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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Logique, mathématiques, et langage dans l’œuvre de G. Boole

Texte intégral

Mathématiques et sciences humaines, tome 15 (1966), p. 1-14. Nous remercions la Direction de la revue Mathématiques et sciences humaines de nous avoir autorisés à publier ce texte.

Partie I

- A-

1L’Histoire joue parfois de curieux tours aux créateurs. Ils peuvent devenir célèbres, en quelque sorte par ricochet, pour un résultat qui n’a été tiré qu’indirectement de leurs œuvres. Le malentendu va même parfois si loin qu’un tel résultat empêche qu’on s’intéresse vraiment à l’œuvre, puisqu’on sera inévitablement déçu de n’y rencontrer que sous une forme tout à fait insolite des idées familières. Boole est célèbre, si c’est être célèbre de voir son nom attaché à des Algèbres, et dérivé en adjectifs (booléen, booléien...). Mais on peut douter que son œuvre soit très pratiquée. Le lecteur moderne, s’il n’est pas déjà rebuté par les références à la scolastique ou les développements philosophiques, aura la pénible surprise d’y trouver un langage mathématique d’un autre âge, mis lui même, par moments, au service d’entreprises contestables. Pour peu qu’on sache aussi de lui qu’il est un des fondateurs de la logique moderne, on l’imagine volontiers comme un logicien qui a eu la bonne fortune de découvrir une nouvelle structure mathématique. En fait, il s’agit, à l’inverse, d’un mathématicien qui a voulu doter la logique de sa véritable structure formelle. Ce que cette dernière devint lorsque les mathématiciens revinrent plus tard y chercher leur bien, Boole ne l’avait certainement pas prévu. Il ne songeait nullement, en ce domaine, à faire progresser les mathématiques, mais à fonder une étude scientifique des lois de la pensée.

  • 1 Boole 1859 ; Boole 1860.
  • 2 Que nous citons dans la réédition donnée à Oxford, en 1951 (Boole 1847). Cet ouvrage est également (...)
  • 3 Que nous citons dans la réédition qu’en ont donnée, en insérant dans le texte toutes les correction (...)
  • 4 Le centenaire de sa mort est passé inaperçu en France. Depuis Les logiciens anglais contemporains d (...)

2Mathématicien, Boole (1815-1864) le fut de profession. Autodidacte qui connaissait plusieurs langues, il fut professeur de mathématiques, publia de nombreux articles et deux ouvrages importants1. Très jeune, il avait eu l’idée que les formules algébriques pouvaient être utilisées pour exprimer les relations logiques. La bruyante querelle entre W. Hamilton (le logicien, non le mathématicien du même nom) et de Morgan sur la quantification du prédicat, lui donna l’occasion de publier ses premières recherches dans The Mathematical Analysis of Logic2 en 1847. Puis il médita longuement pour approfondir la nouvelle discipline qu’il venait de fonder, et prit soin de s’informer sur la philosophie du langage et des fondements de la logique. Le fruit de ce long travail fut, un ouvrage beaucoup plus volumineux, où Boole étendait au calcul des probabilités le bénéfice de sa méthode, et qui parut en 1854 : An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities3. Est-ce précisément pour avoir trop philosophé que Boole doit la sorte de disgrâce où sont tenues ses œuvres4 ?

  • 5 Bourbaki 1960, p. 32.
  • 6 Boole 1958, p. 12.
  • 7 Bourbaki 1960, p. 33.
  • 8 Id., p. 18.

3Des hommages, il en reçoit certes, si l’on compte pour tels ceux que lui rendent distraitement les usagers des Algèbres de Boole. Hommage plus motivé celui de Bourbaki résume bien, dans sa brièveté, ce qu’un moderne retiendra d’essentiel dans son œuvre. D’une part, Boole est de ceux qui, au xixe siècle, ont senti que les mathématiques devaient franchir les limites que leur assignait une définition trop étroite et qu’elles pouvaient s’accorder le droit de raisonner sur des objets qui n’ont aucune « interprétation » sensible5. « Il n’est pas de l’essence de la mathématique de s’occuper des idées de nombre et de quantité6 » ; et il avait clairement aperçu qu’en s’élargissant, la méthode axiomatique révélait ce que sont dans leur essence, les mathématiques : l’étude des relations entre des objets qui ne sont plus connus et décrits que par celles de leurs propriétés que l’on met à la base de leur théorie7. En second lieu, Boole « doit être considéré comme le véritable créateur de la logique symbolique moderne. Son idée maîtresse consiste à se placer systématiquement au point de vue de l’« extension », donc à calculer directement sur les ensembles, en notant xy l’intersection de deux ensembles, et x + y leur réunion lorsque x et y n’ont pas d’élément commun. Il introduit en outre un « univers » noté 1 (ensemble de tous les objets) et l’ensemble vide noté 0, et il écrit 1 − x le complémentaire de x. Comme l’avait fait Leibniz, il interprète la relation d’inclusion par la relation xy = x (d’où il tire sans peine la justification des règles du syllogisme classique) et ses notations pour la réunion et le complémentaire donnent à son système une souplesse qui avait manqué à ses devanciers. En outre, en associant à toute proposition l’ensemble des « cas » où elle est vérifiée, il interprète la relation d’implication comme une inclusion, et son calcul des ensembles lui donne de cette façon les règles du « calcul propositionnel »8.

4Cette double mise en perspective se justifie d’autant mieux qu’elle répond tout à fait à la conscience qu’avait Boole lui-même de sa propre situation à l’égard des mathématiques et de la logique. Il savait, et il le dit clairement, que les idées nouvelles qu’il introduisait dans le domaine logique devaient leur originalité et leur efficacité à un progrès des mathématiques et à un renouvellement profond de leur statut. Dès l’introduction à The Mathematical Analysis of Logic on est retenu à la fois par la résonance toute moderne de réflexions sur l’emploi des symboles, et par la lucidité avec laquelle est envisagée l’extension à la logique des méthodes symboliques.

  • 9 Boole 1847, p. 3.
  • 10 Id., p. 4.

5« Ceux qui sont familiarisés avec l’état présent de l’Algèbre Symbolique, savent que la validité des procédés de l’Analyse ne dépend pas de l’interprétation des symboles qui y sont employés, mais seulement des lois de leur combinaison9. » D’un même procédé appartenant à un système donné de relations, on pourra admettre des interprétations différentes, toutes aussi légitimes les unes que les autres, relevant de la géométrie, de la dynamique, de l’optique…, pourvu qu’elles n’affectent pas la vérité des relations admises. Si on n’a pas reconnu toutes les conséquences de ce principe fondamental, c’est qu’on est aveuglé par un vieux préjugé qui veut que les mathématiques soient la science de la grandeur. Or, rien ne permet d’affirmer que l’interprétation quantitative actuelle des formes de l’Analyse s’impose nécessairement, et a une validité universelle. Il faut au contraire ériger en principe général que « la caractéristique bien déterminée d’un vrai Calcul, c’est d’être une méthode reposant sur l’emploi de Symboles, dont les lois de combinaison sont connues et générales, et dont les résultats admettent une interprétation cohérente10 ».

  • 11 Dans un de ses premiers articles (Boole 1844, p. 225) G. Boole cite une phrase où Gregory énonce le (...)
  • 12 Boole 1847, p. 13.

6Si une prise de position aussi nette marque bien une date dans l’histoire des mathématiques, il faut se garder d’en porter tout le mérite au crédit de Boole qui proclame plus ici un manifeste d’École qu’une idée personnelle11. Mais là où il se montre plein d’audace, c’est en concevant comme justiciable du « principe général » qu’il vient d’énoncer, la Logique elle même. Lorsqu’il déclare sans ambages que « la Logique ne fait pas partie de la Philosophie », qu’il ne faut pas « associer Logique et Métaphysique, mais Logique et Mathématiques », on jugera de sa témérité en se reportant aux discussions académiques où il se croit obligé d’entrer. N’y voit-on pas W. Hamilton, une des autorités les plus respectées de l’époque, condamner l’étude des mathématiques comme « dangereuse et inutile » pour la formation de l’esprit ? Boole, qui s’excuse par ailleurs de ne pas être un spécialiste de logique, se montre pourtant péremptoire : la logique peut devenir elle-même une « science exacte ». La preuve, c’est son ouvrage tout entier : « On y verra la Logique reposer, comme la Géométrie, sur des vérités axiomatiques, et ses théorèmes construits sur cette doctrine générale des symboles qui constitue le fondement de l’Analyse classique12 ».

7Ce programme, on peut dire globalement, comme en témoigne Bourbaki, que Boole l’a effectivement rempli. Mais qu’on se mette à lire vraiment ses écrits, cette belle image se brouille rapidement. Il y a bien de la différence entre l’énumération des quelques résultats fondamentaux extraits de l’œuvre, et l’œuvre elle-même. On attend pour le moins du « fondateur de la logique moderne » qu’il se plie à un minimum de rigueur formelle et l’on trouvera qu’il se satisfait de bien peu lorsqu’il étudie les lois de « combinaison des symboles » ; on aurait espéré de lui, qui n’était pas un mathématicien médiocre, plus d’adresse et une conscience plus claire de la structure à laquelle il avait affaire : or il se fourvoie dans des complications que ceux qui le suivront dans la même direction jugeront bien vite superflues. Outre que Boole mérite qu’on s’intéresse même à ce qui chez lui, n’est pas le meilleure, il ne sera pas vain toutefois d’accepter de le suivre dans le détail de son entreprise. Il nous importera surtout de comprendre comment, par le biais de notions qui nous paraissent difficilement acceptables, il est parvenu à imposer l’idée que la logique pouvait être érigée en discipline « scientifique ». Pour ce faire, nous allons lire la première partie de The Mathematical Analysis of Logic, puis les premiers chapitres de An Investigation of the Laws of Thought.

- B-

8The Mathematical Analysis of Logic est un ouvrage de dimensions modestes (82 pages), dont le sous-titre, modeste lui aussi dans sa forme : « Being an essay towards a Calculus of Deductive Reasoning », dit bien qu’il s’agit encore d’un travail de recherche. Le second ouvrage de Boole aura la lourdeur et le sérieux des justifications. Son premier essai, s’il est peu mûri, est tout proche de l’intuition qui lui donna naissance et ce qui fait son prix c’est que s’y laisse deviner sinon la genèse, du moins la courbe de progrès d’une découverte. On peut y distinguer schématiquement deux parties correspondant à deux mouvements de pensée :

  1. La logique traditionnelle étant considérée comme donnée, il s’agit, en un premier temps, de l’exprimer sous forme symbolique, et de mettre sur pied un calcul qui remplisse les mêmes offices qu’elle.

  2. En un second temps, ce calcul, exposé dans un style franchement mathématique, et visant à la plus grande généralité possible, est exposé de manière autonome.

9Notons le sans plus tarder cet ordre tout heuristique sera inversé dans les Laws of Thought, ouvrage synthétique où la tâche principale sera comme nous le verrons plus loin, d’asseoir solidement le calcul, l’intervention de ce dernier dans les problèmes traditionnels n’apparaissant qu’après coup, à titre d’application. Aussi nous semble-t-il opportun de ne retenir dans The Mathematical Analysis of Logic que la partie (a).

10Dans ses premiers chapitres, Boole calque très exactement son exposé sur l’ordre habituel des traités de logique (concept, jugement, raisonnement) :

  • Premiers principes.

  • De l’expression et de l’interprétation.

  • De la conversion des propositions.

  • Des syllogismes.

  • Des hypothétiques.

- 1-

11Le titre du premier chapitre, « Premiers principes », éveille d’emblée notre attention : c’est d’entrée de jeu que Boole va insérer son symbolisme dans le vieux cadre scolastique.

12« Employons le symbole 1, ou l’unité, pour représenter l’Univers, et considérons le comme comprenant toute classe concevable d’objets, existant ou non réellement, étant supposé que le même individu peut se trouver dans plus d’une classe, vu qu’il peut posséder plus d’une qualité en commun avec d’autres individus. Employons les lettres X, Y, Z pour représenter les membres individuels des classes, X s’appliquant à tout membre d’une classe, en tant qu’il s’agit des membres de cette classe particulière, et Y s’appliquant à tout membre d’une autre classe, en tant qu’il s’agit des membres de cette classe, et ainsi de suite, selon le langage reçu des traités de Logique.

13Concevons ensuite une classe de symboles x, y, z possédant le caractère suivant.

14On supposera que le symbole x opérant sur un sujet quelconque, comprenant des individus ou des classes, sélectionne dans ce sujet tous les Xs qu’il contient. De la même manière on supposera que le symbole y, opérant sur un sujet quelconque, sélectionne tous les individus de la classe Y que comprend ce sujet, et ainsi de suite.

15Quand aucun sujet n’est exprimé, nous supposerons que 1 (l’Univers) est le sujet sous entendu, de sorte que nous aurons :

x = x (1)

  • 13 Id., p. 15.

ce qui est signifié par chacun des termes étant la sélection dans l’Univers de tous les Xs qu’il contient, et le résultat de l’opération étant, en langage commun, la classe X, c’est-à-dire la classe dont chaque membre est X13. »

16Une fois posées ces définitions, Boole, se confiant sans plus tarder à un symbolisme familier, trouve tout naturel de représenter par le produit xy la succession de deux opérations : celle qui consiste à sélectionner la classe Y, puis celle qui consiste à sélectionner, dans cette classe Y, les individus de la classe X qu’elle contient. D’une manière analogue, le produit xyz représentera une opération composée, constituée de trois sélections successives. On comprend dès lors que Boole qualifie d’électifs ces symboles x, y, z… qui représentent des opérations dont le propre est de choisir des individus ayant tel et tel caractère.

17On n’accorde pas habituellement à cette notion de symboles électifs l’importance qu’elle mérite. On s’attarde plus volontiers sur le calcul qui en dérivera. Et pourtant, ce calcul une fois mis en marche, on pouvait faire confiance au mathématicien exercé qu’était Boole pour le développer. Mais le plus difficile n’était pas là. Appliquer les mathématiques à la logique, nombreux étaient ceux qui en avaient fait le projet ; on sentait bien qu’il y avait quelque paradoxe pour la science du raisonnement à voir raisonner mieux qu’elle – plus vite et plus proprement – une science qui, en principe, lui était subordonnée. Mais aussi, comment ne pas être tenté en ce cas de se précipiter là où il est dit que ‘’raisonne’’ le logicien, pour y faire jouer les vertus tonifiantes du symbole ? Autrement dit, le point d’application privilégié du symbolisme semblait être le syllogisme. Puisque calcul du raisonnement on cherchait, il fallait parvenir d’emblée à ce que le syllogisme se présente comme un calcul.

  • 14 Id., p. 16.
  • 15 Id., p. 18, note *.

18La sagesse de Boole a été de savoir attendre. Le syllogisme sera abordé à son heure. Mais la « combinaison des symboles » est présente, elle, dès ce premier chapitre du « concept » où le logicien, qu’il fasse selon les goûts, la métaphysique ou la psychologie de l’abstraction, ne semblait préparer que les matériaux du syllogisme. Peu importe au contraire à Boole la nature profonde de l’opération qu’il tient pour fondamentale ; seul le retient son fonctionnement : « Il ne sera pas nécessaire que nous entrions ici dans l’analyse de cette opération mentale que nous avons représentée par le symbole électif. Ce n’est pas un acte d’Abstraction selon l’acception commune de ce terme, parce que nous n’avons jamais perdu de vue le concret mais on peut probablement établir un rapport entre cette opération et un exercice des facultés de Comparaison et d’Attention. Ce qui nous intéresse à présent ce sont les lois de combinaison et de succession par lesquelles sont gouvernés ses résultats14. » Sans doute les logiciens n’avaient-ils pas manqué de relever que les « termes » obéissaient à des principes et faisaient même dépendre tout raisonnement d’une application du dictum de omni et nulla. Mais, objecte Boole, ce principe, ou les principes équivalents, ne sont pas vraiment premiers. Ils exigent, en réalité, pour qu’on puisse les appliquer, qu’on procède à des opérations préalables : celles-ci font donc partie intégrante du raisonnement15. Il fallait donc creuser plus profond pour atteindre l’opération mentale élémentaire.

19À vrai dire, la preuve que la réduction est parvenue à son terme ne peut être fournie qu’après coup, par la réussite du système tout entier. Mais pour que ce système lui-même puisse être construit, il fallait parvenir à faire correspondre à l’« opération » mentale une « opération » symbolique, de telle manière que les combinaisons de symboles puissent traduire adéquatement l’activité mentale de sélection. Une des intuitions fondamentales de Boole tient presque tout entière dans ce qui n’est presque qu’un jeu de mots : il a symbolisé l’opération mentale la plus élémentaire par un opérateur.

- 2-

20Boole se propose maintenant de nous donner les lois qui gouvernent l’opération mentale simple qu’il vient de caractériser. Qu’est-ce à dire ? Qu’il va en énumérer de manière abstraite les lois de composition ? Que non pas. Boole veut simplement décrire ce qu’il voit, et ce qu’il voit ce sont les résultats auxquels conduisent certaines opérations de sélection menées de différentes manières. Et le principe qui commande les égalités qu’il va poser est pour lui d’une évidence si visible qu’il ne prend pas la peine de l’énoncer : ces égalités signifieront qu’on aboutit à des résultats identiques lorsqu’on effectue, tour à tour, la combinaison et la succession des opérations de sélection que représentent les symboles électifs qui se trouvent de chaque côté de l’égalité.

  • 16 Id., p. 16-18.

21Boole « établit » ainsi trois lois16.

221) « Le résultat d’un acte d’élection est indépendant du groupement ou de la classification du sujet ».

23En effet, qu’on se trouve dans l’une ou l’autre des deux situations suivantes, on obtient un même résultat :

  • un groupe d’objets considéré comme un tout nous est donné, et nous en sélectionnons la classe X ;

  • le même groupe est maintenant considéré comme divisé en deux ; et nous sélectionnons séparément les individus Xs dans chacune de ces parties, pour réunir ensuite les résultats obtenus dans une conception globale.

24Nous pouvons exprimer mathématiquement cette loi par l’équation :

x (u + v) = xu + xv

u + v représente le sujet indivis, et u et v ses parties composantes.

25« Les symboles électifs sont distributifs ».

262) L’ordre dans lequel sont effectués deux actes successifs d’élection n’importe pas.

27En effet, dans les deux cas suivants, bien que l’ordre dans lequel nous effectuons nos sélections soit inversé, le résultat final n’en est pas affecté :

  • nous sélectionnons les moutons dans la classe des animaux, puis parmi les moutons, nous prenons ceux qui sont cornus,

  • nous sélectionnons parmi les animaux ceux qui sont cornus, puis parmi ces derniers, nous prenons les moutons.

28L’expression symbolique de cette loi est :

xy = yx

29Les symboles électifs sont « commutatifs ».

303) Le résultat d’un acte donné d’élection accompli successivement deux fois, ou un nombre quelconque de fois, est identique au résultat du même acte accompli une seule fois.

31Si dans un groupe d’objets, nous sélectionnons les Xs, nous obtenons une classe dont tous les membres sont Xs. Si nous répétons l’opération sur cette classe, il ne s’ensuivra aucune modification supplémentaire : en sélectionnant les Xs, nous prenons la classe en son entier.

32Cette loi s’exprime ainsi mathématiquement :

xx = x

x3 = x

ou en supposant que l’opération est accompli n fois :

xn = x

  • 17 Méritoire aussi de savoir les reconnaître et de les utiliser. « Notons en particulier que Boole uti (...)

33Ainsi, Boole ne prend pas plus de précaution pour introduire les signes « = » et « + » que lorsqu’il a parlé de « produit ». Il n’hésite pas pourtant à conclure que ces trois lois « suffisent comme base d’un Calcul ». Mais, rappelons-le, il était méritoire à cette époque, d’aller tout droit aux propriétés de distributivité et de commutativité17. Quant à la troisième loi (« the indew law ») qui est propre aux symboles électifs, elle jouera dans la pensée de Boole un rôle de plus en plus considérable.

- 3-

  • 18 G. Boole parle d’« univers du discours » dans Boole 1958, p. 42. Une anecdote curieuse raconte que (...)

34Le symbole « 1 » nous a été présenté dès le début. Le symbole « 0 » va apparaître de manière beaucoup plus discrète, et sans justification explicite, au détour d’une équation. Ici encore, Boole se laisse conduire par des analogies tirées de l’algèbre élémentaire. Mais celles-ci n’auraient pu jouer s’il n’avait introduit la notion d’« univers » dans une intention toute proche de celle qui fit forger à A. de Morgan l’expression nouvelle d’« univers du discours »18 : assurer un traitement homogène aux termes positifs et aux termes négatifs. De Morgan avait protesté contre le privilège qu’Aristote avait accordé aux termes positifs ; il n’y a aucune raison d’attribuer une importance essentielle à la différence qui sépare deux termes comme « hommes » et « non-hommes » ; en fait, la forme positive, ou négative, ne dépend que de conventions ou d’accidents linguistiques. Sauf que, dans une formule imprudente, il fait embrasser à son Univers toutes choses, réelles ou irréelles, Boole adopte le même point de vue lorsqu’il exprime la classe non-X, « c’est-à-dire la classe incluant tous les individus qui ne sont pas Xs. La classe X et la classe non-X forment ensemble l’Univers. Mais l’Univers est 1, et la classe X est déterminée par le symbole x, donc la classe non-X sera déterminée par le symbole 1-x ». Et d’une manière analogue, on pourra sans peine déterminer ce que représentent les symboles y (1 − x) et (1 − x) (1 − y). Il sera facile également d’exprimer :

35• la Proposition Universelle Affirmative (A) : « Tous les Xs sont Ys. »

  • 19 Boole 1958, p. 21.

36« Comme tous les Xs qui existent se trouvent dans la classe Y, il est évident qu’il revient au même, soit de sélectionner tous les Ys dans l’Univers, et de sélectionner parmi eux, tous les Xs, soit de sélectionner d’un coup tous les Xs dans l’Univers »19.

xy = x

ou, (et c’est ici qu’apparaît subrepticement le « 0 ») :

x (1 − y) = 0

37• la Proposition Universelle Négative (E) : « Il n’y a pas de Xs qui soient Ys ».

xy = 0

38Mais le cas des propositions particulières est plus délicat, et nous allons voir surgir une des graves difficultés sur lesquelles va buter la méthode de Boole. Pour exprimer :

  • la Proposition Particulière Affirmative (I) : « Quelques Xs sont Ys »

  • la Proposition Particulière Négative (0) : « Quelques Xs sont non Ys »,

39Boole va faire intervenir un symbole auxiliaire qui a, en ce premier temps, un sens bien déterminé. Si « quelques Xs sont Ys », il y a des termes communs aux classes X et Y ; considérons la classe Y que constituent ces termes, et à laquelle correspond le symbole électif v ; on aura : v = xy

  • 20 Id., p. 22.

40« Et comme v inclut tous les termes communs aux classes X et Y, nous pouvons indifféremment l’interpréter comme Quelques Xs, ou Quelques Ys20. » D’une manière semblable, « Quelques Xs sont non Ys » s’exprime par :

v = x (1 − y)

41Mais dès les premiers calculs où va s’engager Boole, ce symbole v créera des difficultés, car on ne pourra pas le détacher de ses « conditions d’interprétation ».

42Si nous multiplions l’équation (1) : v = xy par x, nous avons :

vx = x2y = xy,

donc :

v = vx, ou : v (1 – x) = 0 (2)

43En multipliant l’équation (1) par y, on obtiendrait :

v (1 – y) = 0 (3)

44D’où :

vx = vy= v (4)

système d’équations qui a pour équivalent les propositions :

Tous les Vs sont Xs

Tous les Vs sont Ys

45« Le système (4) pourrait être utilisé pour remplacer (1), ou bien on pourrait utiliser la seule équation :

vx = vy

  • 21 Id., p. 22-23.

46en assignant à vx l’interprétation Quelques Xs, et à vy l’interprétation, Quelques Ys. Mais on observera que ce système n’exprime pas tout à fait autant de choses que l’équation unique (1), dont il est dérivé. Tous les deux expriment certes la Proposition, Quelques Xs sont Ys, mais le système (4) n’implique pas que la classe V inclut tous les termes qui sont communs à X et Y21. »

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  • 22 Id., p. 31.
  • 23 Id., p. 28.
  • 24 Id., p. 22.

47Ces premières manipulations nous donnent déjà une idée de la manière dont Boole va poursuivre son calcul logique. Nous l’avons vu poser dès le départ, comme si cela allait de soi, des équations. Tout en devenant son centre d’intérêt exclusif, celles-ci vont être envisagées à un point de vue différent. La considération des opérations de sélection qui avait permis de les introduire va faire place à celle des propositions. Une proposition concernant les classes X et Y est en effet une équation entre les symboles x et y22. Le problème fondamental consistant dans la « transformation des propositions »23, on le résoudra en « déduisant des équations24 » à partir d’autres équations. On voit ainsi à quoi se ramène l’« emploi de l’analyse pour la déduction de l’inférence logique » : il s’agit de mettre sur pied une théorie des équations logiques.

48Pour commencer par l’inférence « immédiate », il ne sera pas difficile d’en retrouver les règles traditionnelles, en lisant simplement sous d’autres formes les propositions A, E, I, 0. Ainsi les formes sous lesquelles nous avons exprimé plus haut E et I sont symétriques eu égard à x et y : nous pouvons donc changer x en y et y en x sans que l’équation correspondante en soit modifiée. E et I peuvent donc s’interpréter respectivement comme :

Aucun Y n’est X

Quelques Ys sont Xs

49Ce qui revient à dire que E et I admettent la conversion simple. Pour montrer maintenant que A, par exemple, admet la conversion par contraposition, c’est-à-dire qu’on peut passer de :

Tous les Xs sont Ys

à :

Tous les non-Ys sont non-Xs,

on dira que :

x (1 – y) = 0

peut s’écrire :

(1 – y) [1 – (1 – x)] = 0,

ce qui est précisément la forme qu’on aurait obtenue, si dans :

x (1 – y) = 0

on avait substitué (1 – y) à x et (1 – x) à y.

50Abordons maintenant le syllogisme. « L’équation par laquelle nous exprimons toute Proposition concernant les classes X et Y, est une équation entre les symboles x et y, et l’équation par laquelle nous exprimons toute Proposition concernant les classes Y et Z, est une équation entre les symboles y et z. Si de deux telles équations nous éliminons y, le résultat, s’il ne s’évanouit pas, sera une équation entre x et z, et pourra être interprété comme étant une Proposition concernant les classes X et Z. Et il constituera ainsi le troisième membre, ou Conclusion d’un Syllogisme dont les deux Propositions données sont les prémisses.

51Le résultat de l’élimination de y des équations :

ay + b = 0

a’y + b’ = 0

est l’équation :

ab’ – a’b = 0

  • 25 Id., p. 31-32.

52Or les équations de Propositions étant du premier ordre relativement à chacune des variables qui y interviennent, tous les cas d’élimination que nous aurons à considérer seront réductibles au cas précédent, les constantes a, b, a’, b’ étant remplacées par des fonctions de x, z et du symbole auxiliaire v »25.

53Soit un syllogisme en Barbara :

Tous les Ys sont Xs y (1 – x) = 0 ou (1 – x) y = 0

Tous les Zs sont Ys z (1 – y) = 0 ou zy – z = 0

54En éliminant Y, nous avons :

z (1 – x) = 0

Tous les Zs sont Xs

55Prenons un autre exemple qui nous permettra de revenir sur l’embarras qu’éprouve Boole à manipuler le symbole auxiliaire v. Soient les prémisses :

Tous les Ys sont Xs y (1 – x) = 0

Il n’y a pas de Zs qui soient Ys zy = 0

56La solution la plus générale de l’équation :

y (1 – x) = 0

est :

y = vx (a)

qui implique que Tous les Ys sont Xs, et que Quelques Xs sont Ys. En substituant cette valeur de y dans :

0 = zy

57nous obtenons :

0 = vzx

Quelques Xs sont non-Zs.

  • 26 Id., p. 35.
  • 27 C’est le lieu de se souvenir, que « l’absence de véritables quantificateurs (au sens moderne) jusqu (...)

58« La raison pour laquelle nous ne pouvons interpréter vzx = 0 en disant « Quelques Zs sont non-Xs », est que l’interprétation de vx est fixée par les termes mêmes de l’équation (a), comme étant Quelques Xs ; v est considéré comme représentatif de Quelques seulement eu égard à la classe X26. » Boole oscille ainsi entre la première signification qu’il avait donnée à v, signification claire mais sans fécondité pour son calcul, et la tentation de donner à l’expression « Quelques » une « représentation » indépendante des termes sur lesquels elle porte27.

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  • 28 Cf. id., p. 7-8 : « Le but de ces recherches s’était limité en premier lieu à l’expression de la lo (...)

59Là et ailleurs Boole commet certes des maladresses, mais il serait peu opportun de ne voir qu’elles et de laisser échapper l’essentiel. Car, sans exagérer, il vient de se produire ici un événement décisif, dont, malgré toutes ses précautions oratoires, Boole lui-même cache mal qu’il en a tiré une grande fierté. Il se donnait la peine de suivre tant bien que mal les articulations de l’exposé traditionnel et, alors même qu’il touche au but et qu’il rend ses devoirs au syllogisme, il voit s’ouvrir devant lui de bien plus larges perspectives. Ce qu’il pouvait et devait attendre de l’analyse mathématique de la logique c’était qu’elle concorde avec les données immuables du savoir aristotélicien. Or, à peine, a-t-il pu constater qu’elle réussissait en effet assez bien à exprimer l’essentiel de ce savoir que l’instrument forgé à cet effet dépasse son but premier : d’instrument d’expression, il devient guide critique. Une fois le syllogisme conçu comme un système de deux équations, tout invite à se placer résolument à un point de vue « purement mathématique » à négliger les classifications traditionnelles au profit de critères mathématiques plus clairs et plus systématiques. Mais alors la situation se renverse : la logique était un modèle à respecter, la voici jugée au nom de la nouvelle méthode28.

60Sur deux points, les canons aristotéliciens se voient taxés d’arbitraire. En premier lieu, on a attaché bien en vain une importance considérable à l’ordre dans lequel se trouvent disposées les prémisses d’un syllogisme et on a disputé sur l’importance relative du terme mineur et du terme majeur. Or, tout ceci est question de convention et de convenance. Qu’on dispose les équations qui expriment les prémisses dans tel ou tel ordre cela ne concerne en rien leur résolution. En second lieu, les canons aristotéliciens rejettent comme « non formelles » certaines conclusions, ainsi celles qui ont la forme :

Quelques non-Xs sont non-Ys

qui, exprimées en symboles électifs, ne présentent aucun caractère distinctif qui puisse motiver un tel rejet.

  • 29 Id., p. 34.
  • 30 Id., p. 8.

61Si l’on tient à sacrifier à la tradition, on pourra admettre ces interdits : « En restreignant le canon de l’interprétation, nous pouvons confiner nos résultats à l’intérieur des limites de la logique scolastique suivant qu’ils sont exprimés de telle ou telle manière ; mais cela aurait pour seule conséquence de nous restreindre nous mêmes à n’utiliser qu’une partie des conclusions auxquelles notre analyse nous donne droit »29. Boole rejette évidemment pour sa part une telle éventualité : il faut aller au contraire le plus loin possible dans la voie de la généralité. Il y avait d’ailleurs dans sa méthode de quoi l’inviter, et jusqu’à le contraindre à dépasser, non pas seulement les limitations internes de la syllogistique, mais la syllogistique elle-même. Un système de deux équations à une inconnue, ce n’est là qu’un cas particulier qui conduit naturellement à se proposer comme objet, comme le fait Boole dans son dernier chapitre, le problème général où le nombre des équations et celui des variables ne sont pas limitées. À ce point, il devient absolument nécessaire « d’écarter toute considération de précédent ou d’autorité, et d’interroger la méthode elle même pour exprimer les justes limites de son application30 ».

Partie II1

  • 1 Mathématiques et sciences humaines, tome 16 (1966), p. 1-14.

62Boole avait rédigé en quelques semaines The Mathematical Analysis of Logic. Ce n’est qu’après plusieurs années de lectures étendues et de réflexions qu’il publia en 1854, An Investigation of the Laws of Thought on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Dans la seconde partie de cet ouvrage, dont nous n’allons pas parler ici, Boole envisage d’une manière très originale le calcul des probabilités auquel il consacra par ailleurs de nombreux articles : il montra que la doctrine générale et la méthode qu’il avait introduites en logique servent de fondement à une théorie et à une méthode correspondante dans le domaine des probabilités. Quant au système des lois logiques fondamentales, dont traite la première partie, il reste pour l’essentiel ce qu’il était dans l’exposé de 1847 ; mais il va apparaître sous un nouvel éclairage : les méthodes en seront présentées d’emblée dans toute leur généralité, les applications en seront plus étendues ; et, surtout, ce système va trouver ici son véritable fondement : dans les lois mêmes de la pensée dont il sera montré par ailleurs qu’il est l’expression la plus adéquate possible.

  • 31 Contrairement à l’opinion de Kneale & Kneale 1964, p. 406.

63N’y a-t-il en tout cela que gloses superflues ? Il ne nous semble pas31. Boole a tout de même abordé de front, ce faisant, des difficultés qui, pour avoir été tues, ou être même restées inaperçues dans son premier ouvrage, n’y étaient pas moins présentes. Il a essayé de rendre compte aussi lucidement, que possible du succès de son entreprise, et de ce qu’elle impliquait philosophiquement. Sans doute un créateur n’est-il pas nécessairement à même d’analyser les conditions véritables de son invention. Mais lorsqu’est en cause l’institution d’une nouvelle discipline scientifique, il ne se peut que l’acte créateur soit entièrement aveugle sur ce qui permit, motiva cette instauration, et en fit une instauration rationnelle. Il ne se peut, dans le cas de Boole, qu’il n’ait rien à nous apprendre, par ce qu’il nous en dit, lui même, sur les rapports nouveaux qu’il noua entre logique, mathématique, et langage.

64Aussi allons-nous l’interroger à ce sujet, tout en esquissant les grandes lignes de la méthode logique générale dont nous n’avons analysé dans The Mathematical Analysis of Logic que la genèse un peu tâtonnante. Nos interrogations s’inscriront cependant dans une perspective bien déterminée. Pour réussir, Boole devait rompre avec la logique traditionnelle mais rester pourtant assez proche d’elle, pour en rendre compte de manière satisfaisante. Il devait poursuivre aussi loin que possible le parallèle des méthodes algébriques et des méthodes logiques, mais savoir reconnaître les points où se manifestait l’originalité de l’univers logique. Bref, il lui fallait jouer très serré le jeu des analogies. C’est ce jeu très complexe, où Boole ne réussit qu’à demi, dont nous allons tenter de démêler les péripéties principales.

- A-

65Ces analogies ne sont pas conduites au hasard. Nous avons déjà entendu Boole se référer à une « doctrine générale des symboles ». Dans The Laws of Thought, il accuse encore davantage l’importance de cette doctrine, en tant qu’elle assigne ses règles et son but à la construction de la logique. Mais il précise mieux en même temps le statut particulier des symboles logiques, et les modes selon lesquels on accède à la connaissance de leurs lois.

– 1 –

66Curieuse situation que celle de la logique, science à construire conformément à une méthode générale admise au préalable. Boole jugera chacune des étapes de sa construction selon les critères de cette méthode ; retenons seulement ici le schéma, susceptible d’être esquissé a priori, de cette construction.

  • 32 Boole 1958, p. 11.
  • 33 Id., p. 10.

67L’exemple doit être cherché dans les mathématiques « qui sont les plus parfaits exemples de méthode connus32 ». La méthode commande tout d’abord de remonter aux éléments les plus simples : or, « le syllogisme, les lois de la conversion, etc. ne sont pas les procédés ultimes de la Logique33 ». D’entrée de jeu, prenant acte du résultat obtenu dans son premier ouvrage, Boole récuse ainsi avec assurance les prétentions de la logique aristotélicienne. Il faudra donc, en un premier temps, sans se soucier d’autre chose que de la fidélité de l’analyse, atteindre les opérations élémentaires, et formuler leurs lois.

  • 34 Id., p. 11.
  • 35 Id., p. 10.

68En second lieu, après qu’on ait, par exemple en arithmétique, défini les opérations élémentaires, il faut que la méthode assume sa plus haute fonction, qui est de diriger la succession de ces opérations : ce pour quoi on fonde un Calcul doté de procédés généraux. De ce point de vue, la logique traditionnelle a encore plus gravement failli à sa tâche34, puisqu’elle s’est contentée de règles très particulières. Contrairement à elle, il faut non seulement élaborer un calcul, mais viser d’emblée à la plus grande généralité, et poser d’avance le problème général, résumant tous les problèmes particuliers possibles qu’aura à résoudre ce calcul : étant donné un ensemble de prémisses exprimant des relations qu’ont entre eux certains éléments, on demande que soit exprimée explicitement dans sa totalité la relation qui en résulte entre certains de ces éléments, quelles que soient les conditions imposées, et quelle que soit la forme où l’on demande que soit exprimée cette relation35.

  • 36 Ultérieurement, on pourra même se demander si elle répond à des exigences plus élevées, d’ordre est (...)
  • 37 Id., p. 154 ; cf. p. 5.

69Le but est fixé : la nouvelle science sera jugée selon qu’elle parvient à l’atteindre36 ; et il conviendra de toujours avoir devant l’esprit « le modèle d’une perfection idéale37 ».

70Si le calcul logique approche d’un tel modèle, nous aurons plus loin à le dire. Quant aux lois des opérations élémentaires, Boole dissocie très nettement dans The Laws of Thought les deux aspects sous lesquels on peut les envisager : soit comme lois du langage, soit comme lois de la pensée.

– 2 –

  • 38 Boole 1847, p. 5.
  • 39 Id., p. 81.
  • 40 Boole 1958, p. 24.
  • 41 Ibid.

71« Ce qui rend la Logique possible, c’est l’existence dans nos esprits de notions générales, – notre capacité de concevoir une classe, et de désigner ses membres individuels par un nom commun. La théorie de la Logique est ainsi intimement liée à celle du Langage38. » Boole était revenu dans un postscript sur cette déclaration qu’il avait faite dans l’introduction à The Mathematical Analysis of Logic : « Le Langage est un instrument de la Logique mais non un instrument indispensable39. » Est-ce à dire que Boole va se désintéresser complètement du Langage pour ne s’attacher qu’aux « notions générales » que nous avons dans l’esprit ? Il n’en est rien. Il soutient simplement que, du point de vue où il s’est placé, il n’a pas à répondre à la célèbre question de savoir si le langage doit ou non être considéré comme un instrument essentiel du raisonnement40. Il s’en tient au fait que le langage sert d’instrument au raisonnement humain. Le langage étant ainsi considéré comme un système répondant à une fin déterminée, on peut s’interroger sur les éléments de ce système, sur leurs relations, et sur leur contribution au fonctionnement du système41.

  • 42 Id., p. 6.
  • 43 À ce genre de protestations, Boole répond par un argument de fait. Ce n’est pas fantaisie de mathém (...)

72Il s’agit bien sûr du langage naturel, du langage de tous les jours, à l’égard duquel Boole va adopter une attitude originale. Sans doute les logiciens avaient-ils analysé avant lui le langage à l’aide de catégories logiques. Sans doute, sur un point capital, Boole ne fait-il que reprendre une position traditionnelle : le type fondamental de proposition est la proposition attributive où un sujet et un prédicat sont reliés par le verbe être sous la forme « est », ou « sont » ; tous les autres verbes peuvent être analysés de manière à réduire toute proposition à la forme attributive. En revanche, reconstruire le Langage comme un système de signes, c’était là une tâche d’un style nouveau. Reconstruire : Boole se livre à une classification des mots en trois classes ; mais il ne retient dans le langage que les éléments qui entrent dans les opérations du raisonnement et il se propose d’aboutir à une classification suffisante pour rendre compte ensuite entièrement de la fonction que remplit le langage en tant qu’instrument du raisonnement. Montrer en second lieu qu’il est légitime de traduire les mots par des signes, c’était assurer doublement la possibilité et le succès d’une logique symbolique : par la simple description de phénomènes linguistiques, par le biais donc d’une observation empirique, on pourra accéder aux lois des symboles logiques (il faut bien que ces lois se manifestent dans les raisonnements conduits avec le secours du Langage) ; et si Le langage se prête ainsi, sans artifice, à être transposé en symboles42, on coupera court à toutes les protestations hostiles à la présentation d’une Logique sous forme de calcul43. Système enfin : ce qui compte avant tout dans la classification des signes du langage, ce sont les « lois formelles » de combinaison de ces signes ; ce système pourra donc alors être considéré en lui-même, indépendamment de sa relation avec des phénomènes linguistiques, et pourra être comparé avec d’autres systèmes.

73Le projet était ambitieux, les intentions multiples ; et, à parler sans trop de précision, on pourrait dire que Boole se proposait de formaliser ce qui, dans le langage naturel, permet de conduire des raisonnements valides.

74On ne s’étonnera pas si, dans la réalisation effective de son projet, Boole retrouve les lois qu’il avait dégagées dans The Mathematical Analysis of Logic. Aussi ne ferons-nous que les énumérer rapidement.

  • 44 Bien que ce mot ne soit pas très familier en français dans le vocabulaire de la logique et de la ps (...)

75« Les symboles littéraux x, y, … représentent des choses en tant qu’objets de nos conceptions44.

  • 45 Id., p. 27.

76Les signes d’opérations comme +, −, x, tiennent place de ces opérations de l’esprit par lesquelles les conceptions des choses sont combinées ou réduites de manière à former de nouvelles conceptions comprenant les mêmes éléments45. »

77Le signe = exprimera la relation d’égalité entre les éléments qu’il relie, et toute proposition sera exprimée par une équation.

78Ceci dit, les signes du langage se placent sous trois rubriques.

79Première classe : les signes appellatifs ou descriptifs, exprimant soit le nom d’une chose, soit quelque qualité ou détail qui lui appartient.

80Sont compris dans cette classe les adjectifs et les substantifs. (Un adjectif auquel on rattache le substantif universellement sous-entendu « être » ou « chose » devient virtuellement un substantif.)

81Représentons par x la classe des individus auxquels est applicable un nom particulier, ou une description particulière : xy représentera la classe des choses auxquelles sont simultanément applicables les noms ou descriptions représentées par x, y, etc.

82L’interprétation linguistique des symboles x, y permet de poser les lois :

xy = yx

x2 = x

83Deuxième classe : les signes de ces opérations mentales par lesquelles nous assemblons des parties en un tout, ou séparons un tout en ses parties.

  • 46 Id., p. 33.

84Lorsque nous formons le concept d’un groupe d’objets consistant en groupes partiels, chacun de ceux-ci étant décrit et nommé séparément, nous utilisons pour exprimer ce concept les conjonctions « et », « ou ». Boole estime – nous aurons à y revenir – que, prises au sens strict, ces dernières impliquent que les termes qu’elles relient désignent « des classes tout à fait distinctes, de sorte qu’on ne trouve aucun membre de l’une dans l’autre46 ». Sous cette hypothèse, ces conjonctions sont analogues à tous égards au signe « + » utilisé en algèbre, et nous avons les lois :

x+y=y+x

z (x + y) = zx + zy

  • 47 Ibid.

85L’« opération positive » consistant à rassembler les parties d’un tout nous suggère l’idée d’« une opération opposée ou négative ayant pour effet de défaire ce que la première avait fait. Ainsi, nous ne pouvons concevoir qu’il soit possible de rassembler des parties en un tout sans concevoir qu’il soit possible de séparer une partie47 ». Boole nous donne bien le mot du langage courant qui exprime une telle opération : le mot « excepté », mais il est patent que l’analyse des opérations, l’emporte ici de loin sur l’analyse linguistique ; et que Boole désire avant tout mettre en lumière ce qui lui paraît être une dualité fondamentale entre une opération « positive » et une opération « négative ». Celle-ci sera exprimée par le signe « − », et lorsqu’on dit « Tous les hommes, excepté les Asiatiques », cela implique que la classe des Asiatiques est contenue dans celle des hommes.

86Avec la convention qu’il avait adoptée de prendre le « ou » au sens exclusif, Boole pouvait passer légitimement de :

x=y+z

à :

z = x – y

et c’est précisément pour assurer la légitimité de ce passage qu’il a sans doute opté pour le « ou » exclusif.

87« Nous avons, comme dans l’algèbre commune,

  • 48 Id., p. 34. G. Boole justifie cette identité en disant que, eu égard à tous les buts essentiels du (...)

x – y = – y + x »48

et

z (x – y) = zx – zy

88Troisième classe : les signes par lesquels est exprimée la relation, et à l’aide desquels nous formons des propositions. Il s’agit, nous l’avons vu, de tous les verbes dans lesquels on retrouve toujours présent, la copule « est ». Celle-ci est représentée par le signe « = », destiné à signifier que deux classes ont les mêmes membres.

  • 49 Boole 1958, p. 160. Cf. p. 7 et chap. 11 et 12. Il nous faut dire, puisque nous n’en parlerons pas (...)

89Ce que nous avons dit jusqu’ici ne concerne à vrai dire que les propositions « primaires », propositions de type attributif, qui énoncent des relations entre des choses. Boole appelle « propositions secondaires » les propositions qui « concernent ou relient entre elles des propositions considérées comme vraies ou fausses49 ». Exemples :

« Il est vrai que le soleil brille. »
« Il n’est pas vrai que les planètes brillent par leur propre lumière. » « Si le soleil brille, la journée sera belle. »
« Ou le soleil brillera, ou le voyage sera remis. »

  • 50 Auxquels G. Boole aurait dû ajouter les expressions : « il est vrai que... », et « il n’est pas vra (...)

90Aux trois classes de signes énumérées plus haut, il faut donc ajouter les termes50 « si » et « ou » (ce « ou » exprimant la disjonction entre propositions) ; la théorie des propositions secondaires va se révéler étroitement analogue à la théorie des propositions primaires. Une fois cette théorie élaborée, nous pourrons dire que nous avons abouti à une classification complète des « parties constituantes » du langage ordinaire et que nous avons mis au jour les lois fondamentales auxquelles obéissent celles-ci.

– 3 –

  • 51 Boole 1958, p. 2 et p. 10.
  • 52 Id., p. 3.

91Ainsi qu’on le verra plus loin, ces lois peuvent se développer en un calcul. Mais un tel calcul desservira surtout les fins de la logique pratique51. Mais la logique a aussi une fin spéculative : elle nous apporte des lumières sur les différentes facultés de l’esprit, sur leurs opérations et sur leurs rapports. Elle peut nous révéler « les lois secrètes et les relations de ces hautes facultés de la pensée grâce auxquelles est atteint ou développé tout ce qui dépasse la connaissance simplement perceptive52 ». Elle peut ainsi ouvrir la voie à une enquête sur les lois de la pensée.

  • 53 Id., p. 39.
  • 54 Ibid.
  • 55 Id., p. 40.

92Qu’on prenne garde aux méprises que peut entraîner une telle expression. On aura vite fait de parler d’idéalisme ou de psychologisme. Or il n’est nullement dans les intentions de Boole d’emprunter à la métaphysique des lois fondamentales pour bâtir sur elles la logique, ni non plus de faire dériver celle-ci de quelque déduction transcendantale. Il n’est pas plus question pour lui de s’attacher exclusivement à la description, issue de l’introspection, des lois du déroulement des états de conscience. Boole veut mener son enquête en dehors des querelles métaphysiques sur la nature des facultés de l’esprit. Non pas qu’il soit, selon certaine tradition de l’empirisme anglais, hostile par principe à toute spéculation métaphysique : il ne s’interdira pas de méditer sur la signification du dualisme, et de reprendre à sa manière l’antique problème de l’Un et du Multiple. Mais la métaphysique a son temps, qui vient après celui de la science. Or, « l’objet proprement dit d’une science consiste dans la connaissance des lois et des relations53 » ; et de même que les conclusions de l’astronomie physique ne dépendent nullement des thèses philosophiques favorables à telle ou telle théorie de la causalité, cette connaissance ne doit être subordonnée à aucun présupposé métaphysique. Boole ajoute toutefois à cet interdit de style positiviste une clause originale qui lui est inspirée par l’idée qu’il se fait d’un système de lois formelles : ce qui est scientifiquement vrai dans un tel système, c’est ce qui demeure vrai, quelle que soit l’interprétation métaphysique qu’on en donne ; c’est en quelque sorte l’invariant que n’affectent pas les variations métaphysiques auxquelles on se livre sur ce système. Tel est le principe qu’il faudra appliquer, en particulier, à l’étude des lois de la pensée : sera seulement jugé comme fruit d’une observation véritable, « l’élément de vérité scientifique » qu’aucune hypothèse ou critique métaphysiques ne pourra remettre en question54. Qu’on aille jusqu’à accorder au scepticisme le plus raffiné que l’esprit n’est rien d’autre qu’une suite d’impressions fugitives, les résultats auxquels a conduit l’observation devraient encore, en tant que lois de succession de ces impressions, demeurer tout aussi vrais55.

  • 56 Id., p. 3.
  • 57 Id., p. 40.
  • 58 Id., p. 41.
  • 59 Id., p. 45.

93Si de tels résultats sont « positifs », c’est qu’ils nous mettent en face de faits incontestables : une fois qu’on a constaté que les lois de la pensée sont telles et telles, le problème de savoir si les opérations de l’esprit sont en un sens réel soumis à des lois, et si, par conséquent, une science de l’esprit est possible, apparaît bien vain56. Mais si de telles lois demeurent inchangées à travers les différentes traductions qu’on peut en donner selon le vocabulaire particulier de chaque théorie métaphysique possible57, c’est que ces lois sont des relations dont la vérité ne dépend pas du contenu métaphysique qu’on assigne aux éléments qu’elles relient. On continuera à parler, à l’occasion, des « facultés de l’esprit », mais ce sera sans accorder par là que l’esprit possède tels et tels pouvoirs ou facultés comme éléments distincts de son activité. Et Boole préfère pour les désigner le terme beaucoup plus neutre d’« Opérations de l’esprit humain58 ». Ce qu’il importe d’atteindre, c’est le système selon lequel s’organise l’exercice de ces facultés ; système formel, si l’on entend par là qu’on écarte toute considération touchant à la nature de ces facultés, et qu’on en cherchera la formulation rigoureuse dans le langage symbolique. Pour généraliser une expression que Boole utilise en passant59, la science des lois de la pensée a pour objet le système formel des conditions générales d’exercice des facultés de l’esprit.

  • 60 Id., cf. préface.
  • 61 Id., p. 45.
  • 62 Id., p. 66.
  • 63 Id., p. 49.

94Quel sera le rapport de cette science avec la logique ? On a l’impression que Boole conçoit par moments celle-ci (plus précisément la logique symbolique qu’il est en train de constituer) comme l’instrument60 qui dote l’enquête sur les lois de la pensée de procédés plus raffinés et plus féconds que ceux d’une réflexion livrée à elle-même, et privée du secours des symboles. Mais, à d’autres moments, il dit trouver l’origine réelle61 d’une loi symbolique dans une loi de la pensée, et présente les lois de la pensée comme le fondement du système ou de la méthode de la Logique62. Cette ambiguïté ne vient pas d’une incertitude de pensée, mais de la manière très originale, pour son temps, dont Boole conçoit le rôle clé la formalisation ; rôle qui ne se borne pas à rendre plus rigoureuse l’expression de quelque chose qu’on connaît déjà : formaliser, cela peut permettre aussi de découvrir, de révéler les lois « secrètes » de la pensée, d’assigner l’ordre selon lequel elles dérivent les unes des autres, et de détruire par là les illusions auxquelles s’était laissée prendre toute la tradition philosophique63. Une fois ces lois ainsi mises en place, ce sont elles dont il faut chercher à quelles conditions d’exercice des facultés intellectuelles elles correspondent : ces conditions nous font accéder à la source réelle de ces lois, à une pensée opérante ; ces lois sont du même coup fondées, dans la mesure où elles s’identifient aux règles que suit cette pensée, lorsqu’elle s’exerce.

95Bref, Boole fait entièrement confiance au langage symbolique pour neutraliser les préjugés métaphysiques et des erreurs d’optique consacrées par la tradition : la cohérence propre du nouveau système, obtenue en imitant la méthode des mathématiques, atteste qu’on atteint un niveau de la pensée plus profond que celui que décrivait la logique de l’École. Puis, en un second temps, il suffit de lire sur les règles des symboles l’activité de pensée qui s’y inscrit en filigrane.

  • 64 Id., p. 42.
  • 65 « Les opérations par lesquelles l’esprit, dans l’exercice de son pouvoir d’imagination ou de concep (...)
  • 66 Id., p. 44.
  • 67 Id., p. 45.

96Il ne sera pas utile de nous attarder sur ce déchiffrement, car nous savons déjà par le début de The Mathematical Analysis of Logic que cette activité se présente essentiellement sous la forme d’opérations de sélection d’objets. Notons simplement qu’ici, Boole parle explicitement d’« univers du discours64 », qu’il insiste fortement sur ce qui nous avait semblé être l’originalité la plus grande de son analyse : des lois gouvernent déjà les combinaisons de concepts65. Enfin, il n’a pas de peine à montrer que les lois formelles des symboles logiques sort les mêmes qu’on les interprète, ou comme lois de la pensée, ou comme lois du langage. D’où une première application du principe selon lequel un même système de symboles peut avoir des interprétations distinctes. Possibilité, dont, comme nous avons tenté de le montrer, Boole a tiré parti, pour instituer un enrichissant va-et-vient entre système et interprétations. Par l’observation du langage, on peut dégager a posteriori66 les lois du système de symboles : puis ce système peut être réinterprété en termes d’opérations de pensée ; enfin on pourra dire que si les lois du langage sont les mêmes que celles de la pensée, c’est que, en fait, celles-ci viennent s’incarner dans le langage67.

– B –

97Se donnant maintenant pour tâche la constitution d’un calcul logique, Boole va tenter de donner de son « système de symboles logiques » une interprétation mathématique.

– 1 –

98Ici commence un chassé-croisé complexe entre Logique et Mathématiques, ou plutôt entre un système logique construit progressivement et ce que Boole appelle tantôt Arithmétique, tantôt Algèbre, tantôt Science du nombre. Boole s’interdit vigoureusement certaines analogies : il ne faut pas qu’interfèrent entre elles les interprétations des symboles propres à chaque système. Mais en fait cet interdit a une portée plus étroite que celle que nous serions enclins à lui accorder, et Boole – qui, ne l’oublions pas, constitue ici pièce à pièce le système logique – va non seulement prendre pour guide la science du nombre, mais la réintroduire en logique pour l’aider à résoudre ses problèmes.

99Voyons tout d’abord comment les symboles logiques se distinguent des symboles qu’utilise l’Algèbre communément reçue. Moment décisif dans l’invention de Boole qui, d’un même mouvement, va définir face à cette Algèbre, dite l’Algèbre, une Algèbre particulière, et va doter la Logique de son Algèbre : l’Algèbre de la Logique.

100Des lois dont nous savons déjà qu’elles sont celles des symboles logiques, nous pouvons tirer que si nous avons l’équation :

x = y

nous aurons aussi :

zx = zy

quelle que soit la classe représentée par z.

  • 68 Id., p. 36-37.

101Mais si nous nous avisons de vouloir procéder en sens inverse, c’est-à-dire de retrouver « l’axiome des algébristes selon lequel les deux côtés d’une équation peuvent être divisés par la même quantité », les ponts sont rompus : cet « axiome » n’est pas ici valable68. Supposons en effet que les membres d’une classe x qui possèdent une certaine propriété z soient identiques aux membres d’une classe y qui possèdent la même propriété z : il n’en résulte pas que les membres de la classe x, pris dans leur ensemble, soient identiques aux membres de la classe y.

102De l’équation :

zx = zy

on ne peut inférer que l’équation :

x=y

soit vraie.

  • 69 Id., p. 37.
  • 70 Ibid.

103Mais de cette analogie rompue va surgir une analogie nouvelle. Car, à parler précisément, si nous revenons à « l’axiome des algébristes » mentionné plus haut, nous nous apercevons qu’il se distingue des autres axiomes, en ce qu’il n’a pas leur généralité : « La déduction qui fait passer de l’équation x = y à l’équation zx = zy est valide seulement lorsqu’on sait que z n’est pas égal à 0. Si on suppose alors que la valeur z = 0 soit admissible dans le système algébrique, l’axiome énoncé ci-dessus cesse d’être applicable, et l’analogie présentée précédemment demeure au moins intacte »69. L’analogie demeure, mais il faut avouer qu’elle est bien boiteuse : d’un côté, l’« axiome » en question n’est jamais applicable ; de l’autre, on dira qu’il n’est pas applicable parce qu’il y a un cas où il ne s’applique pas. Aussi la comparaison tourne-t-elle court, et Boole y met-il un terme de manière embarrassée pour rétablir une comparaison sur un autre plan : « Cependant, ce n’est pas avec les symboles de quantité, considérés en général, qu’il est de quelque importance, sinon à titre de spéculation, de tracer de telles affinités70 ». Boole laisse l’impression que c’est pour une tout autre raison qu’il va limiter la comparaison aux symboles 0 et 1. On ne trahirait pas son mouvement de pensée en disant qu’il renverse en fait le sens de la comparaison précédente : au lieu de rapprocher les symboles logiques de tous les symboles qu’utilise l’algèbre, il isole au contraire parmi ceux-ci ceux qui vérifient les lois des symboles logiques.

104Quoiqu’il en soit, voici le texte capital où Boole va identifier les symboles ayant cette propriété particulière comme étant 0 et 1 :

« Nous avons vu que les symboles de la Logique sont sujets à la loi spéciale : x2 = x

  • 71 Id., p. 37-38.

105Or, parmi les symboles de Nombre, il en est deux, à savoir 0 et 1, qui sont sujets à la même loi formelle. Nous savons que 02 = 0, et que 12 = 1 ; et l’équation x2 = x, considérée comme algébrique, n’a pas d’autres racines que 0 et 1. Au lieu de chercher jusqu’à quel degré il y a concordance formelle entre les symboles de la Logique et les symboles de Nombre considérés en général, cela nous suggère plus directement de comparer les premiers aux symboles de quantité admettant seulement les valeurs 0 et 1. Imaginons alors une Algèbre dans laquelle les symboles x, y, z, etc. admettent indifféremment les valeurs 0 et 1, et ces valeurs seulement. Les lois, les axiomes, et les procédés, d’une telle Algèbre seront complètement identiques aux lois, aux axiomes, et aux procédés d’une Algèbre de la Logique. Seule les sépare une différence d’interprétation71 ».

106Pour le coup, après tant de tâtonnements et de demi-clartés voilà, pensera-t-on, une position ferme et lumineuse : Boole envisage bien ici une « Algèbre de Boole » et il fonde ce qu’il est classique maintenant d’appeler « l’Algèbre de la Logique ». En vérité, Boole lance des mots qui lui devront certes pour beaucoup le sens qu’ils prendront plus tard, mais force nous est, si nous voulons continuer à lire son œuvre, en acceptant ses détours, d’oublier ici ce sens ultérieur. Le chemin est encore long qui conduit Boole de l’algèbre envisagée ici à un calcul logique ayant à ses propres yeux la cohérence souhaitable.

  • 72 Id., p. 46.

107Et tout d’abord, il faut, conformément aux principes qu’il s’est donnés, justifier maintenant l’introduction des symboles 0 et 1 parmi les symboles logiques. En un premier temps, a été introduite l’idée d’une algèbre qui aurait les mêmes lois formelles que le système logique ; mais il est nécessaire en un second temps de « prouver que les symbo1es 0 et 1 ont place parmi les symboles de la logique et y sont susceptibles d’une interprétation72 ». Ici encore Boole défend qu’on appuie cette preuve sur une simple transposition d’un système dans l’autre : ce n’est pas parce qu’on emploie les mêmes symboles dans les deux systèmes qu’on sera fondé à dire que 0 et 1 auront un même sens en algèbre et en logique. Une telle transposition est impossible puisque nous avons affaire d’un côté à des relations numériques, et de l’autre à des conceptions de la pensée. Pourtant, comme cela lui était arrivé plus haut, c’est de l’algèbre que Boole cherche à apprendre « la valeur logique » des symboles 0 et 1.

  • 73 Ibid.
  • 74 Id., p. 47.

108La loi : x2 = x à laquelle sont soumis tous les symboles logiques est ce qui distingue les opérations de l’esprit en jeu dans le langage ordinaire et le raisonnement, des opérations où l’esprit traite de l’algèbre générale de la quantité73. Parmi les symboles de nombre, seuls 0 et 1 obéissent à cette loi. « Mais chacun de ces symboles est aussi soumis à une loi qui lui est particulière dans le système de la grandeur numérique, et ceci nous suggère de chercher quelles interprétations il faut donner des symboles littéraux de la Logique, afin que les mêmes lois formelles particulières soient également réalisées dans le système logique74. » Ces deux lois particulières sont :

0y = 0

1y = y

qui sont vraies toutes deux quel que soit le nombre y. Pour que ces conditions soient satisfaites en logique, nous dirons que le symbole 0 représente Rien, et que le symbole 1 représente l’Univers. La classe Rien est telle que, quelle que soit la classe y, les individus qui appartiennent à cette classe et à la classe Rien sont identiques à ceux qui sort compris dans la classe Rien : il n’y en a aucun. La classe Univers est telle qu’elle contient tous les individus qui sont membres de la classe y quelle que soit y.

– 2 –

109Maintenant que nous voilà au fait de la signification proprement logique des symboles « 0 » et « 1 », mettons provisoirement entre parenthèses les problèmes d’interprétation, et cherchons à connaître un peu mieux pour elles-mêmes les lois formelles des symboles astreints à ne prendre que les valeurs 0 ou 1. Pour cette partie de l’œuvre appelée à devenir durable, quelques indications suffirent ; mais il faudra au préalable, pour montrer en quel sens particulier Boole se posait le problème, préciser ses « définitions ».

110« Toute expression algébrique comprenant un symbole x est appelée une fonction de x, et peut être représentée sous la forme générale ƒ(x) […].

Ainsi la forme ƒ(x) pourrait représenter indifféremment l’une quelconque des fonctions suivantes :Image 10000000000000AC00000030B7FA713981F0BE26.jpg; et ƒ (x, y) pourrait représenter une des formesImage 10000000000000C40000003CADBA9FDEAF33FBE0.jpg

111[…] Toute fonction ƒ(x) où x est un symbole logique ou un symbole de quantité susceptible de prendre seulement les valeurs 0 et 1, est dite développée, lorsqu’elle est réduite à la forme

ax + b (1 – x)

  • 75 Id., p. 71-72.

112a, et b étant déterminés de manière à ce que le résultat soit équivalent à la fonction dont elle est dérivée75. »

113Ceci dit, on peut établir les propositions suivantes :

114• Toute fonction ƒ(x) où x est un symbole logique peut être développée sur la forme :

ƒ (1) x + ƒ (0) (1 − x)

115• De manière analogue :

ƒ (x, y) = ƒ (1, 1) xy + ƒ (1, 0) x (1 – y) + ƒ (0, 1) (1 – x) y + ƒ (0, 0) (1 – x) (1 – y)

116et ainsi de suite pour ƒ (x, y, z)…

117Les termes xy, x (1 – y)… et les termes analogues seront appelés les constituants du développement.

118• Tout constituant particulier t d’un développement satisfait la loi de dualité.

119Le produit de deux constituants quelconques d’un développement est égal à 0, et la somme de tous les constituants est égale à 1.

– 3 –

120Si nous revenons à la logique, il ne sera pas malaisé de traduire en termes d’opérations mentales le sens de ces propositions.

121Il est évident que les constituants d’un développement ont une forme indépendante de la fonction à développer. Prenons l’exemple simple où la fonction comporte les deux symboles x, y, eu égard auxquels le développement doit être effectué. Nous aurons les constituants suivants :

xy, x (1 − y), (1 − x) y, (1 − x) (1 − y)

  • 76 Id., p. 81.
  • 77 Ibid.

122Or, ces constituants représentent les quatre classes qu’on peut décrire en affirmant et en niant les propriétés exprimées par x et y. Ces classes sont distinctes les unes des autres : et, en second lieu, « ces classes prises ensemble forment l’univers, car il n’y a pas d’objet dans l’univers qui ne puisse être d’écrit par la présence ou l’absence d’une qualité donnée, et, chaque chose individuelle qui se trouve dans l’univers peut être rapportée à l’une ou à l’autre des quatre classes formées par la combinaison possible des deux classes données x et y, et de leurs contraires76 ». La remarque peut se généraliser, et l’on peut dire que les constituants du développement de toute fonction des symboles logiques x, y… sont interprétables et représentent les différentes divisions de l’univers du discours en classes distinctes, formées en affirmant et en niant de toutes les manières possibles les qualités dénotées par les symboles x, y77

  • 78 Id., p. 71.

123Cette analyse a porté, après coup, sur un résultat obtenu à l’aide des lois formelles des symboles, mais elle aurait pu également reposer sur « des raisons purement logiques », c’est-à-dire sur une description des opérations mentales engagées dans le problème suivant : supposons que nous considérions une classe quelconque de choses eu égard au fait que ces membres possèdent ou ne possèdent pas une certaine propriété x. Comme tout individu de la classe proposée possède ou ne possède pas la propriété en question, nous pouvons diviser notre classe en deux parties ; la première étant formée des individus qui possèdent la propriété x, la seconde des individus qui ne la possèdent pas. « La possibilité de diviser en pensée la classe entière en deux parties constituantes, précède toute connaissance, issue d’une autre source, que nous pourrions avoir de la manière dont est constituée cette classe ; connaissance qui peut seulement avoir pour effet de nous informer, plus ou moins précisément, à quelles conditions ultérieures sont soumises, et la partie de la classe qui possède la propriété donnée, et la partie qui ne la possède pas78. » Supposons maintenant que d’après une information de ce genre, nous sachions :

  • que les membres de la première partie, qui possèdent la propriété x, possèdent également la propriété u ;

  • que les membres de l’autre partie, qui ne possèdent pas la propriété x, possèdent par ailleurs la propriété v.

124La classe dans sa totalité sera représentée par :

uxv (1 − x)

  • 79 Ibid.

« qui peut être considérée comme une forme générale développée pour l’expression d’une classe quelconque d’objets considérée en rapport avec la possession ou le manque d’une propriété donnée x »79.

125Nous avons ainsi l’assurance de pouvoir toujours appliquer le procédé de développement à une fonction logique quelconque, et d’obtenir dans ce développement des constituants qui sont toujours interprétables. Et nous comprenons parfaitement pourquoi il en est ainsi : nous ne faisons qu’appliquer le procédé de dichotomie qui a sa source dans la loi fondamentale de la pensée :

x (1 – x) = 0

  • 80 Boole 1953, p. 241.

126Mais ce n’est là qu’un aspect du procédé de développement. Comme vient de nous le dire Boole, il faut distinguer d’une part, la possibilité toujours présente de diviser une classe ou l’univers du discours en 2, en 4…, et d’autre part, les informations que pourront nous donner des équations exprimant les relations qu’ont entre elles des classes données. Dans des textes manuscrits, Boole a mieux dégagé cette distinction, lorsqu’il a voulu approfondir la « philosophie du procédé de Développement »80. Prenons, par exemple. les deux conceptions « hommes » et « animaux rationnels » ; nous pouvons dire aussitôt :

127Les hommes sont ou des animaux rationnels

128ou rationnels mais non animaux

129ou non rationnels mais animaux

130ou non rationnels, non animaux.

  • 81 Id., p. 219.
  • 82 Ibid.
  • 83 Id., p. 242.

131Nous formulons ainsi une « proposition nécessaire » exprimant que tout individu humain appartient nécessairement à l’une des quatre classes qui forment le terme prédicat81. « Si nous introduisons une autre conception, nous aurons la possibilité de construire une proposition nécessaire comprenant 8 classes dans son terme prédicat, et ainsi de suite82 ». D’une manière générale, nous voici mis en présence des « formes nécessaires et a priori du jugement83 ». Boole s’approchait ainsi bien près de la notion de tautologie.

132Mais il ne s’est pas attardé à l’étude de ces propositions nécessaires. C’est que, sous la pression de l’enseignement traditionnel, il poursuit un but bien déterminé : tout raisonnement consistant à déduire une conclusion de prémisses données, sa préoccupation essentielle reste la solution de problèmes particuliers. Comme les prémisses sont exprimées par des équations, tout revient à résoudre des systèmes d’équations. Pour employer une expression de Boole, chaque prémisse apporte une « information » qui vient modifier, préciser les « propositions nécessaires ». Le problème fondamental de l’inférence logique consistera à rassembler de telles informations, ou à les exprimer sous d’autres formes. Et c’est ici qu’apparaît le second aspect du procédé de développement : ces informations sont exprimées par la manière dont les coefficients viennent modifier, dans le développement d’une fonction logique, les constituants. Et c’est ici par conséquent que surgit une grave difficulté : alors que les constituants sont formés de symboles logiques dont le sens est clair, les coefficients, par suite des conventions posées, peuvent prendre a priori toutes les valeurs des nombres fractionnaires. À s’en tenir aux seules « lois formelles » des symboles, on verra se constituer des expressions qui n’ont aucune signification logique visible.

Partie III

133Après avoir introduit l’idée d’une « Algèbre » à deux valeurs, dans laquelle sont vérifiées les lois logiques fondamentales, Boole rencontre des expressions qui n’ont aucune signification logique visible, des symboles « ininterprétables ».

– A –

134L’« Algèbre » à deux valeurs que Boole venait de découvrir se révèle ainsi insuffisante pour fonder la Logique des Classes. Cela ne laisse pas de surprendre. D’où vient que Boole ne soit pas allé au bout de son invention ? Sans imaginer, bien sûr, qu’il ait pu se livrer à une axiomatisation rigoureuse dont le temps n’était pas encore venu, il n’est pas invraisemblable d’avancer qu’il avait en mains suffisamment d’éléments pour créer d’emblée ce que sera la logique des classes chez Schröder. D’aucuns diront que, s’il ne l’a pas fait, c’est qu’il a commis des erreurs, ou pour le moins des maladresses. Il sera, et plus équitable, et plus exact, d’essayer de cerner les véritables obstacles de pensée qu’a dû affronter sa volonté de mathématisation : obstacles d’autant plus difficiles qu’ils venaient en partie de cette volonté même, de l’effort pour définir le système formé par les opérations logiques élémentaires et leurs inverses.

- 1-

a) L’addition

  • 84 Boole 1958, p. 33.
  • 85 Id.
  • 86 Id., p. 56.

135Lorsque Boole introduit le signe « + » pour représenter les conjonctions « et » et « ou » du langage courant, il semble solliciter abusivement le sens de ces dernières pour affirmer qu’elles sont « analogues au signe + en algèbre, et que leurs lois sont identiques84 ». Il affirme que ces mots, lorsqu’ils sont interposés entre les termes descriptifs de deux ou plusieurs classes, impliquent que ces classes sont tout à fait distinctes, de telle manière qu’aucun membre de l’une ne se trouve dans l’autre85. Mais reprenant plus loin cette question, il est beaucoup moins affirmatif : tel est selon lui, précise-t-il, le sens strict de ces conjonctions, mais il admet que les « jus et norma loquendi » semblent plutôt favorables à une interprétation opposée. On serait porté généralement à comprendre que l’expression « Ou les y’s ou les z’s » inclut les choses qui sont en même temps y’s et z’s, avec les choses qui sont seulement y’s ou qui sont seulement z’s86.

136Ainsi cette expression est ambiguë ; aussi exige-t-elle, selon le sens qu’on lui attribue, deux équivalents symboliques différents :

137• si nous voulons dire : « Les choses qui sont x’s mais non y’s, ou les choses qui sont y’s, mais non z’s », l’expression sera :

x (1 − y) + y (1 − x)

138• si nous voulons dire : « Les choses qui sont x’s, ou qui, si elles ne sont pas x’s, sont y’s », l’expression sera :

x + y (1 − x)

expression qui admet des choses qui sont en même temps des x’s et des y’s.

  • 87 Id.
  • 88 Id., p. 66-67.

139On peut ainsi, en décomposant une « expression disjonctive » en « éléments réellement séparés en pensée », respecter la définition donnée du signe « + »87. Mais qu’en sera-t-il, si comme c’est l’intention essentielle de Boole, on veut assurer que les règles de manipulation de ce signe soient les mêmes dans le calcul logique qu’en algèbre ? La double traduction précédente vient de mettre en lumière que les lois du procédé logique d’addition dépendent d’une condition d’interprétation qui risque de mettre en péril le projet d’un calcul logique. Car s’il est inévitable de maintenir cette condition particulière, la recherche d’une méthode générale semble condamnée. C’est en ces termes que se présente à Boole un choix fondamental dont l’issue commande à ses propres yeux le sort de toute sa méthode. On a décidé d’après l’examen de certains exemples, que l’expression x + y semble ininterprétable à moins que les choses représentées par x et y soient entièrement séparées, et les actes de conception par l’étude desquels ont été obtenues les autres opérations symboliques comportaient des conditions analogues : « La question se pose alors de savoir s’il est nécessaire de restreindre l’application de ces lois symboliques et de ces procédés par les mêmes conditions d’interprétabilité. Si une telle restriction est nécessaire, il est manifeste que sera impossible quoi que ce soit qui ressemble à une méthode générale en Logique. D’autre part, si une telle restriction ne s’impose pas sous quel angle allons nous considérer des procédés qui apparaissent ininterprétables dans cette sphère de pensée à laquelle on les destine à porter leur aide88 ? »

b) La division

140C’est à un même choix que Boole se voit contraint, pour des raisons en quelque sorte symétriques, à propos de la division.

141Le sens qu’il a donné à l’addition venait, avons-nous dit, de ce qu’il avait cru devoir poser comme étant représentée par le signe « − », l’opération inverse de l’addition. Il ne s’était pas préoccupé, dans son premier ouvrage, de poser un problème analogue à propos de l’opération « produit ». C’est par un scrupule de mathématicien désireux de systématiser le plus possible les lois symboliques élémentaires qu’il le pose clairement dans The Laws of Thought. Il faut d’autant plus dire de ce scrupule qu’il était louable que c’est en partie de lui que sont issus les aspects de l’œuvre de Boole qui paraîtront au lecteur moderne les plus bizarres et les plus caduques. Pour vouloir poser le signe « − », Boole tombait sur une expression « x + y » qui risque d’être ininterprétable ; ici, c’est en cherchant si la multiplication ne peut pas avoir d’inverse que Boole rencontre à nouveau, mais sous une forme bien plus énigmatique, une expression elle aussi ininterprétable.

142Rappelons que « l’axiome des algébristes selon lequel les deux côtés d’une équation peuvent être divisés par la même quantité » n’est plus valable pour les symboles logiques. De l’équation :

zx = zy

on ne peut inférer que l’équation :

x=y

  • 89 Id., p. 36.

soit vraie89.

143Donc si nous envisageons les symboles logiques comme des symboles soumis à des lois formelles, on voit qu’il n’existe pour eux aucun « équivalent formel » de l’« axiome » algébrique considéré.

144Cette absence semble devoir entraîner de graves conséquences pour le calcul logique qui va buter dès son point de départ sur un problème simple. Supposons qu’une proposition soit exprimée par l’équation :

x = yz

145On pourra se demander comment on peut déterminer z comme une fonction interprétable de x et de y. Or si nous obéissons à un réflexe qui vient de « l’algèbre communément reçue », nous écrirons :

  • 90 Id., p. 86-87.
  • 91 Id., p. 89.

146mais ce sera pour nous trouver devant une forme ininterprétable90. Nous pouvons sans doute exprimer ainsi la relation que nous cherchons, mais nous n’aurons pas le droit d’effectuer la division91.

  • 92 Id., p. 37.

147Ce désagrément est d’autant plus pénible qu’en cherchant à mimer ainsi le procédé de division algébrique, Boole voudrait traduire une « opération mentale » essentielle : l’abstraction92.

148Obstacles de pensée, avons nous dit, que ces difficultés. Sans doute Boole se serait-il épargné des soucis en optant pour le « ou non-exclusif », mais lui reprocher, comme certains, d’avoir commis une erreur en ne le faisant pas, serait injuste. Rétrospectivement, on peut dire qu’il a manqué son but : il n’a pas défini une véritable structure mathématique au sens moderne du mot. Mais son échec prouve peut-être que celle-ci était difficile à dégager d’emblée, et qu’en posant le problème comme il le posait, il était délicat de faire le partage entre analogies fécondes et analogies mal amorcées. N’oublions pas que c’est en réfléchissant sur les conditions de divisibilité que Boole en vient à envisager une

Image 100000000000005C00000033727466BF329E4A9A.jpg

149algèbre à deux valeurs... Il est heureux en tout cas que Boole rencontrant sur son chemin des expressions ininterprétables n’ait pas cru l’obstacle insurmontable : lui qui a vu dans la possibilité de s’accommoder de telles expressions le pivot de sa méthode, n’aurait pu songer, dans le cas contraire, à mettre sur pied un calcul logique.

– 2 –

150Première condition à remplir pour assurer cette possibilité : il faut montrer que toutes les formes d’équations auxquelles conduit le procédé de développement peuvent être interprétées d’un point de vue logique. Des trois formes suivantes, la troisième est la plus générale ; dans les deux premières les symboles logiques x, y… ne se trouvent pas sous forme fractionnaire.

Première forme93

  • 93 Id., p. 82-85.

151Soit l’équation logique V = 0 ; supposons que V ne comporte que deux symboles x, y. Représentons le développement de l’équation donnée par :

axy + bx (1 − y) + c (1 − x) y + d (1 − x) (1 − y) = 0

a, b, c, d sont des coefficients numériques déterminés.

152Supposons qu’un coefficient quelconque, par exemple a soit différent de 0. En multipliant chaque membre de l’équation par le constituant xy, on aura :

axy = 0

et donc :

xy=0

153Ce résultat, tout à fait indépendant de la nature des autres coefficients, peut être ainsi interprété : « Il n’existe aucun individu appartenant à la fois à la classe représentée par x, et à la classe représentée par y. »

154Mais si le coefficient a est égal à 0, le terme axy n’apparaît pas dans le développement, et l’équation xy = 0 ne peut donc être déduite.

155Par conséquent, on pourra donner de chaque terme du développement dont le coefficient est différent de 0, une interprétation analogue, et en rassemblant toutes les interprétations semblables, on aura « l’interprétation complète de l’équation V = 0 ».

156Soit, par exemple, une proposition représentée par :

xyz = 0

157Le développement du premier membre sera :

xyz + xy (1 − z) + x (1 − y) z + x (1 − y) (1 − z) − (1 − x) yz + 0 (1 − x) y (1 − z) + 0 (1 − x) (1 − y) z + 0 (1 − x) (1 − y) (1 − z)

158Les termes dont les coefficients sont différents de 0, nous donnent les équations suivantes :

xy (1−z) =0 , xz (1−y) =0

x (1 − y) (1 − z) = 0 , (1 − x) yz = 0

159On peut ainsi décomposer une proposition exprimée par V = 0 en ses « éléments séparés » qui sont autant d’équations exprimant chacune pour leur part que telle classe déterminée n’existe pas : aussi peut-on appeler la forme à laquelle on aboutit ainsi une Conjoint Denial, appellation que nous pourrions traduire par : conjonction de négations.

Deuxième forme94

  • 94 Id., p. 85-86.

160Elle peut être illustrée directement par l’analyse de l’exemple précédent.

161Puisque nous avons déduit de l’équation

xyz = 0

la négation conjointe de l’existence des classes représentées par certains constituants, il en résulte que les autres constituants représentent des classes qui réunies forment l’univers.

xyz + (1 − x) y (1 − z) + (1 − x) (1 − y) z + (1 − x) (1 − y) (1 − z) = 1

162Ce qui équivaut à affirmer que toutes les choses existantes appartiennent à l’une ou l’autre des classes représentées par chacun des constituants. Cette forme de conclusion peut être appelée affirmation disjonctive (Disjonctive Affirmation).

163Boole amorçait ainsi l’étude des formes dites actuellement « forme normale conjonctive » et « forme normale disjonctive » d’une « fonction de Boole » ; mais, dans sa perspective, ce n’étaient là que des formes particulières.

Troisième forme95

  • 95 Id., p. 86-90.

V=w

164V est une fonction des symboles logiques x, y, z, etc. ; w est un symbole logique quelconque.

165C’est ici que se poseront les difficultés les plus délicates d’interprétation ; cela n’a rien de surprenant, car une équation de cette forme se présentera dans des circonstances où nous avons vu plus haut que cessait l’analogie entre les symboles logiques et les symboles algébriques. Soit en effet une proposition qui est exprimée par l’équation :

x = yz

166Si nous cherchons à exprimer z comme fonction interprétable de x et y, nous pouvons tout d’abord, en considérant x, y, z comme des symboles numériques, déduire de l’équation donnée la relation

Image 100000000000006E00000048DE6C9784538106C3.jpg

167mais l’équation se trouve alors sous une forme ininterprétable. Disons plus exactement que nous ne savons pas l’interpréter sous cette forme. Mais n’y a-t-il pas moyen de trouver une autre forme qui admette une interprétation logique ?

168La même question se reposera si nous posons le problème général suivant :

169« Étant donné une équation logique quelconque liant les symboles x, y, z, w, on demande d’exprimer sous une forme interprétable la relation entre la classe représentée par w et les classes représentées par les autres symboles x, y, z, etc. »

170Nous pouvons toujours mettre l’équation donnée sous la forme :

E w + E’ (1 − w) = 0

171E, E’ étant des fonctions des symboles logiques autres que w.

E’ = (E’E) w

Image 100000000000008500000040744EDAF9928EA531.jpg

Si le numérateur et le dénominateur de la fractionImage 100000000000005000000039DABE7C5FB74AC20F.jpgont des termes communs en facteur, nous n’avons pas le droit de simplifier à moins qu’il ne s’agisse de symboles numériques, car, ainsi que nous l’avons vu, la règle de simplification admise par ceux-ci n’est pas valable pour les symboles logiques.

172Il ne reste qu’une voie pour résoudre le problème : développer l’expression. Mais ne risquons-nous pas alors de rencontrer une multitude de coefficients – rien moins que tous les nombres fractionnaires – qui nous créeront encore plus d’embarras ?

173La situation va cependant se simplifier considérablement : il va se trouver qu’il suffira de considérer les quatre cas suivants :

Image 100000000000006500000034423EE1D054354E1C.jpg

174Aussi la difficulté va-t-elle se ramener à chercher quelle interprétation on peut donner de ces coefficients lorsqu’on les rencontre dans le développement de :

Image 100000000000007200000038688E6B9529034305.jpg

1751er cas : « Soit le coefficient 1. Comme c’est là le symbole de l’univers et comme le produit de deux symboles de classe quelconques représente les individus qui se trouvent dans les deux classes, tout constituant qui a l’unité pour coefficient doit être inter prété sans limitation, c’est-à-dire qu’est concerné en ce cas l’ensemble de la classe qu’il représente. »

1762e cas : « Soit le coefficient 0. Comme en Logique, ainsi qu’en Arithmétique, c’est là le symbole de Rien, aucune partie de la classe représentée par le coefficient du constituant auquel il est préfixé ne doit être prise. »

3e cas : Supposons que le coefficient soitImage 100000000000001C0000002DC5C3A45F1A552434.jpg. Un exemple va nous montrer quelle est sa véritable signification.

177Considérons la proposition : « Les hommes non mortels n’existent pas » ; si nous représentons « hommes » par y et « êtres mortels » par x, elle est représentée par l’équation :

y (1 − x) = 0

178Quelle est la valeur de x ? Autrement dit, quelle est la définition des « êtres mortels » en termes d’« hommes » ?

179Nous avons :

yyx = 0 ou yx = y

180Nous n’avons pas le droit de diviser les deux membres de l’équation par y. Nous avons alors la ressource d’exprimer l’opération, et de développer le résultat par la méthode précédente.

Image 100000000000009B0000006E3843D9298F02532C.jpg

181Ceci implique que la classe des mortels est constituée :

  • par la classe comprenant tous les hommes,

  • avec en plus un restant d’êtres qui ne sont pas hommes.

Le rôle du coefficientImage 10000000000000260000003CA1C519E6B0BD36A5.jpgest donc d’indiquer qu’il faut prendre quelque chose dans la classe à laquelle il est préfixé ; mais ce « quelque chose » est indéterminé.

Car quel est ce reste des « non hommes » qui est impliqué par la prémisse ? Nous n’en savons rien, ce qui revient à dire qu’il peut correspondre à chacun des trois cas possibles : « que ces êtres non hommes soient tous les mortels, ou quelques uns d’entre eux, ou aucun d’entre eux, la vérité de la prémisse qui affirme virtuellement que tous les hommes sont mortels, en sera aussi peu affecté, et par conséquent, l’expressionImage 1000000000000032000000389ABD39B05FE63FBA.jpgindique ici qu’on doit prendre tous, quelques, ou aucun membres de la classe sur laquelle porte cette expression ».

Boole se satisfait de ce seul exemple (il affirme qu’il est généralisable), pour adopter une signification que suggérait une comparaison avec l’Arithmétique, oùImage 100000000000001F0000003BA283D7C6D9487EB3.jpgreprésente un nombre indéterminé : ici, ce symbole représentera une classe indéterminée. On pourra le remplacer par le symbole v, soumis à la loi fondamentale v (1 − v) = 0.

1824e cas : Le coefficient d’un constituant n’appartient à aucun des 3 cas précédents.

183Il s’agira donc d’un coefficient qui, n’étant égal ni à 0, ni à 1, n’obéit pas à la loi fondamentale :

a (1 − a) = 0

184Telle étant la caractéristique de ces coefficients, Boole en détermine la signification par le théorème suivant :

185« Si une fonction V, destinée à représenter une classe ou une collection quelconque d’objets, w, est développée, et si le coefficient numérique, a, d’un constituant quelconque se trouvant dans ce développement, ne vérifie pas la loi :

a (1 − a) = 0

alors le constituant en question doit être égalé à 0. »

Le 4e cas se présente usuellement sous la formeImage 100000000000001C0000002ACD06872F3682954C.jpg, et on écrira sous cette forme tous les coefficients différents de 0, 1,Image 100000000000001C0000002AF4AA07A51A41A9D1.jpg. Le sens de ces coefficients est qu’il faut, dans le développement de w, ne rien prendre des classes sur lesquelles ils portent, ou pour le dire autrement, égaler à 0 les constituants auxquels ils sont préfixés.

186Nous pouvons dès lors donner les Canons de l’interprétation. Par développement, on obtiendra une expression de la forme :

Image 10000000000000EC000000362CC03F63291F0037.jpg

et la solution du problème sera donnée par les deux équations suivantes :

w = A + v C

v est un symbole de classe indéterminée et :

D = 0

qui montre quelles relations ont entre eux, tout à fait indépendamment de w, les éléments du problème considéré.

  • 96 Remarquons que dans toute équation V = 0, où V consiste en une suite de symboles logiques ayant des (...)

187Ces canons permettent de résoudre le problème formulé a priori comme étant le problème le plus général de la logique, et ils le résolvent complètement puisque les deux équations finales fournissent sur la classe w toute l’« information » qui était contenue dans l’équation initiale. Par la suite, Boole systématise avec une grande habileté sa méthode, traite du problème de l’élimination de termes déterminés dans des équations données, de la solution de « systèmes de propositions », et donne des méthodes pour abréger les calculs96. Sa méthode, conclura-t-il, est par sa simplicité, sa beauté, proche de ce qu’on peut exiger d’une méthode parfaite.

188Et pourtant, au cœur de cette méthode, était « l’ininterprétable », dont Boole a senti qu’elle serait une notion difficile à faire admettre.

– B –

189Boole avait bien senti d’où pouvait venir l’attaque. Il a pressenti que son recours à des procédés ininterprétables heurterait les logiciens de profession accoutumés à professer que la logique, science de la pensée se pensant elle-même, de la pensée claire ayant la maîtrise lucide de toutes ses démarches, répugne à admettre des constructions symboliques qui, au sens propre, ne veulent rien dire.

  • 97 Id., p. 67.

190Boole reconnaît que dans « les applications ordinaires de la raison humaine », on ne rencontre pas d’opérations dont la signification et l’application ne soient pas visibles ; et pour la plupart des esprits, il ne suffit pas que prémisses et conclusions soient liées seulement par un raisonnement formel : chaque étape, chaque résultat intermédiaire doit être également intelligible. « Nombreux sont peut-être ceux qui seraient disposés à étendre le même principe à l’usage général du langage symbolique comme instrument du raisonnement97. » Car ces symboles dont vous avez établi les lois en examinant les seuls cas où leur interprétation soit possible, avez-vous le droit – demanderaient-ils à Boole – d’étendre leur application à d’autres cas où leur interprétation est impossible, ou douteuse ? Même si on la cantonne aux étapes intermédiaires de la démonstration, une telle application n’est-elle pas radicalement illégitime ?

  • 98 Id., p. 67-68.

191Boole pouvait en appeler au succès de sa méthode, puisqu’elle lui permettait de retrouver les résultats des syllogismes traditionnels ; mais il a voulu affronter l’objection dans toute sa force, et à une condamnation de principe, il répond par des « principes généraux liés à l’usage des méthodes symboliques ». On devine quel sera le style de sa réponse. C’est une exigence abusive de réclamer de la méthode symbolique une correspondance terme à terme entre chacune des manipulations qu’elle effectue et la compréhension pleine et entière de ce que signifie cette manipulation. « C’est un fait indubitable que, la validité d’une conclusion à laquelle conduit un procédé symbolique quelconque de raisonnement, ne dépend pas de notre aptitude à interpréter les résultats formels qui se sont présentés aux différentes étapes de la recherche98. » On pourrait dire que Boole est ici du côté de Leibniz défendant contre les exigences qu’avaient formulées Descartes, les droits et la fécondité des « pensées aveugles » ou de la « pensée sourde », qu’on rencontre « dans l’Algèbre où l’on pense aux symboles à la place des choses » : loin de ne vouloir admettre que les chaînes de raison où la pensée va d’intuition claire en intuition claire, il est légitime d’étendre par tous les moyens le champ de la connaissance symbolique. Les débats et les recherches que nous voyons se consacrer actuellement à la « pensée naturelle » permettraient également d’éclairer la situation de Boole ; on sait qu’il est des degrés différents d’adéquation entre les systèmes formels d’un côté, et la pensée naïve ou naturelle de l’autre. Boole juge suffisante l’adéquation entre son système et la manière ordinaire de raisonner, parce que les « lois de combinaison » de ses symboles reflètent bien les lois du langage ordinaire, et qu’aux conclusions des raisonnements menés à l’aide de ces symboles correspondent des résultats considérés comme vrais par qui use des procédés « ordinaires » : mais ce serait une condition trop contraignante d’imposer que ces derniers trouvent une traduction exacte dans les procédés symboliques.

  • 99 Boole 1953, p. 233.
  • 100 Id., p. 234.

192Boole menait ici le combat en faveur du formalisme, comme l’atteste encore mieux ce texte manuscrit, postérieur à 1855, où il aborde à nouveau ce qu’il considère comme étant « peut-être la question la plus profonde de la Philosophie de la Logique » : « Lorsque nous manions au moyen du langage les procédés de raisonnement, sommes nous tenus de conserver constamment présentes à l’esprit les conditions d’interprétabilité, et de n’employer par conséquent des formes qui imposent de telles conditions que lorsque ces conditions sont remplies ? La Logique a-t-elle nécessairement un caractère ostensif ? Ou bien ce qui, en Logique, gouverne entièrement la procédure intellectuelle, n’est ce pas ce pas quoi celle-ci est liée à des formes et à des lois abstraites ? Si ce dernier point de vue était adopté, la Logique devrait être décrit […] comme étant non une science ostensive, mais une science noétique »99. Boole soutient évidemment le second point de vue. Sa méthode remplace en effet « implicitement et d’une manière très remarquable cette considération directe des conditions d’interprétabilité que la vue ostensive du sujet rendrait nécessaire100. »

  • 101 [Le texte de la note manque. NDLR].
  • 102 [Le texte de la note manque. NDLR]

193Tout n’est pas dit pourtant même si on admet que cette science noétique est un substitut satisfaisant de la science ostensive, car il y a bien du mystère dans la notion d’« ininterprétable » : Boole avait plus à faire qu’à revendiquer le droit aux symboles ; défendre le formalisme en tant qu’il se définit par le fait de combiner les symboles sans avoir souci de leur signification est une chose ; introduire, dans un système, quitte à les faire disparaître au bout du compte, des symboles ininterprétables en est une autre. C’est très précisément ce dernier procédé que Boole se devait de prendre en charge comme un des « principes généraux liés à l’usage des méthodes symboliques ». Il n’y manque pas. Il affirme même qu’il suffit d’un seul exemple pour se convaincre de la validité de ce principe. Or quel est l’exemple qu’il va choisir pour l’illustrer ? « L’emploi du symbole ininterprétable √−1, dans les procédés intermédiaires de la trigonométrie, fournit une illustration de ce qui a été dit101. » Un texte manuscrit antérieur aux Laws of Thought laisse penser que cet exemple est tout autre chose qu’une illustration mentionnée au hasard, et qu’il a peut-être été pour Boole, à la fois le fil directeur et le modèle rassurant qui l’ont guidé dans une recherche à première vue hasardeuse : « Il faut observer que dans toute branche de l’analyse, les lois formelles de combinaison des symboles ont un domaine plus vaste que les lois de leur interprétation. En nous conformant strictement à ces lois, nous pouvons passer d’un résultat interprétable à un résultat ininterprétable, et repasser de ce dernier à un résultat interprétable. Ainsi, en trigonométrie, nous employons avec une sécurité parfaite, la forme √−̄1, représentation d’une opération tout à fait ininterprétable en arithmétique. Il m’apparaît que le fondement philosophique de cette application est le suivant : nous tirons les lois de nos symboles de l’examen des cas interprétables ; nous constituons un langage ou une notation, dont les symboles sont soumis à la seule restriction suivante : ils doivent obéir à ces lois, mais non à la restriction selon laquelle toute combinaison ainsi obtenue devrait être interprétable ; le procédé de raisonnement conduit à l’aide de ce langage général est formel, et dépend seulement des lois générales auxquels sont sujets les symboles utilisés ; toute interprétation que nous avons la possibilité d’assigner à un tel langage est particulière ; et la validité d’une conclusion dépend des deux conditions suivantes : tout d’abord, que l’interprétation soit compatible avec les lois formelles auxquelles sont soumis les symboles, et qu’ensuite, ces lois formelles n’aient jamais été violées au cours du raisonnement102. »

  • 103 Cf. Bachelard 1966. Nous devons à Mlle Suzanne Bachelard, ainsi que d’autres indications précieuses (...)

194À n’en pas douter, ce novateur dont d’autres textes rendent un son si moderne, s’en rapporte ici à cette philosophie des nombres imaginaires, qui tint si longtemps ces nombres pour vraiment « imaginaires », et ne leva la suspicion qui pesait sur eux que pour des raisons pragmatiques. Ininterprétables certes, mais d’un usage sans risque, et du plus grand profit. Et c’est alors même qu’en ce milieu du xixe siècle, ils cessaient d’être « ininterprétables » en recevant leur véritable légitimité mathématique, que Boole recourt à eux pour justifier l’usage de symboles ininterprétables en logique103.

195Son projet avait tiré sa source, et sa force de novation d’une mathématique de pointe, celle du groupe des Algébristes anglais ; il reflue en quelque sorte ici, signe certain de faiblesse, vers une mathématique déjà dépassée.

Conclusion

  • 104 Lewis 1918, p. 56.
  • 105 Feys 1955.
  • 106 Dummett 1959.

196La construction de Boole apparaît ainsi comme l’enchaînement hybride d’une idée forte, d’une analogie mal placée, et des efforts pour parer aux fâcheuses conséquences de celle-ci. L’idée forte, celle d’un « système formel de symboles », n’aboutit pas à une véritable structure mathématique au sens moderne du mot. D’où l’appareillage compliqué destiné à préserver les jeux des symboles ininterprétables. Cet appareillage devait s’écrouler, lorsque la structure que visait Boole fut mieux dégagée. Il conviendrait, et de voir comment cela se fit historiquement, et de porter, par ailleurs, sur le système de Boole, un jugement sérieusement motivé, à partir des exigences de la logique moderne. C. I. Lewis avait déjà demandé qu’on donne de ce système une axiomatisation satisfaisante104. Feys avait récemment pris la défense de Boole, jusqu’à légitimer l’usage des symboles « ininterprétables105 », mais ses arguments sont jugés inacceptables par Dummett qui précise quelles restrictions il faut imposer aux conventions de Boole pour qu’on puisse vraiment justifier ses procédés106.

197Nous avons tenté seulement, pour notre part, de rendre compte des démarches principales de Boole, en restant aussi près que possible de ses intentions déclarées. Démarches en zig-zag, pourrait-on dire, et qui déconcertent. C’est que Boole mêle constamment des tâches que nous sommes accoutumés à voir séparées. On reconnaîtra pourtant la subtilité avec laquelle il fait de la notion de « concordance formelle » une technique d’analyse féconde : elle le conduit non seulement à un calcul logique qui mathématise le raisonnement, mais aussi, selon nous, à viser une formalisation de la pensée et du langage. Ainsi traduite, sa conviction qu’il atteignait les lois secrètes de l’esprit, paraît moins venir d’une soumission regrettable de ce novateur à la philosophie ambiante que d’une grande confiance dans la puissance d’analyse et de découverte du nouvel organon logique. Une même confiance inspire aujourd’hui ceux qui tiennent la technique logistique pour un instrument indispensable de la psychologie et de la théorie de la connaissance.

  • 107 Boole 1953, p. 239. G. Boole renvoie à l’introduction de la Logique de Kant. Cf. E. Kant 1966, p. 2 (...)

198L’œuvre de Boole est peut-être moins profonde que solidement charpentée. De par la foule de problèmes que Boole n’a pas soupçonnés, à cause justement de la prétention qu’il eut d’apporter un calcul proche de la perfection, son œuvre peut paraître un peu courte à certains égards. Mais ce que nous pourrions tenir aujourd’hui en elle pour faiblesse fit, sur le moment, sa force. Pour contredire le mythe d’une Logique close dans sa perfection, il ne fallait pas moins qu’un nouveau système logique, parachevé selon une perfection d’un autre ordre. Simplement pour imposer l’idée que la logique symbolique était possible, il fallait qu’un tel système frappât les esprits par sa solidité. Or Boole en avait assez fait pour citer107 avec quelque ironie un arrêt de Kant : « depuis l’époque d’Aristote, la logique n’a guère gagné en contenu, et aussi bien sa nature le lui interdit ». Le mérite de Boole fut de montrer la marche en marchant ; et la Logique commença à marcher du même pas que les Mathématiques.

Bibliographie

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Notes

1 Boole 1859 ; Boole 1860.

2 Que nous citons dans la réédition donnée à Oxford, en 1951 (Boole 1847). Cet ouvrage est également accessible dans le recueil de textes de Boole intitulé Studies in Logic and Probability (Boole 1953), p. 45-124.

3 Que nous citons dans la réédition qu’en ont donnée, en insérant dans le texte toutes les corrections, les Dover Publications, (Boole 1958).

4 Le centenaire de sa mort est passé inaperçu en France. Depuis Les logiciens anglais contemporains de Liard (1878 !), on ne lui a guère consacré d’étude. G. Boole méritait mieux que « l’adaptation » que lui a infligée F. Gillot dans Algèbre et logique, d’après les textes originaux de G. Boole et W. S. Jevons… Non content d’imposer à G. Boole un « rewriting » bien superflu, F. Gillot truffe son adaptation de textes de son crû, sans que le lecteur en soit le moins du mondé informé (ainsi le § 2, p. 15), donne des traductions contestables (« fonction facultatives » pour « elective functions »), et chose plus grave, G. Boole se voit attribuer des affirmations qui prennent exactement le contre-pied de doctrines qui lui tenaient à cœur. (« Si donc nous pouvons établir une systématisation de caractère général, nous devons obligatoirement la faire reposer sur la notion de grandeur », Gillot 1962, p. 16).

5 Bourbaki 1960, p. 32.

6 Boole 1958, p. 12.

7 Bourbaki 1960, p. 33.

8 Id., p. 18.

9 Boole 1847, p. 3.

10 Id., p. 4.

11 Dans un de ses premiers articles (Boole 1844, p. 225) G. Boole cite une phrase où Gregory énonce le même principe fondamental : « Il y a, dans l’algèbre ordinaire, un certain nombre de théorèmes, dont apparemment, la vérité n’est prouvée que pour des symboles représentant des nombres, mais qui admettent une application beaucoup plus étendue. De tels théorèmes dépendent seulement des lois de combinaison auxquelles sont sujets les symboles, et sont donc vrais pour tous les symboles, quelle que puisse être leur nature, qui sont sujets aux mêmes lois de combinaison ».

12 Boole 1847, p. 13.

13 Id., p. 15.

14 Id., p. 16.

15 Id., p. 18, note *.

16 Id., p. 16-18.

17 Méritoire aussi de savoir les reconnaître et de les utiliser. « Notons en particulier que Boole utilise la distributivité de l’intersection par rapport à la réunion, qui paraît avoir été remarquée pour la première fois par J. Lambert », Bourbaki 1960, p. 18, note ***.

18 G. Boole parle d’« univers du discours » dans Boole 1958, p. 42. Une anecdote curieuse raconte que The Mathematical Analysis of Logic de G. Boole, et la Formal Logic d’A. de Morgan sortirent le même jour. Mais de Morgan avait soutenu des positions semblables dans un exposé lu en novembre 1846 devant la Cambridge Philosophical Society. (Cf. de Morgan 1846).

19 Boole 1958, p. 21.

20 Id., p. 22.

21 Id., p. 22-23.

22 Id., p. 31.

23 Id., p. 28.

24 Id., p. 22.

25 Id., p. 31-32.

26 Id., p. 35.

27 C’est le lieu de se souvenir, que « l’absence de véritables quantificateurs (au sens moderne) jusqu’à la fin du xixe siècle, a été une des causes de la stagnation de la Logique formelle », Bourbaki 1960, p. 14, note *.

28 Cf. id., p. 7-8 : « Le but de ces recherches s’était limité en premier lieu à l’expression de la logique reçue, et aux formes de la disposition aristotélicienne, mais il devint vite visible qu’on introduisait ainsi des distinctions purement arbitraires, et qui n’avaient pas de fondements dans la nature des choses. »

29 Id., p. 34.

30 Id., p. 8.

31 Contrairement à l’opinion de Kneale & Kneale 1964, p. 406.

32 Boole 1958, p. 11.

33 Id., p. 10.

34 Id., p. 11.

35 Id., p. 10.

36 Ultérieurement, on pourra même se demander si elle répond à des exigences plus élevées, d’ordre esthétique, et la juger sur sa beauté (Cf. id., p. 150).

37 Id., p. 154 ; cf. p. 5.

38 Boole 1847, p. 5.

39 Id., p. 81.

40 Boole 1958, p. 24.

41 Ibid.

42 Id., p. 6.

43 À ce genre de protestations, Boole répond par un argument de fait. Ce n’est pas fantaisie de mathématiciens si la logique devient un calcul. C’est que les lois de la pensée rendent effectivement possible ce mode d’exposition (ibid., p. 11).

44 Bien que ce mot ne soit pas très familier en français dans le vocabulaire de la logique et de la psychologie, nous retranscrivons par lui le mot anglais « conception » qui, dans l’esprit de G. Boole, a un sens fortement actif.

45 Id., p. 27.

46 Id., p. 33.

47 Ibid.

48 Id., p. 34. G. Boole justifie cette identité en disant que, eu égard à tous les buts essentiels du raisonnement, il est indifférent que, dans l’ordre du discours, nous exprimions les cas exceptés en premier ou en dernier. Selon C. I. Lewis, cette identité résulte d’une « convention arbitraire : la première moitié de l’expression donne le sens de la deuxième moitié ». Lewis 1918, p. 54.

49 Boole 1958, p. 160. Cf. p. 7 et chap. 11 et 12. Il nous faut dire, puisque nous n’en parlerons pas plus longuement ici, le très haut intérêt de la théorie des « propositions secondaires » : avec elle, G. Boole inaugure le calcul proportionnel au sens moderne du mot.

50 Auxquels G. Boole aurait dû ajouter les expressions : « il est vrai que... », et « il n’est pas vrai que... ».

51 Boole 1958, p. 2 et p. 10.

52 Id., p. 3.

53 Id., p. 39.

54 Ibid.

55 Id., p. 40.

56 Id., p. 3.

57 Id., p. 40.

58 Id., p. 41.

59 Id., p. 45.

60 Id., cf. préface.

61 Id., p. 45.

62 Id., p. 66.

63 Id., p. 49.

64 Id., p. 42.

65 « Les opérations par lesquelles l’esprit, dans l’exercice de son pouvoir d’imagination ou de conception, combine et modifie les idées simples de choses ou de qualités, sont soumises, non moins que ces opérations de la raison qui sont effectuées sur les vérités et les propositions, à des lois générales. » (Id., p. 45)

66 Id., p. 44.

67 Id., p. 45.

68 Id., p. 36-37.

69 Id., p. 37.

70 Ibid.

71 Id., p. 37-38.

72 Id., p. 46.

73 Ibid.

74 Id., p. 47.

75 Id., p. 71-72.

76 Id., p. 81.

77 Ibid.

78 Id., p. 71.

79 Ibid.

80 Boole 1953, p. 241.

81 Id., p. 219.

82 Ibid.

83 Id., p. 242.

84 Boole 1958, p. 33.

85 Id.

86 Id., p. 56.

87 Id.

88 Id., p. 66-67.

89 Id., p. 36.

90 Id., p. 86-87.

91 Id., p. 89.

92 Id., p. 37.

93 Id., p. 82-85.

94 Id., p. 85-86.

95 Id., p. 86-90.

96 Remarquons que dans toute équation V = 0, où V consiste en une suite de symboles logiques ayant des coefficients positifs, nous pouvons remplacer “x + xy” par “x”, et “2x” par “x” (id., p. 131.).

97 Id., p. 67.

98 Id., p. 67-68.

99 Boole 1953, p. 233.

100 Id., p. 234.

101 [Le texte de la note manque. NDLR].

102 [Le texte de la note manque. NDLR]

103 Cf. Bachelard 1966. Nous devons à Mlle Suzanne Bachelard, ainsi que d’autres indications précieuses, ces remarques.

104 Lewis 1918, p. 56.

105 Feys 1955.

106 Dummett 1959.

107 Boole 1953, p. 239. G. Boole renvoie à l’introduction de la Logique de Kant. Cf. E. Kant 1966, p. 20 ; Kant 1965, p. 15.

Notes de fin

1 Mathématiques et sciences humaines, tome 16 (1966), p. 1-14.

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