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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Mersenne : « Dictions » nouvelles à l’infini

Texte intégral

xvii e siècle, n° 109, 1975, p. 3-32. Nous remercions M. Emmanuel Bury, directeur de la revue xviie siècle, de nous avoir autorisés à reproduire ce texte.

  • 1 Ces exposés n’avaient guère retenu jusqu’ici l’attention des historiens des mathématiques ; nous en (...)

1Le Père Mersenne a consacré plusieurs exposés « aux combinaisons1 » ; il en a cherché les différentes variétés, les a classées méthodiquement, a déterminé les relations qui les liaient ; il en a illustré ou appliqué les propriétés dans de nombreux tableaux, répertoires et calculs numériques. Autant de recherches qui présentent un intérêt intrinsèque par leur contenu mathématique : Mersenne a ainsi exploré, posant au passage quelques problèmes inédits, les théorèmes fondamentaux de l’analyse combinatoire élémentaire. Certes, sautillements de pensée et digressions exigent du lecteur patience et attention ; mais, paradoxalement, tout ce que cette exploration peut avoir de chaotique et de désordonné aux yeux de qui y cherche des résultats purement mathématiques, la rend plus précieuse sous un second biais.

  • 2 Coumet 1972 et Coumet 1974, dans ce volume, p. 231-276 et p. 277-290.
  • 3 Nous utiliserons le vocabulaire traditionnel antérieur à l’introduction du vocabulaire ensembliste  (...)
  • 4 Aussi ne disons-nous rien de l’Anagrammatisme, des réflexions sur la langue et l’écriture chinoise, (...)
  • 5 Nous faisons référence plus bas aux ouvrages suivants de Mersenne : Quaestiones in Genesim (Mersenn (...)

2Ne sachant taire aucune « curiosité », Mersenne désigne à découvert des motivations insoupçonnées ; parce qu’en lui l’arithméticien oublie rarement le théologien, l’érudit ou le musicien, voilà déployé devant nous l’éventail des « usages » des combinaisons. Soit donné par exemple un thème aussi pauvre à première vue que celui des Permutations : Mersenne ne s’est pas contenté de donner listes ordonnées et règles de calcul ; celles-ci trouvent une application immédiate dans l’art des anagrammes, et la Musique offre en l’occurrence plus qu’un simple champ d’illustration : soucieux d’aider les musiciens à « faire de bons chants », Mersenne montrera quels secours peuvent offrir des répertoires de chants à propos desquels il aura à résoudre des problèmes inédits de rangement et de numérotation2. Dans ce qui suit, le fil conducteur de notre analyse sera, en quelque sorte, de manière inverse, extérieur au calcul combinatoire proprement dit ; soit donné une constellation de thèmes qu’en un vocabulaire aujourd’hui reçu on acceptera de qualifier comme linguistiques : analyses d’alphabets et d’écritures mais aussi spéculations sur la langue d’Adam, études de phonétique mais aussi projets de langue universelle ; de tels thèmes conservent en d’autres œuvres leur autonomie, alors que l’ars combinandi y trouva motifs d’exercice, d’extension, ensuite d’application. Ne réservant ici au calcul3 que la place strictement nécessaire, et sans pouvoir entrer dans le détail d’un jeu d’interactions particulièrement complexe4, attention sera surtout portée à certains des liens tissés dans de nombreuses œuvres de Mersenne5 et selon des contextes très diversifiés, entre ars combinandi et préoccupations linguistiques : rencontres des « combinaisons » et des alphabets.

I. – Variations alphabétiques

  • 6 Quaestio quarta (Quot modis Bereschit, sicut & aliae Scripturae partes explicari possint), Articulu (...)

3Intéressé très tôt par les « combinaisons », Mersenne n’en eut tout d’abord que des vues fragmentaires ; pauvres en règles mathématiques, ses premiers écrits n’en sont pas moins riches d’indications, lorsqu’on parvient à en déterminer les sources. Ainsi parce qu’ils leur font écho, nous mettent-ils en présence de deux activités totalement étrangères par leurs motivations, la Cabale et l’Arithmétique, et qui pourtant ont eu en commun d’associer alphabets et « combinaisons ». Dès 1623, dans les Quaestiones celeberrimae in Genesim, Mersenne toucha à l’analyse combinatoire, et ce fut curieusement au cours d’une des multiples escarmouches où il prend pour cible tous ceux qui tirent foule de conclusions merveilleuses grâce aux vertus de la commutatio appliquée à certains mots des textes sacrés6. Dans La Vérité des sciences, il s’appliqua à des dénombrements de « dictions » conduits pour eux-mêmes, et ce fut à la suite de ceux qu’avait exposés Clavius, d’un point de vue purement arithmétique.

1. – Cabale

  • 7 Lenoble 1943, chap. III, 2, « La Cabale », p. 96-109.
  • 8 Scholem 1960.
  • 9 Sérouya 1947, p. 473.
  • 10 Id., p. 477-483. Cf. Secret 1964.
  • 11 Mersenne 1624, I, p. 140.
  • 12 Nous songeons aux analyses de R. Lenoble (loc. cit., et p. 514-517), qui, exclusivement soucieux de (...)

4Dans la première partie de sa vie, Mersenne mena de vifs combats contre la « Cabale7 ». Ce terme générique pourrait tromper ; n’est point en cause ici l’ensemble de ce mouvement aussi profond que divers à travers lequel s’est manifestée la mystique juive8 ; la « Cabale » que vise Mersenne, introduite par Pic de la Mirandole dans le monde chrétien9, compta Jean Reuchlin, Agrippa de Nettesheim, Francesco Zorzi parmi ses principaux représentants10 ; plus précisément encore, la doctrine qu’il fustige dans les textes qui nous concernent est celle de « ceux qui n’ont que la Cabale commune parmy les Rabins, laquelle se sert des lettres et de leurs combinations pour treuver quantités de secrets, et matiere de discours11. « Cabale », « combination » : la seule rencontre en cette phrase de ces deux mots devrait nous garder d’oppositions trop massives12. Sans doute le combat contre les Cabalistes n’est-il qu’un aspect de la lutte de Mersenne contre l’« animisme » ; encore faut-il expliquer ensuite pourquoi et comment il a pu croire que l’art combinatoire pouvait servir d’arme contre une doctrine qui se mêlait justement de combinaisons.

  • 13 Cf. Dubois 1970.
  • 14 Cf. Mersenne 1623, col. 1216-1217.

5Que furent au Paradis le savoir et le langage d’Adam ? Théologien, commentateur de la Genèse, Mersenne se pose cette question traditionnelle qui, par un lien également traditionnel13, est étroitement associée aux positions qu’il adoptera à l’égard des langues multiples parlées par toute la Terre, après la malédiction de Babel. Il avait commencé par attribuer à Adam une connaissance parfaite14 ; mais des doutes vont bien vite l’assaillir, et il affirmera que de toute manière, les hommes ont perdu le secret du langage adamique, pour autant qu’il ait jamais existé :

  • 15 Mebsenne 1625, p. 71.

« On ne peut inventer des dictions “qui signifient la nature, & l’essence des choses d’autant que nous ne la cognoissons pas, il n’y a que Dieu qui le puisse faire, ou qui le puisse commander aux Anges : peut estre que les noms qu’Adam imposa, avoient ce privilege : mais depuis ce temps là les noms se sont tellement éloignez de leur premiere origine, que nous n’en recognoissons plus aucun vestige15”. »

  • 16 Lenoble 1943, p. 108

6Aucun vestige : autant dire qu’il est tout à fait vain de chercher dans des mots les traces cachées d’une connaissance qui y serait enfouie depuis les premiers temps. Devenu le tenant de la « jeune physique », Mersenne ira plus loin encore ; « c’est à la science nouvelle, au mécanisme qu’il demandera, pour ruiner le prestige séculaire de l’onomancie, la réponse décisive : le mot n’est qu’un flatus vocis, un signe purement conventionnel, un ébranlement de l’air, dont toute la nature relève de la physique et de l’acoustique16 ».

  • 17 Id., p. 516.
  • 18 Mebsenne 1624, I, p. 167.
  • 19 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 532
  • 20 Ibid.

7Tout dans le langage est affaire de convention, et chaque langue dépend étroitement de « l’institution et de la coustume17 ». De telles vues font s’effriter, en particulier, les privilèges de l’hébreu que Mersenne avait déjà battus en brèche, avec une certaine ironie, en soutenant que toutes les autres langues se prêteraient aussi bien aux artifices des Cabalistes18 ; pas plus en hébreu que dans aucun autre idiome humain, il n’existe de mots qui enfermeraient en eux toutes les propriétés des choses dénommées19 ; ne serait-ce que d’un point de vue proprement linguistique, on ne saurait maintenir la supériorité de l’hébreu ; il est des noms et des verbes grecs plus justes et plus élégants que les expressions hébraïques correspondantes20.

8Comment les spéculations des Cabalistes trouveraient-elles grâce devant des critiques qui ne laissent rien subsister de leurs principes ? Qu’il suffise, pour accéder aux plus profonds secrets, de conjoindre, dissocier, commuter, mots et lettres : quoi de plus absurde si mots et lettres ne détiennent aucune « vertu » propre, si rien n’est vrai des prétendues correspondances symboliques qui les lieraient à telles ou telles parties de l’homme ou de l’univers ? Mersenne n’en poursuit pas moins longuement de ses sarcasmes les différents procédés utilisés par les Cabalistes.

  • 21 Lenoble 1943, p. 102 et p. 106.
  • 22 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 528-529.

9Arbitraires, les valeurs numérales des lettres ; arbitraires, les calculs arithmétiques qui mêlent en tous sens ces mêmes valeurs21 ; aussi peu fondées, et aussi insensées les conclusions qu’on voudrait tirer des « métathèses » des noms. Des oreilles chrétiennes supporteront mal qu’on prononce « sued » au lieu de « deus », et « seius » au lieu de « Iesus » ; pas plus de sérieux dans ce genre d’exercices que dans ces anagrammes de noms de personne où on voudrait lire louanges ou blâmes : s’il y a parfois quelque vérité dans ces anagrammes, ce n’est que par accident22. En fin de compte, pour choisir telle « commutation de lettres » plutôt que telle autre, les « Rabbins » n’ont d’autre motif que leur propre fantaisie.

  • 23 Id., p. 529.

« non tamen aliam rationem affere
possunt Rabbini cur unam potius litterarum commutationem,
quàm aliam approbent, nisi quia suae mentis
figmentum sequi volunt, atque ita sit pro ratione
voluntas23 ».

10De telles accusations pourraient s’entendre en un sens assez général pour qu’échappe de prime abord le lien qu’elles peuvent avoir avec l’analyse combinatoire. Serait-ce par association d’idées mal fondée que Mersenne aurait inséré son premier écrit sur les combinaisons dans une Quaestio dirigée contre les Cabalistes ? On serait tenté de le croire si on ne remarquait à quel point ces derniers usaient dans leurs procédés, de transpositions, de métathèses, de combinaisons, de mutations... Que témoignage en soit ici donné par ce seul relevé qu’à dessein nous demanderons à Mersenne :

  • 24 Cf. Secret 1964, p. 292.
  • 25 Mersenne 1624, I, p. 163-166.

« La première façon s’appelle Etbas, c’est-à-dire transposition de lettres, ce qui se fait en deux sortes ; Premierement par equivalence de nombres, lorsque deux dictions contiennent une mesme somme, […]. L’autre sorte est par metatheses, anagrammes, telles que sont celles desquelles ie me suis servy pour explicquer la première parole de l’escriture saincte Beresit, […]. La seconde façon est appelée Themurah, qui fait les changements materiels ; la troisiesme Ziruph, laquelle fait les mutations, & combinations formelles, & n’est guere esloignee du Zairagia24 des Mores : or par cette voye, ils conioignent les 22 lettres de leur Alphabet, selon qu’ils ont appris du Iezira, qui parle ainsi, Qua de re appendit litteras Deus & permutavit eas, Aleph cum omnibus, & omnes cum Aleph, Beth cum omnibus, & omnes cum Beth, afin qu’ils aient 22 Alphabeths25. »

11Ce n’est là qu’une classification parmi d’autres ; mais on aura déjà vu que si Mersenne oppose à de tels procédés, non plus maintenant, ses critiques et ses sarcasmes de théologien philosophe, mais des calculs, ce ne peut plus être dans le même esprit. Car si appel est fait aux « combinaisons », ce ne sera jamais que contre des « combinaisons » déjà mises à contribution. Il ne pourra plus s’agir ici de substituer vérités à erreurs, mais de faire mieux et autrement. Bien plus, ces procédés dont il convient de dénoncer les visées aberrantes, seront d’une certaine manière, repris en charge ; en voici les règles, mais celles aussi d’autres jeux auxquels chacun pourra s’exercer, si tel est son plaisir.

  • 26 Mersenne 1623, col. 701. C’est par cette phrase que Mersenne introduit sa digression.

« Attamen regulas assignare velim, quibus aliquis, si lubet, sese in hoc explicandi genere exercere valeat, saltem ut eos refellat, qui hocce modo quosdam errores astruunt, decet enim eos, qui versantur in scripturis omni scientiarum, & artium encyclopaedia instructos esse, vel ut Catholicos instituant, atque confirment in fide, vel ut Atheos, paganos hereticos, Iudaeos, Schismaticos, & reliquos fidei hostes modis omnibus convincant, & ad veritatem adducant, atque reducant26. »

12À dire vrai, Mersenne ne s’est pas expliqué directement sur les services précis qu’il attendait de telles règles, mais deux de ses remarques le laissent deviner.

13La première concerne le procédé dit des Ziruphs qui consistait à établir des alphabets de substitution en associant deux à deux les 22 lettres de l’alphabet. Ce sont là pures inventions humaines ; qui a décidé d’associer telle lettre avec telle autre, et, poursuit Mersenne, pourquoi associer les lettres deux à deux, et non pas trois à trois, ou autrement ?

  • 27 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 528.

« […] nunquid cum duabus, tribus & pluribus aliisque litteris [aleph] & caeterique characteres non tantum combinari, sed et triplicari, vel si dici fas est contrinari, possunt27 ? ».

14Tirons les conséquences de cette objection ; artificieux, les procédés des Cabalistes le sont par nature, aucune justification sérieuse ne pouvant les légitimer ; mais l’arbitraire est en plus durement décrié, dès qu’on fait paraître tous ceux qu’on aurait pu tout aussi bien employer. Obnubilé par telle méthode particulière, vous pouvez vous laisser abuser par des rencontres apparemment merveilleuses ; jetez donc les yeux sur d’autres méthodes, et vos illusions tomberont. Plus sont nombreux les modes de combinaison, et plus paraît arbitraire le choix qu’on fait de tel d’entre eux. Or la multitude de ces modes est attestée par des règles mathématiques ; celles-ci révèlent tout un fonds de possibilités en regard desquelles les jeux cabalistiques paraissent dérisoires.

15Mais lors même que les Cabalistes effectuent des dénombrements, lors même qu’ils en expriment numériquement les résultats, l’Arithméticien leur jette un orgueilleux défi.

  • 28 Mersenne 1623, col. 1390.

« O doctos homines, qui solis literarum commutationibus se in omnium rerum cognitionem devenire posse affirmant ; cur obsecro hisce commutationibus non intenditis ? an quia numerus illarum, quem his notis exprimitis 1124002590827 19680000 explicari nequit ? at totum hune numerum unius diei Arithmeticus efferet ? quandoquidem centum quintiliones non superat28. »

16Quoi, ces prétendus savants soutiennent que par les seuls « commutations » des lettres, on peut parvenir à connaître toutes choses, et ils ne consacrent pas toute leur attention au calcul de ces « commutations » ? Est-ce parce que les résultats leur paraissent inexplicables ? On comprend mal le sens de cette dernière accusation. Mersenne veut-il dire simplement que le nombre cité est si grand qu’il paraît incompréhensible à de tels esprits, mais n’impressionne nullement l’Arithméticien ? De fait, nous avons retrouvé une accusation du même genre, mais plus précise, dans un passage de La Vérité des sciences où Mersenne parle de grands nombres :

  • 29 Mersenne renvoie ici à ce que nous appelons la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim.
  • 30 Le Père Zorri, Vénitien, dit également Giorgio ; en 1623, Mersenne consacra un ouvrage entier à réf (...)
  • 31 Mersenne 1625, p. 439.

« Vous en pouvez voir un beaucoup plus grand dans le deuxiesme Tome sur la même Genêse29 qui a 285 characteres et conclurre que François Georges Venitien30 a été deçeu quand il a dit dans la septiesme section de ses problêmes, problême 244, que la combination des lettres, & des poincts Hebraïques ne pouvoient pas estre nombrée par les hommes, car le nombre qui signifiroit toutes les combinations des susdites lettres, des poincts & des accents Hebrieus n’auroient pas nonante caracteres, comme nous pourrons montrer quand nous parlerons des combinations31. »

17Le « problême 244 » visé par Mersenne est le suivant :

  • 32 Zorzi 1622, t. V, sect. VII, § 244, p. 382-383 ; la première édition de cet ouvrage remonte à 1536.

« Quot individua facta sunt, prout ex aliqua coniectura deprehendi potest ? Nonné, si literae sunt materiales compositorun partes, ex eis, omnibus modis possibilibus coniunctis, deprehendere possumus numerum rerum creaturarum : qui supputari, potest, proferri vero nequaquam, nisi ab eo, qui numerat multitudinem stellarum, & pillos capitis, & arenam maris & pluuiae guttas ? Ex omnibus enim literarum combinationibus secundum regulas secretiorum Theologorum infaillibiles, absque punctorum aliqua immixtione hic numerus resultat : videlicet 1124002590827719680000. Si vero permixtiones cum punctis addantur, erit numerus nec expressibilis nec supputabilis à nobis : Deo proculdubio cognitus32. »

18Allusion est faite au début du texte à cette manière de théogonie combinatoire qu’expose le Sefer Yessirah (ou Livre de la Création) et où les vertus symboliques des 22 lettres de l’alphabet hébreu jouent le plus grand rôle. Il y est dit que le Créateur, lorsqu’il a tracé, découpé, multiplié, pesé et interverti ces lettres, a créé tout ce qui est. D’où l’espoir de connaître le nombre des créatures à partir d’une spéculation sur toutes les manières dont peuvent se conjoindre les lettres. Blaise de Vigenère nous explique plus nettement que le Père Zorri pourquoi cet espoir est déçu :

  • 33 Cf. Serouta 1960, p. 128-138 ; Vajda 1947, p. 17. Mersenne a publié lui-même dans ses Observations (...)

« Et ont esté les Cabalistes si speculatifs, parauenture trop curieux, entant que la coniecture de l’esprit humain s’est peu estendre, de penser que les diuers assemblemens des lettres, atteindre à sçauoir le nombre des choses créées ; qui se pourroit bien supputer, mais nompas proferer, ny presque comprendre, fors de celuy qui sçait le compte des estoilles, & leur donne à toutes des noms ; des poils estans en nostre teste, & tout le reste de la personne ; des grains de sablon ; & goutes de pluye : Car de la diversité des Ziruphs, ou accouplemens, & suittes de lettres, sans aucun meslange de points, vient à resulter un nombre, qui est autant comme infiny pour nostre regard ; assauoir 112400259082719680000. Que si l’on y veut adiouster les points, le nombre ne se pourroit pas exprimer, ny conceuoir presque de nous ; combien qu’Archimede en son traicté de l’Arene se soit ingeré de trouuer une maniere de compter qui va iusques en infiny : mais cela est reserué au seul Dieu, & passe l’apprehension de ses creatures [… ]33. »

19Quelle est tout d’abord, se demandera-t-on, la signification de ce nombre qui est « comme infiny pour nostre regard » ? On le devinera en lisant dans le Sefer Yessirah l’explication relative à la « multiplication » des lettres :

  • 34 Vigenère 1587, fol. 42. Duret 1613, p. 203, a repris ce développement. Mersenne connaissait ces deu (...)

« […] c’est que de deux lettres dérivent deux mots, de trois lettres six mots, de quatre lettres vingt-quatre mots, de sept cinq mille quarante, et après cela tu peux compter jusqu’à ce que la bouche ne peut dire, ni l’oreille entendre34. »

  • 35 Mersenne 1624, t. I, p. 159, suit sans doute Vigenère lorsqu’il écrit : « et par les vingt et deux (...)
  • 36 Le grand nombre qu’on lira ci-dessous voudrait très certainement représenter G (22,22), mais il ne (...)

20Il s’agit, on le voit, de la règle des Permutations ; or les nombres rencontrés dans les textes précédents présentent une analogie frappante avec le nombre des Permutations de 22 lettres. Très curieusement, c’est à nouveau Vigenère qui, toujours dans le Traicté des chiffres révèle l’existence d’un nombre « trop plus grand sans comparaison que celuy qui a esté touché cy devant », nombre dû aux calculs des mêmes Cabalistes, et dont est détaillé cette fois-ci sans ambiguïté le mode de calcul35. Vigenère donne en effet la règle permettant de connaître36 le nombre des Arrangements avec répétitions de 22 lettres.

  • 37 La référence de la page fait défaut ; il s’agit très certainement de la « page » 42 que nous avons (...)
  • 38 Vigenère 1587, fol. 81 v.

Ce nombre de 22 est « en un si grand predicament envers les Cabalistes, qu’ils se sont imaginez de pouvoir par le fondement d’icelui arriver à cognoistre celuy des Estoilles […] & ce par les reiterees multiplications des 22. lettres, qui arrivent finablement à un nombre incompréhensible ineffable ; trop plus grand sans comparaison que celuy qui a esté touché cy devant en la page37 car cestuy-cy monte à 3403424372953868586410 3 6799104. Que si l’on vouloit adiouster ensemble toutes les 21 multiplications chacune à par-soy, que seroit-ce ? mais ils ne commandent qu’au Betb, d’autant que l’Aleph qui représente l’unité ne peult rien produire multipliee de soy seule, & en soy : & font ainsi, 22. fois 22. font 484. 22. fois 484. pour le Gimel 10648. Et ainsi du reste ; laquelle curiosité de numeration est de vray du tout frivole & incertaine ; car quel fondement y peult-il avoir en cela ? n’estant qu’une couverture, sans bien peu ou rien d’apparence de vraysemblable ; aussi bien que celle dont les Talmudistes s’efforcent de nombrer les anges par une autre voye [… ]38 ».

21À lire de tels textes, on voit que le deuxième reproche adressé par Mersenne aux Cabalistes doit être entendu avec quelques réserves : ils s’étaient bien adonnés au calcul des « commutations » de lettres, et dans plusieurs directions. Mais il est vrai que ces calculs ne sont pas systématisés, et que du moins certains d’entre eux mettaient des bornes à l’étendue de leurs dénombrements, retenus qu’ils étaient par la peur de profaner des secrets divins s’ils allaient au-delà de certaines limites.

2. – Arithmétique

A) Clavius

  • 39 Mersenne 1625, p. 535-548.
  • 40 Alors même qu’il mentionne à plusieurs reprises, et non sans éloges, les œuvres du savant jésuite q (...)
  • 41 Clavius 1611, p. 17-19. Paru pour la première fois à Rome, en 1570 (cf. Sommervogel 1890-1932, vol. (...)

22Dans La Vérité des sciences39, Mersenne suit d’assez près, sans la citer40, une curieuse digression que Clavius avait glissée dans un ouvrage d’astronomie et de géographie41. Cette Digressio pulcherrima de rerum combinationibus sive comparationibus, a pour prétexte le calcul du nombre des « éléments » qu’on peut former à partir des quatre « qualités » (le chaud, le froid, le sec et l’humide) prises deux à deux. Clavius donne la règle qui permet de déterminer le nombre des Combinaisons de n objets 2 à 2, puis celle qui permet de déterminer le nombre des Combinaisons de n objets 2 à 2, enfin celle qui permet de déterminer le nombre des Combinaisons de n objets 2 à 2, 3 à 3,…, n à n.

23Or, à ce propos, après avoir mentionné les conjonctions de planètes qui intéressent les Astrologues, Clavius fait intervenir les conjonctions de lettres : un alphabet de 23 lettres étant donné, on cherche à savoir combien de mots on pourra former, que ces mots soient « utiles » ou « inutiles » (c’est-à-dire, est-il précisé, prononçables ou non) :

  • 42 Id., p. 18.

« Pari ratione cognoscetur, quot dictiones sive utiles, sive inutiles, ex 23 literis alphabeti possint constitui, hoc est, quot modis dictae 23 literae inter se coniungi possint, ita ut semper sint diversae coniunctiones, sive pronunciari possint, sive non42 ».

  • 43 « Verum est plures dictiones fieri posse, sive literarum coniunctiones, si literae in quavis coniun (...)

24Cette phrase pourrait laisser croire que la dernière règle énoncée permettait de faire le décompte de toutes les « conjonctions ». Il n’en est rien, comme le remarque aussitôt Clavius. Considérons l’agrégat de lettres : AVE ; il peut être « varié » de 6 manières différentes ; or dans la règle précédente, ces différentes manières ne comptaient que pour une conjonction43.

25D’où un nouveau problème général : soit des choses en nombre donné ; en combien de manières peut-on les permuter ? (… « quotnam modis illae inter se possint commutari ».) Après avoir répondu à cette question en détaillant la règle permettant de calculer le nombre des Permutations de « objets, Clavius remarque que ces « commutations » font croître le nombre des mots que l’on peut former avec les 23 lettres de l’alphabet.

« Postquam igitur per documentum praecedens omnes coniunctiones viginti trium literarum alphabeti cognitae fuerint, si inquiratur per hanc regulam quot modis literae uniuscuiusque coniunctionis inter se commutari possint, habebitur numerus omnium dictionum utilium & inutilium, dummodo in una dictione nulla litera bis, vel ter, & c. accipiatur. »

26L’affirmation est trop vague pour qu’on puisse en déterminer le sens avec certitude. À première lecture, il pourrait sembler que Clavius se propose ici, après avoir traité des Combinaisons, d’aborder l’étude des Arrangements ; ayant déterminé auparavant le nombre de toutes les « coniunctiones » des 23 lettres de l’alphabet, il désire appliquer à chacune de celles-ci la règle des Permutations qu’il vient d’exposer ; ainsi sera obtenu le nombre de tous les mots possibles (en supposant qu’aucune lettre ne se répète dans chacun de ces mots). Cela signifie-t-il que Clavius cherche à obtenir A (23, i) à partir de C (23, i) ?

27Sans doute a-t-il soupçonné le problème, mais on ne voit pas qu’il ait eu les moyens de le résoudre. Pour ce qui est des Combinaisons, il ne dit mot en effet, rappelons-le, de la règle qui permettait de calculer C (23, i) pour i > 2 ; force est de constater, par ailleurs le caractère très particulier de l’exemple destiné à illustrer sa déclaration finale ; Clavius choisit le cas où le calcul du nombre d’Arrangements se ramène à un calcul de Permutations :

A (23, 23) = P (23) = 23!
« Hac ratione ex ultima coniunctione viginti trium literarum sese constituentur permutationes 25852016738884976640000 & tamen nulla litera bis sumitur quod vix credibile est. »

  • 44 Mersenne 1625, p. 542-543.

28Mersenne, reprenant dans La Vérité des sciences44 le problème où l’avait quitté Clavius, livre imprudemment des ébauches de recherches personnelles. Au terme d’un premier calcul, il croit qu’il a obtenu toutes les « dispositions » possibles ; or il ne manque pas d’apercevoir lui-même qu’il est encore loin du but, et nous le voyons, non sans surprise, récuser en toute sincérité le calcul qu’il vient de faire, pour en esquisser un nouveau : « Neantmoins il y a encore d’autres transpositions, qu’il faudrait sçavoir affin qu’il n’y eust plus aucune transposition qui peust estre faite […] ». Suit un canevas de calcul, qui annonce sans doute une enquête menée plus tard avec succès, mais qui n’est tracé ici que de manière bien elliptique. Sans nous attarder sur ces faux pas ou ces incertitudes, voyons comment, presque dans la même année, un professeur de mathématiques s’était posé, également à la suite de Clavius, un problème identique.

B) Guldin

  • 45 Dans l’édition en un volume de De centro gravitatis que nous allons citer (B. N., V 1532), les livr (...)
  • 46 Exemple traditionnel d’un calcul de Permutations (cf. Pacioli 1523, fol. 43 v.- 44 r.).
  • 47 Guldin 1635, p. 351-357. Suit à la p. 358, une Table des calculs relatifs aux Problèmes traités. Ce (...)

29En exposant la solution de quelques problèmes arithmétiques, Guldin45 voulait faire admirer les prouesses de l’Arithméticien qui, armé de méthodes permettant d’abréger les calculs, peut achever en une heure ce dont les autres ne sauraient venir à bout en une multitude d’années. Deux de ces problèmes concernent les progressions, arithmétique et géométrique. La troisième nous montre des convives d’abord moqueurs, médusés ensuite par la prédiction à première vue incroyable de l’Arithméticien : aucun d’eux ne survivra assez longtemps pour voir s’accomplir la promesse que leur avait faite leur hôte de les disposer, chaque jour, de façon différente, autour de sa table46. Mais voici qui est neuf, et conduit à bien d’autres merveilles, « une invention nouvelle et pleine d’agrément », un problème qui relève de la théorie (« doctrina ac rationes ») des « combinaisons » : Problema arithmeticum de rerum combinationibus. Quo numerus dictionum seu coniunctionum diversarum, quae ex viginti tribus Alphabeti litteris fieri possunt indagatur47.

  • 48 Guldin 1635, p. 353 : « Non sum nescius id ipsum praestitisse iam pridem Christophorum Clavium, Soc (...)

30Certes, le problème fut posé naguère par Clavius à qui Guldin commence par rendre hommage48 ; mais le célèbre mathématicien ne l’avait traité que de manière très incomplète. Négligeant dans le texte de son prédécesseur les problèmes relatifs aux Combinaisons simples, Guldin ne s’attache qu’aux Arrangements simples ; Clavius avait bien calculé le nombre de mots comportant chacun 23 lettres, que l’on peut former avec les 23 lettres de l’alphabet (aucune lettre n’étant répétée dans un mot donné) ; mais ce n’est là qu’un cas très particulier : « En effet, ces 23 lettres peuvent être prises une à une (Singulae), deux à deux (Binae), etc., jusqu’à être prises 23 à 23, ce dernier cas étant le seul qu’ait traité Clavius. » Il convient donc de chercher le nombre des mots de 1, 2, 3,…, 23 lettres que l’on peut former avec les 23 lettres de l’alphabet.

  • 49 « combinationes seu vocabula » ; « coniunctiones seu vocabula ».
  • 50 Ibid., p. 354 : « Verum, ex illis particularibus demonstrationibus nobis facillimum fuerit, Regulam (...)

31Utilisant, mais dans un autre sens, le vocabulaire de Clavius, ce sont ces mots que Guldin va appeler combinationes ou coniunctiones49. Sa méthode de raisonnement est claire et s’élève du particulier au général ; des démonstrations effectuées sur des cas particuliers conduisent à poser une « Règle universelle50 » valable pour un nombre quelconque d’objets. La somme suivante fournira le nombre demandé de « combinaisons » ou de « conjonctions » de 23 lettres :

A (23, 1) + A (23, 2) +… + A (23, 23).

32Guldin se complaît à énoncer son résultat sans le secours des chiffres, pour mieux en faire apprécier l’immensité. Mais tel quel, ce nombre ne peut être embrassé par la pensée. D’où des variations disertes, où tout en cherchant des nombres qui offusquent moins l’imagination, Guldin établit des comparaisons qui n’en sont que plus impressionnantes. Il évalue tout d’abord le nombre de livres d’un certain format, puis avec un luxe de détails encore plus grand, le nombre de bibliothèques de dimensions elles-mêmes respectables, qui seraient nécessaires pour contenir cette prodigieuse quantité de mots.

  • 51 C’est probablement après avoir accompli un progrès analogue à celui de Guldin, et être parvenu bien (...)

33Ces Bibliothèques aux dimensions de l’Univers ont dû ravir Mersenne, comme ont dû lui plaire ces grands nombres51. Mais d’un point de vue général, l’étude de Guldin demeurait insuffisante ; il fallait, après avoir considéré les Arrangements simples, passer aux Arrangements avec répétitions.

  • 52 Nous nous en sommes tenus aux textes de Mersenne et à leur contexte immédiat, et il n’était nulleme (...)

34Tout sépare le Cabaliste et l’Arithméticien, sauf pourtant un problème, pôle commun de certaines de leurs recherches : un alphabet étant donné, établir le décompte de toutes les « dispositions » de lettres qu’il permet de construire. Telle qu’elle se présentait à Mersenne52, la situation était confuse ; certains Cabalistes possédaient une règle, mais ne savaient ni l’explorer ni en étendre l’usage ; les arithméticiens ne donnaient qu’une réponse partielle. C’est tout d’abord en résolvant ce problème que Mersenne fera se rencontrer deux courants de pensée si opposés. Mais c’est aussi sous une forme plus cachée qu’il en conjoint les orientations ; tout comme Clavius, il imaginera, pour le plaisir, des suites de lettres se regroupant en « dictions », « utiles » ou « inutiles » ; mais par ailleurs, dans le prolongement du combat mené par les Cabalistes, il verra dans ces dictions le matériau de langues nouvelles.

II. – « Combinaisons » et langues artificielles

1. – La « combinaison générale »

35Même dans ses exposés d’ensemble sur l’art de combiner auxquels nous en venons maintenant, Mersenne ne définit pas avec précision ce qu’il faut entendre par le mot de « combinaison ». Les combinaisons vont se présenter à lui divisées en « espèces » qu’il découvrira pas à pas, sans en avoir esquissé d’avance la classification. Cette découverte progresse au fil de questions qui sont toutes du type : « Combien y a-t-il de chants ou de dictions présentant tel ou tel caractère ? » ; à chaque question répond une « règle », une « méthode » livrant de nouveaux aspects des combinaisons. Toutefois lorsque s’achève la recherche, l’ordre sous-jacent qui la commandait se manifeste clairement ; les questions sont loin d’être posées au hasard, et leur progression bien enchaînée engendre les notions fondamentales de l’analyse combinatoire élémentaire.

36Mersenne commence par traiter des Permutations : combinaisons qualifiées d’ « ordinaires » par comparaison avec les autres « espèces de combinations » qui s’avéreront plus générales.

37Soit maintenant un ensemble de n lettres, ou un ensemble de n notes ; on veut former respectivement des mots (des « dictions ») ou des « chants ». On peut « user de l’ordre », ou n’en pas user ; on peut permettre aux lettres ou aux notes de se répéter dans un même mot ou un même chant, mais on peut aussi interdire ce genre de répétitions.

38Selon la manière dont on tranchera chacune de ces alternatives, on rencontrera des espèces différentes de combinaisons. Pour résumer très schématiquement l’ordre selon lequel progressent les questions de Mersenne, on peut établir le tableau de correspondance suivant :

ordre –

non répétition :

Arrangements

non ordre –

non répétition :

Combinaisons

non ordre –

répétition :

Combinaisons avec répétitions

ordre –

répétition :

Arrangements avec répétitions

39À la différence des autres espèces de combinaisons, celle qui figure en dernière position dans le tableau porte un nom, et ce nom la place en dignité au-dessus des autres : elle est « la plus générale de toutes », elle est la « generalissima Combinatio ». Afin de mieux comprendre le sens de ce qualificatif et les commentaires qui l’explicitent, nous allons distinguer plus fermement que ne le fait Mersenne deux problèmes différents.

a) Premier problème

40Partons, pour commencer, de la Proposition où dans les Harmonicorum Libri, Mersenne se pose la question suivante :

  • 53 Énoncé de la Proposition XIV, p. 139. L’énoncé de la Proposition XII du Livre second des chants (Me (...)

« Generalissimam Combinationem, seu varietatem quae reliquas complectitur, explicare ; hoc est dare numerum Cantuum, qui fieri possunt ex quolibet dato notarum numero in alio quovis maiori numero sumendarum, sive locorum varietas servetur, sive notae quotvis repetantur53. »

41Les deux « sive », en fin de Proposition, indiquent clairement comment le choix : ordre-répétition permet de définir cette combinaison. Soit un nombre n de notes ; il s’agit de savoir combien de chants de longueur p on peut former avec ces n notes :

  • en tenant compte de l’ordre des notes

  • en permettant à chaque note de se répéter jusqu’à p fois dans les chants

  • 54 « Non potest generalior excogitari methodus imo neque facilior […] », Mersenne, Suite manuscrite, v (...)

42La règle qui permet de répondre à la question posée est très simple ; on ne saurait imaginer « méthode plus générale et plus facile »54.

  • 55 L’expression est curieuse puisqu’il s’agit de chants d’une note formés avec les 22 notes données au (...)

« car supposé que l’on vüeille sçavoir combien 8 notes prises dans 22 peuvent faire de chants, il faut prendre le nombre 22 pour le premier nombre des chants qui se peuvent faire d’une seule note repetee 22 fois55, puis il faut quarrer 22 pour avoir le nombre des chants de 2 notes, à sçavoir 484, qu’il faut multiplier par 22 jusques à ce que l’on parvienne aux chants de 8 notes, qui s’expriment par 54875873536 […]. »

43On a donc : G (22, 1) = 22 ; G (22, 2} = 222 … ; G (22, 8) = 228. Mersenne poursuivra le calcul des puissances de 22 jusqu’à 2222, mais il remarquera que :

    • 56 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 135.

    la méthode est valable quelle que soit la longueur p des chants considérés : « Si l’on veut avoir les chants de plus de 22 notes », il faut multiplier 2222 par 22, « & le produit encore par 22 iusques à ce qu’on ait atteint le 30, le 40, le 50, ou tel autre nombre de notes que l’on voudra56 ».

    • 57 Table analogue à celle que Mersenne a établie pour 22, et qui donnerait les puissances successives (...)
    • 58 Mersenne écrit par erreur : 23.
    • 59 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 234.

    elle sera également valable si le nombre de notes donné au départ est différent de 22 : « Si veró plures volueris, puta 23, 24, aut 30, etc., multiplicante dato, reliqui ordines ab eo multiplicati totam tabulam57 confident. Exempli gratiâ, si 24 litterae sumantur, dictionum numerus ex 2 litteris omnifariam in 2458 sumptis compositarum invenitur ex ductu 24 in seipsum, hoc est 576, qui multiplicans per 24, utpote communem multiplicationem, producit 13824, numerum videlicet dictionum, producit 13824, numerum videlicet dictionum 3 litteris constantium59. »

44On a donc la règle générale :

G (n, p) = nP.

45Une suite de multiplications où intervient toujours le même nombre : rien en effet de plus aisé qu’un tel calcul (« Ex quibus constat nihil istâ combinatione facilius esse, cum numerus multiplicans idem semper permaneat »). Mais nous sommes également en mesure de comprendre pourquoi cette « combinaison » mérite, en un premier sens, d’être appelée « générale ».

  • 60 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 135.

« Cette combination est la plus generale de toutes car elle monstre combien un nombre de notes, ou d’autres choses prises dans tel autre nombre de notes souffre des varietez : par exemple, combien 4 notes peuvent estre variees, soit que l’on les prenne toutes differentes, ou partie differentes, partie semblables, ou toutes semblables, & que l’on garde la varieté des lieux, ou de l’ordre ; de sorte que cette regle contient tout ce que l’on peut imaginer dans toutes les varietez & les combinations des notes, ou de telles autres choses que l’on veut [… ]60 ».

46Une fois établie la liste des Arrangements avec répétitions de 22 objets pris 4 à 4, on est assuré de n’avoir oublié aucune des manières dont on peut associer ces objets 4 à 4 ; on est sûr d’avoir fait le tour de toutes les « varietez » imaginables.

  • 61 « soit que l’on les prenne toutes differentes […] & que l’on garde la varieté des lieux, ou de l’ord (...)

47Cette liste comprend, comme le remarque Mersenne, tous les Arrangements de 22 notes prises 4 à 461. A quoi on pourrait ajouter qu’a fortiori, elle comprend :

  • toutes les Combinaisons avec répétitions de 22 notes prises 4 à 4.

  • et par conséquent toutes les Combinaisons de 22 notes prises 4 à 4.

  • 62 Cette combinaison est « celle qui comprend toutes les autres », id., p. 134.

48La « combination générale » embrasse donc en elle ces autres espèces de combination62 qui, considérées par rapport à elle, n’apparaissent que comme des cas particuliers. Elle a été caractérisée plus haut à l’aide du couple : ordre-répétition ; elle pourrait l’être d’un point de vue différent : on pourrait dire que, pour comptabiliser les chants qui entrent dans la « combination générale », on néglige leurs traits distinctifs ; ou, ce qui revient au même, on dira qu’on prend tous les chants quels que soient leurs traits distinctifs. Aussi Mersenne dont a été citée plus haut l’expression « sive locorum varietas servetur, sive notae quotvis repetantur », pourra-t-il, dans un autre texte, dédoubler les deux termes de la disjonction, puisqu’aussi bien la définition recherchée doit recouvrir tous les types possibles de chants :

  • 63 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 233, dans le titre de la Propositio sexta.

« sive servetur ordo, sive non servetur : sive quaedam, aut omnes repetantur, sive non repetantur63 ».

b) Deuxième problème

49Passons maintenant à un second problème, qui n’est à vrai dire qu’une extension naturelle de celui que nous venons de traiter :

  • 64 Ibid.

« Explicare methodum quâ reperitur numerus dictionum, quae fieri possunt ex 22 litteris, si binae, ternae, & quaternae &c. sumantur : sive servetur ordo, sive non servetur : sive quaedam, aut omnes litterae repetantur, sive non repetantur […]64. »

50Soit 22 lettres. Quel est le nombre des Arrangements avec répétitions de 22 lettres, prises 1 à 1, 2 à 2,…, p à p ? La réponse est immédiate :

22 + 222 +… + 22p

  • 65 Id., p. 234.

« Haec igitur varietatum, seu coniunctionum regula, omnium quae proponi possunt, generalissima est, quandoquidem non solum omnes combinationes seu varietates includit, in quibus nulla res bis repetitur, sed omnes alias, in quibus res vel litterae bis, ter, quater, et sic in infinitum repetantur, sive litterae binae, ternae, quaternaeve seorsim, sive binae, ternae, et quaternae, etc. simul assumantur [...]65. »

51L’exemple qui suit éclairera mieux que tout autre en quoi la « combination » déjà dite « générale » gagne encore ici, si l’on ose dire, en généralité :

« exempli gratiâ, si ex 22 litteris unaquaeque bis, ter, etc., usque ad 22 repetatur, maximus numerus dictionum ex illis varietatibus praecedentium hisce 30 characteribus constabit […]. »

52En additionnant :

22 + 222 +… + 2222

53on obtient le nombre de tous les mots dont la longueur est inférieure ou égale à 22.

54Table de tous les Chants et de toutes les dictions qui se peuvent faire de 22 notes, ou de 22 lettres : voilà comblé un vœu obscurément formulé dès les Quaestiones in Genesim, et accomplie une recherche menée à tâtons dans la Vérité des sciences ; cette Table a fasciné Mersenne ; elle l’accapara chaque fois qu’il étudie la combinaison générale ; clef de toutes les variations imaginables d’un alphabet de 22 lettres, elle avait aussi de quoi impressionner par ses usages : Mersenne n’y verra-t-il pas une ouverture vers un « idiome universel » ? Richesse d’usages toute naturelle : généralité entraîne fécondité. Générale – et parce que générale –, cette combinaison est aussi « la plus utile de toutes » :

  • 66 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 134.

« Ce qui arrive ordinairement à tout ce qui est général : car chaque maxime est d’autant plus utile qu’elle est plus universelle, parce que l’on en tire un plus grand nombre de conclusions & de veritez. Et si l’on rencontrait une vérité d’où l’on peust tirer toutes les autres comme de leur source & de leur origine, l’esprit seroit parfaitement content, & seroit perpétuellement ravi dans la contemplation de cette vérité66. »

  • 67 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 233.

55Cette combinaison conjoint tout aussi bien universalité et facilité : « Non potest generalior excogitari methodus, imo neque facilius : hinc apparet ea, quae sunt magis universalia, esse faciliora ». Rien de plus universel dans la nature que la lumière du soleil, et rien non plus qui soit davantage en évidence ; ainsi en va-t-il également de Dieu dans l’ordre des choses spirituelles67.

56Lorsqu’on chemine vers elle, en parcourant comme autant d’étapes, les autres types de combinaison, on rencontre la combinaison générale comme en un sommet. Mais puisqu’elle s’offre, dans l’ordre de la connaissance, comme très aisée à connaître, ne pourrait-on concevoir un cheminement qui irait, à l’inverse, du plus général au particulier ? C’est effectivement selon cette nouvelle orientation que Mersenne ordonna son exposé lorsqu’à la fin de sa vie, il se proposa de condenser ses recherches combinatoires :

  • 68 Mersenne 1647, p. 203.

« […] cùmque maxima Combinationum, seu varietatum, quibus res quotlibet sumi, vel considerari possunt, sit omnium facillima, quippe sequitur dignitates Algebraicas, seu progressionem, aut proportionem Geometricam, illam primo loco statuemus, ex qua deinde possint aliae tabulae deduci, atque separari68. »

57À l’ascension vers la combinaison générale succède la descente vers les autres combinaisons. Panégyrique de l’universel, métaphore solaire laissent entendre à quel point Mersenne fut charmé par les prestiges platoniciens de ce double parcours.

2. – Un « idiome universel »

  • 69 Mersenne 1963, II, Livre second des chants, vol. II, p. 136.

« Comme il ne peut y avoir nul chant dans les 22 notes qui ne soit contenu dans la table des nombres, il n’y a semblablement nulle diction qui n’y soit comprise, soit Latine, Françoise, Greque, Hébraïque, ou telle autre qui se puisse imaginer, pourveu qu’elle se puisse escrire avec nos 22 lettres, ou avec telles autres 22 lettres que l’on voudra69. »

58Tel est l’usage le plus relevé de la combinaison générale des 22 lettres de son alphabet : Mersenne a vu se déployer devant lui la liste des dictions de « tous les idiomes possibles ». Il en conçut une vive espérance. N’y avait-il pas là le fondement d’un « idiome universel » ? Il fit part de cette invention à Peiresc dans une lettre du 20 avril 1635 :

  • 70 Mersenne 1932-1988, lettre n° 422, vol. V, p. 136.

« Je me suis imaginé une sorte d’escripture et un certain idiome universel, qui vous pourroit servir à cet effect, en dressant un alphabet qui contient tous les idiomes possibles, et toutes les dictions qui peuvent servir à exprimer chasque chose en telle langue qu’on vouldra. Il a ceste proprieté que sa seule lecture peut tellement enseigner la philosophie accomodée à son ordre, qu’on ne peut l’oublier ou si on l’oublie, qu’on peult la restablir sans l’ayde d’aulcun. Mais parce qu’il suppose l’instruction d’un quart d’heure pour en expliquer l’usage à ceux qui n’entendent pas nostre maniere d’escripre et de parler, je vous diray seulement que vostre nom est la 15,777,318,656 diction de cet alphabeth, lequel comprend plus de millions de vocables qu’il n’y a de grains de sable dans toute la terre, quoyqu’il soit si ayse à apprendre et à retenir que l’on n’a besoing d’aulcune memoire, pourveu que l’on ayt un peu de jugement70. »

59Qu’en est-il de cette invention ? Proposition de belle apparence mais promesse fallacieuse ? Déclaration prématurée sur un sujet à la mode ?

60Ce n’est pas sans motif, accordons-le, que Peiresc chercha à tempérer l’enthousiasme de son correspondant :

  • 71 Mersenne 1932-1988, Peiresc à Mersenne, 17 juil. 1635, lettre n° 463, vol. V, p. 323.

« Mais à qui que ce soit que vous addressiés vostre Epistre liminaire, si vous le trouvés bon, j’estime qu’il vaudroit mieux ne pas inserer ce que vous dictes de cette nouvelle invention d’escripture où il fault sçavoir si grand nombre de mots et presupposer qu’on soit demeuré d’accord de tant de choses avec des peuples si différants et si esloignés de tout commerce avec nous, quelque facilité que vous y puissiés imaginer. Car comme peu de gents se pourront persuader cette facilité, cellà pourroit quasi rebutter plusieurs personnes qui trouveroient estrange cette proposition en teste de vostre ouvrage et qui ne s’en cabreront pas si facilement si vous l’insérés dans le texte mesme de l’œuvre ou du moins dans vos Prefaces ou Advertissements au lecteur71. »

61Sans doute, Peiresc ne va-t-il pas jusqu’à taxer le bon Père d’extravagance, mais il prend toute précaution pour ne pas être personnellement compromis par ses audaces d’imagination ! C’est qu’il se soucie peu des vues nouvelles qu’ouvraient ces audaces ; il va tout droit aux conditions qu’exigerait la réalisation effective de la nouvelle écriture. À cet égard, ses objections sont redoutables. Les « millions de vocables » ? Surabondance plus fâcheuse qu’admirable. Les vocabulaires existants donnent bien assez de peine sans qu’on cherche à accabler les esprits par des myriades de mots nouveaux. La mémoire, proclame-t-on, ne fait rien à l’affaire ; l’alphabet « suppose l’instruction d’un quart d’heure ». Mais que dissimulent ses promesses alléchantes ? N’est-ce pas l’inventeur qui se donne des facilités par des « présuppositions » tacites plus étranges que ses propositions ? Le difficile n’est pas d’imaginer des conventions, mais de les faire recevoir ; la merveille n’est pas de proposer une nouvelle écriture ; elle serait d’en pouvoir véritablement propager et faire admettre l’usage universel.

  • 72 Toujours est-il qu’il prit bonne note du conseil de son prudent ami : c’est avec une grande discrét (...)
  • 73 Cf. Gross & Lentin 1967. Soit A un ensemble non vide que nous appelons l’ensemble de base ; « nous (...)

62La franchise et la vigueur de cette rebuffade ne durent pas encourager Mersenne à pousser plus avant sa découverte72. Ces arguments ont pu rappeler à Mersenne les réserves exprimées par Descartes, quelques années auparavant, en une lettre destinée à devenir célèbre, à propos d’un autre projet de langue universelle. « N’espérez pas de la voir jamais en usage ». Mais Descartes précisément n’estimait pas impossible en droit l’institution d’une telle langue. Aussi, ne faut-il pas, n’y voyant que ce qu’ils ont de plus aventuré, donner trop vite congé aux projets de Mersenne. Lue comme nous venons de le faire à la lumière des spéculations combinatoires qui lui donnent sens, la lettre à Peiresc compte au moins pour ce qu’elle nous révèle d’une nouvelle perception de la « langue ». Non certes pour ce qui touche au contenu et à l’ordre des notions que devrait éventuellement exprimer une langue universelle ; si Mersenne ne s’est pas complètement désintéressé de ce problème, c’est sur un sujet tout autre qu’il concentre son attention : avant même qu’on ait à assigner telle ou telle signification à des symboles déterminés, se pose le problème du choix et de la disposition de ces symboles eux-mêmes. C’est guidé par un tel souci que l’enthousiaste commentateur de la « combinaison générale » en transpose les propriétés dans un domaine particulier : à supposer que tous les « idiomes » puissent être notés grâce à un alphabet de 22 signes, chacun d’eux est vu comme un sous-ensemble d’un ensemble qui, à son tour, sera considéré comme un « idiome ». Naïveté, cela va sans dire, si la notion de langue est destinée à jouer ensuite un rôle que lui interdit une définition aussi restrictive ; audace toutefois dans ce geste formel qui ne s’achève pas à mettre à plat une langue dans les pages de son lexique, mais qui en aligne les productions selon tous les graphismes possibles. N’y a-t-il pas chez nos modernes spécialistes semblable brusquerie dans la réduction de sens qu’ils font subir au mot « langage » ? Et ceci précisément à partir de ce que Mersenne appelait « combinaison générale73 ». C’est, toutes proportions gardées, dans cette perspective, qu’il faut apprécier la confiance accordée par Mersenne à des constructions abstraites que condamnaient des considérations de bons sens. « Des millions de vocables » ? On aura pu s’étonner que Mersenne en tire gloire auprès de Peiresc. En fait, il ira encore bien au-delà : leur affinité avec l’infini est, pour certaines langues artificielles, marque de privilège.

3. – Dénomination et infini

63Il nous faut indiquer ici, ne serait-ce que brièvement, deux points d’importance. La « combinaison générale » n’est pas bien évidemment la seule « combinaison » qui puisse servir d’instrument à une langue artificielle, et Mersenne a envisagé lui-même bien d’autres possibilités. Il s’est posé des questions au sujet du choix initial de l’alphabet ; comme il s’est soucié des contraintes imposées par ce qu’il appelle la « prononciation » : elles empêchent qu’on admette dans une langue artificielle destinée à être parlée telle ou telle « conionction » de lettres ; comment faudra-t-il s’y prendre pour tenir compte de telles contraintes ? Dans le Livre Premier de la Voix que nous aurons à citer plus bas pour d’autres raisons, il s’engage dans des dénombrements de mots prononçables, composés, dans des conditions déterminées, à partir de tel ou tel système de voyelles et de consonnes. En second lieu, il ne faudrait pas croire qu’il ait privilégié le « grand nombre de dictions » comme une propriété dont devraient être nécessairement dotées toutes les langues artificielles. Ne décide-t-il pas, dans plusieurs textes, que celles-ci devraient se recommander par leur « brièveté » ? Ces deux attitudes apparemment contradictoires relèvent en fait de problématiques très différentes. Dès lors que peuvent s’esquisser, en de multiples projets, des langues nouvelles, leurs mérites seront, selon les cas, de nature diverse. Brièveté et clarté sont des exigences pratiques, conditions d’une communication aisée et rapide. Mersenne se félicite-t-il par ailleurs, de la surabondance de ses dictions, ce sera dans un tout autre contexte : il tient là en effet la solution d’une difficulté d’ordre différent, la réponse à une question théologico-philosophique qui l’avait préoccupé dès sa jeunesse :

  • 74 Dans le titre de la Proposition XLIX (Mersenne 1963, Livre Premier de la Voix, vol. II, p. 72).

« A sçavoir si l’on peut, ou si l’on doit, donner un seul nom, ou plusieurs à chaque individu, & s’il y a plus de choses que de noms ou de dictions74. »

  • 75 Id., p. 74. Mersenne 1923, col. 1403-1404, Quaestio LI : « Quot horis, vel diebus, vel annis Adam f (...)
  • 76 Un des correspondants de Mersenne avait utilisé le même genre d’argument, mais en sens inverse. Bre (...)

64Les modèles mythiques dévoilent leur fragilité dès qu’on exige d’eux une précision dont ils sont dépourvus par essence. Ainsi en va-t-il de la langue adamique dont Mersenne traque les contradictions, au vu de comptabilités bien naïves. Ne nous attardons pas sur le calcul par lequel il veut prouver qu’Adam n’a pas eu une existence assez longue75 pour prononcer le nombre de mots qui eût été nécessaire pour servir de point de départ aux multiples langues humaines76. Bien plus judicieuse est l’argumentation au cours de laquelle il cherche à déterminer qui des mots ou des choses l’emporte en nombre. Il commence par montrer que ce qu’on pourrait appeler la capacité de dénomination des langues effectivement pratiquées par les hommes, est très limitée : elles ne disposent pas en fait de noms propres permettant de dénommer toutes les choses existantes, et leur vocabulaire comprend surtout des noms généraux ; pour assurer la désignation de telle chose déterminée, elles recourent à des artifices – emploi par exemple de pronoms démonstratifs –, quand elles ne mettent pas les locuteurs en demeure de se taire, et de montrer simplement du doigt la chose en question.

  • 77 Id., p. 72.

« Il est tres-certain que les dictions de toutes les langues qui ont esté, ou qui sont encore en usage dans tout le monde ne suffisent pas pour donner à chaque chose un nom qui luy soit propre, & particulier, comme l’on experimente dans tous les individus des herbes, & des arbres, car chaque nation se contente de leur donner le nom de leur espece : par exemple, tous les individus des herbes que l’on appelle bétoine, verveine, romarin, & c. n’ont point d’autres noms que les precedens : car les François, les Latins & les Grecs ne distinguent nullement les individus de ces especes les uns d’avec les autres, qu’en les monstrant du doigt, ou par quelqu’autre signe, ou par ces pronoms démonstratifs, cet herbe, & c. par exemple, cette betoine, ce romarin, haec betonica, & c.77 »

65Et Mersenne d’évoquer par de plaisantes précisions numériques l’étendue des choses que les langues ne sauraient nommer :

  • 78 Id., p. 72-73.

« Il arrive la mesme chose au poil de tous les animaux, & aux cheveux des hommes, dont chacun désire un nom particulier pour estre distingué des autres, de sorte que si un homme a 100 000 cheveux à la teste, & 100 000 autres poils sur le reste du corps, il faut 200 000 noms ou vocables pour les nommer78 ».

66Ainsi devient manifeste la pauvreté en « dictions » des langues naturelles, le même argument pouvant en effet être repris à propos de toutes choses.

67À chose différente, mot différent : aucune langue existante ne saurait satisfaire une telle exigence ; d’où le recours obligé aux vocables généraux :

  • 79 Id., p. 73.

« Or ce que i’ay dit du poil, se doit entendre de toutes les parties du corps, & de tous les individus, & de leurs parties. Car puis que toutes ces choses sont differentes, elles ne peuvent estre expliquees que par des noms differens, qui manquent à toutes le langues, & à toutes les nations du monde qui sont contraintes d’user de vocables generaux pour signifier les choses particulieres79. ».

68Tout à l’opposé de cette carence est la richesse en mots dont on peut imaginer pourvue une langue artificielle. De tous les exemples qu’il avait forgés dans les deux Propositions précédentes, Mersenne extrait bien sûr le plus impressionnant. Soit une « langue » construite avec 19 consonnes et 10 voyelles ; le nombre des mots de 30 consonnes et de 20 voyelles sera :

69Le nombre est « merveilleusement grand, car il contient 73 caractères ». Passionné de grands nombres, commentateur de l’Arénaire d’Archimède, Mersenne pouvait en évaluer l’ordre de grandeur, et même le confronter avec le nombre hypothétique des choses qui existent dans l’univers : « il ne faut que 46 caracteres pour exprimer le nombre des grains de sable qui rempliroient toute la solidité du firmament, c’est à dire tout le monde qui nous est connu ». En comparant, non sans quelque maladresse, ces deux nombres, Mersenne conclut : « tous les individus de la nature peuvent avoir des noms particuliers dans la langue universelle que l’on peut faire selon les preceptes & les regles que i’ay donnes dans la 47. & la 48. proposition, & ailleurs ». Une telle langue universelle possède donc un fonds d’une extrême richesse où l’on pourrait puiser à loisir suffisamment de noms propres pour désigner tous les individus de l’univers.

70Pourtant Mersenne ne se tient pas encore pour satisfait. L’hypothèse admise jusqu’ici était qu’on puisse évaluer le nombre des choses existantes ; aussi opposait-on grand nombre à grand nombre. Mais que répondre à ceux qui imagineraient que ce nombre puisse croître ? La réponse tient en une courte phrase ; mais dans sa brièveté, elle nous fait entrer dans ce que l’argumentation de Mersenne a de plus original, et peut-être d’inédit en cette première moitié du xvie siècle :

  • 80 Ibid.

« Et si l’on dit que Dieu peut tousiours produire de nouveaux individus iusques à l’infini, dont le nombre surpasserait celui desdites dictions, ie di semblablement que l’on peut tousiours aiouster de nouvelles dictions en augmentant le nombre de leurs lettres80. »

71À chose nouvelle, diction nouvelle. Surprenant échange de gestes créateurs, étrange concours où à toute création divine répond en écho une appellation humaine. Pour être brève, cette évocation n’en est pas moins, nous semble-t-il, de grande portée. Preuve est ainsi esquissée de la présence en l’homme d’un pouvoir infini : lorsqu’on sait combien fut profonde, et de quelle conséquence, la mutation, en la même période, de la notion d’infini, comment ne pas être frappé par le lien qu’instaure cette preuve entre langage humain et infini ?

72Deux objections viennent toutefois à l’esprit : la remarque n’est-elle pas, à tout prendre, banale ? Ou bien, tout à l’opposé, est-elle rien d’autre qu’un paradoxe audacieusement jeté au passage ? Certes, l’idée en sa simplicité, peut sembler traduire une bien mince découverte : si aucune borne n’est assignée à la longueur des mots, on disposera, un alphabet étant choisi, d’une quantité indéfinie de mots.

  • 81 Rappelons que Guldin, par exemple, s’en tint à considérer les Arrangements simples. Notons par aill (...)
  • 82 Mersenne 1925, p. 71, avait déjà dit : « On pourroit aussi former autant de dictions diverses comme (...)

73Mais pour qu’un tel énoncé ait pu prendre un sens tant soit peu précis, il fallait que fût clarifiée la classification des combinaisons, et mesuré l’effet des répétitions81 dans les Combinaisons et les Arrangements avec répétitions ; encore fallait-il aussi que fussent levés les interdits que certains Cabalistes opposaient, au nom de Dieu, à la multiplication indéfinie des noms ; et qu’enfin puisse être prise au sérieux la possibilité même d’un « langage » manifestement éloigné des langues humaines existantes. Bref, c’est après coup, lorsqu’une philosophie artificialiste du langage en a suffisamment assuré les conditions82 qu’un tel énoncé conquiert son « évidence ». Et c’est pour des raisons analogues que la remarque de Mersenne ne peut, en second lieu, être tenue pour une pointe de théologien en mal de paradoxe ; elle s’harmonise parfaitement avec d’autres thèses patiemment conquises, et traduit très lucidement, en termes théologiques, une propriété fondamentale de certains codes alphabétiques. Cette tâche qu’Adam, en Paradis, n’avait pu mener à bien, l’homme pourrait la poursuivre en un progrès sans fin. Tout comme il est doué du pouvoir de dénombrer indéfiniment, l’homme possède la capacité de dénommer indéfiniment.

  • 83 Ainsi que le note à propos Lenoble 1943, p. 253-254.
  • 84 Mersenne 1624, I, p. 110.
  • 85 Mersenne 1623, col. 49 et col 52. Notons que Descartes trouvera dans la puissance de nombrer une co (...)
  • 86 « […] puisque toutes [les] connaissances humaines se peuvent exprimer par les lettres de l’Alphabet (...)

74Dénommer indéfiniment, dénombrer indéfiniment : comment Mersenne n’aurait-il pas été frappé par un tel rapprochement, lui qui avait édité, commenté l’Arénaire d’Archimède, et qui avait mis quelque gloriole à le surpasser par maints calculs laborieux ; or ces exercices, comme tous ceux où se pressent de « grands nombres » sont plus que de naïves amusettes83 ; l’esprit y joue avec l’infini, et par là, « l’homme s’assujettit le Ciel et la terre par la force de son entendement84 » ; cette présence de l’infini dans l’esprit de l’homme témoigne de l’existence de Dieu85. Or l’étude des « combinaisons », et la confection de nouveaux « idiomes » permettent dé déceler cette même présence par de tout autres biais que la voie arithmétique ; armé d’alphabets, l’esprit humain ne se laisserait pas dépasser par une création divine indéfiniment continuée. C’est là, aurait pu dire Mersenne, selon une formule que devait employer Leibniz dans une circonstance analogue, un paradoxe d’une autre force que celui d’Archimède86.

  • 87 Il n’entrait pas ici dans notre propos de dégager le support mathématique des entreprises de Mersen (...)
  • 88 Sur toutes ces questions, vues toutefois sous l’aspect particulier qu’elles prennent en cryptograph (...)

75À peine achevé ce circuit qui, des variétés alphabétiques conduisait aux langues artificielles, se découvrent d’autres liaisons inattendues ; que soient ainsi mises en parallèle deux activités aussi distinctes que la dénomination et la numération, ce pourrait être le point de départ d’un parcours analogue à celui qui se clôt ; les chiffres s’y révéleraient soumis à cette même mobilité dont nous avons vu s’animer les lettres, lorsqu’une pratique combinatoire les prend pour matériaux ; la notion même de numération s’en trouve éclaircie ; le sens de l’« infini87 » dont vient d’être relaté le surgissement en est singulièrement précisé : Mersenne a de fait poursuivi son étude de la « combinaison générale » en définissant une méthode de numérotation, et en instituant des algorithmes qui permettent, une « diction » étant donnée, de trouver son numéro, ou bien, un numéro étant donné, de déterminer la « diction » correspondante88.

  • 89 Ainsi faudrait-il, se tournant vers la Musique, confronter le traitement des lettres et celui des s (...)
  • 90 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 224.
  • 91 Cicéron 1964, p. 39.
  • 92 Galilée 1966, p. 220.
  • 93 Chomsky 1969, p. 56.

76Bien d’autres éclaircissements89 devraient prolonger une analyse délibérément restreinte, à la fois par son thème, et par la règle, observée le plus strictement possible, de n’évoquer, outre les propres écrits de Mersenne, que des textes qu’il a lui-même utilisés ou mentionnés. Toutefois, il n’aura pas été vain de suivre dans une même œuvre les sinuosités d’un même thème : l’œuvre est telle qu’en sa diversité elle a multiplié les points de vue sur les « combinaisons » ; mais ne faudrait-il pas dire, en prenant les choses dans un autre sens, que s’est manifestée par là-même une face peu connue de la « linguistique du xviie siècle » ? Qu’un exposé d’analyse combinatoire ait pu être inséré dans une Quaestio consacrée à la « confusion » babélienne des langues90, le fait paraîtra maintenant moins énigmatique ; mais il nous aura été également donné de voir se développer une doctrine des signes en voie d’arithmétisation. Le pouvoir de l’alphabet n’est plus seulement célébré, comme il le fut de Cicéron91 à Galilée92 ; une analyse abstraite vise à en déployer les potentialités. Or il a été dit, les formules sont devenues célèbres qu’une des contributions fondamentales de la « linguistique cartésienne » fut d’observer « l’aspect créateur de l’utilisation du langage » : « le langage offre des moyens finis, mais des possibilités d’expressions infinies93 » ; ne serait-on pas dès lors autorisé à attacher quelque importance à ce que, dans la même période, la capacité humaine de dénomination soit apparue elle aussi marquée du sceau de l’infini ?

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Notes

1 Ces exposés n’avaient guère retenu jusqu’ici l’attention des historiens des mathématiques ; nous en avons donné l’analyse dans une étude d’ensemble dont l’article présent extrait certains résultats (Coumet 1968).

2 Coumet 1972 et Coumet 1974, dans ce volume, p. 231-276 et p. 277-290.

3 Nous utiliserons le vocabulaire traditionnel antérieur à l’introduction du vocabulaire ensembliste ; pour en distinguer autant que possible les termes (Permutations, Combinaisons, Arrangements), de ceux qu’emploient en d’autres sens les auteurs du xvie siècle et du xviie siècle, nous avons pris pour règle de les écrire toujours avec majuscule. Pour des raisons de commodité, nous utilisons les symboles suivants :
Nombre des Arrangements de p objets parmi n : A (n, p).
Nombre des Combinaisons de p objets parmi n : C (n, p).
Nombre des Arrangements avec répétitions de p objets parmi n : G (n, p).

4 Aussi ne disons-nous rien de l’Anagrammatisme, des réflexions sur la langue et l’écriture chinoise, des spéculations sur les langues chantées et la cryptographie.

5 Nous faisons référence plus bas aux ouvrages suivants de Mersenne : Quaestiones in Genesim (Mersenne 1623) ; La vérité des sciences contre les sceptiques ou Pyrrhoniens (Mersenne 1625) ; Harmonie universelle tome I : 1636, tome II : 1637 (Mersenne 1963) ; Harmonicorum Lïbri (Mersenne 1636) ; Reflexiones physico-mathematicae (Mersenne 1647) ; Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim (Mersenne, Suite manuscrite, vol. 1 et 2) ; Correspondance du P. Marin Mersenne Religieux Minime (Mersenne 1932-1988).

6 Quaestio quarta (Quot modis Bereschit, sicut & aliae Scripturae partes explicari possint), Articulus tertius (In quo declaratur secunda explicatio elementaris Bereschit Caballistica), col. 701-702.

7 Lenoble 1943, chap. III, 2, « La Cabale », p. 96-109.

8 Scholem 1960.

9 Sérouya 1947, p. 473.

10 Id., p. 477-483. Cf. Secret 1964.

11 Mersenne 1624, I, p. 140.

12 Nous songeons aux analyses de R. Lenoble (loc. cit., et p. 514-517), qui, exclusivement soucieux de faire ressortir les mérites de la « jeune physique mécaniste », interprète les textes de Mersenne à la lumière d’une opposition radicale qui était chère à Léon Brunschvicg : celle du « logos parole » et du « logos pensée ».

13 Cf. Dubois 1970.

14 Cf. Mersenne 1623, col. 1216-1217.

15 Mebsenne 1625, p. 71.

16 Lenoble 1943, p. 108

17 Id., p. 516.

18 Mebsenne 1624, I, p. 167.

19 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 532

20 Ibid.

21 Lenoble 1943, p. 102 et p. 106.

22 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 528-529.

23 Id., p. 529.

24 Cf. Secret 1964, p. 292.

25 Mersenne 1624, I, p. 163-166.

26 Mersenne 1623, col. 701. C’est par cette phrase que Mersenne introduit sa digression.

27 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 528.

28 Mersenne 1623, col. 1390.

29 Mersenne renvoie ici à ce que nous appelons la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim.

30 Le Père Zorri, Vénitien, dit également Giorgio ; en 1623, Mersenne consacra un ouvrage entier à réfuter les Problemata cités ci-dessous (Cf. Lenoble 1943, p. xiii, et p. 27) ; sur cet auteur, dont les Problemata et le De Harmonia furent une des principales sources du courant de la cabale chrétienne, cf. Secret 1964, p. 126-139.

31 Mersenne 1625, p. 439.

32 Zorzi 1622, t. V, sect. VII, § 244, p. 382-383 ; la première édition de cet ouvrage remonte à 1536.

33 Cf. Serouta 1960, p. 128-138 ; Vajda 1947, p. 17. Mersenne a publié lui-même dans ses Observations de 1623 (col. 255-259) la traduction latine du Liber Iezira donnée par G. Postel, qu’il fait suivre d’Animadversiones in Librum Ietzira seu de Creatione mundi Abrahae tributum (col. 259-262), où il attaque violemment G. Postel (Cf. Secret 1964, p. 343, et Secret 1959, p. 463-464).

34 Vigenère 1587, fol. 42. Duret 1613, p. 203, a repris ce développement. Mersenne connaissait ces deux ouvrages.

35 Mersenne 1624, t. I, p. 159, suit sans doute Vigenère lorsqu’il écrit : « et par les vingt et deux lettres multipliées les unes par les autres, ils croyent qu’on peut cognoistre le nombre des estoiles, & de toutes les autres creatures : voicy leur nombre 340 […] 104 ». Le nombre donné par Mersenne comporte un chiffre de plus que celui de Vigenère.

36 Le grand nombre qu’on lira ci-dessous voudrait très certainement représenter G (22,22), mais il ne concorde avec ce dernier que par ses deux premiers chiffres.

37 La référence de la page fait défaut ; il s’agit très certainement de la « page » 42 que nous avons citée ci-dessus.

38 Vigenère 1587, fol. 81 v.

39 Mersenne 1625, p. 535-548.

40 Alors même qu’il mentionne à plusieurs reprises, et non sans éloges, les œuvres du savant jésuite qui furent une des sources principales de sa culture mathématique (cf. par exemple p. 457, 499, 522, 707, 826, et particulièrement p. 711 : « Je vous conseille de lire toute son algèbre »).

41 Clavius 1611, p. 17-19. Paru pour la première fois à Rome, en 1570 (cf. Sommervogel 1890-1932, vol. II, col. 1212-1213), l’ouvrage In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius connut de nombreuses rééditions dont certaines revues et augmentées. Nous citons d’après l’édition générale des œuvres de Clavius.

42 Id., p. 18.

43 « Verum est plures dictiones fieri posse, sive literarum coniunctiones, si literae in quavis coniunctione permutentur inter sese. Ut hoc aggregatum, seu coniunctio literarum, AVE, sex modis variari potest, videlicet AVE, AEV, VAE, VEA, EAV, EVA, qui quidem modi sumpti sunt à nobis in regula pro una duntaxat coniunctione, quoniam omnes hi modi easdem continent literas, quamvis inter se locum mutent ».

44 Mersenne 1625, p. 542-543.

45 Dans l’édition en un volume de De centro gravitatis que nous allons citer (B. N., V 1532), les livres II, III, IV, forment un ensemble autonome, paginé de manière continue, et intitulé : « Centrobarycae Guldini Libri Secundus, Tertius, & Quartus ».

46 Exemple traditionnel d’un calcul de Permutations (cf. Pacioli 1523, fol. 43 v.- 44 r.).

47 Guldin 1635, p. 351-357. Suit à la p. 358, une Table des calculs relatifs aux Problèmes traités. Ces derniers se présentent sous la forme d’un appendice que Guldin introduit en ces termes : « Coronidem tamen superimponimus, & Epilogi loco denuo in medium producimus quoddam Arithmeticum, quod anno 1622 Viennae ad excitandos nostros discipulos composuimus, & per unum illorum publice demonstrare curavimus, ea ratione ut sequitur » (p. 350-351). D’après Sommervogel 1890-1932, vol. III, col. 1946, le titre Problema… est bien celui d’un ouvrage paru à Vienne en 1622.

48 Guldin 1635, p. 353 : « Non sum nescius id ipsum praestitisse iam pridem Christophorum Clavium, Societatis Iesu Mathematicorum facile Principem, in iis, quae doctissime conscripsit in Sacrobosci Sphaeram egregiis commentariis ».

49 « combinationes seu vocabula » ; « coniunctiones seu vocabula ».

50 Ibid., p. 354 : « Verum, ex illis particularibus demonstrationibus nobis facillimum fuerit, Regulam universalem condere ».

51 C’est probablement après avoir accompli un progrès analogue à celui de Guldin, et être parvenu bien au-delà, que Mersenne a pris connaissance du texte analysé ci-dessus. Il en indique la référence dans une note manuscrite portée sur son exemplaire de main de l’Harmonie universelle (Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 107). II en consigne les résultats, sans nommer Guldin, dans un erratum relatif à la page des Harmonicorum Libri où il traitait lui-même des Arrangements (Mersenne 1636, Reflexiones physico-mathematicae, p. 168). Enfin, il fera à ces résultats l’honneur de les reproduire (toujours sans nommer Guldin), dans la nouvelle Préface rédigée pour la réédition des Harmonicorum Libri en 1648.

52 Nous nous en sommes tenus aux textes de Mersenne et à leur contexte immédiat, et il n’était nullement question, faut-il le préciser, de procéder ici à un recensement exhaustif des recherches de ce type. On remarquera toutefois, car des Cabalistes ont pu peut-être s’inspirer de leurs travaux, que parmi les auteurs qui ont traité d’analyse combinatoire au Moyen Âge, on compte Ibn Ezra et Levi ben Gerson.

53 Énoncé de la Proposition XIV, p. 139. L’énoncé de la Proposition XII du Livre second des chants (Mersenne 1963, vol. II, p. 135) est fautif ; Mersenne y oublie en effet de dire que dans les chants considérés, on tiendra compte de l’ordre des notes : « Combien l’on peut faire de chants differents d’un nombre de notes prises dans tel autre nombre que l’on voudra, soit que l’on prenne les notes toutes differentes en un mesme nombre, ou toutes semblables, ou partie differentes, & partie semblables ».

54 « Non potest generalior excogitari methodus imo neque facilior […] », Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 233.

55 L’expression est curieuse puisqu’il s’agit de chants d’une note formés avec les 22 notes données au départ. On lit également, ibid., p. 234 : « Primum enim si datur unica littera 22 dictiones ex ea fieri poterunt cum bis et vigesies repeti possit […] ».

56 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 135.

57 Table analogue à celle que Mersenne a établie pour 22, et qui donnerait les puissances successives du nombre choisi.

58 Mersenne écrit par erreur : 23.

59 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 234.

60 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 135.

61 « soit que l’on les prenne toutes differentes […] & que l’on garde la varieté des lieux, ou de l’ordre » (ibid.).

62 Cette combinaison est « celle qui comprend toutes les autres », id., p. 134.

63 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 233, dans le titre de la Propositio sexta.

64 Ibid.

65 Id., p. 234.

66 Mersenne 1963, Livre second des chants, vol. II, p. 134.

67 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 233.

68 Mersenne 1647, p. 203.

69 Mersenne 1963, II, Livre second des chants, vol. II, p. 136.

70 Mersenne 1932-1988, lettre n° 422, vol. V, p. 136.

71 Mersenne 1932-1988, Peiresc à Mersenne, 17 juil. 1635, lettre n° 463, vol. V, p. 323.

72 Toujours est-il qu’il prit bonne note du conseil de son prudent ami : c’est avec une grande discrétion qu’il mentionna, et précisément dans la Préface au Lecteur qui précède les Traitez de la Voix et des Chants, une « nouvelle invention d’escripture » (il n’en souffle mot dans l’emphatique mais peu précise Epistre dedicatoire qu’il adressa à « M. Halle, seigneur de Boucqueval, conseiller du Roy et ministre des contes »). Empruntant une voie toute différente, Mersenne choisit comme Alphabet les « dix chiffres ordinaires », les nombres ainsi formés devant désigner des notions classées au préalable.

73 Cf. Gross & Lentin 1967. Soit A un ensemble non vide que nous appelons l’ensemble de base ; « nous considérons des êtres que l’on appelle traditionnellement des “arrangements avec répétition d’éléments de A”. Il s’agit en fait de séquences finies (totalement ordonnées) dont les éléments sont des occurrences d’éléments de A » (p. 12). « On appelle langage formel sur l’ensemble de base A tout sous-ensemble de monoïde libre A* des séquences finies construites à partir de A. Par abréviation nous dirons simplement « langage » au lieu de « langage formel » (p. 16-17).

74 Dans le titre de la Proposition XLIX (Mersenne 1963, Livre Premier de la Voix, vol. II, p. 72).

75 Id., p. 74. Mersenne 1923, col. 1403-1404, Quaestio LI : « Quot horis, vel diebus, vel annis Adam fuit in Paradisio », s’était interrogé avec beaucoup de prudence sur la durée du séjour d’Adam au Paradis.

76 Un des correspondants de Mersenne avait utilisé le même genre d’argument, mais en sens inverse. Bredeau, s’élevant contre l’opinion du Père Génebrard, pour qui Adam et Ève n’avaient pas séjourné en Eden plus d’un jour, lui avait opposé l’objection suivante : se peut-il imaginer qu’Adam ait donné leur nom à tous les animaux en un jour ? (Mersenne 1932-1988, vol. I, p. 393).

77 Id., p. 72.

78 Id., p. 72-73.

79 Id., p. 73.

80 Ibid.

81 Rappelons que Guldin, par exemple, s’en tint à considérer les Arrangements simples. Notons par ailleurs à nouveau que Mersenne remarque explicitement que la « Table générale de 22 mots et de tous les Chants qu’elles contiennent » peut être prolongée au-delà de 2222.

82 Mersenne 1925, p. 71, avait déjà dit : « On pourroit aussi former autant de dictions diverses comme il y a de divers individus au monde ». Mais il avait été écrit ailleurs dans le même ouvrage (p. 806) : « il est impossible d’imposer des noms propres, & différents à tous les individus ou à toutes les espèces, d’autant que le nombre des choses est infiniment plus grand que le nombre des parolles ». La contradiction paraît flagrante. Elle disparaît cependant, si l’impossibilité affirmée dans cette seconde phrase se rapporte aux langues naturelles, la première phrase énonçant, elle, une faculté des langues artificielles.

83 Ainsi que le note à propos Lenoble 1943, p. 253-254.

84 Mersenne 1624, I, p. 110.

85 Mersenne 1623, col. 49 et col 52. Notons que Descartes trouvera dans la puissance de nombrer une confirmation d’une preuve de l’existence de Dieu (Belaval 1960, p. 223).

86 « […] puisque toutes [les] connaissances humaines se peuvent exprimer par les lettres de l’Alphabet, et qu’on peut dire que celuy qui entend parfaitement l’usage de l’alphabet sçait tout ; il s’ensuit, qu’on pourra calculer le nombre des vérités dont les hommes sont capables […]. Ce paradoxe est bien d’une autre force que celuy d’Archimede. » (Couturat 1903, p. 532).

87 Il n’entrait pas ici dans notre propos de dégager le support mathématique des entreprises de Mersenne ; pour une présentation de la notion d’« ensemble dénombrable » particulièrement propre à guider une telle analyse, cf. Barbut & Monjardet 1970, t. I, p. 61-63.

88 Sur toutes ces questions, vues toutefois sous l’aspect particulier qu’elles prennent en cryptographie : Coumet 1975 [ce volume p. 341-366].

89 Ainsi faudrait-il, se tournant vers la Musique, confronter le traitement des lettres et celui des sons, suivre les transferts d’un registre à l’autre, regrouper le problème du « plus beau des chants », et celui de « la meilleure langue possible ». Ainsi faudrait-il, autre exemple, réinsérer les projets de langue universelle dans un contexte plus vaste (tentatives nombreuses en cette première moitié du xviie siècle, spéculations fort proches des Lullistes, épanouissement de l’art combinatoire leibnizien, mais aussi exercices linguistiques et littéraires [Borges, R. Queneau] proches de nous).

90 Mersenne, Suite manuscrite, vol. 2, p. 224.

91 Cicéron 1964, p. 39.

92 Galilée 1966, p. 220.

93 Chomsky 1969, p. 56.

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