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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Des permutations au xvie et au xviie siècles

Texte intégral

Permutations : actes du Colloque sur les permutations, Paris, Université René Descartes, 10-13 juillet 1972, Paris : Gauthiers-Villard, 1974, p. 277-289. Nous remercions Marc Barbut de nous avoir autorisés à reproduire ce texte.

  • 1 Leibniz 1880, p. 91.

1Rôle ingrat que celui de l’historien dans un colloque consacré aux recherches scientifiques en cours ; il intervient comme témoin d’un passé dépassé devant ceux-là mêmes qui ont pour métier de l’oublier et de le faire oublier. D’autant qu’en l’occurrence, il s’agira d’un passé doublement dépassé ; si l’on voit l’histoire des permutations comme ponctuée par les travaux d’Euler, de l’École combinatoire allemande, de l’École algébrique anglaise, de Galois… la période évoquée ici n’est le lieu que d’une préhistoire. Croyant mieux s’excuser d’avoir à faire réentendre de fausses notes, l’historien renchérit souvent sur son rôle en récitant des erreurs célèbres. Ainsi, à propos des débuts de la physique expérimentale, détaillera-t-on les erreurs de Galilée et de Descartes relatives à la chute des corps ; ainsi montrera-t-on du doigt une « erreur considérable de M. Descartes » que dénonça maintes fois Leibniz. Qu’on nous pardonne donc si, au lieu de mettre, comme on pourrait s’y attendre, au centre de notre exposé, l’œuvre du xviie à laquelle on aura immédiatement pensé, le De arte combinatoria de Leibniz, nous commençons par y pêcher une erreur : Leibniz donne une règle erronée pour le calcul du dénombrement des permutations avec répétitions1. Leibniz, en 1661, n’était pas encore mathématicien ; l’erreur est tout de même surprenante, car la règle exacte avait été publiée dans différents ouvrages antérieurs. C’est déjà dire cependant qu’en une période où le principal titre de gloire, pour ce qui est de l’étude mathématique des permutations, est d’avoir établi de telles règles de dénombrement, l’« analyse combinatoire » n’atteignait que des propriétés tout à fait élémentaires.

2 Quoi qu’il en soit, contrairement aux habitudes des historiens des mathématiques, nous tiendrons hors de notre propos ces règles de dénombrement, pour nous tourner vers des pratiques combinatoires en général méconnues, précisément parce qu’elles se sont exercées dans des champs étrangers aux mathématiques proprement dites. Le relevé est plus riche qu’on n’aurait su le prévoir ; on pourrait même être tenté, pour le mener à terme, de parcourir, à l’imitation des auteurs du xviie siècle qui glorifient les « combinaisons », tous les secteurs du savoir, le « cercle des sciences ». Mais le voyage serait trop long, et une vue plus cavalière des choses nous fera seulement connaître certains traits majeurs de la pratique des permutations aux xvie et xviie siècles : les permutations (au sens évidemment lâche du mot) apparaissent marquées du signe de la variété ou du secret ; et qui les manipule est conduit à tabuler et à trier.

1.

3Les permutations sont tout d’abord l’occasion d’émerveillements toujours renouvelés. Comment ! un si petit nombre de choses ! et tant de variété ! Émerveillement que le maître aime encore aujourd’hui susciter chez ses élèves, et que maints mathématiciens ont exploité dans leurs manuels. Émerveillement analogue sans doute à celui que faisaient naître des exemples de progressions arithmétique et géométrique, et que consacrent des fables antiques, mais qui a sans doute aussi quelque chose de spécifique : les grains de blé, lorsqu’ils s’entassent par 2, 4, 8…, sur l’échiquier forment des tas de plus en plus volumineux ; la merveille parut plus forte encore qu’un nombre limité d’objets donne lieu à d’inconcevables « variations d’ordre ». De cet émerveillement, nous n’écouterons l’écho qu’en deux points en quelque sorte extrêmes : en des « plaisantes récréations », puis en des spéculations métaphysiques.

  • 2 Pacioli 1523, fol. 43 v-44r (la première édition est de 1494).
  • 3 Leurechon 1622 ; Mersenne utilise ce texte dans Mersenne 1625, p. 805.
  • 4 François 1681, p. 73.

4C’est sous forme de devinette (sans doute d’ailleurs fort ancienne) que les permutations font leur entrée dans la publication mathématique imprimée2. 10 personnes à table ; il faut autant de gâteaux que de manières différentes dont peuvent s’asseoir ces 10 personnes ; un bon moyen de gagner un pari ! Ce même exemple se retrouve sous maintes formes. Ainsi : « nous sçavons aussi par les combinations que si sept hommes s’asseoient tous les iours une fois sur un banc l’espace de 14 ans, qu’il se pourroit faire qu’ils ne se treuueroient iamais en mesme disposition3 ». Et puisqu’il parle d’écoliers, citons un maître d’école de Descartes : « Un Maistre qui n’auroit que 10 Escoliers pourra les changer d’ordre et de place sans que jamais le même revienne deux fois jusques à 3 628 000 fois4 ».

  • 5 Leibniz 1880, p. 89.
  • 6 Relevons dans le dernier des vers cités par Leibniz, le verbe permutare : « […] Cum permutantur, mu (...)
  • 7 Gassendi 1649, p. 227-228.

5 Des récréations, sautons aux spéculations sur la constitution de l’univers. Leibniz, parlant des « usages des permutations », recueille des textes relatifs à l’atomisme5. Aristote, rapportant les opinions de Leucippe et de Démocrite, dit que, selon eux, les atomes peuvent différer par la figure (de même que a diffère de n), par leur position (de même que n diffère de z), enfin par l’ordre (de même que an diffère de na) ; Lucrèce qui, parlant lui aussi des atomes, compare les variétés auxquelles ils donnent lieu aux variations dont seraient susceptibles les lettres d’un de ses propres vers si on les changeait seulement de place6. Or, il est remarquable qu’un des atomistes les plus célèbre du xviie siècle, reprenant ce même thème, cherche appui sur des exemples numériques : il donne le nombre de permutations de 2, 3… 10 lettres. Immense sera donc le nombre des mots où 24 lettres seront disposées de toutes les manières possibles ; et bien plus immense encore la multiplicité des figures produites par les atomes7.

6Pour mieux faire sentir l’immensité des nombres ainsi rencontrés, de nombreux auteurs se battent les flancs pour varier en quelque sorte les variétés, en juxtaposant des illustrations plus frappantes les unes que les autres. Combien de rame de papier faudrait-il pour écrire tant de permutations ? Combien de temps faudrait-il à un homme travaillant de telle et telle manière pour les écrire ?

  • 8 Mersenne 1625, p. 553-554.

« Il y a pareillement plus de chants dans 12 sons, qu’il n’y a de minutes d’heure que le monde est fait, à la fin de cette mesme année du Iubilé, le nombre desquelles est 155 368 140, qui est moindre que le nombre qui répond à XII sons : par conséquent si Adam auoit vescu iusques à la fin de cette année, et qu’il eust chanté vn air qui eust été fait de 13 sons de maniere qu’à chaque battement de son pous il eust chanté vn air diuers iusques à present, il n’eust pas encore acheué tous les chants qui sont compris dans 13 sons, car son pous n’eust battu que 1 014 297 240 fois, supposé que chaque battement eust duré la 66 partie d’vne minute d’heure, qui est la durée ordinaire [… ]8 ».

2.

7Faire bouger des éléments pour retrouver une unité perdue ; varier pour dissimuler : les liens de la variété et du secret peuvent être multiples. De fait, par diverses voies, les permutations ont été prises pour des enveloppes du secret des choses, ou ont servi d’instrument pour ensevelir les secrets des hommes. Nous nous contenterons d’extraire nos illustrations d’un seul et même livre où se mêle inextricablement les deux formes de secret auxquelles il vient d’être fait allusion : la Cabale et la cryptographie. Le livre est le Traicté des Chiffres de Blaise de Vigenère.

  • 9 Vigenère 1587, fol. 94 v°.
  • 10 Ibid., fol. 93 v°.

8Votre « Que nul n’entre ici s’il ne permute ! » pourrait être, en ce colloque, cette phrase du Sefer Yesirah : « Qua de re appendit literas Deus, et permutavit eas ; Aleph cum omnibus, et omnes cum Aleph : Beth cum omnibus et omnes cum Beth9 ». Diverses pratiques combinatoires ont tenu une place considérable dans la Cabale, à différents moments de son histoire. Vigenère met en particulier l’accent sur l’un d’entre eux : les Ziruphs, ou pour employer son langage, les « commutations de lettres » ; les tables des Ziruphs, « ce sont divers assemblements de deux lettres, et les permutations qui peuvent estre de l’une en l’autre10 ».

  • 11 Ibid., fol. 42.

« Et ont esté les Cabalistes si spéculatifs, parauenture trop curieux, entant que la coniecture de l’esprit humain s’est peu estendre, de penser par les diuers assemblemens des lettres, atteindre à sçauoir le nombre des choses creées ; qui se pourroit bien supputer, mais nompas proferer, ny presque comprendre, fors de celuy qui sçait le compte des estoilles, et leur donne à toutes des noms ; des poils estans en nostre teste, et tout le reste de la personne ; des grains de sablon ; et goutes de pluye : Car de la diuersité des Ziruphs, ou accouplemens, et suittes de lettres, sans aucun meslange de points, vient à resulter vn nombre, qui est autant comme infiny pour nostre regard ; assauoir 112400259082719680000. Que si l’on y veut adiouster les points, le nombre ne se pourroit pas exprimer, ny conceuoir presque de nous ; combien qu’Archimede en son traicté de l’Arene se soit ingeré de trouver vne maniere de compter qui va iusques en infiny : mais cela est reserué au seul Dieu, et passe l’apprehension de ses creatures11 […] ».

  • 12 Id., fol. 191 r.
  • 13 Id., fol. 81 v. : le nombre est lié à la considération des arrangements avec répétitions de 22 lett (...)

9Le nombre cité est (à quelques chiffres près...) 22 !, et on le trouve dans d’autres textes de cabalistes chrétiens. On notera que, derrière les propriétés merveilleuses qu’on lui prêtait, il y a, au travail, une activité mathématicienne : le calcul des factorielles. La règle en est exprimée par deux fois dans l’ouvrage même de Vigenère qui donne aussi, ailleurs, la table des factorielles jusqu’à 22!12 Paradoxalement, alors qu’il vient de qualifier « autant comme infiny » ce dernier nombre, il nous apprend plus loin l’existence d’un nombre « trop plus grand sans comparaison que celuy qui a esté touché cy-deuant13 ».

10Toujours à propos de la table des Ziruphs, passons de la Cabale à la cryptographie : si Vigenère détaille les vertus de cette table, c’est surtout pour montrer « l’antiquité des chiffres », et parce que « c’est la vraie racine et le fondement de toutes les sortes de chiffres qui procèdent par la voie de transpositions et commutations de lettres […] ».

11D’où un transfert sur un tout autre terrain, des procédés des cabalistes ; ceux-ci croyaient à la signification théologique des lettres de l’alphabet ; leurs procédés vont être mis au service d’une entreprise toute humaine et de haute ou de basse politique : la cryptographie. On rejoint, ce faisant, une autre tradition qui a ses lettres de noblesse dans l’Antiquité : celle de l’usage en cryptographie, des alphabets de substitution, ainsi l’alphabet décalé dont se servait Jules César qui chiffrait ses messages secrets en remplaçant les lettres par celles qui se trouvaient 4 places plus haut dans l’alphabet normal. A-t-on songé que, sur ce terrain, les hommes ont accumulé une pratique assidue des bijections ? Ne nous étonnons pas si pointe, encore ici, une réflexion mathématicienne propre à démystifier des complexités trompeuses.

12En parlant, pour une fois dans cet exposé, en termes d’applications, posons une question qui pourra paraître saugrenue : dans quel texte ancien trouve-t-on noté que la composée de deux permutations est une permutation ?

  • 14 Id., fol. 210 r.
  • 15 « Au reste celuy-là cuidoit, et non sans quelque apparence de prime-face, que pour auoir esté les d (...)

13La langue de Vigenère a tant de charmes que nous nous plairons à aller lire cette propriété, sous une forme évidemment enveloppée, dans une de ses si savoureuses pages. Vigenère14 dénonce « l’artifice » d’un « quidam si extremement aueuglé en son faict (plustost l’appelleray-ie de cette sorte qu’affronteur impudent) » qui « n’eut point de honte de demander au feu Cardinal du Bellay, vn seigneur qui se delectoit de toutes rares et gentilles inuentions, deux mille escus pour la communication d’vn sien chiffre, qu’il disoit transcender les nuees ». Ce quidam « chiffrait » son texte à l’aide d’un alphabet de substitution, rechiffrait la suite des lettres ainsi obtenues à l’aide d’un second alphabet de substitution, et réitérait une troisième fois un procédé analogue. Vigenère montre à l’aide d’un exemple, que l’artifice était ridicule, puisque les rechiffrements revenaient à utiliser un seul alphabet de substitution15.

3.

  • 16 Clavius 1601, p. 18.
  • 17 Par exemple A. Kircher, après avoir donné comme exemples ora, amen et un « exemplum commutationis q (...)
  • 18 Nous nous permettons donc de renvoyer, en ce qui concerne ce thème de la fabulation des permutation (...)

14On peut estimer qu’il est naturel d’adjoindre à l’exposé des règles générales de dénombrement des permutations, à titre d’illustration, une liste où on rassemble, par exemple, toutes les permutations de trois lettres données. Ainsi Clavius énumère-t-il toutes les « conjonctions » des lettres du mot ave16. Or un aspect tout à fait frappant de la manière dont sont traitées les permutations dans la première moitié du xviie siècle, est la véritable passion avec laquelle de nombreux auteurs se sont attelés à la tâche ingrate d’établir des listes beaucoup plus longues et ont éprouvé le besoin de reprendre à la suite, dans un même ouvrage, des exemples où le nombre des objets permutés est le même, et qui ne différent que par la nature de ces objets (en général, sons et lettres)17. Le record absolu a été atteint par Mersenne à qui l’on doit une liste manuscrite ordonnée des 40 320 « chants » que l’on peut obtenir par permutation de 8 notes données. Ayant étudié ailleurs18 cette étonnante entreprise, qu’il nous suffise d’énoncer quelques remarques générales.

  • 19 Désirant illustrer la manière dont se diffuse l’erreur, Drexel reprend l’exemple traditionnel des co (...)

15Certaines de ces tables sont expressément destinées à convaincre les incrédules, à forcer l’assentiment de ceux qui ne font pas confiance aux calculs des arithméticiens, en leur mettant sous les yeux des listes complètes19.

  • 20 Cf. entre autres, Wallis 1693, II, p. 491-493.

16De telles tables avaient été déjà élaborées dans des buts pratiques, et en retour, ceux qui traitent des permutations signalent l’utilité de celles qu’ils publient à l’attention des utilisateurs éventuels. Ainsi les permutations sont-elles immanquablement rattachées aux anagrammes20.

17Enfin, la confection de ces tables a suscité des interrogations sur les différentes manières de fabuler, et chez Mersenne sur les procédés de numérotation liés à l’ordre lexicographique.

4.

18En écrivant tout au long toutes les permutations possibles de n objets, on se donne une vue de toutes les possibilités, on peut être appelé ensuite à choisir parmi ces possibilités, celles qu’on juge « intéressantes » ; ce qu’on entend par « intérêt » dépend évidemment de la nature des objets permutés. Les critères de tri sont extrinsèques par rapport au domaine et aux tâches de l’arithméticien ; on verra pourtant qu’au xviie siècle, des mathématiciens ont jugé bon de prolonger leur étude des permutations dans cette direction ; des trois cas que nous allons maintenant distinguer, seul le troisième nous retiendra un peu plus longuement ici, celui qui justement attira l’attention des mathématiciens.

  • 21 On trouvera les textes de Mersenne dans l’article mentionné ci-dessus.
  • 22 Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, fin de la Règle VII.

19Soit une table où sont rassemblées les permutations de n objets ; on peut concevoir cette table comme un répertoire où on puisera selon les besoins. Ainsi fit Mersenne qui avait posé à de multiples correspondants la question de savoir si on peut, et si oui, comment, définir le plus beau des « chants » ou les plus beaux « chants » ; ce problème esthétique demeurant toujours en souffrance de solution, il se rabattit sur une attitude plus pragmatique : de toute manière, livrée à ses seules ressources, l’imagination du musicien est incapable de découvrir « tous les chants possibles » ; offrons donc aux musiciens des listes où ils puiseront à leur gré21. Le choix sera grandement facilité si la liste est bien construite, et méthodiquement répartie en classes distinctes. Aussi Mersenne s’est-il attaché à numéroter soigneusement les « chants » dont il dressait la liste. Songeons par ailleurs aux faiseurs d’anagrammes ; s’il existe de nombreux recueils d’anagrammes, nous ne disposons pas de documents sur les méthodes de travail de ceux qui les confectionnaient, mais il est vraisemblable que ceux d’entre eux qui avaient quelque teinture d’arithmétique savaient, lorsqu’ils cherchaient des anagrammes « intéressantes », se donner à eux-mêmes, cette prescription du philosophe : « si l’on veut faire la meilleure anagramme en transposant les lettres d’un mot quelconque [...] il suffira de se proposer un ordre tel que jamais, on ne revienne sur la même transposition, et qu’elles soient, par exemple, distribuées en classes fixes, de telle manière que sautent aussitôt aux yeux, celles dans lesquelles il y a le plus d’espoir de trouver ce que l’on cherche »22.

20Dans ce premier cas, le choix est le fait du spécialiste et peut dépendre du problème particulier considéré. Mais la situation peut être différente. Dans le domaine d’objets où s’opèrent des permutations, il peut y avoir des conditions précises qui permettent de décider de ce qui a ou non un intérêt. Ainsi en est-il lorsqu’on cherche toutes les anagrammes possibles d’un mot donné si on ne retient que les suites de lettres qui forment un mot dans une langue déterminée, la seule connaissance du vocabulaire permet de définir ce que les auteurs du xviie siècle appellent (selon une dénomination qu’ils généralisent en l’appliquant à d’autres cas), les variations utiles (les mots appartenant à la langue considérée), et les variations inutiles (les suites de lettres qui n’ont pas de signification dans cette langue).

21Ce grand partage entre variations utiles et inutiles étant assuré, deux nouveaux cas sont possibles : on possède ou on ne possède pas le système codifié des règles qui déterminent l’appartenance d’une variation à l’ensemble des variations « utiles », ou à l’ensemble des variations « inutiles ».

22 Bien que la réflexion sur la structure des mots tels que l’écriture les fixe dans les grandes langues connues à cette époque, ait déjà été amorcée et poussée plus loin qu’on ne le croit au xvie et au xviie siècles, les « anagrammatistes » qui traitaient des mots ne pouvaient faire fonds sur un tel système de règles, même si dans leur travail, ils avaient recours, selon les circonstances, à des règles intuitivement évidentes (concernant par exemple les répétitions d’une même lettre dans un mot).

  • 23 Leibniz 1880, p. 96-102.

23Par contre, il y avait un domaine où une discipline spécialisée s’était consacrée à édicter des règles, et cela depuis des siècles : la poésie latine. Or parmi les innombrables jeux combinatoires auxquels ont pu servir de matière des vers latins, il est un problème qui met directement en jeu des permutations : un vers étant donné, de combien de manières peut-on changer de place les mots qu’il contient, sans violer les régies de la métrique ? On peut juger, d’après le De arte combinatoria23, quel intérêt Leibniz et de nombreux auteurs du xviie siècle ont porté à ce problème. Nous ne relèverons qu’un seul exemple, celui qui eut la bonne fortune de mettre au travail trois mathématiciens : Wallis, Prestet, Jacques Bernoulli.

  • 24 Ce nombre est indiqué en fait dans un compte rendu de l’ouvrage mentionné de J. Wallis (Acta erudit (...)
  • 25 Montucla 1799, t. 3, p. 388.

« Cela nous conduit, répéterons-nous après Montucla, à dire quelques mots sur le vers fameux de Bauhus, monument singulier de la piété de ce jésuite flamand envers la Ste Vierge :
Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sidera coelo. Or on y remarque facilement qu’en conservant la mesure, on peut le varier de bien des manières. Le P. Bauhus ou Erycius Puteanus en trouvoit facilement 1 022, nombre des étoiles du catalogue de Ptolémée ; mais le véritable est bien plus considérable. Wallis, dans la première édition de son Traité d’algèbre, en trouva d’abord 258024 que dans la seconde édition de ce traité, il porta à 3 096. Le P. Prestet est celui qui, dans la seconde édition de ses Elemens de mathématiques, a approché le plus de la vérité ; car il annonce 3 296 variations. Enfin Jacques Bernoulli, par une analyse particulière (Ars conjectandi, p. 78-81), a fait voir que ce nombre n’est ni plus grand, ni moindre que de 3 312, sans y admettre même les vers spondaïques, sauf néanmoins les mauvais vers, comme ceux sans césure ou manquant ; de sens25.

  • 26 Prestet 1675, p. 342-348.

24Pour donner une idée des difficultés que présente ce problème, et amorcer l’analyse des solutions qui en ont été proposées, nous nous reporterons, pour des raisons de commodité, au texte de la première édition des Elemens de mathématiques de Prestet26.

  • 27 Cette table donne les valeurs des factorielles de 1 à 101.
  • 28 Prestet 1675, p. 342.

« L’on demande combien de fois les 8 mots qui composent ce vers fait à la loüange de la Tres-sainte Vierge Mere de Dieu, pouroient varier de fois sans cesser neanmoins de composer un vers hexametre.
Tot Tibi sunt dotes VIRGO, quoi sydera Coelo. La Table precedente27 fait voir que ces 8 mots pouroient varier quarante mille trois cent vingt fois, de sorte que si l’on vouloit écrire toutes ces variations, quand chaque page qu’on feroit d’écriture en renfermeroit cent, il en faudroit écrire neanmoins quatre cent et plus de trois pages, afin de les tous avoir, et de choisir ceux où la mesure du vers ne seroit point rompuë, au lieu que cette question, quoyque tres-difficile, pouroit neanmoins se resoudre assez facilement en cette sorte »28.

25Puisque le problème est de ne retenir parmi les « variations » possibles que les vers hexamètres, sa résolution présuppose, ainsi que Prestet le note en marge, « la connaissance des regles qu’exige la Poesie pour un vers hexametre » ; et seule évidemment une réflexion sur ces règles permettra de découvrir un principe de classification méthodique de tous les cas possibles. Ce principe, Prestet le détermine en cherchant les « places » sur lesquelles les « règles de la Poésie » font peser les contraintes les plus fortes, et qui, dans le cas considéré, ne peuvent être occupées que par un petit nombre de mots.

  • 29 Id., p. 342-343.

« Premierement comme le cinquiéme pied du vers ne peut estre autre qu’un dactyle, et le sixième qu’un spondée, les seuls mots sydera et tibi doivent servir necessairement pour ce pied. Or supposons que sydera serve à former ce pied, il faudra donc qu’il occupe la septième place, en mettant à la huitième un mot de deux syllabes autre que tibi qui ne peut s’y trouver ; ou bien à la sixième, pourvû qu’on mette aux deux suivantes deux mots qui n’ayent chacun qu’une syllabe. Après quoy il faudra mettre successivement tibi dans toutes les places qu’il peut occuper29 ».

26Le texte n’est pas des plus clairs ; Prestet mêle en effet aux considérations fondamentales qui lui serviront de guide par la suite, des remarques moins importantes, et par ailleurs, il ne présente dans cet exposé introductif qu’une des branches de la grande dichotomie qui supporte tout son classement. Une analyse d’ensemble de ce dernier montre qu’en fait sa démarche est la suivante :

  • il remarque que la 6e et la 7e places ne peuvent être occupées que par sydera ou par tibi ;
  • il divise les cas en deux grands groupes : cas où sydera est en 6 ou 7 ; cas où tibi est en 6 ou 7 ;
  • à l’intérieur de chacun de ces deux groupes, il procède de la manière suivante : on place par exemple sydera en 7, et on examine successivement les cas où tibi se trouve dans toutes les places qui ne lui sont pas interdites : en 2, 3, 4, 5, 6.

27Une fois fixées les places de sydera et de tibi, il faut de nouveau revenir aux « règles de la Poésie » pour énoncer les contraintes dont on doit tenir compte, et distribuer à nouveau les cas possibles de manière aussi méthodique que possible. À titre d’échantillon, voici la suite du texte introductif cité ci-dessus (sydera est en 7, tibi en 2) :

  • 30 Le « de même que Virgo » peut paraître obscur, d’autant que dans le début de la phrase, on dit de V (...)
  • 31 Prestet 1675, p. 343.

« Mettant donc tibi premierement à la seconde place, et laissant sydera coelo aux deux dernieres, si tot occupe la premiere, les quatre mots Virgo, sunt, dotes, quot, changeront 24 fois selon la regle, et si l’on met sunt au lieu de tot, les 4 mots Virgo, lot, dotes, quot, changeront 24 fois, et si l’on met quot à la premiere place, les 4 mots Virgo, sunt, dotes, tot, changeront 24 fois. Et si l’on met Virgo à la premiere place, les quatre mots tot, sunt, dotes, quot, changeront 24 fois. L’on aura donc défia 4 fois 24 changemens utiles en laissant tibi à la seconde place, et sydera coelo aux dernières. Et si l’on met dotes au lieu de coelo, l’on en aura encore autant. Mais si l’on met Virgo à la huitiéme place, l’on en aura encore autant excepté 24 qu’il faudra retrancher, parce que tibi occupant la seconde place, aucun mot composé de deux syllabes ne pourra se trouver à la premiere, de même que Virgo, dont la derniere syllabe est longue ou brève30. Ainsi tibi occupant la seconde place, et sydera la septiéme, le vers pourra changer sa mesure, varier seulement 264 fois31. »

28On peut résumer le texte à l’aide de l’arbre suivant :

29À chaque extrémité de l’arbre correspondent les 24 permutations des 4 mots qui n’ont pas été utilisés précédemment.

30 Peut-être vaudrait-il la peine de pousser plus loin l’analyse, et non seulement de comparer entre elles les solutions proposées au xviie siècle, mais de reprendre à nouveaux frais le problème aujourd’hui. En ce qui nous concerne ici, remarquons que le but déclaré de la recherche est, pour nos mathématiciens, de même que lorsqu’ils énonçaient des règles générales relatives aux permutations, d’établir un dénombrement. Mais on conviendra que, bien plus que les décomptes numériques, ce qu’une lecture d’aujourd’hui s’étonne de rencontrer dans ces vieux textes, ce sont des pratiques classificatoires assez subtiles, en exercice dans des domaines étrangers aux mathématiques proprement dites.

  • 32 Couturat 1903, p. 175.

31Plus généralement, c’est l’intérêt historique de telles pratiques que voulaient suggérer quelques illustrations choisies parmi d’autres, et où d’ailleurs les « permutations » ont été artificiellement isolées par rapport aux autres possibilités combinatoires que nos auteurs rassemblaient sous le termes générique de « combinaisons ». Celles-ci seront, à la fin du xviie siècle, intégrées au corpus mathématique, mais pour être entièrement annexées par le calcul des probabilités. Dans la période antérieure, leurs prosélytes avaient eu le sentiment que leur champ d’action était beaucoup plus vaste et beaucoup plus divers. De Leibniz, parce qu’il fut mis en cause au début de cet exposé, on reprendra cette phrase où il juge son œuvre de jeunesse, le De arte combinatoria, et où on entendra aussi l’appréciation des permutateurs du xvie et du xviie siècles sur leurs propres travaux : « il y a quelques choses qui sentent le jeune homme et l’apprentif, mais le fonds est bon et j’ay basti depuis la dessus32 ».

Bibliographie

Bibliographie

Clavius (Christophorus), 1601, In Sphaeram Joannis de Sacro Bosco commentarius, Venezia : J. B. Ciottus.

Coumet (Ernest), 1972, « Mersenne : dénombrements, répertoires, numérotations de permutations », Mathématiques et sciences humaines, t. 38, p. 5-37.

Couturat (Louis), 1903, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits des manuscrits de la Bibliothèque royale de Hanovre, Paris : Alcan.

Drexel (Jeremias), 1634, Orbis Phaeton, Cologne : C. ab Egmond.

François (Jean), 1681, L’Arithmétique et la géométrie pratique, c’est-à-dire l’Art de compter toute sorte de nombres avec la plume et les jettons, et l’Art de mesurer... toute sorte de lignes, de surfaces et de corps et particulièrement d’arpenter les terres et d’en contretirer les plans…, Paris : N. Langlois.

Gassendi (Pierre), 1649, Animadversiones in decimum librum Diogenis Laertii…, Lyon : G. Barbier.

Kircher (Athanasius), 1650, Musurgia universalis, sive ars magna consoni et dissoni in X libros digesta..., Roma : héritiers de F. Corbelletti.

Leibniz (Gottfried Wilhelm), 1880, Dissertatio de arte combinatoria, in Die philosophischen Schriften von G.W. Leibniz, ed. C.I. Gerhardt, Berlin : Weidmannsche Buchhandlung, rééd. Hildesheim, G. Olms, 1965 t. IV, p. 27-102.

Leurechon (Jean), 1622, Selectae propositiones in tota sparsim mathematica pulcherrimae, quas in solemni festo sanctorum Ignatii et Xaverii et anniversaria collegii Mussipontani celebritate literaria propugnabunt mathematicarum auditores, Pont-à-Mousson : S. Cramoisy.

Mersenne (Marin), 1625, La Vérité des sciences, contre les septiques ou pyrrhoniens, Paris : T. du Bray.

Montucla (Jean-Étienne), 1799-1802, Histoire des mathématiques..., nouvelle édition considérablement augmentée et prolongée vers l’époque actuelle, 4 vol., Paris : H. Agasse.

Pacioli (Luca), 1523, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità…, Venezia : Paganino de Paganini.

Prestet (Jean), 1675, Elemens de mathématiques, Paris : P. Pralard.

Vigenère (Blaise de), 1587, Traicté des chiffres, Paris : A. l’Angefier.

Wallis (John), 1693 (1685), De Combinationibus Alternationibus et Partibus Aliquotis Tractatus, in Opera mathematica, Oxford : T. Sheldoniaan.

Annexes

Appendice

L’exemple de Blaise de Vigenère33

« Mais pour reuenir à nostre propos, l’artifice dont le dessusdit pretendoit s’aider, estoit fort simple & mal entendu : dont pour vous en donner vn exemple, prenons que ce soit ce subiet cy qu’on voulust escrire, pris des sentences de Zoroastre. On ne doit trop presser sa destinee : il le chiffroit en premier lieu par cet alphabet d’vne simple commutation reciproque, de chaque lettre precedente en la subsequente ; & au rebours :

Si qu’il auoit cette suitte & contexte de lettres ; p m m f c p l s s q p o o q f t t f q t b c f t s l m f f : laquelle il rechiffroit de nouveau par cest autre alphabet, qui va selon l’ordre commun des lettres departies en deux rengees, tout ainsi que le precedant, et en dix cellules, dont les caracteres de dessus et dessous se transchangent alternativement l’vn en l’autre :

Parquoy il y auoit ainsi : d a a r o d x m g g e d c c e r h h r e h n o r h g x a r r. Et tiercement il le recouuroit par cest autre encore, ouquel les lettres sont accouplees selon que quelques nations les proferent l’vne pour l’autre.

Dont telle en estoit la disposition : t e e l u t s n i i a t q q a l f f l a f m u f l i s e l l. Mais ce n’estoient pas ces alphabeths proprement, ains de semblables qui leur equipolloient à peu-pres : ny le subiect nomplus ; car il seroit trop malaisé de rien descouurir en si peu de matiere.

L’alphabet suivant vous peult faire veoir, que sur le troisiesme rechiffrement il est aussi aisé de l’interpreter comme par le premier ou second, car il est fort bien reiglé caractere pour caractere […]. »

Notes

1 Leibniz 1880, p. 91.

2 Pacioli 1523, fol. 43 v-44r (la première édition est de 1494).

3 Leurechon 1622 ; Mersenne utilise ce texte dans Mersenne 1625, p. 805.

4 François 1681, p. 73.

5 Leibniz 1880, p. 89.

6 Relevons dans le dernier des vers cités par Leibniz, le verbe permutare : « […] Cum permutantur, mutari res quoque debent. »

7 Gassendi 1649, p. 227-228.

8 Mersenne 1625, p. 553-554.

9 Vigenère 1587, fol. 94 v°.

10 Ibid., fol. 93 v°.

11 Ibid., fol. 42.

12 Id., fol. 191 r.

13 Id., fol. 81 v. : le nombre est lié à la considération des arrangements avec répétitions de 22 lettres.

14 Id., fol. 210 r.

15 « Au reste celuy-là cuidoit, et non sans quelque apparence de prime-face, que pour auoir esté les deux derniers surchiffremens reiterez sur vn contexte d’escriture, où il n’y auoit sens quelconque, ne rien de lisable en l’assiette et suitte des lettres, que par toutes les transpositions qu’on sceust promener le dernier, il ne s’y en trouueroit point aussi, iusqu’à ce qu’en retrogradant sur le contrepied, on eust rebroussé chemin par ses destours, ainsi comme és ruzes et defaictes d’un cerf, de luy au second, et du second au premier, où s’estoit commancé à alterer la suitte des lettres d’vn sens prononçable et intelligible, à une disposition comme morte, et du tout esteinte, par leurs diverses transpositions et eschanges. Mais ie diray bien dauantage, car non que de trois enueloppes tant seulement, ains de cinquante, voire cent mille, et encore plus iusqu’en infiny que cela s’estend, que puissent estre reiterez ces surchiffremens, d’alphabet en alphabet les vns sur les autres, il n’importe de rien ouquel de tous vous vous preniez pour le dechiffrer, estans en celà tous egaux [...] », Id., fol. 222-223. Nous avons retranscrit ci-dessous, en appendice, l’exemple de Vigenère.

16 Clavius 1601, p. 18.

17 Par exemple A. Kircher, après avoir donné comme exemples ora, amen et un « exemplum commutationis quinque rerum » (a e i o u), donne plus loin la liste des 24 permutations de 4 notes données (Kircher 1650, comas II, lib. VIII).

18 Nous nous permettons donc de renvoyer, en ce qui concerne ce thème de la fabulation des permutations, à Coumet 1972 [ce volume p. 231-276 NDLR].

19 Désirant illustrer la manière dont se diffuse l’erreur, Drexel reprend l’exemple traditionnel des convives que nous avons mentionné plus haut, et avant de donner la liste des 720 permutations des lettres a, b, c, d, e, f, interroge son lecteur : « Necdum credis ? ipsis igitur oculis, non solum auribus, fidem faciam idque signatis tabulis », Drexel 1634.

20 Cf. entre autres, Wallis 1693, II, p. 491-493.

21 On trouvera les textes de Mersenne dans l’article mentionné ci-dessus.

22 Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, fin de la Règle VII.

23 Leibniz 1880, p. 96-102.

24 Ce nombre est indiqué en fait dans un compte rendu de l’ouvrage mentionné de J. Wallis (Acta eruditorum, juin 1686, p. 489).

25 Montucla 1799, t. 3, p. 388.

26 Prestet 1675, p. 342-348.

27 Cette table donne les valeurs des factorielles de 1 à 101.

28 Prestet 1675, p. 342.

29 Id., p. 342-343.

30 Le « de même que Virgo » peut paraître obscur, d’autant que dans le début de la phrase, on dit de Virgo qu’on le met à la 8e place. En fait Prestet énonce ici une règle qu’il a déjà appliquée dans ce qui précède : tibi occupant la seconde place, aucun mot composé de deux syllabes, sauf Virgo, ne peut se trouver à la première place.

31 Prestet 1675, p. 343.

32 Couturat 1903, p. 175.

33 Vigenère 1587, fol. 221 v-fol. 222-223. On notera que la dernière table est disposée de manière à faciliter le rétablissement du texte initial.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2016

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