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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Cryptographie et numérations

Texte intégral

Annales. Économies, Sociétés, Civilisation, n° 5, sept-oct. 1975, p. 1007-1027. Nous remercions la Direction de la revue Annales. Économies, Sociétés, Civilisation de nous avoir autorisés à publier ce texte.

1Histoire des numérations : systèmes propres à chaque grande civilisation, oppositions et analogies dans les procédés de dénotation, reconstitution de systèmes disparus, rapports entre numérations écrites et parlées, origine et diffusion des chiffres arabes, etc. Est-il thème rattaché de près ou de loin aux mathématiques qui ait suscité travaux plus innombrables, mobilisé spécialités plus disparates ? Discordance qu’on explique mal : le concept n’a pas connu même faveur que ses figures ; alors que la moindre torsion de jambage dans le dessin d’un chiffre a trouvé son chroniqueur, l’histoire du concept de « base de numération » n’est faite que d’indications fragmentaires et dispersées. Privilège est donné en général au moment où les mathématiques exposeront le concept en faisant fonctionner des systèmes de numération délibérément construits ; encore se contente-t-on de brefs répertoires : Pascal dans des remarques cursives, Caramuel y Lobkowitz et E. Weigel aux commentaires trop prolixes, précédèrent les analyses lumineuses de Leibniz, et ses recherches en arithmétique binaire. Les questions pourtant ne manquent pas : si, comme on l’a écrit si souvent, Pascal fut le premier à concevoir que notre numération n’est décimale qu’en vertu d’un choix arbitraire et « non par une nécessité naturelle, comme le pense le vulgaire », comment décrire ce qu’était avant lui le système décimal ? Comment étaient conçues les « fractions astronomiques », legs d’un antique système sexagésimal ? Quels effets avait eu la propagation des fractions décimales ?

2N’ajoutons qu’une interrogation plus précise, celle qui sera ici notre fil conducteur : ainsi que nous le montrerons ailleurs, la question : « pourquoi 10 ? » fut posée, commentée au xvie siècle, et il y eut des mathématiciens pour définir la notion de base ; mais il reste que c’est seulement aux alentours de 1650 que furent écrits des nombres dans des systèmes non décimaux ; à quelles conditions une telle pratique scripturaire fut-elle possible ?

3Délimitons, par définitions empruntées, les deux pôles d’une recherche qui prendra pour matière des textes du xvie et de la première moitié du xviie siècle :

    • 1 Hérigone 1634, t. II, p. 1.

    Numération : « La numération est la description de tout nombre proposé par ses propres characteres ou figures1 » ; après quoi, selon un mouvement répété en maint traité d’arithmétique, est avancé d’un même souffle un énoncé qui semble lié d’évidence au premier : « Les characteres ou figures par lesquelles tout nombre s’escrit sont dix, à sçavoir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. »

    • 2 Couturat 1903, p. 532.

    Cryptographie : sans doute le recours à l’art marginal des messages secrets paraîtra-t-il de prime abord insolite ; mais une première preuve en sera donnée, nous l’espérons, par ce qui suit : on peut lire les œuvres de la cryptographie, en son âge d’or, autrement qu’on l’a constamment fait jusqu’ici ; on peut et on doit les lire autrement qu’un cryptologue. Notre angle de lecture sera ici délibérément sélectif. Nous n’envisagerons l’activité cryptographique qu’au ras de ses manipulations de caractères : « quand les lettres ou autres caractères signifient des véritables lettres de l’Alphabet, ou de la langue, alors l’art des combinaisons avec l’observation des langues donnent la Cryptographie [c’est-à-dire l’art de faire des chiffres et] de déchiffrer2 ».

4D’où une formulation plus nette du problème posé : quels effets ont eu sur la « description » des nombres les manipulations de cette branche de l’art combinatoire ?

I. Numérations artificieuses

  • 3 Voir certains des codes décrits par Devos 1946, et Wicki 1963.

5L’« art des chiffres » consonne, par son appellation même, avec les « chiffres à compter ». Complicité qui mériterait réflexion, comme aussi la part peut-être grandissante3, le temps passant, des notations numériques dans les chiffrements des cryptographes praticiens. Encore que, comme on sait, leur emploi effectif ne connut que tardivement un succès universel, les chiffres dits arabes ne furent pas seulement des instruments de calcul : en tant que matériel symbolique, ils devinrent tout aussi familiers que les lettres de l’alphabet. Mais c’est ici le processus en quelque sorte inverse dont nous voudrions détecter quelques signes : familières, les figures manquent de mystère ; une fois entrée dans un usage assez commun, la « numération » reçue sollicite, précisément parce que déjà connue, la formation de « numérations » dissemblables. On forgera dès lors à plaisir, comme pour l’alphabet, des graphies nouvelles ; jeux fantaisistes, mais moins innocents qu’il ne paraît ; écrire autrement, c’est déjà prouver, en écrivant, l’arbitraire des formes reçues ; et peut-être même, à l’égal des diversités remises au jour, à la même époque, par les historiens, faire soupçonner la relativité des principes de formation des nombres.

6Le plus curieux en l’affaire fut la tentation d’aller chercher dans le passé des motifs de renouvellement ; joignant le plaisir de restaurer l’antique au goût des nouveautés, on ira décalquer le système grec de numération : soit, comme Trithème, pour le concurrencer, soit, comme Cardan, pour le parfaire.

7Trithème déplore vivement, et pour deux raisons, que les Latins n’aient pas, comme le firent les Hébreux et les Grecs, accordé de valeurs numérales à leurs lettres. Lorsqu’en effet, les noms de nombres s’écrivent à l’aide de lettres alphabétiques, on peut user d’un subterfuge cryptographique qu’exploitèrent naguère les Normands, ce que n’ont pu faire jusqu’ici les Latins :

  • 4 Thritème 1625, p. 239-240.

« Les Nortmans avec les Daces, issuz des isles Asiatique et Scandianes, lors qu’ils faisoient guerre contre les Gaulois, voulants pourvoir au secret et seurté de leur conseil (suyvant ce que Beda religieux en Angleterre, en d’escrit) ont extract & emprunté d’alphabet Grec, un nouveau & singulier moyen d’escriture, adaptans & tres bien conformants les nombres de Grecs aux vingt & quatre lettres & characteres Latins, desquels à présent nous usons. Et par ce moyen sous le scheme & pretexte d’autruy & estranger, ont très bien sceu couvrir & cacher l’ordre de nos lettres & characteres, desquels avons accoustumé user : escrivants pour a, 1 ; pour b, 2 ; pour c, 3 ; pour d, 4 : & ainsi consequemment, jusque à la fin de notre alphabet usual. Et me semble ceste invention & forme d’escriture être assez belle & seure, et qui ne pourra estre entendue d’homme Grec ny Latin, sans grande difficulté4 […] ».

8Mais c’est surtout pour l’honneur et le principe que Trithème veut corriger la tare de l’alphabet latin :

  • 5 Id., p. 228.

« J’ay trouve & trouve merveilleusement estrange, que les anciens & premiers Latins, & qui jadis ont ordonné & disposé de noz lettres latines & communes, ne les ayent faites numérales, & renduës sugettes à raison, & ordonnance de nombres & supputations : comme ont bien sceu faire, & font les Grecs, & aussi les Hebreux, qui par la gemination & duplication de certaines leurs lettres, ont institué des notes & charactères, jusque à la quantité de vingt & huict qui peuvent facilement servir à tous nombres & supputations du monde. Les Grecs ainsi, par semblable curiosité et providence, ont augmenté le default de leurs lettres alphabétiques, par l’opposition & ampliation de quatre autres characteres. Nous donc ayants le nombre de vingt et quatre lettres, en ce comptans et comprenant le charactere & : pourquoy ne les rendons nous numerales & sugettes à raison de nombre, veu que aysément et facilement nous en pouvons aussi facilement inventer et admettre encore autres quatre dublées et géminées5 ? »

  • 6 Id., p. 294.

9« Jugeant qu’il nous messierait si pour ce regard nous leur estions inferieurs6 », Trithème institue donc, à l’instar des Grecs et Hébreux, un « ordre des lettres numerales ».

  • 7 Trithème estime même qu’un tel ordre présente des avantages pratiques : aisé à « apprendre et enten (...)

10a, bi, comptent pour 1, 2… 9. D’autres lettres ou signes comptent pour les dizaines et les centaines. l signifiant, par exemple, 20, la signifiera 21, etc.7

  • 8 Nous citons d’après la traduction française du De Subtilitate par Richard le Blanc, Cardan 1556, fo (...)

11Le système que propose Cardan, au milieu d’un catalogue disparate d’« inventions artificieuses », dans le De subtilitate8, est tout à fait analogue quant au principe, mais tire avantage de quelques régularités introduites à dessein. « Comment tous nombres peuvent estre ecris jusqu’à 25 mil seulement de l’ongle. » Formulation pittoresque qui signifie en fait que les signes proposés seront tous constitués de traits rectilignes : « Et ainsi ie pui declarer de l’ongle seul tout grand nombre sans confusion, et aussi le declarer par lignes droites. » Par exemple, 3 s’écrivant ↾ ; alors 30 s’écrit ↿, 300 : ⇂ ; et 3 000 : ⇃. Pour exprimer un nombre qui n’est pas multiple de 10, on disposera les traits convenables autour d’une seule barre verticale.

  • 9 Thritème 1625, p. 245.

12Que les nombres soient ainsi « déclarés », emblèmes compacts, par faisceaux de traits entrecroisés, ou qu’ils le soient par lettres interposées, autant d’écarts voulus, recherchés par rapport au mode devenu coutumier de « déclaration ». L’activité cryptographique convoque, en un premier mouvement, les systèmes connus ou reconstitués ; en quoi tout se passe d’abord, comme dans de nombreux traités d’arithmétique, au chapitre initial « De la numération » ; mais dans le champ des mathématiques, le système des chiffres arabes constituera, pour la plupart, la référence fondamentale ; il est tel, et tel il est parfait ; tout le reste est relique ou curiosité. Au contraire, le faiseur de « chiffres » ou d’artifices fait son bien de tout ce qui est connu, collection où se servir le plus commodément possible. On surprend par exemple fort bien, à certaines sinuosités de la Polygraphie de Trithème, ce mouvement par lequel l’antiquaire passe la main au forgeur de caractères. Entassement d’alphabets : alphabet de Hichus, « antique divinateur », alphabet d’alchimistes, alphabet d’Honorius… Mais toutes calligraphies faites, vient la critique : dessins trop difficiles, liaisons entre lettres malaisées. Dès lors, ces alphabets ne sont que prétexte à faire encore et encore autrement ; après quoi carrière est ouverte à l’imagination de chacun : « Il est tres notoire & manifeste […] plusieurs et infiniz alphabets differents l’un de l’autre pouvoir estre faicts, que estants reduits en nombres, à la mode des Grecs & Hebreux, nous pourrons servir pour denoncer & annoncer seurement & secrettement, tout ce que nous voudrons9 […] ». Trithème ne revendique pas pour son « ordre », comme cela n’aurait pas autrement étonné, le privilège d’un ordre « naturel » ; à quelques pages de distance, il en propose lui-même d’autres. « Et ceux qui n’en seront pas contents peuvent en inventer à leur plaisir & volonté. »

II. « On a abrégé l’alphabet »

13Philologues, grammairiens, typographes, régisseurs ou réformateurs d’orthographes se prononçaient chacun à leur manière sur les alphabets : pour en canoniser les formes reçues, ou au contraire pour rejeter ou ajouter certaines lettres. Mais c’est dans le seul domaine de la cryptographie que, une fois choisi l’alphabet selon lequel est écrit le texte clair, cet alphabet se donne lui-même comme un lot d’objets à représenter par caractères. Nouvelle occasion pour le cryptologue d’exercer sa liberté d’invention : chaque lettre sera-t-elle représentée par un caractère ou par plusieurs caractères ? Des procédés de type très différent conduisirent à explorer les possibilités de la seconde solution. L’« écriture secrète » sera rédigée en ce cas avec un nombre réduit de caractères. Jusqu’où peut-on pousser cette réduction ?

1

  • 10 Vigenère 1587, fol. 189 v.
  • 11 Ibid.
  • 12 Id., fol. 240 r.

14Blaise de Vigenère, protestant contre « cette multiplication de caractères, usitee és cours des Princes10 », estime qu’il serait opportun d’emprunter la voie inverse : « […] en lieu d’accroistre le nombre des caracteres, il vaudroit bien mieux l’accourcir, & le réduire au moins qu’il se peut11 ». Ainsi « un des principaux artifices et ruzes des chiffres » dépendra-t-il de « la reduction des lettres à un moindre nombre12 ».

  • 13 Ibid.
  • 14 Id., fol. 190 r.

15Parmi les trois moyens qui permettent d’y parvenir, il en est un qui consiste à « accoupler plusieurs mesmes lettres ensemble pour en faire une13 » ; « & pour exemple, qui empeschera qu’un a seul servant pour d ou e, estant redoublé a a ne serve pour l ; & triple a a a pour r ; ou autrement. Et ainsi des autres : si que cinq ou six lettres, & encore moins, suffiront par ce moien pour exprimer tout ce qu’on voudra : joint leurs diverses transpositions, qui s’estendent infiniment, deslors qu’on passe sept ou huit, pourveu qu’elles soient diferentes »14. Cette dernière remarque donne occasion à Vigenère d’exposer la règle de calcul des permutations de n objets ; mais en fait, dans le procédé qu’il va exposer concrètement, il use d’arrangements avec répétitions.

  • 15 Id., fol. 199 v. Ce fait, note Vigenère, pourrait bien avoir « induit les Hebrieux d’adiouxter les (...)
  • 16 Ibid.

16Vigenère prend les 3 lettres a, b, c, et établit la liste des arrangements avec répétitions de ces 3 lettres prises 3 à 3 : le nombre en est 27, à savoir « le Cube de Trois, autant qu’il y a de lettres différentes icy ; ouquel s’accomplit la parfaicte revolution de toutes les transpositions & assemblements qui peuvent escheoir au Ternaire15 », Vigenère utilise 23 arrangements pour représenter les lettres de son alphabet de base : A, B… Z ; afin de rendre son « chiffre » plus obscur, il fait subir à cet alphabet une permutation circulaire : « Finablement les lettres que représentent ces 27 triplications, sont icy transposees hors de leur ordre accoustumé, pour tousiours obscurcir davantage le chiffre ; mais celà se peult varier comme on veult16 ».

17Autre mode de variation : on peut, à la place de 3 lettres a, b, c, choisir 3 autres signes distincts quelconques :

  • 17 Id., fol. 199. C’est très certainement à ce procédé, et probablement à ce texte même de Vigenère qu (...)

« […] voicy une table où il y a iusqu’à 27 accouplemens des trois premieres lettres ; au lieu desquelles vous pouvez user de trois autres telles que bon vous semblera, ou de caracteres faits à plaisir, car cela n’importe de rien : on peult mesme se servir de ceux du chiffre à compter, comme ils sont icy évaluez ausdites lettres ; de points aussi, & et lignes toutes semblables ; & d’autres qui sont différentes par leurs longueurs : Plus des notes dont se marquent les quantitez des syllables, longues & briefves : –, u. Mais cela a diverses considérations & usages ; car les points & lignes pareilles vont par certain ordre de leurs associations & redoublemens ; comme font tout de mesme les quantitez, toutesfois non tant, parce qu’elles sont de deux sortes : quant aux lignes qui se varient par leurs longueurs, parquoy elles se pourroient infiniment desguiser, nous n’en prendrons icy que trois differences, pour correspondre aux trois lettres, & notes du chiffre : mais à l’imitation de cecy se pourront mediter plusieurs autres inventions, & tant qu’on voudra ; parquoy il suffist d’en avoir touché les maximes17. »

2

  • 18 Porta 1602, l. V, cap. xvi, p. 156-157.
  • 19 Nous reviendrons plus bas sur l’intérêt porté par Mersenne à la cryptographie.
  • 20 Mersenne 1963, Livre premier de la nature et des proprietez du son, Proposition XXII, vol. I, p. 39 (...)
  • 21 Id., p. 36 : « Les Sons & consequemment les voix peuvent servir […] pour faire sçavoir les nouvelle (...)
  • 22 Selon l’expression de Lenoble 1943, p. 489.
  • 23 Mersenne 1963, Livre de l’utilité de l’harmonie, vol. III, p. 45 : « […] ce se qui peut neantmoins (...)
  • 24 Ainsi Mersenne traduit en notation musicale les 9 mots d’un verset de Psaume ; il obtient ainsi un (...)

18Notes de musique au lieu de lettres : ruse que les cryptographes ont diversifiée sous différentes formes ; les créateurs de langues artificielles rêveront de leur côté d’hommes échangeant leurs pensées en chansons. En particulier, associant une note à chaque lettre de l’alphabet, on songera à faire chanter un texte, comme on chanterait une mélodie18. L’auteur de l’Harmonie universelle19 n’a pas manqué d’exploiter ces moyens d’appliquer et d’étendre les pouvoirs de la musique. Ainsi Mersenne imagine-t-il à son tour deux musiciens qui, jouant selon un code convenu, peuvent discourir entre eux, tout en restant muets, « sans que nul puisse entendre leur discours, que celuy qui sçait le secret ; ce qui se peut pratiquer en plusieurs manieres20 » ; il a évoqué par deux fois21 l’idée d’un « télégraphe acoustique22 » et pris soin de souligner qu’on pouvait se servir de codes secrets, dans ce genre de transmissions23. Enfin il montre comment « on peut escrire toutes sortes de lettres secrettes par le moyen de notes24 ».

  • 25 Mersenne 1963, Livre premier de la nature et des proprietez du son, vol. I, p. 40.

19Le procédé le plus simple reposait sur la bijection que l’on établissait entre les lettres de l’alphabet et un ensemble de notes. « Mais, ajoute Mersenne, l’on peut pratiquer la mesme chose plus subtilement en exprimant tout ce que l’on voudra, tant en François qu’en Hebrieu, en Grec, en Espagnol, en Italien, ou en autre sorte de langue, avec quatre Sons, ou mouvements differens, qui peuvent estre variez en vingt-quatre manieres pour servir de vingt-quatre lettres : car les nombres 1, 2, 3, 4 estant multipliez les uns par les autres font vingt-quatre différentes conionctions25 […] ».

20C’est peut-être à Vigenère dont il connaissait le Traité des chiffres que Mersenne doit l’idée de cet artifice plus subtil ; il fait appel toutefois, quant à lui, non à des arrangements avec répétitions, mais aux 24 permutations de 4 sons distincts pour constituer un « Alphabet Harmonique » :

A

1

ut, ré, mi, fa

B

2

ut, ré, fa, mi

.

.

.

.

.

.

Z

23

fa, ut, ré, mi fa, ut, mi, ré

3

  • 26 Bacon 1632, p. 383-384.

21La Traditive (« l’Art de donner ou de proferer, ou d’exprimer les choses inventées, jugées, & qui sont placées dans la Mémoire ») dispose de bien d’autres moyens que les lettres et les paroles : « Il faut donc tenir pour fondement, que tout ce qui peut estre divisé en differences assez nombreuses pour expliquer la diversité des cognoissances, pourveu que ces differences puissent estre appercuës par le sens, que tout cela, dis-je peut servir de chariot pour conduire les pensées d’un homme à un autre »26. Mais ces « différences » elles-mêmes, comment les exprimer, et jusqu’à quel point peut-on réduire le nombre des marques nécessaires ?

  • 27 Id., p. 394-395.

22Bacon attachait du prix à une « invention » qu’il fit, nous dit-il, à Paris, lorsqu’il était jeune, et qu’il ne veut pas laisser perdre, « parce qu’elle contient un fort excellent chiffre » : « c’est à sçavoir que toutes choses peuvent estre signifiées par toutes choses : en sorte pourtant qu’il faut que ce qui est caché, soit cinq fois plus petit que ce qui le cache, sans qu’il soit necessaire aucune autre condition ou restriction. Il se fera de cette sorte : premierement, il faut reduire toutes les lettres de l’alphabet en deux seules, & ce par leur transposition en cinq diverses façons qui donneront trente-deux différences : & à plus forte raison en suffiront vingt-quatre, autant qu’il y a de lettres27. »

  • 28 Traductibles en signaux audibles ou visibles, « Objets propres à la Veuë & à l’Ouye ; pourveu qu’il (...)

23Ce chiffre réduit donc à deux seulement le nombre des signes28 utilisés. Bacon extrait les 24 groupes de 5 signes dont il a besoin des 32 arrangements avec répétitions de 2 lettres prises 5 à 5 (ordonnées, on le notera, selon l’ordre lexicographique) :

A

aaaaa

B

aaaab

.

.

.

.

Z

babbb

  • 29 Qui doit sa célébrité à l’aménagement subtil qui permet, grâce à deux alphabets typographiques dist (...)
  • 30 On notera que Morse avait commencé par constituer, en vue des communications télégraphiques, un dic (...)

24Le « chiffre bilitère »29, élaboré bien avant que Morse30 ne propose un alphabet appelé à des usages combien plus extensifs, avait ainsi procédé à une « réduction des lettres de l’alphabet » poussée à l’extrême.

  • 31 Ainsi Vigenère a-t-il intentionnellement troublé « l’ordre accoustumé » dans l’exemple cité plus ha (...)

25Rien bien sûr dans ces métamorphoses d’alphabet qui touche à la représentation des nombres. On verra dans un instant qu’en fait, prolongement devait leur être donné dans cette direction. Mais, il convient de le noter, telle même qu’elle est formulée par nos auteurs, la réduction qu’ils poursuivent s’organise en recherches d’intérêt intrinsèque. Sans doute l’objectif jamais oublié de dissimulation efficace vient-il contrecarrer la confection de systèmes trop bien huilés : il faut, par de nouveaux désordres, perturber un premier désordre trop systématiquement organisé31 ; sans doute, l’étonnement que provoque le nombre gigantesque de possibilités calculé par l’art combinatoire n’est-il pas non plus pour favoriser les efforts d’analyse. Certains choix typiques élémentaires ont pourtant conduit les cryptologues à explorer des situations où devaient se retrouver plus tard les arithméticiens, et plus tard encore les théoriciens de l’information.

  • 32 Vigenère 1587, fol. 243 r.
  • 33 « […] réduire le nombre des lettres & caracteres de l’éscriture de moins en moins, iusqu’à se passe (...)
  • 34 « Si l’on ne peut se passer d’un système de numération […] il y aurait avantage, pense Leibniz, à e (...)

26Problème d’optimum, ou si l’on préfère, de compensation : si l’on réduit, au sens où nous l’avons vu, le nombre de caractères, la longueur du message augmente ; aussi faudra-t-il examiner les différentes possibilités, et en évaluer inconvénients et avantages. « Bien est vray, note Vigenère, à propos d’un texte chiffré à l’aide de trois caractères, qu’il y a une grande quantite de caracteres pour exprimer peu de subiect ; Parquoy nous en chercherons icy d’autres voyes plus compendieuses32. » Mersenne, préoccupé d’« écriture universelle » construira, comparant leurs commodités respectives, bien d’autres alphabets que l’« alphabet harmonique ». En second lieu, problème de minimum : un des buts proposés était de pousser la réduction « au moins qu’il se peut ». La fascination qu’exerce une écriture accomplissant son office grâce à un unique caractère33 est si puissante qu’elle peut égarer ; il n’en reste pas moins qu’avec Bacon, la question s’inscrit dans une théorie générale de l’expression, et participe d’une quête analogue à celle d’où naîtra l’Arithmétique Binaire34.

III. Nombres et flambeaux

  • 35 Titre du chap. lxi. Sur l’œuvre de Cardan en cryptographie, voir Mendelsohn 1939.

27Le texte du De rerum varietate dont nous allons rendre compte n’a jamais, semble-t-il, attiré l’attention. Cardan, mathématicien en même temps que collecteur d’« occultata35 » s’y propose pourtant un problème curieux : communiquer des nombres grâce à un système de signaux spécialement conçu à cet effet, et ne dépendant pas directement de leur expression dans le système décimal. Cardan ne recourt pas à un procédé analogue à celui qu’il avait utilisé, comme on l’a vu plus haut, en une autre occasion ; il ne se contente pas davantage, autre méthode possible, de considérer les noms des nombres comme des mots de la langue naturelle, et de les coder en conséquence ; non plus qu’il n’use d’un subterfuge aisé de concevoir : 10 signes convenus tiennent lieu des chiffres du système décimal, et un nombre étant donné, on substitue à chacun des chiffres qui le composent, le signe correspondant. Ici, Cardan va construire, selon une procédure bien réglée, la désignation d’un nombre, grâce seulement à trois signes, ou pour parler plus précisément, grâce à trois signaux.

  • 36 Voir Chappe 1840, p. 25-28 ; Belloc 1888, p. 3 sqq.
  • 37 Voir Vigenère 1587, fol. 252 v : « Mode de se faire entendre par des feuz de loing » ; voir égaleme (...)
  • 38 Macdonald 1808, p. 137.
  • 39 Cardan 1633, t. III, p. 619. Cardan avait d’abord tenu ce genre de procédé pour une invention origi (...)
  • 40 Voir Cardan 1566, fol. 331 r.

28Le système de signalisation par flambeaux, permettant de transmettre des lettres, auquel Cardan va adjoindre un prolongement si original, était connu et pratiqué sous différentes formes depuis l’Antiquité36 ; on le trouve souvent mentionné dans les anciens traités de cryptographie37, et la signalisation marine en reprendra ou en redécouvrira le principe38. Notons également que Cardan, dans un autre de ses ouvrages, le De subtilitate, avait déjà exposé un moyen de transmettre les lettres de l’alphabet grâce à des torches, en combinant le type des signaux et leur position spatiale39. On place 5 torches « sur cinq tours separees de loing les unes des autres, en sorte qu’elles semblent estre separees en les voiant de loing » ; on assigne à chaque tour un lot de 4 lettres que celui qui se tient sur une de ces tours peut exprimer « en elevant la torche, ou en l’abbessant, ou en la flachissant à dextre ou à senestre40. »

29Dans le De rerum varietate, Cardan décrit une méthode n’utilisant que deux flambeaux ; l’un est tenu dans la main gauche, l’autre dans la main droite ; chacun d’eux peut se trouver dans 4 positions différentes : levé, baissé, incliné vers la droite, ou incliné vers la gauche. Après avoir défini la manière de représenter chacune des lettres de l’alphabet, Cardan dispose encore de 3 signaux : le flambeau de gauche étant incliné vers la droite, celui de droite est : soit levé, soit baissé, soit incliné à gauche.

30Or Cardan va exploiter ce reliquat de signaux pour exprimer des nombres :

  • 41 De rerum varietate, lib. XII, cap. lxi, in Cardan 1633, t. III, p. 237.

« Supersunt praeter has, tres aliae differentias, quae a sinistra face in dextram partem inclinata prodeunt, cum dextra simul mota fuerit sursum aut deorsum, aut in sinistram partem. His igitur constituemus 0.1.2. Et si repetatur 3.6.9. ut constituantur secunda vice ab 1. usque ad 11. tertio repetiti prima constitutio. 9.18.27. Et ita habes ab uno usque ad 38. Quod si quarto repetieris, primum signum 27. secundum 54. tertium 81. significabit, perveniesque usque ad 119. Ita in quinto habebis 81.162.343. & summam omnium 462. Neque parum est tam brevi duabus facibus, quarum altera eodem modo semper se habet scilicet ut ad dextram inclinetur, reliqua trifariam variatur, omnes numeros significari ab unitate usque ad 462. Atque hic modus minime fallax est, aut confusus brevisque ac perfectus41. »

  • 42 Du fait que les autres nombres donnés par Cardan coïncident avec ceux qui résultent de notre interp (...)

31Le système que propose Cardan est, si nous le comprenons bien, le suivant chaque fois qu’il parle de « répétition », il songe à des émissions successives numérotées selon leur ordre d’apparition ; la valeur numérique des 3 signaux – que nous désignerons, quant à nous, par S1, S2, S3 – varie selon le numéro de l’émission où ils apparaissent ; on peut rassembler dans le tableau suivant les valeurs données par Cardan42 :

S1

S2

S3

I

0

1

2

II

3

6

9

III

9

18

27

IV

27

54

81

V

81

162

243

  • 43 D’où le choix des indices 1, 2, 3, (et non 0, 1, 2) que nous utilisons pour distinguer les 3 signau (...)

32Si on met à part la première ligne de ce tableau, on voit que chacune de ses lignes correspond à une puissance déterminée de 3 ; sur la ne ligne, on trouve43 :

331 × 3n−1, 2 × 3n−1, 3 × 3n−1

34Associons à chacun des nombres du tableau le couple : (numéro d’émission, signal), qui le représente.

35Pourquoi Cardan affirme-t-il qu’avec les nombres contenus dans les deux premières lignes de notre tableau, on peut aller « jusqu’à 11 » ? C’est que 11 est le nombre le plus grand qui puisse être exprimé en additionnant deux nombres, dont l’un est pris dans la première ligne, et l’autre dans la seconde ligne :

2 + 9 =11

(I, S3) (II, S3)

36Si on émet ensuite (III, S3) comme troisième signal, on obtiendra :

2

+

9

+

27

= 38

(I, S3)

(II, S3)

(III, S3)

37Grâce à une quatrième et une cinquième émissions, on pourra atteindre respectivement les nombres 119 et 362 :

2 + 9 + 27 + 81

= 119

2 + 9 + 27 + 81 + 243

= 362

38Cardan n’insiste pas sur la manière dont on exprime les nombres intermédiaires, ni sur la possibilité d’extension uniforme du procédé au-delà du terme qu’il lui assigne ici arbitrairement. Si on le formule en toute généralité, son système permet d’exprimer tout nombre entier positif ou nul, par décomposition, sous la forme suivante :

39avec 0 ≤ a0 ≤ 2

401 ≤ ai ≤ 3 pour i > 0

41Ainsi nous voilà bien au-delà de ce que laissait présager un prétexte bien léger d’apparence : ne pas vouloir abandonner sans emploi des signes encore disponibles ; précisons en quoi cette notule rédigée à la diable se recommande à notre attention :

42a) agiter des flambeaux ; que le pittoresque ne dissimule pas ce à quoi, ramené à « l’ordre et situation » des signes, se réduit pour l’essentiel le procédé : variante du projet d’« accourcir » le nombre des caractères. La remarque en est clairement faite par Vigenère :

  • 44 Vigenère 1587, fol. 252 v°. La « figure » est, comme celle que donc sans anachronisme aucun nous av (...)
  • 45 De rerum varietate, in Cardan 1633, t. III, lib. XII, cap. lxi, p. 235-236.

43« Au regard de l’artifice de faire entendre ses conceptions par des feux la nuict, & de la fumée sur iour, cela va presque conformement à l’escriture des lettres accouplees ensemble pour en faire une, que nous avons cy devant touchee, & que de surcrez ceste figure vous demonstre44. » Cardan lui-même réserve une place à part aux « modes d’écrire » avec un nombre réduit de lettres45. Par conséquent, à supposer même que l’intention n’en ait pas été clairement explicite, c’est bien, dans les deux parties du texte de Cardan, un même geste qui se réitère : lettres d’abord, chiffres ensuite.

44b) Le nombre de signaux utilisés est réduit à 3 : premier trait que le procédé de Cardan a en commun avec le système de numération à base 3. Autre trait commun : Cardan utilise implicitement un certain principe de position. En effet, cette symbolisation par lettres romaines à laquelle nous avons eu recours pour indiquer les numéros d’émission, commode pour éclairer le sens des « répétitions » dont parle Cardan, est inutile si l’on s’en tient à l’exercice effectif du procédé. Dans la pratique, le numéro est indiqué par la seule position du signal dans l’ordre de succession des signaux dans le temps. Si on notait, en écrivant de droite à gauche, dans l’ordre où ils apparaissent, la succession des signaux qui représente un nombre déterminé, on obtiendrait une « écriture » qui ressemble par sa texture à celle d’un nombre dans le système de numération à base 3.

45c) La « ressemblance » s’arrête là. Si l’on met à part la première ligne de notre tableau – où l’on voit que Cardan se soucie, ce que n’auraient certainement pas fait tous les arithméticiens à son époque, de réserver un signal au zéro, en tant que premier nombre de sa liste – l’expression des nombres s’opère sans recours au zéro.

IV. La « combinaison générale »

46Si elle n’a pas directement pour thème la représentation des nombres, l’entreprise de Mersenne dont va suivre l’examen a une tout autre ampleur que l’exercice isolé de Cardan. Elle est en effet solidaire d’un corpus d’« art combinatoire » où, pour la première fois semble-t-il dans l’histoire des mathématiques, sont systématisées, analysées selon leurs différentes ramifications, les propriétés des « combinaisons ». Il est possible toutefois d’en isoler l’étude, en la présentant tout d’abord comme la résolution d’un problème définissable en termes simples.

  • 46 Cf. Coumet 1972 ; [ce volume, p. 231-276].
  • 47 Mersenne 1963, p. 135.

47Ce problème est l’analogue, lorsqu’on considère les arrangements avec répétitions de n objets, d’un problème que Mersenne s’était posé à propos des permutations de n objets. Soit, par exemple, n notes de musique ; on appelle « chant » toute permutation de ces n notes ; il s’agit de définir une méthode de numération, et des procédures arithmétiques qui, un chant étant donné, permettent de calculer son numéro, et qui un numéro étant donné, permettent de retrouver le chant correspondant46. On peut présumer que Mersenne s’étant donné satisfaction sur ce sujet s’est fixé ensuite pour tâche de traiter du cas qu’il considérait comme le plus général. Pour ce qui est des permutations, on se donne un nombre déterminé de notes qu’on n’a pas le droit de répéter. Si maintenant « on peut faire des chants differents d’un nombre de notes prises dans tel autre nombre que l’on voudra, soit que l’on prenne les notes toutes differentes en un mesme nombre, ou toutes semblables, ou partie differentes & partie semblables47 », on sera en présence de « tous les chants possibles » qu’on peut composer avec un nombre de notes données. Il s’agit là de « la combination la plus générale de toutes ». Ainsi s’expliquent les formules assez elliptiques par lesquelles Mersenne décrit la recherche qu’il va maintenant aborder : il cherchera à « sçavoir le quantiesme est chaque chant dans le nombre de tous les chants possibles » ; il se demandera en second lieu comment « trouver quelle diction ou quel chant est dans un lieu donné de la combination générale ».

  • 48 C’est sous ce titre, emprunté à Lenoble 1943, p. xiii-xiv, que nous citons ces textes autographes d (...)

48Mersenne traite amplement de cette question dans deux ouvrages : Harmonie universelle. Livre second des chants, Propositions XIII à XVI, pages 136-144 ; et Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim, 2, Propositions VI, VI [bis], VII, VIII, pages 236-24148.

  • 49 Ainsi que nous l’a révélé une étude de papiers personnels de Frenicle, manuscrits ou copies, déposé (...)
  • 50 L’Abrégé ne fut édité qu’à la fin du siècle, dans Divers ouvrages de mathématique et de physique pa (...)

49Frenicle qui, à l’instar de Mersenne, avait le goût des « combinaisons », et dont les travaux en ce domaine sont directement liés à ceux de son ami49, a traité le même problème dans l’Abrégé des combinaisons50.

1. Numérotation

50Indiquons dès maintenant, puisqu’ils sont par eux-mêmes suffisamment explicites, les titres des quatre propositions que nous allons examiner. Ces propositions se groupent deux à deux comme suit :

Premier groupe

51Proposition XIII : « Un chant estant donné trouver le rang & l’ordre qu’il tient entre tous les chants possibles dans un nombre déterminé de notes. »

52Proposition XIV : « Comme il faut lire toutes sortes de lettres & de dictions en quelque langue que ce soit, lors qu’elles sont escrites par nombres, ou par quelqu’autres characteres qui servent de nombres ; & comme l’on peut chanter toutes sortes d’Airs & de notes signifiees par toutes sortes de nombres donnez. »

Second groupe

53Proposition XV : « Trouver le lieu & le rang que tient un chant donné de tant de notes que l’on voudra parmy ceux qui peuvent estre faits d’un nombre égal de notes prises en 22. »

54Proposition XVI : « Un nombre estant donné trouver quel chant ou quelle diction tient le rang dudit nombre parmy les chants ou les dictions qui ont une mesme quantité de notes ou de lettres. »

55Problème I

56L’exemple sur lequel spécule Mersenne est trop complexe pour que soit claire d’emblée la méthode que cet exemple est destiné à illustrer.

57« Commençons donc, pour notre part, en examinant un cas plus simple. Soient 3 lettres A, B, C, auxquelles nous attribuons respectivement les numéros 1, 2, 3. Considérons les arrangements avec répétition de ces 3 lettres. Nous aurons 32 mots de 2 lettres, …, 3n mots de n lettres.

58Supposons ces mots rangés selon l’ordre lexicographique. Nous nous proposons d’assigner un numéro et un seul à chacun des mots ainsi formés.

59Le mot AA aura le numéro 4, qui se calculera ainsi :

601. 3 + 1 = 4

61Le mot BC aura le numéro 9, qui se calculera ainsi :

622. 3 + 3 = 9

63Le mot AAA aura le numéro 13, qui se calculera ainsi :

64(3. 3) + 3 + 1 = 13 »

65Lisons maintenant la Proposition XIII qui a pour titre : « Un chant estant donné trouver le rang et l’ordre qu’il tient entre tous les chants possibles dans un nombre déterminé de notes. »

  • 51 Que nous passerons ici sous silence, car elle ne concerne en rien, de façon essentielle, l’objet pr (...)

66Mersenne a mis tellement de hâte à faire part au lecteur des usages divers de cette proposition, il a tellement embrouillé son exposé en se référant à la notation musicale très complexe de « l’eschele de Musique »51 qu’on aperçoit avec peine, à première vue, le but qu’il poursuit. Mais si nous nous en tenons, pour commencer, à l’énoncé de la proposition, il apparaît que le problème à résoudre est celui-là même que nous venons d’examiner sur un exemple particulier. Là où, pour la commodité de l’expression, nous avons dit « numéro », Mersenne parle de « rang ». Il s’agit, un nombre n d’objets étant donné, de considérer les arrangements avec répétition de ces n objets, pris un à un, deux à deux… et d’assigner un et un seul numéro à chacun de ces arrangements.

67Mersenne prend : n = 22, mais précisera plus loin que ce n’est qu’un exemple. Les objets peuvent être « les notes de la Musique », ou « les nombres 1, 2, 3, etc. » ou « les lettres de notre Alphabet, A, B, C, etc. », numérotées de 1 à 22 (Mersenne ne compte pas les lettres J, K, U, W). C’est ce dernier cas que nous retiendrons, car c’est celui qui se prête le mieux à l’analyse. Juxtaposées, ces lettres forment des « dictions » que nous lirons « à rebours de droit à gauche », de sorte que la lettre qui est la première en lecture normale devient ici la dernière, « la penultiesme la seconde, etc. iusques à la derniere à main gauche, qui est la premiere à main droite ».

68Soient donc 22 lettres. Les nombres 22, 222, 223… qui « suivent la progression des dignitez de l’Algebre » nous disent « qu’il faut passer par les 22 lettres avant que de venir aux dictions de deux lettres », et qu’il faut passer par 222 = 484 dictions « avant que de parvenir à la première diction de trois lettres », etc.

  • 52 « Or les exemples qui suivent font mieux comprendre cette table que le discours […]. »

69Voici maintenant le procédé à suivre pour connaître, une diction étant donnée, son rang parmi toutes les dictions possibles de 22 lettres. Mersenne ne l’éclaire que par des exemples52.

701er exemple

71Soit la diction AEBD

72– La 1re lettre est D ; D « vaut 4 ».

73– La 2e lettre est B ; c’est la seconde lettre de l’alphabet, et elle est au second rang dans la diction : « il faut multiplier 22 par 2 ».

74– La 3e lettre est E ; c’est la 5e lettre de l’alphabet ; on multipliera 222 par 5.

75– La 4e lettre est A ; c’est la 1re lettre de l’alphabet ; « il faut simplement écrire » : 223.

76« Ces 4 nombres ajoûtez donneront 13116, qui monstre la quantiesme » est cette diction entre toutes celles qui se peuvent faire de 22 lettres.

77Nous pourrions ainsi disposer le calcul qu’effectue Mersenne :

(1.223)

+

(5.222)

+

(2.22)

+

4

A

E

B

D

782e exemple : dans la Suite manuscrite aux Quaestiones in Genesim, Mersenne dispose lui-même comme suit les nombres à additionner, dans le cas du mot DEUS ;

79Ainsi à un mot (ou à un chant) donné, on peut faire correspondre un nombre et un seul qui est son rang dans la liste de tous les mots (ou de tous les chants).

Problème I’

80« Après avoir donné la maniere d’escrire toutes sortes de chants par le moyen des nombres & des lettres, il faut expliquer la maniere de connoistre le chant, & de le dechifrer lorsque le nombre est donné. » Tel était en effet le problème qui devait se poser naturellement : une fois établie la numérotation des dictions, il convenait de chercher, comment, un numéro étant donné, on peut retrouver la diction qui lui correspond.

81– Pour comprendre plus rapidement comment se fait cette recherche, reprenons, avant d’aborder le texte même de Mersenne, l’exemple simple proposé plus haut : supposons numérotés les arrangements avec répétition des 4 lettres, A, B, C, D, et cherchons les mots qui ont pour numéro 4, 13, 27.

82Numéro 4 : divisons 4 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 4, à savoir 3 ; le quotient de la division est 1 : donc, la deuxième lettre du mot est la 1re lettre de l’alphabet : A. Comme le reste de la division est 1, la 1re lettre du mot sera également la 1re lettre de l’alphabet : A. Le mot est AA.

83Numéro 13 : divisons 13 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 13, à savoir 9 ; le quotient de la division est 1 : la 3e lettre du mot est A ; le reste de la division est 4.

84Divisons 4 par la puissance de 3 immédiatement inférieure à 4, à savoir 3 ; le quotient de la division est 1 : la 2e lettre est A ; le reste étant 1, la 3e lettre est également A. Le mot est AAA.

  • 53 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 140-141.

« Soit donc, écrit Mersenne, le nombre donné à déchiffrer 1349183819. Il faut chercher dans la Table de la combination generale de la 13 proposition [Table donnant 1, 22, 222 … 2221] le premier nombre qui est moindre, à scavoir 113379904, qui est le nombre des dictions de 6 lettres, & consequemment la diction proposee a 7 lettres, dautant que ce nombre pris dans la table de la 13 proposition, lequel commence par l’unité, se trouve au 7. lieu.
Ie divise donc le nombre donné par cestuy-cy, & le quotient estant 11, ie prens l’onziesme lettre de l’Alphabet qui est M.
Mais cette division estant faite, il reste 102004875 que ie divise encore par le nombre de la table, qui precede le premier diviseur, c’est-à-dire par 5153632 [225] le quotient est 19, c’est-à-dire la lettre V.
Il reste 4085867, que ie divise par 234256 [224] le quotient est 17, qui donne la lettre S. Mais il reste 103515 que ie divise par 10648 [223] le quotient est 9, qui monstre la lettre I. Il est resté 7683, qu’il faut diviser par 484 [222] pour avoir le quotient 15, qui monstre la lettre Q.
Il est encore resté 423, qu’il faut diviser par 22, le quotient est 19 qui monstre la lettre V. Finalement il est resté 5, qui montre la lettre E ; de sorte que le chant qui avoit esté proposé est celuy qui est icy noté, & la diction est MVSIQVE53. »

Problèmes II et II’

85Mersenne a travaillé plus haut sur la liste générale des arrangements avec répétition qu’on peut former avec 22 lettres prises 1 à 1, 2 à 2… Ainsi que nous l’avons vu, cette liste admet une division toute naturelle : elle se divise en sections, chacune de ces sections contenant tous les mots d’une longueur donnée.

86Mersenne va maintenant s’attacher à l’une quelconque de ces sections ; et se poser à son propos une question tout à fait analogue à celle du Problème I, et ce sera là ce que nous appelons le Problème II : étant donné la section des mots de longueur p, il s’agit d’assigner un et un seul numéro à chacun de ces mots :

87« Après avoir donné la maniere de trouver le lieu d’un chant, ou d’une diction dans le nombre de tous les chants possibles, i’en ajoûte un autre, qui sert pour trouver le lieu dans le nombre des chants qui ont mesme quantité de notes. »…

88Réciproquement, et ce sera le Problème II’, il s’agit, un nombre étant donné, dont on sait qu’il appartient à une numérotation établie dans les conditions établies par le problème II, de trouver la diction correspondant à ce numéro.

89Tel est l’objet de la Proposition XVI : « Un nombre estant donné trouver quel chant ou quelle diction tient le rang dudit nombre parmy les chants ou les dictions qui ont une mesme quantité de notes ou de lettres. »

90Nous ne pouvons entrer ici dans le détail des nombreux calculs effectués par Mersenne, encore moins dans une étude comparée de ses procédures avec celles de Frenicle. Les énoncés qui précèdent auront du moins souligné ce que sa recherche avait de systématique.

2. Écrire des lettres bien obscures

91Mersenne y revient plusieurs fois, au cours même de ses développements : les procédures I et II peuvent permettre d’« écrire des lettres bien obscures », bref elles peuvent servir de fondement à une méthode cryptographique.

  • 54 Il convient de préciser que, de sa plume brouillonne, Mersenne en trouble fâcheusement l’exposé ; i (...)
  • 55 Mais aussi ses recherches sur les langues, l’étude critique de la « Cabale », la quête de la langue (...)
  • 56 Ainsi Aimé de Gaignières, dont nous avons identifié plusieurs manuscrits autographes, ami de Mersen (...)
  • 57 Nous avons retrouvé, perdu au milieu de papiers de Roberval, un texte autographe de Frenicle où son (...)

92Méthode semble-t-il tout à fait originale54. Ce n’est pas la seule musique qui avait incliné son attention vers les chiffres55. Mêlé à un milieu56 où ces derniers étaient des instruments effectivement utilisés au moins tout autant que des objets de curiosité57, il pouvait tirer gloire d’un artifice, l’emportant et de loin, en « subtilité », sur celle de son propre alphabet harmonique.

  • 58 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 142.
  • 59 Frenicle 1729, p. 113-114.

93Le principe est simple : on remplacera chaque mot du texte clair par son numéro (défini soit par la procédure I, soit par la procédure II). C’est ce qu’en un sens, avaient fait depuis fort longtemps les cryptographes qui numérotaient des dictionnaires ; mais il ne s’agissait jamais que de dictionnaires plus ou moins étendus de mots de langues données, ou même de répertoires arbitrairement constitués. L’idée était peu banale de se donner comme ensemble celui de « toutes les dictions » susceptibles d’être formées à l’aide d’un alphabet donné, et d’assigner ensuite, selon des règles arithmétiques uniformes, un nombre à toute diction possible. Un décrypteur à qui on aurait soumis une suite de tels nombres aurait dû être habile mathématicien pour en percer le mystère. Et l’on veut bien croire Mersenne et Frenicle : « cette maniere peut servir à escrire des lettres difficiles à dechifrer58 » ; « par ce moyen on pourroit écrire des lettres bien obscures, & qu’il seroit bien difficile de dechifrer, si l’on n’en sçavait la méthode ; sçavoir si on mettoit au lieu des mots le rang qu’ils tiennent dans le grand nombre59 ».

94Déchiffrer : le mot est significatif. Nos deux auteurs nous enseignent eux, comment il faut s’y prendre ; et si, précisément, ils font suivre chaque fois les procédures I et II par les procédures I’ et II’, c’est par souci de cryptographe : il ne sert à rien de brouiller si l’on ne sait débrouiller. Mersenne conduit son exposé comme s’il avait à donner des consignes à des usagers éventuels :

  • 60 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 140.

« Après avoir donné la maniere d’escrire toutes sortes de chants par le moyen des nombres & des lettres, il faut expliquer la maniere de connoistre le chant, & de le dechifrer lors que le nombre est donné ; car ce que i’ay dit dans cette proposition sert seulement pour escrire les chants ou les dictions par les nombres, mais il ne donne pas le moyen de lire les chants, ou l’escriture que l’on signifie par les nombres : de sorte que l’on peut escrire tout ce que l’on voudra, sans que pour cela l’on puisse lire ; & consequemment il n’est pas nécessaire que les Secretaires puissent lire ce qu’ils escrivent60. »

95Frenicle ne s’exprime pas autrement, et nous permet de mieux comprendre ce que voulait dire Mersenne dans sa dernière phrase :

  • 61 Frenicle 1729, p. 114.

« Mais ce n’est pas assez de sçavoir écrire, si l’on ne sçait lire son écriture, & ce n’est pas peu de chose que de sçavoir lire celle-ci ; car ceux mêmes qui l’auroient écrite ne la pourroient lire, s’ils n’en sçavaient la méthode, quoiqu’ils sçussent celle de l’écrire61. »

3. « Nombres » des dictions et « chiffres vulgaires »

96Les procédures I et I’ sont proches, comme on l’aura senti, des règles qui régissent le passage du système décimal de numération au système de numération de base 22.

97Supposons que nous disposions de 22 symboles, par exemple ces 22 mêmes lettres utilisées par Mersenne, rangées selon l’ordre alphabétique, auxquelles nous donnons pour valeur :

A

B

C…

Z

0

1

2…

21

98Interprétée selon les règles habituelles, une juxtaposition de tels symboles exprimera un nombre écrit dans la base 22. Soit : E F C B. Pour passer de cette expression. au même nombre écrit dans le système décimal, nous écrirons :

E

F

C

B

4.223

+

5.222

+

2.22

+

1

= 45.057

99Au décalage près de la numérotation des lettres, c’est exactement ce qu’aurait fait Mersenne pour passer de la « diction » EFCB au nombre qui lui correspond, selon la procédure I. Si maintenant, partant du nombre 45057, nous voulions l’écrire dans notre système de base 22, nous procéderions par divisions successives, tout comme Mersenne appliquant la procédure I’.

100Est-ce à dire que tout se passe comme si les « dictions » de Mersenne étaient des nombres exprimés dans le système de numération à base 22 ? Il s’en faut à la fois de peu et de beaucoup. Il s’en faut de peu, en un certain sens, puisque sur un très grand nombre de cas, on verrait se renouveler des coïncidences semblables à celles que nous venons de constater. Mais sur un point essentiel, le système de Mersenne est profondément différent du système de numération à base 22 : dans ce système, nous avions besoin d’une lettre qui ait la valeur zéro et nous avions choisi la lettre A à cet effet. Lorsqu’on écrit un nombre y dans le système de numération à base 22 :

y = xn.22n + xn–1.22n–1

101les coefficients xk doivent remplir les conditions :

0 ≤ xk ≤ 21

102Mersenne, lui, est conduit à poser les conditions :

1 ≤ xk ≤ 22

103Pour être boiteuse, l’analogie que nous venons d’esquisser n’en a pas moins un grand intérêt du point de vue historique.

  • 62 Barbut & Monjardet 1970, t. I, p. 62-63 ; le procédé de Mersenne est précisément évoqué p. 63.

104Tout d’abord, la recherche de Mersenne présente un intérêt intrinsèque si on veut bien l’insérer non pas dans une histoire de la numération au sens étroit, où elle sera jugée comme anticipation, ou ébauche maladroite, mais dans une histoire du dénombrement, où elle approche par un biais inédit cette vérité fondamentale : « Dénombrable (dénommable) et numérotable sont équivalents62. »

  • 63 Frenicle use de son côté d’expressions analogues dans l’Abrégé : « Le lieu de ce mot BAAL se trouve (...)

105En second lieu, c’est un fait que Mersenne laisse entendre, par plus d’un signe, que son procédé de numérotation avait quelque rapport avec le problème de la numération. Qu’on en juge d’abord par les curieuses dénominations que porte une des colonnes de sa Table concernant la « combinaison générale » : en regard de 1, 22, 222 … 2221, nous lisons « Nombre », « Dizaine », « Centaine »… « Sextilion ». Autant de dénominations qui, dans l’Harmonie universelle, surgissent de manière assez abrupte, et sont écartées de leur sens courant avec une liberté d’expression bien audacieuse. Faisant fi de ce que veulent dire « dizaine », « centaine », « mille »… dans le système décimal, Mersenne63 n’hésite pas à écrire par exemple :

  • 64 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 138.

« Re est la seconde note du chant, & est aussi la seconde du système, c’est pourquoy il faut multiplier la dizaine à sçavoir 22 par 2… Fa est la troisième note du chant, & et la cinquième du système, & par conséquent il faut multiplier le troisième de la table [222] c’est-à-dire la centaine par 5 [… ]64 ».

106S’il ne justifie pas directement cet étrange vocabulaire, il en dit cependant assez pour faire comprendre les motifs qui le lui ont fait adopter :

  • 65 Id., p. 137-138.

« Or il y a tousiours mesme raison des deux nombres de la 5 colomne qui se suivent immédiatement, que d’un à 22, de sorte que la premiere raison monstre toutes les autres, car tous ces nombres suivent la progression des dignitez de l’Algebre, & consequemment la raison des deux nombres suivans est tousiours doublee de la raison des deux precedens. De là vient qu’il faut passer par les 22 notes ou par les 22 lettres avant que de venir aux chants & aux dictions de deux notes, ou de deux lettres, & conséquemment qu’il faut passer par 22 dizaines, dont chacune ait deux notes avant que de parvenir à la première diction, ou au premier chant de trois lettres, qui tient le lieu de centaine, & qui exprime son nombre 484 fois.
« D’où il s’ensuit qu’il faut vingt-deux centaines pour faire le mille, qui vaut 10648, & vingt-deux milles pour la dizaine de mille qui vaut 234256, & ainsi des autres65. »

  • 66 Leibniz 1863, p. 241-242 : « Et si haec a viginti ac amplius annis jam in mente habuerim, ita raro (...)

107Qu’est-ce à dire sinon qu’il convient de mettre en parallèle la manière dont se succèdent les dictions, et celle dont se succèdent les nombres dans le système décimal ? Et que sont analogues les tranches selon lesquelles se découpent respectivement ces successions ? D’un côté un groupe de 22 lettres, de l’autre une tranche de 10 nombres ; puis il faut parcourir 22 groupes de 22 dictions avant de parvenir aux dictions de trois lettres, de même qu’il faut dix dizaines pour faire une centaine. Si 223 « tient le lieu de centaine », c’est que 223 joue pour la numérotation des dictions le même rôle que 100 pour le système décimal. Il apparaît dès lors naturel que Mersenne ait usé pour désigner 22, 222, 223… des expressions de « dizaine », de « centaine », et de « mille ». Leibniz ne nous apprend-il pas qu’il fît de même, lorsqu’il aborda ses recherches sur le calcul binaire66 ? Que Mersenne ait adopté, en toute connaissance de cause un parti semblable, confirmation nous en est donnée dans un texte manuscrit qui nous apporte au surplus une précision de grande portée :

  • 67 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 237.

« Constat autem ex dictis Litteras quarumcumque dictionum numerorum instar tutandas esse, quia sicut primus character numeri dati ad dextram positus, hoc est ultimus seipsum, seu digitalem numerum tantummodo significat, secundus vero decades, tertius centenarios, et quemadmodum per hunc numerum 10 transeundum est, antequam perveniamus ad numeros 2 caracteribus constantes, quorum primus est 11, ita 22 Litterae, seu dictiones unius Litteras A, B, C, etc. numerandae sunt antequam ad dictiones 2 Litterarum perveniatur, deinde per 22 decades antequam perveniamus ad dictiones 3 Litterarum prout transimus per 10 numerorum decades priusquam centenarii numerantur67. »

108Mersenne a lu ses dictions comme des nombres. La première lettre « signifie » le nombre d’unités, la seconde le nombre de « dizaines ». Les lettres fonctionnent à l’instar des chiffres dans le système décimal.

  • 68 « Ubi advertendum est perpetuum discrimen ordinis numerorum et istius tabulae, quod videlecet numer (...)

109Bien que Mersenne ait opposé les « numeri vulgares » aux nombres de sa table68, on ne saurait déclarer sans précaution qu’il élabore consciemment un nouveau système de numération. Le passage même que nous venons de citer met d’ailleurs en pleine lumière le point où se brise l’analogie avec le système décimal. Le premier des nombres de deux caractères, nous est-il dit, est 11. Et 10 ? Si on lui donne le même rôle que 22 dans la procédure I, c’est un symbole à lire en bloc, un symbole qui ne comporte qu’un caractère. Effet pour le moins curieux de l’absence du zéro dans la procédure de numérotation de la « combinaison générale ».

  • 69 Voir Granger 1968, p. 190.
  • 70 Il est curieux de constater que les codes pris comme exemples par un linguiste contemporain dans un (...)

110Pour une chronique qui voudrait décrire l’acquis pièce à pièce d’une notion, celle de base, les procédures de Cardan et de Mersenne pourraient, jointes par « ressemblance » avec des systèmes de numération à base non décimale, faire figure d’étapes intéressantes. Mais ce sont tout autant des indécisions mouvantes qui se sont révélées à nous en passant, et à voir se répéter les effets d’un obstacle de pensée bien connu de l’histoire de la numération (statut et usages du zéro), on peut mieux soupçonner les ombres où s’enveloppait encore le système décimal. Au demeurant tout autre est le parcours que nous voulions tracer. Ce qui précède voudrait être une contribution à l’histoire de l’« art des caractères ». Ou bien, si l’expression leibnizienne semblait par trop surannée, il est un mot qui, par ses connotations nouvelles les plus précises69, comme par ses sens traditionnels en cryptographie et en télégraphie, peut bien résumer la nature des recherches dont nous avons recueilli les produits : recherches sur les codes70.

  • 71 À propos d’autres échantillons de pratiques combinatoires, voir Coumet 1974 ; [dans ce volume p. 27 (...)

111Aussi, sans trop de souci chronologique, sans raturer ce qu’à d’autres points de vue on tiendrait pour régression de pensée (Trithème et ses « valeurs numérales ») et même sans faire parler les discours sur la numération tenus par certains de nos auteurs (Cardan, Mersenne), avons-nous été attentifs aux rencontres entre lettres et chiffres. Rencontres provoquées par la cryptographie : est-ce à dire qu’il s’agit d’applications qu’une technique étroitement spécialisée en écritures secrètes aurait marginalement effectuées sur les nombres, ou encore de curiosités mathématiques décrochées par elle comme sous-produits ? Ce serait trop peu dire. Ce dont nous avons détecté les effets est une activité combinante71 mobilisant, échangeant, substituant ces caractères dans des champs multiples, et transformant par ses pratiques scripturaires le régime des signes. En particulier elle aménagea l’espace où l’arithmétique pouvait tracer autrement la « description » des nombres, parce que, ayant subi les effets des manipulations alphabétiques, ils se donnaient à elles autrement : caractères en un certain ordre assemblés.

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Notes

1 Hérigone 1634, t. II, p. 1.

2 Couturat 1903, p. 532.

3 Voir certains des codes décrits par Devos 1946, et Wicki 1963.

4 Thritème 1625, p. 239-240.

5 Id., p. 228.

6 Id., p. 294.

7 Trithème estime même qu’un tel ordre présente des avantages pratiques : aisé à « apprendre et entendre » par « ceux qui (tant peu soit il) auront cognoissance de lettres alphabétiques, si une fois tant seulement ils l’ont entendu & imprimé en leur mémoire », il permettra également de prononcer brièvement de grands nombres (ibid., p. 228).

8 Nous citons d’après la traduction française du De Subtilitate par Richard le Blanc, Cardan 1556, fol. 341 r. Cf. Cardan 1663, t. III. p. 627.

9 Thritème 1625, p. 245.

10 Vigenère 1587, fol. 189 v.

11 Ibid.

12 Id., fol. 240 r.

13 Ibid.

14 Id., fol. 190 r.

15 Id., fol. 199 v. Ce fait, note Vigenère, pourrait bien avoir « induit les Hebrieux d’adiouxter les cinq finales à leurs anciennes vingt deux lettres, pour arriver à ce nombre de 27 ».

16 Ibid.

17 Id., fol. 199. C’est très certainement à ce procédé, et probablement à ce texte même de Vigenère qu’il est fait allusion dans Renaudot 1636 où on relève dans une liste de méthodes cryptographiques l’indication suivante : « On s’est servi des nombres : on a abrégé l’alphabet, on l’a multiplié : on a dressé des tables pour mettre trois lettres pour une. »

18 Porta 1602, l. V, cap. xvi, p. 156-157.

19 Nous reviendrons plus bas sur l’intérêt porté par Mersenne à la cryptographie.

20 Mersenne 1963, Livre premier de la nature et des proprietez du son, Proposition XXII, vol. I, p. 39 : « L’on peut se servir des sons de chaque instrument de musique & des differens mouvements que l’on leur donne pour discourir de toutes sortes de suiets, & pour enseigner & apprendre les sciences. »

21 Id., p. 36 : « Les Sons & consequemment les voix peuvent servir […] pour faire sçavoir les nouvelles de ce qui se passe dans le monde en peu de temps » ; Mersenne 1963, Livre de l’utilité de l’harmonie, vol. III, p. 44 : « s’il y avait des postes de la voix, ou d’autres sons en des lieux convenables, l’on pourroit apprendre chaque iour tout ce qui s’est fait sur toute la surface de la terre, en quelque lieu que l’on pûst demeurer. »

22 Selon l’expression de Lenoble 1943, p. 489.

23 Mersenne 1963, Livre de l’utilité de l’harmonie, vol. III, p. 45 : « […] ce se qui peut neantmoins faire en telle sorte qu’il n’y aura que les Roys & les Princes qui entendront les nouvelles secrettes, ou celles qu’ils voudront, car il y a autant d’especes de chifres indechifrables par la voix, & les paroles, que pour l’escriture, & peut estre mesme tout autant pour les pensées. & les expressions internes de l’esprit ».

24 Ainsi Mersenne traduit en notation musicale les 9 mots d’un verset de Psaume ; il obtient ainsi un chant de 39 notes, dont « chacune represente chaque lettre du verset precedent, qui peut estre escrit par ces notes. Et consequemment l’on peut escrire toutes sortes de lettres secrettes par le moyen de notes […] », Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 139.

25 Mersenne 1963, Livre premier de la nature et des proprietez du son, vol. I, p. 40.

26 Bacon 1632, p. 383-384.

27 Id., p. 394-395.

28 Traductibles en signaux audibles ou visibles, « Objets propres à la Veuë & à l’Ouye ; pourveu qu’ils puissent estre seulement distinguez en deux façons : Par exemple, par des cloches, par des trompettes, par des flambeaux, par des coups de canon & autres choses semblables ». Le procédé sera repris en particulier par Wilkins dans son Mercury, the secret & swift messenger. Wilkins envisage les différents cas où « toutes les lettres peuvent être exprimées », soit par 5, soit par 3, soit par 2 d’entre elles. Voir Wilkins 1802, vol. II, p. 34-40 et p. 71-72.

29 Qui doit sa célébrité à l’aménagement subtil qui permet, grâce à deux alphabets typographiques distincts, d’insérer des textes chiffrés dans des ouvrages imprimés ; d’où l’hypothèse, en effet, que le mystérieux Bacon - Shakespeare - et alii aurait dispersé ses Mémoires dans de multiples ouvrages spécialement typographiés à cet effet (Lange & Soudart 1925, p. 37-42, et Annexes, n° IV (extraits de la « Vie de Bacon… »), p. 292-295).

30 On notera que Morse avait commencé par constituer, en vue des communications télégraphiques, un dictionnaire numéroté : ce n’est qu’ensuite que, répétant pour son propre compte, une démarche de l’ancienne cryptographie, il constitua l’alphabet qui porte son nom. Voir Prime 1875, p. 332.

31 Ainsi Vigenère a-t-il intentionnellement troublé « l’ordre accoustumé » dans l’exemple cité plus haut.

32 Vigenère 1587, fol. 243 r.

33 « […] réduire le nombre des lettres & caracteres de l’éscriture de moins en moins, iusqu’à se passer finablement d’un tout seul : avec lequel, sans y emploier davantage si l’on ne veult, se puissent exprimer toutes sortes de conceptions », id., fol. 236 v.

34 « Si l’on ne peut se passer d’un système de numération […] il y aurait avantage, pense Leibniz, à employer le moins de signes possible, afin de réduire l’artifice au maximum de simplicité. Telle est l’origine de son arithmétique binaire », Couturat 1901, p. 109.

35 Titre du chap. lxi. Sur l’œuvre de Cardan en cryptographie, voir Mendelsohn 1939.

36 Voir Chappe 1840, p. 25-28 ; Belloc 1888, p. 3 sqq.

37 Voir Vigenère 1587, fol. 252 v : « Mode de se faire entendre par des feuz de loing » ; voir également fol. 115 r et fol. 202.

38 Macdonald 1808, p. 137.

39 Cardan 1633, t. III, p. 619. Cardan avait d’abord tenu ce genre de procédé pour une invention originale, mais il en vit ensuite la description dans Polybe (cf., en effet, Polybe 1921, t. III, L. X, XLIII-XLVIL, p. 99-105).

40 Voir Cardan 1566, fol. 331 r.

41 De rerum varietate, lib. XII, cap. lxi, in Cardan 1633, t. III, p. 237.

42 Du fait que les autres nombres donnés par Cardan coïncident avec ceux qui résultent de notre interprétation, nous sommes en droit de penser que le nombre 343, qu’on lit dans le texte cité, doit être lu : 243.

43 D’où le choix des indices 1, 2, 3, (et non 0, 1, 2) que nous utilisons pour distinguer les 3 signaux.
44 De même que le 343 mentionné plus haut, le nombre 462 qu’on lit dans le texte cité nous semble fautif. Il s’agit manifestement d’erreurs d’impression. L’exemplaire du De rerum varietate, publié à Lyon en 1580, que nous avons également consulté, comporte une troisième erreur, car il donne 192 au lieu de 162.

44 Vigenère 1587, fol. 252 v°. La « figure » est, comme celle que donc sans anachronisme aucun nous avons dessinée pour éclairer le texte de Cardan : un tableau à double entrée.

45 De rerum varietate, in Cardan 1633, t. III, lib. XII, cap. lxi, p. 235-236.

46 Cf. Coumet 1972 ; [ce volume, p. 231-276].

47 Mersenne 1963, p. 135.

48 C’est sous ce titre, emprunté à Lenoble 1943, p. xiii-xiv, que nous citons ces textes autographes de Mersenne.

49 Ainsi que nous l’a révélé une étude de papiers personnels de Frenicle, manuscrits ou copies, déposés à la Bibliothèque nationale de France, et aux Archives de l’Académie des sciences.

50 L’Abrégé ne fut édité qu’à la fin du siècle, dans Divers ouvrages de mathématique et de physique par Messieurs de l’Académie royale des sciences (Frenicle 1693). Nous citerons d’après une édition ultérieure plus accessible, Frenicle 1729.

51 Que nous passerons ici sous silence, car elle ne concerne en rien, de façon essentielle, l’objet principal de la proposition.

52 « Or les exemples qui suivent font mieux comprendre cette table que le discours […]. »

53 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 140-141.

54 Il convient de préciser que, de sa plume brouillonne, Mersenne en trouble fâcheusement l’exposé ; il mêle constamment – à ce qu’il en dit – des digressions relatives à un procédé beaucoup plus simple, qui lui en revanche était bien connu, et qu’il avait lui-même évoqué ailleurs dans l’Harmonie universelle (bijection entre lettres et notes dont nous avons parlé ci-dessus).

55 Mais aussi ses recherches sur les langues, l’étude critique de la « Cabale », la quête de la langue universelle, l’art des combinaisons.

56 Ainsi Aimé de Gaignières, dont nous avons identifié plusieurs manuscrits autographes, ami de Mersenne (comme il le fut plus tard de Pascal), et qui prit copie du texte dont nous parlons, s’était cru de force à défier le célèbre Rossignol.

57 Nous avons retrouvé, perdu au milieu de papiers de Roberval, un texte autographe de Frenicle où sont exposées les procédures I et II de Mersenne. Or, fait énigmatique – désir de préserver le secret du code ? – le texte est porté sur un petit feuillet entièrement recouvert, au recto et au verso, d’une écriture littéralement microscopique.

58 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 142.

59 Frenicle 1729, p. 113-114.

60 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 140.

61 Frenicle 1729, p. 114.

62 Barbut & Monjardet 1970, t. I, p. 62-63 ; le procédé de Mersenne est précisément évoqué p. 63.

63 Frenicle use de son côté d’expressions analogues dans l’Abrégé : « Le lieu de ce mot BAAL se trouve ainsi : il est composé de quatre lettres, & partant la premiere à gauche est mille, qui exprime son nombre 10648 fois… la seconde lettre est A qui est centaine & qui vaut 484. » Dans le mot LEVI, « L est la dixième lettre, & partant je multiplie le mille qui est 10648 par 10 », Frenicle 1729, p. 112-113.

64 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 138.

65 Id., p. 137-138.

66 Leibniz 1863, p. 241-242 : « Et si haec a viginti ac amplius annis jam in mente habuerim, ita raro tamen animum huc adjeci, ut de nominibus imponendis non cogitaverim quia potius soleo enuntiare ad morem vulgaris Artis Arithmeticae 10 per decem, 100 per centum etsi significent 2 et 4. »

67 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 237.

68 « Ubi advertendum est perpetuum discrimen ordinis numerorum et istius tabulae, quod videlecet numeri vulgares progrediantur per decades his ciphris 10 explicatas ; numeri vero tabulae progrediantur per decades quarum 22 est radix. » (ibid.)

69 Voir Granger 1968, p. 190.

70 Il est curieux de constater que les codes pris comme exemples par un linguiste contemporain dans une analyse de « l’économie dans le coût » – Prieto 1966, p. 79-117 –, sont ceux-là mêmes (y compris la « numération décimale ») qu’élaboraient ou perfectionnaient les recherches du xvie et du xviie évoquées plus haut.

71 À propos d’autres échantillons de pratiques combinatoires, voir Coumet 1974 ; [dans ce volume p. 277-290]. Sur les relations entre les problèmes de Mersenne ici décrits et ses réflexions sur la langue universelle et les langues artificielles, voir Coumet 1975 ; [dans ce volume p. 315-340]. Coïncidence curieuse entre la recherche historique et la recherche en pédagogie des mathématiques : nous avons eu la surprise de retrouver un des deux problèmes précédents, reconstruit dans une « étude destinée aux maîtres » de Mme A. M. Bardi qui l’avait conçu à titre d’exercice sur les systèmes de numération « sans zéro » (Bardi 1972).

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2016

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