercices appris à Paris ; le « fundamentum » se dit et se pense sur fond de méthode pascalienne ; ces points, et bien d’autres, appellent des études comparatives étendues que nous ne pouvons ici qu’alléguer. Des nombreux documents produits plus haut, ressortent déjà nombre d’indications non seulement sur les traces laissées en l’opuscule par les si curieuses péripéties de sa conception et de sa rédaction, mais plus en profondeur sur la prima inventio du calcul telle que la réédita Huygens. Ainsi en va t-il particulièrement de ce qu’on peut considérer comme trois étapes clairement délimitées : voyage parisien, première rédaction, contacts indirects avec Fermat et Pascal ; le novice sait que les problèmes posés relèvent bien d’un traitement mathématique et peuvent conduire à des explorations plus étendues ; l’inventeur exploite les vertus d’un principe unique, et tout en y mettant quelque pointe de défi, sollicite en même temps, et sa consécration personnelle, et la confirmation de ses vues ; mis au fait, dans des conditions bien singulières, d’autres avancées des calculs, il maintiendra des convictions fondées sur ses propres succès. Autant d’étapes, autant de parties repérables en l’opuscule ; et peut-être les défauts d’information ont-ils eu, chaque fois, quelques heureux effets : ils ont permis une appréhension spécifique de problèmes dont fut, avec audace, présumée l’unité. Toujours est-il qu’en tous ces sens devraient se poursuivre des enquêtes auxquelles se révéleraient, mieux qu’à des interprétations trop grevées d’anachronismes, ce que furent, pour Huygens, les fondements des calculs ès jeux de hasard.

Bibliographie

Bibliographie

Arnauld (Antoine) et Nicole (Pierre), 1965, La logique ou L’art de penser, éd. critique présentée par P. Clair et F. Girbal, Paris : P.U.F.

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Couturat (Louis), 1903, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits des manuscrits de la Bibliothèque royale de Hanovre, Paris : Alcan.

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Pascal (Blaise), 1964, Œuvres complètes, éd. J. Mesnard, Paris : Desclée de Brouwer.

Notes

1 Ce tome V a pour titre : « Francisci a Schooten Exercitationum Mathematicarum Liber V. Continens Sectiones triginta miscellaneas ». C’est d’après cette édition que nous citons le texte latin, préféré ici aux traductions françaises souvent trop peu précises. Nous abrégerons sous la forme De ratiociniis le titre du traité de Huygens.

2 Rappelons que le traité de Huygens, assorti des Annotations de Jacques Bernoulli constitue la première partie de l’Ars conjectandi (Bâle, 1713). Voir le volume nouvellement paru des Œuvres de Jacques Bernoulli (Bernoulli 1975, p. 109-150).

3 Le traité de Huygens est reproduit au vol. XIV des Œuvres (La Haye, 1920) dans sa version hollandaise, avec en regard une traduction française. On trouve au début de l’Avertissement mentionné un « Aperçu de la genèse de l’ouvrage “De ratiociniis in Ludo aleae” et des recherches subséquentes de Huygens sur des questions de probabilité ».

4 Avertissement, p. 3-4.

5 Voir Pascal 1964, vol. I, p. 502.

6 Dans des notations manuscrites de 1676 : « Proposuit mihi dux Roannesius », et « Mons. le duc de Rohanez me proposa avant hier une telle question d’Arithmétique […] », (Couturat 1903, p. 575-576).

7 Des Billettes à Leibniz, 27 oct. 1696. Voir Mesnard 1965, vol. I, p. 370-371.

8 Id., vol. I, p. 371, note 1. Arrivé à Paris le 28 oct. 1660, « le jeune savant hollandais avait dès le 4 novembre par l’intermédiaire de Carcavy, fait la connaissance du duc de Roannez, qu’il devait fréquenter assidûment pendant son séjour » (id., vol. II, p. 655).

9 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 404.

10 « Sommaire : Exemplaires. Questions des dez. Regle de Descartes [Chr. Huygens] » (id., p. 399).

11 Cette lettre est une réponse à une lettre du 13 mai 1656 qui n’a pas été retrouvée par les éditeurs de la Correspondance (id., p. 426, note 1).

12 Id., p. 426.

13 Avertissement (id., p. 6, note 3).

14 Pascal 1964, vol. II, p. 1137.

15 Id., p. 1148-1149.

16 J. Mesnard, dans l’étude qui ressuscita littéralement l’Académie Le Pailleur (Mesnard 1964, p. 10). Relevons y également deux indications fort précieuses pour notre propos : « Mylon fut l’héritier spirituel et le destinataire des papiers de Le Pailleur » (p. 11) ; « Il est possible que, du vivant même de Le Pailleur certaines réunions de l’académie se soient tenues chez Mylon » (p. 12, n. 2).

17 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 459-460.

18 Pascal 1964, vol. II, p. 1142.

19 Voir Costabel 1974, p. 599. Nous avons rencontré, précisément dans le volume où parait le De ratiociniis de Huygens, au début de la « Sectio XXVIII », un passage où Van Schooten déclare l’amitié qui le lie à Mylon : « Quâ ratione ex tribus observationibus umbrae Solis, uno die in plano Horizontali factis, Geometricè inveniatur linea Meridiana, ostendit mihi Parisiis ante aliquot annos Mathematum peritiâ non minus quam omni virtute insignis D. CIaudius Mylon, J.C., cum quo tunc temporis familiarissimè sum versatus, ac etiamnum amicitiam arctam colo ».

20 « J’esperois repasser et estudier avec vous ces belles sciences ou vous excellez. Je croyois avoir assez de temps cet hyver pour les voir ensemblez et comparer vos belles Inventions avec celles de nos Geometres, mais vostre retour precipité a coupé ces desseins, Je ne vous ay fait voir que peu de chose a la haste », Huygens 1888- 1950, vol. I, p. 376.

21 Huygens ajoute à sa lettre du 27 juillet 1656, en post-scriptum : « Il y a longtemps que je n’ay point eu de nouvelles de M. [Mylon]. Je ne scay ce que je doibs penser de ce que ny luy ny Monsieur de Carcavy ne me respondent point depuis que je leur ay envoyé la solution de quelques questions en matiere des jeux de hazard, que Monsieur de Fermat m’avoit proposées » (p. 466).

22 Id., p. 506.

23 Lettre à Filleau des Billettes du 30 juillet 1696, Leibniz 1896, cité par Mesnard 1965, vol. I, p. 370.

24 Ce texte se présente dans le De ratiociniis sous la forme d’une lettre datée (La Haye, le 27 avril 1657). Dans l’Ars conjectandi, où ne sont pas retenues ces dernières précisions, il est précédé de la mention « Christ. Hugenü ad Franc. Schootenium Praefatio. » Par commodité d’expression, nous le désignerons plus bas sous le nom de Lettre-préface, avec d’autant plus de liberté que Huygens a utilisé lui-même cette expression dans une autre lettre à Van Schooten (voir note 28).

25 La version latine de la Lettre-préface qui est la version originale a été donnée dans Huygens 1888-1950, vol. II, p. 59-60, mais non à la place que lui conférerait normalement la date qu’elle porte ; elle y figure sous le n° 409, comme Appendice I au n° 408 (lettre du 28 sept. 1657). La date qu’elle porte (27 avr. 1657) doit bien être celle du jour d’envoi ou de remise ; en effet, Huygens écrit dans sa lettre du 21 avril 1657 (Huygens 1888-1950, vol. II, p. 27-28) : « Tractatum de Alea in quo nonnulla immutavi, pauca vero addidi, sequenti hebdomade tibi mittam vel ipse adferam potius. »

26 « […] omissa tamen analysi, cum quod prolixam nimis operam poscebant, si perspicuè omnia exequi voluissem […] ».

27 Lettre du 20 avril 1656 à Van Schooten (Huygens 1888-1950, vol. I, p. 405).

28 Lettre du 6 mai 1656 à Van Schooten (Huygens 1888-1950, vol. I, p. 413).

29 Huygens 1888-1950, vol. XIV, Avertissement, p. 18.

30 Bernoulli 1975, p. 110-111.

31 Id., p. 108.

32 Lettre-préface.

33 C. Huygens à G. A. Kinner von Löwenthurn, 30 oct. 1659, in Huygens 1888-1950, lettre n° 679, vol. II, p. 503.

34 Voir dans la Lettre-préface : « […] sed pulchrae subtilissimaeque contemplationis fundamenta explicari », et dans la lettre citée dans la note précédente : « […] sed speculationem habent jucundam neque insubtilem […] ».

35 Dans la Lettre-préface : « Et Problemata quidem quae in hoc genere proponuntur, nihilo minus profundae indaginis visum iri confido, quam quae Diophanti libris continentur »« Caeterum illi, difficillimis quibusque quaestionibus se invicem exercere soliti […] ».

36 Ibid. Nicolas Bernoulli citera cette phrase à l’appui de sa propre célébration de l’Ars conjectandi dans le chap. II de sa Dissertatio de usu artis conjectandi in jure : « Manifestum hinc est quid sentiendum sit de praestantia Artis Conjectandi ».

37 Pascal 1964, vol. II, p. 1034-1035.

38 Huygens 1657, p. 521-522.

39 C. Huygens à Pierre de Carcavy, 6 juillet 1656, in Huygens 1888-1950, lettre n° 308, vol. I, p. 442.

40 Id., p. 505.

41 Ainsi dans la Lettre-préface : « Quamobrem ignoro etiamnum an eodem mecum principio illi utantur », « Caeterum illi […] methodum suam quisque occultam retinuêre. » Voir Carcavy dans sa lettre du 28 septembre 1656 : « Monsieur Pascal se sert du mesme principe que vous » (Huygens 1888-1950, vol. I, p. 492).

42 Id., p. 505.

43 Ibid.

44 Huygens, le 1er juin 1656, demande à Mylon de conserver le secret : « J’attends avec impatience ce qu’en dira Monsieur de Fermat pendant quoy vous me permettrez de tenir cachée la solution que je puis desmontrer estre véritable, et a la quelle si quelqu’un pretendroit de contredire, je pourrois luy gagner son argent » (id., p. 427).

45 Je mettrai ici le Théorème, dit Huygens à Carcavy le 6 juillet 1656, « parce qu’autrement je ne pourrois pas vous faire voir que je suis venu à bout des Problèmes que Monsieur de Fermat à proposez » (p. 442).

46 Voir Avertissement, p. 7, note 14.

47 Le même jour, Huygens confie à Mylon, au sujet des mêmes problèmes : « Je vous asseure que la mesme apres-disnee que je receus vostre lettre, j’ay trouvè la solution de toutes, quant à la méthode, non pas quant au calcul ; qui est si long dans quelques unes d’elles que je n’ay pas voulu m’amuser a le poursuivre jusque au bout » (p. 448).

48 « Il ne me seroit pas difficile d’en inventer encore cent autres en cette matière qui seroyent beaucoup plus malaisées ; mais ce ne serviroit qu’a tourmenter l’esprit et perdre le temps » (Id).

49 Fermat donne cette précision dans l’extrait de lettre communiqué à Huygens par Carcavy, in id., p. 434.

50 Id., p. 418. Vraisemblablement, c’est Mylon qui a dû transmettre cette question à Carcavy. La lettre commence ainsi : « N’ayant pas l’honneur d’estre connu de vous, vous trouverez peut entre estrange la liberté que ie prends de vous escrire, mais Monsieur Mylon m’ayant voulu procurer ce bien lorsque vous estiez en France, et m’ayant témoigné que vous aviez pris la peyne de venir en cet hostel […] », (ibid.) ; et la phrase citée où est annoncé l’envoi à Fermat se poursuit ainsi : « […] et ie donnay il y a quelques iours à Monsieur Mylon deux beaux problesmes sur les nombres pour vous les faire voir […] » (ibid.)

51 Id., p. 432. L’extrait mentionné de la lettre de Fermat figure dans la correspondance, en appendice à la lettre de Carcavy, sous le n° 301, p. 433-434.

52 Huygens 1888-1950, vol. XIV, p. 6-8.

53 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 436-437.

54 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 432.

55 Pascal 1908-1914, vol. III, p. 437.

56 Huygens 1888-1950, vol. I, p. 439.

57 Id., p. 493.

58 Id., p. 434.

59 Huygens : « Si le nombre des hazards qu’on à pour avoir b soit p, et le nombre des hazards qu’on à pour
bp + cq
avoir c soit q : cela vaut autant que si l’on avoit p + q (id., p. 442). La règle de Pascal, rédigée sous une forme inexacte par Carcavy : « S’il y a tel nombre d’hazards qu’on voudra comme par exemple dix, qui donnent chacun trois pistolles ; et qu’il y en aye deux qui donnent chacun 4 pistolles ; et qu’il y en aye trois qui ostent chacun trois pistolles ; Il faut adiouster toutes les sommes ensemble, et les hazards ensemble, et diviser l’un par l’autre, le quotient est le requit, ce qui revient à une mesme enontiation que la vostre » (Id., p. 492).

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2016

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