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Œuvres d’Ernest Coumet (T. 1)

Articles d’Ernest Coumet

Lewis Carroll logicien

Texte intégral

Postface de Lewis Carroll, Logique sans peine, édition en collaboration avec Jean Gattégno, illustrations de Max Ernst, Paris : Hermann, 1966. Nous remercions les éditions Hermann de nous avoir autorisés à publier ce texte.

  • 1 Arnauld et Nicole 1662, p. 3.

1Comme on vantait un jour devant lui une méthode permettant d’apprendre en quinze jours à répondre sur une partie de la logique, le grand Arnauld déclara qu’il ne lui en faudrait que quatre ou cinq pour enseigner au jeune duc de Chevreuse tout ce qu’il y avait d’utile dans la logique1. Ainsi naquit la célèbre Logique de Port-Royal. Elle se voulait « plus divertissante que le sont les logiques ordinaires ». C’est un souci semblable qui, deux siècles plus tard, incita Lewis Carroll à écrire The Game of Logic et Symbolic Logic. La logique traditionnelle avait encore en Angleterre suffisamment de servants pour que la lourde machinerie des syllogismes ait une allure toujours aussi rébarbative. Il lui parut que rien, sinon la pédanterie des professeurs, n’empêchait de présenter de manière moins ennuyeuse un savoir aussi précieux. Un jour, ayant sorti de sa poche un carton et des jetons, il en fit un jeu de dames.

2Le lecteur moderne sera d’emblée surpris ; quand un livre a pour titre : Logique symbolique, on s’attend à y trouver autre chose que des rubriques scolastiques : définition, espèce, différence… Il le sera d’autant plus qu’au moment où écrit Carroll les fondements de la logique moderne ont déjà été jetés et que bientôt paraîtront les Principia mathematica. Il serait vain de le nier, par son vocabulaire, par son projet même, qui est de rendre plus efficace et attrayante la syllogistique, il appartient à l’ère qu’on pourrait appeler pré-booléenne. Ainsi, sa méthode des indices ne fournit aucun procédé de calcul ; ses formules ont le même rôle que les règles des scolastiques ; son symbolisme est un élégant moyen mnémotechnique, il n’a pas de fonction opératoire.

3Pourtant, on risquerait de lui faire souffrir quelque injustice si, pour le juger, on en restait là. À s’en tenir trop aux grandes œuvres, on crée aisément des illusions de perspective. On l’oublie trop, ce qu’il y avait de plus neuf dans l’œuvre de Boole ne s’est pas imposé d’emblée. L’effet de surprise et même de scandale fut grand : n’avait-on pas osé appliquer le calcul aux lois de la pensée ? Mais bientôt, certains logiciens, tout en reconnaissant que ce coup de force avait permis de faire des découvertes importantes, eurent l’impression que l’apparat algébrique était tout à fait superflu, et qu’en améliorant le style de l’ancienne logique, on pouvait réduire considérablement l’intervention du symbolisme. Ce dernier n’en minait pas moins, comme de l’intérieur, la syllogistique, en suscitant des interrogations nouvelles et en ouvrant de nouvelles voies de recherche. Considérée sous ce jour, la méthode de Carroll comporte bien des éléments « modernes ».

  • 2 Euler 1843, lettre XXXV, p. 261.

4Il exprime lui-même vertement son hostilité contre un enseignement exagérément conservateur. Il se moque de ces traités qui dénombrent minutieusement dix-neuf formes de syllogismes valables et qui ne distinguent que deux formes de sorites. Il a eu le sentiment, qu’avait déjà parfaitement exprimé Euler, son illustre prédécesseur en cette voie, que toute cette armature de modes et de figures était bien inutile : « Ces figures rondes, ou plutôt ces espaces (car il n’importe quelle figure nous leur donnons) sont très propres à faciliter nos réflexions sur cette matière, et à nous découvrir tous les mystères dont on se vante dans la logique, et qu’on y démontre avec bien de la peine pendant que, par le moyen de ces figures, tout saute d’abord aux yeux2 ».

  • 3 Morgan 1847, p. 37.

5Grâce à son damier, Carroll dissipe à son tour quelques « mystères ». Ainsi, par exemple, il se gausse de ces logiciens qui, victimes d’une terreur puérile, se voilent la face devant les prédicats négatifs : il viendra, lui, au secours du prédicat sans défense auquel une abusive et avide copule arrache le « ne-pas » ! Générosité quelque peu intéressée, car en se faisant l’avocat de vues dont le principe remonte à de Morgan, il justifie et met en même temps en valeur la simplicité de ses diagrammes. Dans sa Formal Logic de 1847, de Morgan avait reproché à la logique classique d’accorder un privilège abusif aux termes « positifs3 ». Si la logique veut, comme elle le doit, approcher la perfection d’un langage idéal, elle doit éliminer des distinctions purement superficielles et qui n’ont rien à voir avec le processus effectif de la pensée. Dans les langues que nous parlons, il existe certes des couples tels que « parfait-imparfait », mais il arrive souvent que nous ne disposions que d’un terme « positif » tel qu’« arbre ». En fait, tout terme, quel qu’il soit divise en deux groupes la totalité des êtres réels ou imaginables. Tout terme ou tout nom a dans la pensée son contraire et la logique se doit de les exprimer explicitement tous les deux. Nous aurons ainsi des couples de termes du type : a, non-a, qui épuisent chacun la totalité des êtres. Dès lors, toute différence théorique s’efface entre les propositions affirmatives et négatives. Le malheureux prédicat est restauré dans ses droits, il peut s’adjoindre un « non ».

  • 4 Op. cit., p. 38.
  • 5 En réalité, c’est là chez Venn une négligence très calculée ; cf. Venn 1894, pp. 252-253.

6Il arrive souvent, dans le langage courant, que les paires de termes « contraires » n’aient qu’un sens relatif : alors qu’homme et non-homme représentent à eux deux l’univers entier, « Anglais » et « Étrangers » embrassent seulement l’ensemble des hommes. Pour exprimer ce fait, on dira que ces deux termes sont contraires relativement à cet univers limité. C’est ainsi que de Morgan introduisit une notion qui devait connaître une grande fortune, celle d’univers du discours4. Carroll semble avoir trouvé un charme particulier à cette possibilité d’« assigner à résidence », dans un petit carré, un univers. « Ah ! quel univers agréable qu’un univers de cakes ! » dit-il à ses petites élèves dans The Game of Logic. Il se vante même d’avoir été le premier à enfermer l’univers du discours dans un espace clos, alors que Venn aurait laissé vagabonder une des classes dans un espace indéfini5. On appréciera la minutie avec laquelle il précise, chaque fois qu’il traite un problème, fût-ce la résolution d’un syllogisme, l’univers du discours dans lequel il est posé.

7Une fois déterminé l’univers du discours, la donnée d’un terme permet de le diviser en deux, la donnée d’un nouveau terme nous fournit quatre subdivisions, et ainsi de suite. Supposez qu’on vous dise que telles et telles subdivisions sont ou non occupées ; disposez vos jetons en conséquence, et la conclusion d’un sorite compliqué pourra ainsi, pour parler comme Euler, « sauter aux yeux ». Le procédé est ingénieux, mais il ressemble trop à un jeu pour qu’on y voie autre chose qu’un nouvel habit pour les antiques syllogismes. En réalité, la manière de poser le problème diffère nettement des méthodes classiques et, à ce titre, l’ouvrage de Carroll n’usurpe pas son titre de Symbolic Logic. Ce titre, il est vrai, fait écho à celui d’un ouvrage beaucoup plus volumineux et plus riche de Venn ; et l’on doit à la vérité de dire que Carroll ne lui a pas emprunté que le titre… Cela nous assure en tout cas qu’il a entendu, quoique par des voies détournées, les leçons de Boole.

La méthode des diagrammes

  • 6 Venn 1894, p. 100.
  • 7 Id., p. 14.

8En dissociant le langage symbolique des notions de grandeur et de rapport numérique auxquelles il était associé par une tradition séculaire, en posant que les opérations de la pensée sont justiciables d’une formalisation, Boole a fondé la logique moderne. Mis en parallèle avec une telle révolution de pensée, le problème des diagrammes peut sembler assez futile. Il ne convient pas sans doute d’attacher une importance exagérée aux innovations de Venn et de Carroll qui, sur le plan mathématique, ne concernent qu’un problème mineur. Mais il est curieux de pouvoir lire dans la transformation apparemment insignifiante de quelques schémas une modification profonde de la pensée logique. On peut s’étonner avec Venn de la constance avec laquelle les logiciens ont copié les diagrammes eulériens sans s’interroger sur leur véritable signification6, Dans une analyse serrée, Venn confronte les différents types de propositions admis par la logique classique et les diagrammes par lesquels on les représente ; or, selon les cas, des diagrammes disent plus ou moins que ce qu’on voudrait leur faire dire ! Sa critique devient encore plus incisive quand il accuse Hamilton de s’être laissé prendre, dans sa théorie de la quantification du prédicat, à de « simples symétries verbales »7.

9Le mérite personnel de Venn est d’avoir vu dans les diagrammes autre chose qu’une illustration par à peu près : contre les « conceptualistes » comme Mansel, qui contestaient jusqu’à la possibilité de représenter des concepts par des figures spatiales, il pose au contraire en principe qu’il doit y avoir équivalence de structure entre les schémas et les relations exprimées verbalement par des propositions. Si de nombreux auteurs ont commis des bévues, c’est qu’ils n’ont pas analysé avec assez de soin la structure propre de leurs diagrammes : elle leur impose sans qu’ils s’en doutent de fausses interprétations. « Prenons des cercles pour figurer nos classes… » Quoi de plus simple ? Pourtant, ce choix implique à lui seul de nombreux présupposés. Veut-on autre chose qu’une imagerie plus ou moins suggestive ? On ne saurait analyser avec trop de scrupule de tels présupposés, ni préciser trop clairement l’usage qu’on entend faire de représentations graphiques. Mais cela fait, on se sera donné par là même une méthode qui sera à la fois intuitive et rigoureuse. C’est bien dans cet esprit que Carroll médita lui aussi pour parvenir ensuite, en maître avisé, à joindre, grâce à ce double avantage, l’utile à l’agréable.

  • 8 Id., p. 125.
  • 9 Id., p. 118.
  • 10 C’est seulement dans la seconde édition de sa Symbolic Logic que Venn mentionnera et utilisera lui- (...)
  • 11 Cf. Lewis 1960, p. 179-180, et Gardner 1964, p. 54-57.

10Le défaut principal qui interdit aux diagrammes eulériens de servir de fondement à une méthode générale, c’est, selon Venn, qu’ils visent à représenter d’emblée des « propositions », c’est-à-dire des énoncés affirmant, ou niant que telles ou telles classes ont entre elles telles ou telles relations. Cela va bien lorsque, comme le fait Euler, on assigne des « emblèmes » aux types les plus élémentaires de propositions. Cette belle simplicité souffre du fait que, pour certaines propositions plus complexes, on sera contraint de recourir à plusieurs schémas. Mais que le nombre de classes que fait intervenir un raisonnement augmente tant soit peu, l’embarras sera plus grave ; si, par d’autres voies, on est parvenu à connaître la conclusion, on pourra peut-être, en se donnant beaucoup de mal, en proposer une figuration spatiale ; mais quant à découvrir véritablement celle-ci par l’intermédiaire de multiples schémas dont aucune règle simple ne nous dit comment il faut les combiner, ce serait une tâche vraiment trop ingrate. La méthode eulérienne manque de généralité en ce qu’elle ne permet pas de résoudre pas à pas un problème compliqué8. Ce sera au contraire le mérite de celle de Venn de mettre sous les yeux la détermination progressive de la conclusion ; celle-ci se lira comme le résultat final d’une suite d’opérations effectuées sur un seul schéma. Pour faire ainsi des diagrammes un usage incontestablement plus efficace, il fallait envisager d’un regard neuf leurs différentes fonctions. Venn sut dégager à cette fin une idée directrice simple du procédé de « développement » élaboré par Boole : il faut commencer par se donner le moyen de représenter toutes les combinaisons possibles des classes que met en cause un problème déterminé ; on éliminera ensuite pas à pas celles que les données ne permettent pas de conserver. En un premier temps, il s’agira donc de figurer toutes les subdivisions de l’univers du discours que définit le procédé dichotomique mentionné ci-dessus. La règle à respecter pour y parvenir sera simple. Il suffira de « tracer, pour commencer, une figure close quelconque, puis de tracer les autres figures l’une après l’autre, de telle manière que chacune d’elles intersecte une fois et une fois seulement toutes les subdivisions existantes déjà obtenues avec les précédentes »9. Ces figures closes ne sont pas nécessairement des cercles ; d’ailleurs, lorsqu’on a à traiter de plus de trois « termes » à la fois, on ne peut plus utiliser de cercles ; pour le cas où on a quatre « termes », Venn utilise des ellipses et, au-delà, il dissimule mal son embarras, comme le souligne malicieusement Carroll10. Ce dernier a donc quelque raison de tirer fierté de sa méthode qui, indubitablement, est plus systématique et ingénieuse11.

  • 12 Lewis 1960, p. 176.

11Au terme de ce travail préliminaire, nous disposerons, sous la forme de « compartiments », du « cadre des possibilités » qui pourront se présenter à nous. Nous ignorons pour le moment si tels ou tels « compartiments » sont ou non « occupés ». Mais ce sera justement le rôle des « propositions » convenablement interprétées de nous communiquer ce genre d’information. Ce que chacune d’elles nous apprend sera aisément retranscrit sur le diagramme, selon des manipulations que Carroll rendra encore plus concrètes en recommandant l’emploi de jetons. On comprendra mieux, dans ces conditions, le soin avec lequel il s’attache à réduire toutes les propositions à des propositions existentielles : ainsi est assurée la traduction quasi mécanique des renseignements que nous avons à en tirer. De fait, on peut bien, grâce aux diagrammes de Venn et de Carroll, donner une présentation vivante de la logique des classes que Schröder devait exposer avec plus de rigueur12.

Existence et non-existence

  • 13 Davenport 1952, p. 146.
  • 14 Venn 1894, chap. VI : On the import of propositions, as regards the actual or conventional existenc (...)

12Dans la mesure où on continuait sans précaution à s’appuyer sur eux dans d’autres domaines, ils n’étaient certes pas sans danger et pouvaient favoriser des confusions particulièrement fâcheuses : celles, par exemple, qui viennent de ce qu’on distingue mal les notions de classe et d’individu. En revanche, par leur aptitude à visualiser d’autres relations logiques, ils rendirent tout à fait manifestes des obscurités et des incertitudes que pouvaient mieux dissimuler des formulations purement verbales13. Ainsi les « compartiments vides » de Venn viendront-ils semer la perturbation parmi les syllogismes de l’École ! Leur intervention oblige le logicien à se prononcer sans ambiguïté quant à la portée existentielle de ses propositions14.

  • 15 Keynes 1894, p. 181 ; Venn 1894, p. 127.
  • 16 Id., p. 142. Carroll, ici encore, le suit de près mais sa position sur ce point est obscurcie par l (...)

13En déclarant que par « existence du sujet », il entend la forme d’existence qui correspond à la nature du sujet, Carroll fait écho à des déclarations péremptoires de Venn et de Keynes : la logique n’a rien à faire de la notion métaphysique d’existence15. Elle exige simplement que soient bien précisés les critères qui permettront de délimiter l’univers du discours, et les modes de vérification par lesquels on s’assurera à l’intérieur de cet univers que tels éléments lui appartiennent ou non. On pourra prendre comme univers l’ensemble des phénomènes spatio-temporels, mais aussi le Pays des Merveilles16. Cet univers étant donné, une proposition nous apportera des renseignements sur l’existence ou la non-existence de son sujet et de son prédicat. Mais sous quelle forme et dans quels cas les propositions nous donnent-elles de tels renseignements ?

14Question qui, dans le sens où on l’entend ici, ne semblait guère avoir préoccupé les logiciens classiques. Négligence catastrophique, qui rend caduques les règles les plus vénérables, proclameront leurs émules « modernes ». Certains, parmi ces derniers, dénonceront même comme des erreurs grossières des lois qu’un enseignement séculaire tenait pour des dogmes : ainsi, la subalternation, qui permet par exemple qu’on infère de la vérité de l’universelle affirmative a la vérité de la particulière affirmative i, sera déclarée illégitime. Puisqu’on formule couramment aujourd’hui cette prise de position dans le symbolisme consacré du calcul des fonctions prédicatives, disons pour faire court que « tout homme est mortel », entendu comme : « pour tout x, si x est homme, alors x est mortel », s’écrira :

(x) : fxgx

proposition qui reste vraie, même s’il n’existe rien qui satisfasse à la fonction f.

15Au contraire, la particulière affirmative notée :

(∃x) : fxgx

  • 17 Blanché 1957, p. 148-163.
  • 18 Id., p. 152.
  • 19 Padoa 1912, p. 72, note 2.
  • 20 Couturat 1904, p. 46.
  • 21 Kneale 1964, p. 58 sqq. ; Bochenski 1957, p. 44.
  • 22 Cf. Church 1960, p. 264.

a une portée existentielle expresse17. Dès lors, comme « il est clair que, d’une proposition qui ne dit rien sur l’existence, on n’a pas le droit de conclure à une existence18 », on ne sera pas en droit de passer de « tout homme est mortel » à « quelque homme est mortel ». Avec la subalternation s’écroule comme un château de cartes toute une partie de l’édifice scolastique ; le célèbre « carré logique » est tissé d’erreurs ! « La fausseté des modes traditionnels du syllogisme, moyennant lesquels de deux jugements universels on voudrait déduire un jugement particulier, a été reconnue séparément par Miss Ladd, Schröder, Nagy, Peano, etc. C’est un des premiers et des plus remarquables résultats d’une idéographie logique19 ». « La meilleure preuve du symbolisme logique consiste dans ce fait que la logique algorithmique a découvert la fausseté de quatre modes syllogistiques (Darapti, Felapton, Bamalip et Fesapo) qui avaient passé pendant des siècles pour valides parce qu’on les traduisait toujours sous une forme verbale qui en masquait le défaut20 ». De ce point de vue qui a longtemps prévalu, la position de Carroll pourrait paraître rétrograde. Mais, de nos jours, on met moins d’ardeur à tancer Aristote au nom du « symbolisme logique » qu’à assouplir celui-ci pour traduire au mieux ses intentions véritables, même quand il n’a pas su en expliciter clairement les conséquences21. Venn et J. N. Keynes, à la différence des thuriféraires enthousiastes de la logique nouvelle, avaient déjà su faire preuve d’un semblable libéralisme. Ils ne se prononcent qu’après avoir interrogé l’usage populaire, et pesé les avantages et inconvénients des différentes options possibles. Venn ne refuse de portée existentielle aux universelles qu’au niveau de la logique symbolique, où cette interprétation se recommande essentiellement par sa commodité, lorsqu’on traite de problèmes complexes. On s’expliquera mieux dans ce contexte l’apparente dérobade de Carroll, et la manière un peu tortueuse avec laquelle il conduit sa justification, réclamant tantôt des « logiciens » une fidélité inaltérable aux inférences qu’il suppose inattaquables, et faisant tantôt appel contre eux au verdict du langage ordinaire. Puisqu’il s’agit de choisir une convention, il adopte celle qui déroutera le moins les débutants ; il se proposait bien d’ailleurs d’exposer et d’analyser dans sa deuxième partie des vues différentes. On peut le soupçonner cependant d’avoir accordé des soins particuliers à la subalternation et d’avoir tenu à la « sauver » avant tout autre chose. Or, il ne semble pas avoir vu, ou du moins ne l’a-t-il pas noté expressément, qu’il devait payer cet attachement d’entorses aux lois – admises elles aussi par les « manuels ordinaires » – de l’obversion et de la contraposition22.

  • 23 Cité dans Lennon 1962, p. 337.

16Comme il arrive souvent lorsque l’on essaye de situer historiquement un ouvrage, celui de Carroll perd à cet examen quelques mérites dont à première vue on aurait été porté à lui faire crédit ; mais, en retour, on sera plus indulgent pour des insuffisances qui tiennent plus à son époque qu’à lui-même. Il s’agit là, à tout prendre, d’une transposition pédagogique aussi ferme qu’habile des idées de Venn, exposées avec méthode et clarté. En tout cas, T. B. Strong, collègue et ami de Carroll, n’avait aucune raison d’affirmer que son « esprit original et excentrique » l’avait conduit à un « échec » en logique23. Il est difficile, à la seule vue du programme qu’il en a esquissé, de juger ce qu’auraient été les parties II et III de sa logique. Les paradoxes que Carroll a forgés en méditant sur les hypothétiques laissent penser qu’elles n’auraient pas manqué d’intérêt. Lewis Carroll, en un sens, est venu trop tard son goût pour les sorites tortueux sent son école, mais il était par ailleurs trop tôt pour que la sémantique ait pu lui permettre d’exercer son esprit subtil.

17Mais l’essentiel ne se passait-il pas pour Carroll au-delà du sérieux universitaire ? Jusque dans l’appendice, où il s’adresse pourtant aux spécialistes, l’humour fait irruption dans une parenthèse, un jeu de mots. Le prétexte pédagogique sert d’alibi aux propositions les plus cocasses. Lus d’un trait, certains sorites sont plus proches d’un « cadavre exquis » surréaliste que d’une démonstration mathématique ; et démontant et remontant des mécanismes verbaux, Carroll était plus proche du Roussel de Comment j’ai écrit certains de mes livres que des professionnels de la déduction…

Le paradoxe des coiffeurs

  • 24 Dans le problème des cinq menteurs, dont il avait ensuite modifié l’énoncé pour éviter les « mystér (...)

18Carroll se plaît à voir dans l’art de raisonner un moyen de déceler les sophismes : n’est-ce pas qu’il cherchait une arme contre les prétentieux au moins autant qu’une règle de vérité ? On peut gager qu’il a eu la même satisfaction à forger des puzzles pour taquiner les professionnels qu’à écrire des traités pour demoiselles. En tout cas, par une divination remarquable, dans les deux notes qu’il avait publiées dans la très sérieuse revue Mind, il toucha la nouvelle logique en deux de ses points les plus sensibles24 : les notions d’implication et d’inférence. Quel meilleur témoignage évoquer que celui de Russell ? Dans ses Principles of mathematics, lorsqu’il traitera de ces notions, il citera chaque fois l’auteur d’Alice et lui fera l’hommage qu’on ne saurait trop apprécier d’une réponse.

19Un jeune garçon avait deux oncles facétieux et querelleurs, familiers du duel au syllogisme. Ils se dirigent vers un salon de coiffure où travaillent Aristide, Barnabé et Clotaire.

  • 25 Nous suivons ici Burks & Copi 1950, p. 219.

20Ces coiffeurs ne peuvent être tous les trois simultanément absents (première condition) et lorsqu’il sort, Aristide emmène toujours avec lui Barnabé (deuxième condition). Oncle Joe se fait fort de prouver à Oncle Jim qu’il n’a aucune inquiétude à avoir son préféré, Clotaire, sera sûrement là pour le raser. Simplement pour faciliter l’exposé25 et sans y mettre plus de rigueur que n’en pouvait mettre Oncle Joe, désignons par a, b, c les propositions : « Aristide est absent », « Barnabé est absent », « Clotaire est absent ». Oncle Joe traduit la première condition par :

(1) Si c alors (si a alors non-b),

et la deuxième condition par :

(2) si a alors b.

21Comme (2) et « Si a alors non-b » sont des contraires, et que (2) est toujours vrai, on a :

(3) non- (si a alors non-b),

et on peut en appliquant le modus tollens à (1) et à (3) obtenir :

(4) non-c.

22Conclusion surprenante pour le bon sens le moins délié puisque, si ses deux collègues gardent la boutique, Clotaire peut fort bien être allé prendre l’air sans violer aucune des deux conditions…

  • 26 Kirk 1962 donne, d’après les manuscrits inédits de L. Carroll qui se trouvent à la bibliothèque de (...)

23Avant de rendre public son paradoxe, Carroll en avait débattu avec John Cook Wilson, qui enseignait la logique à Oxford26. Les personnages de l’historiette s’appelaient en ce cas Outis et Nemo, mais leurs arguments sont semblables à ceux de nos deux oncles Jim et Joe. Or, dans la dernière version manuscrite du problème intitulé A logical puzzle, Outis argumente d’une manière tout à fait originale :

24Posons « v » pour « vrai » et « f » pour « faux ». Il y a huit combinaisons possibles de a, b, c, eu égard à leur vérité et à leur fausseté. Ce sont les suivantes :

1

2

3

4

5

6

7

8

a

v

v

v

v

f

f

f

f

b

v

v

f

f

v

v

f

f

c

v

f

v

f

v

F

v

f

25Parmi celles-ci, la troisième et la quatrième sont interdites par la condition : « Si a, alors b » et la première est interdite par la condition : « Si c, alors (si a alors non-b) ».

  • 27 A Logical Puzzle, p. 4, cité par D. F. Kirk.

26Les cinq autres combinaisons sont possibles ; et deux d’entre elles, à savoir la cinquième et la septième, contiennent la condition : « “c est vrai” que Nemo croit être impossible »27.

  • 28 Id., p. 25.
  • 29 Cf. Bochenski 1961, p. 330.
  • 30 Cf. Quine 1962, p. 14.

27On aura reconnu ici une de ces « tables de vérité » devenues aujourd’hui familières au logicien moderne. Il serait quelque peu exagéré d’affirmer avec D.F. Kirk que « la preuve finale d’Outis était à cette époque absolument neuve dans le domaine de la logique28 ». Le principe en remonte en effet à Boole et même à Philon de Mégare ; et C.S. Peirce, pour ne pas parler de Frege, en tirait tout à fait explicitement les conséquences en 1880 : des définitions de foncteurs propositionnels, en termes de valeurs de vérité29. L’idée était cependant ingénieuse, on l’admettra volontiers, de recourir à une présentation tabulaire, dont c’est seulement en 1920 que Lukasiewicz, Post, Wittgenstein devaient généraliser l’usage30. Et la réponse que s’était donnée ainsi à lui-même L. Carroll dans un inédit, était substantiellement celle à laquelle devaient spontanément se rallier ceux qui servaient alors la cause de la « logique symbolique ».

  • 31 Venn 1894, p. 442.

28W.E. Johnson devait la proposer, dès 1893, dans la revue Mind, mais on la trouve également – on ne semble pas l’avoir remarqué – dans la seconde édition de Symbolic Logic de Venn qui la donne comme une illustration particulièrement claire de ce qu’on a appelé depuis les paradoxes de l’implication matérielle : « Nous devons admettre que l’expression « x implique y » n’implique pas qu’on sache qu’il y ait une connexion entre les faits concernés ou qu’on puisse inférer formellement une proposition d’une autre. Cet aspect particulier de la question sera très probablement familier à certains de mes lecteurs, en raison d’un problème qu’on a fait récemment circuler parmi les logiciens, pour permettre de comparer leurs opinions a ce sujet. Comme celui qui l’a proposé est mieux connu, pour l’ensemble des lecteurs, dans un domaine très différent, je l’appellerai le problème d’Alice31 ».

  • 32 Id., p. 443.
  • 33 Id., p. 443.
  • 34 Id., p. 162-163.

29Bien qu’elle laisse à désirer quant à la rigueur formelle, la manière dont Venn rend compte de sa réponse a pour nous un intérêt tout particulier : c’est un de ses maîtres en logique qui répond ici directement au créateur d’Alice. Quitte à interpréter ensuite différemment les symboles utilisés tout d’abord pour formuler la logique des classes, le raisonnement est de ceux que les jetons carrolliens conduisent sans peine. « Du point de vue symbolique, le problème est simplement celui-ci : nous avons trois termes, a, b, c, et on nous dit que : (1) ab = 0 ; (2) cab = 0. On demande : a-t-on nécessairement : c = 0 ?32 ». Certainement non, car après qu’on ait éliminé, parmi les huit possibilités, celles que les données ne permettent pas de conserver, il reste, pour parler le langage « diagrammatique », deux cas où « c survit » : ābc et abc. Si nous modifions maintenant l’interprétation de nos symboles, nous pouvons interpréter ce résultat « en disant que c peut être vrai quand a est faux, que b soit vrai ou non », ou bien en disant que « c peut être dehors alors que a reste dedans, que b soit ou non dehors33 ». Pourquoi néanmoins une question si élémentaire jette-t-elle dans l’embarras les logiciens traditionnels ? C’est qu’ici comme en ce qui concernait la portée existentielle des propositions, ils sont troublés par des « cas extrêmes » qu’ils n’ont jamais su envisager de sang-froid : ainsi, la possibilité qu’un « compartiment » soit vide. Le mathématicien est habitué, lui, à traiter d’une quantité inconnue tout au long d’un raisonnement, et à découvrir ensuite en conclusion que cette quantité inconnue est égale à zéro ; la « logique ordinaire » ne semble pas avoir soupçonné qu’une situation analogue pouvait se présenter dans son domaine34.

  • 35 Cf. Johnson 1894 et Sidgwick 1894.

30Suivant de plus près le raisonnement d’Oncle Joe, W. E. Johnson précise mieux le point où il trébuche. C’est justement de sa méthode favorite de reductio ad absurdum qu’Oncle Joe est victime. Il n’aurait le droit d’y recourir que si les propositions : « Si a, alors b » et « Si a, alors non-b » étaient incompatibles. Or, dire que deux propositions sont incompatibles, c’est dire que leur combinaison enveloppe une impossibilité logique. Il n’en est pas ainsi pour les propositions mentionnées : elles peuvent être vraies toutes les deux à condition que la proposition a soit fausse. C’est ce qui résulte, dit W.E. Johnson, de la théorie des hypothétiques qu’il avait exposée un an plus tôt dans Mind : de manière générale, il faut interpréter toute hypothétique de la forme : « Si a, alors b » simplement comme la négation de la conjonction : « a vrai et b faux35 ».

  • 36 Russell 1956 (1903), p. 18, note 00.
  • 37 Couturat 1905, p. 16.

31Cette interprétation, pour n’être pas nouvelle en cette fin du xixe siècle, était loin d’être communément admise et comprise. Il est plaisant de noter que Russell, qui aura contribué plus que quiconque à la rendre classique, ait mentionné lui aussi l’historiette de Carroll à propos d’une des conséquences à première vue un peu surprenantes de la notion d’implication matérielle36 : « Le principe selon lequel les propositions fausses impliquent toutes les propositions résout le paradoxe logique de Lewis Carroll […] ». Or, ce principe, dans sa généralité, ne semble-t-il pas plus étrange que le puzzle lui-même ? Couturat l’avoue avec une franchise brutale : « Ces vérités paradoxales servent d’ailleurs à résoudre correctement certains paralogismes ou certains paradoxes où le bon sens vulgaire risquerait de s’embarrasser. Tel est par exemple le paradoxe de Lewis Carroll : « q implique r ; mais p implique que q implique non-r ; que faut-il en conclure ? » On raisonnera comme il suit : p implique non-q ou non-r ; or non-r implique non-q ; donc p implique non-q, c’est-à-dire que la vérité de p implique la fausseté de q. Mais on aurait pu raisonner autrement : si q implique r, il est impossible que q implique non-r ; donc p implique l’impossible et, par suite, est faux. Cette conclusion est fausse parce qu’il est possible que q implique à la fois r et non-r ; seulement, alors q est faux (comme impliquant deux propositions contradictoires)37 ».

  • 38 Russell 1905.

32Ne sera-t-on pas surpris que le logicien, pour écarter avec hauteur des paradoxes, ait besoin de faire appel à des « vérités » qui, pour être vraies, n’en sont que plus « paradoxales » ? Ne serait-il pas plus raisonnable d’admettre qu’il n’y a plus pou lui de paradoxe dès lors que ce dernier s’est transformé en un problème résolu ? Russell le notait en 1905 lors d’un débat avec MacColl à propos d’une définition de la classe nulle : la question de Carroll est moins un paradoxe qu’« une bonne illustration du principe selon lequel une proposition fausse implique toute proposition38 ». Si l’on admet qu’elle se laisse adéquatement formuler dans le calcul propositionnel classique, elle se réduirait à un exercice amusant.

  • 39 Cf. Tarski 1960, p. 22.

33N’oublions pas cependant les discussions passionnées qu’a soulevées la notion d’implication matérielle, et les diverses tentatives par lesquelles on a voulu cerner de plus près ce qu’on entend couramment signifier par le mot « implication ». Certains sont même allés jusqu’à affirmer que la notion d’implication matérielle « accule les logiciens à des paradoxes et même à des absurdités39 ». Carroll aurait-il ainsi joué un mauvais tour posthume à ses collègues en soulignant par anticipation le caractère paradoxal de la solution qui serait donnée à son propre paradoxe ? Ce serait faire fi de l’ingéniosité combative des successeurs de ses deux oncles. Dans l’esprit même des tentatives que nous venons d’évoquer, le débat a été rouvert tout récemment au nom d’une plus grande fidélité au langage commun.

  • 40 Jones 1905.
  • 41 Baker 1955.
  • 42 Cf. l’article cité ci-dessus et Burks 1951.

34Déjà en 1905, un auteur qui signait W. avait soutenu que non seulement Oncle Joe, mais aussi bien les logiciens qui avaient pris au sérieux le début de son raisonnement, avaient commis un paralogisme, dont la source était purement « verbale » puisqu’il résultait d’une interprétation erronée de la proposition : « Si Clotaire est absent, alors si Aristide est absent, Barnabé est présent ». On en tire que : « Si a est absent, Barnabé est présent », est une conséquence de « Clotaire est absent », en entendant par là que l’absence de a nécessite la présence de b « en tout temps », alors qu’il n’en est ainsi que dans les moments où c est absent. Ce qui en réalité enveloppe une contradiction, c’est la conjonction de l’absence de c et de l’absence de a40. Citant d’ailleurs son prédécesseur, et se contentant de mieux préciser les références temporelles dont l’absence est à la source d’ambiguïtés donnant lieu au paralogisme, A.J. Baker s’est rallié à cette même position41. Mais c’est plus radicalement l’usage même d’implications matérielles pour traduire les hypothétiques carrolliennes qu’ont mis en cause A.W. Burks et I.M. Copi42 : la notion d’« implication causale » telle qu’ils l’ont définie pour mieux rendre compte d’un grand nombre de propositions, en permettrait une symbolisation plus r adéquate ; en ce cas, l’erreur d’Oncle Joe se situerait à l’origine même de son raisonnement ; le principe d’exportation n’étant pas valable pour les « implications causales », on n’a pas le droit de passer de : Si (c et a) alors non-b, à : Si c alors (si a alors non-b).

  • 43 Cf. Henderson 1954.
  • 44 Cf. Martin 1962.

35Mais outre qu’il n’est pas du tout sûr que cette nouvelle formulation réponde mieux à l’esprit dans lequel était posé le problème, elle aura à affronter toutes les difficultés que rencontre la logique lorsqu’elle se met à vouloir être plus « naturelle »43. Au nom de quoi justifiera-t-on qu’un système est plus adéquat à tel aspect de la pensée naïve ? Ce ne pourra être en tout cas par une démonstration proprement logique44.

36On l’avait tout d’abord accusé d’en venir à des affirmations qui n’ont pas le sens commun ; mais lorsqu’il s’attachera humblement à tendre ses miroirs au sens commun, le logicien devra se résigner à ce qu’ils soient toujours imparfaits…

Achille et la tortue

37Achille et la tortue sont deux grandes figures de la mythologie des philosophes. Mais l’auteur d’Alice se garde bien de disserter à leur propos. Il ne pouvait que les faire dialoguer. Et comment résister au plaisir de donner sa revanche à la tortue ? Car, quoiqu’en disent les subtils, Achille au pied léger la rattrape toujours. Mais son entendement ailé va engager le prétentieux guerrier dans une course autrement épuisante… Sisyphe de la plume, il alignera indéfiniment des hypothétiques sur son carnet. Ceux qui pensaient que, dans sa course à pied, il ne pourrait jamais atteindre la tortue, lui accordaient du moins qu’il s’en rapprochait de plus en plus. Ici, au contraire, chaque tentative pour approcher du but l’en éloigne davantage.

  • 45 Borges 1957 : « Avatars de la tortue », p. 158-190.
  • 46 Peirce 1932, 2.27, p. 14-17.
  • 47 Quine 1936.

38C’est à juste titre que J.-L. Borges a fait place à la tortue de Carroll parmi ses compagnes les plus célèbres45. C.S. Peirce s’y réfère lorsque, examinant la thèse d’Aristote relative à l’existence des « premiers principes », il dénonce le caractère artificiel d’une analyse qui dénature la pensée en la morcelant en une succession d’arguments distincts et juxtaposés46, et W. V. Quine recourt à elle pour contester qu’il soit possible de constituer la partie la plus élémentaire de la logique exclusivement par l’application explicite de « conventions » établies à l’avance47.

  • 48 Russell 1903, p. 35.
  • 49 Ibid.

39Mais peu après qu’elle ait été publiée, sa question eut un écho beaucoup plus direct dans les Principles of mathematics de Russell où elle se présente moins comme un thème de méditation philosophique que sous la forme d’une difficulté interne du calcul propositionnel. D’une certaine manière, Russell rend les armes à la tortue. Si l’on s’en tient à la notion d’implication, il faut s’incliner devant ses arguments ; p et q étant des propositions, alors p avec « p implique q » implique q : il semblerait à première vue que ceci nous permettrait d’asserter q pourvu que p soit vrai et implique q. « Mais le puzzle de Lewis Carroll montre qu’il n’en est pas ainsi ; et tant que nous ne disposons pas d’un nouveau principe, nous serons conduits à régresser indéfiniment vers des implications de plus en plus compliquées, sans jamais parvenir à l’assertion de q. Nous avons besoin de la notion de donc, qui est tout à fait différente de la notion d’implique, et qui relie des entités différentes48 ». Quand il s’agit de définir le statut de ces deux notions, Russell ne cache pas son embarras, et les « graves difficultés » non résolues que soulève leur distinction. Toujours est-il qu’il faut à tout prix les distinguer. « Quand nous disons donc, nous énonçons une relation qui ne peut intervenir qu’entre des propositions assertées, et qui ainsi diffère de l’implication, Partout où donc se présente, l’hypothèse peut être omise, et la conclusion assertée pour elle-même. Ceci semble être le premier pas dans la réponse au puzzle de Lewis Carroll49 ».

  • 50 Id., p. 16.
  • 51 Couturat 1904, p. 46.

40Mais, à tout prendre, lorsqu’il expose le calcul propositionnel, que fait Russell, sinon de choisir le parti qu’Achille, tout intimidé devant l’assurance de la tortue, n’avait pas osé soutenir bien longtemps ? À savoir, adopter pour principe fondamental cela même que rejetait par ses refus répétés son adversaire ? On posera comme un des dix axiomes du calcul propositionnel qu’« on peut omettre l’antécédent d’une implication lorsque cet antécédent est vrai, et asserter séparément le conséquent50 ». Il est manifeste qu’une telle décision coupera court aux insidieuses interrogations de la tortue. Qu’elle refuse d’y souscrire, Achille la sommera de dire au nom de quelle logique elle parle, logique bien piètre en vérité s’il lui manque le moyen de remplir son principal office : faire aboutir un raisonnement à sa conclusion. Or, selon Couturat, telle était bien la triste condition de la logique classique ; parmi les « progrès immenses » qu’accomplit par rapport à elle la logique algorithmique, il faut compter cette découverte : il est absolument nécessaire d’adjoindre aux principes traditionnellement admis le principe énoncé plus haut par Russell51. Ces principes, et même le « principe du syllogisme » :

pq. qr : ⊃. pr

  • 52 Couturat 1905, p. 11.
  • 53 Russell 1903, p. 35.

41ne peuvent « justifier une déduction particulière quelconque qu’en vertu d’un autre principe qui s’énonce : « Si l’on a une implication (vraie) pq, et si l’hypothèse p est vraie, la thèse q est aussi vraie, de sorte qu’on peut l’affirmer isolément ». Et en effet, en quoi consiste une déduction, par exemple une déduction syllogistique ? Elle ne consiste pas simplement à constater et à affirmer une relation d’implication entre les prémisses et la conclusion ; elle consiste en outre à constater que les prémisses sont vraies (ou supposées telles), et à affirmer la conclusion « absolument », c’est-à-dire isolément. Or, cela ne peut se faire qu’en vertu du principe précédent. Ce principe est donc indispensable et fondamental en logique : c’est le nerf de toute déduction puisque seul il permet de passer des prémisses à la conclusion, de remplacer celles-là par celle-ci, et par suite d’avancer par étapes dans un raisonnement. Pour cette raison, nous l’appellerons désormais le principe de déduction52 ». « Principe tout à fait vital pour tout type de démonstration, avait dit Russell, et son indépendance est mise en évidence par le puzzle de Carroll53 ».

42Le triomphe d’Achille a toutefois son revers.

  • 54 Id., p. 34.
  • 55 Id., p. 16.
  • 56 Couturat 1905, p. 12.
  • 57 Brunschvicg 1947, p. 397-398.

43La tortue : « Toute parole tombée des lèvres de la logique mérite d’être notée. Mais puisque vous êtes, dites-vous, du club de l’algorithme et n’écrivez plus dans votre carnet qu’en péanien, pourquoi donc laissez-vous bavarder votre principe tout neuf en langue vulgaire ? » Cette même question troubla beaucoup Russell, car ce principe faisait effectivement tache dans ses axiomes, car il était le seul parmi eux à ne pouvoir être écrit sous forme purement symbolique. Russell avait ressenti cette impossibilité comme un échec54 ; il est remarquable que, pour la qualifier, il emploie une expression toute proche du titre de l’ouvrage où Ladrière a rassemblé les « faits de limitation » auxquels ont conduit l’examen et l’utilisation des paradoxes sémantiques et syntaxiques : cette impossibilité « illustre les limitations essentielles du formalisme55 ». Couturat ne s’en affecta pas trop : « II n’y a rien d’étonnant d’ailleurs à ce que le symbolisme ne réussisse pas à traduire tous les principes, car il faut évidemment définir verbalement les premiers symboles et les premières formules56 ». Aveu qui avait de quoi réjouir ceux qui, comme L. Brunschvicg, étaient profondément hostiles aux ambitions des logisticiens. On pourrait à tout le moins exiger de ces derniers qu’ils fournissent un corps homogène de principes, et voilà que, dans leur traduction symbolique, la logique « a échoué devant le plus important de tous », le principe de déduction ! Il subsiste ainsi « une lacune dans la théorie logistique des principes, puisque les divers principes auxquels recourt le calcul des propositions ne peuvent être tous rangés dans la même catégorie57 ».

  • 58 Cf. Russell & Whitehead 1957, vol. I, p. 92 et 94. Déjà dans la Begriffsschrift, Frege avait distin (...)

44Par un choc en retour semblable à celui que nous avons observé pour le paradoxe des coiffeurs, la réponse donnée par la logique symbolique à ce second paradoxe semblait ainsi se retourner en partie contre elle. Mais l’enjeu était ici bien plus grave puisqu’elle découvrait, non sans un certain malaise, que dans son propre empire des obstacles s’opposaient à son projet de symbolisation. Elle ne pouvait se satisfaire d’une vague référence à la nécessité de définitions verbales, et se contenter de ce que Couturat considérait comme une « évidence ». Même après que Russell, ayant écouté les leçons de Frege, ait mieux clarifié dans les Principia la notion d’assertion58, il restait bien du chemin à faire, de la constitution de la métamathématique à celle de la métalogique, pour élucider le sens de cette « évidence » : aussi loin qu’aille son effort pour formaliser tout ce qui est formalisable, l’axiomaticien doit reconnaître comme condition d’exercice de son activité la dualité du langage et du métalangage. Pour aussi minutieuse que soit la présentation des formules d’un de ses systèmes, il sera conduit pour parler de ces formules à user d’un autre langage que celui où sont exprimées ces formules elles-mêmes.

  • 59 Kneale 1964, p. 695, note 1.

45Ces affirmations générales n’ont d’ailleurs de prix que lorsqu’on les rapporte à des systèmes définis. Pour revenir au puzzle de Carroll, nous dirions aujourd’hui qu’« il a rendu claire la distinction entre règles et prémisses59 », ou entre règles et lois, distinction fondamentale dont la méconnaissance avait, comme l’a montré Lukasiewicz, complètement obscurci l’histoire de la logique, et empêché de comprendre en particulier la véritable profondeur de la logique stoïcienne. La manière la plus parlante de présenter cette distinction, en ce qui concerne le calcul classique des propositions, serait d’opposer lois et règles selon les deux traits suivants :

  1. « Tandis que la loi demeure sur le plan de la théorie et que son énoncé est susceptible de vérité ou de fausseté, une règle d’inférence est un énoncé normatif ou impératif qui, comme tel, relève des catégories pratiques : une règle n’est ni vraie ni fausse, elle est bonne ou mauvaise.

    • 60 Blanché 1957, p. 72.

    Tandis que la loi s’exprime à l’intérieur du calcul, la règle est extérieure au calcul, qu’elle domine. La première appartient à la langue, la seconde à la métalangue : c’est un énoncé métalogique, qui dit quelque chose au sujet des énoncés de la logique60 ».

  • 61 Id., p. 74.
  • 62 Rees 1961. Cf. également Woods 1965, qui prétend montrer que la solution de Russell conduit à la mê (...)
  • 63 Brown 1954, p. 170-179.

46Toute la ruse de la tortue était de s’en tenir strictement au plan des lois. Achille était à la torture parce qu’il était impuissant à détacher une conclusion de sa chaîne implicative ; il se voit offrir une règle baptisée précisément au mieux : règle de détachement : « Elle permet, si l’on a établi à la fois p et q, d’affirmer séparément q. Sans elle, nos formules s’allongeraient indéfiniment61 », Si la tortue s’obstinait à tenir aux « hypothétiques » chères à son premier interviewer, on lui ferait remarquer qu’il y a hypothétiques et hypothétiques : si certaines sont des prémisses, celle qu’elle désigne par c ne doit pas être mise sur le même pied que les conditions a et b ; elle est une hypothétique du second ordre, une métaprémisse62, Si la tortue refusait toujours de se laisser convaincre, malheur à elle : un auteur, critiquant l’interprétation qu’avait donnée G. Ryle de son refus, va lui démontrer qu’un être pensant qui raisonne comme elle, ne peut pas exister63 !

47La tortue, qui une fois de plus s’apprêtait à aller jouer au football, se résigna à poser sa dernière question : « Je suis, je l’avoue, coupable d’avoir méconnu le métalangage. Mais, s’il vous plaît tant de formaliser, je présume que le métalangage d’un système formel donné peut à son tour être formalisé en un méta-métalangage ». « Et ainsi de suite indéfiniment », allait s’écrier Achille lorsqu’il surprit le regard à nouveau narquois de la tortue…

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Notes

1 Arnauld et Nicole 1662, p. 3.

2 Euler 1843, lettre XXXV, p. 261.

3 Morgan 1847, p. 37.

4 Op. cit., p. 38.

5 En réalité, c’est là chez Venn une négligence très calculée ; cf. Venn 1894, pp. 252-253.

6 Venn 1894, p. 100.

7 Id., p. 14.

8 Id., p. 125.

9 Id., p. 118.

10 C’est seulement dans la seconde édition de sa Symbolic Logic que Venn mentionnera et utilisera lui-même à l’occasion le procédé de Marquand, d’inspiration analogue à celui de Carroll, et qui « est quelque chose d’intermédiaire entre ce qu’on considérait communément comme symbolique et comme diagrammatique » (Venn 1894, p. 139).

11 Cf. Lewis 1960, p. 179-180, et Gardner 1964, p. 54-57.

12 Lewis 1960, p. 176.

13 Davenport 1952, p. 146.

14 Venn 1894, chap. VI : On the import of propositions, as regards the actual or conventional existence of their subjects and predicates.

15 Keynes 1894, p. 181 ; Venn 1894, p. 127.

16 Id., p. 142. Carroll, ici encore, le suit de près mais sa position sur ce point est obscurcie par le fait que, dans ses définitions, il assimile irréel et imaginaire.

17 Blanché 1957, p. 148-163.

18 Id., p. 152.

19 Padoa 1912, p. 72, note 2.

20 Couturat 1904, p. 46.

21 Kneale 1964, p. 58 sqq. ; Bochenski 1957, p. 44.

22 Cf. Church 1960, p. 264.

23 Cité dans Lennon 1962, p. 337.

24 Dans le problème des cinq menteurs, dont il avait ensuite modifié l’énoncé pour éviter les « mystérieuses difficultés » qu’il comportait, Carroll avait donne une variante du célèbre paradoxe du menteur. Cf. Prior 1957, compte rendu de la réédition de Symbolic Logic.

25 Nous suivons ici Burks & Copi 1950, p. 219.

26 Kirk 1962 donne, d’après les manuscrits inédits de L. Carroll qui se trouvent à la bibliothèque de l’Université de Princeton, quelques détails sur cette polémique. Il précise que « A.S.L. Farquharson, éditeur de Wilson, dit dans l’édition qu’il a donnée de Wilson, Statement and Inference (Wilson 1926), p. xii, que le débat commença en 1892. C’est à la date du 5 février 1893 qu’on trouve mentionné pour la première fois le nom de Wilson dans le journal de L. Carroll […] ».

27 A Logical Puzzle, p. 4, cité par D. F. Kirk.

28 Id., p. 25.

29 Cf. Bochenski 1961, p. 330.

30 Cf. Quine 1962, p. 14.

31 Venn 1894, p. 442.

32 Id., p. 443.

33 Id., p. 443.

34 Id., p. 162-163.

35 Cf. Johnson 1894 et Sidgwick 1894.

36 Russell 1956 (1903), p. 18, note 00.

37 Couturat 1905, p. 16.

38 Russell 1905.

39 Cf. Tarski 1960, p. 22.

40 Jones 1905.

41 Baker 1955.

42 Cf. l’article cité ci-dessus et Burks 1951.

43 Cf. Henderson 1954.

44 Cf. Martin 1962.

45 Borges 1957 : « Avatars de la tortue », p. 158-190.

46 Peirce 1932, 2.27, p. 14-17.

47 Quine 1936.

48 Russell 1903, p. 35.

49 Ibid.

50 Id., p. 16.

51 Couturat 1904, p. 46.

52 Couturat 1905, p. 11.

53 Russell 1903, p. 35.

54 Id., p. 34.

55 Id., p. 16.

56 Couturat 1905, p. 12.

57 Brunschvicg 1947, p. 397-398.

58 Cf. Russell & Whitehead 1957, vol. I, p. 92 et 94. Déjà dans la Begriffsschrift, Frege avait distingué clairement entre la notion de théorème et celle de règle d’inférence.

59 Kneale 1964, p. 695, note 1.

60 Blanché 1957, p. 72.

61 Id., p. 74.

62 Rees 1961. Cf. également Woods 1965, qui prétend montrer que la solution de Russell conduit à la même conséquence que le paradoxe de Carroll : l’impossibilité de l’inférence déductive.

63 Brown 1954, p. 170-179.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2016

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